Ma4 Kort blädderex

SCHILDTS & SÖDERSTRÖMS

Ma4

A

B

C

y

KORT Matematiska modeller

D

E

F

3 2 1 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1–1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x

Schildts & Söderströms www.sets.fi Finska förlagans titel: Tekijä. Lyhyt matematiikka 4. Matemaattisia malleja Redaktör för den finska upplagan: Sanna Niemelä Redaktör för den svenska upplagan: Hans Nordman Typografi: Liisa Holm Omslag: Heidi Hjerppe / Kustmedia Förlagans layout: Eija Högman Svenska upplagans ombrytning: Jukka Iivarinen / Vitale Illustrationer: Juho Niemelä Bilder: Fotolia: 50, 53, 60, 71, 124, 126, 135, 136, 143, 157, 167, 176

Mostphotos: 9, 33

Rodeo: 58, 120

Shutterstock: 11, 17, 47, 55, 66, 69, 72, 80 vänster, 80 nere,

83, 85, 94, 96, 102, 105, 106, 134, 141, 155, 171, 173, 183, 185 Omslag: Heidi Hjerpe / Kustmedia © Sanna Hassinen, Katariina Hemmo, Timo Taskinen och Sanoma ProOy © 2017 Jan-Anders Salenius och Schildts & Söderströms Kopieringsförbud Det här verket är en lärobok. Verket är skyddat av upphovsrättslagen (404/61).

Det är förbjudet att fotokopiera, skanna eller på annat sätt digitalt kopiera det här verket eller delar av det utan tillstånd. Kontrollera om läroanstalten har gällande licenser för fotokopiering och digitala licenser.

Mer information lämnas av Kopiosto rf www.kopiosto.fi Det är förbjudet att ändra verket eller delar av det.

Fondernas samarbetsgrupp som består av Svensk kulturfonden, Svenska Folkskolans Vänner, Föreningen Konstsamfundet och Lisi Wahls stiftelse för studieunderstöd har beviljat ekonomiskt stöd för utgivningen av detta läromedel.

Första upplagan ISBN 978-951-52-4205-1

Innehåll 1 Linjära modeller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1 Linjen som matematisk modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Linjens ekvation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.3 Parallella och vinkelräta linjer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1.4 Tillämpningar med linjära modeller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2 Exponentiella modeller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.1 Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2.2 Exponentialekvationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 2.3 Potensekvationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 2.4 Tillämpningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 3 Talföljder som matematiska modeller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 3.1 Aritmetiska och geometriska talföljder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 3.2 Arimetisk summa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 3.3 Geometrisk summa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 4 Tilläggsmaterial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 4.1 Riktningsvinkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 4.2 Potens med ett bråk i exponenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 4.3 Briggs logaritm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 5 Repetition: Matematiska modeller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.1 Centralt stoff i kursen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.2 Matematiska modeller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.3 Flervalsuppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

159 160 168 181

Lösningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

Register . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

Till bokens användare Mål Syftet med undervisningen i matematik och den viktiga roll som läroboken har, är att den studerande ska få positiva inlärnings­erfarenheter av att jobba med matematik. Målet är att den studerande skall lära sig att lita på sin kapacitet, sina färdigheter och sin tankeförmåga, samt att få mod att satsa på en inlärning som är undersökande, testande och kreativ.

Gymnasiets läroplan lägger upp många mål för undervisningen i den korta matematiken. Den studerande ska exempelvis kunna använda matematiken som hjälpmedel i det dagliga livet och i samhällelig verksamhet. I en värld som ändras allt snabbare, måste man kunna ta emot och analysera sådan information som massmedierna ger i matematisk form och kunna bedöma dess tillförlitlighet.

Gymnasisten måste inhämta sådana matematiska kunskaper och färdigheter som ger en tillräckligt bra grund för fortsatta studier.

Förutom de matematiska kunskaperna och färdigheterna ska man lära sig att använda ändamålsenliga tekniska hjälpmedel och informationskällor.

”Enligt gällande läroplan är kursens mål är att den studerande ska ◗ se regelbundenheter och samband hos fenomen i den reella världen och kunna beskriva dessa med matematiska modeller ◗ få rutin i att bedöma olika modellers lämplighet och användbarhet ◗ bekanta sig med att göra prognoser utgående från modeller ◗ kunna använda tekniska hjälpmedel vid undersökning av polynom- och exponentialfunktioners egenskaper och vid lösning av polynom- och exponentialekvationer i samband med tillämpade problem.”

