Kubik X blädderex

K U B I K X

Schildts & Sรถderstrรถms

Schildts & Söderströms www.sets.fi Finska förlagans titel: Kuutio X Redaktör för den finska Jussi Laitila Redaktör för den svenska upplagan: Hans Nordman Grafisk planering: Sari Jeskanen Illustrationer: Marvegraf Oy / Marja Venäläinen, Tuuli Hypén, Pirkko Pihjala Omslag: Johanna Junkala Svenska upplagans ombrytning: Jukka Iivarinen / Vitale Ay

© Sanna Hassinen, Olli Latva, Jari-Pekka Makkonen, Mikko Peltola, Maria Pirttimaa, Aulis Tolvanen och Sanoma Pro Oy © 2017 Markus Öhrnberg och Schildts & Söderströms

Kopieringsförbud Det här verket är en lärobok. Verket är skyddat av upphovsrättslagen (404/61).

Det är förbjudet att fotokopiera, skanna eller på annat sätt digitalt kopiera det här verket eller delar av det utan tillstånd. Kontrollera om läroanstalten har gällande licenser för fotokopiering och digitala licenser.

Mer information lämnas av Kopiosto rf www.kopiosto.fi Det är förbjudet att ändra verket eller delar av det.

Fondernas samarbetsgrupp som består av Svensk kulturfonden, Svenska Folkskolans Vänner, Föreningen Konstsamfundet och Lisi Wahls stiftelse för studieunderstöd har beviljat ekonomiskt stöd för utgivningen av detta läromedel.

Första upplagan, 2017 ISBN 978-951-52-4359-1

INNEHÅLL 4. POLYNOM OCH POTENSER

FLEXUPPGIFTER

1. Division av ett monom med ett annat monom 66

2. Division av ett polynom med ett monom 68 3. Kvadratrotsberäkningar 70

1. Repetition 8 2. Multiplikation av potenser med samma bas 10 3. Division av potenser med samma bas 12 4. Potensen av en produkt 14 5. Potensen av en kvot 16 6. Potensen av en potens 18 7. Noll som exponent 20 8. Negativ exponent 22 9. Tiopotenser 24 10. Kvadratrot 28 11. Beräkningar med kvadratrötter 30 12 Mängdlära 34 13. Repetition 36 14. Polynom 38 15. Addition av termer 40 16. Värdet av ett polynom 44 17. Addition av polynom 48 18. Subtraktion av polynom 50 19. Addition och subtraktion av termer 52 20. Multiplikation av monom 54 21. Multiplikation av ett polynom med ett monom 56 22. Multiplikation av ett polynom med ett annat polynom 58 23. Polynomberäkningar 60 24. Repetition 62

Tilläggsuppgifter Hemuppgifter Facit

72 86 97

Till användaren KUBIK är en serie läroböcker i matematik för årskurserna 7–9 i grundskolan..

Kubik X består av ett kapitel. Kapitlet innehåller 28 färdiga lektionsuppslag.

Ett kapitel motsvarar en årsveckotimme eller en kurs i den kursbaserade undervisningen. Rekommenderad tidsplanering är 1 lektion/uppslag.

BOKENS UPPBYGGNAD

1.

T4 Tilläggsuppgifter

Repetition

1.

POTENSBETECKNING

a ⋅ a ⋅ a ⋅ … ⋅ a = am m stycken

2.

3.

Andra potensen av ett tal kallas kvadraten på talet och tredje potensen kallas kuben på talet. a) 32 = 3 ⋅ 3 = 9

Exempel 2

a) (−3)4 = (−3) ⋅ (−3) ⋅ (−3) ⋅ (−3) = 81 b) −34 = −3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = −81

Exempel 3

()

2 a) 5

2

2 2 4 = ⋅ = 5 5 25

b) 45 = 4 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 4 = 1024

22 2 ⋅ 2 4 b) = = 5 5 5

Kom ihåg parenteser!

Exempel 4

a) (−1)9 = −1

b) (−1)10 = 1

Exponenten påverkar endast det tal eller uttryck i vars övre högra hörn exponenten finns.

