Kubik Y blädderex

K U B I K Y

Schildts & Sรถderstrรถms

Schildts & Söderströms www.sets.fi Finska förlagans titel: Kuutio Y Redaktör för den finska upplagan: Reena Linna Redaktör för den svenska upplagan: Hans Nordman Grafisk planering: Sari Jeskanen Illustrationer: Marvegraf Oy / Marja Venäläinen, Tuuli Hypén Omslag: Johanna Junkala Svenska upplagans ombrytning: Jukka Iivarinen / Vitale Ay

© Sanna Hassinen, Olli Latva, Jari-Pekka Makkonen, Maria Pirttimaa, Aulis Tolvanen och Sanoma Pro Oy © 2018 Markus Öhrnberg och Schildts & Söderströms

Kopieringsförbud Det här verket är en lärobok. Verket är skyddat av upphovsrättslagen (404/61).

Det är förbjudet att fotokopiera, skanna eller på annat sätt digitalt kopiera det här verket eller delar av det utan tillstånd. Kontrollera om läroanstalten har gällande licenser för fotokopiering och digitala licenser.

Mer information lämnas av Kopiosto rf www.kopiosto.fi Det är förbjudet att ändra verket eller delar av det.

Fondernas samarbetsgrupp som består av Svensk kulturfonden, Svenska Folkskolans Vänner, Föreningen Konstsamfundet och Lisi Wahls stiftelse för studieunderstöd har beviljat ekonomiskt stöd för utgivningen av detta läromedel.

Första upplagan, 2018 ISBN 978-951-52-4442-0

INNEHÅLL

8. FUNKTIONER OCH EKVATIONSPAR

FLEXUPPGIFTER

1. Grafundersökningar

64

2. Broar och parabler

66

3. Ekvationssystem

68

4. Extra uppgifter

70

1. Funktion 2. En funktions värde 3. Att rita en graf 4. Linjer parallella med koordinataxlarna 5. Linjens ekvation 6. Parabel 7. En funktions egenskaper 8. Växande och avtagande funktion 9. Repetition 10. Olika samband 11. Ekvation med två variabler 12. Ekvationssystem 13. Grafisk lösning 14. Algebraisk lösning 15. Tillämpningar 16. Repetition

8 12 16 20 22 26 30 34 36 38 42 44 46 50 56 60

Tilläggsuppgifter Hemuppgifter Facit

71 86 98

Till användaren KUBIK är en serie läroböcker i matematik för årskurserna 7–9 i grundskolan.

Kubik Y består av ett kapitel. Kapitlet innehåller 27 färdiga lektionsuppslag.

Ett kapitel motsvarar en årsveckotimme eller en kurs i den kursbaserade undervisningen. Rekommenderad tidsplanering är 1 lektion/uppslag.

1.

Exempel 1

L8

Funktion

1.

Artur kör 240 km med sin motorcykel.

Om hans medelhastighet är 80 km/h så tar resan 3 timmar.

Om hans medelhastighet är 60 km/h så tar resan 4 timmar.

Om man cyklade samma sträcka med medelhastigheten 20 km/h så skulle resan ta 12 timmar.

Tiden som resan tar beror av medelhastigheten.

Det finns många fenomen där en storhet beror på någon eller några andra faktorer. Ett regelbundet beroende mellan två olika storheter kallas i matematiken för funktion.

Hitta på något beroende i varje bild.

Berätta kort vilket beroendet är. a) b)

c)

2.

FUNKTION

En funktion beskriver sambandet mellan två storheter.

En storhet som är beroende av en annan storhet på ett regelbundet sätt kallas funktionen av sistnämnda storheten. T.ex. en funktion som är beroende av x kallas funktionen av x, eller f(x).

4.

sträcka

hastighet

temperatur

pris

Exempel på funktioner: En kvadrats area är en funktion av sidlängden.

Massan är en funktion av volymen.

Lönen som betalas för ett jobb är en funktion av tiden.

3.

A

1

hastighet

tiden för skolresan

B

2

höjd

massa

C

3

avstampskraft

D

4

densitet

area

Jordgubbar kostar 2,50 €/kg. a) Hur mycket jordgubbar får du för 20 €? b) Hur mycket kostar 5 kg jordgubbar?

3.

Vilka faktorer påverkar kostnaderna för Mickes mopedtur?

4.

På vilket sätt är seriespelens poängläge beroende av spelens slutresultat i a) ishockey b) fotboll?

5.

Grafen illustrerar hur priset för en påse potatis är beroende av påsens massa.

Demonstrera sambandet a) i ord b) som en ekvation.

9.

5. massa

Tom har 5,00 € som han vill köpa tomater för. a) Av vad beror mängden tomater som Tom kan köpa? b) Förklara hurdant detta samband är.

6.

4 3 2

Av vilka faktorer beror a) storleken på ett ämbar b) flit c) meterpris d) tid som behövs?

Hitta på två faktorer för varje del.

En funktionsmaskin omvandlar inmatade tal enligt en särskild regel.

Förklara denna regel med ord.

-4 -1 a) 1 b) 1 -3

2

K8 Hemuppgifter 1.

Vilka faktorer påverkar hur stor din telefonräkning är?

2.

Kombinera faktorer som är beroende av varandra.

