Kubik 9 blädderex

K U B I K 9

Schildts & Sรถderstrรถms

Schildts & Söderströms www.sets.fi Finska förlagans titel: Kuutio 9 Redaktör för den finska upplagan: Reena Linna Redaktör för den svenska upplagan: Hans Nordman Grtafisk planering: Minna Mäkipää, Sari Jeskanen Illustrationer: Marvegraf Oy / Marja Venäläinen, Tuuli Hypén, Pirkko Pihjala Omslag: Johanna Junkala Svenska upplagans ombrytning: Jukka Iivarinen / Vitale Ay

© Sanna Hassinen, Olli Latva, Jari-Pekka Makkonen, Maria Pirttimaa, Aulis Tolvanen och Sanoma Pro Oy © 2018 Tomas Tiainen och Schildts & Söderströms

Kopieringsförbud Det här verket är en lärobok. Verket är skyddat av upphovsrättslagen (404/61).

Det är förbjudet att fotokopiera, skanna eller på annat sätt digitalt kopiera det här verket eller delar av det utan tillstånd. Kontrollera om läroanstalten har gällande licenser för fotokopiering och digitala licenser.

Mer information lämnas av Kopiosto rf www.kopiosto.fi.

Det är förbjudet att ändra verket eller delar av det.

Fondernas samarbetsgrupp som består av Svensk kulturfonden, Svenska Folkskolans Vänner, Föreningen Konstsamfundet och Lisi Wahls stiftelse för studieunderstöd har beviljat ekonomiskt stöd för utgivningen av detta läromedel.

Första upplagan, 2018 ISBN 978-951-52-4487-1

INNEHÅLL

9. STATISTIK 1. Repetition 8 2. Kalkylprogram 10 3. Statistik 14 4. Stapeldiagram 18 5. Linjediagram 22 6. Statistik och verklighet 24 7. Cirkeldiagram 26 8. TEMA: Matematik och media 28 9. Medeltal och typvärde 30 10. Median och spridning 32 11. Forskningsmetoder 34 12. Repetition 36 13. Programmering 38 14. TEMA: Vi finländare 48 15. TEMA: Människan 50 16. TEMA: Människan och naturen 52 17. TEMA: Böcker och musik 54 18. TEMA: Valmatematik 56 19. Statistiska undersökningar 58

FLEXUPPGIFTER 1. En tidlös kalender 2. Gamla enheter 3. Komplementhändelser

158 159 160

Tilläggsuppgifter Hemuppgifter Facit

162 199 226

3

10.

TRIGONOMETRI OCH

11a. SANNOLIKHET

RYMDGEOMETRI

1. Rätvinklig triangel 62 2. Trigonometriska funktioner 66 3. Beräkna längden av en sida 70 4. Beräkna storleken av en vinkel 74 5. Beräkningar med trianglar 78 6. Repetition 80 7. Plangeometri 82 8. Volym 84 9. Prisma 88 10. Cylinder 92 11. Kon 96 12. Pyramid 100 13. Klot 104 14. Tillämpningar 108 15. Repetition 110 Tilläggsuppgifter Hemuppgifter Facit

4

172 208 230

1. Matematisk härledning 2. På hur många sätt?

3. Klassisk sannolikhetslära 4. Empirisk sannolikhet 5. Upprepade försök 6. TEMA: Trafikmatematik 7. TEMA: Spelmatematik 8. Repetition

114 118 122 126 130 134 136 138

Tilläggsuppgifter Hemuppgifter Facit

190 219 234

11b. NIO ÅR MED MATEMATIK

Grundräkneoperationer 142 Beteckningar 143 Potens och kvadratrot 143 Polynom 144 Potensberäkningar 145 Ekvation, olikhet och ekvationspar 146 Trigonometri och geometri 146 Funktion 148 Statistik och sannolikheter 149 Övningstester 150

Till användaren KUBIK är en läromedelsserie i matematik för årskurserna 7-9 i den grundläggande utbildningen.

Kubik 9 innehåller tre kapitel. Varje kapitel innehåller 25-27 färdiga lektionsuppslag. Ett kapitel motsvarar en årsveckotimme eller en kurs om undervisningen är kursformad. Rekommenderad tidsanvändning är ett uppslag per lektion.

I enlighet med den nya läroplanen finns i kapitel 9 ett ungefär fem lektioner långt avsnitt om programmering. Varje årskurs har sitt eget avsnitt om programmering.

I slutet av boken finns det Flexuppgifter som kan räknas om det finns tid för det. I boken finns sidoreferenser till när de passar in.

Grupparbeten är märkta med denna symbol.

Uppgifter som kan lösas med kalkylprogram är märkta med denna symbol.

T9 Tilläggsuppgifter

1.

Repetition PROCENT En procent är en hundradel.

1%=

1 = 0,01 100

1.

Hur mycket är 35 % av 820 €?

2.

Beräkna 3,2 % av 1 500 000 invånare.

3.

Hur många procent är talet 24 av 96?

Hur många procent a) fler personbilar registrerades i januari 2016 än i januari 2015? b) färre personbilar registrerades i januari 2015 än i januari 2016?

4.

