Page 1


MĮșȘȝĮIJȚțȐ ī´ īȣȝȞĮıȓȠȣ


ȀȐșİ ȖȞȒıȚȠ ĮȞIJȓIJȣʌȠ ijȑȡİȚ IJȘ ıijȡĮȖȓįĮ IJȦȞ İțįȩıİȦȞ ǺȅȁȅȃǹȀǾ

© 2007 ǼțįȩıİȚȢ ǺȠȜȠȞȐțȘ ȂĮȣȡȠȝȚȤȐȜȘ 41 & ǺĮȜIJİIJıȓȠȣ, ǹșȒȞĮ ȉȘȜ.: 210 3608065, Fax: 210 3608197 www.volonaki.gr, mail: info@volonaki.gr ǻȚȠȡșȫıİȚȢ: ȈȚȐțĮȢ ȆĮȞĮȖȚȫIJȘȢ ǻȘȝȚȠȣȡȖȚțȩ İȟȦijȪȜȜȠȣ: ȀȦȞıIJĮȞIJȓȞȠȢ ȆĮʌĮțȦȞıIJĮȞIJȓȞȠȣ ǾȜİțIJȡȠȞȚțȒ ıİȜȚįȠʌȠȓȘıȘ: ȆȐȡȚȢ ȀĮȡįĮȝȓIJıȘȢ ǼȚįȚțȩȢ ıȣȞİȡȖȐIJȘȢ: ȈȚȐțĮȢ ȋȡȚıIJȩijȠȡȠȢ ǹʌĮȖȠȡİȪİIJĮȚ Ș ȠȜȚțȒ Ȓ ȝİȡȚțȒ ĮȞĮįȘȝȠıȓİȣıȘ IJȠȣ ȑȡȖȠȣ ĮȣIJȠȪ, țĮșȫȢ țĮȚ Ș ĮȞĮʌĮȡĮȖȦȖȒ IJȠȣ ȝİ ȠʌȠȚȠįȒʌȠIJİ ȐȜȜȠ ȝȑıȠ, ȤȦȡȓȢ IJȘ ıȤİIJȚțȒ ȐįİȚĮ IJȠȣ İțįȩIJȘ. ISBN 978-960-381-363-7


ȀĮȡĮȞȚțȩȜĮȢ ȃȚțȩȜĮȠȢ

MĮșȘȝĮIJȚțȐ ī´ īȣȝȞĮıȓȠȣ


ȈIJȘ ıȪȗȣȖȩ ȝȠȣ Ȉȓııȣ țĮȚ IJĮ ʌĮȚįȚȐ ȝȠȣ ȆĮȞĮȖȚȫIJȘ, ĬȩįȦȡȠ țĮȚ IJȘ ȝȚțȡȒ ȝĮȢ ǼȕİȜȓȞĮ

7


ȆȡȩȜȠȖȠȢ

ȉ

Ƞ ȕȚȕȜȓȠ ĮȣIJȩ ĮʌȠIJİȜİȓ ȖȚĮ IJȠ ȝĮșȘIJȒ, ȩʌȦȢ țĮȚ Ƞ ȓįȚȠȢ șĮ įȚĮʌȚıIJȫıİȚ įȚĮȕȐȗȠȞIJȐȢ IJȠ, ȑȞĮ ʌȠȜȪ ȣʌİȪșȣȞĮ ȖȡĮȝȝȑȞȠ ȕȠȒșȘȝĮ ȖȚĮ IJȘȞ ʌȜȘȡȑıIJİȡȘ țĮIJĮȞȩȘıȘ IJȘȢ ȪȜȘȢ ʌȠȣ ʌİȡȚȜĮȝȕȐȞİȚ IJȠ ıȤȠȜȚțȩ İȖȤİȚȡȓįȚȠ. īȚ’ĮȣIJȩ ijȚȜȠįȠȟİȓ ȞĮ ıȣȝȕȐȜİȚ ıIJȘȞ țĮȜȪIJİȡȘ İȝʌȑįȦıȘ IJȘȢ ȪȜȘȢ IJȦȞ ȝĮșȘȝĮIJȚțȫȞ IJȘȢ ī’ īȣȝȞĮıȓȠȣ, Ș ȠʌȠȓĮ ĮʌȠIJİȜİȓ IJȘ ȕȐıȘ ȖȚĮ IJȘȞ ȪȜȘ IJȦȞ ȝĮșȘȝĮIJȚțȫȞ țĮȚ IJȦȞ IJȐȟİȦȞ IJȠȣ ȁȣțİȓȠȣ. ȅ ıțȠʌȩȢ ĮȣIJȩȢ țĮșȩȡȚıİ IJȘ įȠȝȒ țĮȚ IJȠ ʌİȡȚİȤȩȝİȞȠ ĮȣIJȠȪ IJȠȣ ȕȚȕȜȓȠȣ ȩʌȠȣ ʌĮȡĮIJȓșİȞIJĮȚ ĮȞȐ țİijȐȜĮȚȠ ȩȜİȢ ȠȚ İȞȩIJȘIJİȢ IJȠȣ ıȤȠȜȚțȠȪ ȕȚȕȜȓȠȣ, ĮȞĮȜȪȠȞIJĮȚ ȜİʌIJȠȝİȡȫȢ țĮȚ ʌİȡȚȜĮȝȕȐȞȠȣȞ:

• • • •

ĬİȦȡȓĮ ȆĮȡĮIJȘȡȒıİȚȢ - ȈȤȩȜȚĮ ȊʌȠįİȚȖȝĮIJȚțȐ ȜȣȝȑȞİȢ ĮıțȒıİȚȢ ǼȡȦIJȒıİȚȢ țĮIJĮȞȩȘıȘȢ (ʌȠȜȜĮʌȜȒȢ İʌȚȜȠȖȒȢ, ĮȞIJȚıIJȠȓȤȚıȘȢ, ıȦıIJȩ - ȜȐșȠȢ) • ǹıțȒıİȚȢ ȖȚĮ ȜȪıȘ - ȝİ IJȘ ȜȪıȘ IJȠȣȢ • ȀȡȚIJȒȡȚĮ ĮȟȚȠȜȩȖȘıȘȢ (ıIJȠ IJȑȜȠȢ țȐșİ țİijĮȜĮȓȠȣ) • ȁȪıİȚȢ - ĮʌĮȞIJȒıİȚȢ ıİ ȩȜİȢ IJȚȢ ĮıțȒıİȚȢ țĮȚ ıİ ȩȜĮ IJĮ șȑȝĮIJĮ IJȠȣ ıȤȠȜȚțȠȪ ȕȚȕȜȓȠȣ. ǼȜʌȓȗȦ ȩIJȚ IJȠ ȕȚȕȜȓȠ ĮȣIJȩ ȩȤȚ ȝȩȞȠ șĮ ȕȠȘșȒıİȚ IJȠȣȢ ȝĮșȘIJȑȢ, ĮȜȜȐ șĮ ĮʌȠIJİȜȑıİȚ țĮȚ ȑȞĮ ȤȡȒıȚȝȠ ȝȑıȠ ıIJĮ ȤȑȡȚĮ IJȦȞ ıȣȞĮįȑȜijȦȞ ȝĮșȘȝĮIJȚțȫȞ. ȃȓțȠȢ Ȇ. ȀĮȡĮȞȚțȩȜĮȢ

9


ȆİȡȚİȤȩȝİȞĮ ȀǼĭǹȁǹǿȅ 1ȅ 1.1 ȆȡȐȟİȚȢ ȝİ ʌȡĮȖȝĮIJȚțȠȪȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ (İʌĮȞĮȜȒȥİȚȢ - ıȣȝʌȜȘȡȫıİȚȢ)............................................................ 15 1.2 ȂȠȞȫȞȣȝĮ - ȆȡȐȟİȚȢ ȝİ ȝȠȞȫȞȣȝĮ .................................................... 41 1.3 ȆȠȜȣȫȞȣȝĮ - ȆȡȩıșİıȘ țĮȚ ĮijĮȓȡİıȘ ʌȠȜȣȦȞȪȝȦȞ ........................ 48 1.4 ȆȠȜȣȫȞȣȝĮ - ȆȡȩıșİıȘ țĮȚ ĮijĮȓȡİıȘ ʌȠȜȣȦȞȪȝȦȞ ........................ 49 1.5 ǹȟȚȠıȘȝİȓȦIJİȢ IJĮȣIJȩIJȘIJİȢ ................................................................. 54 1.6 ȆĮȡĮȖȠȞIJȠʌȠȓȘıȘ ĮȜȖİȕȡȚțȫȞ ʌĮȡĮıIJȐıİȦȞ ................................... 63 1.7 ǻȚĮȓȡİıȘ ʌȠȜȣȦȝȪȝȦȞ ........................................................................ 69 1.8 Ǽ.Ȁ.Ȇ. țĮȚ Ȃ.Ȁ.ǻ. ĮțȑȡĮȚȦȞ ĮȜȖİȕȡȚțȫȞ ʌĮȡĮıIJȐıİȦȞ................... 76 1.9 ȇȘIJȑȢ ĮȜȖİȕȡȚțȑȢ ʌĮȡĮıIJȐıİȚȢ ........................................................... 78 1.10 ȆȡȐȟİȚȢ ȡȘIJȫȞ ʌĮȡĮıIJȐıİȦȞ ............................................................. 81 ȁȪıİȚȢ ıIJȚȢ ĮıțȒıİȚȢ IJȠȣ ıȤȠȜȚțȠȪ ȕȚȕȜȓȠȣ ...................................... 87

ȀǼĭǹȁǹǿȅ 2ȅ 2.1 Ǿ İȟȓıȦıȘ Įx + ȕ = 0 ........................................................................ 133 2.2 Ǿ İȟȓıȦıȘ Įx2 + ȕ = 0 ....................................................................... 139 2.3 ȆȡȠȕȜȒȝĮIJĮ İȟȚıȫıİȦȞ įİȣIJȑȡȠȣ ȕĮșȝȠȪ ...................................... 148 2.4 ȀȜĮıȝĮIJȚțȑȢ İȟȚıȫıİȚȢ ..................................................................... 150 2.5 ǹȞȚıȩIJȘIJİȢ - ǹȞȚıȫıİȚȢ ȝİ ȑȞĮȞ ȐȖȞȦıIJȠ ......................................... 153 ȁȪıİȚȢ ıIJȚȢ ĮıțȒıİȚȢ IJȠȣ ıȤȠȜȚțȠȪ ȕȚȕȜȓȠȣ .................................... 164

ȀǼĭǹȁǹǿȅ 3ȅ 3.1 Ǿ ȑȞȞȠȚĮ IJȘȢ ȖȡĮȝȝȚțȒȢ İȟȓıȦıȘȢ .................................................... 195 3.2 Ǿ ȑȞȞȠȚĮ IJȠȣ ȖȡĮȝȝȚțȠȪ ıȣıIJȒȝĮIJȠȢ țĮȚ Ș ȖȡĮijȚțȒ İʌȓȜȣıȒ IJȠȣ..... 200 3.3 ǹȜȖİȕȡȚțȒ İʌȓȜȣıȘ ȖȡĮȝȝȚțȠȪ ıȣıIJȒȝĮIJȠȢ ..................................... 205 ȁȪıİȚȢ ıIJȚȢ ĮıțȒıİȚȢ IJȠȣ ıȤȠȜȚțȠȪ ȕȚȕȜȓȠȣ .................................... 220

11


ȀİijȐȜĮȚȠ 2

ȀǼĭǹȁǹǿȅ 4ȅ 4.1 Ǿ ıȣȞȐȡIJȘıȘ ȥ = Įx2 ȝİ Į  0 ......................................................... 239 4.2 Ǿ ıȣȞȐȡIJȘıȘ ȥ = Įx2 + ȕx + Ȗ ȝİ Į  0 ........................................... 244 ȁȪıİȚȢ ıIJȚȢ ĮıțȒıİȚȢ IJȠȣ ıȤȠȜȚțȠȪ ȕȚȕȜȓȠȣ .................................... 252

ȀǼĭǹȁǹǿȅ 5ȅ 5.1 ȈȪȞȠȜĮ ............................................................................................... 265 5.2 ǻİȚȖȝĮIJȚțȩȢ ȤȫȡȠȢ - ǼȞįİȤȩȝİȞĮ ...................................................... 270 5.3 Ǿ ȑȞȞȠȚĮ IJȘȢ ʌȚșĮȞȩIJȘIJĮȢ ................................................................. 274 ȁȪıİȚȢ ıIJȚȢ ĮıțȒıİȚȢ IJȠȣ ıȤȠȜȚțȠȪ ȕȚȕȜȓȠȣ .................................... 283

īǼȍȂǼȉȇǿǹ 1.1 ǿıȩIJȘIJĮ IJȡȚȖȫȞȦȞ ............................................................................. 293 1.2 ȁȩȖȠȢ İȣșȪȖȡĮȝȝȦȞ IJȝȘȝȐIJȦȞ ........................................................ 302 1.3 ĬİȫȡȘȝĮ IJȠȣ ĬĮȜȒ .......................................................................... 310 1.4 ȅȝȠȚȠșİıȓĮ ........................................................................................ 315 1.5 ȅȝȠȚȩIJȘIJĮ ......................................................................................... 319 1.6 ȁȩȖȠȢ İȝȕĮįȫȞ ȠȝȠȓȦȞ ıȤȘȝȐIJȦȞ ................................................... 324 ȁȪıİȚȢ ıIJȚȢ ĮıțȒıİȚȢ IJȠȣ ıȤȠȜȚțȠȪ ȕȚȕȜȓȠȣ .................................... 329

ȉȇǿīȍȃȅȂǼȉȇǿǹ 2.1 ȉȡȚȖȦȞȠȝİIJȡȚțȠȓ ĮȡȚșȝȠȓ ȖȦȞȓĮȢ Ȧ ȝİ 00 ” Ȧ ” 1800 ....................... 351 2.2 ȉȡȚȖȦȞȠȝİIJȡȚțȠȓ ĮȡȚșȝȠȓ ʌĮȡĮʌȜȘȡȦȝĮIJȚțȫȞ ȖȦȞȚȫȞ .................... 357 2.3 ȈȤȑıİȚȢ ȝİIJĮȟȪ IJȡȚȖȦȞȠȝİIJȡȚțȫȞ ĮȡȚșȝȫȞ ȝȚĮȢ ȖȦȞȓĮȢ .................. 361 2.4 ȃȩȝȠȢ IJȦȞ ȘȝȚIJȩȞȦȞ - ȃȩȝȠȢ IJȦȞ ıȣȞȘȝȚIJȩȞȦȞ ............................. 364 ȁȪıİȚȢ ıIJȚȢ ĮıțȒıİȚȢ IJȠȣ ıȤȠȜȚțȠȪ ȕȚȕȜȓȠȣ .................................... 370

ȁȊȈǼǿȈ ȉȍȃ ǹȈȀǾȈǼȍȃ ȉȅȊ ǺǿǺȁǿȅȊ......................................... 383

12


ȀİijȐȜĮȚȠ 1Ƞ


1.1 A.

ȆȡȐȟİȚȢ ȝİ ʌȡĮȖȝĮIJȚțȠȪȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ (İʌĮȞĮȜȒȥİȚȢ - ıȣȝʌȜȘȡȫıİȚȢ)

ȀİijȐȜĮȚȠ 1

ȅȚ ʌȡĮȖȝĮIJȚțȠȓ ĮȡȚșȝȠȓ țĮȚ ȠȚ ʌȡȐȟİȚȢ IJȠȣȢ

ȉĮ ıȪȞȠȜĮ IJȦȞ ĮȡȚșȝȫȞ IJĮ ȠʌȠȓĮ ȟȑȡȠȣȝİ İȓȞĮȚ: • TȠ ıȪȞȠȜȠ IJȦȞ ijȣıȚțȫȞ ȃ = {0,1,2,3,…} • TȠ ıȪȞȠȜȠ IJȦȞ ĮțİȡĮȓȦȞ ǽ = {…,-2,-1,0,+1,+2,...} • TȠ ıȪȞȠȜȠ IJȦȞ ȡȘIJȫȞ Q, IJȠ ȠʌȠȓȠ ʌİȡȚȑȤİȚ IJȠȣȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ, ʌȠȣ ȑȤȠȣȞ (Ȓ ȝʌȠȡȠȪȞ ȞĮ ʌȐȡȠȣȞ) țȜĮıȝĮIJȚțȒ ȝȠȡijȒ, įȘȜĮįȒ IJȘ ȝȠȡijȒ α , ȩʌȠȣ ȠȚ ĮȡȚșȝȠȓ β Į, ȕ İȓȞĮȚ ĮțȑȡĮȚȠȚ ȝİ ȕ ≠ 0. • TȠ ıȪȞȠȜȠ IJȦȞ ȐȡȡȘIJȦȞ, IJȠ ȠʌȠȓȠ ʌİȡȚȑȤİȚ IJȠȣȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ ʌȠȣ įİȞ İȓȞĮȚ ȡȘIJȠȓ. • TȠ ıȪȞȠȜȠ IJȦȞ ʌȡĮȖȝĮIJȚțȫȞ R, IJȠ ȠʌȠȓȠ ʌİȡȚȑȤİȚ IJȠȣȢ ȡȘIJȠȪȢ țĮȚ IJȠȣȢ ȐȡȡȘIJȠȣȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ. KȐșİ ʌȡĮȖȝĮIJȚțȩȢ ĮȡȚșȝȩȢ ʌĮȡȚıIJȐȞİIJĮȚ ȝ’ ȑȞĮ ıȘȝİȓȠ ʌȐȞȦ ı’ ȑȞĮȞ ȐȟȠȞĮ. ǹȞ Ƞ ĮȡȚșȝȩȢ Į ʌĮȡȚıIJȐȞİIJĮȚ ıIJȠȞ ȐȟȠȞĮ ȝİ IJȠ ıȘȝİȓȠ ǹ IJȩIJİ ĮʌȩȜȣIJȘ IJȚȝȒ IJȠȣ Į Ȝȑȝİ IJȘȞ ĮʌȩıIJĮıȘ IJȠȣ ǹ Įʌȩ IJȘȞ ĮȡȤȒ IJȠȣ ȐȟȠȞĮ.

ȅȚ ʌȡȐȟİȚȢ ıIJȠȣȢ ʌȡĮȖȝĮIJȚțȠȪȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ ǹ. ȆȇȅȈĬǼȈǾ • īȚĮ ȞĮ ʌȡȠıșȑıȠȣȝİ įȪȠ ȠȝȩıȘȝȠȣȢ ʌȡĮȖȝĮIJȚțȠȪȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ ʌȡȠıșȑIJȠȣȝİ IJȚȢ ĮʌȩȜȣIJİȢ IJȚȝȑȢ IJȠȣȢ țĮȚ ıIJȠ ȐșȡȠȚıȝȐ IJȠȣȢ ȕȐȗȠȣȝİ ʌȡȩıȘȝȠ, IJȠ țȠȚȞȩ IJȠȣȢ ʌȡȩıȘȝȠ. • īȚĮ ȞĮ ʌȡȠıșȑıȠȣȝİ įȪȠ İIJİȡȩıȘȝȠȣȢ ʌȡĮȖȝĮIJȚțȠȪȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ, ĮijĮȚȡȠȪȝİ IJȘȞ ȝȚțȡȩIJİȡȘ ĮʌȩȜȣIJȘ IJȚȝȒ Įʌȩ IJȘ ȝİȖĮȜȪIJİȡȘ țĮȚ ıIJȘ įȚĮijȠȡȐ IJȠȣȢ ȕȐȗȠȣȝİ ʌȡȩıȘȝȠ, IJȠ ʌȡȩıȘȝȠ IJȠȣ ĮȡȚșȝȠȪ ʌȠȣ ȑȤİȚ IJȘ ȝİȖĮȜȪIJİȡȘ ĮʌȩȜȣIJȘ IJȚȝȒ.

Ǻ. ȆȅȁȁǹȆȁǹȈǿǹȈȂȅȈ • īȚĮ ȞĮ ʌȠȜȜĮʌȜĮıȚȐıȠȣȝİ įȪȠ ȠȝȩıȘȝȠȣȢ ʌȡĮȖȝĮIJȚțȠȪȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ, ʌȠȜ-

ȜĮʌȜĮıȚȐȗȠȣȝİ IJȚȢ ĮʌȩȜȣIJİȢ IJȚȝȑȢ IJȠȣȢ țĮȚ ıIJȠ ȖȚȞȩȝİȞȠ ĮȣIJȩ ȕȐȗȠȣȝİ ʌȡȩıȘȝȠ (+). • īȚĮ ȞĮ ʌȠȜȜĮʌȜĮıȚȐıȠȣȝİ įȪȠ İIJİȡȩıȘȝȠȣȢ ʌȡĮȖȝĮIJȚțȠȪȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ, ʌȠȜȜĮʌȜĮıȚȐȗȠȣȝİ IJȚȢ ĮʌȩȜȣIJİȢ IJȚȝȑȢ IJȠȣȢ țĮȚ ıIJȠ ȖȚȞȩȝİȞȠ ĮȣIJȩ ȕȐȗȠȣȝİ ʌȡȩıȘȝȠ (-).

15


ȅȚ ȚįȚȩIJȘIJİȢ IJȘȢ ʌȡȩıșİıȘȢ țĮȚ IJȠȣ ʌȠȜȜĮʌȜĮıȚĮıȝȠȪ

ȀİijȐȜĮȚȠ 1

īȚĮ IJȘȞ ʌȡȩıșİıȘ țĮȚ IJȠȞ ʌȠȜȜĮʌȜĮıȚĮıȝȩ ȚıȤȪȠȣȞ ȠȚ ȚįȚȩIJȘIJİȢ: ǿįȚȩIJȘIJĮ ǹȞIJȚȝİIJĮșİIJȚțȒ ȆȡȠıİIJĮȚȡȚıIJȚțȒ

ȆȡȩıșİıȘ

ȆȠȜȜĮʌȜĮıȚĮıȝȩȢ

Į+ȕ=ȕ+Į

Į·ȕ=ȕ·Į

Į + (ȕ + Ȗ) = (Į+ȕ)+Ȗ

Į· (ȕ ·Ȗ) = (Į ·ȕ) · Ȗ

Į+0=Į

Į·1=Į

Į + (-Į) = 0

Į · 1 = 1, Į ≠ 0

ȅȣįȑIJİȡȠ ıIJȠȚȤİȓȠ

ǼʌȚȝİȡȚıIJȚțȒ (ȦȢ ʌȡȠȢ IJȘȞ ʌȡȩıșİıȘ)

α

Į· (ȕ + Ȗ) =ĮĮ· ·(ȕȕ ++ Ȗ) Į· =Ȗ Į · ȕ + Į · Ȗ

ī. ǹĭǹǿȇǼȈǾ - ǻǿǹǿȇǼȈǾ ȅȚ ʌȡȐȟİȚȢ IJȘȢ ĮijĮȓȡİıȘȢ țĮȚ IJȘȢ įȚĮȓȡİıȘȢ ȖȓȞȠȞIJĮȚ ȝİ IJȘȞ ȕȠȒșİȚĮ IJȘȢ ʌȡȩıșİıȘȢ țĮȚ IJȠȣ ʌȠȜȜĮʌȜĮıȚĮıȝȠȪ ĮȞIJȚıIJȠȓȤȦȢ. • īȚĮ ȞĮ ȕȡȠȪȝİ IJȘ įȚĮijȠȡȐ įȪȠ ĮȡȚșȝȫȞ, ʌȡȠıșȑIJȠȣȝİ ıIJȠ ȝİȚȦIJȑȠ IJȠȞ ĮȞIJȓșİIJȠ IJȠȣ ĮijĮȚȡİIJȑȠȣ. Į – ȕ = Į + (-ȕ) • īȚĮ ȞĮ ȕȡȠȪȝİ IJȠ ʌȘȜȓțȠ įȪȠ ĮȡȚșȝȫȞ (Į : ȕ, Ȓ α ȝİ ȕ ≠ 0) ʌȠȜȜĮʌȜĮıȚȐȗȠȣȝİ IJȠ įȚĮȚȡİIJȑȠ ȝİ IJȠȞ ĮȞIJȓıIJȡȠijȠ IJȠȣ įȚĮȚȡȑIJȘ, β 1 Į:ȕ=Į· 1 Ȓ α =Į· . β β β ǹțȩȝȘ ȚıȤȪȠȣȞ:

16

Į · 0 = 0 ȖȚĮ țȐșİ ʌȡĮȖȝĮIJȚțȩ ĮȡȚșȝȩ Į.

ǹȞ Į · ȕ = 0, IJȩIJİ Į = 0 Ȓ ȕ = 0.

ǻȪȠ ĮȡȚșȝȠȓ ʌȠȣ ȑȤȠȣȞ ȐșȡȠȚıȝĮ ȝȘįȑȞ, ȜȑȖȠȞIJĮȚ ĮȞIJȓșİIJȠȚ.

ǻȪȠ ĮȡȚșȝȠȓ ʌȠȣ ȑȤȠȣȞ ȖȚȞȩȝİȞȠ IJȘȞ ȝȠȞȐįĮ, ȜȑȖȠȞIJĮȚ ĮȞIJȓıIJȡȠijȠȚ.


ȀİijȐȜĮȚȠ 1

ȆǹȇǹȉǾȇǾȈǼǿȈ 1.

ȀȐșİ ʌȡĮȖȝĮIJȚțȩȢ ĮȡȚșȝȩȢ ȑȤİȚ ȝȠȞĮįȚțȩ ĮȞIJȓșİIJȠ.

2.

ȀȐșİ ʌȡĮȖȝĮIJȚțȩȢ ĮȡȚșȝȩȢ Į ≠ 0 ȑȤİȚ ȝȠȞĮįȚțȩ ĮȞIJȓıIJȡȠijȠ.

3.

ǹȞ įȪȠ ĮȡȚșȝȠȓ İȓȞĮȚ ĮȞIJȓșİIJȠȚ IJȩIJİ İȓȞĮȚ İIJİȡȩıȘȝȠȚ.

4.

ǹȞ įȪȠ ĮȡȚșȝȠȓ İȓȞĮȚ ĮȞIJȓıIJȡȠijȠȚ IJȩIJİ İȓȞĮȚ ȠȝȩıȘȝȠȚ.

5.

Ǿ ĮʌȩȜȣIJȘ IJȚȝȒ İȞȩȢ ĮȡȚșȝȠȪ İȓȞĮȚ șİIJȚțȩȢ ĮȡȚșȝȩȢ Ȓ ȝȘįȑȞ.

6.

ǹȞ ȑȞĮȢ ĮȡȚșȝȩȢ Į İȓȞĮȚ ȓıȠȢ ȝİ IJȠȞ ĮȞIJȓșİIJȩ IJȠȣ IJȩIJİ Į = 0.

7.

ǹȞ ȑȞĮȢ ĮȡȚșȝȩȢ Į İȓȞĮȚ ȓıȠȢ ȝİ IJȠȞ ĮȞIJȓıIJȡȠijȩ IJȠȣ IJȩIJİ Į = 1 Ȓ Į = -1.

8.

Ǿ įȚĮijȠȡȐ įȪȠ ijȣıȚțȫȞ įİȞ İȓȞĮȚ ʌȐȞIJĮ ijȣıȚțȩȢ.

9.

ȉȠ ʌȘȜȓțȠ įȪȠ ĮțİȡĮȓȦȞ įİȞ İȓȞĮȚ ʌȐȞIJĮ ĮțȑȡĮȚȠȢ.

10.

Ȉİ ȑȞĮ ȖȚȞȩȝİȞȠ ĮȞ Ƞ ȑȞĮȢ ʌĮȡȐȖȠȞIJĮȢ İȓȞĮȚ 0 IJȩIJİ IJȠ ĮʌȠIJȑȜİıȝĮ İȓȞĮȚ 0.

11.

Ȉİ ȑȞĮ ȖȚȞȩȝİȞȠ IJȠ ʌȡȩıȘȝȠ İȟĮȡIJȐIJĮȚ Įʌȩ IJȠ ʌȜȒșȠȢ IJȦȞ ĮȡȞȘIJȚțȫȞ ʌĮȡĮȖȩȞIJȦȞ. ǹȞ ȑȞĮ ıȪȞȠȜȠ įİȞ ʌİȡȚȑȤİȚ IJȠ 0 IJȩIJİ ıȣȞȠįİȪİIJĮȚ Įʌȩ IJȠ ıȪȝȕȠȜȠ * ʌ.Ȥ. ȃ* = {1, 2, 3,..}.

12. 13. 14. 15.

ȅȚ ʌİȡȚȠįȚțȠȓ įİțĮįȚțȠȓ ĮȡȚșȝȠȓ İȓȞĮȚ ȡȘIJȠȓ. ȅȚ ĮțȑȡĮȚȠȚ ȤȦȡȓȗȠȞIJĮȚ ıİ ȐȡIJȚȠȣȢ ʌȠȣ İȓȞĮȚ IJĮ ʌȠȜȜĮʌȜȐıȚĮ IJȠȣ 2 țĮȚ ıİ ʌİȡȚIJIJȠȪȢ ȠȚ ȠʌȠȓȠȚ įİȞ İȓȞĮȚ ʌȠȜȜĮʌȜȐıȚĮ IJȠȣ 2. DzȞĮȢ ȡȘIJȩȢ ĮȡȚșȝȩȢ İȓȞĮȚ ĮțȑȡĮȚȠȢ ȩIJĮȞ Ƞ ʌĮȡȠȞȠȝĮıIJȒȢ İȓȞĮȚ įȚĮȚȡȑIJȘȢ IJȠȣ ĮȡȚșȝȘIJȒ.

ȁȊȂǼȃǼȈ AȈȀǾȈǼǿȈ 1

ȃĮ ȣʌȠȜȠȖȚıIJȠȪȞ ȠȚ ʌĮȡĮıIJȐıİȚȢ. α) Α = ( -4)- (-

3 5

)+ (

2 7

-4) –(

1

3

2

3+

16

- )-(- )( ) β) Β= 4 5 5 10

1+

2 3 3

2+

3 5

3 1 1 5 ( − ):( + ) 3 1 4 8 2 4 . - )] δ) Δ = (3 - ):( - ))+( γ) Γ= -(3 +1) -[-(3+ 1 4 1 10 10 2 4 5 4 10 ( − ) · ( −3 − ) 6 3 6 Λύση 32 3 1 3 1 3 2 2 16 3 2 )= -(+ ) = -4+ + -4- + α) A=(-4)-(- )+( -4)-( - )-(- )(20 5 10 5 10 5 7 4 5 7 5 2

= -4 +

3 5

1

+

2

-4-

3

+

1

3

-

16

7

= -4 - 4+

5 10 10 20 105 645 + =. + =70 70 70 70 70 560

7 84

1

3 5

+

3 5

+

2 7

+

1 16 6 2 15 = -8+ + = 10 10 5 7 10

17


ȀİijȐȜĮȚȠ 1

2

3+

3 3

β) Β = 1+

2+

γ) Γ = -(3

2

3+ = 3

1+

10

5

5 1

2

3+

3

3 = 3 1+ 13

5

5

3 3 +

2

=

3

7

3+

2 3 = 3

1+ 1 13 17

5 5

3+ 1+

2

9

2

11

3 = 3 = 143 . 15 28 54 + 13 13 13

3 = 3 15 13 13

30

+

1

2

5 31

)+( -

-

)] = -(

+

)-[-(

+

)+( -

10

)] = 10 10 10 10 10 10 5 5 22 21 44 21 63 10 22 -( ===. − 5 10 10 5 10 10 10 10 6 1 2 5 3 1 1 5 ( − ):( + ) ( − ):( + ) 12 1 6 1 1 3 1 8 8 4 4 = 4 8 2 4 δ) Δ = (3 - ) :( - ) = ( − ):( − )8 1 18 1 4 1 1 4 4 4 4 4 2 4 − ) ( − ) · (− ( − ) · ( −3 − ) 6 6 6 6 3 6 6 5 7 5 4 20 : · 11 5 11 4 8 7 11 11 20 · 9 11 20 · 36 4 8 56 = : = = = + = + = · − 19 133 133 4 4 7 4 5 5 5 14 · 133 5 56 · 133 · (− ) − − 6 6 36 36 10241 + 450 10691 . 11 · 931 90 · 5 11 90 11 10 · 9 = + = = + = = + 4655 4655 5 · 931 5 · 931 5 7 · 133 5 931 +1) -[-(3+

AȞ ȠȚ ĮȡȚșȝȠȓ Į țĮȚ ȕ + 5 İȓȞĮȚ ĮȞIJȓșİIJȠȚ țĮȚ ȠȚ ĮȡȚșȝȠȓ Ȗ țĮȚ į İȓȞĮȚ ĮȞIJȓıIJȡȠijȠȚ, ȞĮ ȕȡİșİȓ Ș ĮȡȚșȝȘIJȚțȒ IJȚȝȒ IJȦȞ ʌĮȡĮıIJȐıİȦȞ. ǹ = 3(Į + 4) – (4 - Ȗ) · į + 3(ȕ + 1) + 4į. Ǻ = -(Į - 2ȕ) + 3(Į + Ȗ) + 10+ (į - 3)Ȗ + 2006. ȁȪıȘ ȅȚ ĮȡȚșȝȠȓ Į țĮȚ ȕ + 5 İȓȞĮȚ ĮȞIJȓșİIJȠȚ ȐȡĮ: Į + (ȕ + 5) = 0,oʌȩIJİ Į + ȕ = -5 ȅȚ ĮȡȚșȝȠȓ Ȗ țĮȚ į İȓȞĮȚ ĮȞIJȓıIJȡȠijȠȚ ȐȡĮ: Ȗ · į = 1. ĬĮ ʌȡȠıʌĮșȒıȠȣȝİ ȞĮ įȘȝȚȠȣȡȖȒıȠȣȝİ IJȠ ȐșȡȠȚıȝĮ Į + ȕ țĮȚ IJȠ ȖȚȞȩȝİȞȠ Ȗ · į DzIJıȚ ȑȤȠȣȝİ: ǹ = 3(Į + 4) - (4 - Ȗ) į + 3(ȕ + 1) + 4į = 3Į + 12 - 4į + Ȗį + 3ȕ + 3 + 4į = =3Į + 3ȕ + 15 + Ȗį = 3(Į + ȕ + 5) + Ȗį = 3 · 0 + 1 = 1. Ǻ = -(Į - 2ȕ) + 3(Į + Ȗ) + 10 + (į - 3)Ȗ + 2006 = = -Į + 2ȕ + 3Į + 3Ȗ +10 + įȖ - 3Ȗ + 2006 = 2Į + 2ȕ + 10 + įȖ + 2006 = = 2(Į + ȕ + 5) + įȖ + 2006 = 2 · 0 + 1 + 2006 = 2007.

18


3 ǹȞ Į, ȕ İȓȞĮȚ ȠȚ įȚĮıIJȐıİȚȢ İȞȩȢ ȠȡșȠȖȦȞȓȠȣ ȝİ İȝȕĮįȩȞ 40 m țĮȚ Ȗ, į ȠȚ įȚĮıIJȐıİȚȢ İȞȩȢ ȐȜȜȠȣ ȠȡșȠȖȦȞȓȠȣ ȝİ ʌİȡȓȝİIJȡȠ 28m ȞĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİIJİ IJȚȢ ʌĮȡĮıIJȐıİȚȢ.

ȀİijȐȜĮȚȠ 1

ǹ = 3(Ȗ + 2į) – 2(Į + 10)ȕ - 3į + 20(ȕ + 100) Ǻ = (4ȕ - 1)Į + 2(Ȗ + į -15) + Į + 2003 ȁȪıȘ ȉȠ ȑȞĮ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ ȑȤİȚ įȚĮıIJȐıİȚȢ Į, ȕ țĮȚ ȑȤİȚ İȝȕĮįȩȞ 40m2 ȐȡĮ Į · ȕ = 40 ȉȠ ȐȜȜȠ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ ȑȤİȚ įȚĮıIJȐıİȚȢ Ȗ țĮȚ į țĮȚ ȑȤİȚ ʌİȡȓȝİIJȡȠ 28 ȐȡĮ: 2Ȗ + 2į = 28, ȠʌȩIJİ Ȗ + į = 14. ĬĮ ʌȡȠıʌĮșȒıȠȣȝİ ȞĮ įȘȝȚȠȣȡȖȒıȠȣȝİ IJȠ ȖȚȞȩȝİȞȠ Įȕ țĮȚ IJȠ ȐșȡȠȚıȝĮ Ȗ + į ǹ = 3(Ȗ + 2į) - 2(Į + 10)ȕ - 3į + 20(ȕ + 100) = 3Ȗ + 6į - 2Įȕ - 20ȕ -3į + 20ȕ + 2000 3Ȗ + 3į - 2Įȕ + 2000 = 3(Ȗ + į) – 2Įȕ + 2000 = 3 · 14 - 2 · 40 + 2000 = = 42 - 80 + 2000 = 1962. Ǻ = (4ȕ - 1)Į + 2(Ȗ + į -15) + Į + 2003 = 4ȕĮ - Į + 2Ȗ + 2į - 30 + Į + 2003 = = 4ȕĮ + 2(Ȗ + į) –30 + 2003 = 4 · 40 + 28 - 30 + 2003 = 160 + 28 - 30 + 2003 = 2161. 4

ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȠȞ ĮȡȚșȝȩ Į ȫıIJİ ȠȚ ʌĮȡĮıIJȐıİȚȢ: ǹȞ ǹ = 3-|-2+5|+3|-4-2| -7, Ǻ = Į + 3(4 - 2Į) – 4 ȞĮ İȓȞĮȚ Į) ǹȞIJȓșİIJȠȚ ĮȡȚșȝȠȓ ȕ) ǹȞIJȓıIJȡȠijȠȚ ĮȡȚșȝȠȓ. ȁȪıȘ ĬĮ ȣʌȠȜȠȖȓıȠȣȝİ ʌȡȫIJĮ IJȚȢ ʌĮȡĮıIJȐıİȚȢ ǹ țĮȚ Ǻ. ǹ = 3-|-2+5|+3|-4-2|-7 = 3-|+3|+3|-6|-7 = 3 - 3 + 3 · 6 - 7 = 18 - 7 = 11. Ǻ = Į + 3(4 - 2Į)-4 = Į + 12 - 6Į - 4 = 8 - 5Į. Į) īȚĮ ȞĮ İȓȞĮȚ ĮȞIJȓșİIJȠȚ ʌȡȑʌİȚ: ǹ + Ǻ = 0 Ȓ 11 + (8 - 5Į) = 0 Ȓ 19 . 11 + 8 - 5Į = 0 Ȓ - 5Į = -19 Ȓ Į = 5 ȕ) īȚĮ ȞĮ İȓȞĮȚ ĮȞIJȓıIJȡȠijȠȚ ʌȡȑʌİȚ: A · B = 1Ȓ 11 · (8 - 5Į) = 1 Ȓ 87 Ȓ 88 - 55 Į = 1 Ȓ -55Į = 1 - 88Ȓ Į= + . 55

19


ȀİijȐȜĮȚȠ 1

5

ǹȞ Į + ȕ = 3 țĮȚ Ȗ + į = + 4, ȞĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİIJİ IJȚȢ ʌĮȡĮıIJȐıİȚȢ. ǹ = 5 - (ȕ - į) – (-Ȗ + Į) + 2004, Ǻ = - (-3 - Į) + 2(ȕ + Ȗ) + 2į + Į ȁȪıȘ ǹ = 5- (ȕ - į) – (-Ȗ + Į) + 2004 = 5 - ȕ + į + Ȗ - Į + 2004 = - (Į + ȕ) + Ȗ + į + 5 + 2004 = -3 + 4 + 5 + 2004 = 2009. Ǻ = -(-3 - Į)+2(ȕ + Ȗ)+2į + Į = 3+Į+2ȕ + 2Ȗ + 2į + Į = 2Į+2ȕ + 2Ȗ + 2į + 3 = 2(Į + ȕ) + 2(Ȗ + į) + 3 = 2 · 3 + 2 · 4 + 3 = 6 + 8 + 3 = 17.

6

NĮ ȕȡİȓIJİ IJȚȢ șİIJȚțȑȢ ĮțȑȡĮȚİȢ ĮțȑȡĮȚİȢ IJȚȝȑȢ IJȠȣ x ȫıIJİ Ƞ ĮȡȚșȝȩȢ Α= ȞĮ İȓȞĮȚ ĮțȑȡĮȚȠȢ.

3 Χ+2

ȁȪıȘ īȚĮ ȞĮ İȓȞĮȚ Ƞ ǹ ĮțȑȡĮȚȠȢ ʌȡȑʌİȚ : x + 2 = 1 Ȓ x + 2= -1 Ȓ x + 2 = 3 Ȓ x + 2 = -3 Ȓ x = -1 ĮʌȠȡȡȓʌIJİIJĮȚ, Ȓ x = -3 ĮʌȠȡȡȓʌIJİIJĮȚ, Ȓ x = 1 įİțIJȒ Ȓ x = -5 ĮʌȠȡȡȓʌIJİIJĮȚ. 10 + 20 + 30 + ... + 130 5 + 10 + 15 + ... + 65 ȕ) ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȘȞ IJȚȝȒ IJȘȢ ʌĮȡȐıIJĮıȘȢ Ǻ = (60 + 57 + 54 +…+ 3) -(59 + 56 + 53 +…+ 2)

7

Į) NĮ ĮʌȜȠʌȠȚȒıİIJİ IJȠ țȜȐıȝĮ: A=

ȁȪıȘ ǵIJĮȞ ȑȤȠȣȝİ ȞĮ ȣʌȠȜȠȖȓıȠȣȝİ ʌĮȡĮıIJȐıİȚȢ ʌȠȣ ȑȤȠȣȞ ʌȠȜȜȐ ĮșȡȠȓıȝĮIJĮ IJȩIJİ ıȣȞȒșȦȢ įİȞ İțIJİȜȠȪȝİ IJȚȢ ʌȡȐȟİȚȢ, ĮȜȜȐ ʌȡȠıʌĮșȠȪȝİ ȝİ įȚȐijȠȡĮ IJİȤȞȐıȝĮIJĮ ȞĮ ȣʌȠȜȠȖȓıȠȣȝİ IJȚȢ ʌĮȡĮıIJȐıİȚȢ.

Α=

10 + 20 + 30 + ... + 30 10(1 + 2 + 3 + ... + 13 10 = =2 = 5 + 10 + 15 + ... + 65 5(1 + 2 + 3 + ... + 13) 5

Ǻ = (60 + 57 + 54 +…+ 3) - (59 + 56 + 53 +… + 2) = (60 - 59) + (57 - 56) + (54 - 53) +…+ (3 - 2) = 1 + 1 + 1 +…+ 1 = 20 · 1 = 20.

20

ȆĮȡĮIJȒȡȘıȘ: ǹȞ ȑȤȠȣȝİ ȞĮ ȣʌȠȜȠȖȓıȠȣȝİ ȑȞĮ ȐșȡȠȚıȝĮ IJȘȢ ȝȠȡijȒȢ: 1 + 2 + 3 + 4 +…+ Ȟ


įȘȜĮįȒ IJȠ ȐșȡȠȚıȝĮ IJȦȞ Ȟ ʌȡȫIJȦȞ įȚĮįȠȤȚțȫȞ ijȣıȚțȫȞ IJȩIJİ ȝʌȠȡȠȪȝİ ȞĮ ȀİijȐȜĮȚȠ 1 ȤȡȘıȚȝȠʌȠȚȒıȠȣȝİ IJȠ ȖİȞȚțȩ IJȪʌȠ:

1+2+3+4+…+ν =

ν ( ν + 1) (1) π.x. 2

NĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİIJİ: Į) 1 + 2 + 3 +…+ 40 ȕ) 1 + 2 + 3 +…+ 100 Ȗ) 2 + 4 + 6 + 8 +…+ 200 ȁȪıȘ Į) īȚĮ Ȟ = 40 țĮȚ Įʌȩ IJȠȞ IJȪʌȠ (1) ȑȤȠȣȝİ:

1+2+3+…+40 =

40(40 + 1) 40 · 41 = = 20· 21 = 420. 2 2

ȕ) īȚĮ Ȟ = 100 țĮȚ Įʌȩ IJȠȞ IJȪʌȠ (1) ȑȤȠȣȝİ : 1 + 2 + 3 +...+ 100 =

=

100 · (100 + 1) 100 · 101 = 50·101 = 5050. = 2 2

Ȗ) ǻİ ȝʌȠȡȠȪȝİ ȞĮ İijĮȡȝȩıȠȣȝİ IJȠȞ IJȪʌȠ (1) ȠʌȩIJİ įȠȣȜİȪȠȣȝİ ȦȢ İȟȒȢ: 2 + 4 + 6 +…+ 200 = 2(1 + 2 + 3 +…+ 100) = 2 · 5050 = 10100.

ǼȇȍȉǾȈǼǿȈ ȀǹȉǹȃȅǾȈǾȈ ǹ. ȃĮ ȤĮȡĮțIJȘȡȓıİIJİ IJȚȢ İʌȩȝİȞİȢ ʌȡȠIJȐıİȚȢ ȝİ ȈȦıIJȩ (Ȉ) Ȓ ȁȐșȠȢ (ȁ) 1.

ȅȚ ĮțȑȡĮȚȠȚ ĮȡȚșȝȠȓ ıȣȝȕȠȜȓȗȠȞIJĮȚ ȝİ ȃ.

2.

ȀȐșİ ĮȡȚșȝȩȢ IJȘȢ ȝȠȡijȒȢ α ȝİ ȕ ≠0 İȓȞĮȚ ȡȘIJȩȢ.

3.

ȉȠ ȐșȡȠȚıȝĮ įȪȠ ȠȝȩıȘȝȦȞ İȓȞĮȚ șİIJȚțȩȢ.

4.

ǻȪȠ ĮȡȚșȝȠȓ ȝİ ȖȚȞȩȝİȞȠ șİIJȚțȩ țĮȚ ȐșȡȠȚıȝĮ șİIJȚțȩ İȓȞĮȚ șİIJȚțȠȓ.

5.

ȅȚ ĮȞIJȓșİIJȠȚ ĮȡȚșȝȠȓ ȑȤȠȣȞ ȓıİȢ ĮʌȩȜȣIJİȢ IJȚȝȑȢ.

6.

ȅ ĮȡȚșȝȩȢ 0,35 İȓȞĮȚ ȐȡȡȘIJȠȢ.

7.

Ǿ ĮʌȩȜȣIJȘ IJȚȝȒ țȐșİ ʌȡĮȖȝĮIJȚțȠȪ ĮȡȚșȝȠȪ İȓȞĮȚ șİIJȚțȩȢ ĮȡȚșȝȩȢ.

8.

ǵȜȠȚ ȠȚ ʌȡĮȖȝĮIJȚțȠȓ ĮȡȚșȝȠȓ ȑȤȠȣȞ ĮȞIJȓıIJȡȠijȠ.

9.

ȅ ĮȡȚșȝȩȢ 2 įİȞ ȝʌȠȡİȓ ȞĮ ʌĮȡĮıIJĮșİȓ ʌȐȞȦ ıİ ȐȟȠȞĮ.

β

10. AȞ Ƞ ĮȡȚșȝȩȢ α , İȓȞĮȚ ĮțȑȡĮȚȠȢ IJȩIJİ țĮȚ Ƞ αβ İȓȞĮȚ ĮțȑȡĮȚȠȢ (Į ≠ 0,ȕ ≠ 0). β

11. ȊʌȐȡȤȠȣȞ ĮȡȚșȝȠȓ ʌȠȣ ȑȤȠȣȞ ĮȞIJȓıIJȡȠijȠ IJȠȞ İĮȣIJȩ IJȠȣȢ.

21


12. ȉȠ ȐșȡȠȚıȝĮ įȪȠ ȐȡȡȘIJȦȞ ĮȡȚșȝȫȞ İȓȞĮȚ ʌȐȞIJĮ ȐȡȡȘIJȠȢ.

ȀİijȐȜĮȚȠ 1

13. ȀȐșİ ĮțȑȡĮȚȠȢ ĮȡȚșȝȩȢ İȓȞĮȚ ijȣıȚțȩȢ ĮȡȚșȝȩȢ. 14. ǹȞ įȪȠ ĮȡȚșȝȠȓ Į, ȕ ȝİ Į > ȕ ȑȤȠȣȞ ȖȚȞȩȝİȞȠ 0 țĮȚ ȐșȡȠȚıȝĮ șİIJȚțȩ IJȩIJİ Į > 0. 15. ǹȞ Į · ȕ < 0, IJȩIJİ ȠȚ ĮȡȚșȝȠȓ Į, ȕ ȝʌȠȡİȓ ȞĮ İȓȞĮȚ ĮȞIJȓıIJȡȠijȠȚ ȝİIJĮȟȪ IJȠȣȢ. 16. AȞ Į, ȕ İȓȞĮȚ ȠȝȩıȘȝȠȚ IJȩIJİ α > 0. β

17. O ĮȡȚșȝȩȢ -x İȓȞĮȚ ĮȡȞȘIJȚțȩȢ. 18. O ĮȡȚșȝȩȢ 3 İȓȞĮȚ ȡȘIJȩȢ. 3 19. ȅȚ ĮȡȚșȝȠȓ 1 țĮȚ -1 İȓȞĮȚ ĮȞIJȓıIJȡȠijȠȚ. 20. ǹȞ Į 0 țĮȚ αβγ= Ǻ

1 1 IJȩIJİ ȠȚ ĮȡȚșȝȠȓ ȕȖ țĮȚ 2 İȓȞĮȚ ĮȞIJȓıIJȡȠijȠȚ. 3 α α

ȃĮ İʌȚȜȑȟİIJİ IJȘ ıȦıIJȒ ĮʌȐȞIJȘıȘ: 1. ǹȞ ȠȚ ĮȡȚșȝȠȓ Į, ȕ İȓȞĮȚ ĮȞIJȓșİIJȠȚ, IJȩIJİ : Į) İȓȞĮȚ ȠȝȩıȘȝȠȚ, ȕ) ȑȤȠȣȞ ȓıİȢ ĮʌȩȜȣIJİȢ IJȚȝȑȢ Ȗ) ȑȤȠȣȞ ȖȚȞȩȝİȞȠ IJȘ ȝȠȞȐįĮ į) ȑȤȠȣȞ ȓıĮ ȝȑIJȡĮ țĮȚ İȓȞĮȚ İIJİȡȩıȘȝȠȚ. 2. Ǿ IJȚȝȒ IJȘȢ ʌĮȡȐıIJĮıȘȢ ǹ = (x - 1821) (x - 2004) (x - 2001) · x ȖȚĮ x = 0 ȚıȠȪIJĮȚ : Į) 0, ȕ) 2006 Ȗ) -2004 3. ǹȞ ȠȚ ĮȡȚșȝȠȓ Į, ȕ İȓȞĮȚ ĮȞIJȓıIJȡȠijȠȚ IJȩIJİ Ș ʌĮȡȐıIJĮıȘ 1 1 ǹ = α + β -Į - ȕ + 1 ȚıȠȪIJĮȚ ȝİ Į) 0, ȕ) 1, Ȗ) Į + ȕ į) -Į -ȕ İ) 1. 4. ǹȞ Ƞ ĮȡȚșȝȩȢ Α=

3 İȓȞĮȚ ĮțȑȡĮȚȠȢ șİIJȚțȩȢ IJȩIJİ Ș IJȚȝȒ IJȠȣ x İȓȞĮȚ : Χ+2

Į) 1, ȕ) -8 Ȗ) 2 į) 0 İ) 5 5. ǹȞ įȪȠ İIJİȡȩıȘȝȠȚ ĮȡȚșȝȠȓ ȑȤȠȣȞ ȐșȡȠȚıȝĮ 0 IJȩIJİ:

22

Į) İȓȞĮȚ ĮȞIJȓșİIJȠȚ, ȕ) İȓȞĮȚ ĮȞIJȓıIJȡȠijȠȚ, Ȗ) ȑȤȠȣȞ ȖȚȞȩȝİȞȠ 0 į) ȑȤȠȣȞ ȖȚȞȩȝİȞȠ 1.


6. DzıIJȦ Į, ȕ İȓȞĮȚ ijȣıȚțȠȓ țĮȚ ȠȚ ʌĮȡĮıIJȐıİȚȢ: i) Į - ȕ ii) 2 · Į + 3ȕ iii) Į · ȕ iv) Į : ȕ

ȀİijȐȜĮȚȠ 1

ȆȠȚİȢ Įʌȩ ĮȣIJȑȢ ʌĮȡȚıIJȐȞȠȣȞ ʌȐȞIJĮ ijȣıȚțȩ ĮȡȚșȝȩ; Į) Ș (i) țĮȚ Ș (ii) ȕ) Ș (i) țĮȚ Ș (iii) Ȗ) Ș ( i) Ș (ii) țĮȚ Ș (iii) į) Ș (i) Ș (iii) țĮȚ Ș (iv) İ) Ș (ii) țĮȚ Ș (iii)

5 7. AȞ 5 · x = 0 , IJȩIJİ Ș ʌĮȡȐıIJĮıȘ -x İȓȞĮȚ ȓıȘ ȝİ: 6 6 5 5 Į. 0 ȕ. Ȗ. - į. 1 6 6

ī. ǼȡȦIJȒıİȚȢ ıȣȝʌȜȒȡȦıȘȢ ȃĮ ıȣȝʌȜȘȡȫıİIJİ IJȠȞ ʌĮȡĮțȐIJȦ ʌȓȞĮțĮ ıȘȝİȚȫȞȠȞIJĮȢ ȋ ıIJȘȞ țĮIJȐȜȜȘȜȘ șȑıȘ.

-4

3 2

8

-0,3

5

16 3, 4 π

2 0 3

1 3

Ακέραιος Ρητός Άρρητος

ǹȈȀǾȈǼǿȈ īǿǹ ȁȊȈǾ 1

ǻȓȞȠȞIJĮȚ ȠȚ ĮȡȚșȝȠȓ: +3, -2,

− 3 , 2, 23 , π, 5

3, 9,

2 3

ȃĮ ȖȡȐȥİIJİ ʌȠȚȠȚ Įʌȩ IJȠȣȢ ʌĮȡĮʌȐȞȦ ĮȡȚșȝȠȪȢ İȓȞĮȚ ijȣıȚțȠȓ, ĮțȑȡĮȚȠȚ, ȡȘIJȠȓ, ȐȡȡȘIJȠȚ. 2

ȆȠȚȠȓ Įʌȩ IJȠȣȢ ʌĮȡĮțȐIJȦ ĮȡȚșȝȠȪȢ İȓȞĮȚ ȐȡIJȚȠȚ țĮȚ ʌȠȚȠȓ ʌİȡȚIJIJȠȓ; 2Ȟ, 2Ȟ + 1, 2Ȟ + 3, 4Ȟ + 1, 4Ȟ + 3, Ȟ(Ȟ + 1) ȩʌȠȣ Ȟ ijȣıȚțȩȢ.

3

ȃĮ țȐȞİIJİ IJȚȢ ʌȡȐȟİȚȢ: Į) 3 + 4 · 6 - 36 : (-4) + 2 ȕ) -10: (-4 -6) - [-(4 -2) + (1 -3)] Ȗ) (-14) · (-4) · (3 - 3) · (1935 - 678) į) 25:|2-7| + [2 - 4(2 : 4) -3]

23


ȀİijȐȜĮȚȠ 1

4

ǹȞ Į + ȕ = 4, Ȗį = -12, ȞĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİIJİ IJȚȢ ʌĮȡĮțȐIJȦ ʌĮȡĮıIJȐıİȚȢ: ǹ= 3Į + 3ȕ, Ǻ = ĮįȖ + ȕȖį, ī = Į(Ȗį - 2) - Ȗ(Įį - 2) - 2ȕ.

5

AȞ Į, ȕ, Ȗ İȓȞĮȚ ʌȡĮȖȝĮIJȚțȠȓ ĮȡȚșȝȠȓ țĮȚ ȚıȤȪİȚ ȩIJȚ Į = 3ȕ, ȕ = 16Ȗ 4 țĮȚ γ = , IJȩIJİ ȞĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ: 5 128 α 5γ Į) α-β= ȕ) ȠȚ ĮȡȚșȝȠȓ , İȓȞĮȚ ĮȞIJȓıIJȡȠijȠȚ 5 β 12 Ȗ) ȃĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİIJİ IJȠȣȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ Į, ȕ.

6

ǹȞ Į + ȕ + Ȗ = 2001 țĮȚ ȕ + 2Ȗ = 6 ȞĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİIJİ IJȚȢ ʌĮȡĮıIJȐıİȚȢ: A = Į + 2ȕ + 3Ȗ, Ǻ = Į + 3ȕ + 5Ȗ.

7

Į) ȃĮ ĮʌȜȠʌȠȚȒıİIJİ IJȠ țȜȐıȝĮ: Α =

2 + 4 + 6 + ... + 100 5 + 10 + 15 + ... + 250

ȕ) ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȘȞ IJȚȝȒ IJȘȢ ʌĮȡȐıIJĮıȘȢ: ǹ = (200 + 196 + 192 +…+ 8 + 4) - (198 + 196 + 194 +…+ 6 + 4 + 2) (ǻȚĮȖȦȞȚıȝȩȢ Ǽ Ȃ Ǽ, ǼȣțȜİȓįȘȢ - 1999) 8

ȃĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİIJİ IJȘȞ ʌĮȡȐıIJĮıȘ: − [−(−2α + β − 3γ ) − (2γ − α + β )] − (−3α + 3β − γ + 2007 ) A= − (−α + 2 β ) − [α − (−β − 2γ )] − (−3β − 2γ ) + 1

9

ǹȞ Į, ȕ İȓȞĮȚ ĮȡȚșȝȠȓ ȝİ Į + ȕ = 4 ȞĮ ȕȡİșİȓ Ș IJȚȝȒ IJȘȢ ʌĮȡȐıIJĮıȘȢ: A=

24

100 − 3(α − β ) − 2(α − 2 β ) − 5 + 3[5α − (− β + 2)] − 2(2α − β ) − 4(3β − 1) − 2(−2α − 5β )

10

NĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ: ĮȞ ȠȚ ĮȡȚșȝȠȓ Į, ȕ İȓȞĮȚ ĮȞIJȓșİIJȠȚ IJȩIJİ țĮȚ ȠȚ ĮȡȚșȝȠȓ x = Į - 2(ȕ + 4) + 2 țĮȚ ȥ = 4(Į +1) + 7ȕ + 2 İȓȞĮȚ ĮȞIJȓșİIJȠȚ.

11

ǹȞ x = 850,35 țĮȚ ȥ = -150,65 ȞĮ ȕȡİșİȓ Ș IJȚȝȒ IJȘȢ ʌĮȡȐıIJĮıȘȢ: 3xȥ - 3x (ȥ - 1) - [x - (ȥ + 7)] -3ȥ


12

ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȚȢ șİIJȚțȑȢ IJȚȝȑȢ IJȠȣ ĮțİȡĮȓȠȣ ț ȫıIJİ Ƞ ĮȡȚșȝȩȢ 3 ȞĮ İȓȞĮȚ ĮțȑȡĮȚȠȢ. Α= 2k + 1

13

ǹȞ ȠȚ Į, ȕ, Ȗ, į İȓȞĮȚ ʌȡĮȖȝĮIJȚțȠȓ ĮȡȚșȝȠȓ țĮȚ ȚıȤȪȠȣȞ: Į - 2ȕ = 5, 2ȕ - Ȗ = 7, Ȗ - 2į = 5 țĮȚ į + 3 = 2, ȞĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİIJİ IJȠ ȐșȡȠȚıȝĮ Į + ȕ + Ȗ + į.

B.

ǻȣȞȐȝİȚȢ ʌȡĮȖȝĮIJȚțȫȞ ĮȡȚșȝȫȞ

ȀİijȐȜĮȚȠ 1

ǹȞ Į İȓȞĮȚ ʌȡĮȖȝĮIJȚțȩȢ ĮȡȚșȝȩȢ țĮȚ Ȟ ijȣıȚțȩȢ ȝİ Ȟ  2, IJȩIJİ Ƞ ĮȡȚșȝȩȢ ĮȞ ȜȑȖİIJĮȚ įȪȞĮȝȘ ȝİ ȕȐıȘ IJȠ Į țĮȚ İțșȑIJȘ IJȠ Ȟ țĮȚ İȓȞĮȚ ȓıȠȢ ȝİ IJȠ ȖȚȞȩȝİȞȠ Ȟ ʌĮȡĮȖȩȞIJȦȞ ȓıȦȞ ȝİ IJȠȞ ĮȡȚșȝȩ Į.

}

ǻȘȜĮįȒ: ĮȞ = Į · Į · Į…Į

Ȟ ʌĮȡȐȖȠȞIJİȢ ȅȡȓȗȠȣȝİ ĮțȩȝȘ: Į1 = Į Į0 = 1 ȝİ Į ≠ 0 1 α-ν = ν ȝİ Į ≠ 0. α

īȚĮ IJȚȢ įȣȞȐȝİȚȢ ȝİ İțșȑIJİȢ ĮțȑȡĮȚȠȣȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ țĮȚ İijȩıȠȞ ĮȣIJȑȢ ȠȡȓȗȠȞIJĮȚ, ȚıȤȪȠȣȞ ȠȚ ȚįȚȩIJȘIJİȢ: ǿįȚȩIJȘIJİȢ Į ·Į =Į ȝ

Ȟ

ȝ+Ȟ

ȆĮȡĮįİȓȖȝĮIJĮ 32 · 33 = 32+3 = 35

Įȝ : ĮȞ = Įȝ-Ȟ

23 : 2-2 = 23-(-2) = 25

(Į · ȕ)Ȟ = ĮȞȕȞ

(3ȥ)3 = 33ȥ3 = 27ȥ3

α ν αν ) = ν β β

22 4 2 ( )2 = 2 = 5 25 5

(Įȝ)Ȟ = ĮȝȞ

(2-3)-3 = 29 = 512

(

(

β α -ν ) = ( )ν α β

(

3 -2 4 ) = ( )2 4 3

25


ȆǹȇǹȉǾȇǾȈǼǿȈ

ȀİijȐȜĮȚȠ 1

1.

ǹȞ ıİ ȝȓĮ įȪȞĮȝȘ Ș ȕȐıȘ İȓȞĮȚ șİIJȚțȒ IJȩIJİ IJȠ ĮʌȠIJȑȜİıȝĮ İȓȞĮȚ șİIJȚțȩ.

2.

ǹȞ ıİ ȝȓĮ įȪȞĮȝȘ Ș ȕȐıȘ İȓȞĮȚ ĮȡȞȘIJȚțȒ IJȩIJİ IJȠ ĮʌȠIJȑȜİıȝĮ İȟĮȡIJȐIJĮȚ Įʌȩ IJȠȞ İțșȑIJȘ. i) ǹȞ Ƞ İțșȑIJȘȢ İȓȞĮȚ ȐȡIJȚȠȢ IJȠ ĮʌȠIJȑȜİıȝĮ İȓȞĮȚ șİIJȚțȩ. ii) AȞ Ƞ İțșȑIJȘȢ İȓȞĮȚ ʌİȡȚIJIJȩȢ IJȠ ĮʌȠIJȑȜİıȝĮ İȓȞĮȚ ĮȡȞȘIJȚțȩ.

3.

ǻİȞ ȠȡȓȗİIJĮȚ Ș įȪȞĮȝȘ ȝİ ȕȐıȘ IJȠ 0 țĮȚ İțșȑIJȘ ĮȡȞȘIJȚțȩ ĮțȑȡĮȚȠ Ȓ ȝȘįȑȞ.

4.

ȅ ıȣȝȕȠȜȚıȝȩȢ (-Į)Ȟ ıȘȝĮȓȞİȚ ȞȚȠıIJȒ įȪȞĮȝȘ IJȠȣ –Į İȞȫ Ƞ ıȣȝȕȠȜȚıȝȩȢ -ĮȞ ıȘȝĮȓȞİȚ Ƞ ĮȞIJȓșİIJȠȢ IJȠȣ –ĮȞ.

5.

Ȉİ ȝȓĮ ĮȜȖİȕȡȚțȒ ʌĮȡȐıIJĮıȘ Ș ʌȡȠIJİȡĮȚȩIJȘIJĮ IJȦȞ ʌȡȐȟİȦȞ İȓȞĮȚ: i) ȊʌȠȜȠȖȓȗȠȣȝİ IJȚȢ įȣȞȐȝİȚȢ. ii) ȆȠȜȜĮʌȜĮıȚĮıȝȠȓ țĮȚ įȚĮȚȡȑıİȚȢ. iii) ȆȡȠıșȑıİȚȢ țĮȚ ĮijĮȚȡȑıİȚȢ. ǹȞ ȣʌȐȡȤȠȣȞ ʌĮȡİȞșȑıİȚȢ, țȐȞȠȣȝİ ʌȡȫIJĮ IJȚȢ ʌȡȐȟİȚȢ ȝȑıĮ ı’ ĮȣIJȑȢ ȝİ IJȘȞ ȓįȚĮ ıİȚȡȐ.

6.

ǿıȤȪȠȣȞ i) 1Ȟ =1 ȖȚĮ țȐșİ ĮțȑȡĮȚȠ Ȟ. ii) (-1)Ȟ = 1 ȖȚĮ țȐșİ ȐȡIJȚȠ ĮțȑȡĮȚȠ Ȟ iv) (-1)Ȟ = -1 ȖȚĮ țȐșİ ʌİȡȚIJIJȩ ĮțȑȡĮȚȠ Ȟ.

7.

ȆȡȠıȠȤȒ IJȠ 00 įİȞ ȠȡȓȗİIJĮȚ.

8.

ǹȞ ĮȞ = ȕȞ IJȩIJİ įİȞ ȚıȤȪİȚ ʌȐȞIJĮ Į = ȕ.

9.

i) īİȦȝİIJȡȚțȐ Ș įȪȞĮȝȘ Į2 İțijȡȐȗİȚ IJȠ İȝȕĮįȩȞ IJȠȣ IJİIJȡĮȖȫȞȠȣ ȝİ ʌȜİȣȡȐ Į. ii) īİȦȝİIJȡȚțȐ Ș įȪȞĮȝȘ Į3 İțijȡȐȗİȚ IJȠȞ ȩȖțȠ İȞȩȢ țȪȕȠȣ ȝİ ĮțȝȒ Į.

10. ǹʌȩ IJȘȞ ȚıȩIJȘIJĮ ĮȤ = Įȥ, Į ≠ 0, 1, -1 ʌȡȠțȪʌIJİȚ ȩIJȚ x = ȥ.

26


ȁȊȂǼȃǼȈ ǹȈȀǾȈǼǿȈ 1

ȀİijȐȜĮȚȠ 1

ȃĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİIJİ IJȚȢ įȣȞȐȝİȚȢ: Į) (-0,25)17 · 811 ȕ) (-4 )60 · (-1,25)40 Ȗ) 12100 · 1,550 · 6-150 ȁȪıȘ Į) 1oȢ IJȡȩʌȠȢ (ʌȡȠıʌĮșȠȪȝİ ȞĮ ȑȤȠȣȝİ ȓįȚȠȣȢ İțșȑIJİȢ) (-0,25)17 · 811 = -0,2517 · 811 = - 0,256 · 0,2511 · 811 = - 0,256 · (0,25 · 8)11 = -0,256 · 211 = -0,256 · 26 · 25 = -( 0,25 · 2)6 · 25 = -0,56 · 25 = -0,5 · 0,55 · 25 = = -0,5 · (0,5 · 2)5 = -0,5 · 15= -0,5 · 1 = -0,5. 2oȢ IJȡȩʌȠȢ (ʌȡȠıʌĮșȠȪȝİ ȞĮ ȑȤȠȣȝİ ȓįȚİȢ ȕȐıİȚȢ) 1 1 25 17 11 1 ) ·8 = - ( )17· (23 )11 = -( 2 )17· 233 =- 34 ·233 = 100 4 2 2 1 -1 33-34 = -2 = - = - 0,5. -2 2

(-0,25)17·811 = - (

ȕ) (-4)60 · (-1,25)40 = 460 · 1,2540 = 420 · 440 · 1,2540 = 420 · (4 · 1,25)40 = 420 · 540 = 420 · 520 · 520 = (4 · 5 · 5)20 = 10020 = (102)20 = 1040 γ) 12100· 1,550 · 6-150 = 2100· (

2

12100 · 1,5 50 12100 · 1,5 50 12 100 1,5 50 1 = =( ) · ( ) = 2100·( )50= 150 100 50 6 6 4 6 6 ·6

2100 1 50 1 100 = 1. ) = 2 · = 22 2100 2100

ȃĮ ȕȡİșİȓ Ș IJȚȝȒ IJȘȢ ʌĮȡȐıIJĮıȘȢ Α= [(x2ψ3)-2·(xψ3)4]: (x3:ψ-1)-3 για x= 2007 και ψ =

1 2007

Λύση A=[(x2·ψ3)-2·(x·ψ3)4] : (x3:ψ-1)-3 = (x-4·ψ-6·x4·ψ12) : (x-9: ψ3) = (x-4+4·ψ-6+12) : x 0 ·ψ6 ·

ψ3 ψ 6 ·ψ = x −9 x −9

3

= ψ9·x9 = (ψ·x) =

1 ·2007 = 1 . 2007

x −9 = ψ3

27


ȀİijȐȜĮȚȠ 1

3

īȚĮ IJȚȢ įȚȐijȠȡİȢ IJȚȝȑȢ IJȠȣ ijȣıȚțȠȪ Ȟ ȞĮ ȕȡİȓIJİ IJȚȢ IJȚȝȑȢ IJȦȞ ʌĮȡĮıIJȐıİȦȞ ǹ = (-1)Ȟ + 1Ȟ

Ǻ = (-1)2Ȟ + (-1)Ȟ+1 + (-1)Ȟ

ȁȪıȘ ǹ = (-1)Ȟ + 1Ȟ = (-1)Ȟ + 1. ǻȚĮțȡȓȞȠȣȝİ ʌİȡȚʌIJȫıİȚȢ ȖȚĮ IJȠȞ ijȣıȚțȩ Ȟ. 1Ș ʌİȡȓʌIJȦıȘ: ĮȞ Ƞ Ȟ İȓȞĮȚ ȐȡIJȚȠȢ IJȩIJİ : ǹ = 1 + 1 = 2 2Ș ʌİȡȓʌIJȦıȘ: ĮȞ Ƞ Ȟ İȓȞĮȚ ʌİȡȚIJIJȩȢ IJȩIJİ ǹ = -1 + 1 = 0 Ǻ = (-1)2Ȟ + (-1)Ȟ+1 + (-1)Ȟ = 1 + (-1)Ȟ+1 + (-1)Ȟ . ǻȚĮțȡȓȞȠȣȝİ ʌİȡȚʌIJȫıİȚȢ ȖȚĮ IJȠ Ȟ. 1Ș ʌİȡȓʌIJȦıȘ: ĮȞ Ƞ Ȟ İȓȞĮȚ ȐȡIJȚȠȢ, IJȩIJİ Ƞ Ȟ + 1 İȓȞĮȚ ʌİȡȚIJIJȩȢ ȠʌȩIJİ: ǹ = 1 + (-1) + 1 = 1. 2Ș ʌİȡȓʌIJȦıȘ: ĮȞ Ƞ Ȟ İȓȞĮȚ ʌİȡȚIJIJȩȢ, IJȩIJİ Ƞ Ȟ+1 İȓȞĮȚ ȐȡIJȚȠȢ ȠʌȩIJİ: Ǻ = 1 + 1 + (-1) = 1 4

ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȘȞ IJȚȝȒ IJȦȞ ʌĮȡĮıIJȐıİȦȞ: A = 2101·599 + 1099-299 · 5100

B = 279 · 649 - 325 · 627

ȁȪıȘ ǹ = 2101 · 599 + 1099 - 299 · 5100 = 22 · 299 · 599 + 1099 - 299 · 599 · 5 = = 4 · (2 · 5)99 + 1099 - (2 · 5)99· 5 = 4·1099 + 1099 - 5·1099 = = 1099(4 + 1 -5) = 1099 · 0 = 0 Ǻ = 279· 649 - 325· 627 = (33)9· (26)9 – (25)5 · (2·3)27 = = 327 · 254 - 225 · 227 · 327 = 327 · 254 - 252 · 327 = 327 · 252 (22 - 1) = 328 · 252

28


ǼȇȍȉHȈǼǿȈ ȀǹȉǹȃOǾȈǾȈ

ȀİijȐȜĮȚȠ 1

ȃĮ ȤĮȡĮțIJȘȡȓıİIJİ IJȚȢ İʌȩȝİȞİȢ ʌȡȠIJȐıİȚȢ ȝİ ıȦıIJȩ (Ȉ) Ȓ ȜȐșȠȢ (ȁ)

ǹ. 1.

ǹȞ Į İȓȞĮȚ ȑȞĮȢ ʌȡĮȖȝĮIJȚțȩȢ ĮȡȚșȝȩȢ IJȩIJİ (Į - 3)0 = 1.

2.

ǹȞ Į > 0 țĮȚ Ȟ ȐȡIJȚȠȢ IJȩIJİ (-Į)Ȟ = ĮȞ.

3.

ǿıȤȪİȚ Ș ȚıȩIJȘIJĮ 333 = (33)3.

4.

ǹȞ Ȟ İȓȞĮȚ ʌİȡȚIJIJȩȢ ĮțȑȡĮȚȠȢ IJȩIJİ (-1)Ȟ + 1 = - 1.

5.

ǿıȤȪİȚ Įȝ+Ȟ = Įȝ+ĮȞ.

6.

ȅ ĮȡȚșȝȩȢ (-Į)Ȟ ȩʌȠȣ Į < 0 țĮȚ Ȟ ĮțȑȡĮȚȠȢ İȓȞĮȚ ʌȐȞIJĮ șİIJȚțȩȢ.

7.

1 ǹȞ 4x = ( )x IJȩIJİ x = 0. 2

8.

AȞ Įz0 IJȩIJİ: Į3Ȟ : ĮȞ = Į2Ȟ.

9.

ǿıȤȪİȚ (5+3)3 = 53+33.

10. ǿıȤȪİȚ (43)5 = (45)3. 11. ǿıȤȪİȚ -24 = -(-2)4. 12. ǹȞ Į > 0 IJȩIJİ Į-Ȟ < 0. 13. ǿıȤȪİȚ Į5 + Į5 = 2Į10. 14. ǿıȤȪİȚ Į8: Į4 = Į2. 15. ǿıȤȪİȚ (-4)5 · (-4)7 = 412. 16. ǿıȤȪİȚ Įȝ-Ȟ =

1 ν −μ

α

.

17. ȅȚ ĮȡȚșȝȠȓ ĮȞ țĮȚ Į-Ȟ İȓȞĮȚ ĮȞIJȓıIJȡȠijȠȚ. 18. ǿıȤȪİȚ 2Ȟ = 2Ȟ+1-2Ȟ ȩʌȠȣ Ȟ ijȣıȚțȩȢ. 19. ǹȞ ĮȞ = ȕȞ ȩʌȠȣ Ȟ ijȣıȚțȩȢ ĮȡȚșȝȩȢ IJȩIJİ ȚıȤȪİȚ ʌȐȞIJĮ Į = ȕ.

29


ȀİijȐȜĮȚȠ 1

Ǻ.

ȃĮ İʌȚȜȑȟİIJİ IJȘȞ ıȦıIJȒ ĮʌȐȞIJȘıȘ: 1.

2.

Ǿ įȪȞĮȝȘ (-3)-2 İȓȞĮȚ ȓıȘ ȝİ: 1 Į. –9, ȕ. 9, Ȗ. - , į. 1 9 9 1 ǹȞ (2x)2 = IJȩIJİ Ș IJȚȝȒ IJȠȣ x İȓȞĮȚ ȓıȘ ȝİ: 64 Į. 3, ȕ. –3, Ȗ. 4, į. -6, İ. 6

3.

ȉȠ ȝȚıȩ IJȠȣ 810 İȓȞĮȚ: Į. 85, ȕ. 410, Ȗ. 229, į. 45, İ. 0,5 · 810

4.

ǹȞ Ƞ ĮȡȚșȝȩȢ (-6)Ȟ İȓȞĮȚ șİIJȚțȩȢ. ȉȩIJİ Ƞ Ȟ İȓȞĮȚ: Į. ʌİȡȚIJIJȩȢ, ȕ. ȐȡIJȚȠȢ, Ȗ. ȠʌȠıįȒʌȠIJİ 0, į. ĮȡȞȘIJȚțȩȢ.

5.

H IJȚȝȒ IJȘȢ ʌĮȡȐıIJĮıȘȢ [(-3)0]5 İȓȞĮȚ: Į. 1, ȕ. -1, Ȗ. 35, į. -15

6.

ǹʌȩ IJȘȞ ȚıȩIJȘIJĮ 3Ȟ = (-3)Ȟ ȩʌȠȣ Ȟ ĮțȑȡĮȚȠȢ ʌȡȠțȪʌIJİȚ ȩIJȚ Ƞ Ȟ İȓȞĮȚ: Į. ȐȡIJȚȠȢ, ȕ. ʌİȡȚIJIJȩȢ, Ȗ. 0, į. ȠʌȠȚȠıįȒʌȠIJİ ʌȡĮȖȝĮIJȚțȩȢ ĮȡȚșȝȩȢ.

7.

Ǿ įȪȞĮȝȘ (ĮĮ)Į ȩʌȠȣ Į  0 İȓȞĮȚ ȓıȘ ȝİ: 2 Į. ĮĮ , ȕ. Į3, Ȗ. Į2Į

8.

ǹȞ Ƞ Ȟ İȓȞĮȚ ȐȡIJȚȠȢ IJȩIJİ Ș įȪȞĮȝȘ (-1)Ȟ ȚıȠȪIJĮȚ ȝİ: Į. -1Ȟ, ȕ. –Ȟ, Ȗ. 1, į. Ȟ

9.

ǹʌȩ IJȘȞ ȚıȩIJȘIJĮ (x-3)0 = 1, ȩʌȠȣ x ʌȡĮȖȝĮIJȚțȩȢ ʌȡȠțȪʌIJİȚ ȩIJȚ: Į. x = 0, ȕ. x = 3, Ȗ. x  3, į. ȠʌȠȚȠıįȒʌȠIJİ ʌȡĮȖȝĮIJȚțȩȢ ĮȡȚșȝȩȢ.

10. Ǿ ʌĮȡȐıIJĮıȘ 33 + 33 + 33 + 33 + 33 İȓȞĮȚ ȓıȘ ȝİ: Į. 315, ȕ. 5·33, Ȗ. 153, į. 1515

30


ǹȈȀǾȈǼǿȈ īǿǹ ȁȊȈǾ 1

ȃĮ ıȣȖțȡȓȞİIJİ ȝİ IJȠ ȝȘįȑȞ IJȠȣȢ ʌĮȡĮțȐIJȦ ĮȡȚșȝȠȪȢ: 8-3, -7-2, (-3)-5, -44, (-20)5, (4)0

2

ȃĮ ȖȡȐȥİIJİ ȝİ IJȘ ȝȠȡijȒ ȝȚĮȢ įȪȞĮȝȘȢ IJȠȣȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ: Į) Į4 · Į5 , ȕ) (-Į)3· Į4, Ȗ) (-Į)4: Į2, į) Į3 · ȕ8 : Į-2 · ȕ3 ε)

(0,5) −5 · 8 · (−2) −4 4 5 · 81 2 · 2 · 33 στ) 1 36 5 32 · ( ) −2 4

3

ȃĮ ȖȡȐȥİIJİ țĮșİȝȚȐ Įʌȩ IJȚȢ ʌĮȡĮțȐIJȦ ʌĮȡĮıIJȐıİȚȢ ȦȢ ȝȓĮ įȪȞĮȝȘ: ǹ = 377 + 377 + 377 Ǻ = 2102 - 2101 - 2100, ī = 299 - 449, ǻ =217 · 318 - 218 · 317

4

ȃĮ ȜȪıİIJİ IJȚȢ İȟȚıȫıİȚȢ: Į) 8x = 32, ȕ) 3x · 42x+ 1 = 192, Ȗ) 8· 53x-2 = 200, į) 2·3x = 54 ε) (

5

ȀİijȐȜĮȚȠ 1

2 -2 3 Χ 81 ) ·( ) = , στ) 3Χ+2 = 1 3 2 4

ȃĮ ıȣȖțȡȓȞİIJİ IJȠȣȢ ʌĮȡĮțȐIJȦ ĮȡȚșȝȠȪȢ: Į) Į= 58 țĮȚ ȕ = (53)2, ȕ) Į = 28 țĮȚ ȕ = 82, Ȗ) Į = 1235 țĮȚ ȕ = 742 į) Į= 215 țĮȚ ȕ = 324, İ) Į= 535 țĮȚ ȕ = 719 + 48 · 719. 1 3 ȕ) īȚĮ IJȘȞ IJȚȝȒ IJȠȣ x ʌȠȣ ȕȡȒțĮIJİ ȞĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİIJİ IJȘȞ IJȚȝȒ IJȘȢ ʌĮȡȐıIJĮıȘȢ: ǹ = (x + 2)2007 + (x + 3)2008 + (x + 4)2009

6

Į) ȃĮ ȜȪıİIJİ IJȘȞ İȟȓıȦıȘ: ( x -5)·(x2)2 = -

7

AȞ x= |- 4-(-3)| țĮȚ ȥ = | 3-4| ȞĮ ȕȡİȓIJİ IJȘȞ ĮȡȚșȝȘIJȚțȒ IJȚȝȒ IJȘȢ ʌĮȡȐıIJĮıȘȢ: 2 3 X −2 · (2 Ψ −1 ) Α= X +1 2 Ψ −1 3 ·3

3

:

2 X +1 − 2 Ψ 3 X + 3 2 Ψ −1

8

AȞ Ȟ ȐȡIJȚȠȢ IJȩIJİ ȞĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİIJİ IJȘȞ ĮȡȚșȝȘIJȚțȒ IJȚȝȒ IJȘȢ ʌĮȡȐıIJĮıȘȢ: 1 + (−1)ν +1 1 + 4(−1) 2ν 2 − (−1)ν A= + 2007 4 − 3(−1)ν + 2 3 − 2(−1)ν +1

9

ȃĮ ȖȡĮijIJİȓ Ș ʌĮȡȐıIJĮıȘ ǹ = (32)4 + 311 : 27 + 33 : 3-5 -2 · 39 ȦȢ įȪȞĮȝȘ IJȠȣ 3.

31


ȀİijȐȜĮȚȠ 1

10

ȃĮ ȣʌȠȜȠȖȚıIJİȓ Ș IJȚȝȒ IJȘȢ ʌĮȡȐıIJĮıȘȢ: A = 22000 : [(2550 : 599 - 351 : 925)1999] + (2111)18 - 2 · 21997 (ǼȟİIJȐıİȚȢ ȇȠȣȝĮȞȓĮȢ 2000)

11

Į) ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ Ș ʌĮȡȐıIJĮıȘ 2Ȟ+3 + 2 · 2Ȟ İȓȞĮȚ ʌȠȜȜĮʌȜȐıȚȠ IJȠȣ 10 ȕ) ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ Ƞ ĮȡȚșȝȩȢ Į = 46Ȟ+2 -10 · 46Ȟ + 12 İȓȞĮȚ ʌȠȜȜĮʌȜȐıȚȠ IJȠȣ 6

12

ȃĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİIJİ IJȓȢ ʌĮȡĮıIJȐıİȚȢ: ǹ = (-1)2007 +[-5-(-22-3)]5 – {-[-2-(-12006+1)]}4 Ǻ = [(-1)10+(-1)11] · (24 - 32) + 512 : 510-20

13

AȞ Ƞ Ȟ İȓȞĮȚ ijȣıȚțȩȢ ȞĮ ȕȡİȓIJİ IJȘȞ IJȚȝȒ IJȦȞ ʌĮȡĮıIJȐıİȦȞ: A = (-1)2007 + (-1)Ȟ+2 + (1)2Ȟ+1

14

ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ Ș ʌĮȡȐıIJĮıȘ Α = İȓȞĮȚ ĮȞİȟȐȡIJȘIJȘ IJȠȣ Ȟ.

15

ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȠȞ ĮȞIJȓıIJȡȠijȠ țĮȚ IJȠȞ ĮȞIJȓșİIJȠ țȐșİ ȝȓĮȢ Įʌȩ IJȚȢ ʌĮȡĮțȐIJȦ ʌĮȡĮıIJȐıİȚȢ: Α=

32

2ν + 2ν −1 7ν + 2 − 35 · 7ν −1 , Β= ν +1 ν 2 −2 7ν · 11

3ν + 2 + 5 · 3ν − 4 · 3ν +1 4 · 3ν +1 + 3ν


ī.

ȉİIJȡĮȖȦȞȚțȒ ȡȓȗĮ ʌȡĮȖȝĮIJȚțȠȪ ĮȡȚșȝȠȪ

ȀİijȐȜĮȚȠ 1

ȉİIJȡĮȖȦȞȚțȒ ȡȓȗĮ İȞȩȢ șİIJȚțȠȪ ĮȡȚșȝȠȪ x țĮȚ ıȣȝȕȠȜȓȗİIJĮȚ ȝİ Ȝȑȝİ IJȠȞ șİIJȚțȩ ĮȡȚșȝȩ Į ʌȠȪ ȩIJĮȞ ȣȥȦșİȓ ıIJȠ IJİIJȡȐȖȦȞȠ ȝĮȢ įȓȞİȚ IJȠȞ ĮȡȚșȝȩ x. ʌ.x. , ĮijȠȪ 32 = 9 ǹȞ x = 0 oȡȓȗȠȣȝİ: ǻİȞ ȠȡȓȗİIJĮȚ IJİIJȡĮȖȦȞȚțȒ ȡȓȗĮ ĮȡȞȘIJȚțȠȪ ĮȡȚșȝȠȪ, ȖȚĮIJȓ įİȞ ȣʌȐȡȤİȚ ĮȡȚșȝȩȢ ʌȠȣ IJȠ IJİIJȡȐȖȦȞȩ IJȠȣ ȞĮ İȓȞĮȚ ĮȡȞȘIJȚțȩȢ ĮȡȚșȝȩȢ. īȚĮ țȐșİ ʌȡĮȖȝĮIJȚțȩ ĮȡȚșȝȩ x ȚıȤȪİȚ: īİȞȚțȐ ȚıȤȪİȚ: ǹȞ x  0 IJȩIJİ IįȚȩIJȘIJİȢ IJȦȞ ȡȚȗȫȞ Į) ǹȞ Į  0 țĮȚ ȕ  0 IJȩIJİ: ȕ) ǹȞ Į  0 țĮȚ ȕ > 0 IJȩIJİ: ǹʌȩįİȚȟȘ Į) ȊʌȠȜȠȖȓȗȠȣȝİ IJȠ IJİIJȡȐȖȦȞȠ țȐșİ ȝȑȜȠȣȢ ȤȦȡȚıIJȐ. • • ȆĮȡĮIJȘȡȠȪȝİ ȩIJȚ ȠȚ įȪȠ ȝȘ ĮȡȞȘIJȚțȠȓ ĮȡȚșȝȠȓ ȑȤȠȣȞ IJȠ ȓįȚȠ IJİIJȡȐȖȦȞȠ Į · ȕ, ȠʌȩIJİ İȓȞĮȚ ȓıȠȚ.

țĮȚ

DZȡĮ ȕ) ȊʌȠȜȠȖȓȗȠȣȝİ IJȠ IJİIJȡȐȖȦȞȠ țȐșİ ȝȑȜȠȣȢ ȤȦȡȚıIJȐ. •

• ȆĮȡĮIJȘȡȠȪȝİ ȩIJȚ ȠȚ įȪȠ ȝȘ ĮȡȞȘIJȚțȠȓ ĮȡȚșȝȠȓ IJİIJȡȐȖȦȞȠ α , ȠʌȩIJİ İȓȞĮȚ ȓıȠȚ. β

ȑȤȠȣȞ IJȠ ȓįȚȠ

DZȡĮ

33


ȀİijȐȜĮȚȠ 1 ǹȞ Į, ȕ șİIJȚțȠȓ ĮȡȚșȝȠȓ IJȩIJİ:

ȆǹȇǹȉǾȇǾȈǼǿȈ 1.

DzȞĮȢ ʌȡĮȖȝĮIJȚțȩȢ ĮȡȚșȝȩȢ Į ȜȑȖİIJĮȚ ȝȘ ĮȡȞȘIJȚțȩȢ ȩIJĮȞ Į  0.

2.

Ǿ ȚıȩIJȘIJĮ

ȚıȤȪİȚ ȩIJĮȞ ȑȞĮȢ IJȠȣȜȐȤȚıIJȠȞ Įʌȩ IJȠȣȢ Į,ȕ

İȓȞĮȚ 0 țĮȚ Ƞ ȐȜȜȠȢ șİIJȚțȩȢ Ȓ 0. 3.

Ǿ ȣʌȩȡȡȚȗȘ ʌȠıȩIJȘIJĮ İȞȩȢ ȡȚȗȚțȠȪ İȓȞĮȚ ʌȐȞIJĮ ȝȘ ĮȡȞȘIJȚțȩȢ ĮȡȚșȝȩȢ

4.

Ǿ IJİIJȡĮȖȦȞȚțȒ ȡȓȗĮ İȞȩȢ ĮȡȚșȝȠȪ İȓȞĮȚ 0 Ȓ șİIJȚțȩȢ.

5.

ȉİIJȡĮȖȦȞȚțȒ ȡȓȗĮ ȑȤȠȣȞ ȝȩȞȠ ȠȚ ȝȘ ĮȡȞȘIJȚțȠȓ ĮȡȚșȝȠȓ.

6.

ǻİȞ ȝʌȠȡȠȪȝİ ȞĮ țȐȞȠȣȝİ ʌȡȩıșİıȘ Ȓ ĮijĮȓȡİıȘ ȝİIJĮȟȪ IJİIJȡĮȖȦȞȚțȫȞ ȡȚȗȫȞ ĮȞ įİȞ ȑȤȠȣȝİ IJȘȞ ȓįȚĮ ȣʌȩȡȡȚȗȘ ʌȠıȩIJȘIJĮ.

ȁȊȂǼȃǼȈ ǹȈȀǾȈǼǿȈ 1

Į) ǹȞ Į, ȕ İȓȞĮȚ įȪȠ ȝȘ ĮȡȞȘIJȚțȠȓ ĮȡȚșȝȠȓ, ĮʌȠįİȓȟIJİ ȩIJȚ:

ȕ) ǹȞ ȕ  0, ĮʌȠįİȓȟIJİ ȩIJȚ: ǹʌȩįİȚȟȘ Į) ȕ) 2

ȃĮ ĮʌȠįİȚȤșİȓ ȩIJȚ: Į)

34


ǹʌȩįİȚȟȘ

ȀİijȐȜĮȚȠ 1

• ǹȞĮȜȪȠȣȝİ IJȠȣȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ ʌȠȣ ȕȡȓıțȠȞIJĮȚ ıIJĮ ȡȚȗȚțȐ, țĮIJȐ IJȑIJȠȚȠȞ IJȡȩʌȠ ȫıIJİ ȑȞĮȢ IJȠȣȜȐȤȚıIJȠȞ Įʌȩ IJȠȣȢ ʌĮȡȐȖȠȞIJİȢ ȞĮ IJİIJȡȐȖȦȞȠ șİIJȚțȠȪ ĮțİȡĮȓȠȣ. 3

ȃĮ ȝİIJĮIJȡĮʌȠȪȞ IJĮ ʌĮȡĮțȐIJȦ țȜȐıȝĮIJĮ ʌȠȪ ȑȤȠȣȞ ȐȡȡȘIJȠ ʌĮȡȠȞȠȝĮıIJȒ ıİ ȚıȠįȪȞĮȝĮ ȝİ ȡȘIJȩ ʌĮȡȠȞȠȝĮıIJȒ.

ȁȪıȘ

35


ȀİijȐȜĮȚȠ 1

4

ȃĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİIJİ IJȚȢ ʌĮȡĮıIJȐıİȚȢ:

A= 14 + 1 + 3 + 36 , B= 7 + 3 1 + 8 1

ȁȪıȘ Α= 14 + 1 + 3 + 36 = 14 + 1 + 3 + 6 = 14 + 1 + 9 = 14 + 1 + 3 = = 14 + 4 = 14 + 2 = 16 = 4. Β=

5

7 + 3 1+ 8 1 =

7 + 3 1 + 8 = 7 + 3 9 = 7 + 3 ?3 = 7 + 9 = 16 = 4 .

ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȚȢ IJȚȝȑȢ IJȠȣ x ȖȚĮ ȞĮ ȑȤȠȣȞ ȞȩȘȝĮ ȠȚ ʌĮȡĮıIJȐıİȚȢ: A= x − 3 , Β = 4 − 2 x , Γ = 2 − 3 x + x + 1 . ȁȪıȘ A=

x − 3 , īȚĮ ȞĮ ȠȡȓȗİIJĮȚ Ș ʌĮȡȐıIJĮıȘ ʌȡȑʌİȚ : x-3 0 Ȓ x  3.

īȚĮ ȞĮ ȠȡȓȗİIJĮȚ Ș ʌĮȡȐıIJĮıȘ ʌȡȑʌİȚ: 4 -2x  0 Ȓ -2x  -4 Ȓ 2x 4 Ȓ x  2. . īȚĮ ȞĮ ȠȡȓȗİIJĮȚ Ș ʌĮȡȐıIJĮıȘ ʌȡȑʌİȚ : 2- 3x  0 țĮȚ x + 10 Ȓ-3x -2 țĮȚ x  -1 Ȓ x 6

ȃĮ įİȓȟİIJİ ȩIJȚ: Į) Ǿ IJİIJȡĮȖȦȞȚțȒ ȡȓȗĮ IJȠȣ ȕ) ȁȪıȘ Į) ǹȡțİȓ ȞĮ įİȓȟȠȣȝİ ȩIJȚ:

ȕ) ǹȡțİȓ ȞĮ įİȓȟȠȣȝİ ȩIJȚ:

36

țĮȚ x -1 ȐȡĮ -1  x 

İȓȞĮȚ Ƞ

.


ǼȇȍȉǾȈǼǿȈ ȀǹȉǹȃȅǾȈǾȈ

ȀİijȐȜĮȚȠ 1

ȃĮ ȤĮȡĮțIJȘȡȓıİIJİ ȝİ ıȦıIJȩ (Ȉ) Ȓ ȜȐșȠȢ (ȁ)

ǹ.

α 2 = α ȖȚĮ țȐșİ ʌȡĮȖȝĮIJȚțȩ ĮȡȚșȝȩ Į.

1.

ǿıȤȪİȚ

2.

ǹȞ Į · ȕ  0 IJȩIJİ ȚıȤȪİȚ

3.

ǿıȤȪİȚ

4.

ǿıȤȪİȚ 5 2 =

5.

ǿıȤȪİȚ

6.

α·β = α · β .

α · β = α · β ȖȚĮ țȐșİ ʌȡĮȖȝĮIJȚțȩ ĮȡȚșȝȩ Į, ȕ. 50 .

0,36 = 0,18 .

16α 2 = 4Į ȖȚĮ țȐșİ ʌȡĮȖȝĮIJȚțȩ ĮȡȚșȝȩ Į. (−4 ) 2 = - 4 .

7.

ǿıȤȪİȚ

8.

ȅȚ ʌĮȡĮıIJȐıİȚȢ

9.

ǿıȤȪİȚ

α 2 και ( α ) 2 İȓȞĮȚ ʌȐȞIJȠIJİ ȓıİȢ.

α2 · β 2 =

10. Ǿ ȚıȩIJȘIJĮ

α 2 · β 2 ȖȚĮ țȐșİ ʌȡĮȖȝĮIJȚțȩ ĮȡȚșȝȩ Į, ȕ.

α 2 = - α ȚıȤȪİȚ ȩIJĮȞ Į  0.

11. ǿıȤȪİȚ ȩIJȚ α 2 + β = |α| + 12. ǿıȤȪİȚ ȩIJȚ

β.

49 = ± 7 .

13. ǿıȤȪİȚ ȩIJȚ 4 + 9 = 2 + 3 . 14. ǿıȤȪİȚ ȩIJȚ

98 + 50 = 100 + 8 .

15. Ǿ IJİIJȡĮȖȦȞȚțȒ ȡȓȗĮ IJȠȣ 4 İȓȞĮȚ IJȠ 2 țĮȚ IJȠ –2. 16. Ǿ IJİIJȡĮȖȦȞȚțȒ ȡȓȗĮ IJȠȣ -4 İȓȞĮȚ IJȠ -2. 17. Ǿ IJİIJȡĮȖȦȞȚțȒ ȡȓȗĮ IJȠȣ 1 İȓȞĮȚ IJȠ 1. 18. ȅ ĮȞIJȓıIJȡȠijȠȢ IJȠȣ

7 - 6 İȓȞĮȚ Ƞ

7+ 6 .

19. ȉȠ 5 įİȞ ȑȤİȚ IJİIJȡĮȖȦȞȚțȒ ȡȓȗĮ. 20. ǿıȤȪİȚ

− 4 =-2 .

37


ȀİijȐȜĮȚȠ 1

Ǻ.

ȃĮ İʌȚȜȑȟİIJİ IJȘ ıȦıIJȒ ĮʌȐȞIJȘıȘ: 1.

O ĮȡȚșȝȩȢ25 − 16 İȓȞĮȚ ȓıȠȢ ȝİ: Į. 5-4, ȕ. 3, Ȗ. 9, į. 2

2.

ǹȞ Ș įȚĮȖȫȞȚȠȢ İȞȩȢ IJİIJȡĮȖȫȞȠȣ İȓȞĮȚ 2 cm IJȩIJİ IJȠ İȝȕĮįȩȞ IJȠȣ İȓȞĮȚ ȓıȠ ȝİ:

α. 2 , β. 2 , γ. 1 δ. 2· 2 , ε. 4 3.

DzȞĮ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ IJȡȓȖȦȞȠ İȓȞĮȚ ȚıȠıțİȜȑȢ țĮȚ ȑȤİȚ ȣʌȠIJİȓȞȠȣıĮ 20 cm. ȆȠȚȠȢ Įʌȩ IJȠȣȢ ʌĮȡĮțȐIJȦ ĮȡȚșȝȠȪȢ įȓȞİȚ IJȠ İȝȕĮįȩȞ IJȠȣ.

200 cm2.

Į. 200 cm2, ȕ. 100 cm2, Ȗ. 400 cm2 į. 2

4.

Ǿ ȚıȩIJȘIJĮ α = Į ȚıȤȪİȚ ȩIJĮȞ: Į. Į • 0, ȕ. Į = 0 Ȗ. Į ” 0. į. ȖȚĮ țȐșİ ʌȡĮȖȝĮIJȚțȩ ĮȡȚșȝȩ Į.

5.

Ǿ ȚıȩIJȘIJĮ α · β = α · β ȚıȤȪİȚ : Į. ȩIJĮȞ Į, ȕ İȓȞĮȚ ȠȝȩıȘȝȠȚ. ȕ. ȖȚĮ țȐșİ Į, ȕ. Ȗ. ȩIJĮȞ Į • 0 țĮȚ ȕ • 0

6.

H ȚıȩIJȘIJĮ β =

α

α

ȚıȤȪİȚ:

β

Į. ȩIJĮȞ Į, ȕ ȠȝȩıȘȝȠȚ ȕ. Į • 0 țĮȚ ȕ > 0 Ȗ. Į • 0 țĮȚ ȕ • 0.

ī.

ǼȡȦIJȒıİȚȢ ıȣȝʌȜȒȡȦıȘȢ

1. ȃĮ ıȣȝʌȜȘȡȫıİIJİ IJȠȣȢ ʌĮȡĮțȐIJȦ ʌȓȞĮțİȢ. Άθροισμα

α

β

4

49

25

324

169 196

38

α

β

α+β

α + β

Γινόμενο α·β

α · β


ǹȈȀǾȈǼǿȈ īǿǹ ȁȊȈǾ 1

2

ȃĮ ȣʌȠȜȠȖȚıIJȠȪȞ ȠȚ ʌĮȡĮıIJȐıİȚȢ:

A=

2 · 50 + 7 + 4 - 3 − 4 , B=

Γ=

22 30 20 10 + · · 11 15 4 2

x + 1 , Β= 4 − 3 x , Γ= 9 − 3 x + x − 2 , Δ =

3

ȃĮ įİȓȟİIJİ ȩIJȚ Ƞ ĮȡȚșȝȩȢ+ 5

4

ȃĮ ĮʌȜȠʌȠȚȘșȠȪȞ ȠȚ ʌĮȡĮıIJȐıİȚȢ:

A= 5

16 -

2 6 · 3 2

Β=

20 · 25 + 2 · 64

8 , Γ= 4

(3 − 5 ) 2 +

AȞ İȓȞĮȚ Α=

3 −x 2

İȓȞĮȚ Ș IJİIJȡĮȖȦȞȚțȒ ȡȓȗĮ IJȠȣ+ 5

2 · 3 · 24

ȃĮ ĮʌȜȠʌȠȚȒıİIJİ IJȚȢ ʌĮȡĮıIJȐıİȚȢ:

A= 6

0,25 + 2,5 · 3,6

ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȚȢ IJȚȝȑȢ IJȠȣ x, ȫıIJİ ȞĮ ȑȤȠȣȞ ȞȩȘȝĮ ȠȚ ʌĮȡĮıIJȐıİȚȢ:

Α=

5

ȀİijȐȜĮȚȠ 1

2 2− 5

(1 − 5 ) 2 , B= , Β=

2 2+ 5

24 +

12 6

-4 ( 6 − 3) 2

ȞĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİIJİ IJȚȢ ʌĮȡĮıIJȐıİȚȢ:

A· B țĮȚ ǹ - Ǻ. 7

NĮ IJȡȑȥİIJİ IJĮ ʌĮȡĮțȐIJȦ țȜȐıȝĮIJĮ ıİ ȚıȠįȪȞĮȝĮ ȝİ ȡȘIJȩ ʌĮȡȠȞȠȝĮıIJȒ:

i)

1

,

3

,

2

,

4

,

3 2 −1 , 8 3

2 2· 3 8 − 5 4 1 2 ii) , , 2− 2 3− 2 − 2− 3 8

NĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ:

i) 3 − 2 2 = ii)

2 -1

6 + 2 5 =1+ 5

39


ȀİijȐȜĮȚȠ 1

9

ȃĮ ȜȪıİIJİ IJȚȢ İȟȚıȫıİȚȢ :

i)

3 +x = 12 -x , ii)

iv) 2x+

2 2

3 ·x =

27 iii)

x 3

= 12

= x+ 2

10

ǻȓȞİIJĮȚ ȚıȩʌȜİȣȡȠ IJȡȓȖȦȞȠ ǹǺī ʌȜİȣȡȐȢ 12. ǹȞ Ǽ İȓȞĮȚ IJȠ ȝȑıȠ IJȘȢ įȚĮȝȑıȠȣ ǹǻ, ȞĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİIJİ IJȠ ȝȒțȠȢ ǺǼ.

11

ǻȓȞİIJĮȚ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ IJȡȓȖȦȞȠ ȝİ ȣʌȠIJİȓȞȠȣıĮ Į țĮȚ țȐșİIJİȢ ʌȜİȣȡȑȢ ȕ, Ȗ, ȞĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİIJİ IJȚȢ ʌĮȡĮıIJȐıİȚȢ:

i) α β 2 + γ 2 -β2 ii)

40

β α 2 −γ 2 + β 2 +γ 2 + γ α 2 − β 2 4− 5 İȓȞĮȚ ĮȞIJȓıIJȡȠijȠȚ. 11

12

ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ ȠȚ ĮȡȚșȝȠȓ: 4+ 5 και

13

AȞ ȠȚ ʌȜİȣȡȑȢ İȞȩȢ ȠȡșȠȖȦȞȓȠȣ İȓȞĮȚ α = 5+2 2 cm και β= 5-2 2 cm ȞĮ ȕȡİȓIJİ: Į) ȉȘȞ ʌİȡȓȝİIJȡȠ țĮȚ IJȠ İȝȕĮįȩȞ IJȠȣ. ȕ) ȉȘȞ ʌȜİȣȡȐ IJȠȣ IJİIJȡĮȖȫȞȠȣ ʌȠȣ İȓȞĮȚ ȚıȠįȪȞĮȝȠ ȝİ IJȠ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ.

14

DzȞĮ ȚıȠıțȑȜȑȢ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ IJȡȓȖȦȞȠ ȑȤİȚ İȝȕĮįȩȞ 24 cm2. ȈȤȘȝĮIJȓȗȠȣȝİ IJȠ IJİIJȡȐȖȦȞȠ, ʌȠȣ ȑȤİȚ ʌȜİȣȡȐ IJȘȞ ȣʌȠIJİȓȞȠȣıĮ IJȠȣ IJȡȚȖȫȞȠȣ. ȃĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİIJİ IJȘȞ įȚĮȖȫȞȚȠ IJȠȣ IJİIJȡĮȖȫȞȠȣ.

15

DzȞĮ ȚıȠıțİȜȑȢ IJȡȓȖȦȞȠ ǹǺī (ǹǺ =ǹī), ȑȤİȚ ʌİȡȓȝİIJȡȠ 18 cm. AȞ Ș ȕȐıȘ IJȠȣ İȓȞĮȚ 8m, ȞĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİIJİ: Į) ȉȠ ȪȥȠȢ ǹǻ. ȕ) ǹȞ Ǽ İȓȞĮȚ IJȠ ȝȑıȠȞ IJȠȣ ǹǻ ȞĮ ȕȡİȓIJİ IJȠ ȝȒțȠȢ īǼ.


1.2

ȂȠȞȫȞȣȝĮ - ȆȡȐȟİȚȢ ȝİ ȝȠȞȫȞȣȝĮ

ȀİijȐȜĮȚȠ 1

ǹȜȖİȕȡȚțȑȢ ʌĮȡĮıIJȐıİȚȢ - ȂȠȞȫȞȣȝĮ ǹȡȚșȝȘIJȚțȒ ʌĮȡȐıIJĮıȘ ȜȑȖİIJĮȚ țȐșİ ȑțijȡĮıȘ ʌȠȣ ʌİȡȚȑȤİȚ ȝȩȞȠ ĮȡȚșȝȠȪȢ. ʌ.Ȥ. 8 · 3 + 4 · 5,

2· 43 - 3 · 5.

ǹȜȖİȕȡȚțȒ ʌĮȡȐıIJĮıȘ ȜȑȖİIJĮȚ țȐșİ ȑțijȡĮıȘ, Įʌȩ ĮȡȚșȝȠȪȢ țĮȚ ȝİIJĮȕȜȘIJȑȢ Ȓ ȝȩȞȠ ȝİIJĮȕȜȘIJȑȢ, ʌȠȣ ıȣȞįȑȠȞIJĮȚ ȝİ IJĮ ıȪȝȕȠȜĮ IJȦȞ ʌȡȐȟİȦȞ. ȂȓĮ ĮȜȖİȕȡȚțȒ ʌĮȡȐıIJĮıȘ ȜȑȖİIJĮȚ ĮțȑȡĮȚĮ, ȩIJĮȞ ȝİIJĮȟȪ IJȦȞ ȝİIJĮȕȜȘIJȫȞ IJȘȢ ıȘȝİȚȫȞȠȞIJĮȚ ȝȩȞȠ ȠȚ ʌȡȐȟİȚȢ IJȘȢ ʌȡȩıșİıȘȢ țĮȚ IJȠȣ ʌȠȜȜĮʌȜĮıȚĮıȝȠȪ țĮȚ ȠȚ İțșȑIJİȢ IJȦȞ ȝİIJĮȕȜȘIJȫȞ IJȘȢ İȓȞĮȚ ijȣıȚțȠȓ ĮȡȚșȝȠȓ. ʌ.x. 3ȥ + x3,

2 Į + ȕ5 . 5

ǹȞ ıİ ȝȓĮ ĮȜȖİȕȡȚțȒ ʌĮȡȐıIJĮıȘ ĮȞIJȚțĮIJĮıIJȒıȠȣȝİ IJȚȢ ȝİIJĮȕȜȘIJȑȢ ȝİ ĮȡȚșȝȠȪȢ țĮȚ țȐȞȠȣȝİ IJȚȢ ʌȡȐȟİȚȢ, șĮ ʌȡȠțȪȥİȚ ȑȞĮȢ ĮȡȚșȝȩȢ ʌȠȣ ȜȑȖİIJĮȚ ĮȡȚșȝȘIJȚțȒ IJȚȝȒ Ȓ ĮʌȜȐ IJȚȝȒ IJȘȢ ĮȜȖİȕȡȚțȒȢ ʌĮȡȐıIJĮıȘȢ. ȂȠȞȫȞȣȝĮ ȜȑȖȠȞIJĮȚ ȠȚ ĮțȑȡĮȚİȢ ĮȜȖİȕȡȚțȑȢ ʌĮȡĮıIJȐıİȚȢ, ıIJȚȢ ȠʌȠȓİȢ ȝİIJĮȟȪ IJȦȞ ȝİIJĮȕȜȘIJȫȞ ıȘȝİȚȫȞİIJĮȚ ȝȩȞȠ Ș ʌȡȐȟȘ IJȠȣ ʌȠȜȜĮʌȜĮıȚĮıȝȠȪ.

π.x 5x , α3,

5 xω4,

2 6 αβ 5

Ȉ’ ȑȞĮ ȝȠȞȫȞȣȝȠ Ƞ ĮȡȚșȝȘIJȚțȩȢ ʌĮȡȐȖȠȞIJĮȢ ȜȑȖİIJĮȚ ıȣȞIJİȜİıIJȒȢ IJȠȣ ȝȠȞȦȞȪȝȠȣ, İȞȫ IJȠ ȖȚȞȩȝİȞȠ ȩȜȦȞ IJȦȞ ȝİIJĮȕȜȘIJȫȞ IJȠȣ ȜȑȖİIJĮȚ țȪȡȚȠ ȝȑȡȠȢ IJȠȣ ȝȠȞȦȞȪȝȠȣ. ȈIJȠ ȝȠȞȫȞȣȝȠ 3 x4ȥ. ȉȠ 3 İȓȞĮȚ Ƞ ıȣȞIJİȜİıIJȒȢ ȉȠ x4ȥ İȓȞĮȚ IJȠ țȪȡȚȠ ȝȑȡȠȢ ȅ İțșȑIJȘȢ ȝȚȐȢ ȝİIJĮȕȜȘIJȒȢ ȜȑȖİIJĮȚ ȕĮșȝȩȢ IJȠȣ ȝȠȞȦȞȪȝȠȣ ȦȢ ʌȡȠȢ IJȘ ȝİIJĮȕȜȘIJȒ ĮȣIJȒ, İȞȫ ȕĮșȝȩȢ IJȠȣ ȝȠȞȦȞȪȝȠȣ ȦȢ ʌȡȠȢ ȩȜİȢ IJȚȢ ȝİIJĮȕȜȘIJȑȢ IJȠȣ ȜȑȖİIJĮȚ IJȠ ȐșȡȠȚıȝĮ IJȦȞ İțșİIJȫȞ IJȦȞ ȝİIJĮȕȜȘIJȫȞ IJȠȣ.

41


TȠ ȝȠȞȫȞȣȝȠ 3x4ȥ İȓȞĮȚ:

ȀİijȐȜĮȚȠ 1

4oȣ 1oȣ 5Ƞȣ

ȕĮșȝȠȪ ȕĮșȝȠȪ ȕĮșȝȠȪ

ȦȢ ʌȡȠȢ x ȦȢ ʌȡȠȢ ȥ ȦȢ ʌȡȠȢ x, ȥ

ȉĮ ȝȠȞȫȞȣȝĮ ʌȠȣ ȑȤȠȣȞ IJȠ ȓįȚȠ țȪȡȚȠ ȝȑȡȠȢ ȜȑȖȠȞIJĮȚ ȩȝȠȚĮ, 3 ʌ.x. IJĮ ȝȠȞȫȞȣȝĮ x2ψ, -6x2ψ, x2ψ İȓȞĮȚ ȩȝȠȚĮ. 4 ȉĮ ȩȝȠȚĮ ȝȠȞȫȞȣȝĮ ʌȠȣ ȑȤȠȣȞ IJȠȞ ȓįȚȠ ıȣȞIJİȜİıIJȒ ȜȑȖȠȞIJĮȚ ȓıĮ, İȞȫ, ĮȞ ȑȤȠȣȞ ĮȞIJȓșİIJȠȣȢ ıȣȞIJİȜİıIJȑȢ, ȜȑȖȠȞIJĮȚ ĮȞIJȓșİIJĮ, ʌ.x. IJĮ ȝȠȞȫȞȣȝĮ 2x5ȥ4 țĮȚ -2x5ȥ4, İȓȞĮȚ ĮȞIJȓșİIJĮ. ȂʌȠȡȠȪȝİ İʌȓıȘȢ țĮȚ IJȠȣȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ ȞĮ IJȠȣȢ șİȦȡȠȪȝİ ȦȢ ȝȠȞȫȞȣȝĮ țĮȚ IJȠȣȢ ȠȞȠȝȐȗȠȣȝİ ıIJĮșİȡȐ ȝȠȞȫȞȣȝĮ. ǼȚįȚțȩIJİȡĮ, Ƞ ĮȡȚșȝȩȢ 0 ȜȑȖİIJĮȚ ȝȘįİȞȚțȩ ȝȠȞȫȞȣȝȠ țĮȚ įİȞ ȑȤİȚ ȕĮșȝȩ, İȞȫ ȩȜĮ IJĮ ȐȜȜĮ ıIJĮșİȡȐ ȝȠȞȫȞȣȝĮ İȓȞĮȚ ȝȘįİȞȚțȠȪ ȕĮșȝȠȪ. ȆĮȡĮIJȒȡȘıȘ īȚĮ ȞĮ ȕȡȠȪȝİ IJȠȞ ȕĮșȝȩ İȞȩȢ ȝȠȞȦȞȪȝȠȣ, ʌȡȑʌİȚ Ƞ ıȣȞIJİȜİıIJȒȢ IJȠȣ ȝȠȞȦȞȪȝȠȣ ȞĮ İȓȞĮȚ įȚȐijȠȡȠȢ IJȠȣ ȝȘįİȞȩȢ.

ȁȊȂǼȃǼȈ ǹȈȀǾȈǼǿȈ 1

ȃĮ ȕȡİșİȓ Ș IJȚȝȒ IJȠȣ Ȝ ȫıIJİ IJĮ ȝȠȞȫȞȣȝĮ (3Ȝ-2) x3ȥ2 țĮȚ (Ȝ-2) x3ȥ2 Į) ȞĮ İȓȞĮȚ ȓıĮ, ȕ) ȞĮ İȓȞĮȚ ĮȞIJȓșİIJĮ. ȁȪıȘ Į) īȚĮ ȞĮ İȓȞĮȚ ȓıĮ ʌȡȑʌİȚ: 3Ȝ - 2 = Ȝ - 2 Ȓ 3Ȝ-Ȝ = -2+2 Ȓ 2Ȝ= 0 Ȓ Ȝ= 0 ȕ) īȚĮ ȞĮ İȓȞĮȚ ĮȞIJȓșİIJĮ ʌȡȑʌİȚ: (3Ȝ - 2) + (Ȝ - 2) = 0 Ȓ 3Ȝ+Ȝ = 2+2 Ȓ 4Ȝ = 4 Ȓ Ȝ = 1

2

ǻȓȞİIJĮȚ IJȠ ȝȠȞȫȞȣȝȠ (Į - 3)x3 ȞĮ ȕȡİȓIJİ IJȠȞ ȕĮșȝȩ IJȠȣ. ȁȪıȘ 1Ș ʌİȡȓʌIJȦıȘ: AȞ Į - 3 = 0 Ȓ Į = 3 IJȩIJİ IJȠ ȝȠȞȫȞȣȝȠ İȓȞĮȚ IJȠ ȝȘįİȞȚțȩ țĮȚ įİȞ ȑȤİȚ ȕĮșȝȩ. 2Ș ʌİȡȓʌIJȦıȘ: ǹȞ Į - 3  0 Ȓ Į  3 IJȩIJİ IJȠ ȝȠȞȫȞȣȝȠ İȓȞĮȚ 3Ƞȣ ȕĮșȝȠȪ.

42


ǼȇȍȉǾȈǼǿȈ ȀǹȉǹȃȅǾȈǾȈ

ȀİijȐȜĮȚȠ 1

ȃĮ ȤĮȡĮțIJȘȡȓıİIJİ ȝİ ıȦıIJȩ (Ȉ) Ȓ ȜȐșȠȢ (ȁ)

ǹ. 1.

ǻȪȠ ȝȠȞȫȞȣȝĮ İȓȞĮȚ ȩȝȠȚĮ ȩIJĮȞ İȓȞĮȚ ȓįȚȠȣ ȕĮșȝȠȪ.

2.

ȅ ȕĮșȝȩȢ IJȠȣ ȝȠȞȦȞȪȝȠȣ 2007 x4ȥ3Ȧ İȓȞĮȚ ȓıȠȢ ȝİ 7.

3.

ȉȠ ȝȠȞȫȞȣȝȠ (Į - 4) x5 İȓȞĮȚ 5Ƞȣ ȕĮșȝȠȪ ȖȚĮ țȐșİ IJȚȝȒ IJȠȣ Į.

4.

Ǿ ʌĮȡȐıIJĮıȘ x4ȥ2 + x4ȥ2 İȓȞĮȚ ȝȠȞȫȞȣȝȠ.

5.

Ǿ ʌĮȡȐıIJĮıȘ 3x-2 ȥ3 İȓȞĮȚ ȝȠȞȫȞȣȝȠ.

6.

ȅȚ ʌĮȡĮıIJȐıİȚȢ 4x-2ȥ3, 6x-2ȥ3 İȓȞĮȚ ȩȝȠȚĮ ȝȠȞȫȞȣȝĮ.

7.

Ǿ ĮȜȖİȕȡȚțȒ ʌĮȡȐıIJĮıȘ 4ĮȜ+3ȕ2 İȓȞĮȚ ȝȠȞȫȞȣȝȠ ȖȚĮ țȐșİ IJȚȝȒ IJȠȣ ĮțİȡĮȓȠȣ Ȝ.

8.

ȉĮ ĮȞIJȓșİIJĮ ȝȠȞȫȞȣȝĮ İȓȞĮȚ ȓįȚȠȣ ȕĮșȝȠȪ.

Ǻ.

ȃĮ İʌȚȜȑȟİIJİ IJȘ ıȦıIJȒ ĮʌȐȞIJȘıȘ. 1.

ȉĮ ȝȠȞȫȞȣȝĮ (3Į + 1)x3 ȥĮ+2, -5x3 ȥ2 İȓȞĮȚ ȩȝȠȚĮ ĮȞ IJȠ Į İȓȞĮȚ: Į. –2 , ȕ. 0, Ȗ. 2, į. 4.

2.

Ǿ ʌĮȡȐıIJĮıȘ 2x2 ȥț + 3xȜ ȥ3 İȓȞĮȚ ȝȠȞȫȞȣȝȠ ĮȞ: Į. Ȝ = 2, ȕ. ț = 3 Ȗ. Ȝ = 2 Ȓ ț = 3 į. Ȝ = 2 țĮȚ ț = 3.

3.

ǹȞ Ș ʌĮȡȐıIJĮıȘ 2xț ȥȞ İȓȞĮȚ ȝȠȞȫȞȣȝȠ. ȉȩIJİ ȠȚ ĮȡȚșȝȠȓ ț, Ȟ İȓȞĮȚ: Į. ȓıȠȚ, ȕ. ijȣıȚțȠȓ, Ȗ. ĮțȑȡĮȚȠȚ, į. șİIJȚțȠȓ.

4.

ȅ ȕĮșȝȩȢ IJȠȣ ȝȠȞȦȞȪȝȠȣ [2x2 (x ȥ )2]3 ȦȢ ʌȡȠȢ x İȓȞĮȚ: Į. 6Ƞȣ ȕĮșȝȠȪ. ȕ. 4Ƞȣ ȕĮșȝȠȪ Ȗ. 7Ƞȣ ȕĮșȝȠȪ į. 12Ƞȣ ȕĮșȝȠȪ.

5.

ǻȓȞİIJĮȚ IJȠ ȝȠȞȫȞȣȝȠ ǹ = 3x2 ȥ3. Ǿ ĮȜȖİȕȡȚțȒ IJȚȝȒ IJȠȣ ȖȚĮ x = -3 İȓȞĮȚ -27. ȉȩIJİ Ș IJȚȝȒ IJȠȣ ȥ İȓȞĮȚ: Į. 1, ȕ. –1, Ȗ. 27, į. –27.

43


ǹȈȀǾȈǼǿȈ īǿǹ ȁȊȈǾ

ȀİijȐȜĮȚȠ 1

1

ȆȠȚİȢ Įʌȩ IJȚȢ ʌĮȡĮțȐIJȦ ĮȜȖİȕȡȚțȑȢ ʌĮȡĮıIJȐıİȚȢ İȓȞĮȚ ȝȠȞȫȞȣȝĮ;

x4 · ψ 4 2 3 x ψ β) 4-3x2ψ3 γ) 3x2ψ-3 δ) (4- 5 ) x3ψ5 ε) 8 3 5 3 4 8 xψ xψ 3 x ψ4 στ) ζ) η) 2 −4 4 ω ω

4

α) -

2

NĮ ıȣȝʌȜȘȡȫıİIJİ IJȠȞ ʌĮȡĮțȐIJȦ ʌȓȞĮțĮ:

ȂȠȞȫȞȣȝȠ

ȈȣȞIJİȜİıIJȒȢ

ȀȪȡȚȠ ȝȑȡȠȢ

ǺĮșȝȩȢ ȦȢ ʌȡȠȢ x

ǺĮșȝȩȢ ȦȢ ʌȡȠȢ ȥ

ǺĮșȝȩȢ ȦȢ ʌȡȠȢ x, ȥ

xȥ4

2 x4 ψ 2 3x −2 (- 3 − 2 )x4 (- 5 x3ψ)2

44

3

ȃĮ ȖȡȐȥİIJİ IJĮ ȝȠȞȫȞȣȝĮ ʌȠȣ İțijȡȐȗȠȣȞ IJȘȞ İʌȚijȐȞİȚĮ țĮȚ IJȠȞ ȩȖțȠ țȪȕȠȣ ĮțȝȒȢ x. NĮ ʌȡȠıįȚȠȡȓıİIJİ IJȠ ıȣȞIJİȜİıIJȒ, IJȠ țȪȡȚȠ ȝȑȡȠȢ țĮȚ IJȠ ȕĮșȝȩ țȐșİ ȝȠȞȦȞȪȝȠȣ. ȆȠȚĮ İȓȞĮȚ Ș ĮȡȚșȝȘIJȚțȒ IJȚȝȒ țȐșİ ȝȠȞȦȞȪȝȠȣ ȖȚĮ x = 5.

4

ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȚȢ IJȚȝȑȢ IJȠȣ Ȝ ȫıIJİ ȠȚ ʌĮȡĮțȐIJȦ ʌĮȡȐıIJĮıİȚȢ: Į) A= 3 ĮȜ+2 ȕ3 + 6 Į5 ȕȜ ȕ) Ǻ = (Ȝ-2) x3 ȥ2 + (Ȝ + 3) x2ȥ3 ȞĮ İȓȞĮȚ ȝȠȞȫȞȣȝĮ țĮȚ ȞĮ ȕȡİȓIJİ IJȠȞ ȕĮșȝȩ IJȠȣȢ ȖȚĮ IJȚȢ įȚȐijȠȡİȢ ȝİIJĮȕȜȘIJȑȢ.

5

ȃĮ ȖȡȐȥİIJİ ıIJȘȞ IJİȜȚțȒ IJȠȣȢ ȝȠȡijȒ IJĮ ȝȠȞȫȞȣȝĮ: Į) 3x4 ȥ2 + (x2ȥ)2 ȕ) (xȥ2)2 x Ȗ) (x2 ȥ3)2 · (xȥ)3


6

ǻȓȞİIJĮȚ İȓȞĮȚ ȚıȠıțİȜȑȢ IJȡĮʌȑȗȚȠ ȝİ ȝȚțȡȒ ȕȐıȘ x. AȞ Ș ȝİȖȐȜȘ ȕȐıȘ İȓȞĮȚ ȀİijȐȜĮȚȠ 1 İʌIJĮʌȜȐıȚĮ IJȘȢ ȝȚțȡȒȢ, ȠȚ ȝȘ ʌĮȡȐȜȜȘȜİȢ ʌȜİȣȡȑȢ İȓȞĮȚ ʌİȞIJĮʌȜȐıȚİȢ IJȘȢ ȝȚțȡȒȢ IJȩIJİ ȞĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİIJİ: Į) IJȠ ȝȠȞȫȞȣȝȠ ʌȠȣ ʌĮȡȚıIJȐȞİȚ IJȠ ȪȥȠȢ. ȕ) IJȠ ȝȠȞȫȞȣȝȠ ʌȠȣ ʌĮȡȚıIJȐȞİȚ IJȠ İȝȕĮįȩȞ. Ȗ) IJȠ ȝȠȞȫȞȣȝȠ ʌȠȣ ʌĮȡȚıIJȐȞİȚ IJȘȞ ʌİȡȓȝİIJȡȠ. ȆȡȩıșİıȘ ȝȠȞȦȞȪȝȦȞ Į) ǹȞ IJĮ ȝȠȞȫȞȣȝĮ İȓȞĮȚ ȩȝȠȚĮ IJȩIJİ IJȠ ȐșȡȠȚıȝȐ IJȠȣȢ İȓȞĮȚ ȝȠȞȫȞȣȝȠ ȩȝȠȚȠ ȝİ ĮȣIJȐ țĮȚ ȑȤİȚ ıȣȞIJİȜİıIJȒ IJȠ ȐșȡȠȚıȝĮ IJȦȞ ıȣȞIJİȜİıIJȫȞ IJȠȣȢ. ȕ) ǹȞ IJĮ ȝȠȞȫȞȣȝĮ įİȞ İȓȞĮȚ ȩȝȠȚĮ IJȩIJİ IJȠ ȐșȡȠȚıȝĮ IJȠȣȢ įİȞ İȓȞĮȚ ȝȠȞȫȞȣȝȠ ĮȜȜȐ ȝȓĮ ĮȜȖİȕȡȚțȒ ʌĮȡȐıIJĮıȘ. īȚȞȩȝİȞȠ ȝȠȞȦȞȪȝȦȞ ȉȠ ȖȚȞȩȝİȞȠ ȝȠȞȦȞȪȝȦȞ İȓȞĮȚ ȑȞĮ ȝȠȞȫȞȣȝȠ ʌȠȣ ȑȤİȚ ȦȢ ıȣȞIJİȜİıIJȒ IJȠ ȖȚȞȩȝİȞȠ IJȦȞ ıȣȞIJİȜİıIJȫȞ IJȠȣȢ țĮȚ ȦȢ țȪȡȚȠ ȝȑȡȠȢ IJȠ ȖȚȞȩȝİȞȠ ȩȜȦȞ IJȦȞ ȝİIJĮȕȜȘIJȫȞ IJȠȣȢ ȝİ İțșȑIJȘ țȐșİ ȝİIJĮȕȜȘIJȒȢ IJȠ ȐșȡȠȚıȝĮ IJȦȞ İțșİIJȫȞ IJȘȢ. ǻȚĮȓȡİıȘ ȝȠȞȦȞȪȝȦȞ īȚĮ ȞĮ įȚĮȚȡȑıȠȣȝİ įȪȠ ȝȠȞȫȞȣȝĮ, įȚĮȚȡȠȪȝİ IJȠȣȢ ıȣȞIJİȜİıIJȑȢ țĮȚ ĮijĮȚȡȠȪȝİ IJȠȣȢ İțșȑIJİȢ IJȦȞ ȝİIJĮȕȜȘIJȫȞ

ȆǹȇǹȉǾȇǾȈǼǿȈ 1. 2.

ȉȠ ȖȚȞȩȝİȞȠ ȝȠȞȦȞȪȝȦȞ İȓȞĮȚ ʌȐȞIJĮ ȝȠȞȫȞȣȝȠ. ȉȠ ʌȘȜȓțȠ ȝȠȞȦȞȪȝȦȞ įİȞ İȓȞĮȚ ʌȐȞIJĮ ȝȠȞȫȞȣȝȠ.

ȁȊȂǼȃǼȈ ǹȈȀǾȈǼǿȈ 1

ȃĮ țȐȞİIJİ IJȚȢ ʌȡȐȟİȚȢ: 2

α) 2x ψ - 4ψx2, β) 2α3β6-6(α β2)3, ε) 3x2ψ4+(2x ψ2)2,

γ) 2x3ψ-3x+6x3 ψ+3x,

στ) 8 x2 ψ4- 2 (x ψ2)2

δ)

1 5 1 5 x ψ- x ψ , 4 2

ȁȪıȘ α) 2x2ψ-4ψx2 = ( 2-4) x2ψ = -2x2ψ, β) 2α 3β 6-6 (αβ2)3 = 2α 3 β6- 6α3β 6 = = ( 2-6)α 3β6 = -4α 3β 6, γ) 2x3ψ - 3x+6x3ψ +3 x = (2+6 )x3ψ = 8 x3ψ δ)

1 5 1 5 1 1 1 1 2 x ψ- x ψ = ( - ) x5ψ = ( − )x5ψ= - x5ψ 4 2 4 2 4 4 4

45


ȀİijȐȜĮȚȠ 1

ε) 3x2ψ4+(2xψ2)2 = 3x2ψ4+4x2ψ4 = (3+4)x2ψ4 = 7x2ψ4 στ)

2

8 x2ψ4- 2 (xψ2)2 =

8 x2ψ4- 2 x2ψ4 =( 8 - 2 )x2ψ4 =(2 2 - 2 )x2ψ4= 2 x2ψ 4

ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJĮ ȖȚȞȩȝİȞĮ: Į) 3x4 · 2x5·(-4x)2, ȕ) -3x3ȥ2 · (-2xȥ3), Ȗ) 6x2·(-2x6 ȥ2) ·(5x3·ȥ4) į) (2x)3 · 3x2 ȁȪıȘ Į) 3x4 · 2x5 · (-4x)2 = 3x4 2x516x2 = (3·2·16)(x4x5 x2) = 96x11 ȕ) -3x3 ȥ2 · (-2xȥ3) = (-3)·(-2)·(x3 ȥ2 xȥ3) = 6 x4 ȥ3 Ȗ) 6x2 · (-2x6 ȥ2) · (5x3ȥ4) = 6(-2)5·(x2 x6 x3ȥ2 ȥ6) = -60 x10 ȥ8 į) (2x)3 · 3x2 = 8x3 3x2 = 24x5

3

ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJĮ ʌȘȜȓțĮ: Į) 4 x3 : 2x, ȕ) -2 x7 ȥ4 : (- x ȥ3), Ȗ) x2 ȥ8 : (x5 ȥ6) ȁȪıȘ α) 4x3: 2x = 4x3

−2 1 1 = 2x2 , β) -2x7ψ4:(- xψ3) =-2x7ψ4 = 2x 2 xψ 3

3 2 8 2 5 6 3 x 2ψ 8 2 x5ψ x7ψ 4 6 3 = 4x ψ γ) x ψ :( x ψ ) = · 4 5 5 4 xψ 3 3 7 14 6 x7ψ 14 = = xψ 10 20

= -2(-2)

6

=

ǼȇȍȉǾȈǼǿȈ ȀǹȉǹȃȅǾȈǾȈ ȃĮ xĮȡĮțIJȘȡȓıİIJİ ȝİ ıȦıIJȩ (Ȉ) Ȓ ȜȐșȠȢ (ȁ)

ǹ.

46

1.

ȉȠ ʌȘȜȓțȠ įȪȠ ĮȞIJȓșİIJȦȞ ȝȠȞȫȞȣȝȦȞ İȓȞĮȚ ʌȡĮȖȝĮIJȚțȩȢ ĮȡȚșȝȩȢ.

2.

Ǿ įȚĮȓȡİıȘ ȝİIJĮȟȪ ȝȠȞȦȞȪȝȦȞ ȖȓȞİIJĮȚ ȝȩȞȠ ĮȞ IJȐ ȝȠȞȫȞȣȝĮ İȓȞĮȚ ȩȝȠȚĮ.

3.

ǹȞ įȪȠ ȝȠȞȫȞȣȝĮ įİȞ İȓȞĮȚ ȩȝȠȚĮ IJȩIJİ IJȠ ȖȚȞȩȝİȞȠ įİȞ İȓȞĮȚ ȝȠȞȫȞȣȝȠ.

4.

ȉȠ ʌȘȜȓțȠ įȪȠ ȩȝȠȚȦȞ ȝȠȞȦȞȪȝȦȞ İȓȞĮȚ ʌȡĮȖȝĮIJȚțȩȢ ĮȡȚșȝȩȢ.

5.

Ǿ įȚĮȓȡİıȘ įȪȠ ȝȠȞȦȞȪȝȦȞ ȖȓȞİIJĮȚ ĮȞ Ƞ ĮȡȚșȝȘIJȒȢ İȓȞĮȚ ȝİȖĮȜȪIJİȡȠȣ ȕĮșȝȠȪ Įʌȩ IJȠȞ ʌĮȡȠȞȠȝĮıIJȒ.


6.

ȉȠ ȐșȡȠȚıȝĮ ȠȝȠȓȦȞ ȝȠȞȦȞȪȝȦȞ İȓȞĮȚ ȝȠȞȫȞȣȝȠ.

7.

ȉȠ ȖȚȞȩȝİȞȠ ȝȠȞȦȞȪȝȦȞ İȓȞĮȚ ȝȠȞȫȞȣȝȠ.

ȀİijȐȜĮȚȠ 1

ǹȈȀǾȈǼǿȈ īǿǹ ȁȊȈǾ 1

2

ȃĮ țȐȞİIJİ IJȚȢ ʌȡȐȟİȚȢ:

2 1 α) -8x3ψ-4ψx3+10x3ψ , β) 4x2- x2+ x2, γ) 6 2 x2-2 2 x2- 32 x2 5 2 6 3 2 3 2 x - x +2x2, ε) x2-1,6x2+3,4x2 , στ) 3,45xψ + 2,45ψx δ) 5 10 5 ȃĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİIJİ IJĮ ȖȚȞȩȝİȞĮ:

α) -4x6x3,

β) 2xψ3(-2x2), γ) -3xψ2(-2ψ3), δ) -2x3ψ(-4xψ)(-5xψ2)

3 25 1 1 ε) (- xψ2)·( x2ψ) , στ) ( xψ)·(6xψ3)(- xψ2) 5 6 3 2 3

ȃĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİIJİ IJĮ ʌȘȜȓțĮ:

α) 3α5: (2α 2) 2, β) 4α 5β 4:(

3 2 3 α β ), γ) -x2: x4 δ) 24x3ψ2 :( -2xψ)3 4

ε) xψ3ω : (xω2)3 στ) -27αβ3(γx)2 : (-3αxβγ)2

47


ȀİijȐȜĮȚȠ 1

1.3

ȆȠȜȣȫȞȣȝĮ - ȆȡȩıșİıȘ țĮȚ ĮijĮȓȡİıȘ ʌȠȜȣȦȞȪȝȦȞ ȉȠ ȐșȡȠȚıȝĮ ȠȝȠȓȦȞ ȝȠȞȦȞȪȝȦȞ İȓȞĮȚ ȝȠȞȫȞȣȝȠ ȩȝȠȚȠ ȝİ ĮȣIJȐ. ǹȞ įȪȠ IJȠȣȜȐȤȚıIJȠȞ ȝȠȞȫȞȣȝĮ įİȞ İȓȞĮȚ ȩȝȠȚĮ, IJȩIJİ IJȠ ȐșȡȠȚıȝȐ IJȠȣȢ įİȞ İȓȞĮȚ ȝȠȞȫȞȣȝȠ, ĮȜȜȐ ȝȓĮ ĮȜȖİȕȡȚțȒ ʌĮȡȐıIJĮıȘ ʌȠȣ ȜȑȖİIJĮȚ ʌȠȜȣȫȞȣȝȠ. Ȇ. Ȥ. 4x3 ȥ -7x ȥ + 8xȥ4 ȀȐșİ ȝȠȞȫȞȣȝȠ ʌȠȣ ʌİȡȚȑȤİIJĮȚ ıİ ȑȞĮ ʌȠȜȣȫȞȣȝȠ ȜȑȖİIJĮȚ ȩȡȠȢ IJȠȣ ʌȠȜȣȦȞȪȝȠȣ. ǼȚįȚțȩIJİȡĮ, ȑȞĮ ʌȠȜȣȫȞȣȝȠ ʌȠȣ įİȞ ȑȤİȚ ȩȝȠȚȠȣȢ ȩȡȠȣȢ ȜȑȖİIJĮȚ: • įȚȫȞȣȝȠ, ĮȞ ȑȤİȚ įȪȠ ȩȡȠȣȢ ʌ.Ȥ. 4Į2 + ȕ3 • IJȡȚȫȞȣȝȠ, ĮȞ ȑȤİȚ IJȡİȓȢ ȩȡȠȣȢ ʌ.Ȥ. 4x2 - 2x + 5 BĮșȝȩȢ İȞȩȢ ʌȠȜȣȦȞȪȝȠȣ, ȦȢ ʌȡȠȢ ȝȓĮ Ȓ ʌİȡȚııȩIJİȡİȢ ȝİIJĮȕȜȘIJȑȢ IJȠȣ, İȓȞĮȚ Ƞ ȝİȖĮȜȪIJİȡȠȢ Įʌȩ IJȠȣȢ ȕĮșȝȠȪȢ IJȦȞ ȩȡȦȞ IJȠȣ. ȀȐșİ ĮȡȚșȝȩȢ ȝʌȠȡİȓ ȞĮ șİȦȡȘșİȓ țĮȚ ȦȢ ʌȠȜȣȫȞȣȝȠ, ȠʌȩIJİ ȜȑȖİIJĮȚ ıIJĮșİȡȩ ʌȠȜȣȫȞȣȝȠ. ȅ ĮȡȚșȝȩȢ ȝȘįȑȞ, ȜȑȖİIJĮȚ ȝȘįİȞȚțȩ ʌȠȜȣȫȞȣȝȠ țĮȚ įİȞ ȑȤİȚ ȕĮșȝȩ İȞȫ țȐșİ ȐȜȜȠ ıIJĮșİȡȩ ʌȠȜȣȫȞȣȝȠ İȓȞĮȚ ȝȘįİȞȚțȠȪ ȕĮșȝȠȪ. ȉȠ ʌȠȜȣȫȞȣȝȠ 4x5 ȥ - 2xȥ3 + 2x7 ȥ3 İȓȞĮȚ: 7oȣ ȕĮșȝȠȪ 3Ƞȣ ȕĮșȝȠȪ 10Ƞȣ ȕĮșȝȠȪ

ȦȢ ʌȡȠȢ x, ȦȢ ʌȡȠȢ ȥ, ȦȢ ʌȡȠȢ x , ȥ.

ǹȞ ȑȞĮ ʌȠȜȣȫȞȣȝȠ ȑȤİȚ ȝȩȞȠ ȝȓĮ ȝİIJĮȕȜȘIJȒ IJȩIJİ ȝʌȠȡȠȪȝİ ȝİ ıȣȞIJȠȝȓĮ ȞĮ IJȠ ȖȡȐȥȠȣȝİ: ȇ(x) Ȓ Q(x) Ȓ A(x) ț.Ȝ.ʌ. EIJıȚ: Α(x) = x3+2x2-x+1, Ρ(x) = -

48

4 2 x -2x+ 2 . 5

AȞ ȑȞĮ ʌȠȜȣȫȞȣȝȠ ȝİ ȝȚĮ ȝİIJĮȕȜȘIJȒ ȝʌȠȡȠȪȝİ ȞĮ IJȠ ȖȡȐȥȠȣȝİ ȑIJıȚ ȫıIJİ țȐșİ ȩȡȠȢ IJȠȣ ȞĮ İȓȞĮȚ ȝİȖĮȜȣIJȑȡȠȣ ȕĮșȝȠȪ Įʌȩ IJȠȞ İʌȩȝİȞȩ IJȠȣ, IJȩIJİ Ȝȑȝİ ȩIJȚ ȖȡȐijȠȣȝİ IJȠ ʌȠȜȣȫȞȣȝȠ țĮIJȐ IJȚȢ ijșȓȞȠȣıİȢ įȣȞȐȝİȚȢ. Ȇ.x. ȇ(x) = -4x3 - 2x + 2.


ȀİijȐȜĮȚȠ 1

AȡȚșȝȘIJȚțȒ IJȚȝȒ İȞȩȢ ʌȠȜȣȦȞȪȝȠȣ ȇ(x) ȖȚĮ x = Į țĮȚ ıȣȝȕȠȜȓȗȠȣȝİ ȝİ ȇ(Į) Ȝȑȝİ IJȠȞ ĮȡȚșȝȩ ʌȠȣ șĮ ʌȐȡȠȣȝİ, ĮȞ ıIJȘ șȑıȘ IJȠȣ x ȕȐȜȠȣȝİ IJȠȞ ĮȡȚșȝȩ Į țĮȚ İțIJİȜȑıȠȣȝİ IJȚȢ ʌȡȐȟİȚȢ ʌȠȣ ıȘȝİȚȫȞȠȞIJĮȚ. ǴıĮ ʌȠȜȣȫȞȣȝĮ ȜȑȖȠȞIJĮȚ IJĮ ʌȠȜȣȫȞȣȝĮ IJĮ ȠʌȠȓĮ ȑȤȠȣȞ, ȩȡȠȣȢ ȓıĮ ȝȠȞȫȞȣȝĮ. ǹȞĮȖȦȖȒ ȠȝȠȓȦȞ ȩȡȦȞ Ȝȑȝİ IJȘȞ İȡȖĮıȓĮ țĮIJȐ IJȘȞ ȠʌȠȓĮ, ĮȞ ıİ ȑȞĮ ʌȠȜȣȫȞȣȝȠ ȣʌȐȡȤȠȣȞ ȩȝȠȚĮ ȝȠȞȫȞȣȝĮ, IJȩIJİ ȝʌȠȡȠȪȝİ ȞĮ IJĮ ĮȞIJȚțĮIJĮıIJȒıȠȣȝİ ȝİ IJȠ ȐșȡȠȚıȝȐ IJȠȣȢ. ȆȡȩıșİıȘ – ǹijĮȓȡİıȘ ʌȠȜȣȦȞȪȝȦȞ ȂʌȠȡȠȪȝİ ȞĮ ʌȡȠıșȑIJȠȣȝİ Ȓ ȞĮ ĮijĮȚȡȠȪȝİ ʌȠȜȣȫȞȣȝĮ ȤȡȘıȚȝȠʌȠȚȫȞIJĮȢ IJȚȢ ȖȞȦıIJȑȢ ȚįȚȩIJȘIJİȢ IJȦȞ ʌȡĮȖȝĮIJȚțȫȞ.

1.4 •

ȆȠȜȜĮʌȜĮıȚĮıȝȩȢ ʌȠȜȣȦȞȪȝȦȞ ȆȠȜȜĮʌȜĮıȚĮıȝȩȢ ȝȠȞȫȞȣȝȠ ȝİ ʌȠȜȣȫȞȣȝȠ. ȈIJȘȡȓȗİIJĮȚ ıIJȘȞ İʌȚȝİȡȚıIJȚțȒ ȚįȚȩIJȘIJĮ: Į (ȕ + Ȗ) = Įȕ + Į Ȗ DzIJıȚ: īȚĮ ȞĮ ʌȠȜȜĮʌȜĮıȚȐıȠȣȝİ ȝȠȞȫȞȣȝȠ ȝİ ʌȠȜȣȫȞȣȝȠ, ʌȠȜȜĮʌȜĮıȚȐȗȠȣȝİ IJȠ ȝȠȞȫȞȣȝȠ ȝİ țȐșİ ȩȡȠ IJȠȣ ʌȠȜȣȦȞȪȝȠȣ țĮȚ ʌȡȠıșȑIJȠȣȝİ IJĮ ȖȚȞȩȝİȞĮ ʌȠȣ ʌȡȠțȪʌIJȠȣȞ

ȆȠȜȜĮʌȜĮıȚĮıȝȩȢ ʌȠȜȣȫȞȣȝȠ ȝİ ʌȠȜȣȫȞȣȝȠ ȈIJȘȡȓȗİIJĮȚ ıIJȘȞ ȚįȚȩIJȘIJĮ: (Į + ȕ)(Ȗ + į) = (Į + ȕ) Ȗ + (Į + ȕ) į = ĮȖ + ȕȖ + Įį + ȕį DzIJıȚ: īȚĮ ȞĮ ʌȠȜȜĮʌȜĮıȚȐıȠȣȝİ ʌȠȜȣȫȞȣȝȠ ȝİ ʌȠȜȣȫȞȣȝȠ, ʌȠȜȜĮʌȜĮıȚȐȗȠȣȝİ țȐșİ ȩȡȠ IJȠȣ İȞȩȢ ʌȠȜȣȦȞȪȝȠȣ ȝİ țȐșİ ȩȡȠ IJȠȣ ȐȜȜȠȣ ʌȠȜȣȦȞȪȝȠȣ țĮȚ ʌȡȠıșȑIJȠȣȝİ IJĮ ȖȚȞȩȝİȞĮ ʌȠȣ ʌȡȠțȪʌIJȠȣȞ.

49


ȆǹȇǹȉǾȇǾȈǾ

ȀİijȐȜĮȚȠ 1

ȇȓȗĮ İȞȩȢ ʌȠȜȣȦȞȪȝȠȣ ȇ(x) Ȝȑȝİ IJȠȞ ʌȡĮȖȝĮIJȚțȩ ĮȡȚșȝȩ ȡ IJȠȣ ȠʌȠȓȠȣ Ș ĮȡȚșȝȘIJȚțȒ IJȚȝȒ İȓȞĮȚ 0, įȘȜ. ȩIJĮȞ ȚıȤȪİȚ ȇ(ȡ) = 0.

ȁȊȂǼȃǼȈ ǹȈȀǾȈǼǿȈ 1

ǻȓȞİIJĮȚ IJȠ ʌȠȜȣȫȞȣȝȠ ȇ(x) = 3Įx3 + 2x2 - x + 6x3 - 2x + 8 Į) ȃĮ țȐȞİIJİ ĮȞĮȖȦȖȒ ȠȝȠȓȦȞ ȩȡȦȞ ȕ) ȃĮ ȖȡĮijİȓ țĮIJȐ IJȚȢ ijșȓȞȠȣıİȢ įȣȞȐȝİȚȢ IJȠȣ x țĮȚ ȞĮ ȕȡİșİȓ Ƞ ȕĮșȝȩȢ IJȠȣ. Ȗ) īȚĮ Į = 0 ȞĮ ȕȡİȓIJİ IJȘȞ ĮȡȚșȝȘIJȚțȒ IJȚȝȒ IJȠȣ ȖȚĮ x = -2. ȁȪıȘ Į) ȇ(x) = 3Įx3 + 2x2 -x + 6x3 - 2x + 8 = (3Į + 6)x3 + 2x2 + (-1-2)x + 8 = (3Į + 6)x3 + 2x2 - 3x + 8 ȕ) ȉȠ ʌȠȜȣȫȞȣȝȠ țĮIJȐ IJȚȢ ijșȓȞȠȣıİȢ įȣȞȐȝİȚȢ ȖȡȐijİIJĮȚ: ȇ(x) = (3Į + 6)x3 + 2x2 -3x + 8. EʌİȚįȒ Ƞ ıȣȞIJİȜİıIJȒȢ IJȠȣ ȝİȖȚıIJȠȕȐșȝȚȠȣ ȩȡȠȣ İȓȞĮȚ ʌĮȡȐıIJĮıȘ įȚĮțȡȓȞȠȣȝİ ʌİȡȚʌIJȫıİȚȢ: 1Ș ʌİȡȓʌIJȦıȘ: ǹȞ 3Į+6  0 Ȓ 3Į -6 Ȓ Į -2 IJȩIJİ İȓȞĮȚ 3Ƞȣ ȕĮșȝȠȪ. 2Ș ʌİȡȓʌIJȦıȘ: ǹȞ 3Į+6 = 0 Ȓ 3Į= -6 Ȓ Į=-2 IJȩIJİ İȓȞĮȚ 2Ƞȣ ȕĮșȝȠȪ

2

ǻȓȞİIJĮȚ IJȠ ʌȠȜȣȫȞȣȝȠ ȇ(x) = 2x3 - 3x-1 Į) ȃĮ ʌȡȠıįȚȠȡȚıIJİȓ IJȠ ʌȠȜȣȫȞȣȝȠ Q(x) = ȇ(2x) + 2ȇ(-x) + ȇ(2) ȕ) ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȠ ʌȠȜȣȫȞȣȝȠ 2ȇ(x) - Q(x). ȁȪıȘ Į) Q(x) = ȇ(2x) + 2ȇ(-x) +ȇ(2) = 2(2x)3 - 3(2x)-1 + 2[2(-x)3-3(-x) -1] + 2 · 23-3·2-1 = 2 · 8x3 - 6x -1+ 2(-2x3 + 3x-1) + 16 - 6 - 1 = 16x3 -6x -1 -4x3 + 6x- 2 + 9 = 12x3 +6

50

ȕ) 2ȇ(x) –Q(x) = 2(2x3- 3x -1) - (12x3 + 6) = 4x3 - 6x -2- 12x3-6 = -8x3-6x - 8


3

ǻȓȞȠȞIJĮȚ IJĮ ʌȠȜȣȫȞȣȝĮ ȇ(x) = 2x3 + ȕx2 + Įx + 6 țĮȚ Q(x) = (Ȝ-1)x3+ x2+ Ȗ ȀİijȐȜĮȚȠ 1 Į) ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȠȞ ȕĮșȝȩ IJȦȞ ʌȠȜȣȦȞȪȝȦȞ. ȕ) ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȠ Ȗ ȫıIJİ ȇ(0)-1= Q(0)+7. Ȗ) ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȠȣȢ Į, ȕ, Ȗ, Ȝ ȫıIJİ IJĮ įȪȠ ʌȠȜȣȫȞȣȝĮ ȞĮ İȓȞĮȚ ȓıĮ. ȁȪıȘ Į) ȉȠ ʌȠȜȣȫȞȣȝȠ ȇ(x) İȓȞĮȚ 3Ƞȣ ȕĮșȝȠȪ, İȞȫ Ƞ ȕĮșȝȩȢ IJȠȣ Q(x) İȟĮȡIJȐIJĮȚ Įʌȩ IJȠ Ȝ. DzIJıȚ ȑȤȠȣȝİ: i) AȞ Ȝ-1 = 0 IJȩIJİ İȓȞĮȚ 2Ƞȣ ȕĮșȝȠȪ. ii) AȞ Ȝ-1 0 Ȓ Ȝ  1 IJȩIJİ İȓȞĮȚ 3Ƞȣ ȕĮșȝȠȪ. ȕ) ȇ(0) = 2 · 03 + ȕ · 02 + Į · 0 + 6 = 6 Q(0) = (Ȝ -1)· 03 + 02 + Ȗ = Ȗ. DZȡĮ: ȇ(0)-1 = Q(0) + 7 Ȓ 6 -1 = Ȗ Ȓ Ȗ = 5 Ȗ) īȚĮ ȞĮ İȓȞĮȚ ȓıĮ ʌȡȑʌİȚ: 2 = Ȝ - 1 țĮȚ ȕ = 1 țĮȚ Į = 0 țĮȚ Ȗ = 6 DZȡĮ Ȝ = 3 țĮȚ ȕ = 1 țĮȚ Į = 0 țĮȚ Ȗ = 6.

ǼȇȍȉǾȈǼǿȈ ȀǹȉǹȃȅǾȈǾȈ ȃĮ ȤĮȡĮțIJȘȡȓıİIJİ ȝİ ıȦıIJȩ (Ȉ) Ȓ ȜȐșȠȢ (ȁ)

ǹ. 1.

ǹȞ ȇ(x) = 2x2(x4 -1) IJȩIJİ ȇ(-x) = ȇ(x).

2.

To ʌȠȜȣȫȞȣȝȠ ȇ(x) = -2 İȓȞĮȚ ȝȘįİȞȚțȠȪ ȕĮșȝȠȪ.

3.

ȉȠ ʌȠȜȣȫȞȣȝȠ ȇ(x) = 0 İȓȞĮȚ ȝȘįİȞȚțȠȪ ȕĮșȝȠȪ.

4.

ȉo ʌȠȜȣȫȞȣȝȠ ȇ(x) țĮȚ ȇ(2x) İȓȞĮȚ ȓįȚȠȣ ȕĮșȝȠȪ.

5.

ǹȞ ȑȞĮ ʌȠȜȣȫȞȣȝȠ ȇ(x) İȓȞĮȚ 3Ƞȣ ȕĮșȝȠȪ IJȩIJİ IJȠ ʌȠȜȣȫȞȣȝȠ P2(x) İȓȞĮȚ 6Ƞȣ ȕĮșȝȠȪ.

6.

ȉȠ ʌȠȜȣȫȞȣȝȠ ȇ(x) = 0·x3 - 2x + 5 İȓȞĮȚ 3Ƞȣ ȕĮșȝȠȪ.

7.

ȅ ȕĮșȝȩȢ IJȠȣ ʌȠȜȣȦȞȪȝȠȣ ȇ(x) = (3x2 - x)8(x2 - 1) + x10-3 İȓȞĮȚ 18.

8.

ǹȞ įȪȠ ʌȠȜȣȫȞȣȝĮ įİȞ ȑȤȠȣȞ ȕĮșȝȩ IJȩIJİ İȓȞĮȚ ȓıĮ.

9.

ǹȞ IJȠ ʌȠȜȣȫȞȣȝȠ ȇ(x) İȓȞĮȚ 3Ƞȣ ȕĮșȝȠȪ țĮȚ IJȠ Q(x) İȓȞĮȚ 2Ƞȣ ȕĮșȝȠȪ IJȩIJİ IJȠ ʌȠȜȣȫȞȣȝȠ ȇ(x) ·Q(x) İȓȞĮȚ 6Ƞȣ ȕĮșȝȠȪ.

51


10. ǹȞ IJȠ ʌȠȜȣȫȞȣȝȠ ȇ(x) İȓȞĮȚ 3Ƞȣ ȕĮșȝȠȪ țĮȚ IJȠ Q(x) İȓȞĮȚ 4Ƞȣ ȕĮșȝȠȪ IJȩIJİ IJȠ ʌȠȜȣȫȞȣȝȠ ȇ(x) - Q(x) İȓȞĮȚ 4Ƞȣ ȕĮșȝȠȪ.

ȀİijȐȜĮȚȠ 1

11. ǹȞ IJȠ ʌȠȜȣȫȞȣȝȠ ȇ(x) İȓȞĮȚ 2Ƞȣ ȕĮșȝȠȪ țĮȚ IJȠ Q(x) İȓȞĮȚ 3Ƞȣ ȕĮșȝȠȪ IJȩIJİ IJȠ ʌȠȜȣȫȞȣȝȠ 2ȇ(x) - 4Q(x) İȓȞĮȚ 2Ƞȣ ȕĮșȝȠȪ. Ǻ.

ȃĮ İʌȚȜȑȟİIJİ IJȘ ıȦıIJȒ ĮʌȐȞIJȘıȘ 1.

ǹȞ ȖȚĮ IJȠ ʌȠȜȣȫȞȣȝȠ ȇ(x) ȚıȤȪİȚ: (x3+2)ȇ(x) +3 = x5- 2x + 1 IJȩIJİ IJȠ ȇ(x) İȓȞĮȚ: Į. IJȡȓIJȠȣ ȕĮșȝȠȪ, ȕ. IJİIJȐȡIJȠȣ ȕĮșȝȠȪ, Ȗ. įİȣIJȑȡȠȣ ȕĮșȝȠȪ į. ʌȡȫIJȠȣ ȕĮșȝȠȪ, İ. țĮȞȑȞĮ Įʌȩ IJĮ ʌȡȠȘȖȠȪȝİȞĮ.

2.

ǹȞ x2 = x + 3, IJȩIJİ x3 = Į. x+6. ȕ. x2+2x+3, Ȗ. 4x+3, į. 4x2+3 İ. x2+7

3.

E.M.E. 1993 1 1 1 AȞ x= IJȩIJİ Ș ʌĮȡȐıIJĮıȘ (2- ) · (3 − ) ȚıȠȪIJĮȚ ȝİ: 6 2x 3x 25 α. -12 , β) -1 , γ) , δ ) 1, ε) 12 Ǽ.Ȃ.Ǽ 1992 2

ǹȈȀǾȈǼǿȈ īǿǹ ȁȊȈǾ 1

ǻȓȞȠȞIJĮȚ ȠȚ ʌĮȡĮıIJȐıİȚȢ:

A = x6-2x+ x , B= -x3-2x+x2-1 , Γ = x-2+4x+7, 3 Δ = 0, Ε= , 5 α) Ποιές από τις παραστάσεις αυτές παριστάνουν πολυώνυμα. β) Να τις διατάξετε κατά τις φθίνουσες δυνάμεις. γ) Ποιος είναι ο βαθμός του κάθε πολυωνύμου. 2

Να βρείτε τα αναπτύγματα : α) (3x2-2x)(4x3+4x), β) (x4-2x+2)(x5-2x), γ) (x-3)(x-2)x δ) (α2-3·α+1)·(α-2)+(α3-2·α)(α2-α)

3

52

Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = 4x2-2α·x+3 α) Να βρείτε την τιμή του α ώστε Ρ(-2)=-1-α. β) Για α= -4 να λύσετε την εξίσωση Ρ(0)+4x-2Ρ(1)= 3x


4

Αν Ρ(x) = 2x3-x+1 και Q(x)= x-3 να βρείτε τα πολυώνυμα α) -Ρ(x)·2Q(x) β) 2Ρ(x) ·[2Q(x) –x+2] γ) [2Ρ(x)-1]·[Q(x)-2]

5

Aν Ρ(x) = 2x(-x2+3x)(x-2), και Q(x) = α(x4+1) + βx3+γx2+x+1, να βρείτε τις τιμές των α, β, γ, δ ώστε τα πολυώνυμα Ρ(x) και Q(x) να είναι ίσα.

6

Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) =2x2. α) Να προσδιορίσετε τον βαθμό του. β) Να βρείτε το πολυώνυμο Q(x) =Ρ(Ρ(x))-1.

7

Να βρείτε το πολυώνυμο το οποίο αν αφαιρεθεί από το 5x2-2x +1 θα προκύψει το πολυώνυμο 4x2-3x+5.

8

Δίνεται το πολυώνυμο A(x) = κ·x2-λx+3 α) Αν Α(x)+A(-x) = 8x+3 να βρείτε το λ β) Για την τιμή του λ που βρήκατε να υπολογίσετε το κ όταν Α(1)=10

9

Να προσδιορισθεί ο πραγματικός αριθμός α, ώστε το πολυώνυμο Ρ(x) =9x3-3x+8x-27 να παίρνει τη μορφή Q(x) = α(x3+x)-3x2+(x-3) (x2+3x+9).

10

Για την παραγωγή x μονάδων ενός προιόντος την εβδομάδα, μία εταιρία έχει κόστος Κ(x) = 500x+50000 ευρώ. Τις x μονάδες την εβδομάδα τις διαθέτει η εταιρεία στην τιμή Τ(x) = 2000-2x ευρώ ανά μονάδα.

ȀİijȐȜĮȚȠ 1

α) Να βρείτε το πολυώνυμο που δίνει το κέρδος από την πώληση x μονάδων από το προίον την εβδομάδα . β) Να βρείτε το κόστος όταν δεν παράγει προίον και να το δικαιολογήσετε. γ) Να βρείτε το κέρδος αν πουλήσει 100 μονάδες την εβδομάδα.

53


ȀİijȐȜĮȚȠ 1

1.5

AȟȚȠıȘȝİȓȦIJİȢ IJĮȣIJȩIJȘIJİȢ ȉĮȣIJȩIJȘIJĮ ȜȑȖİIJĮȚ țȐșİ ȚıȩIJȘIJĮ ʌȠȣ ʌİȡȚȑȤİȚ ȝİIJĮȕȜȘIJȑȢ țĮȚ ĮȜȘșİȪİȚ ȖȚĮ ȩȜİȢ IJȚȢ IJȚȝȑȢ IJȦȞ ȝİIJĮȕȜȘIJȫȞ IJȘȢ. ȅȚ ĮȟȚȠıȘȝİȓȦIJİȢ IJĮȣIJȩIJȘIJİȢ İȓȞĮȚ : Į) ȉİIJȡȐȖȦȞȠ ĮșȡȠȓıȝĮIJȠȢ (Į + ȕ)2 = Į2 + 2Įȕ + ȕ2 ǹʌȩįİȚȟȘ: (Į + ȕ)2 = (Į + ȕ) · (Į + ȕ) = Į2 + Įȕ + ȕĮ + ȕ2 = Į2 + 2Įȕ + ȕ2 ȉȠ įİȪIJİȡȠ ȝȑȡȠȢ IJȘȢ ȚıȩIJȘIJĮȢ (Į+ȕ)2 = Į2 + 2Įȕ + ȕ2 ȜȑȖİIJĮȚ ĮȞȐʌIJȣȖȝĮ IJȠȣ (Į+ ȕ)2 . ȕ) ȉİIJȡȐȖȦȞȠ įȚĮijȠȡȐȢ (Į - ȕ)2 = Į2- 2Įȕ + ȕ2 ǹʌȩįİȚȟȘ: (Į - ȕ)2 = (Į - ȕ) · (Į - ȕ) = Į2 - Įȕ - ȕĮ + ȕ2 = Į2 - 2Įȕ + ȕ2 Ȗ) ȀȪȕȠȢ ĮșȡȠȓıȝĮIJȠȢ - įȚĮijȠȡȐȢ i) (Į + ȕ)3 = Į3 + 3Į2ȕ + 3Įȕ2 + ȕ3 ii) (Į - ȕ)3 = Į3 - 3Į2ȕ + 3Įȕ2 - ȕ3 ǹʌȩįİȚȟȘ: i) (Į + ȕ)3 = (Į + ȕ) · (Į+ȕ)2 = (Į + ȕ) · (Į2 + 2Įȕ + ȕ2) = Į3 + 2Į2 ȕ + Įȕ2 + ȕĮ2 + 2Įȕ2 + ȕ3 = Į3 + 3Į2ȕ + 3Įȕ3. ii) (Į - ȕ)3 = (Į - ȕ) · (Į - ȕ)2 = (Į-ȕ)·(Į2-2Įȕ+ȕ2) = Į3 - 2Į2ȕ + Įȕ2 - ȕĮ2 + 2Įȕ2 - ȕ3 = Į3 - 3Į2ȕ + 3Įȕ2 - ȕ3 į) īȚȞȩȝİȞȠ ĮșȡȠȓıȝĮIJȠȢ İʌȓ įȚĮijȠȡȐ (Į + ȕ) · (Į - ȕ) = Į2 - ȕ2 ǹʌȩįİȚȟȘ:

(Į + ȕ) ·(Į - ȕ) = Į2 - Įȕ + ȕĮ - ȕ2 = Į2 - ȕ2 İ) ǻȚĮijȠȡȐ țȪȕȦȞ - DZșȡȠȚıȝĮ țȪȕȦȞ

i) Į3 - ȕ3 = (Į - ȕ) ·( Į2 + Įȕ + ȕ2) ii) Į3 + ȕ3 = (Į + ȕ) (Į2 - Įȕ + ȕ2)

54


ȀİijȐȜĮȚȠ 1

ǹʌȩįİȚȟȘ: i) ii)

(Į-ȕ) ·(Į2 + Įȕ + ȕ2) = Į3+Į2ȕ + Įȕ2 - ȕĮ2- Įȕ2 - ȕ3 = Į3- ȕ3 (Į + ȕ)·(Į2 -Įȕ+ ȕ2) = Į3-Į2ȕ + Įȕ2 + ȕĮ2 - Įȕ2 + ȕ3 = Į3 + ȕ3

ȆǹȇǹȉǾȇǾȈǼǿȈ 1. ǻİȞ İȓȞĮȚ ıȦıIJȩ ȞĮ ʌȠȪȝİ ȩIJȚ ȩIJȚ ȝȓĮ IJĮȣIJȩIJȘIJĮ ȑȤİȚ ȐʌİȚȡİȢ ȜȪıİȚȢ. 2. ǿıȤȪİȚ Ș ȚıȩIJȘIJĮ (Į + ȕ)2 = Į2 + ȕ2, ȩIJĮȞ ȑȞĮȢ IJȠȣȜȐȤȚıIJȠȞ Įʌȩ IJȠȣȢ Į, ȕ İȓȞĮȚ 0. 3. ǹȞ ȑȤȠȣȝİ Į2 + ȕ2 = 0 IJȩIJİ Į = 0 țĮȚ ȕ = 0.