-2

3

-2

3

-3

5

0

5

-5

x

y

x

y

Ta reda på enligt vilken regel maskinen omvandlar tal. Ange regeln som en ekvation. a) 1 b) 1 1 4 2

0

2

6

3

-1

3

8

5

-3

5

12

x

y

x

y

2

3

4

5

6

kg

2 kg potatis kostar 1,40 € och 5 kg potatis kostar 3,50 €. Beteckna mängden potatis med x och ge som ekvation potatisens pris y då man köper x kg potatis.

7.

Ge förhållandet som ekvation: y:s värde är tre gånger så stort som x:s värde.

11.

2

8

2

8

10

4

16

8

14

6

24

x

y

x

y

A

1

mängd

volym

B

2

kärlek

pris

C

3

hastighet

rikedom

D

4

massa

Lösgodis kostar 6,80 €/kg. a) Hur mycket godis får man för 2 €? b) Hur mycket kostar 250 g godis?

8.

Funktionen f(x) = x + 9. Beräkna a) f(0) b) f(2) c) f(-4).

9.

a) Vad i beteckningen f(7) = 3 är varia­ belns värde och vad är funktionens värde? b) Visa med en motsvarande beteckning ”med variabelvärdet 9 får funktionen g värdet -7”.

10.

Placera in föregående funktions värde på variabelns plats i följande funktion.

3

4.

Hitta regeln med vilken maskinen ändrar talen. Presentera den som en ekvation.

1 -1 a) 2 b) 2 4

Ta reda på enligt vilken regel maskinen omvandlar tal. Ange regeln som en ekvation.

7 4 a) 1 b) 1 4

en mopeds bromssträcka

En tum är ca 2,5 cm. Skapa en ekvation med vilken tum omvandlas till centi­ meter.

En funktions värde, s. 12–13

y = x –+ 1

y = 2x –– – 1 3

yy==3x x ++13

y=√ x

Funktion, s. 10–11

vikt 1

Funktion, s. 10–11

6.

7.

Funktion, s. 8–9

3.

10.

5

Av vilka faktorer beror a) uppvärmningskostnaderna för ett hus b) en bils bensinförbrukning c) kostnaderna för golvläggning d) mängden sand i en sandlåda?

Hitta på två faktorer för varje del.

I början av år 2002 övergick Finland till att använda euro istället för mark.

1 € = 5,94573 mk. Skriv som en ekvation en omvandlingsformel som a) gör mark till euro b) euro till mark.

2

1

volym area

längd

Potatispåsens pris beror av massan potatis som köps.

Priset är alltså en funktion av massan.

Vilka faktorer påverkar hur länge det tar för dig att ta dig till skolan?

2.

€ pris

tid

En torgförsäljare säljer potatis till priset 0,50 €/kg. En 5 kg:s påse kostar alltså 2,50 €, en 10 kg:s påse 5,00 € och en 20 kg:s påse 10,00 €.

Kombinera storheterna på ett sådant sätt att de kunde vara beroende av varandra. Varje storhet får användas bara en gång. höjdhoppsresultat

antal

I exempel 1 är tiden som användes för resan en funktion som är beroende av hastigheten.

Exempel 2

1.

d)

Välj två storheter i bilden som är beroende av varandra. Hitta åtminstone tre par. Du får använda samma storhet flera gånger.

8.

Funktion, s. 8–9

Tilläggsuppgifter

BOKENS UPPBYGGNAD

2

4

0

6

3

6

1

8

4

8

2

x

y

x

y

5.

Skriv ett exempel på en funktions­ beteckning där variabelbokstaven är a och funktionen är betecknad med h.

6.

Skapa en ekvation där talet y är två gånger så stort som talet x.

11.

Funktionen f:s värde är tre gånger så stort som variabeln x:s värde. Skapa en funktion f(x) och beräkna a) f(2) b) f(0) c) f(-1).

12.

En kvadrats omkrets är beroende av sidornas längd a. Skapa en funktion p(a) och beräkna a) p(1 cm) b) p(5 m).

Tilläggsuppgifter s. 71 Hemuppgifter s. 86

8

Teorin är klar och konsekvent. Förklarande exempel ger eleven fördjupade kunskaper i ämnet och förutsättningar för individuell inlärning.

9

Under lektionstid börjar eleverna oftast med de gemensamma övningsuppgifterna och fortsätter sedan individuellt enligt elevens val av uppgifter.

71

86

Tilläggsuppgifter Hemuppgifterna finns för de snabb- kan ges som de är, are eleverna. eller efter lärarens övervägande.

5

I slutet av boken finns Flexuppgifter som eleverna kan utföra om de har tid.

I boken finns sidoreferenser som visar när uppgifterna kan utföras.

NIVÅGRUPPERING AV KUBIKS ÖVNINGSUPPGIFTER Uppgifternas svårighetsgrad

I vilken ordning uppgifterna utförs

1.

1. Gemensam uppgift

2.

4. Grunduppgift

3.

4.

10. Fördjupad uppgift

10.

19. Utmaning

5.

11.

6.

12.

19.

10.

De gemensamma uppgifterna är grunduppgifter som ger eleven grund­ färdigheter i ämnet.

De utmanande uppgifterna är oftast mycket svåra. De är menade som frivilliga tilläggsuppgifter för elever med intresse för matematik.

I varje kapitel finns både i mitten och i slutet en repetitionsdel som eleven självständigt kan använda för att repetera till prov under lektionstid eller hemma.