Hur många procent är 75 cm av 2,0 m?

Registrering av nya personbilar i Finland.

5.

I januari kostade bensinen 1,25 €/l medan den i juli kostade 1,45 €/l. Med hur många procent hade priset stigit?

6.

På produkten står det ursprungliga priset och storleken på rabatten.

Beräkna det rabatterade priset.

p % AV TALET a p % av talet a beräknas genom att man multiplicerar HUR MÅNGA PROCENT ÄR TALET a AV TALET b?

p ⋅a 100

b · 100 % a

Talet a divideras med talet b och kvoten omvandlas till procent genom att man multiplicerar med hundra.

Vid procentuell förändring dividerar man förändringen med utgångsvärdet.

PROCENTUELL JÄMFÖRELSE Vid procentuell jämförelse dividerar man skillnaden med jämförelsetalet.

Tidpunkt

8.

Repetition, s. 8–9

Beräkna a) 82 % av 3000 euro b) 2,4 ‰ av 4 500 000 euro.

4.

1.

Beräkna 70 % av två timmar. Ange svaret i timmar och minuter.

2.

2.

Rita av tabellen och komplettera den.

År 2016 hade Helsingfors 628 000 invånare, varav 297 000 var män.

Hur många procent av invånarna var kvinnor?

10 268 11 788

3.

Guld har densiteten 19,3 kg/dm3 och aluminium densiteten 2,7 kg/dm3. a) Hur många procent högre densitet har guld än aluminium? b) Hur många procent lägre densitet har aluminium än guld?

4.

Annes studielån hade i början på året en räntesats på 3,5 %. I februari steg räntan med 0,6 procentenheter. Vilken var den nya räntesatsen?

Grundräknare

differens produkt

Antal

a) Omvandla 40 % till promille. b) Omvandla 850 ‰ till procent.

10.

En kommuns budget för 2017 var 23 450 560 €. För personalens rekreation användes 0,8 ‰ av budgetmedlen. Hur många euro användes för rekreation?

–15 % b) sovsäck 120 €

11.

3.

I slutet av 2014 hade Finland 5 471 753 invånare, varav 1 949 hade samiska som modersmål. Hur många promille av Finlands befolkning hade samiska som modersmål?

2017

2018

25 360

26 425

Förändring (%)

84 400

+0,25

160 800

-0,5

kvot

Omsättningen i Elmers företag växte 2016, 2017 och 2018 med 20 % i året.

Hur stor var omsättningen i slutet av 2015, då den i slutet av 2018 var 1 123 200 €.

PROMILLE En promille är en tusendel.

1‰=

8

Sätt in i ”grundräknaren” en rad som beräknar produkten av summan och differensen av de två givna talen.

7.

Skriv i ett kalkylprogram en funktion som beräknar arean av en triangel, då man anger basen och höjden.

8.

Skriv i ett kalkylprogram en funktion som beräknar arean av ett parallelltrapets, då man anger de båda baserna och höjden.

Kalkylprogram, s. 10–11

Statistik, s. 14–15

5.

12.

9.

Skriv i ett kalkylprogram en funktion som beräknar arean av en sektor, då man anger radien och medelpunktsvinkeln.

Skriv ett uttryck som adderar antalet sålda mobiltelefoner för de två största tillverkarna under det sista kvartalet år 2016.

6.

10.

Skriv i ett kalkylprogram en funktion som beräknar a) längden av hypotenusan, då man anger längderna av kateterna (A22 + B22)0,5 b) längden av kateten, då man anger hypotenusans och den andra katetens längder.

Använd färdiga funktioner för att skriva ett uttryck som adderar antalet sålda mobiltelefoner för alla tillverkare under det sista kvartalet år 2016.

Teorin är tydlig och konsekvent. För­ klarande exempel hjälper eleven att förstå teorin på djupet och ger förutsättningar för individuell inlärning.

Använd en färdig funktion för att beräkna den totala nederbörden under ett helt år (figur k).

7.

Skriv i cell E4 ett uttryck som beräknar Apples procentuella andel av försäljningen.

De mest sålda mobiltelefonmärkena under årets sista kvartal Tillverkare Apple Samsung Huawei Oppo BBK Övriga

Figur X

9

Utgå från figur X. 9.

Skapa ett cirkeldiagram för de olika tillverkarnas försäljningsandelar (2016).

Sätt också potensfunktionen (B2A2) till ”grundräknaren”.

11.

Tilläggsuppgifter s. 162 Hemuppgifter s. 199

Kalkylprogram, s. 12–13

5.

–40 % 1 = 0,001 1000

Skriv ett uttryck som beräknar med hur många procent den totala telefon­ försäljningen har ökat från det sista kvartalet 2015 till det sista kvartalet 2016.

6.

PROCENTENHET Differensen mellan procenttal anges i procentenheter.

Gör en ”grundräknare”.

summa

Invånarantal

Räntan på Idas och Valters bostadslån steg från 2,85 % till 3,25 %. Hur många procentenheter steg räntan?

9.

förändring ⋅ 100 % utgångsvärde

skillnad ⋅ 100 % jämförelsetal

Kalkylprogram, s. 10–11

1.

