STUDIO DELL’APPLICABILITÀ DI UN METODO DI PROGETTAZIONE MECCANICA NELLA

VALUTAZIONE DELL’INFLUENZA DI UN CARROPONTE CON CARICO APPESO SULLA VULNERABILITÀ SISMICA DI UN PORTALE DI FABBRICATO INDUSTRIALE

Introduzione

Il concetto di rischio nelle infrastrutture è legato a tre specifici parametri (pericolosità, vulnerabilità ed esposizione). Il rischio indica l’entità del danno atteso in una determinata area a seguito del verificarsi di un evento in un certo intervallo di tempo. Esistono 4 tipologie di rischio per le infrastrutture: il rischio strutturale, il rischio geotecnico, il rischio idraulico (per ponti, viadotti, tombini, etc.) ed il rischio sismico.

In particolare, il rischio R è pari al prodotto tra i parametri di pericolosità (H), vulnerabilità (v) ed esposizione (e), ovvero:

R = H*v*e.

La pericolosità H è indice dellaprobabilitàdel verificarsi di un evento ed i suoi effetti.Tale parametro serve a calibrare gli interventi

La vulnerabilità v è indice del danno che si può avere su un elemento o insieme di elementi a seguito del verificarsi di un evento. Il danno rappresenta la perdita di funzionalità (che può essere parziale o totale) che può subire una struttura a causa del verificarsi dell’evento. In questo senso il danno risulta completamente indipendente dall’esposizione. Nel caso della vulnerabilità sismica, si riduce il danno atteso migliorando le caratteristiche strutturali e non degli edifici e la normativa tecnica dà gli strumenti per la valutazione della vulnerabilità e la sua riduzione mediante interventi.

L’esposizione e è il valore degli elementi a rischio in un’area, cioè le entità esposte (popolazione, servizi, proprietà, etc.), quindi con l’esposizione si verifica quanto grave è, effettivamente, il rischio. Si progetta, quindi, l’uso del territorio incidendo su distribuzione, densità abitativa, infrastrutture destinazioni d’uso.

Per molti capannoni industriali prefabbricati, l’aspetto della vulnerabilità sismica, come è stato riscontrato a seguito del terremoto in Emilia Romagna del 2012, risulta particolarmente rilevante in considerazione del fatto che, per tali strutture (così come anche per i ponti), le travi di copertura sono solo appoggiate sulle colonne, per cui, in presenza di una forza sismica orizzontale, l’unico elemento che si oppone ad essa è l’attrito tra la trave e la colonna (che è pochissimo), per cui in tali strutture si può verificare una perdita di appoggio della trave, con conseguente crollo, anche per forze sismiche orizzontali non particolarmente violente.

Nel seguito si riporta una procedura relativa ad uno studio di fattibilità, con un metodo matematico, del calcolo dell’influenza della trave di un carroponte con carico sospeso sul danneggiamento dei pilastri di un portale di fabbricato industriale ad 1 piano, a seguito dell’azione di una forza sismica orizzontale nota e nell’ipotesi di cumulo lineare del danno. Lo studio è stato effettuato impostando un metodo di analisi nel dominio del tempo, applicabile a sistemi meccanici ad uno o due gradi di libertà. Nel caso specifico, considerando sul portale un ingresso in spostamento noto (dovuto all’azione della forza sismica), è possibile calcolare analiticamente l’ulteriore spostamento dovuto al contributo della trave del carroponte e quindi risalire, ad esempio utilizzando listati in linguaggio MATLAB, al danneggiamento strutturale dei pilastri dovuto sia al contributo del carico sospeso al gancio del carroponte, sia al contributo della trave del carroponte (o delle travi nel caso di un carroponte bitrave)

Influenza della trave del carroponte sul comportamento del pilastro

Un carroponte (o gru a ponte) è una gru di tipo fisso costituita da un paranco o argano scorrevole su una struttura metallica detta “ponte”, a sua volta scorrevole su apposite vie di corsa. Al paranco (o argano, in funzione del carico massimo che può sollevare) è vincolato un tamburo attorno al quale si avvolge una fune la quale, all’altra estremità, è vincolata al bozzello con gancio.