Om basen är negativ tal och exponenten udda (t.ex. 1,3,5, ...) blir potensens värde negativt. Om basen är negativ och exponenten jämn (t.ex. 2, 4, 6, ...) blir potensens värde positivt.

1. Beräkning av potensen 2. Multiplikation och division 3. Addition och subtraktion

Beräkna. a) 72 c) 121

b) 62 d) 43

11.

a) 41 c) 0,12

b) 25 d) 104

12.

4.

Beteckna och beräkna kvadraten på talet. a) 2 b) 10 1 c) d) 0,4 3 Beteckna och beräkna kvadraten på talet. a) 2 b) 3 c) -1 d) 0,2 b) -62 d) -135

a) (-9)2 c) (-4)2

b) (-2)5 d) (-1)99

8.

a) (-2)3 c) -12009

9.

a) c)

( 34 )

2

3 4

2

1.

a) 17 − 42 c) 18 − 23

b) (1 − 3)2 d) 6 + 4 ⋅ 22

b) 2 ⋅ (3 - 1)2 d) 2 ⋅ (3 - 12)

2.

2

a) 25 − 5 c) 3 ⋅ 4 − 32

3

(6 − 2)2 2

3.

a)

52 − 1 4

b)

c)

42 + 2 9

d)

a)

6 − 22 2

b)

( 6 −2 2 )

2

d) 6 −

22 2

För vilket värde på variabeln x (x > 0) är ekvationen sann? a) (2 + x)2 = 49 b) (x ⋅ 2)2 = 64 c) 10 - 2x = 2

14.

(1 - 3 - 4)2 + 82 - (-2)5 - (-10)2

15.

a) −

( ) ( )

a)

1 1 − − 9 3

( −8 )2 42

+

2

4.

17.

7 − 32 = 7 − 9 = −2 Först beräknas potensens värde.

8

Teorin är klar och konsekvent. Förklarande exempel ger eleven fördjupade kunskaper i ämnet och förutsättningar för individuell inlärning.

(7 + 1)2

x2

7−3

b5 a8

( 3 ⋅ 75+ 4 )

2

6

3

x d5

 1  1 = b)    27

5.

b) 3 ⋅ (-4)2 - 34

( −3)3

2

a) 10 ⋅ (2 − 4) + 4 ⋅ 5 − 20 b) (−4 + 2 ⋅ 4)3 − 72 ⋅ 2 Beräkna.

Ändra blandade formen till ett bråk.

Tilläggsuppgifter s. 72 Hemuppgifter s. 86

( 25 ) − (− 51 ) 2

2

b) 100 ⋅ 0,32 + 0,42

2

3

=8

1 3

4

b)

5

=3

1

y 26

x8

1

b) 3 ⋅ 3 d) 52 ⋅ 5

14.

Beräkna. a) (−2) ⋅ (−2)3 c) (−1)6 ⋅ (−1)7

15.

Resonera dig fram till vilket värde på variabeln x ska ha för att ekvationen ska vara sann. a) ax ⋅ ax ⋅ a = ax ⋅ a5 b) a2x ⋅ a3 ⋅ ax = a18

16.

a) ax ⋅ ax = a2x

Under lektionstid Tilläggsuppgifter börjar eleverna finns för de snabboftast med de are eleverna. gemensamma övningsuppgifterna och fortsätter sedan med uppgifter enligt eget val.

( 21 )

2

b) − d) −

b) 34 · 3 · 3x = 37 d) ax · a8 = a3x

Beräkna. a) 32 ⋅ 3 ⋅ 3

b) 1002 ⋅ 1002

11.

Beräkna. a) (−3)2 ⋅ (−3) ⋅ (−3)

32 8

b) (−2) ⋅ (−2)2 ⋅ (−2)2

Skriv uttrycket och beräkna dess värde. a) kvadraten på summan av talen 3 och 6 b) kubiken på differensen av talen 15 och 5.

b) (5 + 5)2 d) 2 ⋅ (6 + 1)2

5.

Skriv uttrycket och beräkna dess värde. a) kuben på summan av talen −2 och 5 b) kvadraten på differensen av talen 4 och −2

6.

