9789006078800 inkijkexemplaar

- zelfstandig voorbereiden op het examen - examen voorbereiden op basis van persoonlijk studieadvies - stapsgewijs toewerken naar het examenniveau - oefenen met recente examens vwo Duits vwo Engels vwo Frans vwo Nederlands vwo biologie

www.samengevat.nl

samengevat

examenbundels

Meer kans van slagen met de Examenbundel!

De Examenbundel bevat oefen­examens met uitleg bij de antwoorden, zodat je leert tijdens het oefenen.

vwo natuurkunde vwo scheikunde vwo wiskunde A vwo wiskunde B

De bundel is speciaal samengesteld voor dit schooljaar, dus je oefent altijd de juiste stof.

Test je kennis met de OriĂŤntatietoets en

vwo wiskunde C

kijk voor meer tips om te slagen op

vwo aardrijkskunde

www.examenbundel.nl.

vwo economie vwo geschiedenis vwo m&o vwo maatschappijwetenschappen

vwo

examenbundel + samengevat = jouw succesformule

vwo

wiskunde B

samengevat Meer kans van slagen met Samengevat!

Samengevat biedt je een helder en beknopt overzicht van alle examenstof. vwo biologie vwo natuurkunde vwo scheikunde

Met Samengevat kun je grote hoeveel-

wiskunde B

- schematisch overzicht van alle examenstof - beknopte en heldere uitleg - snel en overzichtelijk door te nemen en te herhalen - het perfecte uittreksel

heden stof snel herhalen en overzien. Je krijgt beter inzicht in de samenhang van de onderwerpen en het onderscheid

vwo wiskunde A

tussen hoofd- en bijzaken.

vwo wiskunde B

Kijk voor tips en informatie over je

vwo wiskunde C

examen op www.examenbundel.nl.

vwo aardrijkskunde vwo geschiedenis vwo economie vwo m&o h/v Nederlands 3F / 4F h/v rekenen 3F

9789006078800_SG_vWisB_OS.indd 1

9 789006 078800

8/06/17 17:05

9006078800_boek.indb 1

8/06/17 15:07

www.samengevat.nl

vwo

wiskunde B

N.C. Keemink P. Thiel

9006078800_boek.indb 1

8/06/17 15:07

Vormgeving: Criterium, Arnhem Opmaak: Grafivorm, Meppel Omslagfoto: agsandrew | Shutterstock

Over ThiemeMeulenhoff ThiemeMeulenhoff ontwikkelt zich van educatieve uitgeverij tot een learning design company. We brengen content, leerontwerp en technologie samen. Met onze groeiende expertise, ervaring en leeroplossingen zijn we een partner voor scholen bij het vernieuwen en verbeteren van onderwijs. Zo kunnen we samen beter recht doen aan de verschillen tussen lerenden en scholen en ervoor zorgen dat leren steeds persoonlijker, effectiever en efficiënter wordt.

Samen leren vernieuwen. www.thiememeulenhoff.nl ISBN 978 90 06 07880 0 eerste druk, eerste oplage, 2017 © ThiemeMeulenhoff, Amersfoort, 2017 Alle rechten voorbehouden. Niets uit deze uitgave mag worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd gegevensbestand, of openbaar gemaakt, in enige vorm of op enige wijze, hetzij elektronisch, mechanisch, door foto­ kopieën, opnamen, of enig andere manier, zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van de uitgever.

Voor zover het maken van kopieën uit deze uitgave is toegestaan op grond van artikel 16B Auteurswet 1912 j° het Besluit van 23 augustus 1985, Stbl. 471 en artikel 17 Auteurswet 1912, dient men de daarvoor wettelijk verschuldigde vergoe­ dingen te voldoen aan Stichting Publicatie- en Reproductierechten Organisatie (PRO), Postbus 3060, 2130 KB Hoofddorp (www.stichting-pro.nl). Voor het overnemen van gedeelte(n) uit deze uitgave in bloemlezingen, readers en andere compi­ latiewerken (artikel 16 Auteurswet) dient men zich tot de uitgever te wenden. Voor meer informatie over het gebruik van muziek, film en het maken van kopieën in het onderwijs zie www.auteursrechtenonderwijs.nl.

De uitgever heeft ernaar gestreefd de auteursrechten te regelen volgens de wettelijke bepalingen. Degenen die des­ ondanks menen zekere rechten te kunnen doen gelden, kunnen zich alsnog tot de uitgever wenden.

Deze uitgave is volledig CO2-neutraal geproduceerd.

Het voor deze uitgave gebruikte papier is voorzien van het FSC®-keurmerk.

Dit betekent dat de bosbouw op een verantwoorde wijze heeft plaatsgevonden.

9006078800_boek.indb 2

8/06/17 15:07

voorwoord Beste examenkandidaat, Voor je ligt de geheel vernieuwde Samengevat, aangepast aan de exameneisen die vanaf 2018 van kracht worden.

Alle onderwerpen die in de examens aan de orde komen, worden in dit boek kort en systema­ tisch weergegeven.

In het eerste hoofdstuk wordt de algebra (het rekenen met letters) behandeld. In de hoofd­ stukken 2 t/m 7 worden alle soorten functies, differentiëren, integreren, meetkunde, parame­ tervoorstellingen en cirkels behandeld. De grafische rekenmachines worden in hoofdstuk 8 (Texas Instruments) en hoofdstuk 9 (CASIO) samengevat.

De theorie van elk onderwerp wordt op de linkerbladzijde besproken. Hoofd- en bijzaken worden onderscheiden waardoor je inzicht krijgt in de grote lijnen van de stof en in de samen­ hang tussen de verschillende onderwerpen.

