Pi statistik och sannolikhet blädderex

– matematiikan oppimateriaali yläluokille

matematik

• ohjaa johdonmukaiseen ja täsmälliseen ajatteluun • mahdollistaa eriyttämisen ja yksilöllisen opiskelun • tuo kiireettömyyttä opettamiseen ja oppimiseen

ISBN-13: 978-951-1-21233-1 ISBN-10: 951-1-21233-8 TNO 658L P51

SCHILDTS & SÖDERSTRÖMS

Pii 7, Pii 8, Pii 9 ja Pii Tilastot ja todennäköisyys

matematik

Sarjan osat:

Heinonen Luoma Mannila Tikka Lindgrén Mitts Söderback

• tukee erilaisten työtapojen käyttöä.

Statistik och sannolikhet

Förord www.sets.fi Första upplagan, andra tryckningen 2017 Grafisk planering och omslag: Jan Myller och Venla Koski Omslagsbild: Lehtikuva / Age fotostock / S. T. Yiap Teckningar: Marcus Lindén Fotografier: s. 136 Ombrytning: Venla Koski och Vitale/Jukka Iivarinen Redaktion: Mare Harlevi och Filippa Forsman Det finska originalet: Pii Tilastot ja todennäköisyys, utgivet av Förlagsaktiebolaget Otava © 2006 Martti Heinonen, Markus Luoma, Leena Mannila, Tommi Tikka och Förlagsaktiebolaget Otava, Helsingfors © 2013 Henrik Lindgrén, Harry Mitts, Camilla Söderback och Schildts & Söderströms Fondernas samarbetsgrupp, som består av Svenska kulturfonden, Svenska folkskolans vänner, Föreningen Konstsamfundet och Lisi Wahls stiftelse för studieunderstöd, har beviljat författarna stipendium för arbetet med detta läromedel.

Villkor för kopiering Det här verket är en lärobok. Verket är skyddat av upphovsrättslagen (404/61).

För att fotokopiera, skanna eller på annat sätt digitalt kopiera det här verket eller delar av det krävs rättighets­ havarens tillstånd. Kopiosto beviljar licenser för partiell kopiering av verk.

Kontrollera era giltiga licenser för fotokopiering och digitala licenser.

Mer information lämnas av Kopiosto r.f. www.kopiosto.fi.

Det är förbjudet att ändra verket eller delar av det.

ISBN 978-951-52-2965-6

Pi är en serie läroböcker i matematik för årskurserna 7–9 i grundskolan. Serien består av fyra delar, Pi 7, Pi 8, Pi 9 samt Pi Statistik och sannolikhet.

Läroböckerna Pi 7, Pi 8 och Pi 9 har planerats för tre årsveckotimmar. Varje bok är indelad i tre delar och varje del motsvarar en årsveckotimme, dvs. en kurs om under­visningen är kursformad. Denna bok, Pi Statistik och sannolikhet omfattar stoff för en årsveckotimme och den är inte bunden till någon speciell årskurs utan kan användes flexibelt i enlighet med skolans läroplan.

Boken har 12 kapitel som behandlar nytt stoff. Utöver dessa finns det 2 repetitionsavsnitt, ett i mitten och ett i slutet.

Kapitlen innehåller teori med belysande exempel samt rikligt med övningsuppgifter av olika svårighetsgrad. De många exemplen hjälper dig att tillämpa den nya kunskapen i uppgifterna och ger dig samtidigt modeller för ditt arbete i häftet. Övningsuppgifterna är indelade i tre svårighets­grader: basuppgifter, fördjupande uppgifter och tillämpnings­uppgifter.

Varje kapitel avslutas dessutom med uppgifter som kan användas som hemuppgifter. Facit finns till alla uppgifter.

Lycka till med dina matematikstudier!

Henrik Lindgrén Harry Mitts Camilla Söderback

3

Statistik och sannolikhet 1 Att tolka bilder och diagram . . . . . . . . . . .

4

2 Att dela helheter i delar . . . . . . . . . . . . . .

16

3 Att samla in data och göra upp tabeller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

4 Att rita diagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

5 Klassindelning och diagram . . . . . . . . . . .

40

6 Lägesmått . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

7 Spridningsmått . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

8 Repetition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67

9 Kombinatorik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

72

10 Sannolikhet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

80

11 Klassisk sannolikhet . . . . . . . . . . . . . . . . . .

88

12 Problemlösning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

94

13 Projektarbete i statistik . . . . . . . . . . . . . .

102

14 Repetition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

106

Facit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

109

Sakregister . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

136

Linjediagram • Cirkeldiagram • Stapeldiagram • Histogram • Ålderspyramid • Andra typer av diagram Att rita cirkeldiagram

Population och stickprov

Att presentera tabeller • Statistik i vardagen Olika breda klasser

Medelvärde • Median • Typvärde

Spridning • Variationsområde och variationsbredd • Vilseledande statistik

Produktprincipen • Olika alternativ • Ordningsföljd och delmängder Slumpförsök • Sannolikhet • Empirisk sannolikhet Tärningskast

Välj tema och planera arbetet • Utför arbetet och rapportera • Presentera projektarbeten och utvärdera det • Teman för projektarbeten

T A N K E N Ö T Ett badkar kan fyllas på sex minuter och tömmas på åtta minuter.