Beräkna. a) 4 + 5 ⋅ (3 − 5)3 + 6 ⋅ 32 b) (3 − 6 + 2 ⋅ 4)3 − 62 ⋅ 2

Division av potenser med samma bas, s. 12–13

12.

a) a3 : a2

a) a2 ⋅ a3 ⋅ a ⋅ a 4

9

c) a ⋅ a ⋅ a ⋅ a 8.

3

a) m ⋅ m ⋅ m c) s5 ⋅ s5 ⋅ s5

3

b) a6 ⋅ a6 ⋅ a2 ⋅ a

Förenkla. x4 a) x 3 ⋅ 2 x

b) p ⋅ p ⋅ p

a50 a25

b)

39 : 35 : 3

b) a5 ⋅ a6 : a9

Vilket värde ska variabeln x ha för att ekvationen ska stämma. a) 69 : 6x = 64

b) ax : a5 = a3

c) a12 : a7 = ax 16.

Förenkla. a)

8

b) a19 : a4 d)

c) 210 : 28 ⋅ 23 : 2 14.

3 3

a26 a18

Beräkna uttryckets värde. a) 68 − 83 : 8

15.

Förenkla.

Förenkla.

c)

13.

Multiplikation av potenser med samma bas, s. 10–11

7.

Vilket värde ska variabeln x ha för att ekvationen ska stämma. a) 62 · 6x = 610 c) a2 · ax · a2 = a8

10.

4

a) 5 + 52 c) 2 ⋅ 9 − 32

b) a2x ⋅ ax = a4x

72

( 73 ) 1 c) ( 2 ) 3 a)

4.

b) (−1)9 ⋅ (−1)5 d) (−3)2 ⋅ (−3)2

Resonera dig fram till vilket värde på variabeln x (x > 0) ska ha för att ekvationen ska vara sann.

b) 26 d) 106 f) 402

3. t13 y3

3

Resonera dig fram till vilket värde på variabeln x ska ha för att påståendet ska stämma. a) ax ⋅ a5 = a8 b) a ⋅ a7 ⋅ ax = a11 c) a3 ⋅ a3 ⋅ ax = a12

Vilken är den sista siffran i talet 7104?

Motivera ditt svar.

Hur många decimaler finns det i kvadraten på ett tal om talet har a) 2 b) 0 c) 3 d) 8 e) n decimaler?

Beräkna. a) 15 ⋅ 12 ⋅ 19 c) 102 ⋅ 102

Beräkna. a) 19 c) 101 e) 0,72

2

z

13.

Vilka tal saknas? a)

9.

9

8 − 5 ⋅ 22 3

7.

8.

( 21 )

b) 3

a)

3

22 4 2 + 9 3

6.

9

För vilket värde på variabeln x (x > 0) är ekvationen sann? a) (7 - x)6 = 64 b) x15 + 1 = 0 c) (2 ⋅ x - 1)2 = 81

a)

a t4

a5 12.

2y 3

1.

2.

b

y2 9

t

Vilka tal saknas?

3x

9.

Repetition, s. 8–9

a) Gruppera potenserna i lådorna så att de är i grupper med samma bas. b) Beräkna produkten av potenserna i de olika grupperna.

2

10.

Exempel 5

11.

b) 2 + 3 ⋅ 2 d) 3 ⋅ (4 − 3)2

a) 18 = 18

13 3

d) 1

Multiplikation av potenser med samma bas, s. 10–11

 = 9 c)   5 

b) 4 + 62 : [2 ⋅ 5 - (-2)2]

b) (-1)14 d) -0,22 b)

b) (13 - 3)2 d) (10 : 2)2

a) 2 ⋅ 3 - 12 c) (2 ⋅ 3 - 1)2

13.

16.

Beräkna. a) (-6)2 c) (-1)34

7.

6.

K4 Hemuppgifter

Repetition, s. 8–9

Beräkna. a) 13 - 32 c) 2 ⋅ 42

c)

5.

BERÄKNINGSORDNING

Om inte parenteser ändrar ordningsföljden så är ordningen följande:

10.

d) Basen är 0,12 och exponenten 4.

Exponenten anger antalet faktorer.

