Ma5 Kort blädderex

SCHILDTS & SÖDERSTRÖMS

Ma5 n

KORT Statistik och sannolikhet

Σi=1 x= nP(A)+P(A)=1 xi

Schildts & Söderströms www.sets.fi Finska förlagans titel: Tekijä. Lyhyt matematiikka 5. Tilastot ja todennäköisyys Redaktör för den finska upplagan: Sanna Niemelä Redaktör för den svenska upplagan: Hans Nordman Typografi: Liisa Holm Omslag: Heidi Hjerppe / Kustmedia Förlagan layout: Juho Niemelä Svenska upplagans ombrytning: Jukka Iivarinen / Vitale Ay Bilder: Shutterstock: 14 (300librarians), 20 (Eric Isselee), 23 (STILLFIX), 25 grön (Maks Narodenko), 25 orange (jiangdi), 25 röd (Tim UR), 27 (Sam27), 32 (LE Do), 35 (Vintage Tone), 38 (Irin-k), 45 (woottigon), 47 (GrAl), 48 (Fishman64), 59 (Zurijeta), 62 (ncristian), 69 (cristi180884), 71 (Horoscope), 73 (VanHart), 75 (AC Rider), 78 (Myotis), 80 (photographer2222), 87 (Adisa), 89 (Vixit), 95 (Shawn Hempel), 99 (Iazyllama), 104 (Nomad_Soul), 107 (Ana Aquirre Perez), 111 höger (cynoclub), 111 vänster (Paul Cotney9), 113 (Patino), 121 (sergign), 124 (Morrowind), 127 (Viktor1), 133 (Piesfive), 135 (gloverk), 136 (Anna Grigorjeva), 139 (Africa Studio), 142 uppe (RomanR), 142 nere (Francesco Abirgnani), 149 röd (PaulPaladin), 149 blå (Alex Staroseltsev), 162 (grafvision), 169 (NatachaS), 175 (flaviano fabrizi), 185 (Laboko), 189 (Dmytro Balkhovitin), 192 (Anna Grigorjeva), 196 (Kanuman), 200 (Planner), 203 (Africa Studio), 207 (Gelner Tivadar) Rodeo Finnish RF: 161 (Juha Tuomi) Fondernas samarbetsgrupp som består av Svensk kulturfonden, Svenska Folkskolans Vänner, Föreningen Konstsamfundet och Lisi Wahls stiftelse för studieunderstöd har beviljat ekonomiskt stöd för utgivningen av detta läromedel.

Kopieringsförbud Det här verket är en lärobok. Verket är skyddat av upphovsrättslagen (404/61).

Det är förbjudet att fotokopiera, skanna eller på annat sätt digitalt kopiera det här verket eller delar av det utan tillstånd. Kontrollera om läroanstalten har gällande licenser för fotokopiering och digitala licenser.

Mer information lämnas av Kopiosto rf www.kopiosto.fi Det är förbjudet att ändra verket eller delar av det.

Första upplagan, 2017 © Sanna Hassinen, Katariina Hemmo, Timo Taskinen och Sanoma Pro Oy © 2017 Leif Österberg och Schildts & Söderströms ISBN 978-951-52-4364-5

Innehåll 1 Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1 Statistiska grundbegrepp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Att tolka statistiska diagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.3 Att göra frekvenstabeller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 1.4 Beräkning av karaktäristikor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 1.5 Simultan fördelning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 2 Sannolikhet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 2.1 Grundbegrepp i sannolikhetsläran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 2.2 Modeller för att bestämma sannolikheter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 2.3 Multiplikationsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 2.4 Additionsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 2.5 Multiplikations­principen och kombinationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 3 Tilläggsmaterial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 3.1 Variabelskalor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 3.2 Urvalsmetoder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 3.3 Vägt medelvärde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 3.4 Beräkningsformler för karaktäristikor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 3.5 Kvartiler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 3.6 Träddiagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 4 Repetition: Statistik och sannolikhet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 4.1 Centrala begrepp i kursen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 4.2 Matematiska modeller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 4.3 Flervalsuppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

Facit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

Sakregister . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

1

Statistik

M åle t är at t du sk a ■

lära dig att behandla och tolka statistiskt material

■

lära dig att undersöka sambandet mellan två storheter

■

lära dig att använda tekniska hjälpmedel för att skapa eller ladda ner data i digital form, behandla och undersöka data samt bestämma karaktäristikor för diskreta fördelningar.

■

lära dig att använda tekniska hjälpmedel för att göra sannolikhets­ beräkningar.

◗ Hur bildar du frekvensfördelningar?

– Tolkning av frekvensfördelningar ◗ Hur bestämmer du – typvärdet – medianen – medelvärdet – variationsbredden – klassmitten? ◗ Hur inverkar medelvärdet och standardavvikelsen på diagrammet för frekvensfördelningen? ◗ Hur avgör du om värdet på en variabel avviker signifikant från medelvärdet?

