Ma3 Lång blädderex

SCHILDTS & SÖDERSTRÖMS

Ma3

LÅNG Geometri

Schildts & Söderströms www.sets.fi Fondernas samarbetsgrupp som består av Svenska kulturfonden, Svenska Folkskolans Vänner, Föreningen Konstsamfundet och Lisi Wahls stiftelse för studieunderstöd har beviljat ekonomiskt stöd för utgivningen av detta läromedel.

Finska förlagans titel: Tekijä, Pitkä matematiikka 3, Geometria Redaktörer för den finska upplagan: Timo Pitkänen, Jussi Laitila, Ville Sipiläinen Bildredaktör: Suvi-Tuuli Kankaanpää Redaktör för den svenska upplagan: Maria Palmén Omslag: Heidi Hjerpe Förlagans layout: Liisa Holm, Sari Jeskanen Ombrytning: Eija Högman och Jukka Iivarinen, Vitale Illustrationer: Marja Venäläinen

Pärmbild: bgblue, iStock Geometriska formler och figurer: shoo_arts, iStock s. 11 s. 16 s. 17 s. 18 s. 21 s. 28 s. 29 s. 35 s. 36 s. 38 s. 41 s. 44 s. 46 s. 51 s. 54 s. 58 s. 59 s. 60 s. 67 s. 68 s. 76 s. 78 s. 81 s. 83 s. 93 s. 95 s. 97 s. 98 s. 108 s. 116 s. 117 s. 120 s. 131 s. 136 s. 138 s. 139 s. 140 s. 149 s. 153 s. 159 s. 160 s. 164

Chad Mcdermott, Mostphotos www.vasa.fi Tiia Monto, Wikimedia Commons kallerna, Wikimedia Commons Max Alexander, Science Photo Library Bert Eriksson, Mostphotos Billion photos, Fotolia Sebastiaan Kroes, Getty Images Pierre Landry, Mostphotos JohanH, Mostphotos Wire_man, Shutterstock Erika Nacke, Panthermedia Telia, Shutterstock.com Artalis, Shutterstock Rawpixel, Shutterstock Rawpixel, Shutterstock Bogdanhoda, Shutterstock Offscreen, Shutterstock Bo Valentino, Mostphotos Tandemich, Shutterstock Pyzata, Shutterstock Johan Hermansson, Mostphotos Maximchuk, Shutterstock Leif Bengtsson, Mostphotos Motopark, Wikimedia Commons Anatoli Styf, Shutterstock Oleg Kozlov, Mostphotos Eastimages, Shutterstock Mark Herreid, shutterstock Leonid Andronov, Shutterstock Lynn Bendickson, Mostphotos Lagui, Shutterstock Dailin, Shutterstock A_Lesik, Shutterstock Stephen Finn, Shutterstock William Perugini, Mostphotos MV-photos GoodMood Photo, Shutterstock Victeah, Shutterstock Evgeniya Porechenskaya, Shutterstock Mirva Kakko, Lehtikuva Anastasios71, Shutterstock

Första upplagan, 2016 © Paavo Heiskanen, Päivi Kaakinen, Pertti Lehtinen, Jukka Lehtonen, Mika Leikas, Jorma Tahvanainen och Sanoma Pro Oy © 2016 Leif Österberg och Schildts & Söderströms Kopieringsförbud Det här verket är en lärobok.

Verket är skyddat av upphovsrättslagen (404/61).

Det är förbjudet att fotokopiera, skanna eller på annat sätt digitalt kopiera det här verket eller delar av det utan tillstånd. Kontrollera om läroanstalten har gällande licenser för fotokopiering och digitala licenser. Mer information lämnas av Kopiosto rf www.kopiosto.fi.

Det är förbjudet att ändra verket eller delar av det.

ISBN 978-951-52-4097-2

Till dig som använder boken Ma3 Lång

Ma3 Lång är en lärobok för kurs 3, geometri, i den långa lärokursen i matematik i gymnasiet. I geometrikursen studerar vi plan- och rymdgeometri. I kursen övar vi oss i att gestalta, motivera och använda figurer och satser som gäller för kroppar. Med hjälp av dessa beräknar vi bland annat vinklar, sträckors längder, areor och volymer.

Bokens uppbyggnad

EXEMPEL 1 EXEMPEL 2

✗

Varje avsnitt börjar med ”Vi undersöker”, en uppgift där den studerande leds in på det ämne som ska studeras och också själv finner ny kunskap. Den nya teoretiska kunskapen presenteras i form av definitioner och satser som vi motiverar och samlar till en klar helhet. Exemplen visar sedan hur den teoretiska kunskapen kan användas i olika tillämpningar. Teorin och exemplen är skrivna så att den studerande kan tillgodogöra sig kunskapen på egen hand, så därför stöder boken också individuell inlärning och flipped classroom.

I boken finns typexempel som är avsedda att räknas utan räknare.

I övriga exempel visar vi hur du kan använda räknaren som ett hjälpmedel på ett ändamålsenligt sätt. Med räknare avses i denna bok också program för symboliskt räknande och andra tekniska hjälpmedel.

Uppgifterna är indelade i två serier. Serie I innehåller basuppgifter som följer ordningen i typexemplen. Serie II innehåller basuppgifter och mer krävande uppgifter som ska erbjuda utmaningar.

1. Uppgifter som är tänkta att räknas utan räknare är markerade med blått.

2. Du kan använda räknaren som ett hjälpmedel speciellt i tillämpade uppgifter.

E1 Hänvisningarna till typexemplen hjälper dig när du övar.

En del av exemplen och uppgifterna finns förklarade i videor i den digitala versionen av boken.

Uppgifter som är markerade med geometrilogon löser du med hjälp av geometriprogram.

I boken finns ett antal gamla studentuppgifter. Studentprovens tidpunkt och årtal samt om det är fråga om den korta eller långa lärokursen är angivet i slutet av uppgiften. Till exempel [SE H-2011 lång] betyder att uppgiften ingick i långa lärokursens studentskrivning hösten 2011.

Repetition

Repetitionsuppgifterna är indelade i tre delar: först går du genom kursens innehåll i samma ordning som kapitelrubrikerna, efter det följer flervalsuppgifter och en övningsserie som innehåller uppgifter från hela kursen.