Basen är faktorns värde.

Exempel 1

Skriv som potens. a) Basen är 4 och exponenten 2. b) Basen är -3 och exponenten 7.

1 c) Basen är och exponenten 5.

6

17.

a50 ⋅ a6 a4 ⋅ a25 ⋅ a10

b)

a9 ⋅ a6 ⋅ a5 ⋅ a a10 ⋅ a7

Vilket värde ska x ha för att ekvationen ska stämma. a14 : ax : a3 =a a4

86

Hemuppgifterna kan ges som de är, eller efter lärarens övervägande.

5

I slutet av boken finns Flexuppgifter som kan användas beroende på hur mycket tid som finns till förfogande. I boken finns sidoreferenser som visar när uppgifterna kan lösas.

NIVÅGRUPPERING AV KUBIKS ÖVNINGSUPPGIFTER Uppgifternas svårighetsgrad

I vilken ordning uppgifterna utförs

1.

1. Gemensam uppgift

2.

4. Grunduppgift

3.

4.

7. Fördjupad uppgift

7.

10. Utmaning

5.

8.

6.

9.

10.

10.

De gemensamma uppgifterna är grunduppgifter som ger eleven grund­ färdigheter i ämnet.

De utmanande uppgifterna är oftast mycket svåra. De är menade som frivilliga tilläggsuppgifter för elever med intresse för matematik.

I varje kapitel finns både i mitten och i slutet en repetitionsdel som eleven självständigt kan använda för att repetera till prov under lektionstid eller hemma.

Till eleven

6

Matematik går inte enbart ut på att lära sig räkna. Det handlar också om att känna igen figurer, hantera information, tänka logiskt och lösa problem.

I matematikstudier behöver du både ha förmågan att arbeta självständigt och som del av en grupp.

Polynom och 4. potenser

Största talet som kan betecknas med 9 tre siffror är 99 , alltså 9387 420 489.

För att skriva ut hela talet krävs 369 miljoner siffror. Om man skriver fyra siffror på en centimeters sträcka så skulle siffervärdet vara 923 km långt.

7

1.

Repetition POTENSBETECKNING

a ⋅ a ⋅ a ⋅ … ⋅ a = am m stycken

Exponenten anger antalet faktorer.

Basen är faktorns värde.

Andra potensen av ett tal kallas kvadraten på talet och tredje potensen kallas kuben på talet.

Exempel 1

a) 32 = 3 ⋅ 3 = 9

Exempel 2

a) (−3)4 = (−3) ⋅ (−3) ⋅ (−3) ⋅ (−3) = 81 b) −34 = −3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = −81

Exempel 3

a)

( 25 )

2

=

2 2 4 ⋅ =

5 5 25

b) 45 = 4 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 4 = 1024

b)

2

2 2⋅2 4 = = 5 5 5

Kom ihåg parenteser!

Exempel 4

a) (−1)9 = −1

b) (−1)10 = 1

BERÄKNINGSORDNING

Om inte parenteser ändrar ordningsföljden så är ordningen följande: 1. Beräkning av potensen 2. Multiplikation och division 3. Addition och subtraktion

Exempel 5

7 − 32 = 7 − 9 = −2 Först beräknas potensens värde.

8

Exponenten påverkar endast det tal eller uttryck i vars övre högra hörn exponenten finns.

Om basen är negativ tal och exponenten udda (t.ex. 1,3,5, ...) blir potensens värde negativt. Om basen är negativ och exponenten jämn (t.ex. 2, 4, 6, ...) blir potensens värde positivt.

1. Skriv som potens. a) Basen är 4 och exponenten 2. b) Basen är -3 och exponenten 7.

1 c) Basen är och exponenten 5.

6 d) Basen är 0,12 och exponenten 4.

b) 6 d) 43

3. a) 41 c) 0,12

b) 25 d) 104

Beteckna och beräkna kvadraten på talet. a) 2 b) 3 c) −1 d) 0,2 b) −62 d) −135

7. a) (−9)2 c) (−4)2

b) (−2)5 d) (−1)99

8. a) (−2)3 c) −12009

b) (−1)14 d) −0,22

32 c)

4

2

2

13. För vilket värde på variabeln x (x > 0) är ekvationen sann? a) (2 + x)2 = 49 b) (x ⋅ 2)2 = 64 c) 10 − 2x = 2 14. (1 − 3 − 4)2 + 82 − (−2)5 − (−10)2

( ) ( )

15. a) − 16. a)

Beräkna.