Op de rechterbladzijde staan de vragen die aansluiten bij de theorie van de linker bladzijde.

Direct na iedere vraag volgt het antwoord. Je kunt dus direct nagaan of je de theorie van de linker bladzijde begrepen hebt en of je de stof beheerst.

Elk hoofdstuk eindigt met een korte samenvatting op de linkerpagina’s en enkele denkacti­ viteiten op de rechterpagina’s. Deze denkactiviteiten zijn complexere opgaven waarin je zelf­ standig meerdere denkstappen moet nemen om het probleem op te lossen. Ook hier staan de oplossingen direct na de opgaven. Deze denkactiviteiten sluiten goed aan bij de opgaven van de schoolexamens en het centraal examen.

Met Samengevat bereid je je zelfstandig voor op het examen. Hoewel alle onderwerpen in dit boek tot de lesstof voor het centraal examen behoren, wordt kennis hiervan voor een deel ook op het schoolexamen getoetst. Om die reden en omdat Samengevat een uitgebreid trefwoor­ denregister bevat, is dit boek ook al goed bruikbaar in 5-VWO. Gecombineerd met de Examenbundel VWO wiskunde B vormt deze Samengevat de beste voor­ bereiding op je examen: de theorie vind je in Samengevat en je oefent met de opgaven uit de Examenbundel!

Samengevat en Examenbundel zijn naast elke methode te gebruiken.

Heb je opmerkingen? Meld het ons via vo@thiememeulenhoff.nl.

Amersfoort, april 2017

9006078800_boek.indb 3

8/06/17 15:07

hoe werk je met dit boek?

In SAMENGEVAT vormen linker- en rechterbladzijde een geheel. De begrippen die links kort worden weergegeven, worden rechts nader toegelicht (door voorbeeldvragen).

LINKERBLADZIJDE Op de linkerbladzijde staan boomdiagrammen die de onderlinge relaties van begrippen laten zien.

De linkerbladzijde dient als een checklist om snel na te gaan of de genoemde onderwerpen bekend zijn. dit is het hoofdbegrip begrip van 1e orde, geeft toelichting

→ vergelijking van lijn opstellen y = rx + p

Q(c,d)

eerste manier

op vergelijking van lijn opstellen

→  twee punten zijn gegeven P(a,b) en Q(c,d)

cursieve tekst geeft de relatie met

→

de volgende opsomming aan

Δy = d – b

in twee stappen

Δy yQ − yP d − b = = r= berekening  Δx x Q − x P c − a

richtingscoëfficiënt

P(a,b)

Δx = c – a

P(a,b) in y = rx + p invullen om p te berekenen begrip van 2e orde, geeft informatie →  als twee punten gegeven zijn

begrippen van 3e orde zijn ook

of y – b = r(x – a) uitwerken

geeft meteen de vergelijking

of beide punten gebruiken

mogelijk: geven toelichting op

 vul P(a,b) en Q(c,d) in de vergelijking y = rx + p in;

begrip van 2e orde

er ontstaan 2 vergelijkingen met 2 onbekenden

tweede manier

 uit grafiek y = rx + p twee mogelijkheden  snijpunt met verticale as is (0,p) en bepaal met behulp van

grafiek richtingscoëfficiënt r

lees twee punten af uit de grafiek P(a,b) en Q(c,d) en bereken 

de vergelijking met behulp van deze twee punten

RECHTERBLADZIJDE Op de rechterbladzijde vind je nadere informatie die je nodig hebt als de begrippen links onvoldoende bekend zijn.

Bij wiskunde B bestaat de toelichting in hoofdzaak uit opgaven voorzien van voorbeelduitwerkingen.

Hier vind je een voorbeeld van een → vergelijking van een lijn opstellen als twee punten gegeven zijn vraagstuk over een onderwerp links.

- Bepaal een vergelijking van de lijn door de punten (1,8) en (3,–1) - eerste manier: rc =

De vraagstelling is altijd cursief.

−1 − 8 = −9 = −4 1 2 3 −1 2

y = −4 12 x + b bv. (1,8) invullen geeft 8 = −4 1 ⋅1 +b dus b =12 1 2 2

- vergelijking wordt: y = − 4 12 x + 12 12 - tweede manier: rc =

9006078800_boek.indb 4

−1 − 8 = −9 = −4 1 2 3 −1 2

bv. (1,8) invullen in y − b = −4 12 ( x − a) geeft y − 8 = −4 12 ( x − 1)

vergelijking wordt: y = − 4 12 x + 12 12

8/06/17 15:07

inhoud voorwoord

3

hoe werk je met dit boek?

4

1 algebraïsche vaardigheden

6

2 functies en grafieken (lineair-, macht-, wortel-, gebroken-, absoluut-)

18

3 exponentiële en logaritmische functies

58

4 periodieke functies

76

5 differentiëren

114

6 integreren

130

7 meetkunde en cirkels

154

• overzicht bekende meetkunde • vectoren • bewegingsvergelijkingen • cirkels 8 grafische rekenmachine Texas Instruments (TI-84)

200

9 grafische rekenmachine CASIO

222

bijlage 1 afrondregels bij het examen wiskunde B

245

bijlage 2 examenwoorden

247

bijlage 3 formulekaart voor bij het centraal examen

249

trefwoordenregister

251

9006078800_boek.indb 5

8/06/17 15:07

6

begrippen en relaties

1

Algebraïsche vaardigheden

rekenen zonder rekenmachine

berekening en afronding bij verschillende manieren van vraagstelling ¢ los algebraïsch op, bereken exact, los exact op ¢ bereken

je antwoord altijd zonder rekenmachine en geef de tussenstappen eventueel met een wortel of breuk

