Issuu

Newt n Natuurkunde voor de bovenbouw

vwo BASISBOEK HOOFDSTUK 13

14 14.1

Introductie

14.2

Golfkarakter van licht

Deeltjeskarakter van licht

14.3

14.4 Golfkarakter van

14.5

materiedeeltjes

De golf-deeltjedualiteit en onbepaaldheid

14.6 Opgesloten deeltjes

14.7

Tunneling

14.8 Afsluiting

Quantumwereld 1 W

Quantum in het nieuws

Deeltjes en quantumverschijnselen

Quantumwereld

14 .1 Introductie Als je de intensiteit van de straling uit een lichtbron zwakker maakt door er een donker filter voor te zetten, zoals een zonnebril, komt er minder licht doorheen. Tot 1900 dacht iedereen dat het uitzenden van elektromagnetische straling een continu proces is, dat wil zeggen dat er voortdurend licht door bijvoorbeeld een stapel zonnebrillen blijft komen, hoeveel je er ook voor elkaar houdt en hoe zwak het licht ook wordt. Max Planck liet in 1900 zien dat je de vorm van de planckkrommen (zie hoofdstuk 13) kunt verklaren als je aanneemt dat er bij heel erg lage intensiteit maar af en toe een heel klein beetje lichtenergie, een foton, uitgezonden wordt. Het uitzenden van elektromagnetische energie blijkt op atomair niveau geen continu proces te zijn, zoals tot dan toe gedacht werd. Het is een gequantiseerd proces: elektromagnetische stralingsenergie wordt in afgemeten hoeveelheden uitgezonden. Dat was revolutionair in het denken over de natuur en wordt daarom aangeduid met de quantumrevolutie. Einstein betoogde in 1905 dat ook de absorptie van elektromagnetische straling een discontinu proces is. Hij verklaarde het fotoelektrisch effect (zie paragraaf 14.2) door aan te nemen dat vrije elektronen in een metaal de stralingsenergie opnemen in afgepaste hoeveelheden, lichtquanta of fotonen. En voor de grootte van de energie van die ‘lichtdeeltjes’ vond hij precies dezelfde formule als Planck: E = h · f. Het begrip foton stamt dan ook uit 1905. Het lijkt er dus op dat elektromagnetische straling bestaat uit een soort massaloze energiedeeltjes. Tussen uitzenden en absorberen is het echter een golfverschijnsel: stralingsenergie die zich met de lichtsnelheid voortplant en gekarakteriseerd wordt door de golflengte. Elektromagnetische golven hebben soortgelijke eigenschappen als watergolven of geluidsgolven, bijvoorbeeld buiging en interferentie (zie paragraaf 14.3). Volgens de quantumtheorie heeft elektromagnetische straling dus twee gezichten: tijdens de emissie en absorptie heeft deze straling een ‘deeltjeskarakter’ en tussen emissie en absorptie een golfkarakter. Welke zijn de quantumverschijnselen die horen bij het deeltjeskarakter en welke bij het golfkarakter? Een atoom is veel te klein om te kunnen zien. Dat lukt zelfs niet met de beste lichtmicroscoop. Met speciale elektrische aftasters kan wel een computerbeeld gemaakt worden van atomen. Zie figuur 1. En met alfastraling kan ook nog de afmeting van een atoomkern bepaald worden. Maar hoe groot, of beter gezegd hoe klein, is een elektron eigenlijk?

Figuur 1 Opname van atomen aan het oppervlak van silicium.

Volgens de quantumtheorie, die bijna 100 jaar geleden ontstond, is de grootte van een elektron op geen enkele manier te zien, te meten of te bepalen. Een elektron is volgens de quantummechanica te klein om zijn grootte en zijn positie te kunnen meten. Je zou kunnen zeggen dat in het model van de quantummechanica een elektron geen afmeting en geen positie ‘heeft’. Maar hoe worden elektronen dan beschreven en hoe kun je er dan aan rekenen? In het atoommodel van de hoofdstukken 3, 5 en 13 fungeert de elektrische aantrekking tussen de kern en een elektron als middelpuntzoekende kracht voor de baan van het elektron om de kern, zoals de zwaartekracht van de aarde de satellieten in hun banen om de aarde houdt. Maar de positie van een elektron in een atoom is op geen enkele manier te bepalen en dus ook niet de beweging. Bovendien zou een elektron, om de kern bewegend als een satelliet om de aarde, een trillende elektrische lading zijn die elektromagnetische straling uitzendtnet zoals in een antenne. Binnen de kortste keren zou een elektron in een atoom al zijn energie hebben uitgestraald en door de kern zijn opgeslokt. Het satellietmodel voldoet dus niet op atomaire schaal.

- -

Figuur 2 Satellietmodel van een atoom: een positief geladen kern waar negatief geladen elektronen omheen cirkelen.

14 .1 Introductie Quantumwereld

Voor zulke kleine deeltjes als elektronen is de klassieke natuurkunde, volgens de wetten van Newton, niet geldig. Beter gezegd: berekeningen met een model van de materie bestaande uit deeltjes, zoals knikkertjes of kogeltjes, waarbij elk deeltje op elk moment een positie en een snelheid heeft, geeft uitkomsten die niet kloppen met waarnemingen en metingen. Hoe kan het dan dat de technologie van de laatste eeuw computers en smartphones heeft voortgebracht waarin elektronen de hoofdrol spelen? Hoe zijn de beeldchip van een digitale camera, lasers, ledlampen en neonlampen ontworpen? Hoe werkt een elektronenmicroscoop en in de toekomst misschien een quantumcomputer? Hoe je kunt rekenen aan elektronen en andere deeltjes op atomair niveau vertelt je de quantummechanica, het model dat geldt voor de ‘quantumwereld’, de natuur op de schaal van atomen, elektronen en fotonen. Maar bedenk dat bij elektronen en andere subatomaire deeltjes letterlijk onbegrijpelijke verschijnselen waar te nemen zijn, die we quantumverschijnselen noemen. Welke verschijnselen zijn dat?

H O O F D S T U K V R A AG Wat zijn quantumverschijnselen en hoe zijn die te verklaren?

Quantumwereld In dit hoofdstuk kijken we naar de quantumverschijnselen bij heel kleine deeltjes. Daarbij gaat het niet alleen om materiedeeltjes zoals protonen, elektronen, atomen en moleculen. Het gaat ook om fotonen, ‘lichtdeeltjes’ met een afgepaste hoeveelheid stralingsenergie. Voor alle voorwerpen en ‘normale’ deeltjes met massa en afmetingen zijn de wetten en regels van de quantummechanica hetzelfde als die van de klassieke mechanica. Alleen op atomair niveau en kleiner gaan de wetten van de klassieke mechanica niet meer op. Massadeeltjes blijken dan tevens een golfkarakter te hebben. En elektromagnetische straling blijkt ook een deeltjeskarakter te hebben, terwijl fotonen geen massa hebben en de stralingsenergie zich altijd met de lichtsnelheid voortplant.

W Quantum in het nieuws

De natuurwetenschap heeft sinds de 16de eeuw zo’n enorme ontwikkeling doorgemaakt, onder andere doordat sindsdien gebruikgemaakt wordt van oorzaak-gevolgredeneringen en berekeningen. Als je bijvoorbeeld van een voetbal de precieze positie op een bepaald moment weet en je geeft hem een trap, waarvan de kracht en richting nauwkeurig bepaald is, kun je precies uitrekenen waar de bal op elk volgend tijdstip is. Hoe nauwkeuriger je gegevens zijn, des te preciezer is je uitkomst. Sinds een eeuw weten we dat dit met deeltjes in de quantumwereld niet lukt. Niet doordat de metingen te moeilijk zijn of doordat de apparatuur (nog) niet geschikt is, maar het kan principieel niet. Je kunt met de regels en wetten van de quantummechanica alleen statistisch gemiddelden uitrekenen. We zeggen: de natuur is op atomair niveau niet deterministisch. Maar doordat je meestal te maken hebt met verzamelingen van ongelooflijk veel identieke deeltjes (bijvoorbeeld elektronen in een metaaldraadje), zijn die uitkomsten toch heel nauwkeurig.

Quantumwereld 14 .1 Introductie

In dit hoofdstuk onderzoek je wat het deeltjeskarakter en wat het golfkarakter is van elektromagnetische straling en materiedeeltjes en wat de betekenis is van een waarschijnlijkheidsverdeling. Je zoekt naar antwoorden op de volgende vragen: EE Wat is het golfkarakter van licht en hoe manifesteert zich dat? (paragraaf 14.2) EE Wat is het deeltjeskarakter van licht en hoe manifesteert zich dat? (paragraaf 14.3) EE Wat is het golfkarakter van materiedeeltjes en hoe manifesteert zich dat? (paragraaf 14.4) EE Wanneer zijn quantumverschijnselen zoals de golf-deeltjedualiteit en onbepaaldheid te verwachten? (paragraaf 14.5) EE Welke quantumverschijnselen vertonen deeltjes die zijn opgesloten in een kleine ruimte? (paragraaf 14.6) EE Wat is tunneling en wanneer speelt het een rol? (paragraaf 14.7)

Behoudswetten van bijvoorbeeld lading en impuls Heel handig om mee te werken zijn in de natuurwetenschap de behoudswetten. Zo kan bijvoorbeeld lading niet verdwijnen, wel kunnen positieve en negatieve lading elkaar opheffen. De totale lading blijft altijd behouden, wat er ook gebeurt. Ook kan de totale hoeveelheid energie in een systeem niet veranderen. Bij veranderingen vinden altijd alleen omzettingen plaats van de ene energiesoort in de andere, of van het ene voorwerp of deeltje naar het andere. In de quantumwereld zijn de energieën per deeltje zo klein dat je daarvoor meestal de eenheid elektronvolt (eV) gebruikt: 1 eV = 1,602 176 53 · 10−19 J Bij botsingen geldt behoud van impuls, de grootheid die de hoeveelheid beweging van de deeltjes aangeeft (zie paragraaf 14.3). Impuls is een belangrijk begrip in de natuurkunde omdat bij alle interacties, dus ook bij botsingen van auto’s, biljartballen en dergelijke, de totale impuls behouden blijft. Deze behoudswetten gelden altijd en overal, ook op atomair niveau. Behalve bovenstaande grootheden die in de quantummechanica hetzelfde zijn als in de klassieke natuurkunde, bestaan er ook specifieke quantummechanische grootheden die echter in dit hoofdstuk niet aan bod komen. Bijvoorbeeld de spin van deeltjes, die in MRI-apparatuur de hoofdrol speelt. Zie hoofdstuk 5.

Figuur 3 Van boven naar onder: ledlampjes, beeldchip en een beeld van een elektronen microscoop.

VOORKENNIS Staande golven door interferentie van lopende golven Een lopende golf is het verschijnsel dat trillingen worden doorgegeven, bijvoorbeeld transversale trillingen in een gespannen koord of longitudinale trillingen in de lucht. Elk volgend trillend punt in het koord of de lucht ‘loopt dan iets achter’ of beter gezegd: de fase is iets kleiner. Bij een lopende golf is de amplitude overal gelijk maar niet de fase. Als in een koord van beide kanten lopende golven komen, met dezelfde constante golflengte, kunnen er staande golven met knopen en buiken ontstaan. Tussen twee naastliggende knopen is de fase gelijk maar niet de amplitude (zie hoofdstuk 7). De samenwerking van verschillende lopende golven heet interferentie en het patroon van de amplitudes van de resulterende staande golf is een interferentie patroon. Bij identieke bronnen is in een koord het interferentiepatroon eendimensionaal, bij watergolven tweedimensionaal en bij geluidsgolven driedimensionaal.

400

500

600

500

600

golflengte λ (nm) 700

H Hg Ne

400

700 golflengte λ (nm)

Figuur 4 Emissiespectra van de gassen H, Hg en Ne (boven) en absorptielijnen in het spectrum van een ster (onder).

14 .1 Introductie Quantumwereld

Elektromagnetische straling en fotonen Als een elektron in een atoom een foton uitzendt (emissie) raakt het atoom een beetje energie kwijt en bij absorptie van een foton krijgt het atoom er een beetje energie bij. Losse atomen zoals in een gas zenden alleen fotonen uit met bepaalde golflengtes en de daarbij horende fotonenergie. In het spectrum worden die golflengtes zichtbaar als spectraallijnen (zie figuur 4). Voor de fotonenergie Ef van de uitgezonden straling geldt: Ef = h · f.

Atomen, moleculen, elektronen, protonen en neutronen

Figuur 5 Model voor atomen in een rooster.

Alle stoffen zijn opgebouwd uit atomen of moleculen. Modellen van moleculen worden vaak gemaakt met kleine balletjes, waardoor het lijkt alsof atomen een soort knikkers zijn (zie figuur 5). Maar atomen zijn te klein om met licht te kunnen zien. Uit proeven van Rutherford bleek dat het in elk geval geen massieve knikkers zijn. Het beste ‘beeld’ dat we van atomen hebben, is gemaakt met behulp van een Atomic Force Microscope (AFM) (zie figuur 1). De AFM voelt met een heel scherpe punt de elektrische aantrekkingskracht van atomen op een geleidend oppervlak. Vervolgens maakt de computer daarvan een plaatje, waarin je bobbeltjes ziet op plaatsen waar de aantrekkingskracht iets groter is.

Atoommodel van Rutherford Alle atomen zijn opgebouwd uit slechts drie materiedeeltjes: protonen, neutronen en elektronen. Het traditionele plaatje van een atoom bestaat uit een stilstaande kern van protonen en neutronen (getekend als knikkers) waaromheen de elektronen, ook getekend als knikkertjes, bewegen in een soort planeetbanen (zie figuur 6).

Atoommodel van Bohr

Figuur 6 Elektronen, protonen en neutronen worden

energie E (eV)

vaak getekend als kleine knikkers.

De fotonenergie Ef van eventueel uitgezonden straling wordt bepaald door het energieverschil tussen de twee energieniveaus Em en En van het atoom vóór en ná de ‘sprong omlaag’:

ionisatie

Ef = h · f = |Em – En|

ionisatiegrens 2e aangeslagen toestand 1e aangeslagen toestand energie-absorptie

grondtoestand

Figuur 7 Energieniveauschema

In het atoommodel van Bohr (zie hoofdstuk 13) kan een elektron slechts in een beperkt aantal ‘toegestane’ banen rond de atoomkern bewegen. Bij elk van die banen hoort een bepaald energieniveau: hoe groter de baanstraal, des te hoger is het energieniveau.

fotonemissie

De discrete energieniveaus van atomen en de vaste hoeveelheden fotonenergie die horen bij de overgangen tussen die energieniveaus zijn quantumverschijnselen. Bij vaste stoffen zoals metalen hebben de vrije elektronen, die niet gebonden zijn aan één atoom, geen discrete energieniveaus. Er ontstaat dan bij emissie en absorptie geen lijnenspectrum maar een continu spectrum.

Quantumwereld 14 .1 Introductie

3 Waar of niet waar? Verbeter de onjuiste uitspraken. a b c d e

2 W Voorkennistest

De energie van fotonen is evenredig met de golflengte. Elektronen zijn goed vergelijkbaar met heel kleine knikkers, maar dat geldt niet voor atomen. Met licht kun je geen afbeelding maken van een atoom. Met de sterkste microscopen lukt het om te laten zien hoe een atoom van binnen is opgebouwd. Het lijnenspectrum van atomen van een gas is een quantumverschijnsel.

Een rode laserpen straalt licht uit met een golflengte van 700 nm en een vermogen van 0,28 mW. Je schijnt met deze laserpen door een zonnebril die 10% van het licht doorlaat. a Bereken hoeveel fotonen er per seconde door de bril heen komen. b Laat zien dat je een stapel van 14 van deze zonnebrillen nodig hebt om per seconde gemiddeld 10 fotonen van deze laserpen te detecteren aan de andere kant van de stapel.

Figuur 8 Een continu spectrum van de zon en van een gloeilamp en een lijnenspectrum van een spaarlamp.

5 Om een idee te krijgen van ‘atomaire schaal’ bekijk je een kubusvormige korrel keukenzout (natriumchloride). Elke ribbe van zo’n kubusje is 0,4 mm lang. a Bereken hoeveel (ongeveer) van deze zoutkorrels in een literpak zout zitten. b Bereken hoe lang de rij is als je alle korrels uit een literpak zout achter en tegen elkaar aan zou leggen. De tekening van figuur 9 stelt een laag natriumionen (1) en chloorionen (2) voor. De schaal van de tekening is 108 : 1. c Bereken (ongeveer) hoeveel natriumatomen en chlooratomen er in een literpak zout zitten. d Bereken hoe lang de rij zou zijn als alle natrium- en chlooratomen in een literpak zout niet in een driedimensionaal kristalrooster zouden zitten maar in een eendimensionaal rooster, met dezelfde onderlinge afstand als in het driedimensionale geval.

6 Een atoom in een gas absorbeert een foton en komt in de eerste aangeslagen toestand. a Is dat een toestand met hogere of met lagere energie? b Leg uit dat een gas van een bepaalde atoomsoort alleen fotonen met bepaalde golflengtes kan absorberen. Het aangeslagen atoom vervalt spontaan en zendt daarbij straling uit. c Leg uit dat het uitgezonden foton identiek is aan het geabsorbeerde foton. d Kun je voorspellen hoe lang het duurt voordat het atoom vervalt?

Figuur 9 Natrium- en chloorionen in een zoutkristal.

Quantumwereld

14.2 Golfkarakter van licht 7

Experiment: Interferentie in een magnetron

Experiment: Buiging en interferentie bij watergolven

Experiment: Buiging en Interferentie bij geluid

10 Experiment: Buiging en interferentie bij licht

Figuur 10 Golven op zee

ONTDEKKEN

Licht is een heel gewoon verschijnsel, maar wel ongrijpbaar. Licht kun je niet vastpakken, stilzetten of wegen. Het heeft geen massa en geen lading, het is energie die zich als een golfverschijnsel met de lichtsnelheid verplaatst. Licht wordt door atomen uitgezonden als fotonen, lichtdeeltjes of golfpakketjes, die een bepaalde hoeveelheid elektromagnetische stralingsenergie hebben. Bij absorptie van een foton, bijvoorbeeld in ons netvlies, wordt de totale stralingsenergie van dat golfpakketje ineens afgegeven en omgezet in een andere energiesoort. Het uitzenden en ook het absorberen van elektromagnetische stralingsenergie, zoals licht, is gequantiseerd. Dat wil zeggen dat het gebeurt in afzonderlijke hoeveelheden en niet als een continu proces. Een afbeelding door licht, bijvoorbeeld via de lens van ons oog op ons netvlies, komt echter tot stand door interferentie van de lichtgolven. Sommige verschijnselen van licht kun je goed verklaren met het deeltjeskarakter, andere verschijnselen met het golfkarakter. Dat wordt de golf-deeltje-dualiteit genoemd. Waar kom je die golfverschijnselen tegen en hoe verklaar je die dan? Daar gaat deze paragraaf over. In paragraaf 14.3 wordt het deeltjeskarakter van licht besproken.

PA R AG R A A F V R A AG Wat is het golfkarakter van licht en hoe manifesteert zich dat?

BEGRIJPEN Golven en interferentie

Figuur 11 In een antenne ontstaan staande elektromagnetische golven.

Sommige golfverschijnselen kun je zien bij bekende golven zoals golven in een snaar, geluidsgolven in de lucht of zeegolven op het water. Deze golven bestaan uit trillingen die zich voortplanten met een bepaalde golfsnelheid. De trillingen hebben een v frequentie en de golven een golflengte waarvoor geldt: . 位 = f Als golven heen en weer blijven kaatsen, kunnen staande golven ontstaan met knopen en buiken, bijvoorbeeld in een gitaarsnaar of in een blaasinstrument. Zie ook hoofdstuk 7. Knopen en buiken worden veroorzaakt doordat op sommige plaatsen de door elkaar lopende golven elkaar verzwakken of zelfs uitdoven (knopen) en op andere plaatsen elkaar versterken (buiken). Dit verschijnsel van interferentie (letterlijk: samenwerking) is een typisch golfverschijnsel. Als in een bepaald punt van twee kanten golven met voortdurend gelijke fase aankomen, versterken ze elkaar en is er sprake van constructieve interferentie. Golven die in een bepaald punt voortdurend met tegengestelde fase aankomen, verzwakken elkaar of doven elkaar uit als hun amplitudes even groot zijn. Dat heet destructieve interferentie.

Quantumwereld 14.2 Golfkarakter van licht B egrijpen

Elektromagnetische golven zoals licht en radiogolven vertonen ook interferentie. Als elektromagnetische golven heen en weer kaatsen, kunnen staande golven met knopen en buiken ontstaan als de golflengte past in de afstand waarin de golven weerkaatsen. Er treedt dan resonantie op. Zo is bijvoorbeeld de lengte van de antenne van een mobiele telefoon afgestemd op de golflengte van de radiogolven. Bij een 1 lengte van ongeveer 4 λ ontstaan er staande golven in de antenne (zie hoofdstuk 7). Ook de elektromagnetische golven die in een magnetron het eten verwarmen, kunnen staande golven opwekken, door in de oven heen en weer te kaatsen. Dit is vergelijkbaar met staande golven in een koord en met geluid in een buis. In figuur 12 zie je een opstelling met een zender die microgolfstraling, ofwel magnetronstraling, uitzendt (zie ‘Dopplerradar’ in hoofdstuk 7). De golven weerkaatsen tegen een metalen plaat, waardoor de heen- en teruggaande golven interfereren. Met een verplaatsbare ontvanger tussen de zender en de plaat kun je buiken en knopen detecte1 ren. Doordat de afstand tussen de knopen gelijk is aan 2 λ, kun je de golflengte van de microgolven met een liniaal opmeten. Theoretisch zou je een soortgelijk experiment als in figuur 12 eveneens uit kunnen uitvoeren met licht, mits je een laser gebruikt. Een laser is een lichtbron die licht met slechts één golflengte uitzendt en waarbij de fase in de lichtbundel gelijk is voor alle punten in een vlak loodrecht op de bundel. In feite wordt de laserstraal in het binnenste van de laser, bijvoorbeeld het kristal in het diodelasertje van een laserpointer, opgewekt als een staande golf met knopen bij de voor- en de achterkant. De voorkant van het kristal weerkaatst 99% van de straling intern terug en laat 1% door, de uitgaande bundel. De golflengte van licht is echter zo klein (ongeveer 0,5 µm) waardoor de buiken en knopen zo dicht bij elkaar liggen dat er geen ‘ontvangers’ bestaan om die knopen en buiken te kunnen onderscheiden.

Interferentie bij twee bronnen De hiervoor besproken interferentie vindt plaats bij golven die van twee kanten langs een rechte lijn bewegen. Interferentie van golven die zich in de ruimte uitbreiden kun je waarnemen als twee verschillende bronnen die dicht bij elkaar staan en continu trillen met eenzelfde vaste frequentie. (Dicht bij elkaar wil in dit geval zeggen: met een onderlinge afstand tussen ongeveer 1 en 100 × de golflengte.)

ontvanger

zender

X metalen plaat

½λ

zender K

metalen plaat

Figuur 12 Staande golven bij magnetronstraling

Figuur 13 Interferentiepatroon bij watergolven van twee identiek trillende dobbers.