– normerat värde

◗ Hur bildar du en frekvensfördelning? ◗ Hur beräknar du statistiska karaktäristikor? ◗ Hur bestämmer du regression­kurvan? ◗ Hur använder du regressionskurvan för att göra prognoser? ◗ Hur beräknar du korrelations­ koefficienten?

– tolkning av korrelations­ koefficienten

  7

1.1

Statistiska grundbegrepp

Fundera på

Under ett år byggdes det nya bostäder med 1–5 rum i en stad enligt följande: Antalet rum

st

1

70

2

65

3

35

4

20

5

10

% av de nya bostäderna

a) Fyll i de procentuella andelarna av de olika bostadstyperna i tabellen. b) Fyll i de värden som saknas enligt modellen.

Antalet rum

st

1

70

70

70 ⋅ 100 % = 35 % 200

2

65

70 + 65 = 135

135 ⋅ 100 % = 67,5 % 200

3

35

135 + 35 = 170

4

20

5

10

c) Hur många av bostäderna har högst fyra rum? d) Hur många procent av bostäderna har högst tre rum? e) Hur många av bostäderna har åtminstone fyra rum?

8 1

S tat i s t i k

Statistiskt material När man nämner ordet statistik, kommer de flesta att tänka på olika tabeller eller grafer som visar den årliga befolkningstillväxten eller väljarstödet för olika partier.

Parti

Andel (%)

C

21,1

Saml

18,2

Sannf

17,7

SDP

16,5

Gröna

8,5

Vänstern

7,1

SFP

4,9

KD

3,5

Övriga

2,5

C Saml Sannf SDP Gröna Vänstern SFP KD Övriga

Partiernas procentuella andel av rösterna i riksdagsvalet 2015 (Källa: Statistikcentralen)

Grafer utgör bara en liten del av begreppet statistik. Inom statistiken behandlar man olika metoder för att • samla in statistiskt material • behandla och analysera materialet • tolka resultaten.

Med hjälp av statistik kan man behandla numerisk information, beakta osäkerhetsfaktorer, generalisera erhållna resultat, analysera samband och förutsäga kommande situationer. Med hjälp av statistik vill man ofta skapa en så sanningsenlig bild som möjligt av det man undersöker, som underlag för olika beslut.

Tilläggsmaterial: Variabelskalor s. 165

En statistisk undersökning måste först planeras väl. Vi måste fundera på vilka saker vi vill undersöka och hur vi ska samla in data. Den information som vi samlar in för en undersökning kallas statistiskt material. Det statistiska materialet består av statistiska enheter.

En (statistisk) variabel är den egenskap som vi undersöker hos de statistiska enheterna. Variabeln kan vara kontinuerlig eller diskret.

En kontinuerlig variabel, till exempel längden, kan anta alla värden i ett intervall. En diskret variabel, till exempel skonummer, kan anta endast vissa värden.

1 . 1 S t a t i s t i s k a g r u n d b e g r e pp

9

Om vi till exempel studerar skolvägens längd för en grupp studerande så är de studerande statistiska enheter och skolvägens längd är varia­ bel. Denna information bildar tillsammans det statistiska materialet.

Statistiskt material den information som vi samlar in för undersökningen Statistisk enhet föremålet för undersökningen (till exempel studerande) Variabel den egenskap som undersöks (till exempel skolvägens längd)

Grundmängden eller populationen består av alla statistiska enheter som vi vill veta något om. Om vi till exempel vill undersöka längden av skolvägen för en grupp studerande så är populationen alla stude­ rande i gruppen.

Om alla statistiska enheter som hör till grundmängden är med i det statistiska materialet så talar man om en totalundersökning. I under­ sökningen av skolelevernas skolväg betyder det att vi samlar in den sökta informationen av alla studeranden i gruppen.

Tilläggsmaterial: Urvalsmetoder s. 167

10 1

S tat i s t i k

Att göra en totalundersökning är ofta omöjligt och det är ofta inte heller nödvändigt för att vi ska kunna dra tillräckligt noggranna slut­ satser. Därför utför vi i stället en stickprovsundersökning. Ett stick­ prov är en delmängd av grundmängden som är vald enligt någon urvalsmetod. Urvalsmetoder är olika sätt att välja statistiska enheter ur populationen, så att stickprovet representerar populationen så bra och opartiskt som möjligt.

EXEMPEL 1

I olika undersökningar har det visat sig att finländska gymnasister sover alltför lite. I en undersökning tillfrågades tusen gymnasister hur många timmar de uppskattar att de sover per dygn. Informationen samlades i en tabell.

a) b) c) d) LÖSNING

SVAR

Nattsömnens längd (h)

6

7

8

9

10

Antalet gymnasister

112

240

468

135

45

Vilken är grundmängden i undersökningen?

