Union MAG1 Utdrag

Tal och ekvationer MAG

1

Jukka Harsunkorpi Sanna Hassinen Paavo Heiskanen Katariina Hemmo Anna Kairema Miia-Maarit Saarelainen Jorma Tahvanainen Timo Taskinen Leif Österberg

Schildts & Söderströms www.sets.fi Finska förlagans titel: Unioni. MAY1 Luvut ja yhtälöt 1 Redaktör för den finska upplagan: Hieu Tran, Anssi Tuovinen Redaktör för den svenska upplagan: Hans Nordman Typografi: Kaisa Manner, Sari Jeskanen, Anni Mikkola Omslag: Kustmedia Ab / Terese Bast Förlagans layout: Tmi Eija Högman Svenska upplagans ombrytning: Jukka Iivarinen / Vitale Ay Fondernas samarbetsgrupp som består av Svenska kulturfonden, Svenska Folkskolans Vänner, Föreningen Konstsamfundet och Lisi Wahls stiftelse för studieunderstöd har beviljat ekonomiskt stöd för utgivningen av detta läromedel.

Kopieringsförbud Det här verket är en lärobok. Verket är skyddat av upphovsrättslagen (404/61).

Det är förbjudet att fotokopiera, skanna eller på annat sätt digitalt kopiera det här verket eller delar av det utan tillstånd. Kontrollera om läroanstalten har gällande licenser för fotokopiering och digitala licenser.

Mer information lämnas av Kopiosto rf www.kopiosto.fi.

Det är förbjudet att ändra verket eller delar av det.

Första upplagan, 2020 Text © Jukka Harsunkorpi, Sanna Hassinen, Paavo Heiskanen, Katariina Hemmo, Anna Kairema, Miia-Maarit Saarelainen, Jorma Tahvanainen och Timo Taskinen Illustrationer © Marvegraf Oy, © Kustantaja Sanoma Pro Oy © 2021 Leif Österberg och Schildts & Söderströms ISBN: 978-951-52-5309-5

Innehåll Talmängder

Procenträkning

1 Heltal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

12 Procent. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

2 Rationella och reella tal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

13 Förändrings- och jämförelseprocent. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

Repetera: Talmängder.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

14 Beräkning av det förändrade värdet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

Ekvationer

Repetera: Procenträkning.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

3 Ekvationer av första graden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Proportionell

4 Ekvationssystem av första graden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

15 Direkt proportionell. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

Repetera: Ekvationer.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

16 Omvänt proportionell.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

Potenser och rötter 5 Potenser. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 6 Räkneregler för potenser.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 7 Exponenten noll eller ett negativt tal.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 8 Kvadratrot. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 9 Kubikrot. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Repetera: Potenser och rötter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

Funktion 10 Begreppet funktion.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 11 Funktionens graf. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Repetera: Funktion.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

Repetera: Proportionell. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

Repetitionsuppgifter.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 Facit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 Sakregister.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 Programfärdigheter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 De mångsidiga kompetenserna.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

Till dig som använder boken Läromedlet Union MaG1 beaktar studerande med olika inlärningsstilar. Med hjälp av materialet i läromedlet kan du konstruera dina egna verktyg som lämpar sig för din stil och olika situationer.

Matematikstudierna börjar med det gemensamma studieavsnittet MaG1 Tal och ekvationer.

Avsnittets mål är att förstärka och komplettera de kunskaper och färdigheter som du behöver i studier i matematik i gymnasiet.

Symboler som används i boken

E1 Hänvisning till typexempel 1.

CAS Uppgifter som är tänkta att räknas utan symboliska kalkylprogram eller räknare (CAS).

Hänvisning till en Geogebra-applet.

GG

Uppgifter som är tänkta att räknas med något program.

Kompetens symboler

Basinnehåll Här får du jobba med mångsidig kompetens i läromedlets text- och bildmaterial.

Uppgifter Här får du jobba med mångsidig kompetens i uppgifter till basinnehållet.

lera genrer F Här får du jobba med andra genrer än lärobokstext.

5

Potenser och rötter

lera ämnen F Här får du tips på andra ämneskunskaper du kan använda.

orskning och fakta F Här får du ta del av forskning och fakta utanför lärobokstexten.

rfarenhet och upplevelser E Här får du ta del av enskilda individers erfarenheter och upplevelser.

lera språk F Här möter du flera olika språk.

Potenser Vi undersöker 1. Beräkna produkten med hjälp av räknaren. Fundera först på hur det är enklast att mata in uträkningen. a) 4 ⋅ 4 ⋅ 4 b) 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5

Ett konstverk har formen av en kub.

Vilken är sidans längd i konstverket om det har tillverkats av 38,00 m2 stålplåt?

Avsnittet inleds med några frågor vars svar du hittar i exemplen eller uppgifterna.

c) 6 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 6 2. Beräkna produkten 7⋅7⋅7⋅7⋅7⋅7⋅7⋅7⋅7⋅7⋅7⋅7⋅7⋅7⋅7⋅7⋅7⋅7⋅7⋅7 med hjälp av räknaren och ge svaret i tiopotensform med tre gällande siffrors noggrannhet.

(Kapitel 8, exempel 4)

Vi kan skriva långa multiplikationer med hjälp av potenser BeteCKnInGens UrsPrUnG orden potens och exponent kommer från de latinska orden potens, kraftfull och exponere, förklara.

En produkt där samma faktor förekommer flera gånger kan vi skriva kortare med hjälp av potenser.

