Ma3 Kort blädderex

SCHILDTS & SÖDERSTRÖMS

Ma3 KORT

Sanna Hassinen Katariina Hemmo Timo Taskinen Jan-Anders Salenius

Ma3

KORT Geometri

Geometri

A=½bh

Sp=∏r2 ISBN: 9789515240989 K51

9 789515 240989

P= a+b+c

Schildts & Söderströms www.sets.fi Finska förlagans titel: Tekijä. Lyhyt matematiikka 3. Geometria Redaktör för den finska upplagan: Sanna Niemelä Redaktör för den svenska upplagan: Hans Nordman Typografi: Liisa Holm Omslag: Heidi Hjerppe / Kustmedia Förlagans layout: Juho Niemelä Svenska upplagans ombrytning: Jukka Iivarinen / Vitale Bilder: Fotolia: 20 nere (Philophoto), 25, 28 (john(dot)amas{at}ntlworld[dot]com), 82 (Rolf Fischer Rinteln), 86, 87 uppe (Oez), 96 (@nt), 117 (euboss33), 202 (CBH), 213 (mode_list), 214 (yurakp)

Mostphotos: 71, 76, 196

Rodeo: 54 (Ron Chapple Stock)

Shutterstock: 15, 19, 26, 32, 34, 35, 48, 53, 59, 67, 74 (meunierd), 75, 105 (Sakala), 112, 116, 118 nere, 118 uppe. (Mikhail Varentsov), 137, 144, 146, 151, 157, 159, 174, 181, 184, 185, 208 (Dennis van de Water)

Vastavalo: 14 (Emmi Korhonen), 20 uppe, 62 (Jussi Murtosaari), 206 (Jussi Murtosaari) © Sanna Hassinen, Katariina Hemmo, Timo Taskinen och Sanoma Pro Oy © 2016 Jan-Anders Salenius och Schildts & Söderströms Kopieringsförbud Det här verket är en lärobok. Verket är skyddat av upphovsrättslagen (404/61).

Det är förbjudet att fotokopiera, skanna eller på annat sätt digitalt kopiera det här verket eller delar av det utan tillstånd. Kontrollera om läroanstalten har gällande licenser för fotokopiering och digitala licenser.

Mer information lämnas av Kopiosto rf www.kopiosto.fi Det är förbjudet att ändra verket eller delar av det.

Fondernas samarbetsgrupp som består av Svensk kulturfonden, Svenska Folkskolans Vänner, Föreningen Konstsamfundet och Lisi Wahls stiftelse för studieunderstöd har beviljat ekonomiskt stöd för utgivningen av detta läromedel.

Första upplagan, 2016 ISBN 978-951-52-4098-9

Innehåll 1 Vi repeterar planfigurer och rymdkroppar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1 Månghörningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Cirkeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.3 Rymdkroppar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2 Pythagoras sats och trigonometriska funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.1 Geometrin i en rätvinklig triangel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2.2 Rätvinkliga trianglar och månghörningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 2.3 Sekant och tangent i en cirkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 2.4 Rymdgeometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 2.5 Geometri i koordinatsystemet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 3 Likformighetsförhållande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 3.1 Likformiga figurer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 3.2 Likformighetsskala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 4 Tilläggsmaterial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 4.1 Enhetsomvandlingar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 4.2 Olika vinklar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 4.3 Regelbundna månghörningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 4.4 Jorden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 4.5 Likformiga kroppar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 5 Repetition: Geometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 5.1 Centralt stoff i kursen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 5.2 Matematiska modeller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 5.3 Flervalsuppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

Facit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

Register . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

Till dig som använder boken Mål Det centrala i undervisningen av matematik och med denna kursbok är att den studerande får positiva inlärningserfarenheter när hen jobbar med matematiken, att hen lär sig lita på sin egen förmåga och på sina egna kunskaper samt att hen uppmuntras till prövande, undersökande och uppfinningsrik inlärning.

Gymnasiets läroplan ställer upp många mål för undervisningen i kort matematik. Den studerande ska exempelvis kunna använda matematiken som stöd i vardagen och i samhällelig aktivitet. I en snabb föränderlig värld måste man kunna ta emot och analysera given information i matematisk form som erbjuds via olika medier.

Man måste också kunna uppskatta informationens tillförlitlighet.

Gymnasisten bör skaffa sig sådana kunskaper och färdigheter som ger en tillräcklig grund för fortsatta studier. Ytterligare bör hen lära sig använda ändamålsenliga tekniska hjälpmedel och informationskällor.

Geometrikursens mål i den nya läroplanen är att den studerande ska ◗ få vana att göra iakttagelser och dra slutsatser om geometriska egenskaper hos figurer och kroppar ◗ bli skickligare i att rita plana figurer och tredimensionella kroppar ◗ kunna lösa praktiska problem med hjälp av geometri ◗ kunna använda tekniska hjälpmedel vid undersökning av figurer och kroppar och vid lösning av tillämpade problem med anknytning till geometrin.

Bokens uppbyggnad I serien Ma Kort ingår många olika lösningar som stöder den studerande i att uppnå de mål som ställs i läroplanen.

• I början av varje huvudkapitel finns ett schema med de centrala målen. Ytterligare omnämns här vilka saker den studerande ska behärska utan hjälpmedel och vilka saker hen ska behärska med hjälpmedel.

• Varje avsnitt börjar med en ”Vi undersöker”-uppgift där den studerande leds in på det ämne som ska studeras och också själv finner ny kunskap.