Vi önskar dig motiverande och inspirerande studier.

Kvevlax 11.11.2016 Författarna T I L L D I G S O M A N VÄ N D E R B O K E N

3

Innehåll 1 Plangeometrins grundbegrepp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1 Grundbegrepp ………………………………………………………………………………… 6 1.2 Månghörningar………………………………………………………………………………… 20

2 Likformighet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.1 Skala…………………………………………………………………………………………… 37 2.2 Förhållandet mellan areorna och volymerna av likformiga figurer…………………………… 50

3 Triangeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.1 Rätvinklig triangel……………………………………………………………………………… 60 3.2 Sinussatsen …………………………………………………………………………………… 70 3.3 Cosinussatsen ………………………………………………………………………………… 79 3.4 Satser om triangeln…………………………………………………………………………… 87

4 Cirkeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 4.1 Grundbegrepp ………………………………………………………………………………… 94 4.2 Cirkelns delar …………………………………………………………………………………… 106 4.3 Vinklar i cirkeln ………………………………………………………………………………… 114

5 Rymdgeometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 5.1 Vinklar i rymden………………………………………………………………………………… 126 5.2 Sfär……………………………………………………………………………………………… 136 5.3 Cylinder………………………………………………………………………………………… 146 5.4 Kon …………………………………………………………………………………………… 156

Repetition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

169

1 Plangeometrins grundbegrepp………………………………………………………………… 169 2 Likformighet…………………………………………………………………………………… 170 3 Triangeln………………………………………………………………………………………… 171 4 Cirkeln…………………………………………………………………………………………… 172 5 Rymdgeometri………………………………………………………………………………… 174 Flervalsuppgifter…………………………………………………………………………………… 176 Övningsserie……………………………………………………………………………………… 179

Facit………………………………………………………………………………………………… 181 Sakregister………………………………………………………………………………………… 193 4

INNEHÅLL

Förslag till tidtabell

45 min

75 min

1 Plangeometrins grundbegrepp

3 2

1.1 Grundbegrepp 1.2 Månghörningar

1 2

2 Likformighet

3 2

2.1 Skala 2.2 Förhållandet mellan areorna och volymerna av

likformiga figurer

2

1

1

1

3 Triangeln

7 4

3.1 Rätvinklig triangel 3.2 Sinussatsen 3.3 Cosinussatsen 3.4 Satser om triangeln

2 2 2 1

4 Cirkeln

7 4

4.1 Grundbegrepp 4.2 Cirkelns delar 4.3 Vinklar i cirkeln

2 2 3

5 Rymdgeometri

7 4

5.1 Vinklar i rymden 5.2 Sfär 5.3 Cylinder 5.4 Kon

1 2 2 2

Repetition

1 1 totalt

28

1 1

1 1 1 1

1 1 2

1 1 1 1

17

F Ö R S L A G T I L L T I D TA B E L L

5

1

Plangeometrins grundbegrepp I plangeometrin undersöker vi figurer som ligger i samma plan, som trianglar och cirklar. I det här kapitlet påminner vi oss om geometrins arbetsredskap, definierar plangeometrins grundbegrepp och bekantar oss med olika typer av vinklar och månghörningar.

Vi behöver kunna detta till exempel i kapitel 2 där vi undersöker likformiga figurer.

1.1 Grundbegrepp VI UNDERSÖKER

1) Fundera på vilken av punkterna C, D eller E som delar sträckan AB i förhållandet a) 1 : 2 b) 3 : 1 c) 1 : 1.

C

D

E

A

B

2) Avgör storleken på vinkeln α och motivera ditt svar. a)

b)

α

c)

38°

115°

d)

α 70°

6

α

40°

α

Punkt och linje Punkt och linje är grundbegrepp i plangeometrin. En punkt betecknas i allmänhet med stor bokstav, till exempel punkten A. Linjen fortsätter obegränsat i vardera riktningen och är därför oändligt lång.

Genom två punkter kan vi rita en och endast en linje. Vi säger att två punkter bestämmer linjen. Vi betecknar oftast en linje med hjälp av två punkter som ligger på linjen, till exempel linjen AB. Vi kan också beteckna en linje med liten bokstav, till exempel linjen l.

A

B

linjen AB

Den euklidiska geometri som vi studerar i gymnasiets geometrikurs innehåller vissa axiom eller överenskomna samband mellan grundbe­ grepp som anses självklara och inte heller kan bevisas.

Ett av dessa axiom är parallell­ axiomet: Genom en punkt A utanför en linje s kan vi rita en och endast en linje som är parallell med linjen s.

A

l linjen l

Definition

Parallella linjer

Två linjer l och m i planet är parallella när de inte skär varandra eller när de sammanfaller. l

Vi betecknar det l  m .

m

l

Om linjerna inte är parallella så är de icke-parallella. Detta betecknas l  m.

m

s

Du hittar mera information på internet med t.ex. sökorden ”Axiom i Euklides geometri”.

Definition

Normal

Linjerna l och n är varandras normaler om de är vinkelräta mot varandra.

l

n

Det betecknas l ⊥ n.

1.1 Grundbegrepp

7

Med geometriprogram avser vi dataprogram för dynamisk geo­ metri, till exempel Geogebra.

Geogebra är ett gratisprogram som du också får använda i studentprovet i matematik. Du kan ladda ner programmet från internet. Exempel och uppgifter som ska lösas med geometri­ program är betecknade med logon

.

En linje med hjälp av ett geometriprogram

Med hjälp av ett geometriprogram kan du rita en linje l genom att välja två punkter på linjen.

Du kan rita en linje m som är parallell med linjen l genom att välja linjen l och en punkt som inte ligger på linjen.

Du kan rita en normal till en linje l genom att välja linjen l och en punkt utanför linjen som ligger på normalen.

En punkt som ligger på en linje delar linjen i två strålar. Dessa fortsätter obegränsat i endast den ena riktningen. Startpunkten på en stråle och en annan punkt som ligger på strålen bestämmer entydigt strålen. l A

B

A

stråle AB

stråle l

Delning av en sträcka Två punkter på en linje avskiljer en del av en linje som kallas sträcka.

