8.5 Gravitatie-energie

kinetische energie van de raket

sterk toe. Dat is nodig om aan de

gravitatiekracht van de aarde op de

raket te kunnen ontsnappen. Hoe

groot is de ontsnappingssnelheid

op aarde?

Figuur 8.38

Nulpunt van energie

Bij het gebruiken van de wet van behoud van energie vergelijk je de energie in situatie A met de energie in situatie B.

EA = E B

Ek,A + E pot,A = E k,B + E pot,B

Je kunt dit ook schrijven als: E k,A − E k,B = E pot,B − E pot,A ΔE k = −ΔE pot

In woorden: wat er aan kinetische energie bij komt, gaat er aan potentiële energie af, en omgekeerd. Dit is een uitspraak over energieverschillen. Je kunt bij de potentiële energie een vaste hoeveelheid energie E 0 optellen, zonder dat het resultaat verandert:

(E pot,A + E 0 ) − (E pot,B + E 0 ) = E pot,A − E pot,B

Je mag dus het nulpunt van de energie zelf kiezen, de energieberekening verandert er niet door. Vaak kun je een keuze maken waardoor de berekening eenvoudiger is. Zo kies je bij de zwaarteenergie meestal het laagste punt van de beweging als nulpunt.

Voorbeeld Lyke staat op een midgetgolfbaan bij de afslag. Deze baan ligt in zijn geheel 5 cm boven de grond en bestaat uit een hobbel en een helling met de hole. In figuur 8.39 zie je een doorsnede van deze baan.

Figuur 8.39

Als de golfbal in de hole terechtkomt, verandert de potentiële energie van de bal ten

opzichte van de afslag.

a Toon aan dat de potentiële energie na 2,0 m gelijk is aan 0,24 J en na 5,0 m aan 0,38 J. Neem hierbij aan dat de wrijvingskrachten verwaarloosbaar zijn.

Lyke slaat de bal richting de hole.

b Maak een schets van de potentiële energie van de bal tijdens de beweging van de

afslag naar de hole. De zwaarteenergie bij de afslag is 0 J. Als Lyke de bal wegslaat, krijgt de bal

kinetische energie tijdens de afslag. Voor de totale energie geldt E tot = E k + E pot . De kinetische energie E k = 1 _ 2 m ⋅ v 2 is altijd groter dan of gelijk aan nul is. Dus is de totale energie nooit kleiner dan de potentiële energie. Na de eerste slag ligt de bal in rust tussen de hobbel en de helling.

c Voorspel met behulp van de schets waar de bal terechtkomt als Lyke de bal in de

goede richting naar de hole slaat met een beginsnelheid van:

i 3,0 ms −1 ii 3,6 ms −1 iii 4,2 ms −1

Uitwerking a De potentiële energie bestaat uit zwaarteenergie. Het nulpunt van de zwaarteenergie neem je op 5 cm hoogte.

Op de hobbel is E zw = m ∙ g ∙ h = 0,045 × 9,81 × 0,55 = 0,24 J. Bij de hole is E zw = m ∙ g ∙ h = 0,045 × 9,81 × 0,85 = 0,38 J.

b In figuur 8.40 geeft de zwarte grafieklijn de potentiële energie van de bal weer tijdens de beweging naar de hole. De grafiek heeft dezelfde vorm als de doorsnede van de golfbaan.

Figuur 8.40

c i Bij een beginsnelheid van 3,0 ms −1 is de kinetische energie van de bal 1 _ 2 m ⋅ v 2 = 1 _ 2 × 0,045 × 3,0 2 = 0,20 J. De rode lijn die in figuur 8.40 is getrokken bij 0,20 J geeft aan dat de golfbal niet uit de kuil kan komen, want om de hobbel

te overwinnen is meer energie nodig dan 0,20 J. De bal haalt dus niet de hole, maar stopt en rolt weer terug. Hij passeert het beginpunt dan weer en rolt de

hobbel op. Maar ook deze hobbel komt hij niet over. Dus de bal blijft tussen

eindpunt en hobbel in.

ii Bij een beginsnelheid van 3,6 ms −1 is de kinetische energie van de bal 1 _ 2 m ⋅ v 2 = 1 _ 2 × 0,045 × 3,6 2 = 0,29 J. Ook dit is niet voldoende om de hole te halen. De bal rolt weer terug, maar heeft nu ook nog voldoende energie om over de hobbel te komen. De bal rolt dus terug naar de afslag.

iii Bij een beginsnelheid van 4,2 ms −1 is de kinetische energie van de bal 1 _ 2 m ⋅ v 2 = 1 _ 2 × 0,045 × 4,2 2 = 0,40 J. Dit is voldoende om de helling te nemen.

