Ma5 Lång blädderex

Janan Suora,keskinormaali joka kulkee janan keski-

pisteenjoka kautta ja onjanan janaa keskivastaan Suora, kulkee Janan keskinormaali kohtisuorassa, janan pisteen kautta jaonon janaakeskinormaali. vastaan Suora, joka kulkee janan keskikohtisuorassa, keskinormaali. pisteen onjanan janaa vastaan Piste onkautta jananjaon keskinormaalilla

y SCHILDTS & SÖDERSTRÖMS y

kohtisuorassa, on janan täsmälleen silloin, kunkeskinormaali. se on yhtä

Piste on janan keskinormaalilla kaukana janankeskinormaalilla päätepisteistä.

Piste on janan täsmälleen silloin, kun se on yhtä täsmälleen silloin, kun se on yhtä kaukana janan päätepisteistä. kaukana janan päätepisteistä.

Ma5 ESIMERKKI 3

x

LÅNG

x

x

Analytisk geometri

ovat kartan koordinaatiston pisteissä EOmakotitalon S I M E R K K I sadevesikaivot 3 ESIMERKKI 3

A(-7, 5) ja B(-2, 3), ja pääviemäri pitkin x-akselia.

Omakotitalon sadevesikaivot ovat kartankulkee koordinaatiston pisteissä KaivoistaA(-7, vedetään pääviemärin pisteeseen, jokaKaivoison yhtäpisteissä kaukaOmakotitalon sadevesikaivot ovat kartan 5) ja yhdysputket B(-2, 3), ja pääviemäri kulkee pitkinkoordinaatiston x-akselia. na Missä pisteessä yhdysputket kohtaavat? ta kummastakin vedetään pisteeseen, joka on yhtä kaukaA(-7, 5) ja yhdysputket B(-2,kaivosta.

3), japääviemärin pääviemäri kulkee pitkin x-akselia.

Kaivois-

na kummastakin kaivosta. Missä pisteessä yhdysputket kohtaavat? ta vedetään yhdysputket pääviemärin pisteeseen, joka on yhtä kaukaR AT K A I S U na Rkummastakin kaivosta. Missä pisteessä yhdysputket kohtaavat?

AT K A I S U

Pääviemärin liitoskohta on janan AB keskinormaalin ja x-akselin Pääviemärin liitoskohta on janan AB keskinormaalin ja x-akselin Muodostetaan keskinormaalin ja ratkaistaan R leikkauspiste.

AT K A I S U leikkauspiste. Muodostetaan keskinormaalin yhtälöyhtälö ja ratkaistaan leikkauspiste. leikkauspiste.

Pääviemärin liitoskohta on janan AB keskinormaalin ja x-akselin y ykeskinormaalin yhtälö ja ratkaistaan leikkauspiste.

Muodostetaan A(–7,5) 5) A(–7, CC leikkauspiste.

B(–2, 3)

B(–2, 3)

A(–7, 5) C

1

1x

B(–2, –1 3)

y

x

–1

Janan AB päätepisteet ovat A(-7, 5) ja B(-2, 3). Määritetään janan 1 keskipiste. x Janan AB päätepisteet ovat A(-7, 5) ja B(-2, 3). Määritetään janan

keskipiste.

-7 + ( -2) 5 + 3 –1 , ) C =( 2

2

Sijoitetaan pisteiden koordinaatit x +x y +y kaavaan ( 1 2 , 1 2 ) .

2 2 Sijoitetaan pisteiden koordinaatit

-79 + ( -2) 5 + 3 ) C ==(( - 2 , 4) , x + x 2 y1 + y 2 2 ovat A(-7, 5)kaavaan Janan AB 2päätepisteet ja B(-2, ( 13). Määritetään , ) . janan 2 2 9 keskipiste. = ( - AB, 4) Janan 2 kulmakerroin on 3-5 2 k1 =-7 + ( -2)= -5 + .3 5 2 ( 7) , ) on CJanan = ( AB kulmakerroin

2

2

Sijoitetaan pisteiden koordinaatit x1 + x 2 y1 + y 2

Schildts & Söderströms www.sets.fi Fondernas samarbetsgrupp som består av Svenska kulturfonden, Svenska Folkskolans Vänner, Föreningen Konstsamfundet och Lisi Wahls stiftelse för studieunderstöd har beviljat ekonomiskt stöd för utgivningen av detta läromedel.