Längden av sträckan AB betecknas |AB|.

B a A

Sträckan delas utifrån den förstnämnda ändpunkten.

sträcka a

Anta att punkten P delar sträckan AB i två delar AP och PB så att förhållandet mellan delarnas längder är AP

Om punkten P delar sträckan invändigt så ligger P på sträckan AB. Om punkten P däremot delar sträckan utvändigt, så ligger punkten P på AB:s förläng­ ning. Med delning av en sträcka avses i allmänhet invändig delning.

sträcka AB

PB

=

B

A

m = m : n. n

Kvoten m : n kallas sträckans delningsförhållande och vi säger att punkten P delar sträckan AB i förhållandet m : n. Talen m och n skrivs inom parentes i figuren eftersom de endast är tal som anger förhållandet mellan delarnas längder.

Till exempel om längden av sträckan AB är 8 och punkten P delar den i två delar så att |AP| = 2 och |PB| = 6 så är sträckans delningsAP 2 1 förhållande = = = 1 : 3.

6 3 | PB| = 6 PB | AP | = 2

A

8

P

(m)

(n)

1 PLANGEOMETRINS GRUNDBEGREPP

(1)

(3)

P

B

✗

EXEMPEL 1

Längden av sträckan AB är 24. a) Punkten P delar sträckan AB förhållandet 3 : 5. Beräkna längden av sträckan PB. b) Punkten Q som ligger på förlängningen av sträckan AB delar sträckan AB i förhållandet 5 : 11. Beräkna längden av sträckan AQ. LÖSNING

24 a) Eftersom delningsförhållandet är 3 : 5 så kan vi dela sträckan AB (3) (5) i 3 + 5 = 8 lika stora delar. Vi A P B betecknar längden av en del med 3x 5x bokstaven x. Längden av sträckan AP är tre delar eller |AP| = 3x och längden av sträckan PB är fem delar eller |PB| = 5x.

Vi kan också bestämma läng­ den av PB på följande sätt: 5 PB = AB 5+ 3 5 = ⋅ 24 = 15 8

Vi bildar en ekvation och beräknar längden av en del x.

3x + 5x = 24 8x = 24

| : 8

x = 3

Vi beräknar längden av sträckan PB: |PB| = 5x = 5 · 3 = 15

b) Eftersom sträckan AB:s delningsförhållande är 5 : 11 så är AQ 5 = . Då ligger punkten Q närmare punkten A än 11 QB punkten B dvs. punkten Q ligger på den förlängning av sträckan AB som är på punkten A:s sida. Delningsförhållandet ger att |AQ| = 5x och |QB| = 11x.

11x 24 Q

A

B

5x

Vi bildar en ekvation och löser ut variabeln x.

11x = 5x + 24 6x = 24

| : 6

x = 4

Vi beräknar längden av sträckan AQ: |AQ| = 5x = 5 · 4 = 20

SVAR

a) |PB| = 15

b) |AQ| = 20 1.1 Grundbegrepp

9

Vinkel Två strålar som utgår från samma punkt P delar planet i två delar som kallas vinklar. Punkten P kallas vinkelns vinkelspets och strålarna kallas vinkelben. höger vinkelben

vänster vinkelben P

Grekiska bokstäver:

α (alfa) β (beta) γ (gamma) δ (delta) θ (theta)

På ett dygn rör sig jorden ungefär en grad kring solen.

P vänster vinkelben

höger vinkelben

En vinkel betecknas med grekiska bokstäver eller vinkelspetsen. Vi kan också beteckna en vinkel med tre bokstäver så att det klart ska framgå vilken vinkel som avses. I den här läroboken anger den första bokstaven en punkt på höger vinkelben, den mellersta bokstaven vinkelspetsen och den tredje bokstaven en punkt som ligger på vänster vinkelben.

B P

αα vinkel α ∢ APB ∢P

A

En vinkel mäts i allmänhet i enheten grader (1°). Delar av en grad anger vi i allmänhet som ett decimaltal, till exempel vinkeln 20,515° är 20 hela grader och 515 tusendels grader.

När man ska ange en geografisk position använder man ofta ett beteckningssätt där en grad delas in i 60 (vinkel)minuter (1° = 60′) och en (vinkel)minut delas in i 60 (vinkel)sekunder (1′ = 60″). Alternativt ger man delarna av en minut som ett decimaltal. Till exempel kan vi ange vinkeln 20,515° i formen 20,515° = 20° + 0,515 · 60′

= 20° + 30,9′

= 20° 30,9′.

En annan ofta använd vinkel­ enhet är radianer (rad) som vi bekantar oss med i kurs 7.

På din räknare hittar du också enheten nygrader (grad) men den används mycket sällan.

Nygrader utgår från att en full vinkel (360°) motsvarar 100 grad.

10

Vi kan också skriva vinkeln 20,515° i formen 20,515° = 20° + 30,9′

= 20° + 30′ + 0,9 · 60″

= 20° + 30′ + 54″

= 20° 30′ 54″.

1 PLANGEOMETRINS GRUNDBEGREPP

Klassificering av vinklar

Nollvinkel 0°



Spetsig vinkel 0°< α < 90°

α

Konkav vinkel 0°< α < 180°

Rät vinkel 90°

Trubbig vinkel 90°< α < 180°

α

Rak vinkel 180° α

Konvex vinkel 180° < α < 360° Full vinkel 360°

Benämningar för summan av två vinklar α och β

Komplementvinklar α och β :

α

α + β = 90° Supplementvinklar α och β :

α

α + β = 180° Explementvinklar α och β :

α + β = 360°

β

α

β

α

β

α

β

β

β

α

1.1 Grundbegrepp

11

Sidovinklar och vertikalvinklar Två konkava vinklar α och β som har ett gemensamt vinkelben så att deras andra vinkelben ligger på samma linje är varandras sidovinklar. Sidovinklarna bildar tillsammans en rak vinkel eller deras vinkelsumma är 180°.

I skärningspunkten mellan två linjer bildas fyra vinklar. De motstående vinklarna α och β kallas vertikalvinklar.