ȁȊȂǼȃǼȈ ǹȈȀǾȈǼǿȈ 1

ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJĮ ĮȞĮʌIJȪȖȝĮIJĮ Į) (x + 3)2 ȕ) ( 3ȥ - 2)2 Ȗ) (ȥ2 + 3ȥ)2 į) (4x -

)2

ȁȪıȘ ȈȪȝijȦȞĮ ȝİ IJȚȢ IJĮȣIJȩIJȘIJİȢ (Į + ȕ)2 = Į2 + 2Įȕ + ȕ2 țĮȚ (Į-ȕ)2 = Į2-2Įȕ + ȕ2 Į) (x + 3)2 = x2 + 2·3x + 32 = x2 + 6x + 9. ȕ) (3ȥ -2)2 = (3ȥ)2 - 2·3ȥ2 + 22 = 9ȥ2 - 12ȥ + 4 Ȗ) (ȥ2 + 3ȥ)2 = (ȥ2)2 + 2ȥ3ȥ+(3ȥ)2 = ȥ4 + 6ȥ2 + 9ȥ2 = ȥ4 + 15ȥ2 į) (4x)2 = (4x)2- 2· 4x· +( )2 = 16x2 - 8x + 3 2

AȞ Ș ʌĮȡĮțȐIJȦ ȚıȩIJȘIJĮ İȓȞĮȚ IJĮȣIJȩIJȘIJĮ (Į - ȕ) (Į2 + ȕ2) (Į4 + ȕ4) (Į + ȕ) = Į8 - ȕ8. ȃĮ İȟİIJȐıİIJİ ĮȞ ȚıȤȪİȚ ȖȚĮ β=

1 țĮȚ Į = 2007 2007

ȁȪıȘ ǼʌİȚįȒ Ș ȚıȩIJȘIJĮ: (Į-ȕ) (Į2 + ȕ2) (Į4 + ȕ4) (Į + ȕ) = Į8- ȕ8 İȓȞĮȚ IJĮȣIJȩIJȘIJĮ șĮ ȚıȤȪİȚ ȖȚĮ țȐșİ IJȚȝȒ IJȦȞ Į, ȕ ȐȡĮ șĮ ȚıȤȪİȚ ȖȚĮ Į = 2007 țĮȚ β=

1 2007

55


ȀİijȐȜĮȚȠ 1

3

ǹ. ȃĮ ĮʌȠįİȚȤșȠȪȞ ȠȚ IJĮȣIJȩIJȘIJİȢ: Į) (Į + ȕ + Ȗ)2 = Į2 + ȕ2 + Ȗ2 +2Įȕ + 2ĮȖ + 2ȕȖ ȕ) (Į - ȕ - Ȗ)2 = Į2+ ȕ2 + Ȗ2 -2Įȕ - 2ĮȖ + 2ȕȖ Ǻ. ȃĮ ȕȡİșȠȪȞ IJĮ ĮȞĮʌIJȪȖȝĮIJĮ: (2Į + ȕ + 3Ȗ)2, (3Į -3ȕ - 4Ȗ)2 ȁȪıȘ ǹ. Į) (Į + ȕ + Ȗ) 2 = (Į + ȕ + Ȗ)(Į + ȕ + Ȗ) = Į2 +Įȕ + ĮȖ+ȕĮ + ȕ2 + ȕȖ +ĮȖ + ȕȖ + Ȗ2 = Į2 + ȕ2 +Ȗ2 + 2Įȕ +2ĮȖ +2ȕȖ ȕ) (Į-ȕ-Ȗ)2 = (Į-ȕ-Ȗ)(Į-ȕ-Ȗ) = Į2 - Įȕ - ĮȖ - ȕĮ + ȕ2 + ȕȖ - ĮȖ + ȕȖ + Ȗ2 = = Į2 + ȕ2 + Ȗ2 -2Įȕ -2ĮȖ + 2ȕȖ. Ǻ. ǹʌȩ IJȚȢ ʌȡȠȘȖȠȪȝİȞİȢ IJĮȣIJȩIJȘIJİȢ ȑȤȠȣȝİ: (2Į + ȕ + 3Ȗ)2 = (2Į)2 + ȕ2 + (3Ȗ)2 + 2·2Įȕ + 2·2Į ·3Ȗ + 2ȕ · 3Ȗ = 4Į2 + ȕ2 + 9Ȗ2 + 4Įȕ + 12ĮȖ + 6ȕȖ. (3Į - 3ȕ - 4Ȗ)2 = (3Į)2 + (-3ȕ)2 + (-4Ȗ)2 + 2·3Į· (-3ȕ) + 2·3Į·(-4Ȗ)+2· (-3ȕ)·(-4Ȗ) = 9Į2 + 9ȕ2 + 16Ȗ2 - 18Įȕ - 24ĮȖ + 24ȕȖ

4

ǹ. ȃĮ ĮʌȠįİȚȤșȠȪȞ ȠȚ IJĮȣIJȩIJȘIJİȢ Į) Į2 + ȕ2 = (Į + ȕ)2- 2Įȕ țĮȚ Į3 + ȕ3 = (Į + ȕ)3- 3Įȕ(Į + ȕ) ȕ) ǹȞ Į + ȕ = 6 țĮȚ Įȕ = 5 ȞĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİIJİ IJȚȢ IJȚȝȑȢ IJȦȞ ʌĮȡĮıIJȐıİȦȞ ǹ= Į2 + ȕ2 , Ǻ = Į3 + ȕ3, ī = Į4 + ȕ4 ȁȪıȘ Į) ȄİțȚȞȐȝİ Įʌȩ IJȠ ȕ ȝȑȜȠȢ: (Į + ȕ)2- 2Įȕ = Į2 + 2Įȕ + ȕ2 -2Įȕ = Į2 + ȕ2 (Į + ȕ)3 -3Įȕ(Į + ȕ) = Į3+3Į2ȕ +3Įȕ2 + ȕ3 -3Į2ȕ - 3Įȕ2 = Į3 + ȕ3 ȕ) ǹʌȩ Į) ȑȤȠȣȝİ : ǹ= Į2 + ȕ2 = (Į+ȕ)2- 2Įȕ = 62- 2 ·5 = 36 -10 = 26. Ǻ= Į3 + ȕ3 = (Į + ȕ)3- 3Įȕ(Į + ȕ) = 63 -3 · 5 ·6 = 216 - 90 = 226. ī= Į4 + ȕ4 = (Į2)2 + (ȕ2)2 = (Į2+ȕ2)2 -2Į2 ȕ2 = 262 -2(Įȕ)2 = 676 -2·52 = 676 – 50 = 626.

56


5

ȃĮ ȖȓȞȠȣȞ ȠȚ ʌȡȐȟİȚȢ Į) (3Į - ȕ)2-3(4Į + 5)(4Į - 5) ȕ) (3x - ȥ)(3x + ȥ) - (x - ȥ)(x2 + xȥ + ȥ2)

ȀİijȐȜĮȚȠ 1

ȁȪıȘ Į) (3Į - ȕ)2-3(4Į + 5)(4Į - 5) = (3Į)2- 2·3Į ȕ+ȕ2-[(4Į)2-52] = 9Į2- 6Įȕ + ȕ2- 16Į2 + 25 = 7Į2 - 6Įȕ + ȕ2 + 25 ȕ) (3x - ȥ)(3x + ȥ)-(x - ȥ)(x2 + xȥ + ȥ2) = (3x)2 -ȥ2 – (x3 - ȥ3) = 9x2 - ȥ2-x3 + ȥ3 6

ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ: Į) (Į + ȕ)2 - (Į - ȕ)2 = 4Įȕ ȕ) (2007+

1 2 1 2 ) – (2007) = 4 2007 2007

Ȗ) (3ț + 2)2 - (2ț + 3)2 = 5· (ț - 1)(ț + 1). ȁȪıȘ Į) (Į + ȕ)2- (Į - ȕ)2 = Į2 + 2Įȕ + ȕ2 – (Į2- 2Įȕ + ȕ2) = Į2 + 2Įȕ + ȕ2 + 2Įȕ - ȕ2 = 4Įȕ ȕ) ǹʌȩ Į) ǹȞ ȕȐȜȠȣȝİ ȩʌȠȣ Į = 2007 țĮȚ β= 1 IJȩIJİ 2007 1 2 1 2 1 (2007+ ) -(2007) = 4·2007· = 4. 2007 2007 2007 Ȗ) (3ț + 2)2 - (2ț + 3)2 = [3ț + 2-(2ț + 3)][3ț + 2 + (2ț + 3)] = (3ț + 2- 2ț-3) (3ț + 2 + 2ț + 3) (ț-1) (5ț+5) = 5(ț - 1)(ț + 1) 7

ȃĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİIJİ IJȠȣȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ x,ȥ ʌȠȣ ȚțĮȞȠʌȠȚȠȪȞ IJȚȢ ȚıȩIJȘIJİȢ: Į) x2 + ȥ2 + 6x + 9ȥ = ȥ - 25, ȕ) 2x2 + ȥ2 + 2xȥ + 4x + 4 = 0 ȁȪıȘ Į) x2 + ȥ2 + 6x + 9ȥ = ȥ-25 Ȓ x2 + ȥ2 + 6x + 9ȥ - ȥ + 25 = 0 Ȓ x2 + 6x + ȥ2 + 8ȥ + 25 = 0 Ȓ x2 + 6x + 9 + ȥ2 + 8ȥ + 16 = 0 Ȓ (x + 3)2 + (ȥ + 4)2 = 0 Ȓ x+3 = 0 țĮȚ ȥ + 4 = 0 Ȓx = -3 țĮȚ ȥ = -4. ȕ) 2x2 + ȥ2 + 2xȥ + 4x + 4 = 0 Ȓ x2 + x2 + ȥ2 + 2xȥ + 4x + 4 = 0 Ȓ x2 + 4x + 4 + x2 + 2xȥ + ȥ2 =0 Ȓ (x + 2)2 + (x + ȥ)2 = 0 Ȓ x + 2 = 0 țĮȚ x + ȥ = 0 Ȓ x = -2 țĮȚ ȥ - 2 = 0 Ȓ x = -2 țĮȚ ȥ = 2.

57


ǼȇȍȉHȈǼǿȈ ȀǹȉǹȃOǾȈǾȈ

ȀİijȐȜĮȚȠ 1

ȃĮ ȤĮȡĮțIJȘȡȓıİIJİ ȝİ ıȦıIJȩ (Ȉ) Ș ȜȐșȠȢ (ȁ)

ǹ. 1.

ǿıȤȪİȚ: (x3 + 2)2 = x6 + 4.

2.

ǿıȤȪİȚ: (Į - ȕ)2 = (ȕ-Į)2.

3.

ǻİȞ ȚıȤȪİȚ ʌȠIJȑ Ș ȚıȩIJȘIJĮ (Į + ȕ)2 = Į2 + ȕ2.

4.

ǿıȤȪİȚ: Į2 + ȕ2 = (Į + ȕ)2- 2Įȕ. .

5. 6.

ǿıȤȪİȚ (Į - ȕ)2 = Į2 - ȕ2.

7.

ǹȞ ȚıȤȪİȚ Į2 + ȕ2 = 0 IJȩIJİ Į = 0 Ȓ ȕ = 0.

8.

AȞ Į2 + ȕ2 =2Įȕ IJȩIJİ Į = ȕ.

9.

ǿıȤȪİȚ ȩIJȚ (3Įȕ-ȕ)2 = ȕ(3Į-1)2.

10. AȞ Į2 + ȕ2 –(Į + ȕ)2 = 0 IJȩIJİ Į=0 Ȓ ȕ=0. 11.

ǿıȤȪİȚ -(Į+ ȕ)(Į - ȕ) = ȕ2 -Į2.

12. ǿıȤȪİȚ Į3 + ȕ3 = (Į + ȕ)(Į2 + Įȕ + ȕ2). 13. ǿıȤȪİȚ ʌȐȞIJĮ (Į-ȕ)3 = -(ȕ-Į)3. 14. ǿıȤȪİȚ (x-ȥ)2 = x2 - 2x(-ȥ) +(-ȥ)2. B.

58

ȃĮ İʌȚȜȑȟİIJİ IJȘ ıȦıIJȒ ĮʌȐȞIJȘıȘ: 1.

AȞ Į - ȕ = 6 IJȩIJİ Ș ʌĮȡȐıIJĮıȘ Ȁ = Į2 + ȕ2 - 2Įȕ + 3 ȚıȠȪIJĮȚ ȝİ: Į. 0 ȕ. 39, Ȗ. 36 į. 33 İ. 81

2.

ǹȞ x + ȥ = 20 țĮȚ x2 - ȥ2 = 80 IJȩIJİ Ș IJȚȝȒ IJȘȢ ʌĮȡȐıIJĮıȘȢ ȁ = ȥ - x İȓȞĮȚ ȓıȘ ȝİ: Į. 4 , ȕ. -4 Ȗ. 1 į. 10 İ. țĮȞȑȞĮ Įʌȩ IJĮ ʌȡȠȘȖȠȪȝİȞĮ.


3.

Ǿ ʌĮȡȐıIJĮıȘ (Į - 3)2 İȓȞĮȚ ȓıȘ ȝİ: Į. Į2 + 9, ȕ. Į2- 6Į + 9, Ȗ. (Į + 3)(Į - 3) į. Į2 – 9

4.

, IJȩIJİ Ș ʌĮȡȐıIJĮıȘ

ȀİijȐȜĮȚȠ 1

ȚıȠȪIJĮȚ ȝİ:

Į. 9, ȕ. 11, Ȗ. 7, į. -9, İ. -11 5.

AȞ Į2 + Įȕ + ȕ2 = 10 țĮȚ Į3 - ȕ3 = 20 IJȩIJİ Ș ʌĮȡȐıIJĮıȘ Į - ȕ ȚıȠȪIJĮȚ: Į. 2, ȕ. -2, Ȗ. 4 į. -4 İ. țĮȝȓĮ Įʌȩ IJȚȢ ʌĮȡĮʌȐȞȦ.

6.

ǹȞ (Į + ȕ)2= Į2 + ȕ2 + 2, IJȩIJİ ȠȚ ĮȡȚșȝȠȓ Į, ȕ İȓȞĮȚ: Į. ĮȞIJȓșİIJȠȚ, ȕ. İIJİȡȩıȘȝȠȚ, Ȗ. ĮȞIJȓıIJȡȠijȠȚ, į. ǵ ȑȞĮȢ șĮ İȓȞĮȚ ʌȐȞIJĮ ȝȘįȑȞ, İ. țĮȞȑȞĮ Įʌȩ IJĮ ʌȡȠȘȖȠȪȝİȞĮ.

7.

Ȉİ ȑȞĮ ʌĮȡĮȜȜȘȜȩȖȡĮȝȝȠ IJȠ ȝȒțȠȢ IJȠȣ İȓȞĮȚ x + 4 , x > 4 țĮȚ IJȠ İȝȕĮįȩȞ İȓȞĮȚ x2-16 , IJȩIJİ IJȠ ĮȞIJȓıIJȠȚȤȠ ȪȥȠȢ İȓȞĮȚ: Į. x + 5, ȕ. x-4, Ȗ. x + 4, į. x2-16 , İ. țĮȞȑȞĮ Įʌȩ IJĮ ʌȡȠȘȖȠȪȝİȞĮ.

8.

Ǿ ʌĮȡȐıIJĮıȘ Į2 - Įȕ + Ȗ2 İȓȞĮȚ IJȑȜİȚȠ IJİIJȡȐȖȦȞȠ ȩIJĮȞ: Į. Ȗ = ȕ , ȕ. Ȗ = 2ȕ, Ȗ. Ȗ = ȕ2 į.

9.

İ. țĮȞȑȞĮ Įʌȩ IJĮ ʌȡȠȘȖȠȪȝİȞĮ.

ǹȞ x + ȥ = 4 țĮȚ xȥ = 3 IJȩIJİ Ș ʌĮȡȐıIJĮıȘ x3 + ȥ3 İȓȞĮȚ ȓıȘ ȝİ: Į. 28, ȕ. 36, Ȗ. 64, į. 16, İ. IJȓʌȠIJĮ Įʌȩ IJĮ ʌĮȡĮʌȐȞȦ.

10. Ǿ ʌĮȡȐıIJĮıȘ (Į + ȕ - Ȗ)2 İȓȞĮȚ ȓıȘ ȝİ: Į. Į2 + ȕ2 -Ȗ2 +2Įȕ - 2ȕȖ - 2ĮȖ, ȕ. Į2 + ȕ2 + Ȗ2 +2Įȕ + 2ĮȖ + 2ȕȖ Ȗ. Į2 + ȕ2 +Ȗ2 -2ĮȖ - 2ȕȖ + 2Įȕ, į. Į2 + ȕ2 + Ȗ2 + 2Įȕ - 2ĮȖ + 2ȕȖ 11. Ǿ ʌĮȡȐıIJĮıȘ 2Įȕ - Į2 - ȕ2 İȓȞĮȚ ȓıȘ ȝİ: Į. (Į - ȕ)2 ȕ. –(ȕ - Į)2 Ȗ. –(Į + ȕ)2 į. (Į - ȕ)(Į + ȕ)

59


ȀİijȐȜĮȚȠ 1

60

ǹȈȀǾȈǼǿȈ īǿǹ ȁȊȈǾ 1

ȃĮ ȕȡİșȠȪȞ IJĮ ĮȞĮʌIJȪȖȝĮIJĮ: 2 α) ( 2x+3x2)2, β) ( x 2 − 4 x )2, γ) ( -3x3+2x)2, δ) ( 4x2ψ+2xψ2)2 3 1 ε) (-3x-2x3ψ)2 στ) ( + α )2 α

2

ȃĮ ȕȡİșȠȪȞ IJĮ ĮȞĮʌIJȪȖȝĮIJĮ:

3 α) ( α+2β)3, β) (2α2+3αβ3)3, γ) (3α-2β2)3, δ) ( α2-4α)3 4 2 ε) (2x- )3 στ) ( 3 − 2 )3 x

3

ȃĮ ȕȡİșȠȪȞ IJĮ ĮȞĮʌIJȪȖȝĮIJĮ: Į) (4x - ȥ) · (4x + ȥ), ȕ) (3x2 - ȥ)(3x2 + ȥ), Ȗ) (x-ȥ + 2z)(x + ȥ -2z) į) (4x - x3)(4x + x3) İ) (x - ȥ)(-x -ȥ)(x2 + ȥ2).

4

NĮ ȕȡİȓIJİ IJĮ ĮȞĮʌIJȪȖȝĮIJĮ: Į) (2x)3 - 8, ȕ) 27x3 - 64ȥ3, Ȗ) 8x3 + 64 į) 64 - (2x)3 İ) (3Į + 2ȕ)3- (3Į)3

5

ȃĮ țȐȞİIJİ IJȚȢ ʌȡȐȟİȚȢ: Į) (2x + 3)2 – (3x - 1)(3x + 1), ȕ) ( 3Į - 2ȕ)2 - (3Į + 2ȕ)2 + 3Į(ȕ -1 ) + 3Į Ȗ) (1 - x)(1 + x) + (x -1)2 + 2(x -1) į) (x - 2)2 - (1- 2x)2 + (3x -1)(3x + 1)

6

ǻȓȞİIJĮȚ IJȠ ʌȠȜȣȫȞȣȝȠ ȇ(x) = 3x2 - 5x + 1. NĮ ȕȡİȓIJİ: Į) ȇ(x - 10), ȕ) ȇ(3 - 2x), Ȗ) ȇ(-x +1) -2x

7

NĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ IJĮ ʌĮȡĮțȐIJȦ ʌȠȜȣȫȞȣȝĮ İȓȞĮȚ ĮȞİȟȐȡIJȘIJĮ IJȠȣ x. ȇ(x) = (x3 - 1)2 + (x3 + 1)2-2(x3-1)(x3+1). Q(x) = (x2 + 1)3 + 3(x2+1)2(1-x2) +3(x2+1)(1-x2)2 + ( 1-x2)3.

8

AȞ Į + ȕ = 3 țĮȚ Įȕ = -4 ȞĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİIJİ: Į) Į2 + ȕ2, ȕ) Į3 + ȕ3


9

ǹȞ Į + ȕ = 5 țĮȚ Įȕ = 4 ȞĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİIJİ: Į) Į2 + ȕ2, ȕ) Į3 + ȕ3, Ȗ) Į4 + ȕ4

10

ǹȞ Į + ȕ + Ȗ = 3 țĮȚ Į2 + ȕ2 + Ȗ2 = 27 ȞĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİIJİ: Į) Įȕ + ȕȖ + ĮȖ, ȕ) 3Įȕ + 3ȕȖ + 3ĮȖ - 2007

11

ǹȞ Į + ȕ = 6 țĮȚ Į2 + ȕ2 = 26 ȞĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİIJİ: Į) Įȕ, ȕ) Į3 + ȕ3

12

ǹȞ x+ α) x2+

13

ȀİijȐȜĮȚȠ 1

1 =2 ȞĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİIJİ IJȚȢ IJȚȝȑȢ IJȦȞ ʌĮȡĮıIJȐıİȦȞ: x

1 1 1 , β) x3+ 3 γ) x4+ 4 2 x x x

1 =2 , x > 0, ȞĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİIJİ IJȚȢ IJȚȝȑȢ IJȦȞ ʌĮȡĮıIJȐıİȦȞ: x 1 1 1 α) x2+ 2 , β) (x+ )2 , γ) x+ x x x

AȞ x -

14

ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ: Į) (Į -1) (Į + 1)(Į2 + 1)(Į4 + 1)(Į8 + 1) = Į16 -1 ȕ) (Į + ȕ + Ȗ)2 + (Į - ȕ)2 + (ȕ - Ȗ)2 + (Į - Ȗ)2 = 3Į2 + 3ȕ2 + 3Ȗ2 α + β 2 α − β 2 4β γ) ( ) = ) -( α α α

15

ȃĮ ȕȡİșȠȪȞ ȠȚ ĮȡȚșȝȠȓ x,ȥ ȫıIJİ ȞĮ ȚıȤȪİȚ: Į) x2 + 2x + 1 + ȥ2 + 4ȥ + 4 = 0, ȕ) x2 + ȥ2 + 6x + 8ȥ + 25 = 0, Ȗ) 4x2 + ȥ2 + 4x + 2ȥ = -2

16

Į) ȃĮ țȐȞİIJİ IJȚȢ ʌȡȐȟİȚȢ: Į2 - (Į-2) · (Į + 2) ȕ) ȃĮ įİȓȟİIJİ ȩIJȚ: 20072 - 2005 · 2009 = 4

17

NĮ įİȓȟİIJİ ȩIJȚ : (x -2)(x2 + 2x + 4)(x + 2)(x2 - 4x + 4) = x6 - 64

61


ȀİijȐȜĮȚȠ 1

62

18

NĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ Ƞ ĮȡȚșȝȩȢ: Ȁ = 20072 + 20072 · 2008 +20082 + 2007 İȓȞĮȚ IJİIJȡȐȖȦȞȠ İȞȩȢ ijȣıȚțȠȪ ĮȡȚșȝȠȪ.

19

ȃĮ ȖȡȐȥİIJİ ȦȢ ȝȓĮ įȪȞĮȝȘ IJȚȢ ʌĮȡĮıIJȐıİȚȢ: Į) 27 Į3 + 27Į2 x + 9Į2 x + x3 ȕ) (Į + ȕ)2 + 2(Į + ȕ)(Į - ȕ) + (Į - ȕ)2

20

ǹȞ, α = 3 -1, β = 3 +1, IJȩIJİ ȞĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİIJİ: Į) Įȕ, ȕ) Į2 + ȕ2, Ȗ) Į2 - ȕ2

21

ȃĮ ıȣȝʌȜȘȡȫıİIJİ IJȚȢ ʌĮȡĮțȐIJȦ ȚıȩIJȘIJİȢ: Į) (x+…)2 = …+ 2·x + … , ȕ) (x - 2)2 = …+…-… , Ȗ) (…+…)2 = 4x2 +…+ 9ȥ2 , į) (…-…)2 = x2 +…- 2

22

ȃĮ ıȣȝʌȜȘȡȫıİIJİ IJȚȢ ȚıȩIJȘIJİȢ: Į) …-…= (2x - ȥ2)(ȥ2 + 2x), ȕ) (x4 - 1) = (…-…)(…+…)(…+…), Ȗ) …-…=(x - ȥ) (x2 +…+…), į) x3 +…= (..+ 2)(…-2x +…)

23

ȃĮ ıȣȝʌȜȘȡȫıİIJİ IJȚȢ ȚıȩIJȘIJİȢ: Į) ( x +…)3 = …+…+…+ 8, ȕ) (… -2)3 = ȥ3…-…+…-

24

NĮ įİȓȟİIJİ ȩIJȚ Ƞ ĮȡȚșȝȩȢ 39 + 1 İȓȞĮȚ ʌȠȜȜĮʌȜȐıȚȠ IJȠȣ 28.

25

īȚĮ ʌȠȚİȢ IJȚȝȑȢ IJȦȞ ț, Ȝ ȚıȤȪȠȣȞ ʌȐȞIJĮ ȠȚ ȚıȩIJȘIJİȢ: Į) (x - ȥ)2 = xț – 2xȥ + ȥȜ + 1, ȕ) (x - ȥ)(x + ȥ) = xț + 3 - ȥ4 -Ȝ

26

ǻȓȞİIJĮȚ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ IJȡȓȖȦȞȠ ǹǺī ȝİ Ұ= 900. ǹȞ β + γ = 2 0 țĮȚ Į = 4 ȞĮ ȕȡİȓIJİ IJȠ İȝȕĮįȩȞ IJȠȣ IJȡȚȖȫȞȠȣ.

27

ȃĮ įİȓȟİIJİ ȩIJȚ Ș įȚĮijȠȡȐ IJȦȞ IJİIJȡĮȖȫȞȦȞ įȪȠ įȚĮįȠȤȚțȫȞ ĮțİȡĮȓȦȞ İȓȞĮȚ ʌİȡȚIJIJȩȢ ĮȡȚșȝȩȢ.


1.6

ȆĮȡĮȖȠȞIJȠʌȠȓȘıȘ ĮȜȖİȕȡȚțȫȞ ʌĮȡĮıIJȐıİȦȞ

ȀİijȐȜĮȚȠ 1

ȆĮȡĮȖȠȞIJȠʌȠȓȘıȘ Ȓ ĮȞȐȜȣıȘ ıİ ȖȚȞȩȝİȞȠ ʌĮȡĮȖȩȞIJȦȞ ȜȑȖİIJĮȚ Ș įȚĮįȚțĮıȓĮ ȝİ IJȘȞ ȠʌȠȓĮ ȝİIJĮIJȡȑʌȠȣȝİ ȝȓĮ ʌĮȡȐıIJĮıȘ, ʌȠȣ İȓȞĮȚ ȐșȡȠȚıȝĮ, ıİ ȖȚȞȩȝİȞȠ. ǵIJĮȞ ȝȓĮ ʌĮȡȐıIJĮıȘ įİȞ İʌȚįȑȤİIJĮȚ ʌİȡĮȚIJȑȡȦ ʌĮȡĮȖȠȞIJȠʌȠȓȘıȘ, IJȩIJİ Ȝȑȝİ ȩIJȚ Ș ʌĮȡȐıIJĮıȘ ȑȤİȚ ĮȞĮȜȣșİȓ ıİ ȖȚȞȩȝİȞȠ ʌȡȫIJȦȞ ʌĮȡĮȖȩȞIJȦȞ. DzIJıȚ ȩIJĮȞ Ȝȑȝİ ȩIJȚ ʌĮȡĮȖȠȞIJȠʌȠȚȠȪȝİ ȝȓĮ ʌĮȡȐıIJĮıȘ, șĮ İȞȞȠȠȪȝİ ȩIJȚ IJȘȞ ĮȞĮȜȪȠȣȝİ ıİ ȖȚȞȩȝİȞȠ ʌȡȫIJȦȞ ʌĮȡĮȖȩȞIJȦȞ. ȅȚ ʌȚȠ ȤĮȡĮțIJȘȡȚıIJȚțȑȢ ʌİȡȚʌIJȫıİȚȢ ʌĮȡĮȖȠȞIJȠʌȠȓȘıȘȢ ȝȚȐȢ ĮȜȖİȕȡȚțȒȢ ʌĮȡȐıIJĮıȘȢ İȓȞĮȚ: Į) ȀȠȚȞȩȢ ʌĮȡȐȖȠȞIJĮȢ ǹȞ ȩȜȠȚ ȠȚ ȩȡȠȚ ȝȚĮȢ ʌĮȡȐıIJĮıȘȢ ȑȤȠȣȞ țȠȚȞȩ ʌĮȡȐȖȠȞIJĮ, IJȩIJİ Ș ʌĮȡȐıIJĮıȘ ȝİIJĮIJȡȑʌİIJĮȚ ıİ ȖȚȞȩȝİȞȠ ʌĮȡĮȖȩȞIJȦȞ ıȪȝijȦȞĮ ȝİ IJȘȞ İʌȚȝİȡȚıIJȚțȒ ȚįȚȩIJȘIJĮ. ȆĮȡĮįİȓȖȝĮIJĮ ȃĮ ʌĮȡĮȖȠȞIJȠʌȠȚȘșȠȪȞ ȠȚ ʌĮȡĮıIJȐıİȚȢ i) 8x2ȥ - 20xȥ2 + 12x2ȥ2 ii) Į(ț - Ȝ) + 3ȕ(Ȝ - ț) iii) 4(3x - 1) + x(2 - 6x) ȁȪıȘ i) 8x2ȥ - 20xȥ2 + 12x2ȥ2 = 4xȥ(8x - 5ȥ + 3xȥ) ii) Į(ț - Ȝ) + 3ȕ(Ȝ - ț) = Į(ț - Ȝ)-3(ț - Ȝ) = (ț - Ȝ)(Į - 3) iii) 4(3x - 1) + x(2 - 6x) = 4(3x - 1) - 2x(3x - 1) = (3x - 1)(4 - 2x) = 2(3x - 1)(2 - x) ȕ) ȀȠȚȞȩȢ ʌĮȡȐȖȠȞIJĮȢ țĮIJȐ ȠȝȐįİȢ (ȅȝĮįȠʌȠȓȘıȘ) ǵIJĮȞ ȠȚ ȩȡȠȚ IJȠȣ ʌȠȜȣȦȞȪȝȠȣ įİȞ ȑȤȠȣȞ țȠȚȞȩ ʌĮȡȐȖȠȞIJĮ, IJȠȣȢ ȤȦȡȓȗȠȣȝİ ıİ ȠȝȐįİȢ ȝİ IJȠ ȓįȚȠ ʌȜȒșȠȢ ȩȡȦȞ țĮIJȐ IJȑIJȠȚȠ IJȡȩʌȠ ȫıIJİ: • ȀȐșİ ȠȝȐįĮ ȞĮ ȑȤİȚ țȠȚȞȩ ʌĮȡȐȖȠȞIJĮ. • ǵIJĮȞ ȕȖȐȜȠȣȝİ țȠȚȞȩ ʌĮȡȐȖȠȞIJĮ Įʌȩ țȐșİ ȠȝȐįĮ, ȞĮ ʌĮȡȠȣıȚȐȗİIJĮȚ IJȠ ȓįȚȠ ʌȠȜȣȫȞȣȝȠ ȝȑıĮ ıIJȘȞ țȐșİ ʌĮȡȑȞșİıȘ ȖȚĮ ȩȜİȢ IJȚȢ ȠȝȐįİȢ. ȆĮȡĮįİȓȖȝĮIJĮ ȃĮ ʌĮȡĮȖȠȞIJȠʌȠȚȘșȠȪȞ ȠȚ ʌĮȡĮıIJȐıİȚȢ i) 4x3 - 8x2 + 3x - 6 ii) xȥ - 5x - 5ȥ + 25 iii) 2x2 + 6xȥ + 4ȥ2

63


ȀİijȐȜĮȚȠ 1 ȁȪıȘ

i) 4x3 - 8x2 + 3x - 6 = 4x2(x - 2) + 3(x - 2) = (x - 2)(4x2 + 3) ii) xȥ - 5x - 5ȥ + 25 = x(ȥ - 5) -5(ȥ - 5) = (ȥ - 5)(x - 5) iii) 2x2 + 6xȥ + 4ȥ2 = 2x2 + 2xȥ + 4xȥ + 4ȥ2 = 2x(x + ȥ) + 4ȥ(x + ȥ) = = (x + ȥ)(2x + 4ȥ) = 2(x + ȥ)(x + 2ȥ) Ȗ) ǻȚĮijȠȡȐ IJİIJȡĮȖȫȞȦȞ AȣIJȒ Ș ȝȑșȠįȠȢ ıIJȘȡȓȗİIJĮȚ ıIJȘȞ IJĮȣIJȩIJȘIJĮ Į2 – ȕ2 = (Į + ȕ)(Į - ȕ) Ȃİ IJȘȞ IJĮȣIJȩIJȘIJĮ ĮȣIJȒ, ȝʌȠȡȠȪȝİ ȞĮ ʌĮȡĮȖȠȞIJȠʌȠȒıȠȣȝİ ȝȓĮ ʌĮȡȐıIJĮıȘ ʌȠȣ İȓȞĮȚ įȚĮijȠȡȐ IJİIJȡĮȖȫȞȦȞ. ȆĮȡĮįİȓȖȝĮIJĮ ȃĮ ʌĮȡĮȖȠȞIJȠʌȠȚȘșȠȪȞ ȠȚ ʌĮȡĮıIJȐıİȚȢ i) 9x2 - 16 ii) (2x - 1)2 - 49 iii) x2 - 5 ȁȪıȘ i) 9x2 - 16 = (3x)2 - 42 = (3x - 4)(3x + 4) ii) (2x -1)2 – 49 = [(2x - 1)-7][(2x - 1) + 7] = (2x - 1 - 7)(2x - 1 + 7) = (2x - 8)(2x + 6) = 2(x - 4)2(x + 3) = 4(x - 4)(x + 3) iii) x2 -5 = x2-( 5 )2 = (x- 5 )(x+ 5 ) į) ǻȚĮijȠȡȐ Ȓ ȐșȡȠȚıȝĮ țȪȕȦȞ ǹȣIJȒ Ș ȝȑșȠįȠȢ ıIJȘȡȓȗİIJĮȚ ıIJȚȢ IJĮȣIJȩIJȘIJİȢ Į3 – ȕ3 = (Į - ȕ)(Į2 + Įȕ + ȕ2), Į3 + ȕ3 = (Į + ȕ)(Į2 - Įȕ + ȕ2) ȈȪȝijȦȞĮ ȝİ IJȚȢ IJĮȣIJȩIJȘIJİȢ ĮȣIJȑȢ, ȝʌȠȡȠȪȝİ ȞĮ ʌĮȡĮȖȠȞIJȠʌȠȒıȠȣȝİ ȝȓĮ ʌĮȡȐıIJĮıȘ ʌȠȣ İȓȞĮȚ įȚĮijȠȡȐ Ȓ ȐșȡȠȚıȝĮ țȪȕȦȞ. ȆĮȡĮįİȓȖȝĮIJĮ ȃĮ ʌĮȡĮȖȠȞIJȠʌȠȚȘșȠȪȞ ȠȚ ʌĮȡĮıIJȐıİȚȢ i) x 3- 8 ii) x3 + 27 iii) 27x3 - 8Į3

64

ȁȪıȘ i) x3 - 8 = x3 - 23 = (x-2)(x2 + x + 2) ii) x3 + 27 = x3 + 33 = (x + 3) (x2 - 3x + 9) iii) 27x3 - 8Į3 = (3x)3 - (2Į)3 = (3x - 2Į)[(3x)2 + 3x2Į + (2Į)2]= (3x - 2Į)(9x2 + 6Įx + 4Į2)


İ) ǹȞȐʌIJȣȖȝĮ IJİIJȡĮȖȫȞȠȣ ǹȣIJȒ Ș ȝȑșȠįȠȢ ıIJȘȡȓȗİIJĮȚ ıIJȚȢ IJĮȣIJȩIJȘIJİȢ Į2 + 2Įȕ + ȕ2 = (Į + ȕ)2,

ȀİijȐȜĮȚȠ 1

Į2 - 2Įȕ + ȕ2 = (Į - ȕ)2

ȈȪȝijȦȞĮ ȝİ IJȚȢ IJĮȣIJȩIJȘIJİȢ ĮȣIJȑȢ, ȝʌȠȡȠȪȝİ ȞĮ ʌĮȡĮȖȠȞIJȠʌȠȚȒıȠȣȝİ ȝȓĮ ʌĮȡȐıIJĮıȘ ʌȠȣ İȓȞĮȚ ĮȞȐʌIJȣȖȝĮ IJİIJȡĮȖȫȞȠȣ (IJȑȜİȚȠ IJİIJȡȐȖȦȞȠ). ȆĮȡĮįİȓȖȝĮIJĮ ȃĮ ʌĮȡĮȖȠȞIJȠʌȠȚȘșȠȪȞ ȠȚ ʌĮȡĮıIJȐıİȚȢ i) Į2 + 6Į + 9 ii) 16Į2 - 24Įȕ + 9ȕ2 iii) -Į2 + 2Į - 1 ȁȪıȘ i) Į2 + 6Į + 9 = Į2 + 2 · 3Į + 32 = (Į + 3)2 ii) 16Į2 - 24Įȕ + 9ȕ2 = (4Į)2 - 2· 4Į · 3ȕ + (3ȕ)2 = (4Į - 3ȕ)2 iii) -Į2 + 2Į - 1 = -(Į2 - 2Į + 1) = - (Į-1)2 ıIJ) ȆĮȡĮȖȠȞIJȠʌȠȓȘıȘ IJȡȚȦȞȪȝȠȣ IJȘȢ ȝȠȡijȒȢ x2 + (Į + ȕ)x + Įȕ. DzȞĮ IJȡȚȫȞȣȝȠ IJȘȢ ȝȠȡijȒȢ x2 + (Į + ȕ)x + Įȕ ʌĮȡĮȖȠȞIJȠʌȠȚİȓIJĮȚ ıȪȝijȦȞĮ ȝİ IJȠȞ IJȪʌȠ x2 + (Į + ȕ)x + Įȕ = (x + Į)(x + ȕ) ȆĮȡĮįİȓȖȝĮIJĮ ȃĮ ʌĮȡĮȖȠȞIJȠʌȠȚȘșȠȪȞ IJĮ IJȡȚȫȞȣȝĮ i) x2 - 7x + 6 ii) x2 + 3x + 2 iii) -2x2 + 8x - 6 ȁȪıȘ i) īȚĮ ȞĮ ʌĮȡĮȖȠȞIJȠʌȠȚȒıȠȣȝİ IJȠ IJȡȚȫȞȣȝȠ x2 - 7x + 6, ĮȞĮȗȘIJȠȪȝİ įȪȠ ĮȡȚșȝȠȪȢ ȝİ ȖȚȞȩȝİȞȠ 6 țĮȚ ȐșȡȠȚıȝĮ -7. ȅȚ ĮȡȚșȝȠȓ ĮȣIJȠȓ ʌȡȑʌİȚ ȞĮ İȓȞĮȚ ĮȡȞȘIJȚțȠȓ, ĮijȠȪ ȑȤȠȣȞ ȖȚȞȩȝİȞȠ șİIJȚțȩ țĮȚ ȐșȡȠȚıȝĮ ĮȡȞȘIJȚțȩ. Ȃİ įȠțȚȝȑȢ ȕȡȓıțȠȣȝİ ȩIJȚ ȠȚ ĮȡȚșȝȠȓ İȓȞĮȚ: IJȠ -1 țĮȚ IJȠ -6. DZȡĮ ȑȤȠȣȝİ x2 - 7x + 6 = (x - 1)(x - 6) ii) īȚĮ ȞĮ ʌĮȡĮȖȠȞIJȠʌȠȚȒıȠȣȝİ IJȠ IJȡȚȫȞȣȝȠ x2 + 3x + 2, ʌȡȑʌİȚ ȞĮ ȕȡȠȪȝİ įȪȠ ĮȡȚșȝȠȪȢ ȝİ ȐșȡȠȚıȝĮ 3 țĮȚ ȖȚȞȩȝİȞȠ 2. ȅȚ ĮȡȚșȝȠȓ șĮ İȓȞĮȚ ȠȝȩıȘȝȠȚ (ȑȤȠȣȞ ȖȚȞȩȝİȞȠ șİIJȚțȩ). Ȃİ įȠțȚȝȑȢ ȕȡȓıțȠȣȝİ ȩIJȚ ȠȚ ĮȡȚșȝȠȓ İȓȞĮȚ: IJȠ 1 țĮȚ IJȠ 2 .

65


DZȡĮ ȑȤȠȣȝİ x2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2 )

ȀİijȐȜĮȚȠ 1

iii) īȚĮ ȞĮ ʌĮȡĮȖȠȞIJȠʌȠȚȒıȠȣȝİ IJȠ IJȡȚȫȞȣȝȠ -2x2 + 8x - 6, ȕȖȐȗȠȣȝİ țȠȚȞȩ ʌĮȡȐȖȠȞIJĮ IJȠ -2, ȫıIJİ Ƞ ıȣȞIJİȜİıIJȒȢ IJȠȣ x2 ȞĮ ȖȓȞİȚ 1, ȠʌȩIJİ ȑȤȠȣȝİ -2x2 + 8x - 6 = -2(x2 - 4x + 3) ȈIJȘ ıȣȞȑȤİȚĮ șĮ ʌĮȡĮȖȠȞIJȠʌȠȚȒıȠȣȝİ IJȠ IJȡȚȫȞȣȝȠ : x2 - 4x + 3. AȞĮȗȘIJȠȪȝİ įȪȠ ĮȡȚșȝȠȪȢ ȝİ ȖȚȞȩȝİȞȠ 3 țĮȚ ȐșȡȠȚıȝĮ -4. ȅȚ ĮȡȚșȝȠȓ ĮȣIJȠȓ İȓȞĮȚ : IJȠ -1 țĮȚ IJȠ -3. ȅʌȩIJİ x2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3). AȡĮ ȑȤȠȣȝİ -2x2 + 8x - 6 = -2(x2 - 4x + 3) = -2(x - 1)(x - 3)

ȁȊȂǼȃǼȈ ǹȈȀǾȈǼǿȈ 1

ȃĮ ʌĮȡĮȖȠȞIJȠʌȠȒıİIJİ IJȚȢ ʌĮȡĮıIJȐıİȚȢ: Į) 4Į + 8ȕ ȕ) 6Į2 + 24Į3 + 2Į Ȗ) 4Į2 - 2Į + 2 į) Į4 + Į3 İ) 1 α2- 3 α 2 2 2 4 2 ıIJ) Į (x - 3ȥ) - (x - 3ȥ), ȗ) Įx + Įȥ - Ȝȥ - Ȝx Ș) 9x - 15x + 25 ȁȪıȘ Į) 4Į + 8ȕ = 4(Į + 2ȕ) ȕ) 6Į2 + 24Į3 + 2Į = 2Į( 3Į +12Į2 +1) Ȗ) 4Į2 - 2Į + 2 = 2(2Į2 -Į +1) į) Į4 +Į3 = Į (Į + 1) 1 3 1 3 ε) α 2 - α = α (α- ) 2 2 2 2 ıIJ) Į2(x - 3ȥ) – (x - 3ȥ) = (x - 3ȥ)(Į2 - 1) = (x - 3ȥ)(Į - 1)(Į + 1) ȗ) Įx + Įȥ - Ȝȥ - Ȝx = Į(x + ȥ) – Ȝ(x + ȥ) = (x + ȥ)(Į - Ȝ) Ș) 9x4 - 15x2 + 25 = (3x2 - 5)2

2

66

Į) ȃĮ ʌĮȡĮȖȠȞIJȠʌȠȚȘșİȓ Ș ʌĮȡȐıIJĮıȘ ǹ= 3x3 - 3x ȕ) ȃĮ Ȝȣșİȓ Ș İȟȓıȦıȘ : 3x3=3x ȁȪıȘ Į) ǹ = 3x3 - 3x = 3x(x2 - 1) = 3x(x - 1)(x + 1) ȕ) 3x3 = 3x Ȓ 3x3-3x = 0 Ȓ3x(x - 1)(x + 1)=0 Ȓ 3x=0 Ȓ x-1=0 Ȓ x + 1 = 0 Ȓ x = 0 Ȓ x = 1 Ȓ x = -1.


EȇȍȉHȈǼǿȈ ȀǹȉǹȃOǾȈǾȈ

ȀİijȐȜĮȚȠ 1

ȃĮ ȤĮȡĮțIJȘȡȓıİIJİ ȝİ ıȦıIJȩ (Ȉ) Ȓ ȜȐșȠȢ (ȁ)

ǹ. 1.

ǿıȤȪİȚ x2 - 2 = (x - 2)(x + 2).

2.

ǿıȤȪİȚ Į2 + ȕ2 = (Į - ȕ)(Į + ȕ).

3.

ǿıȤȪİȚ Į2 - ȕ2 = -(ȕ - Į)(Į + ȕ).

4.

IıȤȪİȚ ȥ(Į + ȕ)-Į -ȕ = (Į + ȕ)(ȥ + 1).

5.

ǿıȤȪİȚ Į(ț -Ȝ) + ȕ(Ȝ -ț) = (Į - ȕ)(ț - Ȝ).

6.

ǿıȤȪİȚ 1- x2 = (x - 1)(x + 1).

Ǻ.

ȃĮ İʌȚȜȑȟİIJİ IJȘ ıȦıIJȒ ĮʌȐȞIJȘıȘ: 1.

H ʌĮȡȐıIJĮıȘ x3 - 5x2 + 6x İȓȞĮȚ ȓıȘ ȝİ: Į. x(x - 2)(x - 3), ȕ. x(x + 2)(x + 3), Ȗ. x (x - 2)(x + 3), x(x + 2)(x - 3)

2.

Ǿ IJȚȝȒ IJȘȢ ʌĮȡȐıIJĮıȘȢ Κ = Į. 10, ȕ. 100, Ȗ. 2, į. 5.

1 5,2 32 − 5,2 32 İȓȞĮȚ: 2 0, 4 6

ǹȈȀǾȈǼǿȈ īǿǹ ȁȊȈǾ 1

ȃĮ ȖȡȐȥİIJİ ȝİ IJȘ ȝȠȡijȒ ȖȚȞȠȝȑȞȠȣ: Į) 3x2 + 6x ȕ) 4x3 - 4x2 Ȗ) 3x2- 3 į) 5x3 - 10x2 - 5x İ) 4x2ȥ - 12xȥ ıIJ) 3(x - ȥ) – Į(ȥ - x) – x + ȥ ȗ) Į3 + Į2ȕ + Įȕ2 + ȕ3

2

NĮ ȖȡȐȥİIJİ ȝİ IJȘ ȝȠȡijȒ ȖȚȞȠȝȑȞȠȣ: Į) (Į + 1)2 - Į-1 ȕ) x3 + x2 + x + 1 Ȗ) (x - 4)(Į + ȕ) -x + 4 į) x2 - 2xȥ + ȥ2 İ) 25x2 - 10xȥ + ȥ2 ıIJ) (x + ȥ)2 - 6(x + ȥ) + 9

3

ȃĮ ȖȡȐȥİIJİ ȝİ IJȘ ȝȠȡijȒ ȖȚȞȠȝȑȞȠȣ: Į) 4 - Į2 ȕ) 16 - Į2 Ȗ) x2 - 5 į) x 3- x İ) 18x2 - 8ȥ2 ıIJ) Į4 - 1 ȗ) 9(x + ȥ)2 - 16(x - ȥ)2

4

ȃĮ ȖȡȐȥİIJİ ȝİ IJȘ ȝȠȡijȒ ȖȚȞȠȝȑȞȠȣ: Į) x2 - 3 ȕ) x2 - 5 Ȗ) x4 - x į) x3 - 5x2 + 7x - 35 İ) x3 - 4x

67


ȀİijȐȜĮȚȠ 1

5

ȃĮ ȖȡȐȥİIJİ ȝİ IJȘ ȝȠȡijȒ ȖȚȞȠȝȑȞȠȣ: Į) (x2 - 4)2 - (x + 3)(x + 2)2 ȕ) (2x - 6)(x2 - 9) - (4x - 12)(x - 3)2 Ȗ) 4x2 - 4x + 1 - 9ȥ2 į) Į2 + 2Įȕ - x2 + 2xȥ + ȕ2 - ȥ2 İ) Į(ȕ - 2) -4(ȕ - 2) - (2 - ȕ)2 ıIJ) x3 + 8 - x(x + 2) ȗ) x3 - 27 - (x - 3)

6

ȃĮ ȖȡȐȥİIJİ ȝİ IJȘ ȝȠȡijȒ ȖȚȞȠȝȑȞȠȣ: Į) (2Į + ȕ)(x - 1) – (1 - x)(Į + ȕ), ȕ) (Į + ȕ)(x + ȥ) - Ȟx - Ȟȥ, Ȗ) (Į2 -ȕ2)(x+ȥ)-(x2-ȥ2)(Į-ȕ)

7

ȃĮ ʌĮȡĮȖȠȞIJȠʌȠȚȒıİIJİ IJĮ IJȡȚȫȞȣȝĮ: Į) x2 - 3x + 2 , ȕ) x2 - 7x + 6, Ȗ) 3x2 - 2x - 1, į) -x2 + 7x + 6, İ) x2- 4x + 4

8

ȃĮ ʌĮȡĮȖȠȞIJȠʌȠȚȒıİIJİ IJĮ IJȡȚȫȞȣȝĮ: α) x2+(3+ 3) x+3 3 β) x2+(3κ+λ)x+3κλ γ) x2+(4- 5 )x-4 5

9

ȃĮ ʌĮȡĮȖȠȞIJȠʌȠȚȒıİIJİ: Į) x2 - 2x - 3 + Į(x + 1), ȕ) x2 + Įx + 5x -Į -6, Ȗ) x2 + xȥ - 7x - 4ȥ + 12

10

ȃĮ ȖȡȐȥİIJİ ȝİ IJȘ ȝȠȡijȒ ȖȚȞȠȝȑȞȠȣ: Į) x3 - 4x2 + 3x, ȕ) x3 - 6x2 + 8x, Ȗ) 2x3 - 10x2 + 12x, į)

x · ψ x2 ψ 2 + + 10 25 16

11

ȃĮ ȖȡȐȥİIJİ ȝİ IJȘ ȝȠȡijȒ ȖȚȞȠȝȑȞȠȣ: Į) 8x3 -27ȥ3, ȕ) x3 - 8ȥ3, Ȗ) x3 + 1, į) 54x3 + 16ȥ3 İ) Į6 - 1, ıIJ) 16x4 + 2x

12

Į) ȃĮ țȐȞİIJİ ȖȚȞȩȝİȞȠ IJȘȞ ʌĮȡȐıIJĮıȘ: ǹ = x3 - 5x2 + 6x ȕ) ȃĮ ȜȪıİIJİ ǹ = 0

13

ȃĮ ȜȪıİIJİ IJȚȢ İȟȚıȫıİȚȢ: Į) x2 - 100 = 0, ȕ) 16x3 - x = 0, Ȗ) x·(x + 2)2 = 9x, į) (x - 3)3 = (x - 3), İ) x2 (x - 1)-x + 1 = 0, ıIJ) x2(x - 2) - 4x + 8 = 0

14

Į) ȃĮ ʌĮȡĮȖȠȞIJȠʌȠȚȒıİIJİ IJȘȞ ʌĮȡȐıIJĮıȘ ǹ = Į2 - 4 + 4Įȕ + 4ȕ2 2 2 ȕ) ȃĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİIJİ IJȘȞ ʌĮȡȐıIJĮıȘ ( α − 4 + 4αβ + 4 β − α − 2 β − 3) 2007 α + 2β − 2

15

68

ȃĮ ʌĮȡĮȖȠȞIJȠʌȠȚȒıİIJİ IJȚȢ ʌĮȡĮıIJȐıİȚȢ: A = Į2 - 4Įȕ + 4ȕ2 - 16, Ǻ = 4Į2 - 4 - 4Įȕ + ȕ2 ī = x2 - 4xȥ - 5ȥ2 ǻ = 3Į2 - 4Į + 1 - 2Įȕ - ȕ2


16

ȃĮ ʌĮȡĮȖȠȞIJȠʌȠȚȒıİIJİ IJȚȢ ʌĮȡĮıIJȐıİȚȢ: A = x4 + 4ȥ4, Ǻ = x4 + 4 , ī = x4 + 9 - 7x2, ǻ = x4 + ȥ4 -3x2ȥ2 Ǽ = x4 + ȥ4 + x2ȥ2Z = x2 + 4xȥ - 5ȥ2

17

ȃĮ ʌĮȡĮȖȠȞIJȠʌȠȚȒıİIJİ IJȚȢ ʌĮȡĮıIJȐıİȚȢ: ǹ = x3 - 7x + 6, B = 2x3 - 5x + 3, ī = x3 - 4x + 3, ǻ = x3 + 2x2 - 1

18

ȃĮ ʌĮȡĮȖȠȞIJȠʌȠȚȒıİIJİ IJȚȢ ʌĮȡĮıIJȐıİȚȢ: Į) xȞ+3 - xȞ ȕ) xȝ+2 - xȝ Ȗ) xȞ+1 - xȝ+2 į) xȞ+3 - xȝ+2 -xț+2

19

ȃĮ ʌĮȡĮȖȠȞIJȠʌȠȚȒıİIJİ IJȚȢ ʌĮȡĮıIJȐıİȚȢ: Į) (x + 1)2 - 4(x + 1) +4 ȕ) Į2 + ȕ - ȕ2 - Į + (Į - ȕ)2 Ȗ) (x-1)2-6(x-1) + 9

20

ȃĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİIJİ IJȚȢ ĮȡȚșȝȘIJȚțȑȢ ʌĮȡĮıIJȐıİȚȢ ȤȦȡȓȢ ȞĮ ȤȡȘıȚȝȠʌȠȚȒıİIJİ ȣʌȠȜȠȖȚıIJȒ IJıȑʌȘȢ. Į) 2007 · 1321 - 2007 · 321 ȕ) 9952 - 25 Ȗ) 998 · 1002 + 1 į) 401 ·399 İ) 20072 - 2006 · 2008

1.7

ǻȚĮȓȡİıȘ ʌȠȜȣȦȞȪȝȦȞ

ȀİijȐȜĮȚȠ 1

ȄȑȡȠȣȝİ ȩIJȚ, ĮȞ ȑȤȠȣȝİ įȪȠ ijȣıȚțȠȪȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ ǻ (įȚĮȚȡİIJȑȠȢ) țĮȚ į (įȚĮȚȡȑIJȘȢ) ȝİ į0 țĮȚ țȐȞȠȣȝİ IJȘ įȚĮȓȡİıȘ ǻ : į, IJȩIJİ ȕȡȓıțȠȣȝİ įȪȠ ȐȜȜȠȣȢ ȝȠȞĮįȚțȠȪȢ ijȣıȚțȠȪȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ ʌ (ʌȘȜȓțȠ) țĮȚ ȣ (ȣʌȩȜȠȚʌȠ), ȖȚĮ IJȠȣȢ ȠʌȠȓȠȣȢ ȚıȤȪİȚ: ǻ=į·ʌ+ȣ

ȝİ

0” ȣ<į

ǹȞ ȣ = 0, IJȩIJİ ǻ = į ·ʌ țĮȚ IJȩIJİ Ȝȑȝİ ȩIJȚ Ș įȚĮȓȡİıȘ İȓȞĮȚ IJȑȜİȚĮ. ȈIJȘȞ ʌİȡȓʌIJȦıȘ ĮȣIJȒ Ȝȑȝİ ȩIJȚ Ƞ į įȚĮȚȡİȓ IJȩ ǻ Ȓ ȩIJȚ Ƞ į İȓȞĮȚ ʌĮȡȐȖȠȞIJĮȢ IJȠȣ ǻ. ȅȝȠȓȦȢ, ĮȞ ȑȤȠȣȝİ įȪȠ ʌȠȜȣȫȞȣȝĮ ǻ(x) (įȚĮȚȡİIJȑȠȢ ) țĮȚ į(x) (įȚĮȚȡȑIJȘȢ) ȝİ į(x) 0 țĮȚ țȐȞȠȣȝİ IJȘȞ įȚĮȓȡİıȘ ǻ(x):į(x), IJȩIJİ ȕȡȓıțȠȣȝİ ȑȞĮ ȝȠȞĮįȚțȩ ȗİȪȖȠȢ ʌȠȜȣȦȞȪȝȦȞ ʌ(x) ( ʌȘȜȓțȠ ) țĮȚ ȣ(x) (ȣʌȩȜȠȚʌȠ), ȖȚĮ IJĮ ȠʌȠȓĮ ȚıȤȪİȚ: ǻ(x) = į(x) ʌ (x) + ȣ (x) (TĮȣIJȩIJȘIJĮ IJȘȢ ǼȣțȜİȓįİȚĮȢ įȚĮȓȡİıȘȢ), ȩʌȠȣ IJȠ ȣ(x) Ȓ İȓȞĮȚ ȓıȠ ȝİ ȝȘįȑȞ Ȓ ȑȤİȚ ȕĮșȝȩ ȝȚțȡȩIJİȡȠ Įʌȩ IJȠ ȕĮșȝȩ IJȠȣ į(x).

69


ȀİijȐȜĮȚȠ 1

ȈIJȠ ʌĮȡĮțȐIJȦ ʌĮȡȐįİȚȖȝĮ ʌİȡȚȖȡȐijİIJĮȚ Ș įȚĮįȚțĮıȓĮ IJȘȢ įȚĮȓȡİıȘȢ įȪȠ ʌȠȜȣȦȞȪȝȦȞ. DzıIJȦ įȓȞȠȞIJĮȚ IJĮ ʌȠȜȣȫȞȣȝĮ ǻ(x) = 6x5 + 3x2 - 13x4 + 4x3 + 2x-1 țĮȚ į(x) = -2x2 + 3x3 -x șĮ țȐȞȠȣȝİ IJȘȞ įȚĮȓȡİıȘ ǻ(x) : į(x) •

īȡȐijȠȣȝİ IJĮ ʌȠȜȣȫȞȣȝĮ IJȠȣ įȚĮȚȡİIJȑȠȣ țĮȚ IJȠȣ įȚĮȚȡȑIJȘ țĮIJȐ IJȚȢ ijșȓȞȠȣıİȢ įȣȞȐȝİȚȢ IJȘȢ ȝİIJĮȕȜȘIJȒȢ x țĮȚ țȐȞȠȣȝİ IJȠ ıȤȒȝĮ IJȘȢ įȚĮȓȡİıȘȢ: 6x5 - 13x4 + 4x3 - 3x2 + 2x -1

3x3 - 2x2 -x

• ǻȚĮȚȡȠȪȝİ IJȠȞ ʌȡȫIJȠ ȩȡȠ 6x5 IJȠȣ įȚĮȚȡİIJȑȠȣ ȝİ IJȠȞ ʌȡȫIJȠ ȩȡȠ 3x3 IJȠȣ 5 įȚĮȚȡȑIJȘ ( 6 x = 2x2). TȠ ĮʌȠIJȑȜİıȝĮ 2x2 İȓȞĮȚ Ƞ ʌȡȫIJȠȢ ȩȡȠȢ IJȠȣ 3 ʌȘȜȓțȠȣ. 3 x 6x5 - 13x4 + 4x3 - 3x2 + 2x - 1

3x3 - 2x2 - x 2x2

ȆȠȜȜĮʌȜĮıȚȐȗȠȣȝİ IJȠȞ 2x2 ȝİ IJȠȞ įȚĮȚȡȑIJȘ (3x3 - 2x2 - x) țĮȚ IJȠ ȖȚȞȩȝİȞȠ 2x2 ( 3x3 - 2x2 -x) = 6x5 - 4x4 - 2x3 IJȠ ĮijĮȚȡȠȪȝİ Įʌȩ IJȠȞ įȚĮȚȡİIJȑȠ. ĬȑIJȠȣȝİ țȐIJȦ Įʌȩ IJȠȞ įȚĮȚȡİIJȑȠ IJȠ ȖȚȞȩȝİȞȠ ʌȠȣ ȕȡȒțĮȝİ ȝİ ĮȞIJȓșİIJĮ ʌȡȩıȘȝĮ IJȦȞ ȩȡȦȞ IJȠȣ ȑIJıȚ, ȫıIJİ ȠȚ ȠȝȠȚȩȕĮșȝİȢ įȣȞȐȝİȚȢ ȞĮ İȓȞĮȚ Ș ȝȓĮ țȐIJȦ Įʌȩ IJȘȞ ȐȜȜȘ, țȐȞȠȣȝİ IJȘȞ ʌȡȩıșİıȘ. 6x5 - 13x4 + 4x3 - 3x2 + 2x -1

3x3 - 2x2 - x

-6 x5 + 4x4 + 2x3

2x2

-9x4 + 6x3 -3x2 + 2x - 1 To ʌȠȜȣȫȞȣȝȠ ȣ1 = -9x4 + 6x3 - 3x2 + 2x-1 ȜȑȖİIJĮȚ ʌȡȫIJȠ ȝİȡȚțȩ ȣʌȩȜȠȚʌȠ •

ȈIJȘ ıȣȞȑȤİȚĮ įȚĮȚȡȠȪȝİ IJȠȞ ʌȡȫIJȠ ȩȡȠ -9x4 IJȠȣ ȣʌȠȜȠȓʌȠȣ ȣ1 ȝİ IJȠȞ − 9 x4 = -3x). ʌȡȫIJȠ 3x3 IJȠȣ įȚĮȚȡȑIJȘ ( 3 x3 ȉȠ ĮʌȠIJȑȜİıȝĮ -3x İȓȞĮȚ Ƞ įİȪIJİȡȠȢ ȩȡȠȢ IJȠȣ ʌȘȜȓțȠȣ. 6x5 - 13x4 + 4x3 - 3x2 + 2x -1 -6x5 + 4x4 + 2x3

70

-9x4 + 6x3 - 3x2 + 2x - 1

3x3 - 2x2 - x 2x2 - 3x


ȆȠȜȜĮʌȜĮıȚȐȗȠȣȝİ IJȠ -3x, ʌȠȣ İȓȞĮȚ Ƞ įİȪIJİȡȠȢ ȩȡȠȢ IJȠȣ ʌȘȜȓțȠȣ, ȝİ IJȠȞ įȚĮȚȡȑIJȘ 3x3 - 2x2 - x țĮȚ IJȠ ȖȚȞȩȝİȞȠ -3x(3x3 - 2x2 - x) = -9x4 + 6x3 + 3x2 IJȠ ĮijĮȚȡȠȪȝİ Įʌȩ IJȠ ȣʌȩȜȠȚʌȠ ȣ1. 6x5 - 13x4 + 4x3 - 3x2 + 2x - 1

3x3 - 2x2 - x

-6x5+4x4+2x3

2x2 - 3x

ȀİijȐȜĮȚȠ 1

-9x4 + 6x3 - 3x2 + 2x - 1 9x4 - 6x3 -3x2 2x - 1 ȉȠ ʌȠȜȣȫȞȣȝȠ ȣ2 = 2x -1 ȜȑȖİIJĮȚ įİȪIJİȡȠ ȝİȡȚțȩ ȣʌȩȜȠȚʌȠ. Ǿ įȚĮȓȡİıȘ įİȞ ıȣȞİȤȓȗİIJĮȚ ȩIJĮȞ țĮIJĮȜȒȟȠȣȝİ ıİ ȣʌȩȜȠȚʌȠ ʌȠȣ ȞĮ İȓȞĮȚ ȓıȠ ȝİ ȝȘįȑȞ (IJȑȜİȚĮ įȚĮȓȡİıȘ) Ȓ ȞĮ ȑȤİȚ ȕĮșȝȩ ȝȚțȡȩIJİȡȠ Įʌȩ IJȠȞ ȕĮșȝȩ IJȠȣ įȚĮȚȡȑIJȘ (ĮIJİȜȒȢ įȚĮȓȡİıȘ). ȅʌȩIJİ Ș įȚĮȓȡİıȘ įİȞ ȝʌȠȡİȓ ȞĮ ıȣȞİȤȚıșİȓ. DzIJıȚ Ș IJĮȣIJȩIJȘIJĮ IJȘȢ ǼȣțȜİȓįİȚĮȢ įȚĮȓȡİıȘȢ İȓȞĮȚ: 6x5 - 13x4 + 4x3 - 3x2 + 2x -1 = (3x3 - 2x2 -x)(2x2 - 3x) + 2x - 1. (ǻȚĮȚȡİIJȑȠȢ) = (įȚĮȚȡȑIJȘȢ) · (ʌȘȜȓțȠ) + (ȣʌȩȜȠȚʌȠ) ȈIJȘȞ İȣțȜİȓįİȚĮ įȚĮȓȡİıȘ ȩIJĮȞ IJȠ ȣʌȩȜȠȚʌȠ İȓȞĮȚ ȝȘįȑȞ IJȩIJİ: (ǻȚĮȚȡİIJȑȠȢ) = (įȚĮȚȡȑIJȘȢ) · (ʌȘȜȓțȠ) țĮȚ IJĮ ʌȠȜȣȫȞȣȝĮ į(x) țĮȚ ʌ(x) ȜȑȖȠȞIJĮȚ ʌĮȡȐȖȠȞIJİȢ Ȓ įȚĮȚȡȑIJİȢ IJȠȣ ʌȠȜȣȦȞȪȝȠȣ ǻ(x). īİȞȚțȐ: DzȞĮ ʌȠȜȣȫȞȣȝȠ į İȓȞĮȚ įȚĮȚȡȑIJȘȢ Ȓ ʌĮȡȐȖȠȞIJĮȢ İȞȩȢ ʌȠȜȣȦȞȪȝȠȣ ǻ, ĮȞ Ș įȚĮȓȡİıȘ ǻ : į İȓȞĮȚ IJȑȜİȚĮ, įȘȜĮįȒ ĮȞ ȣʌȐȡȤİȚ ʌȠȜȣȫȞȣȝȠ ʌ, IJȑIJȠȚȠ ȫıIJİ ȞĮ ȚıȤȪİȚ ǻ = į· ʌ.

71


ȁȊȂǼȃǼȈ ǹȈȀǾȈǼǿȈ

ȀİijȐȜĮȚȠ 1

1

Į) ȃĮ ȖȓȞİȚ Ș įȚĮȓȡİıȘ (x4 - 3x3 - 3x2 + 7x + 6) : (x2 - 2x -3) ȕ) ȃĮ ȖȓȞİȚ ȖȚȞȩȝİȞȠ Ș ʌĮȡȐıIJĮıȘ x4 - 3x3 - 3x2 + 7x + 6 Ȗ) ȃĮ ȜȪıİIJİ IJȘȞ İȟȓıȦıȘ x4 - 3x3 - 3x2 + 7x + 6 ȁȪıȘ Į)

x4 - 3x3 - 3x2 + 7x + 6 -x4 + 2x3 + 3x2 -x3 x3

x2 - 2x - 3 x2 - x -2

+7x + 6 - 2x -3x 2

- 2x2 + 4x + 6 2x2 -4x -6 0 ȕ) ǹʌȩ IJȠ Į) İȡȫIJȘȝĮ ĮȞ ȖȡȐȥȠȣȝİ IJȘȞ EȣțȜİȓįİȚĮ įȚĮȓȡİıȘ ȑȤȠȣȝİ: (x4 - 3x3 - 3x2 + 7x - 6) = (x2 - 2x - 3)( x2 - x - 2) (1) H ʌĮȡȐıIJĮıȘ (x2 - 2x -3) ĮȞĮȜȪİIJĮȚ ȦȢ İȟȒȢ: ĬĮ ȕȡȠȪȝİ įȪȠ ĮȡȚșȝȠȪȢ ȠȚ ȠʌȠȓȠȚ ȑȤȠȣȞ: ȐșȡȠȚıȝĮ -2 țĮȚ ȖȚȞȩȝİȞȠ -3 ȅȚ ĮȡȚșȝȠȓ ĮȣIJȠȓ İȓȞĮȚ: ȠȚ -3 țĮȚ 1. ȅʌȩIJİ x2 - 2x -3 = (x + 1)(x - 3). OȝȠȓȦȢ Ș ʌĮȡȐıIJĮıȘ (x2 - x -2) ĮȞĮȜȪİIJĮȚ ȦȢ İȟȒȢ: ĬĮ ȕȡȠȪȝİ įȪȠ ĮȡȚșȝȠȪȢ ȠȚ ȠʌȠȓȠȚ ȑȤȠȣȞ: ȐșȡȠȚıȝĮ -1 țĮȚ ȖȚȞȩȝİȞȠ -2. ȅȚ ĮȡȚșȝȠȓ ĮȣIJȠȓ İȓȞĮȚ: ȠȚ -2 țĮȚ 1. ȅʌȩIJİ x2 - x - 2 = (x + 1)(x - 2) DZȡĮ Ș (1) ȝĮȢ įȓȞİȚ (x4 - 3x3 - 3x2 + 7x - 6) = (x + 1)(x - 3)(x + 1)(x - 2) (2). Ȗ) x4 - 3x3 - 3x2 + 7x - 6 = 0. īȚĮ ȞĮ ȜȪıȠȣȝİ ȝȓĮ İȟȓıȦıȘ ȕĮșȝȠȪ ȝİȖĮȜȪIJİȡȠȣ IJȠȣ ʌȡȫIJȠȣ ʌȡȑʌİȚ ȞĮ ȖȓȞİȚ ȖȚȞȩȝİȞȠ. ȅʌȩIJİ Įʌȩ (2) ȑȤȠȣȝİ. x4 - 3x3 - 3x2 + 7x - 6 = 0 Ȓ (x + 1)(x - 3)(x + 1)(x - 2) = 0 x - 1 = 0 Ȓ x - 3 = 0 Ȓ x + 1 = 0 Ȓ x - 2 = 0 ȐȡĮ x = 1 Ȓ x = 3 Ȓ x = -1 Ȓ x = 2.

72


2

ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȠ ʌȠȜȣȫȞȣȝȠ ȇ(x) IJȠ ȠʌȠȓȠ ȩIJĮȞ įȚĮȚȡİșİȓ ȝİ IJȠ x2 - 2x įȓȞİȚ ʌȘȜȓțȠ 4x + 1 țĮȚ ȣʌȩȜȠȚʌȠ ȣ(x) = 8x - 5.

ȀİijȐȜĮȚȠ 1

ȁȪıȘ ȈȪȝijȦȞĮ ȝİ IJȘ ǼȣțȜİȓįİȚĮ įȚĮȓȡİıȘ șĮ ȑȤȠȣȝİ: ȇ(x) = (x2 - 2x)(4x + 1) + 8x - 5 = 4x3 + x2 - 8x - 2x + 8x - 5 = 4x3 + x2- 2x + 5 3

ǹȞ ȇ(x) = x2 + 2x - 1, ȞĮ ȖȓȞİȚ Ș įȚĮȓȡİıȘ [ȇ(x) - 2ȇ(x + 1) + 3ȇ(x - 2) + 24] : (x + 2) ȁȪıȘ ȇ(x + 1) = (x + 1)2 + 2(x + 1) -1 = x2 + 2x + 1 + 2x + 2 - 1 = x2 + 4x + 2. ȇ(x - 2) = (x - 2)2 + 2(x - 2) -1 = x2 - 4x + 4 + 2x - 4 - 1 = x2 - 2x - 1. DZȡĮ Ƞ įȚĮȚȡİIJȑȠȢ İȓȞĮȚ: ȇ(x) - 2ȇ(x + 1) + 3ȇ(x - 2) + 24 = x2 + 2x + 1 -2(x2 + 4x + 2) +3(x2 - 2x-1) + 24 = x2 + 2x - 1 - 2x2 - 8x - 4 + 3x2 - 6x - 3 + 24 = 2x2 - 12x + 16 DZȡĮ ȑȤȠȣȝİ: 2x2 - 12x + 16 -2x2 - 4x -16x + 16 16x + 32 48

x+2 2x - 16

EȇȍȉHȈǼǿȈ ȀǹȉǹȃOǾȈǾȈ A.

ȃĮ ȤĮȡĮțIJȘȡȓıİIJİ ȝİ ıȦıIJȩ (Ȉ) Ȓ (ȁ) 1.

ǹȞ Ƞ įȚĮȚȡİIJȑȠȢ İȓȞĮȚ 3Ƞȣ ȕĮșȝȠȪ țĮȚ Ƞ įȚĮȚȡȑIJȘȢ 2Ƞȣ IJȩIJİ IJȠ ȣʌȩȜȠȚʌȠ șĮ İȓȞĮȚ ıȓȖȠȣȡĮ 1Ƞȣ ȕĮșȝȠȪ.

2.

ǹȞ IJȠ ʌȠȜȣȫȞȣȝȠ ȇ(x) ȑȤİȚ ʌĮȡȐȖȠȞIJĮ IJȠ x2-9 IJȩIJİ: ȇ(-3) = ȇ(3) = 0.

3.

ǹȞ IJȠ x + 3 įİȞ İȓȞĮȚ ʌĮȡȐȖȠȞIJĮȢ IJȠȣ ȇ(x) IJȩIJİ ȇ(-3)  0.

4.

ȉȠ ȣʌȩȜȠȚʌȠ ȝȚȐȢ įȚĮȓȡİıȘȢ ȑȤİȚ ʌȐȞIJĮ ȕĮșȝȩ.

5.

Ȉİ ȝȓĮ EȣțȜİȓįİȚĮ įȚĮȓȡİıȘ Ƞ ȕĮșȝȩȢ IJȠȣ ʌȘȜȓțȠȣ įİȞ ȝʌȠȡİȓ ȞĮ İȓȞĮȚ ȝİȖĮȜȪIJİȡȠȢ Įʌȩ IJȠȞ ȕĮșȝȩ IJȠȣ įȚĮȚȡȑIJȘ.

73


6.

ȀİijȐȜĮȚȠ 1

Ǻ.

Ȉİ ȝȓĮ EȣțȜİȓįİȚĮ įȚĮȓȡİıȘ Ș įȚĮijȠȡȐ IJȦȞ ȕĮșȝȫȞ IJȠȣ įȚĮȚȡİIJȑȠȣ țĮȚ IJȠȣ įȚĮȚȡȑIJȘ ȝĮȢ įȓȞİȚ IJȠ ȕĮșȝȩ IJȠȣ ȣʌȠȜȠȓʌȠȣ. ȃĮ İʌȚȜȑȟİIJİ IJȘ ıȦıIJȒ ĮʌȐȞIJȘıȘ:

1.

DzıIJȦ IJȠ ʌȠȜȣȫȞȣȝȠ ȇ(x) = (x-3)(x3 + 2x - 1) + 7. To ȣʌȩȜȠȚʌȠ IJȘȢ įȚĮȓȡİıȘȢ IJȠȣ ȇ(x) ȝİ IJȠ x-3 İȓȞĮȚ: Į. 0 ȕ. -1 Ȗ. 3 į. 7 İ. -7

2.

ȉȠ ȣʌȩȜȠȚʌȠ IJȘȢ įȚĮȓȡİıȘȢ (3x3 - 2x + 5) : (x - 1 ) İȓȞĮȚ: Į. 6 ȕ. 7 Ȗ. -3 į. 5

3.

ȉȠ ʌȘȜȓțȠ IJȘȢ įȚĮȓȡİıȘȢ (x3 - 5x2 + 4x - 3) : (x - 2) İȓȞĮȚ: Į. 1Ƞȣ ȕĮșȝȠȪ ȕ. 2Ƞȣ ȕĮșȝȠȪ Ȗ. 3Ƞȣ ȕĮșȝȠȪ.

4.

ȉȠ ʌȠȜȣȫȞȣȝȠ ȇ(x) ĮȞ įȚĮȚȡİșİȓ ȝİ IJȠ (x3 - 5x + 2) įȓȞİȚ ȣʌȩȜȠȚʌȠ 3. ȉȠ ȇ(2) İȓȞĮȚ ȓıȠ ȝİ: Į. 3 ȕ. 0 Ȗ. -3 į. 10

5.

AȞ IJȠ ʌȠȜȣȫȞȣȝȠ ȇ(x) IJȠ įȚĮȚȡȑıȠȣȝİ ȝİ ȑȞĮ ıIJĮșİȡȩ ȝȘ ȝȘįİȞȚțȩ ʌȠȜȣȫȞȣȝȠ IJȩIJİ IJȠ ȣʌȩȜȠȚʌȠ İȓȞĮȚ: Į. ȝȘįİȞȚțȠȪ ȕĮșȝȠȪ ȕ. ıIJĮșİȡȩ ʌȠȜȣȫȞȣȝȠ Ȗ. ȑȤİȚ ȕĮșȝȩ IJȠ ȕĮșȝȩ IJȠȣ ȇ(x) į. İȓȞĮȚ ʌȡȫIJȠȣ ȕĮșȝȠȪ.

ǹȈȀǾȈǼǿȈ īǿǹ ȁȊȈǾ 1

ȃĮ țȐȞİIJİ IJȚȢ įȚĮȚȡȑıİȚȢ țĮȚ ȞĮ ȖȡȐȥİIJİ IJȘȞ IJĮȣIJȩIJȘIJĮ IJȘȢ ǼȣțȜİȓįİȚĮȢ įȚĮȓȡİıȘȢ ıİ țȐșİ ʌİȡȓʌIJȦıȘ Į) (x3 - 5x2 + 7x - 2 ) : (x - 2 ), ȕ) (5x2 + 16x + 3) : (x + 2), Ȗ) [(x2 - 1)(x + 1) -5 ] : (x-3), į) (2x4 + 4x3 - 5x + 2) : (x2 - 1) İ) x6 : (x - 2)2

2

74

DzıIJȦ IJȠ ʌȠȜȣȫȞȣȝȠ ȇ(x) = (x3 - 4x) · (3x2 - 3) - 4x + 5. i) ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȠ ʌȘȜȓțȠ țĮȚ IJȠ ȣʌȩȜȠȚʌȠ IJȦȞ įȚĮȚȡȑıİȦȞ Į) ȇ(x) : (x3 - 4x) ȕ) ȇ(x) : (3x2 - 3) ii) NĮ Ȝȣșİȓ Ș İȟȓıȦıȘ ȇ(x) = 5 - 4x.


ȀİijȐȜĮȚȠ 1

3

Į) ȃĮ țȐȞİIJİ IJȘȞ įȚĮȓȡİıȘ (x5 + 1) : (x + 1) țĮȚ ȤȡȘıȚȝȠʌȠȚȫȞIJĮȢ IJȘȞ IJĮȣIJȩIJȘIJĮ IJȘȢ EȣțȜİȓįİȚĮȢ įȚĮȓȡİıȘȢ ȞĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ Ƞ ĮȡȚșȝȩȢ 105+1 İȓȞĮȚ ʌȠȜȜĮʌȜȐıȚȠ IJȠȣ 11. ȕ) ȃĮ țȐȞİIJİ IJȘȞ įȚĮȓȡİıȘ (x5 - 1) : (x - 1) țĮȚ ȤȡȘıȚȝȠʌȠȚȫȞIJĮȢ IJȘȞ IJĮȣIJȩIJȘIJĮ IJȘȢ EȣțȜİȓįİȚĮȢ įȚĮȓȡİıȘȢ ȞĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ Ƞ ĮȡȚșȝȩȢ 205 - 1 İȓȞĮȚ ʌȠȜȜĮʌȜȐıȚȠ IJȠȣ 19.

4

Į) NĮ țȐȞİIJİ IJȘ įȚĮȓȡİıȘ (2x3 - 7x2 + 11x - 4 ): ( x2 - 3x + 4). ȕ) ȃĮ ʌĮȡĮȖȠȞIJȠʌȠȚȒıİIJİ : 2x3 - 7x2 + 11x - 4.

5

Į) ȃĮ țȐȞİIJİ IJȘ įȚĮȓȡİıȘ (2x3 - 7x2 + 6) : (2x - 1) ȕ) ȃĮ ȖȡȐȥİIJİ IJȘȞ EȣțȜİȓįİȚĮ įȚĮȓȡİıȘ. Ȗ) ȃĮ ʌĮȡĮȖȠȞIJȠʌȠȒıİIJİ IJȘȞ ʌĮȡȐıIJĮıȘ 2x3-7x2+ 3 2

6

DzıIJȦ IJȠ ʌȠȜȣȫȞȣȝȠ ȇ(x) IJȠ ȠʌȠȓȠ ȩIJĮȞ įȚĮȚȡİșİȓ ȝİ IJȠ (x2 - 3x - 2) įȓȞİȚ ʌȘȜȓțȠ IJȠ x2 - 2x țĮȚ ȣʌȩȜȠȚʌȠ 3x + 2. ȃĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİIJİ IJȠ ȇ(-2).

7

ǹȞ IJȠ ȣʌȩȜȠȚʌȠ IJȘȢ įȚĮȓȡİıȘȢ İȞȩȢ ʌȠȜȣȦȞȪȝȠȣ ȇ(x) ȝİ IJȠ 3x3 - 2x -1 İȓȞĮȚ 3x - 1 ȞĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİIJİ IJȠ ȇ(1).

8

ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȠȣȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ Į, ȕ ȫıIJİ IJȠ ʌȠȜȣȫȞȣȝȠ ȇ(x) = x3 + Įx2 + ȕx + 1 ȞĮ įȚĮȚȡİȓIJĮȚ ĮțȡȚȕȫȢ ȝİ IJȠ ʌȠȜȣȫȞȣȝȠ x2 + 1.

9

ǻȓȞİIJĮȚ IJȠ ʌȠȜȣȫȞȣȝȠ Q(x)= (Į2 + ȕ)x3 + (ȕ2 + Į)x2 + (Į + ȕ)x-2. AȞ Ș IJȚȝȒ IJȠȣ ʌȠȜȣȦȞȪȝȠȣ Q(x) ȖȚĮ x = 1 İȓȞĮȚ ȓıȘ ȝİ -4 IJȩIJİ: Į) ȃĮ ȕȡİșȠȪȞ ȠȚ IJȚȝȑȢ IJȦȞ Į țĮȚ ȕ. ȕ) ȃĮ ȕȡİșİȓ Ƞ ȕĮșȝȩȢ IJȠȣ ʌȠȜȣȦȞȪȝȠȣ Q(x). Ȗ) ȃĮ ȕȡİșİȓ IJȠ ʌȠȜȣȫȞȣȝȠ ȇ(x) = Q(Q(x)).

75


ȀİijȐȜĮȚȠ 1

1.8

E.K.Ȇ. țĮȚ Ȃ.Ȁ.ǻ. ĮțİȡĮȓȦȞ ĮȜȖİȕȡȚțȫȞ ʌĮȡĮıIJȐıİȦȞ ǹȞ įȪȠ Ȓ ʌİȡȚııȩIJİȡİȢ ĮȜȖİȕȡȚțȑȢ ʌĮȡĮıIJȐıİȚȢ ȑȤȠȣȞ ĮȞĮȜȣșİȓ ıİ ȖȚȞȩȝİȞȠ ʌȡȫIJȦȞ ʌĮȡĮȖȩȞIJȦȞ IJȩIJİ: • ǼȜȐȤȚıIJȠ ȀȠȚȞȩ ȆȠȜȜĮʌȜȐıȚȩ IJȠȣȢ ȠȞȠȝȐȗİIJĮȚ, IJȠ ȖȚȞȩȝİȞȠ IJȦȞ țȠȚȞȫȞ țĮȚ ȝȘ țȠȚȞȫȞ ʌĮȡĮȖȩȞIJȦȞ IJȠȣȢ ȝİ İțșȑIJȘ țĮșİȞȩȢ IJȠ ȝİȖĮȜȪIJİȡȠ Įʌȩ IJȠȣȢ İțșȑIJİȢ IJȠȣ. • ȂȑȖȚıIJȠȢ ȀȠȚȞȩȢ ǻȚĮȚȡȑIJȘȢ IJȠȣȢ ȠȞȠȝȐȗİIJĮȚ, IJȠ ȖȚȞȩȝİȞȠ IJȦȞ țȠȚȞȫȞ ʌĮȡĮȖȩȞIJȦȞ IJȠȣȢ ȝİ İțșȑIJȘ țĮșİȞȩȢ IJȠ ȝȚțȡȩIJİȡȠ Įʌȩ IJȠȣȢ İțșȑIJİȢ IJȠȣ. ǵIJĮȞ ȑȤȠȣȝİ ĮțȑȡĮȚİȢ ĮȜȖİȕȡȚțȑȢ ʌĮȡĮıIJȐıİȚȢ ȝİ șİIJȚțȠȪȢ ĮțȑȡĮȚȠȣȢ ıȣȞIJİȜİıIJȑȢ IJȩIJİ: ȍȢ ĮȡȚșȝȘIJȚțȩ ʌĮȡȐȖȠȞIJĮ IJȠȣ Ǽ.Ȁ.Ȇ., șĮ șİȦȡȠȪȝİ IJȠ Ǽ.Ȁ.Ȇ. IJȦȞ ʌĮȡĮȖȩȞIJȦȞ IJȦȞ ʌĮȡĮıIJȐıİȦȞ țĮȚ ȦȢ ĮȡȚșȝȘIJȚțȩ ʌĮȡȐȖȠȞIJĮ IJȠȣ Ȃ.Ȁ.ǻ. șĮ șİȦȡȠȪȝİ IJȠ Ȃ.Ȁ.ǻ. IJȦȞ ĮȡȚșȝȘIJȚțȫȞ ʌĮȡĮȖȩȞIJȦȞ IJȦȞ ʌĮȡĮıIJȐıİȦȞ. ȆĮȡĮįİȓȖȝĮIJĮ ȃĮ ȕȡİșİȓ IJȠ Ǽ.Ȁ.Ȇ. țĮȚ Ƞ Ȃ.Ȁ.ǻ. Į) ȉȦȞ ȝȠȞȦȞȪȝȦȞ 12x3ȥȦ, 20x4ȥ2Ȧ3, 16x2ȥ3Ȧ2 ȕ) ȉȦȞ ʌȠȜȣȦȞȪȝȦȞ: A = 6x2 - 6x, B = 4x2 - 8x + 4, ī = 3x2 - 3 ȁȪıȘ Į)

ȅȚ ıȣȞIJİȜİıIJȑȢ 12, 20, 16 ȑȤȠȣȞ Ǽ.Ȁ.Ȇ. = 240 țĮȚ Ȃ.Ȁ.ǻ. = 4, ȐȡĮ IJĮ ȝȠȞȫȞȣȝĮ ȑȤȠȣȞ Ǽ.Ȁ.Ȇ. = 240 x4ȥ3Ȧ3 țĮȚ Ȃ.Ȁ.ǻ. = 4 x2ȥȦ

ȕ)

1) ǹȞĮȜȪȠȣȝİ IJĮ ʌȠȜȣȫȞȣȝĮ ıİ ȖȚȞȩȝİȞȠ ʌȡȫIJȦȞ ʌĮȡĮȖȩȞIJȦȞ. ǹ = 6x2 - 6x = 6x(x -1) B = 4x2 - 8x + 4 = 4(x2 - 2x + 1) = 4 (x - 1)2 ī = 3x2 - 3 = 3(x2 - 1) = 3 (x - 1)(x + 1) 2) YʌȠȜȠȖȓȗȠȣȝİ IJȠ Ǽ.Ȁ.Ȇ. țĮȚ IJȠ Ȃ.Ȁ.ǻ. IJȦȞ ĮȡȚșȝȘIJȚțȫȞ ʌĮȡĮȖȩȞIJȦȞ. ȅȚ ĮȡȚșȝȘIJȚțȠȓ ʌĮȡȐȖȠȞIJİȢ İȓȞĮȚ: 6, 4, 3 țĮȚ ȑȤȠȣȞ: E.K.Ȇ. = 12 țĮȚ Ȃ.Ȁ.ǻ. = 1

76

3) ǺȡȓıțȠȣȝİ IJȠ Ǽ.Ȁ.Ȇ. țĮȚ IJȠ Ȃ. Ȁ.ǻ. IJȦȞ ʌȠȜȣȦȞȪȝȦȞ. ȉĮ ʌȠȜȣȫȞȣȝĮ ǹ, Ǻ, ī ȑȤȠȣȞ Ǽ.Ȁ.Ȇ.= 12x(x-1)2(x+1) țĮȚ Ȃ.Ȁ.ǻ. = 1·(x-1)


ȀİijȐȜĮȚȠ 1

ǼȇȍȉHȈǼǿȈ ȀǹȉǹȃOǾȈǾȈ 1

ȃĮ ıȣȝʌȜȘȡȫıİIJİ IJȠȞ ʌĮȡĮțȐIJȦ ʌȓȞĮțĮ ĮȞIJȚıIJȠȚȤȓȗȠȞIJĮȢ ıİ țȐșİ ȗİȪȖȠȢ ʌĮȡĮıIJȐıİȦȞ IJȘȢ ıIJȒȜȘȢ ǹ, IJȠ Ǽ.Ȁ.Ȇ. IJȠȣȢ Įʌȩ IJȘ ıIJȒȜȘ Ǻ.

Į) ȕ) Ȗ)

2

ȈIJȒȜȘ ǹ x(x + 1), 2x3(x + 1)2 x4(x - 1), x3(x2 - 1) x(x + 1)3, x4(x + 1)

ȈIJȒȜȘ Ǻ 1. 2. 3. 4.

x (x + 1) 2x3(x + 1)2 x4(x - 1)(x + 1) x4(x - 1) 4

3

ȃĮ ıȣȝʌȜȘȡȫıİIJİ IJȠȞ ʌĮȡĮțȐIJȦ ʌȓȞĮțĮ ȖȡȐijȠȞIJĮȢ ıİ țȐșİ țİȞȩ IJȠ Ǽ.Ȁ.Ȇ. IJȦȞ ʌĮȡĮıIJȐıİȦȞ ǹ țĮȚ Ǻ.

B

A

2x

3x(x-2)

9(x-1)2

18x x2 - 4 3x2 (x2 - 1)

3

ȃĮ ıȣȝʌȜȘȡȫıİIJİ IJȠȞ ʌĮȡĮțȐIJȦ ʌȓȞĮțĮ ĮȞIJȚıIJȠȚȤȓȗȠȞIJĮȢ ıİ țȐșİ ȗİȪȖȠȢ ʌĮȡĮıIJȐıİȦȞ IJȘȢ ıIJȒȜȘȢ ǹ, IJȠ Ȃ.Ȁ.ǻ. IJȠȣȢ Įʌȩ IJȘ ıIJȒȜȘ Ǻ.

Į) ȕ) Ȗ) į) 4

ȈIJȒȜȘ ǹ 3x(x - 1), 6x2(x - 1)3 2x(x2 - 1), 4(x - 1)3 (x2 - 4), 3x(x - 2)2 15x5, 3x(x - 1)3

ȈIJȒȜȘ Ǻ 1. 2. 3. 4.

x-2 3x(x - 1) 3x 2(x - 1)

ȃĮ ıȣȝʌȜȘȡȫıİIJİ IJȠȞ ʌĮȡĮțȐIJȦ ʌȓȞĮțĮ ȖȡȐijȠȞIJĮȢ ıİ țȐșİ țİȞȩ IJȠ Ȃ.Ȁ.ǻ. IJȦȞ ʌĮȡĮıIJȐıİȦȞ ǹ, Ǻ. ǹ Ǻ 9x(x2 - 1) 6x(x - 1)3 x4(x - 1)5

3x(x-1)3

4x2

x5

77


ȀİijȐȜĮȚȠ 1

ǹȈȀǾȈǼǿȈ īǿǹ ȁȊȈǾ 1

ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȠ Ǽ.Ȁ.Ȇ. țĮȚ IJȠ Ȃ.Ȁ.ǻ. IJȦȞ ʌĮȡĮıIJȐıİȦȞ: Į) 2x2ȥ3Ȧ2, 4x3ȥ2Ȧ , 6xȥ2Ȧ3 ȕ) 6(xȥ)2xȥ, (2x)2xȥ3, 8xȥ3 Ȗ) 4Į2ȕȖ, 8Į4ȕ, 12ȕȖ3

2

ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȠ Ǽ.Ȁ.Ȇ. țĮȚ IJȠ Ȃ.Ȁ.ǻ. IJȦȞ ʌĮȡĮıIJȐıİȦȞ: Į) 6(x2 - ȥ2), 3(x - ȥ), x3 - ȥ3 ȕ) x4 - 4x2 + 9(4 - x2), x3 + 4x2 + 4x - 3(x + 2)2 Ȗ) x2 + x, x2 - 1, x3 - x

3

ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȠ Ǽ.Ȁ.Ȇ. țĮȚ IJȠ Ȃ.Ȁ.ǻ. IJȦȞ ʌĮȡĮıIJȐıİȦȞ: Į) x2 - 3x + 2, x2 - 4x + 3, x2 - 5x + 6 ȕ) x2 - 4x + 4, x2 + x - 6 , x2 - 4 Ȗ) (x - 1)(x - 1), (x + 1)(x - 1)2, (x + 1)2(x - 1)

4

ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȠ Ǽ.Ȁ.Ȇ. țĮȚ IJȠ Ȃ.Ȁ.ǻ. IJȦȞ ʌĮȡĮıIJȐıİȦȞ: Į) Į2 - 2Į, Į2 - 4Į + 4, Į3 - 4Į ȕ) Į3 - 8, Į2 - 4, Į2 - 5Į + 6

1.9

ȇȘIJȑȢ ĮȜȖİȕȡȚțȑȢ ʌĮȡĮıIJȐıİȚȢ ȂȓĮ ĮȜȖİȕȡȚțȒ ʌȠȣ İȓȞĮȚ țȜȐıȝĮ țĮȚ ȠȚ ȩȡȠȚ IJȠȣ İȓȞĮȚ ʌȠȜȣȫȞȣȝĮ, ȜȑȖİIJĮȚ ȡȘIJȒ ĮȜȖİȕȡȚțȒ ʌĮȡȐıIJĮıȘ Ȓ ĮʌȜȫȢ ȡȘIJȒ ʌĮȡȐıIJĮıȘ. īȚĮ ȞĮ ȑȤİȚ ȞȩȘȝĮ (ȞĮ ȠȡȓȗİIJĮȚ) ȝȚĮ ĮȜȖİȕȡȚțȒ ʌĮȡȐıIJĮıȘ, ʌȡȑʌİȚ Ƞ ʌĮȡȠȞȠȝĮıIJȒȢ ȞĮ İȓȞĮȚ įȚȐijȠȡȠȢ IJȠȣ ȝȘįİȞȩȢ, įȘȜĮįȒ ȠȚ ȝİIJĮȕȜȘIJȑȢ șĮ ʌȡȑʌİȚ ȞĮ ʌĮȓȡȞȠȣȞ IJȑIJȠȚİȢ IJȚȝȑȢ, ȫıIJİ ȞĮ ȝȘ ȝȘįİȞȓȗȠȣȞ IJȠȞ ʌĮȡȠȞȠȝĮıIJȒ. īȚĮ ȞĮ ĮʌȜȠʌȠȚȒıȠȣȝİ ȝȚĮ ȡȘIJȒ ʌĮȡȐıIJĮıȘ șĮ ʌȡȑʌİȚ Ƞ ĮȡȚșȝȘIJȒȢ țĮȚ Ƞ ʌĮȡȠȞȠȝĮıIJȒȢ ȞĮ İȓȞĮȚ ȖȚȞȩȝİȞĮ țĮȚ ȞĮ ȑȤȠȣȞ țȠȚȞȩ ʌĮȡȐȖȠȞIJĮ. ǹȞ ıİ ȝȚĮ ȡȘIJȒ ʌĮȡȐıIJĮıȘ Ƞ ĮȡȚșȝȘIJȒȢ Ȓ Ƞ ʌĮȡȠȞȠȝĮıIJȒȢ įİȞ İȓȞĮȚ ȖȚȞȩȝİȞȠ, IJȩIJİ ȖȚĮ ȞĮ ĮʌȜȠʌȠȚȒıȠȣȝİ

78

• •

ȆĮȡĮȖȠȞIJȠʌȠȚȠȪȝİ țĮȚ IJȠȣȢ įȪȠ ȩȡȠȣȢ IJȘȢ țĮȚ, įȚĮȖȡȐijȠȣȝİ IJȠȣȢ țȠȚȞȠȪȢ ʌĮȡȐȖȠȞIJİȢ IJȦȞ ȩȡȦȞ IJȘȢ.


ȀİijȐȜĮȚȠ 1

ȆĮȡĮįİȓȖȝĮIJĮ ȃĮ ĮʌȜȠʌȠȚȘșȠȪȞ ȠȚ ʌĮȡĮțȐIJȦ ʌĮȡĮıIJȐıİȚȢ: x2 − 4 x + 3 3x − 3 α) β) x3 − 1 4 x2 − 4 ȁȪıȘ Į) ȆĮȡĮȖȠȞIJȠʌȠȚȠȪȝİ țĮȚ IJȠȣȢ įȪȠ ȩȡȠȣȢ IJȘȢ ʌĮȡȐıIJĮıȘȢ țĮȚ ȑȤȠȣȝİ: 3( x − 1) 3( x − 1) 3 3x − 3 = = = 2 2 4 x − 4 4( x − 1) 4( x − 1) (x + 1) 4( x + 1)

ȕ) ȆĮȡĮȖȠȞIJȠʌȠȚȠȪȝİ țĮȚ IJȠȣȢ įȪȠ ȩȡȠȣȢ IJȘȢ ʌĮȡȐıIJĮıȘȢ. ȅ ĮȡȚșȝȘIJȒȢ İȓȞĮȚ IJȡȚȫȞȣȝȠ 2Ƞȣ ȕĮșȝȠȪ, șĮ ȕȡȠȪȝİ įȪȠ ĮȡȚșȝȠȪȢ ʌȠȣ ȝĮȢ įȓȞȠȣȞ ȐșȡȠȚıȝĮ -4 țĮȚ ȖȚȞȩȝİȞȠ 3. ȅȚ ĮȡȚșȝȠȓ ĮȣIJȠȓ İȓȞĮȚ: ȠȚ -3 țĮȚ -1. ȅ ʌĮȡȠȞȠȝĮıIJȒȢ șĮ ĮȞĮȜȣșİȓ ıȪȝijȦȞĮ ȝİ IJȘȞ IJĮȣIJȩIJȘIJĮ: Į3 - ȕ3 = (Į - ȕ)(Į2 + Įȕ + ȕ2) țĮȚ ȑȤȠȣȝİ: x2 − 4 x + 3 x−3 ( x − 1) (x − 3) = = 2 3 2 x −1 ( x − 1) (x + x + 1) x + x + 1

ǹȈȀǾȈǼǿȈ īǿǹ ȁȊȈǾ 1

ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȚȢ IJȚȝȑȢ IJȦȞ ȝİIJĮȕȜȘIJȫȞ ȖȚĮ IJȚȢ ȠʌȠȓİȢ ȠȡȓȗȠȞIJĮȚ ȠȚ ʌĮȡĮıIJȐıİȚȢ: α)

x 3 7x −1 4x − 2 3x − 1 x −1 β) γ) 2 δ) 2 ε) 2 στ) 2 x−2 x +1 x −x x −1 x +1 x −1

2

ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȚȢ IJȚȝȑȢ IJȦȞ ȝİIJĮȕȜȘIJȫȞ ȖȚĮ IJȚȢ ȠʌȠȓİȢ įİȞ ȠȡȓȗȠȞIJĮȚ ȠȚ ʌĮȡĮıIJȐıİȚȢ: 3x 2x −1 2x 3x − 5 x2 − x α) β) + γ) 3 δ) 2 ψ −1 x +1 x −1 x −x x −4

3

ȃĮ ĮʌȜȠʌȠȚȒıİIJİ IJȚȢ ʌĮȡĮıIJȐıİȚȢ: α 2 + β 2 − 2αβ x2 − 1 3 xψ 2 3x2 − 3x 2x α) β) 3 γ) δ) ε) 3 2 2 2 2 xψ α −β x −1 x −1 3x

79


ȀİijȐȜĮȚȠ 1

4

ȃĮ ĮʌȜȠʌȠȚȒıİIJİ IJȚȢ ʌĮȡĮıIJȐıİȚȢ: x 2 + 3 xω α 2 −25 x2 − 6 x + 9 6x α) 2 β) 2 γ) δ) 2α + 1 0 x − 9ψ 2 2 x3 − 6 x 2 3x − x

5

ȃĮ ĮʌȜȠʌȠȚȒıİIJİ IJȚȢ ʌĮȡĮıIJȐıİȚȢ: α)

ε)

6

x2 − 5x + 6 x2 − 4 x x3 + x 2 α 2 − aβ β) δ) γ) x2 − 4 x2 − 8x + 1 6 x2 − x α 2 − 2 αβ + β 2 α x + β x + α ψ + βψ α 4 − 2 7α στ) 2 (α + β ) (x + ψ ) α − 3α

ȃĮ ĮʌȜȠʌȠȚȒıİIJİ IJȚȢ ʌĮȡĮıIJȐıİȚȢ: Α=

x2 − 6 x + 8x x2 − 5x + 6 x2 − 4 x + 4 ÷ · x −1 x2 − 4 x + 3 x2 − 4 x

x4 − 1 1 1 1 Β = (1+ + 2 + 3 ): 4 x x x − x3 x

Γ=

7

xψ 2 −ψ 3 x 2ψ 2 −ψ 4 : x 2 − xψ + ψ x3 + ψ 3

ȃĮ ĮʌȜȠʌȠȚȒıİIJİ IJȚȢ ʌĮȡĮıIJȐıİȚȢ: α3 −β 3 α 2 −β2 Α= 3 α + α 2 β + αβ α 2 β + αβ 2

80

2

2

α4 − β 4 (α + β ) 2 ,Β = α 2 +β2 α 2 −β2


1.10 ȆȡȐȟİȚȢ ȡȘIJȫȞ ʌĮȡĮıIJȐıİȦȞ

ȀİijȐȜĮȚȠ 1

ȆȠȜȜĮʌȜĮıȚĮıȝȩȢ - ǻȚĮȓȡİıȘ ʌĮȡĮıIJȐıİȦȞ ȆȠȜȜĮʌȜĮıȚĮıȝȩȢ īȚĮ ȞĮ ʌȠȜȜĮʌȜĮıȚȐıȠȣȝİ ȑȞĮȞ ĮțȑȡĮȚȠ ĮȡȚșȝȩ ȝİ ȑȞĮ țȜȐıȝĮ Ȓ ȖȚĮ ȞĮ ʌȠȜȜĮʌȜĮıȚȐıȠȣȝİ įȪȠ țȜȐıȝĮIJĮ, ȤȡȘıȚȝȠʌȠȚȠȪȝİ IJȠȣȢ İȟȒȢ țĮȞȩȞİȢ: β α γ α ·β α ·γ = και Į) α · țĮȚ ȕ) · = γ β ·δ γ β δ Ȃİ IJȠȞ ȓįȚȠ IJȡȩʌȠ ʌȠȜȜĮʌȜĮıȚȐȗȠȣȝİ țĮȚ ȝȚĮ ĮțȑȡĮȚĮ ȝİ ȝȚĮ ȡȘIJȒ ʌĮȡȐıIJĮıȘ Ȓ įȪȠ ȡȘIJȑȢ ʌĮȡĮıIJȐıİȚȢ. ǻȚĮȓȡİıȘ īȚĮ ȞĮ įȚĮȚȡȑıȠȣȝİ įȪȠ țȜȐıȝĮIJĮ ȤȡȘıȚȝȠʌȠȚȠȪȝİ IJȠȞ ʌĮȡĮțȐIJȦ țĮȞȩȞĮ: α δ α ·δ α γ : = · = β ·γ β δ β γ

ȈȪȞșİIJĮ țȜȐıȝĮIJĮ α α γ β ȉȠ ıȪȞșİIJȠ țȜȐıȝĮ , ȦȢ ȖȞȦıIJȩȞ, İțijȡȐȗİȚ IJȠ ʌȘȜȓțȠ : ʌȠȣ İȓȞĮȚ γ β δ α γ ȓıȠ ȝİ · · δ β δ α α ·δ β . ȉȠȞ ȓįȚȠ țĮȞȩȞĮ ȤȡȘıȚȝȠʌȠȚȠȪȝİ țĮȚ țĮȚ İʌȠȝȑȞȦȢ ȚıȤȪİȚ = γ β ·γ ıIJȚȢ ȡȘIJȑȢ ʌĮȡĮıIJȐıİȚȢ. δ

ȆĮȡĮįİȓȖȝĮIJĮ 1.

ȃĮ ȕȡİșȠȪȞ IJĮ ȖȚȞȩȝİȞĮ x2 − 2 x x2 − 4 2x Į) (4x2-4) · · β) x 4x + 8 3x + 3 ȁȪıȘ 2 Į) (4x -4) ·

=

( 4 x 2 − 4) · 2 x 4( x 2 − 1) · 2 x 4( x − 1) (x + 1) · 2 x 2x = = = = 3x + 3 3x + 3 3( x + 1) 3( x + 1)

4( x − 1) · 2 x 3

81


ȀİijȐȜĮȚȠ 1 2 2 2 2 2 ȕ) x − 2 x · x − 4 = ( x − 2 x) · ( x − 4) = x( x − 2) · ( x − 2) (x + 2) = ( x − 2) 4x + 8 (4 x + 8) · x 4( x + 2) · x 4 x

2.

ȃĮ ȖȓȞȠȣȞ ȠȚ ʌȡȐȟİȚȢ: x2 − 4 x2 − 4 x + 4 α) : x x2 − x

α −1 2 β) α − 3α 1 3 α − 9α

ȁȪıȘ x2 − 4 x2 − 4 x + 4 x2 − 4 x2 − x ( x 2 − 4) · ( x 2 − x) : = = = · x x x2 − x x2 − 4 x + 4 x · ( x 2 − 4 x + 4)

α)

=

( x − 2) · ( x + 2) · x( x − 1) ( x + 2) (x − 1) = 2 x−2 x( x − 2)

α −1 2 (α − 1) (α 3 − 9α) (α − 1)α(α 2 − 9) (α − 1)α(α − 3) (α + 3) β) α − 3α = = =(α-1)(α+3) = 1 α(α − 3) α(α − 3) α 2 − 3α α 3 − 9α

ǹȈȀǾȈǼǿȈ īǿǹ ȁȊȈǾ 1

ȃĮ țȐȞİIJİ IJȚȢ ʌȡȐȟİȚȢ: α)

2

ȃĮ țȐȞİIJİ IJȚȢ įȚĮȚȡȑıİȚȢ: 10 x 2 − 5 x x2 − 1 6 x + 4 , 25 x , x + 2 2x + 6 x + 2 , : 2 α) : β) γ) :( ) · 2 8 32 x −1 x −1 x + 3 1 - 4 x + 4 x 8x − 2 δ)

3

82

(α + 2) 2 α 2 + 2α , 5 − x x 2 + 10 x + 2 5, α + β 3α + 3β · β) : 2 : γ) 2 2 2 x+5 αx − αψ α x − α ψ x −25 α − αβ α − β

x2 − 9 x+3 x3 − 1 x 2 − 2 x + 1 , ε) : : x3 − 8 x 2 + 2 x + 4 ( x − 2) 2 x2 − 4

ȃĮ țȐȞİIJİ IJȚȢ ʌȡȐȟİȚȢ: α2 α2 α) α 2α

+β2 −β2 +β + 2β

β) [

x3 + 1 x2 − 2 x+2 x−3 x −1 1 γ) [ 2 + ]: + ]: 3 2 2 2 ( x − 1) x − 1 ( x − 1) x − 4 x− 2 x −8


īİȞȚțȑȢ ĮıțȒıİȚȢ IJȠȣ 1Ƞȣ țİijĮȜĮȓȠȣ 1

ȀİijȐȜĮȚȠ 1

ȃĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİIJİ IJȘȞ IJȚȝȒ IJȘȢ ʌĮȡȐıIJĮıȘȢ: 6 − 10 x + 2(4 x − ψ − 3) 1 Α= 2007− 2( x + ) − 2 ψ 3( x − z) + 3(ψ + z) 3 ĮȞ İȓȞĮȚ x + ȥ = 2007

2

ǹȞ ȖȚĮ IJȠȞ ĮȡȚșȝȩ x ȚıȤȪİȚ Ș ȚıȩIJȘIJĮ x2 + x + 1 = 0 NĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ: Į) x  0 ȕ) x3 = 1 Ȗ) x2005 + x2006 + x2007 = 0

3

AȞ ǹ = x(x - 4) țĮȚ Ǻ = (x - 6)(x + 2) ȞĮ įİȓȟİIJİ ȩIJȚ: Į) Ǻ =ǹ - 12 ȕ) ȅ ĮȡȚșȝȩȢ ǹ · Ǻ + 36 İȓȞĮȚ IJȑȜİȚȠ IJİIJȡȐȖȦȞȠ. Ȗ) ȃĮ ʌĮȡĮȖȠȞIJȠʌȠȚȒıİIJİ IJȘȞ ʌĮȡȐıIJĮıȘ x(x - 6)(x - 4)(x + 2) + 36

4

ȃĮ ȜȪıİIJİ IJȚȢ İȟȚıȫıİȚȢ: Į) (x2 - 1)2008 + (2 - 2x)2006 + (x2 - x)2 = 0 ȕ) (x3 + 3x2 + 3x)(x3 + 3x2 + 3x + 2) + 1 = 0

5

Ǿ ȣʌȠIJİȓȞȠȣıĮ İȞȩȢ ȠȡșȠȖȦȞȓȠȣ IJȡȚȖȫȞȠȣ ȚıȠȪIJĮȚ ȝİ 10 cm țĮȚ İȓȞĮȚ 14 cm ȝȚțȡȩIJİȡȘ Įʌȩ IJȘȞ ʌİȡȓȝİIJȡȠ IJȠȣ IJȡȚȖȫȞȠȣ. ȃĮ ȕȡİșİȓ IJȠ İȝȕĮįȩȞ IJȠȣ IJȡȚȖȫȞȠȣ.

6

ȃĮ ȕȡİȓIJİ ȩȜȠȣȢ IJȠȣȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ x țĮȚ ȥ ȖȚĮ IJȠȣȢ ȠʌȠȓȠȣȢ ȚıȤȪİȚ: 2 2 4 2 2006x +ȥ -2x-2ȥ+2 + 2007(x-1) +(ȥ-1) = 2

7

ǻȓȞİIJĮȚ IJȠ ʌȠȜȣȫȞȣȝȠ ȇ(x) = 2x - 1. Į) ȃĮ Ȝȣșİȓ Ș İȟȓıȦıȘ ȇ(0) + ȇ(-1) + ȇ(1) + ȇ(-x) = x ȕ) ȃĮ ȣʌȠȜȠȖȚıșİȓ Ƞ Ȝ, ĮȞ İȓȞĮȚ ȖȞȦıIJȩ ȩIJȚ İȓȞĮȚ: λ λ 1 λΡ( ) - 2Ρ( ) = 32 2 2

83


ȀİijȐȜĮȚȠ 1

λ λ 1 1 (x+ ) και β = (x- ), įİȓȟIJİ ȩIJȚ: Į2 - ȕ2 = Ȝ2. x x 2 2

8

ǹȞ α =

9

DzıIJȦ ȑȞĮ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ IJȡȓȖȦȞȠ ȝİ țȐșİIJİȢ ʌȜİȣȡȑȢ Į, ȕ țĮȚ ȣʌȠIJİȓȞȠȣıĮ 10. ȀĮIJĮıțİȣȐȗȠȣȝİ ıIJȠ İȟȦIJİȡȚțȩ IJȠȣ IJȡȚȖȫȞȠȣ IJȡȓĮ IJİIJȡȐȖȦȞĮ ȝİ ʌȜİȣȡȑȢ IJȚȢ ʌȜİȣȡȑȢ IJȠȣ ȠȡșȠȖȦȞȓȠȣ IJȡȚȖȫȞȠȣ. ǹȞ IJȠ ıȣȞȠȜȚțȩ İȝȕĮįȩȞ İȓȞĮȚ 224cm2, ȞĮ ȕȡİȓIJİ: Į) ȉȠ İȝȕĮįȩȞ IJȠȣ ȠȡșȠȖȦȞȓȠȣ IJȡȚȖȫȞȠȣ. ȕ) ȉȚȢ ʌȜİȣȡȑȢ Į, ȕ IJȠȣ IJȡȚȖȫȞȠȣ.

10

AȞ Į - ȕ = 1 įİȓȟIJİ ȩIJȚ: (Į + ȕ)(Į2 + ȕ2)(Į4 + ȕ4)(Į8 + ȕ8)= Į16 - ȕ16

11

ǹȞ x  0 țĮȚ x+ 1 = 1 ȞĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ: x Į) x2 - x + 1 = 0 ȕ) x3 = -1 Ȗ) x2001 + x - 2004 = 0.

12

NĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ: Į) Ȟ2 - (Ȟ + 1)(Ȟ - 1) = 1 ȕ) NĮ įİȓȟİIJİ ȩIJȚ 6,786952 - 7,78695 · 5,78695 = 1

13

ǹȞ α + β = -

3 5 ȞĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİIJİ: και α · β = 98 14

Į) Į2 + ȕ2 ȕ) (2Į - 1)2 + (1 - 2ȕ)2 + 28(Į + ȕ) 14

84

ȃĮ ȖȡĮijİȓ Ƞ ĮȡȚșȝȩȢ ǹ = 20072 + 4015 ȦȢ IJȑȜİȚȠ IJİIJȡȐȖȦȞȠ.


10 ȀȡȚIJȒȡȚȠ ǹȟȚȠȜȩȖȘıȘȢ

ȀİijȐȜĮȚȠ 1

ĬȑȝĮ 1 Į) ȉȚ ȜȑȖİIJĮȚ IJİIJȡĮȖȦȞȚțȒ ȡȓȗĮ İȞȩȢ șİIJȚțȠȪ ĮȡȚșȝȠȪ Į; ȕ) ȉȚ Ȝȑȝİ ȝȠȞȫȞȣȝȠ țĮȚ IJȚ ʌȠȜȣȫȞȣȝȠ; Ȗ) ǹȞ Ș ĮțȝȒ İȞȩȢ țȪȕȠȣ İȓȞĮȚ x + 2 ȞĮ įİȓȟİIJİ ȩIJȚ IJȠ ʌȠȜȣȫȞȣȝȠ ȇ(x) = x3 + 6x2 + 12x + 8 İțijȡȐȗİȚ IJȠȞ ȩȖțȠ IJȠȣ. į) ǹȞ İȓȞĮȚ (Į + ȕ)2 = Į2 + ȕ2 ȞĮ įİȓȟİIJİ ȩIJȚ ȑȞĮȢ IJȠȣȜȐȤȚıIJȠȞ Įʌȩ IJȠȣȢ Į, ȕ İȓȞĮȚ ȝȘįȑȞ ĬȑȝĮ 2 Į) ȉȠ İȝȕĮįȩȞ İȞȩȢ ȠȡșȠȖȦȞȓȠȣ ʌĮȡĮȜȜȘȜȠȖȡȐȝȠȣ İȓȞĮȚ 2x2 + 7x + 3. ǹȞ IJȠ ȝȒțȠȢ IJȠȣ İȓȞĮȚ 2x + 1 ȞĮ ʌȡȠıįȚȠȡȓıİIJİ IJȠ ʌȜȐIJȠȢ ȦȢ ıȣȞȐȡIJȘıȘ IJȠȣ x. ȕ) ǹȞ Į - ȕ = 2 țĮȚ Į2 + ȕ2 = 20 ȞĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİIJİ: i) Į · ȕ ii) Į3 - ȕ3 Ȗ) ȃĮ ʌĮȡĮȖȠȞIJȠʌȠȚȒıİIJİ: i) x3(Į - ȕ) + 27(ȕ - Į) ii) (3x - 2ȥ + 3)2 + 6x - 4ȥ + 7 į) ǹȞ ȖȚĮ țȐșİ x İȓȞĮȚ 3x2 + 5x + 3 = A + B(x - 1) + ī(x - 1)2 ȞĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİIJİ IJȠȣȢ ǹ, Ǻ, ī. ĬȑȝĮ 3 ȃĮ țȐȞİIJİ IJȚȢ ʌȡȐȟİȚȢ 5 2 α + 3 3α − 2 α) - 2 2 α − 2 3α + 3 6 α − 6 ȕ) AȞ α - β = ( 3 − 2) ( 3 + 2 ) ȞĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİIJİ IJȘȞ IJȚȝȒ IJȘȢ ʌĮȡȐıIJĮıȘȢ: A = (Į + ȕ)2 - 4Įȕ + (Į - ȕ)2007 γ Ȗ) ǹȞ α + 2β + țĮȚ ĮȕȖ = 10 ȞĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİIJİ IJȘȞ IJȚȝȒ IJȘȢ 2 ʌĮȡȐıIJĮıȘȢ: γ Α = α 2(α+ )2· (α + 2β) 2 2 ĬȑȝĮ 4 Į) ǹȞ ȝİIJĮȟȪ IJȦȞ ʌȜİȣȡȫȞ Į, ȕ, Ȗ IJȡȚȖȫȞȠȣ ǹǺī ȚıȤȪİȚ β − γ = 0 α +γ α + β ȞĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ IJȠ IJȡȓȖȦȞȠ İȓȞĮȚ ȚıȠıțİȜȑȢ. ȕ) ȃĮ ĮʌȜȠʌȠȚȒıİIJİ IJĮ țȜĮıȝĮIJĮ i)

3 + 6 + 9 + . . .+ 300 , 2 + 4 + 6 + . . .+ 200

ii)

3x + 6 x + 9 x + . . .300x 2 x + 4 x + . . .+ 200x

85


20 ȀȡȚIJȒȡȚȠ ǹȟȚȠȜȩȖȘıȘȢ

ȀİijȐȜĮȚȠ 1

ĬȑȝĮ 1 Į) TȚ Ȝȑȝİ ĮȞĮȖȦȖȒ ȠȝȠȓȦȞ ȩȡȦȞ țĮȚ ȝİ ʌȠȚĮ ȚįȚȩIJȘIJĮ ȖȓȞİIJĮȚ; ȕ) ȃĮ ȖȡȐȥİIJİ ʌȑȞIJİ Įʌȩ IJȚȢ IJĮȣIJȩIJȘIJİȢ ʌȠȣ ȟȑȡİIJİ țĮȚ ȞĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ IJȚȢ IJȡİȓȢ. Ȗ) ȃĮ ıȣȝʌȜȘȡȫıİIJİ IJȚȢ ȚıȩIJȘIJİȢ i) ( x - …)2 = … - …+ 4 ii) ( …-…)2 = …+ 25 - 10Į į) ǹȞ ȇ(x) = x2 - 3x + 1 ȞĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİIJİ Ρ( 2 − 1 ) ĬȑȝĮ 2 Į) ȃĮ ĮʌȠįİȚȤșİȓ ȩIJȚ Ș IJİIJȡĮȖȦȞȚțȒ ȡȓȗĮ IJȠȣ 14 + 6 5 İȓȞĮȚ Ƞ ĮȡȚșȝȩȢ 3+ 5 ȕ) ȃĮ ʌĮȡĮȖȠȞIJȠʌȠȚȒıİIJİ IJȚȢ ʌĮȡĮıIJȐıİȚȢ: ǹ = x4 - x2, B = x3 + 2x2 - x - 2 țĮȚ ǹ - Ǻ Ȗ) ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ: i) O ĮȡȚșȝȩȢ ț2 + 7ț İȓȞĮȚ ȐȡIJȚȠȢ, ȩʌȠȣ ț İȓȞĮȚ ĮțȑȡĮȚȠȢ. ii) ȅ ĮȡȚșȝȩȢ : ț2 - Ȝ2 + 1 İȓȞĮȚ ʌİȡȚIJIJȩȢ, ȩʌȠȣ ț, Ȝ ʌİȡȚIJIJȠȓ ĮțȑȡĮȚȠȚ. ĬȑȝĮ 3 ĬİȦȡȠȪȝİ IJȠ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ ʌĮȡĮȜȜȘȜȩȖȡĮȝȝȠ IJȠȣ ıȤȒȝĮIJȠȢ . 3-x 3+x Į) ȃĮ ȖȡȐȥİIJİ ȑȞĮ ʌȠȜȣȫȞȣȝȠ ȇ(x) IJȠ ȠʌȠȓȠ ȞĮ İțijȡȐȗİȚ IJȠ İȝȕĮįȩȞ IJȠȣ. 3+x ȕ) ȆȠȚİȢ IJȚȝȑȢ ȝʌȠȡİȓ ȞĮ ʌȐȡİȚ IJȠ x. Ȗ) ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ ȖȚĮ țȐșİ ʌȡĮȖȝĮIJȚțȩ ĮȡȚșȝȩ x IJȠ İȝȕĮįȩȞ IJȠȣ įİȞ ȟİʌİȡȞȐ IJȠ 9. į) īȚĮ ʌȠȚĮ IJȚȝȒ IJȠȣ x IJȠ İȝȕĮįȩȞ IJȠȣ ȠȡșȠȖȦȞȓȠȣ ȖȓȞİIJĮȚ ȝȑȖȚıIJȠ;

86


ĬȑȝĮ 4

ȀİijȐȜĮȚȠ 1

DzıIJȦ IJȠ ʌȠȜȣȫȞȣȝȠ ȇ(x) IJȠ ȠʌȠȓȠ ȑȤİȚ ȕĮșȝȩ 3. ǹȞ įȚĮȚȡȑıȠȣȝİ IJȠ ȇ(x) ȝİ IJȠ x2 - x ȕȡȓıțȠȣȝİ ȣʌȩȜȠȚʌȠ 3x + 1. Į) ȃĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİIJİ IJĮ ȇ(0) țĮȚ P(1) ȕ) DzıIJȦ 2x - 3 İȓȞĮȚ IJȠ ȣʌȩȜȠȚʌȠ țĮȚ ʌ(x) IJȠ ʌȘȜȓțȠ IJȘȢ įȚĮȓȡİıȘȢ IJȠȣ ȇ(x) ȝİ IJȠ 3x2 - x - 1 ȞĮ ȕȡİȓIJİ IJȠ ȕĮșȝȩ IJȠȣ ʌȘȜȓțȠȣ.

ȁȪıİȚȢ IJȦȞ ĮıțȒıİȦȞ IJȠȣ ıȤȠȜȚțȠȪ ȕȚȕȜȓȠȣ 1.1

ȆȡȐȟİȚȢ ȝİ ʌȡĮȖȝĮIJȚțȠȪȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ.

ǹ.

ȅȚ ʌȡĮȖȝĮIJȚțȠȓ ĮȡȚșȝȠȓ țĮȚ ȠȚ ʌȡȐȟİȚȢ IJȠȣȢ. ǼȇȍȉHȈǼǿȈ ȀǹȉǹȃOǾȈǾȈ

1

ǹțȑȡĮȚȠȢ ȇȘIJȩȢ DZȡȡȘIJȠȢ

-3

6

ȋ ȋ

ȋ ȋ

ȋ

0, 3

ȋ

-0,8

3,14 ȋ ȋ

ȋ ȋ

ʌ

ȋ

ȋ ȋ

2

3

Į) (-3 · 2 - 5)x = (-6 -5)x = -11x, ȕ) –3·(2 - 5x) = -6 + 15x , Ȗ) –3·(2-5)x = = -3 (-3)x = 9x, į) -3, -2x İ) 6 + 3ȥ + 2x + xȥ ıIJ) 3x, 2

4 i) ȕ)

ii) į)

87


ȀİijȐȜĮȚȠ 1

5 Į) Ȉ

ȕ) ȁ

Ȗ) ȁ

į) Ȉ

ȆȡȠIJİȚȞȩȝİȞİȢ ĮıțȒıİȚȢ țĮȚ ʌȡȠȕȜȒȝĮIJĮ 1.

Į) 2 + 3· 4 - 12: (-4)+1 = 2 + 12 + 3 + 1 =18, ȕ) 2 + 3·(4 -12):(-4 +1) = 2 + 3· (-8):(-3) = 2 + (-24) : (-3) = 2 + 8 = 10 Ȗ) -3 · (-2) -5 +4: (-2)-6= 6 -5 -2 -6= -7 į) -8: (-3 + 5) -4 · (-2 + 6) = -8·(+2) -4 ·(+4) = -4 –16 = -20

2.

–(5 -4) - (+2) + (-6 +4)-(-7) = -(+1) – (+2) + (-2) - (-7) = -1 -2 -2 +7 = 2 4- (-2 +6 -3) + (-9 +6) = 4 +2 -6 +3 -9 +6 = 4 +2 +3 +6 -6 -9 = 0 14 + (-6 + 5 -3)- (-4 -1)·(-2) = 14+ (-4) - (-5)·(-2)= 14 + (-4) - (+10) = 14 -4 -10 = 0 (-3)· (-2) +4 -(+5) - (-1): (-1) = +6 +4- (+5) –(+1) = = +6 +4 -5 -1 = 4 DZȡĮ IJȠ ȑIJȠȢ İȓȞĮȚ IJȠ 2004 (ȑȖȚȞĮȞ ȠȚ ȠȜȣȝʌȚĮțȠȓ ĮȖȫȞİȢ)

3.

ȅǹ = 5 Ȁm, ȐȡĮ ȅǺ = 20 Ȁm țĮȚ ȅī = 25 Km țĮȚ Ǻī = 45 Ȁm DZȡĮ įȚȒȞȣıİ ȅǺ + Ǻī= 20 + 45 = 65 Km. MİIJĮțȚȞȒșȘțİ Įʌȩ IJȘȞ ĮȡȤȚțȒ IJȠȣ șȑıȘ țĮIJȐ 25 Ȁm

4.

88


5.

ȀİijȐȜĮȚȠ 1

6.

Ǿ ȝȑıȘ İȜȐȤȚıIJȘ șİȡȝȠțȡĮıȓĮ İȓȞĮȚ:

7.

Į) 12 + 5 - 20, ȕ) –8 +9 -1, Ȗ)

8.

Į) 8-(Į - ȕ) + (Į - 5 -ȕ) = 8 -Į + ȕ + Į -5 -ȕ = 8 -5 =3 ȕ) 2-(Į + ȕ -Ȗ) - (4 + Ȗ - ȕ)-( -2 -Į) = 2 - Į - ȕ + Ȗ - 4 - Ȗ + ȕ + 2 + Į = 0 Ȗ) -2(Į - 3) + Į(-7 + 9) -3(+2) = -2Į + 6 + Į(+2) – 6 = -2Į + 6 + 2Į - 6=0

9.

ǹ = 4-(x - Ȧ) - (ȥ - ij) = 4 - x + Ȧ - ȥ + ij = 4 –(x + ȥ) + Ȧ + ij = 4- (-5) +(-7) = 4 + 5 - 7 = 2 Ǻ = -(-5- x + ij) + (-8 +ȥ) - (Ȧ - 4) = 5 + x - ij - 8 + ȥ - Ȧ + 4 = 9 - 8 + x + ȥ - (Ȧ + ij) = 1+ (-5) –(-7) = 1 - 5 + 7 = 3.

į) –0,35 -6,15 +8,5

10. ǻȓȞİIJĮȚ ȩIJȚ: 2(Į + ȕ) = 56 ȐȡĮ Į + ȕ = 28 țĮȚ 2(Ȗ + į) = 32 ȐȡĮ Ȗ + į = 16. ǹ= Į- (9 - 2Ȗ) - (15 - ȕ - 2į) = Į - 9 + 2Ȗ - 15 + ȕ + 2į = Į + ȕ + 2(Ȗ + į) –9 -15 = 28 + 32 - 9- 15 = 36 11.

-7

+

2

+

5

= 0

-6

+

-3

+

9

= 0

-5

+

1

+

4

= 0

89


Ǻ. ǻȣȞȐȝİȚȢ ʌȡĮȖȝĮIJȚțȫȞ ĮȡȚșȝȫȞ.

ȀİijȐȜĮȚȠ 1

ǼȡȦIJȒıİȚȢ țĮIJĮȞȩȘıȘȢ 1. Į)

ȕ)

Ȗ)

į)

İ)

ıIJ)

ȗ)

ȁ

Ȉ

Ȉ

Ȉ

Ȉ

ȁ

ȁ

2.

3. Į

ȕ

Ȗ

į

5

6

1

4

ǿ)

ǿǿ)

ǿǿǿ)

Ȗ)

į)

ȕ)

4.

ȆȡȠIJİȚȞȩȝİȞİȢ ĮıțȒıİȚȢ țĮȚ ʌȡȠȕȜȒȝĮIJĮ 1

2.

90

-27


ȀİijȐȜĮȚȠ 1

3.

4.

5.

ǹȞ Į İȓȞĮȚ Ș ʌȜİȣȡȐ IJȠȣ IJİIJȡĮȖȫȞȠȣ IJȩIJİ Ǽ = Į2. ǹȞ IJȡȚʌȜĮıȚȐıȠȣȝİ IJȘȞ ʌȜİȣȡȐ IJȠȣ ĮȣIJȒ șĮ ȖȓȞİȚ 3 · Į țĮȚ IJȠ İȝȕĮįȩȞ IJȠȣ șĮ İȓȞĮȚ Ǽ´ = (3 · Į)2 = 9Į2, įȘȜ IJȠ İȝȕĮįȩȞ ȝİȖĮȜȫȞİȚ İȞȞȚȐ ijȠȡȑȢ. ī. ȇȓȗİȢ

ǼȇȍȉdzȈǼǿȈ ȀǹȉǹȃOǾȈǾȈ ȍ 1. 12·

91


ȀİijȐȜĮȚȠ 1

2. Į 3

ȕ 2

Ȗ 1

į 3

İ 3

ıIJ 2

3.

α

β

4 9 64

1 16 36

Άθροισμα α 2 3 8

β

α +β

1 4 6

3

5 5 10

7 14

īȚȞȩȝİȞȠ Γινόμενο α·β

ȆȘȜȓțȠ Πηλίκο α β

α · β

2

2

12

12

48

48

α + β

α β

2

2

3 4

3 4

4 3

4 3

4. Į Ȉ 5.

92

ȃĮȚ

ȕ ȁ

Ȗ Ȉ

į Ȉ

İ ȁ

ıIJ ȁ

ȗ Ȉ


ȆȡȠIJİȚȞȩȝİȞİȢ ĮıțȒıİȚȢ țĮȚ ʌȡȠȕȜȒȝĮIJĮ

ȀİijȐȜĮȚȠ 1

1.

2.

3.

93


ȀİijȐȜĮȚȠ 1

4.

ȂİȖĮȜȪIJİȡȠ İȝȕĮįȩȞ İȤİȚ IJȠ ȀȁȂȃ (İȓȞĮȚ IJİIJȡȐȖȦȞȠ ) 5.

6.

7.

94


8.

9.

ȀİijȐȜĮȚȠ 1

ȉȠ IJİIJȡȐȖȦȞȠ ǺĬǿǼ ȑȤİȚ ʌȜİȣȡȐ ǺǼ= Ǻī+ īǼ. Ǿ Ǻī İȓȞĮȚ Ș ʌȜİȣȡȐ IJİIJȡĮȖȫȞȠȣ ȝİ İȝȕĮįȩȞ 50 m2, ȐȡĮ Ș ʌȜİȣȡȐ Ǿ īǼ İȓȞĮȚ ʌȜİȣȡȐ IJİIJȡĮȖȫȞȠȣ ȝİ İȝȕĮįȩ 8 m2, ȐȡĮ Ș ʌȜİȣȡȐ īǼ șĮ İȓȞĮȚ . DZȡĮ

țĮȚ IJȠ İȝȕĮįȩȞ șĮ .

İȓȞĮȚ

10. AȞ ıIJȠ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ IJȡȓȖȦȞȠ ǹǺī İijĮȡȝȩıȠȣȝİ IJȠ ʌȣșĮȖȩȡİȚȠ șİȫȡȘȝĮ ȑȤȠȣȝİ: Ǻī2 = ǹǺ2 + ǹī2 ȒǺī2 = 32 + 62 ȒǺī2 = 9 + 36 Ȓ Ȓ . ȅȝȠȓȦȢ ıIJȠ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ ǹǻǼ : ǻǼ2 = ǹǻ2 + ǹǼ2 ȒǻǼ2 = 22 + 12 Ȓ ǻǼ2 = 5 Ȓ DZȡĮ Ǻī=3ǻǼ. 11.

Į) ȈIJȠ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ IJȡȓȖȦȞȠ İijĮȡȝȩȗȦ IJȠ ʌȣșĮȖȩȡİȚȠ șİȫȡȘȝĮ. ȆİȡȓȝİIJȡȠȢ = AB + Bī + īǹ = 2 = 4 + 4 . ȕ) ȈȦıIJȑȢ İȓȞĮȚ :

95


ȀİijȐȜĮȚȠ 1

1.2

ȂȠȞȫȞȣȝĮ - ȆȡȐȟİȚȢ ȝİ ȝȠȞȫȞȣȝĮ ǼȇȍȉHȈǼǿȈ ȀǹȉǹȃOǾȈǾȈ

1.

ȂȠȞȫȞȣȝĮ İȓȞĮȚ : Į), į), İ), ıIJ)

2.

ǵȝȠȚĮ İȓȞĮȚ :

1)IJĮ: Į), ıIJ), Ș) 2) IJĮ ȕ), į), ȗ), Ț) 3) Ȗ), İ), ș)

3. Μονώνυμο Συντελεστής 5xψ4 -xψ2 1 2 5 xψ 7 - 3 x4

5 -1 1 7 - 3

Κύριο Βαθμός μέρος ως προς x xψ4 1ου 2 xψ 1ου 2 5 xψ 2ου

Βαθμός ως προς ψ 4ου 2ου 5ου

Βαθμός ως προς x,ψ 5ου 3ου 7ου

x4

μηδενικου

4ου

4ου

4.

ǿıȠ İȓȞĮȚ IJȠ ȝȠȞȫȞȣȝȠ

. ǹȞIJȓșİIJȠ İȓȞĮȚ IJȠ ȝȠȞȫȞȣȝȠ

5.

OȡȚȗȩȞIJȚĮ : 1. AȜȖİȕȡȚțȒ ʌĮȡȐıIJĮıȘ, 2. ȈIJĮșİȡȐ, 3. ȂȘįȑȞ 4. ȈȣȞIJİȜİıIJȒȢ, 5. ǿıĮ, 6, ȂȠȞȐįĮ, 7. ȀȪȡȚȠ ȝȑȡȠȢ, 8. ȂȠȞȫȞȣȝȠ. ȀȐșİIJĮ: 1. ȂȘįİȞȚțȩ, 2. ǺĮșȝȩȢ, 3. ǹțȑȡĮȚĮ, 4. ǹȞIJȓșİIJĮ, 5. ǵȝȠȚĮ. 6. ȉȚȝȒ, 7. ȂȘįȑȞ, 8. ǹijĮȓȡİıȘ. ȆȡȠIJİȚȞȩȝİȞİȢ ĮıțȒıİȚȢ țĮȚ ʌȡȠȕȜȒȝĮIJĮ

ǹ.

1.

2. ȉȠ ȝȠȞȫȞȣȝȠ İȓȞĮȚ: 3. 4. Į) ț = 3, Ȟ = 2, ȕ) Ȝ = 4, ț = 3, Ȟ = 2, Ȗ) Ȝ = -4, ț = 3, Ȟ = 2

96


ȀİijȐȜĮȚȠ 1

5. 6. DzıIJȦ x ĮȖȫȞİȢ țȑȡįȚıİ IJȩIJİ: 2 · x + (9-x) ·1 7. ȉȠ IJİIJȡȐȖȦȞȠ ȑȤİȚ ʌȜİȣȡȐ Ǻī. ȅʌȩIJİ ȑȤİȚ İȝȕĮįȩ Ǽ = Ǻī2. ǹʌȩ IJȠ ʌȣșĮȖȩȡİȚȠ șİȫȡȘȝĮ ıIJȠ IJȡȓȖȦȞȠ ǹǺī ȑȤȠȣȝİ: Ǻī2 = ǹī2 + ǹǺ2Ȓ Ǻī2=52 + x2. DZȡĮ Ǽ = 25+ x2. īȚĮ x = 12, Ǽ = 25 + 122 Ȓ Ǽ = 169 IJİIJȡĮȖȦȞȚțȑȢ ȝȠȞȐįİȢ. Ǻ. ǼȇȍȉHȈǼǿȈ ȀǹȉǹȃOǾȈǾȈ 1. Į) Ȉ

ȕ) ȁ

į) Ȉ

İ) ȁ

2.

97


ȆȡȠIJİȚȞȩȝİȞİȢ ĮıțȒıİȚȢ țĮȚ ʌȡȠȕȜȒȝĮIJĮ

ȀİijȐȜĮȚȠ 1

1.

2.

3.

4.

5.

Į) x2 + x2 + x2 = 3x2 İȓȞĮȚ ȝȠȞȫȞȣȝȠ, ȕ) x · ȥ + x · ȥ = 2xȥ İȓȞĮȚ ȝȠȞȫȞȣȝȠ Ȗ) x2 + xȥ įİȞ İȓȞĮȚ ȝȠȞȫȞȣȝȠ, į)

98

İȓȞĮȚ ȝȠȞȫȞȣȝȠ. İ) įİȞ İȓȞĮȚ ȝȠȞȫȞȣȝȠ.


6.

ȉĮ țȓIJȡȚȞĮ IJȡȓȖȦȞĮ ȑȤȠȣȞ İȝȕĮįȩȞ: Ǽ1 = EAEǻ + ǼǼǺī =

TȠ ʌȡȐıȚȞȠ IJȡȓȖȦȞȠ ȑȤİȚ İȝȕĮįȩ DZȡĮ IJĮ İȝȕĮįȐ İȓȞĮȚ ȓıĮ.

1.3

ȀİijȐȜĮȚȠ 1

.

ȆȠȜȣȫȞȣȝĮ – ȆȡȩıșİıȘ țĮȚ ĮijĮȓȡİıȘ ʌȠȜȣȦȞȪȝȦȞ ǼȇȍȉHȈǼǿȈ ȀǹȉǹȃOǾȈǾȈ

1. 2. 3. 4. 5.

ȆȠȜȣȫȞȣȝĮ İȓȞĮȚ: IJȠ ȕ) țĮȚ IJȠ Ȗ) İȓȞĮȚ 2Ƞȣ ȕĮșȝȠȪ ȦȢ ʌȡȠȢ x IJĮ: Į) țĮȚ Ȗ) ȃĮȚ Ȗ) Į) ȉȠ ʌȠȜȣȫȞȣȝȠ ǹ(x) + B(x) İȓȞĮȚ 3Ƞȣ ȕĮșȝȠȪ. ȕ) ȂʌȠȡİȓ ȞĮ İȓȞĮȚ 1Ƞȣ ȕĮșȝȠȪ Ȓ 2Ƞȣ ȕĮșȝȠȪ Ȓ ȞĮ İȓȞĮȚ IJȠ ıIJĮșİȡȩ (ȝȘįİȞȚțȠȪ ȕĮșȝȠȪ)

ȆȡȠIJİȚȞȩȝİȞİȢ ĮıțȒıİȚȢ țĮȚ ʌȡȠȕȜȒȝĮIJĮ

1.

2.

3.

99


ȀİijȐȜĮȚȠ 1

4.

5.

6.

Α(x)-B(x)= 2x3-x2+x-4-(-3x3+5x-2)=2x3-x2+x-4+3x3-5x+2= 5x3-x2-4x-2 Α(x)+Γ(x)=2x3-x2+x-4+4x2-3x+8=2x3+3x2-2x+4 γ) Γ(x)-[A(x)+Β(x)]= 4x2-3x+8-[2x3-x2+x-4+(-3x3+5x-2)]= = 4x2-3x+8-(2x3-x2+x-4-3x3+5x-2)= 4x2-3x+8-2x3+x2-x+4+3x3-5x+2 = x3+5x2-9x+14

7.

Į) ( -7x2 - 4x + 3) + (x2 - 4x + 3) = -6x2 - 8x + 7 ȕ) (-x3 + 5x + 8) - (-2x3 + x2 - 1) = x3 - x2 + 5x + 9 2x2 + 2x - 3 9x2 - 3x + 2 4x2 + 4x - 5

8.

100

7x2 + 3x - 4 3x2 + x - 1 5x2 - x - 1

6x2 - 2x + 1 3x2 + 5x -7 6x2

ǼȓȞĮȚ ȇ(x)= (-5x2 + 4x - 3) - (x2 - 2x + 1) + (3x2 + x) = -5x2 + 4x - 3 -x2 + 2x -1 + 3x2 + x = -3x2 +7x - 4 țĮȚ Q(x) = Įx2 + ȕx + Ȗ. ȅʌȩIJİ ȖȚĮ ȞĮ İȓȞĮȚ ȓıĮ ʌȡȑʌİȚ: Į = -3, ȕ = 7 țĮȚ Ȗ = -4


9.

O ʌȠįȘȜȐIJȘȢ įȚĮȞȪİȚ IJȘȞ ĮʌȩıIJĮıȘ ǹǺ ȝİ ıIJĮșİȡȒ İʌȚIJȐȤȣȞıȘ Į = 2m/ sec2 țĮȚ IJȠ įȡȩȝȠ Ǻī ȖȚĮ 10 sec ȝİ ıIJĮșİȡȒ IJĮȤȪIJȘIJĮ. ȅ ʌȠįȘȜȐIJȘȢ ıIJȠ ıȘȝİȓȠ Ǻ șĮ ȑȤİȚ IJĮȤȪIJȘIJĮ: ȣ = 2t.

ȀİijȐȜĮȚȠ 1

DZȡĮ Ș ȗȘIJȠȪȝİȞȘ ĮʌȩıIJĮıȘ șĮ įȓȞİIJĮȚ: īȚĮ t = 5 ȑȤȠȣȝİ : 52 + 20 · 5 = 125m.

1.4

ȆȠȜȜĮʌȜĮıȚĮıȝȩȢ ʌȠȜȣȦȞȪȝȦȞ ǼȇȍȉHȈǼǿȈ ȀǹȉǹȃOǾȈǾȈ

1.

α 5

β γ 7 1

δ ε 3 6

2.

α Λ

β Σ

3.

Į) x(2x + 4) = 2x2 + 4x, ȕ) 3x2(xȥ - 2) = 3x3ȥ - 6x2 Ȗ) (x + 5)(2x + 3) = 2x2 + 3x + 10x + 15 į) (x2 + ȥ)(x - ȥ2) = x3 - x2ȥ2 + + ȥx - ȥ3

4.

i) Ȗ) ii) į)

5.

Į) į) ȆȡȠIJİȚȞȩȝİȞİȢ ĮıțȒıİȚȢ țĮȚ ʌȡȠȕȜȒȝĮIJĮ

1.

Į) -3x2ȥ(-5x + 2ȥ) = 15x3ȥ - 6x2ȥ2, ȕ) 4x(2x2 - x + 2) - 8x = 8x3 - 4x2 + 8x - 8x = 8x3 - 4x2. Ȗ) –5x(2x - 3) - 3x(2 - 3x) = -10x2 + 15x - 6x + 9x2 = -x2 + 9x, į) 2xȥ(x2 - 3ȥ2) - 4x(x2ȥ - 2ȥ3) = 2x3ȥ - 6xȥ3 - 4x3ȥ + 8xȥ3 =-2x3ȥ + 2xȥ3.

2.

Į) (2Į - 3ȕ)(-4Į + 2ȕ) = -8Į2 + 4Įȕ + 12Įȕ - 6ȕ2 = -8Į2 + 16Įȕ - 6ȕ2 ȕ) (x2 - 2x + 4)(x + 2) -8 = x3 + 2x2 - 2x2 - 4x + 4x + 8 - 8 = x3, Ȗ) 3x2(-2x + 3)(5 - x) = (-6x3 + 9x2)(5 - x) = -30x3 + 6x4 + 45x2 - 9x3 = 6x4 - 39x3 + 45x2, į) (4 - 3x)(5 - 2x) -6x(x - 4) = 20 - 8x - 15x + 6x2 -6x2 + 24x = x + 20, İ) (2x2 - 3x - 4)(-3x2 + x) = -6x4 + 2x3 + 9x3 - 3x2 + 12x2- 4x = -6x4 + 11x3 + 9x2 - 4x, ıIJ) (3x2 - 2xȥ - 5ȥ2)(4ȥ - x) = 12x2ȥ - 3x3 - 8xȥ2 + 2x2ȥ - 20ȥ3 + 5ȥ2x = -3x3 + 14x2ȥ - 3xȥ2 - 20ȥ3

3.

Į) (3x - 2)(x2 - x)(4x - 3) = (3x3 - 3x2 - 2x2 + 2x)(4x - 3)=(3x3- 5x2+ 2x) (4x - 3) = 12x4 - 9x3 - 20x3 + 15x2 + 8x2 - 6x = 12x4 - 29x3 + 23x2 - 6x, ȕ) –2x(x2 - x + 1)(x - 2) - (x - 1)(2x - 3)(x + 2) = (-2x3 + 2x2 - 2x)(x - 2) -(2x2 - 3x - 2x + 3)(x + 2) =

101


-2x4 + 4x3 + 2x3 - 4x2 - 2x2 + 4x - (2x2 -5x + 3) (x + 2) = -2x4 + 6x3 - 6x2 + 4x - (2x3 + 4x2 - 5x2 - 10x + 3x + 6) = -2x4 + 6x3 - 6x2 + 4x - 2x3 - 4x2 + 5x2 + 10x -3x -6 = -2x4 + 4x3 -5x2 + 11x-6

ȀİijȐȜĮȚȠ 1

Ȗ) (-2x + ȥ)(x2 - 3xȥ) - (3x - ȥ)(4x + ȥ)(-2x - 3ȥ) = -2x3 + 6x2ȥ + ȥx2-3xȥ2 - (12x2 + 3xȥ - 4xȥ - ȥ2)(-2x -3ȥ) = -2x3 + 7ȥx2 - 3xȥ2 - (12x2 -xȥ -ȥ2)(-2x - 3ȥ) = -2x3 + 7ȥx2 - 3xȥ2 + 24x3 + 36x2ȥ - 2x2ȥ - 3xȥ2 - 2ȥ2x -3ȥ3 = 22x3 + 41x2ȥ - 8xȥ2 - 3ȥ3 4.

Į) (x2 - 4x + 4)(x2 + 4x + 4) - x2(x2 - 8) - 16 = x4 + 4x3 + 4x2 - 4x3 -16x2 - 16x + 4x2 + 16x + 16 - x4 + 8x2 - 16 = 0 ȕ) (3Į + 8ȕ)(ȕ - Į)-(Į + 2ȕ)(ȕ - 3Į) = 3Įȕ - 3Į2 + 8ȕ2 - 8Įȕ - Įȕ + 3Į2 -2ȕ2 + 6Įȕ = 6ȕ2

5.

Į) ȇ(x) · Q(x) = (-2x2 + 5x - 3)(4x - 5) = -8x3 + 10x2 + 20x2 - 25x - 2x + 15 = -8x3 + 30x2 - 37x + 15 ȕ) ȇ(x) · [-3Q(x) + 11x - 12] = (-2x2 + 5x - 3) · [-3(4x - 4) + 11x - 5] = (-2x2 + 5x - 3) · (-12x + 12 + 11x - 5) = (-2x2 + 5x - 3)(-x + 7) = 2x3 - 14x2 - 5x2 + 35x + 3x - 21 = 2x3 - 19x2 + 38x - 21 Ȗ) [ȇ(x) -2] · [Q(x) + 3] = (-2x2 + 5x - 3 - 2)(4x - 5 + 3) = (-2x2 + 5x -5)(4x - 2) = -8x3 + 4x2 + 20x -10x -20x + 10 = -8x3 + 4x2 -10x +10

102

6.

EȓȞĮȚ ȇ(x) = 3x(-2x + 4)(x - 1) = (-6x2 + 12x)(x - 1)= -6x3 + 6x2 + 12x2-12x = -6x3 + 18x2 - 12x. Q(x) = Įx3 + ȕx2 + Ȗx + į ȐȡĮ: Į = -6, ȕ = 18, Ȗ = -12, į = 0

7.

ȉȠ İȝȕĮįȩȞ IJȠȣ ıȤȒȝĮIJȠȢ İȓȞĮȚ : x · 2x + x 2x + (ȥ + 2x)(ȥ - 2x) = 2x2 + 2x2 + ȥ2 -2xȥ + 2xȥ - 4x2 = ȥ2. DZȡĮ IJȠ IJİIJȡȐȖȦȞȠ șĮ ȑȤİȚ ʌȜİȣȡȐ ȓıȘ ȝİ ȥ.

8.

ȉȠ ȠȚțȩʌİįȠ ȑȤİȚ İȝȕĮįȩ Ǽ = x(x + 5) = x2 + 5x. TȠ ȝȒțȠȢ șĮ ȖȓȞİȚ: x + 5 - 3 = x + 2 țĮȚ IJȠ ʌȜȐIJȠȢ x -1. DZȡĮ IJȠ İȝȕĮįȩȞ İȓȞĮȚ Ǽ1 = (x + 2) (x-1) = x2 -x + 2x -2 = x2 + x - 2 DZȡĮ IJȠ İȝȕĮįȩ İȜĮIJIJȫȞİIJĮȚ țĮIJȐ: x2 + 5x - (x2 + x - 2) = x2 + 5x - x2 -x + 2 = 4x + 2 IJİIJȡ.ȝȑIJȡĮ.


1.5

ǹȟȚȠıȘȝİȓȦIJİȢ IJĮȣIJȩIJȘIJİȢ

ȀİijȐȜĮȚȠ 1

ǼȇȍȉHȈǼǿȈ ȀǹȉǹȃOǾȈǾȈ 1.

Į) İȓȞĮȚ ȕ) įİȞ İȓȞĮȚ Ȗ) İȓȞĮȚ į) İȓȞĮȚ İ) įİȞ İȓȞĮȚ

2. i) į)

ii) Ȗ)

iii) Ȗ

3. Į) ȁ

ȕ) Ȉ

Ȗ) ȁ

į) ȁ

ȕ) ȁ

Ȗ) Ȉ

į) Ȉ

4. i) Ȗ)

ii) į)

5. Į) ȁ 6. i) Ȗ)

ii) ȕ)

iii) į)

iv Ȗ)

į 2

İ 7

v į)

7. Į 4

ȕ 5

Ȗ 1

ıIJ 8

ȆȡȠIJİȚȞȩȝİȞİȢ ĮıțȒıİȚȢ țĮȚ ʌȡȠȕȜȒȝĮIJĮ 1.

Į) (x + 2)2 = x2 + 4x + 4, ȕ)(ȥ + 5)2 = ȥ2 + 10ȥ + 25, Ȗ) (2Ȧ + 1)2 = (2Ȧ)2 + 2 · 2Ȧ · 1 + 12 = 4Ȧ2 + 4Ȧ + 1, į)(ț + 2Ȝ)2 = ț2 + 2 · ț · 2Ȝ + (2Ȝ)2 = ț2 + 4țȜ + 4Ȝ2, İ) (3ȥ + 2ȕ)2 = (3ȥ)2 + 2 · 3ȥ · 2ȕ + (2ȕ)2 = 9ȥ2 + 12ȕȥ + 4ȕ2 ıIJ) (x2 + 1)2 = (x2)2 + 2x2 + 1 = x4 + 2x2 + 1. ȗ)

103


ȀİijȐȜĮȚȠ 1

2.

Į) (x-3)2 = x2 -2· 3x + 32 = x2 - 6x + 9, ȕ) (ȥ -5)2 = ȥ2 - 2 · 5ȥ + 52 = ȥ2 -10ȥ + 25 Ȗ) (3Ȧ - 1)2 = (3Ȧ)2 - 2 · 3Ȧ · 1 + 12 = 9Ȧ2 - 6Ȧ + 1, į) (2ț - Ȝ)2 = (2ț)2 -2 · 2ț · Ȝ + Ȝ2 = 4ț2 - 4țȜ + Ȝ2, İ) (3ȥ - 2ȕ)2 = (3ȥ)2-2 · 3ȥ · 2ȕ + (2ȕ)2 = 9ȥ2 - 12ȥȕ + 4ȕ2, ıIJ) (x2 - 2)2 = (x2)2 -2 · x2 · 2+ 22 = x4 - 4x2 + 4, ȗ) (ȥ2 -ȥ)2 = (ȥ2)2 -2ȥ2 ȥ + ȥ2 = ȥ4 - 2ȥ3 + ȥ2, Ș) (2x2 - 5x)2 = (2x2)2 - 2 · 2x2 · 5x + (5x)2 = 4x4 -20x3 + 25x2,

3.

104

4.

Į) (x + 3)2 = x2 + 6x + 9 ȕ) (ȥ- 4)2 = ȥ2 - 8ȥ + 16 Ȗ) (4x -Į)2 = 16x2 - 8Įx + Į2 į) (x2 - 2Ȧ)2 = x4 - 4x2Ȧ + 4Ȧ2

5.

Į) (x +1)3 = x3 + 3x2 ·1+ 3x · 12 + 13 = x3 + 3x2 + 3x + 1, ȕ) (ȥ + 4)3 =ȥ3 + 3ȥ2 · 4 +3ȥ · 42 + 43 = ȥ3 + 12ȥ2 + 48ȥ + 64, Ȗ) (2Į +1)3 = (2Į)3 + 3 · (2Į)2 · 1 + 3 · 2Į · 12 +13 = 8Į3 + 3 · 4Į2 + 6Į + 1 = 8Į3 + 12Į2 + 6Į + 1, į) (3Į + 2ȕ)3 =(3Į )3 + 3 · (3Į)2 · 2ȕ + 3 · 3Į(2ȕ)2 + (2ȕ)3 = 27Į3 +3 · 9Į2 · 2ȕ + 9Į · 4ȕ2 + 8ȕ3 = 27Į3 + 54Į2 + 36Įȕ2 + 8ȕ3, İ) (x2 + 3)3 = (x2)3 + 3 · (x2)2 · 3 + 3 · x2 · 3 + 33 = x6 + 9x4 + 9x2 + 27, ıIJ) (ȥ2 + ȥ)3 = (ȥ2)3 + 3(ȥ2)2 · ȥ + 3ȥ2ȥ2 + ȥ3 = ȥ6 + 3ȥ4ȥ + 3ȥ4 + ȥ3 = ȥ6 + 3ȥ5 + 3ȥ4 + ȥ3 ȗ) (x -2)3 = x3 -3x2 · 2 + 3x · 22 + 23 = x3 - 6x2 + 12x +8 Ș) (ȥ -5)3 = ȥ3 -3 · ȥ2 · 5 + 3ȥ · 52 - 53 = ȥ3 - 15ȥ2 + 75ȥ - 125 ș) (3Į -1)3 = (3Į)3 -3(3Į)2 + 3 · 3Į · 12 - 13 = 27Į3 -3 · 9Į2 + 9Į -1 = 27Į3 - 27Į2 + 9Į -1 i) (2x -3ȥ)3 = (2x)3 - 3(2x)23ȥ + 3 · 2x(3ȥ)2 - (3ȥ)3 = 8x3 -3 · 4x2 · 3ȥ + 6x · 9ȥ2 - 27ȥ3 = 8x3 - 36x2ȥ + 54xȥ2 - 27ȥ3 iĮ) (ȥ2 - 2)3 = (ȥ2)3 - 3(ȥ2)2 · 2 + 3ȥ2 · 22 - 23 = ȥ6 - 6ȥ4 + 12ȥ2 - 8 iȕ) (Ȧ2 - 2Ȧ)3 = (Ȧ2)3 -3(Ȧ2)2 · 2Ȧ + 3Ȧ2(2Ȧ)2 - (2Ȧ)3 = Ȧ6 - 4Ȧ5 + 3Ȧ24Ȧ2 - 8Ȧ3 = Ȧ6 - 4Ȧ5 + 12Ȧ4 - 8Ȧ3

6.

Į) (x -1)(x +1) = x2 -1, ȕ) (ȥ -2)(ȥ +2) = ȥ2 - 22 = ȥ2 - 4, Ȗ) (3 -Ȧ)(3 +Ȧ) = =32 - Ȧ2 = 9 - Ȧ2, į) (x + 4)(4 - x) = (4 + x)(4 - x) = 42 - x2 = 16 - x2 İ) (x - ȥ)(-x -ȥ) = -(x - ȥ)(x + ȥ) = -(x2 - ȥ2) ıIJ) (2x + 7ȥ)(2x - 7ȥ) = (2x)2 - (7ȥ)2 = 4x2 - 49ȥ2


ȀİijȐȜĮȚȠ 1

7.

ȇ(x) = (x - 3)2 + (3x + 1)2 - 10(x - 1)(x + 1) = x2 - 2 · 3x + 32 + (3x)2 + 2 · 3x · 1 + 12 - 10(x2 -12) = x2 - 6x + 9 + 9x2 + 6x + 1 - 10x2 + 10 = 20

8.

Į) (Į - ȕ)(Į + ȕ)(Į2 + ȕ2)(Į4 + ȕ4) = (Į2 - ȕ2)(Į2 + ȕ2)(Į4 + ȕ4) = (Į4 -ȕ4) (Į4 + ȕ4) = Į8 - ȕ8 ȕ) 9 · 11 · 101 · 10001= (10 - 1)(10 + 1)(102 + 12)(104 + 14) = 108-18 = 100000000-1

9.

10. Į) (x - 3)(x2 + 3x + 9) = x3 - 33 = x3 - 27 ȕ) (ȥ + 2)(ȥ2 - 2ȥ + 4) = ȥ3 + 23 = ȥ3 + 8 Ȗ) (2Ȧ + 1)(4Ȧ2 - 2Ȧ + 1) = (2Ȧ)3 + 13 = 8Ȧ3 + 1, į) (1 - Į)(1 + Į + Į2) = 13 - Į3 = 1 - Į3 11. Į) (x - 4)2 + (2x + 5)2 = x2 - 2 · 4 · x + 42 + (2x)2 + 2 · 2x · 5 + 52 = x2 -8x + 16 + 4x2 + 20x + 25= 5x2 + 12x + 41, ȕ) (x2 -1)2 - (x2 - 3)(x2 + 3) = x4 - 2x2 + 1- (x4 - 9) = x4 - 2x2 + 1 - x4 + 9 = -2x2 + 10 Ȗ) (x + ȥ)2 -(x - 2ȥ)(x + 2ȥ) + (2x - ȥ)2 = x2 + 2xȥ + ȥ2 - [x2-(2ȥ)2] + (2x) 2 - 2 · 2x · ȥ+ȥ2 = x2 + 2xȥ + ȥ2 -x2 + 4ȥ2 + 4x2 - 4xȥ + ȥ2 = 4x2 - 2xȥ + 5ȥ2. į) (3x - 4)2 + (3x + 4)2 -2(3x - 4)(3x + 4) = (3x)2 -2 · 3x · 4 + 42 + (3x)2 + 2 · 3x · 4 + 42 - 2[(3x)2 - 42] = 9x2 - 24x + 16 + 9x2 + 24x + 16 -2 (9x2 - 16) = 18x2 + 32 - 18x2 - 32 = 64 İ) (2Į+1)3 + (2Į -1)3 = (2Į)3+ 3·(2Į)2 ·1+ 3·2Į ·12 +13+(2Į)3 -3(2Į)2·1+3· 2Į · 12 - 13 = 8Į3 + 12Į2 + 6Į + 1 + 8Į3 - 12Į2 + 6Į - 1 = 16Į3 + 12Į ıIJ) (Į+2)3- (Į+2)(Į2-2Į+4) = Į3+3Į2 ·2+ 3·Į·22+23- (Į3+23)= Į3 + 6Į2 + 12Į + 8 – Į3 - 8 = 6Į2+12Į ȗ) (Į2+Į)3 -(Į2 - Į)3 =(Į2)3+ 3(Į2)2· Į + 3Į22 · Į2 + Į3 -[(Į2)3 -3(Į2)2 · Į+3Į2 · Į2-Į3]= Į6 +3Į5 + 3Į4 +Į3 - Į6 +3Į5 - 3Į4 +Į3 = 6Į5 +2Į3 Ș) (4Į - 1)3 -Į(8Į + 1)(8Į - 1)= (4Į)3 - 3 · (4Į)2 · 1 + 3 · 4Į · 1 + 13 - Į[(8Į)2 - 1] = 64Į3 -3 · 16Į2 + 12Į + 1 - Į(64Į2- 1)= 64Į3- 48Į2+ 12Į +1- 64Į3 + Į =-48Į2 +13Į+1

105


ȀİijȐȜĮȚȠ 1 12.

α) (x-2ψ)2-(2x-ψ)2+3x2=x2-2x⋅2ψ+(2ψ)2-[(2x)2-2⋅2x⋅ψ+ψ2] +3x2= =x2-4xψ+4ψ2-(4x2-4xψ+ψ2)+3x2=x2-4xψ+4ψ2-4x2+4xψ-ψ2+3x2=3ψ2 β) (α-3β)2+(3α+2β)(3α-2β)-(3α-β)2=α2-2⋅3αβ+(3β)2+(3α)2-(2β)2-[(3α)22⋅3αβ+β2]= α2-6αβ+9β2+9α2– 4β2-(9α2-6αβ+β2)=α2-6αβ+9β2+9α2– 4β2-9α2 +6αβ-β2= α 2+4β2 γ) (x-1)(x+1)3-2x(x-1)(x+1)=(x-1)(x3+3x2+3x+1)-2x(x2-1)= =x4+3x3+3x2+x-x3-3x2-3x-1-2x3+2x=x4-1 δ) (α2+β2)2-(2αβ)2=(α2)2+2α2β2+(β2)2-4α2β2=α4-2α2β2+β4 ε) (α-4)2+(2α-3)2=α2-2⋅α⋅4+42+ (2α)2-2⋅2α⋅3+32=α2-8α+16+4α2-12α+9= =5α2-20α+25. στ) (2x2+2x)2+(2x+1)2=(2x2)2+2⋅2x2⋅ 2x+(2x)2+(2x)2+2⋅2x⋅1+1= 4 x4+8x3+4x2+4x 2+4x+1= 4x4+8x3+8x2 +4x+1

13. α) xψ=(3+ 5 )(3- 5 ) = 32- ( 5 ) 2=9-5=4 , β) x2-ψ2 =(x-ψ)(x+ψ)= =(3+ 5 -3+ 5 )( 3+ 5 +3- 5 )=2 5 ⋅6=12 5 γ) x2+ψ2 = =(x+ψ)2-2xψ=(3+ 5 +3- 5 )2-2·4=62-8=36-8=28. δ) x3+ψ3 =(x+ψ)(x2+ψ2-xψ)=( 3+ 5 +3- 5 )(28-4)=6·24=144.

14.

