TRANSFORMASI
Menurut Kamus Besar Bahasa Indonesia, salah satu arti transformasi adalah perubahan rupa (bentuk, sifat, fungsi, dan sebagainya). Sedangkan kaitannya dengan
matematika, proses transformasi ini terjadi pada bidang datar dan ruang, atau lebih dikenal sebagai Transformasi Geometri.
Pengertian dari transformasi geometri adalah proses berubahnya setiap titik pada suatu koordinat menjadi titik koordinat lain menurut aturan tertentu. Perubahan ini merujuk pada perubahan bangun-bangun terhadap kedudukan maupun ukurannya. Pada bahan ajar ini akan dibahas beberapa jenis transformasi geometri, diantaranya translasi (pergeseran), refleksi (pencerminan), rotasi (perputaran), dan dilatasi (perkalian). Berikut pemaparan:
A. TRANSLASI (PERGESERAN)
1. Sifat-sifat pergeseran
- Bangun yang digeser (ditranslasikan) tidak mengalami perubahan bentuk dan ukuran
- Bangun yang digese (ditranslasikan) mengalami perubahan posisi
2. Translasi titik ��(��,��) dengan ��(��,��) menggesr absis �� sejauh �� dan menggeser ordinat �� sejauh b, sehingga diperoleh titik ��′(��+��,��+��)
secara notasi dapat ditulis:
Dimana: ��′ =��+�� ��′ =��+��
��,��,���������� adalah bilangan Real
Latihan 1:
Tentukan bayangan ∆PQR dengan P(1,1), Q(2,4) dan R(-1,3) bila dilakukan translasi oleh (2,3) !
Jawab:
Lengkapi bayangan Q dan R!
B. REFLEKSI (PENCERMINAN)
1. Sifat-sifat pencerminan
- Bangun (obyek) yang di cermin (refleksi) tidak mengalami perubahan bentuk dan ukuran
- Jarak bangun (obyek) dari cermin (cermin datar) adalah sama dengan jarak bayangan dengan cermin tersebut.
2. Pencerminan terhadap titik asal (0,0)
Jika titik ��(��,��) dicerminkan ke titik asal (0,0) maka bayangannya adalah ��′( ��, ��)
Secara notasi dapat ditulis:
3. Pencerminan terhadap sumbu �� (garis ��=��)
Jika titik ��(��,��) dicerminkan terhadap sumbu �� (garis ��=0) maka bayangan adalah ��′(��, ��)
Secara notasi dapat ditulis:
4. Pencerminan terhadap sumbu �� (garis ��=��)
Jika titik ��(��,��) dicerminkan terhadap sumbu �� (garis �� =0) maka bayangan adalah ��′( ��,��).
Secara notasi dapat ditulis:
5. Pencerminan terhadap garis ��=��
Jika titik ��(��,��) dicerminkan terhadap garis ��=�� maka bayangan adalah ��′(��,��)
Secara notasi dapat ditulis:
6. Pencerminan terhadap garis ��= ��
Jika titik ��(��,��) dicerminkan terhadap garis ��= �� maka bayangan adalah ��′( ��, ��)
Secara notasi dapat ditulis:
7. Pencerminan terhadap garis ��=��
Jika titik ��(��,��) dicerminkan terhadap garis �� =�� maka bayangan adalah ��′(2�� ��,��)
Secara notasi dapat ditulis:
8. Pencerminan terhadap garis ��=��
Jika titik ��(��,��) dicerminkan terhadap garis ��=�� maka bayangan adalah
��′(��,2�� ��).
Secara notasi dapat ditulis:
9. Pencerminan terhadap garis (��,��)
Jika titik ��(��,��) dicerminkan terhadap garis (�� ��) maka bayangan adalah
��′(2�� ��,2�� ��)
Secara notasi dapat ditulis:
Latihan 2:
Tentukan bayangan titik A(2,3) dan B (-3,5) setelah dicerminkan terhadap sumbu -x !
Jawab:
1) Titik A(2,-3) ��[ 23]→��′ [1 0 0 1][ 23]→��′[23]
2) Tentukan titik B(-3,5)
Masalah 2
Sebuah titik P(7,3) dicerminkan terhadap sumbu -y kemudian dilanjutkan dicerminkan terhadap garis y=x. tentukan bayangan titik tersebut!
C. ROTASI (PERPUTARAN)
1. Sifat-sifat rotasi (perputaran)
- Bangun yang diputar (rotasi) tidak mengalami perubahan bentuk dan ukuran.
- Bangun yang diputar (rotasi) mengalami perubahan posisi.
2. Rotasi +90o atau -270o dengan pusat P(0,0)
Jika titik ��(��,��) dinotasikan dengan sudut +90o atau -270o dengan pusat rotasi (0,0), maka koordinat bayangannya ��′( ��,��).
Secara notasi dapat ditulis:
3. Rotasi -90o atau +270o dengan pusat P(0,0)
Jika titik ��(��,��) dinotasikan dengan sudut -90o atau +270o dengan pusat rotasi (0,0), maka koordinat bayangannya ��′(��, ��).