Antal

januari 2015 januari 2016

H9 8.

Repetition, s. 8–9

a) tv

950 € PROCENTUELL FÖRÄNDRING

7.

Antal (milj.)

%

Antal (milj.)

Hemuppgifter

BOKENS UPPBYGGNAD

%

10.

11.

Skapa ett cirkeldiagram för de olika tillverkarnas försäljningsandelar 2016.

Sätt in rubriker och etiketter med tillverkarnas procentuella andelar.

Gör ett stapeldiagram där försäljnings­ siffrorna för det sista kvartalet 2015 och 2016 tas med.

Antal motorcyklar i Finland Årtal 1965 1975 1985

Antal 76 507 49 085 50 738

1995

65 095

2005

156 487

2015

261 826

Källa: Statistikcentralen

a) Antalet motorcyklar minskade på 1970­talet. Hur många gånger så stort var antalet motorcyklar år 2015 som år 1975? b) Med hur många procent ökade antalet motorcyklar från år 1995 till 2015?

Källa: Gartner

162

199

Övnings­ Tilläggsuppgifter Hemuppgifterna uppgifterna är finns för de kan ges som sådana grupperade så att snabbaste. eller efter lärarens den studerande övervägande. efter gemensamma uppgifter själv kan välja uppgifter enligt svårighetsgrad.

5

NIVÅINDELNINGEN AV UPPGIFTERNA I BOKEN

svårighetsgrad på uppgifterna

1.

1. Gemensam uppgift

2.

utförande

4. Grunduppgift

3.

4.

10. Fördjupad uppgift

10.

19. Utmaning

5.

11.

6.

12.

19.

10.

De gemensamma uppgifterna är grunduppgifter som ger basfärdigheter i ämnet.

Utmaningarna är ofta mycket krävande. De är avsedda som frivilliga extrauppgifter för elever med specialintresse i matematik.

I mitten och slutet av varje kapitel finns repetitionsavsnitt som eleven kan använda självständigt för att repetera till prov under lektionstid eller hemma.

Till eleven

6

Matematik handlar inte bara om att lära sig räkna. Matematik handlar också om att identifiera figurer, behandla information, tänka logiskt och lösa problem. Då du studerar matematik behöver du kunna arbeta självständigt, men också tillsammans med andra i grupp.

9. Statistik

De första statistikerna sammanställdes sannolikt för beskattningar och i militära syften.

7

1.

Repetition PROCENT En procent är en hundradel.

1%=

1 = 0,01 100

p % AV TALET a p % av talet a beräknas genom att man multiplicerar HUR MÅNGA PROCENT ÄR TALET a AV TALET b?

p ⋅a 100

b · 100 % a

Talet a divideras med talet b och kvoten omvandlas till procent genom att man multiplicerar med hundra.

PROCENTUELL FÖRÄNDRING Vid procentuell förändring dividerar man förändringen med utgångsvärdet.

PROCENTUELL JÄMFÖRELSE Vid procentuell jämförelse dividerar man skillnaden med jämförelsetalet.

förändring ⋅ 100 % utgångsvärde

skillnad ⋅ 100 % jämförelsetal

PROCENTENHET Differensen mellan procenttal anges i procentenheter.

PROMILLE En promille är en tusendel.

8

1‰=

1 = 0,001 1000

1.

Hur mycket är 35 % av 820 €?

2.

Beräkna 3,2 % av 1 500 000 invånare.

3.

Hur många procent är talet 24 av 96?

Hur många procent a) fler personbilar registrerades i januari 2016 än i januari 2015? b) färre personbilar registrerades i januari 2015 än i januari 2016?

4.

Hur många procent är 75 cm av 2,0 m?

Registrering av nya personbilar i Finland.

5.

I januari kostade bensinen 1,25 €/l medan den i juli kostade 1,45 €/l. Med hur många procent hade priset stigit?

6.

På produkten står det ursprungliga priset och storleken på rabatten.

Beräkna det rabatterade priset.

7.

8.

Tidpunkt

Antal

januari 2015

10 268

januari 2016

11 788

Räntan på Idas och Valters bostadslån steg från 2,85 % till 3,25 %. Hur många procentenheter steg räntan?

a) tv 9. a) Omvandla 40 % till promille. b) Omvandla 850 ‰ till procent.

950 €

10. En kommuns budget för 2017 var 23 450 560 €. För personalens rekreation användes 0,8 ‰ av budgetmedlen. Hur många euro användes för rekreation?

–15 %

b) sovsäck 120 €

11. I slutet av 2014 hade Finland 5 471 753 invånare, varav 1 949 hade samiska som modersmål. Hur många promille av Finlands befolkning hade samiska som modersmål?

–40 %

Tilläggsuppgifter s. 162 Hemuppgifter s. 199

9

2.

Kalkylprogram I kalkylprogram kan man utföra beräkningar i ett tvådimensionellt rutsystem, en tabell. Kalkylprogrammen lämpar sig för numeriska beräkningar och fungerar bra för att visualisera data. Programmet är inte smartare än du, utan följer endast de instruktioner du ger det.

Förutom de egentliga kalkyleringsfunktionerna och verktygen för grafisk visualisering av data innehåller kalkylprogrammen databas- och programmerings­­funktioner.