α

β

α

β

Sats

Sats om vertikalvinklar

Vertikalvinklarna är lika stora.

α=β

α β

BEVIS

Vi ritar två linjer som skär varandra och betecknar vertikalvinklarna med bok­ stäverna α och β.

γ β

α

Vi betecknar den ena av de två vinklar som ligger mellan α och β med bokstaven γ.

Vinklarna α och γ är varandras sidovinklar vilket ger att α = 180° - γ.

När vi har slutfört ett bevis så avslutar vi det ofta med beteckningen ☐ (uttalas ”vilket skulle bevisas”).

12

Vinklarna β och γ är varandras sidovinklar vilket ger att β = 180° - γ.

Vinklarna α och β är lika stora vilket gör att vi kan dra slutsatsen att vertikalvinklar alltid är lika stora. ☐

1 PLANGEOMETRINS GRUNDBEGREPP

Vinkeln mellan två linjer Definition

Vinkeln mellan två linjer i planet

I skärningspunkten mellan två linjer bildas fyra vinklar. Med vinkeln mellan linjerna avses den minsta av dessa fyra vinklar.

Vinkeln mellan parallella linjer är 0°. α

För vinkeln α mellan två linjer gäller att 0° ≤ α ≤ 90°.

✗

EXEMPEL 2

Hur stor är a) vinkeln α b) vinkeln β c) vinkeln mellan linjerna?

4α

α β

LÖSNING

a) Vinklarna α och 4α är varandras sidovinklar. Vi bildar en ekvation och bestämmer α. α + 4α = 180° Sidovinklarnas summa är 180°.

5α = 180°

| : 5

α = 36° När vi bestämmer β kan vi också utnyttja att vinklarna α och β är sidovinklar:

β + 36° = 180° β = 180° – 36° = 144°.

b) Vinklarna β och 4α är varandras vertikalvinklar och lika stora. β = 4α = 4 · 36° = 144°

c) Vinklarna i linjernas skärningspunkt är 36° och 144°. Eftersom vinkeln mellan linjer är den minsta av vinklarna så är vinkeln mellan linjerna 36°.

SVAR

a) 36°

b) 144°

c) 36°

1.1 Grundbegrepp

13

Likbelägna vinklar När linjen s skär två andra linjer l1 och l2 så uppstår det en grupp på fyra vinklar vid båda skärningspunkterna. De vinklar som har motsvarande lägen vid de två skärningspunkterna kallas likbelägna vinklar. s

β l1

γ α

l2

Vinklarna α och β är likbelägna vinklar eftersom de har motsvarande läge vid de båda skärningspunkterna. Vinkeln γ kallas alternatvinkel till vinkeln α (alternatvinkeln är den likbelägna vinkelns vertikalvinkel, γ = β).

Sats

Sats om parallella linjer

Om en linje skär två andra linjer så är de likbelägna vinklarna lika stora om och endast om linjen skär parallella linjer.

a = b ⇔ l1  l2

β α

l1 l2

Om och endast om betyder att satsen gäller i båda riktningarna. Om de likbelägna vinklarna är lika stora så skär linjen parallella linjer och omvänt om linjen skär parallella linjer så är de lik­belägna vinklarna lika stora.

En likadan sats gäller för alternatvinklar.

14

1 PLANGEOMETRINS GRUNDBEGREPP

✗

EXEMPEL 3

Med ordalydelsen att bestäm­ ma en vinkel så avses att beräkna vinkelns storlek.

a) Linjerna l och m är parallella. Bestäm vinklarna α och β. α

l

β m 140°

b) Är linjerna n och k parallella?

141°

n

38°

k

LÖSNING

a) Eftersom linjerna l och m är paral­ lella så är alternatvinklarna lika stora. Vinklarna α och 140° är varandras alternatvinklar, vilket ger att α = 140°.

α

l

β m 140°

Vinkeln β är sidovinkel till vinkeln α vilket ger att β = 180° - 140° = 40°. b) Vi betecknar den likbelägna vinkeln till vinkeln 38° med bok­ staven α. Vi undersöker om de likbelägna vinklarna är lika stora.

Vinkeln α är sidovinkel till vinkeln 141° och då är α = 180° - 141° = 39° ≠ 38°.

Eftersom de likbelägna vinklarna inte är lika stora så är linjerna n och k inte parallella.

141°

α

38°

n

k

SVAR

a) α = 140° och β = 40°

b) Nej

1.1 Grundbegrepp

15

Uppgifter Serie

I

1. Avgör med hjälp av kartan över Vasa här

nedanför om påståendet är sant. a) Rådhusgatan och Stora Långgatan är parallella. b) Kyrkoesplanaden och Bangatan är parallella. c) Stora Långgatan och Bangatan är inte parallella. d) Sandögatan och Rådhusgatan är vinkelräta mot varandra. e) Hovrättsesplanaden är normal till Rådhusgatan. f) Bangatan är normal till Sandögatan.

2. Rita med hjälp av ett geometriprogram.

a) Två punkter A och B och den linje AB som går genom punkterna. b) En punkt C som inte ligger på linjen AB och en normal till linjen AB som går genom punkten C. Märk ut linjernas skärningspunkt med bokstaven D. c) En punkt E som inte ligger på någondera linjen och en normal till linjen CD som går genom punkten E. Märk ut linjernas skärningspunkt med bokstaven F. d) En linje som går genom punkten E och är parallell med linjen CD. e) Avgör med hjälp av din figur om linjen EF är parallell med linjen AB.

3. Längden av sträckan AB är 20.

E1 a) Punkten P delar sträckan AB i förhållandet 7 : 3. Beräkna längden av sträckan AP. b) Punkten Q ligger på förlängningen av sträckan AB och delar sträckan AB i förhållandet 4 : 9. Beräkna längden av sträckan AQ. 4. Punkterna A, B och C ligger på samma

linje. Längden av sträckan AB är 12 cm och längden av sträckan BC är 5 cm. Beräkna längden av sträckan AC om punkten B ligger på a) sträckan AC b) förlängningen av sträckan AC.