Till eleven

6

Matematik går inte enbart ut på att lära sig räkna. Det handlar också om att känna igen figurer, hantera information, tänka logiskt och lösa problem.

I matematikstudier behöver du både ha förmågan att arbeta självständigt och som del av en grupp.

Funktioner och 8. ekvationspar

En funktion visar sambandet mellan två storheter som beror av varandra. Ordet funktion kommer från latinets functio som betyder något fullgörande eller verkställnade, alltså att någonting görs färdigt.

7

1.

Exempel 1

Funktion Artur kör 240 km med sin motorcykel.

Om hans medelhastighet är 80 km/h så tar resan 3 timmar.

Om hans medelhastighet är 60 km/h så tar resan 4 timmar.

Om man cyklade samma sträcka med medelhastigheten 20 km/h så skulle resan ta 12 timmar.

Tiden som resan tar beror av medelhastigheten.

Det finns många fenomen där en storhet beror på någon eller några andra faktorer. Ett regelbundet beroende mellan två olika storheter kallas i matematiken för funktion.

FUNKTION

En funktion beskriver sambandet mellan två storheter.

En storhet som är beroende av en annan storhet på ett regel­ bundet sätt kallas funktionen av sistnämnda storheten. T.ex. en funktion som är beroende av x kallas funktionen av x, eller f(x).

I exempel 1 är tiden som användes för resan en funktion som är beroende av hastigheten.

Exempel 2

En torgförsäljare säljer potatis till priset 0,50 €/kg. En 5 kg:s påse kostar alltså 2,50 €, en 10 kg:s påse 5,00 € och en 20 kg:s påse 10,00 €.

Potatispåsens pris beror av massan potatis som köps.

Priset är alltså en funktion av massan.

Exempel på funktioner: En kvadrats area är en funktion av sidlängden.

Massan är en funktion av volymen.

Lönen som betalas för ett jobb är en funktion av tiden.

8

1.

Hitta på något beroende i varje bild.

Berätta kort vilket beroendet är. a)

b)

c)

d)

2.

Välj två storheter i bilden som är beroende av varandra. Hitta åtminstone tre par. Du får använda samma storhet flera gånger.

4.

sträcka

Kombinera storheterna på ett sådant sätt att de kunde vara beroende av var­ andra. Varje storhet får användas bara en gång. höjdhoppsresultat A

antal

tiden för skolresan

B

massa C hastighet

pris tid

temperatur

volym area

längd

3.

massa

Tom har 5,00 € som han vill köpa tomater för. a) Av vad beror mängden tomater som Tom kan köpa? b) Förklara hurdant detta samband är.

area

D

1 hastighet 2 höjd 3 avstampskraft 4 densitet

5. Av vilka faktorer beror a) uppvärmningskostnaderna för ett hus b) en bils bensinförbrukning c) kostnaderna för golvläggning d) mängden sand i en sandlåda?

Hitta på två faktorer för varje del.

6. Av vilka faktorer beror a) storleken på ett ämbar b) flit c) meterpris d) tid som behövs?

Hitta på två faktorer för varje del.

Tilläggsuppgifter s. 71 Hemuppgifter s. 86

9

1. Funktion Vardagslivets funktioner, som sambandet mellan flit och vitsord, kan vara besvärligt att beskriva på ett matematiskt sätt. Om ett beroende kan beskrivas matematiskt så görs det ofta som en ekvation.

I funktionen f motsvaras variabel­ värdet x av endast ett värde på y. y = f(x)

En funktion betecknas oftast med bokstaven f, som kommer från ordet funktion.

En variabel betecknas med bokstaven x och funktionens värde med y.

FUNKTIONSBETECKNING

y = f(x)

funktionsvärdet

Exempel 3

Funktionen kan betecknas på två olika sätt y=x-3 f(x) = x - 3

Exempel 4

y är funktionen av x.

variabel

I exempel 1 är tiden en funktion av hastigheten. Arturs mopeds hastighet är x och tiden som resan tog är y.

Ekvationen som beskriver förhållandet är y = 240 : x.

I exempel 2 är potatisens massa x och potatispåsens pris y.

Ekvationen som beskriver förhållandet är f(x) = 0,5x.

Maskinen i figuren kallas en funktionsmaskin. Den ändrar varje tal som matas in i maskinen till ett annat tal enligt en viss regel. Enligt vilken regel ändras ett tal till ett annat? Ge svaret, alltså funktionen, både som ekvation och i ord.

1 3

=2⋅1+1

2

5

=2⋅2+1

3

7

=2⋅3+1

5 11 =2⋅5+1 x

y

=2⋅x+1

regeln med hjälp av talet x

Svar: Denna funktionsmaskin multiplicerar varje tal som matas in i maskinen med två och adderar 1 till produkten. Ekvationen som beskriver sambandet är y = 2x + 1.

10

7.

Gör tabellen i ditt häfte och fyll i den.

Funktions- Bokstav med Bokstav beteckning vilken funk- med vilken tionen är variabeln är betecknad betecknad

8.

2 3

2 4

f(x) = 3x - 2

3 5

3 9

g(a) = a2 + 4a

5 9

5 25

h(s) = 9s

x y

x y

Skriv ett exempel på en funktions­ beteckning där variabelbokstaven är b och funktionen är betecknad med bokstaven h.