Tabellen består av kolumner och rader. Rutorna som bildas i skärnings­ punkterna för kolumnerna och raderna kallas för celler. I cellerna kan man skriva in text, tal eller matematiska uttryck. Förutom att själv skriva in data i cellerna kan man referera till andra celler (jämför variabel), eller också skriva in funktioner som behandlar data.

Exemplen i den här boken är gjorda i Microsoft Office 365 Excel. (Observera att knappar och utseende kan variera beroende på vilket kalkylprogram eller vilken version man använder!) Kalkylprogrammen påminner mycket om varandra, vilket gör att man lätt kan byta från ett kalkylprogram till ett annat.

Exempel 1 Beräkningar och räkneoperationer inleds med = -tecken Basoperationer addition + subtraktion – multiplikation * division / potens ^

fler färre decimaler

Exempel 2 Funktioner summa =summa() medeltal =medel() minsta =min() största =max()

10

a) Beräkna medeltalet av tre givna tal. b) Beräkna arean av en cirkel då radien anges. a) I cell D2 skrivs uttrycket =(B1+C1+D1)/3 b) I cell D5 skrivs uttrycket =3,14*D4^2 =(B1+C1+D1)/3

formelfält, alltså raden på vilken cellens innehåll skrivs

Medeltalet är

den aktiva cellen, alltså cellen i vilken uttryckets värde skrivs ut

Cirkelns radie Cirkelns area

Man kan skriva färdigkonstruerade funktioner i formelfältet, eller så kan man trycka på -symbolen och välja önskad funktion. Cellerna man vill använda i funktionen väljer man genom att måla cellerna med musen eller genom att hålla in ctrl och klicka på enskilda celler med musen.

Beräkna summan och medeltalet av de givna talen och plocka ut det största och det minsta av talen. måla enhetligt område =MEDEL(A1:B3;A4) summa medeltal största minsta

enskild cell genom ctrl + musklick Områden och celler är separerade med ; -tecken, enhetligt område: övre vänster hörn: nedre höger hörn

KIOSKFÖRSÄLJNING Mellanmål

Drycker

Tillbehör Sammanlagt

januari februari mars april maj

1.

2.

Skriv ett uttryck som väljer talen i cellerna B2 och D2 beräknar deras a) summa b) differens c) produkt d) kvot.

Skriv ett uttryck där talet i cell B2 upphöjs till a) 2 b) 0,5 c) talet i cell B4. d) Skriv ut svaret i c-uppgiften då man i cell B4 skriver talet 1,5.

3.

Använd färdiga funktioner och skriv ett uttryck som väljer talen i området A1:D4 och skriver ut deras a) summa b) medeltal c) största värde d) minsta värde

4.

Längden av basen i en rektangel ges av cell A1 och höjden av cell A2. Skriv ett uttryck som beräknar a) arean av rektangeln b) omkretsen av rektangeln. c) Skriv ut svaren i a- och b-fallet då man i cell A1 skriver 3,5 och i cell A2 skriver talet 7,2.

totalt

Cellernas innehåll kan kopieras genom att man med musen drar ifrån cellens nedre, högra hörn.

5.

Skriv i cell E3 ett uttryck som beräknar summan av all försäljning i januari.

6.

Kopiera uttrycket i cell E3 till cellerna E4–E7.

7.

a) Skriv i cell E3 ett uttryck som beräknar summan av all försäljning i januari och kopiera uttrycket till cellerna E4–E7. b) Skriv i cell B8 ett uttryck som beräknar den totala försäljningen av mellanmål under perioden januari– maj. Kopiera uttrycket till cellerna C8–E8.

8.

Använd färdiga funktioner för att skriva ett uttryck som av den totala försäljningen väljer ut den a) bästa månaden b) sämsta månaden. c) Medeltalet av totalförsäljningen månadsvis.

9.

En cirkels diameter är skriven i cell B2.

Skriv ett uttryck som beräknar a) radien b) omkretsen c) arean.

Tilläggsuppgifter s. 162 Hemuppgifter s. 199

11

2. Kalkylprogram Skapa diagram Markera (måla) de celler och den information (också kolumn- och radrubriker) som du vill ha med i diagrammet.

Välj Infoga och önskad diagramtyp. För cirkeldiagrammet kan man endast välja en rad eller kolumn.

Under Diagramdesign och Lägg till diagramelement kan man sätta in diagramrubrik, rubriker på axlarna och eventuella enheter.

Exempel 3

Gör ett stapeldiagram som åskådliggör Kioskförsäljningen. försäljning/€

Kioskförsäljning

KIOSKFÖRSÄLJNING Mellanmål

Drycker

Tillbehör Sammanlagt

januari februari mars april januari februari mars april

maj

mellanmål drycker tillbehör

totalt

maj

månad

Markera området A2:D7.

Välj under Infoga-fliken önskad diagramtyp.

Klicka på diagrammet och gå sedan till Diagramdesign och Lägg till diagramelement för att sätta till diagramrubrik och rubriker på axlarna och eventuella enheter.