In figuur 13 zie je een foto van een waterbak met twee dobbers die met dezelfde frequentie op en neer bewogen worden. In het gebied waar de golven door elkaar heen lopen ontstaat een interferentiepatroon van knooplijnen en buiklijnen. Ruimtelijke interferentie van twee identieke bronnen treedt ook op bij geluid: In figuur 14 zie je een beeld (uit een simulatie) met twee luidsprekers. Op de knooplijnen is het geluid zwak. Tussen de knooplijnen bevinden zich buiklijnen waar het geluid maximaal klinkt. Kennelijk kunnen de geluidstrillingen elkaar versterken in bepaalde punten (de golven zijn daar dan voortdurend in fase) of verzwakken (als de aankomende trillingen in tegenfase zijn). Dit is een typisch golfverschijnsel: ook op plaatsen waar je vrijwel niets hoort komt ‘geluid’ uit beide luidsprekers. Wanneer je dan één van de luidsprekers uitschakelt, neemt de geluidssterkte op die plaatsen toe. Destructieve interferentie is niet te verklaren met een deeltjesmodel. Geluid is uitsluitend een golfverschijnsel, net als bijvoorbeeld watergolven. Figuur 14 Interferentiepatroon bij geluidsgolven

B egrijpen 14.2 Golfkarakter van licht Quantumwereld

dubbele spleet

laser

Figuur 15 Een laser en een dubbelspleet (niet op schaal getekend).

Elektromagnetische golven uit twee identieke bronnen vlak bij elkaar kunnen ook interfereren met als gevolg knooplijnen en buiklijnen. Maar dat lukt niet met twee verschillende bronnen, zoals twee (led)lampjes. Verschillende lichtbronnen zijn nooit identiek. Elektromagnetische straling wordt immers uitgezonden als aparte fotonen en niet als een continue reeks golven, zoals geluidsgolven en watergolven. Doordat fotonen op willekeurige momenten worden uitgezonden, is er tussen verschillende lampjes geen vast faseverschil, zoals dat wel het geval is bij twee luidsprekers die op dezelfde bron zijn aangesloten en bij watergolven die gemaakt worden door twee dobbers die aan elkaar vastzitten. Licht is niet uitsluitend een golfverschijnsel, zoals geluid en watergolven dat wel zijn. Bij het uitzenden en het absorberen is licht een deeltjesverschijnsel. Interferentie van twee lichtbronnen kun je wel zichtbaar maken als je het licht van één bron eerst splitst en daarna weer bij elkaar laat komen. Dat kan bijvoorbeeld als je een laserbundel laat vallen op een dubbelspleet, twee smalle openingen in een verder dicht scherm. Voorwaarde is wel dat de afstand tussen de twee spleten heel klein is, minder dan 1 mm, omdat de golflengte van het licht zo klein is. Er ontstaan dan op een scherm een eind verderop lichte en donkere stippen of strepen, de snijpunten van de buiklijnen en knooplijnen met het scherm. Zie figuur 16. En als je één van de twee openingen afdekt, neemt de lichtsterkte op de donkere plaatsen toe en op de lichte plaatsen af. Dat het licht na de openingen niet meer als bundel rechtdoor gaat door elke spleet, maar ook een beetje ‘uitwaaiert’ en dan interfereert met het licht uit de andere opening, wordt veroorzaakt door een ander golfverschijnsel, dat buiging heet.

Figuur 16 Interferentiepatroon van laserlicht door een dubbelspleet.

Buiging van golven Als vlakke golven bij een kleine opening in een hindernis aankomen, breiden de golven zich vanuit die opening niet alleen rechtdoor uit, maar ook gedeeltelijk opzij. Zie figuur 17. Dit verschijnsel wordt buiging genoemd en treedt op als de breedte van de opening in dezelfde orde van grootte ligt als de golflengte (een breedte tussen ongeveer 10 × zo klein en 10 × zo groot als de golflengte). In de 17de eeuw heeft Christiaan Huygens het verschijnsel van buiging van golven verklaard met een model waarin elk punt van die opening opnieuw als trillingsbron gaat fungeren en cirkelvormige golven uitzendt. Hoe kleiner de opening is ten opzichte van de golflengte, des te meer wordt de straling(senergie) verspreid na de opening. Zie figuur 18.

Figuur 17 Buiging van watergolven na een smalle opening. Figuur 18 Golfuitbreiding van vlakke golven na smalle opening (links) en brede opening (rechts).

Quantumwereld 14.2 Golfkarakter van licht B egrijpen

Geluid met een lage toon en dus een grote golflengte buigt gemakkelijk door openingen en om voorwerpen heen. Een basspeaker is door de buiging van de geluidsgolven overal in de ruimte goed hoorbaar. Hoge tonen buigen veel minder en speakers voor hoge tonen moeten daardoor goed gericht staan om optimaal van de muziek te kunnen genieten.

Buiging en interferentie bij licht De golflengte van een rode laser is ongeveer 0,6 µm. Buiging na een spleet is daarbij pas goed te zien als de breedte van de spleet minder is dan 0,01 mm. Bij grotere openingen overheerst het rechtdoor gaande licht. Een laserbundel die op een smalle spleet valt, vertoont buiging (zie figuur 19). De bundel waaiert na de spleet een beetje uit en geeft geen stip maar een brede vlek op een scherm. De vlek wordt breder (en veel minder helder) naarmate de spleet smaller is. De vlek is ook breder als de golflengte groter is.

Medium, golflengte en frequentie Bij een golfbeweging in een koord worden transversale trillingen van de verschillende stukjes van het koord doorgegeven door de (veranderende) spankracht in het koord. Bij geluid worden longitudinale trillingen van de luchtmoleculen doorgegeven en bij watergolven de verticale trillingen van elk stukje wateroppervlak. In al deze gevallen is er sprake van trillingen van materie(deeltjes) die de trilling doorgeven met de voortplantingssnelheid. Deze golven hebben een materieel medium nodig om zich te kunnen voortplanten. Geluid gaat bijvoorbeeld niet door een luchtledige ruimte. De voortplantingssnelheid van geluid en van watergolven worden bepaald door de eigenschappen van het medium . Bij licht en alle andere vormen van elektromagnetische straling is geen materieel medium nodig om de stralingsenergie door te geven. Bovendien plant licht zich altijd voort met de lichtsnelheid. Er is niet ‘iets’ waarin elektromagnetische trillingen voor komen. De wiskundige beschrijving van bijvoorbeeld buiging en interferentie bij licht is echter exact hetzelfde als voor golven die wel een medium nodig hebben en waarin wel echte trillingen optreden. Daarom spreken we bij elektromagnetische straling toch over golven, frequentie en fase, waarbij we wel in ons achterhoofd houden dat dit eigenlijk alleen maar een wiskundig model is. Dat model voldoet prima voor alle verklaringen en berekeningen die te maken hebben met het verschijnsel licht, als dat is uitgezonden en nog niet is geabsorbeerd! De frequentie van licht kun je niet meten, er trilt niets in een laserbundel. Wel kun je de lichtsnelheid meten en ook de golflengte bepalen uit een interferentiepatroon. Daarmee kun je dan de frequentie berekenen. EE Buiging

en interferentie zijn golfverschijnselen die waarneembaar zijn als de opening en de afstand tussen de identieke bronnen van dezelfde orde van grootte zijn als de golflengte. EE Het buigingseffect, de spreiding van de straling(senergie), neemt toe naarmate de opening kleiner is ten opzichte van de golflengte. EE Bij interferentie lopen de knooplijnen en buiklijnen wijder uiteen naarmate de afstand tussen de identieke bronnen kleiner is ten opzichte van de golflengte.

Figuur 19 Buigingspatroon na een smalle verticale spleet.

B egrijpen 14.2 Golfkarakter van licht Quantumwereld

11 Waar of niet waar? Verbeter de onjuiste uitspraken. a b c d e

Buiging en interferentie zijn typische golfverschijnselen. Buiging treedt alleen op bij licht en watergolven. Bij destructieve interferentie zijn de golven in tegenfase. Buiging is niet zichtbaar als de opening kleiner is dan de golflengte. Interferentie bij een dubbelspleet is zichtbaar als de afstand tussen de spleten dezelfde orde van grootte heeft als de golflengte.

12 Als je een plak kaas verwarmt in een magnetron zonder draaischijf, zie je dat de kaas op sommige plaatsen smelt, maar op andere plaatsen niet. a Leg uit dat dit effect wordt veroorzaakt door interferentie. b Komen de plekken waar de kaas smelt overeen met de buiken of de knopen in het interferentiepatroon? c Is de afstand tussen de plekken waar de kaas smelt gelijk aan de golflengte van de magnetronstraling? Zo nee, hoe is dit verband dan wel?

13 T In figuur 20 zie je een interferentiepatroon van watergolven die afkomstig zijn van twee puntbronnen. De figuur staat ook op het tekenblad. Geef in die figuur de knooplijnen aan. b Leg uit waardoor de middelloodlijn een buiklijn is. c Bepaal uit de figuur de golflengte en leg uit hoe je dat doet. d Zullen er meer of minder knooplijnen zichtbaar zijn als de afstand tussen de bronnen groter wordt gemaakt? e Zullen er meer of minder knooplijnen zichtbaar zijn als de frequentie van de trillingsbronnen groter wordt gemaakt? a

14 De lengte van de antenne van een mobiele telefoon is ongeveer gelijk aan een Figuur 20 Interferentiepatroon bij watergolven van twee identiek trillende dobbers.

kwart van de golflengte van de gebruikte straling. a Ontstaan er aan de uiteinden van de antenne dan twee buiken, twee knopen of een buik en een knoop? b Bij het 4G-netwerk is de gebruikte frequentie hoger dan bij het 3G-netwerk. Is de ideale antenne voor het 4G-netwerk korter of langer dan voor het 3G-netwerk? Leg uit.

15 In figuur 14 zie je een tekening van het interferentiepatroon van geluidsgolven. De twee luidsprekers zijn aangesloten op dezelfde bron. a Hoe kun je aan het trillingspatroon zien dat de bron trillingen produceert met een vaste frequentie? b Wat neem je waar als je op een knooplijn staat en ĂŠĂŠn van de luidsprekers wordt losgekoppeld? c Neemt het aantal knooplijnen toe of af als de frequentie van de trillingsbron groter wordt gemaakt?

Quantumwereld 14.2 Golfkarakter van licht B eheersen

BEHEERSEN

16 W Computersimulatie: Interferentie bij dubbelbron en dubbelspleet

Interferentiepatroon van dubbelbron en dubbelspleet Een dobber die op een wateroppervlak met constante frequentie op en neer gaat, maakt golven die zich cirkelvormig uitbreiden. In figuur 22 zijn de toppen en dalen van die golven als cirkels getekend. Figuur 23 toont de knooplijnen en buiklijnen in het interferentiepatroon van twee identieke dobbers. Figuur 21 Interferentiepatroon van licht bij een

Voor interferentie bij twee trillende luidsprekers geldt precies dezelfde redenering en hetzelfde patroon. En ook interferentie van elektromagnetische golven uit twee openingen, zoals een dubbelspleet in een laserbundel, is op deze manier te verklaren en te berekenen.

dubbelspleet.

1 4 3 45 47 4 9 4 11 4 1e min bron

1e max 2e

1e min 0e max 1e max 2e min

min

2e max

identieke bronnen

Figuur 22 Golftoppen en tussenliggende

Figuur 23 Op de knooplijnen (geel) is de amplitude van de golven constant minimaal (of zelfs 0)

dalen van een bron die drie keer op en neer

en op de buiklijnen (groen) maximaal. In alle punten van het nulde maximum is het faseverschil

gegaan is. In de animatie van werkblad 16 zie

tussen de twee aankomende golven altijd 0, in alle punten van het eerste maximum is dat 1,

je de golven naar buiten bewegen.

enzovoort.

REDENEREN 17 De paragraafvraag was: Wat is het golfkarakter van licht en hoe manifesteert zich dat? Wat is het antwoord op deze vraag?

18 Het dubbelspleetexperiment is uitgevoerd met watergolven, geluid en licht. a

Leg uit in welke opzichten deze drie golfverschijnselen overeenkomen. Leg uit in welke opzichten deze drie golfverschijnselen onderling verschillen. Het dubbelspleetexperiment met licht is voor het eerst gedaan door Thomas Young. Veel wetenschappers beschouwen zijn experiment als ĂŠĂŠn van de belangrijkste natuurwetenschappelijke experimenten ooit. c Wat wordt met het dubbelspleetexperiment eigenlijk aangetoond? Licht je antwoord toe. b

verdiepen 14.2 Golfkarakter van licht Quantumwereld

19 In figuur 24 zie je een beeld van buiging van licht aan een ronde opening. a

Hoe verandert de grootte en de lichtsterkte van het beeld als de opening kleiner wordt gemaakt? Het beeld is vastgelegd als zwart-witfoto. In werkelijkheid is het beeld rood, want er is een rode laser gebruikt. b Leg uit welk verschil je op een zwart-witfoto ziet als er een blauwe laser in plaats van een rode laser gebruikt wordt in dezelfde opstelling.

20 Een magnetron heeft een metalen scherm met kleine openingen. a

Figuur 24 Buiging bij een ronde opening.

b c x

min

ontvanger

max

min max

zender

min

max

min ma

Leg uit waardoor er bij zichtbaar licht geen buigingsverschijnselen te zien zijn bij deze openingen. Magnetronstraling heeft een frequentie van 2,45 GHz. Is de golflengte van de magnetronstraling groter of kleiner dan de openingen in het scherm? Leg uit waarom het belangrijk is dat het scherm wel de magnetronstraling tegenhoudt maar niet al het licht.

BEREKENEN 21 In figuur 25 zie je een schematische tekening van het interferentiepatroon van maxima en minima bij microgolven door een dubbelspleet. a Leg uit waardoor er op de middelloodlijn sprake is van een maximum. De afstand tussen de twee spleten is gelijk aan 4 golflengtes. Dat betekent dat de ontvanger zowel aan de ene als aan de andere kant naast het middelste maximum hoogstens 3 maxima waarneemt. b Leg uit waardoor de ontvanger niet meer dan 7 maxima waarneemt. c Leg uit dat er minder maxima zijn als de golflengte groter wordt gemaakt. d Hoe verandert het aantal maxima als de afstand tussen de spleten groter wordt gemaakt?

Figuur 25 Een ontvanger neemt maxima en minima waar na een dubbelspleet. De grijze gestippelde cirkels zijn de denkbeeldige golftoppen.

22 W Experiment: Interferentiepatroon met tralie 23 W Experiment: Kleuren op een cd of dvd 24 W Tralieformule en interferentiepatroon

Figuur 26 Verticale laserbundel door een tralie.

VERDIEPEN Interferentiepatroon van een tralie Een tralie bestaat uit heel veel identieke golfbronnetjes naast elkaar op een vaste onderlinge afstand. De tralie van figuur 26 bijvoorbeeld heeft 600 lichtdoorlatende strepen per mm. Een laserbundel van 2 mm breed zorgt voor meer dan 1000 lichtbronnetjes. Alle lichtgolven uit die openingen samen zorgen voor een paar bundels licht. De middelste bundel rechtdoor is niet afhankelijk van de golflengte of het aantal lijnen per mm van de tralie. Recht achter de tralie op het scherm geeft dit een lichte stip, het zogenaamde 0de orde maximum. Ook in een schuine richting is er een vlak golffront van punten die dezelfde gereduceerde fase hebben, maar met een faseverschil 1. Dit levert op een scherm de 1ste orde maxima op links en rechts van het 0de orde maximum. De 1ste orde maxima bevinden zich op het scherm op die plaatsen waar de afstanden tot twee naastgelegen openingen in het tralie precies 位 verschillen (zie figuur 27). De richting van de bundels naar de 1ste orde maxima zijn dus afhankelijk van de verhouding van de golflengte van het licht en de onderlinge afstand tussen de openingen in het tralie. In figuur 26 zie je ook

Quantumwereld 14.2 Golfkarakter van licht verdiepen

nog 2de orde maxima, waarvan de afstanden tot twee naastgelegen openingen in het tralie precies 2λ verschillen. λ

Golflengtebepaling met een tralie Een tralie is niet meer dan een stukje glas of plastic met heel veel spleten naast elkaar, met steeds dezelfde onderlinge afstand. Het kan ook een reflecterend oppervlak zijn met lijnen die het licht reflecteren (een cd of dvd), een reflectietralie. Bij een tralie ontstaat een interferentiepatroon van smalle maxima en brede minima. Een verklaring hiervan vind je in werkblad 23. In figuur 29 zijn de middelste 5 buiklijnen getekend naar de 5 naastgelegen maxima op een scherm. De hoek tussen de richting naar het 0de en het nde maximum is aangegeven met αn. Er geldt (zie werkblad 23 voor de afleiding): n⋅λ

sin(α n)= d

Hierin is n een geheel getal (het nde orde maximum), λ de golflengte (in m) en d de tralieconstante, de afstand tussen de middens van de spleten (in m).

Figuur 27 Bundelrichting van het eerste-orde -maximum.

25 Een tralie met 600 lijnen per mm is 3,0 cm breed. Loodrecht op het tralie valt natriumlicht met een golflengte van 589,0 nm. a Bereken het aantal lijnen op het tralie. b Bereken de tralieconstante. c Bereken de hoek waaronder het 2de orde maximum wordt waargenomen.

26 Een pauw dankt zijn kleurenpracht aan interferentie die wordt veroorzaakt doordat in de oppervlaktelaag van de veren kristalstaafjes zitten. Die staafjes zorgen ervoor dat het oppervlak als een reflectietralie werkt. Als je in wit licht naar zo’n tralie kijkt, zie je afhankelijk van de hoek een bepaalde kleur die versterkt wordt. De staafjes liggen ook nog eens dwars op elkaar en bovendien in lagen boven elkaar. Daardoor zie je onder verschillende hoeken in verschillende richtingen telkens andere kleuren. a Welke eigenschap van een tralie bepaalt welke kleur je onder een bepaalde hoek ziet? De afstand tussen de sporen op een cd is 1,6 μm. Bij een cd zijn alleen het 1ste orde maximum en het 2de orde maximum compleet te zien. De afstand tussen de staafjes van een pauwenveer bedraagt 20 tot 30 μm. Daardoor krijg je juist wel veel hogere orde maxima te zien. Die overlappen elkaar, waardoor je kleurcombinaties ziet: het iriserend effect. b Laat zien dat je bij een cd geen compleet 3de orde maximum krijgt. c Laat zien dat het 3de orde maximum en het 4de orde maximum elkaar bij de pauw overlappen als de staafjes 25 μm uit elkaar liggen. Vergelijk daarvoor de maxima van rood en violet licht.

Figuur 28 Autolampje, lens, tralie en scherm.

scherm maxima tralie

1e orde

α1

0e orde

α2

1e orde 2e orde

l Figuur 29 Maxima bij een tralie

x1 x2

Quantumwereld

14.3 Deeltjeskarakter van licht 27 W Computersimulatie: Foto-elektrisch effect 28 W Draaiend lichtmolentje

ONTDEKKEN Uit het optreden van buiging en interferentie blijkt dat licht een golfkarakter heeft. Maar bij het uitzenden en absorberen van fotonen heeft licht een deeltjeskarakter. Bij de emissie van een foton door een aangeslagen atoom wordt een bepaalde hoeveelheid energie uitgezonden. Ook bij de absorptie van licht door materie is de energieoverdracht gequantiseerd. Hoe kun je de energie van een geabsorbeerd foton eigenlijk meten of bepalen? Behalve stralingsenergie overbrengen kan een bundel licht ook een heel kleine kracht uitoefenen op materie. Het is net alsof absorptie of reflectie van licht vergelijkbaar is met de botsing van bijvoorbeeld water of zand tegen iets of iemand. Hoe kun je merken of aantonen dat licht kracht kan uitoefenen door te ‘botsen’ alsof er een stroom materiedeeltjes botst? Deze paragraaf gaat over het deeltjeskarakter van licht en andere soorten elektromagnetische straling.

PA R AG R A A F V R A AG Wat is het deeltjeskarakter van licht en hoe manifesteert zich dat?

BEGRIJPEN

Figuur 30 Hoewel Albert Einstein vooral be kend is geworden door zijn algemene relativi teitstheorie (over gravitatie), kreeg hij in 1921 de Nobelprijs voor zijn eerdere werk in 1905 aan het foto-elektrisch effect. Zijn relativiteitstheo rie was in 1921 nog niet algemeen geaccepteerd, net zo min als ‘zijn’ fotonen dat waren in de eer ste jaren na 1905.

u.v.-lamp zink

Figuur 31 Een negatief geladen elektroscoop wordt ontladen door licht van voldoend korte golflengte.

Foto-elektrisch effect In 1905 heeft Einstein ‘aangetoond’ dat ook de absorptie van licht door materie plaatsvindt in energiequanta, die hij fotonen noemde. De relatie tussen de energie van zijn fotonen en de golflengte bleek precies dezelfde als die Plank gevonden had voor de emissie van elektromagnetische straling. Einstein baseerde zijn theorie van de fotonen op metingen aan het foto-elektrisch effect, dat is het verschijnsel dat een metalen voorwerp negatieve lading kan verliezen door er met licht op te schijnen van voldoend korte golflengte, afhankelijk van het metaal. Je kunt het verschijnsel zien met behulp van een elektroscoop, een toestelletje dat laat zien of de elektroscoop elektrische lading bevat. Zolang de elektroscoop elektrisch geladen is, stoten de blaadjes elkaar af en staan een beetje uiteen. Als de elektroscoop ontladen wordt, vallen de blaadjes terug. Door een uv-lamp boven een negatief geladen elektroscoop aan te doen, kan de elektroscoop ontladen worden. Dat is het foto-elektrisch effect: licht kan elektronen losmaken uit een metaal. De hoeveelheid energie die een vrij elektron nodig heeft om uit het metaal los te komen heet de uittree-energie en is afhankelijk van het soort metaal. Zie figuur 32. Dat een negatief geladen plaatje zink alleen ontladen kan worden door uv-licht en niet door zichtbaar licht, komt doordat de energie van fotonen van zichtbaar licht kleiner is dan de uittree-energie van zink. Wordt zink met nog kortere golflengtes beschenen, dan kunnen er elektronen uit het metaal schieten met een hoeveelheid kinetische energie die het verschil is tussen de fotonenergie en de uittree-energie. Via metingen van de golflengte van het opvallende licht en de maximale snelheid van de losgekomen elektronen is de constante van Planck te bepalen uit het foto-elektrisch effect.