Finska förlagans titel: Tekijä, Pitkä matematiikka 5, Analyyttinen geometria Redaktörer för den finska upplagan: Timo Pitkänen, Ville Sipiläinen Bildredaktör: Suvi-Tuuli Kankaanpää, Anita Kokkila Redaktör för den svenska upplagan: Maria Palmén Omslag: Heidi Hjerpe Förlagans layout: Liisa Holm, Sari Jeskanen Ombrytning: Eija Högman och Jukka Iivarinen, Vitale Illustrationer: Marja Venäläinen

Första upplagan, 2017 © Sami Alatupa, Paavo Heiskanen, Päivi Kaakinen, Jukka Lehtonen, Mika Leikas, Jorma Tahvanainen och Sanoma Pro Oy © 2017 Jan-Anders Salenius, Leif Österberg och Schildts & Söderströms

Kopieringsförbud Det här verket är en lärobok.

Verket är skyddat av upphovsrättslagen (404/61).

Det är förbjudet att fotokopiera, skanna eller på annat sätt digitalt kopiera det här verket eller delar av det utan tillstånd. Kontrollera om läroanstalten har gällande licenser för fotokopiering och digitala licenser. Mer information lämnas av Kopiosto rf www.kopiosto.fi.

Det är förbjudet att ändra verket eller delar av det.

ISBN 978-951-52-4278-5

Till dig som använder boken Ma5 Lång Ma5 Lång är en lärobok för kurs 5, analytisk geometri, i den långa lärokursen i matematik i gymnasiet. Under kursen studerar vi plangeometriska figurer i det kartesiska koordinatsystemet (efter den franska matematikern René Descartes 1596–1650, populärt kallat xy-koordinatsystemet) med hjälp av ekvationer för punktmängder.

Bokens uppbyggnad

EXEMPEL 1 EXEMPEL 2

✗

Varje avsnitt börjar med en ”Vi undersöker”-uppgift där den studerande leds in på det ämne som ska studeras och också själv finner ny kunskap. Den nya teoretiska kunskapen presenteras i form av definitioner och satser som vi motiverar och samlar till en klar helhet. Exemplen visar sedan hur den teoretiska kunskapen kan användas i olika tillämpningar. Teorin och exemplen är skrivna så att den studerande kan tillgodogöra sig kunskapen på egen hand, så därför stöder boken också individuell inlärning och flipped classroom.

I boken finns typexempel som är avsedda att lösas utan räknare.

I övriga exempel visar vi hur du kan använda räknaren som ett hjälpmedel på ett ändamålsenligt sätt. Med räknare avses i denna bok också program för symboliskt räknande och andra tekniska hjälpmedel.

Uppgifterna är indelade i två serier. Serie I innehåller basuppgifter som följer ordningen i typexemplen. Serie II innehåller basuppgifter och mer krävande uppgifter som ska erbjuda utmaningar.

1. Uppgifter som är tänkta att räknas utan räknare har markerats med bakgrundsfärg.

2. Du kan använda räknaren som ett hjälpmedel speciellt i tillämpade uppgifter.

E1 Hänvisningarna till typexemplen hjälper dig när du övar.

Uppgifter som är markerade med geometrilogon löser du med hjälp av geometriprogram.

I boken finns ett antal gamla studentuppgifter. Studentprovens tidpunkt och årtal samt om det är fråga om den korta eller långa lärokursen är angivet inom klammer i slutet av uppgiften. Till exempel [SE H-2011 lång] betyder att uppgiften ingick i den långa lärokursens studentskrivning hösten 2011.

Repetition Repetitionsuppgifterna är indelade i fyra delar: först går du genom kursens innehåll i samma ordning som kapitelrubrikerna, efter det följer flervalsuppgifter och uppgiftsserierna A och B som innehåller uppgifter från hela kursen.

Vi önskar dig motiverande och inspirerande studier.

Kvevlax och Helsingfors 10.3.2017

Författarna T I L L D I G S O M A N VÄ N D E R B O K E N

3

Innehåll 1 Avstånd på tallinjen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1 Absolutbelopp……………………………………………………………………………………… 6 1.2 Ekvationer med absolutbelopp…………………………………………………………………… 13 1.3 Olikheter med absolutbelopp……………………………………………………………………… 18

2 Koordinatsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.1 Rätvinkliga koordinatsystem i ett plan……………………………………………………………… 24 2.2 Ekvationen för en punktmängd…………………………………………………………………… 32

3 Linjen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.1 3.2 3.3 3.4

Linjens riktningskoefficient………………………………………………………………………… 36 Linjens ekvation……………………………………………………………………………………… 47 Parallella linjer och linjer vinkelräta mot varandra………………………………………………… 61 Avståndet från en punkt till en linje………………………………………………………………… 69

4 Ekvationssystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 5 Cirkeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 5.1 5.2 5.3 5.4

Cirkelns ekvation i medelpunktsform……………………………………………………………… 86 Cirkelns ekvation i allmän form…………………………………………………………………… 95 Skärningspunkter…………………………………………………………………………………… 105 Tangenten till en cirkel……………………………………………………………………………… 115

6 Parabeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 Repetition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