De bal zal in de hole terechtkomen.

Gravitatie-energie

De zwaartekracht op een voorwerp met massa m is op aarde gelijk aan F zw = m · g. De zwaarteenergie van dit voorwerp bereken je dan met E zw = m ⋅ g⋅ h. Het is het eenvoudigst om het nulpunt van de energie E zw = 0 te nemen aan het aardoppervlak. Dat wil zeggen voor h = 0.

aardoppervlak bereken je met de formule voor de gravitatiekracht: F g = G ⋅ m ⋅ M aarde _ r 2

In figuur 8.41 is de gravitatiekracht op het voorwerp uitgezet tegen afstand r. De oppervlakte onder de grafiek is gelijk aan de arbeid die de gravitatiekracht heeft verricht.

Figuur 8.41

Als je een voorwerp verder van de aarde af verplaatst, verricht de gravitatiekracht negatieve arbeid. Hoe groter de afstand r, des te meer neemt de gravitatie-energie dus toe. Datzelfde geldt voor voorwerpen in de buurt van de zon of andere planeten. Het is in dat geval niet logisch om het nulpunt van de zwaarteenergie op het aardoppervlak te kiezen. Voor elk hemellichaam geldt dat de zwaartekracht op grote afstand naar nul gaat. Door de gravitatieenergie op 0 J te zetten in het oneindige, ontstaat een formule die voor elk hemellichaam kan worden toegepast.

Voor de gravitatieenergie van een voorwerp in de buurt van een hemellichaam geldt:

Eg = −G ⋅ m ⋅ M _ r

▪ ▪ ▪ ▪ ▪ E g is de gravitatieenergie in J. G is de gravitatieconstante in Nm 2 kg −2 . m is de massa van het voorwerp in kg. M is de massa van het hemellichaam in kg.

r is de afstand tussen de zwaartepunten van het voorwerp en het hemellichaam in m.

Omdat massa’s en afstanden altijd positief zijn, heeft de gravitatieenergie altijd een

negatieve waarde. Komt een voorwerp verder van een hemellichaam, dan neemt de

gravitatieenergie toe: de waarde wordt minder negatief. De formule voor de gravitatieenergie E g heeft een heel andere vorm dan die voor de zwaarteenergie E zw = m ∙ g ∙ h. Deze laatste formule geldt alleen in de buurt van het aardoppervlak.

r= R A , krijg je de nagenoeg rechte lijn die bij E zw hoort.

Figuur 8.42

Ontsnappingssnelheid

Als je een voorwerp vanaf het aardoppervlak omhoog schiet, kun je met de wet van behoud van energie uitrekenen hoe hoog het voorwerp komt. Op het aardoppervlak is er alleen kinetische energie E tot = E k = 1 _ 2 m ⋅ v 2 . Op het hoogste punt staat het voorwerp stil en geldt E tot = E zw = m ∙ g ∙ h. Uit 1 _ 2 m ⋅ v 2 = m ∙ g ∙ h volgt hoe hoog het voorwerp komt bij een gegeven beginsnelheid.

Tijdens de beweging omhoog neemt de zwaarteenergie toe en de kinetische energie

af. E tot = E k + E zw . Deze formule geldt echter alleen in de buurt van het aardoppervlak. Voor een algemene berekening gebruik je de gravitatieenergie. De totale energie is dan: E tot = 1 _ 2 m ⋅ v 2 + ( −G ⋅ m ⋅ M aarde _ r )

Wil je nu weten op welke hoogte het voorwerp stilstaat en weer naar beneden valt, dan vul je in v = 0. De totale energie is dan negatief. Maar omdat de wet van behoud

van energie geldt, kan dit alleen als de totale energie in het begin ook al negatief was!