Bokens struktur I serien Ma KORT finns många lösningar som stöder den studerande att nå de mål som står i läroplan.

• I början av varje kapitel finns en översikt som visar huvudmålen för kapitlet. Dessutom visar översikten vilka saker som den studerande borde behärska utan hjälpmedel och vilka saker som borde behärskas med hjälpmedel.

• V arje delkapitel börjar med något att fundera på. Avsikten med dessa uppgifter är att inleda lektionens tema.

Fundera på

E1

• T ill varje exempel i boken finns en motsvarande uppgift i avsnittet med uppgifter. Dessa är tydligt markerade med symboler för att underlätta självstudier.

123.

• M era krävande uppgifter är markerade med färgad bakgrund. De kan antingen vara uppgifter som ska lösas med eller utan räknare.

Tilläggsmaterial: Riktningskoefficient s. 146

• Det tilläggsmaterial som hör till kursen har sammanställts till ett eget kapitel. I teoridelen hänvisas till detta kapitel.

I studentexamen i matematik löses en del av uppgifterna utan tekniska hjälpmedel och en del med tekniska hjälpmedel. Med tekniska hjälpmedel avses här räknare, datorprogram eller liknande. Denna indelning har också beaktats i läroboken.

• E n del av exemplen har lösts utan räknare. På motsvarande sätt är det meningen att lösa en del av uppgifterna utan tekniska hjälpmedel.

• Exempel som är meningen att lösas med räknare eller dator­ program är markerade med en egen symbol.

Då man i bokens exempel hänvisar till räknare, avses alltså vilket tekniskt hjälpmedel som helst, som passar för att lösa uppgiften.

◗ Användning av räknare eller annat hjälpmedel

De möjligheter som tekniska hjälpmedlen erbjuder har beaktats i kapitlen med hjälp av instruktionsrutor. I dem berättas vilka funktioner som kan hittas, till exempel på räknaren, för att underlätta lösningen av uppgifterna.

1

Linjära modeller

M ålet är ■

att repetera det linjära beroendet mellan storheter

■

att lära sig bilda ekvationen för en linje

■

att lära sig känna igen sambandet mellan grafen och riktningskoefficienten

■

att lära sig tillämpa linjära modeller

■

att lära sig göra prognoser med hjälp av en modell

■

att lära sig använda tekniska hjälpmedel när man undersöker en linje och när man löser tillämpande problemuppgifter

◗ Hur bildar vi en linjär modell? ◗ Hur utvärderar vi tillförlitligheten i en linjär modell d.v.s. vilka värden kan – variabeln x anta – variabeln y anta? ◗ Hur bestämmer vi och beräknar vi riktningskoefficienten? ◗ Hur bestämmer vi linjens ekvation? ◗ Hur kan vi undersöka om linjerna är – stigande eller fallande – parallella – vinkelräta mot varandra?

◗ Hur beräknar vi skärningspunkterna mellan linjen och koordinataxlarna? ◗ Hur kan vi med hjälp av linjens ekvation beräkna – y när vi känner till x – x när vi känner till y – om en punkt ligger på en linje? ◗ Hur ritar vi en linje och vad kan vi bestämma med hjälp av grafen? ◗ Hur anpassar vi en linje till en punktmängd med hjälp av en räknare?

◗ Hur beräknar vi skärningspunkterna mellan linjen och koordinataxlarna?   7

1.1

Linjen som matematisk modell

Fundera på 1

I koordinatsystemet är grafen till en polynomfunktion f av första graden utritad.

Ta med hjälp av grafen reda på a) den koordinat som fattas hos punkterna (0, __ ) (2, __ ) ( __ , 2) ( __ , −1)

y

5 4

f

3 2 1 −3

−2

−1 −1

1

2

3

x

1

2

3

x

b) funktionsvärdena f (0) och f (2) c) det värde på variabeln för vilket f (x) = 0 d) lösningen till olikheten f (x) > 0.

Fundera på 2

Fyll i tabellen. y

x

y

6

−1

−2

5

1

2

4

2

4

3

6

x

3 2 1 −3

−2

−1 −1 −2

a) Vilken regel ger y-värdena? Skriv en ekvation. b) Markera i koordinatsystemet alla de punkter i xy-planet som satisfierar den föregående ekvationen. Hurdan graf får du?

8 1

L i n j ä r a m o d elle r

Vi undersöker med hjälp av en tabell hur priset på äpplen och antalet köpta kilogram är beroende av varandra när kilopriset av äpplena är 2,5 €.