5. Vilken av vinklarna α, β, γ och δ i figuren är a) CBA b) ADC c) ACB d) DCA? D

δ A

γ β α B

16

1 PLANGEOMETRINS GRUNDBEGREPP

C

6. Uttryck positionen 62,910° breddgrader

och 27,955° längdgrader för Puijotornet i Kuopio i a) grader och minuter b) grader, minuter och sekunder.

8. Kompassriktningar anges i grader, utgående

från rakt nordlig riktning, medsols. Rak nordlig riktning motsvarar då 0°. a) Emil går i kompassriktningen 135°.

I vilket väderstreck går han? b) Övernattningsstället ligger i nordväst.

I vilken kompassriktning ska man gå? c) Maja går i kompassriktningen 50°.

Samuel går emot Maja i den rakt motsatta riktningen. I vilken kompassriktning går Samuel?

N norr NW nordväst

NE nordost

W väst

E öst SW sydväst

SE sydost S syd

9. Vinkeln β är fyra gånger så stor som vin7. a) Klassificera i tabellen nedan vinklarna

25°, 183°, 65°, 210°, 95°, 90°, 350°, 180°, 85°, 155° och 177°.

Spetsig vinkel

Trubbig vinkel

Konkav vinkel

Konvex vinkel

keln α. Beräkna storleken på vinkeln α om vinklarna α och β är varandras a) komplementvinklar b) supplementvinklar c) explementvinklar.

10. Hur stor är

E2 a) vinkeln α b) vinkeln β c) vinkeln mellan linjerna?

136°

b) Vilka av vinklarna är varandras komplement­vinklar? c) Vilka av vinklarna är varandras supplement­vinklar?

α β

1.1 Grundbegrepp

17

11. Är linjerna l och m parallella?

Serie II

E3 a)

13. Punkten B ligger på sträckan AC. I vilket förhållande delar B sträckan om 11 4 AC ? a) AB = AC b) AB = 7 5

75° m 105°

14. Skriv vinkeln i decimalform. Ge svar med

tre decimalers noggrannhet. a) 60° 26′ 07″ (Breddgraden för Åbo slott) b) 22° 13′ 43″ (Längdgraden för Åbo slott)

l

b)

l 117° 65°

m

12. Bestäm vinklarna α och β när linjerna l och m är parallella. a)

146°

l

α

15. Vilken är den mindre vinkeln mellan klockans visare? a) kl. 02.00 b) kl. 15.30

m

β

11

1

10

2

4 7

l

6

11

β + 44°

3 8

4 7

12

1

11 2

9

m

3 8

4 7

β

1 PLANGEOMETRINS GRUNDBEGREPP

2

9

5

10

α

1

6

5

c) kl. 18.45 d) kl. 19.55

146°

12

10

3 8

b)

11

9

26°

18

12

6

5

12

1

10

2

9

3 8

4 7

6

5

16. Vinkeln β är 20° mindre än vinkeln α.

Bestäm vinklarnas storlek om vinklarna α och β är varandras a) komplementvinklar b) supplementvinklar c) explementvinklar.

21. En parallellogram är en fyrhörning där de

motstående sidorna är parallella. Visa med hjälp av figuren att de motstående vinklarna α och β i parallellogrammen är lika stora. β

17. Vid skärningspunkten mellan två linjer är vinklarna α och β varandras sidovinklar.

Bestäm vinklarna α och β om vinklarnas förhållande är α : β = 11 : 7. Vilken är vinkeln mellan linjerna?

18. Bestäm vinkeln α. α

2x + 15°

30° – x

α

22. Med vinkelräta projektionen av punkten P

på linjen l avses skärningspunkten mellan normalen till linjen l genom punkten P och linjen l. Rita med hjälp av ett geometriprogram en figur enligt modellen nedan.

Rita sedan de vinkelräta projektionerna av punkterna A, B och C på linjen l.

A

19. a) Linjerna l och m är parallella. Bestäm

B

vinklarna α och β.

150°

α

l l C

5β

m

β

b) Är linjerna l och m parallella? α α

l 24°

23. Vi får den vinkelräta projektionen av en

sträcka AB på linjen l genom att projicera varje punkt i sträckan på linjen l. Rita med hjälp av ett geometriprogram en figur enligt modellen nedan. Rita sedan på linjen l de vinkelräta projektionerna av sträckorna AB och AC. B

134°

m A

20. Vinkelns bisektris är en stråle som utgår

från vinkelspetsen och delar vinkeln i två lika stora vinklar. Visa att vinkelns bisektris och dess sidovinkels bisektris är vinkelräta mot varandra.

l C D

24. Visarna på en klocka rör sig steglöst. När

klockan är 9:00 så bildar visarna en rät vinkel. Ange med hela sekunders noggrannhet det klockslag när visarna följande gång bildar en rät vinkel.

1.1 Grundbegrepp

19

1.2 Månghörningar VI UNDERSÖKER

Vi ritar med hjälp av ett geometriprogram i samma figur • tre punkter A, B, och C som inte ligger på samma linje • sträckan AB • sträckan AC • en linje l som är parallell med sträckan AB och går genom punkten C • en linje m som är parallell med sträckan AC och går genom punkten B • skärningspunkten D mellan linjerna l och m.

1) I figuren uppstod en fyrhörning ABCD vars motstående sidor är parallella. Vad kallas en sådan fyrhörning?

2) Mät längderna av de motstående sidorna. Ändra fyrhörningens form genom att dra i punkten A, B eller C. Undersök längderna av de motstående sidorna. Vad upptäcker du?

3) Mät storleken av de motstående vinklarna. Ändra fyrhörningens form genom att dra i punkten A, B eller C. Vad upptäcker du?

4) Rita ut fyrhörningens diagonaler. Märk ut diagonalernas skärningspunkt i figuren. Mät längderna av diagonalernas delar.

Vad upptäcker du?

Längden av en sträcka med hjälp av ett geometriprogram

Geometriprogram har ett eget verktyg för att mäta längden av sträckor. I allmänhet mäter man längden av en sträcka på något av följande sätt: • Man väljer sträckans ändpunkter.

• Man väljer sträckan.