2⋅2⋅2⋅2 = 2

4

Beteckningen

exponenten anger antalet faktorer i produkten basen anger den gemensamma faktorn i produkten

4 stycken

24

uttalas ”fjärde potensen av 2” eller ”2 upphöjt till fyra”.

Definition av potens Potens Anta att n är ett positivt heltal (n = 1, 2, 3, … ).

Den n:te potensen av talet a (a upphöjt till n) är produkten a ⋅ a ⋅ a ⋅…⋅ a. n stycken

Hur mycket morötter krävs för att man ska få i sig den rekommenderade dagliga mängden A-vitaminer 7 ∙ 10 –4 g?

Hur lång är sträckan som rymdsonden Voyager 1 rör sig under två år om den håller sin maximala hastighet 1,73 · 104 m/s?

(Kapitel 7, uppgift 7.9)

(Kapitel 5, exempel 4)

50 50

4

T i l l d i g s o m a n vä n d e r b o k e n

an = a ⋅ a ⋅ a ⋅…⋅ a n stycken

Den andra potensen a2 av talet a uttalas talet a i kvadrat och den tredje potensen a3 av talet a uttalas talet a i kubik.

5 Potenser

51

Varje kapitel börjar med en ”Vi under­ söker”, en uppgift som leder dig framåt till ny kunskap.

Teorin presenteras så du kan studera på egen hand.

Tiopotensform underlättar beteckningen av tal vars absolutbelopp är stort

E X E MP E L 3

CAS

a) År 2019 var antalet invånare i Japan 1,27 ∙ 108. Skriv invånarantalet i Japan utan tiopotens.

Det kan vara arbetsamt att skriva ut eller uttala stora tal. Därför uttrycker vi oftast dessa tal med hjälp av potenser av talet 10. Till exempel:

b) År 2019 bodde i Japans huvudstad Tokyo cirka 35 miljoner människor.

Skriv Tokyos invånarantal i tiopotensform.

4 538 102 ≈ 4 500 000 = 4,5 ⋅ 1 000 000

Exemplen visar hur du tillämpar ny kunskap.

LÖsnInG

= 4,5 ⋅ 106.

a) 1,27 ⋅ 108

Observera att i beteckningen

Decimalkommat flyttas 8 steg till

= 127 000 000

höger.

4 500 000 = 4,5 · 106 b) 38 miljoner

har vi flyttat decimalkommat 6 steg till vänster.

storA tAL miljon 106 biljon 1012 triljon 1018

= 38 000 000

= 3,8 ⋅ 107

= 3,8 000 000 · 107

I tiopotensformen 4,5 · 106 anger koefficienten 4,5 noggrannheten och potensen 106 storleksordningen.

miljard 109

Decimalkommat flyttas 7 steg till vänster.

sVAr

Tiopotensform

a) 127 000 000

Ett tal i tiopotensform betyder att vi skriver talet på formen

b) 3,8 ⋅ 107

a ⋅ 10n, oBserVerA

I programlådorna finns anvisningar som berör de centrala programfärdig­ heterna. Anvisningarna finns även samlade i slutet av boken.

ProGrAM

Tiopotens på räknaren Vi kan i allmänhet skriva in ett tal i tiopotensform på räknaren med en egen funktion (till exempel E, EE eller EXP).

Till exempel talet 3,74 ∙ 107 kan vi skriva in på räknaren på formen 3.74E7 Med räknaren kan vi skriva stora tal i tiopotensform.

Till exempel talet 1 234 500 000 får på räknaren formen 1.2345E9 eller 1.2345·109.

Ta reda på hur du kan skriva in talet 1 234 500 000 i tiopotensform på din räknare.

54

Uppgifterna är indelade i tre kategorier. Börja med bas­ uppgifterna och välj sedan antingen serie I eller serie II. Du hittar hjälp till bas­ uppgifterna i exempel 1.

5.1 E1

CAS

5.3 CAS

Beteckna potensen och beräkna potensens värde utan räknare. a) talet 7 i kvadrat b) talet −3 upphöjt till 4 c) talet −3 i kubik Skriv potensen som en produkt och beräkna potensens värde utan räknare.

2 3 a) 25 b) 16 c) − 5

( )

Skriv som en potens och beräkna värdet utan räknare. a) 5 ⋅ 5 ⋅ 5 b) (-5) ⋅ (-5) ⋅ (-5) c) (-5) · (-5)

5.9

5.4

Beräkna utan räknare. a) −32 + ( −2)2

b) 12 +

E2

5.5 CAS

5.6 E3

5.7 CAS

58

1 ⋅ ( −4 2 ) 2

Beräkna utan räknare. a) 6 ⋅ ( −3)2 b) 8 − ( −2)3 a) Jordens avstånd från solen är 1,496 ∙ 108 km.

Skriv avståndet utan tiopotens. b) Jordens diameter vid ekvatorn är 12 756 280 m. Skriv diameterns längd i meter i tiopotensform med tre gällande siffrors noggrannhet. c) Man uppskattar att jorden har uppstått för 4,6 miljarder år sedan. Skriv jordens ålder både i tiopotensform och utan tiopotens.

b) ( −5)2 −

( 14 ) ( 52 )

CAS

CAS

E3

2

2

5,8 ⋅1014 2700

d)

2) 2,98 ⋅ 1016 4) 2,15 ⋅ 1011

5) 5,93 ·

1031

6) 1,48 ⋅

Kakbitens energiinnehåll är 9,54 ∙ 105 J. a) En hel chokladkaka väger 670 gram.