Hur lång tid tar det att fylla badkaret om proppen inte är på plats?

4

Att tolka bilder och diagram I tidningar och tv ser vi ofta bilder och diagram som visar viktiga delar av nyheterna på ett snabbt och enkelt sätt. För att göra statistiska uppgifter tydligare använder vi grafiska fram­ ställningar. Exempel på sådana är olika bilder, grafer, diagram och kartor.

1

EXEMPEL

Nedan kan du se en väderprognos för Finland, en prognos som visar regnmängden under den kommande femdygns­ perioden i Finland samt en prognos som visar temperaturen och lufttrycket i Kuopio under det kommande dygnet.

Prognos för regnmängden under den kommande femdygnsperioden (mm)

Temperatur (°C) kl. 18

Temperaturen i Kuopio under det kommande dygnet

Lufttrycket i Kuopio under det kommande dygnet

kl.

De grafiska framställningarna visar till exempel att den lägsta temperaturen i Kuopio under det kommande dygnet kommer att vara 1 °C och den högsta temperaturen 9°C.

Källa: Meteorologiska institutet

1

kl.

1 Att tolka bilder och diagram

Linjediagram EXEMPEL

Diagrammet visar hur befolkningsmängden i Finland förändrades under åren 1750−2005 samt ger en prognos över befolkningsmängden till och med år 2050. Ett sådant här diagram kallas linjediagram.

Befolkning (miljoner)

Källa: Statistikcentralen

2

År

Diagrammet visar exempelvis att Finlands befolkningsmängd hela tiden har ökat sedan år 1750 förutom under några korta tidsperioder. Enligt prognosen kommer befolkningen att vara som störst kring åren 2025−2030, då den kommer att vara ca 5,4 miljoner. Efter detta kommer befolkningsmängden sakta att börja minska. År 1900 hade Finland ca 2,7 invånare och år 2000 ca 5,2 miljoner invånare.

Befolkningsmängden passerade en miljon ungefär år 1810, två miljoner ungefär år 1880 och tre miljoner ungefär år 1910. Fyramiljonersgränsen passerades ungefär år 1950 och femmiljonersgränsen ungefär år 1990.

5

6

Cirkeldiagram 3

EXEMPEL

Lösning

a) Oljans andel av den totala energiförbrukningen är 26 % och naturgasens andel 11 %. b) Kärnkraftens, vattenkraftens och träbränslenas sammanlagda andel är 18 % + 4 % + 19 % = 41 %.

Källa: Statistikcentralen

Cirkeldiagrammet till höger visar den totala energi­ förbrukningen enligt energikälla i Finland år 2005.

Ett cirkeldiagram kan också kallas sektordiagram, eftersom de olika delarna är ritade som sektorer. a) Hur stor är oljans respektive naturgasens andel av den totala energiförbrukningen? b) Hur stor andel utgör kärnkraften, vattenkraften och de träbaserade bränslena tillsammans?

olja träbaserade bränslen kärnenergi naturgas kol torv nettoimport av el vattenkraft övrigt

Stapeldiagram EXEMPEL

Stapeldiagrammet nedan visar invånarantalet i Finlands tio största städer i början av år 2005. Diagrammet visar t.ex. att Helsingfors hade fler invånare än Esbo och Tammerfors tillsammans.

Invånarantal

Björneborg

Kuopio

Jyväskylä

Lahtis

Uleåborg

Åbo

Källa: Statistikcentralen

Höjden på stapeln visar invånar­antalet i ifrågavarande stad.

Vanda

Tammerfors

Esbo

Helsingfors

4

1 Att tolka bilder och diagram

I ett liggande stapeldiagram ritar vi staplarna vågrätt. Diagrammet över invånarantalet i de tio största städerna har då följande utseende: Invånarantal Helsingfors Esbo Tammerfors Vanda Åbo Uleåborg Lahtis Kuopio Jyväskylä Björneborg UPPGIFTERNA

1–13

Histogram EXEMPEL

Stapeldiagrammet visar poängfördelningen i ett nationellt matematikprov.

Relativ andel (%)

Källa: MAOL

5

Poängantal Poängantal

Poängen är indelade i klasser på åtta poäng. Eftersom en klass börjar där före­ gående slutar är det naturligt att rita staplarna utan mellanrum. Ett sådant diagram kallas histogram. Typiska data som vi presenterar med histogram är förutom poängfördelningar, ålders- och längdfördelningar samt förändringar över tid.