Exempel 4

Gör ett cirkeldiagram som åskådliggör hur den totala försäljningen fördelat sig på de olika månaderna.

Fördelning av försäljningen januari 14 %

maj 28 %

februari 14 %

mars 19 %

april 25 % januari

12

februari mars

april maj

Markera i tabellen områdena A3:A7 och E3:E7 (ctrl + välj).

Välj under Infoga-fliken cirkeldiagram.

Klicka på diagrammet och gå sedan till Diagramdesign och Lägg till diagramelement för att lägga till en diagramrubrik och placera etiketter vid de olika sektorerna.

10. Gör ett stapeldiagram över pojkarnas och flickornas längder.

Längd på eleverna i 9A Flickor

Pojkar

< 151

1

0

151 - 160

2

1

161 - 170

3

3

171 - 180

3

5

> 180

1

2

14. I tabellen ses nederbördsmängden under sommarmånaderna. Gör ett cirkeldiagram som visar hur nederbörden fördelat sig över de olika månaderna. Sätt in diagramrubrik och etiketter vid sektorerna.

Nederbörd under sommarmånaderna

mm

15.

juni

juli

augusti

65

50

72

KIOSKFÖRSÄLJNING Mellanmål Drycker

11. Lägg till a) diagramrubrik b) axelrubriker (vågrät: längd/cm, lodrät: antal) i diagrammet i föregående uppgift.

12. Nedan ser du resultatet av under­ sökningen ’Borde sommarlovet flyttas framåt?’. Gör ett cirkeldiagram som åskådliggör flickornas åsikter i frågan.

Tillbehör

januari

120,50

120,50

45,00

februari

99,45

95,70

78,50

mars

134,00

126,00

109,50

april

201,70

189,75

99,75

maj

210,00

199,00

132,50

Flickor

Pojkar

Lärare

Ja

87

126

12

Gör på basis av försäljningssiffrorna i tabellen a) ett liggande stapeldiagram som åskådliggör försäljningen b) ett linjediagram som åskådliggör försäljningsutvecklingen av de olika artiklarna. c) Lägg till rubriker i diagrammen.

Nej

74

52

17

16. Den globala fördelningen av operativ­

Kan inte säga

52

48

2

’Borde sommarlovet flyttas framåt?’

system i smarttelefoner (januari 2017).

Operativsystem Android iOS

13. Vivian registrerade temperaturer under en vecka. Gör ett linjediagram av de uppmätta temperaturerna.

Windows

Temperaturen kl. 8.00 vecka 40

°C

må

ti

on

to

fr

lö

sö

+2

0

-1

-5

1

4

1

Antal (tusen) 352 670 77 039 1 092

BlackBerry

208

Övriga

530

Gör utifrån tabellen ett cirkeldiagram där den procentuella fördelningen av operativsystemen framgår.

Tilläggsuppgifter s. 163 Hemuppgifter s. 199

13

3.

Statistik Informationstekniken har förbättrat möjligheterna att samla in data om vårt samhälle avsevärt, och speciellt om oss invånare. Med tillräckligt kraftiga datorer är det relativt lätt att lagra, hantera och presentera också stora datamängder. Datat presenteras till exempel i medier i både tabell- och diagramform.

Exempel 1

De vanligaste förnamnen bland barn födda 2014.

Namn

Hur många av eleverna i din klass har något av dessa namn? Är det personens första eller andra namn?

Pojkar

Namn

rubrik

Flickor

Juhani

1770

Maria

1869

Johannes

1442

Sofia

1680

Mikael

1358

Emilia

1486

Olavi

1348

Olivia

974

Onni

1047

Amanda

916

Matias

969

Aurora

880

Oliver

928

Aino

877

Elias

926

Helmi

778

Ilmari

910

Matilda

717

Antero

802

Ilona

704

rad

cell

Källa: Befolkningsregistercentralen kolumn

År 2014 föddes 57 232 barn. Hur många procent av dessa fick förnamnet a) Juhani b) Maria?

14

a) 1770 ⋅ 100 % ≈ 3,1 % 57232

Svar: 3,1 %

b) 1869 ⋅ 100 % ≈ 3,3 % 57232

Svar: 3,3 %

1.

I augusti 2015 hölls världsmästerskapen i friidrott i Peking. I tabellen ser du de fem länder som fick mest medaljer. Skriv av tabellen i ditt häfte och komplettera de tomma cellerna.

4. Hur många a) kolumner b) rader c) celler

finns det i tabellen i uppgift 3?

Medaljtabell för VM i friidrott 2015 Land

2.

3.

G

S

Kenya

6

Jamaica

2

B

Totalt 16

3

5.

12

USA

6

Storbritannien

4

Etiopien

3

3

2

8

Totalt

27

18

16

61

6

18 2

Hur många procent av Finlands befolkning bodde i a) Södra Finlands län b) Ålands län?

Invånarantal länsvis 1.1.2009 Län (rfv)

I 9A frågade man eleverna: Vilket är ditt favoritämne? Resultaten: bildkonst 5, historia 1, gymnastik 8, handarbete 4, huslig ekonomi 5, matematik 3, engelska 2. Gör en tabell över favoritämnena. Kom ihåg att skriva rubrik.