137

1 Avstånd på tallinjen………………………………………………………………………………… 137 2 Koordinatsystem…………………………………………………………………………………… 137 3 Linjen………………………………………………………………………………………………… 138 4 Ekvationssystem…………………………………………………………………………………… 139 5 Cirkeln……………………………………………………………………………………………… 139 6 Parabeln……………………………………………………………………………………………… 140 Flervalsuppgifter………………………………………………………………………………………… 141 Uppgiftsserie A………………………………………………………………………………………… 144 Uppgiftsserie B………………………………………………………………………………………… 145

Facit ……………………………………………………………………………………………………… 146 Sakregister………………………………………………………………………………………………… 163 4

INNEHÅLL

Förslag till tidtabell

45 min

75 min

1 Avstånd på tallinjen

5 3

1.1 Absolutbelopp 1.2 Ekvationer med absolutbelopp 1.3 Olikheter med absolutbelopp

1 2 2

2 Koordinatsystem

3 2

2.1 Rätvinkliga koordinatsystem i ett plan 2.2 Ekvationen för en punktmängd

2 1

3 Linjen

7 4

3.1 Linjens riktningskoefficient 3.2 Linjens ekvation 3.3 Parallella linjer och linjer vinkelräta mot varandra 3.4 Avståndet från en punkt till en linje

1 2 2 2

4 Ekvationssystem

2 1

5 Cirkeln

7 4

5.1 Cirkelns ekvation i medelpunktsform 5.2 Cirkelns ekvation i allmän form 5.3 Skärningspunkter 5.4 Tangenten till en cirkel

2 1 2 2

6 Parabeln

3 2

Repetition

1 1 Totalt

28

1 1 1

1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

17

F Ö R S L A G T I L L T I D TA B E L L

5

1

Avstånd på tallinjen I den analytiska geometrin studerar vi geometri i ett koordinat­ system. Ett av de centrala begreppen i denna kurs är avståndet mellan två punkter i ett koordinatsystem. I det här kapitlet studerar vi begreppet avstånd på tallinjen och lär oss att lösa ekvationer och olikheter med absolutbelopp.

1.1 Absolutbelopp VI UNDERSÖKER

1) Märk ut de punkter som är på avståndet tre enheter från talet 0 på tallinjen.

2) Märk ut de punkter vars avstånd till talet 0 på tallinjen är 2 1 .

4 3) Hur stort är avståndet från talet -5,8 till talet 0 på tallinjen?

4) Hur stort är avståndet från talet π - 2 till talet 0 på tallinjen?

5) Talet a är positivt. Hur stort är avståndet från det motsatta talet till talet a till talet 0 på tallinjen?

6) Talet b är negativt. Hur stort är avståndet från det motsatta talet till talet b till talet 0 på tallinjen?

–7

6

–6

–5

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

5

6

7

Avståndet från ett tal till talet 0 på tallinjen Definition

Absolutbelopp på en tallinje

Absolutbeloppet av ett tal a är avståndet från talet a till talet 0 på tallinjen. Absolutbeloppet av talet a betecknas a .

Av definitionen följer att absolutbeloppet av ett positivt tal a är lika stort som talet a, absolutbeloppet av ett negativt tal a är det motsatta talet -a och att absolutbeloppet av talet 0 är 0. a 0

−a a

a

0

Utifrån det här kan vi ge en exaktare definition av absolutbelopp: Definition

Absolutbelopp

|a| =

{−aa,, omom aa ≥< 00 Sats

Egenskaper hos absolutbeloppet

Absolutbeloppet av ett tal är alltid icke-negativt. a ≥0

Avståndet från ett tal a till talet 0 på tallinjen är lika stort som avståndet från det motsatta talet -a till talet 0, vilket ger att absolut­beloppen av ett tal och dess motsatta tal är lika stora. a = -a

Absolutbeloppet av en produkt är lika stort som produkten av absolutbeloppen. ab = a b

Absolutbeloppet av en kvot är lika stort som kvoten av absolut­ beloppen. a a =

b b

(b ≠ 0)

1 . 1 A bsolutbelopp

7

✗

EXEMPEL 1

Beteckna och bestäm talets absolutbelopp. Illustrera situationen på tallinjen.

1 a) -2 b) 3 - 1 c) 3 - 4 3 LÖSNING

1 1 betecknas –2 .

3 3 1 1 Eftersom avståndet från talet -2 till talet 0 på tallinjen är 2 3 3 enheter så är

a) Absolutbeloppet av talet -2

-2

1 1 = 2 .

3 3 21 3 –2 1 3

0

3 -1 .

b) Absolutbeloppet av talet 3 - 1 betecknas Eftersom 3 > 1 så är talet 3 - 1 positivt.

Absolutbeloppet av talet 3 - 1 är då lika stort som talet självt: 3 - 1 = 3 - 1.