9.

Blåbär kostar 3 €/kg på torget. Skriv sambandet mellan pris och massa som en ekvation och beräkna priset på a) 2 kg b) 10 kg c) x kg.

10. Sidlängden på en kvadrat är s. Vilken av nedanstående ekvationerna beskriver a) kvadratens omkrets p b) kvadratens area A? p = 4s

A

s = p2

A = 4s B

C

A = s2 D

11. Funktionsmaskinen ändrar ett tal som matas in enligt en viss regel. Ge denna regel i ord. a) b) 1 3 1 3

12. Enligt vilken regel ändrar funktions­ maskinen ett tal till ett annat?

Ge svaret som en ekvation. a) b) 1 1 1 1

2 6

2 4

3 9

3 5

5 15

5 7

13. a) Enligt vilken regel är y:s värden i tabellen beräknade utgående från x:s värden? x

2

3

4

5

y

0

1

2

3

b) Gör ett koordinatsystem och pricka in (x, y)-talparen från a)-uppgiften. Rita en linje genom punkterna och välj en sådan punkt på linjen som inte finns i tabellen. Följer denna punkts koordi­ nater regeln i a)-uppgiften?

14. Enligt vilken regel ändrar funktions­ maskinen ett tal till ett annat? Ge svaret som en ekvation. a) b) 1 1 1 5 2 7

2

-2

4 11

3

-5

6 15

4

-8

x y

x y

15. Pricka in punkterna (1, 2) och (3, 6) i ett koordinatsystem. Rita en linje genom dessa punkter. Bestäm hur vilken som helst y-koordinat på linjen kan be­ stämmas med hjälp av x-koordinaten.

Ge denna regel både i ord och som en ekvation.

Tilläggsuppgifter s. 71 Hemuppgifter s. 86

11

2.

Exempel 1

En funktions värde Beräkna värdet för funktionen y = x - 3 då variabelns värde är 5 och -8.

Lägg talet 5 på variabeln x:s plats i ekvationen y = x - 3 och beräkna uttryckets värde. y=5-3=2

Lägg talet -8 på variabelns plats och beräkna ut uttryckets värde. y = -8 - 3 = -11

x

y=x-3

5

y=5-3=2

-8 y = -8 - 3 = -11

Svar: För variabelvärdet 5 är funktionens värde 2.

För variabelvärdet -8 är funktionens värde -11.

Om funktionens y = f(x) ekvation är y = x - 3, kan den också skrivas som f(x) = x - 3.

Beteckningen f(5) betyder funktionen f:s värde för variabelvärdet 5.

FUNKTIONENS VÄRDE

Om variabeln x byts ut mot ett tal som motsvarar variabeln får vi funktionens värde. f(5) = 2 variabeln x:s värde

Exempel 2

funktionens värde

Beräkna f(3) då f(x) = 2x + 5.

Lägg talet 3 på variabeln x:s plats och beräkna uttryckets värde f(3) = 2 ∙ 3 + 5 = 6 + 5 = 11 Svar: f(3) = 11

12

Beräkna värdet för funktionen y = x + 3 då variabelns värde är a) 1 b) 3 c) -2

1.

x

y=x+3

1

?

3

?

-2 ?

2.

a) Vad i beteckningen f(3) = 5 är varia­ belns värde och vad är funktionens värde? b) Beteckna på liknande sätt uttrycket ”för variabelvärdet -4 får funktionen g värdet 8”.

3.

4.

a) Beräkna värdet för funktionen y = x + 5 då variabelns värde är 3. b) Beräkna värdet för funktionen y = -x + 2 då variabelns värde är 5. c) Beräkna värdet för funktionen f(x) = 4x - 3 då variabelns värde är 2, dvs. beräkna f(2). d) Funktionen g(x) = 5x + 1. Beräkna g(3). x − 3 . Beräkna 2 b) g(4) c) g(10).

Funktionen g(x) =

Lägg in den föregående funktionens värde på variabelns plats i följande funktion.

2

Funktionen h(x) = -2x. Beräkna

a) h(1)

a) g(2) 5.

7. Funktionen f(x) = 2x + 1. Beräkna a) f(1) b) f(2) c) f(5).

8.

Funktionen f(x) = 3x + 1, bestäm för vilket värde på variabeln x som a) f(x) = 4 b) f(x) = 1 c) f(x) = -2.

6.

y=x–1

x+3 y=– 4

y = 2x

y = x2

( 21 ).

b) h(-1)

c) h 1

9. Funktionen f(x) = -x2. Beräkna a) f(2) b) f(-2) c) f(0,3).

10. Varje sida i mång­ hörningen har längden x. Skapa en funktion f(x) som beskriver omkret­ sens längd och beräkna månghörningens om­ krets då x = 2,5 cm.

6 . Beräkna x b) f(-3) c) f(0,6).

11. Funktionen f(x) = a) f(2)

12. Funktionen h(x) = x2 - 2x + 3. Beräkna a) h(1) b) h(-1) c) h(3).

13. Funktionen f(x) = -x2 + x. Beräkna a) f(1) b) f(-2) c) f(0,5).

14. Varje sida i mång­ hörningen har längden x. Skapa en funktion f(x) som beskriver mång­ hörningens area och beräkna arean då x = 3,0 cm.