Histogrammet visar till exempel att flest elever, dvs. ca 19 %, fick 25−32 poäng.

7

Ålderspyramid 6

EXEMPEL

En ålderspyramid visar antalet personer i olika åldersgrupper.

Diagrammet består av två histogram som är placerade mitt emot varandra. Ålderspyramid över Finlands befolkning år 2005 Åldersgrupp Kvinnor

Källa: Statistikcentralen

Män

Befolkning (tusental)

Ålderspyramiden visar t.ex. följande saker: − I de yngsta åldersgrupperna är kvinnornas andel och männens andel i det närmaste lika stora. − I de äldsta åldersgrupperna är kvinnornas andel större än männens. − Den största åldersgruppen är 55−59-åringar både för kvinnor och för män. − Åldersgruppen 5−9-åringar är större än åldersgruppen 0−4-åringar och ålders­ gruppen 10−14-åringar är större än åldersgruppen 5−9-åringar.

Andra typer av diagram

Förutom de ovan nämnda diagramtyperna kan vi använda också andra typer av diagram och kurvor för att åskådliggöra data.

7

EXEMPEL

Diagrammet visar hur vindhastighet och lufttemperatur inverkar på upplevelsen av kyla. Dra några slutsatser utgående från diagrammet.

Lösning

Vindhastighet (m/s)

8

Kallt

Mycket kallt

Risk för förfrysning

Vi kan se bl.a. att redan vid −5 °C föreligger det risk för förfrysning om vindhastigheten är 16 m/s. Vid −30 °C föreligger det risk för förfrysning redan Temperatur (°C) vid vindhastigheten 2 m/s. Om vind­ hastigheten är 14 m/s och temperaturen −20 °C så känns kylan lika bitande som då temperaturen är −40 °C och vindhastigheten är 4 m/s.

Stor risk för förfrysning

UPPGIFTERNA

14–23

1. Cirkeldiagrammet visar hur mycket energi som användes i Finland år 2003 för olika ändamål. a) För vilket ändamål användes mest energi? b) Hur stor andel av energin användes sammanlagt för uppvärmning och trafik?

c) Vilken var den lägsta temperaturen under dygnet? d) Vid vilken tidpunkt var temperaturen lägst? e) När var temperaturen under 4 °C? f) När steg temperaturen snabbast?

Temperatur (°C)

Uppvärmning

Industri

Kl.

2. Linjediagrammet visar hur aktiekursen för ett börsbolag förändrades under ett år.

Avgör med hjälp av diagrammet a) hur mycket en aktie var värd som mest b) hur mycket en aktie var värd som minst c) när en aktie var mest värd d) när en aktie var minst värd e) hur mycket en akties värde steg under ett års tid.

Värde (€)

Månad

3. Studera linjediagrammet som visar utomhustemperaturen under ett dygns tid och svara på följande frågor: a) Vilken var den högsta temperaturen under dygnet? b) Vid vilken tidpunkt var temperaturen högst?

4. Stapeldiagrammet visar kostnaderna per elev inom grundutbildningen (tusental euro/elev) i olika landskap år 2005.

Svara på följande frågor utgående från diagrammet: a) I vilket landskap var grund­utbildningen billigast? b) I vilket landskap var grundutbildningen dyrast? c) Hur mycket skilde sig kostnaden per elev i det landskap som satsade mest från kostnaderna per elev i det landskap som satsade minst? d) Hur stora var kostnaderna per elev i medeltal i hela landet?

Nyland Egentliga Finland Östra Nyland Satakunta Egentliga Tavastland Birkaland Päijänne-Tavastland Kymmenedalen Södra Karelen Södra Savolax Norra Savolax Norra Karelen Mellersta Finland Södra Österbotten Österbotten Mellersta Österbotten Norra Österbotten Kajanaland Lappland Hela Finland

Källa: Statistikcentralen

Trafik

Källa: Statistikcentralen

Övrigt

Kostnader (tusental euro/elev)

9 ÖVNINGSUPPGIF TER

1 Att tolka bilder och diagram

5. På vilka två olika sätt kan vi rita ett stapeldiagram?

8. Stapeldiagrammet visar antalet olyckor på landsvägarna vid vinter- och sommar­ väglag under åren 1990−2005. Dra tre slutsatser utgående från diagrammet.

6. Studera kartan med temperaturer i exempel 1 på sidan 4 och svara på följande frågor: a) Var kommer tempe­ raturen att vara högst enligt prognosen? b) Var kommer tempe­ raturen att vara lägst enligt prognosen? c) Hur stor är differensen mellan den högsta och den lägsta temperaturen?