Vilket av djuren i tabellen a) flyger b) simmar c) springer snabbast?

1.1.2010 upphörde indelningen av Finland i län. I stället inrättades region­ förvaltningsverk (rfv) och närings-, trafik- och miljöcentraler (NTM).

Invånarantal

Södra Finlands län

2 209 677

Västra Finlands län

1 889 542

Östra Finlands län

569 832

Uleåborgs län

471 774

Lapplands län

183 775

Ålands län

27 732

Hela landet

5 352 332

6.

Hur många procent färre invånare hade Östra Finlands län än Västra Finlands län?

7.

gepard

114

segelfisk

112

a) Hur många procent av hela landets areal utgjordes av Uleåborgs län och Lapplands län tillsammans? b) Hur många procent av hela landets befolkning bodde i Uleåborgs län och Lapplands län tillsammans?

ejder

76

Länens area 1.1.2009

hare

77

Område

Area km2

häst

72

Uleåborgs län

56 739

tigerhaj

53

bi

22

Lapplands län

92 664

Några djurs hastigheter Djur

Hastighet (km/h)

Hela landet

303 899 Tilläggsuppgifter s. 163 Hemuppgifter s. 199

15

3. Statistik FREKVENS

Begreppet frekvens används inom statistiken då man anger antal. Om man talar om en procentuell andel använder man begreppet relativ frekvens.

Frekvensen betecknas med bokstaven f.

Exempel 2

I tabellen ges fördelningen över olika åldersgrupper i Finland i slutet av 2015.

Totalt hade Finland då 5 487 308 invånare.

Fördelningen över olika åldersgrupper Åldersgrupp

Frekvens

0–14

Relativ frekvens (%)

896 023

16,3

15–64

3 468 182

63,2

65–

1 123 103

20,5

896023 ⋅ 100 % ≈ 16,3 % 5487308

Källa: Statistikcentralen

KLASSINDELNING

För att hantera stora mängder data är det ofta praktiskt att dela in materialet i klasser, en indelning som avgränsas av lämpliga värden. Att dela in data i klasser underlättar då man vill rita diagram av stora statistiska datamängder.

Exempel 3

Längderna (cm) på eleverna i 8D är 156, 149, 160, 157, 155, 168, 147, 155, 148, 166, 151, 154, 158, 155, 161, 170 och 162.

Dela in eleverna i längdklasser. Beräkna frekvensen och den relativa frekvensen för varje längdklass.

Gör först en indelning av längderna så att intervallen är lika stora.

Beräkna antalet elever inom varje klass.

Längdfördelningen på eleverna i 8D

16

Längdklass (cm)

f

f(%)

146–150

3

17,6

151–155

5

29,4

156–160

4

23,5

161–165

2

11,8

166–170

3

17,6

8.

a) I en däckrazzia undersökte polisen däcken på 460 bilar. Skriv av tabellen i ditt häfte och beräkna de relativa frekvenserna. b) Mönsterdjupet på Kristins bildäck är 3 mm. I vilket skick är hennes däck?

11. Eleverna i 9E ordnade en tävling i pilkastning. De kastade följande serier.

Skicket på däcken

Skriv av tabellen nedan i ditt häfte och beräkna a) frekvenserna b) de relativa frekvenserna.

Skick dåligt

Mönsterdjup

f

under 2 mm

55

nöjaktigt bra

9.

2-4 mm

197

över 4 mm

208

f (%)

Längden på skolvägen bland eleverna i 9E var: 0,2 km 4,5 km 2,3 km 6,0 km 14,5 km 5,5 km 8,0 km 1,0 km 3,0 km

1,0 km

16,0 km 12,0 km 4,0 km 8,5 km 10,0 km 0,5 km 7,5 km 2,0 km 3,0 km 11,0 km

a) Skriv av tabellen och klass­ indelningarna i ditt häfte. b) Beräkna frekvenserna. c) Beräkna de relativa frekvenserna.

Längd på skolväg Skolväg (km)

f

f (%)

0,1–5,0 5,1–10,0 10,1–15,0 15,1–20,0

10. I elevrådsvalet fick Ella 72 röster, Ture 65, Vilhelmina 43 och Kevin 20.

Rita en tabell i ditt häfte och skriv in frekvenserna och beräkna de relativa frekvenserna (procentuella fördelningen av rösterna).

12 27 31 30

17 30 32 22

Resultat 10–19 20–29 30–39 40–49

25 16 20 38

10 29 40 14

f

42 43 15 19

35 29 10 16

f (%)

12. I en gallup fanns det fyra svarsalternativ av vilka man fick välja ett. Gallupens resultat ser du i tabellen. a) Hur många personer deltog i gallupen? b) Skriv av och komplettera tabellen i ditt häfte.

Alternativ A B C D

f 48 12 18

f (%) 40

35

13. En automatisk trafikräknare följer med trafiken och registrerar hur många bilar som passerar per timme. Dela in antal bilar i fyra klasser så att intervallen är lika stora. Gör i ditt häfte en frekvens­ tabell på motsvarande sätt som i uppgift 9. Fyll i tabellen.