3–1 0

3 – 1 ≈ 0,73

3 -4 .

c) Absolutbeloppet av talet 3 - 4 betecknas Eftersom 3 < 4 så är talet

Absolutbeloppet av talet motsatta tal:

3 - 4 negativt.

3 - 4 är då lika stort som talets

3 - 4 = -( 3 - 4) = - 3 + 4 = 4 - 3 .

4– 3 3 – 4 ≈ –2,27

0

SVAR

a)

8

1 A V S TÅ N D PÅ TA L L I N J E N

-2

1 1 =2 b) 3 3

3 - 1 = 3 - 1 c)

3 -4 = 4- 3

Avståndet mellan två tal på tallinjen Vi bestämmer avståndet mellan talet 8 och talet 5 på tallinjen.

3 5

8

Talet 8 är större än talet 5, vilket ger att avståndet från talet 8 till talet 5 är differensen 8 - 5 = 3.

Vi ska nu bestämma avståndet från talet a till talet b på tallinjen när vi inte känner till talens storleksordning.

När a > b så är avståndet från talet a till talet b lika stort som differensen a - b. Å andra sidan, när a > b så är a - b > 0 och a - b = a - b . |a – b| b

a

När a < b så är avståndet från talet a till talet b lika stort som differensen b - a. Å andra sidan, när a < b så är a - b < 0 och a - b = -(a - b ) = - a + b = b - a. |a – b| a

b

När a = b så avståndet mellan talen 0. Å andra sidan är då a - b = 0 = 0 .

I alla fallen är avståndet mellan tal a och b lika stort som absolut­ beloppet av talens differens a - b .

Avståndet mellan två tal a och b på tallinjen

Definition

Avståndet mellan två tal a och b på tallinjen är lika stort som absolutbeloppet av talens differens a - b .

1 . 1 A bsolutbelopp

9

✗

EXEMPEL 2

Bestäm avståndet från talet 3 - 2 5 till talet 5 - 3 5 på tallinjen.

LÖSNING

Avståndet från talet 3 - 2 5 till talet 5 - 3 5 är lika stort som absolut­beloppet av talens differens.

(3 - 2 5 ) - (5 - 3 5 ) = 3 - 2 5 - 5 + 3 5 =

Eftersom

5 > 4 = 2 så är

5 - 2 > 0 och

Avståndet mellan talen är 5 - 2 .

SVAR

5 -2

10

1 A V S TÅ N D PÅ TA L L I N J E N

5-2 5 -2 = 5 -2.

Uppgifter Serie

I

1. Beteckna och bestäm talets absolutbelopp. a) 8

b) -1,6 c) -

3 d) 5 7

2. Bestäm talen om deras absolutbelopp är a) 51 b) 13 c) -7

E1 a) 2 - 2 b) -2 + 3

c) 1 - 5 + 2

4. Bestäm de tal vars avstånd till talet 0 på

tallinjen är lika stort som talet 5 a) 4 b) - π c) -2 + 3 .

6

5. Beräkna.

a) -2 + -5

b) 2 - 5 + -4 + 7

c) 1 - π + 4 - π

6. Beteckna och beräkna

a) differensen av absolutbeloppen av talen 4 och -7 b) summan av absolutbeloppen av talen -5 och 2 - 3.

Bestäm avståndet mellan talen på tallinjen. a) 5 och 17 b) 5 och -9 c) 5 och 6

8. Bilda ett absolutbeloppsuttryck som

d) 0.

3. Beteckna och bestäm talets absolutbelopp.

7.

E2

beskriver avståndet från talet x till talet 3.

Beräkna värdet av uttrycket när a) x = 5 b) x = -2 c) x = 3 .

9. Bestäm de tal vars avstånd till talet 0 på tallinjen är lika stort som a) avståndet från talet 3 till talet 7 b) avståndet från talet 2 till talet -1 c) avståndet från talet -2 till talet π .

10. Bestäm de tal som satisfierar ekvationen.

a) x + 2 = 6

b) 5 - x = 3

c) x + 4 = 1

11. Bestäm de heltal som satisfierar olikheten. a) 2 x < 7

b) x + 3 ≤ 2

c) x - 4 < 1

1 . 1 A bsolutbelopp

11

Serie

II

19. Uttryck villkoret med hjälp av en absolut-

b) -3 - 2

beloppsekvation. Bestäm sedan vilka tal som uppfyller villkoret. a) Avståndet från talet x till talet 15 är 7.

3 5 b) Avståndet från talet x till talet är .

14 7

c) 1 + 2 - 3

20. Bestäm vilka tal som satisfierar ekvationen.

12. Beteckna och bestäm talets absolutbelopp. a) 5 - 2

13. Bestäm de tal vars absolutbelopp är a) 4 b) 5 c) 5 - 4 d) 4 - 5 .

14. Beräkna.

a) -2 - 3 + 2 - 3

b) 2 - 5 - - 5

c)

2 -1 - 1- 2

15. Bestäm avståndet från talet 3 - 5 till talet

a) 4 b) 3 + 4 .