Vilka är de statistiska enheterna?

Vilken är variabeln i det statistiska materialet? Är det fråga om ett stickprov eller en totalundersökning?

a) Eftersom man frågade efter nattsömnens längd hos finländska gymnasister så är grundmängden alla finländska gymnasister. b) Föremålen för undersökningen eller statistiska enheterna är de finländska gymnasister som valdes ut till undersökningen. c) Den egenskap som undersöktes eller variabeln är nattsömnens längd. d) Eftersom man i undersökningen inte frågade alla gymnasister om deras nattsömn så är det statistiska materialet ett stickprov. a) alla finländska gymnasister b) de finländska gymnasister som valdes ut till undersökningen c) nattsömnens längd d) stickprov Efter att vi samlat in det statistiska materialet, ska vi behandla det så att vi får ut all nödvändig information ur materialet. Vi börjar oftast behandlingen av det statistiska materialet genom att bestämma frekvenser.

• Frekvensen f (absoluta frekvensen) anger hur många gånger som ett visst värde på en variabel förekommer i det statistiska materialet (antalet observationer med ett visst värde på variabeln).

• Relativa frekvensen f % anger den procentuella andelen och den får vi genom att dividera frekvensen med det totala antalet statis­ tiska enheter och ange resultatet i procent.

Frekvensfördelningen är en tabell (s.k. frekvenstabell) som visar värdena på en variabel och motsvarande frekvens, dvs. hur det totala antalet statistiska enheter fördelar sig på de olika variabelvärdena.

1 . 1 S t a t i s t i s k a g r u n d b e g r e pp

11

Vi får ett exaktare värde på den kumule­ rade relativa frekven­ sen om vi beräknar den kumulerade frekvensen i procent.

Om vi adderar ihop frekvenserna upp till ett visst variabelvärde så får vi de kumulerade frekvenserna. De kumulerade frekvenserna anger alltså hur många observationer som har ett variabelvärde som är mindre eller lika med ett visst variabelvärde. Den kumula­ tiva frekvensfördelningen är en tabell som anger de kumulerade frekvenserna och de kumulerade relativa frekvenserna för de olika variabelvärdena.

• Den (absoluta) kumulerade frekvensen kf får vi genom att addera ihop de (absoluta) frekvenserna.

• Den kumulerade relativa frekvensen kf % får vi genom att divi­ dera den kumulerade frekvensen med det totala antalet statistiska enheter och ge resultatet i procent. Vi kan beräkna den kumule­ rade relativa frekvensen på två olika sätt: – vi adderar de relativa frekvenserna – vi ger den kumulerade frekvensen i procent.

Frekvenser

• Frekvensen f anger antalet gånger ett visst värde på en variabel förekommer.

• Relativa frekvensen f % anger frekvensens procentuella andel av totala antalet statistiska enheter (totala antalet observationer).

• Den kumulerade frekvensen kf anger antalet statistiska enheter som har ett variabelvärde som är mindre än eller lika med ett visst variabelvärde.

• Den kumulerade relativa frekvensen kf % är den kumulativa frekvensen andel av totala antalet statistiska enheter.

I tabellen nedan ser du frekvensfördelningen och kumulativa frekvens­ fördelningen för ett statistiskt material där man i en grupp på 25 studerande frågade efter antalet syskon.

12 1

S tat i s t i k

x

f

f%

kf

kf %

0

4

4 ⋅ 100 = 16 25

4

4 ⋅ 100 = 16 25

1

12

12 ⋅ 100 = 48 25

4 + 12 = 16

16 ⋅ 100 = 64 25

2

6

6 ⋅ 100 = 24 25

16 + 6 = 22

22 ⋅ 100 = 88 25

3

3

3 ⋅ 100 = 12 25

22 + 3 = 25

25 ⋅ 100 = 100 25

EXEMPEL 2

Bestäm de frekvenser som saknas. x

f

5

40

7

100

8

35

f%

kf

9 LÖSNING

kf %

200

Eftersom den kumulerade frekvensen för det sista värdet 9 på variabeln är 200 så är antalet statistiska enheter 200. Med hjälp av detta kan vi beräkna frekvensens för variabelvärdet 9: 200 − (40 + 100 + 35) = 200 − 175 = 25 Sedan kan vi beräkna de rela­ tiva frekvenserna genom att jämföra frekvensen för ett visst variabelvärde med det totala antalet observationer och sedan ange andelen i procent.

x

f

f%

5

40

40 ⋅ 100 = 20 200

7

100

100 ⋅ 100 = 50 200

8

35

35

⋅ 100 = 17,5

200 De kumulerade frekvenser­ na beräknar vi med hjälp av 25 ⋅ 100 = 12,5 9 25 frekvenserna: den kumulerade 200 frekvensen för ett variabelvärde är summan av frekvenserna för de variabelvärden som är mindre än eller lika med det aktuella variabelvärdet.