Mängd

Pris

(kg)

(€)

1

2,5

2

2,5 ⋅ 2 = 5,0

3

2,5 ⋅ 3 = 7,5

4

2,5 ⋅ 4 = 10

x

2,5x

Om vi betecknar mängden äpplen med bokstaven x (kg) kan vi beskriva hur priset är beroende av mängden äpplen med uttrycket 2,5x.

Det är enklare och klarare att utföra beräkningar om vi ger uttrycket ett namn, exempelvis f. Vi kan alltså beteckna uttrycket med

f (x) = 2,5x.

Funktionen f är här en polynomfunktion av första graden d.v.s. en linjär funktion. Om vi betecknar funktionsvärdet f (x), d.v.s. priset, med bokstaven y får vi punkter (x, y) vilka vi kan sätta ut i koordinat­ systemet. €

Mängd

Pris

x

y

10

1

2,5

8

2

5,0

6

3

7,5

4

4

10

2

x

2,5x

y

12

(4, 10) (3; 7,5) (2, 5) (1; 2,5) x

1

2

3

4

5

6 kg

Punkternas koordinater satisfierar ekvationen y = 2,5x.

När vi sätter ut alla punkter i xy-planet som satisfierar linjens ekvation får vi en punktmängd vars graf är en linje.

1 . 1 L i n j e n s o m m a tem a ti s k m o d ell

9

€

y

12

8

(3; 7,5)

6

• på x-axeln har vi den oberoende storheten (den storhet y beror av d.v.s. mängden)

(2, 5)

4

(1; 2,5)

2

x

1

Linjens ekvation är en regel för beroendet mellan storheterna x och y.

• på y-axeln har vi den beroende storheten (pris)

(4, 10)

10

2

3

4

5

6 kg

Om storheterna x och y beror linjärt av varandra ligger punkterna (x, y) längs en linje. Vi kan göra en modell av linjärt beroende med hjälp av ekvationen för en linje.

Efter att vi har bildat en modell kan vi uppskatta dess giltighet.

Modellen y = 2,5x gäller när x ≥ 0. Vi ritar grafen endast för dessa x-värden.

◗ Användning av räknare eller annat hjälpmedel Att rita punkter Lär dig sätta ut punkter i ett koordinatsystem. Ofta räcker det med att direkt mata in punktens koordinater i programmet.

Att rita en linje Du kan rita en linje i koordinatsystemet om du känner till linjens ekvation.

Ta reda på hur du kan rita en linje med ditt eget ritprogram.

Du kan anpassa en linje till en punktmängd genom att rita den genom valda punkter. Sedan får du reda på linjens ekvation genom att använda något lämpligt kommando i ditt ritprogram.

Om du vill rita linjen endast i ett visst intervall kan du ofta mata in detta intervall samtidigt som du matar in linjens ekvation.

Att hitta koordinaterna för en punkt Du får fram koordinaterna för en punkt på en linje genom att spåra grafen eller genom att sätta in värdet av x-koordinaten.

10 1

L i n j ä r a m o d elle r

EXEMPEL 1

Celsiusgraderna (°C) beror linjärt av fahrenheitgraderna (°F). Vi kan 5 160 göra en modell av sambandet med en ekvation y = x − , där x är 9 9 temperaturen i fahrenheitgrader och y temperaturen i celsiusgrader.

Beräkna med hjälp av ekvationen hur många a) celsiusgrader som motsvarar 50 °F b) fahrenheitgrader som motsvarar 0 °C. LÖSNING

a) Vi sätter in x = 50 (°F) i ekvationen som beskriver sambandet.

5 160 250 160 90 y = ⋅ 50 − = − = = 10 (°C) 9 9 9 9 9

b) Vi sätter in y = 0 (°C) i ekvationen och löser ut motsvarande farenheittemperatur x (°F).

5 160 x− =0 9 9 5 x − 160 = 0

⋅9

5 x = 160

:5

x = 32 (°F) SVAR

a) 10 °C

b) 32 °F

1 . 1 L i n j e n s o m m a tem a ti s k m o d ell

11

EXEMPEL 2

Sandra får en mobiltelefon i gåva av sina föräldrar samt ett abonnemang vars månadsavgift är 4,90 €. Förutom månadsavgiften så kostar själva samtalen 0,13 €/min. a) Gör en modell av hur den månatliga telefonfakturans storlek beror av samtalstiden. Åskådliggör beroendet i ett koordinatsystem. b) Hur stor är fakturan när Sandra talar 0,8 h under en månad? c) Hur många minuter har Sandra talat i telefon när telefonfakturan är 12,70 €?