Vi undersöker

E1

• T ill varje exempel i boken hör en motsvarande övningsuppgift i uppgiftsdelen. Dessa uppgifter är tydlig utmärkta med en symbol.

Detta underlättar också självständiga studier.

123.

• D e mera krävande uppgifterna är utmärkta på färgat botten. De kan vara antingen räknaruppgifter eller uppgifter som är avsedda att göras utan räknare.

Tilläggsmaterial: Jorden s. 175

• Tilläggsmaterialet som hör till kursen finns samlat i ett eget kapitel. I teoridelen finns hänvisningar till detta kapitel.

I studentprovet i matematik görs en del uppgifter utan tekniska hjälpmedel och en del med tekniska hjälpmedel. Med hjälpmedel menas här dator eller räknare. Denna indelning av uppgifter har även beaktats i kursboken.

• N ågra exempel är lösta utan räknare. På motsvarande sätt är det meningen att du ska lösa en del av uppgifterna utan hjälpmedel.

• De exempel och uppgifter i vilka det är meningen att du ska använda räknare eller dator är utmärkta med en symbol.

När man i bokens exempel och uppgifter hänvisar till räknaren menar man med detta att du kan använda dig av vilket tekniskt hjälpmedel som helst som lämpar sig för att lösa uppgiften.

◗ Användning av räknare eller annat hjälpmedel

I kapitlen finns anvisningar till olika möjligheter för användning av tekniska hjälpmedel. Dessa anvisningar innehåller exempelvis information om vilka användbara funktioner du kan hitta i räknarna.

1

Vi repeterar planfigurer och rymdkroppar M ålet är

■

att repetera egenskaper för planfigurer och rymdkroppar

■

att repetera hur vi beräknar omkrets och area för planfigurer

■

att repetera hur vi beräknar area och volym för rymdkroppar

■

att vi lär oss rita modellfigurer av planfigurer och rymdkroppar

◗ Hur beräknar vi omkrets och area för en planfigur?

– triangel – fyrhörning – cirkel ◗ Hur beräknar vi area och volym för en rymdkropp?

– cylinder – kon – klot ◗ Hur bildar vi och löser vi ekvationer som har att göra med geometriska figurer och kroppar?

◗ Hur bildar vi och löser vi ekvationer som har att göra med geometriska figurer och kroppar?

– omkrets – area – volym ◗ Hur ritar vi modellfigurer av planfigurer och rymdkroppar?

– att rita vinklar – att rita planfigurer – att rita rymdkroppar – att rita höjder – att beteckna utgångsinformation i figurer

  7

1.1

Månghörningar

Fundera på

a) Bilda ett uttryck för rektangelns omkrets och area.

b a

b) Bilda uttrycken för trianglarnas omkretsar och areor. c

b

b

a

h

c

a

c) Vi kan dela in en parallellogram i två trianglar. Härled med hjälp av figuren ett uttryck för arean av parallellogrammen. a

b

h

h

b

a

d) Härled med hjälp av figuren ett uttryck för arean av trapetset. b

h

8 1

a

V i r e p ete r a r p l a n f i g u r e r o c h r y m d k r o p p a r

Öva dig att rita olika modellfigurer i den mån du under kursen möter nya figurer och kroppar.

I plangeometrin undersöker vi olika figurer samt sträckor, areor och vinklar som är kopplade till dem. Vi bör känna till olika egenskaper för de geometriska figurerna innan vi kan ta oss an uppgifter med anknytning till geometri. Det är bra att känna till egenskaperna som har med figurerna att göra då vi ska utföra beräkningar eller skissera modellfigurer. Vi bör också kunna rita modellfigurer med tekniska hjälpmedel.

Låt oss kort repetera egenskaper och formler som har att göra med olika månghörningar.

Triangeln är den enklaste månghörningen.

• Vinkelsumman i en triangel är 180°. γ

Tilläggsmaterial: Olika vinklar s. 165

α + β + γ = 180°

β

α

• Vinklarna och sidorna i en triangel står i ett visst förhållande till varandra. Sidan som står mittemot den minsta vinkeln är kortast medan sidan som står mittemot den största vinkeln är längst. största vinkeln kortaste sidan

minsta vinkeln

längsta sidan

• Triangelns höjd h utgör den vinkelräta sträckan från toppen mot basen. topp h

höjd

bas

• Vi får triangelns area genom att multiplicera basen och höjden med varandra.

h

Triangelns area ah 1 A= = ah 2 2

a 1.1 Månghörningar

9

I tabellen presenteras några viktiga trianglar och egenskaperna hos dem.

Triangel

Egenskaper

Rätvinklig triangel • I triangeln finns en 90 graders vinkel.

β hypotenusa katet

• De två övriga vinklarna (α och β ) är spetsiga.

• Den längsta sidan är hypotenusan.

• De två övriga sidorna är kateter.

α katet

• Kateterna utgör vinkelben till den räta vinkeln.

Likbent triangel toppvinkel

• I triangeln är två sidor lika långa.

• De lika långa sidorna kallar vi ben. Den tredje sidan utgör triangelns bas.

• Basvinklarna (α ) är lika stora.

ben

ben

α

• Höjden från toppen halverar toppvinkeln och basen.

α bas

Liksidig triangel • Alla tre sidor i triangeln är lika långa.

• Alla vinklar i triangeln är 60°.

60°

60°

10 1

• Höjden halverar toppvinkeln och basen.

60°

V i r e p ete r a r p l a n f i g u r e r o c h r y m d k r o p p a r

Bestäm vinklarna α och β när triangeln ABC är likbent.