Nei seguenti schemi n. 1 e n. 2, è rappresentato un portale di fabbricato industriale rispettivamente senza carroponte e con carroponte e carico sospeso: le sconnessioni nei punti A e B tra pilastri verticali e trave orizzontale di copertura corrispondono agli appoggi, nei quali, come detto, l’unica forza che si opporrebbe ad una sollecitazione sismica orizzontale è quella di attrito tra il pilastro e la trave orizzontale.

Sugli appoggi dei pilastri indicati nelle posizioni C e D, sono fissate le rotaie in acciaio, lungo le quali scorre la trave del ponte (o le due travi, ma nel seguito saranno chiamate semplicemente “trave”), rappresentata nello schema n. 2 come trave semplicemente appoggiata, significando che i due appoggi rappresentano le ruote della trave stessa che scorre perpendicolarmente al piano del foglio. Il carico lo si schematizza come sospeso alla trave di copertura (e non alla trave del ponte) in modo dapotermodellareil sistemacomesistemameccanicoadue gradi di libertà,comemeglio indicato nel seguito. Nel modello del pilastro, si trascurano in entrambi i casi gli appoggi indicati nelle posizioni C e D, ovvero si considera il pilastro a forma di parallelepipedo regolare. Nello schema n. 3 è indicato il medesimo portale di fabbricato industriale con carroponte, però trascurando la trave del ponte, schema di riferimento per determinare la risposta dinamica dovuta al carico sospeso

Considerando, nel successivo schema n. 4, il pilastro come trave a mensola su cui agisce la forza sismica orizzontale, considerata, per comodità di calcolo, all’estremità del pilastro (anche se si tratta di una lievissima approssimazione perché nella realtà la forza di reazione alla forza sismica agisce ovviamente in corrispondenza del baricentro, la cui posizione non è calcolata), è stato successivamente considerato l’effetto degli appoggi della trave del carroponte sui quali si scarica la forza sismica stessa e quindi, in quest’ultimo caso, lo schema di riferimento è il n. 5, nel quale gli appoggi della trave del carroponte sono schematizzati con una molla di costante elastica K Lo scambio di forze tra pilastro e trave del carroponte avviene, infatti, in corrispondenza delle ruote dellatrave(che asua volta poggiasullemensoledei pilastri),ovveroin corrispondenzadei vincoli di appoggio

Schema n. 4

Schema n. 5

Per lo schema di trave “notevole” n. 4, avente costante elastica k2, (essa è indicata con k2 per successiva comodità di rappresentazione) risulta evidentemente k2=3*Ec*J/Lpil 3, dove Ec è il modulo di elasticità longitudinale del calcestruzzo in [N/m2], J è il momento di inerzia, in [m4], della sezione trasversale del pilastro (o meglio, in questo caso, dei 2 pilastri) rispetto all’asse baricentrico perpendicolare alla direzione della forza sismica �� ed Lpil è l’altezza del pilastro in [m].Per lo schema n. 5 invece, occorre calcolare la costante elastica K dovuta alle ruote del carroponte, sulle quali, come già detto, si scarica la forza sismica. Per la deformazione del bordino della ruota, si ritiene applicabile la teoria delle piastre piane inflesse sottili e con piccole deformazioni (ipotizzando uno spessore non superiore ad 1/20 della dimensione minima della piastra nel piano, in questo caso del diametro della ruota).

Quindi, assumendo valido il caso di un piatto circolare con modulo di elasticità longitudinale Ea pari a quello dell’acciaio, avente raggio R e spessore t, forato al centro (raggio del foro pari ad r), e con carico totale F uniformemente distribuito sulla circonferenza (anche se nella realtà il carico ricopre una piccola porzione areale della ruota), l’espressione della “freccia” di inflessione elastica wmax risulta pari a: wmax = σ*FR2/Eat3 , dove σ è un coefficiente tabellato in funzione del rapporto R/r.

Pertanto la costante elastica K di una sola ruota sarà pari a:

K = Eat3/ σR2 .

Al fine di avere un ordine di grandezza della costante elastica K, se R/r è pari ad esempio a 4, si ottiene σ = 0,73, per cui se lo spessore del bordino è pari a 20 [mm] ed il diametro della ruota con bordinoèparia400[mm],siottiene, perunasolaruotaeponendoilmodulo dielasticitàlongitudinale dell’acciaio pari ad Ea = 208 [GPa], un valore di costante elastica pari a 56,986*106 [N/m].