987 606 332 21

854 820 280 16

Bilar per timme 701 544 964 653 126 105 79 190

453 629 58 365

578 503 43 470

Tilläggsuppgifter s. 164 Hemuppgifter s. 200

17

4.

Stapeldiagram Statistik åskådliggörs effektivt med hjälp av grafer, alltså diagram. Data, det vill säga statistikens innehåll, förmedlas ofta lättare med bilder än med tal i tabeller. Av den anledningen används diagram ofta i bland annat tidningar och på tv för att åskådliggöra statistik.

Invånarantal i de nordiska länderna 2015 invånarantal (milj. inv.)

10 9

9,2

antal 30 25

8 7

20

5,5

6

5,3

5

4,8

15

4

10

3 2

5

1 0

Elever i åk 9

0,32 Sverige Danmark Finland Norge Island land Källa: Statistikcentralen

stapeldiagram

namn

0

9A 9B pojkar

staplat stapeldiagram

De vanligaste efternamnen 21.11.2016

Korhonen

23 205 22 829

Virtanen Mäkinen

20 876

Nieminen

20 817 19 521

Mäkelä Hämäläinen

18 986 5 000

10 000

Källa: Befolkningsregistercentralen

liggande stapeldiagram

18

9C klass flickor

15 000

20 000

25 000 antal

1.

år

3

393 377

2011

4

5

6

7

8

9

10

vitsord

Diagrammet framställer kundernas måltidsval i en lunchrestaurang under en dag mellan kl. 12 och 15. a) Vilket var det populäraste alternativet? b) Hur många kunder åt totalt klockan 12-15? c) Vilka maträtter serverades det i medeltal minst fyra i timmen av? d) Hur många procent av alla kunder valde salladen eller soppan?

3.

Måltider

antal 35

18 11

10

15

500 586

271

2008

187

2007

0

100

flickor

200

545 488

172

2006

453 antal 300

pojkar

400 500 600 Källa: Trafikskyddet

a) Hur många år i rad har antalet personskador bland pojkar minskat? b) Hur många procent av personskadorna 2006 och 2015 utgjordes av personskador på flickor? c) Med hur många procent har personolyckor bland flickor minskat från år 2011 till 2015?

Uppgifterna 4–7 hör ihop med diagrammen på föregående sida 4. Hur många procent av invånarna i Norden är finländare?

5.

Ange antalet a) pojkar i A-klassen b) flickor i C-klassen c) elever i B-klassen.

6.

Hur många flera med namnet Korhonen än Virtanen fanns det år 2016?

7.

30.9.2016 fanns det 5 501 043 invånare i Finland. Stämmer det att ungefär en av 82 personer heter antingen Virtanen, Korhonen eller Mäkinen?

25 15

545

319

2009

32

30

303

2010

a) Hur många elever fick vitsordet 7? b) Hur många elever fick ett högre vitsord än 7? c) Hur många procent av eleverna fick vitsordet 10? d) Hur många procent fler fick vitsordet 8 än 5?

20

360

189

2012

1

331 224

2013

2

314

172

2014

4

2.

209

2015

5

0

Personskador bland 15–17-åriga mopedister 2015–2017

Matematikvitsord i klass 9E

antal 6

9

5 0

sallad

pizza

soppa hambur- lunchgare buffé

maträtt

Tilläggsuppgifter s. 165 Hemuppgifter s. 201

19

1.

4. Stapeldiagram RITA DIAGRAM Om variabeln på x-axeln består av separata värden ritar man staplarna från varandra. Om variabeln är sammanhängande ritas staplarna intill varandra.

Detta gäller till exempel för diagram som åskådliggör längd, tid eller ålder.

Diagrammet kallas då för ett histogram.

Kom ihåg att namnge axeln.

antal 12

De populäraste vintersportgrenarna i 9E

Skriv rubrik.

10 8 6 4

Staplarna i diagrammet ska ritas skilt för sig. Man måste lämna tomrum mellan dem.

2 0

slalom

ishockey skridsko- ringette skidning sportgren åkning

Namnge axeln.

Anpassa skalan utgående från det högsta värdet och använd en jämn indelning på skalan. Staplarna ska vara lika breda.

Exempel 1

I tabellen finns fyra nordiska länder och antalet guldmedaljer vunna av män i friidrottsgrenar i OS genom tiderna.

Nordiska länders olympiska guldmedaljer i friidrott

Land

Guld­ medaljer

Finland

47

Sverige

17

Norge

5

Danmark

0

antal 50 45

Nordiska länders olympiska guldmedaljer i friidrott 47

40 35 30 25 20

17

15 10

5

5 0

20

Finland

Sverige

Norge

0 Danmark

land

8.

Rita ett stapeldiagram över statistiken i tabellen. Låt en ruta på y-axeln motsvara 10 miljoner invånare. Kom ihåg rubriken och att namnge axlarna.

Antal invånare i EU-länder 2016

9.

40 30

Land

Antal inv. (milj.)

Land

Antal inv. (milj.)