Secara notasi dapat ditulis:
4. Rotasi +180o atau -180o dengan pusat P(0,0)
Jika titik ��(��,��) dinotasikan dengan sudut +180o atau -180o dengan pusat rotasi (0,0), maka koordinat bayangan ��′(��, ��).
Secara notasi dapat ditulis:
Catatan:
Tanda negatif (-) untuk rotasi searah jarum jam
Tanda positif (+) untuk rotasi berlawanan arah jarum jam
Latihan 3:
Bidang PQRS dengan P(0,0), Q(5,0), R (5,3), S(0,3) dinotasikan sebesar 90 dengan pusat A(0,0). Tunjukkan dan tentukan koordinat obyej setelah dinotasikan!
Jawab:
- Titik P(0,0) ��[00]→��′[0 1 1 0 ][00]→��′[00]
- Tentukan titik Q(5,0), R (5,3), S(0,3) dinotasikan sebesar 90o dengan pusat A(0,0)
5. Rotasi dengan pusat P(a,b)
Langkah-langkah melakukan rotasi dengan pusat P(a,b):
a. Translasikan koordinat titik/obyek dengan (-a, -b) sehingga pusat rotasi berubah menjadi O(0,0).
b. Rotasikan titik/obyek yang telah ditranslasikan sebesar sudut rotasi.
c. Translasikan Kembali koordinat titik/obyek hasil Langkah (b) dengan pusat rotasi P(a,b).
Contoh:
(1) Tunjukkan rotasi titik A (-7, 6) sebesar 90o dengan pusat P(1,2) pada system koordinat.
Jawab:
a. A(7,6) ditranslasikan dengan titik (-1, -2) diperoleh A’(-8,4)
b. Titik A’(-8, 4) dirotasikan sebesar 90o dengan pusat O(0,0) diperoleh: ��′[ 8 4 ]→��′′[0 1 1 0 ][ 8 4 ]→��′′[ 4 8]
c. Titik A’’(-4, -8) ditranslasikan dengan pusat P(1,2) diperoleh A’’’(-3, -6)
(2) Sebuah garis 2�� 3�� 4=0 di rotasikan sebesar 90o dengan titik pusat P(1,-1). Tentukanlah persamaan garis setelah dirotasikan!
Jawab:
a. Translasikan (x,y) dengan titik (-1,1) [����]+[ 1 1 ]=[�� 1 ��+1]
b. Rotasikan hasil Langkah ke-1 dengan sudut 90o dan pusat O(0,0) [0 1 1 0 ][�� 1 ��+1]=[ �� 1 �� 1 ]
c. Translasikan hasil Langkah ke-2 dengan P(1,-1) [ �� 1 �� 1 ]+[ 11]=[ �� �� 2]
Jadi, �� = �� dan ��=�� 2 sehingga persamaan garis setelah dirotasikankan:
↔2�� 3�� 4=0
↔2( ��) 3(�� 2) 4=0
↔ 2�� 3��+6 4=0
↔ 3�� 2��+2=0
D. DILATASI (PERKALIAN)
1. Sifat-sifat dilatasi (perkalian):
a. Bangun yang diperbesar atau diperkecil (dilatasi) dengan skala �� dapat mengubah ukuran atau tetap ukurannya tetapi tidak mengubah bentuk. Jika �� >1 maka bangun akan diperbesar dan terletak searah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula.
b. Bangun yang diperbesar atau diperkecil (dilatasi) dengan skala �� dapat mengubah ukuran tetapi tidak mengubah bentuk. Jika �� =1 maka bangun tidak mengalami perubah ukuran dan letak.
c. Bangun yang diperbesar atau diperkecil (dilatasi) dengan skala �� dapat mengubah ukuran tetapi tidak mengubah bentuk. Jika 0<�� <1 maka bangun akan diperkecil dan terletak searah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula.
d. Bangun yang diperbesar atau diperkecil (dilatasi) dengan skala �� dapat mengubah ukuran atau tetap ukurannya tetapi tidak mengubah bentuk.
Jika 1<�� <0 maka bangun akan diperkecil dan terletak berlawanan arah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula
e. Bangun yang diperbesar atau diperkecil (dilatasi) dengan skala �� dapat mengubah ukuran atau tetap ukurannya tetapi tidak mengubah bentuk.
Jika �� < 1 maka bangun akan diperbesar dan terletak berlawanan arah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula.
2. Dilatasi dengan pusat O (0,0) dan factor skala ��
Jika titik ��(��,��) dilatasi dengan pusat O(0,0) dan factor skala ��, maka koordinat
bayangannya ��′(����,����)
Secara notasi dapat ditulis:
3. Dilatasi dengan pusat P(p,q) dan factor skala ��
Jika titik ��(��,��) dilatasi dengan pusat P(p,q) dan factor skala ��, maka koordinat
bayangannya ��′(����,����)
Secara notasi dapat ditulis:
Contoh:
(1) Sebuah garis 2�� 3�� 6=0 dilatasi dengan factor �� =3 dan pusat dilatasi pada titik P(1,-2). Tentukan bayangannya!
Jawab: