Funciones

Funciones 4ยบ ESO

Concepto de Función •

Toda relación existente entre dos variables “x ”, “y” tal que para cada valor de x existe un único valor de y .

•

Hablamos de

•

Toda función se puede representar los ejes

variable independiente x variable dependiente y necesario calcular los puntos de corte con

y= f(x) Eje X

y=f(x) Eje Y

y=0

x=0

Estudio de una Funci贸n Debemos tener en cuenta los siguientes conceptos:

o Dominio o Continuidad o Crecimiento y Decrecimiento o Concavidad y Convexidad o Simetr铆a

Dominio Definici贸n : son los valores de x donde existe la funci贸n.

¿Cómo calcular el dominio?

•

Función Polinómica : Dom f(x)=R

•

Función Fracción Algebraica : los valores que anulan el denominador no están en el dominio (igualamos denominador a cero y hallamos esos valores)

•

Función Radical: los valores que hagan el radicando negativo no están en su dominio(resolvemos inecuación con radicando ≥0 )

Continuidad โ ข Definiciรณn: Una funciรณn es Continua si se puede representar sin levantar el lรกpiz del papel.

Los puntos donde la funciรณn no es continua se llaman Puntos de Discontinuidad.

Clases de Discontinuidad • Discontinuidad evitable: a la función le falta un punto definible para que sea continua.

• Discontinuidad de salto finito: la función presenta un salto. ¡¡Funciones definidas a trozos!!

• Discontinuidad de salto infinito: la función no está definida en esos puntos.

Crecimiento y Decrecimiento • Crecimiento: la función aumenta.

• Decrecimiento: la función disminuye.

• Constante El comportamiento de la función se expresa mediante Intervalos

Extremos Relativos Máximos

Mínimos

• La función pasa de ser Creciente a Decreciente

• La función pasa de ser Decreciente a Creciente

Absolutos

Relativos

Absolutos

Relativos

“El más”

Los demás

“El más”

Los demás

Concavidad y Convexidad C贸ncava

Convexa

Simetr铆a Funci贸n Par

Funci贸n Impar

f(x)=f(-x)

f(x)=-f(x)

FUNCIONES LINEALES • • • • • •

Son de la forma f(x)=ax+b a=pendiente b=ordenada si a>0 f es creciente si a<0 f es decreciente si a=0 es constante y su representación gráfica es una recta horizontal (paralela al eje X) • Para dibujarlas sólo damos 2 puntos en la tabla de valores y los unimos prolongándolos

Ejemplos • y = 3·x - 2

• y = - 4·x + 1

• y = -3

• X=2 • Como bien sabemos esto no define a una función, pero sí a una gráfica

Ecuaci贸n de la recta conociendo 2 puntos Se puede obtener la ecuaci贸n de la recta a partir de la f贸rmula de la pendiente (ecuaci贸n punto-pendiente):

donde

De esta manera: y-(-1)=4(xâ&#x20AC;&#x201D;2) y+1=4x-8; por lo tanto y=4x-9

Ecuación de la recta dados un punto y la pendiente Nosotros sabemos, por la ecuación punto-pendiente que vimos antes donde Por lo tanto lo único que hay que hacer es sustituir en esta ecuación. Por ejemplo si nos dicen que calculemos la ecuación de la recta que pasa por el punto (2,4) y tiene por pendiente m = -3 debemos hacer lo siguiente: y-4=-3(x-2) operamos y-4= -3x + 6

y=-3x+10

FUNCIONES CUADRÁTICAS • • • • •

Son de la forma y=ax2+bx+c Su representación gráfica es una parábola Si a>0 tiene orientación positiva Si a<0 tiene orientación negativa Una parábola es una curva con una rama creciente y otra decreciente, luego alcanza o bien un máximo, o bien un mínimo absoluto, que recibe el nombre de "Vértice".

• Para dibujarla primero debemos calcular el vértice y damos 2 puntos, uno a la izquierda del vértice y otro a la derecha.

• Para calcular el vértice vamos a distinguir 5 casos • - Caso 1.- f(x)=ax2.

• Vértice en el punto (0,0) y = 3x2

• - Caso 2.- f(x)=ax2+c • Vértice en el punto (0,c). La gráfica se desplaza verticalmente "c" unidades, hacia arriba si c>0 y hacia abajo si c<0 y = 3·x2+ 2

• y = 3·x2 - 2

• Caso 3.- f(x)=a(x-p)2 • Vértice en el punto (p,0). La gráfica se desplaza horizontalmente "p" unidades. Si p>0 hacia la derecha, y si p<0 hacia la izquierda • y = (x - 3)2

• y = (x + 2)2

• - Caso 4.- f(x)=a(x-p)2+c • Vértice en el punto (p,c). Es la unión de los casos 2 y 3. Se mueve verticalmente "c" unidades y horizontalmente "p" unidades.

• y = 2·(x - 1)2 + 3

• y = - (x + 2)2 - 3

y = x2 - 4路x + 3

y = - x2 + x + 1

HIPÉRBOLAS • Son funciones de la forma y=k/x, donde k es distinto de "0". Veamos algunas de sus propiedades: • Su representación gráfica es una hipérbola • El dominio está formado por todos los reales excepto los que anulen el denominador (porque no sabemos dividir entre "0") • Tiene simetría impar (respecto a su eje) • Si k>0 la función es decreciente • Si k<0 la función es creciente

Caso general

Funciones Radicales • Son funciones en las que la variable está situada bajo la raíz cuadrada. Para representarlas primero hemos de calcular su dominio. Si recordamos es necesario resolver la inecuación que hace que el radicando sea mayor o igual que "0", porque las raíces de los números negativos, para nosotros, aún no tienen sentido

Veamos un ejemplo

La función empieza en x=-4 porque es donde empieza el dominio. Lo calculamos analíticamente: x+4≥0; x≥-4. Con lo que el dominio está formado por los reales mayores o iguales que -4; x ε [-4,∞)

Funciones definidas a trozos

En esta grĂĄfica falta poner los cĂ­rculos abiertos y los puntos cerrados en x=2 y x=-2

En estas grĂĄficas falta poner los cĂ­rculos abiertos y los puntos cerrados en x=0, x=-5 y x=5

Funciones exponenciales

Veamos sus traslaciones

Funciones logarĂ­tmicas

Si la base es mayor que 1 la funci贸n es creciente