5 5 5 5 5 5 α) (α+ )2-(α- )2=α2+2·α· + ( ) 2 -[ α 2-2·α· + ( ) 2 ]= α α α α α α 25 25 α2+10+ 2 - α2+10- 2 = 20. α α β) Αν βάλουμε όπου α=2005 τότε 5 2 5 2 (2005+ ) -(2005) = 20 2005 2005

15. Tο τρίγωνο είναι ορθογώνιο άρα ΒΓ2=ΑΒ2+ΓΔ2⇒ΒΓ2=(4x+1)2+(3x+2)2 ⇒ ⇒ BΓ2= (4x)2+2⋅4x+1+(3x)2+2⋅3x⋅2+22 ⇒ BΓ2=16x2+8x+1+9x2+12x+4⇒ ⇒ BΓ2 = 25x2+20x+5. Aρκεί να δείξουμε ότι : BΓ2=ΓΔ2+ΒΔ2. ΓΔ2+ΒΔ2=12+(5x+2)2=1+(5x)2+2·5x·2+22=1+25x2+20x+4=25x2+20x+5=ΒΓ2

106

16. Έστω α, β είναι οι δύο αριθμοί τότε : (α+β)2=α2+2αβ+β2, (α-β)2=α2-2αβ+β2 Πρέπει να δείξουμε ότι : (α + β ) 2 − (α − β ) 2 = 4 . Πράγματι αβ (α + β ) 2 − (α − β ) 2 α 2 + 2αβ + β 2 − (α 2 − 2αβ + β 2 ) 4αβ = = =4 αβ αβ αβ


β 2 + γ 2 − ( β − γ ) 2 β 2 + γ 2 − ( β 2 − 2 βγ + γ 2 ) β2 + γ 2 − β 2 + 2 βγ − γ 2 = = = 2 2 2 2 βγ = = βγ . 2 β 2 + γ 2 − (β − γ ) 2 1 β 2 + γ 2 − (β − γ ) 2 1 = β) Από α) = βγ . Άρα Ε= βγ = 2 2 2 2 1 10 2 − 2 2 96 = = 24 cm2 = 2 2 4

17. α)

ȀİijȐȜĮȚȠ 1

18. To ένα οικόπεδο έχει διαστάσεις: α+β, α-β, άρα έχει εμβαδόν (α+β)(α-β)=α2-β2 To άλλο οικόπεδο έχει εμβαδόν α2-β2. Άρα τα δύο οικόπεδα έχουν ίδιο εμβαδόν.

1.6

ȆĮȡĮȖȠȞIJȠʌȠȓȘıȘ ĮȜȖİȕȡȚțȫȞ ʌĮȡĮıIJȐıİȦȞ. ǼȇȍȉHȈǼǿȈ ȀǹȉǹȃOǾȈǾȈ

1. 2. 3. 4.

5. 6.

7.

8. 9.

107


ȀİijȐȜĮȚȠ 1 10.

11.

ȆȡȠIJİȚȞȩȝİȞİȢ ĮıțȒıİȚȢ țĮȚ ʌȡȠȕȜȒȝĮIJĮ 1.

2.

3.

ή ή

ή

ή ή

4.

108

ή

ή ή

ή ή

ή

ή

ή

ή

ή


ȀİijȐȜĮȚȠ 1

5.

6.

ή

ή

ή

ή

7. 8.

9.

α) 2x2-32=2(x2-16)=2(x2-42)=2(x-4)(x+4),β) 28-7ψ2 =7(4-ψ2)=7(2-ψ)(2+ψ) γ)2x3-2x=2x(x2-1)=2x(x-1)(x+1), δ) 5αx2-80α = 5α(x2-16)=5α(x-4)(x+4) ε) 2(x-1)2-8=2[(x-1)2-4]=2[(x-1)-2][(x-1)+2]=2(x-1-2)(x-1+2)=2(x-3)(x+1)

10. γ2=α2-β2⇒γ2 = (α-β)(α+β). Οπότε α) γ2=(53-28)(53+28)⇒γ2=25⋅81⇒γ=5⋅9⇒ ⇒γ=45 , β) γ2=(0,37-0,12)(0,37+0,12)⇒γ2=0,25⋅0,49⇒γ=0,5⋅0,7⇒γ=0,35, γ) γ2=(26λ-10λ)⋅(26λ+10λ)⇒γ2=16λ⋅36λ⇒γ2=16⋅36⋅λ2⇒γ=4⋅6⋅λ⇒γ=24λ. 11. α) x2-49=0 ή x2-72=0 ή (x-7)(x+7)=0 ή x-7=0 ή x+7=0 ή x=7 ή x=-7 β) 9x3-4x=0 ή x(9x2-4)=0 ή x[(3x)2-2]=0 ή x(3x-2)(3x+2)=0 ή 2 2 ή x=0 ή 3x-2=0 ή 3x+2=0 ή x=0 ή x= ή x= - . 3 3 2 2 2 2 γ) x(x+1) =4x ή x(x+1) -4x=0 ή x[(x+1) -2 ]=0 ή x(x+1-2)(x+1+2)=0 ή ή x(x-1)(x+3)=0 ή x=0 ή x-1=0 ή x+3=0 ή x=0 ή x=1 ή x= -3 δ)(x+2)3=x+2 ή (x+2)3-(x+2)=0 ή (x+2)[(x+2)2-1]=0 ή (x+2)(x+2-1)(x+2+1)=0 ή (x+2)(x+1)(x+3)=0 ή x+2=0 ή x+1=0 ή x+3=0 ή x=-2 ή x=-1 ή x=-3

109


ȀİijȐȜĮȚȠ 1 12.

α) x3-27= x3-33=(x-3)(x2+3x+32)=(x-3)(x2+3x+9) β) ψ3+8=ψ3+23=(ψ+2)(ψ2-2ψ+22)=(ψ+2)(ψ2-2ψ+4) γ) ω3+64=ω3+43=(ω+4)(ω2-4ω+4 2) =(ω+4)(ω2-4ω+16) =(2x-1)(4x2+2x+1) , δ) 8x3-1=(2x)3-13=(2x-1)[(2x)2+2x⋅1+12]= 2 ε) 27ψ3+1=(3ψ)3+13=(3ψ+1)[(3ψ)2-3ψ⋅1+12]= (3ψ+1)(9ψ -3ψ+1).

13.

α) 3 x3-24=3(x3-23)=3(x-2)(x2+2x+22)=3(x-2)(x2+2x+4) 2

β) 16α4+2α=2α(8α3+1)=2α[(2α)3+1]=2α(2α+1)⋅(4α - 2α+1) 4 4 4 4 γ) πR3- πρ3= π(R3-ρ3)= π(R-ρ)(R2+Rρ+ρ2) 3 3 3 3 4 4 3 3 δ) α β+αβ =αβ(α +β )=αβ(α+β)(α2- αβ+β2)

14.

α) (x3-27)=(x-3)(x2+3x+9) β) 8x3+ψ3 =(2x+ψ)(4x2-2xψ+ψ2) γ) α3-8β3=(α-2β)(α2+2αβ+4β2) δ) α3+125β3 =(α+5β)(α2-5αβ+25β2)

15.

α) x2-2x+1=(x-1)2, β) ψ2+4ψ+4=(ψ+2)2, γ) ω2-6ω+9=(ω-3)2, δ) α2+10α+25=(α+5)2, ε) 1-4β+4β2 =(1-2β)2, στ) 9x4+6x2+1=(3x+1)2 ζ) 4ψ2-12ψ+9 = (2ψ-3)2, η) 16x2+8xψ+ψ2 =(4x+ψ)2, θ) 25α2-10αβ+β2= ψ2 ψ = (5α-β)2, i) (α+β)2-2(α+β)+1=(α+β-1)2, iα) − 2ψ + 9 = ( − 3) 2 , 9 3 1 1 2 2 iβ) x +x+ =(x+ ) 4 2

16.

α) 3x2+24x+48=3(x2+8x+16)=3(x+4)2, β) -ψ2+4ψ-4 =-(ψ2-4ψ+4)=-(ψ-2)2 γ) 2α2-8αβ+8β2 = 2(α2-4αβ+4β2)=2(α-2β)2, δ) 4α3+12α2+9α=α(4α2+12α+9)= α(2α+3)2

17.

α) Ε=x⋅x+2x⋅ψ+ψ⋅ψ=x2+2xψ+ψ2 β) Έστω α είναι η πλευρά του τετραγώνου τότε α2=x2+2xψ+ψ2 ⇒ ⇒ α2=(x+ψ)2⇒ α=x+ψ.

18.

1 1 1 1 ΑΓ·ΔΕ+ ΑΒ·ΑΓ = ΑΓ(ΔΕ+ΑΒ)= (x+1)(x+x+2)= 2 2 2 2 1 1 2 = (x+1)(2x+2)= ·2(x+1)(x+1)=(x+1) . Aν α είναι η πλευρά του 2 2 τετραγώνου τότε α2=(x+1)2· α = x+1.

Ε= Ε ΑΓΔ+ ΕΑΒΓ =

110


19. α) x2+3x+2=(x+1)(x+2), β) ψ2-4ψ+3=(ψ-1)(ψ-3), γ) (ω2+5ω+6)=(ω+2)(ω+3) δ)α2+6α+5 =(α+5)(α+1) ε) x2-7x+12=(x-3)(x-4) στ) ψ2-ψ-12=(ψ+3)(ψ-4) ζ) ω2-9ω+18=(ω-6)(ω-3) η) α2+3α-10 =(α+5)(α-2)

ȀİijȐȜĮȚȠ 1

2 2 20. α) x +(2+ 3 )x+2 3 =(x+2)(x+ 3 ) β) x +(2α+3β)x+6αβ=(x+2α)(x+3β) γ) x2+(3- 2 )x-3 2 =(x+3)(x- 2 )

21. α) 2ω2+10ω+8=2(ω2+5ω+4)=2(ω+1)(ω+4) β)3α2-12α-15 = 3(α2-4α-5)= 3(α+1)(α-5) γ) αx2-7αx+6α= α(x2-7x+6)=α(x-1)(x-6) . 22. α) 1453⋅1821-1453⋅821=1453⋅(1821-821)=1453⋅1000=1453000 β)8012+199⋅801 = 801(801+199)=801⋅1000=801000 γ) 9982-4=9982-22=(998-2)(998+2)=996⋅1000=996000

δ) 999⋅1001+1=(1000-1)(1000+1)+1=10002-12+1=1000000-1+1=1000000 ε) 9992+2⋅999+1=(999+1)2=10002=1000000 στ) 972+6⋅97+9=(97+3)2=1002=10000 23. α) x2ψ2-4ψ2-x2+4 =ψ2(x2-4)-(x2-4)=(x2-4)(ψ2-1)=(x-2)(x+2)(ψ-1)(ψ+1). β) x4-1+x3-x= (x2)2-1+x(x2-1)=(x2-1)(x2+1)+x(x2-1)=(x2-1)(x2+x+1)= (x-1)(x+1)(x2+x+1). γ) x3(x2-1)+1-x2 =x3(x2-1)-(x2-1)=(x2-1)(x3-1)=(x-1)(x+1)(x-1)(x2+x+1)

δ) (x2+9)2-36x2=(x2+9)2-(6x)2=(x2+9-6x)(x2+9+6x)=(x-3)2⋅(x+3)2 ε) α2-2αβ+β2-α+β=(α-β)2-(α-β) = (α-β)(α-β-1) στ) x2-2xψ+ψ2-ω2=(x-ψ)2-ω2 =(x-ψ-ω)(x-ψ+ω) ζ) 1-α2+2αβ-β2=1-(α2-2αβ+β2)=12-(α-β)2=(1-α+β)(1+α-β) η) ψ2-x2-10ψ+25=ψ2-10ψ+25-x2=(ψ-5)2-x2=(ψ-5-x)(ψ-5+x) θ) 2(x-1)(x2-4)-5(x-1)(x-2)2=2(x-1)(x-2)(x+2)-5(x-1)(x-2)2= (x-1)(x-2)[2(x+2)-5(x-2)] = (x-1)(x-2)(2x+4-5x+10)=(x-1)(x-2)(-3x+14) i)(ψ2-4)2-(ψ+2)2=(ψ2-4-ψ-2)(ψ2-4+ψ+2)=(ψ2-ψ-6)(ψ2+ψ-2)= (ψ+2)(ψ-3)(ψ -1)(ψ+2) iα) (α2+β2-γ2)2-4α2β2=(α2+β2-γ2)2-(2αβ)2=(α2+β2-γ2-2αβ)(α2+β2-γ2+2αβ)= =[(α-β)2-γ2][(α+β)2-γ2]=(α-β-γ)(α-β+γ)(α+β-γ)(α+β+γ) iβ) (x2+9)(α2+4)-(αx+6)2=x2α2+4x2+9α2+36-α2x2-12αx-36=4x2+9α2-12αx= (2x-3α)2 24. Ε=xψ-x-2ψ+2=x(ψ-1)-2(ψ-1)=(ψ-1)(x-2). Άρα η διάσταση x θα μειωθεί κατά μία μονάδα ενώ η διάσταση ψ κατά δύο μονάδες.

111


ȀİijȐȜĮȚȠ 1

1.7 ǻȚĮȓȡİıȘ ȆȠȜȣȦȞȪȝȦȞ. ǼȇȍȉHȈǼǿȈ ȀǹȉǹȃOǾȈǾȈ 1. i)

ii)

iii)

į)

Ȗ)

ȕ)

2. ǺĮșȝȩȢ ǻȚĮȚȡİIJȑȠȣ 8 7 9

ǺĮșȝȩȢ ǻȚĮȚȡȑIJȘ 3 5 6

ǺĮșȝȩȢ ȆȘȜȓțȠȣ 5 2 3

3. Į) Ȉ

ȕ) ȁ

Ȗ) ȁ

į) Ȉ

İ) Ȉ

ȆȡȠIJİȚȞȩȝİȞİȢ ĮıțȒıİȚȢ țĮȚ ʌȡȠȕȜȒȝĮIJĮ 1.

Į) 2x3+x2-3x+6 -2x3-4x2

x+2 2x2-3x+3

-3x2-3x+6 x2+6x 3x+6 -3x-6 0

DZȡĮ 2x3 + x2 - 3x + 6 = (x + 2)(2x2 -3x + 3) ȕ) 6x3 - x2-10x+5 -6x3- 2x2 2

112

-3x -10x+5 3x2+x -9x+5 9x+3 8

3x+1 2x2-x-3


DZȡĮ 6x3 - x2 - 10x + 5 = (3x + 1)(2x2 - x -3) + 8

ȀİijȐȜĮȚȠ 1

Ȗ) 6x4 -x2+2x-7 -6x4+6x3

x-1 6x3+6x2+5x+7

6 x3 –x2+2x-7 -6 x3+6x2 5x2+2x-7 -5x2+5x 7x-7 -7x+7 0

DZȡĮ 6x4 - x2 + 2x - 7 = (x -1)(6x3 + 6x2 + 5x + 7) į) 4x3+ 5x-8 -4x3+2x2 2x2+5x-8 -2x2+x 6x- 8 -6x +3 -5

2x-1 2x2+x+3

DZȡĮ 4x3 + 5x - 8 = (2x - 1)(2x2 + x + 3) -5 İ) x5-x4+ 3x2+2 -x5+x4-2x3 3

2

x2-x+2 x3-2x+1

-2x +3x +2 2x3-2x2+4x x2+4x+2 -x2+x-2 5x

DZȡĮ x5 - x4 + 3x2 + 2 = (x2 - x + 2)(x3 - 2x + 1) + 5x

113


ȀİijȐȜĮȚȠ 1

ıIJ) 9x4- x2+2x-1 -3x2-x+1 -9x4+3x3-3x2 3x2+x-1 3 2 3x - 4x +2x-1 -3x3+x2-x -3x2+x-1 3x2-x+1 0

DZȡĮ 9x4 - x2 + 2x - 1 = (3x2 - x + 1)(3x2 + x - 1) ȗ) 8x4- 6x2-9 -8x4+12x2 6x2-9 -6x2+9 0

2x2-3 4x2+3

DZȡĮ 8x4 - 6x2 - 9 = (2x2 - 3)(4x2 + 3) Ș) 3x5-2x3-4 -3x5+x3 -x3-4 1 x3 - x 3 1 - x−4 3

3x2-1 1 x3- x 3

DZȡĮ 3x5 - 2x3 - 4 = (3x2 - 1)(x3 - 1 )- 1 x - 4

3 3

114


2.

Į)

2x3+10x2+2x+20 -2x3-6x2

2

6x +22x+12 -6x2-4x 18x+12 -18x-12

3x+2

4x2+2x+20 -4x2-12x -10x+20 10x+30 50

2x+6

0

x+3 2x2+4x-10

3.

AȞ ȇ(x) İȓȞĮȚ IJȠ ʌȠȜȣȫȞȣȝȠ IJȩIJİ șĮ ȚıȤȪİȚ: ȇ(x) = (x2 - x + 1) · (2x + 3) + 3x + 2 = 2x3 + 3x2 - 2x2 - 3x + 2x + 3 + 3x + 2 = 2x3 + x2 + 2x + 5

4.

ǹȡțİȓ ȞĮ įİȓȟȠȣȝİ ȩIJȚ Ș įȚĮȓȡİıȘ Q(x): ȇ(x) İȓȞĮȚ IJȑȜİȚĮ įȘȜ ȣ = 0 Į) 6x3-7x2+9x-18 -6x3+9x2 2

ȀİijȐȜĮȚȠ 1

2x-3 3x2+x+6

2x +9x-18 -2x2+3x 12x-18 -12x+18 0

ȕ) x4+4x3+6x2+4x+1 -x4-x3 3

2

x+1 x3+3x2+3x+1

3x +6x +4x+1 -3x3-3x2 3x2+4x+1 -3x2-3x x+1 -x-1 0

5.

Į) ȃĮ ȖȡĮijİȓ ĮȣIJȩȢ Ƞ ʌȓȞĮțĮȢ: 2x4-x2+5x-3 x2+x+1 -2x4-2x 3+2x 2 2x2-2x+3 -2x3+x2+5x-3 2x3+2x2-2x 3x2+ 3x-3 -3x2- 3x+3 0

115


ȀİijȐȜĮȚȠ 1

ȕ) ǹʌȩ IJȘȞ EȣțȜİȓįİȚĮ įȚĮȓȡİıȘ ȑȤȠȣȝİ: x4 - 2x3 - 8x2 + 18x - 9 = (x2 - 9)(x2 - 2x + 1) = (x - 3)(x + 3)(x - 1)2 6.

Į) ĬĮ țȐȞȠȣȝİ IJȘȞ įȚĮȓȡİıȘ (x4 - 2x3 - 8x2 + 18x - 9) : (x + 1) x4+4x3+6x2+4x+1 -x4-x3 3

2

x+1 x3+3x2+3x+1

3x +6x +4x+1 -3x3-3x2 3x2+4x+1 -3x2-3x x+1 -x-1 0

DZȡĮ Įʌȩ IJȘȞ EȣțȜİȓįİȚĮ įȚĮȓȡİıȘ o x + 1 İȓȞĮȚ ʌĮȡȐȖȠȞIJĮȢ ȕ) x4 + 4x3 + 6x2 + 4x + 1 = (x + 1)(x3 + 3x2 + 3x + 1) = (x + 1) [(x3 + 1) + 3x (x + 1)] = (x + 1)[(x + 1)(x2 -x + 1)+3x(x + 1)] = (x + 1)(x + 1)(x2 -x + 1+ 2x) = (x + 1)(x + 1)3(x + 1)4

7.

ǹʌȩ IJȘȞ IJĮȣIJȩIJȘIJĮ Į3 + ȕ3 = (Į + ȕ)(Į2 - Įȕ + ȕ2). DZȡĮ Ƞ ȐȜȜȠȢ ʌĮȡȐȖȠȞIJĮȢ İȓȞĮȚ Ƞ Į2 - Įȕ + ȕ2.

8.

Į) ȉȠ ȣʌȩȜȠȚʌȠ İȓȞĮȚ : ȣ(x) = 4x2 - 6x + 7. ȕ) ǼʌİȚįȒ IJȠ ʌȠȜȣȫȞȣȝȠ 4x2 - 6x + 7 İȓȞĮȚ 2Ƞȣ ȕĮșȝȠȪ įİȞ ȝʌȠȡȠȪȝİ ȞĮ ʌȠȪȝİ ȩIJȚ İȓȞĮȚ IJȠ ȣʌȩȜȠȚʌȠ IJȘȢ įȚĮȓȡİıȘȢ. ȅʌȩIJİ: 4x2 - 6x + 7 = 4x2 -20 + 20 - 6x + 7 = 4(x2 –5)-6x + 27. ȅʌȩIJİ ȇ(x) = (x3 + 2)(x2 - 5) + 4(x2 - 5)- 6x+27 = (x2 - 5)(x3 + 2 + 4) -6x+27 = (x2 - 5)(x3 + 6) -6x+27. DZȡĮ IJȠ ȣʌȩȜȠȚʌȠ İȓȞĮȚ ȣ(x) = -6x+27

116


9.

ȀİijȐȜĮȚȠ 1 3

6x +α -6x3+6x2 2

x-1 6x2+6x+6

6x +α -6x2+6x 6x+α -6x+6 α+6

īȚĮ ȞĮ İȓȞĮȚ Ș įȚĮȓȡİıȘ IJȑȜİȚĮ ʌȡȑʌİȚ Į + 6 = 0 Ȓ Į = -6 10. (x - 1)2 = x2 - 2x + 1. ȅʌȩIJİ șĮ țȐȞȠȣȝİ IJȘ įȚĮȓȡİıȘ (2x3 - x2 - 4x + 3) : (x2 -2x + 1)

2x3-x2-4x+3 -2x3+4x2-2x

x2-2x+1 2x+3

3x2-6x+3 -3x2+6x-3 0 DZȡĮ Ƞ ȐȜȜȠȢ ʌĮȡȐȖȠȞIJĮȢ İȓȞĮȚ Ƞ 2x + 3 11. To ȑȞĮ ʌȜĮțȐțȚ IJȪʌȠȣ ǹ İȤİȚ İȝȕĮįȩȞ x2 , IJȠ ʌȜĮțȐțȚ IJȠȣ IJȪʌȠȣ Ǻ ȑȤİȚ İȝȕĮįȩ x · ȥ țĮȚ IJȠ ʌȜĮțȐțȚ IJȪʌȠȣ ī ȑȤİȚ İȝȕĮįȩȞ ȥ2. EʌİȚįȒ IJȠ įȐʌİįȠ ȑȤİȚ ʌȜȐIJȠȢ 5x+4ȥ, ĮȞ İțIJİȜȑıȠȣȝİ IJȘ įȚĮȓȡİıȘ 45x2 + 56xȥ + 16ȥ2 : (5x+4ȥ) ȕȡȓıțȠȣȝİ ʌȘȜȓțȠ 9x+4ȥ ʌȠȣ İȓȞĮȚ țĮȚ IJȠ ȝȒțȠȢ IJȠȣ. ǹȡĮ IJȠ įȦȝȐIJȚȠ ȑȤİȚ İȝȕĮįȩȞ 45x2 + 56xȥ + 16ȥ.

117


ȀİijȐȜĮȚȠ 1

1.8 E.K.Ȇ. ĮțİȡĮȓȦȞ ĮȜȖİȕȡȚțȫȞ ʌĮȡĮıIJȐıİȦȞ ǼȇȍȉHȈǼǿȈ ȀǹȉǹȃOǾȈǾȈ 1. Į 4

ȕ 2

Ȗ 1

2. ǹ 4x3 12x3 4x3(x - 1) 8x5

Ǻ 6x2 x2(x - 1) 8x5 3. Į 2 4.

118

ȕ 4

Ȗ 3

2x(x - 1) 6x2(x - 1) 2x2(x - 1) 8x5(x - 1)

9(x - 1)2 18x2(x - 1)2 9x2(x - 1)2 72x5(x - 1)2


ȆȡȠIJİȚȞȩȝİȞİȢ ĮıțȒıİȚȢ țĮȚ ʌȡȠȕȜȒȝĮIJĮ 1.

Į) Ǽ.Ȁ.Ȇ. 72x3ȥ3Ȧ4 ȕ) Ǽ.Ȁ.Ȇ. 30Įx2ȥ3Ȧ2 Ȗ) Ǽ.Ȁ.Ȇ. 24x2ȥ3(x - ȥ)(x + ȥ)2 Ȃ.Ȁ.ǻ. 6x2ȥȦ2 Ȃ.Ȁ.ǻ. 5 Ȃ.Ȁ.ǻ. x(x + ȥ)

2.

Į) Ǽ.Ȁ.Ȇ. 12(x + ȥ)(x - ȥ)3 ȕ) (Į - 1)(Į - 2), (Į - 2 )(Į + 2), Į(Į - 2)(Į + 2) Ȃ.Ȁ.ǻ. 2(x-ȥ) Ǽ.Ȁ.Ȇ. Į(Į-1)(Į-2)(Į+2) , Ȃ.Ȁ.ǻ. (Į-2) 2 Ȗ) Į (Į - 1), Į(Į - 1)(Į - 1)(Į + 1), Į(Į - 1)2 Ǽ.Ȁ.Ȇ. Į2(Į - 1)2(Į + 1), Ȃ.Ȁ.ǻ. Į(Į - 1)

ȀİijȐȜĮȚȠ 1

1.9 ȇȘIJȑȢ ĮȜȖİȕȡȚțȑȢ ʌĮȡĮıIJȐıİȚȢ. ǼȇȍȉHȈǼǿȈ ȀǹȉǹȃOǾȈǾȈ 1. Į) 6

ȕ) 3

Ȗ) 4

į) 1

İ) 5

2. Į) ȁ

ȕ) Ȉ

Ȗ) Ȉ

į) ȁ

İ) Ȉ

ıIJ) ȁ

α−β , Ȗ) x + 1, į) x, İ) 2(Į + ȕ), ıIJ) (x + 2)2 α +β

3.

Į) x - 2, ȕ)

4.

ǵȤȚ įȚȩIJȚ ʌȡȑʌİȚ țĮȚ x  0.

ȆȡȠIJİȚȞȩȝİȞİȢ ĮıțȒıİȚȢ țĮȚ ʌȡȠȕȜȒȝĮIJĮ 1.

Į) x  4, ȕ) ȥ 5 , Ȗ) Ȧ-1, į) x  0 țĮȚ x  3. 2

2.

α)

5a 2 βγ 3 αγ 2 2 xω 2 ω 3ψ 2 ψ 4x 2 = , δ) = , = , β) = , γ) 2 6x 3 12 ψ 4 8x ω 4 x 10αβ 2 γ 2 β x+4 1 ω −2 (α − β ) ( β − γ ) ψ −1 ε) =1, στ) =-1, ζ) = , η) =1 2 4+ x ω −2 1 −ψ ( β − α ) (γ − β ) (2 − ω )

119


3.

ȀİijȐȜĮȚȠ 1

α)

3ψ − 9 3( ψ − 3) 3 6x 6x 3 , β) 2 , = = = = ψ − 9 (ψ − 3) (ψ + 3) ψ + 3 2 x + 4 x 2 x( x + 2) x + 2

γ)

5α 2 − 2 0 5(α 2 − 4) 5(α − 2) (α + 2) 5(α + 2) x 2 + xω x( x + ω ) x , = = = = = , δ) 2 α −2 (α − 2) 2 (α − 2) 2 (α − 2) 2 ω + xω ω (ω + x) ω

2

( ψ − 1) (ψ + 1) ψ − 1 ψ 2 −1 x 2 − 1 6 ( x − 4) (x + 4) x + 4 , στ) = = = = 2 2 ψ +1 x( x − 4) x ( ψ + 1) 2 ψ + 2ψ + 1 x − 4x

ε)

6 x 2 + 3 xω α 2 + αβ + β 2 α 2 + αβ + β 2 3 x(2 x + ω ) 3x = , η) = = 2 2 3 3 (2 x − ω ) (2 x + ω ) 2 x − ω 4x − ω α −β (α − β ) (α 2 + αβ + β 2 )

ζ)

4.

α)

ψ 2− 5ψ + 4 x 2 + 3 x + 2 ( x + 1) (x + 2) x + 1 = , β) = = x+2 ψ 2− 6 ψ + 8 ( x + 2) 2 x2 + 4 x + 4

=

ω 3 − 2ω 2 + ω ω (ω 2 − 2ω + 1) (ψ − 1) (ψ − 4) ψ − 1 , γ) = = = (ψ − 2) (ψ − 4) ψ − 2 ω3 −ω ω (ω 2 − 1)

=

ω (ω − 1) 2 ω −1 . = ω (ω − 1) (ω + 1) ω + 1

5. ψ ( ψ − 3) + ψ 2 − 9 α) x( x − 1) + 4( x − 1) ( x − 1) (x + 4) x + 4 , β) = = = 2 ( x − 1) (x + 3) x + 3 4ψ 2 − 9 x + 2x − 3 ψ (ψ − 3) + ( ψ − 3) (ψ + 3) ( ψ − 3) (ψ + ψ + 3) ψ − 3 = = = (2 ψ − 3) (2 ψ + 3) (2ψ − 3) ( 2 ψ+ 3) 2ψ − 3 2 2 (2 ω + 1 − ω − 2) (2 ω + 1 + ω + 2) (ω − 1) (3ω + 3) γ) (2ω + 1) − (ω + 2) = = = 4 2 2 ω −1 (ω − 1) (ω + 1) (ω − 1) (ω + 1) (ω2 + 1)

=

(α + 1) (α − 2) 2 − 4(α + 1) 3( ω − 1) (ω + 1) 3 , δ) = = α3 + α2 (ω − 1) (ω + 1) (ω2 + 1) ω 2 + 1

=

(α + 1) [ (α− 2) 2 − 4] (α − 2 − 2) (α − 2 + 2) (α − 4)α a − 4 = = . = a α2 α2 α 2 (α + 1)

6.

Ǿ ĮʌȩıIJĮıȘ ǹǺ İȓȞĮȚ : AB = 5 · t. H ĮʌȩıIJĮıȘ Ǻī ȑȤİȚ ȝȒțȠȢ ΒΓ=

120

1 2 5t + 2t 2 5t 2t 2 5 4·t = 2t2. Ǿ ȝȑıȘ IJĮȤȪIJȘIJĮ İȓȞĮȚ: = + t m/sec = + 2 2t 2t 2t 2


1.10 ȆȡȐȟİȚȢ ȡȘIJȫȞ ʌĮȡĮıIJȐıİȦȞ

ȀİijȐȜĮȚȠ 1

ǼȇȍȉHȈǼǿȈ ȀǹȉǹȃOǾȈǾȈ 1. Į) ȁ

ȕ) Ȉ

Ȗ) ȁ

į) Ȉ

α) 2x, β) xψ, γ) 4x, δ)

2.

İ) Ȉ

ıIJ) ȁ

ȗ) ȁ

Ș) Ȉ

x+2 x −1 , ε) , στ) ψ x −1 x+2

ȆȡȠIJİȚȞȩȝİȞİȢ ĮıțȒıİȚȢ țĮȚ ʌȡȠȕȜȒȝĮIJĮ 1.

2α 3 6 β α 4x 1 x 1 9x 1 3 2 1 , γ) 12x · = , δ) · 2 = , β) · = · = 2 2 β 9x 3 4ψ 3 x 4 ψ xψ 3β 4 α x ψ 3ω 6 4 3 3αβ ε) (-5ω2)· =, στ) ()·(- 2 )= 10 ω 2 α 2β α

α)

2. 1 6 x 4 x2 1 ψ 3 1 , β) 2 : (- ) = 2 · (− )= α) 8x : =8x· = , 3 x 6 3 ψ ψ 3ψ ψ

α2 1 1 x3 x3 x2 4ω 2 α2 2 · = − · ( − )= ) : 3 α ) : ( − ) = δ) (, = 2ω 2ω β 3 3α 2 3β 3 x2 β3 4ω 2 = 2ωx.

γ) (-

3.

α)

γ)

2x + 6 4x 2( x + 3) · 4 x 8 ψ − 5 2 + ψ − (5 −ψ ) (ψ + 2) · = , β) = 2 · = = −1 , 2 x x+3 (ψ + 2) (5−ψ ) ψ + 2 5 −ψ x x ( x + 3)

α 2 −4 α +3 x − ω x 3ω 2 x ( x − ω ) x 3ω 2 · = = , δ) · 2 = 2 3 2 2 2 3 2 x ω x −ω x ω ( x − ω ) (x + ω ) ω ( x + ω ) α + α − 6 α + 2α

x 2 + x x 2 + 5 x + 6 x( x + 1) (x + 2) (x + 3) (α − 2) (α + 2) (α + 3) 1 · = = = , ε) 2 (α − 2) (α + 3)α (α + 2) α ( x − 2) (x + 2) x( x + 3) x −4 x2 + 3x 4ψ 2 − 9 ψ 2 + 3ψ (2 ψ − 3) (2ψ + 3) ψ (ψ + 3) ψ + 3 x +1 = · , στ) = = 2 2 x−2 2ψ + 3 4ψ − 12 ψ + 9 2 ψ + 3ψ (2 ψ − 3) 2 ··ψ (2ψ + 3)

=

121


ȀİijȐȜĮȚȠ 1

4.

x+4 x+4 x+4 1 5 3( x + 4) 2 ψ − 1 1 − 2ψ = = : · = = 3 , β) : x+4 x+4 5 15 5 ψ +1 1+ ψ ω +2 2 ψ − 1 1 +ψ − (1 − 2 ψ) 1 + ψ = ) : (ω + 2 )= · = · = −1 , γ) (− ω ψ + 1 1 − 2ψ ψ +1 1− 2ψ

α)

=(-

α + 1 (α + 1) 2 α + 1 ω +2 1 1 β 1 = : = )· = − , δ) · 2 2 2 β ω ω +2 ω β (α + 1) β (α + 1) β

ε)

x +ψ x 2 + xψ x +ψ x −ψ 1 = 2 · : = 2 x −ψ x( x − ψ ) x( x + ψ ) x x − xψ x2 − 4 x−2 ( x − 2) (x + 2) x2 − 2 x + 4 : = · =1 x−2 x3 + 8 x 2 − 2 x + 4 ( x + 2) (x 2 − 2 x + 4)

στ) 5.

x − 2 4 x + 4 8x − 8 x − 2 4( x + 1) x + 2 x−2 = · ): · · = x +1 x + 2 x+2 x + 1 x + 2 8( x − 1) 2( x − 1) x + 2 2x + 6 x + 2 x + 2 2( x + 3) x + 2 x + 2 2( x + 2) β) ]= : :( )= :[ · · = x −1 x −1 x + 3 x −1 x − 1) x + 3 x −1 x −1 x + 2 2x + 6 x + 2 x + 2 x −1 x + 2 x + 2 x −1 1 =( = · )· )· : · = , γ) ( x −1 2x + 6 x + 3 x −1 x −1 x + 3 x − 1 2( x + 2) 2

α) (

=

x + 2 x + 2 ( x + 2) 2 = · 2( x + 3) x + 3 2( x + 3) 2

B. ǼȡȦIJȒıİȚȢ țĮIJĮȞȩȘıȘȢ 1. Į) Ȉ

122

ȕ) ȁ

Ȗ) Ȉ

2.

ıIJȠ ȕ) IJȠ ıȦıIJȩ İȓȞĮȚ:

3.

α)

į) Ȉ

İ) ȁ

ıIJ) ȁ

x+3 x +1

x 6 6 x 1 8 , β) , γ) , δ) , ε) στ) x+6 x+6 x +1 x+2 x x


ȆȡȠIJİȚȞȩȝİȞİȢ ĮıțȒıİȚȢ țĮȚ ʌȡȠȕȜȒȝĮIJĮ 1.

ȀİijȐȜĮȚȠ 1

3 2 3x 2( x + 1) 3 x − 2( x + 1) 1 1 ψ x ψ +x α) + = − = = − + = , β) = x + 1 x x( x + 1) x( x + 1) x( x + 1) x ψ xψ xψ xψ ψ 1 −ψ 1 2 1 1 1 3x − 2 x − 2 x−2 , γ) 2 − = 2 − 2 = 2 , δ) 2 − 2 = = = ψ ψ x( x + 1) x( x + 1) ψ ψ ψ ω ω +1

ω 2 +1 2ω 2 ω 2 + 1 − 2ω 2 1−ω 2 , − = = ω 2 (ω 2 + 1) ω 2 (ω 2 + 1) ω 2 (1 + ω 2 ) ω 2 (1 + ω 2 )

2.

2x 3 2x 3 x 3 x−3 − = − = − = = 1. 2 x − 6 x − 3 2( x − 3) x − 3 x − 3 x − 3 x − 3 4 4ψ ψ −6 ψ −6 ψ − 6 − 4 ψ 3( ψ + 2) 3 β) 2 = , − = − = = ψ ( ψ + 2) ψ ( ψ + 2) ψ ψ + 2 ψ ψ + 2 ψ ( ψ + 2) ψ ( ψ + 2) 3ω + 6 4 3 2 3( ω + 2) 4 = = γ) 2 − = − − ω − 4 2ω − 4 (ω − 2) (ω + 2) 2(ω − 2) ω − 2 ω − 2 1 x 1 1 x = , δ) = + + = 2 2 x + 1 2 3 6− x ω −2 2( x + 6) (6 − x) (6 + x) 6−x 2x 6+ x 1 = + = = 2( x + 6) (6 − x) 2(6 − x) (6 + x) 2( x + 6) (6 − x) 2(6 − x)

α)

9x 3ω 9x 3ω 9 3 6 + = + = − = x 2 − xω ω 2 − xω x( x − ω ) ω (ω − x) x − ω x − ω x − ω

ε)

α +7 α +7 − 2α − 2 3 3(α + 3) − = − = = α α α α α α + 1 ( + 1 ) ( + 3 ) ( + 1 ) ( + 3 ) ( + 1) (α + 3) α + 4α + 3 − 2(α + 1) −2 = . = (α + 1) ( α + 3) α + 3

στ)

3.

2

1 1 x2 − 1 ψ −2+ 2 x − 1 ( x − 1 ) ( x + 1 ) ψ x= x = = = x − 1 , β) α) = 1 x +1 1 x +1 x +1 1+ ψ − x x ψ 2 ψ − 2ψ + 1 1 ω +1+ ( ψ − 1) 2 ψ 2 − 2ψ +1 ψ −1 ψ ω = = = = = , γ) 1 (ψ − 1) (ψ + 1) ψ + 1 ψ 2 −1 ψ 2 −1 1− 3 ω ψ x−

ω 2 + ω +1 ω 3 (ω 2 + ω + 1) ω 3 (ω 2 + ω + 1) ω2 ω . = = = = ω 3 −1 ω (ω 3 − 1) ω (ω − 1) (ω 2 + ω + 1) ω − 1 ω3

123


ȀİijȐȜĮȚȠ 1

β −α 1 1 − β −α β −α 1 αβ α β = 2 = = 2 δ) = 2 2 β α ( β − α ) (β + α ) β + α β −α β −α − α β αβ

4.

4 8 4 8 x−2 x−2 + − 2 = + − = x x − 2 x − 2x x x − 2 x( x − 2) ( x − 2) 2 + 4 x − 8 x 2 − 4 x + 4 + 4 x − 8 x2 − 4 ( x − 2) (x + 2) x + 2 . = = = = = x( x − 2) x( x − 2) x( x − 2) x( x − 2) x

α)

3 2 2x + 1 6ψ 3 2 2x + 1 6ψ = − + = − + x + 2ψ x − 2ψ x 2 − 4ψ 2 x + 2ψ x − 2ψ ( x − 2 ψ) (x + 2 ψ) 3( x − 2ψ ) − 2( x + 2ψ ) + 2 x + 16 ψ 3x − 6 ψ− 2 x − 4ψ + 2 x + 1 6 ψ 3x + 6 ψ = = = ( x + 2ψ ) (x − 2ψ ) ( x + 2ψ ) (x − 2ψ ) ( x + 2 ψ) (x − 2 ψ) =

β)

=

2 3 ψ 2 −6 3( x + 2 ψ) 3 , γ) 2 − + = = ( x + 2 ψ) (x − 2 ψ) x − 2 ψ ψ − 5ψ + 6 ψ − 2 ψ − 3

ψ 2 −6 2(ψ − 3) 3(ψ − 2) ψ 2 − 6 − 2( ψ − 3) + 3( ψ − 2) = − + (ψ − 2) (ψ − 3) (ψ − 2) (ψ − 3) (ψ − 2) (ψ − 3) (ψ − 2) (ψ − 3) =

ψ 2 +ψ − 6 (ψ − 2) (ψ + 3) ψ + 3 . = = (ψ − 2) (ψ − 3) (ψ − 2) (ψ − 3) ψ − 2

δ)

ψ2 2 xψ 2 x2 x2 ψ2 2 xψ 2 = + − 2 + − 2 x −ψ x + ψ x −ψ x − ψ x + ψ ( x −ψ ) (x + ψ )

=

x 2 ( x + ψ ) + ψ 2 ( x −ψ ) − 2 xψ ( x −ψ ) (x + ψ )

=

x3 + x 2ψ + ψ 2 x −ψ 3 − 2 xψ 2 ( x −ψ ) (x 2 + xψ + ψ 2 ) + x 2ψ − xψ = ( x −ψ ) (x + ψ ) ( x −ψ ) (x + ψ )

=

5.

= 2

=

( x −ψ ) (x 2 + xψ + ψ 2 ) + xψ ( x −ψ ) ( x −ψ ) (x 2 + 2 xψ + ψ 2 ) = = ( x −ψ ) (x + ψ ) ( x −ψ ) (x + ψ ) 2 ( x +ψ ) = x+ψ ( x +ψ )

α) (

x+3 x 1 ( x + 3) (2 x − 1) − x(2 x + 1) 4 x − 3 + 1 )= − ) (1 + )= [ ]( 2x + 1 2x −1 4x − 3 (2 x + 1) (2 x − 1) 4x − 3

=[

124

2

β) [

2 x2 − x + 6 x − 3 − 2 x2 − x 4 x − 2 4x − 3 2(2 x − 1) 2 ]( ) =[ ] = (2 x + 1) (2 x − 1) 4x − 3 (2 x + 1) (2 x − 1) 4 x − 3 2x + 1 x+3 x−3 x2 − 3 x+3 x − 3 ( x − 1) 2 =[ = + ] : + ]· · ( x − 1) (x + 1) ( x − 1) 2 x 2 − 3 x 2 − 1 ( x − 1) 2 ( x − 1) 2


(

)

(

)

(

)(

)

(

)

2

( x + 3) (x − 1) + ( x − 3) (x + 1) ( x − 1) 2 ( x + 3) (x − 1) ( x − 3) (x + 1) ( x − 1) [ = + ] · = · 2 x −3 ( x − 1) 2 ( x + 1) ( x − 1) 2 ( x + 1) ( x + 1) (x − 1) 2 x 2 − 3 =

ȀİijȐȜĮȚȠ 1

x2 − x + 3x − 3 + x2 + x − 3x − 3 ( x + 3) (x − 1) + ( x − 3) (x + 1) 1 1 = · 2 = · 2 x +1 x +1 x −3 x −3

2( x 2 − 3) 1 2 α 2 + β 2 − 2αβ α (α − β ) 2αβ α α +β , γ) (1- 2 =( + )[ · 2 = ) ( ) + β (α − β ) x +1 x − 3 x +1 α 2 +β2 α +β2 β α −β 2 2 2 2 2 βα( + β ) = (α − β ) · α − αβ + αβ + β = α − β , δ) ( α + β − 1) : ( α + β ) = 2 2 β (α − β ) β β α β α βα (− β ) α + β

=(

α3 β 3 α 2 + β 2 − αβ α 3 + β 3 α 2 β 2 αβ + − ):( + )= : = αβ αβ αβ αβ αβ αβ αβ

=

αβ α 2 + β 2 − αβ αβ 1 α 2 + β 2 − αβ · 3 = · = . 3 2 2 αβ αβ α +β (α + β ) (α − αβ + β ) α + β

6.

x3 − ψ 3 ( x −ψ ) (x 2 + xψ + ψ 2 ) + xψ = + xψ = x 2 + xψ + ψ 2 + xψ = x −ψ x −ψ = x2+2xψ+ψ2 =(x+ψ)2. β) Για x=56 και ψ = 44 η παραπάνω ταυτότητα δίνει : 56 3 − 44 3 + 5 6· 4 4 = (56 + 44) 2 = 100 2 = 10000 56 − 44 x4 − 2 x2 + 1 4 x2 2 x 2 x2 − 1 2 + ( ) + = = ) x2 + 2 x2 + 1 x4 + 2 x2 + 1 x2 + 1 x2 + 1 x4 + 2 x2 + 1 =1. = 4 x + 2 x2 + 1 100 2 − 1 9999 200 200 = , B= . β) Για x=100 A= = 100 2 + 1 10001 100 2 + 1 10001

7. α) Α2+Β2=(

Aπό α) Α2+Β2=1, άρα έχουμε ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες, 200 9999 και υποτείνουσα 1. , 10001 10001

125


īİȞȚțȑȢ ĮıțȒıİȚȢ IJȠȣ 1Ƞȣ țİijĮȜĮȓȠȣ

ȀİijȐȜĮȚȠ 1

1.

β 3 = = −2 , οπότε 3 α − 2 3 3 − 3 −2 1 K= (- ) − (1 + ) + 4(−2 + ) −1 + [ (−2 − 2004) 2004 ]0 = 2 2 2

Υπολογίζω το λόγο

2.

=-

27 2 3 −2 4 1 27 1 3 − ( − ) + 4(− + ) −1 + (−2006) 0 = − (− ) −2 + 4(− ) −1 + 1 = 8 2 2 2 2 8 2 2

=-

27 81 96 64 24 217 27 8 2 =− − + − 4 − + 1 =− (−2) 2 + 4(− ) + 1 = 8 24 24 24 24 24 3 8 3

Į) ǼʌİȚįȒ Ƞ ĮțȑȡĮȚȠȢ 2Ȟ+1 İȓȞĮȚ ʌİȡȚIJIJȩȢ șĮ ȑȤȠȣȝİ: (Į - ȕ + 3Ȗ)2Ȟ + 1 + (ȕ - Į - 3Ȗ)2Ȟ + 1 = = (Į - ȕ + 3Ȗ)2Ȟ + 1 + [-(Į-ȕ + 3Ȗ)]2Ȟ + 1= = (Į - ȕ + 3Ȗ)2Ȟ + 1 + (-1) 2Ȟ + 1 (Į - ȕ + 3Ȗ)2Ȟ + 1= = (Į - ȕ + 3Ȗ)2Ȟ + 1 - (Į - ȕ + 3Ȗ)2Ȟ + 1 = 0 ȕ) ǼʌİȚįȒ Ƞ ĮțȑȡĮȚȠȢ 2Ȟ İȓȞĮȚ ȐȡIJȚȠȢ șĮ ȑȤȠȣȝİ: (x - ȥ - Ȧ)2Ȟ -(ȥ + Ȧ - x)2Ȟ = (x - ȥ - Ȧ)2Ȟ -[-(x - ȥ - Ȧ)]2Ȟ = (x - ȥ - Ȧ)2Ȟ -(-1)2Ȟ(x -ȥ -Ȧ)2Ȟ= (x -ȥ - Ȧ)2Ȟ-(x- ȥ - Ȧ)2Ȟ = 0

3. 2

Α=

=

4 x − 6 xψ + ψ x2 +ψ 2

2

x2 xψ ψ −6 2 + 2 ψ ψ ψ = 2 2 x ψ + 2 2 ψ ψ 4

2 2

x x 4( ) 2 − 6 + 1 4(− 1 ) 2 − 6(− 1 ) + 1 ψ ψ 2 2 = = = x 2 1 2 (− ) + 1 ( ) +1 2 ψ 3

2

1+ 3 +1 5 5 20 2 x − 2 x ψ + 3ψ = = = = 4 , Β= 1 1 4 5 5 x2 ψ +ψ 3 +1 + 4 4 4 4

3

ψ x3 xψ 2 −2 3 +3 3 ψ ψ ψ = x2 ψ ψ 3 + ψ3 ψ3 2

x x 2( ) 3 − 2( ) + 3 2(− 1 ) 3 − 2(− 1 ) + 3 2(− 1 ) + 1 + 3 − 1 + 4 ψ ψ 8 2 2 = = = 4 = = 1 2 1 5 x 2 ( ) +1 (− ) + 1 +1 2 4 4 ψ − =

126

1 16 15 + 4 4 = 4 =3 5 5 4 4

3 3

=


4.

Į) ȇ(1 - x) = -2(1 - x)2 + 2(1 - x) + 800 = -2(1 - 2x + x2) + 2 - 2x + 800= = -2 + 4x - 2x2 + 2 - 2x + 800 = -2x2 + 2x + 800 = ȇ(x).

ȀİijȐȜĮȚȠ 1

ȕ) īȚĮ x = 100 ȇ(100) = ȇ(-99) ȇ(100) = -2 · 1002 + 2 · 100 + 800 = -2 · 10000 + 200 + 800= = -20000 + 1000 = -19000 = ȇ(-99) 5.

Į) ȀȐȞȠȣȝİ IJȚȢ ʌȡȐȟİȚȢ ıIJȠ įİȪIJİȡȠ ȝȑȜȠȢ țĮȚ țĮIJĮȜȒȖȠȣȝİ ıIJȠ ȗȘIJȠȪȝİȞȠ. ȕ) ǹʌȩ Į) ȩIJĮȞ Į + ȕ + Ȗ = 0 IJȠ ȕ ȝȑȜȠȢ İȓȞĮȚ 0, ȠʌȩIJİ țĮȚ IJȠ Į ȝȑȜȠȢ İȓȞĮȚ 0. DzIJıȚ ȑȤȠȣȝİ : Į3 + ȕ3 + Ȗ3 - 3ĮȕȖ = 0 Į3 + ȕ3 + Ȗ3 = 3ĮȕȖ. Ȗ) ǹȞ Į = x - ȥ, ȕ = ȥ - Ȧ, Ȗ = Ȧ - x, IJȩIJİ Į + ȕ + Ȗ = x - ȥ + ȥ - Ȧ + Ȧ -x = 0 OʌȩIJİ Įʌȩ ȕ) (x - ȥ)3 + (ȥ - Ȧ)3 + (Ȧ - x)3 = 3(x - ȥ)(ȥ - Ȧ)(Ȧ - x)

6.

7.

Į) x4 - 2ȥ2 = x2(ȥ2 - 2) x4 - 2ȥ2 = x2ȥ2 - 2x2 Ȓ x4 - 2ȥ2 - x2ȥ2 + 2x2 = 0 Ȓ x2(x2 + 2) -ȥ2(x2 + 2) = 0 Ȓ(x2 - ȥ2)(x2 + 2) = 0 Ȓ x2 -ȥ2 = 0 Ȓ x2 + 2 = 0 (ĮįȪȞĮIJȘ) Ȓ (x - ȥ)(x + ȥ) = 0 Ȓx - ȥ = 0 Ȓ x + ȥ = 0 Ȓ x = ȥ Ȓ x = -ȥ. ȕ) x3 + ȥ3 = x2ȥ + xȥ2 Ȓ x3 + ȥ3 - x2ȥ - xȥ2 = 0 Ȓ x2(x - ȥ) - ȥ2(x-ȥ) = 0 Ȓ (x - ȥ)(x2 - ȥ2) = 0 Ȓ (x - ȥ)(x - ȥ)(x + ȥ) = 0 Ȓx = ȥ Ȓ x = -ȥ.

8.

Į) x2 + 4x + 3 = (x + 1)(x + 3), x2 + 2x - 3 = (x - 1)(x + 3) 1 1 1 1 1 1 + 2 + 2 = + + = x + 4 x + 3 x − 1 x + 2 x − 3 ( x + 1) (x + 3) ( x− 1) (x + 1) ( x − 1) (x + 3) x −1 x+3 x +1 = + + = ( x − 1) (x + 1) (x + 3) ( x − 1) (x + 1) (x + 3) ( x − 1) (x + 1) (x + 3) 3x + 3 3( x + 1) 3 . = = = ( x − 1) (x + 1) (x + 3) ( x − 1) (x + 1) (x + 3) ( x − 1) (x + 3)

β) Α=

9.

2

Į) ǹ = x(x + 3) = x2 + 3x, B = (x + 1)(x + 2) = x2 + 2x + x + 2 = x2 + 3x + 2 =ǹ+ 2

127


ȀİijȐȜĮȚȠ 1

ȕ) ǹʌȩ Į) Ǻ = ǹ + 2, ĮȞ ʌȠȜȜĮʌȜĮıȚȐıȠȣȝİ ȝİ ǹ ȑȤȠȣȝİ: ǹǺ = ǹ2 + 2ǹ Ȓ ǹǺ + 1 = ǹ2 + 2ǹ + 1 = (ǹ + 1)2 Ȗ) x(x + 1)(x + 2)(x + 3) +1 = ǹǺ + 1 = (ǹ + 1)2 = [x(x + 3) +1]2 10. Į) Ǽ = 16ʌx4 + 8ʌx2 + ʌ = ʌ(16x4 + 8x2 + 1) = ʌ(4x2 + 1)2. ȄȑȡȠȣȝİ ȩIJȚ Ǽ = ʌȡ2. DZȡĮ ȡ2 = (4x2+1)2 ȠʌȩIJİ ȡ = 4x2 + 1. ȕ) ȅȚ įȪȠ țȪțȜȠȚ șĮ ȑȤȠȣȞ ȐșȡȠȚıȝĮ İȝȕĮįȫȞ: ʌ(4x)2 + ʌ(4x2 -1)2= = 16ʌx2 + ʌ(16x4 - 8x2 + 1) = 16ʌx2 + 16ʌx4 - 8ʌx2 + ʌ = 16ʌx4 + 8ʌx2 + ʌ. DZȡĮ ıȪȝijȦȞĮ ȝİ IJȠ Į) Ƞ țȪțȜȠȢ șĮ ȑȤİȚ ȡ = 4x2 + 1 11. Į) ț2 +ț = ț(ț + 1). ȅȚ ĮȡȚșȝȠȓ ț, ț + 1 İȓȞĮȚ įȚĮįȠȤȚțȠȓ ȐȡĮ Ƞ ȑȞĮȢ șĮ İȓȞĮȚ ȐȡIJȚȠȢ, ȠʌȩIJİ IJȠ ȖȚȞȩȝİȞȠ ț(ț + 1) șĮ İȓȞĮȚ ȐȡIJȚȠȢ ĮȡȚșȝȩȢ. ȕ) (ț + 1)3 - ț3 = ț3 + 3ț2 + 3ț + 1 -ț3 = 3ț2 + 3ț + 1 = 3(ț2 + ț) + 1 = = 3ț (ț + 1) +1. (1) ȅ ĮȡȚșȝȩȢ ț(ț + 1) İȓȞĮȚ ȐȡIJȚȠȢ ȐȡĮ ȑȤİȚ IJȘȞ ȝȠȡijȒ 2Ȝ (ȩʌȠȣ Ȝ ĮțȑȡĮȚȠȢ). DZȡĮ (1) = 3 · 2Ȝ + 1 = 6Ȝ + 1. DZȡĮ (ț + 1)3 - ț3 = 6Ȝ + 1. DZȡĮ IJȠ ȣʌȩȜȠȚʌȠ İȓȞĮȚ 1. Ȗ) DzıIJȦ Į, ȕ İȓȞĮȚ įȪȠ ʌİȡȚIJIJȠȓ ĮțȑȡĮȚȠȚ IJȩIJİ: Į = 2ț + 1, ȕ = 2Ȝ + 1, ț,Ȝ ĮțȑȡĮȚȠȚ. Į2 - ȕ2 = (2ț + 1)2-(2Ȝ + 1)2 = 4ț2 + 4ț + 1- (4Ȝ2 + 4Ȝ + 1) = 4ț2 + 4ț + 1 - 4Ȝ2 - 4Ȝ -1 = 4(ț2 + ț) -4(Ȝ2 + Ȝ). ȅȚ ĮȡȚșȝȠȓ ț2 + ț, Ȝ2 + Ȝ İȓȞĮȚ ȐȡIJȚȠȚ, ȐȡĮ ț2 + ț = 2ȝ, Ȝ2 + Ȝ = 2Ȟ, ȩʌȠȣ ȝ,Ȟ ĮțȑȡĮȚȠȚ. ȅʌȩIJİ 4(ț2 + ț) -4(Ȝ2 + Ȝ) = 4 · 2ȝ - 4 · 2Ȟ = 8(ȝ - Ȟ) = ʌȠȜ8

12. Į)

128

x6 - 1 -x6+x5 x5 -1 - x5+x4 x4 - 1 -x4+x3 x3 - 1 -x3+x2 x2-1 -x2+x x-1 -x+1 0

x-1 x5+x4+x3+x2+x+1


AȡĮ x6 - 1 = (x - 1)(x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1). OʌȩIJİ ȖȚĮ x = 7 ȑȤȠȣȝİ: 76 - 1= (7 - 1)(75 + 74 + 73 + 72 + 7 + 1) = 6 · (75 + 74 + 73 + 72 + 7 +1) = = ʌȠȜ6 x5 + 1 x5-x4 -x4+1 x4+x3 x3+1 -x3-x2

ȀİijȐȜĮȚȠ 1

x+1 x4-x3+x2-x+1

-x2+1 x2+x x+1 -x-1 0

DZȡĮ x5 + 1 = (x + 1)(x4 - x3 + x2 - x + 1) 215 + 1 = (23)5 + 1 = 85 +1 = (8 + 1)(84 - 83 + 82 - 8 + 1) = 9 · (84 - 83 + 82 - 8 + 1) = ʌȠȜ9 13. α) από το β μέλος

x x −1 x − ( x − 1) x − x + 1 1 1 1 − = − = = = x − 1 x x( x − 1) x( x − 1) x( x − 1) x( x − 1) x( x − 1)

1 1 1 = − 1· 2 1 2 1 1 1 Για x=3 = − 2·3 2 3 1 1 1 Για x=4 = − 3· 4 3 4

β) Για x=2

Για x=2008

1 1 1 = − 2007 · 2008 2007 2008

Αν προσθέσουμε τις παραπάνω ισότητες κατά μέλη παίρνουμε: 1 1 1 1 1 2008 1 2007 . + + + . . .+ =1− = − = 1· 2 2 · 3 3 · 4 2007 · 2008 2008 2008 2008 2008

129


ȀİijȐȜĮȚȠ 2Ƞ


2.1

Ǿ İȟȓıȦıȘ Įx + ȕ = 0

ȀİijȐȜĮȚȠ 2

ǼȟȓıȦıȘ ʌȡȫIJȠȣ ȕĮșȝȠȪ ȝİ ȑȞĮȞ ȐȖȞȦıIJȠ ȜȑȖİIJĮȚ Ș İȟȓıȦıȘ ʌȠȣ ȑȤİȚ Ȓ ȝʌȠȡİȓ ȞĮ ʌȐȡİȚ IJȘȞ ȝȠȡijȒ: Į· x +ȕ = 0 ȩʌȠȣ Į, ȕ İȓȞĮȚ ʌȡĮȖȝĮIJȚțȠȓ ĮȡȚșȝȠȓ. ȅ x İȓȞĮȚ Ƞ ȐȖȞȦıIJȠȢ IJȘȢ İȟȓıȦıȘȢ. ȅ Į ȜȑȖİIJĮȚ ıȣȞIJİȜİıIJȒȢ IJȠȣ ĮȖȞȫıIJȠȣ țĮȚ Ƞ ȕ ıIJĮșİȡȩȢ ȩȡȠȢ . ȇȓȗĮ Ȓ ȜȪıȘ IJȘȢ İȟȓıȦıȘȢ Ȝȑȝİ IJȠȞ ĮȡȚșȝȩ ȝİ IJȠȞ ȠʌȠȓȠ ĮȞ ĮȞIJȚțĮIJĮıIJȒıȠȣȝİ IJȠȞ x ıIJȘȞ İȟȓıȦıȘ, ʌȡȠțȪʌIJİȚ ȚıȩIJȘIJĮ ʌȠȣ ĮȜȘșİȪİȚ. ǼʌȓȜȣıȘ ȝȚĮȢ İȟȓıȦıȘȢ Ȝȑȝİ IJȘȞ įȚĮįȚțĮıȓĮ ȝİ IJȘȞ ȠʌȠȓĮ ȕȡȓıțȠȣȝİ IJȘȞ ȜȪıȘ IJȘȢ. ȂȓĮ İȟȓıȦıȘ ȜȑȖİIJĮȚ IJĮȣIJȩIJȘIJĮ Ȓ ĮȩȡȚıIJȘ ȩIJĮȞ ĮȜȘșİȪİȚ ȖȚĮ țȐșİ IJȚȝȒ IJȠȣ x. MȓĮ ĮȩȡȚıIJȘ İȟȓıȦıȘ ȑȤİȚ IJȘȞ ȝȠȡijȒ: 0 · x = 0 . MȓĮ İȟȓıȦıȘ ȜȑȖİIJĮȚ ĮįȪȞĮIJȘ ȩIJĮȞ įİȞ ȑȤİȚ țĮȝȓĮ ȜȪıȘ . ȂȓĮ ĮįȪȞĮIJȘ İȟȓıȦıȘ ȑȤİȚ IJȘ ȝȠȡijȒ: 0 · x = Į ȩʌȠȣ Į  0 ȆȫȢ ȜȪȞȠȣȝİ IJȘȞ İȟȓıȦıȘ Į·x = ȕ . (1) β α

1.

ǹȞ Į  0 IJȩIJİ Ș (1) ȑȤİȚ ȝȠȞĮįȚțȒ ȜȪıȘ IJȘȞ x=

2.

AȞ Į = 0 țĮȚ ȕ  0 IJȩIJİ Ș (1) ȖȓȞİIJĮȚ 0 · x = ȕ ʌȠȣ İȓȞĮȚ ĮįȪȞĮIJȘ

3.

ǹȞ Į = ȕ = 0 IJȩIJİ Ș (1) ȖȓȞİIJĮȚ 0 · x = 0 ʌȠȪ İȓȞĮȚ ĮȩȡȚıIJȘ .

īȚĮ ȞĮ ȜȪıȠȣȝİ ȝȓĮ İȟȓıȦıȘ 1Ƞȣ ȕĮșȝȠȪ ĮțȠȜȠȣșȠȪȝİ IJȘȞ İȟȒȢ ıİȚȡȐ: 1) 2) 3) 4)

ȀȐȞȠȣȝİ IJȚȢ ʌȡȐȟİȚȢ țĮȚ ȕȖȐȗȠȣȝİ IJȚȢ ʌĮȡİȞșȑıİȚȢ ȋȦȡȓȗȠȣȝİ ȖȞȦıIJȠȪȢ Įʌȩ ĮȖȞȫıIJȠȣȢ ȀȐȞȠȣȝİ ĮȞĮȖȦȖȒ ȠȝȠȓȦȞ ȩȡȦȞ ǻȚĮȚȡȠȪȝİ țĮȚ IJĮ įȪȠ ȝȑȜȘ ȝİ IJȠȞ ıȣȞIJİȜİıIJȒ IJȠȣ ĮȖȞȫıIJȠȣ (ĮȞ İȓȞĮȚ įȚȐijȠȡȠȢ IJȠȣ ȝȘįİȞȩȢ). ǹȞ Ƞ ıȣȞIJİȜİıIJȒȢ İȓȞĮȚ 0, IJȩIJİ Ș İȟȓıȦıȘ İȓȞĮȚ ĮįȪȞĮIJȘ Ȓ İȓȞĮȚ ĮȩȡȚıIJȘ .

ǹȞ Ș İȟȓıȦıȘ ʌİȡȚȑȤİȚ țȜȐıȝĮIJĮ IJȩIJİ: Į) ȆȠȜȜĮʌȜĮıȚȐȗȠȣȝİ țĮȚ IJĮ įȪȠ ȝȑȜȘ IJȘȢ İȟȓıȦıȘȢ ȝİ IJȠ Ǽ.Ȁ.Ȇ. IJȦȞ ʌĮȡȠȞȠȝĮıIJȫȞ. ȕ) ǹʌĮȜİȓijȠȣȝİ IJȠȣȢ ʌĮȡȠȞȠȝĮıIJȑȢ. ȈIJȘȞ ıȣȞȑȤİȚĮ ĮțȠȜȠȣșȠȪȝİ IJȘȞ ʌĮȡĮʌȐȞȦ ıİȚȡȐ.

133


ȁȊȂǼȃǼȈ ǹȈȀǾȈǼǿȈ

ȀİijȐȜĮȚȠ 2

1.

ȃĮ ȜȪıİIJİ IJȚȢ ʌĮȡĮțȐIJȦ İȟȚıȫıİȚȢ ıIJȠ ıȪȞȠȜȠ R: α)

1 x +1 2 − x x 5x + 8 2 x − 9 = , β) = 4 6 5 10 10 3

ȁȪıȘ x 5x + 8 2x − 9 ή 3x-2(5x+8)=4(2x-9) ή α) Ε.Κ.Π : 12, οπότε έχουμε : 12 -12 =12 4 6 3 5 − 20 ή 3x-10x-16=8x-36 ή 3x-10x-8x=16-36 ή -15x=-20 ή x= άρα x= − 15 3 2−x x +1 1 ή 2-(x+1)=2-x ή β) Ε.Κ.Π. : 10, οπότε έχουμε : 10· -10· =10· 10 10 5 ή 2-x-1=2-x ή -x+x=2-2+1 άρα 0x=1 αδύνατη.

2.

ȃĮ ȜȪıİIJİ ıIJȠ ıȪȞȠȜȠ ȃ IJȚȢ İȟȚıȫıİȚȢ: 4x − 2 x −1 α) 3(x-2)=4(x-1) -5 β) + =6x+3 2 3 ȁȪıȘ α) 3(x-2) =4(x-1) -5 ή 3x-6=4x-4-5 ή 3x-4x=-4-5+6 ή -x=-3 ή x=3 δεκτή. β)

4x − 2 x −1 4x − 2 x −1 + =6x+3 ή 6· +6· =6·(6x+3) ή 2 3 2 3

2(4x-2)+3(x-1)=6(6x+3) ή 8x-4+3x-3=36x+18 ή 8x+3x-36x=4+3+18 ή -25x=25 ή x=-1 απορρίπτεται διότι ο -1 δεν είναι φυσικός. Άρα η εξίσωση είναι αδύνατη στο σύνολο Ν .

ǼȇȍȉǾȈǼǿȈ ȀǹȉǹȃȅǾȈǾȈ A.

134

ǼȡȦIJȒıİȚȢ ıȦıIJȩ (Ȉ) Ȓ ȁȐșȠȢ (ȁ) 1.

Ǿ İȟȓıȦıȘ 3x + 2 = 0 İȓȞĮȚ ĮįȪȞĮIJȘ ıIJȠ ıȪȞȠȜȠ ȃ .

2.

Ǿ İȟȓıȦıȘ 0 · x=0 ȑȤİȚ ȝȩȞȠ įȪȠ ȜȪıİȚȢ.

3.

Ǿ İȟȓıȦıȘ 3x = 0 İȓȞĮȚ ĮįȪȞĮIJȘ

4.

Ǿ İȟȓıȦıȘ 0x = 0 ȑȤİȚ ȜȪıȘ ȝȩȞȠ IJȠ 0.

5.

Ǿ İȟȓıȦıȘ 3x = 3 İȓȞĮȚ IJĮȣIJȩIJȘIJĮ.


6.

ȅȚ İȟȚıȫıİȚȢ -3x + 6 = 0 țĮȚ 7x - 14 = 0 İȓȞĮȚ ȚıȠįȪȞĮȝİȢ .

7.

Ǿ İȟȓıȦıȘ x = x İȓȞĮȚ IJĮȣIJȩIJȘIJĮ .

8.

Ǿ İȟȓıȦıȘ Ȝx= Ȝ ȑȤİȚ ȝȠȞĮįȚțȒ ȜȪıȘ IJȘȞ x=1

9.

ǹȞ Ș İȟȓıȦıȘ Į · x + ȕ = 0 ȑȤİȚ ȐʌİȚȡİȢ ȜȪıİȚȢ, IJȩIJİ Ș İȟȓıȦıȘ ȕ · x + Į = 0 ȑȤİȚ ȐʌİȚȡİȢ ȜȪıİȚȢ.

ȀİijȐȜĮȚȠ 2

10. Ǿ İȟȓıȦıȘ Į · x = -5 ȝİ Į  0 İȓȞĮȚ ĮįȪȞĮIJȘ. 11. Ǿ İȟȓıȦıȘ Į · x = 5 ȑȤİȚ ʌȐȞIJĮ ȜȪıȘ. 12. Ǿ İȟȓıȦıȘ 0 ·x = (Į2 + 3)0 İȓȞĮȚ ĮįȪȞĮIJȘ. 13. Ǿ İȟȓıȦıȘ 3 ·x - 27 = 0 ȑȤİȚ ȡȓȗĮ IJȠȞ ĮȡȚșȝȩ 3 . 14. ǹȞ Ș İȟȓıȦıȘ Į · x = ȕ2 İȓȞĮȚ ĮįȪȞĮIJȘ IJȩIJİ țĮȚ Ș İȟȓıȦıȘ ȕ · x = Į2 İȓȞĮȚ ĮįȪȞĮIJȘ. 15. Ǿ İȟȓıȦıȘ Į · x = ȕ ȑȤİȚ ʌȐȞIJĮ ȜȪıȘ 16. Ǿ İȟȓıȦıȘ Į· x = ȕ ȑȤİȚ ȝȠȞĮįȚțȒ ȜȪıȘ ȩIJĮȞ Į 0, ȤȦȡȓȢ ȞĮ İȟİIJȐıȠȣȝİ IJȚ İȓȞĮȚ IJȠ ȕ. 17. Ǿ İȟȓıȦıȘ 0 · x = (Į2 + 1) İȓȞĮȚ ʌȐȞIJĮ ĮįȪȞĮIJȘ 18. Ǿ İȟȓıȦıȘ 4(2x - 1) = 5(x - 1) + 1 -3x İȓȞĮȚ ĮȩȡȚıIJȘ

Ǻ.

ǼȡȦIJȒıİȚȢ ʌȠȜȜĮʌȜȒȢ İʌȚȜȠȖȒȢ 1.

Ǿ İȟȓıȦıȘ 5x+2 = x+4(x+

1 İȓȞĮȚ: ) 2

Į. ǹįȪȞĮIJȘ ȕ. ǹȩȡȚıIJȘ Ȗ. ȑȤİȚ ȝȠȞĮįȚțȒ ȜȪıȘ į. ȑȤİȚ ȜȪıȘ ȝȩȞȠ IJȠ 0 2.

Ǿ İȟȓıȦıȘ 4 · x = 0 ȑȤİȚ ȜȪıȘ: Į. x= -4 ȕ. x=

3.

1 1 Ȗ. x=4 . į. x = 0 İ. x= 4 4

H İȟȓıȦıȘ Įx = 0 İȓȞĮȚ IJĮȣIJȩIJȘIJĮ: Į. ǵIJĮȞ Į = 0 ȕ. ǵIJĮȞ Į = 1 Ȗ. ǵIJĮȞ Į  0 į. īȚĮ țȐșİ IJȚȝȒ IJȠȣ Į.

135


ȀİijȐȜĮȚȠ 2

4.

ǹȞ Ș İȟȓıȦıȘ (Į + 3) · x = 3 İȓȞĮȚ ĮįȪȞĮIJȘ, IJȩIJİ IJȠ Į İȓȞĮȚ ȓıȠ ȝİ: Į. 3 ȕ. -3 Ȗ. 0 į. 2

5.

AȞ IJȠ 2 İȓȞĮȚ ȜȪıȘ IJȘȢ İȟȓıȦıȘȢ 3x - 2 + Į = 0 IJȩIJİ Ș IJȚȝȒ IJȠȣ Į İȓȞĮȚ: Į. -4 ȕ. 0 Ȗ. 4 į. -2

6.

Ǿ İȟȓıȦıȘ 4x -3 = 5 İȓȞĮȚ ȚıȠįȪȞĮȝȘ ȝİ IJȘȞ İȟȓıȦıȘ: Į. 2x -1 = 5 ȕ. 3x - 2 = 4 Ȗ. x - 3 = 4 į. 2x - 5 = 7

7.

Ǿ İȟȓıȦıȘ x + x - 1 + x - 2 +…+ x -19 = 290 ȑȤİȚ ȜȪıȘ IJȠȞ ĮȡȚșȝȩ: Į. 14 ȕ. 24 Ȗ. 34 į. 44 İ. 54

8.

Ǿ İȟȓıȦıȘ Įx = ȕ ȑȤİȚ ȝȠȞĮįȚțȒ ȜȪıȘ ȩIJĮȞ: Į. Į  0 țĮȚ ȕ  0 ȕ. Į = 0 țĮȚ ȕ  0 Ȗ. Į  0 į. Į0 țĮȚ ȕ = 0 .

9.

ȉȠ IJİIJȡĮʌȜȐıȚȠ İȞȩȢ ĮȡȚșȝȠȪ ĮȣȟȘȝȑȞȠ țĮIJȐ 2 İȓȞĮȚ ȓıȠ ȝİ IJȠ ĮȡȚșȝȩ İȜĮIJIJȦȝȑȞȠ țĮIJȐ IJȠ ʌȘȜȓțȠ IJȘȢ įȚĮȓȡİıȘȢ IJȠȣ 32 : 8. ȆȠȚĮ Įʌȩ IJȚȢ ʌĮȡĮțȐIJȦ İȟȚıȫıİȚȢ ĮʌȠįȓįİȚ IJȠ ʌȡȩȕȜȘȝĮ: Į. 3x + 2 = x - 4, ȕ. 3x + 2 = x - 3, Ȗ. 4x + 2 = x - 4, į. 4x - 4 = x - 2

10. AȞ ȠȚ İȟȚıȫıİȚȢ (Ȝ - 1) x = Ȝ + 5 țĮȚ Ȝ2x + Ȝ = x + 2 İȓȞĮȚ ıȣȖȤȡȩȞȦȢ ĮįȪȞĮIJİȢ, IJȩIJİ Ș IJȚȝȒ IJȠȣ Ȝ İȓȞĮȚ: Į. 1, ȕ. -1, Ȗ. 2, į. 0 11. ǻȓȞİIJĮȚ Ș İȟȓıȦıȘ (Ȝ - 1) x = (Ȝ - 1)(Ȝ + 1). Ǿ İȟȓıȦıȘ İȓȞĮȚ ĮȩȡȚıIJȘ ȩIJĮȞ: Į. Ȝ = 1, ȕ. Ȝ = -1, Ȗ. Ȝ = 0 į. ȖȚĮ țȐșİ IJȚȝȒ IJȠȣ Ȝ

ǹȈȀǾȈǼǿȈ īǿǹ ȁȊȈǾ 1.

ǻȓȞİIJĮȚ Ș İȟȓıȦıȘ: 4(3x - 2) -4x = 3(x -1) + 5 NĮ İȟİIJȐıİIJİ ĮȞ IJȠ x = 2 İȓȞĮȚ ȡȓȗĮ IJȘȢ. ǼȟİIJȐıIJİ ĮȞ Ƞ ĮȡȚșȝȩȢ x= 32007 İȓȞĮȚ ȡȓȗĮ IJȘȢ İȟȓıȦıȘȢ.

2.

ȃĮ ȜȣșȠȪȞ ıIJȠ ıȪȞȠȜȠ Q ȠȚ ʌĮȡĮțȐIJȦ İȟȚıȫıİȚȢ: 3x − 2 x − 1 4 x − 1 3x − 2 4 x − 1 α) 3-2(x-3) –x-1= 3(x-6)+2 β) = γ) = x-3 2 3 3 4 4

3.

ȃĮ ȜȪıİIJİ ıIJȠ ıȪȞȠȜȠ R IJȚȢ İȟȚıȫıİȚȢ: Į) 2x = 5x, ȕ) 2(x - 1) = 2x - 2, Ȗ) 0x = 1 δ)

136

− 3x + 2 x − 1 3x − 1 4 x + 2 + = 3x ε) 4x= 3 5 2 2


4.

NĮ ȜȣșȠȪȞ ıIJȠ ıȪȞȠȜȠ R ȠȚ İȟȚıȫıİȚȢ: Į) 2(3-|x|) = 4 ȕ) 4(|x|-2) - 4 = 4 Ȗ) |x| -(3-|x|) = 1

5.

NĮ ȜȣșȠȪȞ ıIJȠ ıȪȞȠȜȠ R ȠȚ İȟȚıȫıİȚȢ țĮȚ ȞĮ ȖȓȞİȚ Ș İʌĮȜȒșİȣıȘ:

α) δ)

ȀİijȐȜĮȚȠ 2

8 − x 3x − 5 x + 6 x x −1 x 7x + 4 3x − 5 = 2-3(x-3)+ β) = x+ γ) + = − 6 3 2 3 3 2 5 2 5x − 7 2 x + 7 3− x x−2 2x −1 =3x-14 ε) − = x− 3 4 3 6 2

6.

ȃĮ ȜȣșȠȪȞ ıIJȠ ıȪȞȠȜȠ R ȠȚ İȟȚıȫıİȚȢ: 3x − 1 3+ x x −1 x + 2 5 − x α) -[ − [1 − 2( x − ) ] }= 5 x − 2 −( + 1) − 3] =1 β) 3{x12 3 4 5 4 γ)

1 x x 3x [8- − 2( + 5) ]− [6 − + 3( x − 5) ]+ 5 = 0 2 2 2 2

7.

ǹȞ Į İȓȞĮȚ Ș ȜȪıȘ IJȘȢ İȟȓıȦıȘȢ x − 3 + 2 -3x= -11 ȞĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİIJİ IJȘȞ 3 3 3 α − 2 α-2 IJȚȝȒ IJȘȢ ʌĮȡȐıIJĮıȘȢ Α= (α-3)2008+ +2 5

8.

ǻȓȞİIJĮȚ Ș ʌĮȡȐıIJĮıȘ: x+2 A(x) = -4x 3

Į) ȕ) Ȗ)

ȃĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİIJİ IJȘȞ ʌĮȡȐıIJĮıȘ ǹ(x + 3) ȃĮ ȜȪıİIJİ IJȘȞ İȟȓıȦıȘ ǹ(x + 3) = 0 ȃĮ ȜȪıİIJİ IJȘȞ İȟȓıȦıȘ ǹ(x) +1 = A(x) -x

9.

ȃĮ ȕȡİșȠȪȞ ȠȚ țȠȚȞȑȢ ȜȪıİȚȢ IJȦȞ İȟȚıȫıİȦȞ: (3x - 2)2007 + 5(x3 - 1) = 1 țĮȚ 2(x - 1) -3 =- 2- (2x - 1)

10. ǻȓȞİIJĮȚ Ș İȟȓıȦıȘ:

Į) ȕ)

x + 3 (1) x+5 −4 = 2 3 ȃĮ Ȝȣșİȓ Ș (1) ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȠȣȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ Į țĮȚ ȕ Įʌȩ IJȚȢ ʌĮȡĮțȐIJȦ ȚıȩIJȘIJİȢ: 2ȕ = 7 + x țĮȚ 3Į = 24 + ȕ, ȩʌȠȣ x İȓȞĮȚ Ș ȜȪıȘ IJȘȢ (1)

137


ȆȡȠȕȜȒȝĮIJĮ

ȀİijȐȜĮȚȠ 2

1.

DzȞĮȢ ʌĮIJȑȡĮȢ İȓȞĮȚ ıȒȝİȡĮ 47 İIJȫȞ țĮȚ ȑȤİȚ įȪȠ ʌĮȚįȚȐ ȘȜȚțȓĮȢ 10 țĮȚ 5 İIJȫȞ. ȂİIJȐ Įʌȩ ʌȩıĮ ȤȡȩȞȚĮ Ș ȘȜȚțȓĮ IJȠȣ ʌĮIJȑȡĮ șĮ İȓȞĮȚ ȓıȘ ȝİ IJȠ ȐșȡȠȚıȝĮ IJȦȞ ȘȜȚțȚȫȞ IJȦȞ įȪȠ ʌĮȚįȚȫȞ .

2.

DzȞĮ IJȑıIJ ʌİȡȚȜĮȝȕȐȞİȚ 40 İȡȦIJȒıİȚȢ. ȀȐșİ İȡȫIJȘıȘ ıIJȘȞ ȠʌȠȓĮ įȓȞİIJĮȚ ıȦıIJȒ ĮʌȐȞIJȘıȘ ȕĮșȝȠȜȠȖİȓIJĮȚ ȝİ 5 ȝȠȞȐįİȢ, İȞȫ țȐșİ İȡȫIJȘıȘ ʌȠȣ įİȞ ĮʌĮȞIJȚȑIJĮȚ Ȓ įȓȞİIJĮȚ ı’ ĮȣIJȒȞ ȜȐșȠȢ ĮʌȐȞIJȘıȘ ȕĮșȝȠȜȠȖİȓIJĮȚ ĮȡȞȘIJȚțȐ ȝİ 2 ȝȠȞȐįİȢ. ȅ ȃȓțȠȢ ʌȒȡİ 165 ȝȠȞȐįİȢ. Ȉİ ʌȩıİȢ İȡȦIJȒıİȚȢ ĮʌȐȞIJȘıİ ıȦıIJȐ;

3.

ȃĮ ȕȡİșİȓ Ƞ ĮȡȚșȝȩȢ ʌȠȣ ʌȡȑʌİȚ ȞĮ ĮijĮȚȡȑıȠȣȝİ Įʌȩ IJȠȣȢ ĮȡȚșȝȘIJȑȢ IJȦȞ țȜĮıȝȐIJȦȞ 17 țĮȚ 19 , ȫıIJİ ĮȣIJȐ ȞĮ ȖȓȞȠȣȞ ȓıĮ. 3

4

4.

ȉȠ ȐșȡȠȚıȝĮ įȪȠ ĮȡȚșȝȫȞ İȓȞĮȚ 703. ǹȞ įȚĮȚȡȑıȠȣȝİ IJȠȞ ȝİȖĮȜȪIJİȡȠ ȝİ IJȠȞ ȝȚțȡȩIJİȡȠ, ʌĮȓȡȞȠȣȝİ ʌȘȜȓțȠ 4 țĮȚ ȣʌȩȜȠȚʌȠ 3. ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȠȣȢ įȪȠ ĮȡȚșȝȠȪȢ.

5.

īȚĮ ȑȞĮ İȝʌȩȡİȣȝĮ ȝİ ıȣȞIJİȜİıIJȒ ĭȆǹ 19% ʌȜȘȡȫıĮȝİ ıȣȞȠȜȚțȐ 1428 İȣȡȫ . ȆȠȚĮ İȓȞĮȚ Ș IJȚȝȒ IJȠȣ İȝʌȠȡİȪȝĮIJȠȢ ȤȦȡȓȢ ĭȆǹ;

6.

Aʌȩ IJȠȣȢ ȝĮșȘIJȑȢ ȝȚȐȢ IJȐȟȘȢ IJȠ 1

1 1 ʌȘȖĮȓȞİȚ ıȤȠȜİȓȠ ȝİ IJĮ ʌȩįȚĮ, IJȠ 3 4

ȤȡȘıȚȝȠʌȠȚİȓ ʌȠįȒȜĮIJȠ, IJȠ ʌȘȖĮȓȞİȚ ȝİ IJȠ ȜİȦijȠȡİȓȠ țĮȚ 9 ȝĮșȘIJȑȢ 6 ʌȘȖĮȓȞȠȣȞ ıIJȠ ıȤȠȜİȓȠ ȝİ IJȠ ĮȣIJȠțȓȞȘIJȠ IJȦȞ ȖȠȞȚȫȞ IJȠȣȢ. ȆȩıȠȣȢ ȝĮșȘIJȑȢ ȑȤİȚ Ș IJȐȟȘ ĮȣIJȒ;

138


2.2

ǼȟȚıȫıİȚȢ įİȣIJȑȡȠȣ ȕĮșȝȠȪ

ȀİijȐȜĮȚȠ 2

ǼȟȓıȦıȘ įİȣIJȑȡȠȣ ȕĮșȝȠȪ (Ȓ įİȣIJİȡȠȕȐșȝȚĮ İȟȓıȦıȘ) ȝİ ȑȞĮȞ ȐȖȞȦıIJȠ ȠȞȠȝȐȗȠȣȝİ țȐșİ İȟȓıȦıȘ ʌȠȣ ȑȤİȚ ȑȞĮȞ ȐȖȞȦıIJȠ țĮȚ Ș ȝİȖĮȜȪIJİȡȘ įȪȞĮȝȘ IJȠȣ ĮȖȞȫıIJȠȣ İȓȞĮȚ IJȠ 2. Ǿ ȜȪıȘ ȝȚȐȢ İȟȓıȦıȘȢ 2Ƞȣ ȕĮșȝȠȪ İȟĮȡIJȐIJĮȚ Įʌȩ IJȘȞ ȝȠȡijȒ IJȘȢ İȟȓıȦıȘȢ. Ǿ ȖİȞȚțȒ ȝȠȡijȒ ȝȚȐȢ İȟȓıȦıȘȢ 2Ƞȣ ȕĮșȝȠȪ ȝİ ȐȖȞȦıIJȠ x İȓȞĮȚ: Įx2 + ȕx + Ȗ = 0 ȝİ Į  0 ȅȚ ĮȡȚșȝȠȓ Į, ȕ,Ȗ ȜȑȖȠȞIJĮȚ ıȣȞIJİȜİıIJȑȢ IJȘȢ İȟȓıȦıȘȢ. ȅ ıȣȞIJİȜİıIJȒȢ Ȗ ȜȑȖİIJĮȚ țĮȚ ıIJĮșİȡȩȢ ȩȡȠȢ. OȚ ıȣȞIJİȜİıIJȑȢ ıİ țȐșİ ȝȓĮ Įʌȩ IJȚȢ ʌĮȡĮțȐIJȦ İȟȚıȫıİȚȢ İȓȞĮȚ: x2 + 8 = 0 : Į = 1, ȕ = 0, Ȗ = 8 -2x2 -8 -3x = 0 : Į = -2, ȕ = -3, Ȗ = -8 4x + 3x2 = 0 : Į = 3, ȕ = 4, Ȗ = 0 ȆȫȢ ȜȪȞȠȣȝİ ȝȓĮ İȟȓıȦıȘ įİȣIJȑȡȠȣ ȕĮșȝȠȪ ǹ. ǼʌȓȜȣıȘ İȟȚıȫıİȦȞ įİȣIJȑȡȠȣ ȕĮșȝȠȪ ȝİ ĮȞȐȜȣıȘ ıİ ȖȚȞȩȝİȞȠ ʌĮȡĮȖȩȞIJȦȞ ĬȣȝȩȝĮıIJİ ȩIJȚ ȚıȤȪİȚ: AȞ Į · ȕ = 0 IJȩIJİ Į = 0 Ȓ ȕ = 0 ǹȞ Ș İȟȓıȦıȘ İȓȞĮȚ İȜȜİȚʌȒȢ. 1)

AȞ Ȗ = 0 įȘȜ ȑȤİȚ IJȘȞ ȝȠȡijȒ: Įx2 + ȕx = 0, ȝİ Į  0. ȅʌȩIJİ Ș İȟȓıȦıȘ ȜȪȞİIJĮȚ ȦȢ İȟȒȢ: Įx2 + ȕx = 0 Ȓ x(Įx + ȕ) = 0 Ȓ x=0 Ȓ Įx+ȕ=0 Ȓ x = 0 Ȓ ȆĮȡȐįİȚȖȝĮ: NĮ ȜȣșȠȪȞ: Į) x2 + 3x = 0, ȕ) x2 = 6x. ȁȪıȘ Į) x2 + 3x = 0 Ȓx(x + 3) = 0 Ȓ x = 0 Ȓ x + 3 = 0 Ȓ x = 0 Ȓ x = -3 . ȕ) x2 = 6x Ȓ x2- 6x = 0 Ȓ x(x -6) = 0 Ȓ x = 0 Ȓ x - 6 = 0 Ȓ x = 0 Ȓ x = 6

2)

ǹȞ ȕ = 0 IJȩIJİ Ș İȟȓıȦıȘ ȑȤİȚ IJȘȞ ȝȠȡijȒ : Įx2 + Ȗ = 0, ȝİ Į  0 1oȢ IJȡȩʌȠȢ: ȀȐȞȠȣȝİ ȖȚȞȩȝİȞȠ (ĮȞ ȖȓȞİIJĮȚ) IJȘȞ Įx2 + Ȗ. ȆĮȡȐįİȚȖȝĮ: NĮ ȜȣșȠȪȞ Į) x2 - 4 = 0, ȕ) 4x2 - 20 = 0 ȁȪıȘ Į) x2 - 4 = 0 Ȓ x2 - 22 = 0 (x - 2)(x + 2) = 0 Ȓ x -2 = 0 Ȓ x + 2 = 0 Ȓ x = 2 ȐȡĮ x = -2

139


ȀİijȐȜĮȚȠ 2

ή

ȕ)

ή

ή

ή

ή

2Ƞs IJȡȩʌȠȢ: TȘȞ ȝİIJĮijȑȡȠȣȝİ ıIJȘȞ ȝȠȡijȒ: x2 = ț țĮȚ ȑȤȠȣȝİ: • • •

AȞ ț > 0, IJȩIJİ Ș İȟȓıȦıȘ ȑȤİȚ įȪȠ ȜȪıİȚȢ, IJȚȢ ǹȞ ț < 0, IJȩIJİ Ș İȟȓıȦıȘ İȓȞĮȚ ĮįȪȞĮIJȘ. ǹȞ ț = 0 IJȩIJİ x = 0 (įȚʌȜȒ).

țĮȚ

.

ȆĮȡȐįİȚȖȝĮ: NĮ ȜȣșȠȪȞ Į) 3x2 = 27 ȕ) 5x2 - 20 = 0. ȁȪıȘ ή ή

ή ή

ή

ή

ή

ǹȞ Ș İȟȓıȦıȘ İȓȞĮȚ ʌȜȒȡȘȢ ȠʌȩIJİ ȖȓȞİIJĮȚ ȖȚȞȩȝİȞȠ ȦȢ İȟȒȢ: (x + ț) · ( x + Ȝ) = 0 ʌ.Ȥ. ȃĮ Ȝȣșİȓ Ș İȟȓıȦıȘ: x2 +5x - 6 = 0. ǼʌİȚįȒ -1 + 6 = 5 țĮȚ -1 · 6 = -6 șĮ ȑȤȠȣȝİ (x-1) · (x+6)= 0 Ȓ x - 1 = 0 Ȓ x + 6 = 0 ȐȡĮ x = 1 Ȓ x = -6. 1) ǹȞ Ș İȟȓıȦıȘ İȓȞĮȚ IJȘȢ ȝȠȡijȒȢ x2 + ȕx + Ȗ = 0 IJȩIJİ ȕȡȓıțȠȣȝİ įȪȠ ĮțȑȡĮȚȠȣȢ ț, Ȝ ȖȚĮ IJȠȣȢ ȠʌȠȓȠȣȢ ȚıȤȪİȚ: ț + Ȝ = ȕ țĮȚ ț · Ȝ = Ȗ 2) ǹȞ Ș İȟȓıȦıȘ İȓȞĮȚ IJȘȢ ȝȠȡijȒȢ Į · x2 + ȕx + Ȗ = 0 Ȓ Į 0 IJȩIJİ İijĮȡȝȩȗȠȣȝİ IJȘ ıȣȝʌȜȒȡȦıȘ IJİIJȡĮȖȫȞȠȣ ȦȢ İȟȒȢ: Į) ȆȠȜȜĮʌȜĮıȚȐȗȠȣȝİ ȩȜȠȣȢ IJȠȣȢ ȩȡȠȣȢ IJȘȢ İȟȓıȦıȘȢ ȝİ 4Į, ȩʌȠȣ Į Ƞ ıȣȞIJİȜİıIJȒȢ IJȠȣ x2. ȕ) ȂİIJĮijȑȡȠȣȝİ ıIJȠ ȕƍ ȝȑȜȠȢ IJȠ ıIJĮșİȡȩ ȩȡȠ țĮȚ ıIJȠ Įƍ ȝȑȜȠȢ įȘȝȚȠȣȡȖȠȪȝİ ʌĮȡȐıIJĮıȘ IJȘȢ ȝȠȡijȒȢ Į2 + 2Įȕ Ȓ Į2 - 2Įȕ . Ȗ) ȆȡȠıșȑIJȠȣȝİ țĮȚ ıIJĮ įȪȠ ȝȑȜȘ IJȠ ȕ2 į) ȈȤȘȝĮIJȓȗİIJĮȚ ȝȓĮ Įʌȩ IJȚȢ IJĮȣIJȩIJȘIJİȢ: Į2 + 2Įȕ + ȕ2 = (Į + ȕ)2 Į2 - 2Įȕ + ȕ2 = (Į - ȕ)2

140


ȀİijȐȜĮȚȠ 2

ȆĮȡȐįİȚȖȝĮ: NĮ ȜȪıİIJİ: x2 - 6x + 8 = 0 ȁȪıȘ x2 - 6x + 8 = 0 Ȓ 4x2 - 24x + 32 = 0 Ȓ (2x)2 -2 · 2x · 6 = -32 Ȓ (2x)2-2 · 2x · 6 + 62 = 62 - 32 Ȓ (2x + 6)2 = 4

ǼȇȍȉǾȈǼǿȈ ȀǹȉǹȃȅǾȈǾȈ ǼȡȦIJȒıİȚȢ ıȦıIJȩ (Ȉ) Ȓ ȜȐșȠȢ (ȁ)

ǹ. 1.

Ǿ İȟȓıȦıȘ Įx2 + ȕx + Ȗ = 0 İȓȞĮȚ 2Ƞȣ ȕĮșȝȠȪ.

2.

Ǿ İȟȓıȦıȘ Įx-2 + ȕx + Ȗ =0 ȝİ Į  0 İȓȞĮȚ 2Ƞȣ ȕĮșȝȠȪ.

3.

Ǿ İȟȓıȦıȘ x2 - Įx = 0 įİȞ İȓȞĮȚ ĮįȪȞĮIJȘ.

4.

Ǿ İȟȓıȦıȘ x2 - 4x = 0 ȑȤİȚ ȝȓĮ ȜȪıȘ IJȘȞ x = 4.

5.

AȞ ʌȠȜȜĮʌȜĮıȚȐıȠȣȝİ țȐșİ ȩȡȠ ȝȚȐȢ İȟȓıȦıȘȢ 2Ƞȣ ȕĮșȝȠȪ ȝİ ȑȞĮ șİIJȚțȩ ĮȡȚșȝȩ IJȩIJİ Ș ȞȑĮ İȟȓıȦıȘ ȑȤİȚ IJȚȢ ȓįȚİȢ ȡȓȗİȢ.

6.

ǹȞ ʌȠȜȜĮʌȜĮıȚȐıȠȣȝİ țȐșİ ȩȡȠ ȝȚȐȢ İȟȓıȦıȘȢ 2Ƞȣ ȕĮșȝȠȪ ȝİ ȑȞĮȞ ĮȡȞȘIJȚțȩ ĮȡȚșȝȩ IJȩIJİ Ș ȞȑĮ İȟȓıȦıȘ ȑȤİȚ ĮȞIJȓșİIJİȢ ȡȓȗİȢ.

7.

ǹȞ Ș İȟȓıȦıȘ Įx2 + ȕx + Ȗ = 0 ȝİ Į  0 ȑȤİȚ ȡȓȗĮ IJȠ 1 IJȩIJİ Į + ȕ + Ȗ = 0

8.

H İȟȓıȦıȘ x2 - 2007 = 0 ȑȤİȚ įȪȠ ȜȪıİȚȢ ĮȞIJȓșİIJİȢ.

ǹȁȊȉǼȈ ǹȈȀǾȈǼǿȈ 1.

ȃĮ ȜȪıİIJİ IJȚȢ ʌĮȡĮțȐIJȦ İȟȚıȫıİȚȢ Į) 3x2 - 27 = 0 ȕ) 4x2 - 16 = 0 Ȗ) x2 - 5 = 0

į) x2 - 9 = 0 İ) x2 - 5 = 0

141


ȀİijȐȜĮȚȠ 2

Ǻ.

ǼʌȓȜȣıȘ İȟȚıȫıİȦȞ įİȣIJȑȡȠȣ ȕĮșȝȠȪ ȝİ IJȘȞ ȕȠȒșİȚĮ IJȪʌȠȣ. ǹȞ ȑȤȠȣȝİ IJȘȞ İȟȓıȦıȘ Įx2 + ȕx + Ȗ = 0 ȝİ Į  0 IJȩIJİ ȝİ IJȘȞ ȝȑșȠįȠ ıȣȝʌȜȒȡȦıȘȢ IJİIJȡĮȖȫȞȦȞ ȑȤȠȣȝİ: Įx2 + ȕx + Ȗ = 0 Ȓ 4Į · Įx2 + 4Į · ȕx + 4Į · Ȗ = 0 Ȓ 4Į2x2 + 4Įȕx + 4ĮȖ = 0 Ȓ (2Įx)2 + 2 · 2Įx ·ȕ = -4ĮȖ Ȓ (2Įx)2 + 2 · 2Įx · ȕ + ȕ2 = ȕ2 - 4ĮȖ Ȓ (2Įx + ȕ)2 = ȕ2 - 4ĮȖ . ǹȞ ıȣȝȕȠȜȓıȠȣȝİ IJȘȞ ʌĮȡȐıIJĮıȘ ȕ2 - 4ĮȖ ȝİ IJȠ ȖȡȐȝȝĮ ǻ, IJȩIJİ Ș İȟȓıȦıȘ ȖȡȐijİIJĮȚ: (2Įx + ȕ)2 = ǻ țĮȚ įȚĮțȡȓȞȠȣȝİ IJȚȢ İȟȒȢ ʌİȡȚʌIJȫıİȚȢ:

• Aν Δ>0, τότε έχουμε : (2αx+β)2=Δ ή 2αx+β= ± ∆ ή 2αx=-β ± ∆ −β ± ∆ . ή x= 2α −β + ∆ −β − ∆ και x= Άρα η εξίσωση έχει δύο άνισες λύσεις τις x= 2α 2α • Aν Δ=0, τότε έχουμε : (2αx+β)2=0 ή 2αx+β=0 ή x=Άρα η εξίσωση έχει μία διπλή λύση την x = -

β . 2α

β 2α

Ǿ ʌĮȡȐıIJĮıȘ ǻ = ȕ2 - 4ĮȖ ȜȑȖİIJĮȚ įȚĮțȡȓȞȠȣıĮ ȖȚĮIJȓ ȝĮȢ İʌȚIJȡȑʌİȚ ȞĮ įȚĮțȡȓȞȠȣȝİ IJȠ ʌȜȒșȠȢ IJȦȞ ȜȪıİȦȞ IJȘȢ İȟȓıȦıȘȢ Įx2 + ȕx + Ȗ = 0, Į  0 ȉĮ ʌĮȡĮʌȐȞȦ ıȣȝʌİȡȐıȝĮIJĮ ʌİȡȚȑȤȠȞIJĮȚ ıIJȠȞ ʌȓȞĮțĮ:

142

Αν Δ>0

Δύο ρίζες τις x1,2=

Aν Δ=0 Αν Δ<0

Αδύνατη

−β ± ∆ 2α

Μία διπλή ρίζα x= −

β 2α


ȀİijȐȜĮȚȠ 2

ȆĮȡĮįİȓȖȝĮIJĮ: NĮ ȜȣșȠȪȞ ȠȚ İȟȚıȫıİȚȢ: Į) 3x2 - 4x + 1 = 0, ȕ) -2x2 - 4x + 6 = 0 ȁȪıȘ α) Είναι α=3, β=-4, γ=1 οπότε η διακρίνουσα είναι Δ =β2-4αγ=(-4)2-4·3·1= − β ± ∆ − (−4) ± 1 = = 16-12=1 >0 . Άρα η εξίσωση έχει δύο λύσεις, τις x= 2α 2·3 4 ±1 4 +1 5 4 −1 3 , δηλ είναι x= = , ή x= = . = 2 2 2 2 2 β) Είναι α=-2, β=-4, γ=6 οπότε η διακρίνουσα είναι Δ =β2-4αγ=(-4)2-4·(-2)·(6)= − β ± ∆ − (−4) ± 6 4 16+48=64 >0 . Άρα η εξίσωση έχει δύο λύσεις, τις x= = = 2α 2 · (−2) 4 −8 4±8 4+8 , δηλ είναι x= =-3, ή x= =1 = −4 −4 −4

ȆǹȇǹȉǾȇǾȈǼǿȈ Ȃİ IJȘȞ ȕȠȒșİȚĮ IJȘȢ įȚĮțȡȓȞȠȣıĮȢ ȝʌȠȡȠȪȝİ ȞĮ ʌĮȡĮȖȠȞIJȠʌȠȒıȠȣȝİ ȑȞĮ IJȡȚȫȞȣȝȠ 2Ƞȣ ȕĮșȝȠȪ ȦȢ İȟȒȢ: AȞ șȑȜȠȣȝİ ȞĮ țȐȞȠȣȝİ ȖȚȞȩȝİȞȠ IJȠ IJȡȚȫȞȣȝȠ Įx2 + ȕx + Ȗ IJȩIJİ ȕȡȓıțȠȣȝİ IJȘȞ įȚĮțȡȓȞȠȣıĮ IJȘȢ İȟȓıȦıȘȢ Įx2 + ȕx + Ȗ = 0 (1) țĮȚ ȑȤȠȣȝİ: 1.

2.

3.

ǹȞ ǻ > 0 IJȩIJİ Ș (1) șĮ ȑȤİȚ įȪȠ ȡȓȗİȢ ȐȞȚıİȢ IJȚȢ ȡ1, ȡ1 țĮȚ IJȠ IJȡȚȫȞȣȝȠ ʌĮȡĮȖȠȞIJȠʌȠȚİȓIJĮȚ ıȪȝijȦȞĮ ȝİ IJȠȞ IJȪʌȠ Įx2 + ȕx + Ȗ = Į(x- ȡ1)(x- ȡ2) β AȞ ǻ = 0 IJȩIJİ Ș (1) ȑȤİȚ ȝȓĮ įȚʌȜȒ ȡȓȗĮ IJȘȞ x= țĮȚ IJȠ IJȡȚȫȞȣȝȠ 2α ʌĮȡĮȖȠȞIJȠʌȠȚİȓIJĮȚ ıȪȝijȦȞĮ ȝİ IJȠȞ IJȪʌȠ β 2 αx2+βx+γ=α(x+ ) 2α

AȞ ǻ < 0 IJȩIJİ Ș (1) İȓȞĮȚ ĮįȪȞĮIJȘ țĮȚ IJȠ IJȡȚȫȞȣȝȠ įİȞ ȖȓȞİIJĮȚ ȖȚȞȩȝİȞȠ.

143


ǼȇȍȉǾȈǼǿȈ ȀǹȉǹȃȅǾȈǾȈ

ȀİijȐȜĮȚȠ 2

EȡȦIJȒıİȚȢ IJȠȣ IJȪʌȠȣ ıȦıIJȩ (Ȉ) Ȓ ȜȐșȠȢ (ȁ)

ǹ. 1.

Ǿ İȟȓıȦıȘ Įx2 + ȕx + Ȗ = 0 ȑȤİȚ įȪȠ ȡȓȗİȢ ȐȞȚıİȢ ȩIJĮȞ ǻ • 0 .

2.

Ǿ İȟȓıȦıȘ 3x - x2 + 1 = 0 ȑȤİȚ ǻ = -11.

3.

Ǿ İȟȓıȦıȘ Įx2 + ȕx + Ȗ = 0, Į  0 ȑȤİȚ ʌȐȞIJĮ įȪȠ ȜȪıİȚȢ ȐȞȚıİȢ, ĮȞ Į țĮȚ Ȗ İȓȞĮȚ İIJİȡȩıȘȝȠȚ.

4.

Ǿ İȟȓıȦıȘ x2 - Įx = 0 įİȞ İȓȞĮȚ ĮįȪȞĮIJȘ.

5.

ȂȓĮ İȟȓıȦıȘ 2Ƞȣ ȕĮșȝȠȪ ȑȤİȚ ʌȡĮȖȝĮIJȚțȑȢ ȡȓȗİȢ ȩIJĮȞ ǻ < 0

6.

ǹȞ ȕ = 0 țĮȚ Ȗ > 0 IJȩIJİ Ș İȟȓıȦıȘ Įx2 + ȕx + Ȗ = 0 įİȞ ȑȤİȚ ȜȪıȘ.

7.

Ǿ İȟȓıȦıȘ x2 - 4x = 0 ȑȤİȚ ȝȓĮ ȜȪıȘ IJȘȞ x = 4.

8.

AȞ ʌȠȜȜĮʌȜĮıȚȐıȠȣȝİ țȐșİ ȩȡȠ ȝȚȐȢ İȟȓıȦıȘȢ 2Ƞȣ ȕĮșȝȠȪ ȝİ ȑȞĮ șİIJȚțȩ ĮȡȚșȝȩ IJȩIJİ Ș ȞȑĮ İȟȓıȦıȘ ȑȤİȚ IJȚȢ ȓįȚİȢ ȡȓȗİȢ.

9.

ǹȞ ʌȠȜȜĮʌȜĮıȚȐıȠȣȝİ țȐșİ ȩȡȠ ȝȚȐȢ İȟȓıȦıȘȢ 2Ƞȣ ȕĮșȝȠȪ ȝİ ȑȞĮȞ ĮȡȞȘIJȚțȩ ĮȡȚșȝȩ IJȩIJİ Ș ȞȑĮ İȟȓıȦıȘ ȑȤİȚ ĮȞIJȓșİIJİȢ ȡȓȗİȢ.

10. ǹȞ Ș İȟȓıȦıȘ Įx2 + ȕx + Ȗ = 0 ȝİ Į  0 ȑȤİȚ ȡȓȗĮ IJȠ 1 IJȩIJİ Į + ȕ + Ȗ = 0 11. ǹȞ Ș İȟȓıȦıȘ Įx2 + ȕx + Ȗ = 0 ȝİ Į  0 ȑȤİȚ ȡȓȗĮ IJȠ 0 IJȩIJİ Ȗ = 0 12. ȀȐșİ İȟȓıȦıȘ 2Ƞȣ ȕĮșȝȠȪ ȑȤİȚ IJȠ ʌȠȜȪ įȪȠ ȡȓȗİȢ. 13. ǹȞ ț  1, IJȩIJİ Ș İȟȓıȦıȘ x2 -4x + ț - 1 = 0 ȝʌȠȡİȓ ȞĮ ȑȤİȚ ȡȓȗĮ IJȠ 0. 14. ǹȞ Ș İȟȓıȦıȘ x2 -4x + Ȝ -5 =0 ȑȤİȚ įȚʌȜȒ ȡȓȗĮ IJȩIJİ Ȝ = 9 15. Ǿ İȟȓıȦıȘ Įx2 -x -Į =0, Į  0, ȑȤİȚ ʌȐȞIJȠIJİ įȪȠ ȐȞȚıİȢ ȡȓȗİȢ ıIJȠ R. 16. ȉȠ IJȡȚȫȞȣȝȠ Įx2 + ȕx + Ȗ ȝİ Į  0 ȖȓȞİIJĮȚ ʌȐȞIJĮ ȖȚȞȩȝİȞȠ.

144


Ǻ.

ǼȡȦIJȒıİȚȢ ʌȠȜȜĮʌȜȒȢ İʌȚȜȠȖȒȢ 1.

Ǿ İȟȓıȦıȘ x2 -3Įx + 4Į2 = 0 ȝİ Į  0 ȑȤİȚ: Į. ǻȪȠ ȡȓȗİȢ ȐȞȚıİȢ ʌȡĮȖȝĮIJȚțȑȢ ȕ. ȀĮȝȓĮ ȡȓȗĮ Ȗ. ǻȪȠ ȡȓȗİȢ ȓıİȢ į. ǻȪȠ ȡȓȗİȢ ʌȡĮȖȝĮIJȚțȑȢ.

2.

Ǿ İȟȓıȦıȘ x(x2 - 1) = 0 ȑȤİȚ ȜȪıİȚȢ: Į. 0, 1, -1 ȕ. 0, 1 Ȗ. 0, -1 į. İȓȞĮȚ ĮįȪȞĮIJȘ

3.

ǹȞ Ș İȟȓıȦıȘ x2 - ȕx + Ȗ = 0 įİȞ ȑȤİȚ ȡȓȗİȢ, ʌȠȚĮ Įʌȩ IJȚȢ ʌĮȡĮțȐIJȦ İȟȚıȫıİȚȢ įİȞ ȑȤİȚ İʌȓıȘȢ ȡȓȗİȢ: Į. x2 - ȕx - Ȗ = 0, ȕ. –x2 + ȕx + Ȗ = 0 Ȗ. Ȗx2 - ȕx + 1 = 0, Ȗ  0 į. Ȗx2 + ȕx - 1 = 0 Ȗ  0

4.

ǹȞ Ș İȟȓıȦıȘ x2 - 4x + 4Ȝ = 0 ȑȤİȚ įȪȠ ȡȓȗİȢ ȐȞȚıİȢ IJȩIJİ ȖȚĮ IJȠ Ȝ ȚıȤȪİȚ: Į. Ȝ < 1 ȕ. Ȝ > 1 Ȗ. Ȝ > 3 į. Ȝ ” 1

5.

AȞ Ș İȟȓıȦıȘ x2 - 6x + Ȝ = 0 ȑȤİȚ ȡȓȗİȢ ʌȡĮȖȝĮIJȚțȑȢ țĮȚ ȐȞȚıİȢ IJȩIJİ Ș ȝİȖĮȜȪIJİȡȘ ĮțȑȡĮȚĮ IJȚȝȒ IJȠȣ Ȝ İȓȞĮȚ: Į. 9 ȕ. 8 Ȗ. -9 į. -8

6.

AȞ ȡ1, ȡ2 İȓȞĮȚ ȠȚ ȡȓȗİȢ IJȘȢ İȟȓıȦıȘȢ : Įx2 + ȕx + Ȗ = 0 ȝİ Į  0 IJȩIJİ Ș ʌĮȡȐıIJĮıȘ Įx2 + ȕx + Ȗ İȓȞĮȚ ȓıȘ ȝİ: Į. (x- ȡ1)(x- ȡ2) ȕ. Į(x- ȡ1)(x- ȡ2) Ȗ. –Į(x- ȡ1)(x- ȡ2)

ȀİijȐȜĮȚȠ 2

ǹȈȀǾȈǼǿȈ īǿǹ ȁȊȈǾ 1.

ȃĮ ȜȪıİIJİ IJȚȢ ʌĮȡĮțȐIJȦ İȟȚıȫıİȚȢ Į) 3x2 - 27 = 0 ȕ) 4x2 - 16 = 0 Ȗ) x2 - 5 = 0 į) x2 - 9 = 0 İ) x2 - 1 = 0 ıIJ) x2 + 6 = 0 ȗ) x2 + 8 = 0 Ș) 3x2 + 48 = 0

2.

NĮ ȜȪıİIJİ IJȚȢ ʌĮȡĮțȐIJȦ İȟȚıȫıİȚȢ Į) 3x2 - 2x = 0 ȕ) 16x - x2 = 0 Ȗ) 2 x2 - 4x =0 į) -x2 = x İ) x2 = x ıIJ) 3x2 = 6x ȗ) x = 2x2 Ș) 7x = -14x2

3.

NĮ ȜȪıİIJİ IJȚȢ ʌĮȡĮțȐIJȦ İȟȚıȫıİȚȢ Į) 3x2 - 1 = 2(x2 + 12) ȕ) 3x2 - 4x = -8x Ȗ) (x-2)(x + 2) + (1- 2x)(1+ 2x) = 0 į) –x2 = 10x + 25 İ) 7x = x2 - 18 ıIJ) x2 = x-1 ȗ) 3x2 = 2x - 4

4.

NĮ ȜȪıİIJİ IJȚȢ ʌĮȡĮțȐIJȦ İȟȚıȫıİȚȢ Į) (2x - 3)2 = (x - 1)(x + 4) + x ȕ) 9(Į2-2) - 8Į = 4Į(2Į -1) + 14 Ȗ) (Ȝ + 2)(7Ȝ - 1) = (4Ȝ + 5)(5Ȝ - 3) į) -(3x -1)2 = (4x - 1)

145


ȀİijȐȜĮȚȠ 2

4.

NĮ ȜȪıİIJİ IJȚȢ ʌĮȡĮțȐIJȦ İȟȚıȫıİȚȢ α) (2x-3)2 = (x-1)(x+4) +9x β) 9(α2-2) -8α = 4α(2α-1)+14 7 3 γ) (λ+2)(7λ-1) = (4λ+5)(5λ-3) δ) -(3x-1)2= (4x-1) 4 2

5.

ȃĮ ȜȪıİIJİ IJȚȢ ʌĮȡĮțȐIJȦ İȟȚıȫıİȚȢ 2 x2 + 1 x + 1 x( x + 2) x( x − 1) x 2 + 2 1 + = ( x + 2) 2 β) + = + 3 4 3 4 6 2 2 2 2 4x + 1 x + 1 x + 1 x + 5 x − 2 2(1 − x) δ) − = −x γ) − = 5 2 4 9 4 3

α)

6.

ȃĮ ȜȪıİIJİ IJȚȢ ʌĮȡĮțȐIJȦ İȟȚıȫıİȚȢ Į) x3 - 5x2 - 6x = 0 ȕ) x3 = 2x2 + 3x Ȗ) x2 (x -2) -2x(2 -x) + x -2 = 0 į) x2 (3 -x) + x(x -3) + 6(x -3) = 0 İ) (x + 2)3 + x2 - 4 = 0

7.

NĮ ȜȪıİIJİ IJȚȢ İȟȚıȫıİȚȢ α) x2+(2 2 +3)x+3 2 +4 =0 γ)

8.

β) x2+( 5 + 3 ) x + 1 5 =0

2 x2-( 6 + 2 ) x + 6 =0 δ)

3x2 − x − 1 2 = 0

ȃĮ ȜȪıİIJİ IJȚȢ İȟȚıȫıİȚȢ α) -2x2+4,6x-2,4 =0 β) 0,002x2+4,004x-1,01=0 γ) x- x -20 =0 δ) x-3 x +2 =0 ε) x4 - 3x2 + 2 = 0

9.

ǻȓȞİIJĮȚ Ș İȟȓıȦıȘ 3x2 - 2x + 4Ȝ = 0. ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȚȢ IJȚȝȑȢ IJȠȣ Ȝ ȫıIJİ Ș İȟȓıȦıȘ Į) ȃĮ ȑȤİȚ įȪȠ ȡȓȗİȢ ȐȞȚıİȢ ʌȡĮȖȝĮIJȚțȑȢ ȕ) ȃĮ ȑȤİȚ įȪȠ ȡȓȗİȢ ȓıİȢ Ȗ) ȃĮ ȝȘȞ ȑȤİȚ ʌȡĮȖȝĮIJȚțȑȢ ȡȓȗİȢ.

10. ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȚȢ IJȚȝȑȢ IJȠȣ Ȝ ȫıIJİ Ș İȟȓıȦıȘ x2 - 3x + Ȝ2 + 7Ȝ = 0 ȞĮ ȑȤİȚ ȡȓȗĮ IJȠȞ ĮȡȚșȝȩ -2. 11. ǻȓȞİIJĮȚ Ș İȟȓıȦıȘ (x + Ȝ)2 -2(Ȝ - x) = 7. NĮ ȕȡİȓIJİ IJȘȞ IJȚȝȒ IJȠȣ Ȝ ȫıIJİ Ș İȟȓıȦıȘ ȞĮ ȑȤİȚ ȡȓȗĮ IJȠ 2; 12. AȞ ț İȓȞĮȚ ȡȓȗĮ IJȘȢ İȟȓıȦıȘȢ x2 - 3x - 5 = 0 ȞĮ ȕȡİȓIJİ IJȘȞ IJȚȝȒ IJȦȞ ʌĮȡĮıIJȐıİȦȞ ǹ = ț2 - 3ț Ǻ = ț2 - 3ț + 10

146


13. ȃĮ ȕȡİșİȓ Ƞ Ȝ R, ȫıIJİ Ș İȟȓıȦıȘ x2 - 2Ȝx + Ȝ2 = 0 ȞĮ ȑȤİȚ ȡȓȗĮ IJȠ 2. ȂİIJȐ ȞĮ ĮʌȠįİȚȤșİȓ ȩIJȚ Ș ȡȓȗĮ İȓȞĮȚ įȚʌȜȒ . 14. ȃĮ ȕȡİșȠȪȞ ȠȚ IJȚȝȑȢ IJȠȣ Ȝ R ȫıIJİ Ș İȟȓıȦıȘ: (Ȝ2 - 3Ȝ + 2)x2 + 3x - 2007 = 0 ȞĮ İȓȞĮȚ 2Ƞȣ ȕĮșȝȠȪ.

ȀİijȐȜĮȚȠ 2

3Δ 15. NĮ ȜȪıİIJİ IJȘȞ İȟȓıȦıȘ : x2 - 6x = 0 (1) ȩʌȠȣ ǻ İȓȞĮȚ Ș įȚĮțȡȓȞȠȣıĮ 4 IJȘȢ (1)

16. ȃĮ ȜȪıİIJİ IJȘȞ İȟȓıȦıȘ : x2 - ǻx + 2ǻ = 0 (1) ȩʌȠȣ ǻ İȓȞĮȚ Ș įȚĮțȡȓȞȠȣıĮ IJȘȢ (1) 17. ȃĮ ʌĮȡĮȖȠȞIJȠʌȠȚȒıİIJİ IJĮ ʌĮȡĮțȐIJȦ IJȡȚȫȞȣȝĮ ȝİ IJȘȞ ȕȠȒșİȚĮ IJȘȢ įȚĮțȡȓȞȠȣıĮȢ . 1 α) 6x2-x-1 β) x2-x-2 γ) 2x2-x-1 δ) 4x2-4x+1 ε) x2-2x+3 3 στ) 2x2+4x+3 ζ) 3x2-4x+1 18. ȃĮ ĮʌȜȠʌȠȚȒıİIJİ IJȚȢ ʌĮȡĮıIJȐıİȚȢ : A=

3x2 − x − 2 3 x 2 + 19 x − 1 4 x3 − 3 x 2 + 2 x , B = Γ = x2 + x − 2 2 x2 − x − 1 6 x2 − x − 2

19. ǻȓȞİIJĮȚ IJȠ IJȡȚȫȞȣȝȠ x2 - 4x + Ȝ -1. ȃĮ ȕȡİșİȓ Ƞ ʌȡĮȖȝĮIJȚțȩȢ ĮȡȚșȝȩȢ Ȝ ȫıIJİ: Į) ȉȠ ʌĮȡĮʌȐȞȦ IJȡȚȫȞȣȝȠ ȞĮ ĮȞĮȜȪİIJĮȚ ıİ ȖȚȞȩȝİȞȠ. ȕ) ȉȠ ʌĮȡĮʌȐȞȦ IJȡȚȫȞȣȝȠ ȞĮ ȝȘȞ ĮȞĮȜȪİIJĮȚ. Ȗ) ȉȠ ʌĮȡĮʌȐȞȦ IJȡȚȫȞȣȝȠ ȞĮ İȓȞĮȚ IJȑȜİȚȠ IJİIJȡȐȖȦȞȠ. 20. NĮ ʌĮȡĮȖȠȞIJȠʌȠȚȒıİIJİ IJȘȞ ʌĮȡĮțȐIJȦ ʌĮȡȐıIJĮıȘ: Į) x3 - 6x2 + 5x =0 ȕ) x4 + 5x3 - 6x2 = 0

147


ȀİijȐȜĮȚȠ 2

2.3

ȆȡȠȕȜȒȝĮIJĮ İȟȚıȫıİȦȞ įİȣIJȑȡȠȣ ȕĮșȝȠȪ

1.

Ȉİ ȑȞĮ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ IJȡȓȖȦȞȠ Ș ȣʌȠIJİȓȞȠȣıĮ İȓȞĮȚ x + 1. AȞ ȠȚ țȐșİIJİȢ ʌȜİȣȡȑȢ İȓȞĮȚ 7-x țĮȚ x. NĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİIJİ IJȠ x.

2.

Į) ȂȓĮ ȠȝȐįĮ Įʌȩ 6 ʌĮȚįȚȐ įȚȠȡȖĮȞȫȞİȚ ĮȖȫȞİȢ ıțȐțȚ, ıIJȠȣȢ ȠʌȠȓȠȣȢ țȐșİ ʌĮȚįȓ șĮ ʌĮȓȟİȚ ȝȓĮ ȝȩȞȠ ijȠȡȐ ȝİ țȐșİ ȑȞĮ Įʌȩ IJĮ ȣʌȩȜȠȚʌĮ ʌĮȚįȚȐ. ȃĮ ȕȡİȓIJİ ʌȩıȠȚ ĮȖȫȞİȢ șĮ įȚİȟĮȤșȠȪȞ. ȕ) ȂʌȠȡİȓIJİ ȞĮ ȕȡİȓIJİ ʌȩıȠȚ ĮȖȫȞİȢ șĮ ȖȓȞȠȣȞ ȩIJĮȞ İȓȞĮȚ: 10 ʌĮȚįȚȐ, 20 ʌĮȚįȚȐ țĮȚ ȖİȞȚțȐ Ȟ ʌĮȚįȚȐ. Ȗ) ǹȞ įȚİȟĮȤșȠȪȞ 465 ĮȖȫȞİȢ, ıIJȠȣȢ ȠʌȠȓȠȣȢ țȐșİ ʌĮȚįȓ șĮ ʌĮȓȟİȚ ȝİ ȩȜĮ IJĮ ȣʌȩȜȠȚʌĮ ȝȩȞȠ ȝȓĮ ijȠȡȐ ȞĮ ȕȡİȓIJİ ʌȩıĮ ʌĮȚįȚȐ ıȣȝȝİIJȑȤȠȣȞ.

148

3.

Ȉİ ȑȞĮ IJȡȓȖȦȞȠ Ș ȕȐıȘ IJȠȣ İȓȞĮȚ țĮIJȐ 5 cm ȝİȖĮȜȪIJİȡȘ Įʌȩ IJȠ ĮȞIJȓıIJȠȚȤȠ ȪȥȠȢ. ǹȞ IJȠ IJȡȓȖȦȞȠ ȑȤİȚ İȝȕĮįȩ 12 cm2, ȞĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİIJİ IJȘ ȕȐıȘ ĮȣIJȒ țĮȚ IJȠ ȪȥȠȢ ʌȠȣ ĮȞIJȚıIJȠȚȤİȓ ıİ ĮȣIJȒ.

4.

ȃĮ ȕȡİȓIJİ ȑȞĮȞ șİIJȚțȩ ĮȡȚșȝȩ IJȑIJȠȚȠ ȫıIJİ: ȉȠ ʌİȞIJĮʌȜȐıȚȠ IJȠȣ ĮȡȚșȝȠȪ ȞĮ İȓȞĮȚ ȓıȠ ȝİ IJȠ IJİIJȡȐȖȦȞȠ IJȠȣ ĮȡȚșȝȠȪ

5.

ȅȚ ʌȜİȣȡȑȢ įȪȠ țȪȕȦȞ įȚĮijȑȡȠȣȞ țĮIJȐ 2 cm İȞȫ ȠȚ ȩȖțȠȚ IJȠȣȢ įȚĮijȑȡȠȣȞ țĮIJȐ 152 cm3. ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȚȢ ʌȜİȣȡȑȢ.

6.

Ȉİ ȑȞĮ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ ʌĮȡĮȜȜȘȜȩȖȡĮȝȝȠ ȠȚ įȚĮıIJȐıİȚȢ IJȠȣ İȓȞĮȚ įȚĮįȠȤȚțȠȓ ijȣıȚțȠȓ ĮȡȚșȝȠȓ. ǹȞ IJȠ İȝȕĮįȩȞ IJȠȣ İȓȞĮȚ 110cm, ȞĮ ȕȡİȓIJİ IJȚȢ įȚĮıIJȐıİȚȢ IJȠȣ.

7.

ȂȓĮ İʌȚȤİȓȡȘıȘ ĮʌȠijȐıȚıİ ȞĮ ȝȠȚȡȐıİȚ 4000 İȣȡȫ ıİ 90 İȡȖĮȗȩȝİȞȠȣȢ . ǹȞ țȐșİ ȐȞįȡĮȢ ʌȒȡİ IJȩıĮ İȣȡȫ ȩıİȢ ȒIJĮȞ ȠȚ ȖȣȞĮȓțİȢ țĮȚ țȐșİ ȖȣȞĮȓțĮ ʌȒȡİ IJȩıĮ İȣȡȫ ȩıȠȚ ȒIJĮȞ ȠȚ ȐȞįȡİȢ, ȞĮ ȕȡİȓIJİ IJȠ ʌȜȒșȠȢ IJȦȞ ĮȞįȡȫȞ țĮȚ IJȦȞ ȖȣȞĮȚțȫȞ.


8.

ǹʌȩ IJȘȞ țȠȡȣijȒ İȞȩȢ țIJȚȡȓȠȣ ȪȥȠȣȢ 24 m, ȡȓȤȞȠȣȝİ ʌȡȠȢ IJĮ țȐIJȦ ȝȓĮ ʌȑIJȡĮ ȝİ ĮȡȤȚțȒ IJĮȤȪIJȘIJĮ ȣ0 = 2m/sec . Ȉİ ʌȩıȠ ȤȡȩȞȠ șĮ ijșȐıİȚ ıIJȠ ȑįĮijȠȢ;

ȀİijȐȜĮȚȠ 2

ǻȓȞȠȞIJĮȚ 9.

AȞ ĮijĮȚȡȑıȠȣȝİ IJȠȞ ĮȡȚșȝȩ ʌȠȣ İțijȡȐȗİȚ IJȠ ȝȒțȠȢ IJȘȢ ȝȚȐȢ ʌȜİȣȡȐȢ İȞȩȢ IJİIJȡĮȖȫȞȠȣ Įʌȩ IJȠȞ ĮȡȚșȝȩ ʌȠȣ İțijȡȐȗİȚ IJȠ İȝȕĮįȩȞ IJȠȣ, ȕȡȓıțȠȣȝİ 42. ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȠ ȝȒțȠȢ IJȘȢ ʌȜİȣȡȐȢ IJȠȣ IJİIJȡĮȖȫȞȠȣ.

10. ȂȓĮ İʌȚȤİȓȡȘıȘ ʌĮȡĮȖȦȖȒȢ ȥȣȖİȓȦȞ ȑȤİȚ ȘȝİȡȒıȚȠ țȩıIJȠȢ ʌĮȡĮȖȦȖȒȢ Ȁ(x) = 90 + 2x ȩʌȠȣ x Ƞ ĮȡȚșȝȩȢ IJȦȞ ȥȣȖİȓȦȞ ʌȠȣ ʌĮȡȐȖİȚ. ǹȞ Ș İʌȚȤİȓȡȘıȘ țȐȞİȚ ȘȝİȡȒıȚİȢ İȚıʌȡȐȟİȚȢ Ǽ(x) = x2 - 18x - 210 ȞĮ ȕȡİȓIJİ IJȠȞ IJȪʌȠ ʌȠȣ įȓȞİȚ IJȠ ȘȝİȡȒıȚȠ țȑȡįȠȢ P(x). ȆȩıĮ ȥȣȖİȓĮ ʌȡȑʌİȚ ȞĮ ʌĮȡȐȖİȚ Ș İʌȚȤİȓȡȘıȘ, ȫıIJİ Ș İʌȚȤİȓȡȘıȘ ȞĮ ȝȘȞ ȑȤİȚ ȠȪIJİ țȑȡįȘ ȠȪIJİ ȗȘȝȚȑȢ . 11. Ǿ IJĮȤȪIJȘIJĮ İȞȩȢ țȚȞȘIJȠȪ įȓȞİIJĮȚ ȣ(t) = t3 - 5t2 + 4t Į) ȆȠȚĮ İȓȞĮȚ Ș IJĮȤȪIJȘIJĮ ȖȚĮ IJĮ t = 2 sec ȕ) īȚĮ ʌȠȚİȢ IJȚȝȑȢ IJȠȣ t ȑȤȠȣȝİ ȣ = 0 12. ȀȪȕȠȢ țĮȚ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ ʌĮȡĮȜȜȘȜİʌȓʌİįȠ ȑȤȠȣȞ ȓıȠȣȢ ȩȖțȠȣȢ. ǹȞ Ș ȕȐıȘ IJȠȣ ʌĮȡĮȜȜȘȜİʌȚʌȑįȠȣ İȓȞĮȚ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ ȝİ įȚĮıIJȐıİȚȢ 4 cm, 9 cm țĮȚ ȑȤİȚ ȪȥȠȢ ȓıȠ ȝİ IJȘȞ ĮțȝȒ IJȠȣ țȪȕȠȣ, ȞĮ ȕȡİȓIJİ IJȚȢ įȚĮıIJȐıİȚȢ IJȦȞ įȪȠ ıIJİȡİȫȞ.

149


ȀİijȐȜĮȚȠ 2

2.4

ȀȜĮıȝĮIJȚțȑȢ İȟȚıȫıİȚȢ

KȜĮıȝĮIJȚțȒ İȟȓıȦıȘ ȜȑȖİIJĮȚ țȐșİ İȟȓıȦıȘ ʌȠȣ ʌİȡȚȑȤİȚ ȐȖȞȦıIJȠ ıIJȠȞ ʌĮȡȠȞȠȝĮıIJȒ. īȚĮ ȞĮ ȠȡȓȗİIJĮȚ ȝȓĮ țȜĮıȝĮIJȚțȒ İȟȓıȦıȘ șĮ ʌȡȑʌİȚ ȠȚ ʌĮȡȠȞȠȝĮıIJȑȢ ȩȜȦȞ IJȦȞ țȜĮıȝȐIJȦȞ IJȘȢ ȞĮ İȓȞĮȚ įȚȐijȠȡȠȚ IJȠȣ ȝȘįİȞȩȢ. īȚĮ ȞĮ ȜȪıȠȣȝİ ȝȓĮ țȜĮıȝĮIJȚțȒ İȟȓıȦıȘ ĮțȠȜȠȣșȠȪȝİ IJȘȞ İȟȒȢ įȚĮįȚțĮıȓĮ: • ȆĮȡĮȖȠȞIJȠʌȠȚȠȪȝİ IJȠȣȢ ʌĮȡȠȞȠȝĮıIJȑȢ • ǺȡȓıțȠȣȝİ IJȠ Ǽ.Ȁ.Ȇ. IJȦȞ ʌĮȡȠȞȠȝĮıIJȫȞ. • ǺȡȓıțȠȣȝİ IJȚȢ IJȚȝȑȢ IJȘȢ ȝİIJĮȕȜȘIJȒȢ ȖȚĮ IJȚȢ ȠʌȠȓİȢ ȠȡȓȗİIJĮȚ Ș İȟȓıȦıȘ. • ǹʌĮȜİȓijȠȣȝİ IJȠȣȢ ʌĮȡȠȞȠȝĮıIJȑȢ . ȆȠȜȜĮʌȜĮıȚȐȗȠȣȝİ țĮȚ IJĮ įȪȠ ȝȑȜȘ IJȘȢ İȟȓıȦıȘȢ ȝİ IJȠ Ǽ.Ȁ.Ȇ. țĮȚ țȐȞȠȣȝİ IJȚȢ ĮʌȜȠʌȠȚȒıİȚȢ. • ȁȪȞȠȣȝİ IJȘȞ İȟȓıȦıȘ ʌȠȣ ʌȡȠțȪʌIJİȚ. • ǹʌȠȡȡȓʌIJȠȣȝİ Įʌȩ IJȚȢ ȡȓȗİȢ ʌȠȣ ȕȡȓıțȠȣȝİ İțİȓȞİȢ ʌȠȣ ȝȘįİȞȓȗȠȣȞ IJȠȣȢ ʌĮȡȠȞȠȝĮıIJȑȢ IJȘȢ ĮȡȤȚțȒȢ İȟȓıȦıȘȢ.

ȁȊȂǼȃǼȈ ǹȈȀǾȈǼǿȈ 1.

ȃĮ ȜȪıİIJİ IJȚȢ İȟȚıȫıİȚȢ:

ȁȪıȘ Į) DzȤȠȣȝİ: TȠ Ǽ.Ȁ.Ȇ. IJȦȞ ʌĮȡȠȞȠȝĮıIJȫȞ İȓȞĮȚ Ǽ.Ȁ.Ȇ. = (x - 2)(x + 2) . ȆȡȑʌİȚ: (x - 2)(x + 2)  0 Ȓ x - 2 0 țĮȚ x + 2  0 Ȓ x  2 țĮȚ x  -2. DzȤȠȣȝİ IJȫȡĮ įȚĮįȠȤȚțȐ: ή

ή ή ή

150

ή ή

ή άρα

ή


ȕ) ȅȚ ʌĮȡȠȞȠȝĮıIJȑȢ İȓȞĮȚ ȖȚȞȩȝİȞȠ ȠʌȩIJİ șĮ ȕȡȠȪȝİ IJȠ Ǽ.Ȁ.Ȇ. x2(x + 1)2 .

ȀİijȐȜĮȚȠ 2

ȆȡȑʌİȚ: x2(x + 1)2  0 x 2  0 țĮȚ (x + 1)2  0 x  0 țĮȚ x  -1 DzȤȠȣȝİ IJȫȡĮ įȚĮįȠȤȚțȐ ή ή

ή ή

άρα

ǼȇȍȉǾȈǼǿȈ ȀǹȉǹȃȅǾȈǾȈ ǼȡȦIJȒıİȚȢ ıȦıIJȩ (Ȉ) Ȓ ȜȐșȠȢ (ȁ)

ǹ.

ȑȤİȚ ȡȓȗĮ IJȠ 1.

1.

Ǿ İȟȓıȦıȘ

2.

ȅȚ İȟȚıȫıİȚȢ x2 - 4 = 0 țĮȚ

3.

Ǿ İȟȓıȦıȘ

4.

ȅ ĮȡȚșȝȩȢ 0 İȓȞĮȚ ȜȪıȘ IJȘȢ İȟȓıȦıȘȢ

Ǻ.

İȓȞĮȚ ȚıȠįȪȞĮȝİȢ. İȓȞĮȚ țȜĮıȝĮIJȚțȒ.

ǼȡȦIJȒıİȚȢ ʌȠȜȜĮʌȜȒȢ İʌȚȜȠȖȒȢ. 1.

Ǿ İȟȓıȦıȘ

ȑȤİȚ ȡȓȗİȢ:

Į. 0 țĮȚ 2, ȕ. 0, 2 țĮȚ -2 Ȗ. 0 Ȓ -2 į. 2 țĮȚ -2 2.

Ǿ İȟȓıȦıȘ

ıIJȠ ıȪȞȠȜȠ ȃ ȑȤİȚ ȡȓȗİȢ:

Į. -1, ȕ. 0, Ȗ. 0, 1, -1 į. ĮįȪȞĮIJȘ . 3.

H İȟȓıȦıȘ

įİȞ ȝʌȠȡİȓ ȞĮ ʌȐȡİȚ IJȘȞ IJȚȝȒ:

Į. 1 ȕ. -2 Ȗ. -1 į. -1 țĮȚ -2

151


ǹȈȀǾȈǼǿȈ īǿǹ ȁȊȈǾ

ȀİijȐȜĮȚȠ 2

1.

ȃĮ ȜȪıİIJİ ıIJȠ ıȪȞȠȜȠ R IJȚȢ İȟȚıȫıİȚȢ:

2.

ȃĮ ȜȪıİIJİ ıIJȠ ıȪȞȠȜȠ Q IJȚȢ İȟȚıȫıİȚȢ:

3.

ȃĮ ȜȪıİIJİ ıIJȠ ıȪȞȠȜȠ ȃ IJȚȢ İȟȚıȫıİȚȢ:

4.

ȃĮ ȜȪıİIJİ IJȘȞ İȟȓıȦıȘ

, ȩʌȠȣ Į İȓȞĮȚ Ș

ȝȚțȡȩIJİȡȘ țĮȚ ȕ Ș ȝİȖĮȜȪIJİȡȘ ȡȓȗĮ IJȘȢ İȟȓıȦıȘȢ x2 - 5x + 6 = 0.

152

5.

ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȠȞ ĮȡȚșȝȩ ıIJȠȞ ȠʌȠȓȠ ĮȞ ʌȡȠıșȑıȠȣȝİ IJȠ ʌİȞIJĮʌȜȐıȚȠ IJȠȣ ĮȞIJȚıIJȡȩijȠȣ IJȠȣ, ȕȡȓıțȠȣȝİ IJȠ 4 .

6.

ȃĮ ȕȡİȓIJİ įȪȠ ĮȡȚșȝȠȪȢ ʌȠȣ IJȠ ȐșȡȠȚıȝȐ IJȠȣȢ İȓȞĮȚ 12 İȞȫ IJȠ ȐșȡȠȚıȝĮ IJȦȞ ĮȞIJȚıIJȡȩijȦȞ IJȠȣȢ İȓȞĮȚ

7.

TĮ ȑȟȠįĮ İȞȩȢ ȖİȪȝĮIJȠȢ ȒIJĮȞ 120 İȣȡȫ. ǼʌİȚįȒ ȩȝȦȢ ȝİIJĮȟȪ IJȦȞ ĮIJȩȝȦȞ ʌȠȣ ʌȒȡĮȞ ȝȑȡȠȢ ıIJȠ ȖİȪȝĮ ȒIJĮȞ țĮȚ 3 ijȚȜȠȟİȞȠȪȝİȞȠȚ, ȠȚ ȣʌȩȜȠȚʌȠȚ ĮȞĮȖțȐıIJȘțĮȞ ȞĮ ʌȜȘȡȫıȠȣȞ 9 İȣȡȫ İʌȚʌȜȑȠȞ, Ƞ țĮșȑȞĮȢ. ȆȩıĮ ȐIJȠȝĮ ʌȒȡĮȞ ȝȑȡȠȢ ıIJȠ ȖİȪȝĮ.

8.

DzȞĮȢ İȡȖȐIJȘȢ ǹ, ȖȚĮ ȞĮ IJİȜİȚȫıİȚ ȑȞĮ ȑȡȖȠ, ȤȡİȚȐȗİIJĮȚ 3 ȝȑȡİȢ ʌİȡȚııȩIJİȡȠ Įʌȩ ȑȞĮȞ İȡȖȐIJȘ Ǻ. ǹȞ İȡȖĮıIJȠȪȞ ȝĮȗȓ țĮȚ ȠȚ įȪȠ IJİȜİȚȫȞȠȣȞ IJȠ ȑȡȖȠ ıİ įȪȠ ȘȝȑȡİȢ. Ȉİ ʌȩıİȢ ȝȑȡİȢ IJİȜİȚȫȞİȚ IJȠ ȑȡȖȠ Ƞ țȐșİ İȡȖȐIJȘȢ ȝȩȞȠȢ IJȠȣ.

9.

Ȉİ ȝȓĮ İțįȡȠȝȒ ȠȚ ȖȣȞĮȓțİȢ ȒIJĮȞ țĮIJȐ 5 ȜȚȖȩIJİȡİȢ Įʌȩ IJȠȣȢ ȐȞįȡİȢ. ȅȚ ȐȞįȡİȢ ʌȜȒȡȦıĮȞ ıȣȞȠȜȚțȐ 180 İȣȡȫ, ȠȚ įİ ȖȣȞĮȓțİȢ 80 İȣȡȫ. ȃĮ ȕȡİȓIJİ ʌȩıȠȚ ȒIJĮȞ ȠȚ ȐȞįȡİȢ țĮȚ ʌȩıİȢ ȠȚ ȖȣȞĮȓțİȢ, ĮȞ țȐșİ ȐȞįȡĮȢ ʌȜȒȡȦıİ 4 İȣȡȫ ʌİȡȚııȩIJİȡĮ Įʌȩ țȐșİ ȖȣȞĮȓțĮ.


10. DzȞĮ IJȡȑȞȠ įȚĮȞȪİȚ 300 Ȁm ȝİ ıIJĮșİȡȒ IJĮȤȪIJȘIJĮ .ǹȞ Ș IJĮȤȪIJȘIJȐ IJȠȣ ĮȣȟȘșİȓ țĮIJȐ 5 Ȁm / h, IJȩIJİ IJȠ IJȡȑȞȠ șĮ įȚĮȞȪıİȚ IJĮ 300 Ȁm ıİ 2 h ȖȡȘȖȠȡȩIJİȡĮ. ȆȠȚĮ İȓȞĮȚ Ș IJĮȤȪIJȘIJĮ IJȠȣ IJȡȑȞȠȣ;

2.5

ȀİijȐȜĮȚȠ 2

ǹȞȚıȩIJȘIJİȢ - ǹȞȚıȫıİȚȢ ȝİ ȑȞĮȞ ȐȖȞȦıIJȠ

ǹȞ ȑȤȠȣȝİ įȪȠ ʌȡĮȖȝĮIJȚțȠȪȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ Į, ȕ IJȩIJİ ȝʌȠȡİȓ ȞĮ ȚıȤȪȠȣȞ: Į) ȅ Į ȞĮ İȓȞĮȚ ȝİȖĮȜȪIJİȡȠȢ Įʌȩ IJȠȞ ȕ țĮȚ ȖȡȐijȠȣȝİ Į > ȕ ȩIJĮȞ Ș įȚĮijȠȡȐ Į-ȕ > 0. ȕ) O Į ȞĮ İȓȞĮȚ ȝȚțȡȩIJİȡȠȢ Įʌȩ IJȠȞ ȕ țĮȚ ȖȡȐijȠȣȝİ Į < ȕ ȩIJĮȞ Ș įȚĮijȠȡȐ Į-ȕ< 0. Ȗ) ȅ Į ȞĮ İȓȞĮȚ ȓıȠȢ ȝİ IJȠȞ ȕ țĮȚ ȖȡȐijȠȣȝİ Į - ȕ ȩIJĮȞ Ș įȚĮijȠȡȐ Į - ȕ = 0 . ȆǹȇǹȉǾȇǾȈǼǿȈ 1. 2. 3. 4.

ǹȞ įȪȠ ĮȡȚșȝȠȓ İȓȞĮȚ IJȠʌȠșİIJȘȝȑȞȠȚ ıİ ȐȟȠȞĮ IJȩIJİ ȝİȖĮȜȪIJİȡȠȢ İȓȞĮȚ ĮȣIJȩȢ ʌȠȣ ȕȡȓıțİIJĮȚ įİȟȚȩIJİȡĮ. ȀȐșİ șİIJȚțȩȢ ĮȡȚșȝȩȢ İȓȞĮȚ ȝİȖĮȜȪIJİȡȠȢ Įʌȩ IJȠ 0 . ȀȐșİ ĮȡȞȘIJȚțȩȢ İȓȞĮȚ ȝȚțȡȩIJİȡȠȢ Įʌȩ IJȠ 0 . ȀȐșİ șİIJȚțȩȢ ĮȡȚșȝȩȢ İȓȞĮȚ ȝİȖĮȜȪIJİȡȠȢ Įʌȩ țȐșİ ĮȡȞȘIJȚțȩ . ȆȫȢ ıȣȖțȡȓȞȠȣȝİ įȪȠ ĮȡȚșȝȠȪȢ īȚĮ ȞĮ ıȣȖțȡȓȞȠȣȝİ įȪȠ ʌȡĮȖȝĮIJȚțȠȪȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ Į, ȕ ʌȠȣ įİȞ ȑȤȠȣȞ ʌĮȡĮıIJĮșİȓ ȝİ ıȘȝİȓĮ İȞȩȢ ȐȟȠȞĮ, IJȩIJİ ȕȡȓıțȠȣȝİ IJȘȞ įȚĮijȠȡȐ IJȠȣȢ țĮȚ İȟİIJȐȗȠȣȝİ ĮȞ İȓȞĮȚ șİIJȚțȒ Ȓ ĮȡȞȘIJȚțȒ Ȓ ȝȘįȑȞ. DzIJıȚ ȑȤȠȣȝİ: • ǹȞ Į - ȕ > 0 IJȩIJİ Į > ȕ • ǹȞ Į - ȕ < 0 IJȩIJİ Į < ȕ • ǹȞ Į -ȕ = 0 IJȩIJİ Į = ȕ ǿǻǿȅȉǾȉǼȈ

1.

ǹȞ ıIJĮ ȝȑȜȘ ʌȡȠıșȑıȠȣȝİ Ȓ ĮijĮȚȡȑıȠȣȝİ IJȠȞ ȓįȚȠ ĮȡȚșȝȩ Ș ijȠȡȐ IJȘȢ ĮȞȓıȦıȘȢ įȚĮIJȘȡİȓIJĮȚ. īİȞȚțȐ ȚıȤȪİȚ: AȞ Į > ȕ IJȩIJİ Į) Į + Ȗ > ȕ + Ȗ țĮȚ ȕ) Į - Ȗ > ȕ - Ȗ

153


ȀİijȐȜĮȚȠ 2

ǹʌȩįİȚȟȘ Į) ǺȡȓıțȠȣȝİ IJȘȞ įȚĮijȠȡȐ IJȦȞ ĮȡȚșȝȫȞ Į + Ȗ, ȕ + Ȗ . DzIJıȚ ȑȤȠȣȝİ: Į + Ȗ - (ȕ + Ȗ) = Į + Ȗ - ȕ - Ȗ = Į - ȕ . ǼȓȞĮȚ ȩȝȦȢ Į > ȕ, ȠʌȩIJİ Į - ȕ >0. ǻȘȜĮįȒ Ș įȚĮijȠȡȐ (Į + Ȗ) - (ȕ + Ȗ) İȓȞĮȚ șİIJȚțȩȢ ĮȡȚșȝȩȢ, ȠʌȩIJİ Į + Ȗ > ȕ + Ȗ ȕ) ǺȡȓıțȠȣȝİ IJȘȞ įȚĮijȠȡȐ IJȦȞ ĮȡȚșȝȫȞ Į - Ȗ, ȕ - Ȗ . DzIJıȚ ȑȤȠȣȝİ: Į - Ȗ - (ȕ - Ȗ) = Į - Ȗ - ȕ + Ȗ = Į - ȕ . ǼȓȞĮȚ ȩȝȦȢ Į > ȕ, ȠʌȩIJİ Į - ȕ > 0. ǻȘȜĮįȒ Ș įȚĮijȠȡȐ (Į - Ȗ) - (ȕ - Ȗ) İȓȞĮȚ șİIJȚțȩȢ ĮȡȚșȝȩȢ, ȠʌȩIJİ Į - Ȗ > ȕ - Ȗ 2.

ǹȞ ʌȠȜȜĮʌȜĮıȚȐıȠȣȝİ Ȓ įȚĮȚȡȑıȠȣȝİ IJĮ ȝȑȜȘ ȝȚĮȢ ĮȞȚıȩIJȘIJĮȢ ȝİ ȑȞĮ șİIJȚțȩ ĮȡȚșȝȩ IJȩIJİ Ș ijȠȡȐ IJȘȢ ĮȞȓıȦıȘȢ įȚĮIJȘȡİȓIJĮȚ. īİȞȚțȐ ȚıȤȪİȚ: AȞ Į > ȕ țĮȚ Ȗ > 0 IJȩIJİ Į) ĮȖ > ȕȖ țĮȚ ȕ)

ǹʌȩįİȚȟȘ Į) ǺȡȓıțȠȣȝİ IJȘȞ įȚĮijȠȡȐ IJȦȞ ĮȡȚșȝȫȞ ĮȖ, ȕȖ . DzIJıȚ ȑȤȠȣȝİ: ĮȖ - ȕȖ = Ȗ(Į - ȕ) (1) . ǼȓȞĮȚ ȩȝȦȢ Ȗ > 0 țĮȚ Į - ȕ > 0, ĮijȠȪ Į > ȕ .DZȡĮ ȠȚ ĮȡȚșȝȠȓ Ȗ țĮȚ Į - ȕ İȓȞĮȚ șİIJȚțȠȓ, ȠʌȩIJİ ȑȤȠȣȞ ȖȚȞȩȝİȞȠ șİIJȚțȩ, įȘȜ Ȗ(Į - ȕ)>0 . DZȡĮ Įʌȩ IJȘȞ ȚıȩIJȘIJĮ (1) Ș įȚĮijȠȡȐ ĮȖ - ȕȖ İȓȞĮȚ șİIJȚțȩȢ ĮȡȚșȝȩȢ, ȠʌȩIJİ ĮȖ > ȕȖ ȕ) ǺȡȓıțȠȣȝİ IJȘȞ įȚĮijȠȡȐ IJȦȞ ĮȡȚșȝȫȞ

. DzIJıȚ ȑȤȠȣȝİ:

(1) . ǼȓȞĮȚ ȩȝȦȢ Ȗ > 0 țĮȚ Į - ȕ > 0, ĮijȠȪ Į > ȕ. DZȡĮ ȠȚ ĮȡȚșȝȠȓ Ȗ țĮȚ Į - ȕ İȓȞĮȚ șİIJȚțȠȓ, ȠʌȩIJİ ȑȤȠȣȞ ʌȘȜȓțȠ șİIJȚțȩ, įȘȜ,

DZȡĮ Įʌȩ IJȘȞ ȚıȩIJȘIJĮ (1) Ș įȚĮijȠȡȐ

3.

İȓȞĮȚ șİIJȚțȩȢ ĮȡȚșȝȩȢ, ȠʌȩIJİ

ǹȞ ʌȠȜȜĮʌȜĮıȚȐıȠȣȝİ Ȓ įȚĮȚȡȑıȠȣȝİ IJĮ ȝȑȜȘ ȝȚȐȢ ĮȞȚıȩIJȘIJĮȢ ȝİ IJȠȞ ȓįȚȠ ĮȡȞȘIJȚțȩ ĮȡȚșȝȩ IJȩIJİ Ș ijȠȡȐ IJȘȢ ĮȞȓıȦıȘȢ ĮȜȜȐȗİȚ. īİȞȚțȐ ȚıȤȪİȚ: AȞ Į > ȕ țĮȚ Ȗ < 0 IJȩIJİ ĮȖ < ȕȖ țĮȚ

4.

154

ǹȞ ʌȡȠıșȑıȠȣȝİ țĮIJȐ ȝȑȜȘ įȪȠ Ȓ ʌİȡȚııȩIJİȡİȢ ĮȞȚıȩIJȘIJİȢ ʌȠȣ ȑȤȠȣȞ IJȘȞ ȓįȚĮ ijȠȡȐ, IJȩIJİ ʌȡȠțȪʌIJİȚ ĮȞȚıȩIJȘIJĮ ȝİ IJȘȞ ȓįȚĮ ijȠȡȐ.


īİȞȚțȐ ȚıȤȪİȚ ȩIJȚ: ǹȞ Į > ȕ țĮȚ Ȗ > į IJȩIJİ Į + Ȗ > ȕ + į

ȀİijȐȜĮȚȠ 2

ǹʌȩ IJȚȢ ʌȡȠȘȖȠȪȝİȞİȢ ȚįȚȩIJȘIJİȢ ȚıȤȪİȚ țĮȚ Ș ȝİIJĮȕĮIJȚțȒ ȚįȚȩIJȘIJĮ: AȞ Į > ȕ țĮȚ ȕ > Ȗ IJȩIJİ Į > Ȗ 5.

ǹȞ ʌȠȜȜĮʌȜĮıȚȐıȠȣȝİ țĮIJȐ ȝȑȜȘ įȪȠ Ȓ ʌİȡȚııȩIJİȡİȢ ĮȞȚıȩIJȘIJİȢ ʌȠȣ ȑȤȠȣȞ IJȘȞ ȓįȚĮ ijȠȡȐ țĮȚ șİIJȚțȐ ȝȑȜȘ, IJȩIJİ ʌȡȠțȪʌIJİȚ ĮȞȚıȩIJȘIJĮ ȝİ IJȘȞ ȓįȚĮ ijȠȡȐ. īİȞȚțȐ ȚıȤȪİȚ ȩIJȚ: AȞ Į, ȕ, Ȗ, į İȓȞĮȚ șİIJȚțȠȓ ʌȡĮȖȝĮIJȚțȠȓ ĮȡȚșȝȠȓ ȝİ Į > ȕ țĮȚ Ȗ > į IJȩIJİ ĮȖ > ȕį

ǹʌȩįİȚȟȘ ǼȓȞĮȚ Į > ȕ țĮȚ Ȗ > 0, ȠʌȩIJİ ıȪȝijȦȞĮ ȝİ IJȘ 2) ȚįȚȩIJȘIJĮ ĮȖ > ȕȖ (1) ǼȓȞĮȚ Ȗ > į țĮȚ ȕ > 0, ȠʌȩIJİ ȕȖ > ȕį (2), Įʌȩ IJȚȢ (1) țĮȚ (2) țĮȚ Įʌȩ IJȘ ȝİIJĮȕĮIJȚțȒ ȚįȚȩIJȘIJĮ ĮȖ > ȕį . ǹțȩȝȘ ȚıȤȪȠȣȞ: Į) ȉȠ ȐșȡȠȚıȝĮ įȪȠ șİIJȚțȫȞ ĮȡȚșȝȫȞ İȓȞĮȚ șİIJȚțȩȢ ĮȡȚșȝȩȢ. ȕ) ȉȠ ȐșȡȠȚıȝĮ įȪȠ ĮȡȞȘIJȚțȫȞ ĮȡȚșȝȫȞ İȓȞĮȚ ĮȡȞȘIJȚțȩȢ ĮȡȚșȝȩȢ. Ȗ) ȉȠ ȖȚȞȩȝİȞȠ țĮȚ IJȠ ʌȘȜȓțȠ ȠȝȩıȘȝȦȞ ĮȡȚșȝȫȞ İȓȞĮȚ șİIJȚțȩȢ. į) ȉȠ ȖȚȞȩȝİȞȠ țĮȚ IJȠ ʌȘȜȓțȠ İIJİȡȩıȘȝȦȞ İȓȞĮȚ ĮȡȞȘIJȚțȩȢ İ) īȚĮ țȐșİ ʌȡĮȖȝĮIJȚțȩ ĮȡȚșȝȩ Į ȚıȤȪİȚ Į2 • 0 . ǼʌȠȝȑȞȦȢ: AȞ ȖȚĮ IJȠȣȢ ʌȡĮȖȝĮIJȚțȠȪȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ Į, ȕ ȚıȤȪİȚ Į2 + ȕ2 = 0, IJȩIJİ Į = 0 țĮȚ ȕ = 0 .

ȆǹȇǹȉǾȇǾȈǼǿȈ Į) ǻİȞ ĮijĮȚȡȠȪȝİ ĮȞȚıȩIJȘIJİȢ țĮIJȐ ȝȑȜȘ. ȕ) ǻİȞ įȚĮȚȡȠȪȝİ ĮȞȚıȩIJȘIJİȢ țĮIJȐ ȝȑȜȘ. Ȗ) ǵIJĮȞ ʌȠȜȜĮʌȜĮıȚȐȗȠȣȝİ ĮȞȚıȩIJȘIJİȢ țĮIJȐ ȝȑȜȘ ȩȜȠȚ ȠȚ ĮȡȚșȝȠȓ ʌȡȑʌİȚ ȞĮ İȓȞĮȚ șİIJȚțȠȓ.

155


ȁȊȂǼȃǼȈ ǹȈȀǾȈǼǿȈ

ȀİijȐȜĮȚȠ 2

1.

ǹȞ x < 2ȥ, ȞĮ ıȣȖțȡȓȞİIJİ IJȠȣȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ: Į) 3 (x - 2ȥ) țĮȚ 2(x - 4ȥ) ȕ) 2(3- ȥ) țĮȚ 3(-x +5) +2x

ȁȪıȘ Į) ǺȡȓıțȦ IJȘȞ įȚĮijȠȡȐ IJȦȞ ĮȡȚșȝȫȞ țĮȚ IJȘȞ ıȣȖțȡȓȞȦ ȝİ IJȠ 0. 3(x - 2ȥ) -2(x - 2ȥ) = 3x -6ȥ -2x + 4ȥ = x -2ȥ < 0 įȚȩIJȚ Įʌȩ IJȘȞ ȣʌȩșİıȘ x < 2ȥ . DZȡĮ 3(x - 2ȥ) < 2(x - 4ȥ) ȕ) ǺȡȓıțȦ IJȘȞ įȚĮijȠȡȐ IJȦȞ ĮȡȚșȝȫȞ țĮȚ IJȘ ıȣȖțȡȓȞȦ ȝİ IJȠ 0. 2(3 - ȥ)-[3(-x + 5) +2x] = 6 -2ȥ + 3x - 15 - 2x = -9 + x -2ȥ <0 įȚȩIJȚ ȑȤȠȣȝİ ȐșȡȠȚıȝĮ ĮȡȞȘIJȚțȫȞ. DZȡĮ 2(3 - ȥ) < 3(-x +5) +2x 2.

Į) AȞ Į, ȕ İȓȞĮȚ ȠȝȩıȘȝȠȚ ȝİ Į > ȕ, ȞĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ: ȕ) ǹȞ Į> 0, ȞĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ Ȗ) ǹȞ Į<0, ȞĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ

(ȆȩIJİ ȚıȤȪİȚ Ș ȚıȩIJȘIJĮ;) (ȆȩIJİ ȚıȤȪİȚ Ș ȚıȩIJȘIJĮ;)

ȁȪıȘ

3.

156

ǹȞ 1 ” x < 2 țĮȚ 3 < ȥ ” 5 ȞĮ ȕȡİșİȓ ȝİIJĮȟȪ ʌȠȚȫȞ ĮȡȚșȝȫȞ ʌİȡȚȑȤȠȞIJĮȚ ȠȚ IJȚȝȑȢ IJȦȞ ʌĮȡĮıIJȐıİȦȞ :


ȀİijȐȜĮȚȠ 2

ȁȪıȘ Į) ǼȓȞĮȚ 1 ” x < 2 (1) țĮȚ 3 < ȥ ” 5, ȐȡĮ 2 · 3 < 2 · ȥ ” 2 · 5 Ȓ 6 < 2ȥ ” 10 (2). ȉȚȢ (1) țĮȚ (2) IJȚȢ ʌȡȠıșȑIJȠȣȝİ țĮIJȐ ȝȑȜȘ țĮȚ ȑȤȠȣȝİ: 1 + 6 < x + 2ȥ < 2 + 10 Ȓ 7 < x + 2ȥ < 12 ȕ) ǼȓȞĮȚ 1” x < 2, ȐȡĮ -2·1 • -2·x > -2·2 Ȓ -4 < -2x ” -2 (1). EʌȓıȘȢ 3<ȥ ” 5, ȐȡĮ 4·3 < 4·ȥ ” 4·5 12 < 4ȥ ” 20 (2). ȉȚȢ (1) țĮȚ (2) IJȚȢ ʌȡȠıșȑIJȠȣȝİ țĮIJȐ ȝȑȜȘ țĮȚ ȑȤȠȣȝİ: -4 + 12 < -2x + 4ȥ ” -2 + 20 Ȓ 8 < -2x + 4ȥ ” 18 . ή

ή

į) ǼȓȞĮȚ 1 ” x < 2, ȐȡĮ 3·1” 3x < 3·2 Ȓ 3 ” 3x < 6 (1). EʌȓıȘȢ 3 < ȥ ” 5, ȐȡĮ -4 · 3 > -4ȥ • -4·5 Ȓ -20 ” -4ȥ < -12 (2). ȉȚȢ (1) țĮȚ (2) IJȚȢ ʌȡȠıșȑIJȠȣȝİ țĮIJȐ ȝȑȜȘ țĮȚ ȑȤȠȣȝİ: 3 - 20 ” 3x -20 < 6 -12 Ȓ -17 ” 3x -20 < -6 . 4.

ȃĮ ȜȣșȠȪȞ ȠȚ ĮȞȚıȫıİȚȢ:

ȁȪıȘ ή ή

ή ή

ή

ή ή

ή

ή

ȕ) (x + 1)2 - (x - 1)2 < 0 Ȓ x2 + 2x + 1 -(x2 - 2x + 1) < 0 Ȓ x2 + 2x + 1 -x2 + 2x -1 < 0 Ȓ4x < 0 Ȓ x < 0 .

157


ǼȇȍȉǾȈǼǿȈ ȀǹȉǹȃȅǾȈǾȈ

ȀİijȐȜĮȚȠ 2

ǼȡȦIJȒıİȚȢ ıȦıIJȩ (Ȉ) Ȓ ȜȐșȠȢ (ȁ)

ǹ. 1.

ǹȞ Į > ȕ IJȩIJİ Į · Ȗ> ȕ · Ȗ

2.

ǹȞ Į > -2 țĮȚ x > ȥ IJȩIJİ ȚıȤȪİȚ Įx > -2ȥ

3.

ǹȞ Į > ȕ țĮȚ Ȗ > į IJȩIJİ Į ȕ > Ȗ į

4.

ǹȞ Į>ȕ țĮȚ Ȗ> į IJȩIJİ Į-Ȗ>ȕ-į

5.

Ǿ ȜȪıȘ IJȘȢ ĮȞȓıȦıȘȢ 0x > 3 İȓȞĮȚ ȠȚ ĮȡȚșȝȠȓ ȝİȖĮȜȪIJİȡȠȚ IJȠȣ 3

6.

ǹȞ Į2 > 0 IJȩIJİ Į > 0

7.

ǹȞ Į3 >0 IJȩIJİ Į> 0

8.

ǹȞ Į < 1 țĮȚ ȕ < 1 IJȩIJİ Įȕ < 1

9.

ǹȞ Į < ȕ țĮȚ Ȗ<0, IJȩIJİ

10. ǹȞ

.

α < 1 , IJȩIJİ Į < ȕ . β

11. ǹȞ Į > ȕ, IJȩIJİ Į2 > ȕ2 12. ǹȞ Į· ȕ > 0, IJȩIJİ Į, ȕ İȓȞĮȚ șİIJȚțȠȓ . 13. ǹȞ Į > ȕ țĮȚ Į > Ȗ, IJȩIJİ ȕ > Ȗ 14. ǹȞ Į+x > ȕ+ ȥ, IJȩIJİ Į > ȕ 15. ǹȞ Į • ȕ țĮȚ Ȗ > į IJȩIJİ Į + Ȗ • ȕ + į 16. ǹȞ o ĮȡȚșȝȩȢ x İȓȞĮȚ IJȠ ʌȠȜȪ 5, IJȩIJİ x ” 5 17. AȞ Ƞ ĮȡȚșȝȩȢ x İȓȞĮȚ IJȠȣȜȐȤȚıIJȠȞ 8 IJȩIJİ x • 8 18. ǹȞ Ƞ ĮȡȚșȝȩȢ x įİȞ ȣʌİȡȕĮȓȞİȚ IJȠ 5 IJȩIJİ x < 5 19. H ĮȞȓıȦıȘ -2x > -5x ĮȜȘșİȪİȚ ȖȚĮ țȐșİ ʌȡĮȖȝĮIJȚțȩ ĮȡȚșȝȩ x.

158


20. H ĮȞȓıȦıȘ 0 · x < 3 İȓȞĮȚ ĮįȪȞĮIJȘ .

ȀİijȐȜĮȚȠ 2

21. AȞ x > 1 IJȩIJİ 2x-1 < 0 22. AȞ x > 0 IJȩIJİ x > 2x 23. AȞ x< 0 IJȩIJİ x > 2x 24. AȞ Į< ȕ< 0 IJȩIJİ Į2 > ȕ2 25. ǹȞ

α < 0 IJȩIJİ Į·ȕ > 0 β

26. ǹȞ Į < 0 țĮȚ ȕ• 0 IJȩIJİ Į·ȕ < 0

Ǻ.

ǼȡȦIJȒıİȚȢ ʌȠȜȜĮʌȜȒȢ İʌȚȜȠȖȒȢ 1.

Ǿ ȜȪıȘ IJȘȢ ĮȞȓıȦıȘȢ -2x < 4 İȓȞĮȚ: Į. 0, -2 ȕ. ǵȜȠȚ ȠȚ ĮȡȚșȝȠȓ ȝȚțȡȩIJİȡȠȚ IJȠȣ -2 Ȗ. ǵȜȠȚ ȠȚ ĮȡȚșȝȠȓ ȝİȖĮȜȪIJİȡȠȚ IJȠȣ -2.

2.