Come rappresentato nello schema n. 5, la trave a mensola che indica il pilastro può essere scomposta in 2 elementi, AB e BC dei quali il primo di lunghezza compresa tra l’incastro e la molla e l’altro di lunghezza compresa tra la molla e la punta della trave stessa. Sono state calcolate le deformazioni e le reazioni vincolari nel citato schema, ipotizzando i seguenti dati: pilastro in calcestruzzo con altezza pari ad 8 [m], sezione trasversale quadrata con lato di lunghezza pari a 0,5 [m], modulo di elasticità longitudinale pari a Ec = 38 [GPa], modulo dello spostamento in corrispondenza dall’estremità del pilastro, dovuto all’azione della forza sismica, pari ad u1 = 0,3 [m], lunghezze dei tratti AB e BC pari rispettivamente a LAB = 7 [m] ed LBC = 1 [m], diametro della ruota pari a Druota = 0,4 [m] (valore adatto per un carroponte con portata fino a 5 [t], con un interasse tra le rotaie compreso tra 15 [m] e 20 [m] ed un interasse tra le ruote compreso tra 2,6 [m] e 3,5 [m]) ed altezza del bordino della ruota pari a 0,02 [m]). Si ottiene, quindi, il seguente valore di costante elastica k2 1 = 3*Ec*J/(LAC)3 = 1,16*106 [N/m], da cui si ricava (trascurando il contributo dell’attrito viscoso ed in corrispondenza dello spostamento u1), un valore della forza sismica pari a F = k2*u1 = 3,479*105 [N].

1 il valore della costante elastica della trave caricata a sforzo di taglio all’estremità è stato assunto di riferimento per lo studio sia dell’influenza del solo carico sospeso (senza carroponte) sia dell’influenza del carroponte.

Quindi, indicando genericamente con fi lo spostamento o rotazione i-esimi (ivi compresi quelli impediti dall’incastro), si ha: f1: spostamento verticale in A, ipotizzato verso l’alto; f2: rotazione in A, ipotizzata in senso antiorario; f3: spostamento verticale in B, ipotizzato verso l’alto; f4: rotazione in B, ipotizzata in senso antiorario; f5: spostamento verticale in C, ipotizzato verso l’alto; f6: rotazione in C, ipotizzata in senso antiorario.

Risolvendo, si ottengono i seguenti risultati, validi per K = 56,985*106 [N/m], ovvero per una ruota (a bordino singolo), sulla quale, nella condizione più sfavorevole (ruota posta di fronte al pilastro), si scarica l’intera forza sismica: f3 = - 5,93*10-3 [m]; f4 = - 1,27*10-3 [rad]; f5 = -7,19*10-3 [m]; f6 = - 1,27*10-3 [rad];

F1 = 10247 [N];

F2 = 71777 [Nm].

Nel caso, invece,in cui la forzasismicasi scarichi su2ruote(ipotesi validanel caso di ruote abordino doppio, sempre nella stessa posizione più sfavorevole della trave) i valori delle deformazioni e delle reazioni vincolari da prendere in considerazione sarebbero i seguenti: f3 = - 3,008*10-3 [m]; f4 = - 6,445*10-4 [rad]; f5 = -3,652*10-3 [m]; f6 = - 6,445*10-4 [rad];

F1 = 5208 [N];

F2 = 36454 [Nm], con un conseguente incremento percentuale dell’1,5% sull’ingresso in spostamento u1 (da u1 = 0,3 m ad u1 = 0,3045 m).

Il risultato ottenuto (precisamente f3) va considerato ai fini della modellazione, come sistema meccanico a due gradi di libertà con ingresso in spostamento dell’insieme costituito dal sistema “portale con trave del carroponte e carico sospeso”. La massa della trave del carroponte sarà chiamata anch’essa, per comodità di rappresentazione, M2.

