Un’analisi probabilistica per la stabilità di scarpate secondo RLEM

ambiente&territorio

Ardavan Izadi(1) Reza Jamshidi Chenari(2) Brigid Cami(3) Sina Javankhoshdel(4)

UN’ANALISI PROBABILISTICA

PER LA STABILITÀ DI SCARPATE SECONDO RLEM

IL SOFTWARE SLIDE2 HA LA CAPACITÀ DI CONSIDERARE LA VARIABILITÀ SPAZIALE DELLE PROPRIETÀ DEI MATERIALI NELL’ANALISI DELL’EQUILIBRIO LIMITE. NEL PRESENTE ARTICOLO SI EVIDENZIA COME SLIDE2 SIA STATO UTILIZZATO CON SUCCESSO PER DIMOSTRARE L’IMPORTANZA DELLA VARIABILITÀ SPAZIALE NELLA PROGETTAZIONE

Slide2 è uno dei programmi di stabilità di scarpate e pendii più potenti e intuitivi al mondo. Il software viene utilizzato per valutare il fattore di sicurezza o la probabile instabilità di superfici circolari e non circolari in terreni o pendii rocciosi. Utilizzando il metodo dell’equilibrio limite (LEM), Slide2 può essere utilizzato per analizzare modelli sia semplici che complessi, considerando tutti i tipi di terreno e pendii rocciosi, argini, dighe in terra, muri di contenimento, ancoraggi e altro ancora. La potenza di Slide2 deriva dalla sua ampia gamma di opzioni analitiche e di progettazione che include, ad esempio, l’analisi di fenomeni di fitrazione agli elementi finiti, analisi probabilistica, modellazione multi-scenario e progettazione elementi di supporto (come geosintetici o soil nailing). Questa vasta gamma di opzioni consente agli utenti di Slide2 la modellazione di scenari complessi con risultati più accurati e veloci. Ad esempio, Slide2 ha la capacità di considerare la variabilità spaziale delle proprietà dei materiali nell’analisi dell’equilibrio limite. Nell’articolo che segue si evidenzia come il programma sia stato utilizzato con successo per dimostrare l’importanza della variabilità spaziale nella progettazione. Se tutto ciò non bastasse, con l’aggiunta di Maintenance +, Slide2 continua a migliorare ancora. Nel 2020, diverse nuove interessanti funzionalità sono state aggiunte al programma: tra queste, il nuovo e più veloce metodo di campionamento per l’analisi probabilistica chiamato “Response Surface”, la funzione di stampa batch per la modellazione multi-scenario, il nuovo generatore di report e la nuova libreria prodotti tra cui geosintetici, soil nailing, barre auto-perforanti e vari ancoraggi in terra.

FULL AND QUASISTOCHASTIC SLOPE STABILITY ANALYSIS

USING RANDOM LIMIT EQUILIBRIUM METHOD (RLEM)

THE SOFTWARE SLIDE2 HAS THE CAPABILITY TO CONSIDER SPATIAL VARIABILITY OF MATERIAL PROPERTIES IN YOUR LIMIT EQUILIBRIUM ANALYSIS. SLIDE2 WAS ACTUALLY USED TO DEMONSTRATE THE IMPORTANCE OF CONSIDERING SPATIAL VARIABILITY

Slide2 is one of the most powerful, user friendly, 2D Slope Stability programs in the world. The software is used for evaluating the safety factor or probability of failure of circular and non-circular failure surfaces in soil or rock slopes. Using the Limit Equilibrium Method (LEM), Slide2 can be used for analyzing both simple and complex models including all types of soil and rock slopes, embankments, earth dams, and retaining walls. The power of Slide2 comes from its dynamic range of analytical and design options, including built-in finite element groundwa-

1. Slide2 permette l’analisi probabilistica di scarpate 1. Slide2 allows slope probabilistic analyses

INTRODUZIONE AL PAPER

I depositi alluvionali possiedono una grande variabilità nei parametri geotecnici (sforzi e deformazione) a causa dei cambiamenti dovuti alle condizioni e processi di deposizione. La variabilità spaziale dei parametri geotecnici si riflette in incertezza nelle previsioni della stabilità in strutture geotecniche. I terreni in pendenza poi sono specialmente soggetti a instabilità a causa degli sforzi mobilizzati di taglio. Molteplici studi, disponibili in letteratura, considerano i problemi di stabilità delle pendenze adottando diversi metodi di calcolo ed analisi. Cronologicamente, i metodi di analisi “semplificati” precedono molti metodi numerici di analisi complessi. Anche se i metodi di analisi numerici hanno ormai preso il posto degli approcci semplificati, questi metodi sono comunque usati e affidabili in certe circostanze. Tra tutti i metodi “semplificati”, quello all’equilibrio limite (LEM) è sicuramente il più popolare ed usato per elaborare analisi dei problemi di instabilità delle scarpate. Secondo l’analisi probabilistica della meccanica dei terreni, sia i metodi numerici che semplificati sono stati a lungo impiegati per investigare l’incertezza intrinseca della stabilità delle geostrutture. Metodi di analisi numerici probabilistici applicati alla stabilità delle scarpate hanno una ricca storia nella letteratura tecnica. In [1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7] si trovano sono solo alcuni dei molti studi pubblicati. Il Random Limit Equilibrium Method (RLEM) ha dimostrato di essere una metodologia valida per affrontare le difficoltà dell’analisi di stabilità probabilistica. Il metodo all’equilibrio limite (LEM) in combinazione con simulazioni Monte Carlo (MC) è stato usato largamente da molti Ricercatori per interpretare l’incertezza intrinseca nelle analisi di stabilità delle scarpate ammettendo superfici di scorrimento circolari e non circolari. In [8, 9, 10, 11 e 12] sono stati ipotizzate superfici di scorrimento circolari nelle loro RLEM analisi. Visto che il metodo circolare RLEM non poteva rilevare l’instabilità a scorrimento con forme irregolari (situazione molto significativa specialmente quando si incontrano scenari con alta variabilità), sono state attivate varie ricerche e studi. Recentemente, i nuovi studi e l’ottimizzazione di modelli come Cuckoo search, simulata “annealing”, ricerca “auto-refine”, Ricerca Blocco, Ricerca Percorso, Particle Swarm Optimization (PSO) e Surface Altering Optimization (SAO) [13, 14, 15, 16 e 17] hanno permesso INSTABILITÀ SCARPATE

ter seepage analysis, probabilistic analysis, multi-scenario modeling, and support design. This wide range of options allows Slide2 users to model complex scenarios with more accurate results. For example, Slide2 has the capability to consider spatial variability of material properties in your limit equilibrium analysis. The program was actually used to demonstrate the importance of considering spatial variability in the paper Full and quasi-Stochastic Slope Stability Analyses using Random Limit Equilibrium Method (RLEM). If all of that weren’t enough, with the addition of Maintenance +, Slide2 continues to get even better. Several exciting new features have recently been added to the program this year including a new faster sampling method added for probabilistic analysis called Response Surface, a batch printing feature when doing multi scenario modelling, a new Report Generator, and a new built in list of common support products including geosynthetics, soil nails, and ground anchors.

INTRODUCTION TO THE PAPER

Natural alluvial deposits exhibit variability in strength and deformation parameters due to changes in deposition conditions and processes. Spatial variability of the strength and stiffness parameters are reflected in the form of uncertainty in stability predictions of the geotechnical structures. Sloped grounds are especially prone to instability due to mobilized static shear stresses. Innumerable studies have been reported in the literature around the slope stability problem adopting different analysis techniques. Chronologically, the so-called “approximate” analysis methods precede more cumbersome and complex numerical analysis methods. Although the numerical methods have almost superseded the approximate approaches, these methods have recently proven to be still attractive in some circumstances. Among all, limit equilibrium method (LEM) of analysis is the most popular approximate approach which is widely employed by researchers to elaborate on the slope stability problems. Within the stochastic soil mechanics perspective, both numerical and approximate methods have long been invoked to investigate the uncertainty embedded in stability of geo-structures. Stochastic numerical methods-based analyses of slope stability have a rich history in the technical literature. In [1, 2, 3, 4, 5, 6 and 7] there are many published studies. Random Limit Equilibrium Method (RLEM) has been well-established as a methodology to tackle the difficulty of stochastic stability analysis. Conventional Limit Equilibrium Method (LEM) in combination with Monte Carlo (MC) simulations has been used extensively by many researchers to interpret the uncertainty embedded in the slope stability analyses assuming both circular and non-circular slip surfaces. In [8, 9, 10, 11 and 12] there are circular slip surface assumptions in their RLEM analyses.

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di studiare i fenomeni di instabilità per superfici non circolari. [10] tentarono di dimostrare i vantaggi di 2D Random Finite Element Method (RFEM) su 1D e 2D analisi circolari RLEM per scarpate a terreno coesivo con variabilità spaziale delle proprietà del suolo. Tuttavia, le considerazioni del metodo RFEM sono state messe in discussione dall’enorme impegno computazionale intrinseco nella tecnica di riduzione degli sforzi. Questo articolo cerca quindi di indagare il potenziale del metodo RLEM nell’analisi di stabilità delle scarpate, adottando superfici di instabilità e scorrimento - sia circolari che non circolari -, considerando le variabili spaziali parametriche per scarpate in terreni coesivi. Per questa ragione, l’analisi di stabilità delle scarpate 2D RLEM, per ipotesi di superfici di scorrrimento circolari e non circolari, sono confrontate con il recente studio 1D RLEM [11], il quale ha cercato di mappare i campi di variabilità spaziale con un’analisi deterministica 1D per le superfici di scorrimento. Inoltre, il cosiddetto approccio quasi-RLEM è stato introdotto per mappare semplicemente la variabile spaziale 2D dei campi di forza all’interno della più probabile superficie di scorrimento. Il cosiddetto approccio quasi-RLEM potrebbe essere considerato come un’alternativa dell’approccio 1D.

L’ANALISI PROBABILISTICA DI STABILITÀ PER SCARPATE

Questa ricerca vuole confrontare le ipotesi di instabilità per superfici circolari e non circolari, tenendo in considerazione la variabilità spaziale dei parametri del terreno. Un modello a geometria semplice, usato anche in [11], viene utilizzato in questo studio. Prima di procedere con le principali analisi probabilistiche, è stata condotta un’analisi di sensitività per fare una pre-selezione di un numero sufficiente di casi, da analizzare sucessivamente tramite RLEM circolare e non circolare. Sono stati scelti per questo studio quattro approcci differenti all’equilibrio limite: il metodo semplificato di Bishop, il metodo Morgenstern-Price, il metodo Spencer e il metodo semplificato di Janbu. Le proprietà probabilistiche dei parametri del modello sono esposti in Figura 2. Questi parametri sono stati adottati da [11]. Tuttavia, l’unica differenza è che una funzione logaritmica-normale (log-normal) di probabilità di distribuzione è stata adottata per alcuni parametri del terreno, anzichè una normale distribuzione come ipotizzato [11]. Per le analisi di sensitività, non è stata considerata nessuna intrinseca-correlazione. Tuttavia, per le analisi RLEM è stato ipotizzato un coefficiente di correlazione incrociata negativo di -0,5 tra la coesione e l’angolo di attrito del terreno. Al contrario, la coesione è stata ipotizzata positivamente correlata alla densità del terreno. In questo caso è stato utilizzato un coefficiente di correlazione medio di 0,25. Recently, with the advent of the new search and optimization techniques like Cuckoo search, simulated annealing, auto refine search, block search, path search, Particle Swarm Optimization (PSO), and Surface Altering Optimization (SAO) as discussed by [13, 14, 15, 16 e 17] endeavored to seek for non-circular failure surfaces, necessitated by the fact that circular RLEM could not capture irregular shapes of failure. This is especially significant when highly fluctuating random fields are encountered. [10] attempted to address some potential advantages of 2D Random Finite Element Method (RFEM) over 1D and 2D circular RLEM analyses for simple cohesive slopes with spatial variability of soil properties. However, the priority of the RFEM method was argued to be outshined by the massive computational effort embedded in the strength reduction technique. This paper is an endeavor to elaborate on the potential applications of RLEM in slope stability analyses, by adopting both circular and non-circular failure surfaces when spatially variable soil parameters are encountered in a cohesive-frictional simple slope. For this reason, 2D RLEM slope stability analysis results for both circular and non-circular slip surface assumptions are compared with a recent 1D RLEM study [11], which sought to map spatially variable fields along a deterministic 1D failure surface. Furthermore, a so-called quasi-RLEM approach was introduced to simply map the 2D spatially variable strength fields onto the deterministically most probable slip surface. The so-called quasi-RLEM approach could be considered as an alternative to the 1D approach.

STOCHASTIC SLOPE STABILITY ANALYSIS

The current study elaborates on the comparative performance of circular and non-circular failure surface assumptions by taking into account the spatial variability of soil parameters. A model with a simple geometry used by [11] is also used in this study. Before proceeding to the main stochastic analyses, a sensitivity analysis was carried out to make a sound and seamless selection of sufficient number of realizations for subsequent circular and non-circular RLEM analyses. Four different limit equilibrium approaches namely the Simplified Bishop method, the Morgenstern-Price method, the Spencer method and also the Simplified Janbu method were opted for this purpose. The stochastic properties of the model parameters have been introduced in Figure 2. These parameters have been adapted from [11]. However, the only difference is that a log-normal probability distribution function has been opted for the strictly non-negative soil parameters instead of the normal distribution as adopted by [11]. For the sensitivity analyses, no cross-correlation was assumed. However, for the rest of the RLEM analyses a negative cross-corre-

PARAMETRO / PARAMETER DISTRIBUZIONE / DISTRIBUTION

Coesione / Cohesion (kPa)

Log-normal Angolo di attrito interno / Internal friction angle Log-normal Densità (kN/m3) / Unit Weight (kN/m3) Log-normal

2. I parametri stocastici arbitrari VALORE / MEAN

10

28

18 DEVIAZIONE STANDARD / STANDARD DEVIATION 2

3

1

2. Arbitrary stochastic parameters

INSTABILITÀ SCARPATE

In questo studio è stata condotta un’analisi di sensibilità e si osserva che l’adozione di 1.000 analisi è sufficiente per inquadrare il comportamento stocastico della scarpata spazialmente variabile. I risultati di [17] sostengono questo studio, sottolineando che sono necessarie solo 1.000 analisi Monte Carlo (MC) per generare una stima stabile della probabilità di instabilità attraverso le analisi RLEM. Di seguito, verranno utilizzati tre diversi approcci RLEM al fine di confrontare i diversi schemi adottando quattro formule di equilibrio limite basate su conci (slice) ben noti. Tra i quattro metodi selezionati, il metodo Bishop semplificato è stato ignorato per le analisi RLEM non circolari perché è molto sensibile al centro della zona di instabilità e nell’analisi non circolare si riteneva che potesse produrre risultati errati e inappropriati. Il programma Slide2 (Rocscience) è stato utilizzato per eseguire tutte le analisi circolari e non circolari [18].

L’EQUILIBRIO LIMITE CIRCOLARE CASUALE

Una combinazione della classica analisi di stabilità della scarpata LEM con simulazioni MC e teoria dei campi casuali è stata adottata usando quattro diverse formulazioni di stabilità della scarpata LEM basate sul concio, come precedentemente introdotto. A tale scopo, in ciascuna simulazione MC, i parametri del suolo sono stati caratterizzati attraverso l’uso della teoria dei campi casuali e del metodo LAS che cercano di generare parametri del terreno stocastici spazialmente variabili e correlati. I parametri di resistenza e il peso unitario stocastico del terreno sono stati quindi mappati sulla “mesh” LEM ai fini dell’analisi di stabilità. È stato utilizzato un metodo di ricerca di perfezionamento automatico (auto-refine) per trovare la superficie di scorrimento circolare critica corrispondente al fattore minimo di sicurezza per ciascun set di elementi di “mesh” di campo casuali. A tutte le sezioni verticali sono assegnate valori casuali delle proprietà del terreno. Un totale di 20 conci sono stati selezionati e ritenuti sufficienti per produrre un’analisi probabilistica abbastanza accurata. L’analisi della sensibilità del concio da [17] ha rivelato che per diverse lunghezze di correlazione, l’aumento del numero di sezioni ha dato luogo a probabilità più basse dei valori di instabilità ma a un ritmo decrescente.

L’EQUILIBRIO LIMITE NON CIRCOLARE STOCASTICO

Negli algoritmi della superficie di scorrimento circolare, lo stato di errore corrisponde a una superficie di errore circolare lungo la quale si ottiene un fattore minimo di sicurezza. Tuttavia, nei terreni spazialmente variabili, le superfici circolari presumibilmente non riescono a passare attraverso i veri punti più deboli. Pertanto, una superficie non circolare, rappresentata nella sua forma più semplice da una curva lineare, può essere adottata per catturare il vero meccanismo di rottura di scarpate eterogenee. Per questo motivo, il coordinamento x-y con alcuni punti di controllo potrà permettere l’ottimizzaziolation coefficient of -0.5 was assumed between the cohesion and the internal friction angle of the soil. On the contrary, the cohesion was assumed positively correlated to the soil unit weight. A medium cross-correlation coefficient of 0.25 was used in this case. A sensitivity analysis was done in this study and it is observed that adopting 1.000 realizations suffices to capture the underlying stochastic behavior of the spatially variable slope. Findings of [17] endorses this study by pointing out that only 1.000 Monte Carlo (MC) realizations were needed to generate a stable estimate of the probability of failure through RLEM analyses. In what follows, three different RLEM approaches will be used in order to compare the different schemes while adopting four well-known slice-based limit equilibrium formulations. Among the four selected methods, the Simplified Bishop method was ignored for non-circular RLEM analyses because it is very sensitive to the center of the failure zone and in the non-circular analysis it was believed to potentially yield wrong and inappropriate results. The program Slide2 2018 [18] was used to carry out all the circular and non-circular analyses.

RANDOM CIRCULAR LIMIT EQUILIBRIUM

A combination of the classic LEM slope stability analysis together with MC simulations and random field theory was adopted using four different slice-based LEM slope stability formulations as introduced earlier. For this aim, in each MC simulation, soil parameters were realized through the use of the random field theory and the LAS method which seek to generate spatially variable and correlated stochastic soil parameters. The realized strength parameters and the stochastic unit weight were then mapped onto the LEM mesh for the stability analysis purposes. An auto refine search method was used to find the critical circular slip surface corresponding to the minimum factor of safety for each set of random field mesh elements. All vertical slices are assigned with random soil property values with their base midpoint coinciding with that specific element. A total of 20 slices was selected by default and deemed sufficient to yield fairly accurate probabilities of failure within sensible computational ef-

ne. Surface Altering Optimization (SAO), che rien- 3. Slide2 è ora disponibile anche in 3D 3. Slide2 is available also in 3D

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tra nella famiglia di algoritmi di ricerca metauristica ispirati dalla natura da [19], si presta ad essere l’algoritmo computazionale per effettuare questa modifica, riducendo al minimo il fattore di sicurezza, evitando geometrie convesse e una raccolta non sovrapposta di punti di controllo. Diverse iterazioni, con passaggi ripetitivi, vengono eseguite fino a quando non vengono soddisfatti i criteri di convergenza. Un fattore essenziale in SAO è che l’intera geometria della superficie è coperta, in modo tale che le perturbazioni nelle coordinate di qualsiasi punto di controllo abbiano impatti sulla ri-distribuzione degli altri punti per mantenere la convessità della superficie di rottura e preservare la sequenza iniziale dei punti lungo la superficie di scorrimento. Pertanto, lo scopo di individuare e stimare una geometria e la disposizione della superficie di scorrimento con un fattore di sicurezza minimo risiede nel metodo di ricerca globale, cioè l’algoritmo di ricerca Cuckoo in questo studio; la tecnica SAO altera semplicemente la geometria della superficie di rottura approssimativamente ottimizzata per un ulteriore affinamento del fattore di riduzione della sicurezza. Tecniche di forzatura dei risultati come l’algoritmo di ricerca della griglia, che è stato a lungo utilizzato nelle ottimizzazioni circolari della superficie di scorrimento, potrebbero non essere efficienti per i casi con proprietà del terreno spazialmente variabili. In [13] si sostiene che l’efficienza di rigorose tecniche di ottimizzazione come SAO può essere valutata al meglio quando si considerano problemi intensivamente computazionali come l’analisi della stabilità del pendio stocastica.

LA STABILITÀ DELLA SCARPATA 1D E QUASI-STOCASTICA

L’uso dell’analisi spazialmente variabile influenza la probabilità calcolata per l’instabilità delle scarpate. [10] affermano che per i modelli di scarpate con un fattore medio di sicurezza maggiore di 1, tenendo conto della variabilità spaziale delle proprietà dei materiali (ad es. coesione e densità) si ottiene una minore probabilità di instabilità, rispetto alla stessa analisi senza utilizzare la variabilità spaziale. Un’analisi probabilistica che non considera la variabilità spaziale ha dimostrato di provocare probabilità di instabilità non realistiche e eccessivamente conservative [10].

4. La realizzazione di un campione di stabilità quasi-stocastica 4. A sample realization of quasi-stochastic slope stability forts for all sets of stochastic soil parameters in this investigation. The slice sensitivity analysis of [17] revealed that for different correlation lengths, increasing the number of slices gave rise to lower probabilities of failure values but at a diminishing rate.

STOCHASTIC NON-CIRCULAR LIMIT EQUILIBRIUM

In circular slip surface algorithms, the failure state corresponds to a circular failure surface along which a minimum factor of safety is obtained. However, in spatially variable soil media, circular surfaces will presumably fail to pass through the true weakest points. Therefore, a non-circular surface, represented in its simplest form by a linear spline curve, can be adopted to capture the true failure mechanism of heterogeneous slopes. For this reason, x and y coordination of some control points will form the optimization input. Surface Altering Optimization (SAO), lying within the family of metaheuristic searching algorithms inspired by nature [19], lends itself to be made in a stepwise computational algorithm to carry out this modification to minimize the factor of safety while averting non-convex geometries and a non-overlapping collection of control points. Several iterations in forms of repetitive steps are accomplished until convergence criteria are satisfied. An essential factor in SAO is that the entire surface geometry is covered, such that perturbations in coordinates of any control point have impacts on the rearrangement of the other points to maintain convexity of the failure surface and to preserve the initial sequence of the points along the slip surface. Therefore, the mission of locating a roughly estimated geometry and arrangement of the slip surface with minimum factor of safety lies with the global search method, the Cuckoo search algorithm in this study; the SAO technique simply alters the geometry of the roughly optimized failure surface for further refinement of the factor of safety minimization. Brute force techniques like the grid search algorithm which has long been utilized in circular slip surface optimizations, might not be efficient for spatially variable soil properties cases. In [13] the efficiency of rigorous optimization techniques like SAO can be best evaluated when computationally intensive problems such as the stochastic slope stability analysis is considered.

1D AND QUASI-STOCHASTIC SLOPE STABILITY

The use of spatially variable analysis affects the calculated probability of failure of slope models. [10] assert that for slope models with a mean factor of safety greater than 1, accounting for spatial variability of material properties (e.g. cohesion and unit weight) results in a lower probability of failure, compared to the same analysis without using spatial variability. A probabilistic analysis that does not consider spatial variability has been shown to result in unrealistic and overly conservative probabilities of failure [10]. Conventional 1D random field generation in slope stability problems refers to the realization of stochastic soil parameters along a predetermined and plausible slip surface passing through the soil domain. This is not believed to yield realistic results as the soil properties are solely realized along a prescribed failure surface which is normally reached by some deterministic analyses adopting the soil parameters in an average sense.

La generazione convenzionale di campo casuale 1D nei problemi di stabilità del pendio si riferisce alla analisi di parametri stocastici del suolo lungo una superficie di scorrimento predeterminata e plausibile passante attraverso il dominio del suolo. Non si ritiene che ciò produca risultati realistici in quanto le proprietà del suolo sono considerate esclusivamente lungo una superficie di cedimento prescritta che viene normalmente raggiunta da alcune analisi deterministiche che adottano mediamente i parametri del terreno. Molto recentemente [11] sono stati confrontati i risultati di tali analisi stocastiche 1D con alcune soluzioni analitiche probabilistiche tradizionali per la geometria del pendio qui studiate. In precedenza, [10] hanno confrontato i risultati di alcune analisi di stabilità del pendio stocastiche 2D con la descrizione del campo casuale 1D dei parametri del suolo, come spiegato sopra. In [4] sono anche state effettuate analisi stocastiche 1D simili sulla stabilità di tagli verticali. Una soluzione probabilmente più praticabile può essere fornita se invece della semplice modellizzazione stocastica 1D, venisse adottata una descrizione del campo casuale quasi stocastica. Ciò implica che i parametri del suolo spazialmente variabili vengono prima analizzati in tutto il dominio 2D. Successivamente, i valori corrispondenti attraverso la superficie di scorrimento prestabilita vengono raccolti e introdotti nei calcoli basati sulla porzione (concio) del pendio per ciascuna simulazione MC. La Figura 4 mostra un’analisi di stabilità del pendio quasi-stocastica e la superficie di scorrimento presunta. Vale la pena ricordare che la superficie di scorrimento prescritta può bypassare i punti più deboli in alcune simulazioni MC come appare nella Figura 4. Questo comportamento di elusione, inerente ai calcoli di stabilità del pendio quasi stocastico, è davvero inevitabile; tuttavia, se confrontato con l’approccio 1D semplice e certamente non realistico, si ritiene che questa analisi sia più performante. Di seguito, verranno fornite e discusse alcune illustrazioni comparative della distribuzione del fattore di sicurezza. Come accennato in precedenza, l’ottimizzazione di Surface Altering è stata utilizzata in questo studio insieme al metodo di ricerca Cuckoo per trovare il fattore critico di sicurezza per ogni calcolo.

RISULTATI E DISCUSSIONI

I risultati delle simulazioni MC per diversi approcci stocastici sono stati forniti nelle forme di Probability Distribution Function (PDF) e Cumulative Distribution Function (CDF). Diverse formulazioni di stabilità della pendenza basate sulla fetta (concio), in particolare il metodo Janbu semplificato, il metodo Spencer e il metodo Morgenstern-Price sono state scelte a scopo dimostrativo, mentre i risultati del metodo Bishop semplificato sono stati ignorati per il motivo spiegato in precedenza. Sono state presentate le analisi di stabilità stocastica circolare e non circolare insieme allo schema quasi stocastico. Quest’ultimo è considerato un’alternativa all’analisi della stabilità della scarpata stocastica 1D. In generale, si osserva che l’approccio di stabilità del pendio RLEM stocastico non circolare produce valutazioni di stabilità del pendio più conservative. Come previsto nelle scarpate eterogenee, l’approccio non circolare basato su LEM è più adatto a catturare la superficie di rottura INSTABILITÀ SCARPATE

Very recently, [11] compared results of such 1D stochastic analyses with some traditional probabilistic analytical solutions for the slope geometry studied herewith. Earlier, [10] compared the results of some 2D stochastic slope stability analyses with 1D random field description of the soil parameters as explained above. In [4] also carried out similar 1D stochastic analyses on stability of vertical cuts. An arguably more viable solution can be provided if instead of simple 1D stochastic modelling, a quasi-stochastic random field description is adopted. This implies that the spatially variable soil parameters are first realized throughout the 2D domain. Next, the corresponding values across the predetermined slip surface are picked and introduced into slope stability slicebased calculations for each MC simulation. Figure 4 demonstrates a sample quasi-stochastic slope stability realization along with the assumed slip surface. It is worth mentioning that the prescribed slip surface may bypass the weakest points in some MC simulations as appears in Figure 4. This circumvention behavior, inherent in quasi-stochastic slope stability calculations, is indeed inevitable; however, when compared to the simple and admittedly nonrealistic 1D approach, it is deemed to outperform it. In what follows, comparative illustrations of the distribution of the safety factor will be provided and discussed accordingly. As mentioned earlier, Surface Altering optimization was used in this study together with the Cuckoo search method to find the critical factor of safety for each trial calculation.

RESULTS AND DISCUSSIONS

Results of MC simulations for different stochastic approaches were furnished in the forms of Probability Distribution Function (PDF) and Cumulative Distribution Function (CDF). Various slicebased slope stability formulations, namely, the Simplified Janbu method, the Spencer method, and the Morgenstern-Price method have been chosen for demonstration purposes, while the results of the Simplified Bishop method were ignored for the reason explained earlier.

5. L’influenza della scala di fluttuazione sulla valutazione dell’affidabilità di diversi metodi di analisi basati sul concio 5. Influence of the scale of fluctuation on reliability evaluation of different slice-based methods of analysis

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che passa attraverso il percorso più debole. Si osserva inoltre che le analisi di stabilità del pendio RLEM quasi stocastiche hanno reso le previsioni del fattore di sicurezza mediamente meno conservative. L’analisi quasi stocastica presentata in Figura 5 ha comportamento giustificabile in quanto alcuni punti deboli sono inclini ad essere aggirati quando si considera una superficie di scorrimento prestabilita nell’approccio quasi stocastico. Nel complesso, la superiorità dell’approccio di stabilità del pendio RLEM non circolare rispetto agli approcci circolari è confermata confrontando i fattori di sicurezza medi con approcci diversi. Si osserva inoltre che il cosiddetto approccio quasi-stocastico, pur fornendo risultati non conservativi di analisi della stabilità della pendenza, potrebbe essere considerato un’alternativa coerente al controverso approccio stocastico 1D. Da un’altra osservazione dai risultati dell’analisi di stabilità della pendenza si evince che trascurare l’auto-correlazione dei parametri di resistenza nell’approccio RLEM non circolare renderebbe risultati non conservativi come illustrato dai grafici di affidabilità per differenti scale di fluttuazione (Figura 5). L’indice di affidabilità è stato acquisito dalla linearizzazione della funzione di prestazione attorno al valore medio del fattore di sicurezza che rappresenta una variabile casuale nell’approccio FOSM. La funzione di prestazione è stata adottata come M = FS - 1 e l’indice di affidabilità è stato stimato attraverso β = (μ (FS) - 1) / (σ (FS)). Il confronto verticale delle curve CDF per diverse scale di fluttuazione può anche portare a conclusioni sull’impatto della scala di fluttuazione e sull’indice di affidabilità delle analisi di stabilità del pendio. Sebbene le differenze tra i fattori di sicurezza medi corrispondenti alle diverse scale di fluttuazione non siano del tutto distinguibili, le curve CDF più piatte nella scala più ampia di fluttuazione supportano la tesi secondo cui l’aumento della scala di fluttuazione determina una riduzione dell’affidabilità.