Quantumwereld 14.3 Deeltjeskarakter van licht B egrijpen

Meestal wordt gezegd dat de fotonenergie evenredig is met de frequentie van het licht, hoewel je die frequentie niet rechtstreeks kunt meten. Je berekent de frequentie uit de lichtsnelheid en de golflengte die je beide wel kunt meten. De fotonenergie is omgekeerd evenredig met de golflengte van de straling en neemt dus toe naar de kortgolvige kant van het elektromagnetische spectrum. Zie ook hoofdstuk 7. In figuur 33 is weergegeven dat rood licht, met een golflengte van 700 nm, niet in staat is om elektronen los te maken uit een bepaald metaal. Bij groen of blauw licht komen er wel elektronen vrij. Kennelijk ligt de uittree-energie van dit metaal tussen 1,77 en 2,25 eV. Uit de gegevens in de tabel van figuur 32 (zie ook Binas tabel 24) blijkt dat het cesium zou kunnen zijn. Met alleen rood licht is het bij dit metaal onmogelijk elektronen los te maken, hoe fel de lamp ook schijnt. Bij een fellere lamp valt er per tijdseenheid een groter aantal fotonen op het metaaloppervlak, maar geen enkel foton heeft voldoende energie om een elektron los te maken. Met blauw licht krijgt een elektron dat uit het metaal losgemaakt wordt, een grotere snelheid dan bij groen licht, doordat de fotonenergie van blauw licht groter is dan van groen licht. Het overschot aan energie wordt omgezet in kinetische energie van het vrijgekomen elektron. Die kinetische energie van de weggeschoten elektronen is te bepalen, door te meten welke minimale tegenspanning nodig is om ze af te remmen tot stilstand. Uit de maximale kinetische energie van de losgekomen elektronen en de bekende uittree-energie van het metaal, kan de fotonenergie bepaald worden (en dus ook de golflengte).

Botsingen van fotonen Elektromagnetische straling, zoals licht, oefent een kleine kracht uit als het door een voorwerp wordt geabsorbeerd of er tegen weerkaatst. Dat lijkt op de kracht die een waterstraal kan uitoefenen op een voorwerp (of een mens). Bij het water wordt er kracht uitgeoefend, doordat massa plotseling afgeremd wordt. Licht heeft geen massa en kan niet afgeremd worden, het ‘beweegt’ altijd met de lichtsnelheid. Toch kan licht een heel erg kleine kracht uitoefenen. We zeggen wel: fotonen kunnen ook ‘botsen’ met materie.

Figuur 34 Zonnezeil

Bij een botsing van fotonen met een spiegel is sprake van een kracht op de spiegel, enigszins te vergelijken met de botsing van een pingpongbal tegen een muur. De kracht die botsende fotonen uitoefenen op een spiegelend oppervlak is echter zo klein dat je er alleen bij een zeer groot oppervlak of heel intens licht gedurende lange tijd iets van merkt. Dat gebeurt bijvoorbeeld bij een zonnezeil, een groot spiegelend oppervlak bij een ruimtesonde. Het zeil weerkaatst de fotonen van het licht van de zon. Ondanks de grote oppervlakte is de stuwkracht van een zonnezeil zeer klein, maar het laat wel zien dat licht ook een deeltjeskarakter heeft.

Materiaal

Uittree-energie (eV)

Cesium

1,94

Kalium

2,25

Natrium

2,28

Lithium

2,46

Magnesium

3,7

Aluminium

4,20

Zink

4,27

Koper

4,5

IJzer

4,63

Zilver

4,7

Goud

4,71

Nikkel

4,91

Figuur 32 Uittree-energie van metalen 700 nm 1,7 eV

550 nm 2,25 eV

400 nm 3,1eV

Figuur 33 Foto-elektrisch effect

B egrijpen 14.3 Deeltjeskarakter van licht Quantumwereld

Impuls Kracht uitoefenen bij een botsing tussen twee voorwerpen kun je ook beschrijven door te zeggen dat het ene voorwerp impuls overdraagt op het andere voorwerp. Impuls is de natuurkundige grootheid die volgens Newton altijd behouden blijft bij onderlinge interacties van verschillende voorwerpen, zoals botsingen. Hij noemde het ‘de hoeveelheid beweging’ van een voorwerp of deeltje. Bij elke botsing is de totale impuls van de voorwerpen of deeltjes vóór en ná de botsing gelijk. Deze wet van behoud van impuls, binnen een ‘systeem’ van voorwerpen of deeltjes die alleen onderling wisselwerken, is een universeel geldende wet gebleken, ook op (sub) atomaire schaal. Figuur 35 Botsende fotonen oefenen kracht uit op het reflecterende oppervlak.

Botsingen van fotonen met elektronen Fotonen kunnen ook ‘botsen’ met materiedeeltjes zoals elektronen, waarbij niet alle fotonenergie wordt geabsorbeerd en niet de hele impuls wordt overgedragen. Wel verandert dan de snelheid van het elektron en ook de golflengte van het foton. Met zichtbaar licht kun je elektronen geen waarneembare ‘klappen’ geven en het licht van kleur laten verschieten. Daarvoor is de impuls van de fotonen van zichtbaar licht veel te klein ten opzichte van die van elektronen, zelfs als die maar een heel kleine snelheid hebben. Met röntgenstraling is de beweging van elektronen wel te beïnvloeden en kan de straling ook langere golflengtes krijgen. Dit verschijnsel heet het comptoneffect naar Arthur Holly Compton, die het in 1923 ontdekte.

Over wat licht ‘is’ Figuur 36 Botsing van een röntgenfoton tegen een los elektron.

laser

Waar licht nu eigenlijk uit ‘bestaat’ kun je niet nagaan, want als je licht waarneemt wordt de stralingsenergie als foton geabsorbeerd en gaat niet verder. Watergolven kun je zien voortbewegen, doordat het wateroppervlak licht weerkaatst en er zelf niet door beïnvloed wordt. Elektromagnetische straling met veel kortere golflengtes, zoals röntgenstraling, kan door middel van het comptoneffect wel onderweg waargenomen worden, maar dan verandert de golflengte door die detectie. Elektromagnetische straling waarnemen zonder dat er daardoor iets aan die straling verandert, blijkt niet mogelijk te zijn.

Buiging en interferentiepatroon is kansverdeling voor fotonen

Figuur 37 Laserbundel door smalle spleet

Het verband tussen het golfkarakter van licht (ruimtelijke spreiding door buiging) en het deeltjeskarakter (gelokaliseerde absorptie van fotonen) kun je onderzoeken met een monochromatische laserbundel door een heel smalle spleet. Bij normale lichtsterkte zie je een breed buigingspatroon, maar als je de intensiteit van het laserlicht extreem klein maakt, neem je op het scherm telkens slechts één individuele absorptie van een foton waar. Zo’n absorptie kan geregistreerd worden met het soort detector dat ook in de camera van je smartphone zit. Elk individueel treffen op het scherm blijkt op een schijnbaar willekeurige plek plaats te vinden. Maar wel op één moment op één plek en binnen een bepaald gebied. Het buigingspatroon van de foto van figuur 38 met de intensiteitsverdeling volgens de grafiek ontstaat pas na verloop van tijd, als er heel veel fotonen zijn gedetecteerd. Zie de bovenste drie tekeningen in figuur 38. Hetzelfde geldt voor interferentie van licht bij een dubbelspleet. Als je de intensiteit van het laserlicht extreem klein maakt, neem je op het scherm telkens slechts één individuele absorptie van een foton waar. Hoe meer fotonen je waargenomen hebt, des te duidelijker wordt het interferentiepatroon (zie achtereenvolgens de figuren 39a t/m f ).

EE EE

Quantumwereld 14.3 Deeltjeskarakter van licht B egrijpen

Elektromagnetische stralingsenergie wordt uitgezonden en geabsorbeerd als energiequanta, fotonen. Met het foto-elektrisch effect is aangetoond dat de energie van fotonen omgekeerd evenredig is met de golflengte en dus evenredig is met de frequentie. De uittree-energie van een metaal is de energie die nodig is om een elektron los te maken uit dat metaal. Fotonen kunnen kracht uitoefenen, impuls overdragen. De wet van behoud van energie en de wet van behoud van impuls gelden niet alleen bij alle wisselwerkingen van voorwerpen en deeltjes met massa, maar ook bij emissie en absorptie van elektromagnetische straling. Een buigingspatroon en ook een interferentiepatroon is een waarschijnlijkheidsverdeling voor de mogelijke waarnemingen van bijvoorbeeld fotonen.

29 Waar of niet waar? Verbeter de onjuiste uitspraken. a b c

d e

Uit het foto-elektrisch effect blijkt dat licht een golfverschijnsel is. Door het foto-elektrisch effect kan alleen een positief geladen metaal ontladen worden. Hoe groter de uittree-energie van een metaalsoort, des te kleiner is de golflengte van de fotonen waarmee nog net een elektron kan worden losgemaakt uit het metaal. Als een bundel elektronen een metaaloppervlak treft, geeft dat metaal licht. Een elektron kun je voorstellen als een brokje elektromagnetische straling.

30 Op atomair niveau wordt stralingsenergie geabsorbeerd als fotonen. a b

Leg uit waardoor je wel lekker warm wordt maar niet mooi bruin, als je in je blootje onder een felle bouwlamp gaat liggen. Leg uit dat je wel bruin kunt worden, als er een uv-lamp boven je hangt met veel minder vermogen dan een bouwlamp.

31 Leg uit waardoor een negatief geladen plaatje zink wel ontladen wordt door zwak uv-licht maar niet door het felle licht van bijvoorbeeld een bouwlamp.

32 Bij een experiment met het foto-elektrisch effect komen elektronen los uit een metaal en vliegen daarna weg met grote snelheid. a Is de kinetische energie van elk elektron groter dan, kleiner dan of even groot als de foton-energie? Leg uit. b Hoe verandert de kinetische energie van de losgekomen elektronen als licht gebruikt wordt met een grotere golflengte? c Wat verandert er als de golflengte van het licht steeds groter wordt gemaakt?

33 Bij het foto-elektrisch effect wordt een deel van de fotonenergie gebruikt om een elektron los te maken uit het metaal. a Zoek in tabel 24 van Binas op hoe groot de fotonenergie ten minste moet zijn om een elektron los te maken uit barium (Ba). b Zoek in tabel 19A van Binas op welke kleur bij deze fotonenergie hoort.

Figuur 38 Buiging door smalle spleet

Figuur 39 a t/m d

B egrijpen 14.3 Deeltjeskarakter van licht Quantumwereld

34 De fotonenergie hangt af van de golflengte van de straling. a

Is de fotonenergie evenredig of omgekeerd evenredig met de golflengte? Gebruik de formule voor de fotonenergie (zie hoofdstuk 13) om een formule af te leiden die het verband tussen de fotonenergie en de golflengte weergeeft. De impuls van een elektron is evenredig met de massa én evenredig met de snelheid van het elektron. c Met welke formule wordt volgens jou het verband tussen impuls, massa en snelheid van een elektron weergegeven? b

35 Een zonnezeil weerkaatst licht van de zon. a b

Welk effect heeft dat op het zonnezeil? Blijkt uit dit effect het golfkarakter of het deeltjeskarakter van licht?

36 Buiging treedt op als een laserbundel door een smalle spleet gaat. Als de intensiteit van de laser extreem klein gemaakt wordt, zijn met een camera als scherm de afzonderlijke absorpties van fotonen waar te nemen. a Leg uit hoe zich bij dit experiment het deeltjeskarakter van licht manifesteert. b Leg uit hoe zich bij dit experiment het golfkarakter van licht manifesteert.

37 Een halfdoorlatende spiegel bestaat uit een glasplaatje met een heel dun laagje

Figuur 40 Laserbundel tegen halfdoorlatende spiegel

metaal erop gedampt. Als je met een laserbundel op deze spiegel schijnt, ontstaan er twee bundels (zie figuur 40). Een lichtmeter geeft in beide bundels dezelfde uitslag. a Halveert de halfdoorlatende spiegel elk foton of het aantal fotonen? Leg uit. In elke bundel plaats je nu een fotodetector en je verlaagt de intensiteit van de laser dusdanig dat er gemiddeld per s één foton gedetecteerd wordt bij elke detector. b Leg uit waarom hier het woord gemiddeld gebruikt is. c Reageren de fotodetectoren telkens tegelijk, om beurten of onregelmatig? Leg uit. d Als je de volgorde van aankomst van 100 opeenvolgende fotonen vastlegt (rechtdoor, links, links, … enzovoort) en je vergelijkt dat patroon met het patroon van de volgende 100, welke overeenkomst zal er dan zijn? Leg uit. e Wat betekent dan de uitspraak dat de twee lichtmeters in de onverzwakte halve bundels hetzelfde aangeven?

Quantumwereld 14.3 Deeltjeskarakter van licht B eheersen

BEHEERSEN Fotonenergie, golflengte en de constante van Planck Voor de fotonenergie en de frequentie van fotonen geldt:

Ef = h · f c f=λ In deze formules is Ef de fotonenergie (in J), h de constante van Planck (6,626 · 10−34 J · s), f de frequentie van de elektromagnetische straling (in Hz), c de lichtsnelheid (in vacuüm 2,998 · 108 m · s−1) en λ de golflengte (in m). De constante van Planck is te bepalen met behulp van het foto-elektrisch effect als verEf houding tussen de fotonenergie en de frequentie ( h = f ). Daarbij wordt de kinetische energie van de vrijgekomen elektronen bepaald door de tegenspanning te meten die nodig is om die elektronen af te remmen tot er net geen enkel elektron meer de negatieve elektrode bereikt. Zie figuur 42. De frequentie van de fotonen wordt berekend uit de golflengte, die met een tralie bepaald kan worden. Een meetreeks met verschillende golflengtes van het licht levert dan een diagram op zoals in figuur 43 is weergegeven. Hierin is Ek de kinetische energie in eV en Ustop de minimale spanning in V. In de grafiek is te zien hoe de kinetische energie van de elektronen lineair toeneemt met de frequentie f van de opvallende fotonen. De lijn gaat niet door de oorsprong, doordat een deel van de fotonenergie ‘gebruikt’ is voor het losmaken van het elektron uit het metaal (de uittreeenergie). Het snijpunt van deze lijn met de verticale as geeft de grootte van de uittreeenergie weer.

Nobelprijs.

metaaloppervlak

Ubron

Ustop wordt gemeten als geen elektronen meer de

De constante van Plank is gelijk aan de helling van de lijn in figuur 43 (in J · s). Een toename van de frequentie van de fotonen met 1,5 · 1014 Hz zorgt voor een toename van 0,62 eV van de kinetische energie van de vrijgekomen elektronen. Doordat 1 eV overeen komt met 1,6 · 10−19 J kan daarmee de constante van Planck worden berekend:

kathode bereiken, wat te zien is aan de stroommeter. De kinetische energie van de elektronen is dan helemaal omgezet in de elektrische energie e. Ustop

= 6,6 ⋅10-34 J ⋅ s

Impuls van voorwerpen of deeltjes met massa Voor de impuls van voorwerpen of deeltjes met massa geldt:

p = m · v Hierin is p de impuls (in kg · m · s ), m de massa (in kg) en v de snelheid (in m · s ) van het voorwerp. Bij een botsing tussen twee voorwerpen of deeltjes veranderen meestal de (vectoriële) snelheden en dus ook de impulsen van de betrokken voorwerpen of deeltjes. Maar als er alleen onderlinge wisselwerking is, blijft de totale vectoriële som van de impulsen altijd gelijk. Het ene voorwerp geeft dan (een deel van) zijn impuls door aan het andere voorwerp. Als de massa’s niet veranderen geldt er dus: −1

m1 · Δv1 = –m2 · Δv2 Dat is de wet van behoud van impuls.

−1

kinetische energie Ek (eV)

0,62 × 1,6 ⋅ 10-34 J ⋅ s 1,5 ⋅ 1014 Hz

de qantummechanica. Planck kreeg in 1918 de

Figuur 42 De benodigde minimale tegenspanning

VO O R B E E L D

Figuur 41 De constante van Planck is een natuur constante die voorkomt in alle vergelijkingen van

3 2 1 0 -1 -2

4 5 6 7 8 frequentie f (× 1014 Hz)

Figuur 43 Foto-elektrisch effect

B eheersen 14.3 Deeltjeskarakter van licht Quantumwereld

I M P U L S B E H O U D E N N E W TO N S W E T T E N Impulsbehoud kun je direct afleiden uit de tweede en derde wet van Newton. Bij een botsing tussen twee voorwerpen of deeltjes zijn de twee krachten die ze op elkaar uitoefenen op elk moment precies even groot en tegengesteld gericht (derde wet van Newton). Voor de versnelling a in de tweede wet van Newton (F = m · a), geldt: a = ΔΔvt zodat je die wet ook kunt schrijven als:

F · Δt = m · Δv

Figuur 44 De totale impuls verandert niet.

Doordat tijdens een botsing zowel F als Δt voortdurend even groot zijn voor de twee botsende voorwerpen, is ook het product ervan even groot. Dus is m · Δv even groot voor beide botsende deeltjes, alleen met een tegengesteld teken. Dat de toename van de impuls van het ene deeltje gelijk is aan de afname van de impuls van het andere, betekent dat de totale impuls van beide gelijk blijft.

Impuls van fotonen Fotonen hebben geen massa en dus ook geen impuls volgens de definitie van Newton. Maar omdat fotonen bij absorptie een heel kleine kracht kunnen uitoefenen die omgekeerd evenredig blijkt te zijn met de golflengte van het licht, wordt aan een foton toch een impuls toegekend. Voor de impuls van een foton blijkt te gelden: h

p= λ

Hierin is p de impuls (in kg · m · s−1), h de constante van Planck (in kg · m2 · s−1 = J · s) en λ de golflengte (in m). De kg in de eenheid van impuls van een foton lijkt vreemd, omdat een foton geen massa heeft, maar dat komt voort uit de constante van Planck. Voordat uit experimenten was gebleken dat fotonen impuls kunnen hebben, had Einstein, op basis van zijn relativiteitstheorie, al voorspeld dat bij wisselwerking van licht met materie voor de impuls van een foton zou moeten gelden: E

p = cf Hierin is p de impuls van het foton (in kg · m · s−1), Ef de fotonenergie (in J) en c de lichtsnelheid (in m · s−1).

REDENEREN 38 De paragraafvraag was: Wat is het deeltjeskarakter van licht en hoe manifesteert zich dat? Wat is het antwoord op deze vraag?

39 Het foto-elektrisch effect was belangrijk voor de quantumtheorie. a b c

Leg (kort) uit wat het belang was van het foto-elektrisch effect voor de ontwikkeling van de quantumtheorie. Planten groeien goed bij zichtbaar licht maar niet bij infrarode straling, ook al maak je de intensiteit van het infrarode licht heel groot. Leg uit hoe dat kan. Het materiaal aan de binnenkant van een tl-buis converteert uv-straling naar zichtbaar licht. Bestaan er ook stoffen die het omgekeerde kunnen doen, dus zichtbaar licht converteren naar uv-straling? Leg uit.

Quantumwereld 14.3 Deeltjeskarakter van licht B eheersen

40 De eenheid van impuls is kg · m · s−1. Voor fotonen lijkt dit vreemd omdat die geen massa hebben. a Laat zien dat je ook de eenheid N · s kunt gebruiken als de eenheid van impuls. b Leg uit waardoor gammastraling een sterk deeltjeskarakter heeft en de radiostraling van je smartphone niet of nauwelijks.

41 W Computersimulatie: Constante van Planck

42 W Experiment: Led-lampjes en Planck

REKENEN 43 Fotonen worden gekarakteriseerd door energie, snelheid, impuls en frequentie of golflengte. a Geef bij elk van deze grootheden de bijbehorende standaardeenheden. b Bereken de impuls en de energie van een foton met λ = 450 nm. c Bereken de frequentie en de golflengte van een foton met Ef = 2,4 eV. d Bereken de impuls van een foton met een energie van 2,4 eV.

44 De uittree-energie van het metaal cesium (Cs) is 1,94 eV. a

Bereken de maximale golflengte van het licht dat elektronen vrij kan maken uit cesium. Het metaal wordt beschenen met groen licht met een golflengte van 530 nm. b Bereken de maximale kinetische energie van de vrijgemaakte elektronen.

700 nm 1,7 eV

45 In figuur 45 zie je een voorbeeld waarbij rood licht geen elektronen kan losmaken uit een metaal, maar groen en blauw licht wel. a Leg uit dat het metaal wel cesium zou kunnen zijn, maar niet aluminium. b Hoe groot is de (maximale) kinetische energie van de elektronen als fotonen met een golflengte van 400 nm gebruikt worden bij cesium? c Met welke kleuren licht is het mogelijk om elektronen los te maken uit natrium? Gebruik de tabellen 24 en 19A van Binas.

46 De zonneconstante is het vermogen van het zonlicht buiten de atmosfeer per vierkante meter loodrecht op de voortplantingsrichting. Bij de aarde is de zonneconstante 1,37·103 W/m2. De stralingskromme van de zon heeft een maximum bij ongeveer 500 nm. a Ga met een berekening na dat bij het maximum de fotonenergie 2,48 eV is. Neem aan dat de gemiddelde fotonenergie in het zonlicht 2,48 eV bedraagt. b Bereken hoeveel fotonen per seconde weerkaatsen op elke m2 van een spiegelend scherm buiten de atmosfeer, loodrecht op de zonnestraling. Loodrechte weerkaatsing betekent dat de impuls van het deeltje even groot blijft maar omkeert van richting. c Leg uit dat elk foton bij loodrechte weerkaatsing tegen het zonnezeil een hoeveelheid impuls overdraagt gelijk aan 2 × de impuls van dat foton. d Bereken de verandering per seconde van de impuls van 1 m2 van een zonnezeil loodrecht op de richting van de zonnestraling, in de buurt van de aarde. e Leid uit de tweede wet van Newton af dat de impulsverandering ∆p per s van 1 m2 van een zonnezeil hetzelfde is als de kracht F op dat stuk zonnezeil door de botsingen van de fotonen. f Bereken de kracht F die de zonnestraling uitoefent op 1 m2 van een zonnezeil loodrecht op de richting van de zonnestraling, in de buurt van de aarde.

Figuur 45

550 nm 2,25 eV

400 nm 3,1eV

kinetische energie Ek (eV)

verdiepen 14.3 Deeltjeskarakter van licht Quantumwereld

2 10,3

0 -1 -2 -3 -4 -5

-4,3 eV 0

47 In figuur 46 zie je een grafiek van het foto-elektrisch effect bij zink. In de grafiek

8 10 12 14 frequentie f (× 1014 Hz)

is de maximale kinetische energie van de elektronen (in eV) uitgezet tegen de frequentie van het invallende licht (in 1014 Hz). a Bepaal uit de grafiek de uittree-energie van zink. b Bepaal uit de grafiek de grensfrequentie, dat is de frequentie van het licht waar van de fotonenergie net groot genoeg is om een elektron los te maken uit zink. c Bereken met deze gegevens de constante van Planck. d Bereken de maximale energie van de vrijgekomen elektronen (in eV), als licht gebruikt wordt met een golflengte van 200 nm. e Controleer of de uitkomst van deze berekening een punt op de lijn in de grafiek oplevert.

48 De Sunjammer is het grootste zonnezeil tot nu toe met een oppervlakte van

Figuur 46

1 200 m2. Eenmaal in de ruimte moet het versnellen door de kracht die de fotonen van de zon op het zeil uitoefenen. De Sunjammer is gemaakt van Kapton, heeft een massa van 32 kg en is niet dikker dan 5 μm. a Bereken de (gemiddelde) dichtheid van het zonnezeil. De stuwkracht per m2 van de zonnestraling op een oppervlak loodrecht op de zonnestraling bedraagt in de buurt van de aarde 6,4 N·m−2. b Bereken de stuwkracht op het zonnezeil. Hoewel de zon de voorwaartse kracht levert, oefent de gravitatiekracht van de zon ook een aantrekkende kracht uit op het zeil. c Bereken de grootte van de gravitatiekracht op één astronomische afstand van de zon (1 AE = afstand zon-aarde). d Is de nettokracht op het zonnezeil groter of kleiner geworden of even groot gebleven als de afstand tot de zon 2 AE is geworden? Leg uit. Figuur 47 De Sunjammer

VERDIEPEN

49 W Compton-effect

Comptoneffect

Φ λi

h λf – λi = —–– (1 – cos θ) m 0c Figuur 48 Door het Compton-effect neemt de golflengte van de fotonen af.