Tilläggsuppgifter s. 72 Hemuppgifter s. 86

13

2. En funktions värde För att kunna hantera flera olika funktioner samtidigt måste funktionerna betecknas med olika bokstäver, till exempel f(x) och g(x).

Exempel 3

Funktionen f(x) = 3x - 5 och funktionen g(x) = -x + 7. a) För vilket värde för variabeln x får funktionen f värdet 1? b) Med vilket värde för variabeln x får funktionerna f och g samma värde, dvs. f(x) = g(x)? a) Sätt uttrycket för funktionen f b) Sätt uttrycket för f lika med lika med 1 och lös ekvationen. uttrycket för g och lös ekvationen.

3x - 5 = 1 3x - 5 = -x + 7 3x = 1 + 5 3x + x = 7 + 5 3x = 6 | : 3 4x = 12 | : 4 x = 2 x=3 Svar: a) Funktionen f får värdet 1 då x = 2, dvs. f(2) = 1. b) Funktionerna f och g får samma värde då x = 3, dvs. f(3) = g(3).

Funktionens värde är beroende av variabelns värde och det kan beskrivas grafiskt i ett xy-koordinatsystem.

Funktionens graf utgörs av de punkter(x, y) i xy-koordinat­ systemet som gör ekvationen y = f(x) sann.

Exempel 4 g(x) = 5, då x = –4

Bestäm med hjälp av grafen. a) f(-3) y b) För vilket värde för variabeln x är g(x) = 5? f(x) = g(x), 5 c)

För vilket variabelvärde är f(x) = g(x)? då x = –1 4

–4

–3

–2

3 a) f(-3) betyder funktionens värde y då x = -3. b) Sök variabeln x:s värde då funktionen g:s värde är 5.

2 g(x) = 5 då x = -4.

1 c) Funktionerna f och g får samma värde i grafernas –1 1 2 3 4 x

skärningspunkt. f(x) = g(x) då x = -1.

–1 –2

f(–3) = –2

–3

y = f(x)

14

–4

y = g(x)

15. Funktionen f(x) = x - 6. För vilket värde för variabeln x får funktionen värdet a) 4 b) 0 c) -2?

16. Bestäm med hjälp av grafen a) f(1) b) f(-3) c) f(1,5) d) f(0).

e) För vilket värde för variabeln x är f(x) = 6?

f) För vilket värde för variabeln x är f(x) = 0?

19. Funktionerna f(x) = x - 4 och g(x) = -x + 2. Beräkna för vilket värde för variabeln x som f(x) = g(x).

y = f(x)

5

a) Med vilken hastighet cyklar Ronja kl. 10? b) När stannar Ronja första gången? c) Hur lång var Ronjas andra paus? d) Vad var Ronjas topphastighet?

18. Funktionen f(x) = 2x + 3. Beräkna för vilket värde för variabeln a) f(x) = 7 b) f(x) = -1 c) f(x) = 0.

y 6

20. Grafen illustrerar Janicas mopedtur i ett koordinatsystem som anger sträckan som funktion av tiden.

4 3 2

sträcka km 80

1 –4

–3

–2

–1

–1

1

2

3

4

5

x

70 60

–2

50

–3

40

–4

30 20 10

17. Grafen illustrerar Ronjas cykelfärd i ett koordinatsystem som anger hastigheten som en funktion av tiden. hastighet km/h 40 30 20 10 kl.

9

10

11

12

kl.

9

10

11

12

a) Hur långt hade Janica hunnit kl. 10? b) När stannar Janica för första gången? c) Hur lång var Janicas första paus?

d) Vilken tid var Janica 50 km från start­ linjen?

21. Funktionen f(x) = x2. Beräkna för vilket värde för variabeln x 1 a) f(x) = 1 b) f(x) = c) f(x) = 0.

4 22. Funktionerna f(x) = 3x - 6 och g(x) = -2x + 4. Beräkna för vilket värde för variabeln x som f(x) = g(x).

Tilläggsuppgifter s. 72 Hemuppgifter s. 87

15

3.

Att rita en graf Sambandet mellan två storheter kan beskrivas med ord, med tabell, som ekvation eller med en graf.

Exempel 1 x

y = 2x – 1

0

2 ⋅ 0 - 1 = -1

1

2⋅1-1=1

2

2⋅2-1=3

-1

2 ⋅ (-1) - 1 = -3

-2

2 ⋅ (-2) - 1 = -5

Rita grafen till funktionen y = 2x - 1.

y 5

y = 2x – 1

4

Vi väljer några värden för variabeln x och beräknar funktionens värde för dem. Punkterna som fås prickar vi in i ett (x, y)-koordinatsystem.

3 2 1 –4

–3

–2

–1

Grafen till funktionen y = 2x - 1 är en rät linje.

–1 –2 –3 –4 –5

1

2

3

4

5

6

x

Punkterna befinner sig på samma linje.

Vi ritar en linje genom punkterna.

FÖRSTAGRADSFUNKTIONER

Om variabeln x i funktionsuttrycket har ett som högsta exponent så är funktionen en förstagradsfunktion.

Grafen till en förstagradsfunktion är alltid en rät linje.