6. a) (−6)2 c) (−1)34

b)

6 − 22 (6 − 2)2 b) 2 2

2 6− ( ) d) 2

5.

2

b) 2 ⋅ (3 − 1)2 d) 2 ⋅ (3 − 12)

6−2 c) 2

Beteckna och beräkna kvadraten på talet. a) 2 b) 10 1 c)

d) 0,4 3

( 34 )

11. a) 2 ⋅ 3 − 12 c) (2 ⋅ 3 − 1)2 12. a)

2

4.

a)

b) (13 − 3)2 d) (10 : 2)2

Beräkna.

2. a) 72 c) 121

9.

Beräkna.

10. a) 13 − 32 c) 2 ⋅ 4 2

1 1 2 − − b) 3 ⋅ (−4)2 − 34 9 3

( −8 )2 4

2

+

( −3)3 9

b) 4 + 62 : [2 ⋅ 5 − (−2)2] 17. För vilket värde på variabeln x (x > 0) är ekvationen sann? a) (7 − x)6 = 64 b) x15 + 1 = 0 c) (2 ⋅ x − 1)2 = 81

13 3

( 21 )

d) 1

3

Ändra blandade formen till ett bråk.

Tilläggsuppgifter s. 72 Hemuppgifter s. 86

9

2.

Multiplikation av potenser med samma bas 23 24

27

63 62 -68

Basen är 2.

Basen är 6.

(-9)2 (-9)3

-(-9)6 Basen är -9.

3 st.

Exempel 1

3

2 ⋅ 24 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 27

3 st. + 4 st. = 7 st.

4 st.

1+2+3=6

Exempel 2

a ⋅ a2 ⋅ a3 = a ⋅ a ⋅ a ⋅ a ⋅ a ⋅ a = a6

Exempel 3

am ⋅ an = a ⋅ a ⋅ … ⋅ a ⋅ a ⋅ a ⋅ … ⋅ a = am+n

m st.

n st.

PRODUKTEN AV POTENSER MED SAMMA BAS

Potenser med samma bas multipliceras så att exponenterna adderas. Basen förblir den samma. am ⋅ an = am+n

Exempel 4

x3 ⋅ x6 ⋅ x = x3 + 6 + 1 = x10 Basen förblir den samma.

Exempel 5

10

m och n är positiva heltal

22 ⋅ 23 = 25 = 32 eller

Exponenterna adderas.

22 ⋅ 23 = 4 ⋅ 8 = 32

OBS! Uppgiften kan utföras på flera sätt.

1. Vilka av potenserna har samma bas som a) 5 2 b) 23?

35 82 56 27 (-5)3 44

86 32

5

9.

I varje kolumn, på varje rad och diagonal är produkten av potenserna lika stor. Rita av kvadraten i ditt häfte och fyll i den. a) 4 b) 9 2 5 a

a

a

a

a6

-23 42 (-3)3 2 3 26 53 (-2)2

2. Förenkla till en potens. a) 412 ⋅ 421 b) 97 ⋅ 910 c) 457 ⋅ 458 d) 2006 ⋅ 20019

4. a) x ⋅ x c) x9 ⋅ x

b) x2 ⋅ x6 d) x30 ⋅ x30

5. a) a2 ⋅ a2 ⋅ a3 c) m 4 ⋅ m 8 ⋅ m 7

b) a5 ⋅ a ⋅ a3 d) s6 ⋅ s ⋅ s2 ⋅ s4

p7

p

7. Beräkna. a) 22 ⋅ 2 c) 103 ⋅ 104

8.

a

p4 p5

Beräkna

2

b) 3 ⋅ 3 d) 42 ⋅ 4

2

10. Beräkna. a) 32 ⋅ 3 ⋅ 3 c) 12 ⋅ 14 ⋅ 17

a7

a9

b) 22 ⋅ 22 ⋅ 22

12. På varje rad, kolumn och diagonal är produkten av potenserna lika stor. Rita av kvadraten i ditt häfte och fyll i den.

a) 4 b) 3 7 4

På båda sidorna i vågen är produkten av potenserna lika stor. Bestäm den potens som saknas. p6

11. Med vilket värde på x är ekvationen sann? a) a4 ⋅ ax = a6 b) ax ⋅ a7 = a8 3 x 4 12 c) a ⋅a ⋅a =a

Förenkla.