λf

Onder het Compton-effect wordt verstaan de toename in golflengte van fotonen bij een botsing met elektronen in een materiaal (bijvoorbeeld elektronen in waterstofgas). Ná zo’n botsing heeft het foton een iets andere golflengte en beweegt het in een andere richting dan vóór de botsing (zie figuur 48). Het Compton-effect is alleen meetbaar bij röntgen- en gammastraling, doordat de impuls van deze fotonen in dezelfde orde van grootte ligt als de impuls van de elektronen. De impuls van de botsende deeltjes is een vectorgrootheid waarbij de impulsvector dezelfde richting heeft als de snelheidsvector. De som van de impulsen van twee deeltjes wordt dan bepaald door de impulsen als vectoren op te tellen. In werkblad 49 kun je dit uitwerken.

50 Bij een centrale botsing tussen bijvoorbeeld een bewegende loden kogel en een even grote stilliggende houten bal, gaat de loden kogel met kleinere snelheid door in de oorspronkelijke richting. De bal vliegt ook langs dezelfde lijn in deze richting weg. Leg uit dat een gammafoton nooit in dezelfde richting door kan gaan na een botsing met een elektron.

Quantumwereld

14.4 Golfkarakter van materiedeeltjes ONTDEKKEN

51 W Experiment: Golfkarakter van elektronen

Licht heeft een deeltjeskarakter (bij het uitzenden en het absorberen) en een golfkarakter (in de tijd tussen uitzenden en absorberen). Deze golf-deeltje-dualiteit is één van de kenmerken van de quantumwereld en blijkt niet alleen voor elektromagnetische straling te gelden, maar ook voor kleine materie-deeltjes. Dat betekent dat ook deeltjes met massa, zoals elektronen, in sommige situaties golfverschijnselen vertonen. Wat betekent het dat deeltjes een ‘golfkarakter’ kunnen hebben? Hebben deeltjes dan niet altijd een bepaalde positie en volgen ze niet altijd een bepaald traject als ze bewegen? Kunnen materiedeeltjes een buigingspatroon en een interferentiepatroon vormen? Wat kun je daarvan waarnemen en hoe? Deze paragraaf gaat over het golfkarakter van materiedeeltjes.

PA R AG R A A F V R A AG Wat is het golfkarakter van materiedeeltjes en hoe manifesteert zich dat? Figuur 49 In 1927 schoot George Thomson elek tronen door dunne metaalfilms en registreerde een

BEGRIJPEN

interferentiepatroon van concentrische donkere en lichtere ringen. Hiermee toonde hij het golfkarakter van elektronen aan. Voor dit werk kreeg hij in 1937 de

Buiging en interferentie van materiedeeltjes

Nobelprijs.

De bundel elektronen die uit een elektronenkanon komt, ziet er net zo uit als een laserstraal. In figuur 50 zie je echter geen elektronen maar het licht dat waterstofatomen uitzenden, na getroffen te zijn door elektronen. Met behulp van een magneet en een wollen lap kun je direct twee belangrijke verschillen zichtbaar maken: een laserstraal kun je niet elektrisch en niet magnetisch afbuigen, een bundel elektronen wel. Een laserstraal vervoert geen massa en geen lading, een bundel elektronen wel. Het licht van een laserstraal heeft altijd de lichtsnelheid, elektronen halen dat nooit. Er is ook een overeenkomst: een laserstraal vertoont buiging en interferentie na kleine, dichtbij elkaar staande openingen. Dat blijkt ook mogelijk met een bundel elektronen, mits de openingen en onderlinge afstanden van atomaire afmetingen zijn. Dan waaiert ook een bundel elektronen uiteen, vertoont buiging. En een bundel elektronen die in een vacuümbuis door een heel dun folie van grafiet gaat, kan een interferentiepatroon opleveren op een lichtgevend scherm daarachter. Zie figuur 51. Het lijkt alsof elektronen elkaar (of zichzelf?) kunnen verzwakken (en zelfs kunnen uitdoven) in punten van knooplijnen en versterken in punten van buiklijnen. Elektronen zijn kennelijk toch geen ultrakleine deeltjes zoals knikkers, die langs een bepaald traject bewegen. Elektronen (en alle atomaire en subatomaire materiedeeltjes) hebben blijkbaar ook een golfkarakter.

Figuur 50 Een elektronenkanon produceert een bundel snelle elektronen.

trefplaatje met venster van grafiet vacuümbuis

Golflengte van materiedeeltjes Buigingsverschijnselen zijn waar te nemen als de afmeting van de opening dezelfde orde van grootte heeft als de golflengte van de materiedeeltjes. Interferentie treedt op als de afstand tussen de identieke bronnen of openingen in dezelfde orde van grootte ligt als de golflengte. Hoe kleiner de opening des te sterker de buiging, en hoe kleiner de afstand tussen de openingen des te verder lopen de knooplijnen en buik lijnen uiteen.

fluorescerend scherm

elektronenkanon

Figuur 51 Bij een bundel elektronen door een dun folie van grafiet ontstaan op het scherm ringen.

B egrijpen 14.4 Golfkarakter van materiedeeltjes Quantumwereld

bron P K

D scherm

spleet met draad

Figuur 52 Dubbelspleetexperiment met elektronen

De golflengte van materiedeeltjes, die af te leiden valt uit het interferentiepatroon op een lichtgevend scherm zoals in figuur 51, hangt af van hun massa en snelheid. Hoe groter de massa en hoe groter de snelheid, des te kleiner is de golflengte. Zelfs het lichtste materiedeeltje, het elektron, heeft bij relatief lage snelheid een golflengte in de orde van grootte van 1 nm. Erg klein, want de diameter van een atoom is in de orde van grootte van 0,1 nm. Het golfkarakter van materiedeeltjes is daardoor alleen zichtbaar op de schaal van atomen en subatomaire deeltjes, de schaal van de quantumwereld.

Dubbelspleetexperiment met elektronen Het dubbelspleetexperiment met materiedeeltjes is het eerst gelukt met elektronen, later ook met neutronen. De dubbelspleet was in dit experiment niet meer dan een dunne draad in een spleet. Zie figuur 52. Tot verbazing van veel natuurkundigen werd bij dit experiment een interferentiepatroon zichtbaar op het scherm. Zie figuur 53. Er zijn plaatsen waar vrijwel geen elektronen gedetecteerd worden en plaatsen waar veel elektronen gedetecteerd worden. En als één van de spleten afgesloten wordt, verdwijnt het interferentiepatroon en is de verdeling van de elektronen op het scherm die van een buigingspatroon.

Figuur 53 Het ontstaan van een interferentiepatroon bij deeltjes.

Het dubbelspleetexperiment toont aan dat elektronen een golfkarakter kunnen hebben. Het is en blijft moeilijk voor te stellen hoe deeltjes met massa (zoals elektronen) een interferentiepatroon kunnen vertonen, zoals bij watergolven, geluidsgolven en licht. Het experiment geldt nog steeds als één van de meest aansprekende experimenten in de natuurkunde. Dat komt vooral doordat men vroeger de overtuiging had dat iets een golf moest zijn (zoals geluid of licht) óf een deeltje (zoals elektronen of atomen). Tegenwoordig weten we dat alle kleine deeltjes zowel een golfkarakter als een deeltjeskarakter kunnen vertonen. In theorie kunnen ook grotere brokken materie, en zelfs voorwerpen als knikkers, golfeigenschappen hebben, maar voor die voorwerpen is de golflengte te klein om meetbare golfverschijnselen te veroorzaken.

Atoommodel van Bohr en het golfkarakter van elektronen In het atoommodel van Niels Bohr (1913) kunnen elektronen in bijvoorbeeld een waterstofatoom alleen om de kern draaien in bepaalde banen met de bijbehorende energieniveaus. Hiermee kan het ontstaan van spectraallijnen verklaard worden. Zie paragraaf 13.4. Toen de Broglie in 1924 het idee opperde dat ook materiedeeltjes een golfkarakter kunnen vertonen, werd daarmee het Bohr-model iets minder onbegrijpelijk. Het elektron in het waterstofatoom kan alleen om de kern bewegen in een baan waarvan de omtrek gelijk is aan een geheel aantal malen de golflengte van het elektron, waardoor een soort staande golf in die baan ontstaat. De waarden van de energieniveaus uit Bohrs eerdere model bleken voor het waterstofatoom exact gelijk te zijn aan de waarden die je vindt met toepassing van deze golflengte van materiedeeltjes, die dan ook de debroglie-golflengte wordt genoemd. Figuur 54 De Franse natuurkundige De Broglie stelde dat als licht een dubbel karakter heeft, waarom dan niet ook materie? Hij bedacht dat ook bij materiedeel tjes golfverschijnselen waarneembaar zijn. In 1929 ontving hij hiervoor de Nobelprijs.

Bohrs atoommodel werkt echter alleen voor waterstof en voor het helium-ion, niet voor grotere atomen met meer elektronen. Het is een abstract model. Je kunt op geen enkele manier controleren of elektronen om de kern in een atoom bewegen, alsof het staande golven zijn. Heisenberg heeft zelfs ‘aangetoond’ dat het principieel onmogelijk is om de beweging van elektronen in een atoom op enigerlei manier waar te nemen.

Quantumwereld 14.4 Golfkarakter van materiedeeltjes B egrijpen

Quantummechanica In het atoommodel van Bohr bewegen elektronen nog om de kern met een bepaalde snelheid langs bepaalde banen, eerst in cirkels maar iets later ook in ellipsen. In de jaren twintig van de 20ste eeuw werd duidelijk dat in de quantumwereld alleen statistische wetmatigheden gelden en dat elektronenbanen niet als cirkels of ellipsen zijn voor te stellen, zoals wel kan bij planeten om de zon. De opvolger van het model van Bohr is ontwikkeld door onder andere Heisenberg, Schrödinger en Bohr zelf, in de vorm van een vergelijking met complexe functies, de schrödingervergelijking. Zie figuur 56. Sindsdien spreken we over de klassieke mecha nica met de wetten van Newton en de quantummechanica met de schrödingervergelijking. Natuurkundigen en chemici werken met deze vergelijking om de waarschijnlijkheidsverdelingen voor de elektronen in atomen en moleculen te berekenen. EE Materiedeeltjes

zoals elektronen kunnen zowel een deeltjeskarakter als een golfkarakter vertonen. EE Het deeltjeskarakter betekent dat de individuele deeltjes op elk moment een positie en snelheid hebben. EE Het golfkarakter van deeltjes betekent dat een grote verzameling identieke deeltjes interferentie kunnen vertonen, in de vorm van een waarschijnlijkheidsverdeling van bijvoorbeeld waarneembare posities. EE Het golfkarakter van elektronen is aangetoond met behulp van het dubbelspleetexperiment. EE De debrogliegolflengte van materiedeeltjes is groter naarmate de massa of de snelheid van de deeltjes kleiner is. EE Het Bohr-model van het waterstofatoom is te verklaren met het idee dat het elektron een soort staande golf, met debroglie-golflengte, is op de omtrek van de ‘bohrse baan’.

Figuur 55 Model waarbij het elektron een staande golf op een cirkelbaan is.

- ħ2 δ 2 —— —— + V(x) ψ (x) = E ψ (x) 2m δx2 Hamiltoniaanse operator

golﬀunctie

Figuur 56 De schrödingervergelijking is het gereedschap van de quantumfysica.

52 Waar of niet waar? Verbeter de onjuiste uitspraken a b c d e f

energie

Protonen en elektronen hebben bij gelijke snelheid dezelfde golflengte. Elektronen die versneld worden, krijgen een steeds grotere golflengte. De elektronen uit het elektronenkanon van figuur 50 krijgen een andere kleur als de versnelspanning wordt veranderd. Buiging en interferentie van elektronen worden veroorzaakt door het deeltjeskarakter van elektronen. Buiging kan optreden bij licht, geluid, watergolven en materiedeeltjes. Het dubbelspleetexperiment toont aan dat elektronen ook een golfkarakter kunnen vertonen.

53 In figuur 57 zie je een interferentiepatroon van watergolven. Dit patroon kun je gebruiken om het dubbelspleetexperiment met elektronen te beschrijven. Leg uit of het aantal knooplijnen in het interferentiepatroon bij elektronen toeof afneemt als de snelheid van de elektronen groter wordt gemaakt.

54 Het dubbelspleetexperiment wordt zowel met licht en geluid, als met elektronen gedaan. a Leg uit waardoor dit experiment met elektronen veel lastiger is uit te voeren dan met geluid of licht. Figuur 57 Interferentie bij watergolven

B e H E E R S E N 14.4 Golfkarakter van materiedeeltjes Quantumwereld

Licht toe waarom het dubbelspleetexperiment met elektronen één van de beroemdste experimenten in de natuurkunde werd.

max min max

min max

min max min max

Figuur 58 Interferentiepatroon bij een dubbelspleet

55 In figuur 58 zie je een interferentiepatroon bij een dubbelspleet. In het patroon zijn lijnen getekend van constructieve of destructieve interferentie. a Is dit patroon bruikbaar voor fotonen, voor elektronen of voor beide? b Zie je een interferentiepatroon op het scherm als het experiment met één elektron uitgevoerd wordt? Of met één foton? Leg uit. c Wat wordt op het scherm zichtbaar als je het experiment met een groot aantal elektronen of met een groot aantal fotonen uitvoert? d Als de afstand tussen de twee spleten ongeveer gelijk is aan zes golflengtes van licht, hoeveel maxima zijn er dan maximaal links en rechts van het 0de orde maximum zichtbaar? e Als de afstand tussen de twee spleten ongeveer gelijk is aan zes debrogliegolflengtes van een bundel elektronen, hoeveel maxima zijn er dan maximaal links en rechts van het 0de orde maximum zichtbaar? f Neemt het aantal maxima toe of af als de elektronen meer kinetische energie hebben? Leg uit. g Neemt het aantal maxima toe of af als de fotonen meer energie hebben? Leg uit.

BEHEERSEN R E K E N VO O R B E E L D De snelheid van vrije elektronen ligt al gauw in de orde van 1 tot 10% van de lichtsnelheid, dat geeft bij 1% van c een debroglie-golﬂengte:

λ=

h p

= me ⋅ v 6,637 ⋅10-34

λ = 9,11 ⋅10-31 × 3 ⋅108 = 2,4 ⋅10-12 m Daarmee hebben elektronen een veel kleinere golflengte dan zichtbaar licht. Golfverschijnselen met elektronen treden daardoor alleen op bij voorwerpen of openingen die veel kleiner zijn dan die bij zichtbaar licht golfverschijnselen geven. Dat betekent dat het golfkarakter van elektronen moeilijker waar te nemen is. Voor zwaardere deeltjes, zoals protonen, neutronen en atomen geldt dat nog meer.

Golflengte van materiedeeltjes Bij materiedeeltjes zoals elektronen en atomen is de debroglie-golflengte gekoppeld aan de impuls, de hoeveelheid van beweging die evenredig is met de massa en met de snelheid van het deeltje:

p = m · v Hierin is p de impuls (in kg · m · s−1), m de massa (in kg) en v de snelheid (in m · s−1). Om de golflengte voor materiedeeltjes zoals elektronen en atomen te berekenen h gebruik je dezelfde relatie tussen golflengte en impuls als bij fotonen ( p = λ ). Nu is de impuls echter , omdat het om een materiedeeltje gaat. Voor de debroglie-golflengte van materiedeeltjes geldt dus:

λ=

h p

(met p = m · v)

Hierin is λ de golflengte (in m), h de constante van Planck (6,637 · 10−34 J · s), m de massa (in kg) en v de snelheid (in m · s−1). Deze formule blijkt niet alleen te gelden voor elektronen maar voor alle materiedeeltjes zoals atomen en moleculen.

Quantumwereld 14.4 Golfkarakter van materiedeeltjes B e H E E R S E N

E L E K T RO N E N M I C RO S CO O P Bij beeldvorming door een lens gaat het erom dat de afbeelding scherp is, dat wil zeggen dat elk punt van het lichtgevende voorwerp wordt afgebeeld als een punt in het beeld. Alle lichtstralen vanuit een punt van het voorwerp moeten samen komen in één beeldpunt. Maar in feite is de beeldvorming door een lens een golfverschijnsel, waardoor elk punt van het voorwerp altijd wordt afgebeeld als een klein vlekje. Als verschillende details van het voorwerp te dicht bij elkaar liggen, overlappen de vlekjes elkaar en kun je die details niet meer onderscheiden. Hoe korter de golflengte van het gebruikte licht, des te kleiner zijn de vlekjes en des te meer details zijn er te onderscheiden. Om heel kleine details te kunnen afbeelden wordt dan ook geen elektromagnetische straling gebruikt, maar een bundel elektronen. Elektronen hebben een debrogliegolflengte die je kunt instellen met de versnelspanning over het elektronenkanon (zie hoofdstuk 12). Er zijn twee soorten elektronenmicroscopen: de Transmissie Elektronen Microscoop en de Scanning Elektronen Microscoop. De al in 1933 door Ernst Ruska ontwikkelde transmissie elektronen microscoop (TEM) werkt, net als een lichtmicroscoop, met straling die door het voorwerp heen gaat. Elke opening in het voorwerp verstrooid de elektronen door buiging, waarna de uitwaaierende bundel met elektrische en magnetische velden weer samengebracht wordt in één punt van het scherm. Zo wordt elke opening in het object op het scherm afgebeeld als een stip. Deze doorlichtmethode heeft echter als groot nadeel dat het object ‘doorzichtig’ moet zijn voor elektronen. Daarom wordt meestal de andere, later ontwikkelde, elektronenmicroscoop gebruikt. De scanning elektronen microscoop (SEM) tast het oppervlak van een voorwerp af (scant). Een SEM is wat beeldvorming betreft vergelijkbaar met een gewone lichtcamera. Met een elektronenkanon wordt een bundel elektronen op het te onderzoeken object afgevuurd. De elektronen kaatsen meer of minder tegen de details van het voorwerp, die daardoor nieuwe golfbronnetjes worden, net als bij licht. Die weerkaatste elektronen vanaf een voorwerpspunt worden met elektrische en magnetische velden weer samengebracht in één punt van de detector en vormen daar de afbeelding. De elektronenbundel is maar nauw en raakt slechts een deel van het te ‘bekijken’ oppervlak. Daarom beweegt de bundel over het oppervlak van het voorwerp en scant zo het hele voorwerp. In een SEM speelt de golflengte geen rol bij de afbeelding, zoals in een lichtmicroscoop, maar wel bij de reflectie van de elektronen aan de details van het voorwerp. Als de debroglie-golflengte van de elektronen groter is dan de afmeting van het detail, ‘spoelen de elektronengolven’ eromheen en is er weinig of geen reflectie. Hoe groter de versnelspanning, hoe kleiner de golflengte en des te beter is het oplossend vermogen van de SEM.

Figuur 59 Met een elektronenmicroscoop zijn kleinere details zichtbaar te maken dan met een lichtmicroscoop.

Figuur 60 Ernst Ruska lanceerde als student het idee dat met elektronen een veel gedetailleerder beeld van een voorwerp gemaakt kan worden dan met een optische microscoop. In 1933 bouwde hij de eerste elektronenmi croscoop en in 1986 ontving hij hiervoor de Nobelprijs.

elektronenkanon versterker

afbuigelektromagneten object

detector

Figuur 61 De detectoren in een SEM registreren elektronen die weerkaatsen aan het object.

B e H E E R S E N 14.4 Golfkarakter van materiedeeltjes Quantumwereld

Quantummodel van het waterstofatoom Bij elke baan van het elektron in het waterstofatoom hoort volgens het quantum model een bepaalde impuls en een bepaalde debroglie-golflengte. Hierbij is de omtrek van een baan gelijk aan een geheel aantal debroglie-golflengtes. De ‘toegestane’ elektronenbanen in een atoom vormen daardoor een reeks die enigszins lijkt op de reeks boventonen van bijvoorbeeld een zingend wijnglas, zie hoofdstuk 7.

Figuur 62 In het quantummodel van waterstof beweegt het elektron in een cirkelbaan om de kern en past de debroglie-golflengte bij de omtrek van de

energie E (eV)

cirkelbaan.

-3,40

Paschenreeks

enz. Balmerreeks

-1,51

n=∞ enz.

-0,55 -0,85

n=5 n=4

Met deze aannames kun je het energieniveauschema van waterstof berekenen. Voor het energieniveau van een elektron in baan n in het waterstofatoom geldt:

n=3

En = 13,6 n2 Hierin is n het quantumgetal en En het bijbehorende energieniveau (in eV). Het energieniveauschema van waterstof is getekend in figuur 63. (N.B. In hoofdstuk 13 is voor de nulpuntsenergie 0,00 eV gekozen en ligt het ionisatieniveau op 13,6 eV. Voor de energiesprongen maakt het niets uit.)

n=2

Lymanreeks

-13,60

De baan waarbij de omtrek precies gelijk is aan één debroglie-golflengte heeft de laagste energie, de nulpuntsenergie. Bij het waterstofatoom is de nulpuntsenergie −13,6 eV. De energie van een elektron in een atoom wordt negatief gerekend, omdat het elektron zich in een gebonden toestand bevindt. Er moet daardoor energie worden toegevoerd om het elektron los te maken uit het atoom. Als het elektron helemaal vrij is op grote afstand van de kern en zonder snelheid, is de energie 0 volgens de algemeen geldende afspraak. Alle andere banen liggen op grotere afstand van de kern en daarbij hoort een hoger energieniveau. De banen worden gekenmerkt door het quantumgetal n, dat in dit model aangeeft hoeveel keer de debroglie-golflengte past op de omtrek van de cirkelbaan (zie figuur 62).

n=1

Figuur 63 Energieschema van waterstof, zie ook Binas tabel 21A.

Met dit model kun je ook de straal van de kleinst mogelijke baan van een elektron in een waterstofatoom berekenen. Dit getal noemt men de bohrstraal: ongeveer 5,3 · 10−11 m. Deze straal bepaalt de afmeting van het waterstofatoom doordat het ene in een baan bewegende elektron de rand van het atoom vormt.

Quantummechanica

Figuur 64 Elektronenwolk en waarschijnlijkheids verdeling

56 W Computersimulatie: Andere elektronenwolken en waarschijnlijkheidsverdelingen in het waterstoatoom.

In de quantummechanica wordt niet gerekend met banen van individuele elektronen. De schrödingervergelijking levert een ruimtelijke waarschijnlijkheidsverdeling om een elektron op een bepaalde plaats waar te nemen, als dat zou kunnen. Zo’n waarschijnlijkheidsverdeling wordt wel een elektronenwolk genoemd. In de quantummechanica betekent de bohrstraal dan ook: de afstand tot de kern met de grootste kans om het deeltje aan te treffen. Bij waterstof komt dat overeen met de straal uit het oude atoommodel van Bohr. In figuur 64 zie je een tekening van de elektronenwolk van de laagste energietoestand, met een grafiek van de kansverdeling als functie van de afstand tot de kern. De bohrstraal wordt wel gebruikt voor een (kwalitatieve) aanduiding voor de typische grootte van een atoom. De afmeting van een atoom ligt in de orde van 10−10 m.