Olyckor (st.) sommarväglag

Källa: FNB

vinterväglag

År

7. Linjediagrammet visar hur stor andel av pojkarna och flickorna i åldern 14−18 år som röker dagligen. Statistiken fördes vartannat år under åren 1977−2005.

Använd diagrammet för att svara på följande frågor: a) Vilket år var rökning vanligast bland pojkarna? b) Hur stor andel av flickorna rökte dagligen år 2005? c) Vilket år blev det vanligare med rökning bland flickorna än bland pojkarna? d) Vilka andra slutsatser kan du dra utgående från diagrammet?

9. Linjediagrammet visar hur arbetslöshets­ graden förändrades i några länder under åren 1987−2005. Använd diagrammet för att besvara följande frågor: a) Vilket land hade störst arbetslöshet år 1987? b) Vilket land hade lägst arbetslöshet år 1987? c) Vilket land hade störst arbetslöshet år 2005? d) Vilket land hade lägst arbetslöshet år 2005? e) Hur stor var den högsta arbetslöshets­ graden i Finland? f) I vilket land var den genomsnittliga arbetslöshetsgraden lägst under den här tidsperioden?

Andel (%)

Finland

Sverige

Norge

Storbritannien

Andel (%) pojkar flickor

Källa: FNB

Källa: www.stakes.fi

ÖVNINGSUPPGIF TER

10

År År

0–2 år

3–5 år

6–11 år

Storbritannien Italien Källa: FNB

Frankrike Finland

11

12. Studera diagrammet som visar ban­ profilen för en FM-tävling i skidåkning för damer och besvara följande frågor med hjälp av diagrammet: a) På vilket avsnitt av banan är stigningen brantast? b) Hur stor del av banan är uppförs­backe? c) Vilken punkt på banan är högst? d) Hur stor är höjdskillnaden mellan den högsta och den lägsta punkten på banan?

ÖVNINGSUPPGIF TER

10. Stapeldiagrammet visar hur stor andel av mödrarna i åldern 20−49 år som deltar i arbetslivet i olika europeiska länder.

Mödrarna är indelade i tre klasser enligt yngsta barnets ålder. Tolka diagrammet och dra tre slutsatser utgående från det.

1 Att tolka bilder och diagram

Höjd (m)

Procent av mödrarna

Källa: Helsingin Sanomat

Förändring (%)

Körhastighet (km/h)

Sträcka (m)

13. Linjediagrammet visar hur realpriset för gamla lägenheter i flervåningshus förändrades under åren 1970−2006.

Besvara följande frågor med hjälp av diagrammet: a) När var realpriset för lägenheterna högst? b) När var realpriset för lägenheterna lägst? c) När steg realpriset för lägenheterna snabbast? d) När sjönk realpriset för lägenheterna snabbast?

Index, år 1970 = 100 Källa: Statistikcentralen

11. Stapeldiagrammet visar hur körhastig­ heten påverkar bränsleförbrukningen.

Jämförelse­hastigheten är 80 km/h. Dra tre slutsatser utgående från diagrammet.

År

17. Histogrammet visar hur världshandeln förändrades under åren 1994−2004. Dra tre slutsatser utgående från histogrammet. Årlig förändring (%)

Källa: FNB

14. Histogrammet visar antalet levande födda barn under åren 1990−2005. Besvara följande frågor med hjälp av diagrammet: a) Vilket år föddes det flest barn? b) Vilket år föddes det minst antal barn? c) Hur stor var nativiteten som störst? d) Hur stor var nativiteten som minst? e) Vilka år ökade nativiteten? f) Vilka år minskade nativiteten?

Antal

År

15. Histogrammet visar hur julhandeln i butikerna förändrades från ett år till ett annat under åren 1991−2005. Vilket år a) ökade julhandeln mest b) minskade julhandeln mest c) förändrades julhandeln nästan inte alls?

18. Undersök linjediagrammet, som visar den högsta och den lägsta dygns­ temperaturen i Jyväskylä under januari månad samt den långsiktiga medel­ temperaturen. Vilken var a) den lägsta temperaturen i januari b) den högsta temperaturen i januari c) den långsiktiga medeltemperaturen i slutet av januari?

Temperatur (°C)

Källa: Meteorologiska institutet

Källa: www.stakes.fi

År

högsta lägsta medel

Förändringsprocent (bilhandeln inte medräknad)

Dag i januari

19. Diagrammet visar medeltemperaturen samt maximi- och minimitemperaturen i Kajsaniemi i Helsingfors månadsvis under åren 1900−2000. Dra tre slutsatser utgående från diagrammet.