6. La validazione delle analisi circolari stocastiche con metodo RLEM di scarpate (confronto con letteratura) 6. Validation of the circular full-stochastic RLEM slope stability analyses with literature The circular and non-circular full stochastic slope stability analyses along with the quasi-stochastic scheme have been presented. The latter is considered as an alternative to the 1D stochastic slope stability analysis. In general, it is observed that the non-circular stochastic RLEM slope stability approach yields more conservative slope stability evaluations. This is as expected as in heterogeneous slopes, the non-circular LEM-based formulation is more apt to capture the failure surface passing through the weakest path. It is further noted that the quasi-stochastic RLEM slope stability analyses have rendered the most unconservative predictions of the safety factor in average sense. According to what was discussed on the sample quasi-stochastic realization presented in Figure 5, this behavior is justifiable as some weak points are prone to be circumvented when a predetermined slip surface is considered in the quasi-stochastic approach. Overall, the superiority of the non-circular RLEM slope stability approach over the circular approaches is corroborated by comparing the mean safety factors from different approaches. It is further noted that the so-called quasi-stochastic approach, while rendering non-conservative slope stability analysis results, could be considered as a consistent alternative to the controversial 1D stochastic approach. Another observation from the slope stability analysis results is that neglecting the auto-correlation of the strength parameters in non-circular RLEM approach would give unconservative results as endorsed from the reliability charts for different scales of fluctuation (Figure 5). The reliability index was acquired from linearization of the performance function around the mean value of the safety factor representing a random variable in FOSM approach. The performance function was adopted as M = FS - 1 and the reliability index was estimated through β = (μ (FS) - 1) / (σ (FS)). Comparing the CDF curves vertically for different scales of fluctuation can also lead to conclusions about the impact of the scale of fluctuation on the reliability index of the slope stability analyses. Although the differences between the mean safety factors corresponding to different scales of fluctuation are not quite discernible, the more flatter CDF curves in the largest scale of fluctuation lends support to the contention that increasing the scale of fluctuation brings about a reduced reliability. At limit, when a large correlation length is encountered, the circular and quasi-stochastic results almost coincide. In such circumstances, the slope stability analyses are indeed an assembly of random homogeneous cases which converge in average to the deterministic solution. The results in such a condition should normally be comparable with the probabilistic responses of [11]. CDF curves are good to show the consistency in these specific cases. However, as illustrated in Figure 6, the results of the circular full stochastic RLEM analyses for the large scale of fluctuation are not in close conformity to the results of the probabilistic analyses reported by [11]. Although the results are in good agreement in terms of the mean values, it seems that the variability of the safety factor data is not of the same structure. The discrepancy can be attributed to the difference in the probability distribution function between the two studies. Furthermore, it was shown that overlooking the cross-correlation between the strength parameters in slope stability problems may give rise to conservative results. This can be supported by

Al limite, quando si incontra una grande lunghezza di correlazione, i risultati circolari e quasi-stocastici quasi coincidono. In tali circostanze, le analisi di stabilità delle scarpate sono effettivamente un insieme di casi casuali omogenei che convergono in media alla soluzione deterministica. I risultati in tale condizione dovrebbero essere comparabili con le risposte probabilistiche [11]. Le curve CDF sono buone per mostrare la coerenza in questi casi specifici. Tuttavia, come illustrato nella Figura 6, i risultati delle analisi circolari stocastiche complete RLEM per l’ampia scala di fluttuazione non sono in stretta conformità con i risultati delle analisi probabilistiche [11]. Sebbene i risultati siano in buon accordo in termini di valori medi, sembra che la variabilità dei dati del fattore di sicurezza non sia della stessa origine. La discrepanza può essere attribuita alla differenza nella funzione di distribuzione della probabilità tra i due studi. Inoltre, è stato dimostrato che trascurare la correlazione incrociata tra i parametri di resistenza nei problemi di stabilità del pendio può dare origine a risultati conservativi. Ciò può essere supportato dai grafici dell’indice di affidabilità, dei casi corrispondenti a parametri di resistenza indipendenti e con correlazione incrociata per l’approccio stocastico non circolare. La Figura 7 indica chiaramente che trascurare la correlazione incrociata negativa tra la coesione e l’angolo di attrito del terreno, a causa della maggiore possibilità di formazione di punti deboli, porterà ad un aumento del potenziale di instabilità del pendio. Poiché i parametri di resistenza sono presi negativamente correlati, quando la coesione in alcuni elementi diventa bassa, il motore di generazione del campo dell’angolo di attrito renderà presumibilmente valori elevati per soddisfare i requisiti di correlazione incrociata. Pertanto, considerando la correlazione incrociata tra i parametri di resistenza dovrebbe indurre una riduzione della probabilità di instabilità della scarpata eterogenea, come appare dalla Figura 7.