3. a) a4 ⋅ a4 b) a7 ⋅ a5 c) a11 ⋅ a3 d) a9 ⋅ a

6.

a

p10

a

a

3

a a8

a

7

a a

a

4

a

8

12

a a

a

6

a

7

a

8

a13

a5 a2

13. Beräkna. a) (−3) ⋅ (−3) ⋅ (−3)2 b) (−1)3 ⋅ (−1)5 ⋅ (−1)6 ⋅ (−1)4 14. Med vilket värde på x är ekvationen sann? a) ax ⋅ ax = a16 b) a3x ⋅ a2x = a10 x 6 3x c) a ⋅a =a

()() 2 3

2

⋅

2 2 .

3

Tilläggsuppgifter s. 72 Hemuppgifter s. 86

11

3.

Division av potenser med samma bas 1

Exempel 1

1

5−2=3

1

1

Exempel 2

1

25 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 23 2⋅2 22

1

1

1

a6 a ⋅ a ⋅ a ⋅ a ⋅ a ⋅ a = = a ⋅ a = a2 4 a a a a ⋅ ⋅ ⋅ a 1

1

1

6−4=2

1

KVOTEN AV POTENSER MED SAMMA BAS

När två potenser med samma bas divideras, subtraheras nämnarens exponent från täljarens exponent.

Basen förblir den samma.

am

a ≠ 0, för man får aldrig dividera med noll.

Exempel 3

= am−n

n a

a)

a≠0 m och n är positiva heltal.

58 = 58−6 = 52 = 25 56

Basen förblir den samma.

Exempel 4

34 = 31 = 3 33 eller

b)

a16 = a16−4 = a12 a4

Exponenterna subtraheras.

samma uppgift på två olika sätt

34 81 = =3 33 27

Exempel 5

a)

a5 ⋅ a4 ⋅ a a10 a6 ⋅ a8 a14 10 = 6 = a4 = = a b) a4 a4 a9 : a3 a

c) a10 : a3 ⋅ a ⋅ a2 : a6 = a7 ⋅ a ⋅ a2 : a6 = a10 : a6 = a4 Den här typens uppgifter utförs från vänster till höger!

12

10. Beräkna.

Förenkla.

8

6

8

1.

a)

a a a b) c) 3 4 a a a7

2.

a)

x9 x12 b)

3 x x11

3.

x7 x16 x 30 a) 5 b) c) 12 x x x 26

4.

a)

5.

Beräkna uttryckets värde.

c)

x10 x5

a15 a10 a14 b) c) a9 a2 a7

211 a) 27

b)

98

97

c)

5158 5156

a) 50 − 66 : 64 b) 10100 ⋅ 1080 : 10177 11. Beräkna 49 : 48 + (5 − 2)3.

12. Med vilket värde på x är ekvationen sann? a) 9 x : 9 7 = 9 5

b) a8 : ax = a2

13. Beräkna värdet av uttrycket då a = −2.

14. Vad skall de olika variablerna ha för värde för att summan av varje vågrät rad ska vara 24?

6.

Beräkna uttryckets värde.

2 4 ⋅ 27 34 ⋅ 33 ⋅ 32 a)

b) 6 2 3 ⋅ 36

(7 − 2 ⋅ 2)3 3⋅

Förenkla. a2 ⋅ a7 7. a) 3 a 8.

9.