ȆȠȚȠȢ Įʌȩ IJȠȣȢ ʌĮȡĮțȐIJȦ ĮȡȚșȝȠȪȢ İȓȞĮȚ Ƞ ȝİȖĮȜȪIJİȡȠȢ ĮțȑȡĮȚȠȢ, ȖȚĮ IJȠȞ oʌȠȓȠ ȚıȤȪİȚ -3x > -7: Į. -2 ȕ. 2 Ȗ. 0 į. 1 İ. -1

3.

ǹȞ x < 1 IJȩIJİ ʌȠȚĮ Įʌȩ IJȚȢ ʌĮȡĮțȐIJȦ ĮȞȚıȩIJȘIJİȢ İȓȞĮȚ ȜĮȞșĮıȝȑȞȘ: Į. 1 + x < 2 ȕ. x-2 < -1 Ȗ. 3-x> 2 į. 3x< 3 İ. x2 < 1.

4.

AȞ x(ȥ - 1) <0 țĮȚ x > 0, IJȩIJİ ʌȠȚĮ Įʌȩ IJȚȢ ʌĮȡĮțȐIJȦ ıȤȑıİȚȢ İȓȞĮȚ Ș ıȦıIJȒ. Į. ȥ = 1 ȕ. ȥ < 0 Ȗ. ȥ < 1 į. ȥ > 0 İ. ȥ > 1

5.

ǹȞ Ȟ  N* IJȩIJİ: α.

ν +1 ν +1 ν +1 1 >1 γ. < < 1 β. ν ν 2 ν

159


ǹȈȀǾȈǼǿȈ īǿǹ ȁȊȈǾ

ȀİijȐȜĮȚȠ 2

1.

2.

ǹȞ 1< x < 2, ȞĮ ȕȡİȓIJİ IJȠ ʌȡȩıȘȝȠ IJȦȞ ʌĮȡĮıIJȐıİȦȞ: 1 α) (1-x)(x-2) (x+3) x β) (x+2)(x- ) (x-3) (2-x) 2 ǹȞ Į < ȕ, ȞĮ ıȣȖțȡȚșȠȪȞ ȠȚ ĮȡȚșȝȠȓ: 3α + 4 x 3β + 4 x α) 5α-5x και 5β -5x β) και −5 −5

3.

ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ, ĮȞ Į > ȕ > Ȗ, IJȩIJİ: Į) (Į - ȕ)(ȕ - Ȗ)(2Į -ȕ) > 0 ȕ) 3Į -ȕ + Ȗ > 2ȕ + Ȗ

4.

ǹȞ ȖȚĮ IJȠȣȢ ʌȡĮȖȝĮIJȚțȠȪȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ ȚıȤȪİȚ: 0 < Į < ȕ, ȞĮ įȚĮIJȐȟİIJİ Įʌȩ IJȠȞ ȝȚțȡȩIJİȡȠ ıIJȠȞ ȝİȖĮȜȪIJİȡȠ IJȠȣȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ: α β α α α) , και 1 β) , και 1 β α α + β +1 α + β

5.

ǹȞ 0 < x < 1 țĮȚ -2 < ȥ <-1, ȞĮ ȕȡİșİȓ ȝİIJĮȟȪ ʌȠȚȫȞ ĮȡȚșȝȫȞ ʌİȡȚȑȤȠȞIJĮȚ ȠȚ IJȚȝȑȢ IJȦȞ ʌĮȡĮıIJȐıİȦȞ: Į) -x ȕ) -3ȥ Ȗ) x + ȥ į) x - ȥ İ) 2x - 3ȥ

6.

ǹȞ 0 < x < ȥ IJȩIJİ: Į) ȃĮ įİȓȟİIJİ ȩIJȚ: x − 10 < ψ − 10 x

ψ

ȕ) ȃĮ įȚĮIJȐȟİIJİ Įʌȩ IJȠ ȝȚțȡȩIJİȡȠ ıIJȠ ȝİȖĮȜȪIJİȡȠ IJĮ țȜȐıȝĮIJĮ 1997 1998 1999 , , 2007 2008 2009 7.

ȃĮ ȜȣșȠȪȞ ȠȚ ʌĮȡĮțȐIJȦ ĮȞȚıȫıİȚȢ: 3 x 3 1 3( x − 2) − 1 α) 4- x > - (4x-12) β) 7(2x-3)> -2 8 6 4 2 3 γ)

8.

3 − 2x 2x −1 > 4 6

δ)

x − 1 3x − 5 < 4 −2

ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȚȢ țȠȚȞȑȢ ȜȪıİȚȢ IJȦȞ ĮȞȚıȫıİȦȞ: x−3 x −1 x − 2 α) -x < και 2-x > 2x-8 2 3 4 ȕ) (x + 1)2 > x(x + 1) țĮȚ 4x(x - 1) • (2x - 1)2

9.

160

ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȚȢ țȠȚȞȑȢ ĮțȑȡĮȚİȢ ȜȪıİȚȢ IJȦȞ ĮȞȚıȫıİȦȞ:


10. ȃĮ ȕȡİșȠȪȞ ȠȚ IJȚȝȑȢ IJȠȣ x, ȖȚĮ IJȚȢ ȠʌȠȓİȢ ȚıȤȪİȚ: 2−x 3x + 2 α) x-1 ≤ 2(1-2x) < 4-x β) ≤ x-1 ≤ 3 4

ȀİijȐȜĮȚȠ 2

11. NĮ ȕȡİșȠȪȞ ȠȚ ĮțȑȡĮȚİȢ IJȚȝȑȢ IJȠȣ Ȝ, ȖȚĮ IJȚȢ ȠʌȠȓİȢ IJȠ țȜȐıȝĮ 2λ − 1 ȞĮ 4 ʌİȡȚȜĮȝȕȐȞİIJĮȚ ȝİIJĮȟȪ -2 țĮȚ 3. 12. ȃĮ ȕȡİșİȓ Ƞ ȝİȖĮȜȪIJİȡȠȢ ijȣıȚțȩȢ ĮȡȚșȝȩȢ ʌȠȣ İʌĮȜȘșİȪİȚ IJȠ ıȪıIJȘȝĮ IJȦȞ ĮȞȚıȫıİȦȞ: 7x − 2 x−2 3 − 2x 7x − 5 5x (2) − 2x < 5 − > + x (1) και 3 4 2 2 13. ȃĮ ȜȣșȠȪȞ IJĮ ʌĮȡĮțȐIJȦ ıȣıIJȒȝĮIJĮ: Į) 3x + 4 = 2(x - 3) țĮȚ 3(2x - 4) ” 3 - 5(5 - x) ȕ) (4x - 1)(x - 3) = 0 țĮȚ 3x - 7 ” -4x 14. Į) ȃĮ ȕȡİșİȓ Ƞ ȝȚțȡȩIJİȡȠȢ ĮțȑȡĮȚȠȢ x ʌȠȣ İʌĮȜȘșİȪİȚ IJȘȞ ĮȞȓıȦıȘ 2 0− 2 x 2 5− x 14,6 < 11,6 − 10 10 ȕ) ȃĮ ȕȡİșİȓ Ƞ ȝİȖĮȜȪIJİȡȠȢ ĮțȑȡĮȚȠȢ x ʌȠȣ İʌĮȜȘșİȪİȚ IJȘȞ ĮȞȓıȦıȘ x − 3 4x + 2 x 1 − > − 2 3 2 4 15. TȡİȓȢ įȚĮįȠȤȚțȠȓ ĮțȑȡĮȚȠȚ ĮȡȚșȝȠȓ ȑȤȠȣȞ ȐșȡȠȚıȝĮ ȝİȖĮȜȪIJİȡȠ IJȠȣ 12 țĮȚ ȝȚțȡȩIJİȡȠ Įʌȩ IJȠ 17. ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȠȣȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ ĮȣIJȠȪȢ. 16. ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȠȞ ȝȚțȡȩIJİȡȠ ijȣıȚțȩ ĮȡȚșȝȩ ʌȠȣ IJȠ įȚʌȜȐıȚȠ IJȠȣ ĮȣȟȘȝȑȞȠ țĮIJȐ 8 ȣʌİȡȕĮȓȞİȚ IJȠ 53. 17. ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȠȞ ȝİȖĮȜȪIJİȡȠ ĮțȑȡĮȚȠ ĮȡȚșȝȩ ʌȠȣ IJȠ IJȡȚʌȜȐıȚȠ IJȠȣ ĮȣȟȘȝȑȞȠ țĮIJȐ 10 įİȞ ȣʌİȡȕĮȓȞİȚ IJȠ ȝȚıȩ IJȠȣ. 18. DzȞĮȢ ʌȜĮıȚȑ ȕȚȕȜȓȦȞ ĮȝİȓȕİIJĮȚ ȝİ 20 İȣȡȫ ȖȚĮ țȐșİ İȖțȣțȜȠʌĮȓįİȚĮ ʌȠȣ ʌȠȣȜȐİȚ. ȉĮ ȘȝİȡȒıȚĮ ȑȟȠįȐ IJȠȣ İȓȞĮȚ 35 İȣȡȫ. ȃĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİIJİ ʌȩıİȢ İȖțȣțȜȠʌĮȓįİȚİȢ ȫıIJİ ȞĮ ȑȤİȚ țȑȡįȠȢ IJȠȣȜȐȤȚıIJȠȞ 500 İȣȡȫ ıİ 10 ȘȝȑȡİȢ. 19. DzȞĮȢ ʌĮIJȑȡĮȢ ȡȦIJȒșȘțİ ʌȩıĮ ʌĮȚįȚȐ ȑȤİȚ țĮȚ ĮʌȐȞIJȘıİ: “DzȤȦ 30 İȣȡȫ. ǹȞ įȫıȦ Įʌȩ 8 İȣȡȫ ıİ țȐșİ ʌĮȚįȓ IJȩIJİ įİȞ ȝȠȣ ijșȐȞȠȣȞ IJĮ ȤȡȒȝĮIJĮ ʌȠȣ ȑȤȦ. ǹȞ ȩȝȦȢ įȫıȦ Įʌȩ 7 İȣȡȫ ıİ țȐșİ ʌĮȚįȓ, IJȩIJİ ʌİȡȚııİȪȠȣȞ țĮȚ ȤȡȒȝĮIJĮ.” ȆȩıĮ ʌĮȚįȚȐ İȓȤİ; 20. DzıIJȦ Ș ʌĮȡȐıIJĮıȘ ǹ = 3x -5. NĮ ȕȡİȓIJİ IJȚȢ IJȚȝȑȢ IJȠȣ x ȫıIJİ Ș ʌĮȡȐıIJĮıȘ ǹ Į) ȞĮ ʌĮȓȡȞİȚ IJȠ ʌȠȜȪ IJȘȞ IJȚȝȒ 10 ȕ) ȞĮ ʌĮȓȡȞİȚ IJȠȣȜȐȤȚıIJȠȞ IJȘȞ IJȚȝȒ 5 Ȗ) ȞĮ ȣʌİȡȕĮȓȞİȚ IJȠ 0 į) ȞĮ ʌĮȓȡȞİȚ ȝȘ ĮȡȞȘIJȚțȑȢ IJȚȝȑȢ.

161


īİȞȚțȑȢ ĮıțȒıİȚȢ IJȠȣ 2Ƞȣ ȀİijĮȜĮȓȠȣ

ȀİijȐȜĮȚȠ 2

1

To ȐșȡȠȚıȝĮ IJȦȞ Ȟ ʌȡȫIJȦȞ ijȣıȚțȫȞ ĮȡȚșȝȫȞ IJȠ ȕȡȓıțȠȣȝİ ȝİ IJȠȞ IJȪʌȠ:

Į) ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȠ ʌȜȒșȠȢ Ȟ ĮȞ IJȠ ȐșȡȠȚıȝĮ ĮȣIJȩ İȓȞĮȚ: 105. ȕ) ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȠ ȝȚțȡȩIJİȡȠ Ȟ ĮȞ IJȠ ȐșȡȠȚıȝĮ ĮȣIJȩ İȓȞĮȚ ȝİȖĮȜȪIJİȡȠ IJȠȣ 10. Ȗ) ȃĮ ȜȪıİIJİ IJȘȞ İȟȓıȦıȘ x+x+1+x+2+…+x+10 = 66 ȩʌȠȣ x ijȣıȚțȩȢ. 2

ǻȓȞİIJĮȚ Ș İȟȓıȦıȘ Įx = Į - 5, ȩʌȠȣ Į İȓȞĮȚ ĮțȑȡĮȚȠȢ. Į) ȃĮ ȜȪıİIJİ IJȘȞ İȟȓıȦıȘ ȖȚĮ IJȚȢ įȚȐijȠȡİȢ IJȚȝȑȢ IJȠȣ Į. ȕ) ȃĮ ȕȡİșȠȪȞ ȠȚ ĮțȑȡĮȚİȢ țĮȚ șİIJȚțȑȢ ȜȪıİȚȢ IJȘȢ İȟȓıȦıȘȢ.

3

TȡȓȖȦȞȠ ǹǺī ȑȤİȚ ʌȜİȣȡȑȢ ǹǺ = x, Aī = x + 2 țĮȚ Ǻī = 10. ǹȞ ȚıȤȪİȚ ȩIJȚ (x + 2)2 - x2 = 28, ȞĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ IJȠ IJȡȓȖȦȞȠ İȓȞĮȚ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ ȝİ Ұ = 90Ƞ.

4

ȃĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİIJİ IJȠȣȢ ʌȡĮȖȝĮIJȚțȠȪȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ Į, ȕ ʌȠȣ ȚțĮȞȠʌȠȚȠȪȞ IJȘ ıȤȑıȘ: Į2 + 2Į + ȕ2 + 4ȕ + 5 = 0.

10 ȀȡȚIJȒȡȚȠ ĮȟȚȠȜȩȖȘıȘȢ ĬȑȝĮ 1 ǹ.

Į) ȉȚ Ȝȑȝİ İʌȓȜȣıȘ ȝȚȐȢ İȟȓıȦıȘȢ; ȕ) ȉȚ Ȝȑȝİ įȚĮțȡȓȞȠȣıĮ; Ȗ) ȆȠȚĮ İȟȓıȦıȘ ȜȑȖİIJĮȚ țȜĮıȝĮIJȚțȒ; į) ȆȠȚİȢ İȟȚıȫıİȚȢ ȜȑȖȠȞIJĮȚ ȚıȠįȪȞĮȝİȢ;

Ǻ.

Į) ȃĮ Ȝȣșİȓ Ș İȟȓıȦıȘ: x2 - 4x = -3. (1) ȕ) ǹȞ Ȝ Ș ȝȚțȡȩIJİȡȘ IJȚȝȒ ʌȠȣ ȕȡȒțĮIJİ Įʌȩ IJȠ (Į) İȡȫIJȘȝĮ ȞĮ ȜȪıİIJİ IJȘȞ İȟȓıȦıȘ.

ĬȑȝĮ 2 ǻȓȞȠȞIJĮȚ ȠȚ ʌĮȡĮıIJȐıİȚȢ Į) ȃĮ ȕȡİȓIJİ ȖȚĮ ʌȠȚȑȢ IJȚȝȑȢ IJȠȣ x ȠȡȓȗİIJĮȚ Ș țȐșİ ȝȓĮ.

162

ȕ) ȃĮ ȜȪıİIJİ IJȘȞ İȟȓıȦıȘ:


ĬȑȝĮ 3

ȀİijȐȜĮȚȠ 2

ǻȓȞȠȞIJĮȚ ȠȚ ĮȞȚıȫıİȚȢ:

Į) ȃĮ ȕȡİșȠȪȞ ȠȚ țȠȚȞȑȢ ȜȪıİȚȢ ȕ) ȃĮ ȕȡİșȠȪȞ ȠȚ țȠȚȞȑȢ ĮțȑȡĮȚİȢ ȜȪıİȚȢ ĬȑȝĮ 4 ǻȓȞİIJĮȚ Ș İȟȓıȦıȘ: x2 - 4Ȝx + 4Ȝ2 - 1 = 0 (1) Į) ȃĮ Ȝȣșİȓ Ș İȟȓıȦıȘ (1) ȕ) ǹȞ ȡ1, ȡ2 İȓȞĮȚ ȠȚ ȡȓȗİȢ IJȘȢ (1) ȞĮ ȕȡİȓIJİ IJȠ Ȝ ĮȞ ȚıȤȪİȚ -1< ȡ1 ” 3 țĮȚ -1< ȡ2 ” 3.

20 ȀȡȚIJȒȡȚȠ ĮȟȚȠȜȩȖȘıȘȢ ĬȑȝĮ 1 ǹ.

Į) ȆȠȚĮ İȟȓıȦıȘ ȜȑȖİIJĮȚ ĮįȪȞĮIJȘ ʌȠȚĮ İȓȞĮȚ Ș ȝȠȡijȒ IJȘȢ. ȕ) ȆȠȚĮ İȟȓıȦıȘ ȜȑȖİIJĮȚ 2Ƞȣ ȕĮșȝȠȪ, ʌȠȚĮ İȓȞĮȚ Ș ȖİȞȚțȒ IJȘȢ ȝȠȡijȒ Ȗ) ȆȫȢ ȜȪȞȠȣȝİ ȝȓĮ İȟȓıȦıȘ 2Ƞȣ ȕĮșȝȠȪ ȝİ įȚĮțȡȓȞȠȣıĮ

Ǻ.

Į) ȆȫȢ ȖȓȞİIJĮȚ ʌĮȡĮȖȠȞIJȠʌȠȓȘıȘ ȑȞĮ IJȡȚȫȞȣȝȠ ȝİ IJȘȞ ȕȠȒșİȚĮ IJȘȢ įȚĮțȡȓȞȠȣıĮȢ ȕ) ȆȠȚĮ İȟȓıȦıȘ ȠȞȠȝȐȗİIJĮȚ ʌȜĮıȝĮIJȚțȒ

ĬȑȝĮ 2 ǹȞ 1 ” x ” 4 țĮȚ 3” ȥ ” 7, ȞĮ ȕȡİșİȓ ȝİIJĮȟȪ ʌȠȚȫȞ ĮȡȚșȝȫȞ ʌİȡȚȑȤȠȞIJĮȚ ȠȚ IJȚȝȑȢ ʌĮȡĮıIJȐıİȦȞ:

ĬȑȝĮ 3 ǻȓȞȠȞIJĮȚ ȠȚ İȟȚıȫıİȚȢ: 3x + 6 = 9 (1), x2 - 4Įx + 3 = 0 (2) Į) ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȘȞ IJȚȝȒ IJȠȣ Į ȫıIJİ ȠȚ İȟȚıȫıİȚȢ ȞĮ ȑȤȠȣȞ țȠȚȞȒ ȜȪıȘ

163


ȀİijȐȜĮȚȠ 2

ȕ) īȚĮ IJȘȞ IJȚȝȒ IJȠȣ Į ʌȠȣ ȕȡȒțĮIJİ Įʌȩ IJȠ Į) İȡȫIJȘȝĮ ȞĮ ȕȡİȓIJİ IJȘȞ ȐȜȜȘ ȜȪıȘ IJȘȢ (2). ĬȑȝĮ 4 Į) ȃĮ ȜȪıİIJİ IJȘȞ İȟȓıȦıȘ ȕ) DzȞĮȢ ȑȝʌȠȡȠȢ ʌȜȒȡȦıİ 3000 İȣȡȫ țĮȚ ʌȡȠȝȘșİȪIJȘțİ ȕȚȕȜȓĮ. ȆȠȪȜȘıİ ȠȡȚıȝȑȞĮ Įʌȩ ĮȣIJȐ țĮȚ İȚıȑʌȡĮȟİ 1800 İȣȡȫ țİȡįȓȗȠȞIJĮȢ Įʌȩ IJȠ țȐșİ ȕȚȕȜȓȠ 3 İȣȡȫ. ǼʌİȚįȒ IJȠȣ ȑȝİȚȞĮȞ ĮįȚȐșİIJĮ ĮțȩȝĮ 100 ȕȚȕȜȓĮ, ĮȞĮȖțȐıIJȘțİ ȞĮ IJĮ ʌȠȣȜȒıİȚ ıIJȘȞ IJȚȝȒ ʌȠȣ IJĮ ʌȡȠȝȘșİȪIJȘțİ. ȃĮ ȕȡİȓIJİ ıİ ʌȠȚĮ IJȚȝȒ ʌȠȪȜȘıİ Ƞ ȑȝʌȠȡȠȢ IJĮ IJİȜİȣIJĮȓĮ 100 ȕȚȕȜȓĮ.

ȁȪıİȚȢ 2Ƞȣ ȀİijĮȜĮȓȠȣ 2.1 Ǿ İȟȓıȦıȘ Įx + ȕ = 0 ǼȡȦIJȒıİȚȢ țĮIJĮȞȩȘıȘȢ 1. Į 1

ȕ 3

Ȗ 2

į 1

2. Į) Ȉ

ȕ) ȁ

Ȗ) Ȉ

į) ȁ

İ) Ȉ

ȆȡȠIJİȚȞȩȝİȞİȢ ĮıțȒıİȚȢ 1.

164

Į) -3(x + 2) - 2(x - 1) = 8 + x Ȓ-3x -6 -2x + 2 = 8 + x Ȓ -3x -2x -x = 8 + 6 -2 Ȓ -6x = 12 ȐȡĮ x = -2 ȕ) 4ȥ -2(ȥ -3) = 2ȥ + 1 Ȓ 4ȥ -2ȥ + 6 = 2ȥ + 1 Ȓ 4ȥ -2ȥ -2ȥ = 1 - 6 Ȓ 0ȥ = -5 ĮįȪȞĮIJȘ Ȗ) 5(-Ȧ +2) -4 = 6 -5Ȧ Ȓ -5Ȧ + 10 -4 = 6 -5Ȧ Ȓ -5Ȧ + 5Ȧ = 6 - 10 + 4 Ȓ 0Ȧ = 0 IJĮȣIJȩIJȘIJĮ


ȀİijȐȜĮȚȠ 2

ή ή

ή

ή

ή

2.

ή ή

ή

ή

ή

ή ή

ή

ή

ή

ή

ή ή

ή

ĮįȪȞĮIJȘ į) 0,2(3x - 4) -5(x - 0,4) = 0,4(1 - 10x) Ȓ 0,6x -0,8 -5x + 2 = 0,4-4x Ȓ Ȓ 0,6x -5x +4x = 0,8 -2 +0,4 Ȓ - 0,4x = -0,8 ȐȡĮ x = 2

ή

3. ή

ή

ή

ή ή

ή

4. ή

5.

ή

ή

ή

DzıIJȦ ȑȞĮȢ ȝĮșȘIJȒȢ ıțȑijIJȘțİ IJȠȞ ĮȡȚșȝȩ x IJȩIJİ: ( įȘȜ ȑȤȠȣȝİ IJĮȣIJȩIJȘIJĮ.

6.

DzıIJȦ Ƞ ʌȠįȘȜȐIJȘȢ șĮ țȚȞȘșİȓ x ȫȡİȢ, Ș ijȓȜȘ IJȠȣ șĮ țȚȞȘșİȓ x-1 ȫȡİȢ. ȉȩIJİ 16x + 12(x - 1) = 44 Ȓ 16x + 12x - 12 = 44 Ȓ 28x = 44 + 12 Ȓ Ȓ28x = 56 įȘȜ x = 2 ȫȡİȢ.

165


ȀİijȐȜĮȚȠ 2

2.2

EȟȚıȫıİȚȢ 2Ƞȣ ȕĮșȝȠȪ ǼȡȦIJȒıİȚȢ țĮIJĮȞȩȘıȘȢ

1. Į) ȁ

ȕ) Ȉ

Ȗ) Ȉ

į) ȁ

İ) Ȉ

ıIJ) Ȉ

2. Į) Ȉ

ȕ) ȁ

Ȗ) Ȉ

Ȉ

Ǿ ĮʌȜȠʌȠȓȘıȘ ȝİ x ȖȓȞİIJĮȚ İijȩıȠȞ x  0.

3.

ȆȡȠIJİȚȞȩȝİȞİȢ ĮıțȒıİȚȢ 1. ή

ή

ή

ή ή

ή

ή

ή ή

ή

ή

ή

2. ή

ή

ή

ή ή

ή

ή

ή

ή

ή

ή

ή

ή ή ή

166

ή

ή

ή ή

ή

ή ή

ή


3.

ȀİijȐȜĮȚȠ 2

ή

ή

ή

ή

ή

ή ή

ή

ή

ή ή

ή

ή

ή ή

ή

ή

ή

ή

ή

ή

ή ή ή

ή ή

ή

4. ή ή

ή

ή

ή ή

ή

ή

ή

ή

ή

ή

ή

5.

ή

ή

ή

ή

ή

ή

ή

ή

ή

ή

ή

ή

ή

ή ή

ή

ή

ή

ή ή

ή

ή

ή

167


ȀİijȐȜĮȚȠ 2

6. ή

ή

ή

ή ή

ή

ή

ή

ή

ή

ή

ή

7. ή

ή ή

8.

ή ή

ȅȡȚȗȩȞIJȚĮ: 1. 12 , 15 2. 0 , 32 3. 10, 1 4. 25, 32

ȀȐșİIJĮ: 1. 10 2. 15 3. 30 4. 12 5. 12

ǼȇȍȉǾȈǼǿȈ ȀǹȉǹȃȅǾȈǾȈ 1. Į 2

ȕ 3

Ȗ 1

į 4

2. Į) ȁ 3.

168

ȕ) Ȉ

ȅȚ ȕ) țĮȚ į)

Ȗ) ȁ

ή


ȀİijȐȜĮȚȠ 2

ȆȡȠIJİȚȞȩȝİȞİȢ ĮıțȒıİȚȢ țĮȚ ʌȡȠȕȜȒȝĮIJĮ 1. ǼȟȓıȦıȘ x(x-1) = -2 2 3x + 4 = 2(x + 2) (x-1)2 = 2(x2 - x)

Įx2+ȕx+Ȗ = 0 x2 -x + 2 = 0 3x2 -2x +0 = 0 -x2 + 0x +1 = 0

Į 1 3 -1

ȕ -1 -2 0

Ȗ 2 0 1

2.

169


ȀİijȐȜĮȚȠ 2

3.

ή

ή

ή

ή

ή

4.

ή

ή

ή

ή

ή

ή

ή ή

170

ή

ή

ή


ή

ȀİijȐȜĮȚȠ 2

ή ή

ή ή

ή

ή

5. ή ή

ή

ή

ή

ή ή

ή

ή

ή

ή

ή

ή

171


ȀİijȐȜĮȚȠ 2

6.

7.

8.

172


ȆȡȠIJİȚȞȩȝİȞİȢ ĮıțȒıİȚȢ – ȆȡȠȕȜȒȝĮIJĮ

ȀİijȐȜĮȚȠ 2

1. ή ή

ή ή

ή ή

ή

ή ή

ή

ή

ή

ή

2. ή ή

ή

ή

ή

ή ή

ή

173


ȀİijȐȜĮȚȠ 2

3. ή

ή

ή

4.

ή

5. ή

6. ή

7. ή

174

ή

ή


8.

ȀİijȐȜĮȚȠ 2

ή

ή

9. ή ή ή ή

ή

10. ή

ή

ή

ή

11.

ή ή

12. ή

ή ή

175


ȀİijȐȜĮȚȠ 2

13.

ή ή

ή

ή

ή

2.4 ǼȇȍȉHȈǼǿȈ ȀǹȉǹȃOǾȈǾȈ. 1. Į) Ȉ

ȕ) ȁ

Ȗ) ȁ

į) Ȉ

2.

Ȗ)

3.

į)

4.

ȩȤȚ įȚȩIJȚ Ș IJȚȝȒ x = 1 ĮʌȠȡȡȓʌIJİIJĮȚ Įʌȩ IJȠȞ ʌİȡȚȠȡȚıȝȩ. ȆȡȠIJİȚȞȩȝİȞİȢ ĮıțȒıİȚȢ –ȆȡȠȕȜȒȝĮIJĮ

1. ή

ή

ή

ή ή ή

ή

ή

ή ή ή

176

ή

ή


ȀİijȐȜĮȚȠ 2

ή ή

ή ή

ή

ή

ή

ή

ή

ή

ή

ή

ή

ή

2. ή

ή ή

ή

ή ή ή

ή

ή

ή ή

ή

ή

ή

ή

177


ȀİijȐȜĮȚȠ 2

ή

ή ή

ή

ή

ή

ή

ή ή

ή

ή

ή

ή ή

ή

ή

ή

ή

ή

3. ή

ή ή

178

ή

ή


ȀİijȐȜĮȚȠ 2

ή

ή ή

ή

ή

ή

ή ή

ή

ή

ή

ή ή

ή

ή

ή

4. ή

ή ή

ή

ή

ή

ή

ή ή

ή

ή

ή

179


ȀİijȐȜĮȚȠ 2

ή

ή ή

ή

ή

ή

ή

ή ή

ή

5.

ή

ή

ή

ή

ή

ή

ή

ή

ή

ή

ή

180

ή

ή

ή

ή


ȀİijȐȜĮȚȠ 2

6. ή

ή

ή

ή ή

ή

ή

ή

ή

ή

ή ή

ή

ή

ή ή

7. ή

ή

ή

ή

ή

ή ή ή

ή

ή

ή

ή

181


ȀİijȐȜĮȚȠ 2

8.

ή ή

ή ή

9.

ή ή

10.

182

ή

ή


11.

ȀİijȐȜĮȚȠ 2

12.

ή ή

ή

183


2.5 EȡȦIJȒıİȚȢ țĮIJĮȞȩȘıȘȢ

ȀİijȐȜĮȚȠ 2

1. Į) Ȉ

2.

ȕ) Ȉ

Ȗ) Ȉ

į) ȁ

İ) ȁ

ıIJ) Ȉ

ȗ) Ȉ

Ș) Ȉ

Į) Į-3>0, ȕ) Į < Ȗ, Ȗ) α <0 į) Į > ȕ İ) Į2 > 0 ıIJ) Į + ȕ ” 0 β

3.

ȆȡȠıșȑIJȠȣȝİ IJȠ 4 ıIJĮ įȪȠ ȝȑȜȘ – ǻȚĮȚȡȠȪȝİ țĮȚ IJĮ įȪȠ ȝȑȜȘ ȝİ IJȠ 3.

4.

Į) ȆȡȠıșȑIJȠȣȝİ IJȠ 4 țĮȚ ıIJĮ įȪȠ ȝȑȜȘ ȕ) ǹijĮȚȡȠȪȝİ IJȠ 2 țĮȚ Įʌȩ IJĮ įȪȠ ȝȑȜȘ. Ȗ) ȆȠȜȜĮʌȜĮıȚȐȗȠȣȝİ țĮȚ IJĮ įȪȠ ȝȑȜȘ ȝİ IJȠ 5. į) ȆȠȜȜĮʌȜĮıȚȐȗȠȣȝİ țĮȚ IJĮ įȪȠ ȝȑȜȘ ȝİ IJȠ -6

5.

ȅȚ ĮȞȚıȩIJȘIJİȢ Į), Ȗ)

6.

ǵȤȚ, ȖȚĮIJȓ ʌȡȑʌİȚ ȠȚ ȕ, į ȞĮ İȓȞĮȚ ȠȝȩıȘȝȠȚ. ȆȡȠIJİȚȞȩȝİȞİȢ ĮıțȒıİȚȢ - ȆȡȠȕȜȒȝĮIJĮ

184

1.

3(Į - ȕ) >2(Į + ȕ) Ȓ 3Į -3ȕ >2Į + 2ȕ Ȓ 3Į - 2Į> 3ȕ + 2ȕ Ȓ Į > 5ȕ

2.

Į) x>-6 (ʌȠȜȜĮʌȜĮıȚȐȗȠȣȝİ țĮȚ IJĮ įȪȠ ȝȑȜȘ IJȘȢ ĮȞȚıȩIJȘIJĮȢ ȝİ -5) -5x < 30 (ʌȡȠıșȑIJȠȣȝİ țĮȚ ıIJĮ įȪȠ ȝȑȜȘ IJȘȢ ĮȞȚıȩIJȘIJĮȢ IJȠ -30) -5x - 30 < 30 - 30 -5x - 30 < 0 ȕ) x >- 6 (ʌȠȜȜĮʌȜĮıȚȐȗȠȣȝİ țĮȚ IJĮ įȪȠ ȝȑȜȘ IJȘȢ ĮȞȚıȩIJȘIJĮȢ ȝİ 3) 3x > -18 (ʌȡȠıșȑIJȠȣȝİ țĮȚ ıIJĮ įȪȠ ȝȑȜȘ IJȘȢ ĮȞȚıȩIJȘIJĮȢ IJȠ 18) 3x + 18> -18 + 18 3x + 18 > 0 Ȗ) x > -6 (ʌȡȠıșȑIJȠȣȝİ țĮȚ ıIJĮ įȪȠ ȝȑȜȘ IJȠ 4) x + 4 > -6 + 4 x + 4 > -2 (ʌȠȜȜĮʌȜĮıȚȐȗȦ țĮȚ IJĮ įȪȠ ȝȑȜȘ IJȘȢ ĮȞȚıȩIJȘIJĮȢ ȝİ IJȠ 2) 2(x + 4) > -4.

3.

Į) ǿıȤȪİȚ: 2 < Į < 6 ĮijĮȚȡȠȪȝİ IJȠ 2 țĮȚ ȑȤȠȣȝİ: 0< Į-2 < 4 ȕ) ǿıȤȪİȚ: 2 < Į < 6 ʌȠȜȜĮʌȜĮıȚȐȗȠȣȝİ ȝİ 2 țĮȚ ȑȤȠȣȝİ: 4 < 2Į < 12, ĮijĮȚȡȠȪȝİ IJȠ 5 țĮȚ ȑȤȠȣȝİ -1 < 2Į -5< 7 Ȗ) ǿıȤȪİȚ: 2 < Į <6 ʌȠȜȜĮʌȜĮıȚȐȗȠȣȝİ ȝİ -3 țĮȚ ȑȤȠȣȝİ: -6> -3Į > -18 -18 < -3Į < -6, ʌȡȠıșȑIJȠȣȝİ IJȠ 1 țĮȚ ȑȤȠȣȝİ: -17 < 1- 3Į < -5


4.

Į) Į < ȕ Ȓ 5Į<5ȕ Ȓ 5Į-3<5ȕ-3 ȕ) Į<ȕ Ȓ -2Į >-2ȕ Ȓ -2Į+4 >-2ȕ+4

ȀİijȐȜĮȚȠ 2

Ȗ) Į<ȕ Ȓ Į+Į<Į+ȕ Ȓ 2Į<Į+ȕ Į< į) Į<ȕ Ȓ Į+ȕ<ȕ+ȕ Ȓ Į+ȕ<2ȕ Ȓ

5.

Į) ǿıȤȪİȚ 1< x< 3 țĮȚ 2<ȥ<5 ʌȡȠıșȑIJȠȣȝİ țĮIJȐ ȝȑȜȘ IJȚȢ ĮȞȚıȩIJȘIJİȢ țĮȚ ȑȤȠȣȝİ: 1 + 2 < x + ȥ < 3 + 5 Ȓ 3< x + ȥ < 8. ȕ) ǿıȤȪİȚ 1< x< 3 ʌȠȜȜĮʌȜĮıȚȐȗȦ ȝİ 2 ȠʌȩIJİ, 2 < 2x < 6 (1), ĮțȩȝȘ 2 < ȥ < 5 (2). ȆȡȠıșȑIJȠȣȝİ țĮIJȐ ȝȑȜȘ IJȚȢ ĮȞȚıȩIJȘIJİȢ (1) țĮȚ (2) ȠʌȩIJİ 2 + 2 < 2x + ȥ< 6 + 5 Ȓ 4 < 2x + ȥ < 11. Ȗ) ǿıȤȪİȚ 1 < x < 3 (1) țĮȚ 2< ȥ < 5, ʌȠȜȜĮʌȜĮıȚȐȗȦ ȝİ (-1), ȠʌȩIJİ: -2> -ȥ >-5 Ȓ -5< -ȥ < -2 (2). ȆȡȠıșȑIJȦ țĮIJȐ ȝȑȜȘ IJȚȢ ĮȞȚıȩIJȘIJİȢ (1) țĮȚ (2) ȠʌȩIJİ 1 - 5< x -ȥ < 3 -2 Ȓ -4< x -ȥ <1.

6.

Į) ǿıȤȪȠȣȞ x > 2 țĮȚ ȥ > 3, İʌİȚįȒ İȓȞĮȚ șİIJȚțȠȓ ȠȚ ĮȡȚșȝȠȓ ȝʌȠȡȠȪȝİ ȞĮ ʌȠȜȜĮʌȜĮıȚȐıȠȣȝİ țĮIJȐ ȝȑȜȘ. DzIJıȚ ȑȤȠȣȝİ x·ȥ>2·3 Ȓ xȥ>6. ȕ) ǿıȤȪİȚ x > 2 ȐȡĮ x -2 > 0 țĮȚ ȥ > 3 ȐȡĮ ȥ - 3 > 0. ȅȚ ĮȡȚșȝȠȓ x - 2, ȥ - 3 İȓȞĮȚ șİIJȚțȠȓ ȠʌȩIJİ (x - 2)(ȥ - 3) > 0 Ȗ) ȅȚ ĮȡȚșȝȠȓ x + 2, ȥ İȓȞĮȚ șİIJȚțȠȓ ȐȡĮ (x + 2) · ȥ > 12

7.

ǼʌİȚįȒ Į > ȕ Ƞ ĮȡȚșȝȩȢ Į - ȕ >0. ȅȚ ĮȡȚșȝȠȓ Į + ȕ, Į - ȕ İȓȞĮȚ șİIJȚțȠȓ, ȐȡĮ (Į + ȕ)(Į - ȕ) > 0 Ȓ Į2 - ȕ2 >0 ȐȡĮ Į2 >ȕ2 .

8.

Į) ǿıȤȪİȚ Į >1 (1), ȐȡĮ Į > 0. ȆȠȜȜĮʌȜĮıȚȐȗȠȣȝİ ȝİ Į țĮȚ ȑȤȠȣȝİ Į · Į > Į · 1 Ȓ Į2 > Į. ȕ) ǿıȤȪİȚ x > 2 (1), ȐȡĮ x >0. ȆȠȜȜĮʌȜĮıȚȐȗȠȣȝİ ȝİ x2 țĮȚ ȑȤȠȣȝİ x2 · x > 2 · x2 Ȓ x3 > 2x2

9.

ȆȠȜȜĮʌȜĮıȚȐȗȦ IJĮ įȪȠ ȝȑȜȘ IJȚȢ ĮȞȚıȩIJȘIJĮȢ ȝİ

>0 țĮȚ ȑȤȠȣȝİ:

. 10. Į) ǿıȤȪİȚ x > 3 ȐȡĮ x - 3 > 0, ȥ < 2 ȐȡĮ ȥ - 2 < 0. ȅȚ ĮȡȚșȝȠȓ x - 3, ȥ - 2 İȓȞĮȚ İIJİȡȩıȘȝȠȚ, ȐȡĮ (x - 3)(ȥ - 2) < 0. ȕ) Įʌȩ Į) (x - 3)(ȥ - 2) < 0 Ȓ xȥ - 2x - 3ȥ + 6 < 0 Ȓ xȥ + 6 < 2x + 3ȥ 11. Į) x2 + 1 • 2x Ȓ x2 - 2x + 1 • 0 Ȓ (x - 1)2 •0. ǿıȤȪİȚ įȚȩIJȚ IJȠ IJİIJȡȐȖȦȞȠ țȐșİ ĮȡȚșȝȠȪ İȓȞĮȚ ȝȘ ĮȡȞȘIJȚțȩȢ. Ǿ ȚıȩIJȘIJĮ ȚıȤȪİȚ ȩIJĮȞ x - 1 = 0 įȘȜ x = 1. ȕ) ǹȡțİȓ ȞĮ įİȓȟȠȣȝİ ȩIJȚ Ș įȚĮijȠȡȐ (x + ȥ)2 - 4xȥ İȓȞĮȚ ȝȘ ĮȡȞȘIJȚțȩȢ ĮȡȚșȝȩȢ.

185


ȀİijȐȜĮȚȠ 2

(x + ȥ)2 - 4xȥ = x2 + ȥ2 + 2xȥ - 4xȥ = x2 + ȥ2 - 2xȥ = (x - ȥ)2 • 0. ǿıȤȪİȚ įȚȩIJȚ IJȠ IJİIJȡȐȖȦȞȠ țȐșİ ĮȡȚșȝȠȪ İȓȞĮȚ ȝȘ ĮȡȞȘIJȚțȩȢ. Ǿ ȚıȩIJȘIJĮ ȚıȤȪİȚ ȩIJĮȞ x - ȥ = 0 įȘȜ x = ȥ. Ȗ) ǹȡțİȓ ȞĮ įİȓȟȠȣȝİ ȩIJȚ Ș įȚĮijȠȡȐ x2 + ȥ2 + 1 - 2ȥ İȓȞĮȚ ȝȘ ĮȡȞȘIJȚțȩȢ ĮȡȚșȝȩȢ. x2 + ȥ2 + 1 -2ȥ = x2+(ȥ-1)2 •0. ȉȠ ȠʌȠȓȠ ȚıȤȪİȚ ȦȢ ȐșȡȠȚıȝĮ ȝȘ ĮȡȞȘIJȚțȫȞ ĮȡȚșȝȫȞ. Ǿ ȚıȩIJȘIJĮ ȚıȤȪİȚ ȩIJĮȞ x = 0 țĮȚ ȥ-1 = 0 įȘȜ x = 0 țĮȚ ȥ = 1. 12. Į) ǹȡțİȓ ȞĮ įİȓȟȠȣȝİ ȩIJȚ Ș įȚĮijȠȡȐ İȓȞĮȚ ȝȘ ĮȡȞȘIJȚțȩȢ ĮȡȚșȝȩȢ. . ȉȠ ȠʌȠȓȠ ȚıȤȪİȚ įȚȩIJȚ: (x - 1)2 •0 țĮȚ x>0 ȕ) ǹȡțİȓ ȞĮ įİȓȟȠȣȝİ ȩIJȚ Ș įȚĮijȠȡȐ

( ) įİȞ İȓȞĮȚ șİIJȚțȩȢ ĮȡȚșȝȩȢ.

ȉȠ ȠʌȠȓȠ ȚıȤȪİȚ įȚȩIJȚ : (x - 1)2 •0 țĮȚ x<0 13. DzıIJȦ x İȓȞĮȚ Ƞ ĮȡȚșȝȩȢ țĮȚ ʌ İȓȞĮȚ IJȠ ʌȘȜȓțȠ IJȘȢ įȚĮȓȡİıȘȢ IJȩIJİ: x = 15ʌ + 6. ǼIJıȚ ȑȤȠȣȝİ: 114 < x < 135 Ȓ 114 <15ʌ+6 <135 Ȓ 114-6<15ʌ+6-6<135-6 Ȓ 108 <15ʌ < 129 Ȓ

7,2< ʌ <8,6.

ǼʌİȚįȒ Ƞ ʌ İȓȞĮȚ ĮțȑȡĮȚȠȢ ʌ = 8, ȐȡĮ x = 15 · 8 + 6 = 126. 14. DzıIJȦ x İȓȞĮȚ Ș IJȚȝȒ IJȠȣ ʌĮȞIJİȜȠȞȚȠȪ țĮȚ ȥ İȓȞĮȚ Ș IJȚȝȒ IJȘȢ ȝʌȜȠȪȗĮȢ IJȩIJİ 30 ” x ” 35 (1) țĮȚ 22 ” ȥ ” 25 (2). ȆȠȜȜĮʌȜĮıȚȐȗȦ ȝİ IJȠ įȪȠ IJĮ ȝȑȜȘ IJȘȢ ĮȞȓıȦıȘȢ (1) țĮȚ ȝİ 3 IJĮ ȝȑȜȘ IJȘȢ ĮȞȓıȦıȘȢ (2) țĮȚ ȑȤȠȣȝİ: 60 ” 2x ” 70 țĮȚ 66 ” 3ȥ ” 75. ȆȡȠıșȑIJȠȣȝİ țĮIJȐ ȝȑȜȘ IJȚȢ IJİȜİȣIJĮȓİȢ ĮȞȚıȩIJȘIJİȢ: 60 + 66 ” 2x + 3ȥ ” 70 + 75 Ȓ 126 ” 2x + 3ȥ ”145. DZȡĮ șĮ ʌȜȘȡȫıİȚ Įʌȩ 126 ȑȦȢ 145 İȣȡȫ. 15. AȞ x İȓȞĮȚ IJȠ ȕȐȡȠȢ IJȦȞ ĮIJȩȝȦȞ țĮȚ ȥ İȓȞĮȚ IJȠ ȕȐȡȠȢ IJȦȞ ĮʌȠıțİȣȫȞ IJȩIJİ: 60< x < 100 ȠʌȩIJİ 51· 60 < 51x < 51 · 100 Ȓ 3060 < 51x < 5100 (1) țĮȚ 4 ” ȥ ” 15 ȠʌȩIJİ 50 · 4” 50 · ȥ ” 50 · 15 Ȓ 200 ” 50ȥ ” 750 (2). ǹȞ ʌȡȠıșȑıȠȣȝİ țĮIJȐ ȝȑȜȘ IJȚȢ (1) țĮȚ (2) ȑȤȠȣȝİ: 3060 + 200< 51x + 50ȥ < 5100 + 750 Ȓ 3260 < 51x + 50ȥ < 5850. DZȡĮ IJȠ ʌȠȪȜȝĮȞ șĮ ȑȤİȚ ıȣȞȠȜȚțȩ ȕȐȡȠȢ Įʌȩ 16,51 t ȑȦȢ 19,1 t. OʌȩIJİ ȝʌȠȡİȓ ȞĮ ʌİȡȐıİȚ IJȠ ʌȠȪȜȝĮȞ Įʌȩ IJȘȞ ȖȑijȣȡĮ. 16. Į) 11 -3x < 7x + 1 Ȓ -3x - 7x < 1 -11 Ȓ -10x < -10 Ȓ x > 1 ȕ) 2x - 9 >5x + 6 Ȓ 2x - 5x > 6 + 9 Ȓ -3x >15 Ȓ x< -5 Ȗ) 4(3x - 5) > 3(4x + 5) Ȓ 12x - 20 >12x + 15 Ȓ 12x - 12x > 20 + 15 Ȓ 0x> 35 ĮįȪȞĮIJȘ.

186


į)

ή

İ)

ή

ή

ή

ή

ή

ή

ή ή

ȀİijȐȜĮȚȠ 2

ή

ή

ή

ıIJ)

ή

ή

ή

17. Į) 7x - 1 < 8 + 6x Ȓ 7x - 6x < 8 + 1 Ȓ x < 9 țĮȚ 3x - 2 > x - 10 Ȓ 3x - x > -10 + 2 Ȓ 2x > -8 Ȓ x > -4 DZȡĮ -4 < x < 9 ȕ) 4x + 3 < 9 + 5x Ȓ 4x - 5x < 9 - 3 Ȓ –x < 6 Ȓ x > -6 țĮȚ 1 - x < 2x + 7 Ȓ -x - 2x < 7 - 1 Ȓ -3x < 6 Ȓ x>-2. DZȡĮ x > -2. Ȗ)

DZȡĮ x < -2 18.

187


īİȞȚțȑȢ ĮıțȒıİȚȢ 2Ƞȣ țİijĮȜĮȓȠȣ

ȀİijȐȜĮȚȠ 2

1.

Į) (x + Į)2 - (x + ȕ)2 = ȕ2 - Į2 Ȓ x2 + 2Įx + Į2 -(x2 + 2ȕx + ȕ2) = ȕ2 - Į2 Ȓ x2 + 2Įx + Į2 - x2 - 2ȕx - ȕ2 = ȕ2 - Į2 Ȓ 2Įx - 2ȕx = 2(ȕ2 - Į2) Ȓ 2(Į-ȕ) = (ȕ - Į)(Į + ȕ). ǼʌİȚįȒ Į  ȕ Ș İȟȓıȦıȘ ȑȤİȚ ȝȠȞĮįȚțȒ ȜȪıȘ IJȘȞ ή

ȕ) Ǽ.Ȁ.Ȇ. Įȕ  0, ȠʌȩIJİ

Ȓ

Į(x+Į) –ȕ(x + ȕ) = Į2 - Įȕ Įx + Į2 Ȓ Įx-Į2 -ȕx - ȕ2 = Į2-Įȕ (Į-ȕ)x = = ȕ2 - Įȕ. ǼʌİȚįȒ Į  ȕ Ș İȟȓıȦıȘ ȑȤİȚ ȝȠȞĮįȚțȒ ȜȪıȘ IJȘȞ ή

2.

ȉȠ IJȡȓȖȦȞȠ ǹǺī İȓȞĮȚ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ ȐȡĮ Ǻī2 = ǹǺ2 + ǹī2, ȐȡĮ (x + 2)2 = x2 + (x+1)2 Ȓ x2 + 4x + 4 = x2 + x2 + 2x + 1 Ȓ x2 - 2x - 3 = 0. ǼȓȞĮȚ Į = 1, ȕ = -2, Ȗ = -3. ǻ = ȕ2 - 4ĮȖ = (-2)2 - 4 · 1· (-3) = 4 + 12 = 16 > 0. DZȡĮ Ș İȟȓıȦıȘ ȑȤİȚ įȪȠ ȡȓȗİȢ IJȚȢ

īȚĮ x = 1 Bī = 1 + 2 = 3, Įʌȩ IJȠ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ Ǻīǻ ȑȤȠȣȝİ: īǻ2 = Ǻī2 + Ǻǻ2, ȐȡĮ (3ȥ-2)2 = 52 +(2ȥ + 2)2 Ȓ 9ȥ2- 12ȥ + 4 = 25+ 4ȥ2 + 8ȥ + 4 Ȓ 5ȥ2- 20ȥ-25 = 0 Ȓ ȥ2-4ȥ-5 = 0 ǼȓȞĮȚ Į = 1, ȕ = -4, Ȗ = -5. ǻ = ȕ2-4ĮȖ = (-4)2-4·1·(-5) = 16 + 20 = 36 >0 DZȡĮ Ș İȟȓıȦıȘ ȑȤİȚ įȪȠ ȡȓȗİȢ IJȚȢ DZȡĮ 3.

188

DzıIJȦ x İȓȞĮȚ Ƞ ȑȞĮȢ IJȩIJİ Ƞ ȐȜȜȠȢ șĮ İȓȞĮȚ x + 1. DzIJıȚ șĮ ȑȤȠȣȝİ IJȘȞ İȟȓıȦıȘ x(x + 1) = (x + x + 1) ·7 = 23 Ȓ x2 + x = (2x + 1) ·7 + 23 Ȓ Ȓx2 + x = 14x + 7 + 23 Ȓx2 - 13x - 30 = 0 ǼȓȞĮȚ Į = 1, ȕ = -13, Ȗ = -30. ǻ = ȕ2 - 4ĮȖ = (-13)2 - 4 · 1·(-30) = 169 + 120 = 289 > 0


4.

ȀİijȐȜĮȚȠ 2

ή

Į)

ȆȡȑʌİȚ x - Į  0 țĮȚ x + Į  0 įȘȜ x  Į țĮȚ x  -Į Ǽ.Ȁ.Ȇ. (x - Į)(x + Į)  0, ή

ȠʌȩIJİ ή

ή

ǼȓȞĮȚ Į = 3, ȕ = -Į, Ȗ = -2Į . ǻ = ȕ - 4ĮȖ = (-Į) - 4·3·(-2Į2) = Į2 + 24Į2 = 25Į2 > 0 2

2

2

ή

ȕ)

ȆȡȑʌİȚ x  0 țĮȚ x + Į  0 țĮȚ x - Į 0 ȐȡĮ x  0 țĮȚ x  -Į țĮȚ x  Į. Ǽ.Ȁ.Ȇ. x(x - Į)(x + Į)  0, ȠʌȩIJİ

3Į(x + Į) + x - Į = 6x2 Ȓ 3Įx + 3Į2 + x - Į = 6x2 Ȓ 6x2-(3Į + 1)x - 3Į2 + Į = 0 ǼȓȞĮȚ Į = 6, ȕ = -(3Į + 1), Ȗ = -3Į2 + Į. ǻ = ȕ2 - 4ĮȖ = [-(3Į + 1)]2 - 4 · 6 · (-3Į2 + Į) = (3Į + 1)2 - 24(-3Į2 + Į) = 9Į2 + 6Į + 1 + 72Į2 - 24Į = 81Į2 -18Į +1 = (9Į - 1)2 • 0 ή

ή

ή

ή

189


ȀİijȐȜĮȚȠ 2

5.

ȅ ĮȡȚșȝȩȢ 1 İȓȞĮȚ ȜȪıȘ ȐȡĮ 12 + (Ȝ - 5) · 1 + Ȝ = 0 Ȓ 1 + Ȝ - 5 + Ȝ = 0 Ȓ Ȓ2Ȝ = 4 Ȓ Ȝ = 2. īȚĮ Ȝ = 2 Ș İȟȓıȦıȘ ȖȓȞİIJĮȚ: x2 - 3x + 2 = 0. ǼȓȞĮȚ Į = 1, ȕ = -3, Ȗ = 2. ǻ = ȕ2 - 4ĮȖ = (-3)2 - 4 · 1 · 2 = 9 - 8 = 1 >0 DZȡĮ Ș İȟȓıȦıȘ ȑȤİȚ įȪȠ ȡȓȗİȢ IJȚȢ

ȐȡĮ Ș ȐȜȜȘ ȡȓȗĮ İȓȞĮȚ Ș x = 2. 6.

KȐȞȠȣȝİ IJȘȞ įȚĮȓȡİıȘ ȇ(x): (x - 3) x3+3x2-13x-15 -x3+3x2

x-3 x2+6x+5

6x2-13x-15 -6x2+18x 5x-15 -5x+15 0

AȡĮ x3 + 3x2 - 13x - 15 = (x - 3)(x2 + 6x + 5). ȇ(x) = 0 (x-3)(x2 + 6x + 5) = 0 x - 3 = 0 Ȓ x2 + 6x + 5 = 0 įȘȜ x = 3 Ȓ x2 + 6x + 5 = 0. ǼȓȞĮȚ Į = 1, ȕ = 6, Ȗ = 5. ǻ = ȕ2 - 4ĮȖ = 62 - 4 · 1 · 5 = 36 - 20 = 16 > 0. DZȡĮ Ș İȟȓıȦıȘ ȑȤİȚ − 6 ± 16 −6±4 −β ± ∆ = . = 2 2 ·1 2α −6−4 −6+4 Άρα x = = -1 = -5 ή x = 2 2

įȪȠ ȡȓȗİȢ IJȚȢ x =

7. Έστω x, x+1 είναι οι δύο ακέραιοι (είναι διάφοροι του μηδενός, για να 1 1 1 1 + + · = 1. x x +1 x x +1 1 1 1 1 Ε.Κ.Π. x(x+1) ≠0, οπότε x(x+1) + x(x+1) + x(x+1) · = x(x+1) ή x x +1 x x +1

υπάρχουν οι αντίστροφοι ). Οπότε

(x+1)+x+1 = x2+x ή x2-x-2 = 0. Είναι α = 1, β = -1, γ = -2. Δ = β2-4αγ = (-1)2-4·1·(-2) = −β ± ∆ − (−1) ± 9 = = 1+8 = 9 >0. Άρα η εξίσωση έχει δύο ρίζες τις x = 2α 2 ·1 1+ 3 1± 3 1− 3 = , άρα x = =2 ήx= = -1 απορρ. 2 2 2

8.

190

DzıIJȦ Ș ȝȓĮ įȚȐıIJĮıȘ İȓȞĮȚ x > 0 IJȩIJİ Ș ȐȜȜȘ șĮ İȓȞĮȚ x + 2 ȠʌȩIJİ x(x + 2) = 399 Ȓ x2+2x-399 = 0. ǼȓȞĮȚ Į = 1, ȕ = 2, Ȗ = -399. ǻ = ȕ2 - 4ĮȖ = 22-4 · 1 · (-399) = 4 + 1596 = 1600 > 0. DZȡĮ Ș İȟȓıȦıȘ ȑȤİȚ įȪȠ ȡȓȗİȢ IJȚȢ x=

−β ± ∆ − 2 ± 1600 = = 2α 2 ·1


− 2 ± 40 − 2 − 40 − 2 + 40 , άρα x = = -21 απορρ. ή x = = 19. 2 2 2 Άρα οι διαστάσεις είναι : 19, 21

9.

ȀİijȐȜĮȚȠ 2

ȈIJȠ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ ǹǺī ǹǺ2 + ǹī2 = Ǻī2 (1). ȈIJȠ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ ǹīǻ : ǹī2 = ǹǻ2 + īǻ2 ȐȡĮ ǹī2 = 32 + x2 Ȓ ǹī2 = 9 + x2. ȈIJȠ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ ǹǻǺ: AǺ2 = ǹǻ2 + Ǻǻ2 ȐȡĮ AǺ2 = x2 +(2x+9)2 = x2 + 4x2 + 36x + 81 = 5x2 + 36x + 81. Bī2 = (2x + 12)2 = 4x2 + 48x + 144. DZȡĮ (1) Ȓ5x2 + 36x+ 81 + 9 + x2 = 4x2 + 48x + 144 Ȓ 2x2 - 12x - 54 = 0 x2 - 6x - 27 = 0. ǼȓȞĮȚ Į = 1, ȕ = -6, Ȗ = -27. ǻ = ȕ2 - 4ĮȖ = (-6)2 - 4·1·(-27) = 36 + 108 = 144 > 0 6 ± 12 − (−6) ± 144 −β ± ∆ Άρα η εξίσωση έχει δύο ρίζες τις x = = = 2α 2 ·1 2 6 + 12 6 − 12 Άρα x = =9 ήx= = -3 απορρ. 2 2

10. ĬĮ ȕȡȠȪȝİ IJȠ ʌȡȩıȘȝȠ IJȘȢ įȚĮijȠȡȐȢ IJȦȞ įȪȠ ĮȡȚșȝȫȞ. (1 + Į)(1 + ȕ) - (1 + Į + ȕ) = 1 + ȕ + Į + Įȕ - 1 - Į - ȕ = Įȕ Į) AȞ Į · ȕ = 0 IJȩIJİ (1+Į)(1+ȕ)=1+Į+ȕ ȕ) AȞ Į · ȕ > 0 IJȩIJİ (1+Į)(1+ȕ)>1+Į+ȕ Ȗ) AȞ Į · ȕ < 0 IJȩIJİ (1+Į)(1+ȕ)<1+Į+ȕ 11.

Į) (Į - ȕ)2 + (ȕ - Ȗ)2 + (Ȗ - Į)2 = Į2 - 2Įȕ + ȕ2 + ȕ2 - 2ȕȖ + Ȗ2 + Ȗ2 - 2ĮȖ + Į2 = 2Į2 + 2ȕ2 + 2Ȗ2 - 2Įȕ - 2ĮȖ - 2ȕȖ = 2(Į2 + ȕ2 + Ȗ2 - Įȕ - ĮȖ - ȕȖ). ȕ) Į2 + ȕ2 + Ȗ2 = Įȕ + ȕȖ + ĮȖ Ȓ Į2 + ȕ2 + Ȗ2 - Įȕ - ȕȖ - ĮȖ = 0 Ȓ 2(Į2 + ȕ2 + Ȗ2 - Įȕ - ȕȖ - ĮȖ) = 0. DZȡĮ Įʌȩ IJȠ Į) (Į - ȕ)2 + (ȕ - Ȗ)2 + (Ȗ - Į)2 = 0 ȠʌȩIJİ Į - ȕ = 0 țĮȚ ȕ - Ȗ = 0 țĮȚ Ȗ - Į = 0 ȐȡĮ Į = ȕ țĮȚ ȕ = Ȗ țĮȚ Ȗ = Į įȘȜ Į = ȕ = Ȗ.

12. ǼʌİȚįȒ Ȟ, Ȟ + 1, Ȟ + 2 İȓȞĮȚ șİIJȚțȠȓ, ʌȠȜȜĮʌȜĮıȚȐȗȠȣȝİ ȝİ IJȠ Ǽ.Ȁ.Ȇ. IJȦȞ ʌĮȡȠȞȠȝĮıIJȫȞ IJȠ ȠʌȠȓȠ İȓȞĮȚ Ȟ(Ȟ + 1)(Ȟ + 2) > 0 țĮȚ Ș ijȠȡȐ įİȞ ĮȜȜȐȗİȚ. 2 4 1 ν(ν+1)(ν+2) - ν(ν+1)(ν+2) > ν(ν+1)(ν+2) ή ν ( ν + 1) ν (v + 2) ( ν + 1) (ν + 2) 4(ν+1)-ν>2(ν+2) >0 ή 4ν+4-ν>2ν+4 ή ν>0 που ισχύει. 13. Į) Į2 + ȕ2 > Ȗ2 - 2Įȕ Ȓ Į2 + ȕ2 - Ȗ2 + 2Įȕ > 0 Ȓ (Į + ȕ)2 - Ȗ2 > 0 Ȓ (Į + ȕ - Ȗ)(Į + ȕ + Ȗ) > 0. ȉȠ ȠʌȠȓȠ ȚıȤȪİȚ įȚȩIJȚ: Į + ȕ > Ȗ Ȓ Į + ȕ - Ȗ > 0 țĮȚ Į + ȕ + Ȗ > 0 (ȐșȡȠȚıȝĮ șİIJȚțȫȞ) ȕ) Į2 + ȕ2 < Ȗ2 + 2Įȕ Ȓ Į2 + ȕ2 - Ȗ2 - 2Įȕ < 0 Ȓ (Į - ȕ)2 - Ȗ2 < 0 Ȓ (Į - ȕ - Ȗ)(Į - ȕ + Ȗ) < 0.(1) ȉȠ ȠʌȠȓȠ ȚıȤȪİȚ įȚȩIJȚ: Į < ȕ + Ȗ Ȓ Į-ȕ-Ȗ< 0 țĮȚ Į + Ȗ > ȕ Ȓ Į + Ȗ - ȕ > 0, ȐȡĮ Ș (1) ȚıȤȪİȚ ȦȢ ȖȚȞȩȝİȞȠ İIJİȡȩıȘȝȦȞ. Ȗ) ǹʌȩ ȕ) Į2 + ȕ2 < Ȗ2 + 2Įȕ (1), Į2 + Ȗ2 < ȕ2 + 2ĮȖ (2), ȕ2 + Ȗ2 < Į2 + 2ȕȖ (3). ǹȞ ʌȡȠıșȑıȠȣȝİ IJȚȢ (1), (2), (3) țĮIJȐ ȝȑȜȘ ʌĮȓȡȞȠȣȝİ:

191


Į2 + ȕ2 + Į2 + Ȗ2 + ȕ2 + Ȗ2 < Ȗ2 + 2Įȕ + ȕ2 + 2ĮȖ + Į2 + 2ȕȖ Ȓ Ȓ Į2 + ȕ2 + Į2 + Ȗ2 + ȕ2 + Ȗ2 - Į2 - ȕ2 - Ȗ2< 2Įȕ + 2ĮȖ + 2ȕȖ Ȓ Į2 + ȕ2 + Ȗ2 < 2Įȕ + 2ȕȖ + 2ĮȖ

ȀİijȐȜĮȚȠ 2

14. ĬȑIJȦ 2007Į = 2008ȕ = 2009Ȗ = Ȝ > 0, ȐȡĮ 2007Į = Ȝ, 2008ȕ = Ȝ, 2009Ȗ = Ȝ, λ λ λ οπότε α = ,β= ,γ= , οπότε γ<β<α 2007 2008 2009 15. ǻ = [-(3Į - 2)]2 - 4(Į + 1)(Į + 1) = (3Į - 2)2 - 4(Į + 1)2 = 9Į2 - 12Į + 4 4(Į2 + 2Į+ 1) = 9Į2 - 12Į + 4 - 4Į2 - 8Į - 4 = 5Į2 - 20Į = 5Į(Į - 4) >0 įȚȩIJȚ Į > 4, ȐȡĮ Ș İȟȓıȦıȘ ȑȤİȚ įȪȠ ȜȪıİȚȢ ʌȡĮȖȝĮIJȚțȑȢ țĮȚ ȐȞȚıİȢ. 16. Į2 + ȕ2 + Ȗ2 - 2Į - 4ȕ - 6Ȗ + 14 = 0 Ȓ Į2 - 2Į + 1 + ȕ2 - 4ȕ + 4 + Ȗ2 - 6Ȗ + 9 = 0 Ȓ (Į-1)2 + (ȕ - 2)2 + (Ȗ - 3)2 = 0, ȠʌȩIJİ Į - 1 = 0 țĮȚ ȕ - 2 = 0 țĮȚ Ȗ - 3 = 0 ȐȡĮ Į = 1 țĮȚ ȕ = 2 țĮȚ Ȗ = 3. 17. ǹ = Į2 - 10Įȕ + 27ȕ22 - 8ȕ + 8 = Į2 - 10Įȕ + 25ȕ2 + 2ȕ2 - 8ȕ + 8 = = (Į - 5)2 + 2(ȕ2 - 4ȕ + 4) = (Į - 5)2 + 2(ȕ - 2)2. EʌİȚįȒ (Į - 5ȕ)2 • 0 țĮȚ 2(ȕ - 2)2 • 0 ȐȡĮ țĮȚ ǹ • 0. DZȡĮ Ș İȜȐȤȚıIJȘ IJȚȝȒ IJȘȢ ʌĮȡȐıIJĮıȘȢ ǹ İȓȞĮȚ IJȠ 0. Ǿ ʌĮȡȐıIJĮıȘ ȖȓȞİIJĮȚ İȜȐȤȚıIJȘ ȩIJĮȞ Į - 5ȕ = 0 țĮȚ ȕ - 2 = 0 įȘȜ ȩIJĮȞ Į = 5ȕ țĮȚ ȕ = 2 ȐȡĮ Į = 10 țĮȚ ȕ = 2 18. ȆĮȡĮIJȘȡȠȪȝİ ȩIJȚ: x - 19 = (x-2020) + 2001, x - 17 = (x - 2020) + 2003, x - 15 = (x - 2020) + 2005, x - 13 = (x - 2020) + 2007. OʌȩIJİ x − 19 x − 17 x − 15 x − 13 + + + = 4 ή 2001 2003 2005 2007 x − 2020 + 2001 x − 2020 + 2003 x − 2020 + 2005 x − 2020 + 2007 + + + = 4 2001 2003 2005 2007 x − 2020 x − 2020 x − 2020 x − 2020 +1+ +1+ +1+ +1 = 4 ή 2001 2003 2005 2007 1 1 1 1 (x-2020)( + + + ) = 0 ή x-2020 = 0 ή x = 2020. 2001 2003 2005 2007

ή

19.

192

ȅȇǿǽȅȃȉǿǹ 1. įİȣIJİȡȠȕȐșȝȚĮ 2. įȚȐIJĮȟȘ. 3. ĮȩȡȚıIJȘ 4. ȡȓȗĮ 5. įȚʌȜȒ 6. ıȣȝʌȜȒȡȦıȘ 7. țȜĮıȝĮIJȚțȒ

ȀǹĬǼȉǹ 1. įȚĮțȡȓȞȠȣıĮ 2. įȪȠ 3. ȝİIJĮȕĮIJȚțȒ 4. ȝȓĮ 5. ȜȪıȘ 6. ĮįȪȞĮIJȘ


ȀİijȐȜĮȚȠ 3Ƞ


3.1

Ǿ ȑȞȞȠȚĮ IJȘȢ ȖȡĮȝȝȚțȒȢ İȟȓıȦıȘȢ

ȀİijȐȜĮȚȠ 3

īȡĮȝȝȚțȒ İȟȓıȦıȘ ȝİ įȪȠ ĮȖȞȫıIJȠȣȢ Ȝȑȝİ țȐșİ İȟȓıȦıȘ IJȘȢ ȝȠȡijȒȢ Įx + ȕȥ = 0, ȝİ x ,ȥ R țĮȚ Į ,ȕ ,Ȗ  R. TĮ x, ȥ İȓȞĮȚ ȠȚ ȐȖȞȦıIJȠȚ , IJĮ Į, ȕ ȠȚ ıȣȞIJİȜİıIJȑȢ țĮȚ IJȠ Ȗ Ƞ ıIJĮșİȡȩȢ ȩȡȠȢ. ȀȐșİ ȖȡĮȝȝȚțȒ İȟȓıȦıȘ ʌĮȡȚıIJȐȞİȚ İȣșİȓĮ ȩIJĮȞ IJȠȣȜȐȤȚıIJȠȞ ȑȞĮȢ Įʌȩ IJȠȣȢ ıȣȞIJİȜİıIJȑȢ İȓȞĮȚ įȚȐijȠȡȠȢ IJȠȣ ȝȘįİȞȩȢ ȀȐșİ ȖȡĮȝȝȚțȒ İȟȓıȦıȘ ȑȤİȚ ȐʌİȚȡİȢ ȜȪıİȚȢ. ȁȪıȘ ȝȚȐȢ ȖȡĮȝȝȚțȒȢ İȟȓıȦıȘȢ Įx + ȕȥ = Ȗ ȠȞȠȝȐȗİIJĮȚ țȐșİ ȗİȪȖȠȢ ĮȡȚșȝȫȞ (x,ȥ) ʌȠȣ IJȘȞ İʌĮȜȘșİȪİȚ. īİȞȚțȐ: Į) AȞ ȑȞĮ ıȘȝİȓȠ ĮȞȒțİȚ ıİ ȝȓĮ İȣșİȓĮ, IJȩIJİ ȠȚ ıȣȞIJİIJĮȖȝȑȞİȢ IJȠȣ İʌĮȜȘșİȪȠȣȞ IJȘȞ İȟȓıȦıȘ IJȘȢ İȣșİȓĮȢ. ȕ) ǹȞ ȠȚ ıȣȞIJİIJĮȖȝȑȞİȢ İȞȩȢ ıȘȝİȓȠȣ İʌĮȜȘșİȪȠȣȞ IJȘȞ İȟȓıȦıȘ ȝȚĮȢ İȣșİȓĮȢ IJȩIJİ IJȠ ıȘȝİȓȠ ĮȞȒțİȚ ıIJȘȞ İȣșİȓĮ ĮȣIJȒ. ǼȚįȚțȑȢ ʌİȡȚʌIJȫıİȚȢ • Ǿ İȟȓıȦıȘ ȥ =ț, ȝİ ț  0 ʌĮȡȚıIJȐȞİȚ ȝȓĮ İȣșİȓĮ ʌȠȣ İȓȞĮȚ ʌĮȡȐȜȜȘȜȘ ıIJoȞ ȐȟȠȞĮ xƍx țĮȚ IJȑȝȞİȚ IJȠȞ ȐȟȠȞĮ ȥƍȥ ıIJȠ ıȘȝİȓȠ (0,ț), İȞȫ Ș İȟȓıȦıȘ ȥ = 0 ʌĮȡȚıIJȐȞİȚ IJȠȞ xƍx. •

H İȟȓıȦıȘ x = ț ȝİ ț  0 ʌĮȡȚıIJȐȞİȚ ȝȓĮ İȣșİȓĮ ʌȠȣ İȓȞĮȚ ʌĮȡȐȜȜȘȜȘ ıIJȠȞ ȐȟȠȞĮ ȥƍȥ țĮȚ IJȑȝȞİȚ IJȠȞ ȐȟȠȞĮ xƍx ıIJȠ ıȘȝİȓȠ (ț,0) , İȞȫ Ș İȟȓıȦıȘ x = 0 ʌĮȡȚıIJȐȞİȚ IJȠȞ ȥƍȥ.

ȀȐșİ ıȘȝİȓȠ IJȠȣ ȐȟȠȞĮ x ȑȤİȚ IJȘȞ ȝȠȡijȒ (x,0) ȀȐșİ ıȘȝİȓȠ IJȠȣ ȐȟȠȞĮ ȥƍȥ ȑȤİȚ IJȘȞ ȝȠȡijȒ (0,ȥ) ȆĮȡĮIJȘȡȒıȘ: īȚĮ ȞĮ ȕȡȠȪȝİ IJĮ ıȘȝİȓĮ ʌȠȣ IJȑȝȞİȚ ȝȓĮ İȣșİȓĮ (İ) IJȠȣȢ ȐȟȠȞİȢ: Į) īȚĮ IJȠȞ ȐȟȠȞĮ xƍx, ȕȐȗȠȣȝİ ȩʌȠȣ ȥ = 0 țĮȚ ȕȡȓıțȠȣȝİ IJȠ x. ȕ) īȚĮ IJȠȞ ȐȟȠȞĮ ȥƍȥ, ȕȐȗȠȣȝİ ȩʌȠȣ x = 0 țĮȚ ȕȡȓıțȠȣȝİ IJȠ ȥ.

195


ȀİijȐȜĮȚȠ 3

ȁȊȂǼȃǼȈ ǹȈȀǾȈǼǿȈ 1

ǻȓȞİIJĮȚ Ș ȖȡĮȝȝȚțȒ İȟȓıȦıȘ: 7x + 2ȥ = 9. ȃĮ İȟİIJȐıİIJİ ʌȠȚĮ Įʌȩ IJĮ ʌĮȡĮțȐIJȦ ȗİȪȖȘ İȓȞĮȚ ȜȪıİȚȢ IJȘȢ ȖȡĮȝȝȚțȒȢ İȟȓıȦıȘȢ. ǹ(1,1) Ǻ( 3,-2) ī(0,0) ȁȪıȘ īȚĮ IJȠ ıȘȝİȓȠ ǹ: 7 · 1 + 2 · 1 = 7 + 2 = 9, ȐȡĮ İȓȞĮȚ ȜȪıȘ īȚĮ IJȠ ıȘȝİȓȠ Ǻ: 7 · 3 + 2 · (-2) = 21 - 4 = 17  9, ȐȡĮ įİȞ İȓȞĮȚ ȜȪıȘ īȚĮ IJȠ ıȘȝİȓȠ ī: 7 · 0 + 2 · 0 = 0  9, ȐȡĮ įİȞ İȓȞĮȚ ȜȪıȘ

2

ǻȓȞİIJĮȚ Ș İȣșİȓĮ 2x + 3ȥ = 5 Į) ȃĮ İȟİIJȐıİIJİ ĮȞ IJĮ ıȘȝİȓĮ ǹ(1 , 1) Ǻ(-2 , 3) ĮȞȒțȠȣȞ ıIJȘȞ İȣșİȓĮ ȕ) ȃĮ țȐȞİIJİ IJȘ ȖȡĮijȚțȒ ʌĮȡȐıIJĮıȘ IJȘȢ İȣșİȓĮȢ Ȗ) ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȠ Ȝ ȫıIJİ Ș İȣșİȓĮ ȞĮ įȚȑȡȤİIJĮȚ Įʌȩ IJȠ ıȘȝİȓȠ Ȃ( Ȝ-1,Ȝ) ȁȪıȘ Į) īȚĮ IJȠ ıȘȝİȓȠ ǹ: 2 · 1 + 3 · 1 = 2 + 3 = 5, ȐȡĮ IJȠ ǹ ĮȞȒțİȚ ıIJȘȞ İȣșİȓĮ. īȚĮ IJȠ ıȘȝİȓȠ Ǻ: 2 · (-2) + 3 · 3 - = 4 + 9 = 5, ȐȡĮ IJȠ B ĮȞȒțİȚ ıIJȘȞ İȣșİȓĮ 5 5 ȕ) īȚĮ x = 0, ψ = , ȐȡĮ IJȠ ıȘȝİȓȠ İȓȞĮȚ: (0, ) īȚĮ ȥ = 0, x = 5 , 3 3 2 5 3

ȐȡĮ IJȠ ıȘȝİȓȠ İȓȞĮȚ (

5 ,0) 2

5 2

Ȗ) īȚĮ ȞĮ įȚȑȡȤİIJĮȚ Ș İȣșİȓĮ Įʌȩ IJȠ Ȃ ʌȡȑʌİȚ 2· (Ȝ - 1) + 3 · Ȝ = 5 Ȓ 7 2Ȝ - 2 + 3Ȝ = 5 Ȓ 5Ȝ = 5 + 2 Ȓ 5Ȝ = 7 Ȓ λ= . 5 3

196

ǻȓȞİIJĮȚ Ș İȣșİȓĮ (İ) 4x + 6ȥ = 12. Į) ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJĮ ıȘȝİȓĮ ʌȠȣ IJȑȝȞİȚ Ș İȣșİȓĮ (İ) IJȠȣȢ ȐȟȠȞİȢ ȕ) ǹȞ ǹ İȓȞĮȚ IJȠ ıȘȝİȓȠ ʌȠȣ IJȑȝȞİȚ Ș(İ) IJȠȞ xƍx, ȞĮ ȕȡİȓIJİ IJȘȞ İȣșİȓĮ (Ș) ʌȠȣ ʌİȡȞȐİȚ Įʌȩ IJȠ ǹ țĮȚ İȓȞĮȚ ʌĮȡȐȜȜȘȜȘ ıIJȠȞ ȥƍȥ. ȁȪıȘ Į) īȚĮ IJȠȞ ȐȟȠȞĮ xƍx: ĬȑIJȦ ȩʌȠȣ ȥ IJȠ 0, ȠʌȩIJİ 4 · x + 6 · 0 = 12 Ȓ 4x = 12 Ȓ x=3 DZȡĮ IJȑȝȞİȚ IJȠȞ xƍx ıIJȠ ıȘȝİȓȠ ǹ(3,0) īȚĮ IJȠȞ ȐȟȠȞĮ ȥƍȥ: ĬȑIJȦ ȩʌȠȣ x IJȠ 0, ȠʌȩIJİ 4 · 0 + 6ȥ = 12 Ȓ ȥ = 2. DZȡĮ IJȑȝȞİȚ IJȠȞ ȥƍȥ ıIJȠ ıȘȝİȓȠ Ǻ(0,2 ) ȕ) ǹʌȩ Į) İȓȞĮȚ ǹ(3,0) ȠʌȩIJİ Ș ȗȘIJȠȪȝİȞȘ İȣșİȓĮ șĮ İȓȞĮȚ x = 3


4

ǻȓȞİIJĮȚ Ș İȟȓıȦıȘ: (Ȝ2 - 1)x + (Ȝ - 1)ȥ = 3 (1) Į) ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȘȞ IJȚȝȒ IJȠȣ Ȝ ȫıIJİ Ȓ (1) ȞĮ ʌĮȡȚıIJȐȞİȚ İȣșİȓĮ . ȕ) ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȘȞ IJȚȝȒ IJȠȣ Ȝ ȫıIJİ Ș (1) ȞĮ ʌĮȡȚıIJȐȞİȚ İȣșİȓĮ ʌĮȡȐȜȜȘȜȘ ıIJȠȞ xƍx. Ȗ) ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȘȞ IJȚȝȒ IJȠȣ Ȝ ȫıIJİ Ș (1) ȞĮ ʌĮȡȚıIJȐȞİȚ İȣșİȓĮ ʌȠȣ ȞĮ ʌİȡȞȐİȚ Įʌȩ IJȠ ǹ(0,3).

ȀİijȐȜĮȚȠ 3

ȁȪıȘ Į) Ǿ İȟȓıȦıȘ Įx + ȕȥ = Ȗ, ʌĮȡȚıIJȐȞİȚ İȣșİȓĮ ȩIJĮȞ ȑȞĮȢ IJȠȣȜȐȤȚıIJȠȞ Įʌȩ IJȠȣȢ ıȣȞIJİȜİıIJȑȢ Į, ȕ İȓȞĮȚ įȚȐijȠȡȠȢ IJȠȣ ȝȘįİȞȩȢ. ǺȡȓıțȦ IJȘȞ IJȚȝȒ IJȠȣ Ȝ ȖȚĮ IJȘȞ ȠʌȠȓĮ ȠȚ ıȣȞIJİȜİıIJȑȢ IJȦȞ x țĮȚ ȥ ȖȓȞȠȞIJĮȚ IJĮȣIJȩȤȡȠȞĮ ȝȘįȑȞ. ȁȪȞȦ Ȝ - 1 = 0 Ȓ Ȝ = 1. ǹȞIJȚțĮșȚıIJȫ ıIJȘȞ (1) ȩʌȠȣ Ȝ=1 țĮȚ ȑȤȠȣȝİ: 12 - 1 = 0, ȐȡĮ ȖȚĮ Ȝ = 1 įİȞ ȑȤȠȣȝİ İȣșİȓĮ. ȕ) īȚĮ ȞĮ ʌĮȡȚıIJȐȞİȚ Ș (1) İȣșİȓĮ ʌĮȡȐȜȜȘȜȘ ıIJȠȞ xƍx ʌȡȑʌİȚ: Ȝ2 - 1 = 0 Ȓ (Ȝ - 1)(Ȝ + 1) = 0 Ȓ Ȝ - 1 = 0 Ȓ Ȝ + 1 = 0 Ȓ Ȝ = 1 (ĮʌȠȡȡȓʌIJİIJĮȚ ) Ȓ Ȝ = -1 . Ǿ IJȚȝȒ Ȝ = 1 ĮʌȠȡȡȓʌIJİIJĮȚ įȚȩIJȚ ȖȚĮ Ȝ = 1 įİȞ ȑȤȠȣȝİ İȣșİȓĮ . Ȗ) īȚĮ ȞĮ ʌĮȡȚıIJȐȞİȚ Ș (1) İȣșİȓĮ ʌȠȣ ȞĮ ʌİȡȞȐİȚ Įʌȩ IJȠ ǹ(0,3) ʌȡȑʌİȚ (Ȝ2 - 1) · 0 + (Ȝ - 1) · 3 = 0 Ȓ 3(Ȝ - 1) = 0 Ȓ Ȝ - 1 = 0 Ȓ Ȝ = 1 ĮʌȠȡȡȓʌIJİIJĮȚ. DZȡĮ įİȞ ȣʌȐȡȤİȚ Ȝ ʌȠȣ Ș (1) ȞĮ ʌĮȡȚıIJȐȞİȚ İȣșİȓĮ ʌȠȣ ȞĮ įȚȑȡȤİIJĮȚ Įʌȩ IJȠ ǹ(0,3)

EȡȦIJȒıİȚȢ țĮIJĮȞȩȘıȘȢ ȃĮ ȤĮȡĮțIJȘȡȓıİIJİ IJȚȢ İʌȩȝİȞİȢ ʌȡȠIJȐıİȚȢ ȝİ ıȦıIJȩ (Ȉ) Ȓ ȜȐșȠȢ (ȁ)

ǹ. 1. 3.

Ǿ İȟȓıȦıȘ 3x2 +ȥ =7 İȓȞĮȚ ȖȡĮȝȝȚțȒ. α H İȟȓıȦıȘ + βψ = γ İȓȞĮȚ ȖȡĮȝȝȚțȒ . x Ǿ İȟȓıȦıȘ (Į-1)x+(Į2-1)ȥ = 3 İȓȞĮȚ ȖȡĮȝȝȚțȒ ȖȚĮ țȐșİ IJȚȝȒ IJȠȣ Ȝ.

4.

Ǿ İȣșİȓĮ x = 5 İȓȞĮȚ ıȣȞȐȡIJȘıȘ.

5.

Ǿ İȣșİȓĮ ȥ = 6 İȓȞĮȚ ıȣȞȐȡIJȘıȘ.

6.

ȅȚ İȣșİȓİȢ x = 5 țĮȚ x = -1 İȓȞĮȚ ʌĮȡȐȜȜȘȜİȢ.

7.

ȅȚ İȣșİȓİȢ ȥ = 3 țĮȚ x = -4 İȓȞĮȚ țȐșİIJİȢ.

8.

Ǿ İȣșİȓĮ x = 3 İȓȞĮȚ ʌĮȡȐȜȜȘȜȘ ıIJȠȞ x.

2.

197


9.

ȀİijȐȜĮȚȠ 3

Ǿ İȟȓıȦıȘ (Ȝ2 - 1)x + (Ȝ - 1)ȥ = 0 ʌĮȡȚıIJȐȞİȚ ʌȐȞIJĮ İȣșİȓĮ.

10. ȀȐșİ ȖȡĮȝȝȚțȒ İȟȓıȦıȘ ȑȤİȚ ȐʌİȚȡİȢ ȜȪıİȚȢ. 11. Ǿ İȟȓıȦıȘ ȥ=6 ȑȤİȚ ȐʌİȚȡİȢ ȜȪıİȚȢ. 12. Ǿ İȟȓıȦıȘ 3x –5 = 0 İȓȞĮȚ ȖȡĮȝȝȚțȒ. 13. ǹȞ (x0, ȥ0) İȓȞĮȚ ȝȓĮ ȜȪıȘ IJȘȢ ȖȡĮȝȝȚțȒȢ İȟȓıȦıȘȢ Įx + ȕȥ = Ȗ IJȩIJİ Įx0 + ȕȥ0 = Ȗ. 14. Ǿ İȟȓıȦıȘ Įx + ȕȥ = Ȗ ȖȡĮijȚțȐ ʌĮȡȚıIJȐȞİȚ ʌȐȞIJĮ İȣșİȓĮ ȖȡĮȝȝȒ. 15. Ǿ İȟȓıȦıȘ 3x + Ȝȥ = 3 ȖȡĮijȚțȐ ʌĮȡȚıIJȐȞİȚ İȣșİȓĮ ȖȚĮ țȐșİ Ȝ. 16. ȉȠ ıȘȝİȓȠ Ȃ(-1,2) ĮȞȒțİȚ ıIJȘȞ İȣșİȓĮ x = 2. 17. ȀȐșİ ıȘȝİȓȠ IJȘȢ İȣșİȓĮȢ ȥ = x ȚıĮʌȑȤİȚ Įʌȩ IJȠȣȢ ȐȟȠȞİȢ. 18. ȉȠ ıȘȝİȓȠ IJȠȝȒȢ IJȦȞ İȣșİȚȫȞ (İ) 3x-ȥ=3 țĮȚ (ȗ) x- ȥ =-1 İȓȞĮȚ IJȠ (0,0). 19. Ǿ İȣșİȓĮ İ: 2x + 2ȥ = 6 IJȑȝȞİȚ IJȠ xƍx ıIJȠ ıȘȝİȓȠ (-3,0). 20. ȅȚ İȣșİȓİȢ x = 4 țĮȚ ȥ = -2 IJȑȝȞȠȞIJĮȚ ıIJȠ ıȘȝİȓȠ ǹ(4,-2). 21. Ǿ İȣșİȓĮ x = 5 IJȑȝȞİȚ IJȠȞ ȥƍȥ ıIJȠ ǹ(0,5). 22. Ǿ İȣșİȓĮ 2x + 6ȥ =0, įȚȑȡȤİIJĮȚ Įʌȩ IJȘȞ ĮȡȤȒ IJȦȞ ĮȟȩȞȦȞ.

NĮ İʌȚȜȑȟİIJİ IJȘȞ ıȦıIJȒ ĮʌȐȞIJȘıȘ:

Ǻ.

198

1.

Ǿ İȣșİȓĮ ȥ = 6 İȓȞĮȚ țȐșİIJȘ: Į. ıIJȠȞ xƍx ȕ. ıIJȠȞ ȥƍȥ Ȗ. ıIJȘȞ İȣșİȓĮ ȥ = 3 į. ıIJȘȞ İȣșİȓĮ ȥ = 6x.

2.

AȞ Ș İȣșİȓĮ (İ) 3x - (Ȝ - 1)ȥ = 3 ʌİȡȞȐİȚ Įʌȩ IJȠ ıȘȝİȓȠ ǹ(Ȝ, Ȝ) IJȩIJİ Ș IJȚȝȒ IJȠȣ Ȝ İȓȞĮȚ: Į. Ȝ = 1 ȕ. Ȝ = 0 Ȗ. Ȝ = 1 Ȓ Ȝ = 3 į.

3.

To ıȘȝİȓȠ IJȠȝȒȢ IJȦȞ İȣșİȚȫȞ (İ) 2x - ȥ = 1 țĮȚ (ȗ) 3x + 2ȥ = 5 İȓȞĮȚ: Į. ȅ(0,0), ȕ. ǹ(1,1), Ȗ. Ǻ(-1,1) į. ī(1,-1)

4.

Ǿ İȣșİȓĮ Ș ȠʌȠȓĮ įȚȑȡȤİIJĮȚ Įʌȩ IJȠ ıȘȝİȓȠ ǹ(-2,3) țĮȚ İȓȞĮȚ ʌĮȡȐȜȜȘȜȘ ıIJȠȞ ȥƍȥ ȑȤİȚ İȟȓıȦıȘ: Į. x = -2, ȕ. x = 2, Ȗ. ȥ = 3, į. ȥ = 2


5.

H İȣșİȓĮ (İ) 2x + 4ȥ - 8 = 0, IJȑȝȞİȚ IJȠȞ xƍx ıIJȠ ıȘȝİȓȠ: Į. (4,0), ȕ. (0,4), Ȗ. (2,0), į. (0,2).

6.

H İȣșİȓĮ x = 4 İȓȞĮȚ ʌĮȡȐȜȜȘȜȘ: Į. ıIJȠȞ xƍx, ȕ. ȥƍȥ, Ȗ. ıIJȘȞ İȣșİȓĮ ȥ = x, į. ıIJȘȞ İȣșİȓĮ ȥ = -x.

7.

ǹʌȩ IJȚȢ ʌĮȡĮțȐIJȦ İȟȚıȫıİȚȢ ȖȡĮȝȝȚțȒ İȓȞĮȚ: Į. 2x - xȥ = 2, ȕ. 4x - 5ȥ + 3 = 0 Ȗ. x - 1 + ȥ = 3, į. x + ȥ - 1 + 2 = 0

8.

Ǿ İȟȓıȦıȘ (Ȝ2 - Ȝ)x + Ȝȥ = 3. ȆĮȡȚıIJȐȞİȚ İȣșİȓĮ ȩIJĮȞ: Į. Ȝ = 0, ȕ. Ȝ  0, Ȗ. Ȝ  1, į. Ȝ = 1

9.

Ǿ İȣșİȓĮ: x -4ȥ = 8, ıȤȘȝĮIJȓȗİȚ ȝİ IJȠȣȢ ȐȟȠȞİȢ İȝȕĮįȩȞ: Į. 8 IJ.ȝȠȞ., ȕ. 4 IJ. ȝȠȞ., Ȗ. 2 IJ. ȝȠȞ., į. 16 IJ.ȝȠȞ.

ȀİijȐȜĮȚȠ 3

AȈȀǾȈǼǿȈ īǿǹ ȁȊȈǾ 1.

ȃĮ ıȤİįȚȐıİIJİ ıIJȠ ȓįȚȠ ıȪıIJȘȝĮ ĮȟȩȞȦȞ IJȚȢ İȣșİȓİȢ: Į) İ1: x - 3ȥ = 4 ȕ) İ2: x - ȥ = 0, Ȗ) İ3: x = 4 į) ȥ = -2

2.

ǻȓȞİIJĮȚ Ș İȣșİȓĮ (İ): 3x - ȥ = 3. Į) ȃĮ ȕȡİșİȓ Ș IJȚȝȒ IJȠȣ ʌȡĮȖȝĮIJȚțȠȪ ĮȡȚșȝȠȪ Į ȫıIJİ Ș İȣșİȓĮ IJĮ IJȑȝȞİȚ IJȠȞ x/x ıIJȠ ıȘȝİȓȠ ǹ(Į2 - 3 ,0). ȕ) īȚĮ IJȘ ȝİȖĮȜȪIJİȡȘ IJȚȝȒ ʌȠȣ ȕȡȒțĮIJİ Įʌȩ IJȠ Į) İȡȫIJȘȝĮ ȞĮ țȐȞİIJİ IJȘȞ ȖȡĮijȚțȒ ʌĮȡȐıIJĮıȘ IJȘȢ İȣșİȓĮȢ: Į · x + ȥ = 5

3.

ǻȓȞİIJĮȚ Ș İȣșİȓĮ (İ): x - 4ȥ = 8 Į) ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJĮ ıȘȝİȓĮ ʌȠȣ Ș İȣșİȓĮ (İ) IJȑȝȞİȚ IJȠȣȢ ȐȟȠȞİȢ. ȕ) ǹȞ ǹ İȓȞĮȚ IJȠ ıȘȝİȓȠ ʌȠȣ Ș (İ) IJȑȝȞİȚ IJȠȞ x / x, ȞĮ ȕȡİȓIJİ IJȘȞ İȣșİȓĮ ʌȠȣ ʌİȡȞȐİȚ Įʌȩ IJȠ ǹ țĮȚ İȓȞĮȚ ʌĮȡȐȜȜȘȜȘ ıIJȠȞ ȥ / ȥ.

4.

ǻȓȞİIJĮȚ Ș İȣșİȓĮ (İ): Į · x + 5ȥ = 10. ȃĮ ȕȡİȓIJİ: Į) ȉȠȞ ĮȡȚșȝȩ Į ĮȞ Ș İȣșİȓĮ IJȑȝȞİȚ IJȠȞ xƍx ıIJȠ 2. ȕ) īȚĮ IJȘȞ IJȚȝȒ IJȠȣ Į ʌȠȣ ȕȡȒțĮIJİ ıIJȠ Į) İȡȫIJȘȝĮ ȞĮ ȕȡİȓIJİ IJȠ İȝȕĮįȩȞ ʌȠȣ ıȤȘȝĮIJȓȗİȚ Ș (İ) ȝİ IJȠȣȢ ȐȟȠȞİȢ.

5.

ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȘȞ IJȚȝȒ IJȠȣ Į, ȫıIJİ Ș İȟȓıȦıȘ (Į2 - 1)x + (Į - 1)ȥ = 3 Į) ȃĮ ʌĮȡȚıIJȐȞİȚ İȣșİȓĮ ȕ) ȃĮ ʌĮȡȚıIJȐȞİȚ İȣșİȓĮ ʌĮȡȐȜȜȘȜȘ ıIJȠȞ xƍx Ȗ) ȃĮ ʌĮȡȚıIJȐȞİȚ İȣșİȓĮ ʌĮȡȐȜȜȘȜȘ ıIJȠȞ ȥƍȥ

199


ȀİijȐȜĮȚȠ 3

6.

ǻȓȞİIJĮȚ Ș İȟȓıȦıȘ (Į2 - 2Į)x + (Į - 2)ȥ + Į2 - 4 = 0. ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȚȢ IJȚȝȑȢ IJȠȣ Į ȫıIJİ: Į) Ș İȟȓıȦıȘ ȞĮ ʌĮȡȚıIJȐȞİȚ İȣșİȓĮ ȕ) Ș İȟȓıȦıȘ ȞĮ ʌĮȡȚıIJȐȞİȚ İȣșİȓĮ Ș ȠʌȠȓĮ ȞĮ ʌİȡȞȐİȚ Įʌȩ IJȘȞ ĮȡȤȒ IJȦȞ ĮȟȩȞȦȞ.

7.

ǻȓȞİIJĮȚ Ș İȟȓıȦıȘ: 4x + (Ȝ2 - 3Ȝ + 2)xȥ + 2ȥ - 6 = 0. ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȚȢ IJȚȝȑȢ IJȠȣ Ȝ ȫıIJİ Ș İȟȓıȦıȘ ȞĮ İȓȞĮȚ ȖȡĮȝȝȚțȒ. īȚĮ IJȘȞ ȝȚțȡȩIJİȡȘ IJȚȝȒ IJȠȣ Ȝ ʌȠȣ șĮ ȕȡİȓIJİ ȞĮ ıȤİįȚȐıİIJİ IJȘȞ İȣșİȓĮ: 2x - Ȝȥ + 4Ȝ = 0.

3.2

Ǿ ȑȞȞȠȚĮ IJȠȣ ȖȡĮȝȝȚțȠȪ ıȣıIJȒȝĮIJȠȢ țĮȚ Ș ȖȡĮijȚțȒ İʌȓȜȣıȒ IJȠȣ īȡĮȝȝȚțȩ ıȪıIJȘȝĮ įȪȠ İȟȚıȫıİȦȞ ȝİ įȪȠ ĮȖȞȫıIJȠȣȢ x țĮȚ ȥ, Ȝȑȝİ ȑȞĮ ıȪȞȠȜȠ Įʌȩ įȪȠ ȖȡĮȝȝȚțȑȢ İȟȚıȫıİȚȢ țĮȚ ĮȞĮȗȘIJȠȪȝİ IJȠ ȗİȪȖȠȢ IJȦȞ ĮȡȚșȝȫȞ ʌȠȣ İȓȞĮȚ IJĮȣIJȩȤȡȠȞĮ ȜȪıȘ țĮȚ IJȦȞ įȪȠ İȟȚıȫıİȦȞ . īİȞȚțȐ: ȁȪıȘ ȖȡĮȝȝȚțȠȪ ıȣıIJȒȝĮIJȠȢ įȪȠ İȟȚıȫıİȦȞ ȝİ įȪȠ ĮȖȞȫıIJȠȣȢ x țĮȚ ȥ ȠȞȠȝȐȗİIJĮȚ țȐșİ ȗİȪȖȠȢ (x,ȥ) ʌȠȣ İʌĮȜȘșİȪİȚ IJȚȢ İȟȚıȫıİȚȢ IJȠȣ. DzȞĮ ȖȡĮȝȝȚțȩ ıȪıIJȘȝĮ įȪȠ İȟȚıȫıİȦȞ ȝİ įȪȠ ĮȖȞȫıIJȠȣȢ x, ȥ İʌȚȜȪİIJĮȚ ȖȡĮijȚțȐ țĮȚ ĮȜȖİȕȡȚțȐ. īȚĮ ȞĮ ȜȪıȠȣȝİ ȑȞĮ ıȪıIJȘȝĮ ȖȡĮijȚțȐ įȠȣȜİȪȠȣȝİ ȦȢ İȟȒȢ: ȀȐȞȠȣȝİ IJȚȢ ȖȡĮijȚțȑȢ ʌĮȡĮıIJȐıİȚȢ IJȦȞ İȣșİȚȫȞ ʌȠȣ ʌĮȡȚıIJȐȞİȚ țȐșİ ȖȡĮȝȝȚțȒ İȟȓıȦıȘ țĮȚ ȑȤȠȣȝİ: • AȞ ȠȚ İȣșİȓİȢ IJȑȝȞȠȞIJĮȚ IJȩIJİ IJȠ ıȪıIJȘȝĮ ȑȤİȚ ȝȠȞĮįȚțȒ ȜȪıȘ ʌȠȣ İȓȞĮȚ ȠȚ ıȣȞIJİIJĮȖȝȑȞİȢ IJȠȣ ıȘȝİȓȠȣ IJȠȝȒȢ.

200

ǹȞ ȠȚ İȣșİȓİȢ İȓȞĮȚ ʌĮȡȐȜȜȘȜİȢ IJȩIJİ įİȞ ȑȤȠȣȞ țȠȚȞȩ ıȘȝİȓȠ, ȠʌȩIJİ IJȠ ıȪıIJȘȝĮ įİȞ ȑȤİȚ ȜȪıȘ țĮȚ Ȝȑȝİ ȩIJȚ İȓȞĮȚ ĮįȪȞĮIJȠ.

ǹȞ ȠȚ İȣșİȓİȢ ıȣȝʌȓʌIJȠȣȞ IJȩIJİ ȑȤȠȣȞ ȩȜĮ IJĮ ıȘȝİȓĮ IJȠȣȢ țȠȚȞȐ țĮȚ İʌȠȝȑȞȦȢ IJȠ ıȪıIJȘȝĮ ȑȤİȚ ȐʌİȚȡİȢ ȜȪıİȚȢ țĮȚ Ȝȑȝİ ȩIJȚ İȓȞĮȚ ĮȩȡȚıIJȠ.


ȀİijȐȜĮȚȠ 3

ȁȊȂǼȃǼȈ ǹȈȀǾȈǼǿȈ

1

3x+2ψ=6 3 ψ- x=0 2 ȕ) ȃĮ ȕȡİșİȓ IJȠ İȝȕĮįȩȞ IJȠȣ IJȡȚȖȫȞȠȣ ʌȠȣ ıȤȘȝĮIJȓȗȠȣȞ ȠȚ İȣșİȓİȢ 3 ε1 : 3x+2ψ=6 , ε2 : ψ- x=0 και o άξονας ψ′ψ . 2 ȁȪıȘ Į) ĬĮ țȐȞȠȣȝİ IJȘȞ ȖȡĮijȚțȒ ʌĮȡȐıIJĮıȘ IJȦȞ İȣșİȚȫȞ ıIJȠ ȓįȚȠ ıȪıIJȘȝĮ ĮȟȩȞȦȞ.

Į) ȃĮ İʌȚȜȣșİȓ ȖȡĮijȚțȐ IJȠ ıȪıIJȘȝĮ (Ȉ):

3 3 ) . Άρα η λύση είναι (x,ψ)= (1, ) 2 2 3 β) Το ζητούμενο τρίγωνο έχει βάση 3 και ύψος . Οπότε : 2 1 3 9 1 = τετραγωνικές μονάδες . E= β · υ = ·3· 2 2 4 2

Οι ευθείες τέμνονται στο Α(1,

2

ȃĮ ȜȣșȠȪȞ ȖȡĮijȚțȐ IJĮ ʌĮȡĮțȐIJȦ ıȣıIJȒȝĮIJĮ: α)

x+2ψ =4 3x-5ψ =1

β)

x=5 x+ψ=0

γ)

ψ=4 x=-7

δ)

x-5 =0 ψ+3=0

ȁȪıȘ Į) ȀȐȞȠȣȝİ IJȚȢ ȖȡĮijȚțȑȢ ʌĮȡĮıIJȐıİȚȢ IJȦȞ İȣșİȚȫȞ ıIJȠ ȓįȚȠ ıȪıIJȘȝĮ ĮȟȩȞȦȞ.

201


ȀİijȐȜĮȚȠ 3

5 11 Οι ευθείες τέμνονται στο Α( , ) 4 8 5 11 Άρα η λύσ η είναι (x,ψ)= ( , ) 4 8 ȕ) ȀȐȞȠȣȝİ IJȚȢ ȖȡĮijȚțȑȢ ʌĮȡĮıIJȐıİȚȢ IJȦȞ İȣșİȚȫȞ ıIJȠ ȓįȚȠ ıȪıIJȘȝĮ ĮȟȩȞȦȞ.

ȅȚ İȣșİȓİȢ IJȑȝȞȠȞIJĮȚ ıIJȠ ǹ(5, -5) DZȡĮ Ș ȜȪıȘ İȓȞĮȚ (x, ȥ) = (5, -5) Ȗ) ȀȐȞȠȣȝİ IJȚȢ ȖȡĮijȚțȑȢ ʌĮȡĮıIJȐıİȚȢ IJȦȞ İȣșİȚȫȞ ıIJȠ ȓįȚȠ ıȪıIJȘȝĮ ĮȟȩȞȦȞ

202


ȅȚ İȣșİȓİȢ IJȑȝȞȠȞIJĮȚ ıIJȠ ǹ(-7, 4) DZȡĮ Ș ȜȪıȘ İȓȞĮȚ (x, ȥ) = (-7, 4)

ȀİijȐȜĮȚȠ 3

į) ȀȐȞȠȣȝİ IJȚȢ ȖȡĮijȚțȑȢ ʌĮȡĮıIJȐıİȚȢ IJȦȞ İȣșİȚȫȞ ıIJȠ ȓįȚȠ ıȪıIJȘȝĮ ĮȟȩȞȦȞ

ȅȚ İȣșİȓİȢ IJȑȝȞȠȞIJĮȚ ıIJȠ ǹ(5, -3) DZȡĮ Ș ȜȪıȘ İȓȞĮȚ (x, ȥ) = (5, -3)

ǼȡȦIJȒıİȚȢ țĮIJĮȞȩȘıȘȢ ȃĮ ȤĮȡĮțIJȘȡȓıİIJİ IJȚȢ İʌȩȝİȞİȢ ʌȡȠIJȐıİȚȢ ȝİ ıȦıIJȩ (Ȉ) Ȓ ȜȐșȠȢ (ȁ)

ǹ. 1.

DzȞĮ ıȪıIJȘȝĮ įȪȠ ȖȡĮȝȝȚțȫȞ İȟȚıȫıİȦȞ İȓȞĮȚ ĮįȪȞĮIJȠ. ȉȩIJİ ȠȚ İȣșİȓİȢ ʌȠȣ ʌĮȡȚıIJȐȞȠȣȞ ĮȣIJȑȢ ȠȚ İȟȚıȫıİȚȢ İȓȞĮȚ ʌȐȞIJĮ ʌĮȡȐȜȜȘȜİȢ ıIJȠȞ xƍx.

2.

ǹȞ įȪȠ İȣșİȓİȢ İȓȞĮȚ ʌĮȡȐȜȜȘȜİȢ, IJȩIJİ IJȠ ıȪıIJȘȝĮ IJȦȞ İȟȚıȫıİȦȞ IJȠȣȢ İȓȞĮȚ ĮȩȡȚıIJȠ.

3.

DzȞĮ ȖȡĮȝȝȚțȩ ıȪıIJȘȝĮ įȪȠ İȟȚıȫıİȦȞ ȝİ ĮȖȞȫıIJȠȣȢ x, ȥ ȝʌȠȡİȓ ȞĮ ȑȤİȚ ȝȩȞȠ įȪȠ ʌȡĮȖȝĮIJȚțȑȢ ȜȪıİȚȢ.

4.

ȉȠ ıȪıIJȘȝĮ IJȦȞ İȟȚıȫıİȦȞ: x = 3 țĮȚ x - 5 =0 İȓȞĮȚ ĮįȪȞĮIJȠ.

5.

ȉȠ ıȪıIJȘȝĮ IJȦȞ İȟȚıȫıİȦȞ: 3x - 6 = 0 țĮȚ ȥ - 4 = 0 ȑȤİȚ ȝȠȞĮįȚțȒ ȜȪıȘ.

6.

ȉȠ ıȪȞȠȜȠ IJȦȞ İȟȚıȫıİȦȞ 3x + 2ȥ = 1, 3x - 5ȥ = 6 ĮʌȠIJİȜİȓ ȑȞĮ ȖȡĮȝȝȚțȩ ıȪıIJȘȝĮ .

203


ȀİijȐȜĮȚȠ 3

7.

TȠ ȗİȪȖȠȢ (-1,3) İȓȞĮȚ ȜȪıȘ IJȠȣ ıȣıIJȒȝĮIJȠȢ: x+3ψ=1 x+2ψ=5

8.

ȉȠ ʌĮȡĮțȐIJȦ ıȪıIJȘȝĮ İȓȞĮȚ ĮįȪȞĮIJȠ x+ψ=8 x+2ψ=10

Ǻ.

ȃĮ İʌȚȜȑȟİIJİ IJȘȞ ıȦıIJȒ ĮʌȐȞIJȘıȘ: 1.

Ǿ İȟȓıȦıȘ IJȘȢ İȣșİȓĮȢ ʌȠȣ įȚȑȡȤİIJĮȚ Įʌȩ IJĮ ıȘȝİȓĮ (1,1) țĮȚ (-2,-2) İȓȞĮȚ: Į. ȥ = x, ȕ. ȥ = 3x - 1, Ȗ. ȥ = 3x - 2, į. ȥ = x + 1

2.

Ǿ İȣșİȓĮ ȥ + 2x = 4 IJȑȝȞİȚ IJȠȞ xƍx ıIJȠ: Į. ǹ(2,0), ȕ. Ǻ(0,2), Ȗ. ī(0,4) į. ǻ(4,0)

3.

ȅȚ İȣșİȓİȢ: (İ) 2x - 5ȥ = -3, (ȗ) x + ȥ = 2 Į. İȓȞĮȚ ʌĮȡȐȜȜȘȜİȢ, ȕ. IJĮȣIJȓȗȠȞIJĮȚ, Ȗ. IJȑȝȞȠȞIJĮȚ ıİ ȑȞĮ ıȘȝİȓȠ į. įȚȑȡȤȠȞIJĮȚ Įʌȩ IJȘȞ ĮȡȤȒ IJȦȞ ĮȟȩȞȦȞ.

4.

ȅȚ İȣșİȓİȢ: (İ) 2x - ȥ = 0, 3x + ȥ = 0 IJȑȝȞȠȞIJĮȚ ıIJȠ: Į. (0,0), ȕ. (1,2), Ȗ. (1,-3), į. (-3,1) ǹȈȀǾȈǼǿȈ īǿǹ ȁȊȈǾ

1

ǻȓȞȠȞIJĮȚ ȠȚ İȣșİȓİȢ: (İ) 3x + 2ȥ = 5, (ȗ) –x + 2ȥ = 1. Į) ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȘȞ ȜȪıȘ IJȠȣ ıȣıIJȒȝĮIJȠȢ ȖȡĮijȚțȐ: ȕ) ȃĮ İȟİIJȐıİIJİ ĮȞ Ș İȣșİȓĮ (Ș) 4x - 3ȥ = 1 ʌİȡȞȐİȚ Įʌȩ IJȠ ıȘȝİȓȠ IJȠȝȒȢ IJȦȞ ʌĮȡĮʌȐȞȦ İȣșİȚȫȞ.

2

3

204

ǻȓȞİIJĮȚ Ș İȣșİȓĮ: (İ) x - 4ȥ = 8 Į) ȃĮ țȐȞİIJİ IJȘȞ ȖȡĮijȚțȒ IJȘȢ ʌĮȡȐıIJĮıȘ ȕ) ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJĮ ıȘȝİȓĮ ʌȠȣ IJȑȝȞİȚ Ș (İ) IJȠȣȢ ȐȟȠȞİȢ. Ȗ) ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȠ ıȘȝİȓȠ IJȠȝȒȢ IJȘȢ (İ) țĮȚ IJȘȢ İȣșİȓĮȢ ʌȠȣ ʌİȡȞȐİȚ Įʌȩ IJȠ ǹ(-2,3) țĮȚ İȓȞĮȚ ʌĮȡȐȜȜȘȜȘ ıIJȠȞ xƍx. ǻȓȞȠȞIJĮȚ ȠȚ İȣșİȓİȢ: (İ) 3x - ȥ = 3, (ȗ) x- 2ȥ = 4 (Ș) 2x - ȥ = 2 Į) ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȠ İȝȕĮįȩȞ ʌȠȣ ıȤȘȝĮIJȓȗİȚ Ș İȣșİȓĮ (İ) ȝİ IJȠȣȢ ȐȟȠȞİȢ. ȕ) ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȠ ıȘȝİȓȠ IJȠȝȒȢ IJȦȞ (ȗ), (Ș) ȖȡĮijȚțȐ. Ȗ) ȃĮ İȟİIJȐıİIJİ ĮȞ ȠȚ İȣșİȓİȢ įȚȑȡȤȠȞIJĮȚ Įʌȩ IJȠ ȓįȚȠ ıȘȝİȓȠ.


3.3

ǹȜȖİȕȡȚțȒ İʌȓȜȣıȘ ȖȡĮȝȝȚțȠȪ ıȣıIJȒȝĮIJȠȢ

ȀİijȐȜĮȚȠ 3

Ǿ ȖȡĮijȚțȒ İʌȓȜȣıȘ İȞȩȢ ıȣıIJȒȝĮIJȠȢ įİȞ ȠįȘȖİȓ ʌȐȞIJȠIJİ ıIJȠȞ ĮțȡȚȕȒ ʌȡȠıįȚȠȡȚıȝȩ IJȘȢ ȜȪıȘȢ IJȠȣ, ĮijȠȪ ıİ ȠȡȚıȝȑȞİȢ ʌİȡȚʌIJȫıİȚȢ ȠȚ ıȣȞIJİIJĮȖȝȑȞİȢ IJȠȣ țȠȚȞȠȪ ıȘȝİȓȠȣ IJȦȞ įȪȠ İȣșİȚȫȞ IJȠȣ įİȞ İȓȞĮȚ İȪțȠȜȠ ȞĮ ʌȡȠıįȚȠȡȚıIJȠȪȞ. īȚĮ ȞĮ İʌȚȜȪıȠȣȝİ ĮȜȖİȕȡȚțȐ ȑȞĮ ıȪıIJȘȝĮ,İʌȚįȚȫțȠȣȝİ ȞĮ ĮʌĮȜİȓȥȠȣȝİ Įʌȩ ȝȓĮ İȟȓıȦıȘ IJȠȞ ȑȞĮȞ Įʌȩ IJȠȣȢ įȪȠ ĮȖȞȫıIJȠȣȢ țĮȚ ȞĮ țĮIJĮȜȒȟȠȣȝİ ıİ İȟȓıȦıȘ ȝİ ȑȞĮȞ ȐȖȞȦıIJȠ. DzȤȠȣȝİ įȪȠ ȝİșȩįȠȣȢ ʌȠȣ ĮȣIJȩ İʌȚIJȣȖȤȐȞİIJĮȚ. Į) ȂȑșȠįȠȢ ĮȞIJȚțĮIJȐıIJĮıȘȢ: ǻȠȣȜİȪȠȣȝİ ȦȢ İȟȒȢ: • ȁȪȞȠȣȝİ ȝȓĮ Įʌȩ IJȚȢ İȟȚıȫıİȚȢ IJȠȣ ıȣıIJȒȝĮIJȠȢ ȦȢ ʌȡȠȢ ȑȞĮȞ ȐȖȞȦıIJȠ. • ǹȞIJȚțĮșȚıIJȠȪȝİ ıIJȘȞ ȐȜȜȘ İȟȓıȦıȘ IJȠȣ ıȣıIJȒȝĮIJȠȢ IJȠȞ ȐȖȞȦıIJȠ ĮȣIJȩȞ ȝİ IJȘȞ ȓıȘ ʌĮȡȐıIJĮıȒ IJȠȣ, ȠʌȩIJİ ʌȡȠțȪʌIJİȚ İȟȓıȦıȘ ȝİ ȑȞĮȞ ȐȖȞȦıIJȠ, IJȘȞ ȠʌȠȓĮ țĮȚ ȜȪȞȠȣȝİ. • ȉȘȞ IJȚȝȒ IJȠȣ ĮȖȞȫıIJȠȣ ʌȠȣ ȕȡȒțĮȝİ IJȘȞ ĮȞIJȚțĮșȚıIJȠȪȝİ ıIJȘ ʌȡȠȘȖȠȪȝİȞȘ İȟȓıȦıȘ, ȠʌȩIJİ ȕȡȓıțȠȣȝİ țĮȚ IJȠȞ ȐȜȜȠ ȐȖȞȦıIJȠ. • ȆȡȠıįȚȠȡȓȗȠȣȝİ IJȘ ȜȪıȘ IJȠȣ ıȣıIJȒȝĮIJȠȢ. ȕ) ȂȑșȠįȠȢ IJȦȞ ĮȞIJȓșİIJȦȞ ıȣȞIJİȜİıIJȫȞ: ǻȠȣȜİȪȠȣȝİ ȦȢ İȟȒȢ: • ȆȠȜȜĮʌȜĮıȚȐȗȠȣȝİ IJĮ ȝȑȜȘ țȐșİ İȟȓıȦıȘȢ ȝİ țĮIJȐȜȜȘȜȠ ĮȡȚșȝȩ, ȫıIJİ ȞĮ İȝijĮȞȚıIJȠȪȞ ĮȞIJȓșİIJȠȚ ıȣȞIJİȜİıIJȑȢ ı’ ȑȞĮȞ Įʌȩ IJȠȣȢ įȪȠ ĮȖȞȫıIJȠȣȢ ʌȡȠțİȚȝȑȞȠȣ ȞĮ IJȠȞ ĮʌĮȜİȓȥȠȣȝİ. • ȆȡȠıșȑIJȠȣȝİ țĮIJȐ ȝȑȜȘ IJȚȢ įȪȠ İȟȚıȫıİȚȢ, ȠʌȩIJİ ʌȡȠțȪʌIJİȚ İȟȓıȦıȘ ȝİ ȑȞĮȞ ȐȖȞȦıIJȠ IJȘȞ ȠʌȠȓĮ țĮȚ ȜȪȞȠȣȝİ. • ǹȞIJȚțĮșȚıIJȠȪȝİ IJȘȞ IJȚȝȒ IJȠȣ ĮȖȞȫıIJȠȣ ʌȠȣ ȕȡȒțĮȝİ ıİ ȝȓĮ Įʌȩ IJȚȢ įȪȠ İȟȚıȫıİȚȢ IJȠȣ ıȣıIJȒȝĮIJȠȢ, ȠʌȩIJİ ȕȡȓıțȠȣȝİ IJȘȞ IJȚȝȒ țĮȚ IJȠȣ ȐȜȜȠȣ ĮȖȞȫıIJȠȣ. • ȆȡȠıįȚȠȡȓȗȠȣȝİ IJȘ ȜȪıȘ IJȠȣ ıȣıIJȒȝĮIJȠȢ.

ȆǹȇǹȉǾȇǾȈǾ ǹȞ ȑȞĮ ıȪıIJȘȝĮ ȑȤİȚ IJȘȞ ȝȠȡijȒ:

α1x+β1ψ=γ1

α2x+β2ψ=γ2 α1 β 1 Tότε ισχύουν α) Αν , τότε το σύστημα έχει μία λύση. ≠ α2 β 2

α1 β 1 γ 1 = ≠ , τότε το σύστημα είναι αδύνατο. α2 β 2 γ 2 α β γ γ) Αν 1 = 1 = 1 , τότε το σύστημα είναι αόριστο. α2 β 2 γ 2

β) Αν

205


ȁȊȂǼȃǼȈ ǹȈȀǾȈǼǿȈ

ȀİijȐȜĮȚȠ 3

1

ȃĮ ȜȪıİIJİ IJĮ ʌĮȡĮțȐIJȦ ıȣıIJȒȝĮIJĮ ȝİ IJȘȞ ȝȑșȠįȠ IJȘȢ ĮȞIJȚțĮIJȐıIJĮıȘȢ α)

x+4ψ=5 2x-4ψ=-2

β)

2x+ψ=7 3x+4ψ=3

γ)

3x+2ψ=2 x-2ψ =14

δ)

4x+5ψ=-2 2x-ψ=6

ȁȪıȘ Į) ȁȪȞȠȣȝİ IJȘȞ İȟȓıȦıȘ x + 4ȥ = 5 ȦȢ ʌȡȠȢ x țĮȚ ȑȤȠȣȝİ: x = 5 - 4ȥ. ǹȞIJȚțĮșȚıIJȠȪȝİ IJȠ x ȝİ 5 - 4ȥ ıIJȘȞ İȟȓıȦıȘ 2x - 4ȥ = -2 țĮȚ ȑȤȠȣȝİ: 2(5 - 4ȥ)- 4ȥ = -2 Ȓ 10 - 8ȥ - 4ȥ = -2 Ȓ 10 - 12ȥ = -2 Ȓ -12ȥ = -2-10 Ȓ -12ȥ = -12 Ȓ ȥ = 1. īȚĮ ȥ = 1 Įʌȩ IJȘȞ İȟȓıȦıȘ x = 5 - 4ȥ ȑȤȠȣȝİ x = 5 - 4 · 1 Ȓ x = 1 . DZȡĮ Ș ȜȪıȘ IJȠȣ ıȣıIJȒȝĮIJȠȢ İȓȞĮȚ x = 1 țĮȚ ȥ = 1, įȘȜĮįȒ IJȠ ȗİȪȖȠȢ (x, ȥ) = (1,1) ȕ) ȁȪȞȠȣȝİ IJȘȞ İȟȓıȦıȘ 2x + ȥ = 7 ȦȢ ʌȡȠȢ ȥ țĮȚ ȑȤȠȣȝİ: ȥ = 7 - 2x. ǹȞIJȚțĮșȚıIJȠȪȝİ IJȠ ȥ ȝİ 7 - 2x ıIJȘȞ İȟȓıȦıȘ 3x + 4ȥ = 3 țĮȚ ȑȤȠȣȝİ: 3x + 4(7 - 2x) =3 Ȓ 3x + 28 - 8x = 3 Ȓ 3x - 8x = 3 - 28 Ȓ -5x = -25 Ȓ x = 5. īȚĮ x = 5 Įʌȩ IJȘȞ İȟȓıȦıȘ ȥ = 7 - 2x ȑȤȠȣȝİ: ȥ = 7 -2 · 5 Ȓ ȥ = 7 - 10 Ȓ ȥ = -3 . DZȡĮ Ș ȜȪıȘ IJȠȣ ıȣıIJȒȝĮIJȠȢ İȓȞĮȚ x = 5 țĮȚ ȥ = -3, įȘȜĮįȒ IJȠ ȗİȪȖȠȢ (x, ȥ) = (5, -3) Ȗ) ȁȪȞȠȣȝİ IJȘȞ İȟȓıȦıȘ x -2ȥ = 14 ȦȢ ʌȡȠȢ x țĮȚ ȑȤȠȣȝİ x = 14 + 2ȥ. ǹȞIJȚțĮșȚıIJȠȪȝİ IJȠ x ȝİ x = 14 + 2ȥ ıIJȘȞ İȟȓıȦıȘ 3x + 2ȥ = 2 țĮȚ ȑȤȠȣȝİ: 3(14 + 2ȥ) + 2ȥ = 2 Ȓ 42 + 6ȥ + 2ȥ = 2 Ȓ 8ȥ = 2 - 42 Ȓ 8ȥ = -40 Ȓ ȥ = -5 . īȚĮ ȥ = -5 Įʌȩ IJȘȞ İȟȓıȦıȘ x = 14 + 2ȥ ȑȤȠȣȝİ: x =14 + 2 ·(-5) Ȓ x = 14 - 10 Ȓ x = 4. DZȡĮ Ș ȜȪıȘ IJȠȣ ıȣıIJȒȝĮIJȠȢ İȓȞĮȚ x = 4 țĮȚ ȥ = -5, įȘȜĮįȒ IJȠ ȗİȪȖȠȢ (x, ȥ) = (4, -5) į) ȁȪȞȠȣȝİ IJȘȞ İȟȓıȦıȘ 2x -ȥ = 6 ȦȢ ʌȡȠȢ ȥ țĮȚ ȑxoȣȝİ ȥ = 2x -6. ǹȞIJȚțĮșȚıIJȠȪȝİ IJȠ ȥ ȝİ ȥ = 2x - 6 ıIJȘȞ İȟȓıȦıȘ 4x + 5ȥ = -2 țĮȚ ȑȤȠȣȝİ: 4x + 5(2x - 6)= -2 Ȓ 4x + 10x -30 = -2 Ȓ 14x = 30 - 2 Ȓ 14x = 28 Ȓ x = 2 .īȚĮ x=2 Įʌȩ IJȘȞ İȟȓıȦıȘ ȥ = 2x - 6 ȑȤȠȣȝİ: ȥ = 2 · 2 -6 Ȓ ȥ = -2 . DZȡĮ Ș ȜȪıȘ IJȠȣ ıȣıIJȒȝĮIJȠȢ İȓȞĮȚ x = 2 țĮȚ ȥ = -2, įȘȜĮįȒ IJȠ ȗİȪȖȠȢ (x, ȥ) = ( 2,-2) 2

ȃĮ ȜȪıİIJİ ȝİ IJȘȞ ȝȑșȠįȠ IJȦȞ ĮȞIJȚșȑIJȦȞ ıȣȞIJİȜİıIJȫȞ IJĮ ıȣıIJȒȝĮIJĮ α)

206

2x-5ψ=-3 β) 3x+5ψ=8

4x+3ψ=2 -4x+2ψ=-12

γ)

3x-5ψ=1 2x+3ψ=7


ȀİijȐȜĮȚȠ 3

ȁȪıȘ Į) ȅȚ ıȣȞIJİȜİıIJȑȢ IJȠȣ ȥ İȓȞĮȚ ĮȞIJȓșİIJȠȚ ĮȡȚșȝȠȓ țĮȚ ĮȞ ʌȡȠıșȑıȠȣȝİ IJȚȢ İȟȚıȫıİȚȢ țĮIJȐ ȝȑȜȘ, IJȩIJİ ȩ ȐȖȞȦıIJȠȢ ȥ ĮʌĮȜİȓijİIJĮȚ. DzIJıȚ ȑȤȠȣȝİ 2x + 3x = -3 + 8 Ȓ 5x = 5 Ȓ x = 1. ǹȞIJȚțĮșȚıIJȠȪȝİ IJȘȞ IJȚȝȒ IJȠȣ x ıİ ȝȓĮ Įʌȩ IJȚȢ įȪȠ İȟȚıȫıİȚȢ ʌ.Ȥ . ıIJȘȞ įİȪIJİȡȘ țĮȚ ȑȤȠȣȝİ: 3 · 1 + 5ȥ = 8 Ȓ 5ȥ = 8 - 3 Ȓ 5ȥ = 5 Ȓ ȥ = 1. DZȡĮ Ș ȜȪıȘ IJȠȣ ıȣıIJȒȝĮIJȠȢ İȓȞĮȚ x=1 țĮȚ ȥ=1 ,įȘȜĮįȒ IJȠ ȗİȪȖȠȢ (x,ȥ)=( 1,1) ȕ) ȅȚ ıȣȞIJİȜİıIJȑȢ IJȠȣ x İȓȞĮȚ ĮȞIJȓșİIJȠȚ ĮȡȚșȝȠȓ țĮȚ ĮȞ ʌȡȠıșȑıȠȣȝİ IJȚȢ İȟȚıȫıİȚȢ țĮIJȐ ȝȑȜȘ, IJȩIJİ ȩ ȐȖȞȦıIJȠȢ x ĮʌĮȜİȓijİIJĮȚ. DzIJıȚ ȑȤȠȣȝİ 3ȥ + 2ȥ = -10 Ȓ 5ȥ=-10 Ȓ ȥ=-2. ǹȞIJȚțĮșȚıIJȠȪȝİ IJȘȞ IJȚȝȒ IJȠȣ ȥ ıİ ȝȓĮ Įʌȩ IJȚȢ įȪȠ İȟȚıȫıİȚȢ ʌ.Ȥ. ıIJȘȞ ʌȡȫIJȘ țĮȚ ȑȤȠȣȝİ: 4x + 3 · (-2) = 2 Ȓ 4x - 6 = 2 Ȓ 4x = 6 + 2 Ȓ 4x = 8 Ȓ x = 2. DZȡĮ Ș ȜȪıȘ IJȠȣ ıȣıIJȒȝĮIJȠȢ İȓȞĮȚ x = 2 țĮȚ ȥ = -2 ,įȘȜĮįȒ IJȠ ȗİȪȖȠȢ (x, ȥ) = ( 2, -2) Ȗ) ĬĮ țȐȞȠȣȝİ ĮʌĮȜȠȚijȒ IJȠȣ ĮȖȞȫıIJȠȣ ʌȠȣ șȑȜȠȣȝİ, ʌ.Ȥ. IJȠ x. OʌȩIJİ ʌȠȜȜĮʌȜĮıȚȐȗȠȣȝİ IJĮ ȝȑȜȘ IJȘȢ ʌȡȫIJȘȢ İȟȓıȦıȘȢ ȝİ 2 țĮȚ IJȘȢ įİȪIJİȡȘȢ ȝİ -3 ȠʌȩIJİ ȑȤȠȣȝİ: 3x-5ψ=1

2

2x+3ψ=7 -3

6x-10ψ = 2

ή

-6x-9ψ=-21

Ȃİ ʌȡȩıșİıȘ țĮIJȐ ȝȑȜȘ -10ȥ -9ȥ = 2 -21 Ȓ -19ȥ = -19 Ȓ ȥ = 1. ǹȞIJȚțĮșȚıIJȠȪȝİ IJȘȞ IJȚȝȒ IJȠȣ ȥ ıİ ȝȓĮ Įʌȩ IJȚȢ įȪȠ İȟȚıȫıİȚȢ ʌ.Ȥ. ıIJȘȞ ʌȡȫIJȘ țĮȚ ȑȤȠȣȝİ: 3x - 5 · 1 = 1 Ȓ 3x = 1 + 5 Ȓ 3x = 6 Ȓ x = 2. DZȡĮ Ș ȜȪıȘ IJȠȣ ıȣıIJȒȝĮIJȠȢ İȓȞĮȚ x = 2 țĮȚ ȥ = 1, įȘȜĮįȒ IJo ȗİȪȖȠȢ (x, ȥ) = (2,1). 3

ȃĮ ȜȣșȠȪȞ IJĮ ıȣıIJȒȝĮIJĮ: 2 3 + =13 α β

4x −1 + 2ψ=3 3

α)

3 − 2 x 3x + ψ + =1 5 5

β)

3 1 − =3 α β

α +2 β =8 γ)

α β = . 2 3

δ) 3 α - β =3

α-2β=6

ȁȪıȘ Į) īȚĮ ȞĮ ĮʌȜȠȣıIJİȣșȠȪȞ ȠȚ İȟȚıȫıİȚȢ, țȐȞȠȣȝİ ĮʌĮȜȠȚijȒ ʌĮȡȠȞȠȝĮıIJȫȞ țĮȚ ȑȤȠȣȝİ:

207


ȀİijȐȜĮȚȠ 3

3· α) 5·

4x −1 + 3·2ψ=3·3 3

4x-1+6ψ=9 ή

3-2x+3x+ψ=5

4x+6ψ=10 ή

x+ψ=2

3 − 2x 3x + ψ +5· =5·1 5 5

ȁȪȞȠȣȝİ ȦȢ ʌȡȠȢ x IJȘȞ İȟȓıȦıȘ x + ȥ = 2 țĮȚ ȑȤȠȣȝİ: x = 2 - ȥ. ǹȞIJȚțĮșȚıIJȠȪȝİ ıIJȘȞ 4x + 6ȥ = 10 IJȠ x țĮȚ ȑȤȠȣȝİ: 4(2 - ȥ) + 6ȥ = 10 Ȓ 8 - 4ȥ + 6ȥ = 10 Ȓ -4ȥ + 6ȥ = 10 - 8 Ȓ 2ȥ = 2 Ȓ ȥ = 1. DZȡĮ x = 2 -1 =1 . DZȡĮ Ș ȜȪıȘ IJȠȣ ıȣıIJȒȝĮIJȠȢ İȓȞĮȚ x = 1 țĮȚ ȥ = 1 įȘȜĮįȒ IJo ȗİȪȖȠȢ (x, ȥ) = (1,1). x+3ψ=13 1 1 =ψ άρα έχουμε το ισοδύναμο σύστημα β) Θέτω = x , α β x-ψ = 3 Λύνω την εξίσωση 3x-ψ=3 ως προς ψ και έχουμε : ψ=3x-3 . Αντικαθιστούμε στην 2x+3ψ=13 το ψ και έχουμε : 2x+3(3x-3)=13 ή 2x+9x-9=13 ή 11x=22 1 1 1 1 και =3 ή β= . Άρα η λύση ή x=2 . Άρα ψ=3·2-3 =3 . Οπότε =2 ή α = α 2 3 β 1 1 1 1 και β= δηλαδή τo ζεύγος (α,β)=( , ) του συστήματος είναι α = 2 3 2 3 γ) Θέτω

α = x ≥ 0 και

β = ψ ≥ 0 , άρα έχουμε το ισοδύναμο σύστημα

x+2ψ=8 3x- ψ=3 Λύνω την εξίσωση x+2ψ=8 ως προς x και έχουμε : x = 8 -2ψ Αντικαθιστούμε το x στην εξίσωση 3x-ψ=3 και παίρνουμε : 3(8-2ψ)-ψ=3 ή 24-6ψ-ψ=3 ή -7ψ= 3-24 ή -7ψ=-21 ή ψ=3 . Άρα x=8-2·3=2

β = 3 ή ( β )2=32 ή β=9 . Άρα η λύση του συστήματος είναι α=4 και β= 9 δηλαδή τo ζεύγος (α,β) = (4, 9)

Oπότε :

208

α =2 ή ( α )2=22 ή α=4 και


4

ȅ ʌĮIJȑȡĮȢ IJȠȣ ȀȫıIJĮ ȑȤİȚ ıIJȠ ĮȖȡȩțIJȘȝĮ ʌȡȩȕĮIJĮ țĮȚ țȩIJİȢ. ǹȞ ȩȜĮ ȝĮȗȓ ȀİijȐȜĮȚȠ 3 IJĮ ȗȫĮ ȑȤȠȣȞ 30 țİijȐȜȚĮ țĮȚ 100 ʌȩįȚĮ ȞĮ ȕȡİȓIJİ ʌȩıĮ İȓȞĮȚ IJĮ ʌȡȩȕĮIJĮ țĮȚ ʌȩıİȢ İȓȞĮȚ ȠȚ țȩIJİȢ. ȁȪıȘ DzıIJȦ x İȓȞĮȚ ȠȚ țȩIJİȢ țĮȚ ȥ İȓȞĮȚ IJĮ ʌȡȩȕĮIJĮ IJȩIJİ: x + ȥ = 30 (1). Ǿ ȝȓĮ țȩIJĮ ȑȤİȚ įȪȠ ʌȩįȚĮ, ȐȡĮ ȠȚ x șĮ ȑȤȠȣȞ 2x ʌȩįȚĮ. ȉȠ ȑȞĮ ʌȡȩȕĮIJȠ ȑȤİȚ IJȑııİȡĮ ʌȩįȚĮ, ȐȡĮ IJĮ ȥ șĮ ȑȤȠȣȞ 4ȥ ʌȩįȚĮ. ȅʌȩIJİ 2x + 4ȥ = 100 (2). DzIJıȚ ȑȤȠȣȝİ το σύστημα :

x+ψ=30 x+4ψ=100

Λύνω την εξίσωση x+ψ=30 ή x=30-ψ. Αντικαθιστώ το x στην εξίσωση 2x+4ψ=100 και έχουμε :

2(30-ψ)+4ψ=100 ή 60-2ψ+4ψ=100 ή -2ψ+4ψ=100-60 ή 2ψ = 40 ή ψ = 20 Άρα x = 30-20 =10. Άρα οι κότες είναι 10 και τα πρόβατα 20.

5

ȅ ȀȫıIJĮȢ ʌȒȡİ Įʌȩ IJȠ țȣȜȚțİȓȠ IJȠȣ ıȤȠȜİȓȠȣ IJȠȣ įȪȠ IJȩıIJ țĮȚ ȝȓĮ IJȣȡȩʌȚIJĮ țĮȚ ʌȜȒȡȦıİ 5 İȣȡȫ. ȅ ȃȓțȠȢ ʌȒȡİ ȑȞĮ IJȩıIJ țĮȚ IJȡİȓȢ IJȣȡȩʌȚIJİȢ, ȑįȦıİ 10 İȣȡȫ țĮȚ IJȠȣ įȫıĮȞ ȡȑıIJĮ 5 İȣȡȫ. ȃĮ ȕȡİȓIJİ ʌȩıȠ țȠıIJȓȗİȚ Ș IJȣȡȩʌȚIJĮ țĮȚ ʌȩıȠ IJȠ IJȩıIJ. ȁȪıȘ

και έχουμε : 2(5-3ψ)+ψ=5 ή 10-6ψ+ψ=5 ή 5ψ=5 ή ψ=1 , άρα x=5-3=2 . Άρα το τόστ κοστίζει 2 ευρώ και η τυρόπιτα 1 ευρώ .

6

Į) ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȘȞ İȟȓıȦıȘ IJȘȢ İȣșİȓĮȢ (İ) ʌȠȣ įȚȑȡȤİIJĮȚ Įʌȩ IJĮ ıȘȝİȓĮ ǹ(1,2) țĮȚ Ǻ (-1,3) ȕ) ȃĮ İȟİIJȐıİIJİ ĮȞ IJȠ ıȘȝİȓȠ ī(-1,3) ĮȞȒțİȚ ıIJȘȞ (İ) ȁȪıȘ Į) H ευθεία θα έχει εξίσωση : ψ=αx+β . Η ευθεία περνάει από τα σημεία Α(1,2) και Β(-1,3) , άρα 2=α·1+β (1) και 3=α·(-1)+β (2) . Από (1) και (2) έχουμε το σύστημα

α+β = 2 -α+β =3

5 Με πρόσθεση κατά μέλη παίρνουμε : 2β=5 ή β= . Αντικαθιστούμε στην 2 5 5 1 πρώτη εξίσωση και έχουμε : α+ =2 ή α=2- ή α=- . Άρα η ευθεία 2 2 2 1 5 είναι : ψ= - x+ . 2 2

209


ȀİijȐȜĮȚȠ 3

1 5 1 5 β) Για x=-1 και ψ=3 έχουμε : 3=- (-1)+ ή 3= + ή 3=3 ισχύει . 2 2 2 2 Άρα το Γ ανήκει στην ευθεία .

7

NĮ ȕȡİȓIJİ IJȠ ʌȜȒșȠȢ IJȦȞ ȜȪıİȦȞ IJȦȞ ʌĮȡĮțȐIJȦ ıȣıIJȘȝȐIJȦȞ ȤȦȡȓȢ ȞĮ IJĮ ȜȪıİIJİ.

ȁȪıȘ

8

ȃĮ ȜȪıİIJİ IJĮ ıȣıIJȒȝĮIJĮ: x2-3ψ-1=0

α)

x-ψ=1

β)

x2-ψ2= 3 x+ψ=1

γ)

(x-ψ)(x+2ψ)=0 x-3ψ=4

ȁȪıȘ α) Λύνω την εξίσωση x-ψ=1 ως προς ψ και έχουμε : ψ= x-1. Αντικαθιστώ το ψ στην εξίσωση x2-3ψ-1=0 και έχουμε : x2-3(x-1)-1=0 ή x2-3x+3-1=0 ή x2-3x+2=0 . Δ=β2-4αγ=(-3)2-4·1·2=9-8=1 >0 . Άρα έχουμε δύο λύσεις − β ± ∆ − (−3) ± 1 3 ± 1 3 +1 3 −1 = άρα x= =2 ή x= =1 . = 2α 2 2 2 2α Για x=2 , ψ=2-1 = 1 ή για x=1 , ψ=1-1=0 . Άρα (x,ψ)=(2,1) ή (x,ψ)=(1,0)

x=

β)

x2-ψ2= 3 x+ψ=1

(x-ψ)(x+ψ)=3 x+ψ=1

x-ψ =3 x+ψ=1

Με πρόσθεση κατά μέλη

2x=4 ή x=2 , οπότε 2+ψ=1 ή ψ=-1 , άρα (x,ψ)=(2,-1)

210


γ) Από την εξίσωση (x-ψ)(x+2ψ)=0 ή x-ψ=0 ή x+2ψ=0 , άρα έχουμε τα συστήματα : x-ψ=0 x+2ψ=0 (Σ1) : και (Σ2) : x-3ψ=4 x-3ψ=4

ȀİijȐȜĮȚȠ 3

Λύνω (Σ1) : Λύνω την x-ψ=0 ως προς x και έχουμε : x=ψ. Αντικαθιστώ στην x-3ψ= 4 και έχουμε : ψ-3ψ=4 ή -2ψ=4 ή ψ=-2 , άρα x=-2 . Λύνω (Σ2) : Λύνω την x+2ψ=0 ως προς x και έχουμε : x=-2ψ . Αντικαθιστώ 4 4 8 στην x-3ψ=4 και έχουμε : -2ψ-3ψ=4 ή -5ψ=4 ή ψ=- , άρα x=-2(- )= , 5 5 5 8 4 Άρα (x,ψ)=(-2,-2) ή (x,ψ)=( , - ) 5 5

9

ȉȠ ȐșȡȠȚıȝĮ IJȦȞ ȥȘijȓȦȞ İȞȩȢ įȚȥȒijȚȠȣ ĮȡȚșȝȠȪ İȓȞĮȚ 14. ǹȞ İȞĮȜȜȐȟȠȣȝİ IJĮ ȥȘijȓĮ IJȠȣ ʌȡȠțȪʌIJİȚ ĮȡȚșȝȩȢ țĮIJȐ 36 ȝȠȞȐįİȢ ȝȚțȡȩIJİȡȠȢ. ȃĮ ȕȡİșİȓ Ƞ ĮȡȚșȝȩȢ. ȁȪıȘ DzıIJȦ x İȓȞĮȚ IJȠ ȥȘijȓȠ IJȦȞ įİțȐįȦȞ țĮȚ ȥ IJȠ ȥȘijȓȠ IJȦȞ ȝȠȞȐįȦȞ. ȉȩIJİ x + ȥ = 14 (1). ȅ ĮȡȚșȝȩȢ șĮ İȓȞĮȚ: Į = 10x + ȥ. ǵIJĮȞ İȞĮȜȜȐȟȠȣȝİ IJĮ ȥȘijȓĮ Ƞ ĮȡȚșȝȩȢ ʌȠȣ ʌȡȠțȪʌIJİȚ șĮ İȓȞĮȚ Ƞ ȕ = 10ȥ + x. ǻȓȞİIJĮȚ ȩIJȚ Į = ȕ + 36 ȐȡĮ 10x + ȥ =10ȥ+x +36 Ȓ 9x - 9ȥ = 36 Ȓ x -ȥ = 4 (2). ȁȪȞȠȣȝİ IJȠ ıȪıIJȘȝĮ IJȦȞ (1) țĮȚ (2). ǹȞ ȜȪıȠȣȝİ IJȘȞ İȟȓıȦıȘ x + ȥ = 14 ȦȢ ʌȡȠȢ x ʌĮȓȡȞȠȣȝİ x = 14 - ȥ. ǹȞIJȚțĮșȚıIJȠȪȝİ IJȘȞ IJȚȝȒ IJȠȣ x ıIJȘȞ İȟȓıȦıȘ x -ȥ = 4 țĮȚ ʌĮȓȡȞȠȣȝİ: 14 -ȥ -ȥ = 4 Ȓ -2ȥ = 4 -14 Ȓ -2ȥ = -10 Ȓ ȥ = 5, ȐȡĮ x = 14 - 5 = 9. ȅʌȩIJİ Ƞ ĮȡȚșȝȩȢ İȓȞĮȚ Ƞ 95.

ǼȡȦIJȒıİȚȢ țĮIJĮȞȩȘıȘȢ ȃĮ ȤĮȡĮțIJȘȡȓıİIJİ IJȚȢ İʌȩȝİȞİȢ ʌȡȠIJȐıİȚȢ ȝİ ıȦıIJȩ (Ȉ) Ȓ ȜȐșȠȢ (ȁ)

ǹ. 1.

ȉȠ ıȘȝİȓȠ ǹ(2,1) İȓȞĮȚ ȜȪıȘ IJȠȣ ıȣıIJȒȝĮIJȠȢ IJȦȞ İȟȚıȫıİȦȞ IJȦȞ İȣșİȚȫȞ 2ȥ = x țĮȚ ȥ = 1

2.

ȅȚ İȣșİȓİȢ ȥ -3x = 2 țĮȚ ȥ -x = 0 IJȑȝȞȠȞIJĮȚ ıIJȘȞ ĮȡȤȒ IJȦȞ ĮȟȩȞȦȞ

3.

ȅȚ İȣșİȓİȢ İ1: 3x -2ȥ = 3, İ2: 6x -4ȥ = -3 İȓȞĮȚ ʌĮȡȐȜȜȘȜİȢ.

4. 5.

1 1 ȅȚ İȣșİȓİȢ İ1: 4x -ȥ = 1, ε2 : x- ψ= IJȑȝȞȠȞIJĮȚ. 4 4 H ıȤȑıȘ (3x -2ȥ + 1)(x -2ȥ + 5) = 0 įȓȞİȚ ȖȡĮȝȝȚțȩ ıȪıIJȘȝĮ įȪȠ İȟȚıȫıİȦȞ ȝİ įȪȠ ĮȖȞȫıIJȠȣȢ.

211


ȀİijȐȜĮȚȠ 3

6.

DzȞĮ ȖȡĮȝȝȚțȩ ıȪıIJȘȝĮ įȪȠ İȟȚıȫıİȦȞ ȝİ įȪȠ ĮȖȞȫıIJȠȣȢ İȓȞĮȚ įȣȞĮIJȩȞ ȞĮ ȑȤİȚ ĮțȡȚȕȫȢ įȪȠ ȜȪıİȚȢ.

7.

ǹȞ ȑȞĮ ȖȡĮȝȝȚțȩ ıȪıIJȘȝĮ įȪȠ İȟȚıȫıİȦȞ ȝİ įȪȠ ĮȖȞȫıIJȠȣȢ, x, ȥ İȓȞĮȚ ĮȩȡȚıIJȠ, IJȩIJİ ĮȣIJȩ ĮȜȘșİȪİȚ ȖȚĮ țȐșİ x, ȥ  R.

8.

ǹȞ ȑȞĮ ȖȡĮȝȝȚțȩ ıȪıIJȘȝĮ įȪȠ İȟȚıȫıİȦȞ ȝİ įȪȠ ĮȖȞȫıIJȠȣȢ, x, ȥ ȑȤİȚ ȜȪıİȚȢ IJĮ ȗİȪȖȘ (3,2) țĮȚ (-1,2) IJȩIJİ șĮ ȑȤİȚ ȜȪıȘ țĮȚ IJȠ (-2,2)

9.

ȉȠ ıȪıIJȘȝĮ

x-2ψ=0 4x+7ψ =0 δεν είναι ποτέ αδύνατο

Ǻ.

ȃĮ İʌȚȜȑȟİIJİ IJȘ ıȦıIJȒ ĮʌȐȞIJȘıȘ: 1.

ȅȚ İȣșİȓİȢ İ1: 3x + 2ȥ = 5 țĮȚ İ2: 2x -5ȥ = -3 ȑȤȠȣȞ țȠȚȞȩ ıȘȝİȓȠ IJȠ Į. ǹ(1,1), ȕ. Ǻ(3, -2), Ȗ. ī(-4, -1) į. ǻ(6,3)

2.

Ǿ ʌĮȡȐıIJĮıȘ (x- 3ȥ +5)2 + (2x + ȥ -4)2 + 2008 ȖȓȞİIJĮȚ İȜȐȤȚıIJȘ ȩIJĮȞ: Į. x = 1 Ȓ ȥ = 2, ȕ. x = 1 țĮȚ ȥ = 2, Ȗ. x = 2 țĮȚ ȥ = 1, į. x = -1 țĮȚ ȥ = 2.

3.

4.

212

Το σύστημα :

Το σύστημα

2x-4ψ=1 6x-12ψ = 5 είναι :

x-2ψ=1 x+ψ=2

παριστάνει δύο ευθείες :


ȀİijȐȜĮȚȠ 3

ǹȈȀǾȈǼǿȈ īǿǹ ȁȊȈǾ 1

2

3

ȃĮ ȜȪıİIJİ IJĮ ʌĮȡĮțȐIJȦ ıȣıIJȒȝĮIJĮ:

NĮ ȜȪıİIJİ IJĮ ʌĮȡĮțȐIJȦ ıȣıIJȒȝĮIJĮ: x +1 ψ -1 3 4x - 3 ψ - 1 = =2 + + 2 4 2 5 2 α) β) x +1 ψ -1 3 3x + 2 2 ψ - 1 = =1 − − 2 2 4 4 3 NĮ ȜȪıİIJİ IJĮ ʌĮȡĮțȐIJȦ ıȣıIJȒȝĮIJĮ: 3 α -2 β = - 5

3 α +2 β =5 α)

β) 4 α +2 β =-2

2 α -5 β = -3

4

ȃĮ ȜȪıİIJİ IJĮ ʌĮȡĮțȐIJȦ ıȣıIJȒȝĮIJĮ: 3 α -2 β = - 5

3 α +2 β =5 α)

β) 2 α -5 β = -3

5

ȃĮ ȜȪıİIJİ IJĮ ʌĮȡĮțȐIJȦ ıȣıIJȒȝĮIJĮ:

α)

6

4 α +2 β =-2

α β = 2 5

3α-7β=15

β)

α= β 4 α+2β=10

γ)

α β = 3 2

3α+5β=16

Į) ȃĮ ȕȡİșİȓ Ș İȟȓıȦıȘ IJȘȢ İȣșİȓĮȢ Ș ȠʌȠȓĮ įȚȑȡȤİIJĮȚ Įʌȩ IJĮ ıȘȝİȓĮ ǹ (1,2) țĮȚ Ǻ(2, -1) ȕ) ȃĮ İȟİIJĮıșİȓ ĮȞ IJȠ ıȘȝİȓȠ ī(1, 2) İȓȞĮȚ ıȘȝİȓȠ IJȘȢ İȣșİȓĮȢ ʌȠȣ ȠȡȓȗȠȣȞ IJĮ ıȘȝİȓĮ ǹ țĮȚ Ǻ.

213


ȀİijȐȜĮȚȠ 3

7

Į) ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȠ ıȘȝİȓȠ ıIJȠ ȠʌȠȓȠ IJȑȝȞȠȞIJĮȚ ȠȚ İȣșİȓİȢ ȝİ İȟȚıȫıİȚȢ: (İ) ȥ = x-2 țĮȚ (ȗ) 3x - 4ȥ = 5 ȕ) ǹȞ Ș İȣșİȓĮ (Ȝ - 1) · x + (3Ȝ -2) · ȥ = 0 įȚȑȡȤİIJĮȚ Įʌȩ IJȠ ıȘȝİȓȠ ʌȠȣ ȕȡȒțĮIJİ ıIJȠ Į) İȡȫIJȘȝĮ ȞĮ ȕȡİȓIJİ IJȠ Ȝ

8

9

ǻȓȞȠȞIJĮȚ ȠȚ İȣșİȓİȢ (İ) 3x - 2ȥ = 1 țĮȚ (ȗ) x - 4ȥ = -3. Į) ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȠ ıȘȝİȓȠ IJȠȝȒȢ Ȁ IJȦȞ İȣșİȚȫȞ (İ) țĮȚ (ȗ). ȕ) ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȘȞ İȣșİȓĮ (Ș) ʌȠȣ ʌİȡȞȐİȚ Įʌȩ IJȠ Ȁ țĮȚ Įʌȩ IJȠ ıȘȝİȓȠ ʌȠȣ IJȑȝȞİȚ Ș (ȗ) IJȠȞ x´x. Αν το σύστημα

x+2αψ=9 αx-2βψ=-10 έχει λύση την (x,ψ)=(1,3)

Į) ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȚȢ IJȚȝȑȢ IJȦȞ Į, ȕ ȕ) ȃĮ țȐȞİIJİ IJȘȞ ȖȡĮijȚțȒ ʌĮȡȐıIJĮıȘ IJȘȢ İȣșİȓĮȢ ȥ = 3Įx + 2ȕ, ȩʌȠȣ Į, ȕ ȠȚ IJȚȝȑȢ ʌȠȣ ȕȡȒțĮIJİ Įʌȩ IJȠ Į) İȡȫIJȘȝĮ 10

Ȉİ ȑȞĮ ĮȖȡȩțIJȘȝĮ İȓȞĮȚ țȩIJİȢ țĮȚ țȠȣȞȑȜȚĮ. ǹȞ IJĮ ȗȫĮ ȑȤȠȣȞ ȩȜĮ ȝĮȗȓ 50 țİijȐȜȚĮ țĮȚ 140 ʌȩįȚĮ, ȞĮ ȕȡİȓIJİ ʌȩıİȢ İȓȞĮȚ ȠȚ țȩIJİȢ țĮȚ ʌȩıĮ IJĮ țȠȣȞȑȜȚĮ.

11

ǻȓȞȠȞIJĮȚ ȠȚ İȣșİȓİȢ (İ) 3x -ȥ = 2 țĮȚ (ȗ) 4x + ȥ = 5 Į) ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȠȣȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ Į, ȕ ĮȞ Ș (İ) ʌİȡȞȐİȚ Įʌȩ IJȠ Ȁ( Į-1,ȕ) țĮȚ Ș (ȗ) Įʌȩ IJȠ ıȘȝİȓȠ ȁ (ȕ + 2, Į) ȕ) īȚĮ IJȚȢ IJȚȝȑȢ IJȦȞ Į, ȕ Įʌȩ IJȠ Į) İȡȫIJȘȝĮ ȞĮ ȕȡİȓIJİ IJȘȞ İȣșİȓĮ Ȁȁ

214

12

AȞ Ș İȟȓıȦıȘ: x2 -(3ț -Ȝ)x + Ȝ = 0 ȑȤİȚ ȡȓȗİȢ IJȠȣȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ 1 țĮȚ 3 IJȩIJİ ȞĮ ȕȡİȓIJİ IJȠȣȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ ț, Ȝ.

13

ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ: Į) ȉĮ ıȘȝİȓĮ ǹ(2,4), Ǻ(-3,8) țĮȚ ī(12,-4) ȕȡȓıțȠȞIJĮȚ ʌȐȞȦ ıIJȘȞ ȓįȚĮ İȣșİȓĮ ȕ) ȃĮ įİȓȟİIJİ ȩIJȚ Ș ʌĮȡĮʌȐȞȦ İȣșİȓĮ IJȑȝȞİȚ IJȠȞ x´x ıİ ıȘȝİȓȠ ʌȠȣ ĮʌȑȤİȚ 7 ȝȠȞȐįİȢ Įʌȩ IJȘȞ ĮȡȤȒ IJȦȞ ĮȟȩȞȦȞ.

14

ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ ȠȚ ʌĮȡĮțȐIJȦ İȣșİȓİȢ (İ) 3x -ȥ = 2, (Ș) 4x + ȥ = 5 țĮȚ (ȗ) x -3ȥ = -2 įȚȑȡȤȠȞIJĮȚ Įʌȩ IJȠ ȓįȚȠ ıȘȝİȓȠ.

15

DzıIJȦ ȩIJȚ Ș İȣșİȓĮ (İ) 3x -ȥ + 6ȕ = 0 IJȑȝȞİȚ IJȠȞ x´x ıIJȠ ǹ(4 ,0) țĮȚ Ș İȣșİȓĮ (Ș) 2x -4ȥ + Į - 2 = 4 IJȑȝȞİȚ IJȠȞ ȥ´ȥ ıIJȠ Ǻ(0, 6).


ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȚȢ IJȚȝȑȢ IJȦȞ Į, ȕ țĮȚ ȞĮ țȐȞİIJİ IJȘȞ ȖȡĮijȚțȒ ʌĮȡȐıIJĮıȘ IJȘȢ ȥ = 2Įx + 2ȕ 16

ȃĮ ȜȪıİIJİ IJĮ ıȣıIJȒȝĮIJĮ: ήμ x+ψ=11 x-ψ=2 α) β) xψ=24 xψ=35

γ)

x2+ψ2=73 x+ψ=11

δ)

ȀİijȐȜĮȚȠ 3

x2-2ψ+x=0 x+2ψ=2

17

Ȉİ ȑȞĮ IJȡȓȖȦȞȠ ǹǺī Ș İȟȓıȦıȘ IJȘȢ ʌȜİȣȡȐȢ ǹǺ İȓȞĮȚ ȥ = 2x, IJȘȢ Ǻī İȓȞĮȚ 3ȥ - 5x = 2 țĮȚ IJȘȢ ǹī İȓȞĮȚ ȥ + 2x = 3. NĮ ȕȡİȓIJİ IJȚȢ ıȣȞIJİIJĮȖȝȑȞİȢ IJȦȞ țȠȡȣijȫȞ ǹ, Ǻ, ī IJȠȣ IJȡȚȖȫȞȠȣ.

18

ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȚȢ IJȚȝȑȢ IJȦȞ Į, ȕ ȫıIJİ ȖȚĮ țȐșİ x  R ȞĮ ȚıȤȪİȚ 2x2 - 6x = 2(x - 2)2 + Į(x - 2) + 3ȕ.

19

Ǿ ʌİȡȓȝİIJȡȠȢ İȞȩȢ ȠȡșȠȖȦȞȓȠȣ İȓȞĮȚ 22 cm, İȞȫ IJȠ İȝȕĮįȩȞ IJȠȣ İȓȞĮȚ 30 cm2. NĮ ȣʌȠȜȠȖȚıșȠȪȞ ȠȚ įȚĮıIJȐıİȚȢ IJȠȣ ȠȡșȠȖȦȞȓȠȣ.

īİȞȚțȑȢ ǹıțȒıİȚȢ 3Ƞȣ ȀİijĮȜĮȓȠȣ 1

ǻȓȞȠȞIJĮȚ ȠȚ İȣșİȓİȢ: (İ) 4Ȝx - 3(Ȝ + 1)ȥ = 5 țĮȚ (ȗ) 2x - 6ȥ = 3 ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȠ Ȝ, ȫıIJİ ȠȚ İȣșİȓİȢ (İ) țĮȚ (ȗ) ȞĮ IJȑȝȞȠȞIJĮȚ ıİ ıȘȝİȓȠ Į) IJȠȣ xx´ ȕ) IJȠȣ ȥ ´ȥ

2

Į) ǻȓȞİIJĮȚ IJȠ ʌȠȜȣȫȞȣȝȠ ȇ(x) = x3 + Įx2 + ȕx -6. NĮ ȕȡİȓIJİ IJȠȣȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ Į țĮȚ ȕ ȫıIJİ IJȠ ʌȠȜȣȫȞȣȝȠ ȞĮ ȑȤİȚ ȡȓȗİȢ IJȠȣȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ -1 țĮȚ 2. ȕ) īȚĮ IJȚȢ IJȚȝȑȢ IJȦȞ Į, ȕ ʌȠȣ ȕȡȒțĮIJİ ıIJȠ Į) İȡȫIJȘȝĮ ȞĮ ıȤİįȚȐıİIJİ IJȘȞ İȣșİȓĮ Įx + 2ȕȥ = 3.

3

AȞ Ș İȟȓıȦıȘ (Į - ȕ + 1)x = ȕ - 2 · Į + 3 İȓȞĮȚ ĮȩȡȚıIJȘ ȞĮ ȕȡİȓIJİ IJȠȣȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ Į țĮȚ ȕ.

4

NĮ ȕȡİșȠȪȞ ȠȚ ĮȡȚșȝȠȓ Į, ȕ ĮȞ ȚıȤȪİȚ (2Į -2ȕ -4)2 + (3Į + ȕ - 2)2 = 0

215


ȀİijȐȜĮȚȠ 3

5

Να βρεθούν τα α, β αν το σύστημα : (x,ψ)=(1,1)

2αx+3βψ=-1 αx-2βψ=5

έχει λύση την

6

ǻȪȠ ʌȜȠȓĮ țȚȞȠȪȞIJĮȚ İȣșȪȖȡĮȝȝĮ IJȠ ʌȡȫIJȠ Įʌȩ IJȠ ȜȚȝȐȞȚ ǹ(3,7) ʌȡȠȢ IJȠ ȜȚȝȐȞȚ Ǻ (-1,-1) țĮȚ IJȠ įİȪIJİȡȠ Įʌȩ IJȠ ȜȚȝȐȞȚ ī(2,5) ʌȡȠȢ IJȠ ȜȚȝȐȞȚ ǻ(-3,0). ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȠ țȠȚȞȩ ıȘȝİȓȠ IJȘȢ įȚĮįȡȠȝȒȢ IJȠȣȢ.

7

ȃĮ ȕȡİșİȓ Ș İȟȓıȦıȘ IJȘȢ İȣșİȓĮȢ (İ) Ș ȠʌȠȓĮ IJȑȝȞİȚ IJȠȞ ȅȥ ıIJȠ ıȘȝİȓȠ ǹ(0,4) țĮȚ ıȤȘȝĮIJȓȗİȚ ȝİ IJȠȣȢ șİIJȚțȠȪȢ ȘȝȚȐȟȠȞİȢ IJȡȓȖȦȞȠ İȝȕĮįȠȪ 10 IJİIJȡĮȖȦȞȚțȑȢ ȝȠȞȐįİȢ.

8 Αν το σύστημα

2αx+3βψ=5 4αx-3βψ=1

έχει λύση την (x,ψ)=(1,1) να κάνετε

την γραφική παράσταση της ευθείας 2αx+6βψ=12

9

ǻȓȞİIJĮȚ IJȠ ʌȠȜȣȫȞȣȝȠ P(x) = Įx2 + 3ȕx + 2. AȞ IJȠ ʌȠȜȣȫȞȣȝȠ ȑȤİȚ ȡȓȗĮ IJȠȞ ĮȡȚșȝȩ -1 țĮȚ Ș ĮȡȚșȝȘIJȚțȒ IJȚȝȒ ȖȚĮ x = 1 İȓȞĮȚ 4, ȞĮ ȕȡİȓIJİ IJĮ Į, ȕ.

10

NĮ ȕȡİșȠȪȞ ȠȚ ĮȡȚșȝȠȓ Į, ȕ ȫıIJİ IJĮ ıȣıIJȒȝĮIJĮ: (Σ1) :

11

x-3ψ=-1 3x+2ψ=5

και

(Σ2) :

αx-2βψ=1 4αx+2βψ=14

να έχουν κοινή λύση

Į) NĮ ȕȡİȓIJİ IJȚȢ IJȚȝȑȢ IJȦȞ Į, ȕ ȫıIJİ Ș İȟȓıȦıȘ: (α-β+3)x3 +x2+ (2α+3β +1) x +3x-2 =0 να είναι 2ου βαθμού ως προς x

ȕ) īȚĮ IJȚȢ IJȚȝȑȢ IJȦȞ Į, ȕ ʌȠȣ ȕȡȒțĮIJİ ıIJȠ Į) İȡȫIJȘȝĮ ȞĮ ȜȪıİIJİ IJȠ ıȪıIJȘȝĮ (α+1)x+βψ=4 (α-3β)x+5αψ=6

12

216

ǻȓȞİIJĮȚ IJȠ ıȪıIJȘȝĮ: x + 2ȥ = Į - 1 x-ȥ=2 Į) ȃĮ ȜȪıİIJİ IJȠ ıȪıIJȘȝĮ (ȅȚ ȜȪıİȚȢ ȞĮ İȓȞĮȚ ıİ ıȣȞȐȡIJȘıȘ ȝİ IJȠ Į) ȕ) ǹȞ (x1, ȥ1) İȓȞĮȚ Ș ȜȪıȘ IJȠȣ ʌĮȡĮʌȐȞȦ ıȣıIJȒȝĮIJȠȢ ȞĮ ȜȪıİIJİ IJȘȞ İȟȓıȦıȘ (x1 - 2)2 + (ȥ1 - 1)2 = 3.


13

ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȚȢ IJȚȝȑȢ IJȦȞ x, ȥ ȫıIJİ Ș ʌĮȡȐıIJĮıȘ ǹ = (x -2ȥ + 1)2 + (3x + ȥ - 1)2 + 2007 ȞĮ ʌĮȓȡȞİȚ IJȘȞ İȜȐȤȚıIJȘ IJȚȝȒ. ȆȠȚĮ İȓȞĮȚ ĮȣIJȒ;

14

NĮ ȕȡİȓIJİ ȖȚĮ ʌȠȚİȢ IJȚȝȑȢ IJȠȣ Į ȠȚ İȣșİȓİȢ ȝİ İȟȚıȫıİȚȢ 3Įx - 4Įȥ = 12 țĮȚ 2x + 3ȥ = 6 IJȑȝȞȠȞIJĮȚ: Į) ȆȐȞȦ ıIJȠȞ ȐȟȠȞĮ xƍx, ȕ) ȆȐȞȦ ıIJȠȞ ȐȟȠȞĮ ȥƍȥ.

15

ǻȓȞȠȞIJĮȚ ȠȚ İȣșİȓİȢ İ1, İ2 ȝİ İȟȚıȫıİȚȢ: 2x + ȥ - 3 = 0, 3x - 2ȥ - 1 = 0 ĮȞIJȓıIJȠȚȤĮ. Į) ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȠ ıȘȝİȓȠ IJȠȝȒȢ IJȦȞ İ1, İ2 . ȕ) ȃĮ ȕȡİșİȓ Ƞ Ȝ R ȫıIJİ Ș İȣșİȓĮ (İ) (2Ȝ + 3) · x + 2Ȝȥ + 6 = 0 ȞĮ ʌİȡȞȐİȚ Įʌȩ IJȠ ıȘȝİȓȠ IJȠȝȒȢ IJȦȞ ʌĮȡĮʌȐȞȦ İȣșİȚȫȞ.