16. Bilda och hyfsa det uttryck som beskriver

a) x + 8 = 5 b)

x -3 =1

21. Beteckna och beräkna

a) summan av absolutbeloppen av talen -3 + π och π - 2 b) absolutbeloppet för differensen av absolutbeloppen av talen 4 - π och π - 5 .

22. Hyfsa uttrycket ( x - 2 )( x + 3 ) när

a) x > 2 b) x < -3 c) -3 < x < 2.

x 2 + 6x + 9 när x +3 a) x > -3 b) x < -3.

23. Hyfsa uttrycket

avståndet från talet -4 + π till talet a) 2 b) π - 5 .

24. Bestäm avståndet mellan talen a och 1a

17. Bestäm avståndet mellan talen.

25. Avståndet mellan talen a och b är 5 och

a) a och -a b) a och a - 3 c) a - 1 och a + 1

18. Bilda ett absolutbeloppsuttryck som

beskriver avståndet från talet x till talet -1.

Beräkna uttryckets värde när a) x = 4 b) x = -π c) x = 3 + 2.

12

1 A V S TÅ N D PÅ TA L L I N J E N

när 0 < a < 1.

avståndet från talet b till talet 0 är två gånger så stort som avståndet från talet a till talet 0. Bestäm talen a och b när a) a < 0 och b > 0 b) a > 0 och b > 0.

26. a) Ge två exempel på sådana tal a och b för

vilka ekvationen a + b = a + b är falsk. b) Ge två exempel på sådana tal a och b för vilka ekvationen a + b = a + b är sann. c) Vilka villkor ska talen a och b uppfylla för att ekvationen a + b = a + b ska vara sann?

1.2 Ekvationer med absolutbelopp Lösningen till ekvationenf (x)= a

✗

EXEMPEL 1

Lös ekvationen. a)

x = 5 b) 2 x + 3 = 5 c) x + 6 = -1

LÖSNING

a) Det finns exakt två tal vars absolutbelopp är 5: talen 5 och -5.

Ekvationen x = 5 är sann om x = 5 eller x = -5. b) Eftersom det finns exakt två tal, talen 5 och -5, vars absolut­ belopp är 5 så måste värdet av uttrycket 2x + 3 vara 5 eller -5.

Vi bildar två ekvationer och löser ekvationerna.

2 x + 3 = 5

2x + 3 = 5 eller 2 x + 3 = -5 2x = 2 eller

2x = -8

x = 1 eller

x = -4

c) Eftersom absolutbeloppet av ett tal alltid är icke-negativt så saknar ekvationen x + 6 = -1 lösning.

SVAR

a) x = -5 eller x = 5 b) x = -4 eller x = 1 c) lösning saknas

1 . 2 E kvationer med absolutbelopp

13

Om a ≥ 0 så är ekvationen f ( x ) = a sann om värdet av funktionen f(x) är talet a eller det motsatta talet -a.

Lösningen till ekvationen  f(x)  = a om a ≥ 0

f (x ) = a

Vi delar upp ekvationen på två ekvationer.

f(x) = a eller f(x) = - a

Vi löser båda ekvationerna.

Om a < 0 så saknar ekvationen f ( x ) = a lösning eftersom värdet av ett absolutbelopp alltid är icke-negativt.

✗

EXEMPEL 2

Lös ekvationen x 2 - 2 x - 16 = 8.

LÖSNING

x 2 - 2 x - 16 = 8 x2 - 2x - 16 = 8

eller x2 - 2x - 16 = -8

x2 - 2x - 24 = 0

eller x2 - 2x - 8 = 0

x= =

-( -2) ± ( -2)2 - 4 · 1 · ( -8) -( -2) ± ( -2)2 - 4 · 1 · ( -24) eller x = 2 ·1 2 ·1 2 ± 4 + 96 2

2 ± 100 2 2 ± 10 = 2 =

x = 6 eller x = -4 SVAR

x = -4, x = -2, x = 4 eller x = 6

14

1 A V S TÅ N D PÅ TA L L I N J E N

=

2 ± 4 + 32 2

2 ± 36 2 2±6 = 2 =

x = 4 eller x = -2

Lösningen till ekvationenf (x)=g (x)

✗

EXEMPEL 3

Lös ekvationen x 2 - 3 x = x 2 + 3 x - 4 .