EXEMPEL 1

C

25° De sträckor som sinsemellan är lika långa kan vi i figuren beteckna med små tvärstreck.

β

α

50° A LÖSNING

Vi kan lättare hänvisa till figuren om vi betecknar alla hörn i den.

B

Vi undersöker den rätvinkliga triangeln DBC som finns inne i den likbenta triangeln.

Höjden CD halverar toppvinkeln i den likbenta triangeln. Toppvinkeln i triangeln DBC är därför 25°.

Vinkelsumman i en triangel är 180°.

C

25° 25°

β

Vi bildar en ekvation och löser ut α ur den.

α + 25° + 90° = 180°

α

50°

α = 180° − 25° − 90°

A

D

B

α = 65° Vi undersöker nu triangeln ADE och betecknar toppvinkeln med bokstaven γ .

C

Eftersom vinkelsumman i en triangel är 180°, får vi γ = 180° − 50° − 90° = 40°.

Tilläggsmaterial: Olika vinklar s. 165

25° 25° β γ

Vinklarna β och γ bildar en rak vinkel tillsammans.

β + γ = 180°

β + 40° = 180°

E

α

50° A

D

β = 180° − 40° β = 140°

SVAR

α = 65°, β = 140°

1.1 Månghörningar

11

B

EXEMPEL 2

I en rätvinklig triangel är den ena kateten 2 cm längre än den andra.

Beräkna kateternas längder när a) längden av hypotenusan är 10 cm och omkretsen av triangeln är 24 cm. b) arean av triangeln är 12 cm2.

LÖSNING

Vi kan lösa uppgiften utan modellfigur. I så fall måste vi komma ihåg att förklara de betckningar vi använt för kateternas längder.

a) Vi betecknar längden av den kortare kateten med bokstaven x. Då anger uttrycket x + 2 längden av den längre kateten.

Omkretsen av triangeln är 24 cm. Vi bildar en ekvation och löser ut x ur den.

x+2

x + x + 2 + 10 = 24

10 cm

x

2 x = 12 : 2 x=6

Längden av kateterna är 6 cm och 6 cm + 2 cm = 8 cm. b) Arean av triangeln är 12 cm2. Vi får två olika uttryck för arean och sätter dem lika med varandra.

Arean av en triangel a⋅h A= 2

x ⋅ ( x + 2) = 12 2 x( x + 2) = 24

⋅2

x

x+2

x 2 + 2 x = 24 x 2 + 2 x − 24 = 0

x= x= x= x=

Lösningsformeln

−2 ± 22 − 4 ⋅ 1 ⋅ (−24) −b ± b2 − 4ac x= 2a 2 ⋅1 −2 ± 100 a = 1, b = 2, c = −24 2 −2 ± 10 2 −2 + 10 −2 − 10 = 4 eller x = = −6 2 2

Eftersom längden av en sida i en triangel är positiv godkänner vi x = 4 (cm).

Längden av kateterna är då 4 cm och 4 cm + 2 cm = 6 cm.

SVAR

12 1

a) Längden av kateterna är 6 cm och 8 cm. b) Längden av kateterna är 4 cm och 6 cm.

V i r e p ete r a r p l a n f i g u r e r o c h r y m d k r o p p a r

Tilläggsmaterial: Regelbundna månghörningar s. 171

Alla fyrhörningar går att dela in i två trianglar med hjälp av en diagonal. Därför är vinkelsumman i en fyrhörning 2 ∙ 180 ° = 360°.

Fyrhörning

Egenskaper

Rektangel • Alla vinklar är 90 grader.

• Motstående sidor är lika långa.

A = ah

h

• En kvadrat är en rektangel vars alla sidor är lika långa.

a

Parallellogram • Motstående sidor är parallella och lika långa.

• Motstående vinklar är lika stora.

A = ah

h

a

• Höjden utgör avståndet mellan de parallella sidorna.

• En romb är en liksidig parallellogram.

Trapets • Två sidor är parallella. b

h

a+b A = -· h 2 a

• Alla sidor och vinklar kan vara olika stora.

• Höjden utgör avståndet mellan de parallella sidorna.

• De icke-parallella sidorna i ett likbent trapets är lika långa.

Basvinklarna är sinsemellan lika stora, liksom de vinklar som står emot basen.

1.1 Månghörningar

13

EXEMPEL 3

Förhållandet mellan de olika riktade sidorna i en rektangel är 2:3.

Beräkna arean av rektangeln när omkretsen av rektangeln är 300 m.

Svara i enheten ar.

LÖSNING

Vi betecknar de olika riktade sidorna med 2x och 3x.

2x

3x

Vi bildar en ekvation med hjälp av omkretsen och löser den.

2 ⋅ 2 x + 2 ⋅ 3x = 300

4 x + 6 x = 300 10 x = 300

: 10

x = 30 De olika riktade sidorna i rektangeln är: • 2 ⋅ 30 m = 60 m • 3 ⋅ 30 m = 90 m.

Vi berknar nu arean av rektangeln.

Tilläggsmaterial: Enhetsomvandlingar s. 160 SVAR

14 1

60 m ⋅ 90 m = 5400 m2 = 54 a

Arean av rektangeln är 54 a.

V i r e p ete r a r p l a n f i g u r e r o c h r y m d k r o p p a r

Sidornas förhållande 2 x/ 2 = = 2: 3 3x/ 3

EXEMPEL 4

Tommy ska göra en origamisk vikning och behöver för detta ändamål ett papper med formen av ett likbent trapets. Han har ett rombformat papper med sidlängden 18,5 cm och höjden 17,4 cm. Tommy skär i ena kanten av romben bort en triangelbit och får då ett papper som har formen av ett likbent trapets. Den kortare sidan av de parallella sidorna i det likbenta trapetset är 5,9 cm. Med hur många procent minskar arean av pappret?