ȀİijȐȜĮȚȠ 3

1o ȀȡȚIJȒȡȚȠ ǹȟȚȠȜȩȖȘıȘȢ ĬȑȝĮ 1 Į) ȃĮ ȖȡȐȥİIJİ ȝȓĮ įȚțȒ ıĮȢ ȖȡĮȝȝȚțȒ İȟȓıȦıȘ țĮȚ ȞĮ ȕȡİȓIJİ įȪȠ ıȘȝİȓĮ IJȘȢ İȣșİȓĮȢ IJȘȞ ȠʌȠȓĮ ʌĮȡȚıIJȐȞİȚ ȖȡĮijȚțȐ. ȕ) ȉȚ Ȝȑȝİ ȖȡĮȝȝȚțȒ İȟȓıȦıȘ ȝİ įȪȠ ĮȖȞȫıIJȠȣȢ. Ȗ) ȆȩIJİ ȑȞĮ ȖȡĮȝȝȚțȩ ıȪıIJȘȝĮ İȓȞĮȚ ĮįȪȞĮIJȠ; ȆȠȚĮ Ș ȖİȦȝİIJȡȚțȒ İȡȝȘȞİȓĮ ȖȚĮ IJȚȢ İȣșİȓİȢ ʌȠȣ ʌĮȡȚıIJȐȞȠȣȞ ȠȚ İȟȚıȫıİȚȢ IJȠȣ. ĬȑȝĮ 2 ǹ. Į) ȃĮ ȕȡİșİȓ Ș İȟȓıȦıȘ IJȘȢ İȣșİȓĮȢ(İ) Ș ȠʌȠȓĮ ʌİȡȞȐİȚ Įʌȩ IJȠ ıȘȝİȓȠ IJȠȝȒȢ IJȦȞ İȣșİȚȫȞ İ1: 3x + 2ȥ = 5 țĮȚ İ2: 3x - 2ȥ = 1 țĮȚ Įʌȩ IJȠ ıȘȝİȓȠ ǹ(-1,2) ȕ) ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJĮ ıȘȝİȓĮ ʌȠȣ IJȑȝȞİȚ Ș İȣșİȓĮ (İ) IJȠȣ Į) İȡȦIJȒȝĮIJȠȢ IJȠȣȢ ȐȟȠȞİȢ. Ǻ. Į) AȞ IJĮ ʌĮȡĮțȐIJȦ ıȣıIJȒȝĮIJĮ ȑȤȠȣȞ țȠȚȞȒ ȜȪıȘ ȞĮ ȕȡİȓIJİ IJȠȣȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ Į, ȕ: ( Σ1) :

3x-2ψ=1 4x+5ψ=7

αx-βψ=6 ( Σ2) :

3αx+2βψ=8

ȕ) īȚĮ IJȚȢ IJȚȝȑȢ IJȦȞ Į, ȕ IJȠȣ Į) İȡȦIJȒȝĮIJȠȢ ȞĮ ȕȡİȓIJİ IJȠ ıȘȝİȓȠ IJȠȝȒȢ IJȦȞ İȣșİȚȫȞ: (İ1) Įx - ȕȥ = 6, (İ2) 3Įx + 2ȕȥ = 8.

217


ȀİijȐȜĮȚȠ 3

ĬȑȝĮ 3 ǹ. Į) DzȞĮ ȟİȞȠįȠȤİȓȠ ȑȤİȚ 40 įȓțȜȚȞĮ țĮȚ IJȡȓțȜȚȞĮ įȦȝȐIJȚĮ. ǹȞ IJȠ ȟİȞȠįȠȤİȓȠ ȑȤİȚ 95 țȡİȕȐIJȚĮ, ȞĮ ȕȡİȓIJİ ʌȩıĮ İȓȞĮȚ IJĮ įȓțȜȚȞĮ țĮȚ ʌȩıĮ IJĮ IJȡȓțȜȚȞĮ. ȕ) ǹȞ Ș İȟȓıȦıȘ (Į -2ȕ -3) · x = 2Į + ȕ - 11 İȓȞĮȚ ĮȩȡȚıIJȘ ȞĮ ȕȡİȓIJİ IJȠȣȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ Į, ȕ. Ǻ. ȃĮ ȜȪıİIJİ IJȠ ıȪıIJȘȝĮ: 3xĮ - 2ȥ = 5 4x + ȥȕ = 14 ǵʌȠȣ Į, ȕ İȓȞĮȚ Ș ȝȚțȡȩIJİȡȘ, ȝİȖĮȜȪIJİȡȘ ȡȓȗĮ ĮȞIJȓıIJȠȚȤĮ IJȘȢ İȟȓıȦıȘȢ x2 -3x + 2 = 0 ĬȑȝĮ 4 Į) ǻȓȞİIJĮȚ Ș İȣșİȓĮ (İ) 3x - 2ȥ - 1 = 0. ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȘȞ IJȚȝȒ IJȠȣ Į ȫıIJİ Ș İȟȓıȦıȘ 2ȥ - 3x + 4Į + 5 = 0, ȞĮ ȑȤİȚ ȦȢ ȜȪıȘ ȑȞĮ ıȘȝİȓȠ IJȘȢ (İ). ȕ) īȚĮ IJȘȞ IJȚȝȒ IJȠȣ Į ʌȠȣ ȕȡȒțĮIJİ ıIJȠ Į) İȡȫIJȘȝĮ ȞĮ ȕȡİȓIJİ IJȠ ıȘȝİȓȠ ʌȠȣ IJȑȝȞİȚ Ș İȣșİȓĮ (ȗ) 4x - 2ȥ = Į, IJȠȞ ȐȟȠȞĮ xƍx

218


20 ȀȡȚIJȒȡȚȠ ǹȟȚȠȜȩȖȘıȘȢ

ȀİijȐȜĮȚȠ 3

ĬȑȝĮ 1 Į) Tȓ Ȝȑȝİ ȖȡĮȝȝȚțȩ ıȪıIJȘȝĮ įȪȠ ȖȡĮȝȝȚțȫȞ İȟȚıȫıİȦȞ ȝİ įȪȠ ĮȖȞȫıIJȠȣȢ ȕ) ȃĮ İȡȝȘȞİȪıİIJİ ȖİȦȝİIJȡȚțȐ IJȠ ȖİȖȠȞȩȢ ȩIJȚ ȑȞĮ ȖȡĮȝȝȚțȩ ıȪıIJȘȝĮ įȪȠ İȟȚıȫıİȦȞ ȝİ įȪȠ ĮȖȞȫıIJȠȣȢ İȓȞĮȚ ĮȩȡȚıIJȠ Ȗ) ȃĮ įȚțĮȚȠȜȠȖȒıİIJİ ȖȡĮijȚțȐ ȖȚĮIJȓ IJȠ ıȪıIJȘȝĮ: 3x -2ȥ = 0 x + ȥ = 0 įİȞ İȓȞĮȚ ĮįȪȞĮIJȠ. ĬȑȝĮ 2 A. Δίνεται το σύστημα

2x+3ψ=2 3x+3λ =ψ

με αγνώστους τους x,ψ

Į) ȃĮ ȜȪıİIJİ IJȠ ıȪıIJȘȝĮ. (ȉĮ x, ȥ șĮ ȣʌȠȜȠȖȚıșȠȪȞ ıİ ıȣȞȐȡIJȘıȘ ȝİ IJȠ Ȝ) ȕ) īȚĮ ʌȠȚĮ IJȚȝȒ IJȠȣ Ȝ Ș ȜȪıȘ IJȠȣ ıȣıIJȒȝĮIJȠȢ ĮȞȒțİȚ ıIJȘȞ İȣșİȓĮ x - 2ȥ - 6 = 0 Ǻ. Į) NĮ ȕȡİȓIJİ IJȠ ıȘȝİȓȠ IJȠȝȒȢ ǹ IJȦȞ İȣșİȚȫȞ (İ) 2x + 3ȥ = 5 țĮȚ (ȗ) 3x - 2ȥ = -1 . ȕ) ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȘȞ İȟȓıȦıȘ IJȘȢ İȣșİȓĮȢ (Ș) ʌȠȣ ʌİȡȞȐİȚ Įʌȩ IJȠ ıȘȝİȓȠ ǹ IJȠȣ Į) İȡȦIJȒȝĮIJȠȢ țĮȚ Įʌȩ IJȠ ıȘȝİȓȠ Ǻ(-1,3). ĬȑȝĮ 3 ǹ. Į) ȃĮ ȕȡİȓIJİ ȖȚĮ ʌȠȚİȢ IJȚȝȑȢ IJȦȞ Į, ȕ Ș ʌĮȡȐıIJĮıȘ ǹ = (Į -2ȕ -2)2 + (2Į + ȕ - 9)2 + 2007 ȖȓȞİIJĮȚ İȜȐȤȚıIJȘ. ȕ) ȃĮ İȟİIJȐıİIJİ ĮȞ Ș İȣșİȓĮ 3x - 4ȥ + 5 = 0 įȚȑȡȤİIJĮȚ Įʌȩ IJȠ ıȘȝİȓȠ (2Į-1, 2ȕ) ȩʌȠȣ Į, ȕ İȓȞĮȚ ȠȚ IJȚȝȑȢ IJȠȣ Į) İȡȦIJȒȝĮIJȠȢ. Ǻ. Ȉ’ ȑȞĮ ȖțĮȡȐȗ ȣʌȐȡȤȠȣȞ ıȣȞȠȜȚțȐ 100 ȠȤȒȝĮIJĮ, ĮȣIJȠțȓȞȘIJĮ țĮȚ ʌȠįȒȜĮIJĮ. ǹȞ ȑȤȠȣȞ ȩȜĮ ȝĮȗȓ 240 ȡȩįİȢ, ȞĮ ȕȡİȓIJİ ʌȩıĮ İȓȞĮȚ IJĮ ʌȠįȒȜĮIJĮ țĮȚ ʌȩıĮ IJĮ ĮȣIJȠțȓȞȘIJĮ. ĬȑȝĮ 4 Į) ǻȓȞİIJĮȚ Ș İȟȓıȦıȘ: x2 + Įx + ȕ = 0. ǹȞ Ș İȟȓıȦıȘ ȑȤİȚ ȡȓȗİȢ IJȠȣȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ 2 țĮȚ 3 ȞĮ ȕȡİȓIJİ IJȚȢ IJȚȝȑȢ IJȦȞ Į ,ȕ. ȕ) īȚĮ IJȚȢ IJȚȝȑȢ IJȦȞ Į, ȕ ʌȠȣ ȕȡȒțĮIJİ ıIJȠ Į) İȡȫIJȘȝĮ ȞĮ ȕȡİȓIJİ IJĮ ıȘȝİȓĮ IJȠȝȒȢ IJȘȢ İȣșİȓĮȢ 3Įx + 2ȕȥ + 4 = 0 ȝİ IJȠȣȢ ȐȟȠȞİȢ.

219


ȁȪıİȚȢ ıȤȠȜȚțȠȪ ȕȚȕȜȓȠȣ

ȀİijȐȜĮȚȠ 3

3.1

H ȑȞȞȠȚĮ IJȘȢ ȖȡĮȝȝȚțȒȢ İȟȓıȦıȘȢ ǼȡȦIJȒıİȚȢ țĮIJĮȞȩȘıȘȢ 1. (3,2), (0,6), (-3,10), 2. Į) ȁ

ȕ) Ȉ

Ȗ) Ȉ

į) ȁ

Į) 4

ȕ) 3

Ȗ) 1

į) 2

3.

4.

i) Ȗ) ii) į)

5.

i) į) ii) ȕ)

ȆȡȠIJİȚȞȩȝİȞİȢ ĮıțȒıİȚȢ - ȆȡȠȕȜȒȝĮIJĮ 1.

220

Į)

ǼȓȞĮȚ ʌĮȡȐȜȜȘȜİȢ


2.

Į) īȚĮ ȞĮ įȚȑȡȤİIJĮȚ Ș İȣșİȓĮ Įʌȩ IJȘȞ ĮȡȤȒ IJȦȞ ĮȟȩȞȦȞ ʌȡȑʌİȚ IJȠ ıȘȝİȓȠ (0,0) ȞĮ IJȘȞ İʌĮȜȘșİȪİȚ. DzIJıȚ 6 · 0 + 2 · 0 = 8 -2Ȝ ȠʌȩIJİ 8 - 2Ȝ = 0 ȐȡĮ Ȝ=4 ȕ) īȚĮ Ȝ = 4 Ș İȣșİȓĮ ȖȓȞİIJĮȚ 6x + 2ȥ = 0 Ȓ 3x + ȥ = 0

3.

Į) īȚĮ IJȠȞ ȐȟȠȞĮ x · x șȑIJȦ ȩʌȠȣ ȥ= 0 țĮȚ ȑȤȠȣȝİ: 4 · x = 12 ȐȡĮ x = 3. OʌȩIJİ IJȑȝȞİȚ IJȠȞ x · x ıIJȠ ǹ(3,0). īȚĮ IJȠȞ ȐȟȠȞĮ ȥ · ȥ șȑIJȦ ȩʌȠȣ x = 0 țĮȚ ȑȤȠȣȝİ 3 · ȥ = 12 ȐȡĮ ȥ = 4. OʌȩIJİ IJȑȝȞİȚ IJȠȞ ȥ · ȥ ıIJȠ Ǻ(0,4) ȕ) ΕΟΑΒ=

4.

ȀİijȐȜĮȚȠ 3

1 1 (ΟΑ)·(ΟΒ)= ·3·4=6 τετραγωνικές μονάδες 2 2

Į) ȥ=2 x=2 ȉȠ ıȘȝİȓȠ IJȠȝȒȢ IJȦȞ įȪȠ İȣșİȚȫȞ İȓȞĮȚ IJȠ ǹ(-2,2) ȕ) ǹʌȩ IJȠ ıȘȝİȓȠ ǹ ʌİȡȞȐİȚ Ș İȣșİȓĮ ȗ3.

221


ȀİijȐȜĮȚȠ 3

5.

Į)

ȕ) ȉȠ IJİIJȡȐʌȜİȣȡȠ İȓȞĮȚ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ ȝİ įȚĮıIJȐıİȚȢ: 6 țĮȚ 5 ȐȡĮ IJȠ İȝȕĮįȩȞ İȓȞĮȚ: E = 6 · 5 = 30 IJİIJȡĮȖȦȞȚțȑȢ ȝȠȞȐįİȢ.

222

6.

Į) īȚĮ ȞĮ İȓȞĮȚ ʌĮȡȐȜȜȘȜȘ ıIJȠȞ x´x ʌȡȑʌİȚ Ȝ - 2 = 0 Ȓ Ȝ = 2 ȕ) īȚĮ ȞĮ İȓȞĮȚ ʌĮȡȐȜȜȘȜȘ ıIJȠȞ ȥ´ȥ ʌȡȑʌİȚ Ȝ - 1 = 0 Ȓ Ȝ = 1.

7.

α) Έστω t1 , t2 είναι οι χρόνοι που χρειάζεται για να διανύσει τις αποστάσεις x ψ x , ψ αντίστοιχα . Τότε t1= , t2= . Δίνεται ότι : t1 + t2 =1 οπότε : 2 4 x ψ + =1 ή 2x+4ψ=8 ή x+2ψ=4 . 4 2

8.

ȈIJȠȞ ȟİȞȫȞĮ ȣʌȐȡȤȠȣȞ x įȓțȜȚȞĮ ȐȡĮ șĮ ȑȤȠȣȞ 2x țȡİȕȐIJȚĮ, İʌȓıȘȢ ȣʌȐȡȤȠȣȞ ȥ IJȡȓțȜȚȞĮ IJĮ ȠʌȠȓĮ șĮ ȑȤȠȣȞ 3ȥ țȡİȕȐIJȚĮ. ǼʌİȚįȒ ȩȜĮ IJĮ țȡİȕȐIJȚĮ İȓȞĮȚ 25 țȡİȕȐIJȚĮ șĮ ȑȤȠȣȝİ IJȘȞ İȟȓıȦıȘ: 2x + 3ȥ = 25.


3.2

Ǿ ȑȞȞȠȚĮ IJȠȣ ȖȡĮȝȝȚțȠȪ ıȣıIJȒȝĮIJȠȢ țĮȚ Ș İʌȓȜȣıȒ IJȠȣ.

ȀİijȐȜĮȚȠ 3

ǼȡȦIJȒıİȚȢ țĮIJĮȞȩȘıȘȢ 1.

ǻ)

2. Į 2

3.

ȕ 3

Ȗ 1

Į) (x, ȥ) = (-3, -2) ȕ) (x, ȥ) = (3, 2) Ȗ) (x, ȥ) = (6, 0) į) (x, ȥ) = (0, 0) ȆȡȠIJİȚȞȩȝİȞİȢ ĮıțȒıİȚȢ -ȆȡȠȕȜȒȝĮIJĮ

1.

Į)

ȕ)

ȉȑȝȞȠȞIJĮȚ ıIJȠ ǹ(3,2), ȐȡĮ Ș ȜȪıȘ İȓȞĮȚ (3,2).

Ȗ)

ȉȑȝȞȠȞIJĮȚ ıIJȠ (0,0) ȐȡĮ Ș ȜȪıȘ İȓȞĮȚ (0,0)

ȉİȝȞȠȞIJĮȚ ıIJȠ ǹ(1,3), ȐȡĮ ȜȪıȘ İȓȞĮȚ (1,3) İ)

ȅȚ İȣșİȓİȢ IJĮȣIJȓȗȠȞIJĮȚ ȐȡĮ ȑȤȠȣȝİ ȐʌİȚȡİȢ ȜȪıİȚȢ.

223


ȀİijȐȜĮȚȠ 3

į)

ȅȚ İȣșİȓİȢ IJȑȝȞȠȞIJĮȚ ıIJȠ (1,1). ȅʌȩIJİ Ș ȜȪıȘ İȓȞĮȚ (1,1) ıIJ)

ȅȚ İȣșİȓİȢ İȓȞĮȚ ʌĮȡȐȜȜȘȜİȢ ȐȡĮ IJȠ ıȪıIJȘȝĮ İȓȞĮȚ ĮįȪȞĮIJȠ.

224

2.

Į) ȅȚ įȪȠ İȣșİȓİȢ İȓȞĮȚ ʌĮȡȐȜȜȘȜİȢ ȐȡĮ IJȠ ıȪıIJȘȝĮ İȓȞĮȚ ĮįȪȞĮIJȠ. ȕ) ȅȚ įȪȠ İȣșİȓİȢ IJĮȣIJȓȗȠȞIJĮȚ ȐȡĮ IJȠ ıȪıIJȘȝĮ ȑȤİȚ ȐʌİȚȡİȢ ȜȪıİȚȢ Ȗ) ȅȚ įȪȠ İȣșİȓİȢ IJȑȝȞȠȞIJĮȚ ıIJȠ ǹ(0,2). DZȡĮ Ș ȜȪıȘ İȓȞĮȚ (0,2)

3.

Į) ȉȠ ǹ ĮȣIJȠțȓȞȘIJȠ ȑȤİȚ ĮȡȤȚțȒ IJĮȤȪIJȘIJĮ ȣ = 0, IJȠ Ǻ ĮȣIJȠțȓȞȘIJȠ ȑȤİȚ ĮȡȤȚțȒ IJĮȤȪIJȘIJĮ ȣ = 10m / sec ȕ) ĬĮ ȑȤȠȣȞ ȓįȚĮ IJĮȤȪIJȘIJĮ IJȘȞ ȤȡȠȞȚțȒ ıIJȚȖȝȒ t = 10 sec țĮȚ Ș IJĮȤȪIJȘIJĮ İȓȞĮȚ 20m / sec.

4.

Į) Ǿ ʌȡȫIJȘ ʌİȡȓʌIJȦıȘ ĮȞIJȚıIJȠȚȤİȓ ıIJȘȞ İȣșİȓĮ İ1: 20x - ȥ = 0. Ǿ įİȪIJİȡȘ ʌİȡȓʌIJȦıȘ ĮȞIJȚıIJȠȚȤİȓ ıIJȘȞ İȣșİȓĮ İ2: 10x -ȥ + 60 = 0 Ǿ IJȡȓIJȘ ʌİȡȓʌIJȦıȘ ĮȞIJȚıIJȠȚȤİȓ ıIJȘȞ İȣșİȓĮ İ3: ȥ = 300 ȕ) ĬĮ ʌȡȑʌİȚ ȞĮ ȚıȤȪİȚ: 10x + 60 = 300 Ȓ 10x = 300 - 60 Ȓ 10x = 240 Ȓ x = 24 Ȗ) ǹȞ ʌĮȡĮțȠȜȠȣșȒıİȚ 12 ĮȖȫȞİȢ IJȩIJİ: ıȪȝijȦȞĮ ȝİ IJȘȞ ʌȡȫIJȘ ʌİȡȓʌIJȦıȘ


șĮ ʌȜȘȡȫıİȚ 20 · 12 = 240 İȣȡȫ, ıȪȝijȦȞĮ ȝİ IJȘȞ įİȪIJİȡȘ șĮ ʌȜȘȡȫıİȚ ȀİijȐȜĮȚȠ 3 10 · 12 + 60 = 120 + 60 = 180 İȣȡȫ țĮȚ ıȪȝijȦȞĮ ȝİ IJȘȞ IJȡȓIJȘ 300 İȣȡȫ į) ǹȞ ʌĮȡĮțȠȜȠȣșȒıİȚ 15 ĮȖȫȞİȢ IJȩIJİ ȖȚĮ IJȘȞ ʌȡȫIJȘ țĮȚ IJȡȓIJȘ ʌİȡȓʌIJȦıȘ șĮ ʌȜȘȡȫıİȚ 300 İȣȡȫ țĮȚ ȖȚĮ IJȘȞ įİȪIJİȡȘ 210. ǼʌİȚįȒ įİȞ İʌȚȜȑȖİȚ IJȘȞ ʌȚȠ ıȣȝijȑȡȠȣıĮ șĮ ȗȘȝȚȦșİȓ 90 İȣȡȫ. İ) īȚĮ ȞĮ İʌȚȜȑȟİȚ IJȘȞ ʌȡȫIJȘ ʌİȡȓʌIJȦıȘ ʌȡȑʌİȚ ȞĮ İʌȚȜȑȟİȚ ȜȚȖȩIJİȡȠȣȢ Įʌȩ 6 ĮȖȫȞİȢ. ǹȞ ʌĮȡĮțȠȜȠȣșȒıİȚ 6 ĮȖȫȞİȢ ıȣȝijȑȡȠȣıĮ İȓȞĮȚ Ș ʌȡȫIJȘ Ȓ Ș įİȪIJİȡȘ. ǹȞ ʌĮȡĮțȠȜȠȣșȒıİȚ ʌȐȞȦ Įʌȩ 6 țĮȚ ȜȚȖȩIJİȡȠȣȢ Įʌȩ 24, ıȣȝijİȡȠȣıĮ İȓȞĮȚ Ș įİȪIJİȡȘ, ĮȞ ʌĮȡĮțȠȜȠȣșȒıİȚ 24 ĮȖȫȞİȢ ıȣȝijȑȡȠȣıĮ İȓȞĮȚ Ș įİȪIJİȡȘ Ȓ Ș IJȡȓIJȘ İȞȫ ĮȞ ʌĮȡĮțȠȜȠȣșȒıİȚ, ʌİȡȚııȩIJİȡȠȣȢ Įʌȩ 24 ıȣȝijȑȡȠȣıĮ İȓȞĮȚ Ș IJȡȓIJȘ.

3.3

ǹȜȖİȕȡȚțȒ İʌȓȜȣıȘ ȖȡĮȝȝȚțȠȪ ıȣıIJȒȝĮIJȠȢ

1.

į)

2.

į)

3.

Ȗ)

4.

ȉȘȞ ʌȡȫIJȘ İȟȓıȦıȘ ȝİ 1 țĮȚ IJȘȞ įİȪIJİȡȘ ȝİ –2 ȉȘȞ ʌȡȫIJȘ İȟȓıȦıȘ ȝİ 5 țĮȚ IJȘ įİȪIJİȡȘ ȝİ 3

5.

Į) Ȃİ IJȘ ȝȑșȠįȠ IJȘȢ ĮȞIJȚțĮIJȐıIJĮıȘȢ ȕ) Ȃİ IJȘ ȝȑșȠįȠ IJȦȞ ĮȞIJȓșİIJȦȞ ıȣȞIJİȜİıIJȫȞ Ȗ) Ȃİ IJȘ ȝȑșȠįȠ IJȘȢ ĮȞIJȚțĮIJȐıIJĮıȘȢ į) Ȃİ IJȘ ȝȑșȠįȠ IJȦȞ ĮȞIJȓșİIJȦȞ ıȣȞIJİȜİıIJȫȞ

6.

Ȉ1: İȓȞĮȚ ĮįȪȞĮIJȠ Ȉ2: İȓȞĮȚ ĮȩȡȚıIJȠ

225


ȆȡȠIJİȚȞȩȝİȞİȢ ĮıțȒıİȚȢ - ȆȡȠȕȜȒȝĮIJĮ

ȀİijȐȜĮȚȠ 3

1.

Į) ǹȞIJȚțĮșȚıIJȠȪȝİ ıIJȘȞ ʌȡȫIJȘ İȟȓıȦıȘ ȩʌȠȣ ȥ = 4. ȅʌȩIJİ x - 2 · 4 = 1 Ȓ x - 8 = 9 ȐȡĮ x = 9. DZȡĮ Ș ȜȪıȘ İȓȞĮȚ (x, ȥ) = (9,4)

Ȗ) ȁȪȞȦ IJȘȞ įİȪIJİȡȘ İȟȓıȦıȘ ȦȢ ʌȡȠȢ x țĮȚ ȑȤȠȣȝİ x = 9 - 3ȥ. ǹȞIJȚțĮșȚıIJȠȪȝİ ıIJȘȞ ʌȡȫIJȘ İȟȓıȦıȘ IJȠ x, ȠʌȩIJİ: 4(9 -3ȥ) -ȥ = 10 Ȓ 36 -12ȥ - ȥ = 10 Ȓ -13ȥ = -26 Ȓ ȥ = 2. DZȡĮ x = 9 -3(2) = 9 - 6 = 3 țĮȚ Ș ȜȪıȘ İȓȞĮȚ (x,ȥ) = (3, 2) į) ȁȪȞȦ IJȘȞ ʌȡȫIJȘ İȟȓıȦıȘ ȦȢ ʌȡȠȢ ȥ țĮȚ ȑȤȠȣȝİ ȥ = -4 -3x. ǹȞIJȚțĮșȚıIJȠȪȝİ ıIJȘ įİȪIJİȡȘ İȟȓıȦıȘ IJȠ ȥ, ȠʌȩIJİ: x + 2(-4 -3x) = -3 Ȓ x - 8- 6x = -3 Ȓ –5x = 5 Ȓ x = -1. DZȡĮ ȥ = -4 -3(-1) = -4 +3 = -1 țĮȚ Ș ȜȪıȘ İȓȞĮȚ (x, ȥ) = (-1,-1) 2.

226

Į) ȁȪȞȦ IJȘȞ įİȪIJİȡȘ İȟȓıȦıȘ ȦȢ ʌȡȠȢ ȥ țĮȚ ȑȤȠȣȝİ ȥ = 4 + 2x. ǹȞIJȚțĮșȚıIJȠȪȝİ ıIJȘȞ ʌȡȫIJȘ İȟȓıȦıȘ IJȠ ȥ, ȠʌȩIJİ: 3x -(4 + 2x) = 7 Ȓ 3x -4 -2x = 7 Ȓ x = 7 + 4 Ȓ x = 11, ȠʌȩIJİ ȥ = 4 + 2 · 11 Ȓ ȥ = 26 țĮȚ Ș ȜȪıȘ İȓȞĮȚ (x,ȥ) = (11,26)


3.

ȀİijȐȜĮȚȠ 3

4. α)

ή

β)

4x-3(2x+3ψ)=20-x+ψ 2(x-2ψ)+5(x-2)=3ψ+4 -x-10ψ=20 x - ψ= 2

ή

2x-4ψ+5x-10=3ψ+4

ή

-x-10ψ=20 7x-7ψ=14

ή

Με πρόσθεση κατά μέλη -11ψ=22 ή ψ=-2 και x-(-2)=2 ή x+2=2 ή x=0 . Άρα (x,ψ)=(0,-2)

x(ψ+4)=ψ(x-6)-15+3x (x-1)(x+2ψ)=(x+ψ)2-ψ(ψ+1) x+6ψ=-15 -x- ψ= 0

4x-6x-9ψ=20-x+ψ

ή

xψ+4x=ψx-6ψ-15+3x x2+2xψ-x-2ψ=x2+2xψ+ψ2-ψ2-ψ

ή

Με πρόσθεση κατά μέλη έχουμε: 5ψ=-15 ή ψ=-3 .

Αντικαθιστώ στην x+6ψ=-15 και έχουμε : x+6(-3)=-15 ή x-18=-15 ή x=-15+18=3, άρα ( x,ψ)=(3,-3).

227


ȀİijȐȜĮȚȠ 3

5.

1,3α-0,8β=2,1 10 ή 13α-8β=21 1 ή 13α-8β =21 α) 0,9α+0,4β=0,5 10 9α+4β =5 2 18α+8β=10 Με πρόσθεση κατά μέλη έχουμε 31α=31 ή α=1, αντικαθιστούμε στην 13α-8β=21 και έχουμε : 13·1-8β=21 ή 13-8β=21 ή -8β=8 ή β=-1, άρα (α,β)=(1,-1) .

ω β) 4 -4·0,2φ=4·1,5 4 3ω + 1,4φ = -1

ή

ω-0,8φ = 6

10 ή

3ω+1,4φ= -1

10

10ω-8φ=60 30ω+14φ=-10

-3 ή 1

-30ω+24φ= -180 30ω +14φ=-10. Με πρόσθεση κατά μέλη 38φ= -190 ή φ=-5. Αντικαθιστώ στην 30ω+14φ=-10 ή 30ω+14·(-5)=-10 ή 30ω-70 =-10 ή 30ω=60 ή ω=2 . Άρα (ω,φ)= (2,-5) γ)

2,5x+3,2ψ=-1,8 10 ή 25x+32ψ=-18 3 ή 75x+96ψ=-54 1,6x-2,4ψ=-5,6 10 16x-24ψ= -56 4 64x-96ψ=-224 . Με πρόσθεση κατά μέλη παίρνουμε 139x= -278 ή x = -2. Aντικαθιστώ στην 25x+32ψ=-18 οπότε : 25·(-2)+32ψ=-18 ή -50 +32ψ=-18 ή 32ψ=32 ή ψ=1 άρα (x,ψ)=(-2,1)

6. α)

1 2 -xψ =0 x ψ x + ψ = 3

ψ -2x=0 ή x+ψ=3

-2x+ψ=0

1 ή

-2x+ψ=0

x+ψ=3

2

2x+2ψ =6 . Με

πρόσθεση κατά μέλη 3ψ=6 ή ψ=2 . Αντικαθιστώ στην x+ψ=2 οπότε x+2=3 ή x=1 , άρα (x,ψ)=(1,2) . β)

228

1 2 1 2 4 2 -2 ή - − = − + = α β 6 6 α β 3 4 5 3 4 5 1 . Με πρόσθεση κατά μέλη παίρνουμε : + = + = α β 6 α β 6 1 3 3 2 1 1 2 1 = ή 3α=6 ή α=2 , αντικαθιστώ στην + = ή + = ή α 6 6 β 6 α β 6 2 −2 ή β=-6 , άρα (α, β) =(2,-6) = 6 β


γ)

ȀİijȐȜĮȚȠ 3 6 3 − =1 ω φ 6 −6 9 1 + =1. Με πρόσθεση κατά μέλη =2 ή 2φ=6 ή ω φ φ 2 2 2 1 1 2 1 1 - = ή = ή ω=3 . φ=3 . Αντικαθιστώ στην − = και έχουμε ω 3 ω 3 3 ω φ 3 Άρα (φ ,ω)=(3,3)

2 1 1 − = ω φ 3 −6 9 + =1 ω φ

3

7. Λύνω το σύστημα

ή

x+5ψ=10

x-ψ=1 Λύνω την δεύτερη εξίσωση ως προς x και έχουμε x=1+ψ . Αντικαθιστούμε στην 8 πρώτη εξίσωση και παίρνουμε : 2(1+ψ)+5ψ=10 ή 2+2ψ+5ψ=10 ή 7ψ=8 ή ψ= . 7 15 8 15 8 ή x= . Άρα οι ευθείες τέμνονται στο Α( , ) Άρα x=1+ 7 7 7 7 8. x-3ψ=-14 Λύνω το σύστημα των ευθειών: ε1 και ε2 δηλ το σύστημα x+ψ=-2 Λύνω την δεύτερη εξίσωση ως προς x και έχουμε x=-2-ψ . Αντικαθιστούμε στην πρώτη εξίσωση και παίρνουμε : 2(-2-ψ)-3ψ=-14 ή -4-2ψ-3ψ=-14 ή -5ψ=-10 ή ψ=2 . Άρα x=-2-2 ή x=-4 . Άρα οι ε1 και ε2 τέμνονται στο Α(-4,2) . x+ψ=-2 Λύνω το σύστημα των ευθειών : ε2 και ε3 δηλ το σύστημα : 3x-ψ=14. Με πρόσθεση κατά μέλη : 4 x = 12 ή x = 3, αντικαθιστώ στην x+ψ=-2 και έχουμε 3+ψ=-2 ή ψ=-5 . Άρα οι ε2 και ε3 τέμνονται στο Β(3,-5) . 2x-3ψ=-14 Λύνω το σύστημα των ευθειών : ε1 και ε3 δηλ το σύστημα : 3x-ψ= 14 Λύνω την 3x-ψ=14 και έχουμε : ψ=3x-14 . Αντικαθιστώ στην 2x-3ψ=-14 οπότε 2x-3(3x-14)=-14 ή 2x-9x+42 =-14 ή -7x= -56 ή x=8 , άρα ψ=3·8-14 ή ψ=24 -14 ή ψ =10. Άρα οι ε1 και ε3 τέμνονται στο Γ (8,10)

9. Έστω κ φορές χρησιμοποιήθηκε το 3 και ν φορές το 5 τότε : 3·κ+5·ν=410 (1) και κ+ν=100 (2) . Έτσι έχουμε το σύστημα : 3κ+5ν=410 1 ή 3κ+5ν=410 κ + ν=100 -3 -3κ-3ν=-300. Με πρόσθεση κατά μέλη 2ν = 110 ή ν= 55. Αντικαθιστώ στην κ+ν=100, άρα κ + 55 = 100 ή κ = 45 . Άρα το 3 χρησιμοποιήθηκε 45 φορές και το 5 χρησιμοποιήθηκε 55 φορές .

229


ȀİijȐȜĮȚȠ 3

10. ǹȞ ȕȐȜȠȣȝİ ȩʌȠȣ x IJȠ 1 țĮȚ ȥ ȕȐȜȠȣȝİ IJȠ 2 ȑȤȠȣȝİ IJȠ ıȪıIJȘȝĮ: α+2β=7 2α-2β=8 Mε πρόσθεση κατά μέλη 3α=15 ή α=5, αντικαθιστώ στην α+2β=7 και παίρνουμε 5+2β=7 ή 2β=2 ή β=1 . Άρα (α, β)=(5,1)

11. ȉȠ ıȘȝİȓȠ ǹ(1,2) ĮȞȒțİȚ ıIJȘȞ İȣșİȓĮ, ȐȡĮ Į · 1 + 2 = ȕ Ȓ Į - ȕ = -2 (1). ȉȠ ıȘȝİȓȠ Ǻ(-3,2) ĮȞȒțİȚ ıIJȘȞ İȣșİȓĮ, ȐȡĮ Į·(-3) -2 = ȕ Ȓ 3Į + ȕ = -2 (2). ȁȪȞȠȣȝİ α-β =-2 Το σύστημα 3α+β=-2 Με πρόσθεση κατά μέλη 4α=-4 ή α=-1 , αντικαθιστώ στην α-β=-2 ,οπότε -1-β=-2 ή β=1 . Άρα (α, β)=(-1,1) 12. ǹȞ IJȠ 1 İȓȞĮȚ ȡȓȗĮ IJȩIJİ (-1)2 + (Ȝ - ȝ)(-1) + ȝ - 2Ȝ = 0 Ȓ 1 -Ȝ + ȝ + ȝ -2Ȝ = 0 Ȓ 2ȝ - 3Ȝ = -1. ǹȞ IJȠ 3 İȓȞĮȚ ȡȓȗĮ IJȩIJİ 32+ (Ȝ -ȝ) · 3 + ȝ - 2Ȝ = 0 Ȓ 9 + 3Ȝ - 3ȝ + ȝ - 2Ȝ = 0 Ȓ -2ȝ + Ȝ = -9 2μ-3λ=-1 Λύνουμε το σύστημα -2μ+λ= -9 . Με πρόσθεση κατά μέλη -2λ= -10 ή λ=5. Αντικαθιστώ στην 2μ-3λ=-1 και έχουμε 2μ-3·5=-1 ή 2μ=14 ή μ=7 13. Eστω τα γαλάζια τούβλα έχουν μήκος x και τα πράσινα έχουν μήκος ψ. Τότε 4x+ 3ψ=180 -2 ή -8x-6ψ=-360 2x+ 6ψ=180 1 2x+6ψ=180 . Με πρόσθεση κατά μέλη - 6x = -180 ή x =30 . Άρα 2·30 + 6ψ = 180 ή 6ψ = 120 ή ψ = 20. Άρα τα γαλάζιαέχουν μήκος 30cm και τα πράσινα μήκος 20cm. 14. Έστω χρησιμοποιήσαμε x δοχεία των 2 κιλών και ψ δοχεία των 5 κιλών . Τότε έχουμε το σύστημα : x + ψ=800 -2 ή -2x-2ψ=-1600 2x+5ψ=2500 1 2x+5ψ=2500. Με πρόσθεση κατά μέλη παίρνουμε : 3ψ=900 ή ψ=300 . Αντικαθιστώ στην x+ψ=800 άρα x+300=800 ή x=500 .Άρα 500 των 2 κιλών και 300 των 5 κιλών . x+ψ =16 ή x+ψ=32 2 Στο δεύτερο τρίμηνο οι βαθμοί είναι : x-2 και ψ+4 οπότε : x-2=ψ+4 Οπότε x-ψ=6 . Λύνουμε το σύστημα x+ψ=32 x-ψ=6 Με πρόσθεση κατά μέλη 2x=38 ή x=19 . Aντικαθιστώ στην x+ψ=32 οπότε 18+ψ=32 ή ψ=13. Άρα ο βαθμός στην Φυσική ήταν 19 και στην Χημεία 13 .

15. Έστω x o βαθμός στην φυσική και ψ στην χημεία τότε :

230


16.

Αν ρ1, ρ2 (ρ1> ρ2 ) είναι οι ακτίνες των δύο κύκλων τότε : Όταν εφάπτονται ȀİijȐȜĮȚȠ 3 εσωτερικά ρ1- ρ2 = 12 . Όταν εφάπτονται εξωτερικά ρ1+ ρ2 = 58 . Λύνουμε το σύστημα : ρ1- ρ2 = 12 ρ1+ ρ2 = 58 . Mε πρόσθεση κατά μέλη 2 ρ1= 70 ή ρ1=35 . Άρα 35- ρ2= 12 ή ρ2= 35-12 ή ρ2 =23 .

17.

Έστω α είναι οι μαθητές και β τα θρανία τότε : α·1=β+8 ή α=β+8 (1) . Ακόμη : α=(β-4)·2 ή α=2β-8 (2) . Λύνουμε το σύστημα α=β+8 α=2β-8 Οπότε β+8=2β-8 ή -β=-16 ή β=16 , άρα α=16+8 =24 . Άρα οι μαθητές είναι 24 και τα θρανία 16.

18. Έστω χρησιμοποίησε x λίτρα ούζο με περιεκτικότητα 32% και ψ λίτρα ούζο με περιεκτικότητα 48% . Τότε : x+ψ=400 (1) και

38 32 48 ·ψ= ·400 ·x + 100 100 100

ή 32x+48ψ=152 (2) . Λύνω το σύστημα : x + ψ = 400 32x+48ψ=15200 Λύνω την x+ψ=400 ως προς x και έχουμε : x=400-ψ . Αντικαθιστώ στην (2) 32(400-ψ) +48ψ=15200 ή 12800-32ψ+48ψ=15200 ή 16ψ= 2400 ή ψ=150 , άρα x=400-150 =250 . Άρα χρησιμοποίησε 250 λίτρα με περιεκτικότητα 32% και 150 λίτρα με περιεκτικότητα 48%.

19.

Για t =2 έχουμε : 12= υ0-α·2 ή υ0-2α=12 . Για t=4 , 4= υ0-α·4 ή υ0-4α =4 Άρα έχουμε το σύστημα : υ0-2α=12 -1 ή -υ0+2α=-12 υ0-4α = 4 1 υ0-4α = 4 . Με πρόσθεση κατά μέλη -2α = -8 ή α=4 . Αντικαθιστώ στην υ0-4α = 4 και έχουμε: υ0-4·4=4 υ0= 20 2 Άρα η αρχική ταχύτητα ήταν υ0= 20 m/ sec και η επιβράδυνση α= 4 m/ sec Το αυτοκίνητο θα σταματήσει όταν υ=0 , οπότε 0=20-4t ή 4t=20 ή t=5 . Δηλαδή θα σταματήσει μετά από 5 sec .

20.

231


21.

ȀİijȐȜĮȚȠ 3

Έστω x βαθμούς παίρνει σε κάθε σωστή απάντηση και ψ βαθμοί αφαιρούνται σε κάθε λάθος απάντηση τότε: 7x-3ψ=64 για τον πρώτο παίκτη. Ακόμη 4x-6ψ=28 για τον δεύτερο παίκτη. Έτσι έχουμε το σύστημα. 7x-3ψ=64 -2 ή -14x+6ψ=-128 4x-6ψ=28 1 4x-6ψ = 28 . Με πρόσθεση κατά μέλη -10x=-100 ή x=10 Αντικαθιστώ στην 7x-3ψ=64, 7·10 -3ψ=64 ή -3ψ=-6 ή ψ=2. Άρα κάθε σωστή απάντηση παίρνει 10 βαθμούς και κάθε λάθος αφαιρεί 2 βαθμούς.

īİȞȚțȑȢ ĮıțȒıİȚȢ 3Ƞȣ ȀİijĮȜĮȓȠȣ 1. 2.

232

ǹȞ ț = 1 IJȩIJİ ȠȚ įȪȠ İȣșİȓİȢ IJĮȣIJȓȗȠȞIJĮȚ, ȐȡĮ IJȠ ıȪıIJȘȝĮ İȓȞĮȚ ĮȩȡȚıIJȠ. ǹȞ ț  1 IJȩIJİ ȠȚ İȣșİȓİȢ İȓȞĮȚ ʌĮȡȐȜȜȘȜİȢ, ȐȡĮ IJȠ ıȪıIJȘȝĮ İȓȞĮȚ ĮįȪȞĮIJȠ. ȉȠ ıȘȝİȓȠ ǹ(2,1) ĮȞȒțİȚ țĮȚ ıIJȚȢ įȪȠ İȣșİȓİȢ ȠʌȩIJİ Į) İ1: (Ȝ + ȝ) ·2 + 1 = 7 ȐȡĮ 2Ȝ + 2ȝ = 6 Ȓ Ȝ + ȝ = 3 (1) ȕ) İ2: 2 + (Ȝ + 3ȝ) ·1 = 1 ȐȡĮ Ȝ + 3ȝ = -1 (2). ȁȪȞȠȣȝİ λ+μ=3 το σύστημα των (1) και (2) και έχουμε : λ+3μ=-1 Λύνω την πρώτη ως προς λ και έχουμε : λ=3-μ . Αντικαθιστώ στην δεύτερη και παίρνουμε : 3-μ+3μ=-1 ή 2μ=-4 ή μ=-2 , άρα λ=3+2=5 δηλ (λ, μ)=(5,-2)

3.

ȁȪȞȦ IJȠ (Ȉ1): ȁȪȞȦ IJȘȞ ʌȡȫIJȘ ȦȢ ʌȡȠȢ x țĮȚ ȑȤȠȣȝİ x = 3 + ȥ. ǹȞIJȚțĮșȚıIJȫ ıIJȘ įİȪIJİȡȘ țĮȚ ʌĮȓȡȞȠȣȝİ: 2(3 + ȥ) + ȥ = 9 Ȓ 6 + 2ȥ + ȥ = 9 Ȓ 3ȥ = 3 Ȓ ȥ = 1. DZȡĮ x = 3 + 1 Ȓ x = 4 ȐȡĮ (x, ȥ) = (4,1). Ǿ ȜȪıȘ ĮȣIJȒ İʌĮȜȘșİȪİȚ IJȠ (Ȉ2) άρα 8+α=β α-β=-8 ή (Σ2): 12-β=α α+β=12 Με πρόσθεση κατά μέλη έχουμε 2α= 4 ή α=2 . αντικαθιστώ στην πρώτη εξίσωση οπότε : 2-β=-8 ή β=10 . Άρα (α, β)=(2,10)

4.

Į) ȆȡȑʌİȚ: x + ȥ -2 = 0 (1) țĮȚ 2x - 3ȥ + 1 = 0 (2). ȁȪȞȠȣȝİ IJȘȞ (1) ȦȢ ʌȡȠȢ x țĮȚ ȑȤȠȣȝİ x = 2-ȥ. ǹȞIJȚțĮșȚıIJȠȪȝİ ıIJȘȞ (2) țĮȚ ȑȤȠȣȝİ 2(2 - ȥ) -3ȥ + 1 = 0 Ȓ 4 -2ȥ -3ȥ +1 = 0 Ȓ -5ȥ = -5 Ȓ ȥ = 1. ǹȡĮ x = 2 -1 Ȓ x = 1 DZȡĮ (x, ȥ) = (1, 1) ȕ) 2x2 + ȥ2 -2xȥ + 4x + 4 = 0 Ȓ x2 + ȥ2 -2xȥ + x2 + 4x + 4 = 0


Ȓ (x - ȥ)2 + (x + 2)2 = 0 ȆȡȑʌİȚ x - ȥ = 0 (1) țĮȚ x+2=0 (2) . ǹʌȩ IJȘȞ (2) x = -2, ȐȡĮ (1) -2 -ȥ = 0 Ȓ ȥ = - 2. DZȡĮ (x, ȥ) = (-2, -2) 5.

ȀİijȐȜĮȚȠ 3

Į) ȁȪȞȦ IJȘȞ İȟȓıȦıȘ 2x + ȥ = 4 ȦȢ ʌȡȠȢ ȥ țĮȚ ȑȤȠȣȝİ: ȥ = 4 - 2x. ǹȞIJȚțĮșȚıIJȫ ıIJȘȞ (2x -3ȥ + 4)(x + ȥ) = 0 țĮȚ ȑȤȠȣȝİ: [2x -3 (4 -2x) + 4] (x + 4 -2x) = 0 Ȓ (2x - 12 + 6x + 4)(-x + 4) = 0 Ȓ (8x -8)(-x + 4) = 0 Ȓ 8x - 8 = 0 Ȓ –x + 4 = 0 ȐȡĮ x = 1 Ȓ x = 4. īȚĮ x = 1, ȥ = 4 -2 Ȓ ȥ = 2, ȖȚĮ x = 4, ȥ = 4 -2 · 4 Ȓ ȥ = -4 DZȡĮ (x, ȥ) = (1, 2) Ȓ (x, ȥ) = (4, -4) x +ψ=-2 κάνουμε απαλοιφή του 2 και παίρνουμε : x+2ψ=-4 2 Αντικαθιστούμε στην (3x-4ψ)(x+2ψ)=8 και παίρνουμε (3x-4ψ)(-4)=8 ή

β) Στην εξίσωση

3x-4ψ= -2 . Έτσι έχουμε το σύστημα :

x+2ψ= -4 3x-4ψ= -2

2 ή 1

2x+4ψ=-8 3x-4ψ=-2

Με πρόσθεση κατά μέλη 5x=-10 ή x=-2 . Άρα 2(-2)+4ψ=-8 ή 4ψ=-4 ή ψ=-1 Οπότε (x,ψ) = (-2,-1) . γ) Από την εξίσωση x2+ψ2=2xψ ή x2+ψ2-2xψ =0 ή (x-ψ)2=0 ή x-ψ=0 . Λύνουμε το σύστημα : x-ψ=0 7 x+ψ=7 . Mε πρόσθεση κατά μέλη 2x=7 ή x= , άρα 2 7 7 7 και ψ= . Οπότε (x,ψ)=( , ) 2 2 2

6.

DzıIJȦ x, ȥ İȓȞĮȚ ȠȚ ĮȡȚșȝȠȓ ȝİ x > ȥ IJȩIJİ x + ȥ = 100 (1) țĮȚ ȥ = 4x + 15 (2). ǹȞIJȚțĮșȚıIJȠȪȝİ ıIJȘȞ (1) x + 4x + 15 = 100 Ȓ 5x = 85 Ȓ x = 17 țĮȚ ȥ = 4 · 17 + 15 = 83 DZȡĮ ȠȚ ĮȡȚșȝȠȓ İȓȞĮȚ 83 țĮȚ 17.

7.

H İȟȓıȦıȘ İȓȞĮȚ ĮȩȡȚıIJȘ ȩIJĮȞ 2Ȝ - ț -3 = 0 (1) țĮȚ ț -Ȝ + 1 = 0 (2). ȁȪȞȦ IJȘȞ (2) ȦȢ ʌȡȠȢ ț țĮȚ ȑȤȠȣȝİ ț = Ȝ -1. ǹȞIJȚțĮșȚıIJȠȪȝİ ıIJȘȞ (1) 2Ȝ -(Ȝ -1) -3 = 0 Ȓ 2Ȝ -Ȝ + 1 -3 = 0 Ȓ Ȝ = 2. DZȡĮ ț = 2 - 1 = 1. DZȡĮ (ț, Ȝ) = (1, 2).

8.

DzıIJȦ ȡ1, ȡ2 (ȡ1 > ȡ2) İȓȞĮȚ ȠȚ ĮțIJȓȞİȢ IJȩIJİ: ȡ1 + ȡ2 =18 (1). Ǽ1 - Ǽ2 = 72 ʌ Ȓ ʌ ȡ12- ʌ ȡ22 = 72ʌ Ȓ ȡ12 - ȡ22 = 72 Ȓ (ȡ1 - ȡ2)( ȡ1+ ȡ2) = 72 Ȓ (ȡ1 - ȡ2) · 18 = 72 Ȓ ȡ1 - ȡ2 = 4 (2) .ȆȡȠıșȑIJȦ IJȚȢ (1) țĮȚ (2) țĮIJȐ ȝȑȜȘ: 2ȡ1 = 22 Ȓ ȡ1 = 11cm , ȐȡĮ ȡ2 = 7cm

233


ȀİijȐȜĮȚȠ 3

9.

DzıIJȦ ȠȚ ȘȜȚțȓİȢ İȓȞĮȚ x țĮȚ ȥ ıȒȝİȡĮ. ȅʌȩIJİ x - ȥ = 5 (1). ȂİIJȐ Įʌȩ 11 ȤȡȩȞȚĮ ȠȚ ȘȜȚțȓİȢ IJȠȣȢ șĮ İȓȞĮȚ x + 11 țĮȚ ȥ + 11 ĮȞIJȓıIJȠȚȤĮ. x + 11 4 DZȡĮ = Ȓ 3(x + 11) = 4(ȥ + 11) Ȓ 3x + 33 = 4ȥ + 44 ψ + 11 3 Ȓ 3x - 4ȥ = 11 (2) . ȁȪȞȦ IJȘȞ (1) ȦȢ ʌȡȠȢ x țĮȚ ȑȤȠȣȝİ x = 5 + ȥ. ǹȞIJȚțĮșȚıIJȠȪȝİ ıIJȘȞ (2) 3(5 + ȥ) -4ȥ = 11 Ȓ 15 + 3ȥ -4ȥ =11 Ȓ -ȥ = -4 Ȓ ȥ = 4, ȐȡĮ x = 5 + 4 Ȓ x = 9. DZȡĮ ȠȚ ȘȜȚțȓİȢ İȓȞĮȚ 9 țĮȚ 4 ȤȡȠȞȫȞ.

234

10.

DzıIJȦ țȩʌȘțĮȞ x İȚıȚIJȒȡȚĮ IJȘȢ ǹƍ șȑıȘȢ țĮȚ ȥ İȚıȚIJȒȡȚĮ IJȘȢ Ǻƍ șȑıȘȢ. ȉȩIJİ x + ȥ = 350 (1) țĮȚ 18 · x + 12 · ȥ = 4500 (2). ȁȪȞȠȣȝİ IJȘȞ (1) ȦȢ ʌȡȠȢ x țĮȚ ȑȤȠȣȝİ: ȥ = 350 -x. ǹȞIJȚțĮșȚıIJȫ ıIJȘȞ (2) 18x + 12(350 -x) = 4500 Ȓ 18x + 4200 - 12x = 4500 Ȓ 6x = 300 Ȓ x = 50, ȐȡĮ ȥ = 350 - 50 Ȓ ȥ = 300. DZȡĮ țȩʌȘțĮȞ 50 İȚıȚIJȒȡȚĮ IJȘȢ ǹƍ șȑıȘȢ țĮȚ 300 İȚıȚIJȒȡȚĮ IJȘȢ Ǻƍ șȑıȘȢ .

11.

DzıIJȦ Į İȓȞĮȚ Ƞ ĮȡȚșȝȩȢ țĮȚ IJĮ ȥȘijȓĮ IJȠȣ ĮȡȚșȝȠȪ İȓȞĮȚ x, ȥ,ȠʌȩIJİ: Į = 10x + ȥ. Ȃİ IJȘȞ ĮȜȜĮȖȒ IJȦȞ ȥȘijȓȦȞ IJȠȣ Ƞ ĮȡȚșȝȩȢ ȖȓȞİIJĮȚ ȕ = 10ȥ + x . DZȡĮ 10x + ȥ = 10ȥ + x + 18 Ȓ 9x -9ȥ = 18 Ȓ x - ȥ = 2 (1). ǹțȩȝȘ x + ȥ =10 (2). Ȃİ ʌȡȩıșİıȘ IJȦȞ (1) țĮȚ (2) 2x = 12 Ȓ x= 6, ȐȡĮ ȥ = 4. DZȡĮ Ƞ ĮȡȚșȝȩȢ İȓȞĮȚ Ƞ 64.

12.

DzıIJȦ Į İȓȞĮȚ Ƞ ĮȡȚșȝȩȢ țĮȚ IJĮ ȥȘijȓĮ IJȠȣ İȓȞĮȚ x, ȥ, ȠʌȩIJİ: Į = 10x + ȥ țĮȚ ȑȤȠȣȝİ Į = (x + ȥ) · 6 + 3 Ȓ 10x + ȥ = 6x + 6ȥ + 3 Ȓ 4x - 5ȥ = 3 (1). ǹȞ ĮȜȜȐȟȠȣȝİ IJȘ șȑıȘ IJȦȞ ȥȘijȓȦȞ IJȠȣ IJȩIJİ: ȕ = 10ȥ + x ȠʌȩIJİ: ȕ = (x + ȥ) · 4 + 9 Ȓ 10ȥ + x = 4x + 4ȥ + 9 Ȓ 3x - 6ȥ = -9 Ȓ x -2ȥ = -3 (2). ȁȪȞȦ IJȘȞ (2) ȦȢ ʌȡȠȢ x țĮȚ ȑȤȠȣȝİ: x = 2ȥ -3. ǹȞIJȚțĮșȚıIJȫ ıIJȘȞ (1) 4(2ȥ -3) -5ȥ = 3 Ȓ 8ȥ - 12 -5ȥ = 3 Ȓ 3ȥ = 15 Ȓ ȥ = 5. DZȡĮ x = 2 · 5 -3 Ȓ x = 7. DZȡĮ Ƞ ĮȡȤȚțȩȢ ĮȡȚșȝȩȢ İȓȞĮȚ Ƞ 75.

13.

DzıIJȦ x > 2 IJȩ ȝȒțȠȢ, ȥ > 6 IJȠ ʌȜȐIJȠȢ İȓȞĮȚ ȠȚ įȚĮıIJȐıİȚȢ IJȠȣ ȠȡșȠȖȦȞȓȠȣ IJȩIJİ: Ǽ = x · ȥ. ǹȞ İȜĮIJIJȫıȠȣȝİ IJȠ ȝȒțȠȢ țĮIJȐ 2, ĮȣȟȒıȠȣȝİ IJȠ ʌȜȐIJȠȢ țĮIJȐ 5 IJȩIJİ x -2 țĮȚ ȥ + 5 ȠʌȩIJİ (x - 2)(ȥ + 5) = Ǽ + 94 Ȓ xȥ + 5x - 2ȥ-10 = xȥ + 94 Ȓ 5x - 2ȥ = 104 (1). ǹȞ ĮȣȟȒıȠȣȝİ IJȠ ȝȒțȠȢ țĮIJȐ 4 țĮȚ İȜĮIJIJȫıȠȣȝİ IJȠ ʌȜȐIJȠȢ țĮIJȐ 6 IJȩIJİ x + 4 țĮȚ ȥ - 6 ȠʌȩIJİ: (x + 4)(ȥ - 6) = Ǽ - 104 Ȓ xȥ - 6x + 4ȥ - 24 = xȥ - 104 Ȓ -6x + 4ȥ = -80 Ȓ -3x + 2ȥ = -40 (2). DZȡĮ ȑȤȠȣȝİ IJȠ ıȪıIJȘȝĮ: 5x -2ȥ = 104 -3x + 2ȥ = -40. Ȃİ ʌȡȩıșİıȘ țĮIJȐ ȝȑȜȘ ʌĮȓȡȞȠȣȝİ: 2x = 64 Ȓ x = 32. ǹȞIJȚțĮșȚıIJȫ IJȠ x ıIJȘȞ İȟȓıȦıȘ 3x + 2ȥ = -40 țĮȚ ȑȤȠȣȝİ -3 · 32 + 2ȥ = -40 Ȓ -96 + 2ȥ = -40 Ȓ 2ȥ = 56 Ȓ ȥ = 28.

14.

Το αυτοκίνητο που ξεκινά από την πόλη Α στα 15 λεπτά θα διανύσει 1 διάστημα : S=80· =20 km . Έστω t χρόνο θα κινηθούν τα δύο 4


αυτοκίνητα τότε : S1 = 80t , S2=60t , Aκόμη S1+ S2 = 35 ή 1 80t+60t=35 ή 140t=35 ή t= ώρες =15 λεπτά. Άρα το πρώτο 4 αυτοκίνητο θα κινηθεί 30 λεπτά και το δεύτερο 15 λεπτά . 15.

ȀİijȐȜĮȚȠ 3

DzıIJȦ ȣ1, ȣ2 ȠȚ IJĮȤȪIJȘIJİȢ IJȦȞ įȪȠ ĮȣIJȠțȚȞȒIJȦȞ IJȩIJİ ĮȞ S1, S2 İȓȞĮȚ IJĮ įȚĮıIJȒȝĮIJĮ ʌȠȣ įȚĮȞȪȠȣȞ IJȩIJİ: S1 = 3ȣ1, S2 = 3 ȣ2 Į) ǵIJĮȞ țȚȞȠȪȞIJĮȚ ıIJȘȞ ȓįȚĮ țĮIJİȪșȣȞıȘ S1 = S2 + 45 Ȓ 3ȣ1= 3 ȣ2 + 45 Ȓ ȣ1 = ȣ2 +15 (1) 1 1 β) Όταν κινούνται σε διαφορετική κατεύθυνση S1+ S2=45 ή υ1+ υ2=45 3 3 ή υ1 + υ2 =135 (2) . Λύνω το σύστημα : υ1 = υ2 +15 υ1 + υ2 =135 Oπότε έχουμε : υ2 +15 + υ2= 135 ή 2 υ2 =120 ή υ2 =60 Km/ h και υ1=75 Km/ h.

16. Αν x είναι το μήκος του τρένου τότε : Aπό τον τύπο S= υ·t έχουμε : 180+ x= υ·12 ή 12υ-x=180 -1 ή -12υ+x=-180 930+x= υ· 42 42υ-x=930 1 42υ- x=930 Με πρόσθεση κατά μέλη 30υ=750 ή υ=25 , άρα 930+x=25·42 ή x=1050-930 ή x=120 . Άρα το τρένο έχει μήκος 120 m και ταχύτητα 25m/ sec .

17.

Aπο τον τύπο : 1 1 1 = + 2,4 R1 R 2 1 1 1 = + R1 R 2 12

1 1 1 έχουμε το σύστημα: = + R 0λ R1 R 2

Aντικαθιστούμε στην πρώτη εξίσωση και έχουμε :

1 1 10 2 8 1 2 2 2 1 1 1 + + ή = ή = ή = ή R2=6 Ω = R 2 2,4 12 R 2 24 24 R 2 24 2,4 R 2 12 R 2

Oπότε

3 1 1 1 1 = + ή = ή R1 = 4 Ω R 1 6 12 R 1 12

235


ȀİijȐȜĮȚȠ 4Ƞ


4.1

H ıȣȞȐȡIJȘıȘ ȥ = Įx2 ȝİ Į  0

ȀİijȐȜĮȚȠ 4

ȈȣȞȐȡIJȘıȘ Ȝȑȝİ ȝȓĮ ȚıȩIJȘIJĮ ʌȠȣ ıȣȞįȑİȚ įȪȠ ȝİIJĮȕȜȘIJȑȢ x țĮȚ ȥ țĮȚ ıİ țȐșİ IJȚȝȒ IJȠȣ x ĮȞIJȚıIJȠȚȤȓȗİIJĮȚ ȝȓĮ ȝȩȞȠ IJȚȝȒ IJȠȣ ȥ. AȞ ıİ ȑȞĮ ıȪıIJȘȝĮ ĮȟȩȞȦȞ, ʌĮȡĮıIJȒıȠȣȝİ ȝİ ıȘȝİȓĮ IJĮ ȗİȪȖȘ (x, ȥ), ȩʌȠȣ ȥ İȓȞĮȚ Ș ĮȞIJȓıIJȠȚȤȘ IJȚȝȒ IJȘȢ ıȣȞȐȡIJȘıȘȢ ȖȚĮ ȝȓĮ IJȚȝȒ IJȠȣ x, IJȩIJİ IJȠ ıȪȞȠȜȠ IJȦȞ ıȘȝİȓȦȞ ĮȣIJȫȞ ĮʌȠIJİȜİȓ IJȘ ȖȡĮijȚțȒ ʌĮȡȐıIJĮıȘ IJȘȢ ıȣȞȐȡIJȘıȘȢ. H ıȣȞȐȡIJȘıȘ ȥ = Įx2 ȝİ Į  0. •

DzȤİȚ ȖȡĮijȚțȒ ʌĮȡȐıIJĮıȘ ʌȠȣ İȓȞĮȚ ʌĮȡĮȕȠȜȒ ȝİ țȠȡȣijȒ IJȠ ıȘȝİȓȠ ȅ(0,0) țĮȚ ȐȟȠȞĮ ıȣȝȝİIJȡȓĮȢ IJȠȞ ȐȟȠȞĮ ȥ´ȥ . ǹȞ Į > 0, IJȩIJİ Ș ʌĮȡĮȕȠȜȒ ȕȡȓıțİIJĮȚ Įʌȩ IJȠȞ ȐȟȠȞĮ x´x țĮȚ ʌȐȞȦ țĮȚ Ș ıȣȞȐȡIJȘıȘ ʌĮȓȡȞİȚ İȜȐȤȚıIJȘ IJȚȝȒ ȥ = 0, ȩIJĮȞ x = 0 ǹȞ Į < 0, IJȩIJİ Ș ʌĮȡĮȕȠȜȒ ȕȡȓıțİIJĮȚ Įʌȩ IJȠȞ ȐȟȠȞĮ x´x țĮȚ țȐIJȦ țĮȚ Ș ıȣȞȐȡIJȘıȘ ʌĮȓȡȞİȚ ȝȑȖȚıIJȘ IJȚȝȒ ȥ = 0, ȩIJĮȞ x = 0

• •

ȆĮȡĮIJȘȡȒıİȚȢ: Į) ȅ ıȣȞIJİȜİıIJȒȢ Į țĮșȠȡȓȗİȚ: i) TȘȞ șȑıȘ IJȘȢ ʌĮȡĮȕȠȜȒȢ ȥ = Įx2 ȦȢ ʌȡȠȢ IJȠȞ ȐȟȠȞĮ x´x ii) TȠ ȐȞȠȚȖȝȐ IJȘȢ. ǵIJĮȞ Ș ĮʌȩȜȣIJȘ IJȚȝȒ IJȠȣ Į ĮȣȟȐȞİIJĮȚ IJȩIJİ Ș ʌĮȡĮȕȠȜȒ țȜİȓȞİȚ įȘȜĮįȒ ʌȜȘıȚȐȗİȚ ʌȡȠȢ IJȠȞ ȐȟȠȞĮ ȥƍȥ ȕ) ȅȚ ʌĮȡĮȕȠȜȑȢ ȥ = Įx2 țĮȚ ȥ = -Įx2 İȓȞĮȚ ıȣȝȝİIJȡȚțȑȢ ȦȢ ʌȡȠȢ ȐȟȠȞĮ ıȣȝȝİIJȡȓĮȢ IJȠȞ x´x. Ȗ) īȚĮ ȞĮ țȐȞȠȣȝİ IJȘȞ ȖȡĮijȚțȒ ʌĮȡȐıIJĮıȘ IJȘȢ ȥ = Įx2 țĮIJĮıțİȣȐȗȠȣȝİ ȑȞĮȞ ʌȓȞĮțĮ IJȚȝȫȞ ȖȚĮ įȚȐijȠȡİȢ IJȚȝȑȢ IJȠȣ x. DzIJıȚ ĮȞ șȑȜȠȣȝİ ȞĮ țȐȞȠȣȝİ IJȘȞ ȖȡĮijȚțȒ ʌĮȡȐıIJĮıȘ IJȘȢ ʌĮȡĮȕȠȜȒȢ: 1 ψ = x 2 țĮIJĮıțİȣȐȗȠȣȝİ ȑȞĮȞ ʌȓȞĮțĮ IJȚȝȫȞ ȖȚĮ IJȚȢ įȚȐijȠȡİȢ IJȚȝȑȢ IJȠȣ x. 2 x ȥ

-4 8

-2 2

-1 0,5

0 0

1 0,5

2 2

4 8

KĮȚ Ș ȖȡĮijȚțȒ ʌĮȡȐıIJĮıȘ įȓȞİIJĮȚ:

239


ȁȊȂǼȃǼȈ ǹȈȀǾȈǼǿȈ

ȀİijȐȜĮȚȠ 4

1.

Į) ȃĮ ȕȡİșİȓ Ș IJȚȝȒ IJȠȣ Į, ȫıIJİ Ș ʌĮȡĮȕȠȜȒ ȥ = Įx2 ȞĮ įȚȑȡȤİIJĮȚ Įʌȩ IJȠ ıȘȝİȓȠ ǹ(-2,4) ȕ) īȚĮ IJȘȞ IJȚȝȒ IJȠȣ Į ʌȠȣ ȕȡȒțĮIJİ ıIJȠ Į) İȡȫIJȘȝĮ ȞĮ ıȤİįȚȐıİIJİ IJȘȞ ʌĮȡĮȕȠȜȒ ȁȪıȘ Į) Ǿ ʌĮȡĮȕȠȜȒ ʌİȡȞȐİȚ Įʌȩ IJȠ ǹ(-2,4) ȐȡĮ: 4 = Į(-2)2 Ȓ 4 = 4Į ȠʌȩIJİ Į = 1 ȕ) īȚĮ Į = 1 Ș ʌĮȡĮȕȠȜȒ İȓȞĮȚ: ȥ = x2 KĮIJĮıțİȣȐȗȠȣȝİ ȑȞĮȞ ʌȓȞĮțĮ IJȚȝȫȞ ȖȚĮ IJȚȢ įȚȐijȠȡİȢ IJȚȝȑȢ IJȠȣ x. x ȥ

-3 9

-2 4

-1 1

0 0

1 1

2 4

3 9

H īȡĮijȚțȒ ʌĮȡȐıIJĮıȘ įȓȞİIJĮȚ.

0

2.

ǻȓȞİIJĮȚ Ș ʌĮȡĮȕȠȜȒ ȥ = (Į + 1)x2 ȝİ Į  -1. Į) ǹȞ Ș ʌĮȡĮȕȠȜȒ ȑȤİȚ ȝȑȖȚıIJȠ ȞĮ ȕȡİȓIJİ IJȘȞ IJȚȝȒ IJȠȣ Į . ȕ) ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȘȞ IJȚȝȒ IJȠȣ Į ȩIJĮȞ İȓȞĮȚ ıȣȝȝİIJȡȚțȒ ȦȢ ʌȡȠȢ IJȠȞ xƍx ȝİ IJȘȞ ȥ = 4x2 ȁȪıȘ Į) Ǿ ʌĮȡĮȕȠȜȒ ȑȤİȚ ȝȑȖȚıIJȠ ȩIJĮȞ: Į + 1 < 0 Ȓ Į < -1 ȕ) ȅȚ ʌĮȡĮȕȠȜȑȢ İȓȞĮȚ ıȣȝȝİIJȡȚțȑȢ ȦȢ ʌȡȠȢ IJȠȞ xƍx ȩIJĮȞ Į + 1 = -4 ȠʌȩIJİ Į = -5.

240


3.

3 α ǻȓȞȠȞIJĮȚ ȠȚ ʌĮȡĮȕȠȜȑȢ ψ = (α+ )x2 και ψ=( +2)x2 με α >0 . 2 2

ȀİijȐȜĮȚȠ 4

AȞ Ș ȖȡĮijȚțȒ ʌĮȡȐıIJĮıȘ IJȘȢ ʌȡȫIJȘȢ ʌĮȡĮȕȠȜȒȢ İȓȞĮȚ ʌȚȠ țȠȞIJȐ ıIJȠȞ ȐȟȠȞĮ ȥƍȥ, ȞĮ ȕȡİȓIJİ IJȘȞ IJȚȝȒ IJȠȣ Į. . Į) ȃĮ ȕȡİșİȓ Ș IJȚȝȒ IJȠȣ Į, ȫıIJİ Ș ʌĮȡĮȕȠȜȒ ȥ = Įx2 ȞĮ įȚȑȡȤİIJĮȚ Įʌȩ IJȠ ıȘȝİȓȠ ǹ(-2,4) ȕ) īȚĮ IJȘȞ IJȚȝȒ IJȠȣ Į ʌȠȣ ȕȡȒțĮIJİ ıIJȠ Į) İȡȫIJȘȝĮ ȞĮ ıȤİįȚȐıİIJİ IJȘȞ ʌĮȡĮȕȠȜȒ ȁȪıȘ ȆȡȑʌİȚ: α+

3 α < +2 ή 2α+3<α+4 ή α< 1 . Άρα 0 <α<1 2 2

ǼȡȦIJȒıİȚȢ țĮIJĮȞȩȘıȘȢ ǹ.

ȃĮ ȤĮȡĮțIJȘȡȓıİIJİ IJȚȢ İʌȩȝİȞİȢ ʌȡȠIJȐıİȚȢ ȝİ ıȦıIJȩ (Ȉ) Ȓ ȜȐșȠȢ (ȁ) 1.

Ǿ ʌĮȡĮȕȠȜȒ ȥ = - x2 ȑȤİȚ ȐȟȠȞĮ ıȣȝȝİIJȡȓĮȢ IJȠȞ xƍx.

2.

H ʌĮȡĮȕȠȜȒ ȥ = (Ȝ2 + 1) x2 ȑȤİȚ ȝȑȖȚıIJȠ.

3.

ȅȚ ʌĮȡĮȕȠȜȑȢ ȥ= (Į2+1) x2, ȥ = -(Į2 + 1) x2 İȓȞĮȚ ıȣȝȝİIJȡȚțȑȢ ȦȢ ʌȡȠȢ IJȠ ȥƍȥ

4.

Ǿ ʌĮȡĮȕȠȜȒ ȥ = 3x2 ȑȤİȚ ȝȑȖȚıIJȠ IJȠ (0,0)

5.

ǹȞ Ș ʌĮȡĮȕȠȜȒ ȥ = (Į + 1)2007x2, Į  -1 įȚȑȡȤİIJĮȚ Įʌȩ IJȠ ǹ(-3,8), IJȩIJİ įȚȑȡȤİIJĮȚ țĮȚ Įʌȩ IJȠ Ǻ(3,8)

6.

ȅȚ ʌĮȡĮȕȠȜȑȢ ȥ = -2x2, ȥ = 6x2 ȑȤȠȣȞ ȑȞĮ ȝȩȞȠ țȠȚȞȩ ıȘȝİȓȠ.

7.

Ǿ ȖȡĮijȚțȒ ʌĮȡȐıIJĮıȘ IJȘȢ ʌĮȡĮȕȠȜȒȢ ȥ = -3x2 İȓȞĮȚ ʌȐȞIJĮ țȐIJȦ Įʌȩ IJȠȞ xƍx

241


ȀİijȐȜĮȚȠ 4

Ǻ.

ǼȡȦIJȒıİȚȢ ʌȠȜȜĮʌȜȒȢ İʌȚȜȠȖȒȢ 1.

īȚĮ ʌȠȚȐ IJȚȝȒ IJȠȣ Į Ș ʌĮȡĮȕȠȜȒ ȥ = (Į + 1) x2 įȚȑȡȤİIJĮȚ Įʌȩ IJȠ ǹ(-2,4) Į. Į = 0, ȕ. Į = -1 Ȗ. Į = 2 į. Į = -3 İ. Į = 4

2.

ǻȓȞİIJĮȚ Ș ʌĮȡĮȕȠȜȒ ȥ = (Į + 2)x2. Ǿ ȖȡĮijȚțȒ IJȘȢ ʌĮȡȐıIJĮıȘ ȕȡȓıțİIJĮȚ Įʌȩ IJȠȞ xƍx țĮȚ țȐIJȦ ȩIJĮȞ: Į. Į < 0, ȕ. Į < -1 Ȗ. Į < -2 į. Į > 0 İ. Į > -2

3.

ǻȓȞİIJĮȚ Ș ʌĮȡĮȕȠȜȒ ȥ = (Ȝ - 2)x2. H ʌĮȡĮȕȠȜȒ ȑȤİȚ ȝȑȖȚıIJȠ ȩIJĮȞ: Į. Ȝ = 2, ȕ. Ȝ > 2, Ȗ. Ȝ < 2, į. IJȓʌȠIJĮ Įʌȩ IJĮ ʌĮȡĮʌȐȞȦ.

4.

ȅȚ ʌĮȡĮȕȠȜȑȢ ȥ = Ȝx2, Ȝ  0 țĮȚ ȥ = 3x2 İȓȞĮȚ ıȣȝȝİIJȡȚțȑȢ ȦȢ ʌȡȠȢ IJȠȞ xƍx ȩIJĮȞ: Į. Ȝ = 3, ȕ. Ȝ = -3, Ȗ. Ȝ < 3, į. Ȝ > 3

5.

ǹȞ ȝȓĮ ʌĮȡĮȕȠȜȒ ȝİ x  R įȚȑȡȤİIJĮȚ Įʌȩ IJȠ (-1,3) IJȩIJİ ıȓȖȠȣȡĮ șĮ įȚȑȡȤİIJĮȚ Įʌȩ IJȠ: Į. (1, 3), ȕ. (-1,3) Ȗ. (3,1) į. (-3,1)

ǹȈȀǾȈǼǿȈ īǿǹ ȁȊȈǾ 1.

ȃĮ ıȤİįȚȐıİIJİ IJȚȢ ʌĮȡĮȕȠȜȑȢ

α) ψ = -x2

1 2 x αν -4 ≤ x ≤ 4 2

2.

ȃĮ ıȤİįȚȐıİIJİ IJȚȢ ʌĮȡĮȕȠȜȑȢ Į) ȥ = -x2 ĮȞ -2 < x ” 1, ȕ) ȥ = x2 ĮȞ -4 ” x ” 4

3.

ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȘȞ IJȚȝȒ IJȠȣ Į, ȫıIJİ Ș ʌĮȡĮȕȠȜȒ ȥ = (Į +2)x2 ȞĮ įȚȑȡȤİIJĮȚ Įʌȩ IJȠ ıȘȝİȓȠ ǹ(1,4). ȈIJȘ ıȣȞȑȤİȚĮ ȞĮ ȕȡİȓIJİ IJȠȞ IJȪʌȠ IJȘȢ ıȣȝȝİIJȡȚțȒȢ IJȘȢ ȦȢ ʌȡȠȢ IJȠȞ xƍx.

4.

242

αν -2 <x ≤ 1 , β) ψ =

λ +1 ǻȓȞİIJĮȚ Ș ʌĮȡĮȕȠȜȒ ψ =( − 4λ )x2. NĮ ȕȡİȓIJİ IJȚȢ IJȚȝȑȢ IJȠȣ Ȝ ȫıIJİ Ș ʌĮȡĮȕȠȜȒ ȞĮ ȑȤİȚ ȝȑȖȚıIJȠ. 2


5.

1 ǻȓȞȠȞIJĮȚ ȠȚ ʌĮȡĮȕȠȜȑȢ ψ=(α+ )x2, ȥ = (2Į -1)x2. ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȘȞ IJȚȝȒ 3 IJȠȣ Į ȫıIJİ: Į) ȅȚ ȖȡĮijȚțȑȢ ʌĮȡĮıIJȐıİȚȢ IJȦȞ ʌĮȡĮȕȠȜȫȞ ȞĮ IJĮȣIJȓȗȠȞIJĮȚ. ȕ) ȃĮ İȓȞĮȚ ıȣȝȝİIJȡȚțȑȢ ȦȢ ʌȡȠȢ IJȠȞ ȐȟȠȞĮ xƍx.

6.

ǻȓȞİIJĮȚ Ș ʌĮȡĮȕȠȜȒ ȥ = (Ȝ2 - 3Ȝ + 2) x2 Į) ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȠ Ȝ ȫıIJİ Ș ʌĮȡĮȕȠȜȒ ȞĮ įȚȑȡȤİIJĮȚ Įʌȩ IJȠ ǹ( 1,6) ȕ) īȚĮ IJȘ ȝİȖĮȜȪIJİȡȘ IJȚȝȒ IJȠȣ Ȝ IJȠȣ Į) İȡȦIJȒȝĮIJȠȢ ȞĮ țȐȞİIJİ IJȘ ȖȡĮijȚțȒ ʌĮȡȐıIJĮıȘ.

7.

ǻȓȞȠȞIJĮȚ ȠȚ ʌĮȡĮȕȠȜȑȢ ȥ = (Į2 + 4Į + 4) x2, ȥ = (Į2 - 2Į + 1)x2 ȝİ Į  -2, Į  1. ȃĮ ȕȡİȓIJİ (ĮȞ ȣʌȐȡȤȠȣȞ) IJȚȢ IJȚȝȑȢ IJȠȣ Į ȫıIJİ Ș ȖȡĮijȚțȒ ʌĮȡȐıIJĮıȘ IJȘȢ ʌȡȫIJȘȢ ʌĮȡĮȕȠȜȒȢ ȞĮ İȓȞĮȚ ʌȚȠ ȝĮțȡȚȐ Įʌȩ IJȠȞ ȐȟȠȞĮ ȥƍȥ.

ȀİijȐȜĮȚȠ 4

243


ȀİijȐȜĮȚȠ 4

4.2

H ıȣȞȐȡIJȘıȘ ȥ = Įx2 + ȕx + Ȗ ȝİ Į  0 ȂȓĮ ıȣȞȐȡIJȘıȘ ȠȞȠȝȐȗİIJĮȚ IJİIJȡĮȖȦȞȚțȒ ȩIJĮȞ ȑȤİȚ IJȘȞ ȝȠȡijȒ ȥ = Įx2 + ȕx + Ȗ ȝİ Į  0. īİȞȚțȐ: H ȖȡĮijȚțȒ ʌĮȡȐıIJĮıȘ IJȘȢ ıȣȞȐȡIJȘıȘȢ ȥ = Įx2 + ȕx + Ȗ ȝİ Į  0 İȓȞĮȚ ʌĮȡĮȕȠȜȒ ȝİ: β ∆ ,− ), ȩʌȠȣ ǻ Ș įȚĮțȡȓȞȠȣıĮ. 2α 4α • DZȟȠȞĮ ıȣȝȝİIJȡȓĮȢ IJȘȞ țĮIJĮțȩȡȣijȘ İȣșİȓĮ ʌȠȣ įȚȑȡȤİIJĮȚ Įʌȩ IJȘȞ β țȠȡȣijȒ Ȁ țĮȚ ȑȤİȚ İȟȓıȦıȘ x=2α īİȞȚțȐ: AȞ Į > 0, Ș ıȣȞȐȡIJȘıȘ ȥ = Įx2 + ȕx + Ȗ ʌĮȓȡȞİȚ İȜȐȤȚıIJȘ IJȚȝȒ Δ β ψ= - , όταν x=4α 2α

ȀȠȡȣijȒ IJȠ ıȘȝİȓȠ Κ (-

∆ Aν α< 0, η συνάρτηση ψ = α x2+βx+γ παίρνει μέγιστη τιμή ψ = 4α β . όταν x=2α ȆĮȡĮIJȘȡȒıİȚȢ: Į) Ǿ ȖȡĮijȚțȒ ʌĮȡȐıIJĮıȘ IJȘȢ ȥ = Įx2 + ț ʌȡȠțȪʌIJİȚ Įʌȩ IJȘ ȖȡĮijȚțȒ ʌĮȡȐıIJĮıȘ IJȘȢ ȥ = Įx2 ĮȞ ȝİIJĮijİȡșİȓ: i) ț ȝȠȞȐįİȢ ʌȡȠȢ IJĮ ʌȐȞȦ ĮȞ ț > 0 ii) ț ȝȠȞȐįİȢ ʌȡȠȢ IJĮ țȐIJȦ ĮȞ ț < 0. ǻİȞ ȣʌȐȡȤİȚ ȠȡȚȗȩȞIJȚĮ ȝİIJĮIJȩʌȚıȘ. ȕ) Ǿ ȖȡĮijȚțȒ ʌĮȡȐıIJĮıȘ IJȘȢ ȥ = Į(x-ț)2 ʌȡȠțȪʌIJİȚ Įʌȩ IJȘ ȖȡĮijȚțȒ ʌĮȡȐıIJĮıȘ IJȘȢ ȥ = Įx2 ĮȞ ȝİIJĮijİȡșİȓ: i) ț ȝȠȞȐįİȢ įİȟȚȐ ĮȞ ț > 0 ii) ț ȝȠȞȐįİȢ ĮȡȚıIJİȡȐ ĮȞ ț<0. ǻİȞ ȣʌȐȡȤİȚ țĮIJĮțȩȡȣijȘ ȝİIJĮIJȩʌȚıȘ.

ȁȊȂǼȃǼȈ ǹȈȀǾȈǼǿȈ 1.

ǻȓȞİIJĮȚ Ș ʌĮȡĮȕȠȜȒ ȥ = x2 -(Ȝ -2) x -3. Į) ȃĮ įİȓȟİIJİ ȩIJȚ ȑȤİȚ İȜȐȤȚıIJȠ ȖȚĮ țȐșİ Ȝ  R. ȕ) ǹȞ Ș ʌĮȡĮȕȠȜȒ ȑȤİȚ ȐȟȠȞĮ ıȣȝȝİIJȡȓĮȢ IJȘȞ x = 1 ȞĮ ȕȡİȓIJİ IJȠ ĮȡȚșȝȩ Ȝ. Ȗ) īȚĮ IJȘȞ IJȚȝȒ IJȠȣ ʌȠȣ ȕȡȒțĮIJİ ıIJȠ ȕ) İȡȫIJȘȝĮ ȞĮ ȕȡİȓIJİ IJĮ ıȘȝİȓĮ IJȠȝȒȢ IJȘȢ ʌĮȡĮȕȠȜȒȢ ȝİ IJȠȣȢ ȐȟȠȞİȢ.

244


ȀİijȐȜĮȚȠ 4

ȁȪıȘ Į) ǼʌİȚįȒ Į = 1 > 0 Ș ʌĮȡĮȕȠȜȒ șĮ ȑȤİȚ İȜȐȤȚıIJȠ ȖȚĮ țȐșİ Ȝ  R. ȕ) Η παραβολή ψ =αx2+βx+γ α ≠0 έχει άξονα συμμετρίας την x=οπότε: 1= -

− (λ - 2 ) ή 2=λ-2 ή λ=4 2

β 2α

Ȗ) īȚĮ Ȝ = 4 Ș ʌĮȡĮȕȠȜȒ ȖȓȞİIJĮȚ: ȥ = x2 -2x -3. īȚĮ IJȠȞ ȐȟȠȞĮ xƍx: șȑIJȦ ȥ = 0 ȠʌȩIJİ x2 - 2x -3 = 0. EȓȞĮȚ Į = 1, ȕ = -2, Ȗ = -3 ǻ = ȕ2 - 4ĮȖ = (-2)2 - 4 · 1 · (-3) = 4 + 12 = 16 > 0. DZȡĮ ȑȤȠȣȝİ įȪȠ ȡȓȗİȢ IJȚȢ 2 ± 16 -β ± Δ 2−4 2+4 x1,2= ή x1,2= , άρα x= =3 ή x= =-1 . 2 2α 2 2 ȅʌȩIJİ IJȑȝȞİȚ IJȠȞ xƍx ıIJĮ ǹ(3,0), Ǻ (-1,0) īȚĮ IJȠȞ ȐȟȠȞĮ ȥƍȥ: șȑIJȦ x = 0 ȠʌȩIJİ: ȥ = -3. DZȡĮ IJȑȝȞİȚ IJȠȞ ȥƍȥ ıIJȠ ī(0,-3) 2.

ǻȪȠ ĮȡȚșȝȠȓ ȑȤȠȣȞ ȐșȡȠȚıȝĮ 20. ȃĮ įİȓȟİIJİ ȩIJȚ: Į) ǹȞ Ƞ ȑȞĮȢ İȓȞĮȚ Ƞ x IJȩIJİ IJȠ ȖȚȞȩȝİȞȩ IJȠȣȢ įȓȞİIJĮȚ: -x2 + 20x ȕ) ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȠȣȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ ȩIJĮȞ IJȠ ȖȚȞȩȝİȞȩ IJȠȣȢ ȖȓȞİIJĮȚ ȝȑȖȚıIJȠ. ȆȠȚȠ İȓȞĮȚ IJȠ ȝȑȖȚıIJȠ ȖȚȞȩȝİȞȠ. ȁȪıȘ Į) ǹȞ Ƞ ȑȞĮȢ İȓȞĮȚ Ƞ x IJȩIJİ Ƞ ȐȜȜȠȢ șĮ İȓȞĮȚ Ƞ 20 -x. DzIJıȚ ȖȚĮ IJȠ ȖȚȞȩȝİȞȠ ȑȤȠȣȝİ: x (20 -x) = 20x - x2 = -x2 + 20x. ȕ) ĬİȦȡȫ IJȘȞ ʌĮȡĮȕȠȜȒ ȥ = -x2 + 20x. ǼʌİȚįȒ Į = -1 < 0 ȑȤȠȣȝİ ȝȑȖȚıIJȠ ȖȚĮ β 20 x=ή x=- − =10 DZȡĮ IJȠ ȖȚȞȩȝİȞȠ ȖȓȞİIJĮȚ ȝȑȖȚıIJȠ ȩIJĮȞ Ƞ ȑȞĮȢ 2α −2 ĮȡȚșȝȩȢ İȓȞĮȚ Ƞ 10 țĮȚ Ƞ ȐȜȜȠȢ 10. ȉȠ ȝȑȖȚıIJȠ ȖȚȞȩȝİȞȠ șĮ İȓȞĮȚ: 10 · 10 = 100 .

3.

ǻȓȞİIJĮȚ Ș ʌĮȡĮȕȠȜȒ ȥ = Įx2 + ȕx + Ȗ ȝİ Į  0. ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȠȣȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ Į, ȕ, Ȗ ȫıIJİ Ș ʌĮȡĮȕȠȜȒ ȞĮ ȑȤİȚ țȠȡȣijȒ IJȠ ıȘȝİȓȠ ǹ(0,4) țĮȚ ȞĮ IJȑȝȞİȚ IJȠȞ xƍx ıIJȠ ıȘȝİȓȠ Ǻ(-2,0 ). ȁȪıȘ Η παραβολή έχει κορυφή το σημείο Α(0,4) , άρα 4=γ (1) . Έχει κορυφή το β Δ β ,- ) οπότε : 0=ή β=0 (2) . Περνάει από το (-2,0) οπότε : Κ(2α 4α 2α 0=α·(-2)2+0·(-2)+4 ή 0=4α+4 ή α=-1 (3)

245


ǼȡȦIJȒıİȚȢ țĮIJĮȞȩȘıȘȢ

ȀİijȐȜĮȚȠ 4

ȃĮ ȤĮȡĮțIJȘȡȓıİIJİ IJȚȢ İʌȩȝİȞİȢ ʌȡȠIJȐıİȚȢ ȝİ ıȦıIJȩ (Ȉ) Ȓ ȜȐșȠȢ (ȁ)

ǹ. 1.

Ǿ ıȣȞȐȡIJȘıȘ ȥ = (Į2 + 1)x2 + 3x - 6 ʌĮȓȡȞİȚ İȜȐȤȚıIJȘ IJȚȝȒ.

2.

Ǿ ʌĮȡĮȕȠȜȒ ȥ = x2 - 4 ȑȤİȚ ȐȟȠȞĮ ıȣȝȝİIJȡȓĮȢ IJȘ İȣșİȓĮ x = -2

3.

ǻȓȞİIJĮȚ Ș ʌĮȡĮȕȠȜȒ ȥ = Įx2 + ȕx + Ȗ, Į  0. ȅȚ IJȚȝȑȢ IJȘȢ įȚĮțȡȓȞȠȣıĮȢ țĮșȠȡȓȗȠȣȞ IJȠ İȓįȠȢ IJȠȣ ĮțȡȠIJȐIJȠȣ.

4.

Ǿ ʌĮȡĮȕȠȜȒ ȥ = x(1 -x) + 2x + 6 ȑxİȚ İȜȐȤȚıIJȠ.

5.

Ǿ ʌĮȡĮȕȠȜȒ ȥ = 3x2 -x(3 + 4x) + 2 ȑȤİȚ İȜȐȤȚıIJȠ.

6.

ȅȚ ʌĮȡĮȕȠȜȑȢ ȥ = x2 - 4x + 1, ȥ = -2x2 + 8x + 10 ȑȤȠȣȞ IJȠȞ ȓįȚȠ ȐȟȠȞĮ ıȣȝȝİIJȡȓĮȢ.

7.

Ǿ ʌĮȡĮȕȠȜȒ ȥ = (x-2)2 ʌȡȠțȪʌIJİȚ Įʌȩ IJȘȞ ȖȡĮijȚțȒ ʌĮȡȐıIJĮıȘ IJȘȢ ʌĮȡĮȕȠȜȒȢ ȥ = x2, ĮȞ ȝİIJĮijİȡșİȓ 2 ȝȠȞȐįİȢ ʌȡȠȢ IJĮ ʌȐȞȦ.

8.

ǻȓȞİIJĮȚ Ș ʌĮȡĮȕȠȜȒ ȥ = Įx2 + ȕx + Ȗ ȝİ Į  0. ǹȞ ǻ = 0 IJȩIJİ Ș țȠȡȣijȒ IJȘȢ ȕȡȓıțİIJĮȚ ıIJȠȞ ȥƍȥ.

9.

Ǿ ʌĮȡĮȕȠȜȒ ȥ = x2 + 5 ʌȡȠțȪʌIJİȚ Įʌȩ IJȘ ȖȡĮijȚțȒ ʌĮȡȐıIJĮıȘ IJȘȢ ʌĮȡĮȕȠȜȒȢ ĮȞ ȝİIJĮijİȡșİȓ 5 ȝȠȞȐįİȢ ʌȡȠȢ IJĮ ʌȐȞȦ.

10. Ǿ ʌĮȡĮȕȠȜȒ ȥ = 2x2 + 6x + 8 ȑȤİȚ İȜȐȤȚıIJȠ IJȠ x= -

3 2

11. Ǿ ʌĮȡĮȕȠȜȒ -x2 -2ȥ = 3 ȑȤİȚ ȝȑȖȚıIJȠ.

Ǻ.

246

ǼȡȦIJȒıİȚȢ ʌȠȜȜĮʌȜȒȢ İʌȚȜȠȖȒȢ 1.

ǻȓȞİIJĮȚ Ș ʌĮȡĮȕȠȜȒ ȥ = (Į - 3)x2 - 3Įx + Į - 1 Į  3. īȚĮ ʌȠȚĮ IJȚȝȒ IJȠȣ Į Ș ʌĮȡĮȕȠȜȒ ȑȤİȚ ȝȑȖȚıIJȠ. Į. Į > 3, ȕ. Į < 3, Ȗ. Į > 0 į. Į < 0.

2.

Ǿ ʌĮȡĮȕȠȜȒ ȥ = Įx2 + Į2x + Ȗ ȝİ Į  0, ȑȤİȚ ȐȟȠȞĮ ıȣȝȝİIJȡȓĮȢ IJȘȞ İȣșİȓĮ.


α. x=1 β. x=α, x=-

α α γ. x= , δ. x=-α 2 2

3.

ǻȪȠ ĮȡȚșȝȠȓ ȑȤȠȣȞ ȐșȡȠȚıȝĮ 10. ȉȠ ȝȑȖȚıIJȠ ȖȚȞȩȝİȞȩ IJȠȣȢ İȓȞĮȚ Į. 20 ȕ. 100 Ȗ. –20 į. –100

4.

Ǿ ʌĮȡĮȕȠȜȒ ȥ = Įx2 + ȕx + Ȗ, Į  0 įȚȑȡȤİIJĮȚ Įʌȩ IJȘȞ ĮȡȤȒ IJȦȞ ĮȟȩȞȦȞ ĮȞ: Į. Ȗ = 0, ȕ. Į > 0, Ȗ. Į < 0, į. ȕ = 0

5.

Ǿ ʌĮȡĮȕȠȜȒ ȥ = Įx2 + ȕx + Ȗ, Į  0 ȑȤİȚ țȠȡȣijȒ IJȘȞ ĮȡȤȒ IJȦȞ ĮȟȩȞȦȞ ĮȞ: Į. Į > 0, ȕ. Į<0, Ȗ. ȕ = Ȗ = 0 į. ȕ > 0

6.

H ʌĮȡĮȕȠȜȒ ȥ = Įx2 + ȕx + Ȗ, Į  0 ȑȤİȚ IJȘȞ țȠȡȣijȒ ıIJȠȞ xƍx IJȩIJİ: Į. ȕ = 0, ȕ. Ȗ = 0 Ȗ. ȕ2 = 4ĮȖ, į. IJȓʌȠIJĮ Įʌȩ IJĮ ʌĮȡĮʌȐȞȦ.

ȀİijȐȜĮȚȠ 4

ǹȈȀǾȈǼǿȈ īǿǹ ȁȊȈǾ 1

ȃĮ ıȤİįȚȐıİIJİ IJȚȢ ʌĮȡĮȕȠȜȑȢ: Į) ȥ = x2 + 3, ȕ) ȥ = x2 - 4, Ȗ) ȥ = (x + 2)2, į) ȥ = (x -1)2

2

NĮ ȕȡİȓIJİ IJȘȞ ȝȑȖȚıIJȘ Ȓ IJȘȞ İȜȐȤȚıIJȘ IJȚȝȒ țȐșİ ıȣȞȐȡIJȘıȘȢ. Į) ȥ = -x2 - 4x + 2 ȕ) ȥ = (x -1)2 + 3

3

ǻȓȞİIJĮȚ Ș ıȣȞȐȡIJȘıȘ ȥ = x2 -(Ȝ2 -3Ȝ)x + 2. Į) ȃĮ įİȓȟİIJİ ȩIJȚ Ș ıȣȞȐȡIJȘıȘ ȑȤİȚ İȜȐȤȚıIJȠ ȕ) ǹȞ Ș ıȣȞȐȡIJȘıȘ ȑȤİȚ İȜȐȤȚıIJȠ ȖȚĮ x = -1 ȞĮ ȕȡİȓIJİ IJȠ Ȝ. Ȗ) īȚĮ IJȘȞ ȝİȖĮȜȪIJİȡȘ IJȚȝȒ IJȠȣ Ȝ ȞĮ ȕȡİȓIJİ IJȠ İȜȐȤȚıIJȠ

4

ǻȓȞİIJĮȚ Ș ʌĮȡĮȕȠȜȒ ȥ = 2x2 -(Ȝ -1)x + 1. AȞ Ș țȠȡȣijȒ IJȘȢ ʌĮȡĮȕȠȜȒȢ ȕȡȓıțİIJĮȚ ıIJȠȞ ȥƍȥ ȞĮ ȕȡİȓIJİ IJȠ Ȝ.

5

ǻȓȞİIJĮȚ Ș ʌĮȡĮȕȠȜȒ ȥ = 2x2 + (Ȝ -1)x + 6. Į) īȚĮ ʌȠȚĮ IJȚȝȒ IJȠȣ Ȝ Ș ʌĮȡĮȕȠȜȒ ȑȤİȚ ȐȟȠȞĮ ıȣȝȝİIJȡȓĮȢ IJȘȞ x = -1 ȕ) īȚĮ IJȘȞ IJȚȝȒ IJȠȣ Ȝ IJȠȣ Į) İȡȦIJȒȝĮIJȠȢ ȞĮ ȕȡİȓIJİ IJȠ İȜȐȤȚıIJȠ

6

ȃĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİIJİ IJĮ Į, ȕ ȫıIJİ Ș ʌĮȡĮȕȠȜȒ ȥ = -x2 + Įx + ȕ, ȖȚĮ x = 4 ȞĮ ʌĮȡȠȣıȚȐȗİȚ ȝȑȖȚıIJȠ IJȠ 6

247


ȀİijȐȜĮȚȠ 4

7

ǻȪȠ șİIJȚțȠȓ ĮȡȚșȝȠȓ ȑȤȠȣȞ ȐșȡȠȚıȝĮ 10. ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȠȣȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ ĮȞ Į) ȉȠ ȖȚȞȩȝİȞȩ IJȠȣȢ ȖȓȞİIJĮȚ ȝȑȖȚıIJȠ . ȕ) ȉȠ ȐșȡȠȚıȝĮ IJȦȞ IJİIJȡĮȖȫȞȦȞ IJȠȣȢ ȖȓȞİIJĮȚ İȜȐȤȚıIJȠ.

8

AȞ x, ȥ İȓȞĮȚ įȪȠ ʌȡĮȖȝĮIJȚțȠȓ ĮȡȚșȝȠȓ ȝİ 2x + ȥ = 5. ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȠ ȝȑȖȚıIJȠ IJȘȢ ʌĮȡȐıIJĮıȘȢ ǹ = x ȥ + 5

9

ǻȓȞȠȞIJĮȚ ȠȚ ʌĮȡĮȕȠȜȑȢ ȥ = -x2 + Įx + 1, ȥ = x2 - 3x + 2. NĮ İȟİIJȐıİIJİ ĮȞ ȣʌȐȡȤİȚ IJȚȝȒ IJȠȣ Į ȫıIJİ ȠȚ țȠȡȣijȑȢ IJȦȞ įȪȠ ʌĮȡĮȕȠȜȫȞ ȞĮ IJĮȣIJȓȗȠȞIJĮȚ.

10

ǻȓȞİIJĮȚ Ș ʌĮȡĮȕȠȜȒ: ȥ = x2 -(Ȝ + 2)x - Ȝ + 1, Ȝ R . Į) ȃĮ İȟİIJȐıİIJİ ĮȞ Ș ʌĮȡĮȕȠȜȒ ȑȤİȚ İȜȐȤȚıIJȠ Ȓ ȝȑȖȚıIJȠ IJȠ ȠʌȠȓȠ țĮȚ ȞĮ ȕȡİȓIJİ. ȕ) ǹȞ Ș ʌĮȡĮȕȠȜȒ ȑȤİȚ İȜȐȤȚıIJȠ ȞĮ ȕȡİȓIJİ IJȠ Ȝ ȫıIJİ IJȠ İȜȐȤȚıIJȠ IJȘȢ ʌĮȡĮȕȠȜȒȢ ȞĮ ȖȓȞİIJĮȚ ȝȑȖȚıIJȠ.

11

DzȞĮȢ ʌĮȡĮȖȦȖȩȢ țĮȜȜȚİȡȖİȓ x (ıİ įİțȐįİȢ) ıIJȡȑȝȝĮIJĮ ȝİ ȡȠįȐțȚȞĮ. īȚĮ IJȘȞ țĮȜȜȚȑȡȖİȚĮ IJȦȞ x ıIJȡİȝȝȐIJȦȞ ȑȤİȚ ȑȟȠįĮ 2x + 7 (ıİ įİțȐįİȢ) İȣȡȫ IJȠ ıIJȡȑȝȝĮ. ȉĮ ȑıȠįĮ IJȠȣ ʌĮȡĮȖȦȖȠȪ İȓȞĮȚ x (ıİ įİțȐįİȢ) İȣȡȫ IJȠ ıIJȡȑȝȝĮ. ȃĮ ȕȡİȓIJİ ʌȩıĮ ıIJȡȑȝȝĮIJĮ ʌȡȑʌİȚ ȞĮ țĮȜȜȚİȡȖȒıİȚ ȫıIJİ ȞĮ ȑȤİȚ ȝȑȖȚıIJȠ țȑȡįȠȢ.

īİȞȚțȑȢ ĮıțȒıİȚȢ 4Ƞȣ ȀİijĮȜĮȓȠȣ

248

1

ǻȓȞȠȞIJĮȚ ȠȚ ʌĮȡĮȕȠȜȑȢ ȥ = x2 -(Ȝ -1)x + 2, ȥ = -2x2 +(3Ȝ -2)x + 6. Į) ȃĮ įİȓȟİIJİ ȩIJȚ Ș ʌȡȫIJȘ ʌĮȡĮȕȠȜȒ ʌĮȡȠȣıȚȐȗİȚ İȜȐȤȚıIJȠ ȖȚĮ țȐșİ Ȝ, İȞȫ Ș įİȪIJİȡȘ ʌĮȡĮȕȠȜȒ ʌĮȡȠȣıȚȐȗİȚ ȝȑȖȚıIJȠ ȖȚĮ țȐșİ Ȝ. ȕ) ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȘȞ IJȚȝȒ IJȠȣ ȫıIJİ ȠȚ įȪȠ ʌĮȡĮȕȠȜȑȢ ȞĮ ȑȤȠȣȞ IJȠȞ ȓįȚȠ ȐȟȠȞĮ ıȣȝȝİIJȡȓĮȢ.

2

ǻȓȞİIJĮȚ Ș ʌĮȡĮȕȠȜȒ ȥ = x2 - Ȝx + Ȝ - 1. NĮ ȕȡİȓIJİ IJȠ Ȝ ȫıIJİ Ș țȠȡȣijȒ IJȘȢ ʌĮȡĮȕȠȜȒȢ ȞĮ ĮȞȒțİȚ ıIJȘȞ İȣșİȓĮ x + 2ȥ - 4 = 0

3

ǹȞ ȖȚĮ IJȠȣȢ șİIJȚțȠȪȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ x, ȥ ȚıȤȪİȚ: 2x + ȥ = 5 (1).ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȠȣȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ ȫıIJİ IJȠ ȖȚȞȩȝİȞȠ x · ȥ ȞĮ ȖȓȞİIJĮȚ ȝȑȖȚıIJȠ.

4

ȃĮ ȕȡİșȠȪȞ įȪȠ ĮȡȚșȝȠȓ ȫıIJİ ȞĮ ȑȤȠȣȞ ȐșȡȠȚıȝĮ 20 țĮȚ IJȠ ȐșȡȠȚıȝĮ IJȦȞ IJİIJȡĮȖȫȞȦȞ IJȠȣȢ ȞĮ İȓȞĮȚ İȜȐȤȚıIJȠ.


5

ǻȓȞȠȞIJĮȚ ȠȚ ʌĮȡĮȕȠȜȑȢ: ȥ = (3Ȝ -6)x2 + 3x + 8, ȥ = (1 -Ȝ)x2 + 2x - 2008. NĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ: AȞ Ș ʌȡȫIJȘ ʌĮȡĮȕȠȜȒ ȑȤİȚ İȜȐȤȚıIJȠ IJȩIJİ Ș įİȪIJİȡȘ ʌĮȡĮȕȠȜȒ ȑȤİȚ ȝȑȖȚıIJȠ.

6

ǻȓȞİIJĮȚ Ș ʌĮȡĮȕȠȜȒ ȥ = x2 -4x + Ȝ - 1 = 0 Į) ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȘȞ IJȚȝȒ IJȠȣ Ȝ ȫıIJİ Ș țȠȡȣijȒ IJȘȢ ȞĮ ȕȡȓıțİIJĮȚ ıIJȠȞ xƍx . ȕ) īȚĮ IJȘȞ IJȚȝȒ IJȠȣ Ȝ ʌȠȣ ȕȡȒțĮIJİ ıIJȠ Į) İȡȫIJȘȝĮ ȞĮ ȕȡİȓIJİ IJȘȞ İȣșİȓĮ ʌȠȣ ʌİȡȞȐİȚ Įʌȩ IJȘȞ țȠȡȣijȒ IJȘȢ ʌĮȡĮȕȠȜȒȢ țĮȚ IJȠ ıȘȝİȓȠ ʌȠȣ IJȑȝȞİȚ Ș ʌĮȡĮȕȠȜȒ IJȠȞ ȐȟȠȞĮ ȥƍȥ

7

Ȉİ İȣșȪȖȡĮȝȝȠ IJȝȒȝĮ ǹǺ = 12 cm ʌĮȓȡȞȠȣȝİ ıȘȝİȓȠ Ȃ țĮȚ țĮIJĮıțİȣȐȗȠȣȝİ IJĮ IJİIJȡȐȖȦȞĮ, ǹȂȀȁ, ǺȂīǻ. ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȘ șȑıȘ IJȠȣ ıȘȝİȓȠȣ Ȃ ȫıIJİ IJȠ ȐșȡȠȚıȝĮ IJȦȞ İȝȕĮįȫȞ IJȦȞ įȪȠ IJİIJȡĮȖȫȞȦȞ ȞĮ İȓȞĮȚ İȜȐȤȚıIJȠ.

ȀİijȐȜĮȚȠ 4

249


10 KȡȚIJȒȡȚȠ ǹȟȚȠȜȩȖȘıȘȢ

ȀİijȐȜĮȚȠ 4

ĬȑȝĮ 10 Į) ȆȠȚĮ ıȣȞȐȡIJȘıȘ ȠȞȠȝȐȗİIJĮȚ IJİIJȡĮȖȦȞȚțȒ; ȕ) ǻȓȞİIJĮȚ Ș ʌĮȡĮȕȠȜȒ ȥ = Įx2 + ȕx + Ȗ ȝİ Į  0. ȆȩIJİ ȑȤȠȣȝİ İȜȐȤȚıIJȠ; ȆȩIJİ ȑȤȠȣȝİ ȝȑȖȚıIJȠ; ȆȠȚȠ İȓȞĮȚ ıİ țȐșİ ʌİȡȓʌIJȦıȘ. Ȗ) ǻȓȞİIJĮȚ Ș ʌĮȡĮȕȠȜȒ ȥ = Įx2 + ȕx + Ȗ ȝİ Į  0. DzȤİȚ ȐȟȠȞĮ ıȣȝȝİIJȡȓĮȢ țĮȚ ʌȠȚȠȢ İȓȞĮȚ ; ĬȑȝĮ 20 ǻȓȞİIJĮȚ Ș ʌĮȡĮȕȠȜȒ ȥ = Įx2, Ș ȠʌȠȓĮ ʌİȡȞȐİȚ Įʌȩ IJȠ ǹ(1,3) . Į) ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȠȞ ʌȡĮȖȝĮIJȚțȩ ĮȡȚșȝȩ Į . ȕ) ȃĮ țȐȞİIJİ IJȘȞ ȖȡĮijȚțȒ IJȘȢ ʌĮȡȐıIJĮıȘ . Ȗ) ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȘȞ ıȣȝȝİIJȡȚțȒ IJȘȢ ȦȢ ʌȡȠȢ IJȠȞ xƍx. ĬȑȝĮ 30 ǻȓȞİIJĮȚ Ș ʌĮȡĮȕȠȜȒ ȥ = x2 - 3x + 2. Į) ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJĮ ıȘȝİȓĮ ʌȠȣ IJȑȝȞİȚ IJȠȣȢ ȐȟȠȞİȢ . ȕ) ȃĮ İȟİIJȐıİIJİ ĮȞ ȑȤİȚ ȝȑȖȚıIJȠ Ȓ İȜȐȤȚıIJȠ IJȠ ȠʌȠȓȠ țĮȚ ȞĮ ȕȡİȓIJİ. Ȗ) ǹȞ ǹ, Ǻ İȓȞĮȚ IJĮ ıȘȝİȓĮ ʌȠȣ IJȑȝȞİȚ IJȠȞ xƍx țĮȚ ī İȓȞĮȚ Ș țȠȡȣijȒ IJȘȢ ʌĮȡĮȕȠȜȒȢ ȞĮ ȕȡİȓIJİ IJȠ İȝȕĮįȩȞ IJȠȣ IJȡȚȖȫȞȠȣ ǹǺī. ĬȑȝĮ 40 ǻȓȞİIJĮȚ Ș ʌĮȡĮȕȠȜȒ ȥ = (Į - 2)x2 Į) ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȚȢ IJȚȝȑȢ IJȠȣ Į ȫıIJİ Ș ʌĮȡĮȕȠȜȒ ȞĮ ȑȤİȚ ȝȑȖȚıIJȠ. ȕ) ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȚȢ IJȚȝȑȢ IJȠȣ Į ȫıIJİ Ș ʌĮȡĮȕȠȜȒ ʌȠȣ įȓȞİIJĮȚ ȞĮ İȓȞĮȚ ıȣȝȝİIJȡȚțȒ ȦȢ ʌȡȠȢ IJȠȞ xƍx ȝİ IJȘȞ ʌĮȡĮȕȠȜȒ ȥ = (Į2 + Į-1) x2.

250


20 KȡȚIJȒȡȚȠ ǹȟȚȠȜȩȖȘıȘȢ

ȀİijȐȜĮȚȠ 4

ĬȑȝĮ 10 Į) ǹʌȩ IJȚ İȟĮȡIJȐIJĮȚ Ș ĮʌȩıIJĮıȘ IJȘȢ ȖȡĮijȚțȒȢ ʌĮȡȐıIJĮıȘȢ IJȘȢ ʌĮȡĮȕȠȜȒȢ Įʌȩ IJȠȞ ȥƍȥ. ȕ) Ǿ ȖȡĮijȚțȒ ʌĮȡȐıIJĮıȘ ȝȚȐȢ ʌĮȡĮȕȠȜȒȢ ʌİȡȞȐİȚ Įʌȩ IJȠ ǹ(3, 9). ȃĮ İȟȘȖȒıİIJİ ȖȚĮIJȓ șĮ ʌİȡȞȐİȚ țĮȚ Įʌȩ IJȠ Ǻ(-3,9). Ȗ) ǹȞ Ș ʌĮȡĮȕȠȜȒ ȥ = Įx2 + ȕx + Ȗ, Į  0 ȑȤİȚ țȠȡȣijȒ IJȠ ıȘȝİȓȠ Ȁ(0,4), IJȩIJİ IJȚ ıȣȝʌȑȡĮıȝĮ ȝʌȠȡȠȪȝİ ȞĮ ȕȖȐȜȠȣȝİ ȖȚĮ IJȠȣȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ Į, ȕ, Ȗ. ĬȑȝĮ 20 ǻȓȞİIJĮȚ Ș ʌĮȡĮȕȠȜȒ ȥ = (Ȝ -2)x2 + 5Ȝx + 2, Ȝ  2. Į) ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȘȞ IJȚȝȒ IJȠȣ Ȝ ȫıIJİ ȞĮ ȑȤİȚ ȐȟȠȞĮ ıȣȝȝİIJȡȓĮȢ IJȠȞ ȥƍȥ. ȕ) īȚĮ IJȘȞ IJȚȝȒ IJȠȣ Ȝ ʌȠȣ ȕȡȒțĮIJİ ȞĮ İȟİIJȐıİIJİ ĮȞ Ș ʌĮȡĮȕȠȜȒ ȑȤİȚ ȝȑȖȚıIJȠ Ȓ İȜȐȤȚıIJȠ IJȠ ȠʌȠȓȠ țĮȚ ȞĮ ȕȡİȓIJİ. ĬȑȝĮ 30 ǻȓȞİIJĮȚ Ș ʌĮȡĮȕȠȜȒ ȥ = Įx2 + ȕx + Ȗ, Į 0. NĮ ȕȡİȓIJİ IJȠȣȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ Į, ȕ, Ȗ ȩIJĮȞ: Ș ʌĮȡĮȕȠȜȒ ʌİȡȞȐİȚ Įʌȩ IJȘȞ ĮȡȤȒ IJȦȞ ĮȟȩȞȦȞ, ȑȤİȚ țȠȡȣijȒ IJȠ ıȘȝİȓȠ IJȠȝȒȢ IJȦȞ İȣșİȚȫȞ (İ) x + ȥ = 0, (ȗ) 3x + ȥ = 0 țĮȚ İȓȞĮȚ ıȣȝȝİIJȡȚțȒ ȝİ IJȘȞ ȥ = 3x2 ĬȑȝĮ 40 ǻȓȞİIJĮȚ ȑȞĮ IJȡĮʌȑȗȚȠ ıIJȠ ȠʌȠȓȠ IJȠ ȐșȡȠȚıȝĮ IJȦȞ ȕȐıİȦȞ țĮȚ IJȠȣ ȪȥȠȣȢ İȓȞĮȚ 30 m. Į) ȃĮ İțijȡȐıİIJİ IJȚȢ ȕȐıİȚȢ ıİ ıȤȑıȘ ȝİ IJȠ ȪȥȠȢ. ȕ) ȃĮ İțijȡȐıİIJİ IJȠ İȝȕĮįȩȞ ıİ ıȤȑıȘ ȝİ IJȠ ȪȥȠȢ. Ȗ) īȚĮ ʌȠȚĮ IJȚȝȒ IJȠȣ ȪȥȠȣȢ IJȠ İȝȕĮįȩȞ ȖȓȞİIJĮȚ ȝȑȖȚıIJȠ.

251


ȁȪıİȚȢ ıȤȠȜȚțȠȪ ȕȚȕȜȓȠȣ

ȀİijȐȜĮȚȠ 4

4.1 H ıȣȞȐȡIJȘıȘ ȥ = Įx2 ǼȡȦIJȒıİȚȢ țĮIJĮȞȩȘıȘȢ 1 1 ,- ) 2 2

1.

β) Β(2,-8), γ) Γ(

2.

ȂȑȖȚıIJȘ IJȚȝȒ ȑȤȠȣȞ: Į), į) ǼȜȐȤȚıIJȘ IJȚȝȒ ȑȤȠȣȞ: ȕ), Ȗ)

3. Į) Ȉ 4.

ȕ) ȁ

Ȗ) ȁ

į) Ȉ

Į)

0

ȕ)

0 5.

ȕ)

6. Į) 3

252

ȕ) 4

Ȗ) 1

į) 2

İ) Ȉ

ıIJ) Ȉ


ȆȡȠIJİȚȞȩȝİȞİȢ ĮıțȒıİȚȢ - ȆȡȠȕȜȒȝĮIJĮ 1.

ȀİijȐȜĮȚȠ 4

Į) ȀȐȞȠȣȝİ IJȠȞ ʌȓȞĮțĮ IJȚȝȫȞ

ȕ) ȀȐȞȠȣȝİ IJȠȞ ʌȓȞĮțĮ IJȚȝȫȞ

x ȥ

x ȥ

-2 8

-1 2

0 0

1 2

2 8

-2 -8

-1 2

0 0

1 2

2 8

0 0 Ȗ) KȐȞȠȣȝİ IJȠȞ ʌȓȞĮțĮ IJȚȝȫȞ x ȥ

-2 -3

-1 -0,75

0 0

1 -0,75

į) ȀȐȞȠȣȝİ IJȠȞ ʌȓȞĮțĮ IJȚȝȫȞ x ȥ

2 -3

-3 6

-1 2 3

0 0

1 2 3

3 6

0 0

2.

ψ=

ȀȐȞȠȣȝİ IJȠȞ ʌȓȞĮțĮ IJȚȝȫȞ: Į) ȥ = x2 x ȥ

-2 4

-1 1

0 0

1 1

x ȥ

2 (i) 4

ȥ = 3x2 x ȥ

-2 12

1 2 x 3

-3 3

-1 1 3

0 0

1 1 3

3 3

(ii) -1 3

0 0

1 3

2 12

(iii)

253


ȀİijȐȜĮȚȠ 4

iii)

ii) i)

0

3 ȕ) (i) ψ= x2 2

x ȥ

-2 6

-1 1,5

3 (ii) ψ= - x2 2

0 0

1 1,5

2 6

x ȥ

-2 -6

-1 -1,5

0 0

1 1,5

2 6

i)

0

ii)

3.

H παραβολή είναι : ψ=αx2 . Περνάει από το (-2,-1) οπότε : -1= α(-2)2 ή 4α=-1 1 1 ή α=- . Η συμμετρική της ως προς τον x′x είναι ψ= x2 4 4

x ȥ

254

-2 1

-1 0,25

0 0

1 0,25

2 1


ȀİijȐȜĮȚȠ 4

4.

9 Για ψ=-9 έχουμε : -9 = -4x2 ή x2= 4 3 3 Α(- , -9 ) και Β ( , -9 ) 2 2

ή x= ±

5. Το σημείο Μ ανήκει στην παραβολή άρα : 2=(λ+2) ή λ=0

3 . Άρα τα σημεία είναι 2

1 1 1 1 = (λ+2)( - )2 ή =(λ+2) ή 2 2 2 4

6. Το σημείο Μ ανήκει στην παραβολή άρα : λ= 1 2 2 ή λ= 4 ή λ2= 4 ή λ λ 1 ή λ= ± 2 . Επειδή όμως έχουμε μέγιστη τιμή πρέπει <0 ή λ<0 λ Άρα λ= - 2 1 2 7. α) Για m=1 τότε Ε= υ (Η γραφική παράσταση είναι η πιο πλατιά) 2 Για μ=2 τότε Ε=υ2 (Η γραφική παράσταση είναι η μεσαία)

Για μ=4 τότε Ε=2υ2 (Η γραφική παράσταση βρίσκεται πιο κοντά στον ψ ȥƍȥ

0

ȕ) ǵIJĮȞ Ǽ = 2 IJȩIJİ ȝİȖĮȜȪIJİȡȘ IJĮȤȪIJȘIJĮ ȑȤİȚ IJȠ ıȫȝĮ ȝİ ȝȐȗĮ 1 kg. Ȗ) Όταν υ=

3 τότε μεγαλύτερη ενέργεια έχει το σώμα με μάζα 4 kg. 2

255


ȀİijȐȜĮȚȠ 4

4.2 H ıȣȞȐȡIJȘıȘ ȥ = Įx2 + ȕx + Ȗ ȝİ Į  0 ǼȡȦIJȒıİȚȢ țĮIJĮȞȩȘıȘȢ 1.

Į) ʌĮȡĮȕȠȜȒ, Ȁ(1,-4), x=1. ȕ) İȜȐȤȚıIJȘ, ȥ = -4, x = 1. Ȗ) (-1,0), (3,0), (0,-3)

2.

i) Ȗ),

ii) Ȗ)

3. Į) ȁ

ȕ) Ȉ

Ȗ) Ȉ

į) Ȉ

İ) Ȉ

4. Į) 2

ȕ) 4

Ȗ) 1

į) 3

5. Į) x=1, K(1,4), ȕ) ȥ = 4 , ȩIJĮȞ x=1, Ȗ) (-1,0), (3,0), (0,3) ȆȡȠIJİȚȞȩȝİȞİȢ ĮıțȒıİȚȢ - ȆȡȠȕȜȒȝĮIJĮ 1.

Į) ȀȐȞȠȣȝİ IJȠȞ ʌȓȞĮțĮ IJȚȝȫȞ DzȤİȚ țȠȡȣijȒ IJȠ Ȁ(-1,-4) x ȥ

-3 0

-2 -3

0

2.

256

-1 -4

0 -3

1 0

ȕ) ȀȐȞȠȣȝİ IJȠȞ ʌȓȞĮțĮ IJȚȝȫȞ DzȤİȚ țȠȡȣijȒ IJȠ Ȁ(1,8) x ȥ

-1 0

0 6

1 8

2 6

3 0

0

β −1 2 α) Έπειδή α=3>0 η συνάρτηση έχει ελάχιστη τιμή για x=- ==2 2α 6 ∆ 12 =-1 την ψ==12 4α


β −8 β) Έπειδή α= -4<0 η συνάρτηση έχει μέγιστη τιμή για x===-1 2 α −8 80 ∆ =5 την ψ==4α −1 6

ȀİijȐȜĮȚȠ 4

Ȗ) DzȤİȚ ȝȑȖȚıIJȘ IJȚȝȒ ȖȚĮ x = 6 IJȘȞ ȥ = 7 3.

ȀȐȞȠȣȝİ IJȠȞ ʌȓȞĮțĮ IJȚȝȫȞ x -4 -2 0 1 ȥ 6 0 0 3

2 8

0 ǹȞ țȐȞȠȣȝİ IJȘȞ İȣșİȓĮ ȥ = 3 IJȘȞ IJȑȝȞİȚ ıIJĮ ıȘȝİȓĮ ȝİ x = 1 țĮȚ x = -3 4.

H țȠȡȣijȒ İȓȞĮȚ IJȠ ıȘȝİȓȠ Ȁ(1,1). ȀȐȞȠȣȝİ IJȠȞ ʌȓȞĮțĮ IJȚȝȫȞ 3 1 H țȠȡȣijȒ İȓȞĮȚ IJȠ ıȘȝİȓȠ Κ(- ,) 2 4 ȅ ʌȓȞĮțĮȢ IJȚȝȫȞ İȓȞĮȚ x ȥ

-1 5

0 2

1 1

2 2

3 5

0

257


ȀȐȞȠȣȝİ IJȘ ȖȡĮijȚțȒ ʌĮȡȐıIJĮıȘ IJȘȢ ʌĮȡĮȕȠȜȒȢ ȥ = x2 + 2 țĮȚ IJȘȢ İȣșİȓĮȢ ȥ = 2x.

ȀİijȐȜĮȚȠ 4

0

5.

Į) īȚĮ x = 1, ȥ = 6 ȑȤȠȣȝİ: 6 = 12 + 3 · 1 + Ȝ Ȓ Ȝ = 2 ȕ) īȚĮ Ȝ = 2 ȑȤȠȣȝİ: ȥ = x2 + 3x + 2 x ȥ

-2 0

0 2

1 6

2 12

3 20

0

6.

258

Για τον άξονα x′x : θέτω ψ=0 και έχουμε : x2-6x+5=0 άρα x= 1 ή x=5 , οπότε τέμνει τον x′x στα Α(1,0) , Β(5,0) . Για τον άξονα ψ′ψ : θέτω x=0 και έχουμε : ψ=5 , οπότε τέμνει τον ψ′ψ στο 1 Γ(0,5). Οπότε Ε= (ΑΒ)·(ΓΟ) όπου (ΓΟ) είναι το ύψος . Είναι (ΑΒ)=4 2 1 και (ΓΟ)=5 , οπότε Ε= 4·5=10 τετραγων. μονάδες . 2


7.

β οπότε 2α β 2 − 4 ·1· γ β ∆ 4=ή -7=ή ή β=-8 . Η ελάχιστη τιμή είναι ψ=2 ·1 4α 4 ·1 -28 = -[(-8)2-4γ] ή -28= -64+4γ ή 4γ=36 ή γ= 9

Επειδή α=1 >0 η συνάρτηση παίρνει ελάχιστη τιμή για x=-

ȀİijȐȜĮȚȠ 4

8. α) Έστω η παραβολή είναι : ψ=αx2+βx+γ με α≠ 0 . Περνάει από το (0,0) άρα β 0=α·02+β·0+γ ή γ=0 (1) . Έχει μέγιστο για x=20 άρα 20 =ή β=-40α 2α Δ ή Δ=-40α ή β2-4α·0=-40α ή (-40α)2=-40α ή το ψ=10 άρα 10=4α 1 1 1600α2+40α=0 ή 40α(40α+1) =0 ή 40α+1=0 άρα α=ή β=-40() 40 40 1 ή β= 1 Οπότε ψ=- x2+x με 0 ≤ x ≤ 40 . 40 1 302+30 = -22,5+30 =7,5 40 Η συνάρτηση είναι συμμετρική ως προς την x= 20, άρα στο σημείο με τετμημένη x=10 η μπάλα απέχει από το έδαφος 7,5 μέτρα

β) Για x=30, ψ= -

259


īǼȃǿȀǼȈ ǹȈȀǾȈǼǿȈ 4Ƞȣ ȀǼĭǹȁǹǿȅȊ

ȀİijȐȜĮȚȠ 4

1.

9ψ2=4x4 ή 9ψ2-4x4=0 ή (3ψ)2-(2x2)=0 ή (3ψ-2x2)(3ψ+2x2)=0 ή 2 2 3ψ-2x2=0 ή 3ψ+2x2=0 ή ψ= x 2 ή ψ= - x 2 3 3 Άρα έχουμε δύο παραβολές συμμετρικές ως προς τον x′x i)

0

ii)

2.

Πρέπει : 2α-1=-(1-4α2) ή 2α-1=-1+4α2 ή 4α2-2α=0 ή 2α(2α-1)=0 άρα 1 α=0 ή α= απορρίπτεται 2

3.

ȁȪȞȦ IJȘȞ İȟȓıȦıȘ –x2 = 2x -3 Ȓ x2 + 2x - 3 = 0 ȐȡĮ x = 1 Ȓ x = -3. īȚĮ x = 1 ȥ = -1, ȖȚĮ x = -3 ȥ = -9, ȐȡĮ IJĮ ıȘȝİȓĮ IJȠȝȒȢ İȓȞĮȚ ǹ(1,-1), Ǻ( -3, -9). TĮ ıȘȝİȓĮ IJȠȝȒȢ IJĮ ȕȡȓıțȠȣȝİ țĮȚ Įʌȩ IJȘ ȖȡĮijȚțȒ ʌĮȡȐıIJĮıȘ.

0

4 Έστω η παραβολή είναι : ψ=αx2+βx+γ α≠0. Περνάει από το Γ(0,5) άρα 5=γ (1 ). β Δ ή β=-4α (2) και -3= Έχει κορυφή το σημείο Κ(2,-3) οπότε : 2=2α 4α ή 12α= Δ ή 12α= β2-4αγ ή 12α= (-4α)2-4α·5 ή 12α=16α2-20α ή 16α2-32α=0

260

ή 16α(α-2)=0 ή α=0 απορρ. ή α=2 , β=-8 Άρα η παραβολή είναι: ψ=2x2-8x+5


5.

DzıIJȦ ȠȚ ʌȜİȣȡȑȢ İȓȞĮȚ: x, z IJȩIJİ x + z = 10 Ȓ z = 10 - x.

ȀİijȐȜĮȚȠ 4

1 1 1 x·z= x(10-x)=- x2+5x , με 0<x<10 2 2 2 β γ) Το εμβαδόν ψ είναι παραβολή με α<0 άρα έχουμε μέγιστο για x=2 α 5 ή x=- =5 , άρα z=10-5 ή z=5 δηλ είναι ισοσκελές −1

α) Οπότε το εμβαδόν είναι : ψ=

6.

DzıIJȦ țĮIJȐ x ȝȑIJȡĮ șĮ ĮȣȟȒıİȚ IJȠ ʌȜȐIJȠȢ țĮȚ țĮIJȐ x ȝȑIJȡĮ șĮ ȝİȚȫıİȚ IJȠ ȝȒțȠȢ IJȩIJİ: ȉȠ ȝȒțȠȢ șĮ ȖȓȞİȚ 6-x țĮȚ IJȠ ʌȜȐIJȠȢ 3 + x, ȠʌȩIJİ IJȠ İȝȕĮįȩȞ İȓȞĮȚ: E = (6 -x)(3 + x) Ȓ Ǽ = 18 + 6x - 3x - x2 Ȓ Ǽ = -x2 + 3x + 18. β 3 3 = ǼʌİȚįȒ Į = -1 < 0 ȑȤȠȣȝİ ȝȑȖȚıIJȠ ȖȚĮ x=- =2α −2 2

7.

Έστω ΑΜ=x , τότε ΜΒ=10-x . Tότε τα εμβαδά θα είναι: x2, (10-x)2. Tό άθροισμα των εμβαδών είναι : x2 + (10-x)2 = x2+100-20x+x2 = 2x2-20x+100. H παράσταση ψ = 2x2-20x+100 είναι παραβολή με α=2>0 − 20 β άρα έχουμε ελάχιστο για x=- =- − = 5. Άρα θα βρίσκεται στο μέσον. 4 2α IJȠȣ ǹǺ

8. Η τροχιά της μπάλας είναι παραβολή. Έστω ψ=αx2+βx+γ , α≠0 , η παραβολή . α) Περνάει από τα σημεία : (0,6) , (6,0) άρα 6=α·0+β·0+γ ή γ=6 (1) και 0=α·62+β·6+6 ή 36α+6β+6=0 ή 6α+β+1=0 (2) . Έχει μέγιστο για x=2 άρα β 1 1 2=ή β=-4α οπότε 6α-4α+1=0 ή 2α=-1 ή α=- , 6·(- )+β+1=0 ή 2α 2 2 1 -3+β+1=0 ή β=2 . Οπότε η παραβολή είναι : ψ= - x+2x+6 , με 0≤x≤6. 2 β) Η παραβολή είναι συμμετρική ως προς την x=2, άρα θα βρίσκεται σε ύψος 6 όταν x = 4 και θα απέχει από το σημείο ρίψης απόσταση 4 μέτρων.

9.

α) Έστω ψ=αx2+βx+γ

α≠0 είναι η παραβολή . Τα σημεία είναι Α(-8,0) Β(8,0) β και Γ(0,6) . Οπότε : 6=0+0+γ ή γ=6 (1) . Έχει μέγιστο για x=0 , άρα 0=2 α 3 ή β=0 . Ακόμη 0=α·(-8)2+β·(-8)+γ ή 0=64α+0+6 ή 64α= -6 ή α=- . 32 3 Οπότε : ψ=- x2+6, με -8 ≤ x ≤ 8 . 32 3 β) Θα βρούμε το ψ (ύψος) όταν x=1,6 . Έτσι ψ=- 1,62+6 ή ψ=-0,24+6 32 ή ψ=5,76 . Άρα το μέγιστο ύψος είναι 5,76 μέτρα.

261


ȀİijȐȜĮȚȠ 5Ƞ


5.1

ȀİijȐȜĮȚȠ 5

ȈȪȞȠȜĮ ȈȪȞȠȜȠ Ȝȑȝİ ȝȚĮ ıȣȜȜȠȖȒ Įʌȩ ĮȞIJȚțİȓȝİȞĮ IJĮ ȠʌȠȓĮ įȚĮțȡȓȞȠȞIJĮȚ ȝİIJĮȟȪ IJȠȣȢ ȝİ ĮʌȩȜȣIJȘ ıĮijȒȞİȚĮ. KȐșİ ĮȞIJȚțİȓȝİȞȠ ʌȠȣ ʌİȡȚȑȤİIJĮȚ ı’ ȑȞĮ ıȪȞȠȜȠ ȠȞȠȝȐȗİIJĮȚ ıIJȠȚȤİȓȠ IJȠȣ ıȣȞȩȜȠȣ. ȀȐșİ ıȪȞȠȜȠ ıȣȝȕȠȜȓȗİIJĮȚ ȝİ ȑȞĮ țİijĮȜĮȓȠ ȖȡȐȝȝĮ IJȘȢ ĮȜijĮȕȒIJȠȣ ǹ, Ǻ, ī, ... țĮȚ ʌĮȡȚıIJȐȞİIJĮȚ ȝİ IJȠȣȢ İȟȒȢ IJȡȩʌȠȣȢ: Į) Ȃİ ĮȞĮȖȡĮijȒ IJȦȞ ıIJȠȚȤİȓȦȞ IJȠȣ. īȡȐijȠȣȝİ ȝȓĮ ȝȩȞȠ ijȠȡȐ țĮșȑȞĮ Įʌȩ IJĮ ıIJȠȚȤİȓĮ IJȠȣ țĮȚ ȝİ ȠʌȠȚĮįȒʌȠIJİ ıİȚȡȐ IJĮ IJȠʌȠșİIJȠȪȝİ ĮȞȐȝİıĮ ıİ įȪȠ ȐȖțȚıIJȡĮ. Ȇ.Ȥ. IJȠ ıȪȞȠȜȠ IJȦȞ ȖȡĮȝȝȐIJȦȞ IJȘȢ ȜȑȟȘȢ İȚȡȒȞȘ İȓȞĮȚ ǹ = {İ ,Ț, ȡ, Ș,Ȟ}, IJȠ ıȪȞȠȜȠ IJȦȞ ȥȘijȓȦȞ IJȠȣ ĮȡȚșȝȠȪ 2007 İȓȞĮȚ Ǻ = {2, 0, 7} ț.IJ.Ȝ. ȂİȡȚțȑȢ ijȠȡȑȢ ȤȡȘıȚȝȠʌȠȚȠȪȝİ ʌĮȡȩȝȠȚȠ ıȣȝȕȠȜȚıȝȩ ȖȚĮ ȞĮ ʌĮȡĮıIJȒıȠȣȝİ țĮȚ ȑȞĮ ıȪȞȠȜȠ ʌȠȣ ȑȤİȚ ʌȠȜȜȐ Ȓ ȐʌİȚȡĮ ıIJȠȚȤİȓĮ. ȈIJȘȞ ʌİȡȓʌIJȦıȘ ĮȣIJȒ ȖȡȐijȠȣȝİ ȝİȡȚțȐ ıIJȠȚȤİȓĮ IJȠȣ țĮȚ ȖȚĮ IJĮ ȣʌȩȜȠȚʌĮ, ʌȠȣ șĮ ʌȡȑʌİȚ ȞĮ İȞȞȠȠȪȞIJĮȚ ȝİ ıĮijȒȞİȚĮ, ȤȡȘıȚȝȠʌȠȚȠȪȝİ ĮʌȠıȚȦʌȘIJȚțȐ. Ȇ.Ȥ IJȠ ıȪȞȠȜȠ IJȦȞ șİIJȚțȫȞ ĮțİȡĮȓȦȞ ĮȡȚșȝȫȞ İȓȞĮȚ ǽ+ = {+1, +2, +3,…}. ȉȠ ıȪȝȕȠȜȠ  ıȘȝĮȓȞİȚ ĮȞȒțİȚ, İȞȫ IJȠ ıȪȝȕȠȜȠ  ıȘȝĮȓȞİȚ įİȞ ĮȞȒțİȚ. DzIJıȚ +1 ǽ+ İȞȫ -2  ǽ+ . ȕ) Ȃİ ʌİȡȚȖȡĮijȒ IJȦȞ ıIJȠȚȤİȓȦȞ IJȠȣ. īȡȐijȠȣȝİ IJȘȞ ȚįȚȩIJȘIJĮ ʌȠȣ ȑȤȠȣȞ IJĮ ıIJȠȚȤİȓĮ IJȠȣ ıȣȞȩȜȠȣ. ȉȠ ıȪȞȠȜȠ ǹ = { 1,3,5,7,…} ʌȠȣ ȑȤİȚ ȦȢ ıIJȠȚȤİȓĮ,IJȠȣȢ ʌİȡȚIJIJȠȪȢ ijȣıȚțȠȪȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ, ȝʌȠȡȠȪȝİ ȞĮ IJȠȣȢ ʌĮȡĮıIJȒıȠȣȝİ țĮȚ ȦȢ İȟȒȢ: A = {ʌİȡȚIJIJȠȓ ijȣıȚțȠȓ ĮȡȚșȝȠȓ}, Ȓ ǹ = {xN, ȩʌȠȣ x ʌİȡȚIJIJȩȢ ĮȡȚșȝȩȢ} Ȗ) Ȃİ įȚȐȖȡĮȝȝĮ Venn DzȞĮ ıȪȞȠȜȠ ȝʌȠȡȠȪȝİ ȞĮ IJȠ ʌĮȡĮıIJȒıȠȣȝİ İʌȠʌIJȚțȐ țĮȚ ȝİ IJȠ İıȦIJİȡȚțȩ ȝȚȐȢ țȜİȚıIJȒȢ ȖȡĮȝȝȒȢ. Ȇ.Ȥ. ȉȠ ıȪȞȠȜȠ IJȦȞ ʌİȡȚIJIJȫȞ ĮȡȚșȝȫȞ ʌȠȣ İȓȞĮȚ ȝȚțȡȩIJİȡȠȚ IJȠȣ 8 ijĮȓȞİIJĮȚ ıIJȠ ʌĮȡĮțȐIJȦ įȚȐȖȡĮȝȝĮ, IJȠ ȠʌȠȓȠ ȠȞȠȝȐȗȠȣȝİ įȚȐȖȡĮȝȝĮ Venn. ǹ

.1 .3

.5

.7

ǴıĮ ıȪȞȠȜĮ ǻȪȠ ıȪȞȠȜĮ İȓȞĮȚ ȓıĮ, ȩIJĮȞ ȑȤȠȣȞ IJĮ ȓįȚĮ ĮțȡȚȕȫȢ ıIJȠȚȤİȓĮ. ǹȞ IJĮ ıȪȞȠȜĮ ǹ, Ǻ İȓȞĮȚ ȓıĮ IJȩIJİ ȖȡȐijȠȣȝİ ǹ = Ǻ

265


ȀİijȐȜĮȚȠ 5

ȊʌȠıȪȞȠȜȠ ıȣȞȩȜȠȣ ǹȞ ǹ țĮȚ Ǻ İȓȞĮȚ įȪȠ ıȪȞȠȜĮ. ȉȠ ıȪȞȠȜȠ ǹ ȜȑȖİIJĮȚ ȣʌȠıȪȞȠȜȠ IJȠȣ ıȣȞȩȜȠȣ Ǻ,ȩIJĮȞ țȐșİ ıIJȠȚȤİȓȠ IJȠȣ ǹ İȓȞĮȚ țĮȚ ıIJȠȚȤİȓȠ IJȠȣ Ǻ. ǵIJĮȞ IJȠ ǹ İȓȞĮȚ ȣʌȠıȪȞȠȜȠ IJȠȣ Ǻ IJȩIJİ ȖȡȐijȠȣȝİ ǹ I Ǻ . DzıIJȦ ǹ = {0, 1, 3, 5, 7} Ǻ = {0, 1, 3, 5, 7, 8 ,9}, IJȩIJİ ȝİ IJȠ įȚȐȖȡĮȝȝĮ IJȠȣ Venn ȑȤȠȣȝİ: B

A

.0 .1 .3 .5 .7

.8 .9

DZȝİıİȢ ıȣȞȑʌİȚİȢ IJȠȣ ʌȡȠȘȖȠȪȝİȞȠȣ ȠȡȚıȝȠȪ İȓȞĮȚ țĮȚ ȠȚ ʌȡȠIJȐıİȚȢ: i) īȚĮ țȐșİ ıȪȞȠȜȠ ǹ ȚıȤȪİȚ ǹI ǹ ii) AȞ ǹIǺ țĮȚ ǺIī, IJȩIJİ ǹIī iii) AȞ ǹIǺ țĮȚ ǺIǹ IJȩIJİ ǹ = Ǻ ȀİȞȩ ıȪȞȠȜȠ ȀİȞȩ ıȪȞȠȜȠ ȠȞȠȝȐȗİIJĮȚ IJȠ ıȪȞȠȜȠ ʌȠȣ įİȞ ʌİȡȚȑȤİȚ țĮȞȑȞĮ ıIJȠȚȤİȓȠ țĮȚ ıȣȝȕȠȜȓȗİIJĮȚ ȝİ L Ȓ {}. ȉȠ țİȞȩ ıȪȞȠȜȠ İȓȞĮȚ ȣʌȠıȪȞȠȜȠ ȠʌȠȚȠȣįȒʌȠIJİ ıȣȞȩȜȠȣ, įȘȜ L I ǹ ȆȡȐȟİȚȢ ȝİ ıȪȞȠȜĮ •

DzȞȦıȘ: ĬİȦȡȠȪȝİ įȪȠ ıȪȞȠȜĮ ǹ, Ǻ. DzȞȦıȘ IJȦȞ ǹ țĮȚ Ǻ țĮȚ ıȣȝȕȠȜȓȗȠȣȝİ ȝİ ǹ F Ǻ, Ȝȑȝİ IJȠ ıȪȞȠȜȠ IJȠ ȠʌȠȓȠ ȑȤİȚ ȦȢ ıIJȠȚȤİȓĮ IJĮ țȠȚȞȐ țĮȚ ȝȘ țȠȚȞȐ ıIJȠȚȤİȓĮ IJȦȞ ıȣȞȩȜȦȞ ǹ țĮȚ Ǻ. ǻȘȜĮįȒ: ǹ F Ǻ = {x  ȍ / x  A Ȓ x  Ǻ}

DzIJıȚ ĮȞ ǹ = {1, 2, 3, 6, 7}, Ǻ = {0, 1, 3, 5, 7} IJȩIJİ ǹ F Ǻ = {0, 1, 2, 3, 5, 6, 7} •

ȉȠȝȒ: ĬİȦȡȠȪȝİ įȪȠ ıȪȞȠȜĮ ǹ, Ǻ. ȉȠȝȒ IJȦȞ ıȣȞȩȜȦȞ ǹ țĮȚ Ǻ țĮȚ ıȣȝȕȠȜȓȗȠȣȝİ ȝİ ǹ  Ǻ, Ȝȑȝİ IJȠ ıȪȞȠȜȠ IJȦȞ ıIJȠȚȤİȓȦȞ ʌȠȣ ĮȞȒțȠȣȞ ıȣȖȤȡȩȞȦȢ ıIJȠ ǹ țĮȚ ıIJȠ Ǻ. ǻȘȜĮįȒ: ǹ  Ǻ = {xȍ/xA țĮȚ xǺ} DzIJıȚ ĮȞ ǹ = {0, 1, 2, 4, 5}, Ǻ = {0, 1, 2, 4, 6} IJȩIJİ ǹ  Ǻ = {0, 1, 2, 4}

266


ȈȣȝʌȜȒȡȦȝĮ ıȣȞȩȜȠȣ.DzıIJȦ ȍ İȓȞĮȚ IJȠ ȕĮıȚțȩ ıȪȞȠȜȠ țĮȚ ǹ ȑȞĮ ȣʌȠıȪȞȠȜȠ IJȠȣ ȍ. ȉȩIJİ ȝʌȠȡȠȪȝİ ȞĮ ıȤȘȝĮIJȓıȠȣȝİ ȑȞĮ ȞȑȠ ıȪȞȠȜȠ ʌȠȣ ȑȤİȚ ȦȢ ıIJȠȚȤİȓĮ ȩȜĮ IJĮ ıIJȠȚȤİȓĮ IJȠȣ ȍ ʌȠȣ įİȞ ĮȞȒțȠȣȞ ıIJȠ ǹ. ȉȠ ȞȑȠ ĮȣIJȩ ıȪȞȠȜȠ ȠȞȠȝȐȗİIJĮȚ ıȣȝʌȜȒȡȦȝĮ IJȠȣ ǹ ȦȢ ʌȡȠȢ IJȠ ȍ țĮȚ ıȣȝȕȠȜȓȗİIJĮȚ ȝİ ǹƍ. DzIJıȚ ĮȞ ȦȢ ȕĮıȚțȩ ıȪȞȠȜȠ șİȦȡȒıȠȣȝİ IJȠ ıȪȞȠȜȠ ȍ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} țĮȚ ǹ = {1, 2, 3, 5, 6, 7} IJȩIJİ: Aƍ = {4, 8}

ȀİijȐȜĮȚȠ 5

ȈIJȚȢ ʌȡȐȟİȚȢ IJȦȞ ıȣȞȩȜȦȞ ȚıȤȪȠȣȞ ȠȚ ȚįȚȩIJȘIJİȢ: Į) ǹI ǹFǺ, ǺI ǹFǺ ȕ) ǹǺIǹ, ǹǺI Ǻ Ȗ) ǹFǺ = ǺFǹ , ǹǺ = Ǻǹ į) ǹFǹ= ǹ, ǹFȍ = ȍ, ǹFAƍ =ȍ, ǹ Aƍ = L İ) L´ = ȍ, ȍƍ = L ıIJ) ǹȞ ǹIǺ, IJȩIJİ ȚıȤȪİȚ ǹFǺ =Ǻ, ǹǺ = ǹ.

ȁȊȂǼȃǼȈ ǹȈȀǾȈǼǿȈ 1.

ȃĮ ʌĮȡĮıIJĮșȠȪȞ ȝİ ĮȞĮȖȡĮijȒ IJȦȞ ıIJȠȚȤİȓȦȞ IJȠȣȢ IJĮ ıȪȞȠȜĮ. ǹ = { ț  ȃ, ȩʌȠȣ ț ʌȠȜȜĮʌȜȐıȚȠ IJȠȣ 3 ȝȚțȡȩIJİȡȠ IJȠȣ 30} Ǻ= {x  ȃ, ȩʌȠȣ x İȓȞĮȚ ȜȪıȘ IJȘȢ İȟȓıȦıȘȢ x3 = 4x} ȁȪıȘ ǹ = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27} ȁȪȞȠȣȝİ IJȘȞ İȟȓıȦıȘ x3 = 4x Ȓ x3 - 4x = 0 Ȓ x(x2 - 4) = 0 ȐȡĮ x = 0 Ȓ x2 = 4 įȘȜ. x = 0 Ȓ x = ± 2. EʌİȚįȒ Ƞ x İȓȞĮȚ ijȣıȚțȩȢ ȐȡĮ Ǻ = {0, 2}

2.

ǹȞ ȍ = {-3, -2, -1, 0, +1, +2, +3}, ǹ = {-3, 0, +3}, Ǻ = {-2, + 1, +3}, ȞĮ ȕȡİȓIJİ IJĮ ıȪȞȠȜĮ: Į) ǹFǺ, ȕ) ǹǺ, Ȗ) (ǹFǺ )ƍ į) ǹƍ FǺ ȁȪıȘ Į) ǹFǺ ={-3,0,+1,+3}, ȕ) ǹǺ ={3} Ȗ) (ǹFǺ )ƍ = {-1, +2} į) ǹƍ={-2,-1,+1,+2} ȐȡĮ ǹƍ FǺ ={-2,-1,+1,+2,+3}

267


ǼȡȦIJȒıİȚȢ țĮIJĮȞȩȘıȘȢ

ȀİijȐȜĮȚȠ 5

A.

ȃĮ ȤĮȡĮțIJȘȡȓıİIJİ IJȚȢ İʌȩȝİȞİȢ ʌȡȠIJȐıİȚȢ ȝİ ıȦıIJȩ (Ȉ) Ȓ ȜȐșȠȢ (ȁ) 1.

ȉȠ ıȪȞȠȜȠ {L} İȓȞĮȚ IJȠ țİȞȩ.

2.

ǿıȤȪİȚ {0, 1, 2} = {1, 0, 2}

3.

ǿıȤȪİȚ 5={5}

4.

ǿıȤȪİȚ {1, 2, 3}I{1, 2, 4, 6}

5.

ǹȞ x  ǹFǺ IJȩIJİ x  A

6.

ǹȞ x  ǹǺ IJȩIJİ x  A

7.

ǿıȤȪİȚ ǹƍIǹ

8.

ǿıȤȪİȚ ǹǺ I Ǻ

9.

ǿıȤȪİȚ ǹFǺ I Ǻ

10. ǹȞ ǹIǺ, IJȩIJİ ȚıȤȪİȚ ǹFǺ = ǹ Ǻ.

268

ǼȡȦIJȒıİȚȢ ʌȠȜȜĮʌȜȒȢ İʌȚȜȠȖȒȢ 1.

ǹȞ ǹ, Ǻ įȪȠ ıȪȞȠȜĮ ȝȘ țİȞȐ ȝİ ǹIǺ IJȩIJİ: Į. ǹǺ = ǹ, ȕ. ǹFǺ = ǹ, Ȗ. ǹǺ = Ǻ, į. ǹǺ= L

2.

ǹȞ ǹ = {x  ȃ*, ȩʌȠȣ x ȐȡIJȚȠȢ ȝȚțȡȩIJİȡȠȢ IJȠȣ 10} țĮȚ Ǻ = {0, 3, 8, 10} IJȩIJİ IJȠ ıȪȞȠȜȠ ǹǺ İȓȞĮȚ ȓıȠ ȝİ: Į.{8}, ȕ. {0,8,10} Ȗ. 8, į. {0,8,10}

3.

ǹȞ ǹ = {1, 2, 3, 4}, Ǻ = {1, 3, 2} ī = {1, 2, 3, 5} IJȩIJİ İȓȞĮȚ: Į. ǺIǹ, ȕ. ǹIǺ Ȗ. īIǹ į. ǹIǺ

4.

ǹȞ ǹ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} Ǻ = {1, 2, 3, 6, 8, 0} IJȩIJİ İȓȞĮȚ: Į. ǹ = Ǻ, ȕ. ǺIǹ, Ȗ. ǹIǺ, į. IJȓʌȠIJĮ Įʌȩ IJĮ ʌĮȡĮʌȐȞȦ


ǹȈȀǾȈǼǿȈ īǿǹ ȁȊȈǾ 1

ǹȞ ǹ = {x  Z ,ȩʌȠȣ -1 x1} țĮȚ Ǻ ={ x  Z,ȩʌȠȣ x ȜȪıȘ IJȘȢ İȟȓıȦıȘȢ x2 = 1} Į) ȃĮ ȖȡȐȥİIJİ ȝİ ĮȞĮȖȡĮijȒ IJĮ ıȪȞȠȜĮ ǹ țĮȚ Ǻ. ȕ) ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJĮ ıȪȞȠȜĮ ǹFǺ, ǹǺ

2

ǻȓȞİIJĮȚ IJȠ ıȪȞȠȜȠ ȍ = {-4, -2, 0, +1, +2, +3} țĮȚ IJĮ ıȪȞȠȜĮ ǹ ={0,+2,+3}, Ǻ = {0, +1} ȃĮ ȕȡİȓIJİ: 1) Į) Aƍ, Bƍ ȕ) ǹFǺ, ǹǺ Ȗ) (ǹǺ)ƍ 2) ȃĮ ʌĮȡĮıIJȒıİIJİ IJĮ ıȪȞȠȜĮ IJȠȣ Į) İȡȦIJȒȝĮIJȠȢ ȝİ IJȠ įȚȐȖȡĮȝȝĮ IJȠȣ Venn

3

ȃĮ ȕȡİșȠȪȞ ȠȚ įȣȞĮIJȑȢ IJȚȝȑȢ IJȠȣ Ȝ  R, ȫıIJİ ȞĮ ȠȡȓȗİIJĮȚ IJȠ ıȪȞȠȜȠ ǹ ıIJȚȢ ʌĮȡĮțȐIJȦ ʌİȡȚʌIJȫıİȚȢ: A = {1, Ȝ, 3}, A = {0, Ȝ, 3} A = {1, 2Ȝ + 1, Ȝ}

4

DzȞĮ ıȪȞȠȜȠ ǹ ȑȤİȚ 8 ıIJȠȚȤİȓĮ IJȠ ıȪȞȠȜȠ Ǻ ȑȤİȚ 5 ıIJȠȚȤİȓĮ țĮȚ IJȠ ıȪȞȠȜȠ AǺ ȑȤİȚ 5 ıIJȠȚȤİȓĮ. ȆȩıĮ ıIJȠȚȤİȓĮ ȑȤİȚ IJȠ ıȪȞȠȜȠ ǹFǺ

5

ǻȓȞȠȞIJĮȚ IJĮ ıȪȞȠȜĮ ǹ = {1, 3, Ȟ} țĮȚ Ǻ ={1, 2, Ȝ}. ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȚȢ IJȚȝȑȢ IJȦȞ Ȟ, Ȝ ȫıIJİ ǹ = Ǻ.

6

ǹȞ ȍ = {-1, 01, +2, +3} İȓȞĮȚ IJȠ ıȪȞȠȜȠ ĮȞĮijȠȡȐȢ Į) NĮ ȕȡİșİȓ IJȠ ıȪȞȠȜȠ ǹ IJȦȞ ȜȪıİȦȞ IJȘȢ İȟȓıȦıȘȢ (x -1)(x2 - 1) = 0, (ȩʌȠȣ ǹ İȓȞĮȚ ȣʌȠıȪȞȠȜȠ IJȠȣ ȍ) ȕ) ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȠ ıȪȞȠȜȠ Ǻ IJȦȞ ʌİȡȚIJIJȫȞ șİIJȚțȫȞ ĮțİȡĮȓȦȞ (ȣʌȠıȪȞȠȜȠ IJȠȣ ȍ) Ȗ) ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJĮ ıȪȞȠȜĮ ǹƍ, Ǻƍ, (ǹFǺ)ƍ

7

DzıIJȦ ȍ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} İȓȞĮȚ IJȠ ıȪȞȠȜȠ ĮȞĮijȠȡȐȢ țĮȚ Ș İȟȓıȦıȘ x2 - 2x + Ȝ = 0 Ș ȠʌȠȓĮ įİȞ ȑȤİȚ ȡȓȗİȢ ıIJȠ R. ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȠ ıȪȞȠȜȠ Įʌȩ IJȠ ȠʌȠȓȠ ʌĮȓȡȞİȚ IJȚȝȑȢ IJȠ Ȝ.

8

ȈIJȠ ʌĮȡĮțȐIJȦ ıȤȒȝĮ ȑȤȠȣȝİ IJȠ įȚȐȖȡĮȝȝĮ IJȠȣ Venn ȖȚĮ IJĮ ıȪȞȠȜĮ ǹ țĮȚ Ǻ ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJĮ ıȪȞȠȜĮ: Į) ǹFǺ, ǹǺ Ǻ ȕ) ǹƍ, (ǹFǺ)ƍ, (ǹǺ)ƍ

ȀİijȐȜĮȚȠ 5

ȍ ǹ 21 4 6

3

269


ȀİijȐȜĮȚȠ 5

5.2

ǻİȚȖȝĮIJȚțȩȢ ȤȫȡȠȢ - ǼȞįİȤȩȝİȞĮ ȆİȓȡĮȝĮ IJȪȤȘȢ Ȝȑȝİ țȐșİ ʌİȓȡĮȝĮ IJȠ ȠʌȠȓȠ įİȞ ȝʌȠȡȠȪȝİ ȞĮ ʌȡȠȕȜȑȥȠȣȝİ IJȠ ĮʌȠIJȑȜİıȝȐ IJȠȣ ȩıİȢ ijȠȡȑȢ țĮȚ ȞĮ IJȠ İʌĮȞĮȜȐȕȠȣȝİ, ȟȑȡȠȣȝİ ȩȝȦȢ ȩȜĮ IJĮ įȣȞĮIJȐ ĮʌȠIJİȜȑıȝĮIJĮ IJȠȣ ʌİȚȡȐȝĮIJȠȢ. Ȉİ ȑȞĮ ʌİȓȡĮȝĮ IJȪȤȘȢ IJȠ ıȪȞȠȜȠ ȩȜȦȞ IJȦȞ įȣȞĮIJȫȞ ĮʌȠIJİȜİıȝȐIJȦȞ ȜȑȖİIJĮȚ įİȚȖȝĮIJȚțȩȢ ȤȫȡȠȢ țĮȚ ıȣȝȕȠȜȓȗİIJĮȚ ȝİ ȍ. ǼȞįİȤȩȝİȞȠ Ȝȑȝİ țȐșİ ȣʌȠıȪȞȠȜȠ IJȠȣ įİȚȖȝĮIJȚțȠȪ ȤȫȡȠȣ ȍ. ǹʌȜȩ Ȓ ıIJȠȚȤİȚȫįİȢ İȞįİȤȩȝİȞȠ ȠȞȠȝȐȗİIJĮȚ IJȠ İȞįİȤȩȝİȞȠ ʌȠȣ ȑȤİȚ ȝȩȞȠ ȑȞĮ ıIJȠȚȤİȓȠ IJȠȣ įİȚȖȝĮIJȚțȠȪ ȤȫȡȠȣ. ȈȪȞșİIJȠ İȞįİȤȩȝİȞȠ ȠȞȠȝȐȗİIJĮȚ ĮȣIJȩ ʌȠȣ ʌİȡȚȑȤİȚ ʌİȡȚııȩIJİȡĮ Įʌȩ ȑȞĮ ıIJȠȚȤİȓĮ IJȠȣ įİȚȖȝĮIJȚțȠȪ ȤȫȡȠȣ. ǺȑȕĮȚȠ İȞįİȤȩȝİȞȠ ȠȞȠȝȐȗİIJĮȚ Ƞ įİȚȖȝĮIJȚțȩȢ ȤȫȡȠȢ ȍ, ȖȚĮIJȓ ʌȡĮȖȝĮIJȠʌȠȚİȓIJĮȚ ıİ țȐșİ İțIJȑȜİıȘ IJȠȣ ʌİȚȡȐȝĮIJȠȢ. ǹįȪȞĮIJȠ İȞįİȤȩȝİȞȠ İȓȞĮȚ ĮȣIJȩ ʌȠȣ įİȞ ʌȡĮȖȝĮIJȠʌȠȚİȓIJĮȚ ıİ țĮȝȓĮ İțIJȑȜİıȘ IJȠȣ ʌİȚȡȐȝĮIJȠȢ țĮȚ İȓȞĮȚ IJȠ țİȞȩ ıȪȞȠȜȠ. ȆȡĮȖȝĮIJȠʌȠȚİȓIJĮȚ Ȓ ıȣȝȕĮȓȞİȚ ȑȞĮ İȞįİȤȩȝİȞȠ ȩIJĮȞ, IJȠ ĮʌȠIJȑȜİıȝĮ IJȠȣ ʌİȚȡȐȝĮIJȠȢ İȓȞĮȚ ȑȞĮ Įʌȩ IJĮ ıIJȠȚȤİȓĮ IJȠȣ İȞįİȤȠȝȑȞȠȣ. ǻȪȠ İȞįİȤȩȝİȞĮ ǹ, Ǻ İȞȩȢ įİȚȖȝĮIJȚțȠȪ ȤȫȡȠȣ ȍ ȠȞȠȝȐȗȠȞIJĮȚ ĮıȣȝȕȓȕĮıIJĮ ȩIJĮȞ ǹǺ = L ȉȠ įİȚȖȝĮIJȚțȩ ȤȫȡȠ ȍ İȞȩȢ ʌİȚȡȐȝĮIJȠȢ IJȪȤȘȢ ȝʌȠȡȠȪȝİ ȞĮ IJȠȞ ȕȡȠȪȝİ: Į) ǵIJĮȞ IJȠ ʌİȓȡĮȝĮ ĮʌȠIJİȜİȓIJĮȚ Įʌȩ įȪȠ IJȠȣȜȐȤȚıIJȠȞ İțIJİȜȑıİȚȢ (ijȐıİȚȢ), IJȩIJİ Ƞ įİȚȖȝĮIJȚțȩȢ ȤȫȡȠȢ ʌȡȠıįȚȠȡȓȗİIJĮȚ İȣțȠȜȩIJİȡĮ ȝİ IJȘȞ ȕȠȒșİȚĮ IJȠȣ įİȞIJȡȠįȚĮȖȡȐȝȝĮIJȠȢ. ȕ) ǵIJĮȞ IJȠ ʌİȓȡĮȝĮ ĮʌȠIJİȜİȓIJĮȚ Įʌȩ įȪȠ İțIJİȜȑıİȚȢ (ijȐıİȚȢ) țĮȚ ıİ țȐșİ ijȐıȘ ȑȤȠȣȝİ ʌȠȜȜȐ ĮʌȠIJİȜȑıȝĮIJĮ, IJȩIJİ ȤȡȘıȚȝȠʌȠȚȠȪȝİ IJȠȞ ʌȓȞĮțĮ įȚʌȜȒȢ İȚıȩįȠȣ. ȁȊȂǼȃǼȈ ǹȈȀǾȈǼǿȈ

1

ȇȓȤȞȠȣȝİ ȑȞĮ ȞȩȝȚıȝĮ ijȠȡȑȢ. Į) ȃĮ ȕȡȠȪȝİ IJȠȞ įİȚȖȝĮIJȚțȩ ȤȫȡȠ ȍ ȕ) ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJĮ İȞįİȤȩȝİȞĮ. ǹ: H ʌȡȫIJȘ ȡȓȥȘ İȓȞĮȚ ȖȡȐȝȝĮIJĮ, Ǻ: DzȤȠȣȝİ IJȠ ȓįȚȠ ĮʌȠIJȑȜİıȝĮ ıIJȚȢ įȪȠ ȡȓȥİȚȢ. ȁȪıȘ

ΑΡΧH

270

1η ρίψη 2η ρίψη Κ Κ Γ Κ Γ Γ


ǹʌȩ IJȠ ʌĮȡĮʌȐȞȦ įİȞIJȡȠįȚȐȖȡĮȝȝĮ ȑȤȠȣȝİ ȍ ={ȀȀ, Ȁī, īȀ, īī} ǹ = { īȀ , īī} Ǻ = { ȀȀ,īī} 2

ȀİijȐȜĮȚȠ 5

ȇȓȤȞȠȣȝİ ȑȞĮ ȗȐȡȚ įȪȠ ijȠȡȑȢ. Į) ȃĮ ȖȡȐȥİIJİ IJȠȞ įİȚȖȝĮIJȚțȩ ȤȫȡȠ ȍ. ȕ) ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJĮ İȞįİȤȩȝİȞĮ. ǹ: ȉȠ ȐșȡȠȚıȝĮ IJȦȞ İȞįİȓȟİȦȞ ȞĮ İȓȞĮȚ ȝİȖĮȜȪIJİȡȠ IJȠȣ 9 Ǻ: ȉȠ ȖȚȞȩȝİȞȠ IJȦȞ İȞįİȓȟİȦȞ ȞĮ İȓȞĮȚ ȝİȖĮȜȪIJİȡȠ IJȠȣ 15. ȁȪıȘ Į) ȀĮIJĮıțİȣȐȗȠȣȝİ IJȠȞ ʌȓȞĮțĮ įȚʌȜȒȢ İȚıȩįȠȣ: 2Ș ȡȓȥȘ

1

2

3

4

5

6

1Ș ȡȓȥȘ 1

(1,1)

(1,2)

(1,3)

(1,4)

(1,5)

(1,6)

2

(2,1)

(2,2)

(2,3)

(2,4)

(2,5)

(2,6)

3

(3,1)

(3,2)

(3,3)

(3,4)

( 3,5)

(3,6)

4

(4,1)

(4,2)

(4,3)

(4,4)

(4,5)

(4,6)

5

(5,1)

(5,2)

(5,3)

(5,4)

(5,5)

(5,6)

6

(6,1)

(6,2)

(6,3)

(6,4)

(6,5)

(6,6)

ȅ įİȚȖȝĮIJȚțȩȢ ȤȫȡȠȢ ȍ ĮʌȠIJİȜİȓIJĮȚ Įʌȩ ȩȜĮ IJĮ įȚĮIJİIJĮȖȝȑȞĮ ȗİȪȖȘ IJȠȣ ʌĮȡĮʌȐȞȦ ʌȓȞĮțĮ įȘȜ ȍ = {(1,1) , (1,2), (1,3) …(6,5), (6,6} ȕ) ǹ = { (4,6), (5,5), (5,6) ,(6,4),(6,5),(6,6)} Ǻ ={ (3,6), (4,4), (4,5), (4,6), (5,4), (5,5), (5,6), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)} ǼȡȦIJȒıİȚȢ țĮIJĮȞȩȘıȘȢ ǼȡȦIJȒıİȚȢ IJȠȣ IJȪʌȠȣ ıȦıIJȩ (Ȉ) Ȓ ȜȐșȠȢ (ȁ)

ǹ. 1.