8

x a) 4 ⋅ x 5 x

b)

x11 ⋅ x 2 x 6 ⋅ x5 19

3

b) a ⋅ a : a

2n 24

71 + (−1)5

20

Ibland försöker någon lura finländare att skicka kedjebrev. Om en person skickar ett brev åt fem andra personer så ökar mängden personer som fått brevet på följande sätt: Efter första postningen: 5 personer Efter andra postningen: 25 personer Efter tredje postningen: 125 personer Efter fjärde postningen: 625 personer och så vidare.

Efter hur många postningsomgångar tar finländarna slut?

a18 ⋅ a42 ⋅ a30 a29 ⋅ a57

z−

−

38 3m

7 ⋅ 22 − 42 2 ⋅ (33k : 3k)

312 311

42 − 1

15. Med vilket värde på variabeln x är ekvationen sann? a) a8 : a3x = ax b) a6x ⋅ a2x : a5x = a14 : a2

Tilläggsuppgifter s. 73 Hemuppgifter s. 86

13

4.

Potensen av en produkt Vi undersöker hur ett uttryck bestående av multiplikationer kan skrivas som en potens.

Exempel 1

(2a)3 = 2a ⋅ 2a ⋅ 2a = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ a ⋅ a ⋅ a = 23 ⋅ a3 = 8a3 2a är produkten 2 ⋅ a

Exempel 2

I en multiplikation kan ordningen ändras.

T.ex. 3 ∙ 4 = 4 ∙ 3 (kommutativa lagen)

(ab)2 = ab ⋅ ab = a ⋅ a ⋅ b ⋅ b = a2 ⋅ b2 = a2b2 POTENSEN AV EN PRODUKT

En potens med en produkt som bas kan skrivas så att varje faktor var för sig upphöjs till samma exponent. (ab)n = anbn

n är ett positivt heltal.

Exempel 3

a) (5a)2 = 52 ⋅ a2 = 25a2 b) (−3abc)3 = (−3)3 ⋅ a3 ⋅ b3 ⋅ c3 = −27a3b3c3

Exempel 4

(2 ⋅ 3)2 = 22 ⋅ 32 = 4 ⋅ 9 = 36 eller (2 ⋅ 3)2 = 62 = 36

samma beräkning på två olika sätt

Två potenser som skall multipliceras med varandra och som har samma exponent kan omskrivas enligt formeln

anbn = (ab)n

. Potensernas

baser multipliceras alltså med varandra och produkten upphöjs till den gemensamma exponentens värde.

Exempel 5

26 ⋅ 56 = (2 ⋅ 5)6 = 106 = 1 000 000 Först multipliceras baserna med varandra.

14

Förenkla.

1. a) (9a)2 d) (4x)2

b) (3a)3 c) (2a)4 4 e) (10a) f) (2x)5

2. a) (7y)2 d) (4a)3

b) (2m)3 c) (xy)6 e) (0,1y)2 f) (0,6x)2

2

2

3. a) (−4a) d) (−3y)2

3

b) (−6x) c) (−2p) 5 e) (−2m) f) (−10b)2

4. a) (abc)5 c) (9ab)2 e) (−8ay)2

b) (5xy)2 d) (−2xyz)4 f) (−kpt)7

Beteckna och beräkna figurens area.

Alla figurer är kvadrater. a) b) x

6

c)

7.

d)

2x x

A a

c) 215 ⋅ 0,515

d) 320 ⋅

9. Förenkla. a) (−2abc)5 c) (tps)6

b) (−9mp)2 d) (100ab)2

10. Vilket uttryck saknas? a) ( )2 = 9a2 b) (

() 1 3

20

)2 = 25x2

12. Beteckna och förenkla. a) Produkten av talen 4 och 5 upphöjs till två. b) Produkten av 10 och a upphöjs till tre.

13. Beteckna och beräkna a) kvadraten på produkten av talen -4 och 5 b) kuben på produkten av talen 2, -3 och 5.

14. Vilket uttryck i kvadrat är a) 81m2 b) 0,09x2?

Volymen av kuben A är a ⋅ a ⋅ a = a3.

Beteckna kuben B:s volym som en potens och förenkla uttrycket.

a

b) 43 ⋅ 253

11. Vilket uttryck saknas? a) ( )3 = 27x3 b) ( )4 = 16x4y4

5. Beteckna och förenkla a) kvadraten på uttrycket 20a b) kuben på uttrycket −3xy.

6.