Quantumwereld 14.4 Golfkarakter van materiedeeltjes B e H E E R S E N

REDENEREN 57 De paragraafvraag was: Wat is het golfkarakter van materiedeeltjes en hoe manifesteert zich dat? Wat is het antwoord op deze vraag?

58 Alle deeltjes in een bundel elektronen en een bundel α–deeltjes hebben dezelfde gemiddelde kinetische energie. a Leg uit welke deeltjes de grootste snelheid hebben. b Leg uit welk deeltjes de kleinste debroglie-golﬂengte hebben.

59 Leg uit waardoor je met een elektronenmicroscoop kleinere details kan waarnemen dan met een gewone microscoop.

60 In het atoommodel van Bohr voor het waterstofatoom hoort bij elk energieniveau een quantumgetal n. a Welke waarde heeft n voor de grondtoestand? b Laat met behulp van de formule zien dat de energie van het elektron toeneemt als de waarde van n toeneemt. c Leg uit wat bedoeld wordt met de nulpuntsenergie. d Leg uit wat bedoeld wordt met de bohrstraal. e Leg aan de hand van figuur 64 uit dat de bohrstraal niet hetzelfde is als de gemiddelde straal van het waterstofatoom.

61 Het quantummodel van het waterstofatoom is gebaseerd op zowel het golfkarakter als het deeltjeskarakter van elektronen. a Beschrijf waaruit het deeltjeskarakter blijkt. b Beschrijf waaruit het golfkarakter blijkt. In figuur 64 is dit quantummodel van het waterstofatoom geschetst. In het diagram staat W voor waarschijnlijkheid. c Leg uit dat op de verticale as bij W een eenheid hoort van procent (%) per nm als de horizontale as nm als eenheid heeft. d Leg uit de oppervlakte onder het diagram de waarde 100 moet hebben.

REKENEN 62 In een ouderwetse televisie wordt een bundel elektronen vanuit rust versneld door een spanning van 2,5 kV. De elektrische energie Eel = e · ΔU per elektron wordt omgezet in kinetische energie. Hierin is e de lading van het elektron. a Bereken de kinetische energie (in J) en de snelheid (in m/s) van een elektron als het versneld is door 2,5 kV. b Bereken de debroglie-golflengte van de elektronen nadat ze versneld zijn. c Leg uit dat er buiging optreedt als de bundel een metaalfolie treft met gaatjes van 0,05 mm diameter.

63 Een tennisballenkanon dat voor training gebruikt wordt, schiet tennisballen van 58 g weg met een beginsnelheid van 100 km/h. Bereken de debroglie-golflengte van de tennisballen uit het ballenkanon. b Leg uit waardoor tennisballen nooit een waarneembaar golfkarakter vertonen. a

Figuur 65 Een tennisballenkanon

B e H E E R S E N 14.4 Golfkarakter van materiedeeltjes Quantumwereld

64 Een bundel elektronen treft een zoutkristal. Op het detectiescherm achter het kristal wordt een patroon van stippen zichtbaar. a Is het patroon het gevolg van buiging, van interferentie of van zowel buiging als interferentie? b Is dit experiment te verklaren met het golfkarakter of met het deeltjeskarakter van elektronen? Leg uit. c Als het zoutkristal wordt beschenen met een lichtbundel, ontstaat geen interferentiepatroon. Leg uit waardoor niet.

100µm

65 Buiging en interferentie zijn ook gemeten bij neutronen. In figuur 66 zie je de resultaten van experimenten met neutronen met een enkele spleet en met een dubbelspleet. De schaalverdeling is in beide grafieken gelijk. Welke grafiek hoort bij een enkele spleet? Leg uit. Figuur 66 Buiging en interferentie bij neutronen.

66 Leg uit hoe je aan figuur 66 kunt zien dat de openingen van de spleten bij het energie E (eV)

experiment met de dubbelspleet kleiner zijn dan bij de enkele spleet. 0 51,02 48,37

n=∞ n=4 n=3

40,81

n=2

67 Een bepaald atoom kan vanuit de grondtoestand fotonen met een energie van 6,7 eV absorberen. Vanuit die aangeslagen toestand kunnen alleen fotonen met Ef = 1,0 eV geabsorbeerd worden of fotonen met Ef =1,3 eV worden uitgezonden. Het ionisatieniveau van deze atomen is 10,4 eV. a Teken het energieniveauschema b Bereken de golflengte van het foton met de grootste energie dat door dit atoom geabsorbeerd kan worden zonder het atoom te ioniseren.

68 Het spectrum van éénmaal geïoniseerd helium (He+) heeft een sterke

-54,40

Figuur 67 Energieschema van He+

n=1

overeenkomst met dat van neutraal waterstof. In figuur 67 is een energieniveauschema van het helium-ion getekend. Dit energieniveauschema is goed vergelijkbaar met dat van waterstof in tabel 21A van Binas. Er bestaat een eenvoudige relatie tussen de energiewaarden van H en He+. a Welke relatie is dit? Geef de getalwaarde in deze relatie in drie significante cijfers. Een relatief sterke lijn in het emissiespectrum van He+ ligt in het uv-gebied en heeft een golflengte van 164,0 nm. b Bepaal aan de hand van een berekening bij welke energieovergang uit figuur 67 deze lijn hoort.

69 De straal van het waterstofatoom is in het model van Bohr 5,29 · 10−11 m. In deze toestand bestaat de nulpuntsenergie van het elektron uit zowel kinetische energie als elektrische energie. Voor de elektrische energie geldt: q ⋅Q

Eel = − f ⋅ r Hierin is f de constante van Coulomb (8,99 · 109 N · m2 · C−2), q en Q zijn de ladingen van respectievelijk het elektron en de kern (in C) en r is de straal van de baan (in m). Een waterstofatoom bevindt zich in het model van Bohr in de toestand met de nulpuntsenergie. Bereken voor het elektron in dit atoommodel: a de elektrische energie (in eV); b de kinetische energie (in eV en in J); c de snelheid; d de debroglie-golflengte.

Quantumwereld 14.4 Golfkarakter van materiedeeltjes verdiepen

VERDIEPEN

70 W Afleiding formule van Bohr 71 W Elektronendiffractie bij grafiet

Elektronendiffractie Het golfkarakter van elektronen wordt zichtbaar als de afmetingen van het voorwerp (of openingen in het voorwerp) in dezelfde orde van grootte liggen als de golflengte van de elektronen. Bij een golflengte van 10−9 tot 10−11 m moet je denken aan de afstand tussen atomen in een kristalrooster. Bij onderzoek naar de groottes en onderlinge afstanden van de atomen in kristalroosters wordt vaak gebruikgemaakt van het interferentiepatroon van röntgenstraling, maar soms worden bundels elektronen of neutronen gebruikt. Het interferentiepatroon geeft de onderzoeker informatie over de manier waarop de atomen in het kristal geordend zijn. In figuur 68 links zie je een interferentiepatroon op een scherm dat ontstaat door buiging en interferentie van elektronen (elektronendiffractie) die door een zoutkristal geschoten zijn. De witte stipjes zijn de maxima waar veel elektronen terecht zijn gekomen. In figuur 68 rechts zie je een model van een zoutkristal dat geconstrueerd is aan de hand van doorlichting in verschillende richtingen.

d2 d1

Figuur 69 Bovenaanzicht van een laag

Figuur 70 Interferentiepatroon van

Figuur 68 Interferentiepatroon (boven) als gevolg

koolstofatomen.

een elektronenbundel door een laag

van elektronendiffractie bij een zoutkristal (onder).

koolstofatomen.

De afstanden tussen de atomen zijn in dezelfde orde van grootte als de golflengte van de elektronen.

72 Grafiet is een kristallijne vorm van koolstof waarbij het kristal is opgebouwd uit lagen. Binnen de afzonderlijke lagen zijn de koolstofatomen gerangschikt zoals in figuur 69. Als een enkel laagje grafiet beschoten wordt met een bundel elektronen (loodrecht op het laagje), ontstaat op het scherm achter het grafiet een interferentiepatroon zoals in figuur 70. Rondom het midden zijn zes maxima van de eerste orde zichtbaar. a Leg met behulp van figuur 69 uit dat er niet slechts twee maxima ontstaan maar zes. b Beschrijf hoe het patroon zou veranderen als de snelheid van de elektronen lager is. In figuur 71 zie je een opstelling voor elektronendiffractie. Een stukje grafiet dat opgebouwd is uit een groot aantal evenwijdige lagen wordt zo in de elektronenbundel geplaatst dat de elektronen loodrecht op de grafietlagen vallen. De oriëntatie van de evenwijdige lagen grafiet is willekeurig. c Leg uit waardoor op het scherm twee cirkels zichtbaar zijn.

trefplaatje met venster van grafiet

fluorescerend scherm

vacuümbuis

elektronenkanon

D1 = 24,7 mm D2 = 42,3 mm

L = 137 mm Figuur 71 Bij elektronendiffractie aan grafiet ontstaan op het scherm ringen.

14.5 De golf-deeltje-dualiteit en

Quantumwereld

onbepaaldheid ontdekken

73 W Experiment: Golf-deeltje-dualiteit

ONTDEKKEN Bij het uitzenden en bij het absorberen heeft licht een deeltjeskarakter, maar het met de lichtsnelheid overbrengen van stralingsenergie heeft een golfkarakter. Het feit dat licht in het ene geval een golfkarakter vertoont en in het andere geval een deeltjeskarakter, heet de golf-deeltje-dualiteit. Ook voor kleine materiedeeltjes geldt een golf-deeltje-dualiteit: voor de waarneembare plaats geldt een waarschijnlijkheidsverdeling (golfkarakter) en voor de waarneembare impuls en kinetische energie een deeltjeskarakter. Is de plaats van een deeltje op een bepaald moment nauwkeurig waar te nemen, dan is de kinetische energie niet nauwkeurig te bepalen. Omgekeerd geldt dit ook. Deze onbepaaldheid van de uitkomst van een waarneming is een typisch quantumverschijnsel, dat zich alleen manifesteert bij kleine deeltjes. Wanneer zijn deeltjes klein genoeg om quantumverschijnselen te kunnen verwachten? Wat betekent onbepaaldheid en om welke relatie gaat het?

PA R AG R A A F V R A AG Wanneer zijn quantumverschijnselen zoals de golf-deeltje-dualiteit en onbepaaldheid te verwachten? Figuur 72 Werner Karl Heisenberg was één van de grondleggers van de quantummechanica. In 1932 ontving Heisenberg hiervoor de Nobelprijs voor natuurkunde, samen met Schrödinger en Dirac. rij dobbers amplitude van de dobbers

Figuur 73 Watergolven door een dubbelspleet. De verdeling van de amplitudes van de dobbers bij A ont staat als alleen opening 1 open is, die bij B als alleen opening 2 open is en C is het interferentiepatroon als beide openingen open zijn.

BEGRIJPEN Wiskundige beschrijving Bij watergolven kun je naastgelegen delen van het wateroppervlak achtereenvolgens op en neer zien gaan. Je ziet de golven door de weerkaatsing van licht op het water. Dat er licht op het wateroppervlak weerkaatst, beïnvloedt de golven niet. In figuur 73 is weergegeven dat je zowel de golven ziet bewegen als de dobbers op en neer ziet gaan. Ook de trillingen van de lucht in een staande geluidsgolf in een glazen pijp kun je zichtbaar maken (zie hoofdstuk 7). En daarbij heeft het waarnemen van het golfverschijnsel er eveneens geen invloed op. Maar bij golfverschijnselen van licht of van een bundel materiedeeltjes zijn er geen waarneembare trillingen. Licht kun je alleen waarnemen door absorptie. Het zijn dan echter gelokaliseerde fotonen en geen lichtgolven met uitgebreidheid in de ruimte. Elektromagnetische stralingsenergie die met de lichtsnelheid voortbeweegt, kun je niet waarnemen. Het golfkarakter van licht is een puur wiskundige beschrijving. Dat geldt ook voor het golfkarakter van materiedeeltjes. Als een bundel identieke materiedeeltjes, dus allemaal met dezelfde massa en snelheid, door een dubbelspleet gaat is het resultaat van de waarnemingen te beschrijven en te berekenen met precies dezelfde wiskunde die bij harmonische golven gebruikt wordt. Het interferentiepatroon geeft in elke plaats in de ruimte, of op een scherm, de waarde van de amplitude van denkbeeldige trillingen in dat punt. De natuurkundige betekenis van (het kwadraat van) deze amplitude is die van een waarschijnlijkheid in een waarschijnlijkheidsverdeling om op die plaats een deeltje waar te kunnen nemen. Als bijvoorbeeld in een bepaald gebiedje van het scherm bij een dubbelspleet-opstelling de waarde van de waarschijnlijkheid 0,025 bedraagt, wil

Quantumwereld 14.5 De golf-deeltje-dualiteit en onbepaaldheid ontdekken B egrijpen

dat zeggen dat gemiddeld 2,5% van de elektronen daar waargenomen kan worden. Maar je kunt niets zeggen over welke elektronen dat zijn want voor individuele deeltjes betekent een kans niets. En je kunt niet spreken over de route die het elektron heeft gevolgd. In de quantumwereld gaat het uitsluitend over waarneembare verschijnselen en meetbare grootheden bij grote aantallen deeltjes of fotonen.

Dualiteit bij het dubbelspleetexperiment Bekijk de opstelling van figuur 74. Een bundel elektronen die uit een bron komt, gaat door een dubbelspleet en treft daarna een rij detectoren. De tellingen van de verschillende detectoren zijn rechts in figuur 74 als diagram getekend. Het experiment is drie keer gedaan: A met alleen spleet 1 open, B met alleen spleet 2 open en C met beide spleten open. De aantallen bij C zijn duidelijk niet de som van de aantallen bij A en B, er is bij C een interferentiepatroon zichtbaar. Als beide spleten van de dubbelspleet open zijn, denk je misschien dat elk individueel elektron door één van beide spleten moet zijn gegaan en daarna interfereert met andere elektronen. Halve elektronen zijn immers nog nooit waargenomen, dus lijkt het hoogst onwaarschijnlijk dat elk elektron in delen door beide openingen is gegaan. Maar je weet het niet want elektronen kun je niet zien, dus je kunt ook niet met licht zien of ze door één of door beide spleten gaan. Toch kun je met kortgolvige elektromagnetische straling, zoals röntgen, de plaats van de elektronen vlak achter de dubbelspleet wel waarnemen. Zie de opstelling in figuur 75. Dan blijkt dat een elektron altijd door één opening gaat en nooit door twee tegelijk. Het vreemde is echter dat er geen interferentiepatroon ontstaat bij de opstelling waarbij kan worden waargenomen waar de individuele elektronen langs gegaan zijn. De verdeling van de aantallen elektronen in de detectoren bij proef C is in dat geval wel de som van de aparte verdelingen A en B, die ontstaan als je de ene of de andere spleet afsluit. Het is net alsof de elektronen door het waarnemen van hun plaats bij de dubbelspleet zodanig verstoord worden dat er geen interferentie meer optreedt. Dit blijkt altijd en overal zo te zijn: als de opstelling zodanig is dat, door interactie met bijvoorbeeld röntgen-fotonen, waar te nemen is door welke van de twee openingen de afzonderlijke deeltjes gaan, ontstaat er geen interferentiepatroon in de waarnemingen van de detectoren. En omgekeerd: als de waarnemingen van de detectoren een interferentiepatroon te zien geven, is het in die opstelling niet mogelijk waar te nemen of er deeltjes door één of twee spleten gaan. Dit is de golf-deeltje-dualiteit voor fotonen en materiedeeltjes. Het blijkt niet mogelijk een opstelling zo in te richten dat je een interferentiepatroon ziet in de waarnemingen van de detectoren achter de dubbelspleet en ook kunt waarnemen dat er deeltjes gaan door één van beide spleten. Om te kunnen waarnemen dat er deeltjes door slechts één spleet gaan, zijn er interacties nodig die dusdanig verstorend zijn, dat er geen interferentiepatroon meer ontstaat in de waarnemingen van de detectoren. Hoe interferentie bij de dubbelspleet ‘in zijn werk gaat’ is daardoor op geen enkele manier waar te nemen: is de opstelling zo dat je het deeltjeskarakter kunt waarnemen, dan is er geen golfverschijnsel en omgekeerd. Hypotheses over de precieze gang van zaken bij interferentie van fotonen en materiedeeltjes zijn op geen enkele wijze te verifiëren en horen daarom niet tot de natuurwetenschap.

rij detectoren

aantal getelde elektronen

Figuur 74 Deeltjes door een dubbele spleet waarbij niet waar te nemen is door welke spleet ze zijn gegaan.

rij detectoren

aantal getelde elektronen

röntgencamera

A röntgenbron

Figuur 75 Deeltjes door een dubbele spleet waarbij wel waar te nemen is door welke spleet ze zijn gegaan.

B egrijpen 14.5 De golf-deeltje-dualiteit en onbepaaldheid ontdekken Quantumwereld

Onbepaaldheid van plaats en van impuls p

Figuur 76 Plaats x en impuls p (in de x-richting) van

aantal elektronen

een elektron na een enkelspleet.

Δx

Er blijkt nu te gelden dat de minimale onbepaaldheid van plaats en de minimale onbepaaldheid van impuls omgekeerd evenredig met elkaar zijn. Als je een opstelling zodanig verandert dat je de plaats nauwkeuriger kunt waarnemen, wordt spreiding van de meetwaarden van de impuls groter. xgem

Figuur 77 Onbepaaldheid van plaats, waarvoor vaak

aantal elektronen

de breedte op halve hoogte wordt genomen.

Δp

Figuur 78 Onbepaaldheid van impuls na een enkele spleet.

De onmogelijkheid bij een dubbelspleet tegelijkertijd het deeltjeskarakter (het traject van individuele deeltjes) en het golfkarakter (het interferentiepatroon) waar te nemen is maar één voorbeeld van het algemene quantumverschijnsel dat je niet van alle grootheden tegelijk de waarde nauwkeurig kunt waarnemen. Zo zijn bij buiging na een enkele spleet de plaats x en de impuls p in die x-richting twee grootheden die niet tegelijkertijd exact bepaald kunnen worden (zie figuur 76). Deze onmogelijkheid wordt beschreven met het begrip onbepaaldheid van elk van die grootheden. Zo is bijvoorbeeld de onbepaaldheid Δx in een bepaalde situatie of opstelling de spreiding in de waarschijnlijkheidsverdeling van de plaats x. Zie figuur 77. Net zo is de spreiding van de waarneembare waarden van de impuls p in die x-richting de onbepaaldheid Δp. Zie figuur 78. Onbepaaldheid van een grootheid heeft dus te maken met de onmogelijkheid die grootheid in die situatie nauwkeuriger te kunnen voorspellen.

VO O R B E E L D Een bundel elektronen gaat door een kleine opening en wordt een eind verder op het scherm waargenomen. In of net na de opening is de plaats x en de impuls in die x-richting p, zoals getekend in figuur 76. De onbepaaldheid in plaats ∆x is niet groter dan de breedte van de opening, want alle elektronen die op het scherm gedetecteerd worden zijn door de opening gegaan. De onbepaaldheid van impuls ∆p is evenredig met de spreiding op het scherm. Hoe groter de impuls in de x-richting vlak na de opening, des te verder komt het elektron op het scherm naast het midden terecht. Wordt de opening smaller gemaakt en dus ook ∆x kleiner, dan wordt ∆p groter en komen er dus meer elektronen naast het midden op het scherm terecht, er treedt meer buiging op. EE De

golf-deeltjedualiteit betekent dat golf- en deeltjeskarakter zich niet tegelijk kunnen manifesteren. Als bij een dubbelspleet waargenomen kan worden door welke spleet elk deeltje gaat, ontstaat er geen interferentiepatroon. En als er een interferentiepatroon ontstaat, is niet te achterhalen door welke spleet elk deeltje is gegaan. EE Des te kleiner in een bepaalde situatie of opstelling de onbepaaldheid van plaats ∆x van een deeltje is, des te groter is in die situatie of opstelling de onbepaaldheid van impuls van dat deeltje ∆p. En omgekeerd.

Quantumwereld 14.5 De golf-deeltje-dualiteit en onbepaaldheid ontdekken B egrijpen

74 Waar of niet waar? Verbeter de onjuiste uitspraken. a b c d

Een waarschijnlijkheidsverdeling laat zien hoe een deeltje zich uitspreidt. Een waarschijnlijkheidsverdeling geeft aan hoe groot de kans is om op een bepaalde plaats een deeltje te detecteren. Uit het interferentiepatroon van elektronen door een dubbelspleet kun je voor elk elektron afleiden door welke spleet het is gegaan. Bij detectie van één deeltje overheerst het golfkarakter.

a b c

Beschrijf wat met dat begrip bedoeld wordt. Geef een voorbeeld van een situatie of proces waarbij vooral het deeltjeskarakter belangrijk is. Geef een voorbeeld van een situatie of proces waarbij vooral het golfkarakter belangrijk is.

76 Leg met eigen woorden uit wat bedoeld wordt met de onbepaaldheid van plaats en de onbepaaldheid van impuls.

waarschijnlijkheid W

75 Een belangrijk quantumverschijnsel is de golf-deeltje-dualiteit.

77 Het buigingspatroon van een elektronenbundel door een smalle spleet hangt af van de breedte van de spleet. a Leg uit wat de breedte van de spleet te maken heeft met onbepaaldheid. b Van welke grootheid neemt de onbepaaldheid toe als de spleet smaller wordt?

Figuur 79 Waarschijnlijkheidsverdeling bij een enkele spleet.

Leg uit of je aan de verdeling kunt zien of het hier om elektronen of fotonen gaat. Leg uit dat deze grafiek geen betekenis heeft voor een enkel elektron of foton. In figuur 80 zie je een schets van het dubbelspleetexperiment met elektronen. c Leg uit dat het interferentiepatroon op het scherm alleen zichtbaar wordt als je een groot aantal elektronen hebt gedetecteerd. b

aantal elektronen

78 In figuur 79 zie je de waarschijnlijkheidsverdeling bij een enkele spleet.

79 Er wordt een dubbelspleetexperiment met elektronen uitgevoerd. Bij de dubbelspleet staat een röntgenbron en een röntgencamera, die met twee kleuren lichtflitsjes (groen en rood) laat zien langs welke spleet een elektron gaat. Een eind achter de dubbelspleet staat een rij detectoren, waarvan de tellingen als tikken hoorbaar zijn en in een diagram op een scherm blijvend zichtbaar gemaakt worden. Als de röntgenbron is uitgeschakeld, zijn er voortdurend tikken te horen. Op den duur is er een interferentiepatroon zichtbaar in de registraties van de detectoren. Zie figuur 74 C. De röntgenbron wordt ingeschakeld, waarna elke tik gepaard gaat met één lichtflitsje, groen óf rood. a Beschrijf wat er op den duur op het scherm te zien is. De camera wordt uitgeschakeld maar de röntgenbron blijft onveranderd aan. b Beschrijf wat er op den duur op het scherm te zien is. De camera wordt weer ingeschakeld maar de röntgenbron wordt uitgeschakeld. c Beschrijf wat er op den duur op het scherm te zien is. De röntgenbron wordt weer ingeschakeld maar de golflengte van de röntgenstraling wordt vergroot door de versnelspanning te verlagen. Nu gaat elke tik gepaard met het tegelijk oplichten van het groene en rode lampje. d Beschrijf wat er op den duur op het scherm te zien is.