LÖSNING

Ekvationen x 2 - 3 x = x 2 + 3 x - 4 är sann om talen x2 - 3x och x2 + 3x - 4 är samma tal eller om de är varandras motsatta tal. x 2 - 3 x = x 2 + 3 x - 4 x2 - 3x = x2 + 3x - 4 eller

x2 - 3x = -(x2 + 3x - 4)

-6x = -4 eller x2 - 3x = -x2 - 3x + 4 -4 eller 2x2 = 4 x = -6 2 2 x = eller x = 2 3

x = 2 eller x = - 2

SVAR

x = - 2 , x = 2 eller x = 2 3

Ekvationen f ( x ) = g ( x ) är sann om värdena för funktionerna f(x) och g(x) är lika stora eller om de är varandras motsatta tal.

Lösningen till ekvationen f (x) = g(x)

f (x ) = g (x )

Vi delar upp ekvationen på två ekvationer.

f (x) = g(x) eller f(x) = -g(x)

Vi löser båda ekvationerna.

1 . 2 E kvationer med absolutbelopp

15

Uppgifter Serie

I

27. Undersök om talet x = -5 satisfierar ekvationen.

a) x + 3 = 2

33. Lös ekvationen. a) x - 7 = x

34. Uttryck villkoret som en ekvation och lös

sedan ekvationen. a) Avståndet från talet x till talet 3 är lika stort som avståndet från talet 4 till talet 0. b) Avståndet från talet x till talet -3 är lika stort som avståndet från talet -12 till talet -5.

b) 2 x - 4 = 6 c) x - 3 = -8

28. Lös ekvationen.

E1 a) x = 7 b) 3 x = 12 c) x + 2 = 7

29. Lös ekvationen.

35. Bestäm de tal på tallinjen vars avstånd till

talet 2 är dubbelt så stort som avståndet till talet -3.

a) 2 x - 1 = 4 b) 3 - x = 5 c) x + 3 = -1

30. Lös ekvationen.

b) 5 - x = 3 x

36. Lös ekvationen. a) x 2 - 3 = 1

b) x 2 - 2 x = x

a) x - 4 + 1 = 5 b) 2 3 x - 2 - 4 = 6

31. Lös ekvationen |x 2 + 3x + 1| = 1.

Serie

II

37. Lös ekvationen.

2

3

E2

a) x =

32. Lös ekvationen.

b) x = 5

E3 a) 3x - 2 = 2 x + 3

c) x + 3 = 4

16

b) 7 - 2 x = 2 x + 4

1 A V S TÅ N D PÅ TA L L I N J E N

38. Lös ekvationen.

b) 2 x - 5 - 5 = 0

a) x 2 - 4 x = 3

b) x 2 + x - 12 = 0

40. Lös ekvationen. a) 7 x - 5 = 4 - 3 x

b) x + 2 = 5 - x

41. Lös ekvationen. a) x 2 + 2 x = 3 x + 6

b) x 2 + 4 = 2 x 2 - 3 x

42. För vilka värden på konstanten a är

lösningen till ekvationen 2 x + a = 5 a) x = -5 och x = 0 b) x = -4 och x = 1?

43. Uttryck villkoret som en ekvation och lös sedan ekvationen. a) Avståndet från talet x till talet π är lika stort som avståndet från talet 3 till talet -1. b) Avståndet från talet x till talet π är lika stort som avståndet från talet π + 2 till talet 5.

f ( x ), om f ( x ) ≥ 0 − f ( x ), om f ( x ) < 0.

Då är till exempel

x − 4, om x ≥ 4 x − 4 = −( x − 4), om x < 4 .



39. Lös ekvationen.

f ( x ) =



a) 7 - 4 x = 8

45. a) Definitionen av ett absolutbelopp ger att

Lös ekvationen x - 4 = 2 x genom att undersöka fallen x ≥ 4 och x < 4 var för sig. b) Dela upp absolutbeloppet 3 x - 5 i två uttryck på samma sätt som i a-fallet och lös sedan ekvationen 3 x - 5 = x .

Detta sätt att lösa en absolutbelopps­ ekvation (eller absolutbeloppsolikhet) är att föredra när variabeln x är utanför absolutbeloppet. Orsaken är att ett absolutbelopp alltid är icke-negativt.

46. Lös ekvationen. a) 2 x + 3 + x = 0

b) 2 x - 3 = x - 2

47. Lös ekvationen. a) x - 2 = x

b) x + 3 + x = 2 x

48. Lös ekvationen med hjälp av en graf. a) x + 2 - x = x + 1 1 b) 2 x - 1 + x = - x - 2 + 5 2

44. Bestäm de tal på tallinjen vars avstånd till talet -2 är hälften så stort som avståndet till talet 5.

1 . 2 E kvationer med absolutbelopp

17

1.3 Olikheter med absolutbelopp Lösningen till olikhetenf (x ) > a

✗

EXEMPEL 1

Lös olikheten. x > 1 b) 2 x - 5 > 1 c) 3 x + 6 > 0

a)

LÖSNING

a) De tal vars absolutbelopp är större än 1 ligger till vänster om talet -1 eller till höger om talet 1 på tallinjen.