Exempel 2

Rita linjen y =

2 x +1 3

y 5

När du väljer ett variabel­värde som är jämnt delbart med nämnaren får du ett funktions­ värde som är ett heltal.

x

2 y=−x+1 3

4

0

2 ⋅ 0 +1= 1 3

2

3

2 ⋅ 3 +1= 3 3

-3

2 ⋅ (−3) + 1 = −1 3

2 +1 y = –x 3

3

1 –4

–3

–2

–1

–1

1

2

3

4

5

6

x

–2

Koordinaterna för varje punkt som ligger på linjen uppfyller ekvationen.

16

Vilka av följande är förstagrads­ funktioner? a) y = 3x - 4 b) y = x2 + 1 1 c) y = 0,5x + 1,5 d) y = x + 2 3

6.

2.

7.

Undersök genom att räkna om punkten (1, 2) befinner sig på linjen y = 6x - 4.

8.

a) Y-värdena har beräknats med hjälp av x-värdena. Ge regeln för detta som en ekvation.

1.

Rita i ett koordinatsystem grafen till funktionen. I vilken punkt skär linjen y-axeln?

1 a) y = 4x b) y = x - 4 2

Vilka av följande grafer är grafer till förstagradsfunktioner? y 5 4

a

3

b

2 1 –5

–4

–3

–2

–1

–1

1

2

3

4

5

x

c

–2

x

0

1

2

3

y

1

3

5

7

b) Pricka in punkterna i ett koordinat­ system och rita funktionens graf.

–3 –4

d

–5

3.

Fyll i tabellen. Pricka in punkterna i ett koordinatsystem och rita en linje genom punkterna. a) y = x + 1 b) y = 2x - 2 x

x

0

0

1

1

2

2

4.

y

y

a) Rita grafen till funktionen y = 3x + 2. b) Bestäm genom att titta på grafen om punkten (1, 6) ligger på linjen. c) Bestäm algebraiskt (genom att räkna) om punkten (2, 8) ligger på linjen.

9.

Rita in i ett koordinatsystem grafen för funktionen. I vilken punkt skär linjen y-axeln?

1 a) y = -3x + 4 b) y = − x + 3 3 10. Undersök genom att beräkna om linjen 2

y = − x + 2 går genom punkten (5, 0).

5 11. a) Y-värdena har beräknats med hjälp av x-värdena. Ge regeln för detta som en ekvation. x

0

1

2

3

y

1

0,5

0

–0,5

b) Pricka in punkterna i ett koordinat­ system och rita funktionens graf.

5.

Rita i ett koordinatsystem grafen till funktionen. I vilken punkt skär linjen y-axeln? a) y = x - 4 b) y = -2x + 3

Tilläggsuppgifter s. 73 Hemuppgifter s. 87

17

3. Att rita en graf EN LINJES EKVATION

Linjens ekvation skrivs på formen y = kx + b

k är riktningskoefficienten b är en konsttantterm y = –x + 3 = –1x + 3

y = 2x – 1

y

Om riktningskoefficienten k är positiv så är linjen växande.

Om riktningskoefficienten k är negativ så är linjen avtagande.

5 4 3

1 y = –x 2

(0, 3)

2

Konstanttermen b ger det y-värde där linjen skär y-axeln.

Om det inte finns någon konstantterm, alltså b = 0, så går linjen genom origo.

1

(0, 0) –4

–3

–2

–1

–1 –2

1

2

3

4

5

x

(0, –1)

–3

Riktningskoefficienten är 2

y = 2x - 1

Exempel 3

Linjen skär y-axeln i punkten (0, - 1).

Rita linjerna y = 0,5x + 2 och y = 0,5x - 1 i samma koordinatsystem.

Linjerna är växande för båda linjerna har en positiv riktningskoefficient.

Första linjen skär y-axeln i punkten (0, 2) och andra linjen i punkten (0, -1).

y

y = 0,5x + 2

5 4 3 2

Om det är möjligt så väljer vi x-värden så att y-värdet blir ett heltal.

Vi beräknar två andra punkter för linjerna. x

y = 0,5x + 2

-2 0,5 ⋅ (-2) + 2 = 1

x

y = 0,5x - 1

1 –4

–3

–2

–1

-2 0,5 ⋅ (-2) - 1 = -2

–2

2 0,5 ⋅ 2 + 2 = 3 2 0,5 ⋅ 2 - 1 = 0 y = 0,5x – 1

Parallella linjer har samma riktningskoefficient.

–1

–3

w Om två linjer har samma riktningskoefficient så är linjerna parallella.

18

1

2

3

4

5

x

12. Vad är linjernas riktningskoefficient och konstantterm? a) y = 4x + 3 b) y = -3x + 4 c) y = -x - 1 d) y = 2x - 3 e) y = 2x f) y = -x 13. Vilka av linjerna är a) växande b) avtagande? y

17. Vilka av linjerna är parallella och vilka skär y-axeln i samma punkt. Du får inte rita linjerna. a) y = -3x + 5 b) y = -4x - 7 c) y = 4x + 5 d) y = -x + 7 e) y = -3x + 1 f) y = -4x + 7

a

5 4

c

3 2

e

1 –5

–4

–3

–2

–1

–1

1

2

3

4

5

–2

x

d

–3 –4 –5

b

14. Är linjen växande eller avtagande? a) y = 3x + 3 b) y = -9x + 3 c) y = -x d) y = x + 1 15. Vilken av linjerna i föregående uppgift a) växte snabbast? b) avtog snabbast?