Hur stort är energiinnehållet i en hel chokladkaka? b) Av samma chokladkaka skärs en bit vars energiinnehåll är 1350 kJ. Vad väger denna bit av chokladkakan?

välj rätt närmevärde bland alternativen 1–6. a) (3,5 - 9,8)21 2315 b) 3,4 ⋅105

en förening genom att beräkna kvoten av mas­ san m och molmassan M: n = m . Enheten för M substansmängden är mol. En mol av ett ämne innehåller alltid samma antal atomer och mole­ kyler vilket anges av Avogadros tal 6,022 ∙ 1023.

Vatten består av vattenmolekyler och vattnets molmassa är 18,016 g/mol. a) Hur många vattenmolekyler finns det i 200,0 g vatten? Ge svar i tiopotensform. b) I en vattenbehållare finns 2,834 ∙ 1025 vatten­ molekyler. Hur många mol vatten finns det i vattenbehållaren? Hur många gram vatten finns det i vattenbehållaren?

1021

1) -6,54 · 1020

2) 3,58 ⋅ 1010

3) -6,11 ⋅ 1016

4) 7,84 · 1024

5) 7,84 ⋅ 1014

6) 3,58 ⋅ 1038

5.19 Skriv talet som en potens med basen −2 om det

SERIE II

CAS

är möjligt. a) 16 b) -32

c) -64

5 Potenser

Potenser oCH rÖt ter

Repetitionsuppgifter TALMÄNGDER

Välj rätt alternativ. I varje delmoment finns 1–3 rätt alternativ.

SE R IE I

R1.

SE R IE II

CAS

Öva med tanke på fortsatta studier i kort matematik

Öva med tanke på fortsatta studier i lång matematik

K1. Storheterna x och y är direkt proportionella.

L1. Storheterna x och y är direkt proportionella.

K2. Storheterna x och y är omvänt proportionella.

L2. Storheterna x och y är omvänt proportionella.

K3. Enligt ett recept behövs 280 g knackkorv för en

L3. För att tillverka 30 skedbröd behövs 210 g smör

När x = 8 så är y = 10. När x = 4 så är 5 a) y = 20 b) y = 5 c) y = .

4

När x = 8 så är y = 10. När x = 4 så är 5 a) y = 20 b) y = 5 c) y = .

4

korvsoppa till fyra personer. Hur många paket knackkorv behövs för att tillreda en korvsoppa till 27 personer enligt receptet? Ett knackkorvspaket väger 280 g. a) 6 b) 7 c) 8

K4. Väggarna i ett badrum ska beläggas med kakel-

plattor som har formen av kvadrater. Antalet kakelplattor som behövs är omvänt proportionell mot arean av en kakelplatta. Om en kakelplatta har måtten 10 cm ∙ 10 cm så behövs 300 kakelplattor. Hur många kakelplattor behövs om måtten på en kakelplatta är 20 cm ∙ 20 cm? a) 150 b) 75 c) 100

K5. En bostadsförmedlare i Ankeborg kommer

överens om att förmedlingsarvodet är 3200 $ om bostaden säljs 10 dagar efter att annonsen har publicerats. Arvodets storlek är omvänt proportionellt mot tiden som har gått efter att annonsen har publicerats. Hur många dagar hade gått från att annonsen har publicerats när arvodet var 8000 $? a) 3 dagar b) 25 dagar c) 4 dagar

Gamla måttenheter

5.23 I kemin bestämmer vi substansmängden n för

3,4 ⋅10 25 5 c) 9,5 ⋅1014 − 1,2 ⋅10

8,9 ⋅10 20 1,5 ⋅1011

3) 5,93 ⋅ 109

5.22 En bit av en chokladkaka väger 65 g.

Bi,

5.18 Beräkna uttryckets värde med din räknare och

välj rätt närmevärde bland alternativen 1–6. a) 1518 b) (-23,6)12

1) -2,98 · 1016

2 9

Sl år 2017 var 117 miljoner ton Etisk kompetens och (1 t = 1000 kg). Skriv mängden avfall miljökompetens i kilogram och tiopotensform. b) Affärernas och hemhushållens sammanlagda 9 avfallsmängd år 2017 var 3,022 ∙ 10 kg.

Skriv avfallsmängden i ton utan tiopotens.

ett år. Ljusets hastighet är cirka 299 792 000 m/s. a) Beräkna hur långt ett ljusår är i kilometer.

Ge svar i tiopotensform med tre gällande siffrors noggrannhet. b) Alfa Centauri är den tredje starkaste stjär­ nan på vår stjärnhimmel. Dess avstånd från jorden är 4,36 ljusår. Beräkna avståndet från jorden till Alfa Centauri i kilometer.

E4

5.13 Beräkna uttryckets värde med din räknare och

c)

( 12 ) ( 1 −32 )

I materialet för den studerande finns facit till uppgifterna samt i det digitala materialet finns också uppgifternas modellösningar.

5.17 Ett ljusår är den sträcka som ljuset rör sig under

siffrors noggrannhet. a) 4 561 800 b) 23 952 900

Skriv talet i tiopotensform med två gällande siffrors noggrannhet. a) 2 253 000 J (energin i 100 g mjölkchoklad) b) 271 000 J (energin i 100 blåbär)

a) −23 − 4 2 ⋅

3

b) (3 − 2 ⋅ 5)2 −

5.12 Skriv talet i tiopotensform med tre gällande CAS

halv timme. I början av en undersökning är en bakterieodlings massa 3,0 g. Beräkna bakterie­ odlingens massa efter a) tio timmar b) ett dygn efter att man började undersökningen. Ge svar i tiopotensform.