¢ geef een exact antwoord

3 , p en e in het antwoord laten staan, dus niet benaderen

1 2

,

1 2

is niet hetzelfde als 0,5 (want 0,5 is een getal tussen 0,45 en 0,549999…)

¢ bereken, los op, benader ook de grafische rekenmachine mag gebruikt worden ¢ antwoord benaderen

reken met de niet-afgeronde getallen en rond pas af aan het eind van de berekening. ¢ rekenen en volgorde van bewerking voorbeeld. bereken

(

)

3 23⋅3+5⋅2−12: 4⋅ 9 −12 =

¢ eerst binnen haakjes de uitkomst berekenen ¢ machtsverheffen

¢ vermenigvuldigen ¢ optellen

¢ geeft

(

)

en/of worteltrekken 3 8⋅3+5⋅2−12: 4⋅3 −12 =

(

)

en/of delen 3⋅ 24 +10− 9 −12 =

( )

en/of aftrekken 3⋅ 25 −12 =

( )

3⋅ 25 −12 = 75−12 = 63

breuken gelijknamig maken schrijf als één breuk, dus als

teller noemer

¢ A + C = AD + BC = AD + BC dus 1 + 1 = B + A = A+ B en 1 +1 = 1 + A = 1+ A BD B D BD BD A B AB AB AB A A A A C A⋅B C + A⋅B C ¢ +B = + = A A A A B A B A⋅B ¢ A⋅ = ⋅ = maar is ook te schrijven als A⋅B⋅ 1 = B⋅ A C 1 C C C C C A⋅C A ¢ ⋅ = B D B⋅D ¢ A = A⋅ C = A ⋅ C = A⋅C delen door een breuk is vermenigvuldigen met z’n omgekeerde ⎛ B⎞ B 1 B B ⎜⎝ ⎟⎠ C breuken vereenvoudigen door boven en onder door hetzelfde getal te delen A ⋅C C = ¢ A⋅C = A⋅B A ⋅B B

( A+ C is niet te vereenvoudigen) A⋅B

3 2 2 A ⋅ A ⋅ A⋅ B ⋅C 2 A⋅C 2 = ¢ A ⋅B⋅C = A⋅ A⋅ A⋅B⋅C = 2 3 A⋅ A⋅B⋅B⋅B A ⋅ A ⋅ B ⋅B⋅B A ⋅B B2 2 A⋅( A+B ) A ⋅( A+B ) A+B ¢ A + AB = = = A⋅ A⋅B A ⋅ A⋅B A⋅B A2 ⋅B

9006078800_boek.indb 6

8/06/17 15:07

7

toelichting

1.1

herschrijf onderstaande opgaven tot één breuk zonder rekenmachine 2+ x + 5 = 1 2 ⋅ 3 = e 3+ 1 + 2 g a 2 3 +1 1 = c 5x x 2 4 5 9 5 3x +1 x −1 3 + 2 = f 3x +5 − x 2 +1 = x 2 ⋅ 3+5x + 2 = h b 1 2 − 3 = d 9 5 x 4− x x 2 +1 a 2 3 +1 1 = 2+1+ 3 + 1 = 3+ 3⋅5 + 1⋅4 = 3+ 15 + 4 = 3 19 4 5 4 5 4⋅5 5⋅4 20 20 20 b 1 2 − 3 = 11⋅5 − 3⋅9 = 55 − 27 = 28 9 5 9⋅5 5⋅9 45 45 45 c herschrijven tot teller (zonder getallen er voor): 1 2 ⋅ 3 = 11 ⋅ 3 = 33 = 11 noemer 9 5 9 5 45 15 3 2x 3+ 2x 3 d +2= + = x x x x 2 2 e nieuwe noemer wordt 5x2 dus 3+ 1 + 2 = 3⋅5x + 1⋅ x + 2⋅5 = 15x + x +10 2 2 2 2 5x x 5x 5x 5x 5x 2 2 2 2 3 2 3 2 (3+5x ) 2( x +1) 3x +5x f x 2 ⋅ 3+5x + 2 = x ⋅ + = + 2x + 2 = 5x +5x + 2 2 1 x 2 +1 x +1 x 2 +1 x 2 +1 x 2 +1 x 2 +1 g

2+ x + 5 = (2+ x )(x −1)+5(3x +1) = x 2 +16 x +3 (3x +1)(x −1) 3x +1 x −1 (3x +1)(x −1)

2 (3x +5)⋅1+( − x 2 +1)(4 − x ) x 3 − 4 x 2 + 2x + 9 h 3x +5 − x 2 +1 = 3x +5 + − x +1 = = 4− x 4− x 1 4− x 4− x

1.2

schrijf als één breuk en vereenvoudig zo ver mogelijk 1 +3 12 2 3 12a ⋅b⋅c 9 x a = c 3+ = e = 3 2 2 6a ⋅b⋅c +5 4 x 5 a 1+ ⎛ x ⎞⎛ 1 ⎞ = 4a2 ⋅ 3a2 + b = f b = d b ⎜ 1− ⎟ ⎜ ⎟ 3 3 ⎝ y⎠⎝ x− y⎠ b a ⋅b⋅c 4+ c d ⎛ 11 ⎞ b+a a+b 2 1 1+ a ⎜⎝ ⎟⎠ d ⋅(a + b) 9 11 5 55 5 b 9 b b a = = ⋅ = = b = = b = a+b ⋅ d = ⎛ 22 ⎞ 9 22 198 18 b c + 6d b⋅(c + 6d) 2 c c 4d c + 6d 4 4+ + ⎜ ⎟ 5 ⎝ 5⎠ d d d d 2 3 2 2 2 c 3+ 12a ⋅b⋅c = 3+ 2c = 3a + 2c = 3a + 2c a a a a 6a3 ⋅b⋅c