SVAR

x

f

f%

5

40

20

40

40 ⋅ 100 = 20 200

7

100

50

40 + 100 = 140

140 ⋅ 100 = 70 200

8

35

17,5

40 + 100 + 35 = 175

175 ⋅ 100 = 87,5 200

9

25

12,5

200

200 ⋅ 100 = 100 200

x 5 7 8 9

f 40 100 35 25

f% 20 50 17,5 12,5

kf 40 140 175 200

kf

kf % 20 70 87,5 100

kf %

De kumulerade relativa frekvenser­ na får vi genom att ange de kumu­ lerade frekvenserna i procent.

1 . 1 S t a t i s t i s k a g r u n d b e g r e pp

13

EXEMPEL 3

Ägaren till restaurangen Den flygande gåsen kartlade under en vecka storleken på de grupper som kom till restaurangen. Resultatet fram­ går ur tabellen.

Antalet personer i gruppen x

Antalet grupper f

f%

kf

kf %

1

62

21

62

21

2

78

27

140

48

3

63

22

203

70

4

55

19

258

89

5

31

11

289

100

a) Hur många grupper besökte restaurangen under veckan? b) Hur många personer kom ensamma för att äta? c) Hur många grupper som bestod av åtminstone fyra personer besökte restaurangen? d) Hur många procent av grupperna bestod av högst två personer?

LÖSNING

a) Det sista variabelvärdets kumulerade frekvens anger antalet grupper som besökte restaurangen.

Antalet grupper som besökte restaurangen under veckan var 289.

x 1 2 3 4 5

kf 62 140 203 258 289

b) Personer som kom ensamma för att äta är antalet grupper med en person. De var under veckan 62 stycken.

Vi kan också beräkna frekvensen med hjälp av de kumulerade frekvenserna:

c) ”Åtminstone fyra personer” betyder att vi ska räkna med de grupper där det fanns fyra eller fem mat­ gäster. Deras antal är summan av frekvenserna för de två sista variabelvärdena.

55 + 31 = 86

x 1 2 3 4 5

f 62 78 63 55 31

x 1 2 3 4 5

kf % 21 48 70 89 100

289 − 203 = 86.

d) Procentuella andelen grupper med högst två personer är kumulerade relativa frekvensen för variabelvärdet 2, som är 48 %.

SVAR

14 1

S tat i s t i k

a) 289 c) 86

b) 62 d) 48 %

Karaktäristikor Den information som vi får med hjälp av frekvenserna och diagram­ men för ett statistiskt material räcker inte till som underlag för beslut.

Därför måste man beräkna olika karaktäristikor för materialet.

OBSERVERA! I många sammanhang ger medianen en bättre bild av materialet än medelvärdet, eftersom medelvärdet förändras kraftigt om några enskilda variabelvärden avviker mycket från de övriga”

Karaktäristikorna delas in i två grupper: lägesmått och spridnings­ mått. Lägesmåtten ger viktig information om hur värdena för varia­ beln ligger: vilket värde som är det allmännaste, vilket värde som är det mittersta etc. Spridningsmått, som till exempel standardavvikelsen, beskriver spridningen av variabelvärdena kring medelvärdet. Vi be­ kantar oss med spridningsmåtten i nästa kapitel.

Lägesmåtten delas in i medelvärden och andra lägesmått. Medel­ värdena (såsom det aritmetiska medelvärdet, typvärdet och medianen), beskriver variabelvärdenas genomsnittliga egenskaper.

Statistiska karaktäristikor

Lägesmått

Andra lägesmått

Medelvärden

Typvärdet är den enda karaktäristika som kan ha flera värden.

Spridningsmått

Typvärde (modus) Mo är det variabelvärde som har den största frekvensen.

3, 3, 8, 8, 8, 10, 11, 11

Mo = 8

Om frekvensfördelningen är given för det statistiska materialet så kan vi avläsa typvärdet med hjälp av antingen frekvenserna eller de relativa frekvenserna. Typvärdet är det variabelvärde vars frekvens eller relativa frekvens är störst. x

f

f%

3

2

25

8

3

37,5

10

1

12,5

11

2

25

Variabelvärdet 8 har den • största frekvensen (3) • största relativa frekvensen (37,5 %).