Is de beginsnelheid v zo groot dat E tot > 0, dan volgt: E k − G ⋅ m ⋅ M aarde _ r > 0

Het voorwerp heeft dan altijd kinetische energie, en zal nooit stilstaan of

terugvallen. Het voorwerp overwint dan de aantrekkingskracht van de aarde. De minimale snelheid die nodig is om aan de aantrekkingskracht van de aarde te ontsnappen, noem je de ontsnappingssnelheid. Deze leid je als volgt af:

Etot = 1 _ 2 m ⋅ v 2 − G ⋅ m ⋅ M aarde _________ r = 0

1 _ 2 v 2 = G ⋅ M aarde _________ r

v = √ _____________ 2G ⋅ M aarde _________ r

Voor de ontsnappingssnelheid van een voorwerp op een hemellichaam geldt dus:

v = √ _ 2G ⋅ M _ r

▪ ▪ ▪ ▪ v is de ontsnappingssnelheid in m s −1 . G is de gravitatieconstante in N m 2 kg −2 . M is de massa van het hemellichaam in kg.

r is de straal van het hemellichaam in m.

Om te ontsnappen moet de snelheid van een voorwerp groter zijn dan de ontsnappingssnelheid. Die snelheid hangt dus af van de verhouding tussen de massa en de straal van het hemellichaam. Dat zie je ook in BINAS tabel 31.

Opgaven

30 Aan een statief op een tafel hangt een veer. De veer heeft een veerconstante van 40 N m −1 . Je haakt een blokje in het uiteinde van de veer. Zie fi guur 8.43. De zwaartekracht op dit blokje bedraagt 4,0 N. Door het plaatsen van het blokje rekt de veer

uit. Als het blokje stil hangt, bevindt het zwaartepunt zich op 25 cm van het tafelblad. a Toon aan dat in fi guur 8.43a het zwaartepunt van het blokje zich op 35 cm van het tafelblad bevindt.

Z

a Z

Figuur 8.43 a b

50 h o ofdstuk 8 b

Meet je de zwaarteenergie ten opzichte van de tafel, dan geldt voor de potentiële energie van het blokje en de veer samen: E pot, tafel = 1,4 − 4,0 ⋅ u + 20 ⋅ u 2 ▪ E pot,tafel is de potentiële energie in J. ▪ u is de uitrekking in m b Leid deze formule af. Je kunt de formule voor de potentiële energie herschrijven tot: E pot,tafel = 20 ⋅ ( u − 0,10 ) 2 + E pot,tafel,0 Hierin is E pot,tafel,0 de kleinste hoeveelheid potentiële energie van blokje en de veer ten opzichte van de tafel. c Bereken de waarde van E pot,tafel,0 . E pot,tafel,0 is de nulpuntsenergie van blokje en veer ten opzichte van de tafel. Je kunt de zwaarteenergie ten opzichte van een ander punt meten, zodat de nulpuntsenergie gelijk is aan 0.

d Leg uit ten opzichte van welk punt je de zwaarteenergie dan meet.

31 Het ruimtestation ISS beweegt in een cirkelvormige baan op 342 km boven het aardoppervlak. De massa van het ISS is 2,46·10 5 kg. a Bereken de gravitatieenergie van het ISS ten opzichte van de aarde.

Op het ISS werkt de luchtweerstandskracht. Wordt er niet gecorrigeerd, dan zou de

baanstraal van het ISS elke dag tientallen meters kleiner worden. Daarbij neemt de gravitatieenergie af.

b Leg dit uit met behulp van de formule voor gravitatieenergie.

c Leg dit uit met behulp van de arbeid die door de gravitatiekracht verricht wordt.

Het ISS draait in 92 minuten rondom de aarde. Er worden regelmatig ruimtecapsules met astronauten en voorraden richting het ISS gelanceerd.

d Toon aan dat de snelheid van een capsule minstens 2,3 kms −1 moet zijn om vanaf

het aardoppervlak tot 342 km hoogte te kunnen komen. Het is echter niet genoeg om even hoog te komen als het ISS. Om het ISS te naderen moet een ruimtecapsule met het ISS meevliegen. Daardoor wordt de benodigde bewegingsenergie ongeveer 10 keer zo groot. e Toon dit aan met een berekening.