(

)

(

)

4a2 ⋅ 3a2 + b a2 ⋅ 12a2 + 4b 2 2 4 2 2 d 4a ⋅ 3a + b = = 12a + 4a ⋅b = = 12a + 4b b3 a3 ⋅b⋅c b3 ⋅(a3 ⋅b⋅c) a3 ⋅b 4 ⋅c a3 ⋅b 4 ⋅c a⋅b 4 ⋅c ⎛ 1+3x ⎞ 1 + 3x ⎜⎝ ⎟ x ⎠ = 1+3x ⋅ x = x(1+3x ) = 1+3x x x e = ⎛ 2+5x ⎞ x 2+5x x(2+5x ) 2+5x 2 + 5x ⎜⎝ ⎟ x x x ⎠ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ y ⎞⎛ ⎞ ⎛ y−x⎞⎛ 1 ⎞ y−x −x + y −( x − y ) −1 f ⎜ 1− x ⎟ ⎜ 1 ⎟ = ⎜ − x ⎟ ⎜ 1 ⎟ = ⎜ = = = ⎟⎜ ⎟= ⎝ y ⎠ ⎝ x − y ⎠ ⎝ y y ⎠ ⎝ x − y ⎠ ⎝ y ⎠ ⎝ x − y ⎠ y( x − y ) y( x − y ) y( x − y ) y

9006078800_boek.indb 7

8/06/17 15:07

8

begrippen en relaties algebraïsche vaardigheden

breuken kruislings vermenigvuldigen ¢ A = C herschrijven tot A⋅D = B⋅C mits B ≠ 0 én D ≠ 0 B D rekenen met tweedemachtswortels 2 ¢ A = A als A ≥ 0

¢ A2 = – A als A < 0 ¢ A⋅B = A ⋅ B mits A ≥ 0 én B ≥ 0 ¢ A2 ⋅B = A2 ⋅ B = A⋅ B mits A ≥ 0 én B ≥ 0; als het getal onder het wortelteken te delen is door een kwadraat, dus door 4, 9 , 16, 25, 36, 49, …. dan kun je de wortel vereenvoudigen: voorbeelden ¢

18 = 9⋅2 = 9 ⋅ 2 = 32 ⋅ 2 = 3 2

¢

4⋅ x = 4 ⋅ x = 2⋅ x

¢

8⋅ x 3 = 4⋅2⋅ x 2 ⋅ x = 4⋅ x 2 ⋅2⋅ x = 4 ⋅ x 2 ⋅ 2x = 2x 2x

¢ A+B is niet te vereenvoudigen want

A+ B ≠ A + B

¢ A = A mits A ≥ 0 én B > 0 B B ¢ wortel wegwerken uit de noemer ¢

A= A= A⋅ B = B B B B

AB = AB = 1 ⋅ AB mits A ≥ 0 én B > 0 B B B2

voorbeeld herschrijf tot een vorm zonder wortel in de noemer

¢

¢

3 = 3 = 3 ⋅ 7 = 3⋅7 = 21 = 1 ⋅ 21 7 7 7 7 7 7 72 A vermenigvuldig teller en noemer met B + D B –D A ⋅ B + D = ( B + D)⋅ A = ( B + D)⋅ A 2 B − D2 B −D B +D B − D2 A vermenigvuldig teller en noemer met B − D B +D A ⋅ B − D = ( B − D)⋅ A = ( B − D)⋅ A 2 B − D2 B +D B −D B − D2

( ) ( )

¢ b⋅ A +c ⋅ A = (b +c )⋅ A ¢ A +B = C wortel wegwerken ¢ wortel isoleren A = C − B 2 ¢ kwadrateer om de wortel weg te werken A = (C − B)2 ¢ controleer het antwoord in de wortelvergelijking

( )

dus A = (C − B)2

rekenen met wortels q

p

¢ A p = A q bijvoorbeeld:

9006078800_boek.indb 8

3

1

x = x3 ;

5

p

p

2 1 q −1 x 2 = x 5 ; 1 = x 3 en A⋅ Ap = A1 ⋅ A q = A q 3 x

8/06/17 15:07

9

toelichting

1.3

vereenvoudig zo ver mogelijk en schrijf het antwoord zonder wortelteken in de noemer 2 7 ⋅5 35 = a 2 8 +3 50 = b

c

5+ 3= 2

⎛ 2 ⎞ 3 f 3 2 = e ⎜⎝ ⎟ 5 5 +2 5 −3 ⎠

d

g

2 5+ 3

a 2 8 +3 50 = 2 4⋅2 +3 25⋅2 = 2 4 ⋅ 2 +3 25 ⋅ 2 = 2⋅2 2 +3⋅5 2 = 4 2 +15 2 = 19⋅ 2 b 2 7 ⋅5 35 = 10 245 = 10 49 ⋅ 5 = 10 72 ⋅ 5 = 10⋅7⋅ 5 = 70 5 c d

5 + 3 = kan niet verder vereenvoudigd worden 3 2 = 17 = 17 = 17 ⋅ 5 = 85 = 1 85 (85 is niet te delen door 4, 9, 26, 25, … dus het 5 5 5 5 5 5 5 antwoord is niet verder te vereenvoudigen.)