Storleken av en vinkel med hjälp av ett geometriprogram

Geometriprogram har ett eget verktyg för att mäta storleken på vinklar. I allmänhet mäter man storleken på en vinkel på något av följande sätt: • Man väljer vinkelbenen. I allmänhet väljer man först höger vinkel­ben och sedan vänster vinkelben.

• Man väljer tre punkter, en punkt på båda vinkelbenen och vinkel­spetsen. Man måste i allmänhet göra valet så att man först väljer en punkt på höger vinkelben, sedan vinkelspetsen och slutligen en punkt på vänster vinkelben.

20

1 PLANGEOMETRINS GRUNDBEGREPP

Månghörning Polygon ABCDE :

B C E

Följande begrepp används i samband med en månghörning:

D

A

Ett antal sträckor som är sammanfogade efter varandra i änd­ punkterna bildar en s.k. bruten linje (polygon). En planfigur som begränsas av en sluten polygon som inte skär sig själv kallas månghörning.

Månghörning ABCDE :

D

E B A

• omkrets: a) den brutna linje (polygonen) som bildar månghörningen b) längden av den brutna linjen (polygonen) • sidor: de sträckor som bildar månghörningens omkrets

C

I en månghörning finns det lika många vinklar, hörn och sidor.

• hörn: sidornas ändpunkter • diagonal: en sträcka som sammanbinder två hörn i månghörningen men inte är en sida i månghörningen • vinkel: en vinkel som öppnar sig inåt i månghörningen och ligger mellan två närliggande sidor i månghörningen sida hörn

vinkel

diagonal

Penrosetesselation är exempel på icke-periodiska mång­ hörningar som täcker ett plan.

De är uppkallade efter mate­ matikern och fysikern Sir Roger Penrose som på 1970-talet undersökte hur man kunde täcka planet med icke-perio­ diska månghörningar.

1 . 2 M å n g h ö r n i n ga r

21

Klassificering av månghörningar

Konvex månghörning Alla vinklar är mindre än 180°.

Alla diagonaler ligger helt i månghörningen.

Konkav månghörning Åtminstone en vinkel är större än 180°. Åtminstone en diagonal ligger utanför månghörningen.

Liksidig månghörning Alla sidor är lika långa.

Likvinklig månghörning Alla vinklar är lika stora.

Regelbunden månghörning Alla sidor är lika långa och alla vinklar är lika stora.

Med medelpunkten i en regelbunden mång­ hörning avses medelpunkten för den cirkel som är inskriven i månghörningen och den cirkel som omskriver månghörningen.

I allmänhet avses med medelpunkten i en månghörning den punkt som ligger lika långt från alla hörn i månghörningen. Denna punkt är också medelpunkt i den cirkel som omskriver månghörningen.

Alla månghörningar har inte en medelpunkt (se figuren längst till höger här nedanför).

Vi kan inte omskriva alla månghörningar med en cirkel och vi kan inte heller inskriva en cirkel i alla månghörningar.

22

En cirkel som omskriver en månghörning tangerar alla hörn i månghörningen och en cirkel som är inskriven i en månghörning tangerar alla sidor i månghörningen.

1 PLANGEOMETRINS GRUNDBEGREPP

Triangel En månghörning namnges utifrån antalet hörn: en triangel har 3 hörn, en fyrhörning har 4 hörn, en femhörning har 5 hörn osv.

C

Triangeln är den enklaste månghörningen. γ Triangeln namnges oftast utgående från hörnen, till exempel triangeln ABC eller ΔABC. b Triangelns sidor, hörn och vinklar betecknas i allmänhet i bokstavsordning motsols så att den motstående sidan till hörnet A med vinkeln α är a, den motstående sidan till hörnet B med α vinkeln β är b och den motstående sidan till A hörnet C med vinkeln γ är c. c

a

β B Sats

Vinkelsumman i en triangel

Summan av vinklarna i en triangel är 180°.

γ

α + β + γ = 180° α

β

BEVIS

C

Vi betecknar triangelns hörn A, B och C och motsvarande vinklar α, β och γ.

Vi ritar en linje l som är parallell med sidan AB och går genom hörnet C. Vi förlänger också triangelns sidor.

δ

γ

l

θ

α A

β B

När linjen AC skär de parallella linjerna l och AB så uppstår alternatvinklarna σ och α som är lika stora, σ = α.

På samma sätt skär linjen BC de parallella linjerna l och AB så att det uppstår alternatvinklar θ och β som är lika stora, θ = β.

Vinklarna σ, γ och θ bildar tillsammans en rak vinkel.

δ + γ + θ = 180° Vi sätter in δ = α och θ = β. α + γ + β = 180°

Summan av vinklarna α, β och γ är 180°. ☐

1 . 2 M å n g h ö r n i n ga r

23

Vilken som helst av triangelns sidor kan vara triangelns bas a. Med triangelns topp avser vi då det hörn som ligger mittemot basen. Tri­ angelns höjd h är den sträcka som går från toppen vinkelrätt mot basen eller dess förlängning. I en triangel finns tre höjder och tre baser.

h

h

a

a

Vi studerar en triangel vars bas är a och höjd h. Vi antar att triangelns höjd är helt inne i triangeln. Vi kan komplettera triangeln till en rektangel vars bas är a och höjd h.

h A1

A2

x

a–x a

Arean av en rektangel är produkten av sidornas längder, A = ab.

b a

Den vänstra rektangelns area är xh. Rektangelns diagonal delar den i två identiska trianglar, vilket 1 ger att A1 = xh.

2

Den högra rektangelns area är (a - x)h.

Rektangelns diagonal delar den i två identiska trianglar, vilket ger att 1 A2 = (a - x )h.

2

Triangelns area är då 1 1 1 1 1 1 A = A1 + A2 = xh + (a - x )h = xh + ah - xh = ah.

2 2 2 2 2 2 Sats

Triangelns area

Triangelns area är halva produkten av basen a och höjden h.

1 A = ah 2

24

1 PLANGEOMETRINS GRUNDBEGREPP

h a

Klassificering av trianglar utifrån vinklarnas storlek

Spetsvinklig triangel Trubbvinklig triangel Rätvinklig Alla vinklar är En vinkel är större triangel En vinkel är 90°. mindre än 90°. än 90°.