LÖSNING

Arean av en parallellogram

Vi beräknar först arean av det ursprungliga rombformade pappret.

A = ah

Aromb = 18,5 cm ⋅ 17,4 cm

17,4 cm

= 321,9 cm2

18,5 cm

18,5 cm

Vi beräknar arean av det likbenta trapetset.

• Höjden i det likbenta trapetset är densamma som rombens höjd d.v.s. 17,4 cm.

5,9 cm

• Längden av de parallella sidorna i det likbenta trapetset är 18,5 cm och 5,9 cm.

17,4 cm

18,5 cm Arean av ett trapets a+b A= ⋅h 2

Atrapets =

18,5 cm + 5,9 cm ⋅ 17,4 cm = 212,28 cm2 2

Vi jämför arean av det likbenta trapetset med arean av romben.

212,28 cm2 321,9 cm2

= 0,65945... = 65,945... %

Arean minskar med

SVAR

100 % − 65,945… % = 34,054… ≈ 34 %.

Arean minskar med 34 %.

1.1 Månghörningar

15

◗ Användning av räknare eller annat hjälpmedel Att rita modellfigur För att kunna rita modellfigurer måste vi kunna rita olika trianglar, fyrhörningar och regelbundna månghörningar. Lär dig rita • trianglar: rätvinlig triangel, likbent triangel, liksidig triangel • fyrhörningar: rektangel, kvadrat, parallellogram, trapets, likbent trapets • någon regelbunden månghörning, exempelvis en regelbunden sexhörning.

Att rita en vinkel Med ritprogram kan vi rita och mäta vinklar av olika storlek. Lär dig rita vinklar enligt givna mått, exempelvis en 40 graders vinkel.

Lär dig också rita en godtycklig triangel där alla vinklar är kända.

När vi exempelvis vill rita rätvinkliga trianglar vars kateter är kända kan vi använda koordinatsystemet som hjälp.

• Placera den räta vinkelns spets i origo och rita sedan in kateterna med deras rätta längder med hjälp av koordinatsystemet.

Höjden I figurer behöver vi ofta rita in en höjd. Vi kan då börja med att rita in en normal, d.v.s. en vinkelrät linje, till basen.

Att anteckna utgångsinformation i modellfiguren När vi löser en uppgift behöver vi ofta hänvisa till en modellfigur.

Namnge hörnen och/eller sidorna i figuren. Det gör det lättare att hänvisa till figuren.

C

C h

A

16 1

B

D

C

h A

D h

B

A

V i r e p ete r a r p l a n f i g u r e r o c h r y m d k r o p p a r

B

C h

A

B

Uppgifter 1. Bestäm vinkeln x när figuren är a) en triangel

b) en parallellogram

x 80°

35°

x 65°

c) en likbent triangel

d) ett trapets. x

40°

E1

125°

x

2. Bestäm vinklarna α och β .

55°

β

α

3. Bestäm α , β och γ . a) γ α

β

b) 30°

α

γ β

1.1 Månghörningar

17

4. a) Toppvinkeln i en likbent triangel är 30° större än basvinkeln.

Beräkna storleken av vinklarna i triangeln. b) Förhållandet mellan de spetsiga vinklarna i en rätvinklig triangel är 2 : 7. Beräkna storleken av de spetsiga vinklarna i triangeln.

5. Omkretsen av en rätvinklig triangel är 48 cm. a) Beräkna längden av sidorna. b) Beräkna arean av triangeln.

5x

3x

4x

E2

6. Den ena kateten i en rätvinklig triangel är 7 cm kortare än den andra.

Beräkna längden av kateterna när a) triangelns hypotenusa är 13 cm och omkretsen av triangeln är 30 cm. b) arean av triangeln är 4,0 cm2.

7. Triangeln ABC är likbent.

a) Basen i triangeln ABC är 3 cm längre än benet. Beräkna längden av sidorna i triangeln när triangelns omkrets är 18 cm. b) Arean av triangeln ABC är 12 cm2. Beräkna triangelns höjd.

E3

8. Förhållandet mellan de olika riktade sidorna i en rektangel är 3:4.

Beräkna arean av rektangeln när dess omkrets är 42 cm.

9. Av de olika riktade sidorna i en rektangel är den ena sidan 2 cm längre än den andra. Arean av rektangeln är 35 cm2. Beräkna omkretsen av rektangeln.

10. a) Basvinklarna i ett likbent trapets är 20° mindre än de vinklar som

står emot basen. Beräkna storleken av vinklarna i det likbenta trapetset. b) Förhållandet mellan basvinklarna i en parallellogram är 4:5. Beräkna storleken av de olika stora vinklarna i parallellogrammen.

11. De parallella sidorna i ett likbent trapets är 4 cm och 8 cm. Beräkna höjden i det likbenta trapetset när arean av trapetset är 30 cm2.

12. Förhållandet mellan de parallella sidorna i ett likbent trapets är 1:3.

Höjden i det likbenta trapetset är 3 cm och arean är 12 cm2. Beräkna längden av de parallella sidorna.

18 1

V i r e p ete r a r p l a n f i g u r e r o c h r y m d k r o p p a r

13. Rita vinkeln α .

a) α = 45° b) α = 90°

c) α = 130°

14. a) Rita en rätvinklig triangel ABC.

b) Beteckna kateterna med bokstäverna a och b samt hypotenusan med bokstaven c.