3 ⋅ 5 −2 = 5 +2 5 −2

e

3

(

5 −2 5− 4

) = 3(

)

5 −2 =3 5 −6

2

  4 4 = ⋅ 14 + 6 5 = 56 + 24 5 = 56 + 24 5 = 3 12 +1 12 5 f  2  =  5 −3  16 5− 6 5 + 9 14 − 6 5 14 + 6 5 196 −36⋅5 2 ⋅ 5 − 3 = 10 − 6 = 10 − 6 = 1 10 − 1 6 2 2 5−3 2 5+ 3 5− 3

g 1.4

ga na welke functies hetzelfde zijn h(x) =

4 x −16 4

2

m(x) = 2⋅ x − 6 x + 9

k(x) = 2 x − 4

p(x) =

4 x − 16

l(x) = 0,5 8x −32

n(x) =

4 x −12

Herschrijf de functies en controleer welke formules hetzelfde zijn.

(

)

h( x ) = 4 x −16 = 4 x − 4 = 4 ⋅ x − 4 = 2 x − 4 k( x ) = 2 x − 4 = 4 ⋅ x − 4 = 4 x −16 p( x ) = 4 x − 16 ≠ h(x) want 4

2

a + b ≠ a+b 2

m( x ) = 2⋅ x − 6 x + 9 = 2⋅ ( x −3)2 = 2⋅( x −3) 4 dus 4

1

m( x ) = 2⋅ x −3 2 = 4 ⋅ | x −3| = | 4 x −12| l( x ) = 0,52 ⋅ 8x −32 = 0,25 ⋅ 8x −32 = 2x − 8 n( x ) = (4 x −12) Conclusie: h(x) = k(x) en m(x) = n(x) mits x ≥ 3 Controleer je antwoord door de grafieken op de grafische rekenmachine te plotten; grafieken die hetzelfde zijn, vallen samen.

1.5

werk de haakjes uit en schrijf zo eenvoudig mogelijk

(

)

2

a

3 4 9x 2 = b 16 x = c 8+ x =

a

9x 2 = 9 ⋅ x 2 = 3⋅| x |

b c

4

(

16 x = 4 16 ⋅ 4 x = 2⋅ 4 x want 24 = 16 3

8+ x

9006078800_boek.indb 9

) = (2+ x ) 2

2

= 4+4 x + x

8/06/17 15:07

10

begrippen en relaties algebraïsche vaardigheden

rekenen met letters zie ook hoofdstuk 3 optellen van dezelfde vormen, let op dat de machten en de letters hetzelfde zijn

¢ A2 + A2 = 2⋅ A2 en 5 A+7 A = 12 A 2

¢ 5⋅ A

⋅B3 ⋅C +7⋅ A2 ⋅B3 ⋅C = 12⋅ A2 ⋅B3 ⋅C

2

⋅B⋅C +7 A2 ⋅B3 ⋅C kunnen niet worden samengenomen

2

+ A en A+ AB kunnen niet worden samengenomen

¢ A ¢ A

vermenigvuldigen, delen, machtsverheffen (zie ook H3 exponentiële functies)

¢ A 0 = 1 en A1 = A ¢ A p ⋅ A q = A p + q bijvoorbeeld A3 ⋅ A4 = A⋅ A⋅ A⋅ A⋅ A⋅ A⋅ A = A7 p ¢ A = A p – q bijvoorbeeld Aq ¢ 1 = A – q bijvoorbeeld Aq

( )

q

(

)

¢ A p

¢ A⋅B

A5 = A ⋅ A ⋅ A ⋅ A⋅ A = A2 A⋅ A⋅ A A3 1 = A−4 A4

= A p ⋅q bijvoorbeeld p

(A ) = A ⋅A ⋅A 4

= A p ⋅B p bijvoorbeeld

3

4

( A⋅B )

3

4

4

= A4 ⋅3 = A12

= A3 ⋅B3

1 (1) ¢ A 2 = 2 A = A bijvoorbeeld 9 2 = 9 = 3 1 q (1) ¢ A q = A bijvoorbeeld A 5 = 5 A p q ( 2) 5 ¢ A q = A p bijvoorbeeld A 5 = A2

bijzondere producten

( ) = A +2 AB +B ¢ ( A – B ) = A – 2 AB +B ¢ ( A+B )( A – B ) = A – B

¢ A+B

2

2

2

2

2

2

2

2

¢ dit merkwaardige product wordt gebruikt om wortels uit de noemer weg te werken

bijvoorbeeld

1 1 = ⋅ a− b = a+ b a− b a+ b

a− b

( a ) −( b ) 2

2

= a− b a−b

¢ of om factoren zichtbaar te maken bij het herschrijven van formules, bijvoorbeeld

(

)(

5a −5b = 5⋅(a − b) = 5 mits a ≠ b a2 − b 2 (a − b)⋅(a + b) (a + b)

)

(

) (

)

¢ A+B C +D = A⋅ C +D +B⋅ C +D = AC + AD +BC +BD

9006078800_boek.indb 10

8/06/17 15:07

11

toelichting

1.6

ga na welke functies hetzelfde zijn 3 2 f(x) = (x + 1)(x – 3) g(x) = x − 2x −3x x 2 j(x) = 3x + 6 x +3 x +1 n(x) = 3x − 2+ 5 x +1

i(x) = 3 + 2x x 5 m(x) = 3+ 2x x +5

o(x) = 2− 7 x +5 p(x) = 3x + 3 2 q(x) = 3x + x +3 x +1

- Herschrijf de functies en controleer welke formules hetzelfde zijn. f(x) = x2 – 2x – 3 x( x 2 − 2x −3) = x 2 − 2x −3 mits x ≠ 0 x 2 x +5 o( x ) = 2− 7 = − 7 = 2x +3 x +5 x +5 x +5 x +5 g( x ) =