1 . 1 S t a t i s t i s k a g r u n d b e g r e pp

15

Medianen Md är den karaktäristika som anger variabelvärdet för den mittersta observationen då observationerna är ordnade i storleks­ ordning. Om materialet är litet så kan vi lätt ordna observationerna i storleksordning utan att göra en frekvensfördelning. Då är medianen det variabelvärde som ligger mitt i det statistiska materialet.

6, 7, 8, 9, 9

Md = 8

Om det finns två mittersta värden (jämnt antal observationer) så är medianen deras medelvärde.

2, 3, 5, 7, 8, 8

Md =

5+7 =6 2

Medianen delar det statistiska materialet i två lika stora delar. Om an­ talet statistiska enheter i materialet är stort, är det bäst att bestämma medianen med hjälp av de kumulerade relativa frekvenserna. Efter­ som medianen är det mittersta värdet så är 50 % av de observerade värdena mindre än medianen. Medianen är då det värde på variabeln för vilken den kumulerade relativa frekvensen första gången är åt­ minstone 50 %. x

f

f%

kf %

5

2

10

10

10

4

20

30

12

3

15

45

15

8

40

85

18

3

15

100

Eftersom den kumulerade relativa frekvensen över­skrider 50% första gången för variabelvärdet 15 (kf % är 85 %) så hittar vi det mittersta variabelvärdet bland de statistiska enheter som har variabelvärdet 15.

Md = 15

Tilläggsmaterial: Vägt medelvärde s. 168

Det lägesmått som är mest använt är det aritmetiska medelvärdet x . När man till vardags talar om medeltal och medelvärde så avser man det aritmetiska medelvärdet.

Det aritmetiska medelvärdet x beräknar vi genom att dela summan av variabelvärdena med totala antalet observationer (det totala antalet statistiska enheter).

Tilläggsmaterial: Räkneformler för karaktäristikor s. 170

16 1

S tat i s t i k

6, 7, 8, 9, 9

x=

6+7+8+9+9 = 7,8 5

Karaktäristikor

• Typvärdet (Modus) Mo är det variabelvärde som har den största frekvensen.

• Medianen Md är den karaktäristika som anger variabelvärdet för den mittersta observationen då observationerna är ordnade i storleksordning.

• Det aritmetiska medelvärdet x beräknar vi genom att dela summan av variabelvärdena med totala antalet statistiska enheter (observationer).

En del av karaktäristikorna kan vi beräkna med hjälp av de statistiska funktionerna på våra räknare. Bekanta dig med statistiska funktionerna på din egen räknare med hjälp av räknarens instruk­ tionsbok och lös exempel 4 med hjälp av din räknare.

EXEMPEL 4

I kursen i lång franska deltog 10 studerande. Deras kursvitsord var följande: 8, 7, 8, 5, 10, 9, 7, 9, 7, 6. Bestäm a) typvärde b) median c) medelvärde för kursvitsorden.

LÖSNING

a) Vi gör en frekvensfördelning för kursvitsorden.

Vitsord

5

6

7

8

9

10

f

1

1

3

2

2

1

Vitsordet 7 har den största frekvensen (tre studerande har detta vits­ ord) dvs. vitsordet 7 är typvärde. Mo = 7.

Det finns inget mittersta värde eftersom antalet statistiska enheter är tio. Medianen är då medelvärdet av de två mittersta värdena.

Frekvensen anger antalet som har ett visst variabelvärde. Till exempel variabelvärdet 7 har 3 studerande:

b) Vi ordnar det statistiska materialet i storleksordning.

5, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 10

Median Md =

7+8 = 7,5 .

2

c) Vi beräknar medelvärdet genom att dela summan av kursvits­ orden med antalet studerande eller med talet 10.

x=

5 + 6 + 3 ⋅ 7 + 2 ⋅ 8 + 2 ⋅ 9 + 10 76 = = 7,6 10 10

7+7+7=3⋅7 SVAR

a) Mo = 7

b) Md = 7,5

c) x = 7,6

1 . 1 S t a t i s t i s k a g r u n d b e g r e pp

17

EXEMPEL 5

I en gymnastikgrupp på 20 studerande frågade läraren hur många gånger i veckan som de studerande motionerade utanför skoltid.

Läraren bildade sedan en frekvensfördelning utgående från svaren.

Antalet motions­gånger per vecka x

f

f%

0

6

30

1

3

15

2

5

25

3

4

20

4

2

10

Bestäm typvärde, median och medelvärde för antalet motionsgånger.

LÖSNING

Typvärde är det värde för variabeln som har den högsta frekvensen. Typvärdet är Mo = 0 gånger.

För att bestämma medianen beräknar vi de kumulerade relativa frekvenserna med hjälp av de relativa frekvenserna.