LÖSNING

Eftersom storleken av telefonfakturan beror av samtalstiden betecknar vi samtalstiden med bokstaven x (min) och fakturans storlek med bokstaven y (€). a) Vi bildar en modell genom att undersöka fakturans storlek i en tabell.

Samtalstid

Fakturans storlek

(min)

(€)

0

4,90

1

4,90 + 0,13 ⋅ 1

2

4,90 + 0,13 ⋅ 2

x

4,90 + 0,13 ⋅ x

kvationen som beskriver E beroendet är y = 4,90 + 0,13x (€).

Vi ritar grafen med hjälp av ett tekniskt hjälpmedel.

Modellen är giltig när x ≥ 0 eftersom samtalstiden inte kan vara negativ.

€

y

20 15

y = 4,90 + 0,13x

10 5

x

5

10

15

20 25 30

min

b) Vi sätter in samtalstiden x = 0,8 ⋅ 60 = 48 (min) i ekvationen som beskriver beroendet.

y = 4,90 + 0,13 ⋅ 48 = 11,14 (€)

När vi bildar modellen är samtalstiden i minuter så vi måste ändra 0,8 h till minuter.

c) Fakturans storlek är y = 12,70 (€). Vi bestämmer samtalstiden x med hjälp av ekvationen.

SVAR

12 1

4,90 + 0,13x = 12,70 x = 60 (min)

a) y = 4,90 + 0,13x (€), x ≥ 0 b) 11,14 €

L i n j ä r a m o d elle r

c) 60 min

EXEMPEL 3

Robert köpte en begagnad bil. Dess värde vid köpögonblicket var 15 000 €. Han sålde bilen efter fem år. Bilens värde hade då sjunkit med i medeltal 1600 € per år. a) Bestäm ekvationen för den linje som beskriver hur bilens värde y (€) beror av tiden t (a). b) Vilket var bilens värde vid försäljningsögonblicket? c) När är bilens värde enligt modellen lägre än 6200 €?

LÖSNING

a) Vi bildar en modell.

Tid (a)

Bilens värde (€)

0

15 000

1

15 000 − 1600

2

15 000 − 1600 ⋅ 2

3

15 000 − 1600 ⋅ 3

t

15 000 − 1600 ⋅ t

Ekvationen som beskriver beroendet mellan bilens värde y och tiden t är

y = 15 000 − 1600t (€)

b) Vid försäljningsögonblicket är t = 5 så bilens värde är

y = 15 000 − 1600 ⋅ 5 = 7000 (€)

c) Bilens värde är lägre än 6200 € när y < 6200

15 000 − 1600t < 6200 t >5

1 (a) 2

Bilens värde är lägre än 6 200 € när det har gått över 5,5 år.

SVAR

a) y = 15 000 − 1600t (€) c) då det gått över 5,5 år

b) 7000 €

1 . 1 L i n j e n s o m m a tem a ti s k m o d ell

13

EXEMPEL 4

På ett avverkningsområde märkte en skogsägare att längden av en gran beror linjärt av stammens diameter. Resultaten samlades i en tabell.

Diameter (cm)

5,0

7,0

9,0

10,0

15,0

Längd (m)

5,0

6,4

7,8

8,5

12,0

a) Sätt ut punkterna i koordinatsystemet och anpassa en linje till punktmängden. b) Bestäm linjens ekvation och uppskatta modellens giltighet för ett träd som är högst 1,5 m långt.

LÖSNING

Om punktens koordinater utgör decimaltal så är skiljetecknet ett semikolon.

a) Eftersom granens längd (m) beror av stammens diameter (cm) så utgör granens längdmått punkternas y-koordinater och de motsvarande stammarnas diametrar punkternas x-koordinater.

Vi sätter ut punkterna i koordinatsystemet och anpassar en linje till punktmängden.

(5,0; 5,0) (7,0; 6,4) (9,0; 7,8) (10,0; 8,5) (15,0, 12,0)

m

y

14

(15, 12)

12 10

(10; 8,5)

8

(7; 6,4)

6 4 2

(9; 7,8)

(5, 5) y = 0,7x + 1,5 (0; 1,5) 2

4

6

8

10

x

12

14

16 cm

b) Vi får linjens ekvation med ett tekniskt hjälpmedel. y = 0,7x + 1,5 (m) Med en olikhet bestämmer vi diametern för stammen hos ett träd som är högst 1,5 m långt.