15. Rita triangeln ABC när den är a) liksidig b) likbent c) spetsvinklig d) trubbvinklig.

I en spetsvinklig triangel är alla vinklar mindre än 90 grader.

I en trubbvinklig triangel är en vinkel trubbig d.v.s. en vinkel är större än 90 grader.

16. Rita höjderna i trianglarna i föregående uppgift. Beteckna höjderna med bokstaven h.

17. Rita följande fyrhörningar. Rita även in höjderna i figuren och beteckna den med bokstaven h. a) parallellogram b) trapets där en vinkel är 90 grader c) likbent trapet.

E4

18. Två affärer som säljer trädgårdsmöbler säljer triangelformade sol-

skydd för terasser. I affär A har solskyddet formen av en liksidig triangel där sidans längd är 3,6 m och triangelns höjd är 3,1 m. I affär B har solskyddet formen av en rätvinklig triangel. Längden av den ena kateten i den rätvinkliga triangeln är 2,8 m. a) Hur många procent större area (skugga) ger solskyddet i affär B jämfört med det i affär A när längden av den andra kateten i den rätvinkliga triangeln är 4,2 m? b) Hur lång borde den andra kateten i solskyddet i affär B vara för att båda solskydden ska ge skugga på ett lika stort område?

1.1 Månghörningar

19

19. Ett hustak består av två likbenta trapets och två likbenta trianglar.

Höjden i trapetsen och trianglarna är 6,0 m. Längden av de parallella sidorna i trapetset är 15,0 m och 7,0 m. Triangelns bas är 8,0 m. Hustaket täcks med taktegel vars pris är 9,20 €/m2. Man måste beställa tegel för en 5 % större yta än den totala ytan av hustaket. Hur mycket kostar de tegel som behövs för att täcka taket? Svara med en euros noggrannhet.

20. I trädgården vid palatset i Versailles finns ett stort rektangeformat

gräsområde ”Tapis vert”. Områdets mått är 335 m × 40 m. a) Hur många gånger måste man gå runt gräsområdet längs kanterna för att den totala vägsträckan ska bli större än 2,5 km? b) En ny gräsmatta ska anläggas på området. Trädgårdsmästaren uppskattar att det behövs 1,8 kg frön/a. Hur mycket frön behövs det för att så den nya gräsmattan?

20 1

V i r e p ete r a r p l a n f i g u r e r o c h r y m d k r o p p a r

C Blandade uppgifter 38°

21. I triangeln ABC är sidorna AB och CB lika långa. Bestäm vinklarna α och β .

α

22. Basen i en likbent triangel är 4 cm längre än triangelns ben. Omkretsen

β

av triangeln är 64 cm. a) Beräkna längden av sidorna i triangeln. b) Beräkna triangelns höjd när dess area är 192 cm.

α

A

B

23. Förhållandet mellan de parallella sidorna i ett likbent trapets är

1:5. Höjden i trapetset är lika lång som den kortare av de parallella sidorna. Beräkna längden av de parallella sidorna i trapetset när dess area är 12 cm2.

24. Rita följande planfigurer. Beteckna hörnen med någon bokstav och rita in höjderna i figurerna. Beteckna höjden med bokstaven h. a) rätvinklig triangel b) likbent triangel c) romb d) trapets som har en 60 graders vinkel.

25. I en tambur har man gjort en magnetisk tavla genom att måla ett rek-

tangelformat område på väggen med magnetisk målarfärg. Tavlans bredd är 180 cm och höjd 110 cm. Magnetmålarfärg säljs i 0,5 liters burkar för 52,90 €. Hur mycket kostar den målarfärg som behövs för att måla området när en liter målarfärg räcker till en yta på 1,4 kvadratmeter?

Tikkurila Oyj

1.1 Månghörningar

21

1.2

Cirkeln a) Rita följande regelbundna månghörningar med ett tekniskt hjälpmedel. Mät figurerna och fyll i tabellen.

Fundera på

månghörning d

omkrets

längsta diagonalens längd d

förhållandet mellan omkrets och diagonal

6-hörning 8-hörning 10-hörning 16-hörning

• Vilka observationer kan du göra av förhållandet mellan omkrets och diagonal? b) Radien i alla cirklar nedan är r. Cirklarna är indelade i sektorer och dessa är utspridda enligt figurerna. r

r

r

r

r r

• Vilken är längden av den rödmärkta delen i alla cirklar?

• Vilken figur börjar figuren likna när antalet sektorer ökar?

• Vilket värde närmar sig höjden i den figur vi hade i föregående fråga?

• Vilket värde närmar sig figurens area?

22 1

V i r e p ete r a r p l a n f i g u r e r o c h r y m d k r o p p a r

Längden av cirkelns rand och arean av en cirkel En cirkel består av alla de punkter i ett plan som har samma avstånd till en given punkt O. Denna punktmängd bildar cirkelns omkrets eller rand (även kallad periferi). Längden av cirkelns rand dvs. Omkretsen, betecknar vi med bokstaven p. Punkten O utgör cirkelns medelpunkt. Avståndet från cirkelns medelpunkt till dess rand kallar vi cirkelns radie r.

r

d O

O

Cirkelns diameter är en sträcka som förenar två randpunkter och som går genom cirkelns medelpunkt. Längden av cirkelns diameter betecknar vi ofta med bokstaven d. Diameterns längd är två gånger radiens längd. d = 2 ⋅ r Förhållandet mellan längden av cirkelns rand och längden av dess diameter är konstant. Denna konstant utgör det kända irrationella talet π. Pis närmevärde med två decimalers noggrannhet är 3,14. I beräkningar använder vi dock det exakta värdet π.

p = π ≈ 3,14 d

Längden av cirkelns rand och arean av cirkeln beror enbart av längden av radien r.