Frekvensen anger antalet observationer som har ett visst variabelvärde. Till exempel variabelvärdet 2 har 5 studerande: 2+2+2+2+2=5⋅2

S tat i s t i k

f

f%

kf %

0

6

30

30

1

3

15

45

2

5

25

70

3

4

20

90

4

2

10

100

f

0

6

1

3

2

5

3

4

4

2

Medianen är det variabelvärde för vilket den kumulerade relativa frekvensen för första gången överskrider 50 %. Medianen är Md = 2 gånger.

Vi beräknar medelvärdet genom att dela det totala antalet motions­ gånger med antalet studerande 20.

S V A R Mo

18 1

x

x

x=

6 ⋅ 0 + 3 ⋅ 1 + 5 ⋅ 2 + 4 ⋅ 3 + 2 ⋅ 4 33 = = 1,65 20 20

= 0 (gånger), Md = 2 (gånger) och x = 1,65 (gånger)

EXEMPEL 6

I en backhoppningstävling gavs poäng både för hoppets längd och för hoppstilen. Fem domare gav stilpoäng på skalan 0–10 med en poängs noggrannhet. Hopparens slutliga stilpoäng är medelvärdet av de stilpoäng som de fem domarna gav, avrundat till en decimals noggrannhet. Hasse och Johan fick båda poängen 6, 6 och 8 från de tre första domarna. a) Den fjärde domaren gav Hasse bara 4 poäng. Medelvärdet av stilpoängen blev slutligen 6,4. Hur många poäng gav den femte domaren? b) De två sista domarna gav samma stilpoäng till Johan och då blev medelvärdet 6,8. Hur många stilpoäng gav de två domarna?

LÖSNING

a) Vi betecknar stilpoängen som den femte domaren gav med x.

Summan av alla domarnas stilpoäng är då 6 + 6 + 8 + 4 + x = 24 + x.

Eftersom medelvärdet av poängen var 6,4 så får vi ekvationen

24 + x = 6,4 5 24 + x = 32

⋅5

Vi multiplicerar först bort nämnaren.

x = 32 − 24 x=8

Den femte domaren gav Hasse 8 poäng.

b) Vi betecknar stilpoängen som en av de två sista domarna gav med bokstaven y. Vi bildar en ekvation med hjälp av medelvärdet.

6+6+8+ y + y = 6,8 5 20 + 2 y = 6,8 5 20 + 2 y = 34

⋅5

2 y = 34 − 20 2 y = 14

:2

y=7

SVAR

De två sista domarna gav vardera 7 poäng.

a) 8 poäng

b) 7 poäng

1 . 1 S t a t i s t i s k a g r u n d b e g r e pp

19

Uppgifter Statistiskt material

E1

1. För att beräkna priset på en matkorg undersöktes priset (€/kg) för det mest populära kaffemärket i Finland. Till undersökningen valdes 100 affärer där man tog reda på priset för det aktuella kaffemärket. Kaffet såldes i 500 grams paket med vars hjälp man beräknade kilopriset. a) Vilken är grundmängden för undersökningen? b) Vilka är de statistiska enheterna? c) Vilken är den statistiska variabeln? d) Är det fråga om ett stickprov eller en totalundersökning?

2. Europeiska kommissionen gjorde en sammanställning av den all­

männa mervärdesskatten (i procent av varans eller tjänstens skatte­ fria pris) i alla EU-länder. Man fick informationen från varje lands skatteförvaltning. a) Vilken är grundmängden för undersökningen? b) Vilka är de statistiska enheterna? c) Vilken är den statistiska variabeln? d) Är det fråga om ett stickprov eller en totalundersökning?

3. Talgoxen (Parus Major) är en av de vanligaste fågelarterna i Eurasien.

Den lägger 6–12 ägg. I en nationalpark undersökte forskare storleken på talgoxekullarna genom att räkna antalet ägg i 20 fågelbon. Resul­ taten var följande: 9 12

6 11

9 11

8 6

11 7

9 7

8 11

7 9

9 8

10 9

a) Vilken är grundmängden för undersökningen? b) Vilka är de statistiska enheterna? c) Vilken är den statistiska variabeln? d) Är variabeln kontinuerlig eller diskret? e) Är det fråga om ett stickprov eller en totalundersökning?

20 1

S tat i s t i k

4. Är variabeln kontinuerlig eller diskret?

a) statens area b) antalet rum i en lägenhet c) topphastigheten för en bil d) en persons allmänkondition på skalan 1–4 (1 = utmärkt, 4 = dålig) e) antalet städer med mer än en miljon invånare i olika stater

E2

5. Beräkna de frekvenser som saknas i tabellen. x

f

f%

1

7

2

12

kf

3 4

kf %

43 5

5

50

6. I en kundförfrågan i en affär frågade man hundra kunder hur många

gånger i veckan som de gjorde sina matinköp. Utifrån svaren sam­ manställde man en frekvensfördelning. Bestäm de frekvenser som saknas i tabellen. x

f

f%

2

6

3

10

4

22

5

31

6

26

7

5

kf

kf %

7. Beräkna de frekvenser som saknas i tabellen. f

f%

2

10

kf

kf %

6 80

1 . 1 S t a t i s t i s k a g r u n d b e g r e pp

21

E3

8. En lärare kartlade under veckas tid med hur många gånger stude­

rande i en studerandegrupp kom för sent till den första lektionen.