Även i grafen kan vi se att diametern för en stam hos ett träd som är lägre än 1,5 m utgör ett negativt tal.

x ≤0

Enligt modellen skulle diametern för stammen vara ett negativt tal eller noll, så denna modell är inte giltig för träd vars längder är mindre eller lika med 1,5 m.

SVAR

14 1

0,7 x + 1,5 ≤ 1,5

b) Linjens ekvation är y = 0,7x + 1,5 (m). Modellen är inte giltig när trädets längd är mindre eller lika med 1,5 m.

L i n j ä r a m o d elle r

Uppgifter 1. Meterpriset för ett inredningstyg är 12 €. Bilda ett uttryck för tygets pris när Sanni köper a) 2 m b) 150 cm

c) x (m) tyg.

2. Fyll i tabellen. Ange ekvationen som beskriver hur y beror av x. a)

x

y

0

b)

x

y

0

−3

12

1

3

−2

8

2

6

0

0

3

9

1

−4

x

x

3. Avståndet s (km) från en vägkorsning beror linjärt av tiden t (h).

Ekvationen s = 45t + 2 beskriver sambandet. a) Fyll i tabellen. t (h)

s (km)

0 47 4

b) Vilket är avståndet från vägkorsningen när man börjar granskningen? c) Hur lång tid har det gått när avståndet från vägkorsningen är 47 km?

E1

4. Basen y i en triangel beror av triangelns höjd x enligt ekvationen 2 5 y = x + . Bestäm 3 3 a) längden av basen när höjden är 3 b) höjden när längden av basen är 3.

5. Forskare har kunnat påvisa att storleken av älgstammarna har en

inverkan på trafikolyckorna. Antalet trafikolyckor y beror av antalet älgar x enligt ekvationen y = 0,02x − 643. Beräkna a) antalet trafikolyckor när älgstammen är 100 000 b) antalet älgar när antalet trafikolyckor är 357.

1 . 1 L i n j e n s o m m a tem a ti s k m o d ell

15

6. Ett tåg åker med den konstanta hastigheten 120 km/h. Den avverkade

sträckan y (km) beror av den använda tiden x (h) enligt ekvationen y = 120x. a) Hur lång sträcka åker tåget på 2,5 timmar? b) Hur lång sträcka åker tåget på 43 minuter? c) Hur länge tar det att avverka en 220 km:s sträcka? Ange svaret men en minuts noggrannhet.

E2

7. En fiskhandlare säljer i medeltal 120 kg rökt sik per dag. Han beslöt

sänka kilopriset dagligen och märkte att försäljningen ökade med 3 kg per dag. a) Gör en modell av hur den dagliga försäljningsmängden y (kg) beror av antalet gånger x han sänker priset genom att bilda linjens ekvation. b) Hur stor är dagsförsäljningen när han sänkt priset 5 gånger? c) Hur många gånger har man sänkt kilopriset när dagsförsäljningen är 165 kg?

8. Vid en auktion är klubbat pris det pris som man bjuder (ropar ut) för

föremålet. Vid en viss auktion betalar köparen förutom det klubbade priset även en inropsavgift som utgör 20 % av klubbat pris. Denna avgift inkluderar mervärdesskatt. Ytterligare bär man upp en slag­ avgift som är 3 € per föremål. a) Gör en modell av hur den totala kostnaden y (euro) för ett föremål beror av klubbat pris x (euro). Åskådliggör sambandet i ett koordinatsystem. b) Kristina köper en glasskål vars klubbade pris blir 150 €. Hur stor är den totala kostnaden? c) Hur högt var det klubbade priset när Jakob betalade 70,20 € för en gitarr som han ropade in?

9. Differensen mellan talen y och x är 15.

a) Bestäm den ekvation som beskriver hur talet y beror av talet x. b) Åskådliggör sambandet i ett koordinatsystem. c) Bestäm med hjälp av grafen hur stora talen x är när deras motsvarande tal y är negativa.

E3

16 1

10. Luftens temperatur förändrades en kväll på fem timmar så att den

sjönk med 2,5 °C per timme. I början av observationen kl. 18.00 var temperaturen 15,5 °C. a) Gör en modell av hur temperaturen y (°C) berodde av tiden x (h) räknat från när man började observera termometern. Bilda den ekvation som beskriver sambandet. b) Vilken var temperaturen kl. 22.00? c) Hur mycket var klockan när temperaturen underskred 9,5 °C?

