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Estructura Básica de Algebra Lineal
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Estructuras Básicas de Algebra Lineal
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ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS CON UNA OPERACIÓN INTERNA
Empezaremos nombrando desde la más pequeña a la más grande e importante, ya que cumple mayor número de propiedades. A partir de este momento, utilizaremos * como notación para la operación interna.
-Semigrupo: Diremos que A es un semigrupo, si (A, *) cumple la propiedad asociativa: si para todo a, b y c pertenecientes a A, se tiene que (a*b) *c=a*(b*c). Si además se cumple la propiedad conmutativa: a*b=b*a, entonces diremos que (A, *) es un semigrupo conmutativo.
-Monoide: Si (A, *) es un semigrupo que además tiene elemento neutro que denotamos por
e: a*e=e*a=a.
Por ejemplo,el conjunto de los números naturales menos el cero, con la operación suma, es un semigrupo conmutativo. Mientras que el conjunto de los números naturales (incluido el cero) con la operación producto es un monoide.
-Grupo: Diremos que G es un grupo si (G, *) cumple las siguientes propiedades: asociativa, existencia de elemento neutro y existencia de elemento simétrico o inverso que denotamos por i: a*i=i*a=e.
-Grupo conmutativo o abeliano:
propiedad conmutativa. Si (G, *) es un grupo que cumple además la
Como en este apartado tenemos dos operaciones internas, denotaremos a cada una de ellas con los símbolos * y °.
-Semianillo: Diremos que (A, *, °) es un semianillo si se cumple que:
12 1) (A, *) es un monoide, es decir, un semigrupo conmutativo con elemento neutro.
2) (A, °) es un semigrupo.
3) Se cumple la distributividad de ° respecto de *: a°(b*c) =(a°b) *(a°c).
-Semianillo conmutativo:
conmutativo. Si (A, *, °) es un semianillo y (A, °) es un semigrupo
Si además tiene elemento neutro, entonces (A, *, °) es un semianillo conmutativo con elemento unidad.
Por ejemplo, el conjunto de los números naturales, con las operaciones suma y producto es un semianillo conmutativo con elemento unidad: el cero, 0.
-Anillo: Diremos que (A, *, °) es un anillo, si se cumple que:
1) (A, *) es un grupo conmutativo.
2) (A, °) es un semigrupo.
3) Se cumple la distributividad de ° respecto de *.
Al igual que en el caso de semianillo, si (A, °) es un semigrupo conmutativo, entonces (A, *, °) es un anillo conmutativo, y si además tiene elemento neutro, entonces es un anillo
conmutativo con elemento neutro.
Por ejemplo, el conjunto de los números enteros, los racionales, los reales y los complejos con las operaciones suma y producto son anillos conmutativos con elemento unidad.
-Cuerpo: Llamamos cuerpo a la terna (K, *, °) que cumple:
1) (K, *, °) es un anillo
2)(K-{0}, °) es un grupo.
Si además (K- {0}, °) es un grupo conmutativo, entonces diremos que (K, *, °) es un cuerpo
conmutativo.
Por último, vamos a ver la estructura algebraica más importante que tiene una operación interna * y otra externa, que denotamos por ●, y utilizaremos como subíndice el conjunto al que hace referencia.