ȇȓȤȞȠȣȝİ ȑȞĮ ȗȐȡȚ IJȩIJİ Ƞ įİȚȖȝĮIJȚțȩȢ ȤȫȡȠȢ İȓȞĮȚ ȍ = {1, 3, 2, 4, 6, 5}

2.

ȉĮ İȞįİȤȩȝİȞĮ ǹ = {1, 3, 6} țĮȚ Ǻ = {2, 6} İȓȞĮȚ ĮıȣȝȕȓȕĮıIJĮ.

3.

ȉȠ ĮʌȠIJȑȜİıȝĮ țȐșİ ʌİȚȡȐȝĮIJȠȢ IJȪȤȘȢ ĮȞȒțİȚ ıIJȠȞ įİȚȖȝĮIJȚțȩ ȤȫȡȠ IJȠȣ ʌİȚȡȐȝĮIJȠȢ IJȪȤȘȢ.

271


ȀİijȐȜĮȚȠ 5

4.

ǹȞ ǹ, Ǻ İȓȞĮȚ įȪȠ İȞįİȤȩȝİȞĮ IJȠȣ įİȚȖȝĮIJȚțȠȪ ȤȫȡȠȣ ȍ IJȩIJİ ǹFǺ = ȍ.

5.

ȇȓȤȞȠȣȝİ ȑȞĮ ȗȐȡȚ țĮȚ ȝİIJȐ ȑȞĮ ȞȩȝȚıȝĮ. ȅ įİȚȖȝĮIJȚțȩȢ ȤȫȡȠȢ ȑȤİȚ 12 ıIJȠȚȤİȓĮ.

6.

ȀȐșİ ıIJȠȚȤİȓȠ IJȠȣ İȞįİȤȠȝȑȞȠȣ ǹ İȓȞĮȚ țĮȚ ıIJȠȚȤİȓȠ IJȠȣ ȍ.

7.

ȅ ȓįȚȠȢ Ƞ įİȚȖȝĮIJȚțȩȢ ȤȫȡȠȢ İȞȩȢ ʌİȚȡȐȝĮIJȠȢ IJȪȤȘȢ İȓȞĮȚ țĮȚ ĮȣIJȩȢ İȞįİȤȩȝİȞȠ.

8.

ȉȠ țİȞȩ ıȪȞȠȜȠ İȓȞĮȚ ȣʌȠıȪȞȠȜȠ IJȠȣ įİȚȖȝĮIJȚțȠȪ ȤȫȡȠȣ ȍ.

Ǻ.

ǼȡȦIJȒıİȚȢ ʌȠȜȜĮʌȜȒȢ İʌȚȜȠȖȒȢ 1.

ȇȓȤȞȠȣȝİ ȑȞĮ ȞȩȝȚıȝĮ įȪȠ ijȠȡȑȢ. ȅ įİȚȖȝĮIJȚțȩȢ ȤȫȡȠȢ ȍ IJȠȣ ʌİȚȡȐȝĮIJȠȢ ĮȣIJȠȪ İȓȞĮȚ: Į. ȍ = {ȀȀ, Ȁī, īȀ, īī}, ȕ. ȍ = {Ȁī, īȀ}, Ȗ. ȍ ={īȀ, Ȁī}, į. ȍ ={ȀȀ, īī}

2.

DzıIJȦ ǹ = {1, 3, 4} țĮȚ Ǻ = {2, 5, 6} įȪȠ İȞįİȤȩȝİȞĮ IJȘȢ ȡȓȥȘȢ İȞȩȢ ȗĮȡȚȠȪ ȝȓĮ ijȠȡȐ.ǹȞ IJȠ ĮʌȠIJȑȜİıȝĮ IJȘȢ ȡȓȥȘȢ İȓȞĮȚ Ƞ ĮȡȚșȝȩȢ 6 IJȩIJİ ʌȡĮȖȝĮIJȠʌȠȚİȓIJĮȚ IJȠ İȞįİȤȩȝİȞȠ: Į. ǹǺ, ȕ. ǹFǺ, Ȗ. ǹƍ į. Ǻ.

3.

ǼȜȑȖȤȠȣȝİ ıIJȘ ȝȠȞȐįĮ ʌĮȡĮȖȦȖȒȢ İȞȩȢ İȡȖȠıIJĮıȓȠȣ ȝȑȤȡȚ ȞĮ ȕȡȠȪȝİ ȑȞĮ İȜĮIJIJȦȝĮIJȚțȩ ʌȡȠȚȠȞ Ȓ įȪȠ țĮȜȐ. ȅ įİȚȖȝĮIJȚțȩȢ ȤȫȡȠȢ IJȠȣ ʌİȚȡȐȝĮIJȠȢ İȓȞĮȚ: Į. ȍ = {Ǽ, Ȁ}, ȕ. ȍ ={Ȁ, ǼȀ, ȀȀ}, Ȗ. ȍ ={Ȁ, ǼǼ}, į. ȍ ={ȀȀ, ȀǼ}

ǹȈȀǾȈǼǿȈ īǿǹ ȁȊȈǾ 1

272

ȇȓȤȞȠȣȝİ įȚĮįȠȤȚțȐ ȑȞĮ ȞȩȝȚıȝĮ țĮȚ ȑȞĮ ȗȐȡȚ. Į) ȃĮ ȖȡȐȥİIJİ IJȠ įİȚȖȝĮIJȚțȩ ȤȫȡȠ IJȠȣ ʌİȚȡȐȝĮIJȠȢ. ȕ) ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJĮ İȞįİȤȩȝİȞĮ ǹ: KȠȡȫȞĮ țĮȚ ĮȡȚșȝȩȢ IJȠȣȜȐȤȚıIJȠȞ 3 Ǻ: īȡȐȝȝĮIJĮ țĮȚ ĮȡȚșȝȩȢ IJȠ ʌȠȜȪ 4 . Ȗ) ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJĮ İȞįİȤȩȝİȞĮ: ǹƍ, Ǻƍ, (ǹFǺ )ƍ į) ȃĮ įİȓȟİIJİ ȩIJȚ IJĮ ǹ, Ǻ İȓȞĮȚ ĮıȣȝȕȓȕĮıIJĮ.


2

DzıIJȦ ȑȞĮȢ ȝĮșȘIJȒȢ IJȘȢ īƍ īȣȝȞĮıȓȠȣ țĮȚ IJĮ İȞįİȤȩȝİȞĮ: ǹ: O ȝĮșȘIJȒȢ İȓȞĮȚ ȐȡȚıIJȠȢ ıIJȘ ȤȘȝİȓĮ. Ǻ: O ȝĮșȘIJȒȢ İȓȞĮȚ ȐȡȚıIJȠȢ ıIJȘȞ ȚıIJȠȡȓĮ. ȃĮ ȖȡȐȥİIJİ ȝİ ȜȩȖȚĮ țĮșȑȞĮ Įʌȩ IJĮ ʌĮȡĮțȐIJȦ İȞįİȤȩȝİȞĮ: Į) ǹƍ, ȕ) Ǻƍ, Ȗ) ǹFǺ, į) ǹǺ İ) ǹǺƍ ıIJ) (ǹFǺ)ƍ

3

ȇȓȤȞȠȣȝİ ȑȞĮ ȗȐȡȚ įȪȠ ijȠȡȑȢ. Į) ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȠ įİȚȖȝĮIJȚțȩ ȤȫȡȠ IJȠȣ ʌİȚȡȐȝĮIJȠȢ. ȕ) ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJĮ İȞįİȤȩȝİȞĮ: ǹ: Ǿ ȑȞįİȚȟȘ IJȘȢ 1ȘȢ ȡȓȥȘȢ ȞĮ İȓȞĮȚ ȝİȖĮȜȪIJİȡȘ IJȠȣ 5. Ǻ: Ǿ ȑȞįİȚȟȘ IJȘȢ 2ȘȢ ȡȓȥȘȢ ȞĮ İȓȞĮȚ ȝȚțȡȩIJİȡȘ IJȠȣ 2. Ȗ) ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJĮ ıȪȞȠȜĮ: ǹFǺ, ǹǺ .

4

ȇȓȤȞȠȣȝİ ȑȞĮ ȞȩȝȚıȝĮ IJȡİȓȢ ijȠȡȑȢ. Į) ȃĮ ȖȡȐȥİIJİ IJȠ įİȚȖȝĮIJȚțȩ ȤȫȡȠ IJȠȣ ʌİȚȡȐȝĮIJȠȢ. ȕ) ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJĮ İȞįİȤȩȝİȞĮ: ǹ: NĮ ijȑȡȠȣȝİ IJȠ ʌȠȜȪ įȪȠ ijȠȡȑȢ ȖȡȐȝȝĮIJĮ . Ǻ: ȃĮ ijȑȡȠȣȝİ IJȠȣȜȐȤȚıIJȠȞ ȝȓĮ ijȠȡȐ ȖȡȐȝȝĮIJĮ . ī: ȃĮ ijȑȡȠȣȝİ IJȘȞ ȓįȚĮ ȑȞįİȚȟȘ .

5

ȅ įİȚȖȝĮIJȚțȩȢ ȤȫȡȠȢ ȍ İȞȩȢ ʌİȚȡȐȝĮIJȠȢ IJȪȤȘȢ İȓȞĮȚ: ȍ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} ǹȞ ǹ, Ǻ İȓȞĮȚ įȪȠ İȞįİȤȩȝİȞĮ IJȠȣ ȍ ȝİ ǹ = {ȐȡIJȚȠȢ ȝȚțȡȩIJİȡȠȢ IJȠȣ 8} țĮȚ Ǻ ={ʌȠȜȜĮʌȜȐıȚȠ IJȠȣ 3}.

ȀİijȐȜĮȚȠ 5

ȃĮ ʌȡȠıįȚȠȡȓıİIJİ IJĮ İȞįİȤȩȝİȞĮ Į) DzȞĮ IJȠȣȜȐȤȚıIJȠ Įʌȩ IJĮ ǹ, Ǻ ʌȡĮȖȝĮIJȠʌȠȚİȓIJĮȚ. ȕ) ȆȡĮȖȝĮIJȠʌȠȚȠȪȞIJĮȚ IJĮȣIJȩȤȡȠȞĮ IJȠ ǹ țĮȚ IJȠ Ǻ. Ȗ) ǻİȞ ʌȡĮȖȝĮIJȠʌȠȚİȓIJĮȚ țĮȞȑȞĮ Įʌȩ IJĮ ǹ , Ǻ. 6

DzȞĮȢ ȑȝʌȠȡȠȢ Įʌȩ IJȘȞ ȀȠȝȠIJȘȞȒ ĮʌȠijĮıȓȗİȚ ȞĮ IJĮȟȚįȑȥİȚ ıIJȘȞ ǹșȒȞĮ țĮȚ Įʌȩ İțİȓ ıIJȘȞ ȀȡȒIJȘ. ȈIJȘȞ ǹșȒȞĮ ȝʌȠȡİȓ ȞĮ ʌȐİȚ ȝİ IJȠ ĮȣIJȠțȓȞȘIJȩ IJȠȣ ȝİ ȜİȦijȠȡİȓȠ Ȓ ȝİ IJȡȑȞȠ. ǹʌȩ IJȘȞ ǹșȒȞĮ ȖȚĮ IJȘȞ ȀȡȒIJȘ ȝʌȠȡİȓ ȞĮ ʌȐİȚ ȝİ ĮİȡȠʌȜȐȞȠ Ȓ ȝİ ʌȜȠȓȠ. ȃĮ ȕȡİȓIJİ: Į) ȉȠ įİȚȖȝĮIJȚțȩ ȤȫȡȠ ȍ. ȕ) ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJĮ İȞįİȤȩȝİȞĮ: A: ȃĮ IJĮȟȚįȑȥİȚ ȤȦȡȓȢ IJȠ ĮȣIJȠțȓȞȘIJȩ IJȠȣ. Ǻ: NĮ IJĮȟȚįȑȥİȚ ȝİ IJȡȑȞȠ.

273


ȀİijȐȜĮȚȠ 5

5.3 Ǿ ȑȞȞȠȚĮ IJȘȢ ʌȚșĮȞȩIJȘIJĮȢ DzıIJȦ ȍ ȑȞĮȢ įİȚȖȝĮIJȚțȩȢ ȤȫȡȠȢ İȞȩȢ ʌİȚȡȐȝĮIJȠȢ IJȪȤȘȢ. ǹȞ țȐșİ ıIJȠȚȤİȓȠ IJȠȣ ȍ įİȞ ȑȤİȚ țĮȞȑȞĮ ʌȜİȠȞȑțIJȘȝĮ ȑȞĮȞIJȚ IJȦȞ ȐȜȜȦȞ, IJȩIJİ ȩȜĮ IJĮ ıIJȠȚȤİȓĮ ȑȤȠȣȞ IJȘȞ ȓįȚĮ įȣȞĮIJȩIJȘIJĮ İʌȚȜȠȖȒȢ țĮȚ Ȝȑȝİ ȩIJȚ IJĮ įȣȞĮIJȐ ĮʌȠIJİȜȑıȝĮIJĮ İȓȞĮȚ ȚıȠʌȓșĮȞĮ. DzIJıȚ ĮȞ Ș İʌȚȜȠȖȒ ȖȓȞİIJĮȚ ıIJȘȞ IJȪȤȘ, IJȩIJİ ȩȜĮ IJĮ įȣȞĮIJȐ ĮʌȠIJİȜȑıȝĮIJĮ İȓȞĮȚ ȚıȠʌȓșĮȞĮ. ǹȞ ȑȞĮ İȞįİȤȩȝİȞȠ ǹ ȑȤİȚ Ȟ ıIJȠȚȤİȓĮ IJȩIJİ ȖȡȐijȠȣȝİ: ȃ(ǹ) = Ȟ. DzıIJȦ ȑȤȠȣȝİ ȑȞĮ ʌİȓȡĮȝĮ IJȪȤȘȢ țĮȚ ȍ İȓȞĮȚ Ƞ įİȚȖȝĮIJȚțȩȢ ȤȫȡȠȢ. ǹȞ IJĮ ĮʌȠIJİȜȑıȝĮIJĮ İȓȞĮȚ ȚıȠʌȓșĮȞĮ, IJȩIJİ Ȝȑȝİ ʌȚșĮȞȩIJȘIJĮ IJȠȣ İȞįİȤȠȝȑȞȠȣ ǹ țĮȚ ıȣȝȕȠȜȓȗȠȣȝİ ȝİ ȇ(ǹ) IJȠȞ ĮȡȚșȝȩ:

ǹʌȩ IJȠȞ ʌȡȠȘȖȠȪȝİȞȠ ȠȡȚıȝȩ ʌȡȠțȪʌIJİȚ ȩIJȚ:

īȚĮ țȐșİ İȞįİȤȩȝİȞȠ ǹ İȞȩȢ İȞįİȤȠȝȑȞȠȣ ǹ ȚıȤȪİȚ: 0 ” ȇ (ǹ) ” 1. ȆĮȡĮIJȒȡȘıȘ: AȞ ȇ(ǹ) = 0, įİȞ ȝʌȠȡȠȪȝİ ȞĮ ȕȖȐȜȠȣȝİ ıȣȝʌȑȡĮıȝĮ ȩIJȚ ǹ= L

ǺǹȈǿȀȅǿ ȀǹȃȅȃǼȈ ȁȅīǿȈȂȅȊ ȉȍȃ ȆǿĬǹȃȅȉǾȉȍȃ

274

1.

īȚĮ įȪȠ ıȣȝʌȜȘȡȦȝĮIJȚțȐ İȞįİȤȩȝİȞĮ ǹ, ǹƍ IJȠȣ ȍ ȚıȤȪİȚ: ȇ(ǹ) + ȇ(ǹƍ) = 1

2.

īȚĮ įȪȠ ȠʌȠȚĮįȒʌȠIJİ İȞįİȤȩȝİȞĮ ǹ, Ǻ IJȠȣ ȍ ȚıȤȪİȚ: ȇ(ǹFǺ ) + ȇ(ǹ  Ǻ) = ȇ(ǹ) + ȇ(Ǻ) ǹȞ IJĮ İȞįİȤȩȝİȞĮ ǹ, Ǻ İȓȞĮȚ ĮıȣȝȕȓȕĮıIJĮ IJȩIJİ: ȇ(ǹFǺ ) = ȇ(ǹ) + ȇ(Ǻ).


ȁȊȂǼȃǼȈ ǹȈȀǾȈǼǿȈ 1

ȀİijȐȜĮȚȠ 5

ȇȓȤȞȠȣȝİ ȑȞĮ ȗȐȡȚ. ǹȞ ȍ İȓȞĮȚ Ƞ įİȚȖȝĮIJȚțȩȢ ȤȫȡȠȢ țĮȚ ǹ, Ǻ İȓȞĮȚ įȪȠ İȞįİȤȩȝİȞĮ ȝİ ǹ: ĮȡȚșȝȩȢ ȝİȖĮȜȪIJİȡȠȢ IJȠȣ 2. Ǻ: ĮȡȚșȝȩȢ ʌİȡȚIJIJȩȢ. Į) ȃĮ ȖȡȐȥİIJİ IJĮ ıȪȞȠȜĮ ǹ țĮȚ Ǻ ȝİ ĮȞĮȖȡĮijȒ. ȕ) ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȚȢ ʌĮȡĮțȐIJȦ ʌȚșĮȞȩIJȘIJİȢ: ȇ(ǹ), ȇ(Ǻƍ), ǹFǺ, ȁȪıȘ Į) ȅ įİȚȖȝĮIJȚțȩȢ ȤȫȡȠȢ ȍ İȓȞĮȚ ȍ = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, ǹ = {3, 4, 5, 6}, Ǻ = {1, 3, 5} β

2

ȈIJȠ ıȪȜȜȠȖȠ țĮșȘȖȘIJȫȞ İȞȩȢ īȣȝȞĮıȓȠȣ IJȠ 55% İȓȞĮȚ ȖȣȞĮȓțİȢ, IJȠ 40% IJȦȞ țĮșȘȖȘIJȫȞ İȓȞĮȚ ijȚȜȩȜȠȖȠȚ țĮȚ IJȠ 30% İȓȞĮȚ ȖȣȞĮȓțİȢ ijȚȜȩȜȠȖȠȚ. ǻȚĮȜȑȖȠȣȝİ IJȣȤĮȓĮ ȑȞĮȞ țĮșȘȖȘIJȒ. ȃĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİIJİ IJȚȢ ʌȚșĮȞȩIJȘIJİȢ Ƞ țĮșȘȖȘIJȒȢ ȞĮ İȓȞĮȚ: Į. īȣȞĮȓțĮ Ȓ ijȚȜȩȜȠȖȠȢ ȕ. īȣȞĮȓțĮ țĮȚ ȩȤȚ ijȚȜȩȜȠȖȠȢ Ȗ. DZȞįȡĮȢ țĮȚ ijȚȜȩȜȠȖȠȢ į. DZȞįȡĮȢ Ȓ ijȚȜȩȜȠȖȠȢ ȁȪıȘ ĬİȦȡȠȪȝİ IJĮ İȞįİȤȩȝİȞĮ: ī: ȀĮșȘȖȘIJȒȢ ȖȣȞĮȓțĮ, ĭ: KĮșȘȖȘIJȒȢ ijȚȜȩȜȠȖȠȢ. ǹʌȠ IJȠȞ ʌĮȡĮțȐIJȦ ʌȓȞĮțĮ ȑȤȠȣȝİ:

ĭȚȜȩȜȠȖȠȢ ǵȤȚ ĭȚȜȩȜȠȖȠȢ

ǹȞįȡİȢ 10% 35%

īȣȞĮȓțİȢ 30% 25%

275


ȀİijȐȜĮȚȠ 5

3

ǹȞ ȖȚĮ IJȠ İȞįİȤȩȝİȞȠ ǹ IJȠȣ įİȚȖȝĮIJȚțȠȪ ȤȫȡȠȣ ȍ ȚıȤȪİȚ: (ȇ(ǹ))2 + (ȇ(ǹƍ))2 = 1, ȞĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ: ȇ(ǹ) = 0 Ȓ ȇ(ǹ) = 1 ȁȪıȘ ǹʌȩ IJȘȞ ȚıȩIJȘIJĮ ȇ(ǹ) + ȇ(ǹƍ) = 1 ȑȤȠȣȝİ ȩIJȚ: ȇ(ǹƍ) = 1-ȇ(ǹ). ȅʌȩIJİ ȑȤȠȣȝİ (ȇ(ǹ))2 + (ȇ(ǹƍ))2 = 1 Ȓ (ȇ(ǹ))2 + (1-ȇ(ǹ))2 = 1 Ȓ (ȇ(ǹ))2 + 1 - 2 ȇ(ǹ) + (ȇ(ǹ))2 = 1 Ȓ 2(ȇ(ǹ))2 - 2 ȇ(ǹ) = 0 Ȓ 2 ȇ(ǹ)(ȇ(ǹ) -1) = 0 Ȓ ȇ(ǹ) = 0 Ȓ ȇ(ǹ) = 1

4

ȁȪıȘ

ǼȡȦIJȒıİȚȢ țĮIJĮȞȩȘıȘȢ ǼȡȦIJȒıİȚȢ IJȠȣ IJȪʌȠȣ ıȦıIJȩ (Ȉ) Ȓ ȜȐșȠȢ (ȁ)

ǹ.

276

1.

ǹȞ ǹ İȓȞĮȚ ȑȞĮ İȞįİȤȩȝİȞȠ İȞȩȢ įİȚȖȝĮIJȚțȠȪ ȤȫȡȠȣ ȍ IJȩIJİ ȝʌȠȡİȓ ȞĮ ȚıȤȪİȚ ȇ(ǹ) = 2

2.

ǹȞ ǹ, Ǻ İȓȞĮȚ ĮıȣȝȕȓȕĮıIJĮ İȞįİȤȩȝİȞĮ İȞȩȢ įİȚȖȝĮIJȚțȠȪ ȤȫȡȠȣ ȍ, IJȩIJİ ȇ(ǹ  Ǻ) = L

3.

ǹȞ IJȠ İȞįİȤȩȝİȞȠ ǹ = {1, 2, 3, 4} IJȩIJİ ȃ{ǹ} = 4

4.

ȉȠ ıȣȝʌȜȒȡȦȝĮ ǹƍ İȞȩȢ İȞįİȤȠȝȑȞȠȣ ǹ İȞȩȢ ʌİȚȡȐȝĮIJȠȢ IJȪȤȘȢ İȓȞĮȚ İʌȓıȘȢ İȞįİȤȩȝİȞȠ ĮȣIJȠȪ IJȠȣ ʌİȚȡȐȝĮIJȠȢ.

5.

ȉȠ ȃ(ǹ) ıȣȝȕȠȜȓȗİȚ IJȘȞ ʌȚșĮȞȩIJȘIJĮ İȞȩȢ İȞįİȤȠȝȑȞȠȣ ǹ.


6.

ǹȞ ȍ İȓȞĮȚ Ƞ įİȚȖȝĮIJȚțȩȢ ȤȫȡȠȢ İȞȩȢ ʌİȚȡȐȝĮIJȠȢ IJȪȤȘȢ IJȩIJİ ȇ(ȍ) = 1.

7.

īȚĮ IJȠ ĮįȪȞĮIJȠ İȞįİȤȩȝİȞȠ İȞȩȢ ʌİȚȡȐȝĮIJȠȢ IJȪȤȘȢ ȚıȤȪİȚ : ȇ(L) = 0

8.

ȉȠ ĮʌȠIJȑȜİıȝĮ İȞȩȢ ʌİȚȡȐȝĮIJȠȢ IJȪȤȘȢ İȓȞĮȚ ıIJȠȚȤİȓȠ IJȠȣ įİȚȖȝĮIJȚțȠȪ ȤȫȡȠȣ IJȠȣ ʌİȚȡȐȝĮIJȠȢ.

9.

ǹȞ ǹ, Ǻ İȓȞĮȚ įȪȠ İȞįİȤȩȝİȞĮ IJȠȪ įİȚȖȝĮIJȚțȠȪ ȤȫȡȠȣ ȍ IJȩIJİ ȝʌȠȡİȓ ȞĮ ȚıȤȪİȚ: ȇ(ǹ) + ȇ(Ǻ) > 1

ȀİijȐȜĮȚȠ 5

10. AȞ ǹ, ǹƍ İȓȞĮȚ įȪȠ İȞįİȤȩȝİȞĮ İȞȩȢ įİȚȖȝĮIJȚțȠȪ ȤȫȡȠȣ ȍ IJȩIJİ: ȇ(ǹ) + ȇ(ǹƍ) = 1. 11. īȚĮ įȪȠ İȞįİȤȩȝİȞĮ ǹ, Ǻ ȚıȤȪİȚ: ȇ(ǹ F Ǻ) = ȇ(ǹ) + ȇ(Ǻ) - ȇ(ǹ  Ǻ) 12. IıȤȪİȚ ȇ(ȍ) = ȇ((L)ƍ)

Ǻ.

ǼȡȦIJȒıİȚȢ ʌȠȜȜĮʌȜȒȢ İʌȚȜȠȖȒȢ 1.

īȚĮ įȪȠ ıȣȝʌȜȘȡȦȝĮIJȚțȐ İȞįİȤȩȝİȞĮ ǹ țĮȚ ǹƍ ȚıȤȪİȚ: Į. ȇ(ǹ) + ȇ(ǹƍ) = 0, ȕ. ȇ(ǹ) + ȇ(ǹƍ) = 2, Ȗ. ȇ(ǹ) = ȇ(ǹƍ), į. ȀĮȞȑȞĮ Įʌȩ IJĮ ʌĮȡĮʌȐȞȦ

2.

ǹȞ ȖȚĮ įȪȠ İȞįİȤȩȝİȞĮ ǹ, Ǻ İȞȩȢ įİȚȖȝĮIJȚțȠȪ ȤȫȡȠȣ ȍ ȚıȤȪİȚ: N(ǹ  Ǻ) = 0 IJȩIJİ ȚıȤȪİȚ: Į. ȇ(ǹFǺ ) = ȇ(ǹ) + ȇ(Ǻ), ȕ. ȇ(ǹ) + ȇ(Ǻ) = 1, Ȗ. ȇ(ǹ) = ȇ(Ǻ), į. ȀĮȞȑȞĮ Įʌȩ IJĮ ʌĮȡĮʌȐȞȦ.

277


ǹȈȀǾȈǼǿȈ īǿǹ ȁȊȈǾ

ȀİijȐȜĮȚȠ 5

1

DzıIJȦ ȍ ={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} İȓȞĮȚ Ƞ įİȚȖȝĮIJȚțȩȢ ȤȫȡȠȢ İȞȩȢ ʌİȚȡȐȝĮIJȠȢ. ǹȞ ǹ ={3, 4, 8}, Ǻ = {1, 2, 4, 7, 8} Į) ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJĮ ıȪȞȠȜĮ: ǹƍ, Ǻƍ, ǹFǺ, ǹ  Ǻ ȕ) ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȚȢ ʌȚșĮȞȩIJȘIJİȢ IJȦȞ ıȣȞȩȜȦȞ IJȠȣ Į) İȡȦIJȒȝĮIJȠȢ .

2

3

Ȉİ ȝȓĮ IJȐȟȘ IJȘȢ Ǻƍ ȖȣȝȞĮıȓȠȣ ȣʌȐȡȤȠȣȞ 18 ĮȖȩȡȚĮ țĮȚ 12 țȠȡȓIJıȚĮ. ȉĮ ȝȚıȐ Įʌȩ IJĮ ĮȖȩȡȚĮ țĮȚ IJĮ Įʌȩ IJĮ țȠȡȓIJıȚĮ İȓȞĮȚ ȐȡȚıIJȠȚ ıIJĮ ȂĮșȘȝĮIJȚțȐ. ǻȚĮȜȑȖȠȣȝİ ȑȞĮ ȐIJȠȝȠ ıIJȘȞ IJȪȤȘ. ȆȠȚĮ İȓȞĮȚ Ș ʌȚșĮȞȩIJȘIJĮ: Į) ȃĮ İȓȞĮȚ ȐȡȚıIJȠ ıIJĮ ȂĮșȘȝĮIJȚțȐ . ȕ) ȃĮ İȓȞĮȚ ĮȖȩȡȚ Ȗ) ȃĮ İȓȞĮȚ țȠȡȓIJıȚ țĮȚ ȞĮ ȝȘȞ İȓȞĮȚ ȐȡȚıIJȠ ıIJĮ ȂĮșȘȝĮIJȚțȐ į) ȃĮ İȓȞĮȚ țȠȡȓIJıȚ Ȓ ȞĮ İȓȞĮȚ ȐȡȚıIJȠ ıIJĮ ȂĮșȘȝĮIJȚțȐ

3

Ȉİ ȑȞĮ īȣȝȞȐıȚȠ Ș ǹƍ IJȐȟȘ ȑȤİȚ 28 ȝĮșȘIJȑȢ, Ș Ǻƍ IJȐȟȘ ȑȤİȚ 35 ȝĮșȘIJȑȢ țĮȚ Ș īƍ IJȐȟȘ ȑȤİȚ 37 ȝĮșȘIJȑȢ. ǼțȜȑȖȠȣȝİ IJȣȤĮȓĮ ȑȞĮȞ ȝĮșȘIJȒ, ȞĮ ȕȡİȓIJİ IJȘȞ ʌȚșĮȞȩIJȘIJĮ. Į) ȅ ȝĮșȘIJȒȢ ȞĮ ȝȘȞ İȓȞĮȚ IJȘȢ ǹƍ IJȐȟȘȢ ȕ) ȅ ȝĮșȘIJȒȢ ȞĮ İȓȞĮȚ IJȘȢ ǹƍ Ȓ IJȘȢ īƍ IJȐȟȘȢ.

4

ǼıIJȦ ǹ, Ǻ İȓȞĮȚ įȪȠ İȞįİȤȩȝİȞĮ İȞȩȢ įİȚȖȝĮIJȚțȠȪ ȤȫȡȠȣ ȍ. ǹȞ ȠȚ ʌȚșĮȞȩIJȘIJİȢ ȇ(ǹ), ȇ(ǹ F Ǻ), ȇ(ǹ  Ǻ), İȓȞĮȚ ȡȓȗİȢ IJȘȢ İȟȓıȦıȘȢ: (3x -1)(5x -2)(6x -1) = 0 ȞĮ ȕȡİȓIJİ IJȚȢ ʌȚșĮȞȩIJȘIJİȢ: Į) ȇ(ǹ), ȇ(ǹ F Ǻ), ȇ(ǹ  Ǻ) ȕ) ȇ(Ǻ)

5

DzıIJȦ ǹ, Ǻ İȓȞĮȚ įȪȠ İȞįİȤȩȝİȞĮ İȞȩȢ įİȚȖȝĮIJȚțȠȪ ȤȫȡȠȣ ȍ ȖȚĮ IJĮ ȠʌȠȓĮ ȚıȤȪİȚ: Į) ȃĮ ʌȡĮȖȝĮIJȠʌȠȚİȓIJĮȚ IJȠ ǹ İȓȞĮȚ ȕ) ȃĮ ȝȘȞ ʌȡĮȖȝĮIJȠʌȠȚİȓIJĮȚ IJȠ Ǻ İȓȞĮȚ

.

Ȗ) ȃĮ ʌȡĮȖȝĮIJȠʌȠȚȠȪȞIJĮȚ ıȣȖȤȡȩȞȦȢ țĮȚ IJĮ įȪȠ İȓȞĮȚ ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȚȢ ʌȚșĮȞȩIJȘIJİȢ IJȦȞ İȞįİȤȠȝȑȞȦȞ: i) NĮ ʌȡĮȖȝĮIJȠʌȠȚİȓIJĮȚ ȑȞĮ IJȠȣȜȐȤȚıIJȠȞ Įʌȩ IJĮ ǹ, Ǻ. ii) KĮȞȑȞĮ Įʌȩ IJĮ ǹ țĮȚ Ǻ ȞĮ ȝȘȞ ʌȡĮȖȝĮIJȠʌȠȚİȓIJĮȚ.

278

.


6 6

ȊȥȫȞȠȣȝİ ıIJȠ IJİIJȡȐȖȦȞȠ ȑȞĮȞ IJȣȤĮȓȠ ȝȠȞȠȥȒijȚȠ șİIJȚțȩ ĮțȑȡĮȚȠ ĮȡȚșȝȩ. ȆȠȚĮ İȓȞĮȚ Ș ʌȚșĮȞȩIJȘIJĮ Ƞ ĮȡȚșȝȩȢ ʌȠȣ ʌȡȠțȪʌIJİȚ ȞĮ ȑȤİȚ IJİȜİȣIJĮȓȠ ȥȘijȓȠ: Į) IJȠ 1, ȕ) IJȠ 4, Ȗ) IJȠ 1 Ȓ IJȠ 4, į) IJȠ 5 İ) IJȠ 2.

7

ǻȓȞİIJĮȚ Ƞ įİȚȖȝĮIJȚțȩȢ ȤȫȡȠȢ ȍ = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. ǹȞ ǹ İȓȞĮȚ ȑȞĮ İȞįİȤȩȝİȞȠ IJȠȣ ȍ IJȠ ȠʌȠȓȠ ʌȠȣ ȑȤİȚ ȦȢ ıIJȠȚȤİȓĮ IJȚȢ ȜȪıİȚȢ IJȚȢ İȟȓıȦıȘȢ: x3 - 5x2 + 6x = 0. NĮ ȕȡİȓIJİ IJȘȞ ʌȚșĮȞȩIJȘIJĮ IJȠȣ ǹ .

8

Ǿ ǹƍ IJȐȟȘ İȞȩȢ īȣȝȞĮıȓȠȣ ȑȤİȚ 40 ȝĮșȘIJȑȢ. ǹʌȩ ĮȣIJȠȪȢ ȠȚ 20 ʌĮȓȗȠȣȞ ʌȠįȩıijĮȚȡȠ, ȠȚ 14 ʌĮȓȗȠȣȞ ȝʌȐıțİIJ țĮȚ ȠȚ 8 țĮȚ IJĮ įȪȠ. ǹȞ İʌȚȜȑȟȠȣȝİ IJȣȤĮȓĮ ȑȞĮȞ Įʌȩ IJȠȣȢ ʌĮȡĮʌȐȞȦ ȝĮșȘIJȑȢ, ȞĮ ȕȡİȓIJİ IJȘȞ ʌȚșĮȞȩIJȘIJĮ Ƞ ȝĮșȘIJȒȢ: Į. NĮ ȝȘȞ ʌĮȓȗİȚ ȠȪIJİ ʌȠįȩıijĮȚȡȠ ȠȪIJİ ȝʌȐıțİIJ . ȕ. ȃĮ ʌĮȓȗİȚ ȑȞĮ IJȠȣȜȐȤȚıIJȠȞ Įʌȩ IJĮ įȪȠ IJĮ ĮșȜȒȝĮIJĮ Ȗ. ȃĮ ȝȘȞ ĮıȤȠȜİȓIJĮȚ IJĮȣIJȩȤȡȠȞĮ țĮȚ ȝİ IJĮ įȪȠ IJĮ ĮșȜȒȝĮIJĮ

ȀİijȐȜĮȚȠ 5

9

Į) ȃĮ ʌȡĮȖȝĮIJȠʌȠȚİȓIJĮȚ IJȠ ǹ. ȕ) ȃĮ ʌȡĮȖȝĮIJȠʌȠȚİȓIJĮȚ IJȠ Ǻ. Ȗ) DzȞĮ IJȠȣȜȐȤȚıIJȠȞ Įʌȩ IJĮ ǹ, Ǻ ʌȡĮȖȝĮIJȠʌȠȚİȓIJĮȚ. 10

ȉȠ ıȪȞȠȜȠ ǹ ={300, 800, 700, 1000} ʌİȡȚȑȤİȚ ıĮȞ ıIJȠȚȤİȓĮ ȝȑIJȡĮ ȖȦȞȚȫȞ. ȆĮȓȡȞȠȣȝİ ıIJȘȞ IJȪȤȘ IJȡȓĮ ıIJȠȚȤİȓĮ IJȠȣ ǹ. ȃĮ ȕȡİİȓIJİ IJȘȞ ʌȚșĮȞȩIJȘIJĮ ȞĮ ĮʌȠIJİȜȠȪȞ ȖȦȞȓİȢ IJȡȚȖȫȞȠȣ .

279


īİȞȚțȑȢ ĮıțȒıİȚȢ 5Ƞȣ ȀİijĮȜĮȓȠȣ

ȀİijȐȜĮȚȠ 5

1

īȚĮ IJȠ İȞįİȤȩȝİȞȠ ǹ İȞȩȢ įİȚȖȝĮIJȚțȠȪ ȤȫȡȠȣ ȍ ȚıȤȪİȚ: 3 [ȇ(ǹƍ)2 + 6ȇ(ǹƍ) + ȇ(ǹ) -3 = 0. ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȘȞ ȇ(ǹ).

2

DzȞĮ țȠȣIJȓ ʌİȡȚȑȤİȚ ʌȡȐıȚȞİȢ, țȓIJȡȚȞİȢ țĮȚ ȝĮȪȡİȢ ȝʌȐȜİȢ. ǹȞ ʌȐȡȠȣȝİ IJȣȤĮȓĮ ȝȓĮ ȝʌȐȜĮ, IJȩIJİ Ș ʌȚșĮȞȩIJȘIJĮ ȞĮ İȓȞĮȚ ʌȡȐıȚȞȘ İȓȞĮȚ ʌȚșĮȞȩIJȘIJĮ ȞĮ İȓȞĮȚ țȓIJȡȚȞȘ İȓȞĮȚ ȝʌȐȜİȢ ȞĮ ȕȡİȓIJİ:

, İȞȫ Ș

. ǹȞ IJȠ țȠȣIJȓ ʌİȡȚȑȤİȚ 4 ȝĮȪȡİȢ

Į) ȆȩıİȢ ȝʌȐȜİȢ ȑȤİȚ IJȠ țȠȣIJȓ. ȕ) ȆȩıİȢ İȓȞĮȚ ȠȚ ʌȡȐıȚȞİȢ țĮȚ ʌȩıİȢ ȠȚ țȓIJȡȚȞİȢ. 3

ǹʌȩ 120 ȝĮșȘIJȑȢ İȞȩȢ īȣȝȞĮıȓȠȣ, 24 ıȣȝȝİIJȑȤȠȣȞ ıIJȠȞ įȚĮȖȦȞȚıȝȩ IJȘȢ ǼȜȜȘȞȚțȒȢ ȂĮșȘȝĮIJȚțȒȢ ǼIJĮȚȡİȓĮȢ, 20 ıȣȝȝİIJȑȤȠȣȞ ıIJȠȞ įȚĮȖȦȞȚıȝȩ IJȘȢ DzȞȦıȘȢ ǼȜȜȒȞȦȞ ĭȣıȚțȫȞ țĮȚ 12 ıȣȝȝİIJȑȤȠȣȞ țĮȚ ıIJȠȣȢ įȪȠ įȚĮȖȦȞȚıȝȠȪȢ. ǼʌȚȜȑȖȠȣȝİ IJȣȤĮȓĮ ȑȞĮȞ ȝĮșȘIJȒ. ȆȠȚĮ İȓȞĮȚ Ș ʌȚșĮȞȩIJȘIJĮ Ƞ ȝĮșȘIJȒȢ: Į. ȃĮ ıȣȝȝİIJȑȤİȚ ıİ ȑȞĮȞ IJȠȣȜȐȤȚıIJȠȞ Įʌȩ IJȠȣȢ įȪȠ įȚĮȖȦȞȚıȝȠȪȢ. ȕ. ȃĮ ȝȘȞ ıİ țĮȞȑȞĮ įȚĮȖȦȞȚıȝȩ. Ȗ. ȃĮ ıȣȝȝİIJȑȤİȚ ıIJȠȞ įȚĮȖȦȞȚıȝȩ IJȘȢ DzȞȦıȘȢ ǼȜȜȒȞȦȞ ĭȣıȚțȫȞ.

4

ȇȓȤȞȠȣȝİ ȑȞĮ ȗȐȡȚ. ȃĮ ȕȡİȓIJİ: Į) ȉȠȞ įİȚȖȝĮIJȚțȩ ȤȫȡȠ ȍ ȕ) ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȘȞ ʌȚșĮȞȩIJȘIJĮ ȫıIJİ Ș İȟȓıȦıȘ: x2 -3x + Į = 0 ȞĮ ȑȤİȚ įȪȠ ȡȓȗİȢ ȐȞȚıİȢ, ȩʌȠȣ Į İȓȞĮȚ ıIJȠȚȤİȓȠ IJȠȣ ȍ.

5

ǹȞ ȚıȤȪİȚ ȇ(ǹ F Ǻ) + ȇ(ǹ  Ǻ) = 2, ȞĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ IJĮ ǹ, Ǻ İȓȞĮȚ ȕȑȕĮȚĮ İȞįİȤȩȝİȞĮ.

6

DzȞĮ țȠȣIJȓ ʌİȡȚȑȤİȚ 15 ȐıʌȡİȢ ȝʌȐȜİȢ, x țȩțțȚȞİȢ țĮȚ ȥ ʌȡȐıȚȞİȢ. ȆĮȓȡȞȠȣȝİ IJȣȤĮȓĮ ȝȚĮ ȝʌȐȜĮ. Ǿ ʌȚșĮȞȩIJȘIJĮ ȞĮ ʌȐȡȠȣȝİ țȩțțȚȞȘ İȓȞĮȚ țĮȚ Ș ʌȚșĮȞȩIJȘIJĮ ȞĮ ʌȐȡȠȣȝİ ʌȡȐıȚȞȘ İȓȞĮȚ ȑȤİȚ IJȠ țȠȣIJȓ .

7

280

. ȃĮ ȕȡİȓIJİ ʌȩıİȢ ȝʌȐȜİȢ

DzıIJȦ Ƞ įİȚȖȝĮIJȚțȩȢ ȤȫȡȠȢ ȍ = {1, 2, 4, 7, 8, 9, 10} țĮȚ IJĮ İȞįİȤȩȝİȞĮ ǹ = {2, 4, 7} țĮȚ Ǻ = {1}. Į) ȃĮ İȟİIJȐıİIJİ ĮȞ IJĮ ǹ , Ǻ İȓȞĮȚ ĮıȣȝȕȓȕĮıIJĮ .


1Ƞ ȀȡȚIJȒȡȚȠ ǹȟȚȠȜȩȖȘıȘȢ

ȀİijȐȜĮȚȠ 5

ĬȑȝĮ 1Ƞ ǹ.

Į) ȉȚ Ȝȑȝİ ʌİȓȡĮȝĮ IJȪȤȘȢ; ȕ) ȉȚ Ȝȑȝİ İȞįİȤȩȝİȞȠ țĮȚ ʌȠȚĮ İȞįİȤȩȝİȞĮ ȜȑȖȠȞIJĮȚ ĮıȣȝȕȓȕĮıIJĮ. Ȗ) ȆȠȚȠ İȞįİȤȩȝİȞȠ ȜȑȖİIJĮȚ ȕȑȕĮȚȠ.

Ǻ.

DzıIJȦ ǹ, Ǻ İȓȞĮȚ įȪȠ İȞįİȤȩȝİȞĮ IJȠȣ įİȚȖȝĮIJȚțȠȪ ȤȫȡȠȣ ȍ. ȃĮ İțijȡȐıİIJİ IJĮ ʌĮȡĮțȐIJȦ ıȪȞȠȜĮ ȝİ ȜȩȖȚĮ: ǹ F Ǻ, ǹ  Ǻ

ĬȑȝĮ 2Ƞ DzȞĮ țȠȣIJȓ ʌİȡȚȑȤİȚ 5 ȐıʌȡİȢ, 10 țȩțțȚȞİȢ, 15 ȝĮȪȡİȢ ȝʌȐȜİȢ. ȆĮȓȡȞȠȣȝİ ıIJȘȞ IJȪȤȘ Įʌȩ IJȠ țȠȣIJȓ ȝȓĮ ȝʌȐȜĮ. ȃ ȕȡİȓIJİ IJȘȞ ʌȚșĮȞȩIJȘIJĮ IJȦȞ İȞįİȤȠȝȑȞȦȞ A: H ȝʌȐȜĮ İȓȞĮȚ țȩțțȚȞȘ . Ǻ: H İȓȞĮȚ ȐıʌȡȘ Ȓ ȝĮȪȡȘ ī: Ǿ ȝʌȐȜĮ įİȞ İȓȞĮȚ țȩțțȚȞȘ Ȓ ȝĮȪȡȘ

ĬȑȝĮ 3Ƞ ǹ.

īȚĮ IJĮ İȞįİȤȩȝİȞĮ ǹ, Ǻ İȞȩȢ įİȚȖȝĮIJȚțȠȪ ȤȫȡȠȣ ȍ ȚıȤȪȠȣȞ:

ĬȑȝĮ 4Ƞ Ǿ ʌȚșĮȞȩIJȘIJĮ ȞĮ ȖȞȦȡȓȗİȚ țȐʌȠȚȠȢ ǹȖȖȜȚțȐ İȓȞĮȚ 45%, ȞĮ ȖȞȦȡȓȗİȚ īĮȜȜȚțȐ İȓȞĮȚ 25% țĮȚ ȞĮ ȖȞȦȡȓȗİȚ țĮȚ IJȚȢ įȪȠ ȖȜȫııİȢ İȓȞĮȚ 10%. ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȚȢ ʌȚșĮȞȩIJȘIJİȢ IJȦȞ İȞįİȤȠȝȑȞȦȞ Į) ȃĮ ȟȑȡİȚ IJȠȣȜȐȤȚıIJȠȞ ȝȓĮ Įʌȩ IJȚȢ ȟȑȞİȢ ȖȜȫııİȢ ȕ) ȃĮ ȝȘȞ ȟȑȡİȚ țĮȝȓĮ Įʌȩ IJȚȢ ʌĮȡĮʌȐȞȦ ȟȑȞİȢ ȖȜȫııİȢ

281


2Ƞ ȀȡȚIJȒȡȚȠ ǹȟȚȠȜȩȖȘıȘȢ

ȀİijȐȜĮȚȠ 5

ĬȑȝĮ 1Ƞ Į) ȆȫȢ ȠȡȓȗİIJĮȚ Ș ȑȞȦıȘ įȪȠ ıȣȞȩȜȦȞ ǹ , Ǻ. ȕ) ȉȚ Ȝȑȝİ ȆȚșĮȞȩIJȘIJĮ İȞȩȢ İȞįİȤȠȝȑȞȠȣ ǹ țĮȚ ʌȠȚİȢ IJȚȝȑȢ ȝʌȠȡİȓ ȞĮ ʌȐȡİȚ. Ȗ) ȆȠȚĮ ıȪȞȠȜĮ ȜȑȖȠȞIJĮȚ ĮıȣȝȕȓȕĮıIJĮ.

ĬȑȝĮ 2Ƞ Į) DzıIJȦ Ƞ ĮȡȚșȝȩȢ Ȝ ʌĮȓȡȞİȚ IJȚȝȑȢ Įʌȩ IJȠ ıȪȞȠȜȠ ȍ ={1, 2, 3, 4, 5, 6}. ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȘȞ ʌȚșĮȞȩIJȘIJĮ Ș İȟȓıȦıȘ: x2 + 3x + 2Ȝ = 0 ȞĮ ȑȤİȚ ȡȓȗİȢ ʌȡĮȖȝĮIJȚțȑȢ. ȕ) ǹȞ ǹ = {1, 2, 4, 6}, Ǻ ={3, 4, 5} İȓȞĮȚ įȪȠ İȞįİȤȩȝİȞĮ IJȠȣ ȍ. ȃĮ ȕȡİȓIJİ: ǹ F Ǻ , Aƍ, Bƍ. ĬȑȝĮ 3Ƞ DzȞĮ țȠȣIJȓ ʌİȡȚȑȤİȚ 15 ȐıʌȡİȢ ȝʌȐȜİȢ, x țȩțțȚȞİȢ țĮȚ ȥ ʌȡȐıȚȞİȢ. ȆĮȓȡȞȠȣȝİ IJȣȤĮȓĮ ȝȚĮ ȝʌȐȜĮ. Ǿ ʌȚșĮȞȩIJȘIJĮ ȞĮ ʌȐȡȠȣȝİ țȩțțȚȞȘ İȓȞĮȚ țĮȚ Ș ʌȚșĮȞȩIJȘIJĮ ȞĮ ʌȐȡȠȣȝİ ʌȡȐıȚȞȘ İȓȞĮȚ

.

ȃĮ ȕȡİȓIJİ ʌȩıİȢ ȝʌȐȜİȢ ȑȤİȚ IJȠ țȠȣIJȓ . ĬȑȝĮ 4Ƞ DzȞĮ țȠȣIJȓ ʌİȡȚȑȤİȚ ʌȡȐıȚȞİȢ, țȓIJȡȚȞİȢ țĮȚ ȝĮȪȡİȢ ȝʌȐȜİȢ. ǹȞ ʌȐȡȠȣȝİ IJȣȤĮȓĮ ȝȓĮ ȝʌȐȜĮ, IJȩIJİ Ș ʌȚșĮȞȩIJȘIJĮ ȞĮ İȓȞĮȚ ʌȡȐıȚȞȘ İȓȞĮȚ, İȞȫ Ș ʌȚșĮȞȩIJȘIJĮ ȞĮ İȓȞĮȚ țȓIJȡȚȞȘ İȓȞĮȚ . ǹȞ IJȠ țȠȣIJȓ ʌİȡȚȑȤİȚ 4 ȝĮȪȡİȢ ȝʌȐȜİȢ ȞĮ ȕȡİȓIJİ: Į) ȆȩıİȢ ȝʌȐȜİȢ ȑȤİȚ IJȠ țȠȣIJȓ. ȕ) ȆȩıİȢ İȓȞĮȚ ȠȚ ʌȡȐıȚȞİȢ țĮȚ ʌȩıİȢ ȠȚ țȓIJȡȚȞİȢ.

282


ȁȪıİȚȢ ıȤȠȜȚțȠȪ ȕȚȕȜȓȠȣ

5.1

ȀİijȐȜĮȚȠ 5

ȈȪȞȠȜĮ ǼȡȦIJȒıİȚȢ țĮIJĮȞȩȘıȘȢ

1. Į) Ȉ

ȕ) ȁ

Ȗ) ȁ

į) Ȉ

İ) Ȉ

ıIJ) Ȉ

2. Į) 3 3.

ȕ) 4

Ȗ) 2

į) 1

ȍ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} ǹ = {1, 2, 3} Ǻ = {2, 3, 4, 5} ǹƍ = {4, 5, 6, 7} Ǻƍ = {1, 6, 7} ǹ Ǻ={ 1,2,3,4,5} ǹ  Ǻ = {2, 3}

4. Į) 5

5.

ȕ) 6

Ȗ) 2

į) 3

İ) 1

Į) ǹ F Ǻ: țȩțțȚȞȠ, țȓIJȡȚȞȠ, ȝʌȜȑ. ȕ) ǹ  Ǻ: țȓIJȡȚȞȠ Ȗ) ǹƍ: ȝʌȜȑ, ʌȡȐıȚȞȠ į) Ǻƍ: țȩțțȚȞȠ, ʌȡȐıȚȞȠ İ) (ǹ F Ǻ )ƍ: ʌȡȐıȚȞȠ ıIJ) (ǹ  Ǻ)ƍ: țȩțțȚȞȠ, ȝʌȜȑ, ʌȡȐıȚȞȠ

283


ȆȡȠIJİȚȞȩȝİȞİȢ ĮıțȒıİȚȢ – ȆȡȠȕȜȒȝĮIJĮ

ȀİijȐȜĮȚȠ 5

1.

Į) ǹ={-5,5}, ȕ) Ǻ = {5}, Ȗ) ī={-1,0, +1, +2, +3, +4} į) ǻ = {1, 2, 3, 4, 6, 12}

2.

ǹ I Ȁ, ǹ = ȁ, Ǻ = Ȃ, ī I Ȁ,

3.

ǹ = {1, 2, 3}. ȊʌȠıȪȞȠȜĮ İȓȞĮȚ:L, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}

4.

A = {(0, 4), (4, 0), (1, 3), (3, 1), (2, 2)}

5.

Į) ǹ = {ʌİȡȚIJIJȠȓ ĮȡȚșȝȠȓ}, ȕ) Ǻ = {īȡȐȝȝĮIJĮ IJȘȢ ȜȑȟȘȢ ȚıIJȠȡȓĮȢ} Ȗ) ī = { DZȡIJȚȠȚ ȝȚțȡȩIJİȡȠȚ IJȠȣ 4}

6.

Į) ǹ F Ǻ = {1, 2, 4, 5, 6}, ȕ) ǹ  Ǻ = {2, 4}, Ȗ) ǹƍ = {3, 6}, į) Ǻƍ = {1, 3, 5}

7.

Į) ǹ = {Į, Ȝ, Ȗ, İ, ȕ, ȡ} Ǻ = {ij, ȡ, İ, Ȗ, Į, IJ}, ī = {İ, Ȝ, Į, ij, Ț} ȕ) Ǻ F ī={ij, ȡ, İ, Ȗ, Į, IJ, Ȝ, Ț}, ǹ  Ǻ = {Į, Ȗ, İ, ȡ}, ǹ  ī={Į, Ȝ, İ,} Ȗ) ǹ  ( Ǻ F ī)={ Į, Ȝ, Ȗ, İ, ȡ}, (ǹ  Ǻ) (ǹ  ī) = {Į, Ȗ, İ, ȡ, Ȝ,}. DZȡĮ ǹ  (Ǻ F ī)= (ǹ  Ǻ) (ǹ  ī)

8.

Į) ǹ  Ǻ, ȕ) ǹ F Ǻ, Ȗ) ǹ  Ǻƍ, į) (ǹ  Ǻ)ƍ

9.

Į) ǼȓȞĮȚ ĮșȜȘIJȒȢ ıIJȓȕȠȣ Ȓ ijȠȚIJȘIJȒȢ ʌĮȞİʌȚıIJȘȝȓȠȣ. ȕ) ǼȓȞĮȚ ĮșȜȘIJȒȢ ıIJȓȕȠȣ țĮȚ ijȠȚIJȘIJȒȢ ʌĮȞİʌȚıIJȘȝȓȠȣ. Ȗ) ǻİȞ İȓȞĮȚ ĮșȜȘIJȒȢ ıIJȓȕȠȣ. į) ǻİȞ İȓȞĮȚ ijȠȚIJȘIJȒȢ ʌĮȞİʌȚıIJȘȝȓȠȣ. İ) ǼȓȞĮȚ ĮșȜȘIJȒȢ ıIJȓȕȠȣ țĮȚ ȩȤȚ ijȠȚIJȘIJȒȢ ʌĮȞİʌȚıIJȘȝȓȠȣ. ıIJ) ǻİȞ İȓȞĮȚ ĮșȜȘIJȒȢ ıIJȓȕȠȣ ĮȜȜȐ İȓȞĮȚ ijȠȚIJȘIJȒȢ ʌĮȞİʌȚıIJȘȝȓȠȣ. ȗ) ǻİȞ İȓȞĮȚ ĮșȜȘIJȒȢ ıIJȓȕȠȣ țĮȚ ȠȪIJİ ijȠȚIJȘIJȒȢ ʌĮȞİʌȚıIJȘȝȓȠȣ.

5.2 ǻİȚȖȝĮIJȚțȩȢ ȤȫȡȠȢ – ǼȞįİȤȩȝİȞĮ 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

284

EȡȦIJȒıİȚȢ țĮIJĮȞȩȘıȘȢ Į), Ȗ), į) ȃĮȚ. ȈIJȘ įİȪIJİȡȘ ȖȡĮȝȝȒ ʌȡȫIJȘ ıIJȒȜȘ ʌȡȑʌİȚ ȞĮ ȖȡȐȥİȚ Ǻǹ. ǹʌȠIJȑȜİıȝĮ: 235, 253, 325, 352, 523, 532, Į) ǹ = {4, 8, 10} ǻ={ 6} Į) ǹ = {2, 4, 6}, Ȗ) ī = {4, 5, 6} Ȗ) Ǿ ȝʌȓȜȚĮ İȓȞĮȚ ʌȡȐıȚȞȘ. į) ȅ ȝȒȞĮȢ ȑȤİȚ ʌİȡȚııȩIJİȡİȢ Įʌȩ 27 ȘȝȑȡİȢ. Į 2

ȕ 4

Ȗ 1


ȆȡȠIJİȚȞȩȝİȞİȢ ĮıțȒıİȚȢ - ȆȡȠȕȜȒȝĮIJĮ 1.

ȍ = {ı ʌ, ı Ȝ , IJ ʌ, IJ Ȝ , Ȗ ʌ, Ȗ Ȝ}

2.

ȍ = {ȀȀȀ, ȀȀī, ȀīȀ, Ȁīī, īȀȀ, īȀī, īīȀ, īīī}

ȀİijȐȜĮȚȠ 5

3. ǹ ǹ Ǻ ī ǻ

Ǻǹ īǹ ǻǹ

Ǻ ǹǺ īǺ ǻǺ

ī ǹī Ǻī

ǻ ǹǻ Ǻǻ īǻ

ǻī

4.

Į) ȍ = {ȀǹȂ, ȀȂǹ, ǹȀȂ, ǹȂȀ, ȂǹȀ, ȂȀǹ} ȕ) Ȃİ įȪȠ IJȠ ʌȠȜȪ țȚȞȒıİȚȢ șĮ ʌȐȡȠȣȝİ IJȘȞ țȩțțȚȞȘ ȝʌȐȜĮ. Ȗ) Ȃİ įȪȠ IJȠ ʌȠȜȪ țȚȞȒıİȚȢ ĮȞĮȖȞȦȡȓȗȠȣȝİ IJȠ ȤȡȫȝĮ țȐșİ ȝʌȐȜĮȢ.

5.

Į) ȍ = {ǻǼ, ǻǽ, ǻȈ, ȀǼ, Ȁǽ, ȀȈ, ȂǼ, Ȃǽ, ȂȈ, ȆǼ, Ȇǽ, ȆȈ} ȕ) ǹ = {ǻǼ, ǻǽ, ȀǼ, Ȁǽ, ȂǼ, Ȃǽ, ȆǼ, Ȇǽ} Ǻ = { ǻǼ, ǻǽ, ǻȈ, ȀǼ, Ȁǽ, ȀȈ, ȆǼ, Ȇǽ, ȆȈ}

6.

ǹ = {1, 3, 9}, Ǻ = {0, 1, 2, 3, 4, 5} Į) ǹ F Ǻ ={0, 1, 2, 3, 4, 5, 9} ȕ) ǹ  Ǻ = {1, 3} Ȗ) Ǻƍ = {6, 7, 8, 9}

7.

Į) ȍ ={2642, 2672, 2842, 2872, 2942, 2972} ȕ) ǹ = {2672, 2872, 2972} Ǻ = {2642, 2672, 2842, 2872}

5.2 DzȞȞȠȚĮ IJȘȢ ʌȚșĮȞȩIJȘIJĮȢ ǼȡȦIJȒıİȚȢ țĮIJĮȞȩȘıȘȢ 1.

Į), Ȗ), į)

2.

Ȗ)

3. Į) ȁ

ȕ) ȁ

Ȗ) Ȉ

į) Ȉ

285


ȀİijȐȜĮȚȠ 5

4.

Ȗ)

5.

ǹʌȩ IJȘȞ ȚıȩIJȘIJĮ ȇ(ǹ F Ǻ) + ȇ(ǹ  Ǻ) = ȇ(ǹ) + ȇ(Ǻ) ȑȤȠȣȝİ:

ȆȇȅȉǼǿȃȅȂǼȃǼȈ ǹȈȀǾȈǼǿȈ - ȆȇȅǺȁǾȂǹȉǹ 1.

Į) ǹȞ ǹ İȓȞĮȚ IJȠ İȞįİȤȩȝİȞȠ: o Ƞ ĮȡȚșȝȩȢ İȓȞĮȚ ȐȡIJȚȠȢ țĮȚ Ǻ IJȠ İȞįİȤȩȝİȞȠ: o ĮȡȚșȝȩȢ İȓȞĮȚ ʌİȡȚIJIJȩȢ: IJȩIJİ ǹ = {2, 4, 6, 8, 10, 12}, Ǻ = {4, 8, 12}

2. 3.

TĮ ȤĮȡIJȚȐ ʌȠȣ įİȞ İȓȞĮȚ ijȚȖȠȪȡİȢ İȓȞĮȚ: 52 - 12 = 40. DZȡĮ Ș ʌȚșĮȞȩIJȘIJĮ ȞĮ ȝȘȞ İȓȞĮȚ ijȚȖȠȪȡĮ İȓȞĮȚ:

4. 5.

ǹȞ șİȦȡȒıȠȣȝİ IJĮ İȞįİȤȩȝİȞĮ: ǹ: O ȝĮșȘIJȒȢ ȑȤİȚ ȕĮșȝȩ 15. Ǻ: O ȝĮșȘIJȒȢ ȑȤİȚ ȕĮșȝȩ ȝȚțȡȩIJİȡȠ IJȠȣ 14. ī: O ȝĮșȘIJȒȢ ȑȤİȚ ȕĮșȝȩ ȝİȖĮȜȪIJİȡȠ Ȓ ȓıȠ IJȠȣ 16. ǻ: O ȝĮșȘIJȒȢ ȑȤİȚ ȕĮșȝȩ 19 Ȓ 20. ȉȩIJİ:

6.

ȅ įİȚȖȝĮIJȚțȩȢ ȤȫȡȠȢ ȍ İȓȞĮȚ: ȍ = {ȀȀȀ, ȀȀī, ȀīȀ, Ȁīī, īȀȀ, īȀī, īīȀ, īīī} AȞ ǹ İȓȞĮȚ IJȠ İȞįİȤȩȝİȞȠ: NĮ ijȑȡȠȣȝİ țĮȚ IJȚȢ IJȡİȓȢ ijȠȡȑȢ IJȘȞ ȓįȚĮ ȑȞįİȚȟȘ ȉȩIJİ:

286


7.

O įİȚȖȝĮIJȚțȩȢ ȤȫȡȠȢ ȍ ȑȤİȚ ȃ(ȍ) = 36 ıIJȠȚȤİȓĮ.

8.

AȞ ǹ İȓȞĮȚ IJȠ İȞįİȤȩȝİȞȠ: O ȝĮșȘIJȒȢ İȜȣıİ IJȘȞ ȐıțȘıȘ IJȩIJİ:

ȀİijȐȜĮȚȠ 5

ǹȞ Ǻ İȓȞĮȚ IJȠ İȞįİȤȩȝİȞȠ Ƞ įİȪIJİȡȠȢ ȝĮșȘIJȒȢ ȞĮ ȑȤİȚ ȜȪıİȚ IJȘȞ ȐıțȘıȘ IJȩIJİ:

9.

ǹȞ ǹ İȓȞĮȚ IJȠ İȞįİȤȩȝİȞȠ ȞĮ ʌȐİȚ țȐʌȠȚȠȢ ıIJȠ șȑĮIJȡȠ IJȩIJİ: ȇ(ǹƍ) = 4ȇ(ǹ) ȇ(ǹ) + ȇ(ǹƍ) =1 Ȓ ȇ(ǹ) + 3 ȇ(ǹ) = 1 Ȓ 4ȇ(ǹ) = 1 Ȓ ȇ(ǹ) =

10. ǹʌȩ IJȘȞ ȚıȩIJȘIJĮ ȇ(ǹ F Ǻ) + ȇ(ǹ  Ǻ) = ȇ(ǹ) + ȇ(Ǻ) ȑȤȠȣȝİ:

11.

12. ĬİȦȡȠȪȝİ IJĮ İȞįİȤȩȝİȞĮ: ǹ: īȞȦȡȓȗİȚ ǹȖȖȜȚțȐ. Ǻ: īȞȦȡȓȗİȚ īĮȜȜȚțȐ. ȉȩIJİ ȇ(ǹ) = 0,42, ȇ(Ǻ) = 0,21, ȇ(ǹ  Ǻ) = 0,15. ǽȘIJȐȝİ IJȘȞ ʌȚșĮȞȩIJȘIJĮ IJȠȣ İȞįİȤȠȝȑȞȠȣ ǹ F Ǻ. ǹʌȩ IJȘȞ ȚıȩIJȘIJĮ ȇ(ǹ F Ǻ) + ȇ(ǹ  Ǻ) = ȇ(ǹ) + ȇ(Ǻ) ȑȤȠȣȝİ: ȇ(ǹ F Ǻ) + 0,15 = 0,42 + 0,21 Ȓ ȇ(ǹ F Ǻ) = 0,48. 13. ĬİȦȡȠȪȝİ IJĮ İȞįİȤȩȝİȞĮ: ǹ: ȅ ȝĮșȘIJȒȢ ȑȤİȚ țĮȞȩȞĮ. Ǻ: ȅ ȝĮșȘIJȒȢ ȑȤİȚ įȚĮȕȒIJȘ. ȉȩIJİ . ǽȘIJȐȝİ IJȘȞ ʌȚșĮȞȩIJȘIJĮ IJȠȣ İȞįİȤȠȝȑȞȠȣ ǹ  Ǻ. ǹʌȩ IJȘȞ ȚıȩIJȘIJĮ ȇ(ǹ F Ǻ) + ȇ(ǹ  Ǻ) = ȇ(ǹ) + ȇ(Ǻ) ȑȤȠȣȝİ:

287


īİȞȚțȑȢ ĮıțȒıİȚȢ 5Ƞȣ ȀİijĮȜĮȓȠȣ

ȀİijȐȜĮȚȠ 5

1.

Į) ȍ ={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, ǹ = {0, 2, 4, 6, 8}, Ǻ = {1, 2, 4, 8} ȕ) ǹ F Ǻ = {0, 1, 2, 4, 6, 8}, ǹ  Ǻ = {2, 4, 8}, ǹƍ = {0, 2}, Ǻƍ = {0, 3, 5, 6, 7}

2.

DzıIJȦ ǹ İȓȞĮȚ IJȠ İȞįİȤȩȝİȞȠ: H ȂĮȡȓĮ įȚĮȜȑȖİȚ ʌĮȖȦIJȩ ȝİ ȖİȪıȘ ijȡȐȠȣȜĮ ȉȩIJİ

ǽȘIJȐȝİ IJȘȞ ʌȚșĮȞȩIJȘIJĮ IJȠȣ İȞįİȤȠȝȑȞȠȣ ǹƍ, ȝİ

įİȚȖȝĮIJȚțȩ ȤȫȡȠ ȍƍ ȖȚĮ IJȠȞ ȠʌȠȓȠ ȚıȤȪİȚ: N(ȍƍ) = 8, ȠʌȩIJİ:

3.

Į) īĮȜȜȚțȐ īİȡȝĮȞȚțȐ

ǹȖȩȡȚĮ 12 18

ȀȠȡȓIJıȚĮ 36 14

ȕ) ĬİȦȡȠȪȝİ IJĮ İȞįİȤȩȝİȞĮ A: To ʌĮȚįȓ İȓȞĮȚ ĮȖȩȡȚ. Ǻ: ȉȠ ʌĮȚįȓ ȑȤİȚ İʌȚȜȑȟİȚ īİȡȝĮȞȚțȐ.

4.

288

ȂʌȠȡȠȪȝİ ȞĮ ʌȐȡȠȣȝİ: 12 ȗİȣȖȐȡȚĮ ĮȡȚșȝȫȞ, Įʌȩ IJĮ ȠʌȠȓĮ, ȝȩȞȠ įȪȠ (250, 650) țĮȚ (650, 250) İȓȞĮȚ ȖȦȞȓİȢ ȠȡșȠȖȦȞȓȠȣ IJȡȚȖȫȞȠȣ. DZȡĮ Ș ʌȚșĮȞȩIJȘIJĮ İȓȞĮȚ:


5.

ȂʌȠȡȠȪȝİ ȞĮ ʌȐȡȠȣȝİ IJȑııİȡİȚȢ įȚĮijȠȡİIJȚțȑȢ IJȡȚȐįİȢ. Ǿ IJȡȚȐįĮ ʌȠȣ įİ įȓȞİȚ IJȡȓȖȦȞȠ İȓȞĮȚ: 8, 12, 20.(įİȞ ȚıȤȪİȚ Ș IJȡȚȖȦȞȚțȒ ĮȞȚıȩIJȘIJĮ )

ȀİijȐȜĮȚȠ 5

DZȡĮ Ș ʌȚșĮȞȩIJȘIJĮ İȓȞĮȚ:

6.

ȂʌȠȡȠȪȝİ ȞĮ ıȤȘȝĮIJȓıȠȣȝİ: 12 țȜȐıȝĮIJĮ. Į) ǹțȑȡĮȚȠ ĮȡȚșȝȩ İțijȡȐȗȠȣȞ . DZȡĮ Ș ʌȚșĮȞȩIJȘIJĮ İȓȞĮȚ

IJĮ

ȕ) ȂȚțȡȩIJİȡĮ IJȠȣ 1 İȓȞĮȚ: DZȡĮ Ș ʌȚșĮȞȩIJȘIJĮ İȓȞĮȚ

. .

7.

8.

α) 25 = 32, β)

1 2 γ) 64 32

289


īİȦȝİIJȡȓĮ


1.1

ǿıȩIJȘIJĮ IJȡȚȖȫȞȦȞ

īİȦȝİIJȡȓĮ

ȀȪȡȚĮ țĮȚ įİȣIJİȡİȪȠȞIJĮ ıIJȠȚȤİȓĮ IJȡȚȖȫȞȠȣ - ǼȓįȘ IJȡȚȖȫȞȦȞ ȉĮ țȪȡȚĮ ıIJȠȚȤİȓĮ İȞȩȢ IJȡȚȖȫȞȠȣ İȓȞĮȚ ȠȚ ʌȜİȣȡȑȢ țĮȚ ȠȚ ȖȦȞȓİȢ IJȠȣ. ǹȞ ȑȤȠȣȝİ IJȠ IJȡȓȖȦȞȠ ǹǺī, IJȩIJİ ȠȚ ȖȦȞȓİȢ IJȠȣ ıȣȝȕȠȜȓȗȠȞIJĮȚ ȝİ IJĮ Α ȖȡȐȝȝĮIJĮ IJȦȞ țȠȡȣijȫȞ IJȠȣ, įȘȜ ȝİ . ȅȚ ʌȜİȣȡȑȢ IJȠȣ ıȣȝȕȠȜȓȗȠȞIJĮȚ ȝİ IJĮ ȝȚțȡȐ ȖȡȐȝȝĮIJĮ IJȦȞ ĮʌȑȞĮȞIJȚ țȠȡȣijȫȞ IJȠȣ įȘȜ, Ǻī = Į, īǹ = ȕ țĮȚ ǹǺ = Ȗ. β γ īȚĮ IJȚȢ ȖȦȞȓİȢ țȐșİ IJȡȚȖȫȞȠȣ ǹǺī ȚıȤȪİȚ Β

Γ

α

Ǿ ȖȦȞȓĮ IJȠȣ IJȡȚȖȫȞȠȣ ʌȠȣ ʌİȡȚȑȤİIJĮȚ ȝİIJĮȟȪ įȪȠ ʌȜİȣȡȫȞ ȠȞȠȝȐȗİIJĮȚ ʌİȡȚİȤȩȝİȞȘ ȖȦȞȓĮ IJȦȞ ʌȜİȣȡȫȞ ĮȣIJȫȞ, ʌ.x. ʌİȡȚİȤȩȝİȞȘ ȖȦȞȓĮ IJȦȞ ʌȜİȣȡȫȞ Ǻī, ǹǺ İȓȞĮȚ Ș ȖȦȞȓĮ . ȅȚ ȖȦȞȓİȢ IJȠȣ IJȡȚȖȫȞȠȣ ʌȠȣ ȑȤȠȣȞ țȠȡȣijȑȢ IJĮ ȐțȡĮ ȝȚȐȢ ʌȜİȣȡȐȢ ȜȑȖȠȞIJĮȚ ʌȡȠıțİȓȝİȞİȢ ȖȦȞȓİȢ IJȘȢ ʌȜİȣȡȐȢ ĮȣIJȒȢ ʌ.x ʌȡȠıțİȓȝİȞİȢ ȖȦȞȓİȢ IJȘȢ ʌȜİȣȡȐȢ ǹǺ İȓȞĮȚ ȠȚ ȖȦȞȓİȢ țĮȚ . TĮ įİȣIJİȡİȪȠȞIJĮ ıIJȠȚȤİȓĮ İȞȩȢ IJȡȚȖȫȞȠȣ İȓȞĮȚ ȠȚ įȚȐȝİıȠȚ IJĮ ȪȥȘ țĮȚ ȠȚ įȚȤȠIJȩȝȠȚ. •

ǻȚȐȝİıȠȢ İȞȩȢ IJȡȚȖȫȞȠȣ ȠȞȠȝȐȗİIJĮȚ IJȠ İȣșȪȖȡĮȝȝȠ IJȝȒȝĮ ʌȠȣ İȞȫȞİȚ ȝȓĮ țȠȡȣijȒ IJȠȣ IJȡȚȖȫȞȠȣ ȝİ IJȠ ȝȑıȠ IJȘȢ ĮʌȑȞĮȞIJȚ ʌȜİȣȡȐȢ. ȀȐșİ IJȡȓȖȦȞȠ ȑȤİȚ IJȡİȚȢ įȚĮȝȑıȠȣȢ ʌȠȣ IJȑȝȞȠȞIJĮȚ ıİ ȑȞĮ İıȦIJİȡȚțȩ ıȘȝİȓȠ IJȠȣ IJȡȚȖȫȞȠȣ IJȠ ȠʌȠȓȠ ȜȑȖİIJĮȚ țȑȞIJȡȠ ȕȐȡȠȣȢ Ȓ ȕĮȡȪțİȞIJȡȠ. ǶȥȠȢ İȞȩȢ IJȡȚȖȫȞȠȣ ȠȞȠȝȐȗİIJĮȚ IJȠ İȣșȪȖȡĮȝȝȠ IJȝȒȝĮ ʌȠȣ ijȑȡȠȣȝİ Įʌȩ ȝȓĮ țȠȡȣijȒ țĮȚ İȓȞĮȚ țȐșİIJȠ ıIJȘȞ İȣșİȓĮ IJȘȢ ĮʌȑȞĮȞIJȚ ʌȜİȣȡȐȢ. ȀȐșİ IJȡȓȖȦȞȠ ȑȤİȚ IJȡȓĮ ȪȥȘ ʌȠȣ IJȑȝȞȠȞIJĮȚ ıİ ȑȞĮ ıȘȝİȓȠ IJȠ ȠʌȠȓȠ ȜȑȖİIJĮȚ ȠȡșȩțİȞIJȡȠ. ǻȚȤȠIJȩȝȠȢ İȞȩȢ IJȡȚȖȫȞȠȣ ȠȞȠȝȐȗİIJĮȚ IJȠ İȣșȪȖȡĮȝȝȠ IJȝȒȝĮ ʌȠȣ ijȑȡȠȣȝİ Įʌȩ ȝȓĮ țȠȡȣijȒ, ȤȦȡȓȗİȚ IJȘ ȖȦȞȓĮ ıİ įȪȠ ȓıİȢ ȖȦȞȓİȢ țĮȚ țĮIJĮȜȒȖİȚ ıIJȘȞ ĮʌȑȞĮȞIJȚ ʌȜİȣȡȐ. Α

Α

Α

Διάμεσος

Ύψος

Διχοτόμος

Β

Γ

Β

Γ

Β

Γ

293


ȀȐșİ IJȡȓȖȦȞȠ ȑȤİȚ IJȡİȚȢ įȚȤȠIJȩȝȠȣȢ ʌȠȣ IJȑȝȞȠȞIJĮȚ ıİ ȑȞĮ ıȘȝİȓȠ IJȠ ȠʌȠȓȠ ȜȑȖİIJĮȚ ȑȖțİȞIJȡȠ.

īİȦȝİIJȡȓĮ

DzȞĮ IJȡȓȖȦȞȠ ĮȞȐȜȠȖĮ ȝİ IJȠ İȓįȠȢ IJȦȞ ȖȦȞȚȫȞ IJȠȣ ȠȞȠȝȐȗİIJĮȚ: 1. ȅȟȣȖȫȞȚȠ, ȩIJĮȞ ȑȤİȚ ȩȜİȢ IJȚȢ ȖȦȞȓİȢ IJȠȣ ȠȟİȓİȢ. 2. ǹȝȕȜȣȖȫȞȚȠ, ȩIJĮȞ ȑȤİȚ ȝȓĮ ȖȦȞȓĮ ĮȝȕȜİȓĮ. 3. ȅȡșȠȖȫȞȚȠ, ȩIJĮȞ ȑȤİȚ ȝȓĮ ȖȦȞȓĮ ȠȡșȒ. Α

Α Οξυγώνιο

Αμβλυγώνιο

Γ

Β

Α Ορθογώνιο

Γ

Β

Γ

Β

DzȞĮ IJȡȓȖȦȞȠ ĮȞȐȜȠȖĮ ȝİ IJȚȢ ıȤȑıİȚȢ ʌȠȣ ıȣȞįȑȠȞIJĮȚ ȠȚ ʌȜİȣȡȑȢ IJȠȣ ȠȞȠȝȐȗİIJĮȚ: 1. ȈțĮȜȘȞȩ, ȩIJĮȞ ȑȤİȚ țĮȚ IJȚȢ IJȡİȚȢ ʌȜİȣȡȑȢ IJȠȣ ȐȞȚıİȢ. 2. ǿıȠıțİȜȑȢ, ȩIJĮȞ ȑȤİȚ įȪȠ ʌȜİȣȡȑȢ ȓıİȢ. 3. ǿıȩʌȜİȣȡȠ, ȩIJĮȞ ȑȤİȚ țĮȚ IJȚȢ IJȡİȚȢ ʌȜİȣȡȑȢ IJȠȣ ȓıİȢ. Α

Α

Α Σκαληνό

Γ

Β

Ισόπλευρο Ισοσκελές

Β

Γ

Β

Ȉİ țȐșİ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ IJȡȓȖȦȞȠ Ș ʌȜİȣȡȐ ʌȠȣ ȕȡȓıțİIJĮȚ ĮʌȑȞĮȞIJȚ Įʌȩ IJȘȞ ȅȡșȒ ȖȦȞȓĮ ȠȞȠȝȐȗİIJĮȚ ȣʌȠIJİȓȞȠȣıĮ, İȞȫ ȠȚ ȐȜȜİȢ įȪȠ ȠȞȠȝȐȗȠȞIJĮȚ țȐșİIJİȢ ʌȜİȣȡȑȢ. Ȉİ ȚıȠıțİȜȑȢ IJȡȓȖȦȞȠ ǹǺī ȝİ ǹǺ = ǹī Ș ʌȜİȣȡȐ Ǻī ȠȞȠȝȐȗİIJĮȚ ȕȐıȘ IJȠȣ țĮȚ IJȠ ıȘȝİȓȠ ǹ țȠȡȣijȒ IJȠȣ. ǴıĮ IJȡȓȖȦȞĮ ǻȪȠ IJȡȓȖȦȞĮ İȓȞĮȚ ȓıĮ ĮȞ ȑȤȠȣȞ IJȚȢ ʌȜİȣȡȑȢ IJȠȣȢ ȓıİȢ ȝȓĮ ʌȡȠȢ ȝȓĮ țĮȚ IJȚȢ ĮȞIJȓıIJȠȚȤİȢ ȖȦȞȓİȢ IJȠȣȢ ȓıİȢ. ǹȞIJȓıIJȡȠijĮ:

294

AȞ įȪȠ IJȡȓȖȦȞĮ İȓȞĮȚ ȓıĮ, IJȩIJİ șĮ ȑȤȠȣȞ IJȚȢ ʌȜİȣȡȑȢ IJȠȣȢ țĮȚ IJȚȢ ĮȞIJȓıIJȠȚȤİȢ ȖȦȞȓİȢ IJȠȣȢ ȓıİȢ ȝȓĮ ʌȡȠȢ ȝȓĮ. ȀȡȚIJȒȡȚĮ ȚıȩIJȘIJĮȢ IJȡȚȖȫȞȦȞ Ȝȑȝİ IJȚȢ ʌȡȠIJȐıİȚȢ ȝİ IJȚȢ ȠʌȠȓİȢ įȚĮʌȚıIJȫȞȠȣȝİ ĮȞ įȪȠ IJȡȓȖȦȞĮ İȓȞĮȚ ȓıĮ .

Γ


1Ƞ țȡȚIJȒȡȚȠ ȚıȩIJȘIJĮȢ (Ȇ-ī-Ȇ)

īİȦȝİIJȡȓĮ

ǹȞ įȪȠ IJȡȓȖȦȞĮ ȑȤȠȣȞ įȪȠ ʌȜİȣȡȑȢ ȓıİȢ ȝȓĮ ʌȡȠȢ ȝȓĮ țĮȚ IJȘȞ ʌİȡȚİȤȩȝİȞȘ ȖȦȞȓĮ IJȠȣȢ ȓıȘ, IJȩIJİ İȓȞĮȚ ȓıĮ. Α

Α´

Γ

Β

Γ´

Β´

2Ƞ țȡȚIJȒȡȚȠ ȚıȩIJȘIJĮȢ (ī-Ȇ-ī) ǹȞ įȪȠ IJȡȓȖȦȞĮ ȑȤȠȣȞ ȝȓĮ ʌȜİȣȡȐ ȓıȘ țĮȚ IJȚȢ ʌȡȠıțİȓȝİȞİȢ ıIJȘȞ ʌȜİȣȡȐ ĮȣIJȒ ȖȦȞȓİȢ ȓıİȢ ȝȓĮ ʌȡȠȢ ȝȓĮ, IJȩIJİ İȓȞĮȚ ȓıĮ. Α

Α

Γ

Β

Γ´

Β´

3Ƞ țȡȚIJȒȡȚȠ ȚıȩIJȘIJĮȢ (Ȇ-Ȇ-Ȇ) ǹȞ įȪȠ IJȡȓȖȦȞĮ ȑȤȠȣȞ IJȚȢ ʌȜİȣȡȑȢ IJȠȣȢ ȓıİȢ ȝȓĮ ʌȡȠȢ ȝȓĮ, IJȩIJİ İȓȞĮȚ ȓıĮ. Α

Β

Α´

Γ

Β´

Γ´

ȆĮȡĮIJȘȡȒıİȚȢ: 1. 2.

Ȉİ ȓıĮ IJȡȓȖȦȞĮ ĮʌȑȞĮȞIJȚ Įʌȩ ȓıİȢ ʌȜİȣȡȑȢ ȕȡȓıțȠȞIJĮȚ ȓıİȢ ȖȦȞȓİȢ. Ȉİ ȓıĮ IJȡȓȖȦȞĮ ĮʌȑȞĮȞIJȚ Įʌȩ ȓıİȢ ȖȦȞȓİȢ ȕȡȓıțȠȞIJĮȚ ȓıİȢ ʌȜİȣȡȑȢ. ȉĮ ʌȡȠȘȖȠȪȝİȞĮ țȡȚIJȒȡȚĮ ȝʌȠȡȠȪȝİ ȞĮ IJĮ İijĮȡȝȩıȠȣȝİ țĮȚ ıIJĮ ȠȡșȠȖȫȞȚĮ IJȡȓȖȦȞĮ ȑIJıȚ ȑȤȠȣȝİ:

295


ȀȡȚIJȒȡȚĮ ȚıȩIJȘIJĮȢ ȠȡșȠȖȦȞȓȦȞ IJȡȚȖȫȞȦȞ ǻȪȠ ȠȡșȠȖȫȞȚĮ IJȡȓȖȦȞĮ İȓȞĮȚ ȓıĮ, ȩIJĮȞ ȑȤȠȣȞ:

īİȦȝİIJȡȓĮ

ǻȪȠ ĮȞIJȓıIJȠȚȤİȢ ʌȜİȣȡȑȢ ȓıİȢ ȝȓĮ ʌȡȠȢ ȝȓĮ

Β

Β´

Β

(α)

Β´

(β)

Γ

Α

Γ´

Α´

Γ

Α

Α´

ȂȓĮ ĮȞIJȓıIJȠȚȤȘ ʌȜİȣȡȐ ȓıȘ țĮȚ ȝȓĮ ĮȞIJȓıIJȠȚȤȘ ȠȟİȓĮ ȖȦȞȓĮ ȓıȘ.

Γ

Γ´

Γ

(γ)

Γ´

(δ)

B

Α Γ

Α´

B

Α

Α´

Γ´

(ε)

Α

B

Α´

ȂİıȠțȐșİIJȠ İȞȩȢ İȣșȣȖȡȐȝȝȠȣ IJȝȒȝĮIJȠȢ Ȝȑȝİ IJȘȞ İȣșİȓĮ Ș ȠʌȠȓĮ İȓȞĮȚ țȐșİIJȘ ıIJȠ İȣșȪȖȡĮȝȝȠ IJȝȒȝĮ țĮȚ ʌİȡȞȐİȚ Įʌȩ IJȠ ȝȑıȠȞ IJȠȣ. (ε)

Α

296

Γ´

0

B


ȋĮȡĮțIJȘȡȚıIJȚțȒ ȚįȚȩIJȘIJĮ IJȦȞ ıȘȝİȓȦȞ IJȘȢ ȝİıȠțĮșȑIJȠȣ İȞȩȢ İȣșȣȖȡȐȝȝȠȣ IJȝȒȝĮIJȠȢ. • •

īİȦȝİIJȡȓĮ

ȀȐșİ ıȘȝİȓȠ IJȘȢ ȝİıȠțĮșȑIJȠȣ İȞȩȢ İȣșȣȖȡȐȝȝȠȣ IJȝȒȝĮIJȠȢ ȚıĮʌȑȤİȚ Įʌȩ IJĮ ȐțȡĮ IJȠȣ . ȀȐșİ ıȘȝİȓȠ ʌȠȣ ȚıĮʌȑȤİȚ Įʌȩ IJĮ ȐțȡĮ İȞȩȢ İȣșȣȖȡȐȝȝȠȣ IJȝȒȝĮIJȠȢ İȓȞĮȚ ıȘȝİȓȠ IJȘȢ ȝİıȠțĮșȑIJȠȣ IJȠȣ İȣșȣȖȡȐȝȝȠȣ IJȝȒȝĮIJȠȢ

ȋĮȡĮțIJȘȡȚıIJȚțȒ ȚįȚȩIJȘIJĮ IJȦȞ ıȘȝİȓȦȞ IJȘȢ įȚȤȠIJȩȝȠȣ ȝȚȐȢ ȖȦȞȓĮȢ. • ȀȐșİ ıȘȝİȓȠ IJȘȢ įȚȤȠIJȩȝȠȣ ȝȚȐȢ ȖȦȞȓĮȢ ȚıĮʌȑȤİȚ Įʌȩ IJȚȢ ʌȜİȣȡȑȢ IJȘȢ ȖȦȞȓĮȢ. • ȀȐșİ ıȘȝİȓȠ ʌȠȣ ȚıĮʌȑȤİȚ Įʌȩ IJȚȢ ʌȜİȣȡȑȢ ȝȚĮȢ ȖȦȞȓĮȢ İȓȞĮȚ ıȘȝİȓȠ IJȘȢ įȚȤȠIJȩȝȠȣ IJȘȢ.

ȁȣȝȑȞİȢ ĮıțȒıİȚȢ 1

ǻȓȞİIJĮȚ ȚıȠıțİȜȑȢ IJȡȓȖȦȞȠ ǹǺī (ǹǺ = ǹī). ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ: Į) ȅȚ ʌĮȡĮ IJȘ ȕȐıȘ ȖȦȞȓİȢ IJȠȣ İȓȞĮȚ ȓıİȢ. ȕ) Ǿ įȚȤȠIJȩȝȠȢ IJȘȢ țȠȡȣijȒȢ İȓȞĮȚ įȚȐȝİıȠȢ țĮȚ ȪȥȠȢ. ȁȪıȘ Į) ǹȞ ijȑȡȠȣȝİ IJȘȞ įȚȤȠIJȩȝȠ ǹǻ, IJȩIJİ: ȈȣȖțȡȓȞȠȣȝİ IJĮ IJȡȓȖȦȞĮ ǹǺǻ, ǹīǻ IJĮ ȠʌȠȓĮ ȑȤȠȣȞ: i) AB = Aī ȣʌȩșİıȘ ii) (ǹǻ įȚȤȠIJȩȝȠȢ ) 3) ǹǻ țȠȚȞȒ. DZȡĮ İȓȞĮȚ ȓıĮ ıȪȝijȦȞĮ ȝİ IJȠ țȡȚIJȒȡȚȠ (Ȇ-ī-Ȇ), ȠʌȩIJİ șĮ ȑȤȠȣȞ ȩȜĮ IJĮ ĮȞIJȓıIJȠȚȤĮ ıIJȠȚȤİȓĮ IJȠȣȢ ȓıĮ. DzIJıȚ

.

ȕ) ǹʌȩ IJȠ Į) İȡȫIJȘȝĮ IJĮ IJȡȓȖȦȞĮ ǹǺǻ țĮȚ ǹīǻ İȓȞĮȚ ȓıĮ. ȅʌȩIJİ īǻ = Ǻǻ ȐȡĮ Ș ǹǻ İȓȞĮȚ įȚȐȝİıȠȢ. ǹțȩȝȘ İȓȞĮȚ ʌĮȡĮʌȜȘȡȦȝĮIJȚțȑȢ ȐȡĮ șĮ ȚıȤȪİȚ:

țĮȚ

,

. DZȡĮ Ș įȚȤȠIJȩȝȠȢ ǹǻ șĮ İȓȞĮȚ įȚȐȝİıȠȢ țĮȚ ȪȥȠȢ . 2

ǻȓȞİIJĮȚ ȚıȠıțİȜȑȢ IJȡȓȖȦȞȠ ǹǺī ȝİ ǹǺ = ǹī. ǹʌȩ IJȠ ȝȑıȠȞ Ȃ IJȘȢ Ǻī ijȑȡȞȠȣȝİ IJȚȢ ȂȀ țȐșİIJȘ ıIJȘȞ ǹǺ țĮȚ IJȘȞ Ȃȁ țȐșİIJȘ ıIJȘȞ ǹī. ȃĮ įİȓȟİIJİ ȩIJȚ: Į) ȉĮ īȂȁ, ǺȂȀ İȓȞĮȚ ȓıĮ. ȕ) ȉȠ IJȡȓȖȦȞȠ ȂȀȁ İȓȞĮȚ ȚıȠıțİȜȑȢ. Ȗ)

297


ȁȪıȘ Į) ȉĮ IJȡȓȖȦȞĮ īȂȁ, ǺȂȀ ȑȤȠȣȞ:

īİȦȝİIJȡȓĮ

i) ǺȂ = Ȃī (įȚȩIJȚ Ȃ ȝȑıȠȞ Ǻī) ii) iii) ǼȓȞĮȚ ȠȡșȠȖȫȞȚĮ. DZȡĮ İȓȞĮȚ ȓıĮ įȚȩIJȚ İȓȞĮȚ ȠȡșȠȖȫȞȚĮ ȑȤȠȣȞ ȓıİȢ ȣʌȠIJİȓȞȠȣıİȢ țĮȚ ȝȓĮ ȠȟİȓĮ ȖȦȞȓĮ ȓıȘ. ȕ) ǹʌȩ IJȠ Į) İȡȫIJȘȝĮ IJĮ IJȡȓȖȦȞĮ īȂȁ, ǺȂȀ İȓȞĮȚ ȓıĮ,ȠʌȩIJİ șĮ ȑȤȠȣȞ ȓıĮ ȩȜĮ IJĮ ĮȞIJȓıIJȠȚȤĮ ıIJȠȚȤİȓĮ IJȠȣȢ. DzIJıȚ: ȀȂ = Ȃȁ ȠʌȩIJİ IJȠ IJȡȓȖȦȞȠ ȂȀȁ İȓȞĮȚ ȚıȠıțİȜȑȢ. Ȗ) ȉĮ IJȡȓȖȦȞĮ ǺȂȀ, Ȃȁī ȑȤȠȣȞ: i) BM = Mī , ii) ȂȀ = Ȃȁ iii) İȓȞĮȚ ȠȡșȠȖȫȞȚĮ. DZȡĮ İȓȞĮȚ ȓıĮ įȚȩIJȚ ȑȤȠȣȞ ȓıİȢ ȣʌȠIJİȓȞȠȣıİȢ, ȝȓĮ țȐșİIJȘ ʌȜİȣȡȐ ȓıȘ, ȠʌȩIJİ IJĮ ĮȞIJȓıIJȠȚȤĮ ıIJȠȚȤİȓĮ IJȠȣȢ șĮ İȓȞĮȚ ȓıĮ. DzIJıȚ . ǼȡȦIJȒıİȚȢ țĮIJĮȞȩȘıȘȢ NĮ ȤĮȡĮțIJȘȡȓıİIJİ IJȚȢ İʌȩȝİȞİȢ ʌȡȠIJȐıİȚȢ ȝİ ıȦıIJȩ (Ȉ) Ȓ ȜȐșȠȢ (ȁ)

ǹ. 1.

DzȞĮ IJȡȓȖȦȞȠ ȜȑȖİIJĮȚ ĮȝȕȜȣȖȫȞȚȠ ȩIJĮȞ ȩȜİȢ ȠȚ ȖȦȞȓİȢ IJȠȣ İȓȞĮȚ ĮȝȕȜİȓİȢ.

2.

DzȞĮ ȚıȠıțİȜȑȢ IJȡȓȖȦȞȠ įİȞ ȝʌȠȡİȓ ȞĮ ȑȤİȚ ĮȝȕȜİȓĮ ȖȦȞȓĮ

3.

DzȞĮ ȚıȩʌȜİȣȡȠ IJȡȓȖȦȞȠ İȓȞĮȚ ȚıȠıțİȜȑȢ.

4.

DzȞĮ IJȡȓȖȦȞȠ ȝʌȠȡİȓ ȞĮ ȑȤİȚ ȝȓĮ ȖȦȞȓĮ ȠȡșȒ țĮȚ ȝȓĮ ĮȝȕȜİȓĮ

5.

ȊʌȐȡȤİȚ IJȡȓȖȦȞȠ ıIJȠ ȠʌȠȓȠ ȠȚ įȚȤȠIJȩȝȠȚ ȞĮ İȓȞĮȚ țĮȚ įȚȐȝİıȠȚ.

6.

ǹȞ įȪȠ IJȡȓȖȦȞĮ ȑȤȠȣȞ įȪȠ ʌȜİȣȡȑȢ ȓıİȢ țĮȚ ȝȓĮ ȖȦȞȓĮ ȓıȘ IJȩIJİ İȓȞĮȚ ȓıĮ.

7.

ǹȞ įȪȠ IJȡȓȖȦȞĮ ȑȤȠȣȞ IJȚȢ ȖȦȞȓİȢ IJȠȣȢ ȓıİȢ ȝȓĮ ʌȡȠȢ ȝȓĮ IJȩIJİ İȓȞĮȚ ȓıĮ.

8.

ǹȞ įȪȠ IJȡȓȖȦȞĮ ȑȤȠȣȞ ȓıİȢ ʌİȡȚȝȑIJȡȠȣȢ IJȩIJİ İȓȞĮȚ ȓıĮ.

9.

ǹȞ įȪȠ ȚıȠıțİȜȒ IJȡȓȖȦȞĮ ȑȤȠȣȞ IJȚȢ ȖȦȞȓİȢ ȓıİȢ IJȩIJİ İȓȞĮȚ ȓıĮ.

10. ǻȪȠ ȠȡșȠȖȫȞȚĮ IJȡȓȖȦȞĮ ȝİ IJȚȢ țȐșİIJİȢ ʌȜİȣȡȑȢ ȓıİȢ, İȓȞĮȚ ȓıĮ. 11. ȈIJȠ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ IJȡȓȖȦȞȠ Ș ȝİȖĮȜȪIJİȡȘ ȖȦȞȓĮ İȓȞĮȚ Ș ȠȡșȒ. 12. ȈIJȠ ȚıȩʌȜİȣȡȠ IJȡȓȖȦȞȠ ȩȜİȢ ȠȚ ȖȦȞȓİȢ İȓȞĮȚ ȓıİȢ. 13. AȞ įȪȠ ȚıȠıțİȜȒ IJȡȓȖȦȞĮ ȑȤȠȣȞ ȓıİȢ ʌİȡȚȝȑIJȡȠȣȢ IJȩIJİ İȓȞĮȚ ȓıĮ. 14. ǹȞ ıİ ȑȞĮ IJȡȓȖȦȞȠ ȠȚ įȪȠ ʌȜİȣȡȑȢ IJȠȣ İȓȞĮȚ ȐȞȚıİȢ IJȩIJİ İȓȞĮȚ ıțĮȜȘȞȩ. 15. OȚ ȖȦȞȓİȢ IJȘȢ ȕȐıȘȢ ȚıȠıțİȜȠȪȢ IJȡȚȖȫȞȠȣ İȓȞĮȚ ʌȐȞIJĮ ȠȟİȓİȢ. 16. DzȞĮ IJȡȓȖȦȞȠ ȜȑȖİIJĮȚ ĮȝȕȜȣȖȫȞȚȠ ĮȞ Ș ȝȓĮ ȖȦȞȓĮ IJȠȣ İȓȞĮȚ ĮȝȕȜİȓĮ. 17. H įȚȤȠIJȩȝȠȢ IJȡȚȖȫȞȠȣ ȤȦȡȓȗİȚ IJȠ IJȡȓȖȦȞȠ ıİ įȪȠ ȚıȠȖȫȞȚĮ IJȡȓȖȦȞĮ.

298

18. ȀȐșİ ıȘȝİȓȠ ʌȠȣ ĮʌȑȤİȚ Įʌȩ IJȚȢ ʌȜİȣȡȑȢ ȝȚĮȢ ȖȦȞȓĮȢ ĮȞȒțİȚ ıİ ȝİıȠțȐșİIJȠ.


Ǻ.

ǼȡȦIJȒıİȚȢ ʌȠȜȜĮʌȜȒȢ İʌȚȜȠȖȒȢ 1.

Ȉİ ȑȞĮ IJȡȓȖȦȞȠ Ș ȝȓĮ ȖȦȞȓĮ İȓȞĮȚ ȠȡșȒ. ȅȚ ȐȜȜİȢ įȪȠ İȓȞĮȚ ʌȐȞIJȠIJİ: Į. ȠȟİȓİȢ, ȕ. ʌĮȡĮʌȜȘȡȦȝĮIJȚțȑȢ, Ȗ. ȓıİȢ, į. ȐȞȚıİȢ

2.

DzȞĮ IJȡȓȖȦȞȠ ǹǺī įİȞ ȝʌȠȡİȓ ȞĮ İȓȞĮȚ: Į. ȠȡșȠȖȫȞȚȠ țĮȚ ȚıȠıțİȜȑȢ, ȕ. ȚıȠıțİȜȑȢ țĮȚ ĮȝȕȜȣȖȫȞȚȠ Ȗ. ȚıȩʌȜİȣȡȠ țĮȚ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ, į. ıțĮȜȘȞȩ țĮȚ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ.

3.

ǹȞ IJȠ ȪȥȠȢ ǹǻ İȞȩȢ IJȡȚȖȫȞȠȣ ǹǺī İȓȞĮȚ İțIJȩȢ ĮȣIJȠȪ IJȩIJİ: Į. ȉȠ IJȡȓȖȦȞȠ İȓȞĮȚ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ, ȕ. ȉȠ IJȡȓȖȦȞȠ İȓȞĮȚ ȠȟȣȖȫȞȚȠ. Ȗ. ȉȠ IJȡȓȖȦȞȠ İȓȞĮȚ ĮȝȕȜȣȖȫȞȚȠ, į. ȉȠ IJȡȓȖȦȞȠ İȓȞĮȚ ĮȝȕȜȣȖȫȞȚȠ ȝİ ǹ > 900.

4.

ǹȞ ȠȚ ȖȦȞȓİȢ İȞȩȢ IJȡȚȖȫȞȠȣ ǹǺī İȓȞĮȚ: A = 3x, Ǻ = 1200 - 2x, ī = 200 + x IJȩIJİ IJȠ IJȡȓȖȦȞȠ İȓȞĮȚ: Į. ȅȡșȠȖȫȞȚȠ ıțĮȜȘȞȩ, ȕ. ǹȝȕȜȣȖȫȞȚȠ, Ȗ. ȅȟȣȖȫȞȚȠ į. ǿıȩʌȜİȣȡȠ

5.

TĮ ȪȥȘ İȞȩȢ IJȡȚȖȫȞȠȣ IJȑȝȞȠȞIJĮȚ İțIJȩȢ IJȠȣ IJȡȚȖȫȞȠȣ, IJȩIJİ IJȠ IJȡȓȖȦȞȠ İȓȞĮȚ: Į. ȠȡșȠȖȫȞȚȠ, ȕ. ȠȟȣȖȫȞȚȠ, Ȗ. ĮȝȕȜȣȖȫȞȚȠ, į. ȚıȩʌȜİȣȡȠ.

6.

Ȉİ ȑȞĮ IJȡȓȖȦȞȠ IJȠ ȑȞĮ ȝȩȞȠ ȪȥȠȢ IJĮȣIJȓȗİIJĮȚ ȝİ IJȘȞ įȚȤȠIJȩȝȠ, IJȩIJİ IJȠ IJȡȓȖȦȞȠ İȓȞĮȚ: Į. ȠȡșȠȖȫȞȚȠ, ȕ. ȚıȠıțİȜȑȢ, Ȗ. ȚıȩʌȜİȣȡȠ. į. IJȓʌȠIJĮ Įʌȩ IJĮ ʌĮȡĮʌȐȞȦ.

7.

ǹȞ ȑȞĮ IJȡȓȖȦȞȠ İȓȞĮȚ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ IJȩIJİ IJĮ ȪȥȘ IJȑȝȞȠȞIJĮȚ: Į. İțIJȩȢ IJȠȣ IJȡȚȖȫȞȠȣ, ȕ. İȞIJȩȢ IJȠȣ IJȡȚȖȫȞȠȣ, Ȗ. İȓȞĮȚ Ș țȠȡȣijȒ IJȘȢ ȠȡșȒȢ ȖȦȞȓĮȢ, į. IJȓʌȠIJĮ Įʌȩ IJĮ ʌĮȡĮʌȐȞȦ.

īİȦȝİIJȡȓĮ

AȈȀǾȈǼǿȈ īǿǹ ȁȊȈǾ 1

ȈIJȠ įȚʌȜĮȞȩ ıȤȒȝĮ İȓȞĮȚ ȅǹ = ȅī țĮȚ ȅǺ = ȅǻ. ȃĮ įİȓȟİIJİ ȩIJȚ: Į) ȉĮ IJȡȓȖȦȞĮ ȅǹǻ, ȅīǻ İȓȞĮȚ ȓıĮ. ȕ) ȉĮ ȅǹī, ȅǺǻ İȓȞĮȚ ȚıȠıțİȜȒ.

2

ǻȓȞİIJĮȚ ȖȦȞȓĮ țĮȚ ȅį Ș įȚȤȠIJȩȝȠȢ IJȘȢ. ǹȞ Įʌȩ IJȣȤĮȓȠ ıȘȝİȓȠ ǹ IJȘȢ ȅį ijȑȡȠȣȝİ IJȚȢ ǹȀ ] ȅx țĮȚ ǹȁ ] ȅȥ. ȃĮ įİȓȟİIJİ ȩIJȚ IJĮ IJȡȓȖȦȞĮ ȅǹȀ, ȅǹȁ İȓȞĮȚ ȓıĮ țĮȚ ȞĮ ȖȡȐȥİIJİ IJȚȢ ȚıȩIJȘIJİȢ ȖȚĮ IJĮ ȣʌȩȜȠȚʌĮ ıIJȠȚȤİȓĮ IJȦȞ IJȡȚȖȫȞȦȞ.

299


īİȦȝİIJȡȓĮ

300

3

AȞ įȪȠ IJȡȓȖȦȞĮ ǹǺī țĮȚ ǻǼǽ ȑȤȠȣȞ: įȚȤȠIJȩȝȠȣȢ ǹȀ, ǻȁ. ȃĮ įİȓȟİIJİ ȩIJȚ: Į) ȉĮ IJȡȓȖȦȞĮ ǹǺȀ, ǹǼȁ İȓȞĮȚ ȓıĮ. ȕ) ȉĮ IJȡȓȖȦȞĮ ǹǺī, ǻǼǽ İȓȞĮȚ ȓıĮ. Ȗ) ȉĮ IJȡȓȖȦȞĮ ǹȀī, ǻȁǽ İȓȞĮȚ ȓıĮ.

, AB = ǻǼ țĮȚ ȓıİȢ IJȚȢ

4

ǹȞ įȪȠ IJȡȓȖȦȞĮ ǹǺī țĮȚ ǻǼǽ ȑȤȠȣȞ: ǹȀ, ǻȁ. ȃĮ įİȓȟİIJİ ȩIJȚ: Į) ȉĮ IJȡȓȖȦȞĮ ǹǺȀ, Ǽǻȁ İȓȞĮȚ ȓıĮ. ȕ) ȉĮ IJȡȓȖȦȞĮ ǹȀī, ǻȁǽ İȓȞĮȚ ȓıĮ. Ȗ) ȉĮ IJȡȓȖȦȞĮ ǹǺī, ǻǼǽ İȓȞĮȚ ȓıĮ.

5

ǻȓȞȠȞIJĮȚ IJĮ IJȡȓȖȦȞĮ ǹǺī, ǹƍǺƍīƍ IJĮ ȠʌȠȓĮ İȓȞĮȚ ȓıĮ ȝİ: ǹǺ = ǹƍǺƍ, ǹī = ǹƍīƍ ĭȑȡȞȠȣȝİ IJĮ ȪȥȘ ǹǻ , ǹƍǻƍ. ȃĮ įİȓȟİIJİ ȩIJȚ: Į) ȉĮ IJȡȓȖȦȞĮ ǹǺǻ, ǹƍǺƍǻƍ İȓȞĮȚ ȓıĮ. ȕ) ȉĮ IJȡȓȖȦȞĮ ǹǻī, ǹƍǻƍīƍ İȓȞĮȚ ȓıĮ.

6

ǻȓȞİIJĮȚ İȣșȪȖȡĮȝȝȠ IJȝȒȝĮ ǹǺ. ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ IJĮ ıȘȝİȓĮ ǹ, Ǻ ȚıĮʌȑȤȠȣȞ Įʌȩ ȠʌȠȚĮįȒʌȠIJİ İȣșİȓĮ (İ) Ș ȠʌȠȓĮ ʌİȡȞȐİȚ Įʌȩ IJȠ ȝȑıȠȞ Ȃ IJȠȣ IJȝȒȝĮIJȠȢ ǹǺ.

7

ǻȓȞİIJĮȚ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ IJȡȓȖȦȞȠ ǹǺī ȝİ . ȆȡȠİțIJİȓȞȠȣȝİ IJȘ įȚȐȝİıȠ ǹȂ țĮȚ ʌĮȓȡȞȠȣȝİ ǹȂ = ȂǼ. ȃĮ įİȓȟİIJİ ȩIJȚ: Į) ȉĮ IJȡȓȖȦȞĮ ǹȂǺ, ȂīǼ İȓȞĮȚ ȓıĮ. ȕ) ȉĮ IJȡȓȖȦȞĮ ǺȂǼ, ǹȂī İȓȞĮȚ ȓıĮ.

8

ǻȓȞİIJĮȚ ȚıȠıțİȜȑȢ IJȡȓȖȦȞȠ ǹǺī (ǹǺ = ǹī). ȆȡȠİțIJİȓȞȠȣȝİ IJȘȞ ȕȐıȘ Ǻī ʌȡȠȢ IJĮ ıȘȝİȓĮ Ǻ, ī. ȈIJȘȞ ʌȡȠȑțIJĮıȘ ʌȡȠȢ IJȠ Ǻ ʌĮȓȡȞȠȣȝİ IJȠ ıȘȝİȓȠ Ǽ țĮȚ ıIJȘȞ ʌȡȠȑțIJĮıȘ ʌȡȠȢ IJȠ ī IJȠ ıȘȝİȓȠ ǽ, IJȑIJȠȚĮ ȫıIJİ ǺǼ = īǽ. ȃĮ įİȓȟİIJİ ȩIJȚ: Į) ȉĮ IJȡȓȖȦȞĮ ǹǺǼ, ǹīǽ İȓȞĮȚ ȓıĮ. ȕ) ȉȠ IJȡȓȖȦȞȠ ǹǼǽ İȓȞĮȚ ȚıȠıțİȜȑȢ. Ȗ) ȅȚ ĮʌȠıIJȐıİȚȢ IJȦȞ țȠȡȣijȫȞ Ǻ, ī Įʌȩ IJȚȢ ǹǼ țĮȚ ǹǽ İȓȞĮȚ ȓıİȢ.

9

ǻȓȞİIJĮȚ IJȡȓȖȦȞȠ ǹǺī. ĭȑȡȞȠȣȝİ IJȘȞ įȚȐȝİıȠ ǹȂ țĮȚ IJȚȢ ĮʌȠıIJȐıİȚȢ Ǻǻ țĮȚ īǼ IJȦȞ țȠȡȣijȫȞ Ǻ, ī Įʌȩ IJȘȞ ǹȂ. ȃĮ įİȓȟİIJİ ȩIJȚ: Į) ȉĮ IJȡȓȖȦȞĮ ǺǻȂ țĮȚ īǼȂ İȓȞĮȚ ȓıĮ ȕ) Ǻǻ = īǼ

Z țĮȚ ȓıĮ IJĮ ȪȥȘ


10

ǻȓȞİIJĮȚ IJȡȓȖȦȞȠ ǹǺī. ȈIJȚȢ ʌȡȠİțIJȐıİȚȢ IJȦȞ ʌȜİȣȡȫȞ ǹǺ țĮȚ ǹī ʌĮȓȡȞȠȣȝİ IJĮ IJȝȒȝĮIJĮ Ǻǻ = ǹǺ țĮȚ ǹī = īǼ. ĭȑȡȞȠȣȝİ IJȠ ȪȥȠȢ ǹȀ. ǹʌȩ IJĮ ıȘȝİȓĮ ǻ, Ǽ ijȑȡȞȠȣȝİ IJĮ IJȝȒȝĮIJĮ ǻȁ, Ǽȃ, ʌȠȪ İȓȞĮȚ țȐșİIJĮ ıIJȘȞ Ǻī. ȃĮ įİȓȟİIJİ ȩIJȚ: Į) ȉĮ IJȡȓȖȦȞĮ ǻȁǺ, ǹǺȀ İȓȞĮȚ ȓıĮ. ȕ) ȉĮ IJȡȓȖȦȞĮ īǼȃ, ǹȀī İȓȞĮȚ ȓıĮ. Ȗ) ȉĮ ıȘȝİȓĮ ǻ, Ǽ ȚıĮʌȑȤȠȣȞ Įʌȩ IJȘȞ Ǻī.

11

ǻȓȞİIJĮȚ ȚıȠıțİȜȑȢ IJȡȓȖȦȞȠ ǹǺī (ǹǺ = ǹī). ĭȑȡȞȠȣȝİ IJȘȞ įȚȐȝİıȠ ǹȂ țĮȚ ʌȐȞȦ ı’ ĮȣIJȒ ʌĮȓȡȞȠȣȝİ IJȣȤĮȓȠ ıȘȝİȓȠ Ȁ. ȃĮ įİȓȟİIJİ ȩIJȚ: Į) ȉĮ IJȡȓȖȦȞĮ ǺȀȂ, ȂȀī İȓȞĮȚ ȓıĮ. ȕ) ȉĮ IJȡȓȖȦȞĮ ǹǺȀ, ǹȀī İȓȞĮȚ ȓıĮ. Ȗ) ȉȠ IJȡȓȖȦȞȠ ǺȀī İȓȞĮȚ ȚıȠıțİȜȑȢ.

12

ǻȓȞİIJĮȚ ʌĮȡĮȜȜȘȜȩȖȡĮȝȝȠ ǹǺīǻ. ĭȑȡȞȠȣȝİ IJȘȞ įȚĮȖȫȞȚȠ Ǻǻ. ǹʌȩ IJȚȢ țȠȡȣijȑȢ ǹ, Ǽ ijȑȡȞȠȣȝİ IJȚȢ ǹǼ, īǽ țȐșİIJİȢ ıIJȘȞ Ǻǻ. ȃĮ įİȓȟİIJİ ȩIJȚ: Į) ȉĮ IJȡȓȖȦȞĮ ǹǻǼ, Ǻīǽ İȓȞĮȚ ȓıĮ. ȕ) ȉĮ IJȡȓȖȦȞĮ ǹǼǺ, ǻīǽ İȓȞĮȚ ȓıĮ. Ȗ) ȅȚ țȠȡȣijȑȢ ǹ, ī ȚıĮʌȑȤȠȣȞ Įʌȩ IJȘȞ Ǻǻ.

13

ǻȓȞİIJĮȚ IJȡȓȖȦȞȠ ǹǺī (ǹǺ < ǹī) țĮȚ ǹǻ Ș įȚȤȠIJȩȝȠȢ IJȠȣ. ǹʌȩ IJȠ ıȘȝİȓȠ Ǻ ijȑȡȞȠȣȝİ țȐșİIJȘ ıIJȘȞ ǹǻ, ʌȠȣ IJȑȝȞİȚ IJȘȞ ǹī ıIJȠ ǽ. ȃĮ įİȓȟİIJİ ȩIJȚ: Į) ȉȠ IJȡȓȖȦȞȠ ǹǺǽ İȓȞĮȚ ȚıȠıțİȜȑȢ. ȕ) ȉĮ IJȡȓȖȦȞĮ ǹǺǻ, ǹǻǽ İȓȞĮȚ ȓıĮ. Ȗ) ȉȠ Ǻǻǽ İȓȞĮȚ ȚıȠıțİȜȑȢ.

14

ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ ȠȚ įȚĮȖȫȞȚİȢ ıİ ȑȞĮ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ ʌĮȡĮȜȜȘȜȩȖȡĮȝȝȠ İȓȞĮȚ ȓıİȢ.

15

ǻȓȞİIJĮȚ ȚıȠıțİȜȑȢ IJȡȓȖȦȞȠ ǹǺī (ǹǺ = ǹī). ȆȡȠİțIJİȓȞȠȣȝİ IJȚȢ ȓıİȢ ʌȜİȣȡȑȢ ǹǺ, ǹī țĮȚ ʌĮȓȡȞȠȣȝİ IJȝȒȝĮIJĮ Ǻǻ = īǼ. ǹȞ Ȁ İȓȞĮȚ IJȠ ȝȑıȠȞ IJȘȢ ȕȐıȘȢ Ǻī, ȞĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ: Į) ȉĮ IJȡȓȖȦȞĮ ǹȀǻ țĮȚ ǹȀǼ İȓȞĮȚ ȓıĮ. ȕ) ȅȚ ȖȦȞȓİȢ ǹǻȀ țĮȚ ǹǼȀ İȓȞĮȚ ȓıİȢ.

īİȦȝİIJȡȓĮ

301


īİȦȝİIJȡȓĮ

1.2

ȁȩȖȠȢ İȣșȣȖȡȐȝȝȦȞ IJȝȘȝȐIJȦȞ ǴıĮ IJȝȒȝĮIJĮ ȝİIJĮȟȪ ʌĮȡĮȜȜȒȜȦȞ ǹȞ IJȡİȚȢ Ȓ ʌİȡȚııȩIJİȡİȢ ʌĮȡȐȜȜȘȜİȢ İȣșİȓİȢ ȠȡȓȗȠȣȞ ȓıĮ IJȝȒȝĮIJĮ ıİ ȝȓĮ İȣșİȓĮ, IJȩIJİ șĮ ȠȡȓȗȠȣȞ ȓıĮ IJȝȒȝĮIJĮ țĮȚ ıİ țȐșİ ȐȜȜȘ İȣșİȓĮ ʌȠȣ IJȚȢ IJȑȝȞİȚ. ǹʌȩįİȚȟȘ: DzıIJȦ İ1, İ2, İ3 İȓȞĮȚ IJȡİȚȢ ʌĮȡȐȜȜȘȜİȢ İȣșİȓİȢ ʌȠȣ IJȑȝȞȠȣȞ IJȘȞ İȣșİȓĮ İ ıIJĮ ǹ, Ǻ, ī ȑIJıȚ ȫıIJİ: AB = Bī. ǹȞ İƍ İȓȞĮȚ ȝȓĮ ȐȜȜȘ İȣșİȓĮ ʌȠȣ IJȑȝȞİȚ IJȚȢ İ1, İ2, İ3 ıIJĮ ǹƍ, Ǻƍ, īƍ ĮȞIJȓıIJȠȚȤĮ. Α

ε1

ε´

B

ε2 ε3

ε

Γ

B´ Δ

Γ´ E

ĬĮ įİȓȟȠȣȝİ ȩIJȚ : AƍBƍ = Bƍīƍ. ǹȞ ijȑȡȠȣȝİ ǹƍǻ// İ, ǺƍǼ //İ IJȩIJİ: TĮ IJȡȓȖȦȞĮ ǹƍǻǺƍ, ǺƍǼīƍ ȑȤȠȣȞ: Į) ǹƍǻ = ǺƍǼ, įȚȩIJȚ IJĮ ǹǺǻǹƍ, ǺīǼǺƍ İȓȞĮȚ ʌĮȡĮȜȜȘȜȩȖȡĮȝȝĮ (ȑȤȠȣȞ IJȚȢ ĮʌȑȞĮȞIJȚ ʌȜİȣȡȑȢ ʌĮȡȐȜȜȘȜİȢ) țĮȚ ǹǺ = īǻ. ȕ) (ȦȢ İȞIJȩȢ țĮȚ İʌȓ IJĮ ĮȣIJȐ). Ȗ) . (ȦȢ İȞIJȩȢ țĮȚ İʌȓ IJĮ ĮȣIJȐ). DZȡĮ ȅʌȩIJİ IJĮ IJȡȓȖȦȞĮ İȓȞĮȚ ȓıĮ, ȐȡĮ șĮ ȑȤȠȣȞ țĮȚ IJĮ ĮȞIJȓıIJȠȚȤĮ ıIJȠȚȤİȓĮ IJȠȣȢ ȓıĮ ȠʌȩIJİ: AƍBƍ = Bƍīƍ. ȂȑıĮ ʌȜİȣȡȫȞ IJȡȚȖȫȞȠȣ ǻȓȞİIJĮȚ IJȡȓȖȦȞȠ ǹǺī, ĮȞ Įʌȩ IJȠ ȝȑıȠ ǻ IJȘȢ ʌȜİȣȡȐȢ ijȑȡȠȣȝİ ʌĮȡȐȜȜȘȜȘ ʌȡoȢ ȝȓĮ ȐȜȜȘ ʌȜİȣȡȐ IJȠȣ, IJȩIJİ ĮȣIJȒ įȚȑȡȤİIJĮȚ ĮʌȠ IJȠ ȝȑıȠȞ IJȘȢ IJȡȓIJȘȢ ʌȜİȣȡȐȢ. ǹʌȩįİȚȟȘ DzıIJȦ ȑȞĮ IJȡȓȖȦȞȠ ǹǺī. ǹʌȩ IJȠ ȝȑıȠȞ Ȃ IJȘȢ ʌȜİȣȡȐȢ ǹǺ ijȑȡȠȣȝİ IJȘȞ Ȃȃ // Ǻī. ȉȩIJİ ĮȞ Įʌȩ IJȘȞ țȠȡȣijȒ ǹ ijȑȡȠȣȝİ İȣșİȓĮ İ // Ǻī, IJȩIJİ ȠȚ ʌĮȡȐȜȜȘȜİȢ İ, Ȃȃ, Ǻī ȠȡȓȗȠȣȞ ȓıĮ IJȝȒȝĮIJĮ ıIJȘȞ ǹǺ ȐȡĮ șĮ ȠȡȓȗȠȣȞ B țĮȚ ȓıĮ IJȝȒȝĮIJĮ ıIJȘȞ ǹī. DZȡĮ ǹȃ = ȃī.

302

A

Δ

E Γ


ǻȚĮȓȡİıȘ İȣșȣȖȡȐȝȝȠȣ IJȝȒȝĮIJȠȢ ıİ Ȟ ȓıĮ IJȝȒȝĮIJĮ

īİȦȝİIJȡȓĮ

DzıIJȦ ȑȤȠȣȝİ ȑȞĮ İȣșȪȖȡĮȝȝȠ IJȝȒȝĮ ǹǺ = 7cm țĮȚ șȑȜȠȣȝİ ȞĮ IJȠ įȚĮȚȡȑıȠȣȝİ ıİ IJȡȓĮ ȓıĮ IJȝȒȝĮIJĮ, IJȩIJİ IJȠ ȝȒțȠȢ țȐșİ IJȝȒȝĮIJȠȢ șĮ İȓȞĮȚ 2,3333…cm, ȠʌȩIJİ įİȞ ȝʌȠȡȠȪȝİ ȞĮ IJĮ ʌȡȠıįȚȠȡȓıȠȣȝİ ȝİ ĮțȡȓȕİȚĮ. ȂʌȠȡȠȪȝİ ȩȝȦȢ ȞĮ įȠȣȜȑȥȠȣȝİ ȦȢ İȟȒȢ: ī

ǻ

Aʌȩ IJȠ ǹ ijȑȡȞȠȣȝİ ȝȓĮ IJȣȤĮȓĮ ȘȝȚİȣșİȓĮ ǹx țĮȚ ʌȐȞȦ ı’ ĮȣIJȒȞ ʌĮȓȡȞȠȣȝİ ȝİ IJȠ įȚĮȕȒIJȘ IJȡȓĮ įȚĮįȠȤȚțȐ ȓıĮ İȣșȪȖȡĮȝȝĮ IJȝȒȝĮIJĮ ǹǼ, Ǽǽ, ǽǾ. ǼȞȫȞȠȣȝİ IJĮ ıȘȝİȓĮ Ǻ, Ǿ țĮȚ Įʌȩ IJĮ ıȘȝİȓĮ ǽ, Ǽ, ǹ ijȑȡȞȠȣȝİ IJȚȢ ǽǻ, Ǽī, Aȥ ʌĮȡȐȜȜȘȜİȢ ʌȡȠȢ ǺǾ. ȅȚ ʌĮȡȐȜȜȘȜİȢ ĮȣIJȑȢ ȠȡȓȗȠȣȞ ıIJȘȞ ǹx ȓıĮ IJȝȒȝĮIJĮ, ȠʌȩIJİ șĮ ȠȡȓȗȠȣȞ ȓıĮ IJȝȒȝĮIJĮ țĮȚ ıIJȘȞ ǹǺ. DZȡĮ ǹī = īǻ = ǻǺ. Ȃİ IJȠȞ ȓįȚȠ IJȡȩʌȠ ȝʌȠȡȠȪȝİ ȞĮ įȚĮȚȡȑıȠȣȝİ IJȠ ǹǺ ıİ Ȟ ȓıĮ IJȝȒȝĮIJĮ . Ǿ ȑȞȞȠȚĮ IJȠȣ ȜȩȖȠȣ įȪȠ İȣșȣȖȡȐȝȝȦȞ IJȝȘȝȐIJȦȞ DzıIJȦ ǹǺ, īǻ İȓȞĮȚ įȪȠ İȣșȪȖȡĮȝȝĮ IJȝȒȝĮIJĮ. ȅȞȠȝȐȗȠȣȝİ ȜȩȖȠ IJȠȣ İȣșȣȖȡȐȝȝȠȣ IJȝȒȝĮIJȠȢ ǹǺ ʌȡȠȢ IJȠ İȣșȪȖȡĮȝȝȠ IJȝȒȝĮ īǻ țĮȚ ıȣȝȕȠȜȓȗȠȣȝİ ȝİ

IJȠȞ șİIJȚțȩ ĮȡȚșȝȩ Ȝ, ȖȚĮ IJȠȞ ȠʌȠȓȠ ȚıȤȪİȚ ǹǺ = Ȝ · īǻ

ǹȞ IJĮ İȣșȪȖȡĮȝȝĮ IJȝȒȝĮIJĮ ȝİIJȡȘșȠȪȞ ȝİ IJȘȞ ȓįȚĮ ȝȠȞȐįĮ ȝȑIJȡȘıȘȢ, IJȩIJİ Ƞ ȜȩȖȠȢ IJȦȞ İȣșȣȖȡȐȝȦȞ IJȝȘȝȐIJȦȞ İȓȞĮȚ ȓıȠȢ ȝİ IJȠȞ ȜȩȖȠ IJȦȞ ȝȘțȫȞ IJȠȣȢ. ǹȞȐȜȠȖĮ İȣșȪȖȡĮȝȝĮ IJȝȒȝĮIJĮ ǹȞ ȑȤȠȣȝİ IJĮ İȣșȪȖȡĮȝȝĮ IJȝȒȝĮIJĮ Į, ȕ,Ȗ,į IJȩIJİ Ȝȑȝİ: TĮ İȣșȪȖȡĮȝȝĮ IJȝȒȝĮIJĮ Į, Ȗ İȓȞĮȚ ĮȞȐȜȠȖĮ ʌȡȠȢ IJĮ ȕ, į ȩIJĮȞ ȚıȤȪİȚ: (1). H ȚıȩIJȘIJĮ (1) ȜȑȖİIJĮȚ ĮȞĮȜȠȖȓĮ ȝİ ȩȡȠȣȢ IJĮ İȣșȪȖȡĮȝȝĮ IJȝȒȝĮIJĮ Į, ȕ, Ȗ, į. ȉĮ İȣșȪȖȡĮȝȝĮ IJȝȒȝĮIJĮ Į, į ȜȑȖȠȞIJĮȚ ȐțȡȠȚ ȩȡȠȚ İȞȫ IJĮ ȕ, Ȗ ȜȑȖȠȞIJĮȚ ȝȑıȠȚ ȩȡȠȚ. ǹȞ ȑȤȠȣȝİ ĮȞĮȜȠȖȓĮ ȝİ İȣșȪȖȡĮȝȝĮ IJȝȒȝĮIJĮ, IJȩIJİ ȝʌȠȡȠȪȝİ ȞĮ ȤȡȘıȚȝȠʌȠȚȒıȠȣȝİ IJȚȢ ȚįȚȩIJȘIJİȢ IJȦȞ ĮȞĮȜȠȖȚȫȞ Įȡțİȓ ȩȝȦȢ ȦȢ Į, ȕ,Ȗ,į ȞĮ șİȦȡȒıȠȣȝİ IJĮ ȝȒțȘ IJȦȞ İȣșȣȖȡȐȝȝȦȞ IJȝȘȝȐIJȦȞ. ǹȞ ıİ ȝȓĮ ĮȞĮȜȠȖȓĮ ȚıȤȪİȚ: IJȦȞ ȕ țĮȚ Ȗ.

IJȩIJİ Ƞ ĮȡȚșȝȩȢ Į ȜȑȖİIJĮȚ ȝȑıȠȢ ĮȞȐȜȠȖȠȢ

303


ȅȚ ıȘȝĮȞIJȚțȩIJİȡİȢ ȚįȚȩIJȘIJİȢ IJȦȞ ĮȞĮȜȠȖȚȫȞ İȓȞĮȚ:

īİȦȝİIJȡȓĮ

1

IJȩIJİ: Įį = ȕȖ

ǻȘȜĮįȒ ıİ țȐșİ ĮȞĮȜȠȖȓĮ IJȠ ȖȚȞȩȝİȞȠ IJȦȞ ȐțȡȦȞ ȩȡȦȞ İȓȞĮȚ ȓıȠ ȝİ IJȠ ȖȚȞȩȝİȞȠ IJȦȞ ȝȑıȦȞ ȩȡȦȞ. 2

ǹȞ

.

IJȩIJİ

ǻȘȜĮįȒ ıİ țȐșİ ĮȞĮȜȠȖȓĮ ȝʌȠȡȠȪȝİ ȞĮ İȞĮȜȜȐȟȠȣȝİ IJȠȣȢ ȝȑıȠȣȢ Ȓ IJȠȣȢ ȐțȡȠȣȢ ȩȡȠȣȢ țĮȚ ȞĮ ʌȡȠțȪȥİȚ ʌȐȜȚ ĮȞĮȜȠȖȓĮ. 3

ǹȞ

IJȩIJİ

ǻȘȜĮįȒ ȜȩȖȠȚ ȓıȠȚ ȝİIJĮȟȪ IJȠȣȢ İȓȞĮȚ țĮȚ ȓıȠȚ ȝİ IJȠ ȜȩȖȠ, ʌȠȣ ȑȤİȚ ĮȡȚșȝȘIJȒ IJȠ ȐșȡȠȚıȝĮ IJȦȞ ĮȡȚșȝȘIJȫȞ țĮȚ ʌĮȡȠȞȠȝĮıIJȒ IJȠ ȐșȡȠȚıȝĮ IJȦȞ ʌĮȡȠȞȠȝĮıIJȫȞ. ȁȊȂǼȃǼȈ ǹȈȀǾȈǼǿȈ 1

ǻȓȞİIJĮȚ IJȡȓȖȦȞȠ ǹǺī. ǹȞ ǻ İȓȞĮȚ IJȠ ȝȑıȠȞ IJȘȢ ǹǺ țĮȚ Ǽ İȓȞĮȚ IJȠ ȝȑıȠȞ IJȘȢ ǹī. ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ Į) ȉȠ IJȝȒȝĮ ǻǼ İȓȞĮȚ ʌĮȡȐȜȜȘȜȠ ıIJȘȞ Ǻī ȕ) ȁȪıȘ A

Į) ǼʌİȚįȒ ǻ ȝȑıȠ IJȘȢ ǹǺ șĮ ȚıȤȪİȚ ǹǻ = ǻǺ (1) ǹțȩȝȘ Ǽ ȝȑıȠ IJȘȢ ǹī ȐȡĮ șĮ ȚıȤȪİȚ ǹǼ = Ǽī (2). ǹʌȩ (1) țĮȚ (2)

Δ

, ȠʌȩIJİ ǻǼ //Ǻī Β

Ε

Γ

Ζ

ȕ) ǹʌȩ IJȠ Ǽ ijȑȡȞȠȣȝİ Ǽǽ // ǹǺ, IJȩIJİ IJȠ ǽ șĮ İȓȞĮȚ ȝȑıȠȞ IJȠȣ Ǻī, ȐȡĮ . ȉȠ ǻǼǽǺ İȓȞĮȚ ʌĮȡĮȜȜȘȜȩȖȡĮȝȝȠ (įȚȩIJȚ ȑȤİȚ IJȚȢ ĮʌȑȞĮȞIJȚ ʌȜİȣȡȑȢ ʌĮȡȐȜȜȘȜİȢ) ȠʌȩIJİ

. A

2

304

ǻȓȞİIJĮȚ IJȡȓȖȦȞȠ ǹǺī țĮȚ Ș įȚȐȝİıȠȢ ǹǻ ĮȣIJȠȪ. ǹʌȩ IJȠ ȝȑıȠȞ Ȃ IJȘȢ ǹǻ ijȑȡȞȠȣȝİ IJȘȞ ǺȂ Ș ȠʌȠȓĮ IJȑȝȞİȚ IJȘȞ ǹī ıIJȠ ȃ. ǹʌȩ IJȠ ıȘȝİȓȠ ǻ ijȑȡȞȠȣȝİ IJȘȞ ʌĮȡȐȜȜȘȜȘ ıIJȘȞ Ǻȃ ʌȠȣ IJȑȝȞİȚ IJȘȞ ǹī ıIJȠ Ȁ. ȃĮ įİȓȟİIJİ ȩIJȚ: Į) ǹȃ = ȃȀ, ȕ) ȃȀ = Ȁī, Β Ȗ) ǹȃ = ȃȀ = Ȁī

N M

Δ

K Γ


ȁȪıȘ Į) ȈIJȠ IJȡȓȖȦȞȠ ǹǻī İȓȞĮȚ Ȃȃ //ǻȀ țĮȚ İʌİȚįȒ IJȠ Ȃ İȓȞĮȚ ȝȑıȠ IJȠȣ ǹǻ, ȐȡĮ IJȠ ȃ İȓȞĮȚ ȝȑıȠ IJȠȣ ǹȀ, ȠʌȩIJİ: AN = NK (1) ȕ) ȈIJȠ IJȡȓȖȦȞȠ Ǻȃī İȓȞĮȚ ǻȀ // Ǻȃ țĮȚ İʌİȚįȒ IJȠ ǻ İȓȞĮȚ ȝȑıȠ IJȘȢ Ǻī, ȐȡĮ IJȠ Ȁ İȓȞĮȚ ȝȑıȠ IJȠȣ ȃī, ȠʌȩIJİ: NK = Kī (2) Ȗ) ǹʌȩ (1) țĮȚ (2) ǹȃ = ȃȀ = Ȁī 3

īİȦȝİIJȡȓĮ

ǹʌȠįİȓȟIJİ ȩIJȚ: ıİ țȐșİ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ IJȡȓȖȦȞȠ Ș įȚȐȝİıȠȢ ʌȠȣ ĮȞIJȚıIJȠȚȤİȓ ıIJȘȞ ȣʌȠIJİȓȞȠȣıĮ İȓȞĮȚ ȓıȘ ȝİ IJȠ ȝȚıȩ IJȘȢ ȣʌȠIJİȓȞȠȣıĮȢ. ȁȪıȘ Γ DzıIJȦ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ IJȡȓȖȦȞȠ ǹǺī . ĭȑȡȞȠȣȝİ IJȘȞ įȚȐȝİıȠ ǹȂ IJȠȣ ǹǺī țĮȚ IJȘ įȚȐȝİıȠ Ȃȃ IJȠȣ ǹȂī. ȈIJȠ IJȡȓȖȦȞȠ ǹȂī IJȠ Ȃ İȓȞĮȚ ȝȑıȠ M IJȠȣ Ǻī țĮȚ IJȠ ȃ İȓȞĮȚ ȝȑıȠ IJȠȣ ǹī, ȠʌȩIJİ Ȃȃ // ǹǺ. ǹȜȜȐ ǹǺ ] ǹī, ȠʌȩIJİ Ȃȃ ] ǹī. A Β DZȡĮ Ȃȃ ȝİıȠțȐșİIJȘ IJȘȢ ǹī ȠʌȩIJİ ȖȚĮ IJȠ ıȘȝİȓȠ Ȃ ȚıȤȪİȚ: ǹȂ = Ȃī. ǼʌİȚįȒ IJȠ Ȃ İȓȞĮȚ ȝȑıȠ IJȠȣ Ǻī șĮ ȚıȤȪİȚ ǺȂ = Ȃī. ȅʌȩIJİ ǹȂ = ǺȂ = Ȃī, įȘȜ Ș įȚȐȝİıȠȢ ıIJȘȞ ȣʌȠIJİȓȞȠȣıĮ İȓȞĮȚ ȓıȘ ȝİ IJȠ ȝȚıȩ IJȘȢ ȣʌȠIJİȓȞȠȣıĮȢ.

4

ǹʌȠįİȓȟIJİ ȩIJȚ: ĮȞ ıİ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ IJȡȓȖȦȞȠ Ș ȝȓĮ ȠȟİȓĮ ȖȦȞȓĮ İȓȞĮȚ 300 IJȩIJİ Ș ĮʌȑȞĮȞIJȚ țȐșİIJȠȢ ʌȜİȣȡȐ İȓȞĮȚ ȓıȘ ȝİ IJȠ ȝȚıȩ IJȘȢ ȣʌȠIJİȓȞȠȣıĮȢ. ȁȪıȘ DzıIJȦ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ IJȡȓȖȦȞȠ ǹǺī ȝİ

Γ

. ĬĮ įİȓȟȠȣȝİ ȩIJȚ: ǹī=

IJȘ įȚȐȝİıȠ ǹȂ. ȉȩIJİ ǹȂ = ȂǺ = Ȃī. ǼʌİȚįȒ DZȡĮ 5

M

ĭȑȡȞȠȣȝİ A

Β

. ȅʌȩIJİ IJȠ IJȡȓȖȦȞȠ ǹȂī İȓȞĮȚ ȚıȩʌȜİȣȡȠ.

șĮ İȓȞĮȚ .

ǻȓȞİIJĮȚ ȚıȩʌȜİȣȡȠ IJȡȓȖȦȞȠ ǹǺī țĮȚ Ȁ ,ȁ, Ȃ IJĮ ȝȑıĮ IJȦȞ ʌȜİȣȡȫȞ IJȠȣ ǹǺ, Ǻī, ǹī ĮȞIJȓıIJȠȚȤĮ. ȃĮ įİȓȟİIJİ ȩIJȚ țĮȚ IJȠ IJȡȓȖȦȞȠ ȀȁȂ İȓȞĮȚ ȚıȩʌȜİȣȡȠ țĮȚ ȞĮ ȕȡİȓIJİ IJȘȞ ʌİȡȓȝİIJȡȠ IJȠȣ ȀȁȂ ıİ ıȤȑıȘ ȝİ IJȠ ǹǺī. Β

A K

M

Λ

Γ

305


ȁȪıȘ

īİȦȝİIJȡȓĮ

ȈIJȠ IJȡȓȖȦȞȠ ǹǺī İȓȞĮȚ: Į) K ȝȑıȠȞ IJȘȢ ǹǺ, Ȃ ȝȑıȠȞ IJȘȢ ǹī ȐȡĮ (1) (2),

ȕ) ȁ ȝȑıȠȞ IJȘȢ Ǻī, Ȃ ȝȑıȠȞ IJȘȢ ǹī ȐȡĮ

Ȗ) K ȝȑıȠȞ IJȘȢ ǹǺ, ȁ ȝȑıȠȞ IJȘȢ Ǻī, ȐȡĮ (3). ǼʌİȚįȒ ǹǺ = Ǻī= ǹī Įʌȩ (1), (2), (3) șĮ ȑȤȠȣȝİ: KM = ȁȂ = Ȁȁ įȘȜĮįȒ IJȠ IJȡȓȖȦȞȠ İȓȞĮȚ ȚıȩʌȜİȣȡȠ.

6

ǻȓȞİIJĮȚ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ IJȡȓȖȦȞȠ ǹǺī . ǹȞ Ǻī = 10 cm țĮȚ Ȁ, ȁ, Ȃ, İȓȞĮȚ IJĮ ȝȑıĮ IJȦȞ ʌȜİȣȡȫȞ Ǻī, ǹǺ, ǹī ĮȞIJȓıIJȠȚȤĮ, ȞĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİIJİ: Į) ȉȘ įȚȐȝİıȠ ǹȀ țĮȚ IJȠ IJȝȒȝĮ ȁȂ. ȕ) ȃĮ įİȓȟİIJİ ȩIJȚ IJȠ ǹȂȀȁ İȓȞĮȚ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ ȁȪıȘ Γ

Į) ȈIJȠ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ IJȡȓȖȦȞȠ ǹǺī Ș ǹ Ȁ İȓȞĮȚ įȚȐȝİıȠȢ ıIJȘȞ ȣʌȠIJİȓȞȠȣıĮ ȐȡĮ

M

.

A

Β

ȈIJȠ IJȡȓȖȦȞȠ ǹǺī İȓȞĮȚ: IJȠ Ȃ ȝȑıȠȞ IJȘȢ ǹī

306

țĮȚ IJȠ ȁ ȝȑıȠȞ IJȘȢ ǹǺ ȠʌȩIJİ:

.

ȕ) ȉȠ IJİIJȡȐʌȜİȣȡȠ ǹȂȀȁ ȑȤİȚ: ȠʌȩIJİ İȓȞĮȚ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ.

, ȠʌȩIJİ

,


BĮıȚțȐ ıȣȝʌİȡȐıȝĮIJĮ 1.

ǹȞ Įʌȩ IJȠ ȝȑıȠȞ ȝȚĮȢ ʌȜİȣȡȐȢ İȞȩȢ IJȡȚȖȫȞȠȣ ijȑȡȠȣȝİ ʌĮȡȐȜȜȘȜȘ ʌȡȠȢ IJȘ ȝȓĮ ʌȜİȣȡȐ IJȩIJİ ʌİȡȞȐİȚ Įʌȩ IJȠ ȝȑıȠȞ IJȘȢ IJȡȓIJȘȢ ʌȜİȣȡȐȢ.

2.

ǹȞ İȞȫıȠȣȝİ IJĮ ȝȑıĮ įȪȠ ʌȜİȣȡȫȞ İȞȩȢ IJȡȚȖȫȞȠȣ, IJȠ İȣșȪȖȡĮȝȝȠ IJȝȒȝĮ İȓȞĮȚ ʌĮȡȐȜȜȘȜȠ ʌȡȠȢ IJȘȞ IJȡȓIJȘ ʌȜİȣȡȐ țĮȚ İȓȞĮȚ ȓıȠ ȝİ IJȠ ȝȚıȩ IJȘȢ IJȡȓIJȘȢ ʌȜİȣȡȐȢ.

5.

Ȉİ țȐșİ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ IJȡȓȖȦȞȠ Ș įȚȐȝİıȠȢ ʌȠȣ ĮȞIJȚıIJȠȚȤİȓ ıIJȘȞ ȣʌȠIJİȓȞȠȣıĮ İȓȞĮȚ ȓıȘ ȝİ IJȠ ȝȚıȩ IJȘȢ ȣʌȠIJİȓȞȠȣıĮȢ.

6.

ǹȞ ıİ ȑȞĮ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ IJȡȓȖȦȞȠ Ș ȝȓĮ ȠȟİȓĮ ȖȦȞȓĮ İȓȞĮȚ 300 IJȩIJİ Ș ĮʌȑȞĮȞIJȚ țȐșİIJȠȢ ʌȜİȣȡȐ İȓȞĮȚ ȓıȘ ȝİ IJȠ ȝȚıȩ IJȘȢ ȣʌȠIJİȓȞȠȣıĮȢ.

īİȦȝİIJȡȓĮ

ȉĮ ʌĮȡĮʌȐȞȦ ıȣȝʌİȡȐıȝĮIJĮ ȝʌȠȡȠȪȝİ ȞĮ IJĮ ȤȡȘıȚȝȠʌȠȚȠȪȝİ ıIJȚȢ ĮıțȒıİȚȢ ȤȦȡȓȢ ȞĮ IJĮ ĮʌȠįİȚțȞȪȠȣȝİ. ǼȡȦIJȒıİȚȢ țĮIJĮȞȩȘıȘȢ ȃĮ ȤĮȡĮțIJȘȡȓıİIJİ IJȚȢ ʌĮȡĮțȐIJȦ ʌȡȠIJȐıİȚȢ ȝİ ıȦıIJȩ (Ȉ) Ȓ ȜȐșȠȢ (ȁ)

ǹ. 1. 2. 3. 4. 5.

Ǿ įȚȐȝİıȠȢ ʌȡȠȢ IJȘȞ ȣʌȠIJİȓȞȠȣıĮ İȞȩȢ ȠȡșȠȖȦȞȓȠȣ IJȡȚȖȫȞȠȣ ȤȦȡȓȗİȚ IJȠ IJȡȓȖȦȞȠ ıİ įȪȠ ȚıȠıțİȜȒ IJȡȓȖȦȞĮ. ǹȞ ıİ ȑȞĮ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ IJȡȓȖȦȞȠ Ș ȝȓĮ ȠȟİȓĮ ȖȦȞȓĮ İȓȞĮȚ 600, IJȩIJİ Ș ʌȡȠıțİȓȝİȞȘ țȐșİIJȠȢ ıIJȘȞ ʌȜİȣȡȐ ĮȣIJȒ İȓȞĮȚ IJȠ ȝȚıȩ IJȘȢ ȣʌȠIJİȓȞȠȣıĮȢ. ȀȐșİ İȣșİȓĮ ʌĮȡȐȜȜȘȜȘ ʌȡȠȢ ȝȓĮ ʌȜİȣȡȐ IJȡȚȖȫȞȠȣ ȤȦȡȓȗİȚ IJȚȢ ȐȜȜİȢ įȪȠ ʌȜİȣȡȑȢ ıİ ȝȑȡȘ ĮȞȐȜȠȖĮ. ǹȞ İȞȫıȠȣȝİ IJĮ ȝȑıĮ IJȦȞ ʌȜİȣȡȫȞ İȞȩȢ IJİIJȡĮʌȜİȪȡȠȣ IJȩIJİ ıȤȘȝĮIJȓȗİIJĮȚ ʌĮȡĮȜȜȘȜȩȖȡĮȝȝȠ. AȞ ȑȤȠȣȝİ ȑȞĮ İȣșȪȖȡĮȝȝȠ IJȝȒȝĮ ǹǺ = 5 cm, IJȩIJİ įİȞ ȝʌȠȡȠȪȝİ ȞĮ IJȠ ȤȦȡȓıȠȣȝİ ıİ 7 ȓıĮ IJȝȒȝĮIJĮ.

6.

ǹȞ

7.

ȅ ȜȩȖȠȢ įȪȠ ʌȜİȣȡȫȞ İȞȩȢ ȡȩȝȕȠȣ İȓȞĮȚ Ȝ = 1

8.

ǹȞ

9.

ǹȞ ǹB ȑȞĮ IJȝȒȝĮ țĮȚ Ȃ ȝȑıȠȞ IJȠȣ ǹǺ IJȩIJİ:

IJȩIJİ IJȠ İȣșȪȖȡĮȝȝȠ IJȝȒȝĮ ǹǺ İȓȞĮȚ ȝİȖĮȜȪIJİȡȠ Įʌȩ IJȠ īǻ

, IJȩIJİ ǹǺ = 3 țĮȚ īǻ = 5

10. ȅ ȜȩȖȠȢ įȪȠ İȣșȣȖȡȐȝȝȦȞ IJȝȘȝȐIJȦȞ İȓȞĮȚ țĮșĮȡȩȢ ĮȡȚșȝȩȢ. 11. ȅ ȜȩȖȠȢ įȪȠ İȣșȣȖȡȐȝȝȦȞ IJȝȘȝȐIJȦȞ įİ ȝʌȠȡİȓ ȞĮ İȓȞĮȚ ĮȡȞȘIJȚțȩȢ.

307


īİȦȝİIJȡȓĮ

Ǻ.

ǼȡȦIJȒıİȚȢ ʌȠȜȜĮʌȜȒȢ İʌȚȜȠȖȒȢ 1.

ǻȓȞİIJĮȚ İȣșȪȖȡĮȝȝȠ IJȝȒȝĮ ǹǺ, țĮȚ ıȘȝİȓȠ IJȠȣ ī, IJȑIJȠȚȠ ȫıIJİ: TȩIJİ Ƞ ȜȩȖȠȢ

İȓȞĮȚ:

2.

ǻȓȞİIJĮȚ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ IJȡȓȖȦȞȠ ǹǺī Ș įȚȐȝİıȠȢ ǹȂ İȓȞĮȚ ȓıȘ ȝİ: Į. 4, ȕ. 3, Ȗ. 16, į. 5.

. ǹȞ ǹǺ = 8 cm, Aī = 6 cm IJȩIJİ

3.

ǻȓȞİIJĮȚ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ IJȡȓȖȦȞȠ ǹǺī . ǹȞ Ș įȚȐȝİıȠȢ ǹȂ İȓȞĮȚ țĮȚ Ș ǹī = 12 cm, IJȩIJİ Ș ʌȜİȣȡȐ ǹǺ İȓȞĮȚ: Į. 5 cm, ȕ. 10 cm, Ȗ. 8 cm, į. IJȓʌȠIJĮ Įʌȩ IJĮ ʌĮȡĮʌȐȞȦ.

4.

ǻȓȞİIJĮȚ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ IJȡȓȖȦȞȠ ǹǺī . ǹȞ Ǻī = 10cm țĮȚ IJȩIJİ Ș ʌȜİȣȡȐ ǹǺ İȓȞĮȚ: Į. 5cm, ȕ. 20 cm, Ȗ. 8 cm, į. įİȞ ʌȡȠıįȚȠȡȓȗİIJĮȚ.

5.

ǻȓȞİIJĮȚ ȚıȩʌȜİȣȡȠ IJȡȓȖȦȞȠ ǹǺī ȝİ ʌȜİȣȡȐ Į. ȉȩIJİ Ƞ ȜȩȖȠȢ İȞȩȢ ȪȥȠȣȢ ʌȡȠȢ IJȘȞ ʌȜİȣȡȐ IJȠȣ İȓȞĮȚ:

6. ǻȓȞİIJĮȚ IJȡȓȖȦȞȠ ǹǺī ȝİ ǹǺ = 10 cm, Bī = 12 cm, ǹī = 16cm. AȞ Ȁ, ȁ, Ȃ İȓȞĮȚ IJĮ ȝȑıĮ IJȦȞ ʌȜİȣȡȫȞ IJȠȣ, IJȩIJİ IJȠ IJȡȓȖȦȞȠ ȀȁȂ ȑȤİȚ ʌİȡȓȝİIJȡȠ. Į. 38 cm, ȕ. 19 cm, Ȗ. 27 cm, į. IJȓʌȠIJĮ Įʌȩ IJĮ ʌĮȡĮʌȐȞȦ. ǹȈȀǾȈǼǿȈ īǿǹ ȁȊȈǾ 1

ǻȓȞİIJĮȚ ȑȞĮ İȣșȪȖȡĮȝȝȠ IJȝȒȝĮ ǹǺ = 5 cm Į) ȃĮ ȤȦȡȓıİIJİ ȝİ țĮȞȩȞĮ țĮȚ įȚĮȕȒIJȘ IJȠ IJȝȒȝĮ ǹǺ ıİ ȑȟȚ ȓıĮ IJȝȒȝĮIJĮ.

Ȗ) ȃĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİIJİ IJȠȣȢ ȜȩȖȠȣȢ: i)

308

ii)

iii)


2

ǻȓȞİIJĮȚ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ IJȡȓȖȦȞȠ ǹǺī . ǹȞ Ǻī = 12cm țĮȚ țĮȚ ǹȂ İȓȞĮȚ Ș įȚȐȝİıȠȢ ʌȡȠȢ IJȘȞ ȣʌȠIJİȓȞȠȣıĮ ȞĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİIJİ IJȠȣȢ ȜȩȖȠȣȢ:

3

ǻȓȞİIJĮȚ ȡȩȝȕȠȢ ǹǺīǻ ȝİ 600). ǹȞ ȠȚ įȚĮȖȫȞȚȠȚ ǹī, Ǻǻ IJȑȝȞȠȞIJĮȚ ıIJȠ Ȁ ȃĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİIJİ IJȠȣȢ ȜȩȖȠȣȢ:

4

ǻȓȞİIJĮȚ ʌĮȡĮȜȜȘȜȩȖȡĮȝȝȠ ǹǺīǻ (ǹǺ // īǻ). ǹʌȩ IJȠ ȝȑıȠȞ Ǽ IJȠȣ ǹǺ ȞĮ ijȑȡİIJİ ʌĮȡȐȜȜȘȜȘ ıIJȘȞ ǹǻ, Ș ȠʌȠȓĮ IJȑȝȞİȚ IJȚȢ ǹī, ǻī ıIJĮ ıȘȝİȓĮ Ȁ, ȁ ĮȞIJȓıIJȠȚȤĮ. ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ: Į) ȉĮ ıȘȝİȓĮ Ȁ, ȁ İȓȞĮȚ ȝȑıĮ IJȦȞ ǹī, ǻī ĮȞIJȓıIJȠȚȤĮ. ȕ) ȉĮ IJȝȒȝĮIJĮ ǼǺ, Ȁī İȓȞĮȚ ĮȞȐȜȠȖĮ ʌȡȠȢ IJĮ IJȝȒȝĮIJĮ ǹǼ, ǹȀ.

5

ǻȓȞİIJĮȚ IJȡȓȖȦȞȠ ǹǺī (ǹǺ < ǹī). ǹȞ ǽ İȓȞĮȚ ȝȑıȠȞ IJȠȣ ǹǺ, Ǽ ȝȑıȠȞ IJȠȣ ǹī, ǻ ȝȑıȠȞ IJȠȣ Ǻī țĮȚ ǹȀ İȓȞĮȚ IJȠ ȪȥȠȢ IJȠȣ IJȡȚȖȫȞȠȣ. ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ: Į) Ȁǽ = ǻǼ

īİȦȝİIJȡȓĮ

ȕ) Ȗ) ǽǼ // Ǻī 6

Ȉİ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ IJȡȓȖȦȞȠ ǹǺī ǹȂ = 5cm NĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİIJİ IJȠȣȢ ȜȩȖȠȣȢ:

İȓȞĮȚ ǹǺ = 8cm țĮȚ Ș įȚȐȝİıȠȢ

7

ǻȓȞİIJĮȚ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ IJȡȓȖȦȞȠ ǹǺī ȝİ Ǻī = 20 cm. ĭȑȡȞȠȣȝİ IJȘȞ įȚȐȝİıȠ ǹȂ. ǹȞ Ǽ İȓȞĮȚ IJȠ ȝȑıȠȞ IJȘȢ ǹȂ țĮȚ ǻȂ İȓȞĮȚ țȐșİIJȘ ıIJȘȞ ǹī, ȞĮ įİȓȟİIJİ ȩIJȚ: ǻǼ = 5cm

8

ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ: TĮ ȝȑıĮ IJȦȞ ʌȜİȣȡȫȞ İȞȩȢ IJİIJȡĮʌȜȑȣȡȠȣ ĮʌȠIJİȜȠȪȞ țȠȡȣijȑȢ ʌĮȡĮȜȜȘȜȠȖȡȐȝȝȠȣ.

309


īİȦȝİIJȡȓĮ

1.3

ĬİȫȡȘȝĮ IJȠȣ ĬĮȜȒ ȃĮ įȚĮIJȣʌȫıİIJİ IJȠ șİȫȡȘȝĮ IJȠȣ ĬĮȜȒ. ǹȞ IJȡİȚȢ Ȓ ʌİȡȚııȩIJİȡİȢ ʌĮȡȐȜȜȘȜİȢ İȣșİȓİȢ IJȑȝȞȠȣȞ įȪȠ ȐȜȜİȢ İȣșİȓİȢ, IJȩIJİ: ȉĮ IJȝȒȝĮIJĮ ʌȠȣ ȠȡȓȗȠȞIJĮȚ ıIJȘȞ ȝȓĮ İȓȞĮȚ ĮȞȐȜȠȖĮ ʌȡȠȢ IJĮ ĮȞIJȓıIJȠȚȤĮ IJȝȒȝĮIJĮ ʌȠȣ ȠȡȓȗȠȞIJĮȚ ıIJȘȞ ȐȜȜȘ. ǻȘȜĮįȒ: ĮȞ ε1 // ε2 // ε3 τότε

A B Γ

A B B Γ ΑΓ = = (1) A ′B′ Β′Γ ′ Α′Γ ′

ε1

ε2 Γ´

ε3

ǹʌȩ IJȘȞ ȚıȩIJȘIJĮ (1) ȝʌȠȡȠȪȞ ȞĮ ʌȡȠțȪȥȠȣȞ: ΑΒ ΒΓ ΑΓ ΑΒ και = = Α ′Β′ Β′ Γ ′ Α′Β′ Α′Γ ′ ȆĮȡĮIJȘȡȒıȘ: īȚĮ įȪȠ ıȘȝİȓĮ ǻ, Ǽ IJȦȞ ʌȜİȣȡȫȞ ǹǺ, ǹī ĮȞIJȚıIJȠȓȤȦȢ İȞȩȢ IJȡȚȖȫȞȠȣ ǹǺī ȚıȤȪȠȣȞ: A Α Δ ΑΕ • ǹȞ ǻǼ // Ǻī IJȩIJİ . = ΔΒ ΕΓ Δ Ε Α Δ ΑΕ • ǹȞ IJȩIJİ ǻǼ // Ǻī . = ΔΒ ΕΓ B ȉo įİȪIJİȡȠ ıȣȝʌȑȡĮıȝĮ Įʌȩ IJȚȢ ʌĮȡĮIJȘȡȒıİȚȢ ȤȡȘıȚȝȠʌȠȚİȓIJĮȚ ȩIJĮȞ șȑȜȠȣȝİ ȞĮ įİȓȟȠȣȝİ ȩIJȚ: ȩIJȚ įȪȠ IJȝȒȝĮIJĮ İȓȞĮȚ ʌĮȡȐȜȜȘȜĮ.

310

Γ


ǹȈȀǾȈǼǿȈ ȁȊȂǼȃǼȈ 1

īİȦȝİIJȡȓĮ

ȈIJȠ IJȡȓȖȦȞȠ ǹǺī Ș (İ) İȓȞĮȚ ʌĮȡȐȜȜȘȜȘ ıIJȘ Ǻī. ȃĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİIJİ IJȠ x ıİ țȐșİ ʌİȡȓʌIJȦıȘ: A

Į) 2

A

ȕ) x

x

x Δ

Ε

B

4

5 Δ

8 Γ

Ε

10

B

Γ

ȁȪıȘ Į) ȈIJȠ IJȡȓȖȦȞȠ ǹǺī İȓȞĮȚ ǻǼ // Ǻī, ȠʌȩIJİ Įʌȩ IJȠ șİȫȡȘȝĮ IJȠȣ ĬĮȜȒ Α Δ ∆Β 2 x ȑȤȠȣȝİ ή ή x2=16 ή x = 4 . = = x 8 Α Ε ΕΓ ȕ) ȈIJȠ IJȡȓȖȦȞȠ ǹǺī İȓȞĮȚ ǻǼ // Ǻī, ȠʌȩIJİ Įʌȩ IJȠ șİȫȡȘȝĮ IJȠȣ ĬĮȜȒ ȑȤȠȣȝİ Α Δ = ∆Β ή x = 5 ή 10x=20 ή x=2 . 4 10 Α Ε ΕΓ

2

AȞ İ1 // İ2 // İ3, ȞĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİIJİ IJȠ x ıIJȚȢ ʌĮȡĮțȐIJȦ ʌİȡȚʌIJȫıİȚȢ: Į)

A A´ 2 B 3 Γ

B´ x Γ´ 9

ε1

ȕ)

ε2 ε3

Δ4

A 3Ε x

8 B

Γ

ε1 ε2 ε3

ȁȪıȘ Į) ǼȓȞĮȚ İ1 // İ2 // İ3 ȐȡĮ ıȪȝijȦȞĮ ȝİ IJȠ șİȫȡȘȝĮ IJȠȣ ĬĮȜȒ ȑȤȠȣȝİ: ΑΒ ΒΓ 2 3 ή ή 3x= 18 ή x=6 = = x 9 Α ′Β′ Β′ Γ ′

ȕ) ǼȓȞĮȚ İ1 // İ2 // İ3 ȐȡĮ ıȪȝijȦȞĮ ȝİ IJȠ șİȫȡȘȝĮ IJȠȣ ĬĮȜȒ ȑȤȠȣȝİ: A Δ ∆Β 4 8 ή = ή 4x=24 ή x=6 . = 3 x Α Ε ΕΓ

311


īİȦȝİIJȡȓĮ

3

ȈIJȠ ʌĮȡĮțȐIJȦ ıȤȒȝĮ İȓȞĮȚ: AK // Bȁ țĮȚ ȀȂ // ȁȃ. ȃĮ įİȓȟİIJİ ȩIJȚ: OA = OM . AB M N

0 M

A B

ȁȪıȘ

N

K Λ

Στο τρίγωνο ΟΒΛ είναι ΑΚ // ΒΛ. Άρα σύμφωνα με το θεώρημα του Θαλή : OA A B OA OK ή (1) . Στο τρίγωνο ΟΛΝ είναι ΚΜ//ΛΝ. Άρα = = OK K Λ AB KΛ ΟΚ ΚΛ Ο Κ ΟΜ σύμφωνα με το θεώρημα του Θαλή : ή (2) . = = ΟΜ ΜΝ Κ Λ ΜΝ Ο Α ΟΜ . Από (1) και (2) = Α Β ΜΝ

ǼȡȦIJȒıİȚȢ țĮIJĮȞȩȘıȘȢ ȃĮ ȤĮȡĮțIJȘȡȓıİIJİ IJȚȢ İʌȩȝİȞİȢ ʌȡȠIJȐıİȚȢ ȝİ ıȦıIJȩ (Ȉ) Ȓ ȜȐșȠȢ (ȁ)

ǹ.

A

1.

A Δ ΑΕ = Ȉİ IJȡȓȖȦȞȠ ǹǺī Ș ǻǼ // Ǻī. ȉȩIJİ Ε Γ ∆Β

Δ

Ε

B

2.

Γ A

Ȉİ IJȡȓȖȦȞȠ ǹǺī Ș ǹȂ İȓȞĮȚ įȚȐȝİıȠȢ țĮȚ ǻ ȝȑıȠȞ IJȘȢ ǹǺ, ȁ ȝȑıȠȞ IJȘȢ ǺȂ, IJȩIJİ ǻȁ // ǹȂ .

Δ B Λ

3.

A

ȈIJȠ IJȡȓȖȦȞȠ ǹǺī İȓȞĮȚ ǹǻ = 3, ǻǺ = 6, ǹǼ = 5, Ǽī = 8, IJȩIJİ Ș ǻǼ İȓȞĮȚ ʌĮȡȐȜȜȘȜȘ ıIJȘȞ Ǻī .

Δ

Ε

B

4.

312

ȈIJȠ IJȡȓȖȦȞȠ ǹǺī İȓȞĮȚ ǻǼ //Ǻī. ǹȞ ǹǻ = 4, ǹǼ = 2 țĮȚ ǹǺ = 12, IJȩIJİ Ș Ǽī įİȞ ȣʌȠȜȠȖȓȗİIJĮȚ.

Γ

M

Γ

A Δ B

Ε Γ


5.

ǹȞ İ // į // ȗ IJȩIJİ ȚıȤȪİȚ: Α Β ΔΕ = ΑΓ ΕΖ

īİȦȝİIJȡȓĮ ε

A

Δ

B

δ

ε1 Ε

ε2

Γ

Ǻ.

Ζ

ε3

ǼȡȦIJȒıİȚȢ ʌȠȜȜĮʌȜȒȢ İʌȚȜȠȖȒȢ 1.

ȈIJȠ IJȡȓȖȦȞȠ İȓȞĮȚ ǻǼ // Ǻī. ȉȩIJİ Ș IJȚȝȒ IJȠȣ x İȓȞĮȚ: Į. 4, ȕ. 2 Ȗ. 6, į. țĮȝȓĮ Įʌȩ IJĮ ʌĮȡĮʌȐȞȦ .

x

A

4

Δ 4

Ε 8

B

Γ A

2.

3.

ȈIJȠ IJȡȓȖȦȞȠ ǹǺī İȓȞĮȚ ǻǼ// Ǻī. ǹȞ ǹǻ = x + 2, AE = 3, ǻǺ = 4, Ǽī = 2. ȉȩIJİ Ș IJȚȝȒ IJȠȣ x İȓȞĮȚ: Į. 4, ȕ. 6, Ȗ. 8, į. IJȓʌȠIJĮ Įʌȩ IJĮ ʌĮȡĮʌȐȞȦ.

ȈIJȠ IJȡȓȖȦȞȠ ǹǺī İȓȞĮȚ Ǽǻ // Ǻǽ, ǽȀ // ǹǺ. ǹȞ ǹǼ = 4, ǼǺ = 8, ǹǻ = 1, ǻǽ = 2, ǽī = 6, ǺȀ = 5. ȉȩIJİ Ș IJȚȝȒ IJȠȣ Ȁī İȓȞĮȚ: Į. 10, ȕ. 6, Ȗ. 4, į. IJȓʌȠIJĮ Įʌȩ IJĮ ʌĮȡĮʌȐȞȦ.