2 ⋅ ( −5)3 5

5.16 a) Den totala mängden avfall i Finland

Repetera: Proportionalitet

I slutet av avsnittet finns flervalsuppgifter med vilka du kan testa ditt kunnande.

a)

E2

ekvationen. a) x2 = x b) x4 = -x

5.21 Massan för en bakterieodling fördubblas på en

− 2 ⋅ ( −3)2

CAS

5.11 Beräkna utan räknare.

b) 4 − 50 ⋅ −

−4 2

5.15 Beräkna utan räknare.

vattenmolekyler i en viss vattenmängd och den har enheten mol. En mol vatten innehåller 6,022 ∙ 1023 vattenmolekyler. a) I en vattenbehållare finns 13 900 mol vatten.

Hur många vattenmolekyler finns det i vattenbehållaren? b) I ett akvarium finns 5,52 ∙ 1027 vatten­ molekyler. Hur många mol vatten finns det i akvariet? Ge svaret utan tiopotens.

a) −8 ⋅ −

CAS

5.14 Beräkna utan räknare.

5.10 Substansmängden av vatten anger mängden

CAS

5.20 Bestäm vilket eller vilka tal som satisfierar

Öva med tanke på fortsatta studier i lång matematik

Proxima Centauri är en röd dvärgstjärna som befinner sig på 4,24 ljusårs avstånd från jorden.

Ett ljusår är den sträcka som ljuset rör sig under ett år. Ljusets hastighet är cirka 299 792 km/s. a) Beräkna hur långt ett ljusår är i kilometer. b) Beräkna avståndet från Proxima Centauri till jorden i kilometer.

E4

Öva med tanke på fortsatta studier i kort matematik

CAS

SE R IE II

Skriv talet utan tiopotens. a) 5,79 ⋅ 107 km (medelavståndet från Merkurius till solen) b) 4,498 ⋅ 109 km (medelavståndet från Neptunus till solen)

SE R IE I

CAS

Serie II är en mera krävande serie som innehåller uppgifter med tanke på fortsatta studier i lång matematik. I början av serien finns hänvisningar till exempel som hjälper dig i arbetet.

5.8 CAS

BA SUPPG IF TE R CAS

55

5 Potenser

Potenser oCH rÖt ter

Börja med basuppgifterna och välj sedan antingen serie I eller serie II.

5.2

Serie I är en lättare serie som innehåller uppgifter med tanke på fortsatta studier i kort matematik. I början av serien finns hänvisningar till exempel som hjälper dig i arbetet.

där absolutbeloppet av koefficienten a är åtminstone talet 1 och mindre än talet 10: 1 ≤ |a| < 10. Exponenten n är ett heltal.

För stora tal är exponenten n i tiopotensformen a · 10n ett positivt heltal.

När x = 8 så är y = 36. När y = 9 så är a) x = 2 b) x = 4 c) x = 32.

R2.

När x = 8 så är y = 36. När y = 9 så är a) x = 2 b) x = 4 c) x = 32.

CAS

enligt ett recept. En cateringfirma uppskattar att varje gäst äter två skedbröd. Hur mycket smör behövs om cateringfirman ska tillverka skedbröd enligt receptet till en fest med 200 gäster? a) 2,8 kg b) 1,4 kg c) 0,7 kg

R3.

CAS

R4.

CAS

L4. Intensiteten för ett ljud är omvänt proportionell

mot kvadraten på avståndet till ljudkällan. På en konsert stod Mia först 100 m från orkestern men flyttade sig sedan till en plats 50 m från orkestern.

Hur många procent ökade intensiteten för ljudet från orkestern? a) 4 % b) 200 % c) 300 %

R6.

L6. När x = 6 så är y = 12. Vilken ekvation beskriver sambandet mellan storheterna när storheterna x och y är omvänt proportionella? x 72 a) y = 72x b) y = c) y = 72 x

162

CAS

R8.

CAS

R9.

CAS

Ordna bråken 2 , 5 och 3 i storleksordning 3 9 5 från det minsta till det största utan att använda räknare.

CAS

Beräkna utan räknare.

1 2 a) 5 − 2 2 3 1⋅4−3+1 b) 2 5 5 3 5: −2 c) 9 3 I kattförbundets enkät uppgav två femtedelar av de 140 som svarande att deras favoritkatt var norsk skogskatt, en fjärdedel svarade sibirisk katt och resten siameskatt. Hur många av dem som bevarande enkäten hade siameskatt som sin favoritkatt?

Beräkna med hjälp av räknare och ge svar i form av ett bråk.

3 8 2 a) 2 − : 4 9 3 b) Medelvärdet av det motsatta talet till talet −2 och det inverterade talet till talet 6. c) Kvoten av de inverterade talen till talen 3 och 1 5 .

5 6

161

EKVATIONER R7.

Beräkna utan räknare. a) 25 : 5 - 4 · 2 b) 6 - 3 · (7 - 32 : 2)

( )

R5.

L5. När x = 6 så är y = 12. Vilken ekvation beskriver sambandet mellan storheterna när storheterna x och y är direkt proportionella?

1 72 a) y = 2x b) y = c) y = x 2 x

Anta att a = −8 och b = 3. Beteckna uttrycket och beräkna dess värde. a) Differensen av talen a och b. b) Det motsatta talet till summan av talen a och b. c) Absolutbeloppet av produkten av talen a och b.

Lös ekvationen a) 3 x = 30 − 2 x b) 3( x + 2) − (5 x + 1) = 9 Lös ekvationen 2 x − 3x = 1 .