–1

0

1

Olikheten x > 1 är sann när x < -1 eller x > 1. b) Olikheten 2 x - 5 > 1 är sann när 2x - 5 < -1 eller när 2x - 5 > 1. Vi löser båda olikheterna.

2 x - 5 > 1

2x - 5 < -1 eller 2x - 5 > 1 2x < 4

eller

2x > 6

eller

x > 3

|:2

x < 2

Vi illustrerar lösningen på tallinjen. x<2 x>3 x < 2 eller x > 3

18

1 A V S TÅ N D PÅ TA L L I N J E N

Vi dividerar med ett positivt tal.

Olikhetstecknets riktning bevaras.

0

2 3

0 0

2

3

c) Absolutbeloppet av ett tal är positivt om talet är olika talet 0.

Vi tar reda på när talet 3x + 6 är 0.

3x + 6 = 0 3x = - 6

: 3

x = -2 Dvs. 3 x + 6 > 0 när x ≠ -2.

SVAR

a) x < -1 eller x > 1 b) x < 2 eller x > 3 c) x ≠ -2 Om a ≥ 0 så är olikheten f ( x ) > a sann om värdet av funktionen f(x) ligger till vänster om talet -a eller till höger om talet a på tallinjen.

Lösningen till olikheten f (x ) > a när a ≥ 0

f (x ) > a

Vi delar upp olikheten på två olikheter.

f(x) < -a eller f(x) > a Vi löser båda olikheterna.

Vi löser olikheter av typen f ( x ) ≥ a på samma sätt.

Om a < 0 så är olikheterna f ( x ) > a och f ( x ) ≥ a sanna för alla tal för vilka funktionen f är definierad eftersom värdet av ett absolutbelopp alltid är icke-negativt.

sk itu

a uv

v Ku

1 . 3 O likheter med absolutbelopp

19

Lösningen till olikhetenf (x)< a

✗

EXEMPEL 2

Lös olikheten. a)

x ≤ 2 b) 1 - 3 x ≤ 2 c) 2 x - 5 < 0

LÖSNING

a) Tal vars absolutbelopp är mindre än 2 eller lika med 2 ligger mellan talen -2 och 2, ändpunkterna medräknade, på tallinjen.

–2

0

2

Olikheten x ≤ 2 är sann när -2 ≤ x ≤ 2. b) Olikheten 1 - 3 x ≤ 2 är sann när -2 ≤ 1 - 3x ≤ 2.

Observera!

När vi multiplicerar eller dividerar båda leden i en olikhet med • samma negativa tal så byter olikhetstecknet riktning • samma positiva tal så bevaras olikhetstecknets riktning.

Alternativ 1. Vi delar upp dubbelolikheten på två olikheter som båda måste satisfieras.

-2 ≤ 1 - 3x ≤ 2

-2 ≤ 1 - 3x och 1 - 3x ≤ 2

-3 ≤ -3x och -3x ≤ 1

| : (-3) (< 0)

1 1 ≥ x och x ≥ 3 1

x ≤ 1 och x ≥ 3

Vi illustrerar lösningen på tallinjen. x≤1 x ≥ –1 – 3 x ≤ 1 och x ≥ – 1 – 3

0

1

–1 – 0 3 –1 – 0 3

1

Olikheten 1 - 3 x ≤ 2 är sann när -

20

1 A V S TÅ N D PÅ TA L L I N J E N

1 ≤ x ≤ 1.

3

Alternativ 2. Vi löser dubbelolikheten.

-2 ≤ 1 - 3x ≤ 2

Vi subtraherar talet 1 från båda leden i olikheten.

| - 1

-3 ≤ -3x ≤ 1 | : (-3) (<0) 1

1 ≥ x ≥ - 3 1 - ≤ x ≤ 1 3

Vi dividerar med ett negativt tal.

Olikhetstecknet byter riktning.

Vi skriver lösningen från det mindre talet till det större talet.

c) Eftersom ett absolutbelopp alltid är icke-negativt så kan 2 x - 5 aldrig vara mindre än noll. Olikheten 2 x - 5 < 0 saknar lösning.

SVAR

a) -2 ≤ x ≤ 2 b) -

1 ≤ x ≤ 1 3

c) lösning saknas

När a > 0 så är olikheten f ( x ) < a sann när värdet för funktionen f(x) ligger mellan talen -a och a på tallinjen.

Lösningen till olikheten f (x ) < a när a > 0

f (x ) < a

Vi ändrar olikheten till en dubbelolikhet.

- a < f(x) < a Vi kan dela upp dubbelolikheten på två olikheter. f(x) > -a och f(x) < a Vi löser båda olikheterna.