Antalet förseningar x i gruppen var följande: x

f

f%

kf

kf %

0

5

20

5

20

1

8

32

13

52

2

6

24

19

76

3

3

12

22

88

4

2

8

24

96

5

1

4

25

100

a) Hur många procent av de studerande kom aldrig för sent? b) Hur många studerande kom för sent två morgnar? c) Hur många procent av de studerande kom för sent högst två morgnar? d) Hur många av de studerande kom för sent högst tre morgnar? e) Hur många procent av de studerande kom för sent åtminstone fyra morgnar?

9. Ett företag som framställer hårprodukter kartlade i en förfrågan till sina kunder hur många gånger i veckan de tvättade håret. Resultaten från förfrågan är sammanställd i tabellen.

Antalet hår­tvättningar per vecka

f

f%

kf

kf %

1

12

5

12

5

2

32

13

44

18

3

78

33

122

51

4

64

27

186

78

5

26

11

212

88

6

18

8

230

96

7

10

4

240

100

a) Hur många av kunderna tvättade håret tre gånger i veckan? b) Hur många av kunderna tvättade håret högst fyra gånger i veckan? c) Hur många procent av kunderna tvättade håret högst fem gånger i veckan? d) Hur många procent av kunderna tvättade håret åtminstone sex gånger i veckan?

22 1

S tat i s t i k

10. Kursvitsorden i en kurs i kort matematik var följande: Vitsord

f

4

1

5

3

6

4

7

8

8

5

9

3

10

1

f%

kf

kf %

a) Beräkna de frekvenser som saknas i tabellen. b) Hur många studerande fick högst vitsordet 8 i kursen? c) Hur många procent av de studerande fick åtminstone vitsordet 7 i kursen? d) Hur många procent av de studerande fick vitsordet 7 eller 8?

Karaktäristikor

E4

11. Henrik deltog i en pilkastningstävling och fick följande kastresultat: 7, 7, 10, 8, 7, 9, 9, 7, 4, 4. Bestäm kastseriens a) typvärde b) median c) medelvärde.

12. Studerandekåren planerar att skaffa en läskedrycksautomat till sko­ lan. För att få en uppfattning om antalet läskedrycker som skolans studerande skulle köpa per vecka intervjuar studerandekåren 20 slumpmässigt valda studerande. Resultatet är 0 3 2 2 4 1 1 1 5 1 2 1 5 0 1 2 2 2 4 3 a) Bestäm typvärde och median för antalet läskedrycker. b) Det lönar sig att skaffa automaten om konsumtionen per stu­ derande är i medeltal åtminstone två drycker per vecka. Skaffar studerandekåren en automat till skolan?

1 . 1 S t a t i s t i s k a g r u n d b e g r e pp

23

13. Rörelsevinsten (miljoner euro) för ett företag under åren 2008–2015

framgår ur tabellen. Beräkna medelvärdet av den årliga rörelsevinsten under dessa år.

2008

2009

2010

2011

2012

2013

2014

2015

8

8

10

12

11

11

10

10

14. Beräkna medelvärdet av det motsatta talet till talet −1 och det inver­ terade talet till talet 5. [SE hösten 2015 kort, 1a]

E5

15. Alma gjorde under en matematikkurs en undersökning om film­

tittande hos gymnasister. Hon frågade 50 slumpmässigt valda gym­ nasister hur många filmer de ser under en vecka. Resultatet från undersökningen är sammanställd i tabellen.

Antalet filmer

f

f%

0

6

12

1

15

30

2

14

28

3

8

16

4

5

10

5

2

4

Bestäm a) typvärdet och medianen b) medelvärdet för antalet sedda filmer med en decimals noggrannhet.

16. En viktad tärning kastades 100 gånger. Kastresultatet framgår ur tabellen.

24 1

S tat i s t i k

Resultat

1

2

3

4

5

6

f

10

10

10

25

15

30

Bestäm typvärde, median och medelvärde för kastresultatet.

17. Antalet kronblad på blomman hos en viss vattenväxt varierar mel­ lan fyra och åtta. 50 blommor från växten plockades i ett träsk och undersöktes. Resultatet framgår ur tabellen.

Antalet kronblad

4

5

6

7

8

f

12

18

11

6

3

a) Bestäm typvärde och median för antalet kronblad. b) Hur många kronblad hade växten i medeltal? Ge svar med en decimals noggrannhet.