Figuur 80 Waarschijnlijkheidsverdeling bij een dubbele spleet.

B eheersen 14.5 De golf-deeltje-dualiteit en onbepaaldheid ontdekken Quantumwereld

De golflengte van de röntgenbron wordt weer verkleind, en ook wordt de intensiteit van de röntgenstraling verkleind. Nu licht telkens maar één lampje op, groen of rood, maar vaak ook niet: in de helft van de gevallen hoor je wel een tik maar licht er geen lampje op. e Beschrijf wat er op den duur op het scherm te zien is.

BEHEERSEN De onbepaaldheidsrelatie van Heisenberg De onbepaaldheid van plaats van een deeltje in een bepaalde situatie of opstelling is omgekeerd evenredig met de onbepaaldheid van impuls van dat deeltje in die situatie. Het is gebleken dat het product van deze twee onbepaaldheden in elke situatie of opstelling altijd groter is dan een bepaalde minimale waarde, namelijk de constante van Plank gedeeld door 4p. Dit is de onbepaaldheidsrelatie van Heisenberg: h

Δ x ⋅ Δp ≥ 4π Hierin is ∆x de onbepaaldheid van plaats (in m), ∆p de onbepaaldheid in impuls (p = m · v) (in kg · m · s−1) van de elektronen en h de constante van Planck. Het is nog nooit iemand gelukt een experiment uit te voeren waarin het product van de onbepaaldheden van de tegelijk gemeten grootheden plaats en impuls van deelh tjes kleiner is dan 4p . Kennelijk is dit een wetmatigheid in de natuur.

REDENEREN 80 De paragraafvraag was: Wanneer zijn quantumverschijnselen zoals golf-deeltjedualiteit en onbepaaldheid te verwachten? Wat is het antwoord op deze vraag?

81 Leg uit hoe je uit de onbepaaldheidsrelatie van Heisenberg kunt afleiden dat een bundel elektronen door een kleine opening buiging vertoont.

82 De onbepaaldheidsrelatie heeft alleen betekenis voor een groot aantal waarnemingen in dezelfde situatie onder dezelfde omstandigheden. a Leg uit dat de onbepaaldheidsrelatie van Heisenberg ook inhoudt dat een enkel elektron nooit voortdurend helemaal bewegingsloos kan zijn. In veel laboratoria wordt onderzoek gedaan naar het gedrag van materialen bij heel erg lage temperaturen. Dan treden allerlei vreemde quantumverschijnselen op zoals bijvoorbeeld het verschijnsel dat een verzameling losse deeltjes zich gedraagt als één enkel deeltje. In die laboratoria weet men het absolute nulpunt (0 K) steeds dichter te naderen. b Leg uit dat het volgens de onbepaaldheidsrelatie van Heisenberg nooit zal lukken om een groep atomen af te koelen tot exact 0 K.

83 In het eerste atoommodel van Niels Bohr uit 1913 beweegt het elektron in de grondtoestand om de kern op een afstand die de bohrstraal genoemd werd. Dat vond iedereen toen onbegrijpelijk, Bohr incluis. Want waardoor valt dat

Quantumwereld 14.5 De golf-deeltje-dualiteit en onbepaaldheid ontdekken B eheersen

elektron dan niet verder naar binnen onder uitstraling van elektromagnetische straling? Klassiek geredeneerd zou dat wel moeten gebeuren en daardoor zou het elektron steeds meer energie verliezen en al snel in de kern tot stilstand komen. Het waterstofatoom zou dus niet stabiel zijn. Maar in werkelijkheid is het wel stabiel. Bohr kon het model niet anders verdedigen dan met het argument, dat die grondtoestand nu eenmaal wel stabiel is en dat dit nergens uit af te leiden is. Ruim tien jaar later kon dit axioma vervangen worden door de onbepaaldheidsrelatie van Heisenberg. a Leg uit dat de onbepaaldheid ∆p nul zou zijn als het elektron tot stilstand is gekomen. b Leg uit dat dan de onbepaaldheid ∆x van een stilstaand elektron heel erg groot zou zijn. c Leg nu uit dat de mogelijkheid dat een elektron tot stilstand komt in de kern, strijdig is met de onbepaaldheidsrelatie van Heisenberg. Er wordt wel gezegd dat de onbepaaldheidsrelatie van Heisenberg het ‘verhindert’ dat een waterstofatoom ‘in elkaar stort’ en het elektron in de kern tot stilstand komt. d Geef in je eigen woorden weer of jij vindt dat deze uitspraak een zinvolle oorzaak-gevolg-redenering is.

REKENEN 84 Tritium (H3) is radioactief, het vervalt onder uitzending van een bètadeeltje, (een elektron). Na de ontdekking van dit radioactieve verval, ruim een eeuw geleden, veronderstelde men dat dit elektron ook al als elektron in de kern aanwezig geweest moest zijn. a Leg aan de hand van figuur 81 uit dat de onbepaaldheid van plaats ∆x voor een elektron in de kern van tritium niet groter is dan ongeveer 1 · 10−14 m. b Bereken de minimale onbepaaldheid van impuls ∆p van een elektron in de tritiumkern. c Laat zien dat de veronderstelling dat het uitgezonden bètadeeltje al in de tritiumkern aanwezig was, leidt tot een snelheid van dat elektron in die kern groter dan de lichtsnelheid.

atoom: 10-10 m

kern: 10-14 m

proton: 10-15 m elektron: < 10-18 m

85 T In een opstelling met een dubbelspleet kan net na de spleet met röntgenstraling worden waargenomen door welke spleet elk elektron is gegaan (zie figuur 82). Als de röntgenbron uit is, ontstaat na verloop van tijd het interferentiepatroon c op het scherm. Als één spleet is afgedekt, ontstaat van patroon b P1 of P2. a Leg uit wanneer P1 ontstaat en wanneer P2. Als beide spleten open zijn en de röntgenbron aan staat, zodat van elk elektron kan worden waargenomen door welke spleet het is gegaan, ontstaat een nieuw patroon, nadat er heel veel elektronen door de dubbelspleet zijn gegaan. b Teken dat patroon op het tekenblad. Nu wordt de intensiteit van de röntgenbron zó ver teruggedraaid dat slechts in de helft van de gevallen dat het scherm ergens oplicht, de röntgencamera bij de dubbelspleet iets heeft ‘waargenomen’. c Schets in figuur 82 op het tekenblad hoe het patroon op het scherm eruit ziet, nadat er heel veel elektronen door de dubbelspleet zijn gegaan. Leg uit hoe je tot je verdeling komt.

Figuur 81

detector röntgencamera

elektronenkanon

röntgenbron

Figuur 82 Deeltjes door een dubbele spleet.

P12

verdiepen 14.5 De golf-deeltje-dualiteit en onbepaaldheid ontdekken Quantumwereld

elektronenkanon

detector

aantal elektronen

86 Een elektronenkanon schiet in een vacuüm ruimte een bundel elektronen tegen een scherm met een smalle spleetvormige opening. Op een afstand L = 0,30 m achter de spleet bevindt zich een detector die langs een scherm heen en weer bewogen kan worden (zie figuur 83 boven). Het aantal per s gedetecteerde elektronen N is tegen de positie langs het scherm uitgezet in figuur 83 beneden. Deze intensiteit N heeft op een afstand b = 0,05 m naast het midden een waarde die de helft is van de intensiteit in het midden. In het elektronenkanon worden de elektronen versneld door een versnelspanning van 5,0 kV. a Laat met een berekening zien dat de elektronen een snelheid hebben van 4,2 · 107 m/s. b Bereken de impuls p van de elektronen. c Bereken de impuls px van de elektronen die op de afstand b van het midden op het scherm terechtkomen. d Leg uit dat je antwoord van vraag c de onbepaaldheid van impuls in de x-richting (∆px) is van de elektronen bij doorgang door de spleet. e Bereken de minimale breedte van de spleet met behulp van de onbepaaldheidsrelatie van Heisenberg.

Figuur 83 Bundel elektronen door smalle spleet.

87 Er zijn meer koppels grootheden die altijd blijken te voldoen aan een onbepaaldheidsrelatie van Heisenberg, zoals bijvoorbeeld energie en tijd: h

ΔE ⋅ Δt ≥ 4π

Leg uit dat dit betekent dat een heel nauwkeurige bepaling van de energie van een deeltje niet voor een exact tijdstip kan gelden maar een heel klein beetje is uitgesmeerd in de tijd.

88 W Computersimulatie: Golven en golfpakket 89 W Heisenberg en de elektronenwolk

Golfpakketjes

+ + + + p

+ + + + +

Figuur 84 Samenstellende golven van een golfpakketje.

VERDIEPEN

In eerdere hoofdstukken zijn fotonen voorgesteld als ééndimensionale golfpakketjes. Ook van vrije deeltjes, zoals elektronen in een vacuümbuis, manifesteert zich het golfkarakter als debroglie-golfpakketjes. Een golfpakketje is een wiskundige samenstelling van (oneindig) veel harmonische golven met verschillende golflengtes (zie figuur 84 links), zodanig dat de resulterende lopende golf op elk moment slechts in een beperkt deel van de ruimte een amplitude ongelijk 0 heeft (zie figuur 84 rechts). De onbepaaldheid van plaats is de (halve) lengte van het golfpakket en de onbepaaldheid van impuls is evenredig met de spreiding in golflengtes van de samenstellende golven. De waarschijnlijkheidsverdeling om het deeltje op een bepaald moment op een bepaalde plaats waar te nemen komt overeen met het kwadraat van de amplitude in het golfpakketje.

Quantumwereld 14.5 De golf-deeltje-dualiteit en onbepaaldheid ontdekken verdiepen

90 Het licht uit een gaslaser is praktisch monochromatisch, dat wil zeggen dat het een heel kleine spreiding in de golflengte heeft. a Leg uit dat de golfpakketjes in het licht van een gaslaser relatief lang zijn. Het licht van een ledlampje is niet monochromatisch, er is daarbij een grote spreiding in de golflengte van het licht. b Leg uit dat de golfpakketjes in het licht van een ledlampje relatief kort zijn. Een bundel elektronen uit een deeltjesversneller kun je ook beschrijven met debroglie-golfpakketjes die zich voortplanten met de snelheid van de elektronen. c Leg uit dat de lengte van de golfpakketjes omgekeerd evenredig is met de spreiding van de snelheden van de elektronen in de bundel. d Leg uit welke betekenis het golfpakketje heeft voor een enkel elektron.

91 Het ééndimensionale debroglie-golfpakketje van figuur 85 geeft de waarschijnlijkheid aan om het deeltje op een bepaald moment op een bepaalde plaats te kunnen waarnemen. In de figuur is die waarschijnlijkheidsverdeling er met stippeltjes onder getekend als een kansdichtheid. Leg uit hoe je diegestippeld getekende waarschijnlijkheidsverdeling uit het getekende debroglie-golfpakketje kunt afleiden.

92 Tritium is waterstof met naast het ene proton nog twee neutronen in de kern. Een tritiumkern is niet stabiel maar vervalt onder uitzending van een b−-deeltje (elektron) tot een heliumkern, waarbij de halveringstijd 12,3 jaar is. Net nadat een tritiumkern is vervallen, is de waarschijnlijkheidsverdeling om het uitgezonden bètadeeltje waar te nemen bolsymmetrisch, zoals aangegeven in figuur 86. Bètastraling bestaat uit elektronen, die gerepresenteerd kunnen worden door debroglie-golfpakketjes. a Leg uit dat de (gemiddelde) straal van getekende waarschijnlijkheidsverdeling van figuur 85 steeds groter wordt. b Leg uit dat de getekende waarschijnlijkheidsverdeling is af te leiden uit drie gelijke golfpakketjes, voor de x-, y- en z-richting. c Leg uit dat de amplitudes van de drie golfpakketjes in de tijd afnemen.

Figuur 85 Debroglie-golfpakketje

Figuur 86 Bolsymmetrische waarschijnlijkheids verdeling om het bètadeeltje waar te nemen net na het verval van de radioactieve kern.

Quantumwereld

14.6 Opgesloten deeltjes ontdekken 93 W Atomen en ionisatie-energie

ONTDEKKEN

In de quantumwereld is er een belangrijk verschil tussen deeltjes die vrij kunnen bewegen en deeltjes die zijn gebonden aan een kleine ruimte, zoals elektronen in een atoom. De snelheid van een vrij bewegend elektron kan elke waarde kleiner dan de lichtsnelheid hebben en dus kan de energie elke waarde hebben. De energie van een opgesloten deeltje (zoals een elektron in een atoom) kan alleen bepaalde waarden hebben, de energieveranderingen zijn gequantiseerd. Voor berekeningen van de grootheden die een opgesloten deeltje beschrijven, wordt de schrödingervergelijking gebruikt. De wiskunde hierbij is moeilijk. Je maakt in deze paragraaf daarom gebruik van een sterk vereenvoudigd ééndimensionaal model: ‘een deeltje in een doosje’. Zijn met zo’n model quantumverschijnselen als energieniveaus en spectraallijnen te verklaren en te berekenen? In deze paragraaf kijken we naar het golfkarakter van deeltjes die opgesloten zijn in een relatief kleine ruimte. Dat kan een elektron zijn dat gebonden is in een atoom of een molecuul, of een alfadeeltje in een instabiele atoomkern.

PA R AG R A A F V R A AG Welke quantumverschijnselen vertonen deeltjes die zijn opgesloten in een kleine ruimte? Figuur 87 Erwin Schrödinger heeft het idee van De Broglie over het golfkarakter van deeltjes uitgewerkt tot een breed toepasbare ‘golfmechanica’. Samen

BEGRIJPEN

met de onbepaaldheidsrelatie van Heisenberg en bijdragen van onder andere Born, Dirac en Pauli, vormt dit de quantummechanica.

(2,0,0)

(3,0,0)

(2,1,0)

(3,1,0)

(2,1,1)

(3,1,1)

Figuur 88 Waarschijnlijkheidsverdelingen voor een elektron in een waterstofatoom.

Waarschijnlijkheidsverdeling van elektronen binnen een atoom Natuurkundigen en chemici gebruiken het volgende quantummechanische model. Een elektron dat aan een atoom gebonden is, kan slechts bepaalde hoeveelheden energie hebben. Die energie-hoeveelheden zijn af te leiden uit de golflengtes van de spectraallijnen die uitgezonden en geabsorbeerd worden bij de overgangen tussen de energieniveaus (zie hoofdstuk 13). Bij de energie die een elektron binnen een atoom kan hebben, overheerst het golfkarakter en is de onbepaaldheid van plaats vaak groter dan de diameter van het atoom. Het begrip positie van een individueel elektron in een atoom is daardoor betekenisloos. In tekeningen wordt een elektron in een atoom dan ook aangegeven met een waarschijnlijkheidsverdeling, die wel een elektronenwolk wordt genoemd. Het patroon geeft voor elk ruimtelijk punt aan hoe vaak daar een elektron gedetecteerd zou worden als er heel veel metingen gedaan zouden worden. In figuur 88 zie je tweedimensionale weergaven van dergelijke verdelingen voor het elektron in het waterstofatoom. De kans om het elektron te detecteren is het grootst in de donkere gebieden. De waarschijnlijkheidsverdeling heeft in elk punt van de ruimte op elk moment de waarde van het kwadraat van de golffunctie, die de oplossing is van de schrödingervergelijking voor die situatie.

Quantumwereld 14.6 Opgesloten deeltjes ontdekken B egrijpen

Bij elke quantumtoestand (grondtoestand of aangeslagen toestand) hoort een andere waarschijnlijkheidsverdeling met een bepaalde (gemiddelde) impulswaarde en een bepaald energieniveau. Tussenliggende energiewaarden zijn niet mogelijk. Het energieniveauschema van deze quantumtoestanden verklaart het ontstaan van spectraallijnen. De energie van het uitgezonden foton is gelijk aan de afname van de energie van het elektron. Het tijdstip waarop het elektron terugvalt naar een quantumtoestand met een lager energieniveau is een toevalsproces. Er is geen oorzakelijke relatie die bepaalt wanneer het gebeurt, wel een statistische relatie die beschreven wordt met een vervalkromme.

Afmetingen en quantumtoestanden Het ééndimensionale model ‘een deeltje in een doosje’ bestaat uit staande debrogliegolven in een afgesloten ruimte. In elk punt in die ruimte geeft het kwadraat van de amplitude de waarschijnlijkheid om het deeltje daar waar te nemen. Deze staande golven zijn puur abstracte golven. Alleen die quantumtoestanden zijn stabiel waarbij de debroglie-golflengte past in het doosje en staande golven vormt met knoop- en buiklijnen die de plaatsen aangeven met minimale en maximale waarschijnlijkheid. Zie figuur 88.

Figuur 89 Staande debroglie-golven bij een deeltje in een ééndimensionaal doosje. Hoe groter de amplitude, hoe groter de waarschijnlijkheid er een deeltje waar te nemen.

Een kleinere atoomsoort betekent een kleinere maximale debroglie-golflengte van de buitenste elektronen in zo’n atoom. En een kleinere debroglie-golflengte van deeltjes betekent een grotere impuls en grotere energie. Hoe kleiner een atoom, des te groter is de energie van de grondtoestand. Deze redenering geldt ook voor kerndeeltjes in de atoomkern: doordat de kern zo heel erg klein is, liggen de energieniveaus van de grondtoestand en de eerste aangeslagen toestand ver uit elkaar waardoor de stralingsdeeltjes zeer veel energie hebben. Dit is heel veel meer dan bij processen waarbij de elektronen van het atoom betrokken zijn (zoals foto-emissie). Een kern als ‘doosje’ voor de kerndeeltjes is immers heel erg klein en daardoor is ook de grootste debroglie-golflengte van de kerndeeltjes in de kern heel erg klein. Bij elektronen in atomen en moleculen geldt dus: hoe groter het atoom of molecuul des te groter is de ruimte waarin de buitenste elektronen kunnen bewegen en des te groter is de maximale debroglie-golflengte. Dat betekent een kleinere impuls en dus een kleinere energie van de grondtoestand en ook van de eerste aangeslagen toestand. Daardoor is de energiesprong van de grondtoestand naar de eerste aangeslagen toestand in grote atomen of moleculen kleiner dan dezelfde soort energiesprong in een kleiner atoom of molecuul. Hierdoor kunnen grotere atomen en moleculen licht absorberen en eventueel weer uitzenden met grotere golflengtes dan kleinere atomen en moleculen. Veel atomen en kleine moleculen kunnen alleen uv-straling absorberen en geen zichtbaar licht, doordat de sprong van de grondtoestand naar de eerste aangeslagen toestand daarvoor te groot is. ‘Eenvoudige’ anorganische stoffen, zoals zand, zijn daardoor vaak betrekkelijk kleurloos. Grotere moleculen, zoals in organische stoffen, hebben vaak aangeslagen energieniveaus die dichter bij de grondtoestand liggen. Dit zorgt voor absorptiemogelijkheden voor zichtbaar en infrarood licht (in de orde van enkele eV). In kleurstoffen zijn de moleculen daarom vaak vrij lang, zodat ze een deel van het zichtbare licht kunnen absorberen.

Figuur 90 Een model van een molecuul 6,6-dibromoindigo (de kleurstof purper).

B egrijpen 14.6 Opgesloten deeltjes ontdekken Quantumwereld

Bij elektronen in voorwerpen die veel groter zijn dan moleculen treden in theorie ook quantumeffecten op, maar in de praktijk zijn die niet waarneembaar als de afmetingen van het voorwerp veel groter zijn dan de debroglie-golflengte van de elektronen (of andere deeltjes). Zo bevat een metaaldraad een zeer groot aantal vrije elektronen die allemaal dezelfde ruimte delen. In theorie is dan sprake van een zeer groot aantal quantumtoestanden die zeer dicht bij elkaar liggen. In de praktijk merk je niets van deze quantisatie van de energie van de elektronen. Ze gedragen zich binnen het metaal als vrije elektronen, omdat de debroglie-golflengte van de elektronen veel kleiner is dan de afmetingen van de metaaldraad. Dat verklaart waardoor de stralingskromme van een heet stuk metaal geen spectraallijnen kent. Figuur 91 In een metaal zijn veel elektronen die vrij kunnen bewegen.

EE Bij

deeltjes die zijn opgesloten in een kleine ruimte worden de mogelijke debroglie-golflengtes van het deeltje bepaald door de afmetingen van de ruimte. EE Hoe kleiner de ruimte, des te kleiner is de maximale debroglie-golflengte en des te groter zijn de impuls en de energie. EE Atomen met een kleine bohrstraal hebben een grote nulpuntsenergie. EE Lange moleculen hebben een lage nulpuntsenergie en kunnen fotonen uit het zichtbare gebied absorberen. EE Als de ruimte waarin de deeltjes opgesloten zijn veel groter is dan de debrogliegolflengte, zijn er geen quantumverschijnselen te verwachten.

94 Waar of niet waar? Verbeter de onjuiste uitspraken. a

b c d e f g

In het model ‘deeltje in een doosje’ geeft het kwadraat van de amplitude van de staande golf aan hoe groot de kans is dat het deeltje daar waargenomen kan worden. Een elektronenwolk bestaat uit heel veel elektronen, zoals een wolk hoog in de lucht bestaat uit heel veel ijskristalletjes. Een proton in een kern kun je ook beschouwen als een ‘deeltje in een doosje’. Een proton in een kern heeft een grotere debroglie-golflengte dan een elektron in een atoom. Bij lange moleculen is de waarschijnlijkheidsverdeling van elektronen te benaderen met een ééndimensionaal model. Hoe kleiner het doosje, hoe groter de impuls van het deeltje. De waarschijnlijkheidsverdeling kan ook negatieve waarden hebben.

95 Leg uit dat iedere waarschijnlijkheidsverdeling ‘genormeerd’ is, dat wil zeggen dat de som (of eigenlijk de integraal) over de hele ruimte 100% is.

96 In het onderschrift van figuur 88 is sprake van een ‘waarschijnlijkheidsverdeling van een elektron in een waterstofatoom’. Zowel het elektron als het atoom staat hier in enkelvoud genoemd. Dat lijkt in strijd met het begrip waarschijnlijkheidsverdeling. Leg uit dat hier toch geen sprake is van tegenstrijdigheid.

Quantumwereld 14.6 Opgesloten deeltjes ontdekken B egrijpen

97 Menigeen maakt zich één of andere voorstelling van een elektron als deeltje in bijvoorbeeld het waterstofatoom. Ook al hebben Heisenberg en Schrödinger in hun Nobel-lezingen in 1933 uitgelegd dat de quantumtheorie geen beschrijving of verklaring geeft over de ‘realiteit’, over ‘wat er echt gebeurt’. Een citaat uit deze lezingen luidt: ‘We kunnen alleen iets zeggen over wat er kan worden waargenomen in een concreet individueel geval.’ a Leg uit of jij persoonlijk af kunt zien van een min of meer concrete voorstelling van bijvoorbeeld een waterstofatoom, of dat je met de grondleggers van de quantumtheorie mee kunt gaan in hun uitspraak dat de puur abstracte wiskundige waarschijnlijkheidsverdeling ‘het atoom is’. Voordat een individueel elektron na een nauwe spleet het scherm treft, kun je niet weten waarheen het elektron precies op weg is. De waarschijnlijkheidsverdeling omvat de hele ruimte tussen de spleet en het scherm, maar de waarneming van de treffer (op het scherm) is in één punt. b Leg uit hoe sommige mensen tot de conclusie kunnen komen dat een waarneming de werkelijkheid beïnvloedt. c Leg uit dat die conclusie niet uit de quantummechanica volgt.