16. Bestäm, utan att rita grafen, i vilken punkt linjen skär y-axeln. a) y = 2x - 3 b) y = -3x + 4 c) y = x d) y = -4x + 9

18. Hur många gemensamma punkter har linjerna? a) y = 6x - 8 och y = 8x - 6 b) y = 3x och y = x + 3 c) y = 4x - 7 och y = 4x + 7 d) y = -2x + 9 och y = -2x e) y = x och y = -x 19. Rita linjerna i samma koordinatsystem. a) y = x - 4 b) y = -1,5x - 4 20. Rita linjerna i samma koordinatsystem. a) y = 3x - 4 b) y = 3x + 3 21. Rita linjerna i samma koordinatsystem.

1 1 1 1 a) y = − x + 1 b) y = 2 x + 1 2 2 4 2 22. Rita linjerna i samma koordinatsystem.

3 3 b) y = x − 2, 5 a) y = x + 2 4 4

Tilläggsuppgifter s. 74 Hemuppgifter s. 87

19

4.

Linjer parallella med koordinat­axlarna En linje som uttrycks y = kx + b (k ≠ 0) är alltid en växande eller avtagande linje. Om linjens riktningskoefficient k = 0 är linjen varken växande eller avtagande utan vågrät. Ekvationen uttrycks då y = b. På motsvarande sätt är ekvationen för en lodrät linje x = a.

En lodrät linje är inte grafen till en funktion, eftersom värdet för variabeln x motsvaras av flera y-värden.

Exempel 1

LINJER PARALLELLA MED KOORDINATAXLARNA

x = a linje parallell med y-axeln. Riktningskoefficienten kan inte bestämmas. y = b linje parallell med x-axeln. Riktningskoefficienten k = 0.

Rita linjerna y = 3 och x = -4.

y 4

y = 3 betyder att y-koordinaten för alla punkter på linjen är 3, oberoende av punktens x-koordinater. x = -4 betyder att x-koordinaten för alla punkter på linjen är -4, oberoende av y-koordinaten.

2 1 –4

–3

–2

–1

–1

1

2

3

4

x

4

x

–2 –3 –4

x = –4

När man ritar ut linjer parallella med koordinataxlarna behöver man inte räkna ut linjens punkter separat.

Exempel 2

y=3

3

Bestäm ekvationerna för linjerna s och k.

y

k

4 3

Alla punkter på linjen s har y-koordinaten -2.

Linjens ekvation är y = -2.

Alla punkter på linjen k har x-koordinaten 3.

Linjens ekvation är x = 3.

20

2 1 –4

s

–3

–2

–1

–1 –2 –3 –4

1

2

3

1. Rita linjen. a) y = 3

b) x = -2

c) y = 0

2. Rita linjen. a) x = 2

b) y = -1

c) x = 0

8.

3. Vad är a) x-axelns b) y-axelns 4.

Rita ut punkterna A(3, 4), B(3, -2) och C(-2, 4) i ett koordinatsystem. Bestäm linjens ekvation då linjen går genom punkterna a) A och B b) A och C. 7.

Bestäm tangenterna till cirkeln som är parallella med a) x-axeln b) y-axeln.

ekvation?

Bestäm ekvationerna för linjerna a, b, c och d.

c b

y 5 4

a

y 5

3

4

2

3

1

2

–4

1 –4

–3

–2

–1

–1

1

2

3

4

5

6

5.

–5

Rita av tabellen i ditt häfte och kryssa för rätt alternativ.

Linje

Väx- Avta- parallell parallell ande gande med med x-axeln y-axeln

y = 8x - 7 y=8 y = -8x x = -8 y = -7 y=x

6.

Bestäm linjens ekvation för linjen som är parallell med a) x-axeln b) y-axeln

och går genom punkten (3, 1).

–1

1

2

3

4

5

6

x

–4

–3

–1

–3

–2

d

–2

–2

x

–4

–3

9.

–5

Rita in linjerna x = -2, x = 4, y = 0 och y = 5 i samma koordinatsystem.

Beräkna arean för rektangeln som skapas av linjerna.

I koordinatsystem används vanligen ruta som areaenhet, inte t.ex. kvadratcentimeter.

10. Rita in linjerna y = -2x + 4, y = 2x och y = -2 i samma koordinatsystem.

Beräkna arean för triangeln som skapas av linjerna.

11. Cirkelns medelpunkt är (1, 2) och radien är 3. Bestäm tangenterna till cirkeln som är parallella med a) x-axeln b) y-axeln.

Tilläggsuppgifter s. 74 Hemuppgifter s. 88

21

5.

Linjens ekvation Linjens ekvation kan bestämmas genom att man bestämmer riktningskoefficienten och konstanttermen från linjens graf.

Exempel 1

Bestäm ekvationen för linjen s.

y 6 5

En rätvinklig tri­ angel kan ritas var som helst bredvid linjen och triangeln kan vara vilken stor­ lek som helst.

Linjens ekvation har formen y = kx + b, så man måste bestämma värdena för k och b.

För att ta reda på riktnings­koefficienten väljer man två punkter på linjen.

Man ritar en rätvinklig triangel som på bilden.

2

4 3

4

2 1

s

–5 –4 –3 –2 –1 –1

1

2

3

4

5

6 x

–2 –3 –4

Riktningskoefficientens värde kan man beräkna genom att dividera den lodräta (i y-axelns riktning) katetens längd med den vågräta (i x-axelns riktning) katetens längd.