Källa: Meteorologiska institutet

Källa: FNB

Temperatur (°C)

År

december

november

oktober

september

augusti

juli

juni

maj

april

mars

februari

16. Vad är skillnaden mellan ett stapel­ diagram och ett histogram? januari

ÖVNINGSUPPGIF TER

12

Månad

20. Studera diagrammet i exempel 5 på sidan 7. Dra tre slutsatser utgående från diagrammet.

21. Studera diagrammet i exempel 7 på sidan 8. Dra tre slutsatser utgående från diagrammet.

22. Diagrammet visar det upplevda vädret då både temperaturen och luftfuktigheten beaktas. Dra tre slutsatser utgående från diagrammet.

23. Diagrammen visar ålderspyramiden i Finland åren 2000 och 2025. Dra tre slutsatser utgående från diagrammen. År 2000

Åldersgrupp

Män

Kvinnor

Befolkning (tusental)

År 2025

Åldersgrupp

Luftfuktighet (%)

Män

g ha Be

lig

t

t rm Va

tt He B

e nd ra vä s e

tb ke yc M

Kvinnor

e nd ra vä s e

Temperatur (°C)

T A N K E N Ö T Ett flygplan avgår från Helsingfors kl. 7.00 till orten X där klockan då är 5.00. Planet återvänder till Helsingfors kl. 21.30. Returresan varar 30 minuter längre än turresan och planet står 2 timmar på flygplatsen i X. Vid vilket klock­ slag (lokal tid) avgår planet från X för sin returresa till Helsingfors?

Befolkning (tusental)

13 ÖVNINGSUPPGIF TER

1 Att tolka bilder och diagram

HEMUPPGIFTER

14

25. Undersök temperaturprognosen för Kuopio i exempel 1 på sidan 4 och besvara följande frågor: a) Vid vilket klockslag kommer temperaturen att vara högst? b) Vilken kommer den högsta temperaturen under dygnet att vara? c) Vid vilket klockslag kommer temperaturen att vara lägst? d) Vilken kommer den lägsta temperaturen under dygnet att vara? e) Vid vilket klockslag kommer temperaturen att stiga snabbast? f) Vid vilket klockslag kommer temperaturen att sjunka snabbast?

Övriga specialaffärer

28. Linjediagrammet visar den förväntade livslängden för nyfödda barn under åren 1750−2005. Undersök diagrammet och dra tre slutsatser utgående från det.

Livslängd (år)

Källa: Statistikcentralen

24. Bilden visar en väderprognos för en januaridag. Besvara följande frågor med hjälp av bilden: a) Vilken kommer temperaturen i Helsingfors att vara enligt prognosen? b) Vilken kommer den högsta tempera­ turen att vara enligt prognosen? c) Vilket väder får Sverige enligt prognosen? d) Vilket väder får Italien enligt prognosen? e) Vilken är differensen mellan den högsta och den lägsta temperaturen?

27. Cirkeldiagrammet visar specialaffärs­ kedjornas marknadsandelar år 2004.

Besvara frågorna med hjälp av diagrammet. a) Vilka var de två största specialaffärs­ kedjorna? b) Hur stor marknadsandel hade Gigantti och Markantalo tillsammans? c) Vad är anledningen till att summan av marknadsandelarna är 99 % och inte 100 %?

Källa: FNB

Källa: Meteorologiska institutet

26. Undersök femdygnsprognosen för regnmängden i exempel 1 på sidan 4 och besvara följande frågor: a) Var kommer det att regna mest? b) Var kommer det att regna minst?

kvinnor män

År

Källa: Meteorologiska institutet

Antal

15

32. Linjediagrammet visar medellängden för finländska ungdomar enligt ålder. a) Vilken är medellängden för 14-åriga flickor? b) Vid vilken ålder överskrider pojkarnas medellängd 160 cm? c) I vilken ålder ökar flickornas medellängd snabbast? d) I vilken ålder ökar pojkarnas medellängd snabbast? e) I vilken ålder är flickorna längre än pojkarna?

HEMUPPGIFTER

29. Histogrammet visar antalet stormdagar per år under åren 1990−2005. Vilket år var antalet stormdagar a) högst b) lägst? c) Hur många stormdagar per år var det i medeltal?

1 Att tolka bilder och diagram

Längd (cm)

30. Histogrammet visar hur bruttonational­ produkten i världen förändrades från år till år under åren 1994−2004. Dra tre slutsatser utgående från histogrammet.

medellängden för unga män medellängden för unga kvinnor

Källa: Statistikcentralen

År

Ålder (år)

År

31. Undersök prognosen för lufttrycket i Kuopio i exempel 1 på sidan 4. Vid vilken tidpunkt kommer lufttrycket enligt prognosen att vara a) högst b) lägst c) stigande d) sjunkande?

33. Linjediagrammet visar hushållens realinkomster och inkomstskillnader under åren 1987−2004. Värdena för år 1987 har fått jämförelsetalet 100. När a) minskade inkomsterna b) minskade inkomstskillnaderna c) ökade inkomsterna d) ökade inkomstskillnaderna?