98 De uitdrukking ‘een deeltje in een doosje’ gaat over quantumverschijnselen bij deeltjes die gebonden zijn aan een kleine ruimte. a Geef twee voorbeelden van deeltjes die gebonden zijn aan een kleine ruimte. Als de afmetingen van de ruimte toenemen, is er op een gegeven moment geen sprake meer van quantumverschijnselen. b Hoe kun je uit waarnemingen nagaan of een ruimte groot of klein is voor een deeltje? c Is de debroglie-golflengte van een neutron in een kern groter of kleiner dan van een elektron in een atoom? Leg uit.

99 De kleuren van stoffen en materialen worden bepaald door absorptie en reflectie van licht. Het absorptiespectrum van (losse) atomen wijkt sterk af van dat van lange kleurstofmoleculen. Geef een verklaring voor dit verschil.

100 Een waterstofmolecuul bestaat uit twee waterstofatomen, die door een covalente binding aan elkaar gebonden zijn. De twee atomen ‘delen’ dan de twee elektronen. In de quantumwereld betekent dit dat de twee elektronen zich samen in een quantumtoestand bevinden die zich uitspreidt over het hele molecuul. a Is het ‘doosje’ voor de elektronen in een waterstofmolecuul groter of kleiner dan voor het elektron in een waterstofatoom? b Leg uit of de debroglie-golflengte en de energie van een elektron in een waterstofmolecuul groter of kleiner zijn dan in een waterstofatoom. Het absorptiespectrum van waterstofgas (dat bestaat uit moleculen) is niet hetzelfde als het absorptiespectrum van losse waterstofatomen. c Noem een verschil tussen beide spectra. d Leg uit dat het splitsen van een waterstofmolecuul in twee atomen energie kost.

1e +1

Figuur 92 Covalente binding bij waterstof

B eheersen 14.6 Opgesloten deeltjes ontdekken Quantumwereld

1 2L λ4 = – L = –– 2 4 2 2L λ3 = – L = ––– 3 3 2L λ2 = L = ––– 2 2L λ1 = 2L = ––– 1 Figuur 93 De vier laagste quantumtoestanden bij een deeltje in een doosje.

BEHEERSEN Waarschijnlijkheidsverdeling berekenen Het berekenen van waarschijnlijkheidsverdelingen in een driedimensionale ruimte is ingewikkeld. Daarom wordt een ééndimensionaal model gebruikt. Denk daarbij aan staande debroglie-golven van een elektron. Aan beide uiteinden van de lijn bevinden zich ‘muren’ waartussen het elektron opgesloten is. Het is in feite een ééndimensionaal ‘deeltje in een doosje’. Dit model beschrijft bijvoorbeeld een elektron in een langwerpig molecuul. De lengte van het molecuul bepaalt de debroglie-golflengtes die mogelijk zijn in de verschillende quantumtoestanden. In figuur 92 zie je een voorbeeld van quantumtoestanden in een doosje en de bijbehorende staande debroglie-golven. Het kwadraat van de amplitude van de debrogliegolf geeft aan hoe groot de kans is om het deeltje op die plek waar te nemen. Dat wordt in de figuur weergegeven met spikkeltjes.

Golflengte en energieniveaus Aan de hand van de lengte van het doosje is het mogelijk bij de verschillende quantumtoestanden de debroglie-golflengte, de bijbehorende impuls en de (kinetische) energie van het deeltje te berekenen. In figuur 92 zie je dat in de grondtoestand (n = 1) de lengte van het doosje gelijk is aan een halve golflengte. Bij de daarop volgende toestanden (n = 2, 3, enzovoort) komt er steeds een halve golf bij. De debroglie-golflengte wordt kleiner, de energie wordt groter. Voor de energie van quantumtoestand n geldt:

En =

h2 ⋅n2 8 ⋅ m ⋅ L2

Hierin is En (in J) het energieniveau van quantumtoestand n, m de massa van het deeltje (in kg), n het quantumnummer (1, 2, 3, enzovoort) en L de lengte van het doosje (in m).

A F L E I D I N G E N E RG I E N I V E AU S Uit figuur 94 is af te leiden dat voor de debroglie-golflengte bij quantumtoestand n h 2L h ⋅n 2L geldt: λn = n , dus: m ⋅ v = n . Omgeschreven geeft dat: v = m ⋅ 2L . Voor de kinetische energie van het deeltje geldt dan: 1

h2 ⋅ n2

Ek = 2 ⋅m ⋅ v 2 = 2 ⋅m ⋅ = ⋅n2 4 ⋅ m2 ⋅ L2 8 ⋅ m ⋅ L2 In het model ‘deeltje in een doosje’ heeft het deeltje alleen kinetische energie. Een elektron in een atoom heeft echter ook elektrische energie, die ook afhankelijk is van de quantumtoestand. Voor een ruwe berekening kun je de elektrische energie van het elektron in het waterstofatoom wel constant nemen voor de meeste quantumtoestanden.

Quantumwereld 14.6 Opgesloten deeltjes ontdekken B eheersen

Lange moleculen In het deeltje-in-een-doosje model gaat het om één enkel deeltje in een 1-dimensionaal doosje. In de meeste echte atomen doen echter meerdere elektronen mee in de buitenste schil van het atoom. Voor een model ‘meerdere-deeltjes-in-ééndoosje’ geldt dan de aanvullende regel dat er maar 2 deeltjes dezelfde quantumtoestand kunnen hebben in hetzelfde doosje. Met dit uitgebreidere doosjesmodel zijn reële berekeningen te maken voor bijvoorbeeld de kleur van lange kleurstofmoleculen. Bij dergelijke moleculen kan een deel van de buitenste elektronen van ieder atoom redelijk vrij bewegen over een begrensd deel van het lange molecuul. Zo kan in het kleurstofmolecuul van figuur 94 een aantal (N) elektronen vrij bewegen over het deel van het molecuul dat aangegeven is met de lengte l , dat afhankelijk is van het aantal (k) tussenstukken CH=CH. In de tabel van figuur 95 is van een aantal van deze kleurstofmoleculen de mogelijke energieovergang berekend bij absorptie van zichtbaar licht. De kleur van de kleurstof wordt dan bepaald door de golflengtes die niet geabsorbeerd zijn.

C⎛ C

⎜ ⎝

C2H5

C⎛ C



C N C2H5

Figuur 94 Kleurstofmoleculen met verschillende lengtes voor verschillende aantallen tussenstukken k .

∆E (ber)

(nm)

(eV)

(nm)

kleur

(gem)

0,9

3,2

410

geel

1,2

2,4

540

rood

1,5

1,8

650

blauw

1,8

1,5

770

groen

Figuur 95 Berekende energiesprongen en gemeten

REDENEREN

golflengtes van het door de kleurstofmoleculen geabsorbeerde licht.

101 De paragraafvraag was: Welke quantumverschijnselen vertonen deeltjes die zijn opgesloten in een kleine ruimte? Wat is het antwoord op deze vraag?

102 Een kleurstof weerkaatst uit het opvallende witte licht een deel van het spectrum

R E K E N VO O R B E E L D Met L= 0,9 nm wordt de formule

en absorbeert een ander deel. h2 6,6 ⋅10−68 En = ⋅n2 = ⋅ n 2 = 7,4 ⋅ n 2 ⋅10 a Uit een bundel wit licht wordt licht met een bepaalde golflengte 8 ⋅m ⋅ L2 8 ⋅ 9,1 ⋅10–31 ⋅ (0,9 ⋅10−9 )2 −68 geabsorbeerd. Leg uit of het witte licht nog steeds licht wordt h2 als wit 6,6 ⋅10ervaren En = ⋅n2 = ⋅ n 2 = 7,4 ⋅ n 2 ⋅10–20 Joule = 0,47 ⋅ n 2 eV . 8 ⋅m ⋅ L2 8 ⋅ 9,1 ⋅10–31 ⋅ (0,9 ⋅10−9 )2 of dat het een bepaalde kleur heeft. E1 = 0,47 eV De kleurstof van figuur 94 heeft voor k=0 de kleur geel. E2 = 1,9 eV b Leg uit of er bij deze kleurstof licht met een bepaalde golflengte is E3 = 4,2 eV geabsorbeerd of dat er een bepaald golflengtegebied is geabsorbeerd. E4 = 7,4 eV c Leg uit wat voor soort spectrum je ziet als je door een tralie kijkt naar het In het doosje met lengte L = 0,9 nm kunnen 6 elekweerkaatste licht van de kleurstof met k=0 als deze kleurstof met wit licht tronen vrij bewegen, maar niet onafhankelijk van beschenen wordt. elkaar. De eerste 3 niveaus zijn ‘bezet’ volgens de

103 Een rode lijn in figuur 93 is de momentopname van de staande debroglie-golf in het doosje. De getekende ‘uitwijking’ uit de ‘evenwichtstand’ heeft dus in de helft van de tijd een negatieve waarde. Maar een waarschijnlijkheid heeft nooit een negatieve waarde. Leg uit hoe je deze paradox kunt verklaren.

104 In moleculen wordt een elektron vaak ‘gedeeld’ door verschillende atomen. Dit betekent dat de ruimte waarin het elektron zit opgesloten effectief groter wordt. Neem als voorbeeld een molecuul CO2. Bij koolstof en zuurstof ligt de ionisatieenergie tussen 10 en 15 eV. a Hoeveel keer zo groot wordt de ruimte voor de elektronen? b Schat de orde van grootte van de ionisatie-energie van een molecuul CO2. c Schat de orde van grootte van de golflengtes die je verwacht als een aangeslagen koolstofdioxide-molecuul licht uitzendt.

aanvullende regel van het meerdere-deeltjes-in-eendoosje model. Er kan wel een elektron van niveau 3 naar niveau 4 ‘springen’, dat in de grondtoestand van het molecuul ‘onbezet’ is. Daarvoor moet dat elektron dan een foton met 3,2 eV absorberen. Dat is een golflengte van 390 nm

B eheersen 14.6 Opgesloten deeltjes ontdekken Quantumwereld

In de atmosfeer functioneert CO2 als een broeikasgas, doordat het de warmtestraling van het aardoppervlak beter absorbeert dan de stikstof- en zuurstofmoleculen in de lucht. d Leg uit waardoor CO2 beter warmtestraling absorbeert dan de stikstof- en zuurstofmoleculen.

REKENEN 105 Metalen hebben vrije (geleidings)elektronen. Die elektronen zijn dan niet meer

Figuur 96 Inktwisser

aan één atoom gebonden, maar bewegen vrij door het hele metaal. De snelheid van deze elektronen is in de orde van grootte van 103 m·s−1. a Maak met een berekening duidelijk dat er bij een spijker geen quantumverschijnselen optreden. b Hoe kun je dit aan het uitgezonden spectrum van een gloeiende spijker zien?

106 De grootte van een atoom wordt bepaald door de waarschijnlijkheids-verdeling van het (buitenste) elektron om de kern. De fotonenergie van het licht dat hoort bij de overgang van de eerste aangeslagen toestand naar de grondtoestand ligt voor een waterstofatoom in de orde van grootte van 10 eV. Bereken met behulp van het model van een deeltje in een doosje de grootte van een waterstofatoom.

107 De kleurstof van figuur 94 heeft met één tussenstukje (k=1) volgens de tabel Figuur 97 Nanowerkers in een cleanroom

in figuur 95 een maximum in het absorptiespectrum bij 540 nm.Controleer, aan de hand van de voorbeeldberekening, dat voor de kleurstof met k=1 de geabsorbeerde golflengte ongeveer overeenkomt met 540 nm .

108 Met een inktwisser kun je lichtblauwe inkt onzichtbaar maken. De kleurstof in de inkt absorbeert geel-groen licht (550 nm). De kleurstofmoleculen in de inkt bevatten een vrij elektron dat je kunt beschouwen als een deeltje in een doosje. De overgang van de grondtoestand van dit elektron naar de eerste aangeslagen toestand komt overeen met de energie van het geabsorbeerde foton. a Bereken de grootte van het kleurstofmolecuul. De inktwisser zorgt voor een reactie die de vorm van het molecuul zo verandert dat de lengte van het doosje precies twee keer zo klein is geworden. b Leg uit dat het energieverschil tussen de grondtoestand en de eerste aangeslagen toestand vier keer zo groot wordt. In plaats van geel-groen licht absorbeert het nieuwe molecuul een ander deel van het spectrum. c Leg uit welk deel.

109 Nanotechnologie is de tak van wetenschap en technologie die zich afspeelt

Figuur 98 Middeleeuwse glas-in-lood-ramen

in cleanrooms, waar mensen in stofjassen met haarnetjes en maskertjes voor constructies maken op nanoschaal. Ze produceren bijvoorbeeld fluorescerende bolletjes van elke gewenste kleur: quantumdots. Zonder het te beseffen waren de glasblazers in de middeleeuwen hun tijd ver vooruit. Om het glas een rode kleur te geven vermengden ze er (gemalen) goudstof doorheen. Die onzichtbaar kleine goudbolletjes absorberen uit het doorgaande licht de kleuren uit het spectrum met een golflengte kleiner dan ongeveer 600 nm, zodat (purper)rood overblijft.

b c

Quantumwereld 14.6 Opgesloten deeltjes ontdekken verdiepen

Leg uit dat de vrije elektronen in de geïsoleerde goudbolletjes daarvoor een sprong moeten maken van minstens 3,3·10−19 J om van de grondtoestand in de eerste aangeslagen toestand te komen. Leg uit dat de goudbolletjes daarvoor een maximale diameter moeten hebben. Laat met een berekening zien dat de middeleeuwse glaskunstenaars het goud zo fijn moesten vermalen tot de bolletjes diameters hadden tussen ongeveer 0,60 en 0,75 nm.

VERDIEPEN

110 W Quantumdots

Quantumdots Een quantumdot is een piepklein gebiedje geleidend materiaal in een doorzichtig niet-geleidend materiaal. Het deeltje-in-een-doosje-model kun je gebruiken om de kleuren van het geabsorbeerde of uitgezonden licht te berekenen. In figuur 99 zie je buisjes met vloeistof waarin zich quantumdots bevinden. Een uvlichtbron onder de buisjes levert de energie die nodig is om de elektronen in de quantumdots in een aangeslagen toestand te brengen.

111 In figuur 100 zie je de afmetingen van een bepaalde quantumdot. a b

Leg uit dat de dikte van de quantumdot bepalend is voor de kleur die de dot kan uitzenden. Bereken de minimale frequentie van een foton dat door de quantumdot van figuur 100 wordt uitgezonden. Gebruik daarvoor het model van een deeltje in een doosje met L = 1,0 nm.

Figuur 99Buisjes vloeistof met quantumdots

1,0 nm

10 nm 10 nm

Figuur 100 De eigenlijke quantumdot is een dun laagje.

Quantumwereld

14.7 Tunneling ONTDEKKEN In de quantumwereld heeft een individueel deeltje geen exact waarneembare plaats op een bepaald moment. Er is slechts een waarschijnlijkheidsverdeling die aangeeft hoe groot de kans is een deeltje op een bepaald moment aan te treffen op een bepaalde positie. De (ruimtelijke) vorm van deze kansverdeling wordt bepaald door de eigenschappen van de deeltjes en het (krachten)veld waarin ze zich bevinden. De meeste uitkomsten van een waarneming van de positie zullen rond het maximum van de waarschijnlijkheidsverdeling liggen, maar er zullen ook waarnemingen zijn ver van dat maximum vandaan. Zo is er een (kleine) kans dat het deeltje wordt aangetroffen op een plaats waar je het niet zou verwachten, omdat het volgens de klassieke natuurkunde daar niet kan zijn. Omdat het net lijkt alsof een deeltje dan dwars door een onoverkomelijke barrière heen gaat, heet dit verschijnsel tunneling. Hoe kan dat?

PA R AG R A A F V R A AG Wat is tunneling en wanneer speelt het een rol?

BEGRIJPEN rB

Figuur 101

Waarschijnlijkheidsverdeling versus bepaalde waarde In het eerste atoommodel van Bohr (1913) kon het elektron in het waterstofatoom alleen op bepaalde vaste afstanden rond de kern bewegen. In de grondtoestand had die baanstraal dan de nauwkeurig bepaalde waarde rB, de bohrstraal. In de quantummechanica (na 1925) geldt de quantumstatistiek en is de bohrstraal een soort gemiddelde waarde: de meest voorkomende uitkomst van een waarneming of bepaling. Zie figuur 101. Zo is het ook met een deeltje in een ééndimensionale opsluiting. Klassiek gezien heeft het deeltje op een bepaald tijdstip een bepaalde positie. Maar op quantumschaal geldt een waarschijnlijkheidsverdeling, die je kunt afleiden uit staande debroglie-golven. De grootste kans om een deeltje waar te nemen is op plaatsen waar de amplitude een maximum heeft. Naar de wand van de opsluiting neemt die waarschijnlijkheid af tot nul in de wand. Tenminste als die wand volkomen ondoordringbaar is, zoals in figuur 102 is getekend.

Figuur 102 Staande debroglie-golven in een doosje.

Opsluiting en energie-barrière Een wand van een opsluiting is in de quantumwereld niet hetzelfde als in de gewone wereld. Bij een model van ‘knikkers in een doosje’ zou je kunnen denken aan knikkers die heen en weer stuiteren in een put met hoge verticale wanden. In de quantumwereld bestaan de opsluitingen uit elektrische krachten of kernkrachten die de opgesloten deeltjes tegenhouden of terug ‘duwen’. Je kunt zulke krachten ook beschrijven in termen van velden en een wand tekenen als een energiebarrière. Dat is een gebied waarin een deeltje kinetische energie verliest aan bijvoorbeeld elektrische energie, doordat het elektrische veld in de barrière tegengesteld gericht is. De hoogte van de barrière geeft de sterkte van het veld aan en de breedte de uitgebreidheid van het tegenwerkende krachtveld.

Quantumwereld 14.7 Tunneling B egrijpen

Eel

VO O R B E E L D

Euittree

Figuur 103 Energieniveaus van vrije elektronen bij kamertemperatuur.

Eel

In een metaal kunnen de vrije elektronen vrijelijk door het metaal bewegen, maar niet uit het metaal ontsnappen. De kinetische energie van de vrije elektronen in het metaal is bij kamertemperatuur veruit onvoldoende om de barrière van het metaaloppervlak te overwinnen. Je kunt ook zeggen: om uit de energieput te komen. Alleen als het metaal gloeiend heet, is kunnen de toevallig snelste elektronen ontsnappen. Ook als het metaal beschenen wordt met licht dat kortgolvig genoeg is, kunnen door het foto-elektrisch effect elektronen ontsnappen. De energieput die de elektronen in een metaal opgesloten houdt, heeft een ‘diepte’ die gelijk is aan de uittree-energie. Zie figuur 103. Een derde mogelijkheid voor de vrije elektronen om te ontsnappen bestaat uit een sterk elektrisch veld buiten het metaal, dat aan de elektronen ‘trekt’ zodra ze buiten het metaal zijn. In figuur 104 is dat weergegeven doordat het energieniveau van de barrière buiten het metaal sterk afneemt met de afstand. Het blijkt dat er dan elektronen aan het metaal ontsnappen, zonder dat ze voldoende energie hebben om over de energiebarrière heen te komen. Het lijkt alsof ze door de barrière heen ‘tunnelen’.

Euittree

Figuur 104

Tunnelen Het ´deeltje in een doosje´ heeft waarschijnlijkheidsverdelingen zoals aangegeven in figuur 102. Daarbij neemt de waarschijnlijkheid naar de wand toe af tot nul net in de wand. Maar als de energiebarrières die de opsluiting vormen, niet oneindig hoog en breed zijn, dringt de waarschijnlijkheidsverdeling een eindje in de wand door. Zie figuur 105. En afhankelijk van de hoogte en breedte van de energiebarrière is er ook een (kleine) kans dat je het deeltje buiten de opsluiting kunt waarnemen. Zie figuur 106. Dit heet tunneling van deeltjes door een barrière, hoewel je niet kunt zeggen dat er een beweging of ‘doorboring’ door een wand heeft plaatsgevonden. De begrippen beweging en wand zijn immers geen begrippen die gelden in de quantumwereld, omdat ze niet als zodanig waarneembaar zijn. De vorm en de hoogte van de waarschijnlijkheidsverdeling in en buiten de energiebarrière hangt ook af van de energie en de massa van het deeltje. Het aantal deeltjes dat per tijdseenheid ‘door de energiebarrière tunnelt’, of anders gezegd, de relatieve waarschijnlijkheid een deeltje buiten de opsluiting waar te nemen, hangt daardoor af van de energie en de massa van de opgesloten deeltjes en van de hoogte en breedte van de energiebarrière.

Scanning Tunneling Microscoop Een praktische toepassing van tunneling is een scanning tunneling microscoop (STM). Zo’n microscoop wordt gebruikt om een zeer gedetailleerd beeld te maken van een geleidend oppervlak. Zo nauwkeurig dat je zelfs individuele atomen kunt ‘zien’. Een STM heeft een zeer dunne naald waarvan het uiteinde slechts één atoom dik is. Met die naald wordt het oppervlak gescand (afgetast), waarbij de naald op atomaire afstand langs het oppervlak beweegt. Voor de elektronen in de punt van de naald is het gebied tussen de naald en het oppervlak de barrière waar ze doorheen kunnen tunnelen. Tussen de naald en het oppervlak wordt een elektrische spanning aangelegd waardoor er

Figuur 105 Staande debroglie-golven bij een energie barrière, waarbij in de barrière de waarschijnlijkheid (evenredig met kwadraat van de amplitude van deze golven) een deeltje waar te nemen niet nul is.

Figuur 106 Is de wand smal genoeg, dan is de waarschijnlijkheid ook buiten de wand niet nul.

+ –

Figuur 107 Met een STM wordt de afstand tussen de punt van de naald en het oppervlak gemeten.

B egrijpen 14.7 Tunneling Quantumwereld

een heel klein, maar meetbaar tunnelstroompje loopt tussen de naald en het oppervlak. De grootte van de stroomsterkte hangt af van de afstand tot het oppervlak. Tijdens het scannen wordt het stroompje constant gehouden door de naald hoger en lager te bewegen. De hoogte van de naald (de z-waarde) wordt voortdurend gemeten en in beeld gezet bij de positie (x- en y-waarde). Zo wordt een ‘hoogtekaart’ van een geleidend oppervlak gemaakt. In figuur 108 zie je een ring van 48 ijzeratomen die op een koperoppervlak neergelegd zijn met een ATM (atomic force microscope). De twee bulten buiten de ring zijn verontreinigingen en de concentrische ringen zijn de gemeten waarschijnlijkheidsverdelingen van vrije elektronen van het koper aan het oppervlak, waar ze opgesloten zijn binnen de cirkel van ijzeratomen.

Alfaverval Figuur 108 STM-opname van een ring van ijzeratomen op een koperen oppervlak.