4 8 Lös ekvationen 6x − 1 = x + 7 x .

5 2 10

59

I slutet av läromedlet finns repetitionsuppgifter för varje avsnitt och två serier med repetitionsuppgifter.

R10. Lös ekvationssystemet. a) b)

{ {

3x + 4 y = 6 6 x − 2 y = −18 2 x + 3 y = 16 −3 x + y = −13

R11. Lös ekvationssystemet

{

x − 3y = 1

5 x − y = 23 a) grafiskt med hjälp av ett geometriprogram med en decimals noggrannhet b) algebraiskt med hjälp av CAS-räknare.

R12. När Svensson under en månad säljer x för-

säkringar så är hens lön 900 + 30x euro. När Larsson, som arbetar i ett konkurrerande försäkringsbolag, under en månad säljer x försäkringar är hens lön 1100 + 25x euro. I februari sålde Svensson och Larsson lika många försäkringar och fick samma lön. Hur många försäkringar sålde de i februari?

R13. Te säljs i 500 grams förpackningar. Kilopriset

för te av sorten Earl Grey är 90 € och för sorten Lapsang Souchong 70 €. Hur ska tesorterna blandas för att priset för en förpackning ska vara 38 €?

REPETITIONSUPPGIFTER

T i l l d i g s o m a n vä n d e r b o k e n

5

Studier i matematik i gymnasiet Studierna i matematik i gymnasiet börjar med ett gemensamt studieavsnitt.

Efter det kan du välja kort eller lång lärokurs i matematik.

Gemensam studiehelhet

MaG1 Tal och ekvationer (2 sp) KORT LÄROKURS

LÅNG LÄROKURS

OBLIGATORISKA STUDIER

OBLIGATORISKA STUDIER

MaB2 Uttryck och ekvationer (2 sp)

MaA2 Funktioner och ekvationer 1 (3 sp)

MaB3 Geometri (2 sp)

MaA3 Geometri (2 sp)

MaB4 Matematiska modeller (2 sp)

MaA4 Analytisk geometri och vektorer (3 sp)

MaB5 Statistik och sannolikhet (2 sp)

MaA5 Funktioner och ekvationer 2 (2 sp)

MaB6 Grunder i ekonomisk matematik (1 sp)

MaA6 Derivata (3 sp)

MaB7 Ekonomisk matematik (1 sp)

MaA7 Integralkalkyl (2 sp) MaA8 Statistik och sannolikhet (2 sp) MaA9 Ekonomisk matematik (1 sp)

NATIONELLT VALFRIA STUDIER

NATIONELLT VALFRIA STUDIER

MaB8 Matematisk analys (2 sp)

MaA10 3D-geometri (2 sp)

MaB9 Statistik- och sannolikhetsfördelningar (2 sp)

MaA11 Algoritmer och talteori (2 sp)

MAT EMAT IIKAN O P INNO T L U KIOSSA

6

ST Ti lUlDIER d i g Is o MA m TaEMA n v äT nIKd eI rG Yb MNASIE oken T

MaA12 Analys och kontinuerlig fördelning (2 sp)

Till vad behövs matematik efter gymnasiet?

Du behöver matematiska färdigheter till exempel vid inträdesförhör till och studier i handelsvetenskaper, naturvetenskaper, medicin och tekniska branscher. Också i studier inom andra områden har du hjälp av matematiska färdigheter. Till exempel i studier i psykologi, pedagogik och samhälls­ vetenskaper är statistiska undersökningsmetoder viktiga. Man kan säga att nästan alla utbildningsprogram innehåller till en viss del matematik. Matematiska färdigheter, och speciellt förmågan att tänka logiskt som studier i matematik för med sig, behövs i många arbetsuppgifter och yrken.

En matematik­ studerande berättar

När du ska välja om du ska läsa lång eller kort lärokurs i matematik så är det viktigt att fundera på inom vilken bransch du kommer att fortsätta dina studier efter det andra stadiet. Du hittar närmare information till exempel på nätsidor för olika utbildningsprogram och av din studiehandledare.

Hållbarhetsberäkningar är en väsentlig del av planeringen av en bro.

Sannolikheter och logik finns i bakgrunden när man gör vårdbeslut.

En företagare behöver många färdigheter i handelsmatematik.

Matematik är mycket vidare än en enbart begrepp och ett matematiskt språk. Det är ett sätt att beskriva världen och man har bara nytta av att behärska matematik."

Mikko ”Pyhimys” Kuoppala

Man kan göra modeller av olika Epidemiologi grundar sig på matemavalsituationer med hjälp av spelteori. tiska modeller och statistik.

De flesta krypteringsmetoderna grundar sig på talteori.

T ILL VAD BE H Ö VST MAT i l l dEMAT i g s oIKmEaF TnER vä n Gd Y MNASIE e r b o k eTn?

7

Talmängder Hur jämför du negativa temperaturer?

(Kapitel 1, uppgift 1.13)

Räcker 15 tabletter till om du måste ge en katt en ¾ tablett två gånger om dagen i tio dagar?

(Kapitel 2, uppgift 2.9)

8

1

Heltal Vi undersöker

GG

1.

Vi kan illustrera räkneoperationer med heltal genom förflyttningar på en tallinje. Figuren nedan illustrerar summan 2 + 3 = 5. +1 –6

–5

–4

–2

–1

0

1

2

3

+1 4

5

6

7

+3

–3

+1

Illustrera räkneoperationerna med hjälp av Geogebra-appleten

a) -4 + 2 b) -5 + (- 2) c) 6-8 d) -9 - (-7).