Om linjen är växande är k > 0 Om linjen är avtagande är k < 0

|k| =

2 1 = 4 2

Eftersom linjen är stigande är k positiv, k =

Linjens och y-axelns skärningspunkt är (0, 2), så konstanttermen b = 2.

Svar: Linjens ekvation är y =

Exempel 2

1 x + 2.

2

y 6

Bestäm ekvationen för linjen n.

Linjens ekvation kan skrivas på formen y = kx + b.

Eftersom linjen är avtagande är k < 0.

2 k = − = -2 1 Linjen skär y-axeln i punkten (0, 1), alltså b = 1.

Svar: Linjens ekvation är y = -2x + 1.

22

1 .

2

5

2

4

1

3 2 1

–5 –4 –3 –2 –1 –1

1

2

3

–2 –3 –4

n

4

5

6 x

1.

Vilka är linjernas riktningskoefficienter? y

a

5 4

b

3 2

En linje går genom punkterna (-1, -4) och (0, 1). a) Vad är linjens riktningskoefficient? b) Vad är linjens konstantterm? c) Vad är linjens ekvation?

4.

5.

1

Vad är linjens ekvation? y

–5

–4

–3

–2

–1

–1

1

2

3

4

5

x

c

5 4

–2

b

3

–3

2

a

1

2.

Vilka är linjernas riktningskoefficienter och i vilken punkt skär linjerna y-axeln? y

–5

–4

–3

–2

–1

1

2

3

4

5

x

–2

a

5

–1

–3

4

–4

3

b

2

–5

1 –5

–4

–3

–2

–1

–1

1

2

3

5

4

x

–2 –3

6.

En linje går genom origo och punkten (1, 3). Vad är linjens riktningskoefficient?

7.

Vad är linjens ekvation? y

–4

c

–5

4

3.

a

5

3

Vad är linjens ekvation?

1

y 5

–5

4

a

3

–5

–4

–3

–2

–1

–4

–3

–2

–1

–1

–3

1

–4

–1

2

3

4

5

x

–2

1

2

3

4

5

x

–2

2

1

b

2

c

–5

–3

c

–4 –5

b

Tilläggsuppgifter s. 75 Hemuppgifter s. 88

23

5. Linjens ekvation Linjens ekvation kan man ofta bestämma utan att rita linjens graf.

Exempel 3

Vilken är ekvationen för den linje som är parallell med linjen y = 5x och går genom punkten (0, -6)?

Linjens ekvation kan skrivas på formen y = kx + b. k = 5 linjen är parallell med y = 5x. Parallella linjer har samma riktnings­koefficient. b = -6

linjen går genom punkten (0, -6).

Svar: Linjens ekvation är y = 5x - 6

Exempel 4

Vilken är ekvationen för den linje som är parallell med linjen y = 3x + 4 och går genom punkten (2, 4)?

Den allmänna formen för linjens ekvation kan skrivas som y = kx + b.

Den linje vi söker har riktningskoefficienten k = 3, för linjen är parallell med linjen y = 3x + 4.

I linjens allmänna form sätter vi in den kända punktens x- och y-koordinat och riktningskoefficientens värde. y

k x

4 = 3 ∙ 2 + b 4 = 6 + b 4-6=b -2 = b Svar: Linjens ekvation är y = 3x - 2.

24

8. Vad är linjens ekvation om a) riktningskoefficienten är 3 och linjen går genom punkten (0, 2) b) riktningskoefficienten är -5 och den går genom punkten (0, -3)?

9.

Ge ekvationerna för linjerna s och k. y 5

s

4

12. Ge ekvationen för den linje som är parallell med linjen y = -0,5x + 4 och skär y-axeln i punkten (0, 1).

13. Ge ekvationen för den linje som är parallell med linjen y = 2x och skär y-axeln i punkten (0, 5).

14. Linjerna a, b och c är parallella. Linjen b har ekvationen y = 2x + 3. Bestäm ekvationerna för linjerna a och c.

k

3

y

2

7

1 –5

–4

–3

–2

–1

–1

1

2

3

4

5

4 3 2

–4

1

–5 –5

10. En linje går genom punkten (1, 2) och har riktningskoefficienten 2. Bestäm a) konstanttermens värde b) linjens ekvation.

11. Vilken är ekvationen för en linje som är parallell med linjen s och går genom punkten (-2, 5)?

5

s

4

–4

–3

–2

–1

–1

1

2

3

4

5

x

–2

–3

15. En linje går genom punkten (2, -3) och har riktningskoefficienten -2. Undersök, utan att rita, om punkten (-2, 5) ligger på denna linje.

16. Bestäm, utan att rita, ekvationen för den linje som har riktningskoefficienten 3 och går genom punkten a) (0, 1) b) (-1, -6).

y 6

(–2, 5)

c

5

x

–3

b

6

–2

y = 3x + 4

a

3 2 1 –5

–4

–3

–2

–1

–1 –2

1

2

3

4

5

x

17. Bestäm, utan att rita, ekvationen för den linje som är parallell med linjen 3 y = − x − 1 och går genom punkten 5 (-4, 1).

–3

Tilläggsuppgifter s. 75 Hemuppgifter s. 89

25