Figuur 109 Alfaverval

Een voorbeeld van tunneling is alfaverval. In een atoomkern worden protonen en neutronen bij elkaar gehouden door de sterke kernkracht, een aantrekkende kracht tussen de kerndeeltjes die zeer snel afneemt met de onderlinge afstand. Deze krachten houden de kerndeeltjes opgesloten en vormen zo een hoge energiebarrière voor alle deeltjes in de kern. Toch strekt de waarschijnlijkheidsverdeling van de combinatie van twee protonen en twee neutronen (buiten de kern vormen ze een alfadeeltje) in de kern van een instabiele isotoop zich een beetje uit in die energiebarrière en een heel klein beetje erbuiten. Doordat de kernkracht zeer snel afneemt met de afstand tussen de kerndeeltjes, wint buiten de kern de afstotende elektrische kracht tussen de positieve protonen en het positieve alfadeeltje het van de aantrekkende kracht tussen de kerndeeltjes. Een alfadeeltje buiten de kern wordt daardoor ‘weggeschoten’, als het uit de kern is getunneld. EE Door

tunneling kan een deeltje worden waargenomen op een plaats waar je het klassiek niet zou verwachten. Het lijkt alsof een deeltje door de energie-barrière heen is gegaan. EE Een scanning tunneling microscoop (STM) maakt gebruik van tunneling van elektronen. De stroomsterkte (tunnelstroom) hangt af van de afstand tussen de punt van de naald en de atomen op het oppervlak.

112 Waar of niet waar? Verbeter de onjuiste uitspraken. a b c d e f

Tunneling betekent dat deeltjes op plekken kunnen komen waar je ze klassiek niet zou verwachten. Bij tunneling gaat een deeltje over een energiebarrière heen. Bij een elektron-in-een-doosje bestaan de ‘wanden’ uit elektrische velden. De kans op tunneling van vrije elektronen uit een metaal neemt toe als de temperatuur van het metaal stijgt. De kans op tunneling van een a-deeltje uit een radioactieve kern neemt toe als de temperatuur van het radioactieve materiaal stijgt Bij een STM-microscoop wordt een oppervlak beschoten met elektronen.

113 Alfaverval is een toevalsproces. Bij een individuele radioactieve kern is niet te voorspellen op welk tijdstip het atoom vervalt, maar bij een groot aantal is de activiteit een exponentiële functie met een goed te bepalen halveringstijd. a Leg uit wat halveringstijd en kans op tunneling met elkaar te maken kunnen hebben.

Quantumwereld 14.7 Tunneling B egrijpen

Protonen en neutronen trekken elkaar onderling allemaal aan met de sterke kernkracht, die zo snel afneemt met de afstand dat hij alleen werkt als er contact is tussen de kerndeeltjes. b Leg uit dat de energiebarrière die een alfadeeltje in een alfa-radioactieve kern opgesloten houdt, smal en hoog is. De protonen in een kern stoten elkaar allemaal af met een elektrische kracht die op zeer korte afstand veel kleiner is dan de sterke kernkracht. Maar doordat die kernkracht zeer veel sneller afneemt met de afstand dan de elektrische kracht wordt een alfadeeltje vlak buiten de kern sterk afgestoten. c Leg uit dat de energiebarrière voor alfadeeltjes in een alfa-radioactieve kern geschetst kan worden zoals in figuur 110. De rode lijn in figuur 110 is de ‘golffunctie’. Het kwadraat van de amplitude van de golffunctie geeft de waarschijnlijkheidsverdeling aan. d Leg uit hoe je in figuur 110 kunt aflezen dat het uitgezonden alfadeeltje op grote afstand buiten het atoom een energie heeft van 9 MeV. e Leg uit waarom je eigenlijk helemaal niet kunt spreken over een alfadeeltje ‘in’ een alfa-radioactieve kern, maar alleen over een alfadeeltje ‘uit’ een alfaradioactieve kern.

114 Bij het ‘verdampen’ van watermoleculen bij kamertemperatuur is ook sprake van toeval. De snelheid van een individueel molecuul verandert door onderlinge wisselwerkingen met andere watermoleculen voortdurend. De snelheid van een watermolecuul aan de oppervlakte kan daardoor zo hoog zijn dat het molecuul aan de aantrekkende krachten van de omringende moleculen ontsnapt en aan het water ontsnapt. a Leg uit dat de oppervlaktespanning een energiebarrière is voor watermoleculen. b Leg uit dat moleculen met een te lage snelheid niet aan het water kunnen ontsnappen. c Leg uit dat de kans dat een individueel atoom aan de vloeistof ontsnapt toeneemt, als de temperatuur stijgt. d Is deze kans ook te berekenen met een debroglie-golflengte?

115 Bij een STM wordt de stroomsterkte gemeten tussen de naald en het oppervlak. a b c d e

Leg in je eigen woorden uit dat hier sprake is van tunneling. Wordt de kans op tunneling groter of kleiner als de afstand tussen de naald en het oppervlak toeneemt? Hoe verandert de sterkte van de tunnelstroom als de afstand tussen de naald en het oppervlak toeneemt? Beschrijf hoe de afstand tot het oppervlak gemeten wordt. Iemand noemt een STM een brailleleesapparaat. Klopt die beeldspraak? Zo nee, wat is er fout aan?

energie E (MeV)

2 3 4 5 afstand vanaf middelpunt

Figuur 110 Energiebarrière voor een alfadeeltje in een alfa-radioactieve kern.

B eheersen 14.7 Tunneling Quantumwereld

BEHEERSEN Kans op tunneling VO O R B E E L D Voor uranium-238 is de halfwaardetijd 4,5 miljard jaar, voor polonium-209 is dat 102 jaar. Vraag: Leg uit welke factoren het verschil tussen uranium-238 en polonium-209 veroorzaken. Antwoord: De massa van het tunnelende deeltje verschilt niet, het gaat in beide gevallen om een α-deeltje. De barrière is bij uranium-238 hoger en/of breder dan bij polonium-209, omdat de kans op tunneling kleiner is.

De kans op tunneling hangt van verschillende factoren af, in de eerste plaats van de hoogte van die energiebarrière ten opzichte van de energie van het deeltje. Klassiek gezien gaat het dus om de hoeveelheid energie die het deeltje tekort komt om de energiebarrière te overwinnen. Een hogere energiebarrière betekent een kleinere kans op tunneling. Hetzelfde geldt voor de breedte van de energiebarrière, zoals de afstand tussen de naald en het oppervlak bij een STM. Hoe groter die afstand des te kleiner de kans op tunneling en des te kleiner de stroomsterkte. Tot slot hangt de kans op tunneling af van de massa van het deeltje. Bij een kleinere massa hoort (meestal) een grotere debroglie-golflengte. Dan strekt de waarschijnlijkheidsverdeling zich verder uit in de barrière. Een elektron heeft een kleine massa en daardoor is de kans op tunneling groot. Voor de kans op tunneling geldt: EE Als de energiebarrière hoger is, is de kans op tunneling kleiner. EE Als de energiebarrière breder is, is de kans op tunneling kleiner. EE Als de massa van het deeltje groter is, is de kans op tunneling kleiner. Tunneling treedt alleen op bij atomaire deeltjes, niet bij knikkers of auto’s. Dat komt doordat de debroglie-golflengte van bijvoorbeeld knikkers veel te klein is, zodat de kans om te tunnelen voor een knikker verwaarloosbaar klein is. Soms wordt net gedaan alsof door tunneling alles mogelijk is, omdat de kans op tunneling nooit gelijk is aan nul, zelfs niet voor een olifant die door een muur tunnelt. Maar als je daaraan rekent, wordt de uitkomst zo klein dat het in de praktijk nooit voorkomt.

REDENEREN 116 De paragraafvraag was: Wat is tunneling en wanneer speelt het een rol? Wat is het antwoord op deze vraag?

117 In een scanning tunneling microscoop (STM) hangt de stroomsterkte af van de kans op tunneling. a Hoe wordt bij een STM de breedte van de energiebarrière aangepast? b Hoe kan bij een STM de hoogte van de energiebarrière worden veranderd?

118 Zowel uit een brokje uranium als uit radium komt α-straling. Radium heeft een veel kleinere halveringstijd dan uranium. Noem de twee mogelijke verschillen tussen de energiebarrière bij radium en die bij uranium.

119 In de zon vindt kernfusie plaats, doordat bijvoorbeeld losse protonen samen een nieuwe atoomkern van helium vormen. Fusie van protonen vindt echter pas plaats als de protonen zeer dicht bij elkaar zijn, zodat de sterke kernkracht het wint van de elektrische afstoting. Maar om zo dicht bij elkaar te kunnen komen, moeten de protonen een zeer grote snelheid hebben. Daarvoor is een temperatuur nodig van ongeveer 1010 K, veel hoger dan de temperatuur in de

Quantumwereld 14.7 Tunneling verdiepen

zon, die ongeveer 107 K is. Toch vindt kernfusie plaats in de zon, ondanks de barrière die de elektrische afstoting vormt. Leg uit dat aan de fusie van kernen in de zon tunneling vooraf gaat.

120 Het Engelse bedrijf Peratech maakt Quantum Tunneling Composiet materiaal.

BEREKENEN

Figuur 111 Quantum Tunneling Composiet

weerstand R (Ω)

Het bestaat uit heel veel, heel kleine onregelmatige metaalkorrels (zie figuur 109), vermengd met isolerend materiaal. Het composietmateriaal als geheel is isolerend, maar als je erop drukt neemt de weerstand snel af (zie figuur 111). Daardoor zijn er veel toepassingen mogelijk, bijvoorbeeld in een soort touch screen, ingebouwd in kleding (figuur 113). Geleiding vindt plaats doordat elektronen van metaalkorreltje naar metaalkorreltje tunnelen, door het isolerende tussenlaagje heen. a Noem drie grootheden die de kans op tunneling bepalen. b Geef een verklaring voor het afnemen van de weerstand bij grotere drukkracht. Bij halfgeleidend materiaal neemt de geleiding toe bij een hogere temperatuur. c Bij Quantum Tunneling Composiet vindt tunneling plaats. Leg uit dat je daardoor verwacht dat de weerstand van dit materiaal niet afhangt van de temperatuur. Het blijkt dat de weerstand toch een beetje toeneemt als de temperatuur stijgt. Dit komt niet doordat de weerstand van de metaalkorreltjes verandert, het komt doordat er iets aan het tunnelen verandert. d Leg uit wat er aan het tunnelen verandert als de temperatuur toeneemt.

10.000.000 1.000.000 100.000 10.000 1.000 100 10 1

20 25 kracht F (N)

Figuur 112 Weerstand als functie van de kracht.

121 In het elektronenkanon in bijvoorbeeld een röntgenbuis komen elektronen vrij uit de kathode, doordat die verhit wordt. De uittree-energie krijgen de vrijkomende elektronen door thermische trillingen en botsingen aan het oppervlak van het kathodemetaal. In de eerste röntgenbuizen werd de kathode niet verhit. In die zogenaamde ‘koude kathode’ buizen werd een heel hoge spanning gebruikt tussen anode en kathode. a Leg uit dat in die oude buizen sprake was van tunneling. b Schets in een tekening hoe de energiebarrière eruit zal zien als de hoogspanning over de buis nog nul is c Schets ook de energiebarrière als de hoogspanning ingeschakeld is. Figuur 113 Quantum Tunneling Composiet als

VERDIEPEN

touchscreen in kleding.

Tunneling bij licht In de quantumwereld kunnen deeltjes schijnbaar door een energiebarrière heen tunnelen. De waarschijnlijkheidsverdeling is niet nul aan de andere kant van de energiebarrière die het deeltje ‘opgesloten’ houdt. Tunneling kan ook optreden bij licht. In figuur 114 links zie je dat een lichtbundel volledig teruggekaatst wordt door de schuine zijde van een prisma. Geen enkel foton kan aan de schuine zijde ontsnappen uit het glas. Wanneer de twee prisma’s tegen elkaar geplaatst worden, is er toch altijd

Figuur 114

verdiepen 14.7 Tunneling Quantumwereld

nog een dun laagje lucht tussen, een energiebarrière voor de fotonen. De dikte van het luchtlaagje wordt kleiner als de prisma’s tegen elkaar geduwd worden, de energiebarrière wordt smaller en de kans op tunneling groter. Een groter percentage van de fotonen zal daardoor niet weerkaatst worden, maar rechtdoor gaan. De oorspronkelijke lichtbundel wordt door het dubbele prisma gesplitst in twee lichtbundels, het dubbele prisma functioneert als een beamsplitter. Je kunt de verdeling van de fotonen over de twee lichtbundels variëren door de prisma’s meer of minder hard tegen elkaar te duwen. Figuur 115 Beamsplitter

122 Een bepaalde beamsplitter splitst de lichtbundel van een HeNe-laser (rood

Figuur 116 Beamsplitter

laserlicht) in twee even sterke lichtbundels. In figuur 116 is dit schematisch weergegeven. a Leg uit wat de rol van het luchtlaagje tussen de twee prisma’s is. b Wat verandert er aan de lichtbundels 2 en 3 als de twee prisma’s tegen elkaar worden gedrukt? Gebruik in je uitleg het woord tunneling. Een andere beamsplitter is gemaakt om blauw laserlicht in twee even sterke bundels te splitsen. c Is de dikte van de luchtlaag tussen de prisma’s bij deze beamsplitter kleiner of groter dan bij de beamsplitter voor rood licht? Leg uit. d Wat zul je waarnemen als op de beamsplitter voor blauw licht een rode laserbundel gericht wordt? Leg je antwoord uit.

Quantumwereld

14.8 Afsluiting HOOFDSTUKVRAAG EN SAMENVATTING 123 De hoofdstukvraag was: Wat zijn quantumverschijnselen en hoe zijn die te verklaren? Geef een uitgebreid en compleet antwoord op deze vraag.

124 Maak een samenvatting van dit hoofdstuk door antwoord te geven op de volgende vragen. a Van welke factoren hangt de fotonenergie af? b Van welke factoren hangt de kinetische energie van een materiedeeltje af? c Beschrijf het atoommodel waarmee verklaard kan worden dat atomen alleen fotonen met bepaalde energieĂŤn kunnen absorberen en uitzenden. d Welke golfverschijnselen treden op bij het dubbelspleetexperiment met elektronen? e Hoe verandert het interferentiepatroon bij een dubbelspleet als de afstand tussen de spleten kleiner wordt? f Noem twee voorbeelden waarin zich het deeltjeskarakter van elektronen manifesteert. g Noem twee voorbeelden waarin zich het deeltjeskarakter van licht manifesteert. h Beschrijf hoe je met behulp van het foto-elektrisch effect en de uittreeenergie van het metaal de energie van fotonen kunt bepalen. i Welke twee deeltjesgrootheden blijven bij botsingen behouden? j Met welke formules bereken je de energie en de impuls van fotonen? k Hoe bereken je de debroglie-golflengte van materiedeeltjes? l Waardoor zijn bij een elektronenmicroscoop kleinere details zichtbaar dan bij een lichtmicroscoop? m Kan een waarschijnlijkheid negatief zijn? n Welke relatie is er tussen een staande debroglie-golf van een deeltje en de waarschijnlijkheid het deeltje waar te kunnen nemen? o Leg uit wat bij een elektron wordt bedoeld met de onbepaaldheid van plaats en de onbepaaldheid van impuls. p Welke formule beschrijft de relatie tussen de minimale onbepaaldheid van plaats en de minimale onbepaaldheid van impuls van een deeltje? q Wat wordt bedoeld met het begrip waarschijnlijkheidsverdeling? r Kun je bij een elektron dat gebonden is aan een atoom spreken van de positie van het elektron op een bepaald moment? Leg uit. s Met welke formule worden de energieniveaus van het waterstofatoom beschreven? t Wat wordt bedoeld met het begrip nulpuntsenergie? u Waardoor is de nulpuntsenergie van een gebonden elektron negatief? v Beschrijf een belangrijk verschil tussen het oude atoommodel van Bohr en het model met elektronenwolken. w Leg het verschijnsel buiging van een elektronenbundel bij een spleet uit met de onbepaaldheidsrelatie van Heisenberg. x Hoe hangt de kans op tunneling af van de hoogte en de breedte van de energiebarriĂ¨re? y Noem een toevalsproces waarbij tunneling een rol speelt. z Hoe hangt de debroglie-golflengte en de energie van een deeltje in een doosje af van de afmetingen van het doosje?

W Begrippenkaart Ga na of je van elk begrip goed weet wat het betekent. W Formulekaart Ga na of je van elke formule weet wat die betekent en in welke situatie(s) die wordt gebruikt. W Samenvatting Bestudeer de samenvatting. W Diagnostische toets Test je kennis over de leerstof in dit hoofdstuk.

14.8 Afsluiting Quantumwereld

aa Wanneer zijn er quantumverschijnselen te verwachten bij vrije elektronen in

een metaal? ab Met welke formule kun je de energieniveaus van een deeltje in een doosje

berekenen?

W Keuzeonderwerpen 1 Elektronendiffractie bij grafiet 2 Schrödingers kat 3 Quantumcryptografie 4 Bragg-reflectie

P RO B L E E M O P LO SS E N Je kunt een aantal eindopgaven stapsgewijs uitwerken.

KEUZEONDERWERPEN De theorie in dit hoofdstuk gaat over quantumverschijnselen bij elektromagnetische straling en bij materiedeeltjes Hiernaast staat een aantal keuzeonderwerpen waarin je deze theorie toepast. Ook zijn er twee keuzeonderwerpen (Schrodingers kat en Quantumcryptografie) waarmee je dieper de quantumwereld in kunt duiken.

EINDOPGAVEN 125 Bij zink is gemeten dat er elektronen uit vrij worden gemaakt als de frequentie van de opvallende straling minstens 1,03 · 1015 Hz is. Twee verschillende oppervlakken zink worden nu door straling met dezelfde intensiteit getroffen (in W · m−2). De frequentie van de straling bij oppervlak A is 1,5 · 1015 Hz, die bij oppervlak B is 2,0 · 1015 Hz. Bewering I: B undel B maakt per seconde meer elektronen vrij uit het metaal dan bundel A. Bewering II: B undel B maakt elektronen vrij die met grotere snelheid het metaal verlaten dan de elektronen die door bundel A worden vrijgemaakt. a Welke van de twee beweringen is (zijn) waar? A Alleen bewering I is waar. B Alleen bewering II is waar. C De beweringen I en II zijn beide waar. D De beweringen I en II zijn beide niet waar. Vervolgens worden twee bundels gebruikt die beide een frequentie hebben van 1,5 · 1015 Hz, maar bundel B heeft een grotere intensiteit dan bundel A. Bewering I: B undel B maakt per seconde meer elektronen vrij uit het metaal dan bundel A. Bewering II: B undel B maakt elektronen vrij die met grotere snelheid het metaal verlaten dan de elektronen die door bundel A worden vrijgemaakt. b Welke van de twee beweringen is (zijn) waar? A Alleen bewering I is waar. B Alleen bewering II is waar. C De beweringen I en II zijn beide waar. D De beweringen I en II zijn beide niet waar.

126 Een laser zendt pulsen infraroodstraling uit met een golflengte van 1064 nm. De pulsen hebben een tijdsduur van 2,5 ms en de totale energie van een puls bedraagt 30 J. a Bereken het vermogen van de laser tijdens het uitzenden van een puls. b Bereken het aantal fotonen van een puls.

Quantumwereld 14.8 Afsluiting

Tijdens het uitzenden van de fotonen door de laser is sprake van een reactiekracht op de laser die te vergelijken is met een raketmotor die gasmoleculen wegschiet. c Bereken de totale impuls van een enkele puls infraroodstraling. d Bereken de gemiddelde kracht op de laser tijdens de puls.

127 Voor de kinetische energie van een deeltje geldt: E k = 12 ⋅ m ⋅ v 2 . p2

Laat zien dat dit ook geschreven kan worden als E k = 2 m .

h Gebruik p = λ om af te leiden dat E k = . 2m ⋅ λ 2

Voor het deeltje in een doosje met lengte L geldt dat λn = n . c

Gebruik deze formule om af te leiden dat E k,n =

n2 ⋅h2 . 8m ⋅ L2

128 De grootte van een atoom is de ruimte die de elektronenwolken innemen. De overgang tussen de grondtoestand en de eerste aangeslagen toestand van een atoom komt overeen met een belangrijke spectraallijn. Voor een aantal atomen ligt deze spectraallijn in het nabije uv, met golflengten in de orde van grootte van 10−7 m. a Laat zien dat het energieniveau van de eerste aangeslagen toestand in de buurt van 10 eV boven het niveau van de grondtoestand ligt. b Bereken de orde van grootte van een dergelijk atoom. Op dezelfde manier kun je een atoomkern beschouwen als een doosje waarin protonen en neutronen opgesloten zitten. Ook kerndeeltjes kunnen in een kern alleen discrete energieniveaus aannemen. De verschillen tussen deze energieniveaus zijn echter veel groter dan die bij de elektronen in het atoom. De straling die een aangeslagen kern uitzendt is γ-straling, met een fotonenergie in de orde van grootte van 1 MeV. c Bereken de orde van grootte van een atoomkern. d Beredeneer dat in een gebonden systeem de afstand tussen de grondtoestand en het eerste aangeslagen energieniveau kleiner is naarmate het systeem groter is.

129 Hoog in de atmosfeer vinden kernreacties plaats door botsingen van zeer snelle

n=3 energie

deeltjes van de kosmische straling met bijvoorbeeld waterstofkernen. Zo ontstaan regelmatig tritiumkernen (T = 31 H ) in een aangeslagen toestand. Bij terugval naar de grondtoestand zendt de tritiumkern een gammafoton uit. Gebruik het deeltje-in-een-doosje-model en benader de tritiumkern door een doos met lengte L van 10−14 m. Het terugvallen van de aangeslagen tritiumkern betekent in deze benadering dat een neutron terugvalt van energietoestand n = 2 naar n = 1. Laat met een berekening zien dat hierbij inderdaad een gammafoton vrijkomt.

130 In figuur 117 zijn drie quantumtoestanden getekend van een deeltje-in-een-

λ = 2L/3

λ=L

doosje. Leg uit dat de linkertekening een ‘momentopname’ voorstelt van de debroglie-golf van elke toestand. b Leg uit dat de rechtertekening de waarschijnlijkheidsverdeling weergeeft om het deeltje waar te nemen. a

λ = 2L L Figuur 117

n=2 n=1

14.8 Afsluiting Quantumwereld

energie

Figuur 118

Laat met een berekening zien dat de energieën van de verschillende quantumtoestanden (ongeveer) juist aangegeven zijn, ten opzichte van elkaar. d Leg uit waaraan je kunt zien dat de wanden van het doosje van het model van figuur 117 bestaan uit oneindig hoge energiebarrières. In figuur 118 is naast het doosje van figuur 117 nog een ander doosje getekend, dat even breed is. e Hoe kun je aan de waarschijnlijkheidsverdelingen zien dat de deeltjes in het rechterdoosje niet tussen oneindig hoge energiebarrières zijn opgesloten, zoals in het linkerdoosje. f Leg uit waardoor de energieën van dezelfde deeltjes in het rechterdoosje kleiner zijn dan in het even brede linkerdoosje. g Leg uit waardoor de deeltjes in het rechterdoosje in de aangeslagen toestand verder in de wand doordringen dan in de grondtoestand. h Leg uit of in het rechterdoosje sprake is van tunneling.

Quantumwereld 14.8 Afsluiting verdiepen