Mentre invece, lo spostamento u1 = 0,3 [m] varierà a causa del contributo sull’azione sismica dovuto alla reazione vincolare nell’incastro, quindi il valore di spostamento da considerare per il sistema “portale con trave di copertura e carico sospeso” sarà pari ad u1 =

(347900+10247)*83/(3*38*109*0,005208) = 0,309 [m], perchè la reazione vincolare calcolata ha lo stesso verso della forza sismica, quindi determina un aumento dello spostamento alla sommità del pilastro, in questo caso pari precisamente al 2,95%

La procedura nel seguito riportata indica l’impostazione di un metodo analitico, applicabile al calcolo matematico del danneggiamento dei pilastri di un portale di fabbricato industriale, dovuto ad una data forza sismica orizzontale, sia in presenza sia in assenza di un carroponte, a sua volta in diverse condizioni di carico. A talfine è necessario impostare il calcolo delle 2 risposte dinamiche sui pilastri, dovute una alla massa della trave di copertura con il carico sospeso (su cui agisce l’ingresso in spostamento u1 aggiornato con il precitato contributo dovuto alla reazione vincolare F1 nell’incastro), l’altra dovuta alla massa della trave del carroponte e del carico sospeso (su cui agisce l’ingresso in spostamento f3 calcolato in precedenza

Pilastro: costante elastica k2/2 coefficiente di smorzamento b2/2

Pendolo: lunghezza L - costante elastica k1 – coefficiente di smorzamento b1

Per piccoli spostamenti: senӨ ~ Ө (ovvero spostamenti “solo” orizzontali) x Carico+gancio+bozzello: massa M1

Accelerazione sismica

M1�� ��

Schema n. 6

Le rispettive costanti elastiche e di smorzamento sono legate tra loro dalla relazione: bi = 2*Mi*ξi*√ (ki/Mi) con i ꞓ {1;2}.

Come meglio dettagliato nel seguito, si considera la teoria del danno cumulativo di Miner, ovvero il danneggiamento totale sui pilastri sarà da intendersi pari alla somma del danneggiamento conseguente alla risposta dinamica del sistema “portale con trave di copertura e carico” (con ingresso in spostamento pari ad u1) e del danneggiamento conseguente alla risposta dinamica del sistema “portale con trave del carroponte e carico” (con ingresso in spostamento pari ad f3)”. La trave del carroponte è poggiata, infatti, sulle mensole dei pilastri e quindi la sua risposta dinamica contribuisce al loro danneggiamento.

Nel precedente schema n. 6, l’accelerazione sismica orizzontale �� genera la forza indicata con il vettore ��, rappresentata, come detto, per comodità, in corrispondenza della sconnessione, invece che del baricentro

Per effetto di tale forza, i pilastri si deformano come indicato nello schema stesso (secondo il modello della “trave a mensola”) ed il carico sospeso al gancio del carroponte, per inerzia, tende ad oscillare. Perpiccoleoscillazioni,sipuòritenerevalidoperil sistema“fune-gancio-bozzello-carico”,ilmodello del “pendolo semplice”, assumendo quindi la fune inestensibile e priva di massa.

Il pendolo semplice è un sistema fisico costituito da un punto materiale sottoposto all’accelerazione di gravità, fissato ad un estremo di una sbarra inestensibile ed incomprimibile, senza massa, la quale è a sua volta vincolata all’altro estremo ed è libera di ruotare attorno ad esso.

Il movimento che il pendolo descrive quando viene lasciato libero di muoversi è periodico ed il periodo di tale oscillazione non dipende dall’ampiezza nè dalla massa M che costituisce il pendolo stesso (legge di isocronia del pendolo), ma dipende invece dall’accelerazione di gravità g e dalla lunghezza L del pendolo.

La legge che descrive il moto, per piccole oscillazioni (cioè quando il pendolo forma, con la verticale, un angolo inferiore ai quattro gradi) è quella di un oscillatore armonico con periodo T, dato da:

Quindi, essendo il periodo T di un oscillatore armonico uguale a: si ottiene la costante elastica di un pendolo avente massa M ancorata ad un’asta inestensibile e priva di massa, pari a: k = Mg/L

Nel caso del carroponte, la massa M sarà pari a quella del carico sospeso, unitamente a quelle del gancio e del bozzello.