Tyskland

80,7

Sverige

9,9

Frankrike

66,8

Finland

5,5

Polen

38,5

Estland

1,3

Nederländerna

17,0

11. Diagrammet är felritat. Två detaljer är fel och två saker fattas. Hitta dem.

Källa: CIA World Factbook

20 10

ja

nej

kanske

åsikt

12. I 9C röstade man om vilka platser klassen skulle besöka i huvudstaden.

Alla fick ge två röster. Resultatet presenteras i tabellen.

Besöksmål

Röster

Rita ett liggande stapeldiagram över statistiken i tabellen. Låt en ruta på x-axeln motsvara två procentenheter.

Riksdagshuset

15

Kiasma

4

Högholmen

12

Partiernas stöd (%) i Europaparlamentvalet 2014

Borgbacken

20

Heureka

9

Parti

%

Parti

%

Saml

22,6

Sannf

C

19,7

SFP

6,8

SDP

12,3

VF

9,3

9,3

KD

5,2

Gröna

12,9

Källa: Statistikcentralen

10. a) Rita ett stapeldiagram över statistiken. b) År 2000 registrerades det 3066 finska stövare. Med hur många procent har antalet registreringar minskat?

a) Rita ett stapeldiagram över resultatet i omröstningen. b) Hur många elever går i 9C? 13. Man frågade av 60 studerande om åsikter om pälsanvändning. Resultatet presenteras i tabellen.

A = förhåller sig positivt till pälsanvändning.

B = förhåller sig negativt till pälsanvändning.

C = kan inte säga.

Pälsanvändning Åsikt

Flickor

Pojkar

A

10

12

Antal

B

20

10

labrador retriever

1992

C

2

6

finsk stövare

1681

jämthund

1611

tysk schäferhund

1391

golden retriever

1352

Flest registrerade hundraser år 2015 Hundras

Källa: Kennelklubben

Rita ett staplat stapeldiagram över resultatet i undersökningen. Vilka förhåller sig mer negativt till pälsanvändning, flickor eller pojkar?

Tilläggsuppgifter s. 166 Hemuppgifter s. 201

21

5.

Linjediagram Linjediagram används speciellt då man vill illustrera hur något förändras, det vill säga en tendens.

Exempel 1

Utvecklingen av antalet studerande som avlagt studentexamen under 1900-talet Årtal

1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970

Antal

929

1980

1990

2000

1142 2105 2692 4073 7666 18 280 28 692 27 469 35 661 32 315

Anpassa skalan utgående från det högsta värdet och använd en jämn indelning på skalan.

Markera med punkter de koordinater som svarar mot antalet och förena punkterna med sträckor.

Studentexamen 1910–2010

antal 40 000 35 000 30 000 25 000 20 000 15 000 10 000 5 000 1910

1920

1930

1940

1950

2000 1500

Märk på detta sätt ut om skalan inte börjar från noll!

22

2010

1000

1960

1970

1980

1990

2000

2010 årtal

1.

a) Under vilka årtionden minskade antalet studentexamina? b) Hur många gånger så stort var antalet studerande som avlade studentexamen 2000 som 1910?

2.

På vad berodde den stora ökningen av antalet examina under 1960- och 1970-talet?

3.

6. Vilken var årets varmaste månad i a) Helsingfors b) Sodankylä?

Vilken var årets kallaste månad i c) Helsingfors d) Sodankylä?

Vilken månad var temperaturskillnaden mellan orterna e) störst f) minst?

Medeltemperaturen månadsvis i Helsingfors och Sodankylä 2015

medeltemperatur, °C 20,0

a) Vilket år gick antalet mobila telefonabonnemang förbi de fasta telefonabonnemangen? b) Vilket år gick antalet bredbands­ abonnemang förbi de fasta telefonabonnemangen?

abonnemang 8 000 000

15,0 10,0 5,0 0,0 −5,0

J A S O N D

månad

−10,0

Telefonabonnemang 1980–2008

−15,0

7 000 000

7.

6 000 000

J F M A M J

5 000 000 4 000 000 3 000 000

Helsingfors Sodankylä

Källa: Meteorologiska institutet

Rita ett linjediagram som beskriver bensinprisets utveckling. Observera att det sista tidsintervallet är kortare.

Medelpriset på 95E-bensin

2 000 000 1 000 000 80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02 04 06 08 årtal

fasta telefonabonnemang mobila telefonabonnemang Källa: Statistikcentralen bredbandsabonnemang

4.

a) Under vilken tidsperiod var antalet fasta telefonabonnemang som störst? b) När började antalet sjunka?

5.

Vilket år översteg antalet mobila telefonabonnemang 500 000-strecket?

8.

Årtal

1980 1990 2000 2010 2015

Pris (€)

0,47 0,65 1,14 1,43 1,46

Bibliotekens antal har under de senaste 44 åren minskat markant. Samtidigt har antalet lån i biblioteken mångfaldigats.

Rita ett linjediagram som åskådliggör utvecklingen av både antalet bibliotek och antalet lån. Observera att det sista tidsintervallet är kortare än de övriga.

Bibliotek (st.)

Lån (antal tusen)

1970

1980

1990

2000

2010

2014

3015

1608

1151

936

840

790

32 429 72 513 85 714 102 197 96 288 90 870

Tilläggsuppgifter s. 166 Hemuppgifter s. 202

23