( ) ( )

2 i( x ) = 3 + 2x = 5⋅3 + 2x ⋅ x = 15+ 2x x 5 5x 5x 5x 2 3( x 2 + 2x +1) 3( x +1)2 j( x ) = 3x + 6 x +3 = = = 3( x +1) = 3x +3 mits x ≠ –1 x +1 x +1 x +1 m( x ) = 3+ 2x = 2x +3 x +5 x +5 2 3x − 2 x +1 n( x ) = 3x − 2+ 5 = + 5 = 3x + x +3 = q( x ) x +1 x +1 x +1 x +1

(

)(

(

)

)

Conclusie: f ( x ) = g( x ) mits x ≠ 0, o( x ) = m( x ) , n( x ) = q( x ) en j( x ) = p( x ) mits x ≠ –1 Controleer je antwoord door de grafieken op de grafische rekenmachine te plotten; grafieken die hetzelfde zijn, vallen samen.

1.7

werk de haakjes weg en vereenvoudig zo ver mogelijk a b

( x − 2)( x + 2)−( x − 2)

2

=

x ⋅ x − 2 +5x 3 +5 3 −5

( ) a b ( 8+3a + b +3a b ) +5a b +7a b

c 2x 4 3+5 y − x 2 +( x 2 )3 − 6 x 4 = d

3

2

2

2

3

3

2

5

5

=

e (30− 2x 3 )2 = a b

( x − 2)( x + 2)−( x − 2)

2

= ( x 2 − 4)−( x 2 − 4 x + 4) = 4 x − 8

2 2 x( x − 2) x ⋅ x − 2 +5x = +5x = x − 2x +5x = x − 2x +5x = 2 3− 25 3 +5 3 −5 ( 3 +5)⋅( 3 −5) 3 −52 x 2 − 2x +5x = − 1 x 2 + 2 x +5x = − 1 x 2 +5 1 x 22 22 22 11 −22

( ) a b ( 8+3a + b +3a b ) +5a b +7a b

c 2x 4 3+5 y − x 2 +( x 2 )3 − 6 x 4 = 6 x 4 +10x 4 y − 2x 6 + x 6 − 6 x 4 = 10x 4 y − x 6 d

3

2

3

2

4

2

3

4

3

3

5

5

2

5

3

5

=

8a b +3a b + a b +3a b +5a b +7a5 b5 = 13a3 b 2 +3a 4 b 2 + a3 b 4 +10a5 b5

e (30− 2x 3 )2 = (30− 2x 3 )⋅(30− 2x 3 ) = 900−120x 3 + 4 x 6

9006078800_boek.indb 11

2

2

2

8/06/17 15:07

12

begrippen en relaties algebraïsche vaardigheden

ontbinden in factoren / tussen haakjes zetten wordt gebruikt bij

¢ oplossen van een vergelijking die op 0 is herleid voorbeelden ¢ ( AB + AC ) =

A(B + C )

3

B + A C ) = A2 ( AB + C )

3

B 2 + AB5 ) = AB 2 ( A2 + B3 )

¢ ( A ¢ ( A

2

¢ vereenvoudigen van een quotiënt voorbeelden

x 2 − 4 x = x( x − 4) = x mits x ≠ 4 x 2 −16 ( x + 4)( x − 4) ( x + 4)

¢

AB + AC = A(B + C ) = B + C of AB + AC = AB + AC = 1+ C mits A ≠ 0 AB AB B AB AB AB B

¢

2 2 3 A3 B 2 + AB5 = AB ( A + B ) = B( A2 + B3 ) of AB AB

¢

A3 B 2 + AB5 = A3 B 2 + AB5 = A2 B + B 4 AB AB AB

¢

kwadraat afsplitsen ¢ x 2 + px +q schrijven als x +r ¢ x

2

2

(

(

)

2

)

2

+s

(

+ 2bx + b = x + b en x 2 − 2bx + b 2 = x − b

¢ splits het kwadraat af van

x 2 + 2bx

(

)

2

gebruiken voor kwadraat afsplitsen

)

2

herschrijf tot x 2 + 2bx + b 2 − b 2 = x + b − b 2 voorbeelden kwadraat afsplitsen 2

(

)

2

+ 6 x = x 2 + 6 x + 9− 9 = x +3 − 9 2 2 2 2 ¢ x − 8x +5 = x − 8x +16 −16 +5 = x − 4 −16 +5 = x − 4 −11 ¢ x

(

)

(

)

vereenvoudigen voorbeelden

¢ A3 + A3 = 2A3 en 2A3 +3A3 = 5A3 ( A3 + A2 kan niet korter geschreven worden) ¢ A3 ⋅ A2 = A5 en A3 ⋅ A3 = A6 ¢ A + B = kan niet korter geschreven worden ¢ A ⋅ B = AB mits A ≥ 0 en B ≥ 0 ¢ A + A = 2 A en 2 A +3 A = 5 A ¢ A ⋅ A = A mits A ≥ 0

9006078800_boek.indb 12

8/06/17 15:07

13

toelichting

1.8

werk haakjes weg en vereenvoudig zo ver mogelijk

(2a ) 2

a

3

5

2a⋅3a

(

)