32 Voor het lanceren van een ruimtevaartuig is veel energie nodig. Maar ook een zachte landing op de aarde of de maan is niet eenvoudig. Als een ruimtevaartuig vanaf grote afstand een vrije val op een hemellichaam zou uitvoeren slaat het te pletter met een snelheid die gelijk is aan de ontsnappingssnelheid. a Leg dit uit. De aarde heeft een atmosfeer, die je kunt gebruiken om af te remmen. Er wordt dan wel veel warmte ontwikkeld. Daarom is een ruimtevaartuig bedekt met keramische tegels. Een ruimtevaartuig van staal zou al smelten als het minder dan 2% van de ontwikkelde warmte opneemt. b Toon dit aan. Neem aan dat 480 J nodig is om 1,0 kg staal 1,0 °C in temperatuur te laten stijgen.

Heeft een hemellichaam geen atmosfeer, dan moet je remraketten gebruiken waarvoor brandstof nodig is. De Apollomaanlanders wogen ongeveer 15 ton. Raketbrandstof heeft een vergelijkbare stookwaarde per kilogram als benzine. c Bereken hoeveel kilogram brandstof nodig is voor een zachte landing op de maan.

33 Voor de ontsnappingsnelheid op aarde geldt: v = √ ___________ 2 ⋅ G ⋅ M aarde _ R aarde a Bereken de ontsnappingssnelheid op aarde. Deze formule mag je ook gebruiken als je met v de lichtsnelheid bedoelt. Als licht

niet meer kan ontsnappen, gedraagt het hemellichaam zich als een zwart gat. Volgens de theorie stort een uitgebrande ster onder zijn eigen gravitatiekracht ineen tot een zwart gat als de massa minstens drie keer de massa van de zon is. b Bereken de straal van de ster is als deze zich als een zwart gat gaat gedragen.

▶ hulpblad

34 Een communicatiesatelliet wordt met behulp van een raket in een geostationaire baan rond de aarde gebracht. De satelliet bevindt zich dan op 35,8·10 3 km boven het aardoppervlak. De massa van de satelliet is 3,90·10 3 kg. Tijdens het vervoer van de

satelliet naar de geostationaire baan verricht de gravitatiekracht arbeid.

a Toon aan dat die arbeid gelijk is aan −2,07·10 11 J. Om satellieten in de ruimte te brengen, maak je gebruik van de draaiing van de aarde. Ten opzichte van de ruimte heeft een satelliet dan al een bepaalde snelheid.

De European Space Agency (ESA) lanceert raketten om satellieten naar een geostationaire baan te brengen. Dat doet zij vlak bij de evenaar in Frans‑Guyana. b Toon aan dat de kinetische energie van de satelliet in de geostationaire baan met

1,79·10 10 J is toegenomen als de lancering in Frans‑Guyana heeft plaatsgevonden.

c Bereken de arbeid die de motorkracht van de raket minstens heeft verricht als de satelliet in zijn geostationaire baan is gebracht. De NASA lanceert haar raketten vanaf Cape Canaveral in Florida. Deze lanceerbasis ligt verder van de evenaar af. d Leg uit of de motorkracht dan meer, minder of evenveel arbeid verricht om de satelliet in de geostationaire baan te brengen.

▶ hulpblad

35 Een satelliet met massa m draait met constante snelheid in een cirkelbaan om de

aarde, op hoogte h boven het aardoppervlak. De energie van de satelliet kun je dan schrijven als: E tot = −G ⋅ m ⋅ M aarde ___________ 2(R aarde + h) a Toon dit aan.

De energie van de satelliet is negatief. b Leg uit waarom de energie van een satelliet niet positief kan zijn. De baansnelheid van de satelliet is kleiner dan de ontsnappingssnelheid, de snelheid die nodig is om vanaf deze hoogte de ruimte in te vliegen. c Bereken de verhouding van baansnelheid en ontsnappingssnelheid.

Oefenen B Oefen met hoofdstuk 8