L’impostazione del calcolo matematico per la stima dell’influenza sia del carico sospeso, sia della trave del carroponte sulla risposta sismica del portale di fabbricato industriale viene effettuata in entrambi i casi utilizzando un modello di sistema meccanico a due gradi di libertà, quindi si considerano due masse ovvero nel primo caso la massa del portale di copertura del fabbricato industriale e la massa del carico sospeso al gancio del carroponte, nel secondo caso la massa della trave del carroponte e quella del carico sospeso.

Quindi, per il sistema “portale con trave di copertura e carico sospeso” (con ingresso in spostamento pari ad u1), di cui si vuole ottenere la risposta dinamica, si considera il sistema meccanico a due gradi di libertà di seguito rappresentato, nel quale M1 è la massa sospesa al gancio (comprensiva delle masse del gancio stesso e del bozzello), mentre M2 è la massa della trave di copertura del portale. I parametri k1, b1, k2 e b2 sono rispettivamente le costanti elastiche e le costanti di smorzamento dovuto all’attrito viscoso relative al “pendolo” semplice ed ai 2 pilastri. Il movimento è, ovviamente, in direzione orizzontale. Per l’analogo schema relativo al sistema costituito dal portale e dalla trave del carroponte con il carico sospeso, occorrerà sostituire ad M2 il rispettivo valore della massa della trave del carroponte, unitamente al relativo ingresso in spostamento f3 precedentemente calcolato. In definitiva, occorrerà determinare e tenere conto di 2 risposte dinamiche distinte.

Equilibrio della massa M1:

Scrivendo in forma matriciale le 2 equazioni ottenute nel dominio delle frequenze e successivamente, ponendo R(s) = 0 (considerando quindi il solo ingresso in spostamento) e poi U1(s) = 0 (ovvero considerando il solo ingresso in forza), si ottengono le funzioni di trasferimento G1(s) e G2(s) rispettivamente con ingresso in spostamento e con ingresso in forza, ovvero:

È possibile, infatti, considerare separatamente i 2 effetti, essendo il sistema lineare ed essendo quindi valido il principio di sovrapposizione degli effetti. Naturalmente si può considerare anche il caso “senza carroponte”, come sistema meccanico ad un grado di libertà (per comodità il sistema massamolla-smorzatore viene indicato sempre “M2 – k2 - b2”), quindi i pilastri con la trave di copertura.

In questo caso, l’equazione differenziale del moto del sistema sarà:

��2��2 +��2(��2 ��1)+ ��2(��2 ��1)= 0

Quindi, trasformando con Laplace, si ottiene:

(��2��2 +��2 + ��2��)��2(��)=(��2 + ��2��)��1(��)

La funzione di trasferimento (relativa all’unico ingresso in spostamento), in questo caso sarà pari a:

G(s) = ��2(��) ��1(��)

I coefficienti del numeratore e denominatore della funzione di trasferimento per il sistema ad 1 grado di libertà, ovvero, nell’ordine da esponente 2 ad esponente 0 sono: num1=[m2 b2 k2]; den1=[0 b2 k2].

Per il sistema “portale con trave del carroponte e carico sospeso”, si ha invece (ponendo uguale ad M2 la massa della trave del carroponte e indicando con k2 sempre la costante elastica dei pilastri, e con b2 il relativo coefficiente di smorzamento dovuto all’attrito viscoso):

Il calcolo della risposta dinamica in termini di sollecitazioni può a sua volta essere utilizzato per successive analisi che, ad esempio, possono portare ad ottenere il livello di danneggiamento dei pilastri aseguito dellaforzasismicadata.Tali risultati sono ottenibili nell’ipotesi di dannocumulativo ovvero utilizzando la regola di Palmgren-Miner. Essa si basa sulla condizione di accumulo lineare del danno e quindi, nel caso di una storia di carico caratterizzata da differenti intervalli di variazione delle tensioni, il danno parziale prodotto per ogni intervallo di variazione , che si verifica volte, può essere valutato come dove rappresenta il numero di cicli che provoca la rottura sotto l'azione della costante variazione di tensione . Ne consegue che il danno totale Dtot , nel caso di N intervalli di variazione delle tensioni, risulta essere pari a:

Nello specifico, una volta ricavata la funzione risposta in frequenza (diagrammata in ampiezza e fase e dipendente ovviamente dal rispettivo ingresso in spostamento e dai coefficienti del numeratore e