11 000⋅0,9t ⋅ 0,7− 0,5⋅0,92 t = c 2

2

0 ,425 0 ,725 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ b a⋅ ⎜ 1+ 1 ⎟ − a⋅ ⎜ 1− 1 ⎟ = d 0,007 8G ⋅ 2L = ⎝ ⎝ n⎠ n⎠

( )

(2a ) 2

a

( )

3

6 = 8a = 8 = 1 13 2a⋅3a 6a6 6 5

2

2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ b a⋅ ⎜ 1+ 1 ⎟ − a⋅ ⎜ 1− 1 ⎟ = a⋅ ⎜ 1+ 2 + 1 ⎟ − a⋅ ⎜ 1− 2 + 1 ⎟ = 4a 2 ⎠ 2 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎝ n n n n n n n

(

)

c 11 000⋅0,9t ⋅ 0,7− 0,5⋅0,92 t = 7700⋅0,9t −5500⋅0,93 t

( )

d 0,007 8G

1.9

( )

0 ,425

⋅ 2L

0 ,725

= 0,007⋅80 ,425 ⋅G 0 ,425 ⋅20 ,725 L0 ,725 =

0,007⋅4⋅G 0 ,425 ⋅L0 ,725 = 0,28⋅G 0 ,425 ⋅L0 ,725

(

)

2

kwadraat afsplitsen herschrijf in de vorm a⋅ x ± p ± q a x 2 +10x + 27 =

b x 2 + x +5 =

c

2x 2 −12x =

a x 2 +10x + 27 = x 2 +10x + 25+ 2 = ( x +5)2 + 2 b x 2 + x +5 = x 2 + x + 14 − 14 +5 = ( x + 12 )2 − 14 +5 = ( x + 12 )2 + 4 34 c 2x 2 −12x = 2⋅( x 2 − 6 x + 9)− 2⋅9 = 2⋅( x −3)2 −18 1.10

herleid de volgende uitdrukkingen tot een zo eenvoudig mogelijke vorm 298,5  3000 ⋅(1− 1 ) c 60v ⋅L b a 6,9+ 2 t t L ×3600   k+ v T

2a 298,5 298,5L 298,5 298,5T  ⋅L = 6,9L + a 6,9+ = 6,9L+ = 6,9L + ≈ 6,9L + 0,0829T L 3600 3600 L ×3600   ×3600 T T T

b 3000 ⋅(1− 1 ) = 3000 - 3000 = 3000t - 3000 = 3000t −3000 t

c

60v = k+

1.11

t

t

60v

2

2ak

2a

2a

v

+v

2

2a

=

t 60v

2

2ak + v

2

2

2

t t 60v ⋅2a = = 120av 2 2 2ak + v 2ak + v

t

2

2a

herleid de volgende uitdrukkingen tot een zo eenvoudig mogelijke vorm 3 2 x 2 + 6 x −55 = c 2x a A B + A C = b = ⎛ x 2 −1 ⎞ AB x 2 − 25 ⎜⎝ x +1 ⎟⎠ 3 2 A2 ( AB + C ) A( AB + C ) a A B + A C = = of AB AB B

( )( ( )(

A3 B + A2 C = A3 B + A2 C = A2 + AC AB AB AB B

) )

2 x −5 x +11 b x + 6 x −55 = = x +11 mits x ≠ 5 2 x +5 x −5 x +5 x − 25

c

2x( x +1) 2x = 2x ⋅ x +1 = = 2x mits x ≠ –1 ⎛ x 2 −1 ⎞ 1 x 2 −1 ( x −1)( x +1) x −1 ⎜⎝ x +1 ⎟⎠

9006078800_boek.indb 13

8/06/17 15:07

begrippen en relaties algebraïsche vaardigheden

14

verschillende soorten vergelijkingen oplossen ¢ vergelijkingen oplossen met behulp van algemene vormen ¢ A . B = 0 ⇔ A = 0 of B = 0 ¢ A . B = A . C ⇔ A = 0 of B = C ¢ A . B = A ⇔ A = 0 of B = 1 ¢ A2 = C ⇔ A = C B of A = - C mits C ≥ 0 ¢ A2 = B2 ⇔ A = B of A = -B A ¢ = 0 ⇔ A = 0 en B ≠ 0 B A ¢ = C ⇔ A = B . C, met B ≠ 0 B C ⇔ A . D = B . C, met B ≠ 0 én D ≠ 0 A ¢ = B D A A ⇔ A = 0 of B = C, met B ≠ 0 én D ≠ 0 ¢ = B C C ⇔ A = C, met B ≠ 0 A ¢ = B B ¢ √A

= B ⇔ A = B 2 mits A ≥ 0 ¢ lineaire vergelijking isoleer de variabele aan de linkerkant van het = teken voorbeeld ¢ 3x +12 = 5x − 4 ⇔ −2x = −16 ⇔ x = 8 ¢ kwadratische vergelijking ax 2 + bx + c = 0

drie manieren ¢ herleid op 0 en ontbind in factoren

3x 2 +5x −10 = x 2 −5x +18 ⇔ 2x 2 +10x − 28 = 0 ⇔ x 2 +5x −14 = 0 ( x +7)( x − 2) = 0 ⇔ x = −7 en x = 2 ¢ kwadraat afsplitsen x 2 + 6 x −10 = 0 ⇔ x 2 + 6 x = 10 ⇔ x 2 + 6 x + 9 = 19 ⇔ ( x +3)2 = 19 ⇔ x +3 = ± 19 ⇔ x = −3± 19 of ¢ abc-formule