2. Beräkna utan räknare. Kom ihåg räkneoperationernas ordningsföljd. a) 6 - 2 ⋅ 4 b) (6 - 2) ⋅ 4 3.

Beräkna utan räknare. Fundera först på i vilken ordningsföljd det lönar sig att utföra räkneoperationerna. a) 17 + 28 + 13 b) 5 ⋅ 7 ⋅ 20

1 H e lta l

9

Summan och differensen av heltal är heltal I det här avsnittet repeterar vi några talmängder samt räkneoperationerna med tal.

Naturliga tal OBSERVERA Vi betecknar en talmängd genom att räkna upp den i en vågparentes. De tre punkterna på slutet anger att talmängden innehåller oändligt många tal.

Talen 0, 1, 2, 3, … är naturliga tal.

Vi betecknar mängden av naturliga tal med symbolen N.

N = {0, 1, 2, 3, …}

Summan m + n och produkten m · n av två naturliga tal m och n är alltid ett naturligt tal men differensen m – n är inte alltid ett naturligt tal. Till exempel 5 – 8 är inte ett naturligt tal. När vi inför de negativa talen får vi en talmängd där också differensen 5 – 8 = − 3 är definierad.

Heltal BETECKNINGARNAS URSPRUNG

Talen …, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, … är hela tal (heltal).

Beteckningen N kommer från det engelska ordet natural, naturlig.

Vi betecknar mängden av hela tal med symbolen Z.

Beteckningen Z kommer från de tyska orden Zahl, tal.

10

TA L M Ä N G D E R

Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}

Varje tal motsvaras av ett annat tal så att summan av dessa två tal är 0.

Motsatta tal Två tal vars summa är noll är varandras motsatta tal.

Det motsatta talet till talet a betecknas –a.

a + (-a) = 0

Talen 7 och −7 är varandras motsatta tal eftersom 7 + (−7) = 0.

OBSERVERA -(-a) = a

Det motsatta talet till talet −7 betecknas –(−7). Å andra sidan är talet 7 det motsatta talet till tal −7 vilket ger –(−7) = 7.

Absolutbelopp Absolutbeloppet av ett tal anger avståndet mellan talet och talet noll på tallinjen.

Vi betecknar absolutbeloppet av talet a med |a|.

För icke-negativa tal är talets absolutbelopp talet självt, till exempel |5| = 5, |201| = 201 och |0| = 0, medan för negativa tal är talets absolutbelopp detsamma som det motsatta talet, till exempel |–5| = 5 och |–201| = 201.

Ett tal och dess motsatta tal ligger lika långt från talet noll på tallinjen vilket medför att deras absolutbelopp är desamma. Till exempel är absolut­ beloppet 7 av både talet −7 och dess motsatta tal 7. |–7| = 7

–7

|7| = 7 0

7

Mellan addition och subtraktion gäller ett samband. Vi alltid kan skriva en subtraktion med hjälp av addition av motsatt tal. a - b = a + (-b)

Till talet a adderas b:s motsatta tal –b.

3 - 7 = 3 + (-7)

Till talet 3 adderas det motsatta talet till talet 7 dvs. talet −7.

3 - (-7) = 3 + 7

Till talet 3 adderas det motsatta talet till talet −7 dvs. talet –7.

1 H e lta l

11

E X E M PEL 1

CAS

Beräkna utan räknare. a) -2 - 5 b) -4 - (-12)

LÖSNING a) -2 - 5 = -7

Vi subtraherar talet 5 från talet −2, dvs. vi flyttar oss 5 enheter till vänster på tallinjen.

–5 –7

TECKENREGLER NÄR MAN AVLÄGSNAR PARENTESER +(–b) = –b

b) -4 - (-12) = -4 + 12 =8

–2

0

Vi adderar talet 12 till talet −4, dvs. vi flyttar oss 12 enheter till höger på tallinjen. +12

–(–b) = +b –4

SVAR a) -7 b) 8

12

TA L M Ä N G D E R

0

8

E X EM P EL 2

CAS

Beteckna och beräkna utan räknare. a) Det motsatta talet till talet −11. b) Absolutbeloppet av talet 32. c) Absolutbeloppet av summan av talen −9 och 3.

LÖSNING a) -(-11) = 11

Vi betecknar det motsatta talet till ett tal genom att sätta ett minustecken framför talet.

b) |32| = 32

Absolutbeloppet av ett tal anger avståndet från talet till talet noll på tallinjen.

c) |(-9) + 3|

Vi beräknar först summan.

Absolutbeloppet av ett tal anger avståndet från talet till talet noll på tallinjen.

= |-6| =6

SVAR a) 11 b) 32 c) 6

1 H e lta l

13

Vi kan ändra ordningsföljden på räkneoperationerna med hjälp av parenteser Mellan multiplikation och addition finns ett samband. Vi kan definiera multiplikation med ett naturligt tal med hjälp av upprepad addition. m ⋅ n = n + n +…+ n m likadana tal som adderas

3⋅5 = 5+5+5 3 likadana tal som adderas

För addition och multiplikation av tal gäller följande räknelagar: 1. Kommutativa lagen Vid addition kan vi ändra termernas ordningsföljd och vid multiplikation faktorernas ordningsföljd. m + n = n + m 3 + 5 = 5 + 3 m ⋅ n = n ⋅ m

3⋅5=5⋅3

2. Associativa lagen Vid addition kan vi fritt gruppera termerna som ska adderas och vid multiplikation faktorerna som ska multipliceras. Dvs. vi kan beräkna delsummorna och delprodukterna i vilken ordning vi vill. (m + n) + p = m + (n + p)