Index, år 1987 = 100

inkomster inkomstskillnader

År

Källa: Statistikcentralen

Källa:FNB

Årlig förändring (%)

16

2

Att dela helheter i delar När det gäller statistik behöver vi ofta veta hur stor del en grupp utgör av hela populationen, dvs. av samtliga som ingår i våra data.

Vi kan ange delar i bråkform, som decimaltal eller i procentform.

1

EXEMPEL

Hur stor del av figuren är färglagd? Ge svaret i bråkform. a)

b)

c)

d) e) f)

Lösning

2

3 5 d) 8 a)

2

(2

1 2 b) 6 = 3 (2

e)

4 2 = 6 3

7

10 9 f) = 1 dvs. hela figuren 9

c)

EXEMPEL

Julia skrev ett kemiprov som innehöll 12 flervalsfrågor. Hon svarade rätt på 10 frågor. Hur stor del av frågorna besvarade Julia a) rätt b) fel? Ge svaren i bråkform och i procentform avrundat till närmaste hela procent.

Lösning 5

10 5 a) = = 0,8333… ≈ 0,83 = 83 % 12 6 6

1

1 2 b) = = 0,1666… ≈ 0,17 = 17 % 6 12 6

Kontroll: 83 % + 17 % = 100 %

Vi omvandlar decimaltalet till procentform genom att multiplicera med 100.

Då flyttas decimal­ kommat två steg till höger.

2 Att dela helheter i delar

3

EXEMPEL

I en basketmatch fick laget BK Vargarna 14 straffkast av vilka 9 gav poäng.

Laget IF Järvarna fick 18 straffkast av vilka 11 gav poäng.

Vilket av lagen klarade sig relativt sett bäst i straffkasten?

Lösning

Andelen lyckade straffkast för BK Vargarna: lyckade kast 9 = = 0, 6428K ≈ 0, 64 = 64 % kast sammanlagt 14 Andelen lyckade straffkast för IF Järvarna:

BK Vargarna hade en större andel lyckade kast.

lyckade kast 11 = = 0,, 6111K ≈ 0, 61 = 61 % kast sammanlagt 18 BK Vargarna klarade sig relativt sett bättre i straffkasten.

UPPGIFTERNA

34–50

Att rita cirkeldiagram

Vi använder cirkeldiagram för att visa hur en helhet fördelas på olika delar.

Delarna anges vanligen i procent och deras summa är 100.

4

EXEMPEL

Malin sover i medeltal 8 timmar per dygn, arbetar 9 timmar och använder resten av dygnet till fritid. Räkna ut procentandelarna för de olika aktiviteterna under dygnet med en procents noggrannhet. Rita ett cirkeldiagram som åskådliggör vad Malin gör under ett dygn.

Lösning

Vi använder en 24 timmars urtavla som hjälp för att rita diagrammet.

Vi räknar ut andelarna i procent.

8 Sömn 24 = 0, 333K ≈ 0, 33 = 33 % 9 Arbete 24 = 0, 375 ≈ 0, 38 = 38 % 7 Fritid 24 = 0, 291K ≈ 0, 29 = 29 %

Fritid

Sömn

Arbete

17

18 5

EXEMPEL

bröd- och spannmålsprodukter

Cirkeldiagrammet visar fördelningen av hushållens utgifter för livsmedel år 2004. Vilka var de fyra största utgiftsposterna och hur många procent av utgifterna stod de för sammanlagt? Vilken var den sammanlagda andelen för de övriga fem sektorerna?

kött fisk mjölk, ost, ägg Källa: FNB

fett och oljor

Den största utgiftsposten var kött (19,6 %). Näst mest pengar gick åt till frukt, bär, grönsaker, rotfrukter, potatis och potatisprodukter (18,4 %), där näst till mjölk, ost och ägg (17,9 %) samt till bröd- och spannmåls­ produkter (17,1 %). Den sammanlagda andelen för de här fyra grupperna var 73,0 %. Andelen för de övriga fem sektorerna var 100 % – 73,0 % = 27,0 %.

bröd- och spannmålsprodukter fisk mjölk, ost, ägg fett och oljor frukt, bär, grönsaker, rotfrukter, potatis och potatisprodukter

socker, sylt, honung, sötsaker, o.dyl. övrigt

EXEMPEL

Tabellen visar hur jordens befolkning var fördelad enligt världsdel år 2005. Rita ett cirkeldiagram som beskriver fördelningen av befolkningen.

Världsdel Afrika Asien Europa Nordamerika Oceanien Sydamerika Sammanlagt

Lösning

övrigt

kött

alkoholfria drycker

Andel av befolkningen (%) 13,3 60,6 12,0 7,9 0,5 5,7 100

Eftersom en hel cirkel är 360 grader motsvarar 1 % 360° = 3,6°. en medelpunktsvinkel av storleken 100 Vi ritar cirkeldiagrammet.