2 x = −b ± b − 4⋅a⋅c 2⋅a

x 2 + 6 x −10 = 0 , a = 1, b = 6 en c = –10, dus

9006078800_boek.indb 14

x = −6 ± 36 − −4⋅10 = −6 ± 76 = −6 ± 2⋅ 19 = −3± 19 2 2 2

8/06/17 15:07

15

toelichting

1.12

vergelijkingen exact oplossen

(

)(

(

)

2 2x +1 = 2x −1 2x 2 −1 = 9 g a 2 x 3 − 8 ⋅ 3x +5 = 0 d x −3 x +1

b c

( x − 2) ⋅ ( x

)

( ) ( ) ) ( )( ) 2x − 4 x = 0 ( x − 2)⋅( x + 2x +1) = ( x − 2) f x + 2x −5 2

2 2 x +3 = x +3 +5 = x − 2 ⋅ 2x +5 e x − 2 = x +3 h x −5 2x +1 2

2

3

i

2x +5 = x −7 x2 − 9 x2 − 9

a x 3 − 8 = 0 of 3x +5 = 0 dus x = 2 of x = − 53 b x − 2 = 0 of x 2 +5 = 2x +5 x = 2 of x 2 − 2x = 0 x = 2 of x( x − 2) = 0 dus x = 2 of x = 0 c x − 2 = 0 of x 2 + 2x +1 = 1 x = 2 of x 2 + 2x = 0 dus x( x + 2) = 0 x = 2 of x = 0 of x = –2 d

(2x −1) 2

2

= 32

2x 2 −1 = 3 of 2x 2 −1 = −3 2x 2 = 4 dus x = 2 of x = − 2 ( 2x 2 = −2 dus x 2 = −1 heeft geen oplossing)

e x − 2 = x +3 of

( x − 2) = − ( x +3)

0 = 5 (heeft geen oplossing) of 2x = –1 dus x = − 12

f 2x 2 − 4 x = 0 en x 3 + 2x −5 ≠ 0 2x( x − 2) = 0 dus x = 0 of x = 2 (controleer of x 3 + 2x −5 ≠ 0 ) g

(2x +1)( x +1) = ( x −3)(2x −1) 2

mits x ≠ 3 en x ≠ −1

2

2x + 2x + x +1 = 2x − x − 6 x +3 dus

10x = 2 dus x =

1 5

h x + 3 = 0 of x – 5 = 2x + 1 mits x ≠ 5 en x ≠ − 12 dus x = –3 of x = –6 i 2x + 5 = x – 7 mits x 2 − 9 ≠ 0 dus x = –12 1.13

vergelijkingen exact oplossen

(

)

2

a 6 x 3 + 8x 2 = 2x 3 − 4 x 2 b 4⋅ 2x − 4 = 12 a 6 x 3 + 8x 2 = 2x 3 − 4 x 2 dus 4 x 3 +12x 2 = 0 dus 4 x 2 ( x +3) = 0 dus x = 0 en x = −3

(

b 4⋅ 2x − 4

1.14

)

2

(

= 12 dus 2x − 4

)

2

= 3 dus

2x − 4 = 3 ∨ 2x − 4 = − 3 dus

x = 2+ 12 3 ∨ x = 2− 12 3

bereken met behulp van kwadraatsplitsen x 2 − 8x = 2x +7 x 2 − 8x = 2x +7 dus x 2 −10x = 7 dus x 2 −10x + 25 = 7+ 25 dus ( x −5)2 = 32 dus x −5 = 32 ∨ x −5 = − 32 dus x = 5+ 32 ∨ x = 5− 32

9006078800_boek.indb 15

8/06/17 15:07

- zelfstandig voorbereiden op het examen - examen voorbereiden op basis van persoonlijk studieadvies - stapsgewijs toewerken naar het examenniveau - oefenen met recente examens vwo Duits vwo Engels vwo Frans vwo Nederlands vwo biologie

www.samengevat.nl

samengevat

examenbundels

Meer kans van slagen met de Examenbundel!

De Examenbundel bevat oefen­examens met uitleg bij de antwoorden, zodat je leert tijdens het oefenen.

vwo natuurkunde vwo scheikunde vwo wiskunde A vwo wiskunde B

De bundel is speciaal samengesteld voor dit schooljaar, dus je oefent altijd de juiste stof.

Test je kennis met de OriĂŤntatietoets en

vwo wiskunde C

kijk voor meer tips om te slagen op

vwo aardrijkskunde

www.examenbundel.nl.

vwo economie vwo geschiedenis vwo m&o vwo maatschappijwetenschappen

vwo

examenbundel + samengevat = jouw succesformule

vwo

wiskunde B

samengevat Meer kans van slagen met Samengevat!

Samengevat biedt je een helder en beknopt overzicht van alle examenstof. vwo biologie vwo natuurkunde vwo scheikunde

Met Samengevat kun je grote hoeveel-

wiskunde B

- schematisch overzicht van alle examenstof - beknopte en heldere uitleg - snel en overzichtelijk door te nemen en te herhalen - het perfecte uittreksel

heden stof snel herhalen en overzien. Je krijgt beter inzicht in de samenhang van de onderwerpen en het onderscheid

vwo wiskunde A

tussen hoofd- en bijzaken.

vwo wiskunde B

Kijk voor tips en informatie over je

vwo wiskunde C

examen op www.examenbundel.nl.

vwo aardrijkskunde vwo geschiedenis vwo economie vwo m&o h/v Nederlands 3F / 4F h/v rekenen 3F

9789006078800_SG_vWisB_OS.indd 1

9 789006 078800

8/06/17 17:05