När a ≤ 0 så saknar olikheten lösning eftersom det inte finns något tal som satisfierar olikheten f ( x ) < a (ett absolutbelopp är alltid icke-negativt).

Vi löser olikheter av typen f ( x ) ≤ a på samma sätt.

1 . 3 O likheter med absolutbelopp

21

Lösningen av olikheten f (x)< g (x) Eftersom båda leden i olikheten f ( x ) < g ( x ) är icke-negativa, så bevaras olikhetstecknets riktning om båda leden kvadreras. Lösningen till olikheten där båda leden är kvadrerade är då densamma som lösningen till den ursprungliga olikheten.

Observera!

Lösningsmetoden fungerar också då olikhetstecknet är >, ≤ eller ≥.

Lösningen av olikheten f (x ) < g (x )

f (x ) < g (x )

Vi kvadrerar båda leden.

(f (x))2

Vi löser den erhållna olikheten

<

(g (x))2

✗

EXEMPEL 3

Lös olikheten 3 x - 4 > x .

LÖSNING

3 x - 4 > x Vi kvadrerar båda leden.

(3x - 4)2 > x2 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 9x2 - 24x + 16 > x2

| - x2

8x2 - 24x + 16 > 0 | : 8

x2 - 3x + 2 > 0

Vi dividerar med ett positivt tal.

Olikhetstecknets riktning bevaras.

Vi bestämmer nollställena för funktionen x2 - 3x + 2. x2 - 3x + 2 = 0 x = 1 eller x = 2

Vi löser ekvationen med hjälp av lösningsformeln för en andragrads­ ekvation.

Grafen till funktionen x2 - 3x + 2 är en parabel som öppnar sig uppåt.

+ 1

Olikheten x2 - 3x + 2 > 0 är sann när x < 1 eller x > 2.

1

+ SVAR

x < 1 eller x > 2

22

1 A V S TÅ N D PÅ TA L L I N J E N

+ x

−

–

2 2

+

Uppgifter Serie

I

Serie

II

49. Undersök om talet 1 satisfierar olikheten.

59. Undersök om talet -5 satisfierar olikheten.

50. Lös olikheten.

60. Lös olikheten.

a) 2 x - 5 > 1 b) 1 - 3 x < 2

E1 a) x > 1 b) x - 2 > 3 c) x + 5 > 0

51. Lös olikheten.

a) 3 x > 21 b) 2 x + 3 ≥ 28 c) 2 x - 3 > 3

52. Lös olikheten.

a) x - 5 > 4 b) x + 3 + 1 > 4 c) 2 x - 6 + 4 ≥ 4

53. Vilka heltal satisfierar olikheten? a) x < 3 b) x ≤ 4 ?

54. Lös olikheten.

E2 a) x + 1 < 5 b) 2 x - 3 ≤ 7 c) x - 9 ≤ 0

55. Lös olikheten.

a) 5 - x < 3 b) 2 3 x - 1 - 4 < -2

56. Lös olikheten.

E3 a) x - 4 > 5 x b) 2 x - 1 ≤ x

57. Uttryck villkoret som en olikhet och lös

sedan olikheten. Avståndet från talet x till talet -5 på tallinjen är större än 3.

58. Uttryck villkoret som en olikhet och lös

sedan olikheten. Avståndet från talet x till talet 127 på tallinjen är högst 531.

a) 2 x - 5 > 8 b) 4 - 3 x < x + 12 a) 2 x - 5 > 5 b) 7 - 3 x ≤ 4

61. Lös olikheten. a) 5 x -

x 1 ≥ 1 b) +1 < 2 2 3

c) 8 x - 3 ≤ 0

62. Lös olikheten.

a) x - 6 + 4 > 4 b) 4 ≥ 4 - x - 2

63. Lös olikheten.

a) x - 5 < x + 3 b) 2 x - 1 ≤ x + 2

64. Lös olikheten.

a) x + 4 > x - 1 b) 3 x + 1 ≥ 5 x - 1

65. Lös olikheten.

a) x 2 - 3 x - 2 > 2 b) x 2 - 5 x < 6

66. Bestäm de tal på tallinjen vars avstånd till talet 4 är mindre än 5 men större än 2.

67. Lös olikheten.

a) x - 3 > 2 b) 1 - 2 x + 3 > 4

68. Lös olikheten x - 5 > x genom att

tillämpa samma lösningsmetod som vi använde i uppgift 45.

69. Lös olikheten 3 - x < x genom att

tillämpa samma lösningsmetod som vi använde i uppgift 45.

70. Lös olikheten. a) x > x

b) x ≤ x 2

c) x < x 3

71. Lös olikheten med hjälp av en graf.

a) 2 x - 1 > 2 - x b) x 2 - 3 x - 4 ≤ x - 4

1 . 3 O likheter med absolutbelopp

23