E6

18. Slutvitsordet i matematik på avgångsbetyget bestäms i allmänhet

utifrån det aritmetiska medelvärdet. Hanna och Iris har klarat av de sex första kurserna i matematik. Båda har fått vitsorden 8, 6, 7 och 8 i de fyra första kurserna. a) Hanna får vitsordet 6 i den femte kursen. Vilket vitsord fick hon i den sjätte och sista obligatoriska kursen om vitsordens medel­ värde är 7,0? b) Iris fick samma vitsord i de två sista kurserna. Vilket var detta vitsord om vitsordens medelvärde är 6,5?

19. Lasse kastar tärning fem gånger. Resultaten i de tre första kasten är 4, 6 och 5. a) I det fjärde och femte kastet får Lasse samma ögontal. Då är med­ elvärdet för ögontalen 3,8. Vilket ögontal får Lasse på de två sista kasten? b) Lasse får på det femte kastet ett ögontal som är ett steg högre än ögontalet på det fjärde kastet. Då är ögontalens medelvärde 4,4.

Vilka är ögontalen på de två sista kasten?

20. Den totala massan för tre mandariner är 250 g. Medelvikten för sju äpplen är 150 g. Vilken är medelvikten för de tio frukterna?

21. Medelvärdet av ett tal och talet i kvadrat är 10. Vilket är talet?

1 . 1 S t a t i s t i s k a g r u n d b e g r e pp

25

Blandade uppgifter

22. En kemilärare undersökte kursvitsorden i den obligatoriska kemi­

kursen för första årets studerande under läsåret 2016–2017. Resultatet framgår av tabellen.

Vitsord

4

5

6

7

8

9

10

f

5

12

24

48

44

18

6

a) Vilken är grundmängden för undersökningen? b) Vilka är de statistiska enheterna i undersökning? c) Vilken är den statistiska variabeln? d) Är variabeln kontinuerlig eller diskret? e) Är det fråga om ett stickprov eller en totalundersökning?

23. Bestäm de frekvenser som saknas i tabellen. x

f

10

2

f%

kf

kf %

11 12

5

13

8

14

4

20

24. I en kundförfrågan kartlade en rese­

byrå hur många utlandsresor kunder­ na gjorde per år. I förfrågan deltog 100 personer. Resultatet framgår ur tabellen. a) Hur många procent av kunderna gjorde fyra resor per år? b) Hur många kunder gjorde högst tre resor per år? c) Hur många procent av kunderna gjorde högst två resor per år? d) Hur många kunder gjorde åt­ minstone två resor?

26 1

S tat i s t i k

Antalet utlands­ resor under ett år

f

kf

0

11

11

1

36

47

2

25

72

3

13

85

4

12

97

5

3

100

25. På den första kursen i modersmålet frågade läraren 25 studerande hur många böcker de hade läst under föregående månad. Resultatet var följande:

2, 2, 0, 2, 0, 3, 1, 0, 4, 1, 0, 1, 2, 2, 5, 0, 0, 3, 1, 6, 4, 3, 0, 1, 2

a) Vilket är typvärdet för antalet lästa böcker? b) Vilken är medianen för antalet lästa böcker? c) Beräkna medelvärdet för antalet lästa böcker. d) Det kom en ny studerande till den tredje lektionen i kursen. Hen sade att hen bara hade läst en bok under föregående månad. Hur förändras typvärdet, medianen och medelvärdet för antalet lästa böcker?

26. Korten i en kortpacke motsvarar poäng i intervallet 1–13. Hanna drar tre kort ur kortpacken: ♠3, ♣5 och ♥3. a) Det fjärde kortet som hon drar är ♠7. Vilket är det femte kortet hon drar om kortet är ruter och poängens medelvärde för de kort hon dragit tidigare och det femte kortet är jämnt 5? b) Det fjärde och det femte kortet som hon drar är två ruter med poäng i följd vilket ger att medelvärdet för kortens poäng är 6,4.

Vilka är de två sist dragna korten?

27. I tabellen finns vitsordsfördelningen i studentprovet i A-engelska i ett gymnasium givna med hjälp av poäng (L = 7 och I = 0).

Vitsord

f

kf

kf %

0

6

6

4

2

13

19

16

3

24

43

36

4

29

72

61

5

23

95

81

6

18

113

96

7

5

118

100

a) Vilken är den statistiska variabeln i materialet? b) Är variabeln kontinuerlig eller diskret? c) Vilken är grundmängden i undersökningen när det är fråga om en totalundersökning? d) Vilket är typvärdet för variabeln? e) Vilken är medianen för variabeln?

1 . 1 S t a t i s t i s k a g r u n d b e g r e pp

27