Afrika: 13,3 · 3,6° ≈ 48° Vi åskådliggör andelarna med 360° sektorer där medelpunktsvinkelns = 60,6 · 3,6° ≈ 218° Asien: 60,6 · storlek motsvarar den procentuella 100 andelen.

Europa: 12,0 · 3,6° ≈ 43° Europa Nordamerika: 7,9 · 3,6° ≈ 28° NordOceanien: 0,5 · 3,6° ≈ 2° amerika Sydamerika: 5,7 · 3,6° ≈ 21° Oceanien

Kontroll: 218° + 48° + 21° + 43° + 2° + 28° = 360°

socker, sylt, honung, sötsaker, o.dyl. alkoholfria drycker

Lösning

6

frukt, bär, grönsaker, rotfrukter, potatis och potatisprodukter

Sydamerika Asien Afrika UPPGIFTERNA

51–60

34. Hur stor del av figuren är blå? a) b)

c)

d)

35. Hur stor del av figuren är grön? a) b)

c)

36. I en fotbollsmatch fick ett lag 11 hörnsparkar av vilka 2 resulterade i mål.

Hur stor del av hörnorna a) resulterade i mål b) resulterade inte i mål?

37. I en basketmatch kastade Mimmi 9 straffkast och gjorde poäng på 5 av dem medan Kajsa kastade 12 straffkast och gjorde poäng på 7 av dem. Vem av flickorna hade bäst träffsäkerhet?

38. Hur stor del av figuren är färglagd?

Ge svaret i bråkform och procentform. a) b)

d)

c)

e) f)

19 ÖVNINGSUPPGIF TER

2 Att dela helheter i delar

ÖVNINGSUPPGIF TER

20

39. Filip singlade slant 400 gånger och fick krona 208 gånger. Hur många procent av försöken gav a) krona b) klave?

45. Rita av figuren i ditt häfte och färglägg 1 11 7 a) b) c) 2 18 7.

40. Hur stor del av en full vinkel utgör a) en rak vinkel b) en rät vinkel c) 30° d) 5°?

46. Hur stor del av figuren är blå?

41. Skriv i procentform. Avrunda ditt svar till närmaste hela procent.

3 1 4 a) b) c) 8 3 7 42. Pia gör en saftblandning genom att blanda saftkoncentrat och vatten i förhållandet 1 : 4. Hur många procent vatten innehåller saftblandningen?

47. Beräkna som huvudräkning. a) 1 % av 150 euro b) 50 % av 6 timmar c) 25 % av 10 kilogram d) 100 % av talet 200 e) 10 % av 59 euro f) 75 % av 8 minuter

43. Finland fick brons i världsmästerskapet i ishockey för ungdomar under 20 år 2006.

Totalt sett har Finland fått 12 medalj­er i ungdomarnas världsmäster­skap under åren 1977–2006. Beräkna i hur många procent av de årligen åter­kommande VM-tävlingarna Finland a) har fått medalj b) inte har fått medalj.

48. Beräkna med miniräknare och avrunda till samma noggrannhet som utgångs­ värdet. a) 15 % av 49,50 euro b) 16,5 % av 24 timmar c) 76 % av 67 kilogram d) 45,5 % av talet 120 e) 1,25 % av 456,25 euro f) 0,5 % av 860 gram

44. I en kommun bor invånarna i de bostads­ typer som tabellen visar. Beräkna den procentuella andelen för varje bostadstyp med en decimals noggrannhet.

49. En chokladtillverkare anger närings­ innehållet i 100 gram av en choklad­ produkt. Produkten säljs i 57 grams förpackningar. Hur mycket a) fett Innehåll per 100 gram b) kolhydrater – energi 1 926 kJ c) energi – proteiner 7,2 g innehåller – kolhydrater 63,2 g förpackningen?

Bostadstyp enfamiljshus radhus flervåningshus övrig Sammanlagt

Antal 1 982 433 87 59 2 561

– fett

19,9 g

51. Rita ett cirkeldiagram som visar fördelningen. a) A: 50 % och B: 50 % b) A: 50 %, B: 25 % och C: 25 % c) A: 25 %, B: 25 %, C: 25 % och D: 25 % 52. Tabellen visar hur en studerandes utgifter fördelas enligt ändamål. Rita ett cirkel­ diagram som visar fördelningen av utgifterna. Ändamål mat studier kläder fritid transport övrigt Sammanlagt

Andel (%) 20 12 15 23 12 18 100

21

53. En skönhetssalong erbjuder följande behandlingar: ansiktsbehandling, kropps­ behandling, manikyr och pedikyr samt specialbehandling. En vecka utförde salongen behandlingar enligt följande fördelning:

ÖVNINGSUPPGIF TER

50. Patrik har 25 marmorkulor i en påse.

Av kulorna är 9 blåa och resten gråa. a) Hur många gråa kulor ska Patrik ta bort ur sin påse för att de blåa kulornas andel ska vara hälften? b) Hur många blåa kulor ska Patrik lägga till i sin påse för att de blåa kulornas andel ska vara hälften?