CONCLUSIONI

Le seguenti conclusioni derivano dal confronto di risultati tra diversi approcci RLEM, ovvero gli approcci RLEM stocastici completi circolari e non circolari e i modelli di ricerca di blocchi RLEM quasi stocastici. La superficie di scorrimento non circolare, a causa della sua versatilità nel catturare geometrie di instabilità arbitrarie, si è dimostrata più efficiente nel rilevare le condizioni di stabilità più critiche rispetto ai tradizionali algoritmi circolari basati sulle “slice” (conci). È stato dimostrato che l’analisi non circolare produrrà fattori di sicurezza mediamente inferiori per le pendenze eterogenee. Nel complesso, è stato indicato che l’indice di affidabilità delle scarpate non omogenee, considerando la geometria di instabilità non circolare, riduce l’indice di affidabilità della pendenza producendo una maggiore probabilità di instabilità. È stato dimostrato che le analisi RLEM quasi stocastiche rendono le valutazioni di stabilità non conservative restituendo un fattore di sicurezza medio più elevato rispetto agli approcci RLEM stocastici completi circolari/non circolari. Tuttavia, si sostiene che può ancora essere un’alternativa fattibile all’approccio impreciso della stabilità del pendio 1D. La struttura di auto-correlazione dei parametri di resistenza ha INSTABILITÀ SCARPATE

illustrating the reliability index charts of the cases corresponding to independent and cross-correlated strength parameters for the non-circular stochastic RLEM approach. Figure 7 clearly indicates that neglecting the negative cross-correlation between the cohesion and the internal friction angle will, due to the augmented chance of weak points formation, lead to increased potential of slope instability. As the strength parameters are taken negatively correlated, when the cohesion in some elements becomes low, the internal friction angle field generation engine will presumably render high values to comply with the cross-correlation requirements. Therefore, considering the cross-correlation between the strength parameters is expected to induce a reduction in probability of failure of the heterogeneous slope as appears from Figure 7.

CONCLUSION

The following conclusions were derived through comparisons of the results of the different RLEM approaches, namely the circular and non-circular full stochastic RLEM approaches, and the quasi-stochastic RLEM block search models. Non-circular slip surface consideration, due to its versatility in capturing arbitrary failure geometries, proved to be more efficient in detecting the most critical stability conditions in comparison to the traditional slice-based circular algorithms. It was shown that the non-circular assumption will yield lower factors of safety for the heterogeneous slopes in an average sense. Overall, the reliability index of the nonhomogeneous slopes, considering the non-circular failure geometry, was indicated to decrease the reliability index of the slope by yielding a higher probability of failure. It was shown that the quasi-stochastic RLEM analyses render slightly unconservative stability evaluations by returning a higher mean safety factor than the circular/non-circular full stochastic RLEM approaches. However, it is maintained that it can still be a decent alternative to the inaccurate 1D stochastic slope stability approach.

7. L’implicazione dell’affidabilità della correlazione incrociata tra i parametri di resistenza 7. Reliability implication of the cross-correlation between the strength parameters

ambiente &territorio

dimostrato di avere un serio impatto sull’affidabilità delle analisi di stabilità dei pendii attraverso l’adozione degli approcci RLEM. Ignorare la struttura di correlazione dei parametri di resistenza, vale a dire la coesione e l’angolo di attrito del terreno, porterà a un aumento degli indici di affidabilità e quindi alla valutazione di stabilità non conservativa. La correlazione incrociata negativa tra i parametri di resistenza ha dimostrato di avere un’influenza importante sulle previsioni del fattore di sicurezza. È stato indicato che trascurare la struttura della covarianza dei molteplici parametri di resistenza coinvolti nell’analisi di stabilità di pendenze eterogenee restituirà analisi di stabilità conservative nella prospettiva di progettazione basata sull’affidabilità. n

(1) PhD Candidato presso il Dipartimento di Ingegneria Civile della Facoltà di Ingegneria dell’Università di Guilan, Rasht (Iran) (2) Professore Associato presso il Dipartimento di Ingegneria Civile della Facoltà di Ingegneria dell’Università di Guilan, Rasht (Iran) (3) Geotechnical Software Developer di Rocscience Inc. (4) Geomechanics Specialist di Rocscience Inc. The strength parameters’ auto-correlation structure was shown to have a serious reliability impact on slope stability analyses through adopting the RLEM approaches. Disregarding the correlation structure of the strength parameters, namely the cohesion and the internal friction angle, will lead to increased reliability indices and therefore an unconservative stability evaluation to be given out. The negative cross-correlation between the strength parameters proved to have an important influence on the safety factor predictions in an average sense. It was indicated that neglecting the covariance structure of the multiple strength parameters involved in the stability analysis of heterogeneous slopes will return conservative stability analyses within the reliability-based design perspective. n

(1) PhD Candidate, Civil Engineering Department, Faculty of Engineering, University of Guilan, Rasht, Guilan (2) Associate Professor, Civil Engineering Department, Faculty of Engineering, University of Guilan, Rasht, Guilan (3) Geotechnical Software Developer at Rocscience Inc. (4) Geomechanics Specialist at Rocscience Inc.

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