(3 + 5) + 4 = 3 + (5 + 4)

(m ⋅ n) ⋅ p = m ⋅ (n ⋅ p)

(3 ⋅ 5) ⋅ 4 = 3 ⋅ (5 ⋅ 4)

3. Distributiva lagen Vi kan multiplicera termerna enskilt med den gemensamma faktorn och omvänt kan vi bryta ut den gemensamma faktorn.

p ⋅ (m + n) = p ⋅ m + p ⋅ n

4 ⋅ (3 + 5) = 4 ⋅ 3 + 4 ⋅ 5

4 ⋅ 3 + 4 ⋅ 5 = 4 ⋅ (3 + 5)

14

TA L M Ä N G D E R

Teckenregler för multiplikation och division Produkten och kvoten av två tal med samma tecken är positiv.

Produkten och kvoten av två tal med olika tecken är negativ.

Av dessa regler följer att en produkt eller en kvot är • p ositiv om antalet negativa faktorer är jämnt.

-1 ⋅ (-2) ⋅ (-2) ⋅ (-3) = 2 ⋅ 6 = 12

• n egativ om antalet negativa faktorer är udda.

-1 ⋅ (-2) ⋅ 2 ⋅ (-3) = 2 ⋅ (-6) = -12

I övningsuppgift 1.26 ska vi bevisa att av räknelagarna följer sambandet -a = -1 · a med vars hjälp vi kan motivera teckenreglerna ovan.

3 ⋅ 5 = 5 + 5 + 5 = 15 -3 ⋅ 5 = -1 ⋅ 3 ⋅ 5 = -(3 ⋅ 5) = -15 3 ⋅ (-5) = (-5) + (-5) + (-5) = -15 -3 ⋅ (-5) = -1 ⋅ 3 ⋅ (-5) = -(3 ⋅ (-5)) = 15

Produkten −3 ∙ 5 är det motsatta talet till produkten 3 ∙ 5.

Produkten −3 ∙ (−5) är det motsatta talet till produkten 3 ∙ (−5).

Räkneoperationernas ordningsföljd Om ett uttryck innehåller flera räkneoperationer, så gäller följande ordningsföljd: 1. Räkneoperationer inom parenteser 2. Potenser och rötter 3. Multiplikationer och divisioner från vänster till höger.

4. Additioner och subtraktioner från vänster till höger.

1 H e lta l

15

E X E M PEL 3

CAS

Beräkna utan räknare. a) -3 ⋅ 8 : (-4) b) 5 ⋅ 6 - (48 : 2 + 4) + 7

LÖSNING a) -3 ⋅ 8 : (-4)

Produkten −3 ∙ 8 är negativ.

= -24 : (-4)

Kvoten −24 : (−4) är positiv.

=6

b) 5 ⋅ 6 - (48 : 2 + 4) + 7

= 5 ⋅ 6 - (24 + 4) + 7

Vi adderar termerna inne i parentesen.

= 5 ⋅ 6 - 28 + 7

Vi beräknar produkten.

= 30 - 28 + 7

Vi adderar och subtraherar från vänster till höger.

=2+7 =9

SVAR a) 6 b) 9

16

TA L M Ä N G D E R

Vi beräknar kvoten inne i parentesen.

E X EM P EL 4

CAS

Beräkna utan räknare. a) 97 + 72 + 103 b) 3 · 4 ⋅ 31 ⋅ 25 c) 25 ⋅ 23

LÖSNING För att underlätta huvudräkningen kan vi utnyttja den kommutativa, den associativa och den distributiva lagen. Vi kan utföra beräkningarna till exempel på följande sätt. a) 97 + 72 + 103

= 97 + 103 + 72

Vi byter ordningsföljden på talen 72 och 103 (kommutativa lagen).

Vi beräknar summan 97 + 103.

= 200 + 72 = 272 b) 3 · 4 ⋅ 31 ⋅ 25

= 3 · 31 ⋅ 4 ⋅ 25

Vi byter ordningsföljden på talen 4 och 31 (kommutativa lagen).

Vi beräknar produkterna 3 ∙ 31 och 4 ∙ 25 (associativa lagen).

= 93 · 100 = 9300 c) 25 ⋅ 23

Vi skriver talet 23 som summan 20 + 3.

= 25 ⋅ (20 + 3)

Vi avlägsnar parentesen (distributiva lagen).

= 25 ⋅ 20 + 25 ⋅ 3

Vi beräknar produkterna.

Vi beräknar summan.

= 500 + 75 = 575

SVAR a) 272 b) 9300 c) 575

1 H e lta l

17

Börja med basuppgifterna och välj sedan antingen serie I eller serie II.

BA SUPPG IF TE R 1.1 Beräkna utan räknare.

CAS a) -8

-3 -1 - (-6) E1 b)

CAS a) 16 + 857 + 84 b) 5 ⋅ 92 ⋅ 20 E4 c) 75 ⋅ 102

1.10 Tina beräknade en produkt utan räknare på CAS

1.2 Beräkna utan räknare.

CAS a) 8 + (-12)

c) -10 - 6

1.9 Beräkna utan räknare.

b) -6 + (-7) d) -15 - (-3)

1.3 Beteckna och beräkna utan räknare.

CAS a) Summan av talen 3 och −7.

b) Differensen av talen 5 och −15.

SE R IE I Öva med tanke på fortsatta studier i kort matematik

1.4 Beteckna och beräkna utan räknare.

CAS a) Det motsatta talet till talet −8. b) Absolutbeloppet av talet −16.