Definition

Satser

En triangel är likbent om två sidor är lika långa. Dessa sidor kallas ben. Den tredje sidan kallas bas. α – α – 2 2

b

• Höjden h delar triangeln i två likadana rätvinkliga trianglar.

• Höjden h halverar topp­ vinkeln α och basen a.

• Basvinklarna β är lika stora.

• Om två vinklar i en triangel är lika stora så är triangeln likbent.

b

h

β

β a – 2

a – 2

En triangel är liksidig om alla sidor är lika långa.

30° 30° a

a

h

60°

• Höjden h halverar vinkeln och den motstående sidan oberoende av från vilket hörn man ritar höjden.

• Alla vinklar är lika stora, 60°.

60° a – 2

a – 2

1 . 2 M å n g h ö r n i n ga r

25

✗

EXEMPEL 1

Förhållandet mellan toppvinkelns storlek och basvinkelns storlek i en likbent triangel är 5 : 2. Bestäm triangelns vinklar.

LÖSNING

Förhållandet mellan toppvinkeln och basvinkeln är 5 : 2. Vi betecknar toppvinkelns storlek med 5x. Då är basvinkelns storlek 2x. I en likbent triangel är basvinklarna lika stora. Vi ritar en figur.

5x 2x

2x

Vinkelsumman i en triangel är 180°. Vi bildar en ekvation och löser ut variabeln x.

5 x + 2 x + 2 x = 180 9 x = 180

:9

x = 20

Vi beräknar vinklarnas storlekar.

Toppvinkeln: 5x = 5 · 20° = 100° Basvinklarna: 2x = 2 · 20° = 40° SVAR

100°, 40° och 40°

26

1 PLANGEOMETRINS GRUNDBEGREPP

Fyrhörning Vi kan klassificera fyrhörningar utifrån sidornas riktningar.

Definition

Satser

Ett trapets (parallelltrapets) är en fyrhörning som har två parallella sidor, medan de två andra inte är parallella.

Om de två icke-parallella sidorna är lika långa kallas trapetset likbent. b

Trapetset area är produkten av medelvärdet av de parallella baserna a och b samt höjden h.

1 A = (a + b )h 2

h

a

En parallellogram är en fyrhörning vars motstående sidor är parallella.

h

Parallellogrammens area är produkten av basen a och höjden h.

A = ah

a Några av sidorna har ett tvärstreck. Det betyder att de sinsemellan är lika långa. På motsvarande sätt är sidorna med två tvärstreck sinsemellan lika långa.

På motsvarande sätt kan vi ange att vinklar är sinsemellan lika stora genom att rita en eller flera bågar, alternativt en båge med ett eller flera tvärstreck.

Parallellogrammens • motstående vinklar är sinsemellan lika stora • motstående sidor är sinsemellan lika långa • diagonaler halverar varandra.

I uppgift 40 bevisar vi formlerna för trapetsets och parallellogrammens areor.

1 . 2 M å n g h ö r n i n ga r

27

EXEMPEL 2

Johans och Johannas tomt har formen av ett trapets. Längd­ differensen mellan de två parallella sidorna är 30 m och tomtens area är 0,85 hektar. Bestäm längden av de två parallella sidorna om trapetsets höjd är densamma som längden av den längre av de två parallella sidorna.

LÖSNING

x

Vi ritar en figur. Vi betecknar längden av den kortare av den två parallella si­­dorna med bokstaven x. Då är den längre sidans längd x + 30.

Vi ändrar enheten för arean till kvadrat­ meter eftersom sidornas längder är givna i meter:

x + 30

A = 0,85 ha = 8500 m2.

x + 30

Vi bildar en ekvation med hjälp av formeln för trapetsets area.

Det är lättare att utföra uträk­ ningarna utan enhet. Vi måste ändå beakta enheterna för att vi ska få rätt enhet i svaret. I exemplet är sidornas längder givna i meter och då måste vi också skriva arean i kvadrat­ meter.

A=

1 (a + b )h 2

1 ( x + x + 30)( x + 30) 2 1 8500 = (2 x + 30)( x + 30) 2 2 x + 45 x - 8050 = 0

A = 8500 a=x b = x + 30 h = x + 30

8500 =

Vi hyfsar ekvationen.

Vi löser ekvationen med hjälp av en räknare.

x = -115 eller x = 70 Eftersom värdet av sidans längd x är positivt, så är x = 70 (m).

Den kortare sidans längd är 70 m och den längre sidans längd är 70 m + 30 m = 100 m.

SVAR

70 m och 100 m

28

1 PLANGEOMETRINS GRUNDBEGREPP

Vi kan klassificera specialfallen av en parallellogram utifrån sidornas längder och vinklarnas storlek. För dessa specialfall gäller alla satser om parallellogrammer som vi har nämnt tidigare.

Specialfall av parallellogrammer

En romb är en En rektangel är en parallellogram vars parallellogram vars alla alla sidor är lika långa. vinklar är räta.

Rombens diagonaler är vinkelräta mot varandra. b

h

a

a

b

a

a

A = ah

En kvadrat är en parallello­ gram vars alla sidor är lika långa och alla vinklar räta.

A = ab

A = a2

1 . 2 M å n g h ö r n i n ga r

29

✗

EXEMPEL 3

Bestäm vinklarna i romben i figuren.

LÖSNING

Vi använder beteckningarna i figuren.

Eftersom alla sidor i romben är lika långa så är triangeln ACD likbent.

25°

D

C

25°

β

E A

Eftersom rombens diagonaler är vinkel­räta mot varandra så är sträckan DE höjd i triangeln ACD och höjden halverar toppvinkeln D.

B

Vi beräknar vinkeln D. D = 2 ⋅ 25 = 50

Eftersom de motstående vinklarna i en parallellogram (romben är en parallellogram) är lika stora så är storleken av vinkeln B också 50°.

Eftersom vinkelsumman i en triangel är 180° så kan vi beräkna vinkeln β ur triangeln DEC.

β = 180 − 25 − 90 = 65 Triangeln DBC också likbent vilket ger att C = 2 β = 2 ⋅ 65 = 130 .

Eftersom de motstående vinklarna i en parallellogram är lika stora så får vi att vinkeln A är 130°.