Längden av cirkelns rand p och arean av en cirke

p = 2πr = πd A = πr 2 • r är cirkelns radie

r O

1 . 2 Ci r k e l n

23

EXEMPEL 1

Bestäm det exakta värdet för a) längden av cirkelns rand (dvs. omkretsen) och arean av cirkeln, när diametern är 6 b) cirkelns radie, när arean av cirkeln är 25.

LÖSNING

a) Längden av cirkelns rand utgör produkten av diametern och pi:

p = d ⋅ π = 6 ⋅ π = 6π

Vi kan inte ge ett exakt numeriskt värde för det irrationella talet π.

Vi behöver veta cirkelns radie för att kunna beräkna arean av cirkeln.

Vi beräknar radien utifrån diametern.

r=

d 6 = =3 2 2

Vi beräknar arean av cirkeln.

A = πr2 = π ⋅ 32 = 9π b) Vi bildar en ekvation med hjälp av formeln för arean av en triangel och löser ut radien. πr 2 = 25 r2 =

:π

25 π

25 π 25 r=± π 5 r=± π r=±

Vi kan här först ta kvadratroten av täljaren och sedan skilt för sig av nämnaren.

Längden av radien kan inte vara ett negativt tal, så vi får r =

SVAR

24 1

a) p = 6π, A = 9π

b) r =

V i r e p ete r a r p l a n f i g u r e r o c h r y m d k r o p p a r

5 π

5 . π

EXEMPEL 2

Planeten Mars har två månar, Phobos och Deimos, som cirklar runt planeten i något så när cirkelformade banor. Längden av Phobos omloppsbana är 58900 km och längden av Deimos omloppsbana är 147400 km. a) Beräkna avståndet mellan månarnas omloppsbanor. b) Bestäm det största möjliga värdet av avståndet mellan de två månarna.

LÖSNING

Använd pi-knappen på räknaren som ger ett bra närmevärde på pi.

a) Vi beräknar radierna i månarnas omloppsbanor. Sträckan OA föreställer radien i Phobos omloppsbana. Vi betecknar längden av den radien med bokstaven x. Sträckan OB föreställer radien i Deimos omloppsbana. Vi betecknar längden av denna radie med bokstaven y.

2πx = 58 900

B

x = 9374,2...

2πy = 147 400

O

y = 23 459,4...

Använd möjligast exakta värden i uträkningarna.

Kopiera det föregående resultatet eller använd räknarens ans-funktion.

23 459,4… km − 9374,2… km ≈ 14 100 km b) Avståndet mellan månarna är störst när dessa är belägna på motsatta sidor om planeten.

Avståndet blir då summan av längderna OA och OB.

SVAR

A

Vi får avståndet mellan omloppsbanorna genom att subtrahera längden av sträckan OA från längden av sträckan OB.

B

O

23 459,4… km + 9374,2… km ≈ 32 800 km

a) 14 100 km

A

b) 32 800 km

1 . 2 Ci r k e l n

25

EXEMPEL 3

Kvaliteten i en handvävd yllematta beror av kvaliteten på yllet och färgerna samt hur tätt knutarna sitter. I en cirkelrund yllematta finns 3 400 000 knutar. Mattans knuttäthet är 480 000 knutar per kvadratmeter. Beräkna mattans diameter. Svara i enheten decimeter.

LÖSNING

Vi tar reda på arean av mattan med hjälp av antalet knutar.

3400 000 knutar = 7,083... m2 knutar 480 000 m2

Arean av mattan i enheten decimeter är 1 m2 = 100 dm2

100 ⋅ 7,083… dm2 = 708,3… dm2.

Vi betecknar längden av radien med bokstaven r. Sedan bildar vi en ekvation och löser ut radien.

πr 2 = 708,3... r = ±15,01...

Radien kan inte vara ett negativt tal, så vi får r = 15,01… (dm).

Mattans diameter är alltså 2 ∙ 15,01… dm ≈ 30 dm.

SVAR

26 1

Mattans diameter är 30 dm.

V i r e p ete r a r p l a n f i g u r e r o c h r y m d k r o p p a r

Cirkelsektor Radierna OA och OB i cirkeln avgränsar ett område som vi kallar (cirkel)sektor. Sektorns vinkel α kallar vi medelpunktsvinkel. Punkterna A och B avskiljer en del av cirkelns rand som vi kallar (cirkel) båge. Längden av sektorns båge betecknas ofta med bokstaven b.

B b

α

O

A

Längden av bågen i en sektor och arean av sektorn beror av medelpunktsvinkeln och cirkelns radie. När man ökar medelpunktsvinkeln växer längden av sektorns båge enligt längdskalan och arean av sektorn enligt areaskalan. Längden av sektorns båge och arean av sektorn är båda direkt proportionella mot medelpunktsvinkeln.

Om vi betecknar cirkelns radie med bokstaven r och medelpunktsvinkeln med bokstaven α kan vi bilda en ekvation för längden av sektorns båge b och medelpunktsvinkeln.

längd

medelpunktsvinkel

längden av cirkelns rand

hela cirkeln utgör

2πr

360°

längden av sektorbågen

sektorns medelpunktsvinkel

b

α

2πr 360° = b α 360° b = α ⋅ 2πr b=

: 360°

α ⋅ 2 πr 360°

På motsvarande sätt kan vi bilda en formel för arean av en sektor.