E2 c) Absolutbeloppet av differensen av talen 6 och 9.

1.5 Bestäm det motsatta talet till talet i uppgiften.

Åskådliggör talet och dess motsatta tal på en GG tallinje med hjälp av Geogebra-appleten. a) 15 b) -8 c) 0 d) -2 e) 13

CAS

1.6 Bestäm absolutbeloppet.

CAS a) |19| b) |-5| c) |0| d) |-1| e) |8|

1.7 Beräkna utan räknare.

CAS a) 6 : (-2) ⋅ (-3) b) 2 ⋅ 7 - (16 : 8 - 3) + 5 E3

1.8 Beräkna utan räknare.

CAS a) 4 - 3 ⋅ (2 - 5) b) 5 ⋅ (-1) ⋅ (-8) ⋅ (-2) c) 150 - 50 : (-5) d) -150 : (-5) : (-3)

följande sätt:

99 ⋅ 73 = 100 ⋅ 73 - 1 ⋅ 73 = 7300 - 73 = 7227.

Är Tinas uträkning rätt? Motivera.

1.11 Anta talen 7 och −15. Beteckna och beräkna CAS a) det motsatta talet till talens summa b) summan av talens motsatta tal c) det motsatta talet till absolutbeloppet av talens summa.

1.12 Beräkna utan räknare.

CAS a) 18 - (-3 - 2) b) 16 : (-4) ⋅ 2 : 4 c) 5 + 2 ⋅ (3 - 6 ⋅ 2)

Harjoitellaan suomeksikin!

1.13 a) Eräänä joulukuun yönä lämpötila laski

-4 asteesta -15 asteeseen. Kuinka monta astetta lämpötila laski? b) Seuraavan aamupäivän aikana lämpötila nousi 12 °C. Mikä oli lämpötila tämän jälkeen? c) Päivän aikana lämpötila nousi vielä 7 °C ja tämän jälkeen laski iltaan mennessä 13 °C. Mikä oli lämpötila illalla?

CAS

1.14 I en räknepyramid antecknar vi resultatet av en CAS

räkneoperation i rutan ovanför. Vilket blir talet i den översta rutan? : 24

18

TA L M Ä N G D E R

–4

·

:

· :

–3 ·

–1

Fi

SE R IE II Öva med tanke på fortsatta studier i lång matematik

1.15 Beteckna och beräkna utan räknare.

CAS a) Det motsatta talet till talet −6. b) Absolutbeloppet av talet −13.

E2 c) Absolutbeloppet av differensen av talen −8 och −2.

1.22 Anta att n är ett naturligt tal. Skriv uttrycket och

CAS hyfsa uttrycket när

a) talet n och de två följande heltalen adderas och summan multipliceras med talet 2.

b) talet n och de två föregående heltalen adderas och summan divideras med talet 3.

1.23 Definitionen av räknesättet division grundar sig på multiplikation: m : n = p om n ⋅ p = m. a) Beräkna kvoten 56 : 8 och motivera ditt svar

med hjälp av multiplikation.

b) Fundera på varför kvoten 4 : 0 inte är definierad.

c) Fundera på varför kvoten 0 : 0 inte är definierad.

CAS

1.16 Beräkna utan räknare.

CAS a) -8 : (-2) ⋅ (-3) b) 1 + 3 ⋅ (2 - 16 : 2) - 9 E3

1.17 Beräkna utan räknare.

CAS a) 426 + 97 - 423 b) 25 ⋅ 89 ⋅ (-4) E4 c) 35 ⋅ 99

1.18 Beräkna utan räknare.

1.24 Ge exempel på heltal a och b för vilka absolut­

CAS a) -4 ⋅ (-7) b) 24 : (-4) c) 6 ⋅ (-1) : (-2) ⋅ (-3)

beloppet av talens summa är

a) detsamma som summan av talens absolut­ belopp

b) mindre än summan av talens absolutbelopp.

1.19 Beräkna utan räknare.

1.25 För vilka värden på talet a gäller att

CAS a) 23 - 3 ⋅ 4 : 2 b) -5 · 8 + 2 c) 6 - 2 · (7 - 2 ⋅ 4) d) 10 : (8 - 3 · 2) - 12

a) -a > 0 CAS b) -a < a

c) |a| = -a

d) |a| > -a?

1.20 Ville beräknade en produkt utan räknare på

1.26 Produkten av två positiva tal är positiv. Visa med

CAS

följande sätt:

27 ⋅ 31 = 20 · 30 + 20 · 1 + 7 · 30 + 7 · 1 = 600 + 20 + 210 + 7 = 837.

Är Villes uträkning rätt? Motivera.

CAS

hjälp av det här och räknelagarna att CAS

a) talet −1 ∙ 3 är det motsatta talet till talet 3, dvs. −3 = −1 ∙ 3 b) −a = −1 ∙ a för alla värden på talet a

c) produkten −3 ∙ 4 är negativ

d) produkten ab är negativ när a < 0 och b > 0

e) produkten (−3) ∙ (−4) är positiv

f) produkten ab är positiv när a < 0 och b < 0.

1.21 Beteckna räkneoperationen och beräkna sedan

CAS värdet. a) Dividera det minsta tvåsiffriga naturliga talet med talet två och beräkna sedan medelvärdet av det erhållna talet och det största tvåsiffriga naturliga talet. b) Beräkna absolutbeloppet av differensen av det minsta och det största tvåsiffriga heltalet.

1 H e lta l

19