L i n j ä r a m o d elle r

11. Brändsleförbrukningen i Alexanders bil är ungefär 0,07 l per körd

kilometer. Vid starten innehöll tanken 75 l bränsle. Bränslemängden y (l) i tanken beror linjärt av antalet körda kilometrar x. a) Bilda en ekvation för den linje som beskriver sambandet. b) Hur mycket bränsle finns det i tanken efter 150 km? c) Efter hur många körda kilometrar finns det 51 l bränsle i tanken? d) Efter hur många körda kilometrar är tanken tom?

E4

12. En biolog undersökte hur antalet larver som en ödla matades med

påverkade ödlans fortplantning. Hen märkte att antalet lagda ägg y beror linjärt av antalet larver x hen ger ödlan varje gång den matas. Ödlan kunde matas med högst 10 larver per matning. Resultaten sammanställdes i tabellen nedan.

Antalet larver per matning

1

3

4

6

9

Antalet ägg

2

6

8

12

18

a) Sätt ut punkterna i koordinatsystemet. b) Anpassa en linje till punktmängden. Vilken är linjens ekvation? c) När är modellen giltig?

13. Vid en badinrättning undersökte man under ett 50 minuters pass

hur bastuns temperatur y (°C) beror av uppvärmningstiden x (min).

När bastun värms upp i 10 minuter är temperaturen 32 °C. Efter en halv timme är temperaturen 54 °C. I slutet av uppvärmningspasset är temperaturen 76 °C. a) Sätt ut punkterna i koordinatsystemet. b) Anpassa en linje till punktmängden. Vilken är linjens ekvation? c) Uppskatta modellens giltighet. Vilken var temperaturen i bastun i början av uppvärmningspasset?

14. Samuel betraktar en skiss av en trappa, sett från sidan. Han lägger

B A(0, 0)

C

D

E

ett koordinatsystem på skissen så att den nedre punkten av trappan är i origo (se figuren). Trappans höjd är 15 cm och djupet är 42 cm. a) Ange koordinaterna för de fyra punkterna B, C, D och E i trappan.

Enheten i koordinatsystemet är 10 cm. b) Anpassa en linje till punktmängden. Vilken är linjens ekvation?

Ange talvärdena med två decimalers noggrannhet.

1 . 1 L i n j e n s o m m a tem a ti s k m o d ell

17

Blandade uppgifter

15. Rosa bjuder in en fotograf till en familjefest. Fotograferandet har en

fast startavgift på 200 € och ytterligare debiteras 32 € per timme. a) Bilda en modell som anger hur de totala kostnaderna y (euro) beror av antalet timmar x (h). b) Hur mycket kostar en 2,5 timmars fotografering? c) Hur lång tid tar en fotografering som kostar 344 €?

16. Vattenvolymen i en dunk är 10 l. Vattendunken har ett hål som det i medeltal strömmar ut 0,8 dl vatten per timme genom. a) Undersök hur vattenvolymen y (l) i dunken beror av tiden t (h) och bestäm den ekvation som beskriver sambandet. b) Hur mycket vatten finns det i dunken efter 5 timmar? c) Hur lång tid tar det innan dunken är tom?

17. Massan (kg) hos några personer som deltog i en undersökning

berodde linjärt av längden (cm) enligt ekvationen y = 0,875x − 76. a) Bestäm massan hos en 1,8 m lång person. b) Hur lång är en person som väger 70 kg? Svara med en centimeters noggrannhet. c) Uppskatta om modellen är giltig för en baby som är kortare än 52 cm.

18. Provvitsordet y i ett matematikprov beror linjärt av poängmängden x

så att man får vitsordet 4− om man inte fått ett enda poäng i provet.

Därefter stiger vitsordet med 0,25 enheter för varje erhållen prov­ poäng. a) Gör en modell av hur vitsordet beror av den erhållna poängmängden när vi tolkar vitsordet 4− som 3,75. Åskådliggör sambandet i ett koordinatsystem. b) Vilket vitsord får man med 15 provpoäng? c) Hur många provpoäng krävs för vitsordet 10?

19. Summan av baskanten s (m) och höjden h (m) i en pyramid med

kvadratisk basyta är 2,4 m. a) Bestäm en ekvation som beskriver hur längden av baskanten beror av höjden. b) Åskådliggör sambandet i ett koordinatsystem. c) Uppskatta modellens giltighet. Inom vilket intervall kan höjden variera? d) Beräkna pyramidens höjd med hjälp av modellen när längden av baskanten är 65 cm.

18 1

L i n j ä r a m o d elle r