2 Att dela helheter i delar

Behandling ansiktsbehandlingar kroppsbehandlingar manikyr och pedikyr specialbehandlingar Sammanlagt

Andel (%) 42 12 29 17 100

Presentera tabellen i ett cirkeldiagram.

54. Det pris som hushållen betalar för el består av följande delar: produktion 33 %, distribution 35 %, försäljning 6 %, energiskatt 8 % och mervärdesskatt 18 %.

Rita ett cirkeldiagram som visar elprisets sammansättning enligt de olika kategorierna.

55. I ett akvarium finns det 3 ciklider, 21 kardinaltetror, 6 stjärtfläckiga pansarmalar, 2 metallpansarmalar och 1 skäggmunsmal. Rita ett cirkeldiagram som visar de olika fiskarnas andel.

ÖVNINGSUPPGIF TER

22

56. Av de finskspråkiga böcker som utgavs i Finland år 2004 var 7 225 skönlitterära böcker och 1 227 faktaböcker. Av de böcker som översatts till finska var 2 007 skönlitterära böcker och 101 faktaböcker. a) Hur stor del av de finskspråkiga böckerna var faktaböcker? b) Hur stor del av de utgivna böckerna var översatta till finska?

59. Hur stor del av figuren är färglagd?

Ge andelen också i procentform. a) b)

c)

d)

60. Hur stor del av figuren är färglagd? a) b) 57. Rita cirkeldiagram som beskriver situationen i föregående uppgift.

58. I slutet av år 2004 hade 4 802 754 av Finlands invånare finska som modersmål, 285 176 hade svenska som modersmål och 1 714 hade samiska som modersmål.

Dessutom fanns det 38 621 invånare som hade något annat modersmål. Åskådliggör andelarna med hjälp av ett cirkeldiagram.

T A N K E N Ö T Hur stor del av figuren är färglagd?

Motivera ditt svar. a) b)

c)

d)

c)

d)

e)

f)

2 d) 4

62. Hur många procent är a) hälften av ett tal b) en fjärdedel av ett tal c) talet självt d) tre femtedelar av ett tal?

63. Hur många procent av figuren är färglagd? a) b)

c)

d)

64. Hur många procent av veckodagarna är skoldagar?

65. I en basketmatch kastade Markus 15 straff­k ast av vilka 11 gav poäng medan Joel kastade 23 straffkast av vilka 17 gav poäng. Vem av pojkarna lyckades bättre i sina straffkast?

66. Hur stor del utgör den lilla mörkgröna kvadraten av den stora kvadraten? Motivera ditt svar.

67. Diagrammet visar hur exporten från ett land fördelades mellan olika varor. a) Vilken vara exporterades mest? b) Hur stor del av exporten utgjordes av ris? c) Hur stor del av exporten utgjordes av bomull, ylle och ris tillsammans? bomull 26 %

övrigt 21 %

kött 14 %

ylle 5 % tobak 7 % fruktsaft 9 %

te 5 % ris 13 %

68. Tabellen visar hur lån som beviljats för företagsverksamhet fördelades mellan olika verksamhetsområden år 2005. Rita ett cirkeldiagram som beskriver lånens fördelning.

Verksamhetsområde tjänster förädling primärproduktion ospecificerat Sammanlagt

Andel (%) 55,6 30,6 10,2 3,6 100

Källa: FNB

61. Skriv i procentform.

3 1 2 a) 100 b) 10 c) 5

69. Ett bröd kostar 2,80 euro i butiken.

Cirkeldiagrammet visar hur stor del av summan olika sektorer får. Beräkna sektorernas andel i euro och cent. spannmål kvarnen övriga råvaror bageriet butiken skatter

70. Det hushållsarbete som utfördes i Finland år 2001 (för sammanlagt 81,7 miljarder euro) fördelades enligt följande:

Verksamhet bostadsskötsel matlagning klädvård vårdarbete skötsel av husdjur frivilligarbete Sammanlagt

Md € 38,4 23,4 6,6 5,3 2,6 5,4 81,7

a) För vilken summa utfördes hushålls­ arbete inom bostadsskötsel och matlagning sammanlagt? b) Hur många procent utgjorde kläd­ vårdens andel av allt hushållsarbete? c) Hur stor del av allt hushållsarbete utgjorde bostadsskötsel och matlagning sammanlagt? d) Rita ett cirkeldiagram som visar hur hushållsarbetet fördelades mellan olika sektorer.

HEMUPPGIFTER

23