SVAR

50°, 50°, 130° och 130°

30

1 PLANGEOMETRINS GRUNDBEGREPP

EXEMPEL 4

Beräkna vinkelsumman i en konvex a) fyrhörning b) sexhörning.

LÖSNING

a) Vi kan dela fyrhörningen i två trianglar med hjälp av en diagonal. Fyrhörningens vinkelsumma är då den­ samma som summan av vinklarna i två trianglar:

2 · 180° = 360°.

b) Vi kan dela en konvex sexhörning i fyra trianglar med hjälp av diagonaler som utgår från ett och samma hörn. Sexhörningens vinkelsumma är då densamma som summan av vinklarna i fyra trianglar:

4 · 180° = 720°.

SVAR

a) 360°

Att bevisa satsen allmänt kräver andra metoder. Om antalet hörn är minst sex så behöver det inte existera ett enda hörn från vilket man kan dra diagonaler så att alla ligger i månghörningen.

b) 720°

Metoden i exempel 4 kan generaliseras till alla konvexa mång­ hörningar. De diagonaler som utgår från ett och samma hörn i en konvex månghörning ligger helt i månghörningen så att antalet trianglar som uppstår alltid är två färre än antalet hörn i mång­ hörningen.

Man kan visa att motsvarande också gäller för konkava månghörningar.

Sats

Vinkelsumman i en månghörning

Om antalet hörn i en månghörning är n, så är månghörningens vinkelsumma (n - 2) ⋅180o .

1 . 2 M å n g h ö r n i n ga r

31

Uppgifter Serie

27. Ändra till den givna enheten. Du kan

I

repetera enheterna på sidan 191.

25. Klassificera månghörningarna i tabellen

a) 4 560 cm = _________ m

nedan.

b) 0,45 km = _________ m c) 125 m2 = _________ a d) 2,5 ha = _________ m2 e) 8,54 · 106 mm2 = _________ m2

B

A

f) 2,5 dl = _________ dm3 g) 149 cm3 = _________ l

28. Rita exakt en likadan figur som nedan i C

ett geometriprogram. Mät de mått som du behöver och beräkna figurens area med två gällande siffrors noggrannhet.

D

F

E

a)

Konvex månghörning Konkav månghörning Regelbunden månghörning Parallellogram Likbent triangel Liksidig triangel

26. Bestäm vinkeln α.

E1 a)

5α

α

3α

b) α

c) α 50°

32

1 PLANGEOMETRINS GRUNDBEGREPP

b)

29. Beräkna arean och omkretsen av den lik-

32. Bestäm vinklarna α och β.

sidiga triangeln med två gällande siffrors noggrannhet.

E3 a) Figuren är en parallellogram.

130° α

β

b) Figuren ACDE är ett trapets och figuren BCDE är en parallellogram.

− 4√3 cm

E 4 cm

D α

30. Bitarna i det kinesiska läggspelet Tangram får man genom att dela en kvadrat enligt figuren nedan. Ange delarnas areor, när en sida i kvadraten har längden 1.

[SE H-2011 kort]

1 – 2 1 – 4

A

B

C

33. Beräkna vinkelns storlek i en regelbunden E4 åttahörning.

34. Bestäm vinklarna α och β om mång­

B

3 – 4

β

hörningen är en regelbunden 12-hörning.

F A

β

E

α

D C 1 – 4

G 1 – 2

3 – 4

31. Arean av en trapetsformad åker är 150 a.

E2 Avståndet mellan de parallella sidorna är 80 m. Bestäm längderna av de parallella sidorna om differensen av sidornas längder är 5 m.

35. Sträckorna AB, AC och AD är lika långa. a) Visa att α = 2β. b) Visa att vinkeln CDB är rät.

D

C

α

β A

1 . 2 M å n g h ö r n i n ga r

B

33

39. Basen i en parallellogram är 7 cm och höj-

Serie II

36. a) Toppvinkeln i en likbent triangel är 30° större än basvinkeln. Bestäm triangelns vinklar. b) Förhållandet mellan vinklarna i en triangel är 1 : 2 : 3. Beräkna vinklarnas storlek.

40. a) Bevisa formeln för parallellogrammens area genom att använda figuren nedan som hjälp.

37. Sidans längd i kvadraten nedan är 9 m.

Beräkna arean av det färglagda området.

3m

den är 4 cm. Parallellogrammens bas och höjd ändras på så sätt att arean hålls oförändrad. Hur många procent ändras basens längd om höjden a) ökar med 50 % b) minskar med 50 %?

b) Bevisa formeln för trapetsets area.

41. Visa att diagonalerna i en romb är vinkelräta mot varandra.

2m

38. Fyra gula kvadratiska plattor med sid­

42. En ljusstråle reflekteras från en spegel i

samma vinkel som den träffar spegeln.

I ett rum finns två vertikalt ställda speglar, vilkas mellanliggande vinkel är 130°. En horisontell ljusstråle reflekteras turvis från båda speglarna. Vilken är vinkeln mellan den infallande och den utgående strålen?

[SE V-1993 lång, modifierad]

längden 15,0 cm placeras i ett kvadratiskt rutmönster så att det mellan plattorna bildas lika breda ränder som tillsammans bildar en korsformad figur. Detta område beläggs med orangefärgade små plattor.

Vilka är rändernas bredd då de fyra plattornas sammanlagda area och korsets area är lika stora? [SE H-1999 kort, modifierad]

130°

43. Bestäm vinkeln α i trapetset.

4α

20° α

34

1 PLANGEOMETRINS GRUNDBEGREPP

44. Undersök genom att rita hur många

diagonaler det finns i en a) fyrhörning b) femhörning c) sexhörning. Dra slutsatser om antalet diagonaler i en n-hörning.

46. Vi delar fyrhörningen i figuren i fyra

områden genom att rita två diagonaler.

I figuren finns utsatt areorna för tre av dessa områden. Beräkna arean A av det fjärde området.

45. Visa att summan av vinklarna A, B, C, D och E är en rak vinkel.

E

12,4 cm2

B

18,6 cm2

6,4 cm2

A

C

D A

1 . 2 M å n g h ö r n i n ga r

35