Asektor =

α ⋅ πr 2 360° 1 . 2 Ci r k e l n

27

Sektorbågens längd b och arean av en sektor Asektor

b=

α α ⋅ π r2 ⋅ 2πr Asektor = 360° 360°

• α är sektorns medelpunktsvinkel • r är cirkelns radie

EXEMPEL 4

I spelet Trivial Pursuit samlar man på cirkelsektorformade spelmärken. Spelaren får ett sådant märke när hen svarat rätt på en fråga.

Sektorns medelpunktsvinkel är 60°. En spelare har lyckats få fyra spelmärken och placerar dem intill varandra. Längden av cirkelns radie är 1,1 cm. Beräkna a) bågens längd i b) arean av den sektor som bildas av de fyra spelmärkena.

LÖSNING

a) Fyra spelmärken bildar en sektor vars medelpunktsvinkel är 4 ⋅ 60° = 240°.

Sektorbågens längd blir då

b=

240° ⋅ 2π ⋅ 1,1 cm = 4,607... cm ≈ 4,6 cm 360°

b) Sektorns area är

SVAR

28 1

Asektor =

a) 4,6 cm

240° ⋅ π ⋅ (1,1 cm)2 = 2,534... cm2 ≈ 2,5 cm2 360° b) 2,5 cm2

V i r e p ete r a r p l a n f i g u r e r o c h r y m d k r o p p a r

EXEMPEL 5

Bänkarna på läktaren i en teater är placerade så att läktaren utgör en del av en cirkelsektor när cirkelns medelpunkt finns i kanten av scenen. Första bänkraden är på 4,0 meters avstånd från scenen och dess längd är 11 m. Sista bänkraden är på 19 meters avstånd från scenen. Beräkna arean av läktaren.

LÖSNING

För att beräkna arean behöver vi känna till sektorns medelpunkts­ vinkel. Vi betecknar den med bokstaven α .

4,0 m

α 19 m

11 m läktaren

Eftersom bågens längd och radiens längd i den mindre sektorn är kända kan vi bestämma α med hjälp av en ekvation.

α ⋅ 2π ⋅ 4,0 360° α = 157,56...°

11 =

b=

α ⋅ 2πr 360°

Arean av den större sektorn är Asektor =

α ⋅ π r2 360°

A1 =

157,56...° ⋅ π ⋅ (19 m)2 = 496,37... m2 360°

Arean av den mindre sektorn är

A2 =

157,56...° ⋅ π ⋅ (4,0 m)2 = 21,99... m2 360°

Då är arean av läktaren A1 − A2 = (496,37… − 21,99…) m2 ≈ 470 m2.

SVAR

470 m2

1 . 2 Ci r k e l n

29

◗ Användning av räknare eller annat hjälpmedel Att rita modellfigur För att kunna rita modellfigurer behöver vi kunna rita olika cirklar och sektorer. Lär dig rita • en cirkel med hjälp av medelpunkten och en randpunkt • två olika stora cirklar med samma medelpunkt • radien och diametern i en cirkel

C B

A

B O

O

D

• en sektor med hjälp av tre punkter • en sektor inskriven i en annan sektor när de har samma medelpunktsvinkel • en sektorbåge med hjälp av tre punkter.

D

E

α

C

D

O

α

B C

O

Att beteckna data i en modellfigur När vi löser en uppgift blir det ofta nödvändigt att hänvisa till en modellfigur. Namnge cirkelns medelpunkt och behövliga randpunkter såsom exempelvis ändpunkterna för radien och diametern på cirkelns rand. Namnge även ändpunkterna för sektorbågen så att du kan hänvisa till bågen med hjälp av dessa ändpunkter.

30 1

V i r e p ete r a r p l a n f i g u r e r o c h r y m d k r o p p a r

Uppgifter Cirkelns omkrets och area

26. Beräkna det exakta värdet för längden av en cirkels rand när radien är a) 4

b)

1

4

c) π.

27. Beräkna det exakta värdet för arean av en cirkel när diametern är a) 14 E1

b)

2

5

c)

π .

2

28. Beräkna det exakta värdet för

a) längden av en cirkels rand och arean av samma cirkel när radien är 10 b) diametern i en cirkel när arean av cirkeln är.

29. Rita en cirkel vars medelpunkt är O. a) Rita in radien OA. b) Rita in diametern AB.

30. Rita en cirkel.

a) Rita en radie i cirkeln och bestäm radiens längd med hjälp av figuren. b) Beräkna cirkelns diameter. c) Beräkna längden av randen. d) Beräkna arean av cirkeln.

Kontrollera svaren b–d med hjälp av figuren.

31. Rita två olika stora cirklar med samma medelpunkt. Beteckna radien i den stora cirkeln med bokstaven R och radien i den lilla cirkeln med bokstaven r.

32. Radien i en cirkel är 13,2 cm. Beräkna a) längden av randen

b) arean av cirkeln.

33. Beräkna arean av det skuggade området. a)

b)

7,2 cm

25,0 mm

1 . 2 Ci r k e l n

31

3,0 cm

34. Figuren består av en kvadrat och

två halvcirklar. Bestäm omkretsen och arean av figuren.

35. Sandro Botticellis målning ”The adoration of the kings” finns till

påseende i Nationalgalleriet i London. Målningen är cirkelfomad med diametern 130,8 cm. Beräkna målningens a) omkrets b) area.