Δ

Ε

B

Γ A

Ε

Δ

B K

Ζ Γ

ǹȈȀǾȈǼǿȈ īǿǹ ȁȊȈǾ 1

ǻȓȞİIJĮȚ IJȡĮʌȑȗȚȠ ǹǺīǻ (ǹǺ//īǻ). ȅȚ įȚĮȖȫȞȚİȢ ǹī, Ǻǻ IJȑȝȞȠȞIJĮȚ ıIJȠ ȅ

2

ȈIJȠ ȠȟȣȖȫȞȚȠ IJȡȓȖȦȞȠ ǹǺī ijȑȡȞȠȣȝİ IJĮ ȪȥȘ ǹǻ, īǼ. ȈIJȠ IJȡȓȖȦȞȠ ǺǼī ijȑȡȞȠȣȝİ IJȠ ȪȥȠȢ ǼȀ. ȃĮ įİȓȟİIJİ ȩIJȚ: Į) ǼȀ //ǹǻ

313


īİȦȝİIJȡȓĮ

3

ǻȓȞİIJĮȚ IJȡȓȖȦȞȠ ǹǺī țĮȚ Ș įȚȐȝİıȠȢ ǹǻ. ǹʌȩ IJȣȤĮȓȠ ıȘȝİȓȠ Ȃ IJȠȣ IJȝȒȝĮIJȠȢ ǻī ijȑȡȞȠȣȝİ // ǹǻ, Ș ȠʌȠȓĮ IJȑȝȞİȚ IJȘȞ ǹī ıIJȠ ǽ țĮȚ IJȘȞ ǹǺ ıIJȠ Ǽ. ȃĮ įİȓȟİIJİ ȩIJȚ:

4

Ȉİ ȑȞĮ IJȡȓȖȦȞȠ ǹǺī İȓȞĮȚ ǹǺ = 12cm țĮȚ ǹī= 8cm. ȆȐȞȦ ıIJȘ įȚȐȝİıȠ ǹȂ, ʌĮȓȡȞȠȣȝİ ȑȞĮ ıȘȝİȓȠ Ȁ IJȑIJȠȚȠ ȫıIJİ:

. ǹʌȩ IJȠ Ȁ ijȑȡȞȠȣȝİ

İȣșİȓĮ (İ) // ıIJȘȞ Ǻī, ʌȠȣ IJȑȝȞİȚ IJȚȢ ǹǺ, ǹī ıIJĮ Ǽ, ǽ ĮȞIJȓıIJȠȚȤĮ. ȃĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİIJİ IJĮ IJȝȒȝĮIJĮ ǹǽ, ǹǼ.

314

5

ȈIJȠ IJȡȓȖȦȞȠ ǹǺī įȓȞİIJĮȚ ȩIJȚ: ǻǼ // ǹǺ, Ǽǽ // ǹǻ. ǹȞ ǹǼ = x, Ǽī = 12, Ǻǻ = ȥ, ǻǽ = 2x, Zī = 4, ȃĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİIJİ IJĮ x, ȥ.

6

DzıIJȦ IJȡȓȖȦȞȠ ǹǺī. ȆȡȠİțIJİȓȞȠȣȝİ IJȘȞ Ǻī ʌȡȠȢ IJȠ ȝȑȡȠȢ IJȠȣ Ǻ țĮȚ IJȠȣ ī țĮȚ ʌĮȓȡȞȠȣȝİ ıȘȝİȓĮ Ȁ, ȁ ĮȞIJȓıIJȠȚȤĮ IJȑIJȠȚĮ ȫıIJİ: ǺȀ = īȁ. ǹʌȩ IJȠ Ȁ ijȑȡȞȠȣȝİ ʌĮȡȐȜȜȘȜȘ ıIJȘȞ ǹǺ țĮȚ Įʌȩ IJȠ ȁ ʌĮȡȐȜȜȘȜȘ ıIJȘȞ ǹī ʌȠȣ IJȑȝȞȠȞIJĮȚ ıIJȠ ȃ. ǹȞ Ș ȃǹ IJȑȝȞİȚ IJȘȞ Ǻī ıIJȠ Ȃ, ȞĮ įİȓȟİIJİ ȩIJȚ:


1.4

ȅȝȠȚȠșİıȓĮ

īİȦȝİIJȡȓĮ

Į) ȆȫȢ ȠȡȓȗȠȣȝİ IJȠ ȠȝȠȚȩșİIJȠ İȞȩȢ ıȘȝİȓȠȣ ǹȞ ʌȐȡȠȣȝİ įȪȠ ıȘȝİȓĮ ȅ, ǹ țĮȚ ıIJȘȞ ȘȝȚİȣșİȓĮ ȅǹ ʌȐȡȠȣȝİ ȑȞĮ ıȘȝİȓȠ ǹƍ IJȑIJȠȚȠ ȫıIJİ: OAƍ = Ȝ· ȅǹ, ȩʌȠȣ Ȝ > 0, IJȩIJİ Ȝȑȝİ ȩIJȚ IJȠ ıȘȝİȓȠ ǹƍ ȜȑȖİIJĮȚ ȠȝȠȚȩșİIJȠ IJȠȣ ǹ ȝİ țȑȞIJȡȠ IJȠ ȅ țĮȚ ȜȩȖȠ Ȝ. O

ǹ

ǹ´

ȅȝȠȚȠșİıȓĮ Ȝȑȝİ IJȘȞ įȚĮįȚțĮıȓĮ ȝİ IJȘȞ ȠʌȠȓĮ ȕȡȓıțȠȣȝİ IJȠ ȠȝȠȚȩșİIJȠ İȞȩȢ ıȘȝİȓȠȣ ȝİ țȑȞIJȡȠ ȅ țĮȚ ȜȩȖȠ Ȝ. ȉȠ ıȘȝİȓȠ ȅ ȜȑȖİIJĮȚ țȑȞIJȡȠ ȠȝȠȚȠșİıȓĮȢ, İȞȫ Ƞ ĮȡȚșȝȩȢ Ȝ ȜȑȖİIJĮȚ ȜȩȖȠȢ ȠȝȠȚȠșİıȓĮȢ. ȕ) ȆȫȢ ȠȡȓȗȠȣȝİ IJȠ ȠȝȠȚȩșİIJȠ İȣșȣȖȡȐȝȝȠȣ IJȝȒȝĮIJȠȢ. DzıIJȦ ȑȞĮ İȣșȪȖȡĮȝȝȠ IJȝȒȝĮ ǹǺ . īȚĮ ȞĮ ȕȡȠȪȝİ IJȠ ȠȝȠȚȩșİIJȠ IJȠȣ ǹǺ ȝİ țȑȞIJȡȠ ȅ țĮȚ ȜȩȖȠ Ȝ > 0, ȕȡȓıțȠȣȝİ IJĮ ȠȝȠȚȩșİIJĮ ǹƍ, Ǻƍ IJȦȞ ǹ, Ǻ ĮȞIJȓıIJȠȚȤĮ ȝİ țȑȞIJȡȠ ȅ țĮȚ ȜȩȖȠ Ȝ. ȉĮ ȠȝȠȚȩșİIJĮ IJȝȒȝĮIJĮ ǹǺ, ǹƍǺƍ ȑȤȠȣȞ ȜȩȖȠ ȓıȠ 0 ȝİ IJȠ ȜȩȖȠ IJȘȢ ȠȝȠȚȠșİıȓĮȢ. ǻȪȠ ȠȝȠȚȩșİIJĮ IJȝȒȝĮIJĮ Ȓ șĮ ȕȡȓıțȠȞIJĮȚ ıIJȘȞ ȓįȚĮ İȣșİȓĮ Ȓ șĮ İȓȞĮȚ ʌĮȡȐȜȜȘȜĮ

A´ A

B B´

Ȗ) ȆȫȢ ȠȡȓȗȠȣȝİ IJȠ ȠȝȠȚȩșİIJȠ ȖȦȞȓĮȢ. DzıIJȦ ȑȤȠȣȝİ IJȘȞ ȖȦȞȓĮ xǹȥ țĮȚ șȑȜȠȣȝİ ȞĮ ȕȡȠȪȝİ IJȠ ȠȝȠȚȩșİIJȠ IJȘȢ ȖȦȞȓĮȢ ȝİ țȑȞIJȡȠ ȅ țĮȚ ȜȩȖȠ Ȝ > 0. ȆĮȓȡȞȠȣȝİ ȑȞĮ ıȘȝİȓȠ Ǻ ıIJȘȞ ʌȜİȣȡȐ ǹx țĮȚ ȑȞĮ ıȘȝİȓȠ ī ıIJȘȞ ʌȜİȣȡȐ ǹȌ. ȈIJȘȞ ıȣȞȑȤİȚĮ ȕȡȓıțȠȣȝİ IJĮ ȠȝȠȚȩșİIJĮ IJȦȞ A ǹ, Ǻ, ī ȦȢ ʌȡȠȢ țȑȞIJȡȠ IJȠ ȅ țĮȚ ȜȩȖȠ Ȝ. A´ ǹȞ ǹƍ, Ǻƍ, īƍ İȓȞĮȚ IJĮ ĮȞIJȓıIJȠȚȤĮ ȠȝȠȚȩșİIJĮ IJȦȞ ǹ, Ǻ, ī IJȩIJİ Ș ȖȦȞȓĮ Ǻƍǹƍīƍ İȓȞĮȚ Ș ȠȝȠȚȩșİIJȘ IJȘȢ Ǻǹī įȘȜ IJȘȢ xǹȥ. ȅȚ ȠȝȠȚȩșİIJİȢ ȖȦȞȓİȢ İȓȞĮȚ ȓıİȢ.

x

B´ B Ο Γ

ψ Γ´

į) ȆȫȢ ȕȡȓıțȠȣȝİ IJȠ ȠȝȠȚȩșİIJȠ ʌȠȜȣȖȫȞȠȣ. DzıIJȦ ȑȤȠȣȝİ ȑȞĮ IJİIJȡȐʌȜİȣȡȠ ǹǺīǻ. ǹȞ ȕȡȠȪȝİ IJĮ ıȘȝİȓĮ ǹƍ, Ǻƍ, īƍ, ǻƍ IJĮ ȠʌȠȓĮ İȓȞĮȚ IJĮ ȠȝȠȚȩșİIJĮ IJȦȞ țȠȡȣijȫȞ ǹ, Ǻ, ī, ǻ, ȝİ țȑȞIJȡȠ IJȠ ıȘȝİȓȠ ȅ țĮȚ ȜȩȖȠ Ȝ > 0 IJȩIJİ IJȠ IJİIJȡȐʌȜİȣȡȠ ǹƍǺƍīƍǻƍ İȓȞĮȚ IJȠ ȠȝȠȚȩșİIJȠ IJȠȣ ǹǺīǻ.

315


ȅȚ ʌȜİȣȡȑȢ țĮȚ ȠȚ ȖȦȞȓİȢ IJȠȣ ǹƍǺƍīƍǻƍ İȓȞĮȚ ȠȝȠȚȩșİIJİȢ ȝİ IJȚȢ ĮȞIJȓıIJȠȚȤİȢ

īİȦȝİIJȡȓĮ

țĮȚ

ʌȜİȣȡȑȢ țĮȚ ȖȦȞȓİȢ IJȠȣ ǹǺīǻ. ȅʌȩIJİ: A´ A

ǹȞ IJȠ ʌȠȜȪȖȦȞĮ Ȇƍ İȓȞĮȚ ȠȝȠȚȩșİIJȠ IJȠȣ Ȇ ȝİ ȜȩȖȠ Ȝ > 0 IJȩIJİ IJȠ Ȇƍ İȓȞĮȚ: Į) ȝİȖȑșȣȞıȘ IJȠȣ Ȇ ȩIJĮȞ Ȝ > 1 ȕ) ıȝȓțȡȣȞıȘ IJȠȣ Ȇ ȩIJĮȞ 0 < Ȝ < 1 Ȗ) ȓıȠ ȝİ IJȠ Ȇ ȩIJĮȞ Ȝ = 1

B

Ο Δ´

B

Δ Γ

Γ´ ǹȞ įȪȠ ʌȠȜȪȖȦȞĮ İȓȞĮȚ ȠȝȠȚȩșİIJĮ IJȩIJİ ȚıȤȪİȚ: Į) DzȤȠȣȞ IJȚȢ ʌȜİȣȡȑȢ IJȠȣȢ ĮȞȐȜȠȖİȢ țĮȚ IJȚȢ ĮȞIJȓıIJȠȚȤİȢ ȖȦȞȓİȢ IJȠȣȢ ȓıİȢ. ȕ) ȅȚ ĮȞȐȜȠȖİȢ ʌȜİȣȡȑȢ ʌȠȣ įİȞ ȕȡȓıțȠȞIJĮȚ ıIJȘȞ ȓįȚĮ İȣșİȓĮ İȓȞĮȚ ʌĮȡȐȜȜȘȜİȢ.

İ) ȆȫȢ ȕȡȓıțȠȣȝİ IJȠ ȠȝȠȚȩșİIJȠ İȞȩȢ țȪțȜȠȣ. A´ DzıIJȦ țȪțȜȠȢ (Ȁ, ȡ) țĮȚ șȑȜȠȣȝİ ȞĮ ȕȡȠȪȝİ IJȠ ȠȝȠȚȩșİIJȠ IJȠȣ țȪțȜȠȣ ȝİ țȑȞIJȡȠ A ȠȝȠȚȠșİıȓĮȢ IJȠ ıȘȝİȓȠ ȅ țĮȚ ȜȩȖȠ Ȝ > 0. ǺȡȓıțȠȣȝİ IJȠ IJȠ Ȁƍ ʌȠȣ İȓȞĮȚ ȠȝȠȚȩșİIJȠ K´ IJȠȣ țȑȞIJȡȠ Ȁ ȝİ țȑȞIJȡȠ IJȠ ıȘȝİȓȠ ȅ țĮȚ K ȅ ȩȖȠ Ȝ. ȈIJȘ ıȣȞȑȤİȚĮ ʌĮȓȡȞȠȣȝİ IJȣȤĮȓȠ ıȘȝİȓȠ ǹ ıIJȠȞ țȪțȜȠ țĮȚ ȕȡȓıțȠȣȝİ IJȠ ǹƍ ʌȠȣ İȓȞĮȚ ȠȝȠȚȩșİIJȠ IJȠȣ ǹ ȝİ țȑȞIJȡȠ IJȠ ȅ țĮȚ ȜȩȖȠ Ȝ. DzIJıȚ ȠȡȓȗİIJĮȚ ȑȞĮȢ țȪțȜȠȢ ʌȠȣ ȑȤİȚ țȑȞIJȡȠ IJȠ Ȁƍ țĮȚ ȑȤİȚ ĮțIJȓȞĮ ȡ ƍ= Ȁƍǹƍ. ȅ țȪțȜȠȢ (Ȁƍ, ȡƍ) İȓȞĮȚ Ƞ ȠȝȠȚȩșİIJȠȢ IJȠȣ (Ȁ,ȡ) ȝİ țȑȞIJȡȠ IJȠ ȅ țĮȚ ȜȩȖȠ Ȝ.

ǼȡȦIJȒıİȚȢ țĮIJĮȞȩȘıȘȢ ȃĮ ȤĮȡĮțIJȘȡȓıİIJİ IJȚȢ İʌȩȝİȞİȢ ʌȡȠIJȐıİȚȢ ȝİ ıȦıIJȩ (Ȉ) Ȓ ȜȐșȠȢ (ȁ)

ǹ.

316

1.

ȉȠ ȠȝȠȚȩșİIJȠ İȞȩȢ İȣșȣȖȡȐȝȝȠȣ IJȝȒȝĮIJȠȢ İȓȞĮȚ ʌȐȞIJĮ İȣșȪȖȡĮȝȝȠ IJȝȒȝĮ ʌĮȡȐȜȜȘȜȠ ıIJȠ ĮȡȤȚțȩ.

2.

ǹȞ ȝȓĮ ȖȦȞȓĮ İȓȞĮȚ 300 IJȩIJİ Ș ȠȝȠȚȩșİIJȘ IJȘȢ ȝİ ȜȩȖȠ Ȝ = 2 İȓȞĮȚ 600.

3.

ȊʌȐȡȤİȚ ȠȝȠȚȠșİıȓĮ ȝİ ȜȩȖȠ Ȝ < 0.


4.

ȉȠ ȠȝȠȚȩșİIJȠ İȞȩȢ IJİIJȡĮȖȫȞȠȣ įİȞ İȓȞĮȚ ʌȐȞIJĮ IJİIJȡȐȖȦȞȠ țĮȚ İȟĮȡIJȐIJĮȚ Įʌȩ IJȠ ȜȩȖȠ ȠȝȠȚȠșİıȓĮȢ Ȝ.

5.

ǹȞ ıİ ȝȓĮ ȠȝȠȚȠșİıȓĮ İȓȞĮȚ Ȝ = 1 IJȩIJİ IJĮ įȪȠ ıȤȒȝĮIJĮ ıȣȝʌȓʌIJȠȣȞ.

6.

ǹȞ IJȠ ʌȠȜȪȖȦȞȠ Ȇƍ İȓȞĮȚ ȠȝȠȚȩșİIJȠ IJȠȣ Ȇ ȝİ ȜȩȖȠ Ȝ > 1, IJȩIJİ IJȠ Ȇ İȓȞĮȚ ıȝȓțȡȣȞıȘ IJȠȣ Ȇƍ.

7.

ǹȞ įȪȠ țȪțȜȠȚ İȓȞĮȚ ȠȝȠȚȩșİIJȠȚ IJȩIJİ Ƞ ȜȩȖȠȢ IJȦȞ ĮțIJȓȞȦȞ İȓȞĮȚ ȓıȠȢ ȝİ IJȠ ȜȩȖȠ Ȝ IJȘȢ ȠȝȠȚȠșİıȓĮȢ.

Ǻ.

īİȦȝİIJȡȓĮ

ǼȡȦIJȒıİȚȢ ʌȠȜȜĮʌȜȒȢ İʌȚȜȠȖȒȢ 1.

ǹȞ ȑȞĮ IJİIJȡȐȖȦȞȠ ȑȤİȚ ʌȜİȣȡȐ 2cm. TȩIJİ IJȠ ȠȝȠȚȩșİIJȩ IJȠȣ ȝİ țȑȞIJȡȠ IJȠ ıȘȝİȓȠ ǹ țĮȚ ȜȩȖȠ Ȝ = 3, ȑȤİȚ ʌȜİȣȡȐ Į. 6 cm, ȕ. 1,5 cm, Ȗ. 4cm, į. IJȓʌȠIJĮ Įʌȩ IJĮ ʌĮȡĮʌȐȞȦ

2.

DzıIJȦ Ș ȖȦȞȓĮ . Ǿ ȠȝȠȚȠșİIJȒ IJȘȢ ȝİ țȑȞIJȡȠ IJȠ ȅ țĮȚ ȜȩȖȠ Ȝ = 0,5 ȑȤİȚ ȝȑIJȡȠ. Į. 400, ȕ. 800, Ȗ. 200. į. IJȓʌȠIJĮ Įʌȩ IJĮ ʌĮȡĮʌȐȞȦ.

3.

DzȞĮ ȚıȩʌȜİȣȡȠ IJȡȓȖȦȞȠ ǹǺī ȑȤİȚ ʌȜİȣȡȐ Į = 6cm. H ʌȜİȣȡȐ IJȠȣ ȠȝȠȚȩșİIJȠȣ IJȡȚȖȫȞȠȣ ȝİ ȜȩȖȠ șĮ İȓȞĮȚ: Į. 2, ȕ. 3, Ȗ. 18, į. IJȓʌȠIJĮ Įʌȩ IJĮ ʌĮȡĮʌȐȞȦ.

ǹȈȀǾȈǼǿȈ īǿǹ ȁȊȈǾ 1

ǻȓȞİIJĮȚ IJİIJȡȐȖȦȞȠ ǹǺīǻ ȝİ ʌȜİȣȡȐ Į = 2cm. NĮ ıȤİįȚȐıİIJİ: Į) ȉȠ oȝȠȚȩșİIJȩ IJȠȣ ȝİ țȑȞIJȡȠ IJȠ ǹ țĮȚ ȜȩȖȠ 1 ȕ) ȉȠ oȝȠȚȩșİIJȩ IJȠȣ ȝİ țȑȞIJȡȠ IJȠ Ǻ țĮȚ ȜȩȖȠ 2

2

ǻȓȞİIJĮȚ IJȡȓȖȦȞȠ ȚıȩʌȜİȣȡȠ ȝİ ʌȜİȣȡȐ Į = 3cm. NĮ ıȤİįȚȐıİIJİ: Į) ȉȠ ȠȝȠȚȩșİIJȩ IJȠȣ ȝİ țȑȞIJȡȠ IJȠ ıȘȝİȓȠ IJȠȝȒȢ IJȦȞ ȣȥȫȞ țĮȚ ȜȩȖȠ ȕ) ȃĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİIJİ IJȚȢ ʌȜİȣȡȑȢ IJȠȣ ȠȝȠȚȩșİIJȠȣ IJȡȚȖȫȞȠȣ.

317


īİȦȝİIJȡȓĮ

3

ǻȓȞİIJĮȚ țȪțȜȠȢ (ȅ,2). ȃĮ ıȤİįȚȐıİIJİ IJȠ ȠȝȠȚȩșİIJȠ țȪțȜȠ ȝİ țȑȞIJȡȠ IJȠ ıȘȝİȓȠ Ȁ ʌȠȣ İȓȞĮȚ ȝȑıȠȞ IJȘȢ ĮțIJȓȞĮȢ ȅǹ țĮȚ ȜȩȖȠ 2.

4

ǻȓȞİIJĮȚ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ IJȡȓȖȦȞȠ . ǹȞ ǹǺ = 6 cm țĮȚ Ș įȚȐȝİıȠȢ ǹȂ İȓȞĮȚ 5 cm, ȞĮ ıȤİįȚȐıİIJİ IJȠ ȠȝȠȚȩșİIJȠ IJȠȣ IJȡȚȖȫȞȠȣ ȝİ țȑȞIJȡȠ IJȠ Ȃ țĮȚ ȜȩȖȠ Ȝ = 2. ȃĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİIJİ IJȚȢ ʌȜİȣȡȑȢ IJȠȣ ȠȝȠȚȩșİIJȠȣ IJȡȚȖȫȞȠȣ.

5

ǻȓȞİIJĮȚ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ IJȡȓȖȦȞȠ

. ǹȞ ǹǺ = 4, ǹī = 3.

ȃĮ ıȤİįȚȐıİIJİ IJȠ ȠȝȠȚȩșİIJȠ IJȠȣ IJȡȚȖȫȞȠȣ ȝİ țȑȞIJȡȠ IJȠ Ǻ, ȜȩȖȠ ȣʌȠȜȠȖȓıİIJİ IJȚȢ ʌȜİȣȡȑȢ IJȠȣ.

318

țĮȚ ȞĮ


1.5

ȅȝȠȚȩIJȘIJĮ ǹ

īİȦȝİIJȡȓĮ

ȅȝȠȚĮ ʌȠȜȪȖȦȞĮ

ǻȪȠ ʌȠȜȪȖȦȞĮ Ȇ țĮȚ Ȇƍ ʌȠȣ IJȠ ȑȞĮ İȓȞĮȚ ȝİȖȑșȣȞıȘ Ȓ ıȝȓțȡȣȞıȘ IJȠȣ ȐȜȜȠȣ IJĮ Ȝȑȝİ ȩȝȠȚĮ țĮȚ IJĮ ıȣȝȕȠȜȓȗȠȣȝİ Ȇ Ȇƍ. DzIJıȚ ĮȞ įȪȠ ʌȠȜȪȖȦȞĮ İȓȞĮȚ ȠȝȠȚȩșİIJĮ IJȩIJİ İȓȞĮȚ ȩȝȠȚĮ. ǻȪȠ ʌȠȜȪȖȦȞĮ İȓȞĮȚ ȩȝȠȚĮ ȩIJĮȞ: DzȤȠȣȞ IJȚȢ ʌȜİȣȡȑȢ IJȠȣȢ ĮȞȐȜȠȖİȢ țĮȚ IJȚȢ ĮȞIJȓıIJȠȚȤİȢ ȖȦȞȓİȢ IJȠȣȢ ȓıİȢ. ǹȞ ȑȤȠȣȝİ įȪȠ ȩȝȠȚĮ ʌȠȜȪȖȦȞĮ IJȩIJİ įȪȠ ȠʌȠȚİıįȒʌȠIJİ ĮȞIJȓıIJȠȚȤİȢ ʌȜİȣȡȑȢ ȑȤȠȣȞ IJȠȞ ȓįȚȠ ȜȩȖȠ țĮȚ ȜȑȖȠȞIJĮȚ ȠȝȩȜȠȖİȢ țĮȚ Ƞ ȜȩȖȠȢ IJȠȣȢ ȜȑȖİIJĮȚ ȜȩȖȠȢ ȠȝȠȚȩIJȘIJĮȢ. ǹȞ įȪȠ ʌȠȜȪȖȦȞĮ İȓȞĮȚ ȩȝȠȚĮ, IJȩIJİ ȑȤȠȣȞ IJȚȢ ȠȝȩȜȠȖİȢ ʌȜİȣȡȑȢ IJȠȣȢ ĮȞȐȜȠȖİȢ țĮȚ IJȚȢ ĮȞIJȓıIJȠȚȤİȢ ȖȦȞȓİȢ IJȠȣȢ ȓıİȢ. (ǹȣIJȩ ȚıȤȪİȚ įȚȩIJȚ įȪȠ ʌȠȜȪȖȦȞĮ İȓȞĮȚ ȩȝȠȚĮ, ĮȞ İȓȞĮȚ Ȓ ȝʌȠȡİȓ ȞĮ ȖȓȞȠȣȞ ȠȝȠȚȩșİIJĮ țĮȚ İʌȠȝȑȞȦȢ șĮ ȚıȤȪȠȣȞ ȠȚ ȚįȚȩIJȘIJİȢ IJȦȞ ȠȝȠȚȩșİIJȦȞ ıȤȘȝȐIJȦȞ) ȅ ȜȩȖȠȢ IJȦȞ ʌİȡȚȝȑIJȡȦȞ įȪȠ ȠȝȠȓȦȞ ʌȠȜȣȖȫȞȦȞ İȓȞĮȚ ȓıȠȢ ȝİ IJȠ ȜȩȖȠ ȠȝȠȚȩIJȘIJĮȢ IJȠȣȢ, įȚȩIJȚ: AȞ ȑȤȠȣȝİ ȑȞĮ IJİIJȡȐʌȜİȣȡȠ ǹǺīǻ țĮȚ ǹƍǺƍīƍǻƍ IJȠ ȠȝȠȚȩșİIJȠ IJȠȣ ȝİ țȑȞIJȡȠ ȅ țĮȚ ȜȩȖȠ Ȝ IJȩIJİ ȑȤȠȣȝİ:

ȁȩȖȠȢ ȠȝȠȚȩIJȘIJĮȢ - ȀȜȓȝĮțĮ ȅȚ ȤȐȡIJİȢ ıȣȞȒșȦȢ ʌĮȡȠȣıȚȐȗȠȣȞ ȝȓĮ ȖİȦȖȡĮijȚțȒ ʌİȡȚȠȤȒ ıİ ıȝȓțȡȣȞıȘ. ȉȠ ȝȑȖİșȠȢ IJȘȢ ıȝȓțȡȣȞıȘȢ țĮșȠȡȓȗİIJĮȚ Įʌȩ IJȘȞ țȜȚȝĮțĮ IJȠȣ ȤȐȡIJȘ țĮȚ ĮȞĮȖȡȐijİIJĮȚ ʌȐȞȦ ıIJȠ ȤȐȡIJȘ. Ǿ țȜȓȝĮțĮ IJȠȣ ȤȐȡIJȘ İȓȞĮȚ Ƞ ȜȩȖȠȢ IJȘȢ ĮʌȩıIJĮıȘȢ įȪȠ ıȘȝİȓȦȞ ıIJȠ ȤȐȡIJȘ ʌȡȠȢ IJȘȞ ʌȡĮȖȝĮIJȚțȒ ĮʌȩıIJĮıȘ IJȦȞ ĮȞIJȓıIJȠȚȤȦȞ ıȘȝİȓȦȞ. īȚĮ ʌĮȡȐįİȚȖȝĮ ȩIJĮȞ Ș țȜȓȝĮțĮ İȞȩȢ ȤȐȡIJȘ İȓȞĮȚ 1:100.000, ĮȣIJȩ ıȘȝĮȓȞİȚ ȩIJȚ Ș ĮʌȩıIJĮıȘ 1 cm ıIJȠ ȤȐȡIJȘ ĮȞIJȚıIJȠȚȤİȓ ıİ ʌȡĮȖȝĮIJȚțȒ ĮʌȩıIJĮıȘ 100.000 cm = 1000m = 1km.

319


ȆĮȡĮIJȒȡȘıȘ:

īİȦȝİIJȡȓĮ

ǻȪȠ țĮȞȠȞȚțȐ ʌȠȜȪȖȦȞĮ ʌȠȣ ȑȤȠȣȞ IJȠ ȓįȚȠ ʌȜȒșȠȢ ʌȜİȣȡȫȞ İȓȞĮȚ ȩȝȠȚĮ.

Ǻ. ǵȝȠȚĮ IJȡȓȖȦȞĮ ǻȪȠ IJȡȓȖȦȞĮ İȓȞĮȚ ȩȝȠȚĮ ĮȞ ȑȤȠȣȞ IJȚȢ ʌȜİȣȡȑȢ IJȠȣȢ ĮȞȐȜȠȖİȢ țĮȚ IJȚȢ ĮȞIJȓıIJȠȚȤİȢ ȖȦȞȓİȢ ȓıİȢ. ȀȡȚIJȒȡȚĮ ȠȝȠȚȩIJȘIJĮȢ IJȡȚȖȫȞȦȞ. •

ǹȞ įȪȠ IJȡȓȖȦȞĮ IJȚȢ ʌȜİȣȡȑȢ IJȠȣȢ ĮȞȐȜȠȖİȢ, IJȩIJİ İȓȞĮȚ ȩȝȠȚĮ.

ǹȞ įȪȠ IJȡȓȖȦȞĮ ȑȤȠȣȞ įȪȠ ʌȜİȣȡȑȢ IJȠȣȢ ĮȞȐȜȠȖİȢ țĮȚ IJȘȞ ȖȦȞȓĮ ʌȠȣ ʌİȡȚȑȤİIJĮȚ Įʌȩ ĮȣIJȑȢ ȓıȘ, IJȩIJİ İȓȞĮȚ ȩȝȠȚĮ.

ǹȞ įȪȠ IJȡȓȖȦȞĮ ȑȤȠȣȞ įȪȠ ȖȦȞȓİȢ ȓıİȢ ȝȓĮ ʌȡȠȢ ȝȓĮ, IJȩIJİ İȓȞĮȚ ȩȝȠȚĮ.

ȆĮȡĮIJȒȡȘıȘ: AȞ įȪȠ IJȡȓȖȦȞĮ İȓȞĮȚ ȩȝȠȚĮ IJȩIJİ ʌȡȑʌİȚ ȞĮ ȟȑȡȠȣȝİ ȞĮ ȖȡȐijȠȣȝİ IJȠȣȢ ȜȩȖȠȣȢ ȠȝȠȚȩIJȘIJĮȢ. īȚĮ ȞĮ ȖȡȐȥȠȣȝİ IJȠȣȢ ȜȩȖȠȣȢ ȠȝȠȚȩIJȘIJĮȢ ʌȡȑʌİȚ ȞĮ ȟȑȡȠȣȝİ IJȘȞ ȚıȩIJȘIJĮ IJȦȞ ȖȦȞȚȫȞ. DzIJıȚ ȑȤȠȣȝİ: ǹȞ IJĮ IJȡȓȖȦȞĮ ǹǺī, IJȩIJİ ȖȡȐijȠȣȝİ IJĮ IJȡȓȖȦȞĮ ȝİ IJĮ ǻǼǽ ȑȤȠȣȞ ȖȡȐȝȝĮIJĮ ȞĮ ĮȞIJȚıIJȠȚȤȠȪȞ ıIJȚȢ ȓıİȢ ȖȦȞȓİȢ įȘȜ, ǹǺī, ǻǽǼ. ȈIJȘȞ ıȣȞȑȤİȚĮ ʌĮȓȡȞȠȣȝİ IJȠȣȢ ȜȩȖȠȣȢ ȦȢ İȟȒȢ: ȀȐșİ ijȠȡȐ Ƞ ĮȡȚșȝȘIJȒȢ șĮ ıȤȘȝĮIJȓıİIJİ ȝİ ȖȡȐȝȝĮIJĮ Įʌȩ IJȠ ȓįȚȠ IJȡȓȖȦȞȠ țĮȚ Ƞ ʌĮȡȠȞȠȝĮıIJȒȢ ȝİ ȖȡȐȝȝĮIJĮ Įʌȩ IJȠ ȐȜȜȠ IJȡȓȖȦȞȠ ĮȜȜȐ ȝİ IJȘȞ ıİȚȡȐ ʌȠȣ ʌȒȡĮȝİ IJĮ ȖȡȐȝȝĮIJĮ ıIJȠȞ ĮȡȚșȝȘIJȒ įȘȜ. . ȁȊȂǼȃǼȈ ǹȈȀǾȈǼǿȈ 1

ǻȓȞİIJĮȚ IJȡȓȖȦȞȠ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ IJȡȓȖȦȞȠ ǹǺī ȝİ ǹǻ, ȞĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ:

. ĭȑȡȞȠȣȝİ IJȠ ȪȥȠȢ

Į) ȉĮ ǹīǺ, ǹīǻ İȓȞĮȚ ȩȝȠȚĮ țĮȚ ȞĮ ȖȡȐȥİIJİ IJȠȣȢ ȜȩȖȠȣȢ ȠȝȠȚȩIJȘIJĮȢ. ȕ) ȉĮ ǹīǺ, ǹǻǺ İȓȞĮȚ ȩȝȠȚĮ țĮȚ ȞĮ ȖȡȐȥİIJİ IJȠȣȢ ȜȩȖȠȣȢ ȠȝȠȚȩIJȘIJĮȢ.

320


ȁȪıȘ

īİȦȝİIJȡȓĮ

ī ǻ A

2

B

ǻȓȞİIJĮȚ IJȡȓȖȦȞȠ ǹǺī. ǹȞ IJȠ Ȁ İȓȞĮȚ ȝȑıȠȞ IJȠȣ ǹǺ, ȁ İȓȞĮȚ IJȠ ȝȑıȠȞ IJȠȣ ǹī țĮȚ Ȃ İȓȞĮȚ IJȠ ȝȑıȠȞ IJȠȣ Ǻī. ȃĮ įİȓȟİIJİ ȩIJȚ IJĮ īȂȁ , ǹǺī İȓȞĮȚ ȩȝȠȚĮ țĮȚ ȞĮ ȖȡȐȥİIJİ IJȠȣȢ ȜȩȖȠȣȢ ȠȝȠȚȩIJȘIJĮȢ. ȉĮ ǺȀȂ, Ȃȁī İȓȞĮȚ ȩȝȠȚĮ ȁȪıȘ ȉĮ IJȡȓȖȦȞĮ ǹǺī, īȂȁ ȑȤȠȣȞ:

ȉĮ IJȡȓȖȦȞĮ ǹǺī, ǺȀȂ ȑȤȠȣȞ:

3

ǻȪȠ IJȡȓȖȦȞĮ ǹǺī țĮȚ ǻǼǽ İȓȞĮȚ ȩȝȠȚĮ ȝİ țĮȚ . ǹȞ ǹǺ = 10cm Ǻī = 8cm țĮȚ Aī = 12cm. ȉȠ IJȡȓȖȦȞȠ ǻǼǽ ȑȤİȚ ʌİȡȓȝİIJȡȠ 15 cm. ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȠ ȜȩȖȠ ȠȝȠȚȩIJȘIJĮȢ IJȦȞ IJȡȚȖȫȞȦȞ țĮȚ IJȚȢ ʌȜİȣȡȑȢ IJȠȣ ǻǼǽ. ȁȪıȘ

321


ǼȡȦIJȒıİȚȢ țĮIJĮȞȩȘıȘȢ

īİȦȝİIJȡȓĮ

ȃĮ ȤĮȡĮțIJȘȡȓıİIJİ IJȚȢ İʌȩȝİȞİȢ ʌȡȠIJȐıİȚȢ ȝİ ıȦıIJȩ (Ȉ) Ȓ ȜȐșȠȢ (ȁ)

ǹ. 1.

ǻȪȠ ȓıĮ IJȡȓȖȦȞĮ İȓȞĮȚ ȩȝȠȚĮ.

2.

ǻȪȠ IJİIJȡȐȖȦȞĮ İȓȞĮȚ ʌȐȞIJĮ ȩȝȠȚĮ.

3.

ǻȪȠ ȠȡșȠȖȫȞȚĮ ʌĮȡĮȜȜȘȜȩȖȡĮȝȝĮ İȓȞĮȚ ʌȐȞIJĮ ȩȝȠȚĮ.

4.

ǻȪȠ ȚıȩʌȜİȣȡĮ IJȡȓȖȦȞĮ İȓȞĮȚ ʌȐȞIJĮ ȩȝȠȚĮ.

5.

ǻȪȠ ʌȠȜȪȖȦȞĮ ȝİ IJȠȞ ȓįȚȠ ĮȡȚșȝȩ ʌȜİȣȡȫȞ İȓȞĮȚ ʌȐȞIJĮ ȩȝȠȚĮ ȝİIJĮȟȪ IJȠȣȢ.

6.

ǹȞ įȪȠ ȚıȠıțİȜȒ IJȡȓȖȦȞĮ ȑȤȠȣȞ ȓıİȢ ȕȐıİȚȢ IJȩIJİ İȓȞĮȚ ȩȝȠȚĮ.

7.

ǻȪȠ ȠȡșȠȖȫȞȚĮ IJȡȓȖȦȞĮ ȝİ ȓıİȢ ȣʌȠIJİȓȞȠȣıİȢ İȓȞĮȚ ȩȝȠȚĮ.

8.

ǻȪȠ țĮȞȠȞȚțȐ ʌȠȜȪȖȦȞĮ İȓȞĮȚ ʌȐȞIJĮ ȩȝȠȚĮ.

9.

ǻȪȠ ȠȡșȠȖȫȞȚĮ ʌȠȣ ȑȤȠȣȞ Įʌȩ ȝȓĮ ȠȟİȓĮ ȖȦȞȓĮ ȓıȘ İȓȞĮȚ ȩȝȠȚĮ.

10. ȅ ȜȩȖȠȢ IJȦȞ ȣȥȫȞ įȪȠ ȠȝȠȓȦȞ IJȡȚȖȫȞȦȞ İȓȞĮȚ ȓıȠȢ ȝİ IJȠ ȜȩȖȠ ȠȝȠȚȩIJȘIJĮȢ. 11. ǻȪȠ ȠȡșȠȖȫȞȚĮ țĮȚ ȚıȠıțİȜȒ IJȡȓȖȦȞĮ İȓȞĮȚ ȩȝȠȚĮ. 12. ǻȪȠ ʌĮȡĮȜȜȘȜȩȖȡĮȝȝĮ İȓȞĮȚ ʌȐȞIJĮ ȩȝȠȚĮ. 13. ȅ ȜȩȖȠȢ ȠȝȠȚȩIJȘIJĮȢ įȪȠ ȓıȦȞ IJȡȚȖȫȞȦȞ İȓȞĮȚ 0. Ǻ.

ǼȡȦIJȒıİȚȢ ʌȠȜȜĮʌȜȒȢ İʌȚȜȠȖȒȢ 1.

ǻȓȞİIJĮȚ IJȡȓȖȦȞȠ ǹǺī ȝİ ʌȜİȣȡȑȢ: Į = 6, ȕ = 10, Ȗ = 8. ȉȠ IJȡȓȖȦȞȠ ȀȁȂ İȓȞĮȚ ȩȝȠȚȠ ȝİ IJȠ ǹǺī țĮȚ ȑȤİȚ ʌİȡȓȝİIJȡȠ 48. ȉȩIJİ Ș ȝİȖĮȜȪIJİȡȘ ʌȜİȣȡȐ IJȠȣ ȀȁȂ İȓȞĮȚ: Į. 20, ȕ. 16, Ȗ. 12, į. IJȓʌȠIJĮ Įʌȩ IJĮ ʌĮȡĮʌȐȞȦ

2.

ǻȓȞİIJĮȚ IJȡȓȖȦȞȠ ǹǺī. ĭȑȡȞȠȣȝİ IJĮ ȪȥȘ IJȠȣ ǹǽ, ǺǼ. ȉȠ IJȡȓȖȦȞȠ ǺǼī İȓȞĮȚ ȩȝȠȚȠ ȝİ IJȠ IJȡȓȖȦȞȠ: Į. ǹǽī, ȕ. ǹǺǼ, Ȗ. ǹǺī, į. țĮȞȑȞĮ Įʌȩ IJĮ ʌȡȠȘȖȠȪȝİȞĮ.

3.

Ȉİ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ IJȡȓȖȦȞȠ ǹǺī ijȑȡȞȠȣȝİ IJȠ ȪȥȠȢ ǹǻ. ǹȞ Ǻī = 10cm, īǻ = 2cm. ȉȩIJİ IJȠ ȪȥȠȢ ǹǻ İȓȞĮȚ: Į. 4 cm, ȕ. 8 cm, Ȗ. 2 cm, į. IJȓʌȠIJĮ Įʌȩ IJĮ ʌĮȡĮʌȐȞȦ. ǹȞ ıIJȠ įȚʌȜĮȞȩ ıȤȒȝĮ IJĮ IJȡȓȖȦȞĮ ǹǺī țĮȚ ǹǻǼ İȓȞĮȚ ȩȝȠȚĮ țĮȚ ǹǻ = 2cm, ǻǺ = 8cm, Ǻī = 16cm IJȩIJİ Ș ǻǼ İȓȞĮȚ ȓıȘ ȝİ: Į. 4cm, ȕ. 8cm, Ȗ. 2cm, į. IJȓʌȠIJĮ Įʌȩ IJĮ ʌĮȡĮʌȐȞȦ.

4.

322


ǹȈȀǾȈǼǿȈ īǿǹ ȁȊȈǾ 1

Į) ǹȞ ǻǼ // Ǻī, ȞĮ įİȓȟİIJİ ȩIJȚ IJĮ IJȡȓȖȦȞĮ ǹǺī, ǻǼǽ İȓȞĮȚ ȩȝȠȚĮ. ȕ) ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȠ x ıİ țȐșİ ʌİȡȓʌIJȦıȘ.

2

ǻȓȞİIJĮȚ IJȡȓȖȦȞȠ ǹǺī ȝİ ǹǺ = 8cm, Aī = 12cm. ȆȐȞȦ ıIJȚȢ ǹǺ, ǹī ʌĮȓȡȞȠȣȝİ ĮȞIJȓıIJȠȚȤĮ IJĮ ıȘȝİȓĮ ǻ, Ǽ IJȑIJȠȚĮ ȫıIJİ: Aǻ = 2 cm, AE = 3cm. Į) ȃĮ įİȓȟİIJİ ȩIJȚ ǻǼ // Ǻī. ȕ) ȉĮ IJȡȓȖȦȞĮ ǹǻǼ, ǹǺī İȓȞĮȚ ȩȝȠȚĮ. Ȗ) ǹȞ ǻǼ = 4cm,ȞĮ ȕȡİȓIJİ IJȘȞ ʌȜİȣȡȐ Ǻī.

3

ǻȓȞİIJĮȚ IJȠ IJȡȓȖȦȞȠ ǹǺī. ĭȑȡȞȠȣȝİ IJĮ ȪȥȘ ǹǻ, īǼ țĮȚ Ǻǽ. ȃĮ įİȓȟİIJİ ȩIJȚ: Į) ȉĮ ǹǺǻ, ǼǺī İȓȞĮȚ ȩȝȠȚĮ țĮȚ ȞĮ ȖȡȐȥİIJİ IJȠȣȢ ȜȩȖȠȣȢ ȠȝȠȚȩIJȘIJĮȢ. ȕ) ȉĮ ǹǼī, ǹǺǽ İȓȞĮȚ ȩȝȠȚĮ țĮȚ ȞĮ ȖȡȐȥİIJİ IJȠȣȢ ȜȩȖȠȣȢ ȠȝȠȚȩIJȘIJĮȢ.

4

ǻȓȞİIJĮȚ IJȡȓȖȦȞȠ ȠȟȣȖȫȞȚȠ IJȡȓȖȦȞȠ ǹǺī. ĭȑȡȞȠȣȝİ IJȠ ȪȥȠȢ ǹǻ. ǹʌȩ IJȣȤĮȓȠ ıȘȝİȓȠ Ȃ IJȠȣ Ǻī ijȑȡȞȠȣȝİ ȂȀ ] ǹǺ țĮȚ Ȃȁ ] ǹī. ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ: Į) ȉĮ ǺȀȂ, ǹǺǻ İȓȞĮȚ ȩȝȠȚĮ țĮȚ ȞĮ ȖȡĮȥİIJİ IJȠȣȢ ȜȩȖȠȣȢ ȠȝȠȚȩIJȘIJĮȢ. ȕ) ȉĮ ǹǻī, Ȃȁī İȓȞĮȚ ȩȝȠȚĮ țĮȚ ȞĮ ȖȡȐȥİIJİ IJȠȣȢ ȜȩȖȠȣȢ ȠȝȠȚȩIJȘIJĮȢ.

5

ǻȓȞİIJĮȚ IJȡȓȖȦȞȠ ǹǺī. ǹȞ Ș įȚȤȠIJȩȝȠȢ ǹǻ IJȑȝȞİȚ IJȠȞ ʌİȡȚȖİȖȡĮȝȑȞȠ țȪțȜȠ ıIJȠ Ǽ. ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ: Į) ȉĮ IJȡȓȖȦȞĮ ǹǺǻ, ǻǼī İȓȞĮȚ ȩȝȠȚĮ. ȕ) ȉĮ IJȡȓȖȦȞĮ ǹǻī, ǺǻǼ İȓȞĮȚ ȩȝȠȚĮ.

6

ǻȓȞİIJĮȚ IJȡȓȖȦȞȠ ǹǺī. ĭȑȡȞȠȣȝİ IJȠȞ ʌİȡȚȖȖİȖȡĮȝȝȑȞȠ țȪțȜȠ IJȠȣ. ǹȞ ǹǻ İȓȞĮȚ IJȠ ȪȥȠȢ IJȠȣ țĮȚ ǹǼ İȓȞĮȚ įȚȐȝİIJȡȠȢ, ȞĮ įİȓȟİIJİ ȩIJȚ IJĮ ǹǺǻ țĮȚ ǹǼī İȓȞĮȚ ȩȝȠȚĮ țĮȚ ȞĮ ȖȡȐȥİIJİ IJȠȣȢ ȜȩȖȠȣȢ ȠȝȠȚȩIJȘIJĮȢ.

7

ǹȞ įȪȠ IJȡȓȖȦȞĮ İȓȞĮȚ ȩȝȠȚĮ IJȩIJİ Ƞ ȜȩȖȠȢ ȠȝȠȚȩIJȘIJĮȢ ĮȣIJȫȞ İȓȞĮȚ ȓıȠȢ ȝİ IJȠ ȜȩȖȠ įȪȠ ȠȝȩȜȠȖȦȞ ȣȥȫȞ IJȠȣ IJȡȚȖȫȞȠȣ.

8

ǻȓȞİIJĮȚ ʌĮȡĮȜȜȘȜȩȖȡĮȝȠ ǹǺīǻ. ǹʌȩ IJȠ ǹ ijȑȡȞȠȣȝİ İȣșİȓĮ ʌȠȣ IJȑȝȞİȚ IJȘȞ Ǻǻ ıIJȠ Ȁ, IJȘȞ ǻī ıIJȠ ȁ țĮȚ IJȘȞ ʌȡȠȑțIJĮıȘ IJȘȢ Ǻī ıIJȠ Ȃ. ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ: Į) ȉĮ IJȡȓȖȦȞĮ ǹǻȀ, ȀǺȂ İȓȞĮȚ ȩȝȠȚĮ. ȕ) ȉĮ IJȡȓȖȦȞĮ ǻȀȁ, ǹȀǺ İȓȞĮȚ ȩȝȠȚĮ.

īİȦȝİIJȡȓĮ

323


īİȦȝİIJȡȓĮ

1.6

ȁȩȖȠȢ İȝȕĮįȫȞ ȠȝȠȓȦȞ ıȤȘȝȐIJȦȞ DzıIJȦ ȑȞĮ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ ǹǺīǻ, ȝİ įȚĮıIJȐıİȚȢ Į, ȕ. ǹȞ ıȤİįȚȐıȠȣȝİ IJȠ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ ǹƍǺƍīƍǻƍ IJȠ ȠʌȠȓȠ İȓȞĮȚ ȩȝȠȚȠ ȝİ IJȠ ĮȡȤȚțȩ țĮȚ ȑȤȠȣȞ ȜȩȖȠ Ȝ IJȩIJİ: ȠȚ įȚĮıIJȐıİȚȢ șĮ İȓȞĮȚ: ȜĮ, Ȝȕ ȠʌȩIJİ ȖȚĮ IJĮ İȝȕĮįȐ ȑȤȠȣȝİ: . īİȞȚțȐ ȖȚĮ IJĮ ȩȝȠȚĮ ıȤȒȝĮIJĮ ȚıȤȪİȚ IJȠ ıȣȝʌȑȡĮıȝĮ: O ȜȩȖȠȢ IJȦȞ İȝȕĮįȫȞ įȪȠ ȠȝȠȓȦȞ ıȤȘȝȐIJȦȞ İȓȞĮȚ ȓıȠȢ ȝİ IJȠ IJİIJȡȐȖȦȞȠ IJȠȣ ȜȩȖȠȣ ȠȝȠȚȩIJȘIJĮȢ. ȁȊȂǼȃǼȈ ǹȈȀǾȈǼǿȈ

1

ǻȓȞİIJĮȚ IJȡȓȖȦȞȠ ǹǺī. ȆȐȞȦ ıIJȘȞ ǹǺ ʌĮȓȡȞȠȣȝİ ıȘȝİȓȠ ǻ IJȑIJȠȚȠ ȫıIJİ ǹǺ = 2ǹǻ. ǹʌȩ IJȠ ıȘȝİȓȠ ǻ ijȑȡȞȠȣȝİ ʌĮȡȐȜȜȘȜȘ ıIJȘ Ǻī ʌȠȣ IJȑȝȞİȚ IJȘȞ ǹī ıIJȠ Ǽ. ȃĮ įİȓȟİIJİ ȩIJȚ: Į) ȉĮ IJȡȓȖȦȞĮ ǹǻǼ, ǹǺī İȓȞĮȚ ȩȝȠȚĮ țĮȚ ȞĮ ȕȡİȓIJİ IJȠ ȜȩȖȠ ȠȝȠȚȩIJȘIJĮȢ. ȕ) ǹȞ IJȠ İȝȕĮįȩȞ IJȠȣ ǹǻǼ İȓȞĮȚ 10cm2, ȞĮ ȕȡİȓIJİ IJȠ İȝȕĮįȩȞ IJȠȣ ǹǺī. ȁȪıȘ Į) ȉĮ IJȡȓȖȦȞĮ ǹǺī, ǹǻǼ, ȑȤȠȣȞ: i)

A ǻ B

E ī

ȕ) 2

AȞ Ș ʌȜİȣȡȐ İȞȩȢ IJİIJȡĮȖȫȞȠȣ ĮȣȟȘșİȓ țĮIJȐ 30%, ȞĮ ȕȡİȓIJİ ʌȩıȠ % șĮ ĮȣȟȘșİȓ IJȠ İȝȕĮįȩȞ IJȠȣ. ȁȪıȘ DzıIJȦ Į İȓȞĮȚ Ș ʌȜİȣȡȐ IJȠȣ IJİIJȡĮȖȫȞȠȣ țĮȚ Ǽ İȓȞĮȚ IJȠ İȝȕĮįȩȞ IJȠȣ. ȉȩIJİ Ș ʌȜİȣȡȐ IJȠȣ șĮ ȖȓȞİȚ Įƍ = Į + 0,3Į = 1,3 Į. ȉĮ IJİIJȡȐȖȦȞĮ İȓȞĮȚ ȩȝȠȚĮ ȝİ ȜȩȖȠ ȠȝȠȚȩIJȘIJĮȢ

324

. īȚĮ IJĮ İȝȕĮįȐ șĮ ȚıȤȪİȚ: ȅʌȩIJİ Ș ĮȪȟȘıȘ İȓȞĮȚ: Ǽƍ-Ǽ = 0,69 =69%


ǼȡȦIJȒıİȚȢ țĮIJĮȞȩȘıȘȢ

īİȦȝİIJȡȓĮ

ȃĮ ȤĮȡĮțIJȘȡȓıİIJİ IJȚȢ İʌȩȝİȞİȢ ʌȡȠIJȐıİȚȢ ȝİ ıȦıIJȩ (Ȉ) Ȓ ȜȐșȠȢ (ȁ)

ǹ. 1.

ȅ ȜȩȖȠȢ IJȦȞ İȝȕĮįȫȞ įȪȠ ȠȝȠȓȦȞ ıȤȘȝȐIJȦȞ İȓȞĮȚ ȓıȠȢ ȝİ IJȠ ȜȩȖȠ IJȦȞ ʌİȡȚȝȑIJȡȦȞ IJȦȞ ıȤȘȝȐIJȦȞ.

2.

ȅ ȜȩȖȠȢ IJȦȞ İȝȕĮįȫȞ įȪȠ IJİIJȡĮȖȫȞȦȞ İȓȞĮȚ 4. ȉȩIJİ Ƞ ȜȩȖȠȢ IJȦȞ ʌȜİȣȡȫȞ IJȠȣȢ İȓȞĮȚ 2.

3.

ǻȪȠ țȪțȜȠȚ İȓȞĮȚ ʌȐȞIJĮ ȩȝȠȚȠȚ.

4.

DzȞĮ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ IJȡȓȖȦȞȠ ȑȤİȚ țȐșİIJİȢ ʌȜİȣȡȑȢ 6cm, 3cm. TȩIJİ İȓȞĮȚ ȩȝȠȚȠ ȝİ ȑȞĮ ȐȜȜȠ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ ȝİ țȐșİIJİȢ 8cm țĮȚ 4 cm.

5.

ǻȪȠ țȪțȜȠȚ ȑȤȠȣȞ ĮțIJȓȞİȢ ȡ1 = 3cm, ȡ2 = 6 cm IJȩIJİ Ƞ ȜȩȖȠȢ IJȦȞ İȝȕĮįȫȞ IJȠȣȢ İȓȞĮȚ 4.

6.

ǹȞ Ș ʌȜİȣȡȐ İȞȩȢ IJİIJȡĮȖȫȞȠȣ ĮȣȟȘșİȓ țĮIJȐ 20% IJȩIJİ IJȠ İȝȕĮįȩȞ IJȠȣ ĮȣȟȐȞİIJĮȚ țĮIJȐ 40%.

Ǻ.

ǼȡȦIJȒıİȚȢ ʌȠȜȜĮʌȜȒȢ İʌȚȜȠȖȒȢ 1.

DzȞĮ IJİIJȡȐȖȦȞȠ ȑȤİȚ İȝȕĮįȩȞ IJİIJȡĮʌȜȐıȚȠ İȞȩȢ ȐȜȜȠȣ ȝİ ʌȜİȣȡȐ 5cm. TȩIJİ Ș ʌȜİȣȡȐ IJȠȣ İȓȞĮȚ: Į. 10 cm, ȕ. 5 cm, Ȗ. 20 cm, į. IJȓʌȠIJĮ Įʌȩ IJĮ ʌĮȡĮʌȐȞȦ

2.

DzȞĮ IJİIJȡȐʌȜİȣȡȠ ȑȤİȚ İȝȕĮįȩ 50cm2. AȞ IJȡȚʌȜĮıȚĮıIJȠȪȞ ȠȚ ʌȜİȣȡȑȢ IJȠȣ, IJȩIJİ IJȠ ȞȑȠ ʌȠȜȪȖȦȞȠ șĮ ȑȤİȚ İȝȕĮįȩ: Į. 450 cm2, ȕ. 150 cm2, Ȗ. 100cm2 į. IJȓʌȠIJĮ Įʌȩ IJĮ ʌĮȡĮʌȐȞȦ

3.

Ȉİ ȑȞĮ IJȠʌȠȖȡĮijȚțȩ ıȤȑįȚȠ ȑȞĮ ȠȚțȩʌİįȠ ȑȤİȚ ıȤȒȝĮ ȠȡșȠȖȦȞȓȠȣ, ʌĮȡĮȜȜȘȜȠȖȡȐȝȝȠȣ ȝİ ʌȜİȣȡȑȢ 20cm țĮȚ 15cm. AȞ Ș țȜȓȝĮțĮ İȓȞĮȚ 1: 100, IJȠ ȠȚțȩʌİįȠ ȑȤİȚ İȝȕĮįȩȞ. Į. 300 m2, ȕ. 200 m2, Ȗ. 100m2 į. IJȓʌȠIJĮ Įʌȩ IJĮ ʌĮȡĮʌȐȞȦ

325


ǹȈȀǾȈǼǿȈ īǿǹ ȁȊȈǾ

īİȦȝİIJȡȓĮ

1

ȈIJȠ IJȡȓȖȦȞȠ ǹǺī Ș ǻǼ //Ǻī. ǹȞ ǻǼ = 3, īǺ = 9 țĮȚ (ǹǺī) = 100cm2, ȞĮ ȕȡİȓIJİ IJȠ (ǹǻǼ).

2

ǹȞ țȐșİ ʌȜİȣȡȐ İȞȩȢ IJİIJȡĮȖȫȞȠȣ ȝİȚȦșİȓ țĮIJȐ 30%, ȞĮ ȕȡİȓIJİ ʌȩıȠ șĮ ȝİȚȦșİȓ IJȠ İȝȕĮįȩȞ IJȠȣ.

3

ȅȚ įȚĮıIJȐıİȚȢ İȞȩȢ ȠȡșȠȖȦȞȓȠȣ ĮȣȟȒșȘțĮȞ țĮIJȐ 110% (įȚȩIJȚ Ƞ ȚįȚȠțIJȒIJȘȢ (ĮȖȩȡĮıİ țĮȚ IJĮ įȚʌȜĮȞȐ ȠȚțȩʌİįĮ). ȃĮ ȕȡİȓIJİ ʌȩıȠ % ĮȣȟȒșȘțİ IJȠ İȝȕĮįȩȞ IJȠȣ ȠȚțȠʌȑįȠȣ.

4

DzȞĮ ȚıȩʌȜİȣȡȠ IJȡȓȖȦȞȠ ȑȤİȚ ʌȜİȣȡȐ 10 cm. ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȘȞ ʌȜİȣȡȐ IJȠȣ ȚıȠʌȜİȪȡȠȣ IJȠ ȠʌȠȓȠ ȑȤİȚ IJȠ IJİIJȡĮʌȜȐıȚȠ İȝȕĮįȩȞ.

5

Ȉİ IJȡȓȖȦȞȠ ǹǺī ijȑȡȞȠȣȝİ ǻǼ // Ǻī. ǹȞ ǹǻ = 2, ǻǺ = x + 2 țĮȚ

, ȞĮ ȕȡİȓIJİ IJȠ x.

īǼȃǿȀǼȈ ǹȈȀǾȈǼǿȈ

326

1

ǻȓȞİIJĮȚ ȚıȠıțİȜȑȢ IJȡȓȖȦȞȠ ǹǺī (ǹǺ = ǹī), ȝİ Ǻī = 12 cm. ȆĮȓȡȞȠȣȝİ ıIJȘ ȕȐıȘ ıȘȝİȓȠ Ȁ IJȑIJȠȚȠ ȫıIJİ: ǺȀ = 5 Ȁī. ǹʌȩ IJȠ Ȁ ijȑȡȞȠȣȝİ: Kǻ ] ǹī țĮȚ ȀǼ ] ǹǺ. ȃĮ įİȓȟİIJİ ȩIJȚ: Į) ȉĮ IJȡȓȖȦȞĮ Ȁǻī, ȀǼǺ İȓȞĮȚ ȩȝȠȚĮ țĮȚ ȞĮ ȖȡȐȥİIJİ IJȠȣȢ ȜȩȖȠȣȢ ȠȝȠȚȩIJȘIJĮȢ. ȕ) ǹȞ IJȠ IJȡȓȖȦȞȠ ȀǼǺ ȑȤİȚ İȝȕĮįȩȞ 100cm2, ȞĮ ȕȡİȓIJİ IJȠ İȝȕĮįȩȞ IJȠȣ IJȡȚȖȫȞȠȣ Ȁǻī.

2

DzȞĮ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ ʌĮȡĮȜȜȘȜȩȖȡĮȝȝȠ ȑȤİȚ ʌȜİȣȡȑȢ 2 cm țĮȚ 6 cm. DzȞĮ įİȪIJİȡȠ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ İȓȞĮȚ ȩȝȠȚȠ ȝİ IJȠ ĮȡȤȚțȩ țĮȚ ȑȤİȚ įȚĮȖȫȞȚȠ 15 cm. NĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİIJİ IJȠ İȝȕĮįȩȞ IJȠȣ įİȣIJȑȡȠȣ ȠȡșȠȖȦȞȓȠȣ. (ǻȚĮȖȦȞȚıȝȩȢ Ǽ.Ȃ.Ǽ.)

3

DzȞĮ țĮȞȠȞȚțȩ įİțȐȖȦȞȠ ȑȤİȚ ʌȜİȣȡȐ 8cm țĮȚ İȝȕĮįȩȞ 100cm2. DzȞĮ ȐȜȜȠ țĮȞȠȞȚțȩ įİțȐȖȦȞȠ ȑȤİȚ ʌİȡȓȝİIJȡȠ 40cm. AʌȠįİȓȟIJİ ȩIJȚ: Į) ȉĮ įȪȠ ʌȠȜȪȖȦȞĮ İȓȞĮȚ ȩȝȠȚĮ. ȕ) ȉȠ İȝȕĮįȩȞ IJȠȣ įİȣIJȑȡȠȣ ʌȠȜȣȖȫȞȠȣ İȓȞĮȚ 25 cm2.


4

ǻȓȞİIJĮȚ IJȡȓȖȦȞȠ ǹǺī. DzıIJȦ Ȁ ȝȑıȠȞ IJȠȣ ǹǺ țĮȚ ȁ ȝȑıȠ IJȠȣ ǹī. ǹȞ Ȃ İȓȞĮȚ IJȣȤĮȓȠ ıȘȝİȓȠ IJȠȣ Ǻī, ȞĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ Ș Ȁȁ įȚȤȠIJȠȝİȓ IJȘȞ ǹȂ.

5

ǻȓȞİIJĮȚ IJİIJȡȐʌȜİȣȡȠ ǹǺīǻ. ǹȞ IJȠ Ȁ İȓȞĮȚ IJȠ ȝȑıȠ IJȠȣ ǹǺ, IJȠ ȁ İȓȞĮȚ ȝȑıȠ IJȠȣ īǻ, IJȠ Ȃ İȓȞĮȚ ȝȑıȠ IJȠȣ IJȘȢ įȚĮȖȦȞȓȠȣ ǹī țĮȚ IJȠ ȃ İȓȞĮȚ ȝȑıȠ IJȘȢ įȚĮȖȦȞȓȠȣ Ǻǻ. ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ IJȠ ȀȂȁȃ İȓȞĮȚ ʌĮȡĮȜȜȘȜȩȖȡĮȝȝȠ.

6

ǻȓȞİIJĮȚ IJȡĮʌȑȗȚȠ ǹǺīǻ (ǹǺ // īǻ). ǹʌȩ IJȠ ıȘȝİȓȠ IJȠȝȒȢ ȅ IJȦȞ įȚĮȖȦȞȓȦȞ ijȑȡȞȠȣȝİ // ıIJȚȢ ȕȐıİȚȢ ʌȠȣ IJȑȝȞİȚ IJȘȞ ǹǻ ıIJȠ Ǽ țĮȚ IJȘȞ Ǻī ıIJȠ ǽ. ȃĮ įİȓȟİIJİ ȩIJȚ: Į) ȉĮ IJȡȓȖȦȞĮ Ǽǻȅ, ǹǺī İȓȞĮȚ ȩȝȠȚĮ. ȕ) ȉĮ IJȡȓȖȦȞĮ ȅǽī, ǹǺī İȓȞĮȚ ȩȝȠȚĮ. Ȗ) Ǽȅ = ȅǽ

īİȦȝİIJȡȓĮ

10 ȀȡȚIJȒȡȚȠ ǹȟȚȠȜȩȖȘıȘȢ ĬȑȝĮ 10 Į) ȃĮ ȖȡȐȥİIJİ IJĮ țȡȚIJȒȡȚĮ ȚıȩIJȘIJĮȢ IJȡȚȖȫȞȦȞ. ȕ) ȃĮ įȚĮIJȣʌȫıİIJİ IJȠ șİȫȡȘȝĮ IJȠȣ ĬĮȜȒ. Ȗ) ȉȚ Ȝȑȝİ ȠȝȠȚȠșİıȓĮ; ĬȑȝĮ 20 ǻȓȞİIJĮȚ IJȡȓȖȦȞȠ ǹǺī ȝİ (ǹǺ < ǹī). ȆȡȠİțIJİȓȞȦ IJȘ įȚȐȝİıȠ ǹȂ țĮȚ ʌĮȓȡȞȠȣȝİ IJȝȒȝĮ Ȃǻ = ǹȂ. ȃĮ įİȓȟİIJİ ȩIJȚ: Į) ȉĮ IJȡȓȖȦȞĮ ǹǺȂ, Ȃǻī İȓȞĮȚ ȓıĮ. ȕ) Ǻǻ = ǹī ĬȑȝĮ 30 Į) ǻȓȞİIJĮȚ IJȡȓȖȦȞȠ ǹǺī. DzıIJȦ ǹǻ įȚȤȠIJȩȝȠȢ. ĭȑȡȞȠȣȝİ ǺǼ ] ǹǻ țĮȚ īǽ ] ǹǻ. ȃĮ įİȓȟİIJİ ȩIJȚ IJĮ IJȡȓȖȦȞĮ ǹǺǼ, ǹīǽ İȓȞĮȚ ȩȝȠȚĮ țĮȚ ȞĮ ȖȡȐȥİIJİ IJȠȣȢ ȜȩȖȠȣȢ ȠȝȠȚȩIJȘIJĮȢ. ȕ) ȃĮ ȕȡİȓIJİ ʌȩıĮ cm2 ıİ ȤȐȡIJȘ țȜȓȝĮțĮȢ 1:100 ĮȞIJȚıIJȠȚȤȠȪȞ ıİ ȑȞĮȞ ĮȖȡȩ 10 ıIJȡİȝȝȐIJȦȞ. ĬȑȝĮ 40 Į) ȈIJȠ IJȡȓȖȦȞȠ ǹǺī Ș ǻǼ // Ǻī. ǹȞ ǻǼ = 3, ǻǺ = 9 țĮȚ (ǹǺī) = 100cm2, ȞĮ ȕȡİȓIJİ IJȠ (ǹǻǼ). ȕ) DzȞĮ țĮȞȠȞȚțȩ įİțȐȖȦȞȠ ȑȤİȚ ʌȜİȣȡȐ 8cm țĮȚ İȝȕĮįȩȞ 100cm2. DzȞĮ ȐȜȜȠ țĮȞȠȞȚțȩ įİțȐȖȦȞȠ ȑȤİȚ ʌİȡȓȝİIJȡȠ 40cm. AʌȠįİȓȟIJİ ȩIJȚ: ȉȠ İȝȕĮįȩȞ IJȠȣ įİȣIJȑȡȠȣ ʌȠȜȣȖȫȞȠȣ İȓȞĮȚ 25 cm2.

327


īİȦȝİIJȡȓĮ

20 ȀȡȚIJȒȡȚȠ ǹȟȚȠȜȩȖȘıȘȢ ĬȑȝĮ 10 Į) ȃĮ įȚĮIJȣʌȫıİIJİ IJĮ țȡȚIJȒȡȚĮ ȚıȩIJȘIJĮȢ ȠȡșȠȖȦȞȓȦȞ IJȡȚȖȫȞȦȞ. ȕ) ȃĮ įȚĮIJȣʌȫıİIJİ IJĮ țȡȚIJȒȡȚĮ ȠȝȠȚȩIJȘIJĮȢ IJȡȚȖȫȞȦȞ. Ȗ) ȆȠȚĮ IJȡȓȖȦȞĮ ȜȑȖȠȞIJĮȚ ȓıĮ. ĬȑȝĮ 20 ǻȓȞİIJĮȚ IJȡȓȖȦȞȠ ǹǺī ȝİ ǹǺ = 8cm, Aī = 12cm. ȆȐȞȦ ıIJȚȢ ǹǺ, ǹī ʌĮȓȡȞȠȣȝİ ĮȞIJȓıIJȠȚȤĮ IJĮ ıȘȝİȓĮ ǻ, Ǽ IJȑIJȠȚĮ ȫıIJİ: Aǻ = 2 cm, AE = 3 cm. Į) ȃĮ įİȓȟİIJİ ȩIJȚ ǻǼ // Ǻī. ȕ) ȉĮ IJȡȓȖȦȞĮ ǹǻǼ, ǹǺī İȓȞĮȚ ȩȝȠȚĮ. Ȗ) ǹȞ ǻǼ = 4cm,ȞĮ ȕȡİȓIJİ IJȘȞ ʌȜİȣȡȐ Ǻī. ĬȑȝĮ 30 ǻȓȞİIJĮȚ IJȡĮʌȑȗȚȠ ǹǺīǻ (ǹǺ // īǻ). ǹʌȩ IJȠ ıȘȝİȓȠ IJȠȝȒȢ ȅ IJȦȞ įȚĮȖȦȞȓȦȞ ijȑȡȞȠȣȝİ // ıIJȚȢ ȕȐıİȚȢ ʌȠȣ IJȑȝȞİȚ IJȘȞ ǹǻ ıIJȠ Ǽ țĮȚ IJȘȞ Ǻī ıIJȠ ǽ. ȃĮ įİȓȟİIJİ ȩIJȚ: Į) ȉĮ Ǽǻȅ, ǹǺī İȓȞĮȚ ȩȝȠȚĮ. ȕ) ȉĮ ȅǽī, ǹǺī İȓȞĮȚ ȩȝȠȚĮ. Ȗ) Ǽȅ = ȅǽ ĬȑȝĮ 40 DzıIJȦ IJȡȓȖȦȞȠ ǹǺī. ȆȡȠİțIJİȓȞȠȣȝİ IJȘȞ Ǻī ʌȡȠȢ IJȠ ȝȑȡȠȢ IJȠȣ Ǻ țĮȚ IJȠȣ ī țĮȚ ʌĮȓȡȞȠȣȝİ ıȘȝİȓĮ Ȁ, ȁ ĮȞIJȓıIJȠȚȤĮ IJȑIJȠȚĮ ȫıIJİ: ǺȀ = īȁ . ǹʌȩ IJȠ Ȁ ijȑȡȞȠȣȝİ ʌĮȡȐȜȜȘȜȘ ıIJȘȞ ǹǺ țĮȚ Įʌȩ IJȠ ȁ ʌĮȡȐȜȜȘȜȘ ıIJȘȞ ǹī ʌȠȣ IJȑȝȞȠȞIJĮȚ ıIJȠ ȃ. ǹȞ Ș ȃǹ IJȑȝȞİȚ IJȘȞ Ǻī ıIJȠ Ȃ, ȞĮ įİȓȟİIJİ ȩIJȚ:

328


ȁȪıİȚȢ ıȤȠȜȚțȠȪ ȕȚȕȜȓȠȣ 1.1

īİȦȝİIJȡȓĮ

IıȩIJȘIJĮ IJȡȚȖȫȞȦȞ

1. 2.

ǻİȞ İȓȞĮȚ ȓıĮ įȚȩIJȚ Ș ȖȦȞȓĮ įİȞ İȓȞĮȚ Ș ʌİȡȚİȤȩȝİȞȘ.

3.

DzȤȠȣȞ: Į) Ǻī = Ǽǽ, ȕ) Ǻ = Ǽ = 800 Ȗ) ī = ǽ (ȑȤȠȣȞ IJȚȢ įȪȠ ȖȦȞȓİȢ ȓıİȢ ȐȡĮ șĮ ȑȤȠȣȞ țĮȚ IJȘȞ IJȡȓIJȘ ȓıȘ), ȐȡĮ İȓȞĮȚ ȓıĮ (ī- Ȇ-ī) ȠʌȩIJİ: AB = ǻǼ, ǹī = ǻǽ

4.

ȉĮ ǹǺī = ȀȁȂ įȚȩIJȚ: ıIJȠ ȀȁȂ Ȃ = 450, ȐȡĮ ȑȤȠȣȞ: YYY  Y Į) Ǻ = ȁ = 600, ȕ) ī = Ȃ = 450 Ȗ) Ǻī = ȁȂ

5.

ǵȤȚ. ǻȚȩIJȚ ȑȤȠȣȞ įȪȠ ȓıİȢ ʌȜİȣȡȑȢ, įİȞ ȑȤȠȣȞ ȩȝȦȢ IJȚȢ ʌȡȠıțİȓȝİȞİȢ ȖȦȞȓİȢ ȓıİȢ.

6.

ǼȓȞĮȚ ȓıĮ įȚȩIJȚ ȑȤȠȣȞ IJȚȢ ʌȜİȣȡȑȢ IJȠȣȢ ȓıİȢ

YYY Y

Y

.

7. Į ȁ

ȕ Ȉ

Ȗ ȁ

į Ȉ

İ Ȉ

ıIJ ȁ

8.

ǼȓȞĮȚ ȓıĮ įȚȩIJȚ: İȓȞĮȚ ȠȡșȠȖȫȞȚĮ, ȑȤȠȣȞ ȓıİȢ ȣʌȠIJİȓȞȠȣıİȢ țĮȚ ȝȓĮ ȠȟİȓĮ ȖȦȞȓĮ ȓıȘ.

9.

ǴıĮ İȓȞĮȚ IJĮ: ǹǺī, ȀȁȂ įȚȩIJȚ İȓȞĮȚ ȠȡșȠȖȫȞȚĮ, ȑȤȠȣȞ ȝȓĮ țȐșİIJȘ ʌȜİȣȡȐ ȓıȘ țĮȚ IJȚȢ ʌȡȠıțİȓȝİȞİȢ ıIJȘȞ țȐșİIJȘ ȓıİȢ.

10. ǻİȞ İȓȞĮȚ ȓıĮ įȚȩIJȚ ʌȡȑʌİȚ ȞĮ ȑȤȠȣȞ ȓıİȢ įȪȠ ĮȞIJȓıIJȠȚȤİȢ ʌȜİȣȡȑȢ ȓıİȢ (įȪȠ țȐșİIJİȢ, Ȓ țȐșİIJȘ țĮȚ ȣʌȠIJİȓȞȠȣıĮ). 11. ǼȓȞĮȚ ȓıĮ įȚȩIJȚ İȓȞĮȚ ȠȡșȠȖȫȞȚĮ, ȑȤȠȣȞ ȓıİȢ ȣʌȠIJİȓȞȠȣıİȢ țĮȚ ȝȓĮ țȐșİIJȘ ʌȜİȣȡȐ ȓıȘ.

329


ȆȡȠIJİȚȞȩȝİȞİȢ ĮıțȒıİȚȢ - ʌȡȠȕȜȒȝĮIJĮ

īİȦȝİIJȡȓĮ

YY

1.

ȉĮ IJȡȓȖȦȞĮ ǹǺǻ, ǹǼī ȑȤȠȣȞ: Į) ǹǺ = ǹī, ȕ) ǹǻ = ǹǼ Ȗ) Ǻǹǻ = Ǽǹī (ȦȢ țĮIJĮțȠȡȣijȒȞ). DZȡĮ İȓȞĮȚ ȓıĮ (Ȇ-ī-Ȇ), ȠʌȩIJİ ȩȜĮ IJĮ ĮȞIJȓıIJȠȚȤĮ ıIJȠȚȤİȓĮ IJȠȣȢ İȓȞĮȚ ȓıĮ, İʌȠȝȑȞȦȢ: Bǻ = īǼ

2.

ȉĮ IJȡȓȖȦȞĮ ȅǺȈ, ȅǹȈ ȑȤȠȣȞ: Į) ȅǺ = ȅǹ, ȕ) ȅȈ țȠȚȞȒ Ȗ) ǺȅȈ = Ȉȅǹ (įȚȩIJȚ Ș ȅȈ İȓȞĮȚ įȚȤȠIJȩȝȠȢ). DZȡĮ İȓȞĮȚ ȓıĮ ( Ȇ-ī-Ȇ), ȠʌȩIJİ ȩȜĮ IJĮ ĮȞIJȓıIJȠȚȤĮ ıIJȠȚȤİȓĮ IJȠȣȢ İȓȞĮȚ ȓıĮ İʌȠȝȑȞȦȢ: Ȉǹ = ȈǺ

3.

ȉĮ IJȡȓȖȦȞĮ ǹǺǻ, ǹīǼ ȑȤȠȣȞ: Į) ǹǺ = ǹī, ȕ) Ǻǻ = īǼ Ȗ) Ǻ = ī. DZȡĮ İȓȞĮȚ ȓıĮ (Ȇ-ī-Ȇ), ȠʌȩIJİ ȩȜĮ IJĮ ĮȞIJȓıIJȠȚȤĮ ıIJȠȚȤİȓĮ IJȠȣȢ İȓȞĮȚ ȓıĮ İʌȠȝȑȞȦȢ: ǹǻ =ǹǼ

4.

ȉĮ IJȡȓȖȦȞĮ ȅǹǻ, ȅǺī ȑȤȠȣȞ: Į) ȅǹ = ȅī, ȕ) ȅǺ = ȅǻ, Ȗ) ȅ țȠȚȞȒ. DZȡĮ İȓȞĮȚ ȓıĮ (Ȇ-ī-Ȇ), ȠʌȩIJİ ȩȜĮ IJĮ ĮȞIJȓıIJȠȚȤĮ ıIJȠȚȤİȓĮ IJȠȣȢ İȓȞĮȚ ȓıĮ İʌȠȝȑȞȦȢ: Ǻī = ǹǻ

5.

TĮ IJȡȓȖȦȞĮ ǹǽǼ, Ǻǽǻ ȑȤȠȣȞ: Į) ǹǽ = Ǻǻ = 3cm, ȕ) ǹǼ = Ǻǽ ȦȢ įȚĮijȠȡȐ ȓıȦȞ IJȝȘȝȐIJȦȞ, Ȗ) , ȐȡĮ İȓȞĮȚ ȓıĮ ıȪȝijȦȞĮ ȝİ IJȠ țȡȚIJȒȡȚȠ (Ȇ-ī-Ȇ) oʌȩIJİ: Zǻ = ZE (1). ȉĮ IJȡȓȖȦȞĮ ǹǽǼ, ǻǼī ȑȤȠȣȞ: į) īǼ = ǹǽ,

YY

YY

Y

İ) ǹǼ = īǻ ȦȢ įȚĮijȠȡȐ ȓıȦȞ IJȝȘȝȐIJȦȞ ıIJ) ȐȡĮ İȓȞĮȚ ȓıĮ ıȪȝijȦȞĮ ȝİ IJȠ țȡȚIJȒȡȚȠ (Ȇ-ī-Ȇ) ȠʌȩIJİ: ZE = Eǻ (2). ǹʌȩ (1) țĮȚ (2) ǽǻ = ǻǼ = ǽǼ įȘȜ. IJȠ ǽǻǼ İȓȞĮȚ ȚıȠʌȜİȣȡȠ. 6.

ȉĮ IJȡȓȖȦȞĮ ǹǻī, ǹǺǼ ȑȤȠȣȞ: Į) ǹǺ = ǹī, ȕ) ǹǻ = ǹǼ(ȐșȡȠȚıȝĮ ȓıȦȞ IJȝȘȝȐIJȦȞ) Ȗ) țȠȚȞȒ. DZȡĮ İȓȞĮȚ ȓıĮ (Ȇ-ī-Ȇ), ȠʌȩIJİ ȩȜĮ IJĮ ĮȞIJȓıIJȠȚȤĮ ıIJȠȚȤİȓĮ IJȠȣȢ İȓȞĮȚ ȓıĮ İʌȠȝȑȞȦȢ

7.

8.

330

. YY

YY

ȉĮ IJȡȓȖȦȞĮ ǹǻī, ǹǺī ȑȤȠȣȞ: Į) ǻǹī = īǹǺ, ȕ) ǹī țȠȚȞȒ Ȗ) Ǻīǹ = ǹīǻ DZȡĮ İȓȞĮȚ ȓıĮ (ī-Ȇ-ī) ȠʌȩIJİ ȩȜĮ IJĮ ĮȞIJȓıIJȠȚȤĮ ıIJȠȚȤİȓĮ IJȠȣȢ İȓȞĮȚ ȓıĮ İʌȠȝȑȞȦȢ ǹǻ = ǹǺ țĮȚ Ǻī = ǻī YY


īİȦȝİIJȡȓĮ

9.

Į) ȉĮ IJȡȓȖȦȞĮ ǹǺǻ, ǹƍǺƍǻƍ ȑȤȠȣȞ: 1) ǹǻ = ǹƍǻƍ, 2)

= 70

0

3) . DZȡĮ İȓȞĮȚ ȓıĮ ıȪȝijȦȞĮ ȝİ IJȠ țȡȚIJȒȡȚȠ (ī-Ȇ-ī). DZȡĮ șĮ ȑȤȠȣȞ ȩȜĮ IJĮ ĮȞIJȓıIJȠȚȤĮ ıIJȠȚȤİȓĮ IJȠȣȢ ȓıĮ ȠʌȩIJİ ǹǺ = ǹƍǺƍ. .ȉĮ IJȡȓȖȦȞĮ ǹǺī,

ȕ) ǹʌȩ IJȘȞ ʌȡȠȘȖȠȪȝİȞȘ ȚıȩIJȘIJĮ ȑȤȠȣȝİ ȩIJȚ: , 3) ǹƍǺƍīƍ ȑȤȠȣȞ: 1) ǹǺ = ǹƍǺƍ, 2) ȓıĮ ıȪȝijȦȞĮ ȝİ IJȠ țȡȚIJȒȡȚȠ (ī-Ȇ-ī) .

. DZȡĮ İȓȞĮȚ

10. ȉĮ IJȡȓȖȦȞĮ ȅǹǺ, ȅīǹ ȑȤȠȣȞ: Į) ȅǺ = ȅī (ĮțIJȓȞİȢ IJȠȣ ȓįȚȠȣ țȪțȜȠȣ) ȕ) ǹǺ = ǹī (ȣʌȩșİıȘ), Ȗ) ȅǹ țȠȚȞȒ. DZȡĮ İȓȞĮȚ ȓıĮ ıȪȝijȦȞĮ ȝİ IJȠ țȡȚIJȒȡȚȠ (Ȇ-Ȇ- Ȇ). 11. ȉĮ IJȡȓȖȦȞĮ ȅǹǺ, ȅǹī ȑȤȠȣȞ: Į) ȅǺ = ȅī(ĮțIJȓȞİȢ IJȠȣ ȓįȚȠȣ țȪțȜȠȣ) ȕ) ȅǹ țȠȚȞȒ, Ȗ) ǹǺ = ǹī (ĮțIJȓȞİȢ IJȠȣ ȓįȚȠȣ țȪțȜȠȣ). DZȡĮ İȓȞĮȚ ȓıĮ ıȪȝijȦȞĮ ȝİ IJȠ țȡȚIJȒȡȚȠ (Ȇ- Ȇ-Ȇ). ȅʌȩIJİ șĮ ȑȤȠȣȞ IJĮ ĮȞIJȓıIJȠȚȤĮ ıIJȠȚȤİȓĮ IJȠȣȢ ȓıĮ ȐȡĮ

, ȠʌȩIJİ Ș ȅǹ İȓȞĮȚ įȚȤȠIJȩȝȠȢ IJȘȢ

.

12. ȉĮ IJȡȓȖȦȞĮ ǹǺǻ , ǹǻī ȑȤȠȣȞ: Į) ǹǺ = ǹī, ȕ) Ǻǻ = ǻī, Ȗ) ǹǻ țȠȚȞȒ. DZȡĮ İȓȞĮȚ ȓıĮ ıȪȝijȦȞĮ ȝİ IJȠ țȡȚIJȒȡȚȠ (Ȇ- Ȇ-Ȇ), ȠʌȩIJİ șĮ ȑȤȠȣȞ IJĮ ĮȞIJȓıIJȠȚȤĮ ıIJȠȚȤİȓĮ IJȠȣȢ ȓıĮ, ȠʌȩIJİ

, ȐȡĮ

țĮȚ

Ș ǹǻ įȚȤȠIJȠȝİȓ IJȚȢ ȖȦȞȓİȢ 13. Į) ȉĮ IJȡȓȖȦȞĮ ǹǺȂ, ǹƍǺƍȂƍ ȑȤȠȣȞ: 1) ǹǺ = ǹƍǺƍ, 2) ǹȂ = ǹƍȂƍ, 3) ǺȂ = ǺƍȂƍ. DZȡĮ İȓȞĮȚ ȓıĮ ıȪȝijȦȞĮ ȝİ IJȠ țȡȚIJȒȡȚȠ (Ȇ-Ȇ-Ȇ), ȠʌȩIJİ șĮ ȑȤȠȣȞ ȩȜĮ IJĮ ĮȞIJȓıIJȠȚȤĮ ıIJȠȚȤİȓĮ IJȠȣȢ ȓıĮ ȐȡĮ

.

ȕ) ȉĮ IJȡȓȖȦȞĮ ǹǺī, ǹƍǺƍīƍ ȑȤȠȣȞ: 1) AB =AƍBƍ, 2) Bī = Ǻƍīƍ, 3) ȐȡĮ İȓȞĮȚ ȓıĮ ıȪȝijȦȞĮ ȝİ IJȠ țȡȚIJȒȡȚȠ (Ȇ- ī-Ȇ). 14. Į) ȉĮ IJȡȓȖȦȞĮ ǺǻȂ, ȂǼī ȑȤȠȣȞ: 1) BM = Mī, 2) Ǻǻ = īǼ, 3) ȐȡĮ IJĮ IJȡȓȖȦȞĮ İȓȞĮȚ ȓıĮ ıȪȝijȦȞĮ ȝİ IJȠ țȡȚIJȒȡȚȠ (Ȇ-ī-Ȇ) ȠʌȩIJİ șĮ ȑȤȠȣȞ ȩȜĮ IJĮ ĮȞIJȓıIJȠȚȤĮ ıIJȠȚȤİȓĮ IJȠȣȢ ȓıĮ. DzIJıȚ Ȃǻ = ȂǼ. ȕ) ȉĮ IJȡȓȖȦȞĮ ǹǻȂ, ǹȂǼ ȑȤȠȣȞ: 1) ǹǻ = ǹǼ ȦȢ įȚĮijȠȡȐ ȓıȦȞ ʌȜİȣȡȫȞ. 2) ǹȂ țȠȚȞȒ, 3) Ȃǻ = ȂǼ (Įʌȩ Į). DZȡĮ İȓȞĮȚ ȓıĮ ıȪȝijȦȞĮ ȝİ IJȠ țȡȚIJȒȡȚȠ (Ȇ-Ȇ -Ȇ). 15. ȉĮ IJȡȓȖȦȞĮ ǹǻǺ, ǹīǼ ȑȤȠȣȞ: Į) ǹǻ = ǹǼ ȕ) ǹǺ= ǹī Ȗ) İȓȞĮȚ ȠȡșȠȖȫȞȚĮ.

331


īİȦȝİIJȡȓĮ

DZȡĮ İȓȞĮȚ ȓıĮ įȚȩIJȚ İȓȞĮȚ ȠȡșȠȖȫȞȚĮ țĮȚ ȑȤȠȣȞ įȪȠ ĮȞIJȓıIJȠȚȤİȢ ʌȜİȣȡȑȢ ȓıİȢ. ȅʌȩIJİ Ǻǻ = īǼ. 16. TĮ IJȡȓȖȦȞĮ ǹǺī, ǹǻī ȑȤȠȣȞ: Į) ǹǺ = ǹǻ, ȕ) ǹī țȠȚȞȒ Ȗ) İȓȞĮȚ ȠȡșȠȖȫȞȚĮ. DZȡĮ İȓȞĮȚ ȓıĮ įȚȩIJȚ: İȓȞĮȚ ȠȡșȠȖȫȞȚĮ, ȑȤȠȣȞ ȓıİȢ ȣʌȠIJİȓȞȠȣıİȢ țĮȚ ȝȓĮ țȐșİIJȘ ʌȜİȣȡȐ ȓıȘ. ȅʌȩIJİ șĮ ȑȤȠȣȞ ȩȜĮ IJĮ ĮȞIJȓıIJȠȚȤĮ ıIJȠȚȤİȓĮ IJȠȣȢ ȓıĮ. DZȡĮ ǹǺ = ǹǻ, ǻī = īǺ, ȐȡĮ Ș ǹī İȓȞĮȚ ȝİıȠțȐșİIJȠȢ IJȠȣ Ǻǻ. 17. ȉĮ IJȡȓȖȦȞĮ ǹǺǻ, ǺǻǼ ȑȤȠȣȞ: Į) Ǻǻ țȠȚȞȒ. ȕ) ǹǻ = ǻǼ (įȚȩIJȚ IJȠ ǻ İȓȞĮȚ ıȘȝİȓȠ IJȘȢ įȚȤȠIJȩȝȠȣ, ȐȡĮ șĮ ȚıĮʌȑȤİȚ Įʌȩ IJȚȢ ʌȜİȣȡȑȢ) Ȗ) İȓȞĮȚ ȠȡșȠȖȫȞȚĮ. DZȡĮ İȓȞĮȚ ȓıĮ įȚȩIJȚ: İȓȞĮȚ ȠȡșȠȖȫȞȚĮ țĮȚ ȑȤȠȣȞ IJȚȢ ĮȞIJȓıIJȠȚȤİȢ ʌȜİȣȡȑȢ ȓıİȢ. ȅʌȩIJİ șĮ ȑȤȠȣȞ ȩȜĮ IJĮ ĮȞIJȓıIJȠȚȤĮ ıIJȠȚȤİȓĮ IJȠȣȢ ȓıĮ ȐȡĮ ǹǺ = ǺǼ. 18. ĭȑȡȞȠȣȝİ IJȚȢ ǹȀ, Ǻȁ țȐșİIJİȢ ıIJȘȞ (İ). ȉĮ IJȡȓȖȦȞĮ ǹȀȂ, ǺȁȂ ȑȤȠȣȞ: Į) ǹȂ = ȂǺ, ȕ) ȦȢ țĮIJĮțȠȡȣijȒȞ, Ȗ) İȓȞĮȚ ȠȡșȠȖȫȞȚĮ. DZȡĮ İȓȞĮȚ ȓıĮ įȚȩIJȚ İȓȞĮȚ ȠȡșȠȖȫȞȚĮ ȑȤȠȣȞ ȓıİȢ ȣʌȠIJİȓȞȠȣıİȢ țĮȚ ȝȓĮ ȠȟİȓĮ ȖȦȞȓĮ ȓıȘ. ȅʌȩIJİ ȑȤȠȣȞ ȩȜĮ IJĮ ĮȞIJȓıIJȠȚȤĮ ıIJȠȚȤİȓĮ IJȠȣȢ ȓıĮ, ȐȡĮ ǹȀ = Ǻȁ. 19. Į) ȉĮ IJȡȓȖȦȞĮ ǹǺǻ, ǹƍǺƍǻƍ ȑȤȠȣȞ: 1) ǹǺ = ǹƍǺƍ, 2) ǹǻ = ǹƍǻƍ, 3) İȓȞĮȚ ȠȡșȠȖȫȞȚĮ. DZȡĮ İȓȞĮȚ ȓıĮ įȚȩIJȚ İȓȞĮȚ ȠȡșȠȖȫȞȚĮ țĮȚ ȑȤȠȣȞ įȪȠ ĮȞIJȓıIJȠȚȤİȢ ȖȦȞȓİȢ ȓıİȢ. ȅʌȩIJİ șĮ ȑȤȠȣȞ ȩȜĮ IJĮ ĮȞIJȓıIJȠȚȤĮ ıIJȠȚȤİȓĮ IJȠȣȢ ȓıĮ, ȐȡĮ . ȕ) ȉĮ IJȡȓȖȦȞĮ ǹǺī, ǹƍǺƍīƍ ȑȤȠȣȞ: 1) ǹǺ = ǹƍǺƍ, 2) DZȡĮ İȓȞĮȚ ȓıĮ ıȪȝijȦȞĮ ȝİ IJȠ țȡȚIJȒȡȚȠ (Ȇ- ī-Ȇ).

, 3)

.

20. ȉĮ IJȡȓȖȦȞĮ īȅȃ, ǹȅȂ ȑȤȠȣȞ: Į) ȅī = ȅǹ, ȕ) İȓȞĮȚ ȠȡșȠȖȫȞȚĮ Ȗ) īȃ = ǹȂ (įȚȩIJȚ IJĮ ȅīȃ, ȅǹǺ İȓȞĮȚ ȚıȠıțİȜȒ țĮȚ ȅȃ, ȅȂ ȪȥȘ țĮȚ įȚȐȝİıȠȚ) DZȡĮ İȓȞĮȚ ȓıĮ. ȅʌȩIJİ ȅȂ = ȅȃ. ǹȞ ȅȃ = ȅȂ IJȩIJİ IJĮ ȅīȃ, ȅǹȂ İȓȞĮȚ ȓıĮ (İȓȞĮȚ ȠȡșȠȖȫȞȚĮ ȝİ ȓıİȢ ȣʌȠIJİȓȞȠȣıİȢ țĮȚ ȝȓĮ țȐșİIJȘ ʌȜİȣȡȐ ȓıȘ) ȠʌȩIJİ īȃ = ǹȂ ȐȡĮ īǻ = ǹǺ 21. ȉĮ IJȡȓȖȦȞĮ ǹǺī, ǹǺǻ ȑȤȠȣȞ: Į) ǹǺ = ǹǻ, ȕ) ǹǺ țȠȚȞȒ, Ȗ) įȚȩIJȚ İȓȞĮȚ İȖȖİȖȡĮȝȝȑȞİȢ ıİ ȘȝȚțȪțȜȚȠ.

332


1.2 ȁȩȖȠȢ İȣșȣȖȡȐȝȝȦȞ IJȝȘȝȐIJȦȞ

īİȦȝİIJȡȓĮ

ǼȡȦIJȒıİȚȢ țĮIJĮȞȩȘıȘȢ 4 5 = Ȓ 4x = 20 Ȓ x = 5. 4 x

1.

ǿıȤȪİȚ:

2.

EʌİȚįȒ ǺǺƍ // īīƍ //ǻǻƍ țĮȚ ǹīƍ= īƍǻƍ= ǻƍǺƍ, șĮ ȚıȤȪİȚ ǹī = īǻ = 4 = ǻǺ, ȐȡĮ ǹǺ = 12 cm.

3.

Aν η ΕΖ ήταν παράλληλη στις βάσεις τότε :

4.

α)

ΒΓ 12 ΑΒ 4 ΒΓ 12 ΑΒ 4 , β) = = , γ) = = , δ) ΑΓ 16 ΒΓ 12 ΑΒ 4 ΑΓ 16

5.

α)

ΑΓ 1 ΑΕ ΑΓ ΑΒ 1 BΔ 2 = , β) = , γ) = , δ) =4 , ε) =1 Α∆ 3 ΒΕ 3 ΑΕ 2 ΒΓ ΓΕ

AE ΒΖ = EΔ ΖΓ

ή

4 5 = άτοπο 4 6

6. Į) Ȉ 7.

ȕ) ȁ

Ȗ) Ȉ

į) Ȉ

İ) ȁ

ıIJ) Ȉ

ȗ) Ȉ

ǻȓțȚȠ İȓȤİ Ș ǼȜȑȞȘ.

ȆȇȅȉǼǿȃȅȂǼȃǼȈ ǹȈȀǾȈǼǿȈ - ȆȇȅǺȁǾȂǹȉǹ 1.

2.

Ισχύει:

AΔ ∆Η , επειδή ΑΔ= ΔΗ πρέπει: ΒΕ=ΕΘ άρα 3=x . = ΒΕ ΕΘ

Ισχύει:

BE ΕΘ 3 3 ή = = , άρα ψ= 4 . ΓΖ ΖΙ ψ 4

Į)

Ǿ

333


īİȦȝİIJȡȓĮ

ȕ)

4 ΑΒ 5 Α Β ΑΒ ΔΖ 5 ΖΗ Γ∆ 2 = , iv) = i) = 2 , iii) = = = , ii) ΖΗ 6 6 ΔΖ ΓΔ 2 ΑΒ 5 ΑΒ ΑΒ 5 5 2 ΑΒ 1 ΓΔ 5 = = v) ΖΗ 6 3 ΑΒ 5

6 ΑΒ 3 5 = 4 2 ΑΒ 5

3.

ȈIJȠ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ ǹǺī ȑȤȠȣȝİ: ΒΓ2 =ΑΒ2+ΑΓ2 ή ΒΓ2= 22+12 ή ΒΓ = 5 ΒΓ ΑΒ 5 AΓ 1 5 α) = , γ) = 2 , β) = = ΑΒ 2 ΑΓ ΒΓ 5 5

4.

ȊʌȠȜȠȖȓȗȦ IJȘȞ ǹī. ǹī2 = Ǻī2 - ǹǺ2 Ȓ ǹī2 = 100 - 36 Ȓ ǹī2 = 64 Ȓ ǹī=8. ΑΒ 6 AB 6 ΑΓ 8 ȅʌȩIJİ α) , β) , γ) = = = BΓ 10 ΒΓ 10 ΑΓ 8

5.

DzıIJȦ ǹǺī IJȠ ȚıȩʌȜİȣȡȠ. ĭȑȡȞȠȣȝİ IJȠ ȪȥȠȢ ǹǻ. ȈIJȠ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ ǹǺǻ ȑȤȠȣȝİ ΑΔ2=ΑΒ2-ΔΒ2 ή ΑΔ2=42-22 ή ΑΔ2=12 ή ΑΔ= 1 2 ή ΑΔ=2 3 3 AΔ 2 3 = = ȅʌȩIJİ ΑΒ 4 2

6.

Į) ȈIJȠ IJȡȓȖȦȞȠ ǹǺī, IJȠ Ȃ İȓȞĮȚ ȝȑıȠȞ IJȠȣ ǹī țĮȚ ǼȂ ʌĮȡȐȜȜȘȜȠ ıIJȘȞ Ǻī ȠʌȩIJİ IJȠ Ǽ İȓȞĮȚ ȝȑıȠȞ IJȠȣ ǹǺ. ȈIJȠ IJȡȓȖȦȞȠ ǹǻī IJȠ Ȃ İȓȞĮȚ ȝȑıȠȞ IJȠȣ ǹī țĮȚ Ȃǽ İȓȞĮȚ ʌĮȡȐȜȜȘȜȘ ıIJȘȞ ǹǻ ȐȡĮ ǽ ȝȑıȠȞ IJȠȣ ǻī. ȕ) ǼʌİȚįȒ AB = 2AE = 2 και ΑΓ = 2AΜ = 2 Άρα AB = ΑΓ AE AE ΑΜ ΑΜ AE ΑΜ

334

7.

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΔ η ΒΜ είναι διάμεσος στην υποτείνουσα οπότε AΓ (1) . Στο ορθογώνιο ΑΔΓ η ΔΜ είναι διάμεσος στην υποτείνουσα BM= 2 AΓ oπότε: ΔΜ= (2) . Από (1) και (2) ΒΜ= ΔΜ 2

8.

ǹʌȩ IJȠ ȝȑıȠȞ Ȁ IJȘȢ ǹǻ ijȑȡȞȠȣȝİ // ıIJȘȞ ǹǺ ʌȠȣ IJȑȝȞİȚ IJȘ Ǻī ıIJȠ Ȁ. ȉȩIJİ ǺȀ = Ȁī ȐȡĮ Ș ʌİȡȓȝİIJȡȠȢ ȣʌȠȜȠȖȓȗİIJĮȚ


1.3

ĬİȫȡȘȝĮ ĬĮȜȒ

īİȦȝİIJȡȓĮ

ǼȡȦIJȒıİȚȢ țĮIJĮȞȩȘıȘȢ 1.

α)

BZ 3 ΖΘ 4 ΒΘ 7 = , β) = , γ) = ΘΓ 6 Ζ Γ 10 Β Γ 13

2. Į) Ȉ

ȕ) ȁ

Ȗ) ȁ

į) Ȉ

3. ǼȓȞĮȚ ȜȐșȠȢ. ǹȞ ȒIJĮȞ ʌĮȡȐȜȜȘȜȘ IJȩIJİ:

Ο Β ΟΒ′

ΒΓ Β′ Γ ′

4

AE EΔ 4 6 ή = = ή 28 = 30 άτοπο BZ Ζ Γ 5 7

2 1

Ο Α ΟΑ′

3

AB

Α′Β′

7

4. α) = = =2 , β) = = = , δ) = = = , γ) = Ο Γ ΟΓ ′ 6 3 Ο Β ΟΒ′ 4 BΓ Β′ Γ ′ 2 . ΒΓ Β′Γ ′ 2 5. Į 3

ȕ 1

Ȗ 4

ȆȇȅȉǼǿȃȅȂǼȃǼȈ ǹȈȀǾȈǼǿȈ - ȆȇȅǺȁǾȂǹȉǹ 1. 2.

AE EΔ 12 6 ή ή 12· ΒΖ = 14·6 ή ΒΖ=7 = = Β Ζ 14 BZ Ζ Γ AE EΔ 4 6 ή ή 6x=4(8-x) = = BZ Ζ Γ x 8−x ή 6x=32-4x ή 6x+4x=32 ή 10x=32 ή x=3,2 . Οπότε ΒΖ=3,2 , ΖΓ=4,8 .

Έστω ΒΖ= x , τότε ΖΓ=8-x , οπότε :

3.

Ισχύει :

x 8 AΔ Β∆ ή = ή x2=8·18 ή x=12 = Α Ε ΕΓ 18 x

4.

Iσχύει :

OA ΑΒ = OΓ Γ∆

Ισχύει :

OΓ Γ∆ 15 10 180 ή ή 15ΕΖ=180 ή ΕΖ= ή ΕΖ=12 = = Ο Ε ΕΖ 18 ΕΖ 15

ή

21 14 210 ή 14ΟΓ=210 ή ΟΓ= ή ΟΓ=15 = Ο Γ 10 14

335


īİȦȝİIJȡȓĮ

5.

ȉȠ ǺǻǼǽ İȓȞĮȚ ʌĮȡĮȜȜȘȜȩȖȡĮȝȝȠ įȚȩIJȚ ȠȚ ĮʌȑȞĮȞIJȚ ʌȜİȣȡȑȢ İȓȞĮȚ γρ μμ ȠʌȩIJİ: Bǻ = Ǽǽ = 4. ρ ς ʌĮȡȐȜȜȘȜİȢ, 5 4 A Δ Β∆ DZȡĮ ή ή 4x=30 ή x=7,5 = = x 6 Α Ε ΕΓ

6.

Iσχύει :

OA ΟΒ 12 1 8 ή ή 12·ΟΚ= 180 ή ΟΚ=15 . = = OΛ ΟΚ 10 Ο Κ 6 10 OΛ Λ∆ Ισχύει : ή ή 10·ΚΓ=90 ή ΚΓ=9 = = Ο Κ ΚΓ 15 Κ Γ

7. AZ ΑΕ 18 − x 8 ή ή 12(18-x)=8x ή 216-12x=8x ή 20x=216 = = ZΔ ΕΓ 12 x AE ΕΓ 8 12 ή 12ψ=72 ή ψ=6 ή ή x=10,8 . Aκόμη : = = AH ΗΒ ψ 9

Ισχύει :

8.

1.4

ǹȞ ȒIJĮȞ ȠȡȚȗȩȞIJȚĮ IJȩIJİ:

34 28 OA OΓ ή άτοπο . = = OB Ο∆ 68 65

ȅȝȠȚȠșİıȓĮ ǼȡȦIJȒıİȚȢ țĮIJĮȞȩȘıȘȢ

1.

Į) Ǽ, ȕ) ǻ, Ȗ) ǹ, į) ī

2.

ȈIJȠ 10 țĮȚ 30 IJĮ ʌȠȜȪȖȦȞĮ İȓȞĮȚ ȠȝȠȚȩșİIJĮ İȞȫ ıIJȠ 20 įİȞ İȓȞĮȚ.

3.

336

EȣșȪȖȡĮȝȝȠ IJȝȒȝĮ Ȁȇ ȇȃ

ȀȑȞIJȡȠ ȠȝȠȚȠșİıȓĮȢ ǹ ī

ȁȩȖȠȢ ȠȝȠȚȠșİıȓĮȢ 3

ȈȂ Ǻī

ī ǹ

3

Ǻȁ

Ǻ

3

1 2 1 3

ȅȝȠȚȩșİIJȠ IJȝȒȝĮIJȠȢ Ǻī ȈȂ ǹǻ Ȁȇ Ǻǹ


ȆȇȅȉǼǿȃȅȂǼȃǼȈ ǹȈȀǾȈǼǿȈ - ȆȇȅǺȁǾȂǹȉǹ 1. Į)

i)

īİȦȝİIJȡȓĮ

ii)

2

2 Τα τρίγωνα είναι όμοια με λόγο ομοιότητας λ = 3 Α´Β´ ΑΓ´ Β´Γ´ 2 ΄Αρα = = = = ΑΒ ΑΓ ΒΓ 3 Οπότε:

Α´Β´ = ΑΒ Α´Γ´ = ΑΓ

2 Α´Β´ 2 ή = ή Α´Β´= 8 cm 12 3 3 2 Α´Γ´ 2 ή = ή Α´Γ´= 6 cm 9 3 3

Από το Πυθαγόρειο Θεώρημα ΒΓ2 = ΑΒ2 + ΑΓ2 ή ή ΒΓ2 = 122 + 92 ή ΒΓ2 = 225 άρα ΒΓ = 15 cm B´Γ´ 2 B´Γ´ 2 Οπότε = ή = ή Β´Γ´ = 10 cm BΓ 15 3 3

337


īİȦȝİIJȡȓĮ

3.

Τα τρίγωνα A´B´Γ´, ΑΒΓ είναι όμοια με λόγο λ = 3 Από το Πυθαγόρειο Θεώρημα: ΒΓ2 = ΑΒ2 + ΑΓ2 ή ΒΓ2 = 4 + 4 ή ΒΓ = 8 Α´Β´ Α´Γ´ B´Γ´ = = =3 ή ΒΓ = 2 2. Β = Γ = 450 Άρα ΑΒ ΑΓ BΓ Οπότε Α´Β´= 3 ή Α´Β´ = 3 · 2 ή Α´Β´ = 6 ΑΒ Α´Γ´ = 3 ή Α´Γ´ = 3 · 2 ή Α´Γ´ = 6 ΑΓ B´Γ´ = 3 ή B´Γ´ = 3 · 2 2 ή Β´Γ´ = 6 2 BΓ

4.

5.

338

O´A´ = 3 · OA = 3ρ


6.

Į)

īİȦȝİIJȡȓĮ

ȕ)

Ȗ)

Τα τρία ομοιόθετα σχήματα είναι ίσα διότι το καθένα είναι όμοιο με το αρχικό με λόγο λ = 2.

7.

Į)

ǹ´ (-2, 2) Ǻ´ (2, 2) ī´ (0, -4) ȆȠȜȜĮʌȜĮıȚȐȗȠȞIJĮȢ ȝİ IJȠ 2

339


īİȦȝİIJȡȓĮ

ȕ)

Ȁ

ǹ´ (-3, 1) Ǻ´ (3, 3) ī´ (-5, -1)

8.

-2

ȉȠ ıȘȝİȓȠ ǻ İȓȞĮȚ IJȠ ȠȝȠȚȩșİIJȠ IJȠȣ Ǻ ȝİ țȑȞIJȡȠ IJȠ ǹ țĮȚ ȜȩȖȠ ıȘȝİȓȠ Ǽ İȓȞĮȚ IJȠ ȠȝȠȚȩșİIJȠ IJȠȣ ī ȝİ țȑȞIJȡȠ IJȠ ǹ țĮȚ ȜȩȖȠ

. ȉȠ

. DZȡĮ IJȠ ǻǼ

İȓȞĮȚ IJȠ ȠȝȠȚȩșİIJȠ IJȠȣ Ǻī ȝİ țȑȞIJȡȠ ǹ țĮȚ ȜȩȖȠ DZȡĮ ǻǼ// Ǻī țĮȚ 9.

.

ǹȞ İȞȫıȠȣȝİ IJȚȢ ǹƍǹ, ǺƍǺ, IJȑȝȞȠȞIJĮȚ ıİ ȑȞĮ ıȘȝİȓȠ Ȁ IJȠ ȠʌȠȓȠ İȓȞĮȚ IJȠ țȑȞIJȡȠ IJȘȢ ȠȝȠȚȠșİıȓĮȢ. ȅ ȜȩȖȠȢ ȠȝȠȚȠșİıȓĮȢ İȓȞĮȚ

340


1.5

ȅȝȠȚȩIJȘIJĮ

ǹ.

ǵȝȠȚĮ ʌȠȜȪȖȦȞĮ

īİȦȝİIJȡȓĮ

ǼȡȦIJȒıİȚȢ țĮIJĮȞȩȘıȘȢ 1. Į) Ȉ 2.

ȕ) ȁ

Ȗ) ȁ

į) ȁ

İ) Ȉ

ıIJ) ȁ

Ȇ 1 § Ȇ 3 § Ȇ 7, Ȇ 5 § Ȇ 6, Ȇ 2 § Ȇ 4

3. ǻȚĮıIJȐıİȚȢ ǹǺīǻ 4 ǼǽǾĬ 6 ǿȀȁȂ 9

2 4 6

ǵȝȠȚĮ İȓȞĮȚ IJĮ ǼǽǾĬ, ǿȀȁȂ.

ǻȚĮıIJȐıİȚȢ ǹǺīǻ 3 ǼǽǾĬ 5 ǿȀȁȂ 6

2 3 4

ǵȝȠȚĮ İȓȞĮȚ IJĮ ǹǺīǻ, ǹĬǿȀ

4.

ȆȇȅȉǼǿȃȅȂǼȃǼȈ ǹȈȀǾȈǼǿȈ - ȆȇȅǺȁǾȂǹȉǹ 1.

ȕ) ǻȚȩIJȚ ȑȤȠȣȞ IJȚȢ ʌȜİȣȡȑȢ IJȠȣȢ ĮȞȐȜȠȖİȢ țĮȚ IJȚȢ ĮȞIJȓıIJȠȚȤİȢ ȖȦȞȓİȢ ȓıİȢ.

2.

3.

ȅȚ įȚĮıIJȐıİȚȢ șĮ ȖȓȞȠȣȞ: 20 cm, 14 cm. AȞ IJĮ ʌĮȡĮȜȜȘȜȩȖȡĮȝȝĮ İȓȞĮȚ ȩȝȠȚĮ IJȩIJİ:

ȐIJȠʌȠ. DZȡĮ Ƞ ȝĮșȘIJȒȢ įİȞ İȓȤİ įȓțȚȠ.

341


4.

īİȦȝİIJȡȓĮ

ȉȠ IJİIJȡȐʌȜİȣȡȠ ʌȠȣ ıȤȘȝĮIJȓȗİIJĮȚ İȓȞĮȚ ȠȝȠȚȩșİIJȠ IJȠȣ ǹǺīǻ ȝİ țȑȞIJȡȠ IJȠ Ȁ țĮȚ ȜȩȖȠ

5.

, ȠʌȩIJİ İȓȞĮȚ ȩȝȠȚĮ.

ȈIJȠ IJȡȓȖȦȞȠ ǹǺī Ș ǼȀ // Ǻī ȠʌȩIJİ: Ș ǾȀ // ǻī ȠʌȩIJİ:

(1). ȈIJȠ IJȡȓȖȦȞȠ ǹǻī

(2). ǹʌȩ (1) țĮȚ (2) ıȣȝʌİȡĮȓȞȠȣȝİ ȩIJȚ

IJȠ ǹǾȀǼ İȓȞĮȚ IJȠ ȠȝȠȚȩșİIJȠ IJȠȣ ǹǺīǻ ȝİ ȜȩȖȠ

, ȐȡĮ İȓȞĮȚ ȩȝȠȚĮ.

, ȠʌȩIJİ IJȠ ʌĮȡĮȜȜȘȜȩȖȡĮȝȝȠ ȀĬīǽ İȓȞĮȚ IJȠ

ǼȓȞĮȚ

ȠȝȠȚȩșİIJȠ IJȠȣ ǹǺīǻ ȝİ ȜȩȖȠ

, ȐȡĮ İȓȞĮȚ ȩȝȠȚĮ. ȅʌȩIJİ IJĮ ǹǼȀǾ țĮȚ

ȀĬīǽ İȓȞĮȚ ȩȝȠȚĮ įȚȩIJȚ țĮȚ IJĮ įȪȠ İȓȞĮȚ ȩȝȠȚĮ ıIJȠ ǹǺīǻ. 6.

ȉĮ ıʌȓIJȚĮ IJȦȞ įȪȠ ijȓȜȦȞ ĮʌȑȤȠȣȞ IJĮ

IJȘȢ ıȣȞȠȜȚțȒȢ įȚĮįȡȠȝȒȢ. . ȉȠ ıȤȒȝĮ İȓȞĮȚ ıȝȓțȡȣȞıȘ IJȘȢ

DzIJıȚ ȑȤȠȣȝİ:

ʌȡĮȖȝĮIJȚțȒȢ įȚĮįȡȠȝȒȢ, ȠʌȩIJİ İȓȞĮȚ ȩȝȠȚĮ ȝİ ȜȩȖȠ ȠȝȠȚȩIJȘIJĮȢ ȓıȠ ȝİ IJȠ . DZȡĮ Ș țȜȓȝĮțĮ İȓȞĮȚ

ȜȩȖȠ IJȦȞ ʌİȡȚȝȑIJȡȦȞ ȑIJıȚ: 1 : 4000.

Ǻ.

ǵȝȠȚĮ IJȡȓȖȦȞĮ ǼȡȦIJȒıİȚȢ țĮIJĮȞȩȘıȘȢ 1.

Į) (įȪȠ ȖȦȞȓİȢ ȓıİȢ), Ȗ) (įȪȠ ȖȦȞȓİȢ ȓıİȢ)

2.

3. 4. Į) Ȉ

342

ȕ) Ȉ

Ȗ) Ȉ

į) Ȉ

İ) ȁ

ıIJ) Ȉ


5.

Į) ǼȓȞĮȚ ȩȝȠȚĮ įȚȩIJȚ ȑȤȠȣȞ įȪȠ ȖȦȞȓİȢ ȓıİȢ (İȓȞĮȚ ȚıȠıțİȜȒ) ȕ) ǵȤȚ. ǻȚȩIJȚ IJĮ IJİIJȡȐʌȜİȣȡĮ İȞȫ ĮʌȠIJİȜȠȪȞIJĮȚ Įʌȩ įȪȠ ȩȝȠȚĮ IJȡȓȖȦȞĮ įİȞ İȓȞĮȚ ȩȝȠȚĮ ĮijȠȪ IJȠ ȑȞĮ İȓȞĮȚ IJİIJȡȐȖȦȞȠ țĮȚ IJȠ ȐȜȜȠ ʌĮȡĮȜȜȘȜȩȖȡĮȝȝȠ.

īİȦȝİIJȡȓĮ

ȆȇȅȉǼǿȃȅȂǼȃǼȈ ǹȈȀǾȈǼǿȈ - ȆȇȅǺȁǾȂǹȉǹ 1.

Į) ȉĮ ǹǼǻ, ǹīǺ İȓȞĮȚ ȩȝȠȚĮ įȚȩIJȚ ȑȤȠȣȞ įȪȠ ȖȦȞȓİȢ ȓıİȢ, ȠʌȩIJİ:

2.

3.

Į) ǼȟİIJȐȗȦ ĮȞ ȚıȤȪİȚ ȕ) ǹʌȩ Į) ǻǼ // Ǻī ȐȡĮ ȠȡșȠȖȫȞȚĮ, ȠʌȩIJİ İȓȞĮȚ ȩȝȠȚĮ.

ʌȠȣ ȚıȤȪİȚ. DZȡĮ ǻǼ // Ǻī (İȞIJȩȢ țĮȚ İʌȚ IJĮ ĮȣIJȐ) țĮȚ İȓȞĮȚ

4.

5.

343


īİȦȝİIJȡȓĮ

6.

TĮ IJȡȓȖȦȞĮ ȅǹǺ, ȅǻī İȓȞĮȚ ȩȝȠȚĮ įȚȩIJȚ ȑȤȠȣȞ įȪȠ ȖȦȞȓİȢ ȓıİȢ. DZȡĮ Ƞ ȜȩȖȠȢ ȠȝȠȚȩIJȘIJĮȢ İȓȞĮȚ ȓıȠȢ ȝİ IJȠ ȜȩȖȠ IJȦȞ ʌȜİȣȡȫȞ țĮȚ ȓıȠȢ ȝİ IJȠ ȜȩȖȠ IJȦȞ ȣȥȫȞ. DzIJıȚ

7.

8.

1.6

ȁȩȖȠȢ İȝȕĮįȫȞ ȠȝȠȓȦȞ ıȤȘȝȐIJȦȞ ǼȡȦIJȒıİȚȢ țĮIJĮȞȩȘıȘȢ

1.

E1 = 4E2, E1 = 4E2, E1 = 4E2

2.

Į) İȞȞȑĮ ȕ) IJȑııİȡȚȢ Ȗ) IJȑııİȡȚȢ

3.

. DZȡĮ İȓȤİ įȓțȚȠ Ƞ īȚȐȞȞȘȢ.

ȆȇȅȉǼǿȃȅȂǼȃǼȈ ǹȈȀǾȈǼǿȈ - ȆȇȅǺȁǾȂǹȉǹ 1.

Tα τρίγωνα ΑΔΕ , ΑΒΓ είναι όμοια με λόγο ομοιότητας λ= Άρα

2.

344

(AΔ Ε ) 2 3 2 9 = λ =( ) = . ( 5 25

AΔ 3 = ΑΒ 5

ΔΕ 3 Τα τρίγωνα ΑΔΕ , ΑΒΓ είναι όμοια με λόγο ομοιότητας λ= = , οπότε : ΒΓ 5 18 9 (AΔ Ε ) 3 2 ή 9(ΑΒΓ)=25·18 ή (ΑΒΓ)=50cm2 . =( ) ή = (Α Β Γ) 5 ( ΑΒΓ ) 25


3.

4.

5.

6.

7.

8.

Τα τρίγωνα ΑΟΒ , ΟΔΓ είναι όμοια (έχουν τις γωνίες ίσες ) με λόγο 1 ( ΑΟΒ) 1 (AOB) 1 ή ομοιότητας λ= . Οπότε : = = ( )2 ή 5 (∆ΟΓ ) 25 (ΔΟ Γ) 5 (ΔΟΓ)=25(ΑΟΒ)

īİȦȝİIJȡȓĮ

1 α) Τα ΑΖΕ , ΑΒΓ είναι όμοια με λόγους ομοιότητας λ= , οπότε : 2 1 (AZE) (A ZE) 1 = ( )2 ή = . (AΒΓ ) 2 ( AΒΓ) 4 β) Τα τρίγωνα ΑΖΕ , ΔΖΕ είναι ίσα (έχουν τις πλευρές τους ίσες), οπότε ( ZΕΔ ) 1 = . ( Α ΒΓ) 4 AΔ 8 2 Τα τρίγωνα ΑΔΖ , ΑΒΓ είναι όμοια , με λόγο ομοιότητας λ= = = Α Β 12 3 Ε 4 4 4 ( Α∆Ζ) 2 Οπότε : = ( ) 2 ή 1 = ή = Ε . Τα ΒΔΗ , ΑΒΓ είναι όμοια Ε 9 9 9 3 ( ΑΒΓ ) Ε BΔ 4 1 (Β∆Η ) 1 1 με λόγο ομοιότητας λ= = = . Οπότε : = ( )2 ή 2 = Β Α 12 3 Ε 9 ( ΑΒΓ ) 3 1 1 5 4 ή Ε2= Ε . Ισχύει : E1+E2+E3=E ή Ε + Ε+ Ε3=Ε ή Ε3= Ε- Ε ή 9 9 9 9 4 Ε3= Ε = Ε1 9 AB 4 Τα τρίγωνα ΑΒΔ , ΑΔΓ είναι όμοια με λόγο ομοιότητας λ= = , οπότε AΓ 3 16 ( ΑΒ∆ ) 4 . Bρίσκω την υποτείνουσα ΒΓ . ΒΓ2= ΑΓ 2 +ΑΒ2 ή = ( )2 = 9 ( ΑΓ∆ ) 3 ΒΓ2=32+42 ή ΒΓ2=9+16 ή ΒΓ2= 25 ή ΒΓ=5 . Τα ΑΒΔ , ΑΔΓ είναι AB 4 (Α ΒΔ) 4 2 16 όμοια με λόγο ομοιότητας λ= = , οπότε =( ) = BΓ 5 25 (Α ΒΓ) 5 AB Στο τρίγωνο ΟΑΒ , Δ μέσον του ΟΑ, Ε μέσον του ΟΒ άρα ΕΔ= 2 ΑΓ ΒΓ Ομοίως ΕΖ= , Δ Z= . Οπότε τα ΔΕΖ , ΑΒΓ είναι όμοια με λόγο 2 2 1 1 (∆ΕΖ) 1 1 (∆ΕΖ) ή (ΔΕΖ)= ( ΑΒΓ ) ομοιότητας λ= . Άρα = = ( )2 ή 2 4 ( ΑΒΓ ) 4 2 ( ΑΒΓ ) 1 3 Άρα το ζητούμενο εμβαδόν είναι:(ΑΒΓ)-(ΔΕΖ) = (ΑΒΓ) - ( ΑΒΓ ) = (ΑΒΓ) 4 4 α) O λόγος ομοιότητας είναι λ=1,2. Άρα Ε′=40·1,44 ή Ε′=57,6cm2

E′ E′ = 1,4 4 ή = 1,2 2 ή E 40

Ε′ Ε′ β) Ο λόγος ομοιότητας είναι λ=0,75 . Άρα = 0,5625 = (0,75 ) 2 ή 40 Ε 2 ή Ε′= 40·0,5625 ή Ε′=22,5 cm

345


īİȦȝİIJȡȓĮ

9.

Αν η πλευρά του τετραγώνου είναι α τότε τότε θα γίνει 1,3α , οπότε ο λόγος Ε′ =1,32=1,69 ή Ε′=1,69Ε . Άρα το εμβαδόν ομοιότητας είναι λ=1,3 . Έτσι Ε θα αυξηθεί κατά 69%

10. Αν οι διαστάσεις ήταν x , ψ τότε θα γίνουν : 0,8x , 0,8ψ . Έτσι ο λόγος Ε′ =0,82=0,64 ή Ε′=0,64Ε . Άρα το oμοιότητας είναι: λ = 0,8. Έτσι Ε εμβαδόν θα ελαττωθεί κατά 36%

īǼȃǿȀǼȈ ǹȈȀǾȈǼǿȈ 1Ƞȣ ȀǼĭǹȁǹǿȅȊ 1.

2.

Į) ȉĮ IJȡȓȖȦȞĮ ǹǺǼ, ǹǻǽ ȑȤȠȣȞ: 1) ǹǽ = ǺǼ, 2) ǹǺ = ǹǻ , 3) İȓȞĮȚ ȠȡșȠȖȫȞȚĮ ȐȡĮ İȓȞĮȚ ȓıĮ, ȠʌȩIJİ ǻǽ = ǹǼ.

3.

ȉĮ IJȡȓȖȦȞĮ īǺǽ, ǺǾǹ ȑȤȠȣȞ: Į) ǹǺ = Ǻǽ, ȕ) ǺǾ = Ǻī, Ȗ) . DZȡĮ İȓȞĮȚ ȓıĮ ıȪȝijȦȞĮ ȝİ IJȠ țȡȚIJȒȡȚȠ (Ȇ-ī-Ȇ), ȠʌȩIJİ ȩȜĮ IJĮ ĮȞIJȓıIJȠȚȤĮ ıIJȠȚȤİȓĮ İȓȞĮȚ ȓıĮ, ȐȡĮ ǹǾ = īǽ.

4.

ȉĮ IJȡȓȖȦȞĮ ǺȂī, ǺƍȂƍīƍ ȑȤȠȣȞ: Į) ȂǺ = ȂƍǺƍ, ȕ) Ǻī = Ǻƍīƍ Ȗ)

DZȡĮ İȓȞĮȚ ȓıĮ ıȪȝijȦȞĮ ȝİ IJȠ țȡȚIJȒȡȚȠ (Ȇ-ī Ȇ). ȅʌȩIJİ

șĮ ȑȤȠȣȞ IJĮ ĮȞIJȓıIJȠȚȤĮ ıIJȠȚȤİȓĮ IJȠȣȢ ȓıĮ, ȐȡĮ ǹƍǺƍīƍ ȑȤȠȣȞ: Į) Ǻī=Ǻƍīƍ ȕ) ȝİ IJȠ țȡȚIJȒȡȚȠ (Ȇ-ī -Ȇ) 5.

346

Ȗ)

. ȉĮ IJȡȓȖȦȞĮ ǹǺī, , ȠʌȩIJİ İȓȞĮȚ ȓıĮ ıȪȝijȦȞĮ


īİȦȝİIJȡȓĮ

6.

7.

cm2

8.

cm

9.

cm

10.

347


ȉȡȚȖȦȞȠȝİIJȡȓĮ


2.1

ȉȡȚȖȦȞȠȝİIJȡȚțȠȓ ĮȡȚșȝȠȓ ȖȦȞȓĮȢ Ȧ ȝİ 00 ” Ȧ ” 1800

ȉȡȚȖȦȞȠȝİIJȡȓĮ

ȅȚ IJȡȚȖȦȞȠȝİIJȡȚțȠȓ ĮȡȚșȝȠȓ ȝȚĮȢ ȠȟİȓĮȢ ȖȦȞȓĮȢ İȞȩȢ ȠȡșȠȖȦȞȓȠȣ IJȡȚȖȫȞȠȣ, ʌȠȣ ȖȞȦȡȓȗȠȣȝİ IJȚȢ ʌȜİȣȡȑȢ IJȠȣ İȓȞĮȚ: IJȠ ȘȝȓIJȠȞȠ, IJȠ ıȣȞȘȝȓIJȠȞȠ țĮȚ Ș İijĮʌIJȠȝȑȞȘ ʌȠȣ ȠȡȓȗȠȞIJĮȚ ȦȢ İȟȒȢ: ī

A

Ȧ

B

ȅȚ IJȡȚȖȦȞȠȝİIJȡȚțȠȓ ĮȡȚșȝȠȓ ȝȚĮȢ ȠȟİȓĮȢ ȖȦȞȓĮȢ ȠȡȓȗȠȞIJĮȚ țĮȚ ȝİ IJȘ ȕȠȒșİȚĮ İȞȩȢ ȠȡșȠțĮȞȠȞȚțȠȪ ıȣıIJȒȝĮIJȠȢ ĮȟȩȞȦȞ ȦȢ İȟȒȢ: AȞ ı’ ȑȞĮ ȠȡșoțĮȞȠȞȚțȩ ıȪıIJȘȝĮ ĮȟȩȞȦȞ ȅxȥ ʌȐȡȠȣȝİ ȑȞĮ ıȘȝİȓȠ ʌ.Ȥ Ȃ(3,4) ijȑȡȠȣȝİ Ȃǹ ] xƍx țĮȚ ȂǺ ] ȥƍȥ, IJȩIJİ ȑȤȠȣȝİ ȅǹ = 3 țĮȚ ȅǺ= ǹȂ= 4.

ȆĮȡĮIJȘȡȒıİȚȢ: 1)

AȞ įȪȠ ȖȦȞȓİȢ İȓȞĮȚ ıȣȝʌȜȘȡȦȝĮIJȚțȑȢ įȘȜ İȓȞĮȚ ȠȚ ȠȟİȓİȢ ȖȦȞȓİȢ İȞȩȢ ȠȡșȠȖȦȞȓȠȣ IJȡȚȖȫȞȠȣ IJȩIJİ: IJȠ ȘȝȓIJȠȞȠ IJȘȢ ȝȚȐȢ ȠȟİȓĮȢ ȖȦȞȓĮȢ İȓȞĮȚ ȓıȠ ȝİ IJȠ ıȣȞȘȝȓIJȠȞȠ IJȘȢ ȐȜȜȘȢ țĮȚ IJȠ ıȣȞȘȝȓIJȠȞȠ IJȘȢ ȝȚȐȢ İȓȞĮȚ ȓıȠ ȝİ IJȠ ȘȝȓIJȠȞȠ IJȘȢ ȐȜȜȘȢ. ǻȘȜ. ȚıȤȪİȚ: Șȝ(900- Ȧ) = ıȣȞȦ, ıȣȞ(900 - Ȧ) = ȘȝȦ

351


ȉȡȚȖȦȞȠȝİIJȡȓĮ

2)

ǵıȠ ĮȣȟȐȞİȚ Ș ȠȟİȓĮ ȖȦȞȓĮ ĮȣȟȐȞİȚ IJȠ ȘȝȓIJȠȞȠ țĮȚ Ș İijĮʌIJȠȝȑȞȘ İȞȫ İȜĮIJIJȫȞİIJĮȚ IJȠ ıȣȞȘȝȓIJȠȞȠ. Ȃİ IJȘ ȕȠȒșİȚĮ İȞȩȢ ȠȡșȠțĮȞȠȞȚțȠȪ ıȣıIJȒȝĮIJȠȢ ĮȟȩȞȦȞ ȝʌȠȡȠȪȝİ ȞĮ ȠȡȓıȠȣȝİ IJȠȣȢ IJȡȚȖȦȞȠȝİIJȡȚțȠȪȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ ȝȚĮȢ ȖȦȞȓĮȢ Ȧ ȩIJĮȞ ĮȣIJȒ İȓȞĮȚ ĮȝȕȜİȓĮ. DzıIJȦ ȑȤȠȣȝİ ȝȓĮ ĮȝȕȜİȓĮ ȖȦȞȓĮ Ȧ, IJȩIJİ IJȘȞ IJȠʌȠșİIJȠȪȝİ ı’ ȑȞĮ ȠȡșȠțĮȞȠȞȚțȩ ıȪıIJȘȝĮ ĮȟȩȞȦȞ ȅxȥ, ȑIJıȚ ȫıIJİ Ș țȠȡȣijȒ IJȘȢ ȞĮ ıȣȝʌȑıİȚ ȝİ IJȘȞ ĮȡȤȒ ȅ, Ș ȝȓĮ ʌȜİȣȡȐ IJȘȢ ȞĮ ıȣȝʌȓʌIJİȚ ȝİ IJȠȞ șİIJȚțȩ ȘȝȚȐȟȠȞĮ ȅx țĮȚ Ș ȐȜȜȘ ʌȜİȣȡȐ IJȘȢ ȞĮ ȕȡİșİȓ ıIJȠ 20 IJİIJĮȡIJȘȝȩȡȚȠ. ǹȞ ıIJȘȞ ʌȜİȣȡȐ ĮȣIJȒ ʌȐȡȠȣȝİ ȑȞĮ ȠʌȠȚȠįȒʌȠIJİ ıȘȝİȓȠ Ȃ(x,ȥ) įȚĮijȠȡİIJȚțȩ Įʌȩ IJȠ ȅ, IJȩIJİ ȖȚĮ IJȘȞ ĮʌȩıIJĮıȘ ȡ = ȅȂ ȚıȤȪİȚ: ĮȡȚșȝȠȓ IJȘȢ ȖȦȞȓĮȢ Ȧ İȓȞĮȚ:

țĮȚ ȠȚ IJȡȚȖȦȞȠȝİIJȡȚțȠȓ

ǹȞ Ș ȖȦȞȓĮ İȓȞĮȚ ȠȟİȓĮ IJȩIJİ: ȩȜȠȚ ȠȚ IJȡȚȖȦȞȠȝİIJȡȚțȠȓ IJȘȢ ĮȡȚșȝȠȓ İȓȞĮȚ șİIJȚțȠȓ ǻȚȩIJȚ : x > 0, ȥ > 0, ȡ > 0. ǹȞ Ș ȖȦȞȓĮ İȓȞĮȚ ĮȝȕȜİȓĮ IJȩIJİ: ȝȩȞȠ IJȠ ȘȝȓIJȠȞȠ İȓȞĮȚ șİIJȚțȩ İȞȫ ȠȚ ȐȜȜȠȚ IJȡȚȖȦȞȠȝİIJȡȚțȠȓ ĮȡȚșȝȠȓ İȓȞĮȚ ĮȡȞȘIJȚțȠȓ. ȂʌȠȡȠȪȝİ ȞĮ ȣʌȠȜȠȖȓıȠȣȝİ țĮȚ IJȠȣȢ IJȡȚȖȦȞȠȝİIJȡȚțȠȪȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ IJȦȞ ȖȦȞȚȫȞ 00, 900, 1800 ȦȢ İȟȒȢ: Į)

352

īȚĮ IJȘ ȖȦȞȓĮ 00 DzıIJȦ IJȠ ıȘȝİȓȠ Ȃ, IJȩIJİ ȖȚĮ ȞĮ ıȤȘȝĮIJȓȗİIJĮȚ ȖȦȞȓĮ 00, ʌȡȑʌİȚ IJȠ Ȃ ȞĮ İȓȞĮȚ ıȘȝİȓȠ IJȠȣ șİIJȚțȠȪ ȘȝȚȐȟȠȞĮ ȅx įȘȜ șĮ ȑȤİȚ IJȘȞ ȝȠȡijȒ Ȃ(x,0) ȝİ x > 0, ȠʌȩIJİ


ȕ) DzıIJȦ IJȠ ıȘȝİȓȠ Ȃ IJȩIJİ ȖȚĮ ȞĮ ıȤȘȝĮIJȓȗİIJĮȚ ȖȦȞȓĮ 900, ʌȡȑʌİȚ IJȠ Ȃ ȞĮ İȓȞĮȚ ȉȡȚȖȦȞȠȝİIJȡȓĮ ıȘȝİȓȠ IJȠȣ șİIJȚțȠȪ ȘȝȚȐȟȠȞĮ Oȥ įȘȜ șĮ ȑȤİȚ IJȘȞ ȝȠȡijȒ Ȃ(0,ȥ) ȝİ ȥ > 0,

Ș İij900 įİȞ ȠȡȓȗİIJĮȚ įȚȩIJȚ x = 0. Ȗ) DzıIJȦ IJȠ ıȘȝİȓȠ Ȃ IJȩIJİ ȖȚĮ ȞĮ ıȤȘȝĮIJȓȗİIJĮȚ ȖȦȞȓĮ 1800, ʌȡȑʌİȚ IJȠ Ȃ ȞĮ İȓȞĮȚ ıȘȝİȓȠ IJȠȣ ĮȡȞȘIJȚțȠȪ ȘȝȚȐȟȠȞĮ ȅxƍ įȘȜ șĮ ȑȤİȚ IJȘȞ ȝȠȡijȒ Ȃ(x,0) ȝİ x < 0 ȠʌȩIJİ

,

ǻȓȞȠȣȝİ IJȠȞ ʌȓȞĮțĮ IJȦȞ IJȡȚȖȠȞȠȝİIJȡȚțȫȞ ĮȡȚșȝȫȞ IJȦȞ ȖȦȞȚȫȞ: 00, 300, 450, 600, 900

353


ȁȊȂǼȃǼȈ ǹȈȀǾȈǼǿȈ

ȉȡȚȖȦȞȠȝİIJȡȓĮ

1

ī 13 A 2

3

354

12

Ȧ B


ǼȇȍȉǾȈǼǿȈ ȀǹȉǹȃȅǾȈǾȈ

ȉȡȚȖȦȞȠȝİIJȡȓĮ

ȃĮ ȤĮȡĮțIJȘȡȓıİIJİ IJȚȢ İʌȩȝİȞİȢ ʌȡȠIJȐıİȚȢ ȝİ ıȦıIJȩ (Ȉ) Ȓ ȜȐșȠȢ (ȁ)

ǹ. 1.

ȅȚ IJȡȚȖȦȞȠȝİIJȡȚțȠȓ ĮȡȚșȝȠȓ ȝȚĮȢ ȠȟİȓĮȢ ȖȦȞȓĮȢ İȓȞĮȚ țĮșĮȡȠȓ ĮȡȚșȝȠȓ

2.

ȊʌȐȡȤİȚ ȖȦȞȓĮ Ȧ ȖȚĮ IJȘȞ ȠʌȠȓĮ ȚıȤȪİȚ ȘȝȦ = Į2 + 2, ȩʌȠȣ Į İȓȞĮȚ ȑȞĮȢ ʌȡĮȖȝĮIJȚțȩȢ ĮȡȚșȝȩȢ.

3.

ȊʌȐȡȤİȚ ȖȦȞȓĮ Ȧ ȖȚĮ IJȘȞ ȠʌȠȓĮ ȚıȤȪİȚ İijȦ = 1000

4.

ǿıȤȪİȚ

5.

Ǿ įȚĮijȠȡȐ ıȣȞ850 - ıȣȞ750 ȑȤİȚ șİIJȚțȩ ʌȡȩıȘȝȠ.

6.

Ǿ įȚĮijȠȡȐ İij1500 - İij200 ȑȤİȚ ĮȡȞȘIJȚțȩ ʌȡȩıȘȝȠ

7.

ǿıȤȪİȚ 2· Șȝ300 = Șȝ600

8.

ǹȞ Ȧ + ij = 900 IJȩIJİ Șȝ2Ȧ = ıȣȞ2ij

9.

ȉȠ ȖȚȞȩȝİȞȠ Șȝ450 ·ıȣȞ1520 İȓȞĮȚ șİIJȚțȩȢ ĮȡȚșȝȩȢ.

Ǻ.

ǼȡȦIJȒıİȚȢ ʌȠȜȜĮʌȜȒȢ İʌȚȜȠȖȒȢ 1.

ǹȞ ıİ ȑȞĮ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ IJȡȓȖȦȞȠ ǹǺī (ǹ = 900) ȚıȤȪİȚ: Ǻī= 20cm, IJȩIJİ Ș ʌȜİȣȡȐ ǹǺ İȓȞĮȚ: Į. 6 cm, ȕ. 3 cm, Ȗ. 12 cm, į. IJȓʌȠIJĮ Įʌȩ IJĮ ʌĮȡĮʌȐȞȦ .

2.

Ǿ ʌĮȡȐıIJĮıȘ

İȓȞĮȚ ȓıȘ ȝİ:

Į. 0, ȕ. 2, Ȗ. 2, į. įİȞ ʌȡȠıįȚȠȡȓȗİIJĮȚ . 3.

ǻȓȞİIJĮȚ ȩIJȚ ȚıȤȪİȚ: Șȝx + Șȝȥ = 2. ȉȩIJİ ȝʌȠȡİȓ ȞĮ ȚıȤȪİȚ: Į. Șȝx = 2,5 țĮȚ Șȝȥ = -0,5, ȕ. Șȝx = 1 țĮȚ Șȝȥ = 1, Ȗ. Șȝx = 0,5 țĮȚ Șȝȥ = 1,5 į. ȉȓʌȠIJĮ Įʌȩ IJĮ ʌĮȡĮʌȐȞȦ.

4.

Ȉİ ȠȡșȠțĮȞȠȞȚțȩ ıȪıIJȘȝĮ ĮȟȩȞȦȞ xOȥ, ȖȚĮ ȑȞĮ ıȘȝİȓȠ Ȃ ȚıȤȪİȚ ıȣȞ(xÔȂ) > 0. ȉȩIJİ Ș ȅȂ ȝʌȠȡİȓ ȞĮ įȚȑȡȤİIJĮȚ Įʌȩ IJȠ ıȘȝİȓȠ: Į. (1,3), ȕ. (-1,4), Ȗ. (0,4) į. (-2,5)

355


AȈȀǾȈǼǿȈ īǿǹ ȁȊȈǾ

ȉȡȚȖȦȞȠȝİIJȡȓĮ

1

ǻȓȞİIJĮȚ ȚıȩʌȜİȣȡȠ IJȡȓȖȦȞȠ ǹǺī ȝİ ʌȜİȣȡȐ Į = 4cm. ĭȑȡȞȠȣȝİ IJȠ ȪȥȠȢ ǹǻ. ȃĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİIJİ IJȠȣȢ IJȡȚȖȦȞȠȝİIJȡȚțȠȪȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ IJȦȞ ȖȦȞȚȫȞ: 300, 600.

2

NĮ IJȠʌȠșİIJȒıİIJİ ıİ ȠȡșȠțĮȞȠȞȠțȩ ıȪıIJȘȝĮ ĮȟȩȞȦȞ IJĮ ıȘȝİȓĮ ǹ(4,3), Ǻ(-2,0), ī(-3,4). ȃĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİIJİ ȘȝxÔA, ıȣȞxÔǺ, İijxÔī.

3

ǻȓȞİIJĮȚ Ș İȣșİȓĮ (İ) ȝİ İȟȓıȦıȘ: 2x + 3ȥ = 6 Į) ȃĮ țȐȞİIJİ IJȘȞ ȖȡĮijȚțȒ IJȘȢ ʌĮȡȐıIJĮıȘ țĮȚ ȞĮ ȕȡİȓIJİ IJȠ ıȘȝİȓȠ Ȃ ʌȠȣ ȑȤİȚ IJİIJĮȖȝȑȞȘ 4. ȕ) ȃĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİIJİ IJȠȣȢ IJȡȚȖȦȞȠȝİIJȡȚțȠȪȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ IJȘȢ ȖȦȞȓĮȢ Ȧ = xÔȂ

4

ǻȓȞİIJĮȚ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ IJȡȓȖȦȞȠ ǹǺī (ǹ= 900). ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ: Į) ȘȝǺ < İijǺ ȕ)

5

ȃĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİIJİ IJȚȢ IJȚȝȑȢ IJȦȞ ʌĮȡĮțȐIJȦ ʌĮȡĮıIJȐıİȦȞ: A = Șȝ170 + Șȝ350 - ıȣȞ730 - ıȣȞ550

6

ȃĮ ȕȡİȓIJİ ȝİIJĮȟȪ ʌȠȚȦȞ ĮȡȚșȝȫȞ ʌİȡȚȑȤȠȞIJĮȚ ȠȚ IJȚȝȑȢ IJȦȞ ʌĮȡĮıIJȐıİȦȞ ǹ = 3ȘȝȦ + 5, Ǻ = 4 - 2ıȣȞȦ

7

Į) ȃĮ țĮIJĮıțİȣĮıșİȓ ȝȓĮ ȖȦȞȓĮ ȖȞȦȡȓȗȠȞIJĮȢ ȩIJȚ: ȕ) ȃĮ țĮIJĮıțİȣĮıșİȓ ȝȓĮ ȖȦȞȓĮ Ȧ IJȑIJȠȚĮ ȫıIJİ: Șȝ(900 - Ȧ) = 0,8

356

8

Ȉİ țȐșİ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ IJȡȓȖȦȞȠ ǹǺī (ǹ = 900), ȞĮ įİȓȟİIJİ ȩIJȚ ȚıȤȪȠȣȞ ȠȚ ıȤȑıİȚȢ: Į) ȘȝǺ + Șȝī = ıȣȞǺ + ıȣȞī ȕ) ȘȝǺ · ıȣȞī = Șȝī· ıȣȞǺ

9

ȃĮ ıȣȖțȡȓȞİIJİ IJȠȣȢ ʌĮȡĮțȐIJȦ ĮȡȚșȝȠȪȢ: Į) Șȝ380 ,Șȝ650 ȕ) ıȣȞ870, ıȣȞ100 Ȗ) İij250, İij890 į) Șȝ100, ıȣȞ300


2.2

ȉȡȚȖȦȞȠȝİIJȡȚțȠȓ ĮȡȚșȝȠȓ ʌĮȡĮʌȜȘȡȦȝĮIJȚțȫȞ ȖȦȞȚȫȞ

ȉȡȚȖȦȞȠȝİIJȡȓĮ

ǻȪȠ ȖȦȞȓİȢ ȜȑȖȠȞIJĮȚ ʌĮȡĮʌȜȘȡȦȝĮIJȚțȑȢ ȩIJĮȞ ȑȤȠȣȞ ȐșȡȠȚıȝĮ 1800. DzıIJȦ ȑȞĮ ıȘȝİȓȠ Ȃ(x,ȥ) ıIJȠ ȠȡșȠțĮȞȠȞȚțȩ ıȪıIJȘȝĮ ĮȟȩȞȦȞ. ȉȠ ıȣȝȝİIJȡȚțȩ IJȠȣ Ȃ ȦȢ ʌȡȠȢ IJȠȞ ȥƍȥ İȓȞĮȚ IJȠ ıȘȝİȓȠ Ȃƍ(-x,ȥ). ǹȞ ȠȞȠȝȐıȠȣȝİ Ȧ IJȘ ȖȦȞȓĮ xÔM, IJȩIJİ ȜȩȖȦ ıȣȝȝİIJȡȓĮȢ İȓȞĮȚ xƍÔM = Ȧ, ȠʌȩIJİ ȖȚĮ IJȘ ȖȦȞȓĮ ij = xƍÔM ȚıȤȪİȚ ij = 1800 - Ȧ, ȐȡĮ ȠȚ ȖȦȞȓİȢ Ȧ, ij İȓȞĮȚ ʌĮȡĮʌȜȘȡȦȝĮIJȚțȑȢ, įȚȩIJȚ ij + Ȧ = 1800 -Ȧ + Ȧ = 1800 ǼʌİȚįȘ ȅȂ= ȅȂƍ șĮ ȑȤȠȣȝİ:

ȅʌȩIJİ ȠȚ ʌĮȡĮʌȜȘȡȦȝĮIJȚțȑȢ ȖȦȞȓİȢ ȑȤȠȣȞ IJȠ ȓįȚȠ ȘȝȓIJȠȞȠ țĮȚ ĮȞIJȓșİIJȠȣȢ IJȠȣȢ ȐȜȜȠȣȢ IJȡȚȖȦȞȠȝİIJȡȚțȠȪȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ. īİȞȚțȐ: īȚĮ įȪȠ ʌĮȡĮʌȜȘȡȦȝĮIJȚțȑȢ ȖȦȞȓİȢ Ȧ țĮȚ 1800-Ȧ ȚıȤȪȠȣȞ: Șȝ(1800-Ȧ) = ȘȝȦ, ıȣȞ(1800-Ȧ ) = -ıȣȞȦ, İij(1800-Ȧ) = -İijȦ ȆĮȡĮIJȒȡȘıȘ: AȞ įȪȠ ȖȦȞȓİȢ İȓȞĮȚ Įʌȩ 00 ȝȑȤȡȚ 1800 țĮȚ ȑȤȠȣȞ IJȠ ȓįȚȠ ȘȝȓIJȠȞȠ IJȩIJİ İȓȞĮȚ ȓıİȢ Ȓ İȓȞĮȚ ʌĮȡĮʌȜȘȡȦȝĮIJȚțȑȢ. īȚĮ IJȘȞ ȖȦȞȓĮ Ȧ ȝİ 00 ” Ȧ ” 1800 ȚıȤȪȠȣȞ: 0 ” ȘȝȦ ” 1, -1 ” ıȣȞȦ ” 1, Ș İijȦ ȝʌȠȡİȓ ȞĮ ʌȐȡİȚ ȠʌȠȚįȒʌȠIJİ ʌȡĮȖȝĮIJȚțȩ ĮȡȚșȝȩ. ȁȊȂǼȃǼȈ ǹȈȀǾȈǼǿȈ 1

ȃĮ ĮʌȜȠʌȠȚȒıİIJİ IJȚȢ ʌĮȡĮıIJȐıİȚȢ:

Ǻ = ıȣȞ(900 - 2Ȧ) · ıȣȞ(1800 - 2Ȧ) + Șȝ2Ȧ · Șȝ(900 - 2Ȧ) ȁȪıȘ ǿıȤȪİȚ Șȝ(1800-Ȧ)=ȘȝȦ, ıȣȞ(900-Ȧ) = ȘȝȦ, ıȣȞ(900-2Ȧ) = Șȝ2Ȧ ıȣȞ(1800-2Ȧ) = -ıȣȞ2Ȧ, Șȝ(900-2Ȧ) = ıȣȞ2Ȧ. ȅʌȩIJİ ȑȤȠȣȝİ:

357


ȉȡȚȖȦȞȠȝİIJȡȓĮ

2

ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȘ ȖȦȞȓĮ x ȩIJĮȞ:

3

NĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİIJİ: Șȝ1350, ıȣȞ1350, İij1500. ȁȪıȘ

4

Ȉİ IJȡȓȖȦȞȠ ǹǺī ĮʌȠįİȓȟIJİ ȩIJȚ ȚıȤȪİȚ: Į) Șȝ(Ǻ + ī) = Șȝǹ, ȕ) ıȣȞ(Ǻ + ī) + ıȣȞǹ = 0 ȁȪıȘ

ǼȡȦIJȒıİȚȢ țĮIJĮȞȩȘıȘȢ NĮ ȤĮȡĮțIJȘȡȓıİIJİ IJȚȢ İʌȩȝİȞİȢ ʌȡȠIJȐıİȚȢ ȝİ ıȦıIJȩ (Ȉ) Ȓ ȜȐșȠȢ (ȁ)

ǹ.

358

1.

ȈIJȠ IJȡȓȖȦȞȠ ǹǺī ȚıȤȪİȚ Șȝ(ǹ + Ǻ) = Șȝī

2.

ǹȞ ıİ ȑȞĮ IJȡȓȖȦȞȠ ȚıȤȪİȚ Șȝ(ǹ + Ǻ) = 1 IJȩIJİ IJȠ IJȡȓȖȦȞȠ İȓȞĮȚ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ

3.

ǹȞ Șȝ1380 = 0,66, IJȩIJİ Șȝ420 = 0,66

4.

ǹȞ ıȣȞij = Șȝ700 țĮȚ 00 < ij < 900 IJȩIJİ ij = 200


5.

ȅ ȝİȖĮȜȪIJİȡȠȢ Įʌȩ IJȠȣȢ IJȡȚȖȦȞȠȝİIJȡȚțȠȪȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ: Șȝ500, Șȝ1890 İȓȞĮȚ ȉȡȚȖȦȞȠȝİIJȡȓĮ IJȠ Șȝ1890

6.

ȅȚ IJȡȚȖȦȞȠȝİIJȡȚțȠȓ ĮȡȚșȝȠȓ ȝȚĮȢ ȖȦȞȓĮȢ ij ȝİ 00< ij < 900 İȓȞĮȚ ȩȜȠȚ șİIJȚțȠȓ ĮȡȚșȝȠȓ.

Ǻ.

ǼȡȦIJȒıİȚȢ ʌȠȜȜĮʌȜȒȢ İʌȚȜȠȖȒȢ 1.

ǹȞ Șȝij = Șȝ450 IJȩIJİ: Į) ij = 450, ȕ) ij = 1350, Ȗ) ij = 450 Ȓ 1350, į) țĮȝȓĮ Įʌȩ IJĮ ʌĮȡĮʌȐȞȦ.

2.

Ǿ İij1350 ȚıȠȪIJĮȚ ȝİ:

3.

Ǿ ʌĮȡȐıIJĮıȘ ǹ= Șȝ1200 · ıȣȞ550 + ıȣȞ1250 · Șȝ600 İȓȞĮȚ ȓıȘ ȝİ: Į) 0, ȕ) -1, Ȗ) 1, į) țĮȝȓĮ Įʌȩ IJĮ ʌĮȡĮʌȐȞȦ.

4.

ǹȞ 00 ” x ” 1800 țĮȚ 2Șȝx= IJȩIJİ Ș IJȚȝȒ IJȠȣ x İȓȞĮȚ: 0 0 Į) x = 45 , ȕ) x = 135 , Ȗ) x = 450 Ȓ x= 1350, į) x = 600

ǹȈȀǾȈǼǿȈ īǿǹ ȁȊȈǾ 1

NĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİIJİ: Șȝ1200, ıȣȞ1200, Șȝ1350, ıȣȞ1500

2

ǹȞ 00 ” x ”1800, ȞĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİIJİ IJȠ x ȩIJĮȞ: Į) 4Șȝ2x = 3, ȕ) 2ıȣȞ2x = 1

3

ȈIJȠ ʌĮȡĮțȐIJȦ ıȤȒȝĮ ȞĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİIJİ IJȠȣȢ IJȡȚȖȦȞȠȝİIJȡȚțȠȪȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ IJȦȞ ȖȦȞȚȫȞ Ȧ țĮȚ ij Γ Μ Α

13

φ ω 12

Β

359


ȉȡȚȖȦȞȠȝİIJȡȓĮ

360

4

NĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ: Į) Șȝ(900 + x) = ıȣȞx ȕ) ıȣȞ(900 + x) = -Șȝx Ȗ) İij(900 + x) = -İijx

5

AȞ 900 ” x ” 1800 țĮȚ IJȠ ıȣȞx İȓȞĮȚ ȡȓȗĮ IJȘȢ İȟȓıȦıȘȢ ȣʌȠȜȠȖȓıİIJİ IJȘ ȖȦȞȓĮ x.

6

ǻȓȞİIJĮȚ IJȡȓȖȦȞȠ ǹǺī IJȠ ȠʌȠȓȠ įİȞ İȓȞĮȚ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ, ȞĮ ĮʌȠįİȚȤșİȓ ȩIJȚ: Į) Șȝ(ǹ + Ǻ) = Șȝī, ȕ) ıȣȞ(ǹ + ī) + ıȣȞǺ = 0, Ȗ) İij(ǹ + Ǻ) = -İijī

7

AȞ ıİ IJȡȓȖȦȞȠ ǹǺī ȚıȤȪİȚ ıȣȞ (Ǻ + ī) = 0, ȞĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ IJȠ IJȡȓȖȦȞȠ İȓȞĮȚ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ .

8

AȞ 900 ” x ” 1800 ȞĮ ȕȡİȓIJİ IJȚȢ IJȚȝȑȢ IJȠȣ x:

9

AȞ 00 ” x ” 1800 țĮȚ 6Șȝ2x = Șȝx + 1 ȞĮ ȕȡİȓIJİ IJȠ x.

10

ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ: Į) Șȝ(1500 + Ȧ) = Șȝ(300 - Ȧ), ȕ) Șȝ(1500 -Ȧ) = Șȝ(30+Ȧ) Ȗ) ıȣȞ(1400 + Ȧ) = -ıȣȞ(400 - Ȧ), į) ıȣȞ(1700 - Ȧ) = -ıȣȞ(100 + Ȧ)

11

ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ: Į) Șȝ1500 + ıȣȞ1650 + Șȝ750 - ıȣȞ600 = 0 ȕ) Șȝ890 + Șȝ910 - 2ıȣȞ10 = 0

12

ȃĮ IJȠʌȠșİIJȒıİIJİ Įʌȩ IJȠ ȝȚțȡȩIJİȡȠ ıIJȠ ȝİȖĮȜȪIJİȡȠ IJȠȣȢ ʌĮȡĮțȐIJȦ IJȡȚȖȦȞȠȝİIJȡȚțȠȪȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ: Șȝ300, Șȝ1400, ıȣȞ 100, ıȣȞ1200

13

ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȘȞ ȠȟİȓĮ ȖȦȞȓĮ Ȧ ʌȠȣ İʌĮȜȘșİȪİȚ țȐșİ ȝȓĮ Įʌȩ IJȚȢ ȚıȩIJȘIJİȢ:

, ȞĮ


2.3

ȈȤȑıİȚȢ ȝİIJĮȟȪ IJȡȚȖȦȞȠȝİIJȡȚțȫȞ ĮȡȚșȝȫȞ ȝȚĮȢ ȖȦȞȓĮȢ

ȉȡȚȖȦȞȠȝİIJȡȓĮ

ǺĮıȚțȑȢ IJȡȚȖȦȞȠȝİIJȡȚțȑȢ IJĮȣIJȩIJȘIJİȢ. ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ ȖȚĮ ȠʌȠȚĮįȒʌȠIJİ ȖȦȞȓĮ Ȧ ȚıȤȪȠȣȞ: Į) Șȝ2Ȧ + ıȣȞ2Ȧ = 1 ȕ) ǹʌȩįİȚȟȘ: Į)

ȕ)

ȁȊȂǼȃǼȈ ǹȈȀǾȈǼǿȈ 1.

ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ: Į) ıȣȞ2550 + Șȝ21250 =1, ȕ) ıȣȞ2210 + ıȣȞ2690 =1, Ȗ) ıȣȞ21400 - Șȝ21300 =0 ȁȪıȘ Į) ǼʌİȚįȒ Șȝ1250 = Șȝ(1800-550) = Șȝ550. DZȡĮ ıȣȞ2550 + Șȝ21250 = = ıȣȞ255 + Șȝ255 = 1 . ȕ) ǼʌİȚįȒ ıȣȞ210 =Șȝ(900-210) = Șȝ690. DZȡĮ ıȣȞ2210 + ıȣȞ2690 = = Șȝ2690 + ıȣȞ2690 = 1. Ȗ) ıȣȞ1400 = ıȣȞ(1800 - 400) = -ıȣȞ400, ıȣȞ400 = Șȝ(900 - 400) = Șȝ500, Șȝ1300 = Șȝ(1800 - 500) = Șȝ500 . DZȡĮ: ıȣȞ21400 - Șȝ21300 = (-ıȣȞ400)2 - Șȝ2500 =ıȣȞ2400- Șȝ2500= Șȝ2500 - Șȝ2500 = 0

361


2.

ȉȡȚȖȦȞȠȝİIJȡȓĮ

ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ:

ȁȪıȘ

ǼȇȍȉǾȈǼǿȈ ȀǹȉǹȃȅǾȈǾȈ NĮ ȤĮȡĮțIJȘȡȓıİIJİ IJȚȢ İʌȩȝİȞİȢ ʌȡȠIJȐıİȚȢ ȝİ ıȦıIJȩ (Ȉ) Ȓ ȜȐșȠȢ (ȁ)

ǹ.

362

1.

ȊʌȐȡȤİȚ ȖȦȞȓĮ Ȧ ȖȚĮ IJȘȞ ȠʌȠȓĮ ȚıȤȪİȚ ȘȝȦ = 0 țĮȚ ıȣȞȦ = 0.

2.

ȊʌȐȡȤİȚ ȖȦȞȓĮ Ȧ ȖȚĮ IJȘȞ ȠʌȠȓĮ ȚıȤȪİȚ

3.

ǿıȤȪİȚ

4.

ǿıȤȪİȚ Șȝ700 · İij200 = Șȝ200

5.

ȅȚ ĮȡȚșȝȠȓ Șȝ1600 țĮȚ ıȣȞ700 İȓȞĮȚ ȓıȠȚ.

6.

ǿıȤȪİȚ: ıȣȞ1370 · ıȣȞ910 < 0

7.

ǿıȤȪİȚ: ıȣȞ1350 +ıȣȞ450 = 0

8.

īȚĮ țȐșİ ȖȦȞȓĮ Ȧ ȚıȤȪİȚ: -1 ” ȘȝȦ ” 1

9.

Ǿ ȝȑȖȚıIJȘ IJȚȝȒ IJȠȣ 3ıȣȞȦ + 3 İȓȞĮȚ IJȠ 3


Ǻ.

ǼȡȦIJȒıİȚȢ ʌȠȜȜĮʌȜȒȢ İʌȚȜȠȖȒȢ 1.

ǹȞ ȠȚ ȖȦȞȓİȢ x, ȥ İȓȞĮȚ ʌĮȡĮʌȜȘȡȦȝĮIJȚțȑȢ IJȩIJİ Ș ʌĮȡȐıIJĮıȘ ǹ = ıȣȞ2(180 - x) + ıȣȞ2(90 - ȥ) İȓȞĮȚ ȓıȘ ȝİ: Į. 0, ȕ. 1, Ȗ. 2, į. įİȞ ȠȡȓȗİIJĮȚ .

2.

H ʌĮȡȐıIJĮıȘ ǹ = Șȝ3x + Șȝx · ıȣȞ2x ȚıȠȪIJĮȚ ȝİ: Į. 1, ȕ. Șȝx, Ȗ. İijx, į. ıȣȞx

3.

H İȜȐȤȚıIJȘ IJȚȝȒ IJȘȢ 3Șȝx + 3 İȓȞĮȚ: Į. 0, ȕ. 2, Ȗ. 6, į. IJȓʌȠIJĮ Įʌȩ IJĮ ʌĮȡĮʌȐȞȦ

ȉȡȚȖȦȞȠȝİIJȡȓĮ

ǹȈȀǾȈǼǿȈ īǿǹ ȁȊȈǾ 1

ȃĮ įİȓȟİIJİ ȩIJȚ: Į) 4Șȝ2Ȧ + 4ıȣȞ2Ȧ = 4 , ȕ) ıȣȞ2x = 1-Șȝ2x , Ȗ) Șȝ2x = 1-ıȣȞ2x , İ) Șȝ2x - ıȣȞ2x = 1 - 2ıȣȞ2x .

į) 2

NĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ : Į) (2ȘȝȦ - 3ıȣȞȦ)2 + (3ȘȝȦ + 2ıȣȞȦ)2 = 13 ȕ) Șȝ4Ȧ - ıȣȞ4Ȧ = 2Șȝ2Ȧ - 1 Ȗ)

3

ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ:

4

ǹȞ

țĮȚ 900 < x < 1800 , ȞĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİIJİ IJȠ Șȝx țĮȚ İijx

5

ǹȞ

țĮȚ 900 < x < 1800 ȞĮ ȕȡİȓIJİ: ıȣȞx, İijx țĮȚ ıIJȘ ıȣȞȑȤİȚĮ ȞĮ

ȕȡİȓIJİ IJȘȞ IJȚȝȒ IJȘȢ ʌĮȡȐıIJĮıȘȢ 6

ǹȞ İijx=2, ȞĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİIJİ IJȘȞ ʌĮȡĮțȐIJȦ ʌĮȡȐıIJĮıȘ:

7

ȃĮ ĮʌȜȠʌȠȚȒıİIJİ IJȚȢ ʌĮȡĮıIJȐıİȚȢ: A = Șȝ(1800 - x) · ıȣȞx · İij(1800 - x) B = Șȝ(900 - x) · İij(1800 - x) · ıȣȞx

363


ȉȡȚȖȦȞȠȝİIJȡȓĮ

2.4

ȃȩȝȠȢ IJȦȞ ȘȝȚIJȩȞȦȞ – ȃȩȝȠȢ IJȦȞ ıȣȞȘȝȚIJȩȞȦȞ ȆȠȚȠȢ İȓȞĮȚ Ƞ ȞȩȝȠȢ IJȦȞ ȘȝȚIJȩȞȦȞ . Ȉİ țȐșİ IJȡȓȖȦȞȠ ǹǺī ȚıȤȪİȚ: ǹʌȩįİȚȟȘ: DzıIJȦ IJȠ IJȡȓȖȦȞȠ ǹǺī İȓȞĮȚ ȠȟȣȖȫȞȚȠ. ȉȩIJİ ıIJȠ IJȡȓȖȦȞȠ ǹǺī ijȑȡȞȠȣȝİ IJȠ ȪȥȠȢ īǻ. DzIJıȚ Įʌȩ IJĮ ȠȡșȠȖȫȞȚĮ IJȡȓȖȦȞĮ ǹǻī țĮȚ īǻǺ ȑȤȠȣȝİ: Γ

β

α

A

Β

γ

Δ

Γ Ε α

β A

γ

KĮIJȐ IJȠȞ ȓįȚȠ IJȡȩʌȠ ĮʌȠįİȚțȞȪİIJĮȚ ȩIJȚ ȚıȤȪİȚ Ƞ ȞȩȝȠȢ IJȦȞ ȘȝȚIJȩȞȦȞ ıİ ĮȝȕȜȣȖȫȞȚȠ țĮȚ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ IJȡȓȖȦȞȠ. Aʌȩ IJȠȞ ȞȩȝȠ IJȦȞ ȘȝȚIJȩȞȦȞ ȑȤȠȣȝİ IJȠ ıȣȝʌȑȡĮıȝĮ ȩIJȚ: OȚ ʌȜİȣȡȑȢ țȐșİ IJȡȚȖȫȞȠȣ İȓȞĮȚ ĮȞȐȜȠȖİȢ ʌȡȠȢ IJĮ ȘȝȓIJȠȞĮ IJȦȞ ĮʌȑȞĮȞIJȚ ȖȦȞȚȫȞ IJȠȣ. Ȃİ IJȠȞ ȞȩȝȠ IJȦȞ ȘȝȚIJȩȞȦȞ ȝʌȠȡȠȪȝİ ȞĮ ȣʌȠȜȠȖȓıȠȣȝİ ȩȜĮ IJĮ ʌȡȦIJİȪȠȞIJĮ ıIJȠȚȤİȓĮ İȞȩȢ IJȡȚȖȫȞȠȣ, ȩIJĮȞ ȖȞȦȡȓȗȠȣȝİ: ȝȓĮ ʌȜİȣȡȐ İȞȩȢ IJȡȚȖȫȞȠȣ, IJȘȞ ĮʌȑȞĮȞIJȚ ȖȦȞȓĮ IJȘȢ țĮȚ ȝȓĮ ȐȜȜȘ ʌȜİȣȡȐ Ȓ ȖȦȞȓĮ IJȠȣ.