36. Längden av en cirkels rand är 75 cm. Bestäm a) längden av diametern

b) arean av cirkeln.

37. Alvar Aalto planerade år 1935 ett runt bord av björk. Bordets omkrets är 314 cm. Beräkna arean av bordet.

E2

38. Kvarnstenskragen är en rund krage som tillverkades av stärkt tyg

och lades i täta rundade veck så att den såg ut som en krans av rör som stod ut från halsen. Den användes i Europa på 1500-talet.

Drottningen Elisabeth I av England bar massiva kvarnstenskragar. till sina dräkter. Omkretsen av halsöppningen i en viss krage var 35 cm. Kragens omkrets var 85 cm. Hur bred var kragen?

39. Bestäm längden av cirkelns diameter när dess area är a) 230 cm2

E3

32 1

b) 12,6 m2.

40. Pantheon är en antik byggnad i Rom. I Pantheon finns världens

största kupol som är framställd utan armerad betong. I toppen av kupolen finns ett öppet cirkelformat takfönster ”oculus” vars area är 63,6 m2. Beräkna omkretsen av oculus.

V i r e p ete r a r p l a n f i g u r e r o c h r y m d k r o p p a r

41. Sjön Lehijärvi i Hattula kommun är i det närmaste cirkelformad med arean 700 hektar. Beräkna sjöns diameter. Svara i enheten kilometer med två gällande siffrors noggrannhet.

42. Omkretsen för en kvadrat är lika lång som omkretsen för en cirkel. a) Hur många procent mindre är kvadratens area än cirkelns area? b) Hur många procent större är cirkelns area än kvadratens area?

Ange svaren med en tiondels procents noggrannhet. [V2013, 9] Cirkelsektor

43. Rita en sektor vars medelpunktsvinkel är a) under 90° b) 140°

c) 230°.

44. Rita en cirkelsektor och bestäm ur figuren a) sektorns radie b) sektorns medelpunktsvinkel c) sektorbågens längd.

45. Rita en cirkel vars medelpunkt är i origo och vars rand går genom punkten (5, 0). Välj två punkter på cirkelns rand och rita en korda mellan dem. Bestäm kordans längd ur figuren.

46. Beräkna längden av sektorbågen och arean av sektorn. a)

2,9 cm 70,87°

E4

b)

1,55 m

300,94°

47. Vi skär en sektorformad bit ur en rund pizza. Sektorns medelpunkts­ vinkel är 25°. Pizzans diameter är 34 cm. a) Beräkna arean av pizzabiten. b) Hur många centimeter kant finns det i pizzabiten?

1 . 2 Ci r k e l n

33

48. En öppnad solfjäder har formen av en cirkelsektor. Radiens längd är 24 cm och sektorns medelpunktsvinkel är 75°. a) Beräkna arean av solfjädern. b) I övre kanten av solfjädern syr man in ett silkesband. Hur många centimeter band behöver man?

49. I figuren är cirkelns radie 13 cm.

Beräkna arean av det skuggade området.

O

50. I bågfönstret i figuren stöds glaset av ribbor. Hur mycket ribba behövs till bågfönstret nedan, då x = 20 cm och y = 40 cm? Ribbor används till alla sträckor och halvcirkelsformade bågar i figuren.

Ange svaret med en centimeters noggrannhet.

[H 2013, 4]

y x

E5

51. Ur en ananasring har man skurit bort en bit enligt figuren. Längden av den yttre kanten i den bortskurna biten är 4,4 cm. Ringens bredd är 3,2 cm och diametern i den öppning som finns i ringen är 3,4 cm.

Beräkna arean av den bortskurna biten.

34 1

V i r e p ete r a r p l a n f i g u r e r o c h r y m d k r o p p a r

52. Nedslagsområdet i kula, diskus och slägga har formen av en cirkel12,0 m

20,0 m

20,0 m

sektor. Sektorns medelpunktsvinkel är 34,92°. På 20 meters avstånd från kastcirkelns medelpunkt finns två sektormarkeringar på exakt 12 meters avstånd från varandra. I kula är stötcirkelns diameter 2,135 meter. Stötens längd mäts från främre randen av kastringen till nedslagspunkten. Den bakre gränsen för nedslagsområdet är placerad så att alla stötar under 25 meter ryms på området. Hur stor är arean av nedslagsområdet?

53. Ur en cirkel avskiljer man en sektor vars båglängd är 5,5 dm. Även cirkelns radie är 5,5 dm. Beräkna arean av sektorn.

54. Arean av en sektorformad pappersbit är 125 cm2. Sektorns medelpunktsvinkel 65°. Beräkna omkretsen av papperet.

Blandade uppgifter

55. Sidan i en kvadrat är 2 och längden av diametern i en cirkel är också

2. Hur många procent större är kvadratens area än cirkelns area?

[H 2015, 1b]

56. Arean av den större mattallriken i den populära Teema-serien är 531 cm2. Bestäm tallrikens diameter och omkrets.

57. Bågens längd i den större sektorn i figuren är 5,62 cm. Beräkna arean av det skuggade området.

8,0 cm 3,5 cm

58. En 5,1 meter lång cirkelbåge har en medelpunktsvinkel om 9 grader.

Hur lång är cirkelns radie? [H 2005, 7]

59. I mitten av en cd-skiva finns ett cirkelformat hål vars diameter är

15 mm. Arean av skivan exklusive hålet är 11 130 mm2. Bestäm diametern av cd-skivan.

1 . 2 Ci r k e l n

35