364

ȆȠȚȠȢ İȓȞĮȚ Ƞ ȞȩȝȠȢ IJȦȞ ıȣȞȘȝȚIJȩȞȦȞ Ȉİ țȐșİ IJȡȓȖȦȞȠ ǹǺī ȚıȤȪȠȣȞ: Į2 = ȕ2 + Ȗ2 - 2ȕȖ · ıȣȞǹ ȕ2 = Į2 + Ȗ2 - 2ĮȖ · ıȣȞǺ Ȗ2 = ȕ2 + Į2 - 2Įȕ · ıȣȞǹ

Γ

β A

α

Δ

γ

Β

Β


ǹʌȩįİȚȟȘ:

ȉȡȚȖȦȞȠȝİIJȡȓĮ

DzıIJȦ IJȠ IJȡȓȖȦȞȠ ǹǺī İȓȞĮȚ ȠȟȣȖȫȞȚȠ. ȉȩIJİ ıIJȠ IJȡȓȖȦȞȠ ǹǺī ijȑȡȞȠȣȝİ IJȠ ȪȥȠȢ īǻ. ǹȞ ıIJȠ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ IJȡȓȖȦȞȠ ǻǺī İijĮȡȝȩıȠȣȝİ IJȠ ʌȣșĮȖȩȡİȚȠ șİȫȡȘȝĮ ȑȤȠȣȝİ: Į2 = ǻī2 + ǻǺ2 (1). ǼʌİȚįȒ ǻǺ = Ȗ - ǹǻ Ȓ ȚıȩIJȘIJĮ (1) ȖȡȐijİIJĮȚ: Į2 = ǻī2 + (Ȗ-ǹǻ)2 Ȓ Į2 = ǻī2 + Ȗ2 - 2Ȗ · ǹǻ + ǹǻ2 (2). ǹʌȩ IJȠ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ ǹǻī ȑȤȠȣȝİ: ǻī2 + ǹǻ2 = ȕ2 țĮȚ

Ȓ ǹǻ = ȕ · ıȣȞǹ

ȅʌȩIJİ Ș ȚıȩIJȘIJĮ (2) ȖȡȐijİIJĮȚ: Į2 = ȕ2 + Ȗ2 - 2Ȗ · ȕ · ıȣȞǹ ȀĮIJȐ IJȠȞ ȓįȚȠ IJȡȩʌȠ ĮʌȠįİȚțȞȪİIJĮȚ ȩIJȚ ȚıȤȪİȚ Ƞ ȞȩȝȠȢ IJȦȞ ıȣȞȘȝȚIJȩȞȦȞ ıİ ĮȝȕȜȣȖȫȞȚȠ Ȓ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ IJȡȓȖȦȞȠ. Ȃİ IJȠ ȞȩȝȠ IJȦȞ ıȣȞȘȝȚIJȩȞȦȞ ȝʌȠȡȠȪȝİ ȞĮ ȣʌȠȜȠȖȓıȠȣȝİ ȩȜĮ IJĮ ʌȡȦIJİȪȠȞIJĮ ıIJȠȚȤİȓĮ İȞȩȢ IJȡȚȖȫȞȠȣ, ȩIJĮȞ ȖȞȦȡȓȗȠȣȝİ: IJȚȢ IJȡİȓȢ ʌȜİȣȡȑȢ IJȠȣ IJȡȚȖȫȞȠȣ Ȓ įȪȠ ʌȜİȣȡȑȢ țĮȚ IJȘȞ ʌİȡȚİȤȩȝİȞȘ ȖȦȞȓĮ IJȠȣȢ. ǹȞ Įʌȩ IJȠȣȢ ʌĮȡĮʌȐȞȦ IJȪʌȠȣȢ ȜȪıȠȣȝİ ȦȢ ʌȡȠȢ IJȠ ıȣȞȘȝȓIJȠȞȠ IJȩIJİ ʌĮȓȡȞȠȣȝİ:

ȁȊȂǼȃǼȈ ǹȈȀǾȈǼǿȈ 1 ȁȪıȘ

2

ǹȞ ıİ ȠȟȣȖȫȞȚȠ IJȡȓȖȦȞȠ ǹǺī ȚıȤȪİȚ: ȚıȠıțİȜȑȢ. ȁȪıȘ

IJȩIJİ IJȠ IJȡȓȖȦȞȠ İȓȞĮȚ

365


ȉȡȚȖȦȞȠȝİIJȡȓĮ

ǼȇȍȉǾȈǼǿȈ ȀǹȉǹȃȅǾȈǾȈ ȃĮ ȤĮȡĮțIJȘȡȓıİIJİ IJȚȢ İʌȩȝİȞİȢ ʌȡȠIJȐıİȚȢ ȝİ ıȦıIJȩ (Ȉ) Ȓ ȜȐșȠȢ (ȁ)

ǹ. 1.

AȞ ıİ IJȡȓȖȦȞȠ ǹǺī ȚıȤȪİȚ: Șȝǹ = 3ȘȝǺ IJȩIJİ Į = 3ȕ

2.

AȞ ıİ IJȡȓȖȦȞȠ ǹǺī ȚıȤȪİȚ: ıȣȞǹ = 2ıȣȞǺ IJȩIJİ Į = 2ȕ

3.

ǹȞ ıIJȠ IJȡȓȖȦȞȠ ǹǺī ȚıȤȪİȚ ǹ = 600 IJȩIJİ: Į2 = ȕ2 + Ȗ2 - ȕȖ

4.

Ȉİ țȐșİ IJȡȓȖȦȞȠ ǹǺī ȚıȤȪİȚ:

5.

YʌȐȡȤİȚ IJȡȓȖȦȞȠ ǹǺī ȝİ ǹ= 450, Į = 10 cm, ȕ = 20 cm.

6.

ǹȞ ıİ IJȡȓȖȦȞȠ ǹǺī ȚıȤȪİȚ: Șȝǹ = ȘȝǺ IJȩIJİ Į = ȕ.

7.

ǹȞ ıİ IJȡȓȖȦȞȠ ǹǺī İȓȞĮȚ

8.

O ȞȩȝȠȢ IJȦȞ ȘȝȚIJȩȞȦȞ įİȞ ȚıȤȪİȚ ıİ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ IJȡȓȖȦȞȠ.

9.

ȅ ȞȩȝȠȢ ıȣȞȘȝȚIJȩȞȦȞ ȚıȤȪİȚ ıİ ȠʌȠȚȠįȒʌȠIJİ IJȡȓȖȦȞȠ. ǼȡȦIJȒıİȚȢ ʌȠȜȜĮʌȜȒȢ İʌȚȜȠȖȒȢ .

Ǻ.

366

IJȩIJİ ȚıȤȪİȚ : Į2 > ȕ2 + Ȗ2

1.

AȞ ıİ IJȡȓȖȦȞȠ ǹǺī ȚıȤȪȠȣȞ: , IJȩIJİ Ș ʌȜİȣȡȐ ȕ İȓȞĮȚ ȓıȘ ȝİ: Į. 3Șȝ500, ȕ. 3ıȣȞ500, Ȗ. 20Șȝ500 į. IJȓʌȠIJĮ Įʌȩ IJĮ ʌĮȡĮʌȐȞȦ.

2.

Ȉİ țȐșİ IJȡȓȖȦȞȠ ǹǺī Ș ʌĮȡȐıIJĮıȘ K= Į · ıȣȞī + Ȗ · ıȣȞǹ İȓȞĮȚ ȓıȘ ȝİ: Į. Į + Ȗ, ȕ. Ȗ, Ȗ. Į, į. IJȓʌȠIJĮ Įʌȩ IJĮ ʌĮȡĮʌȐȞȦ.

3.

ǻȓȞİIJĮȚ ȩIJȚ ȖȚĮ IJȚȢ ʌȜİȣȡȑȢ IJȠȣ IJȡȚȖȫȞȠȣ ǹǺī ȚıȤȪİȚ: Į2 = ȕ2 + Ȗ2 + ȕȖ, IJȩIJİ Ș ȖȦȞȓĮ İȓȞĮȚ ȓıȘ ȝİ: Į. 1200, ȕ. 600, Ȗ. 300, į. 1500


ǹȈȀǾȈǼǿȈ īǿǹ ȁȊȈǾ ǻȓȞİIJĮȚ IJȡȓȖȦȞȠ ǹǺī ȝİ 48 , ȕ = 8, ȣʌȩȜȠȚʌĮ țȪȡȚĮ ıIJȠȚȤİȓĮ IJȠȣ IJȡȚȖȫȞȠȣ .

1

ȉȡȚȖȦȞȠȝİIJȡȓĮ

=600. ȃĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİIJİ IJĮ

2

3

ǹȞ ıİ ȑȞĮ IJȡȓȖȦȞȠ ǹǺī ȚıȤȪİȚ Į · ıȣȞī = Ȗ · ıȣȞǹ, ȞĮ įİȓȟİIJİ ȩIJȚ IJȠ IJȡȓȖȦȞȠ İȓȞĮȚ ȚıȠıțİȜȑȢ.

4

ǻȓȞİIJĮȚ IJȡȓȖȦȞȠ ǹǺī. ȃĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİIJİ: Į) ȉȘ ȖȦȞȓĮ ȩIJĮȞ: Į = 8, ȕ = 8, Ȗ = 8 ȕ) ǵȜİȢ IJȚȢ ȖȦȞȓİȢ ȩIJĮȞ: Į = 5, ȕ = 4, Ȗ = 3

5

Ȉİ țȐșİ IJȡȓȖȦȞȠ ǹǺī ȞĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ: Į) Į = ȕıȣȞī + ȖıȣȞǺ .

6 7

1.

īǼȃǿȀǼȈ ǹȈȀǾȈǼǿȈ ǹȞ ȖȚĮ IJȚȢ ʌȜİȣȡȑȢ Į, ȕ Ȗ İȞȩȢ IJȡȚȖȫȞȠȣ ǹǺī ȚıȤȪİȚ (Į + ȕ + Ȗ)(Į + ȕ -Ȗ) = Įȕ, ȞĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ: Į) ȉȠ IJȡȓȖȦȞȠ İȓȞĮȚ ĮȝȕȜȣȖȫȞȚȠ ȕ) ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȘ ȖȦȞȓĮ

2.

ǻȓȞİIJĮȚ Ș İȟȓıȦıȘ x2 - 3x + Șȝș - 1 = 0. ȃĮ įİȓȟİIJİ ȩIJȚ Ș İȟȓıȦıȘ ȑȤİȚ įȪȠ ȡȓȗİȢ ʌȡĮȖȝĮIJȚțȑȢ țĮȚ ȐȞȚıİȢ ȖȚĮ țȐșİ ș ȝİ 00 ” ș ” 1800.

3.

ǹȞ ȣʌȐȡȤİȚ ȖȦȞȓĮ ș ȝİ 00 ” ș ” 900 ȫıIJİ ȞĮ ȚıȤȪİȚ: Șȝș = 4Ȝ - 7 țĮȚ ıȣȞ2ș = 7Ȝ - 11 ȞĮ ȕȡİȓIJİ IJȚȢ IJȚȝȑȢ IJȠȣ Ȝ.

4.

ȃĮ ȕȡİȓIJİ ȖȚĮ ʌȠȚİȢ IJȚȝȑȢ IJȠȣ ț  R ȣʌȐȡȤİȚ ȖȦȞȓĮ Ȧ ȫıIJİ ȞĮ ȚıȤȪİȚ: κ κ κ κ

5.

367


10 ȀȡȚIJȒȡȚȠ ǹȟȚȠȜȩȖȘıȘȢ

ȉȡȚȖȦȞȠȝİIJȡȓĮ

ĬȑȝĮ 10 Į) NĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ:

ȖȚĮ țȐșİ Ȧ ȝİ 00 ” Ȧ ” 900 țĮȚ Ȧ  900.

ȕ) ȆȠȚȠȢ İȓȞĮȚ Ƞ ȞȩȝȠȢ IJȦȞ ıȣȞȘȝȚIJȩȞȦȞ; Ȗ) Tȓ ȟȑȡİIJİ ȖȚĮ IJȠȣȢ IJȡȚȖȦȞȠȝİIJȡȚțȠȪȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ ʌĮȡĮʌȜȘȡȦȝĮIJȚțȫȞ ȖȦȞȚȫȞ. ĬȑȝĮ 20 Į) ȃĮ ȜȪıİIJİ IJȘȞ İȟȓıȦıȘ:

ȕ) ǹȞ ıİ ȑȞĮ IJȡȓȖȦȞȠ ǹǺī ȚıȤȪİȚ: Į2 = ȕ2 + Ȗ2 + ȕȖ ȞĮ ȕȡİȓIJİ IJȘ ȖȦȞȓĮ ĬȑȝĮ 30 ǹȞ İȓȞĮȚ

, 900 <Ȧ < 1800

Į) ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȠȣȢ ȐȜȜȠȣȢ IJȡȚȖȦȞȠȝİIJȡȚțȠȪȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ. ȕ) ȃĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİIJİ IJȘȞ ʌĮȡȐıIJĮıȘ:

ĬȑȝĮ 40 Į) ǹȞ ȣʌȐȡȤİȚ ȖȦȞȓĮ ș ȝİ 00 ” ș ” 1800 ȫıIJİ ȞĮ ȚıȤȪİȚ: Șȝș = 4Ȝ - 7 țĮȚ ıȣȞ2ș = 7Ȝ - 11 ȞĮ ȕȡİȓIJİ IJȚȢ IJȚȝȑȢ IJȠȣ Ȝ. ȕ) ǹȞ

368

țĮȚ 900 < x < 1800, ȞĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİIJİ IJȠ Șȝx țĮȚ İijx.

.


20 ȀȡȚIJȒȡȚȠ ǹȟȚȠȜȩȖȘıȘȢ

ȉȡȚȖȦȞȠȝİIJȡȓĮ

ĬȑȝĮ 10 Į) ȃĮ įȚĮIJȣʌȫıİIJİ IJȠ ȞȩȝȠ IJȦȞ ȘȝȚIJȩȞȦȞ. ȆȩIJİ IJȠȞ ȤȡȘıȚȝȠʌȠȚȠȪȝİ. ȕ) ȊʌȐȡȤİȚ ȖȦȞȓĮ Ȧ ȝİ 00 ” Ȧ ” 1800 ȫıIJİ ȃĮ įȚțĮȚȠȜȠȖȒıİIJİ IJȘȞ ĮʌȐȞIJȘıȒ ıĮȢ. Ȗ) ȃĮ ıȣȝʌȜȘȡȫıİIJİ: i) AȞ ȘȝȦ = 0,71 IJȩIJİ ıȣȞ(900 - Ȧ) =… ii) AȞ ıȣȞȦ = -0,7 IJȩIJİ ıȣȞ(1800 - Ȧ) =… iii) AȞ İijȦ = 5 IJȩIJİ İij(1800 - Ȧ) =…

.

ĬȑȝĮ 20 ǹ. ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ: Į) Șȝ1500 + ıȣȞ1650 + Șȝ750 - ıȣȞ600 = 0 ȕ) Șȝ890 + Șȝ910 - 2ıȣȞ10 = 0 Ǻ. ǹȞ

= 600 IJȩIJİ: Į2 = ȕ2 + Ȗ2 - ȕȖ .

ĬȑȝĮ 30 AȞ 900 ” x ” 1800 țĮȚ IJȠ ıȣȞx İȓȞĮȚ ȡȓȗĮ IJȘȢ İȟȓıȦıȘȢ ȞĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİIJİ IJȘȞ ȖȦȞȓĮ x.

,

ĬȑȝĮ 40

369


ȁȪıİȚȢ ıȤȠȜȚțȠȪ ȕȚȕȜȓȠȣ

ȉȡȚȖȦȞȠȝİIJȡȓĮ

2.1

TȡȚȖȦȞȠȝİIJȡȚțȠȓ ĮȡȚșȝȠȓ ȖȦȞȓĮȢ Ȧ ȝİ 00 ” Ȧ ” 1800 ǼȡȦIJȒıİȚȢ țĮIJĮȞȩȘıȘȢ

1. 2.

ȘȝȦ > 0, ıȣȞȦ < 0, İijȦ < 0

3. Į 3

ȕ 2

Ȗ 1

į 1

İ 1

Ȗ) ȁ

į) Ȉ

ıIJ 1

ȗ 3

Ș 1

4. Į) Ȉ

ȕ) Ȉ

ȆȡȠIJİȚȞȩȝİȞİȢ ĮıțȒıİȚȢ - ȆȡȠȕȜȒȝĮIJĮ 1.

2.

3.

370


4.

ȉȡȚȖȦȞȠȝİIJȡȓĮ

5.

6.

7.

2.2

ȉȡȚȖȦȞȠȝİIJȡȚțȠȓ ĮȡȚșȝȠȓ ʌĮȡĮʌȜȘȡȦȝĮIJȚțȫȞ ȖȦȞȚȫȞ ǼȡȦIJȒıİȚȢ țĮIJĮȞȩȘıȘȢ

1. Į) Ȉ 2.

ȕ) ȁ

Ȗ) ȁ

į) Ȉ

İ) Ȉ

ıIJ) ȁ

Į) x = 600 Ȓ x = 1200, ȕ) x = 1600, Ȗ) x = 1500

3. Į 1

ȕ 5

Ȗ 6

371


ȆȡȠIJİȚȞȩȝİȞİȢ ĮıțȒıİȚȢ

ȉȡȚȖȦȞȠȝİIJȡȓĮ

1.

2.

Į) Șȝ1080 + ıȣȞ770- Șȝ720 + ıȣȞ1030 = Șȝ720 + ıȣȞ770 - Șȝ720 -ıȣȞ770 = 0 ȕ) İij1220 - İij580 · İij1350 = -İij580 - İij580 · (-İij450) = - İij580 + İij580 · İij450 = İij580(-1 + İij45) = İij580(-1 + 1) = 0

3.

4.

Șȝ(1400 + x) = Șȝ(1800 - (1400 + x)) = Șȝ(400 - x) țĮȚ ıȣȞ (1580 - x) = -ıȣȞ(1800 -(1580 - x)) = -ıȣȞ(220 + x)

5.

372

6.

EʌİȚįȒ ȠȚ ȖȦȞȓİȢ IJȠȣ ʌĮȡĮȜȜȘȜȠȖȡȐȝȝȠȣ İȓȞĮȚ ȚıİȢ Ȓ ʌĮȡĮʌȜȘȡȦȝĮIJȚțȑȢ șĮ ȑȤȠȣȞ ȓįȚȠ ȘȝȓIJȠȞĮ țĮȚ IJĮ ıȣȞȘȝȓIJȠȞĮ įİȞ șĮ İȓȞĮȚ ʌȐȞIJĮ ȓįȚĮ.

7.

ȅȚ ȖȦȞȓİȢ İȓȞĮȚ ʌĮȡĮʌȜȘȡȦȝĮIJȚțȑȢ ȐȡĮ Șȝǹ = Șȝī țĮȚ ıȣȞǹ = -ıȣȞī țĮȚ İijǹ = -İijī. DzIJıȚ: Į) Șȝǹ + ıȣȞǹ - Șȝī + ıȣȞī = Șȝǹ - Șȝī + ıȣȞǹ + ıȣȞī = 0 ȕ) İijǹ + İijī = -İijī + İijī = 0


ȉȡȚȖȦȞȠȝİIJȡȓĮ

8.

9.

2.3

ȈȤȑıİȚȢ ȝİIJĮȟȪ IJȡȚȖȦȞȠȝİIJȡȚțȫȞ ĮȡȚșȝȫȞ ȝȚĮȢ ȖȦȞȓĮȢ. ǼȡȦIJȒıİȚȢ țĮIJĮȞȩȘıȘȢ

1. Į) Ȉ

ȕ) Ȉ

Ȗ) ȁ

į) Ȉ

2.

DzȤİȚ įȓțȚȠ. ǻȚȩIJȚ ĮȞ ȣʌȒȡȤİ IJȩIJİ șĮ ȚıȤȪİȚ: Șȝ2Ȧ + ıȣȞ2Ȧ = 1, ȐȡĮ 0+0=1 ȐIJȠʌȠ.

3.

Į) ǹȞ ȘȝȦ = 1 IJȩIJİ ıȣȞȦ = 0 ȕ) ǹȞ ȘȝȦ = 0 IJȩIJİ ıȣȞȦ = ± 1

4.

į) ȆȡȠIJİȚȞȩȝİȞİȢ ĮıțȒıİȚȢ

1.

5 Από την ταυτότητα : ημ2ω+συν2ω=1 έχουμε: συν2ω=1- ημ2ω ή συν2ω=1- ( ) 2 13 12 144 25 ή συν2ω= ή συνω= ± . Επειδή η γωνία είναι οξεία ή συν2ω= 113 169 169 5 12 ημω 1 3 5 συνω= . εφω= = = 13 σ υνω 1 2 12 13

373


ȉȡȚȖȦȞȠȝİIJȡȓĮ

2.

3.

1 Από την ταυτότητα : ημ2ω+συν2ω=1 έχουμε: ημ2ω=1-συν2ω ή ημ2ω=1-(- )2 3 8 8 1 8 ή ημ2ω = ή ημω= ± ή ημω= . ή ημ2ω= 19 9 3 3 8 ημω εφω= = 3 =- 8 σ υ νω − 1 3 3 3 ημω 3 ή = ή ημω= συνω . Από την ταυτότητα : ημ2ω+συν2ω=1 σ υ νω 4 4 4 3 9 2 2 2 ( συνω) +συν ω=1 ή συν ω +συν2ω=1 ή 9συν2ω+16συν2ω=16 ή 16 4 16 4 2 2 ή συνω= ± . Επειδή η γωνία ω είναι οξεία 25συν ω=16 ή συν ω= 25 5 4 3 4 3 ή ημω= συνω= , άρα ημω= · 5 5 4 5

εφω=

4.

374

Θα βρούμε συνω , εφω . Από την ταυτότητα : ημ2ω+συν2ω=1 έχουμε : 4 16 9 3 συν2ω=1-ημ2ω ή συν2ω=1-( )2 ή συν2ω=1ή συν2ω= ή συνω= ± . 5 25 25 5 4 3 4 ημω Επειδή η γωνία είναι αμβλεία συνω= - , εφω = = 5 =. − 3 5 σ υ νω 3 1 4 2 −3 1 −4 4 6 2 5 Α= · + · - · = - + =0 3 5 3 5 10 3 15 15 15

5.

Į) Șȝ3Ȧ + ȘȝȦıȣȞ2Ȧ = ȘȝȦ(Șȝ2Ȧ + ıȣȞ2Ȧ) = ȘȝȦ · 1 = ȘȝȦ ȕ) ıȣȞ2Ȧ - ıȣȞ4Ȧ = ıȣȞ2Ȧ(1 - ıȣȞ2Ȧ) = ıȣȞ2Ȧ · Șȝ2Ȧ

6.

Į) xıȣȞȦ + ȥȘȝȦ = 3ıȣȞȦıȣȞȦ + 3ȘȝȦȘȝȦ = 3 ıȣȞ2Ȧ + 3 Șȝ2Ȧ = 3(Șȝ2Ȧ + ıȣȞ2Ȧ) = 3 ȕ) x2 + ȥ2 = (3ıȣȞȦ)2 + (3ȘȝȦ)2 = 9 ıȣȞ2Ȧ + 9 Șȝ2Ȧ = 9(Șȝ2Ȧ + ıȣȞ2Ȧ) =9

7.

Į) ıȣȞ2Į - Șȝ2Į = ıȣȞ2Į -(1 - ıȣȞ2Į) = ıȣȞ2Į - 1 + ıȣȞ2Į = 2ıȣȞ2Į -1. ȕ) Șȝ2ĮıȣȞ2ȕ + Șȝ2ĮȘȝ2ȕ + ıȣȞ2Į = Șȝ2Į(ıȣȞ2ȕ + Șȝ2ȕ) + ıȣȞ2Į = Șȝ22Į + ıȣȞ2Į = 1

8.

Į) ȘȝȦ + ıȣȞȦ)2 + (ȘȝȦ-ıȣȞȦ)2 = Șȝ2Ȧ + 2ȘȝȦıȣȞȦ + ıȣȞ2Ȧ + Șȝ2Ȧ - 2ȘȝȦıȣȞȦ + ıȣȞ2Ȧ = = 2 Șȝ2Ȧ + 2ıȣȞ2Ȧ = 2(Șȝ2Ȧ + ıȣȞ2Ȧ) = 2 · 1 = 2.


ȕ) (ĮȘȝȦ + ȕıȣȞȦ)2 +(ȕȘȝȦ-ĮıȣȞȦ)2 = = Į2Șȝ2Ȧ + 2ĮȘȝȦıȣȞȦ + ȕ2ıȣȞ2Ȧ + ȕ2Șȝ2Ȧ - 2ĮȘȝȦıȣȞȦ + Į2ıȣȞ2Ȧ= (Į2 +ȕ2)Șȝ2Ȧ +(Į2 + ȕ2)ıȣȞ2Ȧ = (Į2 +ȕ2)(Șȝ2Ȧ + ıȣȞ2Ȧ) = Į2 +ȕ2 .

ȉȡȚȖȦȞȠȝİIJȡȓĮ

η μ2 x +συν2x=ημ2x+συν2x=1 σ υ ν2 x η μ x+ σ υ νx η μ x+ σ υ νx η μ x+ σ υνx σ υνx ( η μ x+ σ υνx) β) = = = = συνx ημx σ υνx+ η μ x 1 + εφ x σ υνx+ η μ x 1+ σ υ νx σ υνx

9.

α) συν2x·εφ2x+συν2x= συν2x·

10.

α)

σ υν2 x 1 − η μ2 x (1 − η μ x)(1+ η μ x) = = = 1-ημx 1+ ημx 1+ ημx 1+ ημx ημx σ υ νx σ υνx η μ x)(1+ η μ x) + σ υνx?σ υ νx = + = = β) εφx+ 1 + η μ x σ υνx 1 + η μ x σ υ νx ( 1 + η μ x) η μ x+ η μ2 x + σ υ ν2 x 1 η μ x+ 1 = = σ υνx ( 1 + η μ x) σ υνx ( 1+ η μ x) σ υνx

11. Į) Șȝ500Șȝ1300 - ıȣȞ500ıȣȞ1300 = Șȝ500Șȝ500- ıȣȞ500(-ıȣȞ500) = Șȝ2500+ ıȣȞ2500 = 1 ȕ) Șȝ2140 + Șȝ21140 + ıȣȞ2166+ıȣȞ2660 = Șȝ2140 + Șȝ266 + ıȣȞ214 + ıȣȞ266 = Șȝ2140 + ıȣȞ214 + Șȝ266 + ıȣȞ266 = 1 + 1 = 2 12. α) εφ700συν700-εφ1100συν1100= ημ700-ημ700 = 0 . β) εφ2400συν240+συν21400 =

η μ 700 η μ 1100 0 συν70 = ημ700-ημ1100 σ υ ν1100 σ υν700

η μ2 40 0 συν2400+ συν2400= ημ2400+ συν2400=1 σ υ ν240 0

3 3 1 2 0 0 2 0 0 2 1 + συν2x· · = 13. ημ x·ημ30 ·ημ60 +συν x·συν30 ·συν60 = ημ x· · 2 2 2 2 3 2 3 3 3 ημ x + συν2x= ( ημ2x+ συν2x)= . 4 4 4 4 λ 2 λ +1 2 ) =1 ) +( λ+2 λ+2 ή (λ+1)2+λ2=(λ+2)2 ή λ2+2λ+1+λ2=λ2+4λ+4 ή λ2-2λ-3=0 ή λ=-1 ή λ=3 5 5 Για λ=-1 τότε ημω=0 , συνω=-1 άρα ω=1800 . Για λ=3 τότε ημω= συνω= 4 3 Απορρίπτεται διότι η γωνία δεν είναι οξεία.

2 2 14. Από την ταυτότητα ημ +συν ω=1 έχουμε : (

375


ȉȡȚȖȦȞȠȝİIJȡȓĮ

2.4

ȃȩȝȠȢ IJȦȞ ȘȝȚIJȩȞȦȞ – ȃȩȝȠȢ IJȦȞ ıȣȞȘȝȚIJȩȞȦȞ ǼȡȦIJȒıİȚȢ țĮIJĮȞȩȘıȘȢ .

1. 2.

.

3. Į) Ȉ 4.

ȕ) ȁ

Ȗ) Ȉ

į) ȁ

İ) Ȉ

x2 = Ȧ2 + ȥ2 - 2Ȧȥ · ıȣȞ750, ȥ2 = Ȧ2 + x2 - 2Ȧx · ıȣȞ600, Ȧ2 = ȥ2 + x2 - 2ȥx · ıȣȞ450

5.

ȆȇȅȉǼǿȃȅȂǼȃǼȈ ǹȈȀǾȈǼǿȈ - ȆȇȅǺȁǾȂǹȉǹ 1.

376


ȉȡȚȖȦȞȠȝİIJȡȓĮ

2.

3.

4.

377


ȉȡȚȖȦȞȠȝİIJȡȓĮ

5.

6.

7.

8.

9.

378


10.

ȉȡȚȖȦȞȠȝİIJȡȓĮ

11.

12.

13.

14.

379


īǼȃǿȀǼȈ ǹȈȀǾȈǼǿȈ 2Ƞȣ ȀǼĭǹȁǹǿȅȊ

ȉȡȚȖȦȞȠȝİIJȡȓĮ

1.

2.

3.

4.

380


ȉȡȚȖȦȞȠȝİIJȡȓĮ

5.

6.

7.

381


ȉȡȚȖȦȞȠȝİIJȡȓĮ

8.

9.

6.406,4+2.871,9-5.042,5

382

4.235

=65.08m


ȁȪıİȚȢ IJȦȞ ǹıțȒıİȦȞ IJȠȣ ǺȚȕȜȓȠȣ


§‡ÛÂȘ

ȂȑȡȠȢ ʌȡȫIJȠ ȀİijȐȜĮȚȠ 10 1.1 ǹ. ȅȚ ʌȡĮȖμĮIJȚțȠȓ ĮȡȚșμȠȓ țĮȚ ȠȚ ʌȡȐȟİȚȢ IJȠȣȢ ǼȡȦIJȒıİȚȢ țĮIJĮȞȩȘıȘȢ ǹ. 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

ȁ

ȁ

ȁ

Ȉ

Ȉ

ȁ

ȁ

ȁ

ȁ

ȁ

Ȉ

ȁ

ȁ

Ȉ

ȁ

Ȉ

ȁ

ȁ

ȁ

ȁ

, 0,

1 3

Ǻ. 1. İ) , 2. Į) , 3. ȕ) , 4. Į) , 5. Į) , 6. İ) , 7. ȕ) ī. ǹțȑȡĮȚȠȚ : -4, 8, 16 , 0. ȇȘIJȠȓ : -4, 8, 3, 4 ,

2 3

ǹıțȒıİȚȢ ȖȚĮ ȜȪıȘ 1. ĭȣıȚțȠȓ : +3,

9 . ǹțȑȡĮȚȠȚ : +3, -2,

9 . ȇȘIJȠȓ :

16 . DZȡȡȘIJȠȚ :

5, ʌ

3 2 , 2,2 3 , 5 3

DZȡȡȘIJȠȚ : ʌ, 3 . 2. DZȡIJȚȠȚ : 2Ȟ , Ȟ(Ȟ+1) . ȆİȡȚIJIJȠȓ : 2Ȟ+1 , 2Ȟ+3 , 4Ȟ+1 , 4Ȟ+3 . 3. Į) 38 , ȕ) 5 , Ȗ) 0 , į) -2 . 4. ǹ=12 , Ǻ=-48 , ī=-8+2Ȗ . 5. Ȗ) Į=

192 64 , ȕ= . 5 5

6. ǹ=Į+ȕ+Ȗ+ȕ+2Ȗ=2001+6=2007 . Ǻ=Į+2ȕ+3Ȗ+ȕ+2Ȗ=2007+6=2013. 2(1  2  3  ...  50) 2 7. Į) ǹ= = , ȕ) ǹ=4(50+49+…+1)-2(99+98+97+…+1)= 5(1  2  3  ...  50) 5 50 ˜ 51 99 ˜100 = 4· =100·51-99·100=100(51-99)=100(-48)=-4800 2 2 2 -(2Į-ȕ  3Ȗ-2Ȗ  Į-ȕ)-(-3Į  2ȕ-Ȗ  2007) 8. ǹ= = -(-Į  2ȕ)-(Į  ȕ  2Ȗ)-(-3ȕ-2Ȗ) -2Į  ȕ-3Ȗ  2Ȗ-Į  ȕ  3Į-2ȕ  Ȗ-2007 =-2007 . Į-2ȕ-Į-ȕ-2Ȗ  3ȕ  2Ȗ 100-3Į  3ȕ-2Į  4ȕ-5  15Į  3ȕ-6 89  10(Į  ȕ) 129 = 9. ǹ= = 4 4 -4Į  2ȕ-12ȕ  4  4Į  10ȕ

10. x+ȥ=Į-2ȕ-8+2+4Į+4+7ȕ+2=5(Į+ȕ)=0 . 11. 3xȥ-3xȥ+3x-x+ȥ+7-3ȥ=2(x-ȥ)+7=2(850,35+150,65)+2=2004. 12. ț=0 Ȓ ț=1. 13. į=-1, Ȗ=3, ȕ=5 , Į=15. ȅʌȩIJİ Į+ȕ+Ȗ+į=22 .

Ǻ. ǻȣȞȐμİȚȢ ʌȡĮȖμĮIJȚțȫȞ ǼȡȦIJȒıİȚȢ țĮIJĮȞȩȘıȘȢ ǹ. 1 ȁ

2 Ȉ

3 ȁ

4 ȁ

5 ȁ

6 Ȉ

7 Ȉ

8 Ȉ

9 ȁ

10 Ȉ

11 Ȉ

12 ȁ

13 ȁ

14 Ȉ

15 Ȉ

16 Ȉ

17 Ȉ

18 Ȉ

19 ȁ

385


§‡ÛÂȘ

Ǻ. 1. į) , 2. ȕ) , 3. Ȗ) , 4. ȕ) , 5. Į) , 6. Į) , 7. Į) , 8. Ȗ) , 9. Ȗ) , 10. ȕ) ǹıțȒıİȚȢ ȖȚĮ ȜȪıȘ

ĬİIJȚțȠȓ : 8-3 , 40 . AȡȞȘIJȚțȠȓ : -7-2 , (-3)-5 , (-20)5 , -44 Į) Į9 , ȕ) –Į7 , Ȗ) Į2 , į) (Į·ȕ)5 , İ) 2-5 , ıIJ) 6 ǹ=378 , Ǻ=2100 , ī=298 , ǻ=617 5 4 4. Į) x= , ȕ) x=1 , Ȗ) x= , į) x=3 , İ) x=2 , ıIJ) x=-2 3 3 5. Į) Į>ȕ , ȕ) Į>ȕ, Ȗ) Į>ȕ , į) Į<ȕ , İ) ȕ=(243)7 , Į=(3125)7 , ȐȡĮ Į>ȕ . 2 6. Į) x=-3 , ȕ) ǹ=0 . 7. x=1 , ȥ=1 , ǹ= . 8. A=2 . 9 .A=-39 . 10. A=-22000 9 11. Į) ǹ=10·2Ȟ= ʌȠȜȜĮʌȜȐıȚȠ IJȠȣ 10 . ȕ) Į = 6·(46Ȟ+2)= ʌȠȜȜĮʌȜȐıȚȠ IJȠȣ 6 12. ǹ=-7 , Ǻ=5. 13. ǹ=(-1)Ȟ+2 ȠʌȩIJİ : i) AȞ Ȟ ȐȡIJȚȠȢ IJȩIJİ ǹ=1 , ii) AȞ Ȟ ʌİȡȚIJIJȩȢ ǹ=-1. 2 14. ǹ= . 13 3 3 2 15. ǹ= , ȐȡĮ Ƞ ĮȞIJȓșİIJȠȢ İȓȞĮȚ Ƞ - țĮȚ Ƞ ĮȞIJȓıIJȡȠijȠȢ Ƞ . Ǻ=4 , ȐȡĮ Ƞ ĮȞIJȓșİIJȠȢ 2 2 3 1 İȓȞĮȚ Ƞ -4 țĮȚ Ƞ ĮȞIJȓıIJȡȠijȠȢ Ƞ . 4 1. 2. 3.

ī. ȉİIJȡĮȖȦȞȚțȒ ȡȓȗĮ ʌȡĮȖμĮIJȚțȠȪ ĮȡȚșμȠȪ ǼȡȦIJȒıİȚȢ țĮIJĮȞȩȘıȘȢ A. 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

ȁ Ȉ

ȁ

Ȉ

ȁ

ȁ ȁ

ȁ

Ȉ

Ȉ

ȁ

ȁ

ȁ

ȁ

ȁ

ȁ

Ȉ

Ȉ

ȁ

ȁ

Ǻ. 1. ȕ) , 2. Į) , 3. ȕ) 4. Į) 5. Ȗ) , 6. Ȗ) ī. Į

ȕ

4

49

2

ȕ 7

25

324

5

18

169

196

13

14

Į

Į ȕ

53 359 365

Į ȕ

Į ˜ȕ 14

Į˜ ȕ 14

23

90

90

27

182

182

9

ǹıțȒıİȚȢ ȖȚĮ ȜȪıȘ

386

1. ǹ=12 , Ǻ=3,5 , ī=7 . 4 3 2. ǹ. x•-1 , B. x” , ī. 2”x”3 , ǻ. x” . 3 2 3. ǹȡțİȓ ȞĮ įİȓȟȠȣμİ ȩIJȚ: (2+ 5 )2=9+4 5 .

4. A= 4 , B= 2 , ī=12 .


§‡ÛÂȘ

5. ǹ=2 , Ǻ=12 6. ǹ=-2(2+ 5 ) , Ǻ=-2(2- 5 ) , ȠʌȩIJİ : A·B=-4 , A-B=-4 5 2 , 2

7. i)

3 2 2 4 5 6 ( 2  1) ˜ 3 , , , , , 2 2 2 5 4 3

2 2 , 4( 3  2 ) , 2 ( 2  3 ) 2 8. i) Aȡțİȓ : ( 2  1) 2 =3-2 2 , ii) Aȡțİȓ :(1+ 5 )2=6+2 5

ii)

3 , ii) x=3 , iii) x=6 , x=0 . 10. ǺǼ= 63 2 2 11. ǿıȤȪİȚ Į =ȕ2+Ȗ2 ȐȡĮ i) Į2-ȕ2 ii) ȕ+Į+Ȗ

9. i) x=

12. ǹȡțİȓ (4+ 5 )·

4 5 =1 . 11

13. Į) Ȇ=20cm , E=17cm2 , ȕ) Į= 17

1 14. ǹȞ ȕ=Ȗ țĮȚ Į İȓȞĮȚ Ș ȣʌȠIJİȓȞȠȣıĮ IJȩIJİ 24= ȕ2 Ȓ ȕ2=48cm2 ȠʌȩIJİ Į2=ȕ2+ȕ2 2 2 2 2 2 2 Ȓ Į =96 ȐȡĮ į = Į + Į Ȓ į =192 Ȓ į= 192 cm .

15. Į) ǹǻ=3 , ȕ) īǼ=

73 2

1.2 ȂȠȞȫȞȣμĮ – ȆȡȐȟİȚȢ μİ μȠȞȫȞȣμĮ ǹ. ǹȜȖİȕȡȚțȑȢ ʌĮȡĮıIJȐıİȚȢ ǼȡȦIJȒıİȚȢ țĮIJĮȞȩȘıȘȢ ǹ. 1 2 3 ȁ ȁ ȁ

4 Ȉ

5 ȁ

6 ȁ

7 ȁ

8 Ȉ

Ǻ. 1. ȕ) , 2. į) , 3. ȕ) , 4. į) , 5. ȕ) ǹıțȒıİȚȢ ȖȚĮ ȜȪıȘ

1. 2.

Į) , ȕ) , į) , İ) , ȗ) ȈȣȞIJİȜİıIJȒȢ

ȀȪȡȚȠ μȑȡȠȢ xȥ4

ǺĮșμȩȢ ȦȢ ʌȡȠȢ x 1

BĮșμȩȢ ȦȢ ʌȡȠȢ ȥ 4

ǺĮșμȩȢ ȦȢ ʌȡȠȢ x,ȥ 5

1 2 3 - 3 -2 5

x6ȥ2 x

6 1

2 0

8 1

x6ȥ2

6

2

8

387


§‡ÛÂȘ

3.

4.

5.

ǼʌȚijȐȞİȚĮ : 6x2 , ıȣȞIJİȜİıIJȒȢ 6 , țȪȡȚȠ μȑȡȠȢ x2 , ȕĮșμȩȢ 2 . ǵȖțȠȢ : x3 , ıȣȞIJİȜİıIJȒȢ 1 , țȪȡȚȠ μȑȡȠȢ x3 , ȕĮșμȩȢ 3 . īȚĮ x=3 ǼʌȚijȐȞİȚĮ : 6·32=54 IJİIJȡĮȖȦȞȚțȑȢ μȠȞȐįİȢ . ǵȖțȠȢ : 33=27 țȣȕȚțȑȢ μȠȞȐįİȢ Į) ǹȞ Ȝ=3 IJȩIJİ : ȅ ȕĮșμȩȢ ȦȢ ʌȡȠȢ Į İȓȞĮȚ IJȠ 5 , ȦȢ ʌȡȠȢ ȕ IJȠ 3 țĮȚ ȦȢ ʌȡȠȢ Į , ȕ IJȠ 8 . ȕ) ǹȞ Ȝ=2 IJȩIJİ Ǻ=5x2ȥ3 ȠʌȩIJİ : ȕĮșμȩȢ ȦȢ ʌȡȠȢ x IJȠ 2 , ȦȢ ʌȡȠȢ ȥ IJȠ 3 țĮȚ ȦȢ ʌȡȠȢ x,ȥ IJȠ 5 . ǹȞ Ȝ=-3 IJȩIJİ Ǻ=-5x3ȥ2 ȠʌȩIJİ : ȕĮșμȩȢ ȦȢ ʌȡȠȢ x IJȠ 3 , ȦȢ ʌȡȠȢ ȥ IJȠ 2 țĮȚ ȦȢ ʌȡȠȢ x,ȥ IJȠ 5 . Į) 4x4ȥ2 , ȕ) x3ȥ4 , Ȗ) x7ȥ9 . 6. Į) ȣ=2 6 x , ȕ) Ǽ=8 6 x2 , Ȇ=18x

ȆȡȩıșİıȘ ǼȡȦIJȒıİȚȢ țĮIJĮȞȩȘıȘȢ ǹ. 1 2 Ȉ Ȉ

3 ȁ

4 Ȉ

5 ȁ

6 Ȉ

7 Ȉ

ǹıțȒıİȚȢ ȖȚĮ ȜȪıȘ

1. 2. 3.

41 2 7 2 x , Ȗ) 0 , į) x , İ) 3x2 , ıIJ) 5,9xȥ 10 10 5 Į) -24x4 , ȕ) -4x3ȥ3 , Ȗ) 6xȥ5 , į) -40x5ȥ4 , İ) - x3ȥ3 , ıIJ) –x3ȥ6 2 3 3 ȥ 3 16 3 1 ȕ Į) Į , ȕ) , İ) Į ȕ , Ȗ) - 2 , į) , ıIJ) -3 4 3 Į x xȦ5 ȥ

Į) -2x3ȥ , ȕ)

1.3-1.4 ȆȠȜȣȫȞȣμĮ – ȆȡȩıșİıȘ, ĮijĮȓȡİıȘ țĮȚ ʌȠȜȜĮʌȜĮıȚĮıμȩȢ ʌȠȜȣȦȞȪμȦȞ ǼȡȦIJȒıİȚȢ țĮIJĮȞȩȘıȘȢ ǹ.

1 Ȉ

2 Ȉ

3 ȁ

4 Ȉ

5 ȁ

6 ȁ

7 Ȉ

8 Ȉ

9 ȁ

10 Ȉ

Ǻ. 1. Ȗ) , 2. Ȗ) , 3) ȕ ǹıțȒıİȚȢ ȖȚĮ ȜȪıȘ

1. Į) Ǻ , ǻ , Ǽ . ȕ) Ǻ=-x3+x2-2x-1 , ǻ=0 , Ǽ= ȕĮșμȩ , E : μȘįİȞȚțȠȪ ȕĮșμȠȪ .

3 Ȗ) Ǻ: 3Ƞȣ ȕĮșμȠȪ , ǻ : įİȞ ȑȤİȚ 5

2. Į) 12x5-8x4+12x3-8x2 , ȕ) x9-2x6+4x2-4x , Ȗ) x3-5x2+6x , į) Į5-Į4-Į3-3Į2+7Į-2

388

3. Į) Į=-4 , ȕ) x=27

11 ȁ


§‡ÛÂȘ

4. Į) -4x4+12x3+2x2-8x+6 , ȕ) 4x4-16x3-2x2+10x-8 ,Ȗ) 4x4-20x3-2x2+15x-5 5. Į) Į=-2 , ȕ=10 , Ȗ=-12 . 6. Į) 2Ƞȣ ȕĮșμȠȪ , ȕ) ȇ(ȇ(x))=ȇ(2x2)=2·(2x2)2= = 2·4x4=8x4 , ȐȡĮ ȇ(ȇ(x))-1=8x4-1 7. AȞ ȇ(x) İȓȞĮȚ IJȠ ʌȠȜȣȫȞȣμȠ IJȩIJİ : 5x2-2x+1-ȇ(x)=4x2-3x+5 Ȓ ȇ(x)=x2+x-4 8. Į) Ȝ=-4 , ȕ) ț=3 . 9. Q(x)=(Į+1)x3-3x2+Įx-27 ȐȡĮ Į=8 10. Į) ǿıȤȪİȚ : ȀȑȡįȠȢ = DzıȠįĮ – ȀȩıIJȠȢ , ȐȡĮ ĮȞ Ȇ(x) İȓȞĮȚ IJȠ țȑȡįȠȢ IJȩIJİ : Ȇ(x)=-2x2+1500x-50.000 . ȕ) īȚĮ x=0 , K(0)=50.000 . ǼȓȞĮȚ IJȠ țȩıIJȠȢ ȖȚĮ IJĮ ȜİȚIJȠȣȡȖȚțȐ ȑȟȠįĮ ( İȞȠȓțȚĮ , ĮıijȐȜȚıIJȡĮ , ț.Ȝ.ʌ.) . Ȗ) īȚĮ x=100 Ȇ(100)=-2·1002+1500·100-50.000=80.000 Ǽȣȡȫ.

1.5 ǹȟȚȠıȘμİȓȦIJİȢ IJĮȣIJȩIJȘIJİȢ ǼȡȦIJȒıİȚȢ țĮIJĮȞȩȘıȘȢ ǹ. 1 2 3 4 5 ȁ Ȉ ȁ Ȉ ȁ

6 ȁ

7 ȁ

8 Ȉ

9 ȁ

10 Ȉ

11 Ȉ

12 ȁ

13 Ȉ

14 ȁ

Ǻ. 1. ȕ) , 2. ȕ) , 3. ȕ) , 4. ȕ) , 5. Į) , 6. Ȗ) , 7. ȕ) , 8. İ) , 9. Į) , 10. Ȗ) , 11. ȕ) ǹıțȒıİȚȢ ȖȚĮ ȜȪıȘ

4 4 16 x +16x2- x3 , Ȗ)9x6-12x4+4x2 , į) 16x4ȥ2+16x3ȥ3+4x2ȥ4 9 3 1 2 4 6 2 İ) 9x +12x ȥ+4x ȥ , ıIJ) 2 +2+Į2 Į

1. Į) 9x4+12x3+4x2 , ȕ)

2. Į) Į3+6Į2ȕ+12Įȕ2+8ȕ3 , ȕ)8Į6+36Į5ȕ3+54Į4ȕ6+27Į3ȕ6 , Ȗ) 27Į3-54Į2ȕ2+36Įȕ4-8ȕ6 27 6 27 5 24 8 į) ĮĮ +36Į4-64Į3 , İ) 8x3-24x+ - 3 ,ıIJ)15 3 -26 64 4 x x 3. Į) 16x2-ȥ2 , ȕ) 9x4-ȥ2 , Ȗ) x2-ȥ2+4ȥz-4z2 , į) 16x2-x6 , İ) –(x4-ȥ4) 4. Į) (2x-2)(4x2+4x+4) , ȕ) (3x-4ȥ)(9x2+12xȥ+16ȥ2) , Ȗ) (2x+4)(4x2+8x+16) į) (4-2x)(16+8x+4x2) , İ) 2ȕ(27Į2+18Įȕ) 5. Į) -5x2+12x+10 , ȕ) -21Įȕ , Ȗ) 0 , į) 6x2+2 6. Į) 3x2-65x+351 , ȕ) 12x2-26x+13 , Ȗ) 3x2-3x-1

389


§‡ÛÂȘ

7. ǹʌȩ IJȘȞ IJĮȣIJȩIJȘIJĮ : Į2+ȕ2-2Įȕ=(Į-ȕ)2 ȑȤȠȣμİ : ȇ(x)=(x3-1-x3-1)2=(-2)2=4 ǹʌȩ IJȘȞ IJĮȣIJȩIJȘIJĮ : Į3+3Į2ȕ+3Įȕ2+ȕ3=(Į+ȕ)3 ȑȤȠȣμİ : Q(x)=(x2+1+1-x2)3=23=8 8. Į) Į2+ȕ2=(Į+ȕ)2-2Įȕ=32-2·(-4)=9+8=17 ȕ) Į3+ȕ3=(Į+ȕ)3-3Įȕ(Į+ȕ)=33-3·(-4)·3=27+36=63 9. Į) Į2+ȕ2=(Į+ȕ)2-2Įȕ=52-2·4=25-8=17 ȕ) Į3+ȕ3=(Į+ȕ)3-3Įȕ(Į+ȕ)=53-3·4·5=125-60=65 Ȗ) Į4+ȕ4=(Į2)2+(ȕ2)2=(Į2+ȕ2)2-2Į2ȕ2=172-2·42=257 10. ǹʌȩ IJȘȞ IJĮȣIJȩIJȘIJĮ : (Į+ȕ+Ȗ)2=Į2+ȕ2+Ȗ2+2Įȕ+2ȕȖ+2ĮȖ ȑȤȠȣμİ : 2(Įȕ+ȕȖ+ĮȖ)=(Į+ȕ+Ȗ)2-Į2-ȕ2-Ȗ2 ȐȡĮ : Į) Įȕ+ĮȖ+ȕȖ=-9 ȕ) 3(Įȕ+ĮȖ+ȕȖ)-2007=3·(-9)-2007=-27-2007= -2034 11. Į) ǹʌȩ IJȘȞ IJĮȣIJȩIJȘIJĮ : (Į+ȕ)2=Į2+ȕ2-2Įȕ ȑȤȠȣμİ : Įȕ=-5 ȕ) ǹʌȩ IJȘȞ IJĮȣIJȩIJȘIJĮ : Į3+ȕ3=(Į+ȕ)=(Į2+ȕ2-Įȕ) ȑȤȠȣμİ ȩIJȚ: Į3+ȕ3=186 1 1 1 =(x+ )2-2x = x x x2 =22-2=2 . ȕ) ǹʌȩ IJȘȞ IJĮȣIJȩIJȘIJĮ : Į3+ȕ3=(Į+ȕ)3-3Įȕ(Į+ȕ) ȑȤȠȣμİ : 1 1 1 1 x3+ 3 =( x+ )3-3x ( x+ )=23-3·2=2 x x x x 1 1 1 1 Ȗ) x4+ 4 =(x2)2+( 2 )2=(x2+ 2 )2-2x2 2 =22-2=2 x x x x 1 1 1 2 2 2 13. Į) ǹʌȩ IJȘȞ IJĮȣIJȩIJȘIJĮ : Į +ȕ =(Į-ȕ) +2Įȕ ȑȤȠȣμİ : x2+ 2 =(x- )2+2 x = x x x 1 1 1 1 =22+2=6 . ȕ) (x+ )2=x2+2 x + 2 =6+2=8 . Ȗ) ǹʌȩ ȕ) (x+ )2=8 x x x x 1 1 1 1 ȐȡĮ x+ = 8 Ȓ x+ =- 8 , İʌİȚįȒ x >0 ĮȡĮ >0 ȠʌȩIJİ : x+ = 8 x x x x 14. Į) (Į-1)(Į+1)(Į2+1)(Į4+1)(Į8+1)=(Į2-1)(Į2+1)(Į4+1)(Į8+1)=(Į4-1)(Į4+1)(Į8+1) =(Į8-1)(Į8+1)=Į16-1 . ȕ) (Į+ȕ+Ȗ)2+(Į-ȕ)2+(ȕ-Ȗ)2+(Į-Ȗ)2= =Į2+ȕ2+Ȗ2+2Įȕ+2ĮȖ+2ȕȖ+Į2-2Įȕ+ȕ2+ȕ2-2ȕȖ+Ȗ2+Į2-2ĮȖ+Ȗ2=3Į2+3ȕ2+3Ȗ2 Į  ȕ 2 Į-ȕ 2 Į 2  2Įȕ  ȕ 2 Į 2  2Įȕ  ȕ 2 4Įȕ 4ȕ Ȗ) ( ) -( )= = 2 Į Į Į Į Į2 Į2

12. Į) ǹʌȩ IJȘȞ IJĮȣIJȩIJȘIJĮ : Į2+ȕ2=(Į+ȕ)2-2Įȕ ȑȤȠȣμİ : x2+

15. Į) (x+1)2+(ȥ+2)2=0 ȐȡĮ x+1=0 țĮȚ ȥ+2=0 ȠʌȩIJİ : x=-1 țĮȚ ȥ=-2 ȕ) (x+3)2+(ȥ+4)2=0 ȐȡĮ x+3=0 țĮȚ ȥ+4=0 ȠʌȩIJİ : x=-3 țĮȚ ȥ=-4 1 Ȗ) (2x+1)2+(ȥ+1)2=0 ȐȡĮ 2x+1=0 țĮȚ ȥ+1=0 ȠʌȩIJİ : x=- țĮȚ ȥ=-1 2 16. Į) Į2-(Į-2)(Į+2)=Į2-(Į2-4)=Į2-Į2+4=4 . ȕ) īȚĮ Į=2007 Įʌȩ Į) ȑȤȠȣμİ : 20072-(2007-2)(2007+2)=4 . 17. (x-2)(x2+2x+4)(x+2)(x2-4x+4)=(x3-23)(x3+23)=x6-26

390

18. ĬȑIJȦ 2007=Į ,ȠʌȩIJİ Į2+Į2(Į+1)+(Į+1)2+Į=Į2+Į3+Į2+Į2+2Į+1+Į=


§‡ÛÂȘ

Į3+3Į2+3Į+1=(Į+1)3=20083 19. Į) (3Į+x)3 , ȕ) [(Į+ȕ)+(Į-ȕ)]2=(2Į)2=4Į2 20. Į) Įȕ=2 , ȕ) Į2+ȕ2=8 , Ȗ) Į2-ȕ2= -4 3 .

21. Į) (x+1)2= x2+2x+1 1 1 ȕ) (x-2)2 = x2+4-4x , Ȗ) (2x+3ȥ)2=4x2+12xȥ+9ȥ2 , į) (x- )2=x2+ 2 -2 x x

22. Į) 4x2-ȥ4=(2x-ȥ2)(2x+ȥ2) , ȕ)(x4-1)=(x-1)(x+1)(x2+1) ,Ȗ) x3-ȥ3=(x-ȥ)(x2+xȥ+ȥ2) į) x3+8=(x+2)(x2-2x+4) . 23. Į) (x+2)3=x3+6x2+12x+8 , ȕ) (ȥ-2)3 = ȥ3-6ȥ2+12ȥ-8 , 24. 39+1=(33)3+1=273+13=(27+1)(272-2·27·1+12)= = 28(272-2·27+1)=ʌȠȜȜĮʌȜȐıȚȠ IJȠȣ 28 . 25. Į) ț=2 țĮȚ Ȝ=1 , ȕ) ț=-1 țĮȚ Ȝ=2 26. ȕ+Ȗ= 20 ȐȡĮ ȕ2+Ȗ2+2ȕȖ=20 Ȓ Į2+2ȕȖ=20 Ȓ 16+2ȕȖ=20 Ȓ ȕȖ=2 ȐȡĮ Ǽ=1 IJİIJȡ.μȠȞ. 27. ǹȞ Ȟ,Ȟ+1 İȓȞĮȚ ȠȚ įȚĮįȠȤȚțȠȓ ĮțȑȡĮȚȠȚ IJȩIJİ : (Ȟ+1)2-Ȟ2=Ȟ2+2Ȟ+1-Ȟ2=2Ȟ+1 ʌİȡȚIJIJȩȢ.

1.6 ȆĮȡĮȖȠȞIJȠʌȠȓȘıȘ ǼȡȦIJȒıİȚȢ țĮIJĮȞȩȘıȘȢ ǹ. 1 2 ȁ ȁ

3 Ȉ

4 ȁ

5 Ȉ

6 ȁ

Ǻ . 1. Į) , 2. Į) ǹıțȒıİȚȢ ȖȚĮ ȜȪıȘ

1. Į) 3x(x+2) , ȕ) 4x2(x-1) , Ȗ) 3(x-1)(x+1) , į) 5x(x2-2x-1) , İ) 4xȥ(x-3) ıIJ) (x-ȥ)(3+Į-1) , ȗ) (Į+ȕ)(Į2+ȕ2) 2. Į) (Į+1)·Į , ȕ) (x+1)(x2+1) , Ȗ) (x-4)(Į+ȕ-1) , į) (x-ȥ)2 , İ)(5x-ȥ)2 ,ıIJ)(x+ȥ-3)2 3. Į) (2-Į)(2+Į) , ȕ) (4-Į)(4+Į) , Ȗ) (x- 5 )( x+ 5 ) , į) x(x-1)(x+1) , İ) 2(3x-2ȥ)(3x+2ȥ) , ıIJ) (Į-1)(Į+1)(Į2+1) , ȗ) (7x-ȥ)(7ȥ-x) 4. Į)(x- 5 )(x+ 5 ) ,ȕ) (x- 5 )(x+ 5 ) ,Ȗ)x(x-1)(x2+x+1) , į) (x2+7)(x-5) ,İ)x(x-2)(x+2) 5. Į) (x+2)2(x2-5x+1) , ȕ) 2(x-3)2(9-x) , Ȗ) (2x-1-3ȥ)(2x+1+3ȥ) , į)(Į+ȕ+x-ȥ)(Į+ȕ-x+ȥ) , İ) (ȕ-2)(Į-2-ȕ) , ıIJ) (x+2)(x2-3x+4) , ȗ) (x-3)(x2+3x+8)

391


§‡ÛÂȘ

6. Į) (x-1)(3Į+2ȕ) , ȕ) (x+ȥ)(Į+ȕ-Ȟ) , Ȗ) (Į-ȕ)(x+ȥ)(Į+ȕ-x+ȥ) 1 7. Į) (x-1)(x-2) , ȕ) (x-1)(x-6) , Ȗ) 3(x-1)(x+ ) , į) –(x-1)(x-6) , (x-2)2 3 8. Į) (x+ 3 )(x+3) , ȕ) (x+3ț)(x+Ȝ) , Ȗ) (x+4)(x- 5 ) 9. Į) (x+1)(x-3+Į) , ȕ) (x-1)(x-6+Į) , Ȗ) (x-4)(x-3+ȥ)

x ȥ 2  ) 5 4 11. Į) (2x-3ȥ)(4x2+6xȥ+9ȥ2) , ȕ)(x-2ȥ)(x2+2xȥ+4ȥ2) , Ȗ) 2(3x+2ȥ)(9x2-6xȥ+4ȥ2) İ) (Į3-1)(Į3+1) =(Į-1)(Į2+Į+1)(Į+1)(Į2-Į+1) , ıIJ) 2x(2x+1)(4x2-2x+1) 12. Į) ǹ=x3-5x2+6x=x(x-2)(x-3) , ȕ) ǹ=0 Ȓ x=0 Ȓ x=2 Ȓ x=3 1 1 13. Į) x=10 Ȓ x=-10 , ȕ) x=0 Ȓ x= Ȓ x=- , Ȗ) x=0 Ȓ x=1 , Ȓ x=-5 4 4 į) x=3 Ȓ x=4 Ȓ x=2 , İ) x=1 Ȓ x=-1 , ıIJ) x=2 Ȓ x=-2

10. Į) x(x-1)(x-3) , ȕ) x(x-2)(x-4) , Ȗ) 2x(x-2)(x-3) , į) (

14. Į) (Į+2ȕ-2)(Į+2ȕ+2) , ȕ) -1 15. ǹ=(Į-2ȕ-4)(Į-2ȕ+4) , Ǻ=(2Į-ȕ-2)(2Į-ȕ+2) , ī=x2-4xȥ-5ȥ2=x2-4xȥ+4ȥ2-9ȥ2 (x-2ȥ)2-(3ȥ)2=(x-5ȥ)(x+ȥ) , ǻ=3Į2-4Į+1-2Įȕ-ȕ2=4Į2-4Į+1-Į2-2Įȕ-ȕ2= (2Į-1)2-(Į+ȕ)2=(3Į+ȕ-1)(Į-ȕ-1) 16. ǹ=x4+4ȥ4=x4+4ȥ4+4x2ȥ2-4x2ȥ2=(x2+2ȥ2)2-(2xȥ)2=(x2+2ȥ2-2xȥ)( x2+2ȥ2+2xȥ) Ǻ=x4+4= x4+4+4x2-4x2=(x2+2)2-(2x)2=(x2+2-2x)(x2+2+2x) ī=x4+9-7x2=x4+9-6x2-x2=(x2-3)2-x2=(x2-x-3)(x2+x-3) ǻ= x4+ȥ4-3x2ȥ2= x4+ȥ4-2x2ȥ2-x2ȥ2=(x2-ȥ2)-(xȥ)2=(x2-ȥ2-xȥ)(x2-ȥ2+xȥ) 17. ǹ=x3-7x+6= x3-x-6x+6=x(x2-1)-6(x-1)=x(x-1)(x+1)-6(x-1)=(x-1)(x2+x-6) =(x-1)(x-2)(x+3) . B= 2x3-5x+3=2x3-2x-3x+3=2x(x2-1)-3(x-1)= =2x(x-1)(x+1)-3(x-1)=(x-1)(2x2+2x-3) . ī=x2-4x+3=x2-x-3x+3= = x(x-1)-3(x-1)=(x-1)(x-3) . ǻ= x3+2x2-1= x3+x2+x2-1 = x2(x+1)+(x-1)(x+1)= = (x+1)(x2+x-1) 18. Į) xȞ(x-1)(x2+x+1) , ȕ) xμ(x-1)(x+1) , Ȗ) x(xȞ-xμ+1) ,į) x2(xȞ+1-xμ-xț) 19. Į) (x-1)2 , ȕ) (2Į-1)(Į-ȕ) Ȗ) (x-4)2 20. Į) 2.007.000 , ȕ) 990.000 , Ȗ) 999.997 , į) 159.999 , İ) 1

1.7 ǻȚĮȓȡİıȘ ʌȠȜȣȦȞȪμȦȞ ǼȡȦIJȒıİȚȢ țĮIJĮȞȩȘıȘȢ ǹ. 1 2 ȁ Ȉ

392

3 Ȉ

Ǻ. 1. į) , 2. Į) , 3. ȕ) , 4. Į) , 5. Į)

4 Ȉ

5 ȁ

6 ȁ


§‡ÛÂȘ

ǹıțȒıİȚȢ ȖȚĮ ȜȪıȘ

1. Į) x3-5x2+7x-2=(x-2)(x2-3x+1) , ȕ) 5x2+16x+3=(x+2)(5x+6)-9 , Ȗ) x3+x2-x-6= (x-3)(x2+4x+11)+27 , į) 2x4+4x3-5x+2=(x2-1)(2x2+4x+2)-x +4 İ) x6=(x-2)2(x4+4x3+12x2+32x+80+192x-320 2. i) Į) Ȇ(x)=3x2-3 , ȣ(x)=-4x+5 , ȕ) Ȇ(x)=x3-4x , ȣ(x)= -4x+5 ii) x=-2 Ȓ x=-1 Ȓ x=0 Ȓ x=1 Ȓ x=2 3. Į)x5+1=(x+1)(x4-x3+x2-x+1), ȖȚĮ x=10, 105+1=11(104-103+102-10+1)=ʌȠȜȜ. IJȠȣ 11 ȕ) x5-1=(x-1)(x4+x3+x2+x+1), ȖȚĮ x=20 , 205-1=19(204+203+202+20+1)=ʌȠȜȜ.IJȠȣ 19 4. ȕ) ǹʌȩ Į) țĮȚ IJȘȞ IJĮȣIJȩIJȘIJĮ IJȘȢ İȣțȜİȓįİȚĮȢ įȚĮȓȡİıȘȢ 2x3-7x2+11x-4 = (x2-3x+4)(2x-1) 3 9 9 , Ȗ) ǹʌȩ ȕ) 2x3-7x2+6=(2x-1)(x2-3x++2) + 5. ȕ) 2x3-7x2+6=(2x-1)(x2-3x- ) 2 2 2 3 3 2 3 2 Ȓ 2x -7x + =(2x-1)(x -3x+ ) 2 2 6. ȇ(x)=(x2-3x-2)(x2-2x)+3x+2 , ȐȡĮ ȇ(-2)=60 7. ȇ(x)=(3x3-2x-1)·Ȇ(x)+3x-1 , ȐȡĮ ȇ(1)=2 8. ǹȞ țȐȞȠȣμİ IJȘȞ įȚĮȓȡİıȘ ȇ(x): (x2+1) ȕȡȓıțȠȣμİ ȣ(x)=(ȕ-1)x+1-Į , ȐȡĮ ȖȚĮ ȞĮ İȓȞĮȚ IJȑȜİȚĮ ʌȡȑʌİȚ ȣ(x)=0 , ȠʌȩIJİ ȕ-1=0 țĮȚ 1-Į=0 ȐȡĮ ȕ=1 țĮȚ Į=1 9. Į) īȚĮ x=1 , Q(1)=-4 ȐȡĮ Į2+ȕ+ȕ2+Į+Į+ȕ-2=-4 Ȓ (Į+1)2+ (ȕ+1)2=0 ȐȡĮ Į=ȕ=-1 ȕ) īȚĮ Į=-1 țĮȚ ȕ=-1 , Q(x)=-2x-2 1Ƞȣ ȕĮșμȠȪ Ȗ) ȇ(x)=Q(-2x-2)=-2(-2x-2)=4x+4 1Ƞȣ ȕĮșμȠȪ

1.8 E.K.Ȇ. țĮȚ Ȃ.Ȁ.ǻ. ĮțİȡĮȓȦȞ ĮȜȖİȕȡȚțȫȞ ʌĮȡĮıIJȐıİȦȞ ǼȡȦIJȒıİȚȢ țĮIJĮȞȩȘıȘȢ

1. Į) 2 , ȕ) 3 , Ȗ) 1 2. ǹ Ǻ 2x 18x 18x

3x(x-2) 18x(x-2)

9(x-1)2 18x(x-1)2

x2-4

2x(x2-4)

3x(x2-4)

9(x-1)2(x2-4)

3x2(x2-1)

6x2(x2-1)

3x2(x2-1)(x-2)

9x2(x-1)2(x+1)

3. Į) 2 , ȕ) 4 , Ȗ) 1 , į) 3x

393


§‡ÛÂȘ

4. ǹ Ǻ

3x(x-1)3

4x2

x5

9x(x2-1)

3x(x-1)

x

x

6x(x-1)3

3x(x-1)3

2x

x

x4(x-1)5

x(x-1)3

x2

x4

ǹıțȒıİȚȢ ȖȚĮ ȜȪıȘ

1. Į) Ǽ.Ȁ.Ȇ. 12x3ȥ3Ȧ3, Ȃ.Ȁ.ǻ. 2xȥ2Ȧ . ȕ) Ǽ.Ȁ.Ȇ. 24x3ȥ3 , Ȃ.Ȁ.ǻ. 2xȥ3 Ȗ) Ǽ.Ȁ.Ȇ. 24Į4ȕȖ3 , Ȃ.Ȁ.ǻ. 4ȕ 2. Į) Ǽ.Ȁ.Ȇ. 6(x-ȥ)(x+ȥ)(x2+xȥ+ȥ2) , Ȃ.Ȁ.ǻ. (x-ȥ) ȕ) Ǽ.Ȁ.Ȇ (x-2)(x+2)2(x-3)(x+3) , Ȃ.Ȁ.ǻ. (x+2)(x-3) Ȗ) Ǽ.Ȁ.Ȇ x(x-1)(x+1) , Ȃ.Ȁ.ǻ (x+1) 3. Į) Ǽ.Ȁ.Ȇ.(x-1)(x-2)(x-3) , Ȃ.Ȁ.ǻ 1 . ȕ) Ǽ.Ȁ.Ȇ.(x-2)2(x+3)(x+2), Ȃ.Ȁ.ǻ. (x-2) Ȗ) Ǽ.Ȁ.Ȇ (x-1)2(x+1)2 , Ȃ.Ȁ.ǻ (x-1) 4. Į) Ǽ.Ȁ.Ȇ Į(Į-2)2(Į+2) , Ȃ.Ȁ.ǻ (Į-2 ). ȕ) Ǽ.Ȁ.Ȇ (Į-2)(Į2+2Į+4)(Į+2)(Į-3) , Ȃ.Ȁ.ǻ (Į-2)

1.9 ȇȘIJȑȢ ĮȜȖİȕȡȚțȑȢ ʌĮȡĮıIJȐıİȚȢ ǹıțȒıİȚȢ ȖȚĮ ȜȪıȘ 1. Į) x2 , ȕ) x-1 , Ȗ) x-1 țĮȚ x1 , į) ȅȡȓȗİIJĮȚ ȖȚĮ țȐșİ x , İ) x-1 țĮȚ x 1 ıIJ) x0 țĮȚ x1 .

2. Į) ȥ=1 , ȕ) x=1 țĮȚ x=-1 , Ȗ) x=0 țĮȚ x=1 țĮȚ x=-1 , į) x=2 țĮȚ x=-2.

3ȥ Į-ȕ 2 3x x 1 , ȕ) 2 , Ȗ) , į) , İ) 2 3x x 1  x  Į ȕ  x 1 x 6 x x-3 Į-5 4. Į) , ȕ) , Ȗ) , į) 3x-1 x-3Ȧ 2 2x 2 Į x-3 x x(x  1) , İ) Į2+3Į+9 , ıIJ) 1 5. Į) , ȕ) , Ȗ) , į) x2 x-4 x-1 Į-ȕ

3. Į)

6. ǹ=

394

ȕ(Į 2  Įȕ  ȕ 2 ) 1 , Ǻ= 1 , ī=1 . 7. ǹ= 2 , Ǻ=(Į-ȕ)2 Į  Įȕ  ȕ 2 x


§‡ÛÂȘ

1.10 ȆȡȐȟİȚȢ ȡȘIJȫȞ ʌĮȡĮıIJȐıİȦȞ ǹıțȒıİȚȢ ȖȚĮ ȜȪıȘ

1 . 3Į 2(2x  1) 1 x-3 2. Į) 4(x-4) , ȕ) , Ȗ) , į) 5 2 x-2

1. Į)-1 , ȕ)Į+2 , Ȗ)

3. Į)

İ)

(x 2  x  1)(x-2) (x  2)(x-1)

2(Į 2  ȕ 2 ) 2x 2  x-5 (2x  1)(x 2  2x  4) , ȕ) , Ȗ) 2 2 2 Į ȕ (x  1)(x  2) (x  2)(x  1)(x 2  x  1)

īİȞȚțȑȢ ĮıțȒıİȚȢ 1Ƞȣ țİijĮȜĮȓȠȣ

1. -2007 . 2. Į) ǹȞ x=0 IJȩIJİ 02+0+1=0 Ȓ 1=0 ȐIJȠʌȠ , ȐȡĮ x0 . ȕ) ǹʌȩ IJȘȞ IJĮȣIJȩIJȘIJĮ x3-1=(x-1)(x2+x+1) ȑȤȠȣμİ : x3-1=(x-1)·0 Ȓ x3-1=0 Ȓ x3=1 Ȗ) x2005(1+x+x2)= x2005·0=0 . 3. Į) Ǻ=(x-6)(x+2)=x2+2x-6x-12=x2-4x-12= =x(x-4)-12=A-12 . ȕ) ǹ·Ǻ+36=ǹ·(ǹ-12)+36 = ǹ2-12ǹ+36=(ǹ-6)2=[x(x-4)-12]2 Ȗ) x(x-6)(x-4)(x+2)+36= ǹ·Ǻ+36==[x(x-4)-12]2 4. Į) ȆȡȑʌİȚ : x2-1=0 țĮȚ 2-2x=0 țĮȚ x2-x=0 ȐȡĮ x=1 ȕ) ǹȞ șȑıȠȣμİ : x3+3x2+3x=ȥ IJȩIJİ : ȥ(ȥ+2)+1=0 Ȓ (ȥ+1)2=0 ȐȡĮ ȥ=-1 ȠʌȩIJİ x3+3x2+3x=-1 Ȓ (x+1)3=0 ȐȡĮ x=-1 5. Į=10 ȐȡĮ ȕ+Ȗ=14 ȠʌȩIJİ (ȕ+Ȗ)2=196 Ȓ ȕ2+Ȗ2+2ȕȖ=196 Ȓ Į2+2ȕȖ=196 Ȓ 100+2ȕȖ=196 Ȓ ȕȖ=48 ȐȡĮ Ǽ=24cm2 6. ǼʌİȚįȒ ȠȚ ȕȐıİȚȢ İȓȞĮȚ ĮȡȚșμȠȓ μİȖĮȜȪIJİȡȠȚ IJȠȣ 1 țĮȚ ȠȚ İțșȑIJİȢ İȓȞĮȚ μȘ ĮȡȞȘIJȚțȠȓ Ș țȐșİ įȪȞĮμȘ șĮ İȓȞĮȚ μİȖĮȜȪIJİȡȘ Ȓ ȓıȘ IJȠȣ 1 ȐȡĮ ʌȡȑʌİȚ : (x-1)2+(ȥ-1)2=0 țĮȚ (x-1)4+(ȥ-1)2=0 . ȅʌȩIJİ : x=1 țĮȚ ȥ=1 . 4 7. Į) P(0)+P(-1)+P(1)+P(-x)=x Ȓ -1-3+1-2x-1=x Ȓ x=3 1 Ȝ Ȝ Ȝ 2 ȕ) Ȝ·P( )-2P( )=3- Ȓ 0-2(Ȝ-1)=3- Ȓ Ȝ= 2 2 2 2 5 Ȝ2 2 Ȝ 1 1 Ȝ Ȝ Ȝ 8. Į2-ȕ2=(Į-ȕ)(Į+ȕ)= (x+ -x  ) · ( x+ +x- )= · ·2x=Ȝ2 4 x 2 x x 2 2 2 1

9. Į) EoȜ=224 Ȓ Į2+ȕ2+102+ Įȕ=224 Ȓ 102+102+ǼIJȡ=224 ȐȡĮ ǼIJȡ=24cm2 2

ȕ) ǿıȤȪİȚ : Į2+ȕ2=100 (1) țĮȚ Įȕ=48 ȠʌȩIJİ 2Įȕ=96 (2) Ȃİ ʌȡȩıșİıȘ (1)țĮȚ (2) (Į+ȕ)2=196 Ȓ Į+ȕ=14 (3) . Ȃİ ĮijĮȓȡİıȘ (1)-(2) (Į-ȕ)2=4 Ȓ Į-ȕ=2 ȅʌȩIJİ Į=8 țĮȚ ȕ=6 Ȓ Į=6 țĮȚ ȕ=8 . 10. 1·(Į+ȕ)(Į2+ȕ2)(Į4+ȕ4)(Į8+ȕ8)= (Į-ȕ)(Į+ȕ)(Į2+ȕ2)(Į4+ȕ4)(Į8+ȕ8)= (Į2-ȕ2) (Į2+ȕ2)(Į4+ȕ4)(Į8+ȕ8)= (Į4-ȕ4) (Į4+ȕ4)(Į8+ȕ8)=(Į8-ȕ8)( Į8+ȕ8)=Į16-ȕ16.

395


§‡ÛÂȘ

11. Į) x+

1 =1 Ȓ x2+1=x Ȓ x2-x+1=0 . ȕ) x3+1=(x+1)(x2-x+1) x

Ȓ x3+1=(x+1)·0 Ȓ x3+1=0 Ȓ x3=-1 , x2001=(x3)667=(-1)667= -1 , x-2004=

1

1 x

2004

=

1 =1 . DZȡĮ x2001+x-2004=-1+1=0 (  1)(  1) x ˜x 12. Į) Ȟ2-(Ȟ+1)(Ȟ-1)=Ȟ2-(Ȟ2-1)=1 . ȕ) īȚĮ Ȟ=6,78695 ıIJȘȞ Į) ȑȤȠȣμİ : 6,786952-7,78695·5,78695 =1 3 5 9 10 9 20 29 13. Į) Į2+ȕ2=(Į+ȕ)2-2Įȕ=(- )2-2·(- )= + = + = 14 98 196 98 196 196 196 ȕ) 4Į2-4Į+1+1+4ȕ2-4ȕ+28(Į+ȕ)=4(Į2+ȕ2)-4(Į+ȕ)+2+28(Į+ȕ)= 29 3 3 145 = 4· -4(- )+2+28(- )=196 14 14 49 =

2001

3

=

14. ǹ= 20072+4015=20072+2·2007+1=(2007+1)2=20082 10 KȡȚIJȒȡȚȠ ĮȟȚȠȜȩȖȘıȘȢ ĬȑμĮ 1 Į) ĬİȦȡȓĮ , ȕ) ĬİȦȡȓĮ , Ȗ) V =(x+2)3=x3+6x2+12x+8=P(x) į) (Į+ȕ)2=Į2+ȕ2 Ȓ Į2+2Įȕ+ȕ2=Į2+ȕ2 Ȓ 2Įȕ=0 Ȓ Į=0 Ȓ ȕ=0 ĬȑμĮ 2 Į) ǹȞ țȐȞȠȣμİ IJȘȞ įȚĮȓȡİıȘ 2x2+7x+3: (2x+1) ȕȡȓıțȠȣμİ ʌȘȜȓțȠ x+3 ʌȠȣ İȓȞĮȚ țĮȚ IJȠ ʌȜȐIJȠȢ . ȕ) i) Į-ȕ=2 Ȓ (Į-ȕ)2=4 Ȓ Į2-2Įȕ+ȕ2=4 Ȓ 20-2Įȕ=4 Ȓ Įȕ=8 . ii) Į3-ȕ3=(Į-ȕ)(Į2+Įȕ+ȕ2)=2·(20+8)=56 . Ȗ) i) x3(Į-ȕ)-27(Į-ȕ)=(Į-ȕ)(x-3)(x2+3x+9) ii) (3x-2ȥ+3)2+2(3x-2ȥ+3)+1=(3x-2ȥ+4)2 , į) 3x2+5x+3=īx2+(Ǻ-2ī)x+ǹ-Ǻ+ī ȐȡĮ ī=3 , Ǻ=11 țĮȚ ǹ=11. ĬȑμĮ 3

Į)

25Į , ȕ) Į-ȕ=-1 , ǹ=(Į+ȕ)2-4Įȕ+(Į-ȕ)2007=Į2+ȕ2+2Įȕ-4Įȕ+(Į-ȕ)2007= 6(Į-1)(Į  1) =(Į-ȕ)2+(Į-ȕ)2007=(-1)2+(-1)2007=1-1=0 . Ȗ) ǹ=10

ĬȑμĮ 4 ȕ Ȗ ȕ(Į  ȕ)-Ȗ(Į  Ȗ) 0 Ȓ ȕĮ+ȕ2-ĮȖ-Ȗ2=0 Ȓ Į(ȕ-Ȗ)+(ȕ-Ȗ)(ȕ+Ȗ)=0 Į) =0 Ȓ Į Ȗ Įȕ (Į  Ȗ)(Į  ȕ) Ȓ (ȕ-Ȗ)(Į+ȕ+Ȗ)=0 Ȓ ȕ=Ȗ 3(1  2  3  ...  100) 3 3x(1  2  3  ...  100) 3 , ii) = ȕ) i) 2(1  2  3  ...  100) 2 2x(1  2  ...  100) 2 20 KȡȚIJȒȡȚȠ ĮȟȚȠȜȩȖȘıȘȢ

396

ĬȑμĮ 1 Į) ĬİȦȡȓĮ , ȕ) ĬİȦȡȓĮ , Ȗ) i) (x-2)2=x2-4x+4 , ii) (Į-5)2=Į2+25-10Į


į) P( 2  1)

( 2  1 )2-3( 2  1 )+1=2-2 2 +1-3 2 +3+1=7-5 2

§‡ÛÂȘ

ĬȑμĮ 2 Į) ǹȡțİȓ (3+ 5 )2=14+6 5 . ȕ) ǹ=x4-x2=x2(x2-1)=x2(x-1)(x+1) . B=x3+2x2-x-2= =x2(x+2)-(x+2)=(x+2)(x2-1)=(x+2)(x-1)(x+1) . A-B=(x-1)(x+1)(x+1)(x-2) Ȗ) i) ǹȞ Ƞ ț İȓȞĮȚ ȐȡIJȚȠȢ IJȩIJİ : ț=2Ȝ ȩʌȠȣ Ȝ ijȣıȚțȩȢ ĮȡȚșμȩȢ . ȅʌȩIJİ : ț2+7ț= (2Ȝ)2+7·2Ȝ=4Ȝ2+14Ȝ=2(2Ȝ2+7Ȝ) ȐȡIJȚȠȢ . ǹȞ Ƞ ț İȓȞĮȚ ʌİȡȚIJIJȩȢ IJȩIJİ : ț=2Ȝ+1 ȩʌȠȣ Ȝ ijȣıȚțȩȢ ĮȡȚșμȩȢ . ȅʌȩIJİ : ț2+7ț=(2Ȝ+1)2+7(2Ȝ+1)=4Ȝ2+4Ȝ+1+14Ȝ+7= = 4Ȝ2+18Ȝ+8= 2(2Ȝ2+9Ȝ+4) ȐȡIJȚȠȢ . ii) DzıIJȦ ț=2Į+1 țĮȚ Ȝ=2ȕ+1 ȩʌȠȣ Į,ȕ İȓȞĮȚ ijȣıȚțȠȓ ĮȡȚșμȠȓ . ȉȩIJİ : ț2-Ȝ2+1= (ț-Ȝ)(ț+Ȝ)+1= (2Į-2ȕ)(2Į+1+2ȕ+1)+1=2(Į-ȕ)(2Į+2ȕ+2)+1 ʌİȡȚIJIJ ĬȑμĮ 3 Į) P(x)=(3+x)(3-x)=9-x2 , ȕ) 0”x<3 , Ȗ) ǼʌİȚįȒ x2•0 ȐȡĮ –x2”0 Ȓ 9-x2”9 Ȓ Ǽ”9 į) ȉȠ İμȕĮįȩȞ ȖȓȞİIJĮȚ μȑȖȚıIJȠ ȩIJĮȞ x=0 ĬȑμĮ 4 Į) P(x)=Ȇ(x)·(x2-x)+3x+1 , P(0)=1 , P(1)=4 ȕ) ȉȠ ʌȘȜȓțȠ șĮ İȓȞĮȚ 1Ƞȣ ȕĮșμȠȪ .

ȀİijȐȜĮȚȠ 20 2.1 H İȟȓıȦıȘ Įx+ȕ=0 ǼȡȦIJȒıİȚȢ țĮIJĮȞȩȘıȘȢ ǹ. 1 2 3 4 5 6 Ȉ ȁ ȁ ȁ ȁ Ȉ

7 Ȉ

8 ȁ

9 Ȉ

10 11 12 13 14 15 16 17 18 ȁ ȁ Ȉ Ȉ ȁ ȁ Ȉ Ȉ ȁ

Ǻ. 1. ȕ , 2 . į , 3. Į. , 4. ȕ , 5. Į , 6. ȕ , 7. ȕ , 8. Ȗ , 9. Ȗ , 10. Į . , 11. Į ǹıțȒıİȚȢ ȖȚĮ ȜȪıȘ

1. ǼȓȞĮȚ. Ǿ İȟȓıȦıȘ İȓȞĮȚ 1Ƞȣ ȕĮșμȠȪ țĮȚ ȑȤİȚ μȠȞĮįȚțȒ ȜȪıȘ IJȠ 2 , ȠʌȩIJİ Ș x=32007 4 31 įİȞ İȓȞĮȚ ȡȓȗĮ . 2. Į) ĮįȪȞĮIJȘ (Ș x=4 ĮʌȠȡȡȓʌIJİIJĮȚ ) ȕ) x= , Ȗ) x=13 8 1 3. Į) x=0 , ȕ) ĮȩȡȚıIJȘ , Ȗ) ĮįȪȞĮIJȘ , į) x=1 , İ) x=41 4. Į) x=±1 , ȕ) x=0 , Ȗ) x=±2 . 5. Į) x=4 , ȕ) x=3 , Ȗ) x=5 , į) x=7 , İ) x=-1 . 52 x 5 31 -4x-12 , ȕ)x=- , Ȗ)x=-1 6. Į) x=10 , ȕ) x=7 , Ȗ) x= . 7. A=7. 8. A(x+3)= 9 3 11 9. x=1 . 10.Į) x=1 , ȕ) ȕ=3 , Į=3

397


§‡ÛÂȘ

ȆȡȠȕȜȒμĮIJĮ

1. ȂİIJȐ Įʌȩ 32 ȤȡȩȞȚĮ. 2. ǹʌȐȞIJȘıİ ıİ 35 İȡȦIJȒıİȚȢ. 3. ĬĮ ĮijĮȚȡȑıȠȣμİ IJȠ 11. 4. ȅȚ ĮȡȚșμȠȓ İȓȞĮȚ : o 563 țĮȚ Ƞ 140. 5. Ǿ IJȚμȒ IJȠȣ İȓȞĮȚ 1200 İȣȡȫ. 6. 36 μĮșȘIJȑȢ.

2.2 ǼȟȚıȫıİȚȢ įİȣIJȑȡȠȣ ȕĮșμȠȪ ǹ. ǼȡȦIJȒıİȚȢ țĮIJĮȞȩȘıȘȢ

1 ȁ

2 ȁ

3 Ȉ

4 ȁ

5 Ȉ

6 ȁ

7 Ȉ

8 Ȉ

9 Ȉ

Ǻ. ǼȡȦIJȒıİȚȢ țĮIJĮȞȩȘıȘȢ

1 ȁ

2 ȁ

3 Ȉ

4 Ȉ

5 ȁ

6 Ȉ

7 ȁ

8 Ȉ

9 ȁ

10 Ȉ

11 Ȉ

12 Ȉ

13 ȁ

14 Ȉ

15 Ȉ

16 ȁ

ǼȡȦIJȒıİȚȢ ʌȠȜȜĮʌȜȒȢ İʌȚȜȠȖȒȢ

1. ȕ , 2. Į , 3. Ȗ , 4. Į , 5. Į , 6. ȕ . ǼȡȦIJȒıİȚȢ țĮIJĮȞȩȘıȘȢ

1. Į) x=±3, ȕ) x=±4 , Ȗ) x=± 5 , į) x=±3 , İ) x= r 7 , ıIJ) ĮįȪȞĮIJȘ , ȗ) ĮįȪȞĮIJȘ 2 Ș) ĮįȪȞĮIJȘ. 2. Į) x=0 Ȓ x= , ȕ) x=0 Ȓ x=16 , Ȗ) x=0 Ȓ x=2 2 , į)x=0 Ȓ x=-1 3 1 1 İ) x=0 Ȓ x=1 , ıIJ) x=0 Ȓ x=2 , ȗ) x=0 Ȓ x= , Ș) x=0 Ȓ x=2 2 4 3. Į) x=±5 , ȕ) x=0 Ȓ x=- , Ȗ) ĮįȪȞĮIJȘ , į) x=5 Ȓ x=8 Ȓ x=-1 ıIJ) ĮįȪȞĮIJȘ , 3 ȗ) ĮįȪȞĮIJȘ 13 1 4. Į) x= , Ȓ x=1 , ȕ) Į=8 Ȓ Į=-4 , Ȗ) Ȝ=±1 , į) x=± 3 2 5. Į) x=0 Ȓ x=4 , ȕ) x=1 Ȓ x=-2 , Ȗ) ĮįȪȞĮIJȘ , į) x=±1 6. Į) x=0 Ȓ x=-1 Ȓ x=6 , ȕ) x=0 Ȓ x=-1 Ȓ x=3 , Ȗ) x=2 Ȓ x=-1 , į) x=3 Ȓ x=-2 , İ) x=-2 7. Į) x= 2  2 Ȓ x= 2 +1, ȕ) x=- 5 Ȓ x=- 3 , Ȗ) x=1 Ȓ x= 3 į) x= 3 Ȓ x=

3 4 Ȓ x= , ȕ) x=1 Ȓ x=-5 , Ȗ) x=25 , į) x=1 Ȓ x=4 , İ) x=±1 Ȓ x=± 2 2 5 1 1 1 9. Į) Ȝ< , ȕ) Ȝ= , Ȗ) Ȝ> . 10. Ȝ=-2 Ȓ Ȝ=-5 . 11. Ȝ=-1 . 12. ǹ=5 , Ǻ=15 12 12 12 9 3 13. Ȝ=2 . 14. Ȝ1 țĮȚ Ȝ2 . 15 . x= Ȓ x= . 16. AȞ ǻ=0 IJȩIJİ x=0 . AȞ ǻ=9 IJȩIJİ 2 2

8. Į) x=

398

2 3 3


1 1 1 17. Į) 6(x- )(x+ ) , ȕ)(x+1)(x-2) , Ȗ) 2(x-1)(x+ ) , į) (2x-1)2 2 3 2 1 1 İ) (x  3) 2 ıIJ) įİȞ ĮȞĮȜȪİIJĮȚ , ȗ) 3(x-1)(x- ) 3 3 2 3(x  ) 3 , B= x(x-2) , ī= x  7 18. A= 1 1 x2 2(x  ) 2(x  ) 2 2 19. Į) Ȝ”5 , ȕ) Ȝ>5 , Ȗ) Ȝ=5 . 20. Į) x(x-1)(x-5) , ȕ) x2(x+1)(x-6)

x=6 Ȓ x=3 .

§‡ÛÂȘ

ȆȡȠȕȜȒμĮIJĮ Ȟ(Ȟ-1) , Ȗ) 31 ʌĮȚįȚȐ 2 3. ǺȐıȘ 5cm , ȪȥȠȢ 3 cm . 4. Į) 5 , ȕ) 7 . 5. ȅȚ ʌȜİȣȡȑȢ İȓȞĮȚ : 4cm țĮȚ 6 cm. 6. ȅȚ ʌȜİȣȡȑȢ İȓȞĮȚ : 10cm țĮȚ 11cm. 7. ȅȚ ȐȞįȡİȢ İȓȞĮȚ 50 țĮȚ ȠȚ ȖȣȞĮȓțİȢ 40. 8. t=2 sec . 9. x=7cm . 10. P(x)=x2-20x-300 , x=30. 11. Į) ȣ=-4 , ȕ) t=0 Ȓ t=1 Ȓ t=4 12. x=6 .

1. x=4 ,

2. Į) 15 ĮȖȫȞİȢ , ȕ) 45 ĮȖȫȞİȢ , 190 ĮȖȫȞİȢ ,

2.4 ȀȜĮıμĮIJȚțȑȢ İȟȚıȫıİȚȢ ǼȡȦIJȒıİȚȢ țĮIJĮȞȩȘıȘȢ ǹ. 1 2 ȁ ȁ

3 ȁ

4 ȁ

Ǻ. 1. Ȗ , 2. ȕ , 3. 1 ǹıțȒıİȚȢ ȖȚĮ ȜȪıȘ

1. Į) x=-1 , ȕ) x=0 Ȓ x=7 , Ȗ) x=-1 , į) ĮįȪȞĮIJȘ. 7 3 5 2. Į) x= , ȕ) ĮįȪȞIJȘ , Ȗ) x=1 Ȓ x= , į) x=0 Ȓ x= , 3 8 3 2 2 3. Į) x=- , ȕ) x=1 , Ȗ) x=1 Ȓ x= , į) x=5 Ȓ x=-9 , 3 3 5 4. Į=2 Ȓ ȕ=3 x=2 Ȓ x= , 5. x=5 Ȓ x=-1 , 6. 9 țĮȚ 3 , 7. x=5 , 8. x=3 , 4 9. 15 ȐȞįȡİȢ țĮȚ 10 ȖȣȞĮȓțİȢ. 10 x=25km/h

2.5 AȞȚıȩIJȘIJİȢ – ǹȞȚıȫıİȚȢ μİ ȑȞĮȞ ȐȖȞȦıIJȠ ǼȡȦIJȒıİȚȢ țĮIJĮȞȩȘıȘȢ A. 1 2 3 4 5

6

7

8

9

10 11 12

13 14 15

16

17

18

19

20

21

22 23 24 25 26

ȁ ȁ ȁ ȁ ȁ

ȁ

Ȉ

ȁ

ȁ

ȁ

ȁ

Ȉ

Ȉ

ȁ

ȁ

ȁ

ȁ

ȁ

ȁ

ȁ

ȁ

Ȉ

Ȉ Ȉ ȁ ȁ

399


§‡ÛÂȘ

Ǻ. 1. Ȗ , 2. ȕ , 3. İ , 4. Ȗ , 5. ȕ ǹıțȒıİȚȢ ȖȚĮ ȜȪıȘ

1. Į) (+) , ȕ) (-) , 2. Į) 5Į-5x<5ȕ-5x , ȕ)

3Į  4x 3ȕ  4x > , 3. ȆȡȐȟİȚȢ -5 -5

Į Į Į ȕ <1< , ȕ) <  1 . 5. Į) -1<x<0 , ȕ) 3<-3ȥ<6 , ȕ Į  ȕ 1 Į  ȕ Į Ȗ) -2<x+ȥ<0, į) 1< x-ȥ < 3 , İ) 3 < x-3ȥ <7. 39 6. Į) ȆȡȐȟİȚȢ , ȕ) ǹʌȩ Į) , 7. Į) x < , 20 207 9 11 1 , Ȗ) x< , į) x< , 8. Į) -1< x <10 , ȕ) -1< x d ȕ) x> 155 10 7 8 2 3 9. Į) x=3 , x=4 , ȕ) x=2 Ȓ x=3 , 10. Į) - d x ” , ȕ) ǻİȞ ȣʌȐȡȤȠȣȞ 3 5 1 11. Ȝ=-3 ,-2,-1,0,+1,+2,+3,+4,+5,+6. 12. x=10 , 13. Į) x=10 , ȕ) x= 4 14. Į) x=26 , ȕ) x=-2 , 15. x=4 , x=5 , x=6 , 16. x=23 , 17. x=-4 10 5 5 18. ȉȠȣȜȐȤȚıIJȠȞ 8 . 19. 4 ʌĮȚįȚȐ , 20 . Į) x”5 , ȕ) x• , į) x> , İ) x• 3 3 3

4. Į)

īİȞȚțȑȢ ĮıțȒıİȚȢ 2Ƞȣ țİijĮȜĮȓȠȣ

1. Į) Ȟ=14 , ȕ) Ȟ=5 , Ȗ) x=1 , 2. Į) 1. ǹȞ Į=0 İȓȞĮȚ ĮįȪȞĮIJȘ . 2. ǹȞ Į0 IJȩIJİ Į-5 ȑȤİȚ μȠȞĮįȚțȒ ȜȪıȘ IJȘȞ x= , ȕ) Į=-1 , Į=-5 , 3. ȆȡȐȟİȚȢ Į 4. Į) Į=-1 țĮȚ ȕ=-2 , ȕ) Į=-1 țĮȚ ȕ=1 , 5. Į)(x- 5 )( x+ 5 )(x- 3 ) (x+ 3 ) ȕ) (Į+ȕ-2)(Į+ȕ+2)(Į+ȕ- 2 )( Į+ȕ- 2 ) . 6. Į) Ȝ=1 , ȕ) Ȝ=2 , Ȗ) īȚĮ Ȝ=2 , x=-1 10 KȡȚIJȒȡȚȠ ĮȟȚȠȜȩȖȘıȘȢ ĬȑμĮ 1 A. Į) șİȦȡȓĮ , ȕ) șİȦȡȓĮ , Ȗ) șİȦȡȓĮ , į) șİȦȡȓĮ B. Į) x=1 Ȓ x=3 , ȕ) x=1 Ȓ x=-6 ĬȑμĮ 2

Į) ǹ: x-1 , B: x1 , ī: x±1 , ȕ) x= ĬȑμĮ 3 23 5 dx< Į) , ȕ) x=1 , x=2 . 7 2 ĬȑμĮ 4 Į) ȡ1=2Ȝ+1 , ȡ2=2Ȝ-1 , ȕ) 0< Ȝ ” 1

400

7 17


§‡ÛÂȘ

20 KȡȚIJȒȡȚȠ ĮȟȚȠȜȩȖȘıȘȢ ĬȑμĮ 1 ǹ. Į) șİȦȡȓĮ , ȕ) șİȦȡȓĮ , Ȗ) șİȦȡȓĮ

1 Ǻ. Į) șİȦȡȓĮ , ȕ) x2-8x+7=(x-1)(x-7) , 3x2-4x+1=3(x-1)(x- ) 3 ĬȑμĮ 2 1 x 7 2 3x-1 11 Į) 11”2x+3ȥ”29 , ȕ) -33”2x-5ȥ”-7 , Ȗ) ” ” , į) ” ” 7 ȥ 3 11 2ȥ-3 3 ĬȑμĮ 3 Į) Į=1 , ȕ) x=1 Ȓ x=3

ĬȑμĮ 4 3 Į) x=- , ȕ) 15 İȣȡȫ 2

ȀİijȐȜĮȚȠ 30 3.1 . Ǿ ȑȞȞȠȚĮ IJȘȢ ȖȡĮμμȚțȒȢ İȟȓıȦıȘȢ 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

ȁ

ȁ

ȁ

ȁ

Ȉ

Ȉ

Ȉ

ȁ

ȁ

Ȉ

Ȉ

Ȉ

Ȉ

ȁ

Ȉ

ȁ

Ȉ

ȁ

ȁ

Ȉ

ȁ

Ȉ

ǼȡȦIJȒıİȚȢ țĮIJĮȞȩȘıȘȢ ǹ.

Ǻ. 1. ȕ , 2. Ȗ , 3. ȕ , 4. Ȗ , 5. Į , 6. ȕ , 7. ȕ , 8. ȕ , 9. Į. ǹıțȒıİȚȢ ȖȚĮ ȜȪıȘ 1.

401


§‡ÛÂȘ

2. Į) Į=±2 ȕ) īȚĮ Į=2 2x+ȥ=5

3. Į) ǹ(8,0) , Ǻ(0,-2) , ȕ) x=8 , 4. Į) Į=5 , ȕ) Ǽ=2 IJİIJȡĮȖȦȞȚțȑȢ μȠȞȐįİȢ . 5. Į) Į1 , ȕ) Į=-1 , Ȗ) ǻİȞ ȣʌȐȡȤİȚ Į. 6. Į) Į2 , ȕ) Į=-2 7. Ȝ=1 Ȓ Ȝ=2. īȚĮ Ȝ=1 2x-ȥ+4=0

402


§‡ÛÂȘ

3.2 Ǿ ȑȞȞȠȚĮ IJȠȣ ȖȡĮμμȚțȠȪ ıȣıIJȒμĮIJȠȢ ǼȡȦIJȒıİȚȢ țĮIJĮȞȩȘıȘȢ ǹ.

1 ȁ

2 ȁ

3 ȁ

4 Ȉ

5 Ȉ

6 ȁ

7 ȁ

8 ȁ

Ǻ. 1.Į , 2. Į , 3. Ȗ , 4. Į ǹıțȒıİȚȢ ȖȚĮ ȜȪıȘ 1. Į)

IJȑμȞȠȞIJĮȚ ıIJȠ ǹ(1,1), ȐȡĮ Ș ȜȪıȘ İȓȞĮȚ (x,ȥ)=(1,1) ȕ) ȆİȡȞȐİȚ 2. Į)

403


§‡ÛÂȘ

ȕ) Ǻ(8,0) , ī(0,-2) Ȗ) ǻ(20,3) 3 3. Į) Ǽ= IJİIJȡĮȖȦȞȚțȑȢ μȠȞȐįİȢ 2 ȕ)

Ȗ) ǵȤȚ

3.3 ǹȜȖİȕȡȚțȒ İʌȓȜȣıȘ ȖȡĮμμȚțȠȪ ıȣıIJȒμĮIJȠȢ ǼȡȦIJȒıİȚȢ țĮIJĮȞȩȘıȘȢ ǹ. 1 2 3 4 Ȉ Ȉ Ȉ ȁ

5 ȁ

6 ȁ

7 Ȉ

8 Ȉ

9 Ȉ

Ǻ . 1. Į , 2. Į , ȕ. Į , 4. ȕ ǹıțȒıİȚȢ ȖȚĮ ȜȪıȘ

404

1. Į) (x,ȥ)=(1,1) , ȕ) (x,ȥ)=(1,0) , Ȗ) (x,ȥ)=(1,0) , į) (x,ȥ)=(1,6 , 2,2) 3 258 269 2. Į) (x,ȥ)=( ,2) ,ȕ) (x,ȥ)=( , ) , 3.Į) (Į,ȕ)=(1,1) , ȕ) ĮįȪȞĮIJȠ 2 109 109 30 75 10 40 48 16 ) , ȕ) (Į,ȕ)=( , ) , Ȗ) (Į,ȕ)=( , ) 4. Į)(Į,ȕ)=(  ,  29 29 9 9 19 19 1 1 5. Į) (x,ȥ)=( , ) , ȕ) (Į,ȕ)=(2,4) . 5 3 6. Į) (İ) : ȥ=-3x+5 , ȕ) ǼȓȞĮȚ 7 7. Į) ǹ(1,3) , ȕ) Ȝ= , 10


10 7 1 3 , ) , ȕ) ȥ= x+ 6 6 4 4 9. Į) (Į,ȕ) =(1,2)

8. Į) Ȁ (

§‡ÛÂȘ

ȕ)

10. 20 țȩIJİȢ țĮȚ 30 țȠȣȞȑȜȚĮ 17 19 67 7 11. Į) (Į,ȕ)=( ,) , ȕ) ȥ=12x- , 12. (ț,Ȝ)=( ,3) 13 13 13 3 4 28 13. H İȣșİȓĮ ǹǺ İȓȞĮȚ : ȥ=- x+ țĮȚ IJȠ ī ĮȞȒțİȚ ıIJȘȞ ǹǺ , ȕ) ȖȚĮ ȥ=0 Ȁ(7,0) 5 5 14. ȉȠ ıȘμİȓȠ IJȠμȒȢ IJȦȞ (İ) țĮȚ (ȗ) İȓȞĮȚ : (x,ȥ) =(1,1) Įʌȩ IJȠ ȠʌȠȓȠ įȚȑȡȤİIJĮȚ Ș (ȗ) . 15. (Į,ȕ)=(30,-2) , ȥ=60x-4

405


§‡ÛÂȘ

16. Į) (x,ȥ)=(3,8) Ȓ (x,ȥ)=(8,3) , ȕ) (x,ȥ)=(7,5) Ȓ (x,ȥ)=(-5,-7) , Ȗ) (x,ȥ)=(3,8) Ȓ (x,ȥ)=(8,3) į) (x,ȥ)=(2,0) Ȓ (x,ȥ)=(-4,3) . 3 3 7 19 4 17 . ǹ( , ) , Ǻ(2,4) , ī( , ) , 18 . (Į,ȕ) = (2,- ) , 19 . (x,ȥ)=(5,6) Ȓ 11 11 4 2 3 (x,ȥ)=(6,5) īİȞȚțȑȢ ĮıțȒıİȚȢ 3Ƞȣ țİijĮȜĮȓȠȣ 5 7 2 5 1. Į) Ȝ= , ȕ) Ȝ= , 2. Į) (Į,ȕ) =(-2,-5) , 3. (Į,ȕ) =( , ) , 4. (Į,ȕ)=(1,-1) 6 3 3 3 13 11 4 2 5. (Į,ȕ)=( ,- ) , 6. Ȁ(2,5) , 7. ȥ=- x+4 , 8. (Į,ȕ)=(0, ) , 9. (Į,ȕ)=(3,1) 7 7 5 3 46 14 Į+3 Į-3 10. Į) (Į,ȕ)=(-2,1) , ȕ) (x,ȥ)=(- , ) , 11. Į)(x,ȥ)=( , ), ȕ) ȥ1=-1 15 15 3 3 1 4 Ȓ ȥ2=2 , 13. (x,ȥ)=( , ) 7 7 10 KȡȚIJȒȡȚȠ ĮȟȚȠȜȩȖȘıȘȢ ĬȑμĮ 1 Į) 2x-ȥ=4 , ǹ(1,-2) , Ǻ(2,0) , ȕ) șİȦȡȓĮ , Ȗ) șİȦȡȓĮ ĬȑμĮ 2

1 3 3 ǹ. Į) ȥ=- x+ , ȕ) Ǻ(3,0) , ī(0, ) . Ǻ. Į) (Į,ȕ)=(4,-2) , ȕ) ǹʌȩ Į) (x,ȥ)=(1,1) 2 2 2 ĬȑμĮ 3 ǹ. Į) 25 įȓțȜȚȞĮ țĮȚ 15 IJȡȓțȜȚȞĮ , ȕ) (Į,ȕ)=(5,1) , Ǻ . (x,ȥ)=(3,2)

ĬȑμĮ 4

1 Į) Į=1 , ȕ) ǹ( ,0) 4

20 KȡȚIJȒȡȚȠ ĮȟȚȠȜȩȖȘıȘȢ ĬȑμĮ 1 Į) ĬİȦȡȓĮ , ȕ) ĬİȦȡȓĮ , Ȗ) ȆİȡȞȐȞİ Įʌȩ IJȠ (0,0) ĬȑμĮ 2

ǹ. Į) (x,ȥ) =(

2  9Ȝ 6Ȝ  6 76 ) , ȕ) Ȝ=, , Ǻ. Į) (x,ȥ)=(1,1) ,ȕ) ȥ=-x+2 11 11 21

ĬȑμĮ 3 ǹ. Į) (Į,ȕ)=(4,1) , ȕ) ǵȤȚ , Ǻ. ȊʌȐȡȤȠȣȞ 40 ʌȠįȒȜĮIJĮ țĮȚ 60 ĮȣIJȠțȓȞȘIJĮ ĬȑμĮ 4

Į) (Į,ȕ)=(5,-19) , ȕ) ǹ(-

406

4 2 ,0) , Ǻ(0, ) 15 19


ȀİijȐȜĮȚȠ 40

§‡ÛÂȘ

4.1 Ǿ ıȣȞȐȡIJȘıȘ ȥ=Įx2 μİ Į 0 ǼȡȦIJȒıİȚȢ țĮIJĮȞȩȘıȘȢ ǹ. 1 2 3 4 Ȉ ȁ ȁ ȁ Ǻ. 1. Į , 2. Ȗ , 3. Ȗ , 4. ȕ , 5. Į .

5 Ȉ

6 Ȉ

7 ȁ

ǹıțȒıİȚȢ ȖȚĮ ȜȪıȘ 1. Į)

ȕ)

407


§‡ÛÂȘ

Ȗ)

2. Į)

408


§‡ÛÂȘ

ȕ)

3. Į=2 , ȥ=-4x2 , 4. Ȝ > 7. Į<-

1 2

1 4 2 , 5. Į) Į= , ȕ) Į= , 6. Į) Ȝ=-1 , Ȝ=4 , ȕ) ȥ=6x2 7 3 9

4.2 Ǿ ıȣȞȐȡIJȘıȘ ȥ=Įx2+ȕx+Ȗ , μİ Į 0 ǼȡȦIJȒıİȚȢ țĮIJĮȞȩȘıȘȢ ǹ. 1 2 3 4 5 6 Ȉ ȁ ȁ ȁ ȁ Ȉ Ǻ. 1. ȕ , 2. Ȗ , 3. ȕ , 4. Į , 5. Ȗ , 6. Ȗ

7 ȁ

8 ȁ

9 Ȉ

10 ȁ

11 Ȉ

ǹıțȒıİȚȢ ȖȚĮ ȜȪıȘ 1. Į)

409


§‡ÛÂȘ

ȕ)

Ȗ)

410


§‡ÛÂȘ

į)

2. Į) IJȠ ȥ=6 , ȕ) IJȠ ȥ=3 , 3. Į) ǼʌİȚįȒ Į=1 >0 ȑȤȠȣμİ İȜȐȤȚıIJȠ , ȕ) Ȝ=1 Ȓ Ȝ=2 Ȗ) IJȠ ȥ=1 , 4. Ȝ=1 , 5. Į) Ȝ=5 , ȕ) ȥ=4 , 6. Į=8 , ȕ=-10 , 7. Į) İȓȞĮȚ 5 , 5 , ȕ) 5 , 5 . 8. ȥ=

1 65 , 9.įİȞ ȣʌȐȡȤİȚ , 10. Į) ȥ=- Ȝ2-2Ȝ , ȕ) Ȝ=-4 , 11. x=20 ıIJȡȑμμĮIJĮ 8 4

īİȞȚțȑȢ ĮıțȒıİȚȢ 4Ƞȣ țİijĮȜĮȓȠȣ 1. Į) ǼʌİȚįȒ Į=1>0 ȑȤȠȣμİ İȜȐȤȚıIJȠ , İʌİȚįȒ Į=-2 ȑȤȠȣμİ μȑȖȚıIJȠ. 5 10 , 4. x=5 , ȥ=15 , ȕ) Ȝ=0 , 2. Ȝ=2 Ȓ Ȝ=3 , 3. x= , ȥ= 4 4 5. ȆȡȑʌİȚ : 3Ȝ-6>0 Ȓ Ȝ>2. DZȡĮ Ȝ>2 Ȓ –Ȝ<-2 Ȓ 1-Ȝ<-1<0 ȠʌȩIJİ ȑȤȠȣμİ μȑȖȚıIJȠ. 6. Į) Ȝ=5 , ȕ) ȥ=-2x+4 , 7. x=6 ȐȡĮ IJȠ Ȃ ȕȡȓıțİIJĮȚ ıIJȠ μȑıȠ IJȠȣ ǹǺ. 10 KȡȚIJȒȡȚȠ ĮȟȚȠȜȩȖȘıȘȢ ĬȑμĮ 1 Į) șİȦȡȓĮ , ȕ) șİȦȡȓĮ , Ȗ) șİȦȡȓĮ ĬȑμĮ 2 Į) Į=3 , Ȗ) ȥ=-3x2 ĬȑμĮ 3

Į) ǹ(1,0) , Ǻ(2,0) , ī(0,2) , ȕ) İȜȐȤȚıIJȠ IJȠ ȥ=ĬȑμĮ 4 Į) Į<2 , ȕ) Į=1 Ȓ Į=-3

1 1 , Ȗ) Ǽ= IJİIJȡĮȖȦȞȚțȑȢ μȠȞȐįİȢ 4 8

411


§‡ÛÂȘ

20 KȡȚIJȒȡȚȠ ĮȟȚȠȜȩȖȘıȘȢ ĬȑμĮ 1 Į) șİȦȡȓĮ , ȕ) șİȦȡȓĮ Į) șİȦȡȓĮ , ȕ) șİȦȡȓĮ , Ȗ) ȕ=0 , Ȗ=4 , Į0 ĬȑμĮ 2 Į) Ȝ=0 , ȕ) IJȠ ȥ=2 ĬȑμĮ 3 Į=-3 , ȕ=0 , Ȗ=0 ĬȑμĮ 4

1 Į) Ǻ+ȕ=30-ȣ , ȕ) Ǽ= (30-ȣ)·ȣ , Ȗ) 2

ȀİijȐȜĮȚȠ 50 5.1 ȈȪȞȠȜĮ ǼȡȦIJȒıİȚȢ țĮIJĮȞȩȘıȘȢ ǹ. 1 2 3 ȁ Ȉ ȁ Ǻ. 1. Į , 2. Į , 3. Į , 4.į

4 ȁ

5 ȁ

6 Ȉ

7 ȁ

8 Ȉ

ǹıțȒıİȚȢ ȖȚĮ ȜȪıȘ

1. Į) ǹ={-1,0,1} , Ǻ={-1,1} , ȕ) ǹ ‰ Ǻ={-1,0,1} , ǹ ˆ Ǻ={-1,1} 2. i) Į) ǹ/={-4,-2,1} , Ǻ/={-4,-2,1} , ȕ) ǹ ‰ Ǻ={0,1,2,3} , ǹ ˆ Ǻ={0} (ǹ ˆ Ǻ)/={-4,-2,1,2,3} 3. Į) Ȝ1 țĮȚ Ȝ3 , ȕ) Ȝ0 țĮȚ Ȝ3 , Ȗ) Ȝ1 țĮȚ Ȝ-1 țĮȚ Ȝ0 . 4. 8 ıIJȠȚȤİȓĮ , 5. Ȟ=2 , Ȝ=3 . 6. Į) ǹ={-1,1} , ȕ) Ǻ={1,3} Ȗ) ǹ/={0,2,3} , Ǻ/={-1,0,2} , (ǹ ‰ Ǻ)/={0,2} 7. ǹ={2,3,4,5,6} . 8. Į) ǹ ‰ Ǻ={1,2,3,4} ǹ ˆ Ǻ={1} , ȕ) ǹ/={4,6,8} (ǹ ‰ Ǻ)/={6,8} , (ǹ ˆ Ǻ)/={2,3,4,6,8}

5.2 ǻİȚȖμĮIJȚțȩȢ ȤȫȡȠȢ - ǼȞįİȤȩμİȞĮ ǼȡȦIJȒıİȚȢ țĮIJĮȞȩȘıȘȢ ǹ. 1 2 3 4 Ȉ ȁ Ȉ ȁ

Ǻ. 1. Į , 2. į , 3. ȕ

412

5 Ȉ

6 Ȉ

7 Ȉ

8 Ȉ

9 ȁ

10 ȁ


§‡ÛÂȘ

ǹıțȒıİȚȢ ȖȚĮ ȜȪıȘ

1. Į) ȍ={ Ȁ1,Ȁ2,Ȁ3,Ȁ4,Ȁ5,Ȁ6, ī1,ī2,ī3,ī4,ī5,ī6,} ȕ) ǹ={ Ȁ3,Ȁ4,Ȁ5,Ȁ6} Ǻ={ ī1,ī2,ī3,ī4} , Ȗ) ǹ/={ Ȁ1,Ȁ2, ī1,ī2,ī3,ī4,ī5,ī6} , Ǻ/={ Ȁ1,Ȁ2,Ȁ3,Ȁ4,Ȁ5,Ȁ6, ī5,ī6} , (ǹ ‰ Ǻ)/={ Ȁ1,Ȁ2, ī5,ī6} , į) ǹ ˆ Ǻ= ‡ 2. Į) ǹ/: O μĮșȘIJȒȢ įİȞ İȓȞĮȚ ȐȡȚıIJȠȢ ıIJȘȞ ȋȘμİȓĮ . ȕ) Ǻ/: O μĮșȘIJȒȢ įİȞ İȓȞĮȚ ȐȡȚıIJȠȢ ıIJȘȞ ǿıIJȠȡȓĮ . Ȗ) ǹ ‰ Ǻ: O μĮșȘIJȒȢ İȓȞĮȚ ȐȡȚıIJȠȢ ıIJȘȞ ȋȘμİȓĮ Ȓ ıIJȘȞ ǿıIJȠȡȓĮ . į) ǹ ‰ Ǻ: O μĮșȘIJȒȢ İȓȞĮȚ ȐȡȚıIJȠȢ țĮȚ ıIJȘȞ ȋȘμİȓĮ țĮȚ ıIJȘȞ ǿıIJȠȡȓĮ İ) ǹ ˆ Ǻ/: O μĮșȘIJȒȢ İȓȞĮȚ ȐȡȚıIJȠȢ ıIJȘȞ ȋȘμİȓĮ țĮȚ įİȞ İȓȞĮȚ ıIJȘȞ ǿıIJȠȡȓĮ ıIJ) ǹ ‰ Ǻ: O μĮșȘIJȒȢ įİȞ İȓȞĮȚ ȐȡȚıIJȠȢ ȠȪIJİ ıIJȘȞ ȋȘμİȓĮ ȠȪIJİ țĮȚ ıIJȘȞ ǿıIJȠȡȓĮ. 3. Į) (1,1)

(1,2)

(1,3)

(1,4)

(1,5)

(1,6)

(2,1)

(2,2)

(2,3)

(2,4)

(2,5)

(2,6)

(3,1)

(3,2)

(3,3)

(3,4)

(3,5)

(3,6)

(4,1)

(4,2)

(4,3)

(4,4)

(4,5)

(4,6)

(5,1)

(5,1)

(5,2)

(5,3)

(5,4)

(5,5)

(6,1)

(6,2)

(6,3)

(6,4)

(6,5)

(6,6)

ȕ) ǹ={(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)} , Ǻ={(1,1),(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1)} Ȗ) ǹ ‰ Ǻ={(1,1),(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)} , ǹ ‰ Ǻ ={(6,1)} 4. Į) ȍ={īȀȀ,īȀī,īīȀ,īīī,ȀȀȀ,ȀȀī,ȀīȀ,Ȁīī} ȕ) ǹ={īȀȀ,īȀī,īīȀ,ȀȀȀ,ȀȀī,ȀīȀ,Ȁīī} Ǻ={īȀȀ,īȀī,īīȀ,īīī,ȀȀī,ȀīȀ,Ȁīī} ī= {ȀȀȀ,īīī} 5. Į) ǹ ‰ Ǻ={0,2,3,4,6,9} , ȕ) ǹ ˆ Ǻ ={0,6} , Ȗ) (ǹ ‰ Ǻ )/={1,5,7,8} 6. Į) ȍ={ǹĮ,ǹʌ,ȁĮ,ȁʌ,ȉĮ,ȉʌ} , ȕ) ǹ={ȁʌ,ȁĮ,ȉĮ,ȉʌ} , Ǻ={ ȉĮ,ȉʌ}

5.3 Ǿ ȑȞȞȠȚĮ IJȘȢ ʌȚșĮȞȩIJȘIJĮȢ ǼȡȦIJȒıİȚȢ țĮIJĮȞȩȘıȘȢ ǹ. 1 2 3 4 ȁ Ȉ Ȉ Ȉ

5 ȁ

6 Ȉ

7 Ȉ

8 Ȉ

9 Ȉ

10 Ȉ

11 Ȉ

12 Ȉ

413


§‡ÛÂȘ

Ǻ. 1. į , 2. Į ǹıțȒıİȚȢ ȖȚĮ ȜȪıȘ

1. Į) ǹ/={0,1,2,5,6,7} , Ǻ/={0,3,5,6} , ǹ ‰ Ǻ={1,2,3,4,7,8} , ǹ ˆ Ǻ ={4,8} 6 4 6 2 , P(ǹ ˆ Ǻ)= ȕ) P(A/)= , P(B/)= , P(ǹ ‰ Ǻ)= 9 9 9 9 19 18 2 21 72 65 2. Į) , ȕ) , Ȗ) , į) , 3. Į) , ȕ) 20 30 30 30 100 100 1 2 1 7 P(ǹ ˆ Ǻ)= , ȕ) ȇ(Ǻ)= 4. Į) P(ǹ)= , P(ǹ ‰ Ǻ)= , 3 5 6 30 22 13 / 5. Į) ǹ ˆ Ǻ = , ȕ) P((A ‰ B) )= 35 35 2 2 4 1 1 6. Į) , ȕ) , Ȗ) , į) , İ) 0 , 7. P(A)= 9 9 9 9 2 14 26 32 4 2 14 1 8. Į. , ȕ. , Ȗ. , 9. P(ǹ)= , P(B)= , P(ǹ ‰ Ǻ)= , 10 . . 40 40 40 5 3 15 4 īİȞȚțȑȢ ĮıțȒıİȚȢ 5Ƞȣ țİijĮȜĮȓȠȣ 2 1. P(A)= , 2. Į) ȑȤİȚ 24 μʌȐȜİȢ , ȕ) 4 ʌȡȐıȚȞİȢ țĮȚ 16 țȓIJȡȚȞİȢ 3 4 11 20 1 , ȕ) , , 4. Į) ȍ={1,2,3,4,5,6} , ȕ) 3. Į) 15 15 120 6 5. P(A)+P(B)=2 , ȐȡĮ P(A)=1 țĮȚ P(B)=1 ȠʌȩIJİ IJĮ ǹ, Ǻ İȓȞĮȚ ȕȑȕĮȚĮ İȞįİȤȩμİȞĮ . 6. 20 țȩțțȚȞİȢ , 25 ʌȡȐıȚȞİȢ , 15 ȐıʌȡİȢ , 7. ǹ ˆ Ǻ= ‡ ȐȡĮ İȓȞĮȚ ĮıȣμȕȓȕĮıIJĮ . 1 3 1 īȚĮ IJȠ Ȝ ȚıȤȪİȚ - <Ȝ< , P( ǹ ˆ Ǻ)= 2 2 5 10 KȡȚIJȒȡȚȠ ĮȟȚȠȜȩȖȘıȘȢ ĬȑμĮ 1 A. Į) șİȦȡȓĮ , ȕ) șİȦȡȓĮ , Ȗ) șİȦȡȓĮ , Ǻ. șİȦȡȓĮ ĬȑμĮ 2 1 2 1 P(A)= , P(Ǻ)= , P(ī)= 3 3 3 ĬȑμĮ 3 3 1 P(Ǻ)= , P(ǹ ˆ Ǻ)= 10 5 ĬȑμĮ 4 Į) 0,6 , ȕ) 0,4

414


20 KȡȚIJȒȡȚȠ ĮȟȚȠȜȩȖȘıȘȢ

§‡ÛÂȘ

ĬȑμĮ 1 Į) șİȦȡȓĮ , ȕ) șİȦȡȓĮ , Ȗ)șİȦȡȓĮ ĬȑμĮ 2 1 Į) , ȕ) ǹ ‰ Ǻ={1,2,3,4,5,6} , ǹ/={3,5} , Ǻ/={1,2,6} 6 ĬȑμĮ 3 60 ĬȑμĮ 4 Į) 24 μʌȐȜİȢ , ȕ) 4 ʌȡȐıȚȞİȢ țĮȚ 16 țȓIJȡȚȞİȢ μʌȐȜİȢ .

ȂȑȡȠȢ įİȪIJİȡȠ īİȦμİIJȡȓĮ 1.1 ǿıȩIJȘIJĮ IJȡȚȖȫȞȦȞ ǼȡȦIJȒıİȚȢ țĮIJĮȞȩȘıȘȢ ǹ. 1 2 3 4 5 6 ȁ ȁ Ȉ ȁ Ȉ ȁ

7 ȁ

8 ȁ

9 ȁ

10 Ȉ

11 Ȉ

12 Ȉ

13 ȁ

14 ȁ

15 Ȉ

16 Ȉ

17 ȁ

18 ȁ

Ǻ. 1. ȕ , 2. Ȗ , 3. Ȗ , 4. Ȗ , 5.Ȗ , 6. ȕ , 7.Ȗ ǹıțȒıİȚȢ ȖȚĮ ȜȪıȘ 1. Į) ȈȣȖțȡȓȞȠȣμİ IJĮ IJȡȓȖȦȞĮ ȅǹǻ țĮȚ ȅīǻ , ȕ) ȅǹ=ȅī , ȅǹ=ȅǺ

2. ȕ) ȈȣȖțȡȓȞȠȣμİ IJĮ IJȡȓȖȦȞĮ ȅǹȀ , ȅǹȁ , 3. Į) ȈȣȖțȡȓȞȠȣμİ IJĮ IJȡȓȖȦȞĮ ǹǺȀ, ǹǼȁ , ȕ) ȈȣȖțȡȓȞȠȣμİ IJĮ IJȡȓȖȦȞĮ ǹǺī , ǻǼǽ , Ȗ) ȈȣȖțȡȓȞȠȣμİ IJĮ IJȡȓȖȦȞĮ ǹȀī , ǹȁǽ . 4. Į) ȈȣȖțȡȓȞȠȣμİ IJĮ IJȡȓȖȦȞĮ ǹǺȀ , ǹǼȁ , ȕ) ȈȣȖțȡȓȞȠȣμİ IJĮ IJȡȓȖȦȞĮ ǹȀī , ǻȁǽ . Ȗ) ǹʌȩ IJĮ IJȡȓȖȦȞĮ ǹǺī , ǻǼǽ țĮȚ Įʌȩ IJĮ Į) , ȕ) 5.Į) ȈȣȖțȡȓȞȠȣμİ IJĮ IJȡȓȖȦȞĮ ǹǺǻ , ǹ/Ǻ/ǻ/ , ȕ) ȈȣȖțȡȓȞȠȣμİ IJĮ IJȡȓȖȦȞĮ ǹǻī , ǹ/ǻ/ī/ 6. ĭȑȡȞȠȣμİ ǹȀ A (İ) , Ǻȁ A (İ) țĮȚ ıȣȖțȡȓȞȠȣμİ IJĮ IJȡȓȖȦȞĮ ǹȀȂ , ǺȁȂ . 7. Į) ȈȣȖțȡȓȞȠȣμİ IJĮ IJȡȓȖȦȞĮ ǹȂǺ , ȂīǼ , ȕ) ȈȣȖțȡȓȞȠȣμİ IJĮ IJȡȓȖȦȞĮ ǺȂǼ , ǹȂī.

415


§‡ÛÂȘ

8. Į) ȈȣȖțȡȓȞȠȣμİ IJĮ IJȡȓȖȦȞĮ ǹǼǺ , ǹīǽ , ȕ) ǹʌȩ Į) ǹǼ=ǹǽ , Ȗ) ĭȑȡȞȦ ǺȀ A ǹǼ īȁ A ǹǽ țĮȚ ıȣȖțȡȓȞȠȣμİ ǼǺȀ , ȁīǽ 9. Į) ȈȣȖțȡȓȞȠȣμİ IJĮ IJȡȓȖȦȞĮ ǺǻȂ , ȂīǼ ȕ) ǹʌȩ Į) 10. Į) ȈȣȖțȡȓȞȠȣμİ IJĮ IJȡȓȖȦȞĮ ǹǺȀ , Ǻȁǻ , ȕ) ȈȣȖțȡȓȞȠȣμİ IJĮ IJȡȓȖȦȞĮ ǹȀī , īȃǼ Ȗ) ǹʌȩ Į) , ȕ) 11. Į) ȈȣȖțȡȓȞȠȣμİ IJĮ IJȡȓȖȦȞĮ ǺȀȂ , ȂȀī , ȕ) ȈȣȖțȡȓȞȠȣμİ IJĮ IJȡȓȖȦȞĮ ǹǺȀ , ǹȀī , Ȗ) ǹʌȩ Į) . 12. Į) ȈȣȖțȡȓȞȠȣμİ IJĮ IJȡȓȖȦȞĮ ǹǻǼ , Ǻǽī ȕ) ǹʌȩ Į) țĮȚ Įʌȩ IJȘȞ ıȪȖțȡȚıȘ IJȦȞ ǹǼǺ , ǻǽī , Ȗ) ǹʌȩ Į) 13. Į) ǹȞ Ȁ İȓȞĮȚ IJȠ ıȘμİȓȠ IJȠμȒȢ IJȘȢ ǹǻ țĮȚ ǹǽ IJȩIJİ IJȠ ǹȀ İȓȞĮȚ ȪȥȠȢ țĮȚ įȚȤȠIJȩμȠȢ . ȕ) ȈȣȖțȡȓȞȠȣμİ IJĮ IJȡȓȖȦȞĮ ǹǺǻ , ǹǻǽ , Ȗ) ǹʌȩ ȕ) 14. ǹȞ ǹǺīǻ İȓȞĮȚ IJȠ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ IJȩIJİ ıȣȖțȡȓȞȠȣμİ IJĮ IJȡȓȖȦȞĮ ǹǻī , ǹǺǻ . 15. Į) ȈȣȖțȡȓȞȠȣμİ IJĮ IJȡȓȖȦȞĮ ǹǻȀ , ǹȀǼ , ȕ) ǹʌȩ Į)

1.2 ȁȩȖȠȢ İȣșȣȖȡȐμμȦȞ IJμȘμȐIJȦȞ ǼȡȦIJȒıİȚȢ țĮIJĮȞȩȘıȘȢ ǹ 1 2 3 4 Ȉ Ȉ Ȉ Ȉ

5 ȁ

6 ȁ

7 Ȉ

8 ȁ

9 Ȉ

10 Ȉ

11 Ȉ

Ǻ. 1.Į , 2. į , 3. Į , 4. Į , 5. Į , 6. ȕ. ǹıțȒıİȚȢ ȖȚĮ ȜȪıȘ 1. Į) A

B

x

ȕ) Γ

416

īǻ Ȗ) ǹǺ

1 ǻǽ , 6 *'

Ε

ǽǼ 7 , *'

9 2

Ζ

ε


2. Į)

AM Aī

6

3 ǹȂ , ȕ) Ǻī 3

6 3

3. Į)

Ȁǻ ǹǻ

1 ȀǺ , ȕ) 2 ǹǺ

Ȁǹ 1 , Ȗ) ǹǺ 2

1 ǹǺ , Ȗ) 2 ǹī

6 6 3

=

3 3

§‡ÛÂȘ

3 Ȁǹ , į) = 3 .' 2

4. Į) ȈIJȠ IJȡȓȖȦȞȠ ǹǺī , IJȠ Ǽ İȓȞĮȚ μȑıȠȞ IJȠȣ ǹǺ țĮȚ ǼȀ//Ǻī ȐȡĮ IJȠ Ȁ İȓȞĮȚ μȑıȠȞ IJȠȣ ǹī . ȕ) ǹʌȩ Į) AB (1) . ȈIJȠ IJȡȓȖȦȞȠ ǹǺī 5. Į) ȈIJȠ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ ǹȀǺ Ș Ȁǽ İȓȞĮȚ įȚȐμİıȠȢ ȐȡĮ Ȁǽ= 2 AB (2) . ǹʌȩ (1) IJȠ Ǽ İȓȞĮȚ μȑıȠȞ IJȠȣ ǹī , IJȠ ǻ İȓȞĮȚ μȑıȠȞ IJȠȣ ǹǺ ȐȡĮ ǻǼ= 2 țĮȚ (2) Ȁǽ=ǻǼ Aī ȕ) ȈIJȠ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ ǹȀī Ș ȀǼ İȓȞĮȚ įȚȐμİıȠȢ ȐȡĮ ȀǼ= 2 Bī Ȗ) ȈIJȠ IJȡȓȖȦȞȠ ǹǺī IJȠ ǽ İȓȞĮȚ μȑıȠȞ IJȠȣ ǹǺ, IJȠ Ǽ μȑıȠȞ IJȠȣ ǹī ȐȡĮ ǽǼ= 2 ǹǺ 4 ǹī 3 ǹȂ 1 6. Į) , ȕ) Ȗ) ǹī 3 Ǻī 2 %* 5 %* 7. ǼȓȞĮȚ ǹȂ= =10cm . TȠ ǹǻȂ İȓȞĮȚ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ țĮȚ ǻǼ İȓȞĮȚ įȚȐμİıȠȢ ȐȡĮ 2 AM =5cm . ǻǼ= 2 Aī 8. ȈIJȠ ǹǺī: IJȠ Ȁ İȓȞĮȚ μȑıȠȞ IJȠȣ ǹǺ țĮȚ IJȠ ȁ İȓȞĮȚ μȑıȠȞ IJȠȣ Ǻī ȐȡĮ Ȁȁ = 2 țĮȚ Ȁȁ//ǹī (1) Aī ȈIJȠ ǹǻī: IJȠ ȃ İȓȞĮȚ μȑıȠȞ IJȠȣ ǹǻ țĮȚ IJȠ Ȃ İȓȞĮȚ μȑıȠȞ IJȠȣ īǻ ȐȡĮ Ȃȃ= 2 țĮȚ Ȃȃ//ǹī(2) ǹʌȩ (1) țĮȚ (2) Ȁȁ=Ȃȃ țĮȚ Ȁȁ//Ȃȃ , ȐȡĮ IJȠ ȀȁȂȃ İȓȞĮȚ ʌȡĮȜȜȘȜȩȖȡĮμμȠ.

1.3 ĬİȫȡȘμĮ ĬĮȜȒ ǼȡȦIJȒıİȚȢ țĮIJĮȞȩȘıȘȢ ǹ, 1 2 ȁ Ȉ Ǻ. 1. ȕ , 2. Į , 3. Į

3 ȁ

4 ȁ

5 ȁ

ǹıțȒıİȚȢ ȖȚĮ ȜȪıȘ

1. Į) ǹȞ Ș (İ) // ǹǺ țĮȚ ʌİȡȞȐİȚ Įʌȩ IJȠ ȅ IJȩIJİ ǹǺ// (İ)//ǻī țĮȚ İijĮȡμȩȗȦ IJȠ Ĭ. ĬĮȜȒ ȕ) ȅȚ İȣșİȓİȢ İ, ǹǺ, ǻī İȓȞĮȚ ʌĮȡȐȜȜȘȜİȢ ȠʌȩIJİ ĮȞ İijĮȡμȩıȠȣμİ IJȠ Ĭ. IJȠȣ ĬĮȜȒ ʌȡȠțȪʌIJİȚ IJȠ ȗȘIJȠȪμİȞȠ.

417


§‡ÛÂȘ

2. Į) ǼȀ A Ǻī , ǹǻ A Ǻī ȐȡĮ ǼȀ//ǹǻ . ǺǼ %. ȕ) ȈIJȠ ǹǺǻ ǼȀ//ǹǻ ȐȡĮ Ǽǹ .' 3. Į) ȈIJȠ IJȡȓȖȦȞȠ ǺǼȂ , ǹǻ//ǼȂ ȐȡĮ : ȕ) ȈIJȠ IJȡȓȖȦȞȠ ǹǻī

%' %$ = , '0 $(

īȂ *= = , ǻȂ =$

4. ȈIJȠ IJȡȓȖȦȞȠ ǹȂī , Ȁǽ//Ȃī ȐȡĮ :

$= $. 1 = = , =* .0 3

ǹǽ 1 $= 1 = Ȓ = Ȓ ǹǽ=2cm . ȈIJȠ IJȡȓȖȦȞȠ ǹǺȂ , ǼȀ//ǺȂ 8 ǹī 4 4 AE AK 1 ǹǼ 1 ǹǼ 1 = = ȠʌȩIJİ : Ȓ = Ȓ ǹǼ=3cm ȐȡĮ : EB KM 3 ǹǺ 4 12 4

ȠʌȩIJİ :

5. ȈIJȠ IJȡȓȖȦȞȠ ǹǻī , Ǽǽ//ǹǻ ȐȡĮ : ȈIJȠ IJȡȓȖȦȞȠ ǹǺī , Ǽǻ//ǹǺ

x  5 2x = Ȓ x=1 12 4 x 1 ȥ 2 ȥ Ȓ = Ȓ ȥ=1 ȐȡĮ : 12 2x  4 12 6

6. ȈIJȠ IJȡȓȖȦȞȠ ȂȀȃ Ș ǹǺ İȓȞĮȚ // ıIJȘȞ Ȁȃ ȐȡĮ :

ȂǺ ǺȀ

0$ (1) , $1

ȕ) ȈIJȠ IJȡȓȖȦȞȠ ȂLȃ Ș ǹī İȓȞĮȚ // ıIJȘȞ ȁȃ ȐȡĮ : Ȗ) ǹʌȩ (1) țĮȚ (2)

Ȃī 0$ = (2) , īȁ $1

ȂǺ 0* = țĮȚ İʌİȚįȒ īǻ=ǺȀ șĮ ȑȤȠȣμİ ȩIJȚ : Ȃī=ȂǺ . ǺȀ */

1.4 ȅμȠȚȠșİıȓĮ ǼȡȦIJȒıİȚȢ țĮIJĮȞȩȘıȘȢ ǹ 1 2 3 ȁ ȁ ȁ Ǻ. 1.Į , 2. 40Ƞ , 3. Į ǹıțȒıİȚȢ ȖȚĮ ȜȪıȘ

1. Į) ǼȓȞĮȚ IJȠ ȓįȚȠ IJȠ IJİIJȡȐȖȦȞȠ

418

4 ȁ

5 Ȉ

6 Ȉ

7 Ȉ


ȕ)

A

Β

§‡ÛÂȘ

Γ

Γ΄

∆΄

2. Į)

A

Γ΄

Β΄ Β

Γ

ȕ) ǹ/Ǻ/=Ǻ/ī/=ī/ǹ/=

3 2

3.

O

κ

A

419


§‡ÛÂȘ

4.

Γ΄

Γ

Μ

A

Β

Β΄

ǹ/Ǻ/= 2ǹǺ=12cm , Ǻ/ī/=2Ǻī=2·10=20cm , ǹ/ī/=2ǹī=2·8=16cm 5.

B

Γ΄

Γ

A

Ǻǹ/=

1 1 5 1 3 Ǻǹ=2 , Ǻī/= Ǻī = , ǹ/ī/= ǹī= 2 2 2 2 2

1.5 ȅμȠȚȩIJȘIJĮ ǼȡȦIJȒıİȚȢ țĮIJĮȞȩȘıȘȢ ǹ. 1 2 3 4 Ȉ Ȉ ȁ Ȉ

420

Ǻ. 1. 20 , 2. Į , 3. Į , 4.į

5 ȁ

6 ȁ

7 ȁ

8 ȁ

9 Ȉ

10 Ȉ

11 Ȉ

12 ȁ

13 ȁ


ǹıțȒıİȚȢ ȖȚĮ ȜȪıȘ 15 35 5 Aǻ 1. ȕ) x= , x= , x= , 2.Į) ǼʌİȚįȒ 2 3 2 ǹǺ š

š

š

š

2. ȕ) DzȤȠȣȞ B = ǻ , ī ( š

š

3. Į) Ǽ

š

' = 90Ƞ , B țȠȚȞȒ

š

š

š

ǹǻ īǼ ǹī ǹǺ ǹǺ ǺȂ ǹī Ȃī

.

š

š

4. Į) K

š

ǻ = 90Ƞ , B țȠȚȞȒ .

š

š

š

' = 90Ƞ , ī țȠȚȞȒ .

ȕ) ȁ š

§‡ÛÂȘ

, Ȗ) Ǻī=16

90Ƞ , A țȠȚȞȒ .

Z

ȕ) Ǽ

$( 1 = șĮ ȑȤȠȣμİ ȩIJȚ : ǻǼ//Ǻī $* 4

$% %* *( %= $' .0 $' 0/

'% (% $( $= %' .% '* /*

š

š

š

5. Į) ABǻ = '(* İȖȖİȖȡĮμμȑȞİȢ ıİ ȓįȚĮ IJȩȟĮ , Ǻǹǻ = '*( İȖȖİȖȡĮμμȑȞİȢ ıİ ȓįȚĮ IJȩȟĮ š

š

š

š

'%( İȖȖİȖȡĮμμȑȞİȢ ıİ ȓįȚĮ IJȩȟĮ, $*'

ȕ) '$* IJȩȟĮ š

6. AǻǺ

š

$*( 90Ƞ , $%'

š

$(* İȖȖİȖȡĮμμȑȞİȢ ıİ ȓįȚĮ IJȩȟĮ .

7. ȉĮ ǹǻī , ǹ/ǻ/ī/ İȓȞĮȚ ȩμȠȚĮ įȚȩIJȚ : š š š š īǻ ǹī A Ac , ' 'c =90Ƞ ȐȡĮ īcǻc ǹcīc š

8. Į) .$' š

9. ȕ) Kǻȁ

š

'(% İȖȖİȖȡĮμμȑȞİȢ ıİ ȓįȚĮ

š

$' $c'c

š

$' $*

Ǻǻ Ǽī

Ȝ

š

.0% (İȞIJȩȢ İȞĮȜȜȐȟ) , .$' š

ǹǺ ǹǼ

.B0 (İȞIJȩȢ İȞĮȜȜȐȟ)

š

š

.%$ (İȞIJȩȢ İȞĮȜȜȐȟ) , .$% ./' (İȞIJȩȢ İȞĮȜȜȐȟ)

1.6 ȁȩȖȠȢ İμȕĮįȫȞ ȠμȠȓȦȞ ıȤȘμȐIJȦȞ ǼȡȦIJȒıİȚȢ țĮIJĮȞȩȘıȘȢ ǹ. 1 2 3 ȁ Ȉ Ȉ Ǻ. 1. Į , 2. Į , 3. Į

4 Ȉ

5 Ȉ

6 ȁ

ǹıțȒıİȚȢ ȖȚĮ ȜȪıȘ 100 2 1. (ǹǻǼ)= cm , 2. 51% , 3. 21% , 4. 20cm , 5. x=2 9 īİȞȚțȑȢ ĮıțȒıİȚȢ š

š

š

1. Į) % * , (

š

' =90Ƞ,

ǺȀ (. %( , ȕ) (Ȁǻī)=4cm2 Ȁī .' '*

421


§‡ÛÂȘ

(1 2 į1 2 12 40 2 12 40 =Ȝ =( ) Ȓ =( ) Ȓ = Ȓ Ǽ2=67,5 cm2 (2 (2 ( 2 225 į2 15 ( 8 3. Į) ǼȓȞĮȚ țĮȞȠȞȚțȐ μİ IJȠȞ ȓįȚȠ ĮȡȚșμȩ ʌȜİȣȡȫȞ , ȕ) 1 =( )2=4 , (2 4 4. Ǿ Ȁȁ İȓȞĮȚ // ıIJȘ Ǻī . ȈIJȠ IJȡȓȖȦȞȠ ǹǺȂ , IJȠ Ȁ İȓȞĮȚ μȑıȠ IJȠȣ ǹǺ țĮȚ Ȁȃ//ǺȂ ȐȡĮ IJȠ ȃ İȓȞĮȚ μȑıȠ IJȠȣ ǹȂ Bī 5. ȈIJȠ IJȡȓȖȦȞȠ ǹǺī , IJȠ Ȁ İȓȞĮȚ μȑıȠȞ IJȠȣ ǹī ȐȡĮ ȀȂ= țĮȚ ȀȂ//Ǻī (1) . 2 Bī ȈIJȠ IJȡȓȖȦȞȠ ǻǺī , IJȠ ȃ İȓȞĮȚ IJȠȣ Ǻǻ , IJȠ ȁ μȑıȠ IJȠȣ ǻī , ȐȡĮ ȃȁ= 2 țĮȚ ȃȁ//Ǻī (2) . ǹʌȩ (1) țĮȚ (2) ȀȂ//ȃȁ țĮȚ ȀȂ=ȃȁ , ȐȡĮ IJȠ ȀȂȁȃ İȓȞĮȚ ʌĮȡĮȜȜȘȜȩȖȡĮμμȠ .

2.

š

š

š

š

6. Į) ǻǹǺ '(2 , $%'

š

š

š

š

(2' , ȕ) BAO ZOī $%* = 2=* , ǻǼ *= . Ȗ) ǹʌȩ Į) , ȕ) țĮȚ İʌİȚįȒ (Ǽǽ//ǹǺ) ȚıȤȪİȚ ǻǹ *%

10 KȡȚIJȒȡȚȠ ĮȟȚȠȜȩȖȘıȘȢ ĬȑμĮ 1 Į) șİȦȡȓĮ , ȕ) șİȦȡȓĮ , Ȗ) șİȦȡȓĮ . ĬȑμĮ 2 Į) (Ȇ-ī-Ȇ) , ȕ) ȈȣȖțȡȓȞȦ IJĮ IJȡȓȖȦȞĮ ǹȂī , ǺȂǻ . ĬȑμĮ 3 š

Į) BAE ĬȑμĮ 4

(ǹǻǼ)=

š

š

ZAī , (

š

= =90Ƞ,

ǹǺ ǹī

%( *=

$( $=

, ȕ) 1cm2

100 cm2 9

20 KȡȚIJȒȡȚȠ ĮȟȚȠȜȩȖȘıȘȢ ĬȑμĮ 1 Į) șİȦȡȓĮ , ȕ) șİȦȡȓĮ , Ȗ) șİȦȡȓĮ ĬȑμĮ 2 Aǻ $( Į) ǹǺ $*

1 4

š

ȐȡĮ ǻǼ//Ǻī ȕ) ǹǻǼ

š

š

$%* , $ țȠȚȞȒ , Ȗ) Ǻī=16cm

ĬȑμĮ 3 š

422

š

š

Į) ǻǹǺ '(2 , $%'

š

š

š

š

š

(2' , ȕ) īǹǺ *2= , $%* 2=*


Ȗ) ǹʌȩ Į) ȕ) țĮȚ İʌİȚįȒ (Ǽǽ//ǹǺ) ȚıȤȪİȚ

ǻǼ ǻǹ

§‡ÛÂȘ

*= *%

ĬȑμĮ 4 0% 0$ %. $1 Mī 0$ īȁ $1

Į) ȈIJȠ IJȡȓȖȦȞȠ ȀȂȃ İȓȞĮȚ ǹǺ//Ȁȃ ȐȡĮ ȕ) ȈIJȠ IJȡȓȖȦȞȠ Ȃȃȁ īǹ//ȁȃ ȐȡĮ Ȗ) ǹʌȩ Į) țĮȚ ȕ)

ȂǺ 0* = țĮȚ İʌİȚįȒ ǺȀ=īȁ ȑȤȠȣμİ : ȂǺ=Ȃī . ǺȀ */

2.1 ȉȡȚȖȦȞȠμİIJȡȚțȠȓ ĮȡȚșμȠȓ ȖȦȞȓĮȢ Ȧ μİ 0Ƞ”Ȧ”180Ƞ ǼȡȦIJȒıİȚȢ țĮIJĮȞȩȘıȘȢ ǹ. 1 2 3

4

5

6

7

8

9

Ǻ. 1. Į , 2. Į , 3. ȕ , 4.ȕ ǹıțȒıİȚȢ ȖȚĮ ȜȪıȘ 1 3 3 3 1 1. Șμ30Ƞ= , ıȣȞ30Ƞ= , İij30Ƞ= , Șμ60Ƞ= , ıȣȞ60Ƞ= , İij60Ƞ= 3 2 2 3 2 2 š š š 3 4 2. Șμ XOA = , ıȣȞ XOB =-1 , İij XOī =5 3 š š š 4 3 4 3. Ȃ(-3,4) Șμ XOM = , ıȣȞ XOM =- , İij XOM =5 5 5 ȕ ȕ ȕ ȕ 4. Į) ȘμǺ= , İijǺ= , İʌİȚįȒ Į>Ȗ ȐȡĮ < įȘȜ , ȘμǺ<İijǺ Į Į Ȗ Ȗ ȕ ȘμǺ Į ȕ ȕ) Șμī Ȗ Ȗ Į 5. ǹ= Șμ17Ƞ+Șμ35Ƞ-ıȣȞ73Ƞ-ıȣȞ55Ƞ=0 ıȣȞ56Ƞ Șμ50Ƞ Șμ34Ƞ ıȣȞ40Ƞ  -4= + -4=-2 Ǻ= Ƞ Ƞ Șμ34 ıȣȞ40 Șμ34Ƞ ıȣȞ40Ƞ 6. 5”A” 8 , 2 d B”6

7. Į) ȀĮIJĮıțİȣȐȗȠȣμİ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ IJȡȓȖȦȞȠ μİ țȐșİIJİȢ ʌȜİȣȡȑȢ 3 țĮȚ 4 . ȕ) ȀĮIJĮıțİȣȐȗȠȣμİ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ IJȡȓȖȦȞȠ μİ μȓĮ țȐșİIJȘ ʌȜİȣȡȐ 8 țĮȚ ȣʌȠIJİȓȞȠȣıĮ 10 8. Į) ȘμǺ+Șμī=

ȕ Ȗ Ȗ ȕ  =  =ıȣȞǺ+ıȣȞī Į Į Į Į

423


§‡ÛÂȘ

ȕ Ȗ ȕ) ȘμǺ·ıȣȞī= ˜ Į Į

Ȗ ȕ ˜ Į Į

Șμī·ıȣȞǺ

9. Į) Șμ38Ƞ<Șμ65Ƞ , ȕ) ıȣȞ87Ƞ<ıȣȞ10Ƞ ,Ȗ) İij25Ƞ<İij89Ƞ , į) Șμ10Ƞ<ıȣȞ30Ƞ

2.2 ȉȡȚȖȦȞȠμİIJȡȚțȠȓ ĮȡȚșμȠȓ ʌĮȡĮʌȜȘȡȦμĮIJȚțȫȞ ȖȦȞȚȫȞ ǼȡȦIJȒıİȚȢ țĮIJĮȞȩȘıȘȢ ǹ. 1 2 Ȉ Ȉ

3 Ȉ

4 Ȉ

5 ȁ

6 ȁ

Ǻ. 1. Ȗ , 2. ȕ , 3. Į , 4. Ȗ . ǹıțȒıİȚȢ ȖȚĮ ȜȪıȘ 3 3 1 , ıȣȞ120Ƞ=- , Șμ135Ƞ=2 2 2 2. Į) x=60o , ȕ) x=45o Ȓ x=135o

1. Șμ120Ƞ=

601 12 ˜ 2 601 5 601 5 24 3. Aī=5 , Ȃǹ= , ȂǺ= , ȘμȦ= , ıȣȞȦ= , İijȦ= 2 601 601 2 5 12 ˜ 2 601 5 601 24 Șμij= , ıȣȞij=, İijij=601 601 5

4. Į) Șμ(90Ƞ+x)=Șμ(180Ƞ-(90Ƞ-x))=Șμ(90Ƞ-x)=ıȣȞx ȕ) ıȣȞ(90Ƞ+x)=ıȣȞ(180Ƞ-(90Ƞ-x))=-ıȣȞ(90Ƞ-x)=-Șμx 5. x=120o , 6. Į) ȅȚ ȖȦȞȓİȢ ǹ+Ǻ, ī İȓȞĮȚ ʌĮȡĮʌȜȘȡȦμĮIJȚțȑȢ ȐȡĮ : Șμ(ǹ+Ǻ)=Șμī ȕ) ȅȚ ȖȦȞȓİȢ ǹ+ī , Ǻ İȓȞĮȚ ʌĮȡĮʌȜȘȡȦμĮIJȚțȑȢ ȐȡĮ ıȣȞ(ǹ+ī)=-ıȣȞǺ Ȓ ıȣȞ(ǹ+ī)+ıȣȞǺ=0 , Ȗ) ȅȚ ȖȦȞȓİȢ ǹ+Ǻ, ī İȓȞĮȚ ʌĮȡĮʌȜȘȡȦμĮIJȚțȑȢ ȐȡĮ : İij(ǹ+Ǻ)=-İijī . š

š

7. ıȣȞ(Ǻ+ī)=0 ȐȡĮ B *

š

90Ƞ , ȠʌȩIJİ $ =90Ƞ, ȐȡĮ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ

8. Į) x=150o, ȕ) x=150o. 9. x=150o 10. Į) Șμ(150Ƞ+Ȧ)=Șμ(180Ƞ-(30Ƞ-Ȧ))=Șμ(30Ƞ-Ȧ) , ȕ) , Ȗ) , į) ȅμȠȓȦȢ μİ Į) .

424


§‡ÛÂȘ

11. Į) Șμ150Ƞ+ıȣȞ165Ƞ+Șμ75Ƞ-ıȣȞ60Ƞ=Șμ30Ƞ-ıȣȞ15Ƞ+ıȣȞ15Ƞ-Șμ30Ƞ=0 ȕ) Șμ89Ƞ+Șμ91Ƞ-2ıȣȞ1Ƞ=ıȣȞ1Ƞ+Șμ89Ƞ-2ıȣȞ1Ƞ=ıȣȞ1Ƞ+ıȣȞ1Ƞ-2ıȣȞ1Ƞ=0 12. ıȣȞ120Ƞ<Șμ30Ƞ<Șμ140Ƞ<ıȣȞ10Ƞ 13. Į) ij=30Ƞ , ȕ) ij=30Ƞ

2.3 ȈȤȑıİȚȢ μİIJĮȟȪ IJȡȚȖȦȞȠμİIJȡȚțȫȞ ĮȡȚșμȫȞ μȚĮȢ ȖȦȞȓĮȢ ǼȡȦIJȒıİȚȢ țĮIJĮȞȩȘıȘȢ ǹ. 1 2 3 ȁ Ȉ Ȉ

4 Ȉ

5 Ȉ

6 ȁ

7 Ȉ

8 Ȉ

9 ȁ

Ǻ. 1. ȕ , 2. ȕ , 3. į ǹıțȒıİȚȢ ȖȚĮ ȜȪıȘ

1. Į) 4(Șμ2Ȧ+ıȣȞ2Ȧ)=4 , ȕ) ıȣȞ2x+Șμ2x=1 (1) , ȐȡĮ ıȣȞ2x=1-Șμ2x , Șμ 2 x Șμ 2 x  ıȣȞ 2 x 1 Ȗ) ǹʌȩ (1) Șμ2x=1-ıȣȞ2x , į) 1+ = = , 2 2 ıȣȞ 2 x ıȣȞ x ıȣȞ x İ) Șμ2x-ıȣȞ2x=1-ıȣȞ2x-ıȣȞ2x =1-2ıȣȞ2x . 2. Į) 4Șμ2Ȧ-12ȘμȦıȣȞȦ+9ıȣȞ2Ȧ+9Șμ2Ȧ+12ȘμȦıȣȞȦ+4ıȣȞ2Ȧ=13Șμ2Ȧ+13ıȣȞ2Ȧ=13 ȕ) Șμ4Ȧ-ıȣȞ4Ȧ=(Șμ2Ȧ-ıȣȞ2Ȧ)(Șμ2Ȧ+ıȣȞ2Ȧ)=Șμ2Ȧ-ıȣȞ2Ȧ=Șμ2Ȧ-(1-Șμ2Ȧ)=2Șμ2Ȧ-1 Ȗ)

1  2ȘμĮıȣȞĮ ȘμĮ  ıȣȞĮ

Șμ 2 Į  ıȣȞ 2Į  2ȘμĮıȣȞĮ (ȘμĮ  ıȣȞĮ) 2 = =ȘμĮ+ıȣȞĮ ȘμĮ  ıȣȞĮ ȘμĮ  ıȣȞĮ

1 ıȣȞ 2 Ȧ = ıȣȞ 2Ȧ , 2 Șμ Ȧ ıȣȞ 2 Ȧ  Șμ 2Ȧ 1 ıȣȞ 2Ȧ Șμ 2 Ȧ Șμ 2 Ȧ-ıȣȞ 2 Ȧ  1 2 İij Ȧ-1 ıȣȞ 2 Ȧ ıȣȞ 2 Ȧ ȕ) = = =Șμ2Ȧ-ıȣȞ2Ȧ , 2 2 2 Șμ Ȧ  ıȣȞ 2Ȧ İij Ȧ  1 Șμ Ȧ 1 ıȣȞ 2 Ȧ ıȣȞ 2 Ȧ 4 4 4. Șμx= , İijx=- , 5 3 5 12 5. ıȣȞx=, İijx=, A=10 , 6. ǹ=-3 , 7. ǹ=-Șμ2x , B=-ȘμxıȣȞx, 12 13

3. Į)

1 = 1  İij 2 Ȧ

425


§‡ÛÂȘ

2.4 NȩμȠȢ IJȦȞ ȘμȚIJȩȞȦȞ –ȃȩμȠȢ IJȦȞ ıȣȞȘμȚIJȩȞȦȞ ǼȡȦIJȒıİȚȢ țĮIJĮȞȩȘıȘȢ ǹ. 1 2 3 ȁ ȁ Ȉ

4 ȁ

5 ȁ

6 Ȉ

7 Ȉ

8 ȁ

9 Ȉ

Ǻ. 1. Ȗ , 2. į , 3 . Į ǹıțȒıİȚȢ ȖȚĮ ȜȪıȘ š

š

1. % =90Ƞ , * =30Ƞ , Į=4 2. Į) ǹʌȩ IJȠ ȞȩμȠ IJȦȞ ıȣȞȘμȚIJȩȞȦȞ : Į2=ȕ2+Ȗ2-2ȕȖıȣȞ60Ƞ=ȕ2+Ȗ2-ȕȖ ȕ) ǹʌȩ IJȠ ȞȩμȠ IJȦȞ ıȣȞȘμȚIJȩȞȦȞ : Į2=ȕ2+Ȗ2-2ȕȖıȣȞ120Ƞ= ȕ2+Ȗ2+ȕȖ 3. ĮıȣȞī=ȖıȣȞǹ Ȓ Į· š

ȕ2  Į2  Ȗ2 ȕ2  Ȗ2  Į2 =Ȗ· Ȓ 2Į2=2Ȗ2 ȐȡĮ Į=Ȗ 2Įȕ 2ȕȖ

š

š

š

š

4. Į) A =120Ƞ , ȕ) % =60Ƞ , Ȗ) A =90Ƞ , % =53Ƞ , * =37Ƞ 5. Į) ȕıȣȞī+ȖıȣȞǺ=ȕ· ȕ) š

Į2  ȕ2  Ȗ2 Į2  Ȗ2  ȕ2 Į2  ȕ2  Ȗ2  Į2  Ȗ2  ȕ2 +Ȗ· = =Į 2Įȕ 2ĮȖ 2Į

ıȣȞǹ ıȣȞǺ ıȣȞī ȕ 2  Ȗ 2  Į 2 Į 2  Ȗ 2  ȕ 2 Į 2  Ȗ 2  Ȗ 2 Į 2  ȕ 2  Ȗ 2 = + + =   Į ȕ Ȗ 2ĮȕȖ 2ĮȕȖ 2ĮȕȖ 2ĮȕȖ š

6. % =120Ƞ , * =30Ƞ , Ȗ=1 7. Aʌȩ IJȠ ȞȩμȠ IJȦȞ ȘμȚIJȩȞȦȞ : Į·Șμ45Ƞ=Șμ30Ƞ·(12-Į) Ȓ Į

Į Șμǹ

ȕ Į ȑȤȠȣμİ ȘμǺ Șμ30Ƞ

2 1 = (12-Į) Ȓ 2 2

12  Į Ȓ Șμ45Ƞ

2 ·Į=12-Į Ȓ Į=

12 2 1

Ȓ Į=12( 2 -1) . DZȡĮ ȕ=12-12( 2 -1)=12(2- 2 ) ǹʌȩ IJȠ ȞȩμȠ ıȣȞȘμȚIJȩȞȦȞ Ȗ2=Į2+ȕ2-2ĮȕıȣȞ75Ƞ ȕȡȓıțȠȣμİ ȩIJȚ IJȘȞ ʌȜİȣȡȐ Ȗ . īİȞȚțȑȢ ĮıțȒıİȚȢ 1. Į)(Į+ȕ)2-Ȗ2=Įȕ Ȓ Į2+ȕ2+2Įȕ-Ȗ2=Įȕ Ȓ Ȗ2=Į2+ȕ2+Įȕ . ǼʌİȚįȒ Ȗ2=Į2+ȕ2-2ĮȕıȣȞī š š 1 șĮ ȑȤȠȣμİ : -2ĮȕıȣȞī=Įȕ ȐȡĮ ıȣȞī=- , įȘȜ. * >90Ƞ, ȕ) * =120Ƞ 2 2. ǻ=9-4(Șμș-1)=9-4Șμș+4=13-4Șμș>0 . 5 12 3. ȆȡȑʌİȚ : 0”Șμș”1 țĮȚ -1 d ıȣȞ2ș”1 ȐȡĮ ”Ȝ” 4 7 4. ț=0 Ȓ ț=-4

426


5. Į) ȘμxıȣȞx=-

12 5 12 , ȕ) , Ȗ) 25 12 25

§‡ÛÂȘ

10 KȡȚIJȒȡȚȠ ĮȟȚȠȜȩȖȘıȘȢ ĬȑμĮ 1 Į) șİȦȡȓĮ , ȕ) șİȦȡȓĮ , Ȗ) șİȦȡȓĮ . ĬȑμĮ 2 š

Į) x=60o Ȓ x=120o ȕ) A -120Ƞ ĬȑμĮ 3

Į) ıȣȞȦ=-

5 12 5 , İijȦ=, ȕ) ǹ= 13 5 13

ĬȑμĮ 4 5 12 4 4 Į) ”Ȝ” , ȕ) Șμx= , Ȗ) İijx=4 7 5 3 20 KȡȚIJȒȡȚȠ ĮȟȚȠȜȩȖȘıȘȢ ĬȑμĮ 1 Į) șİȦȡȓĮ ,

4 1 5 ȕ) ǵȤȚ įȚȩIJȚ : Șμ2Ȧ+ıȣȞ2Ȧ= + = z 1 9 9 9 Ȗ) i) ıȣȞ(90Ƞ-Ȧ)=0,71 , ii) ıȣȞ(180Ƞ-Ȧ)=0,7 iii) İij(180-Ȧ)=-5

ĬȑμĮ 2 ǹ. Į) Șμ150Ƞ=Șμ30Ƞ=ıȣȞ60Ƞ , ıȣȞ165Ƞ=-ıȣȞ15Ƞ=-Șμ75Ƞ ȕ) Șμ89Ƞ=ıȣȞ1Ƞ , Șμ91Ƞ=Șμ89Ƞ=ıȣȞ1Ƞ Ǻ. ǹʌȩ IJȠ ȞȩμȠ ıȣȞȘμȚIJȩȞȦȞ Į2=ȕ2+Ȗ2-2ȕȖıȣȞ60Ƞ=ȕ2+Ȗ2-ȕȖ ĬȑμĮ 3 x=15o ĬȑμĮ 4

Į) ȘμxıȣȞx=-

12 5 12 , ȕ) , Ȗ) 25 12 15

427


Μαθηματικά Γ γυμνασίου  

Βοήθημα - Εκδόσεις Βολονάκη

Read more
Read more
Similar to
Popular now
Just for you