8. Beräkna. a) 5 5 ⋅ 2 5

a

15. Vilket uttryck i kubik är a) 64a3 b) −27x3y3?

16. Fyll i uppgifterna så att de stämmer. a) 32a = (2 ) b) a = (3 )4

B 10x Tilläggsuppgifter s. 73 Hemuppgifter s. 87

15

5.

Potensen av en kvot Ett uttryck där flera likadana bråk multipliceras med varandra kan man också göra till en potens.

Exempel 1

()

3

a b

a a a a ⋅ a ⋅ a a3 ⋅ ⋅ = = b b b b ⋅ b ⋅ b b3

=

När bråk multipliceras med varandra multipliceras täljarna med varandra och nämnarna med varandra.

POTENS AV EN KVOT

En potens med en kvot som bas kan så att täljaren och nämnaren upphöjs till samma exponent var för sig.

( ba )

n

an

n b

Exempel 2

( 23 )

Exempel 3

(2 31 ) = ( 73 )

2

=

Om du har en potens med en kvot som bas kan du skriva om det så att täljaren och nämnaren var för sig får samma exponent!

22 4 = 32 9

=

2

2

=

b≠0 n är ett positivt heltal.

4 49 =5 9 5

Den blandade formen måste ändras till ett bråk innan potensens värde beräknas!

Exempel 4

(

−3ab 2c

)

3

=−

27a3b3 8c3

()

an a = n b b

Exempel 5

n

( ) =2

185 18 = 9 95

5

Samma formel används, men i motsatt riktning.

5

= 32

Först divideras baserna med varandra.

16

10. Rita figuren i ditt häfte. Utför de tio uppgifterna och jämför svaren med bokstäverna i tabellen. Skriv in bokstaven i rätt cirkel och du kommer att få något ätbart som svar. En del av bokstäverna blir oanvända.

Förenkla.

()

2

()

1.

 x a 4 6 2 a)   b) c)  y 2 a

2.

a) −

3.

4.

( 2a ) b) (− 9x ) c) (− 3x )

a)

( )

3

( )

( )

Beräkna.

1 2 3 2 5 2 b) c) a) 5 4 8

()

()

()

3

6.

a) 1

3

2

( 23 ) b) (101 ) c) ( 21 )

a)

8.

2

4a 3a 2 2a 4 − b) c) 7 bc 5b

5.

7.

3

5

( 41 ) b) (2 21 ) c) (171 ) 2

2

( )

2

( )

3

( )

2

2

1 1 2 a) 1 b) 3 c) 2 2 2 3 a) 1503 : 503

b) 485 : 245

( )

1 00 a) = 16

2

2

 2x     3y 

() 1 (1 ) 8 1 ( − ) 2

3 8

2

2

5

( ) 1 ( 2 ) 5 2 ( − ) x −

1 2

3

2

4

3

Bok­ stav

T

Svar 2

2 6x 3 49 9y 3

Bok­ stav

R

−

1 8

E

B

U

T

L

1 16

K

Ö

16 21 1 4 − 81 25 32

1

L

9 64

A

S

17 8x 3 16 64 27y 3 x 4

8 x4

5

( )

25x 00 b) = 81

2

2

Fyll i så att uttrycket stämmer.

4

1 4

Svar

50 4 3502 c) d) 4 5 702 9.

() 4 ( − ) 9 3 (1 ) 7

6

2

9

8

10

4

3

7

1

2

Tilläggsuppgifter s. 73 Hemuppgifter s. 87

17

6.

Potensen av en potens En potens som har en potens som bas kallas potensens potens.

( )

23

4

23

är potensens potens

Exempel 1

( 23 )4

Talet 2 har som exponent en potens.

4

är inte potensens potens

= 23 ⋅ 23 ⋅ 23 ⋅ 23 = 23+3+3+3 = 212

4 ⋅ 3 = 12

POTENSEN AV EN POTENS

En potens med en potens som bas kan skrivas så att exponenterna multipliceras med varandra.

( am )n = amn

n är ett positivt heltal.

( )5 = a3⋅5 = a15

Exempel 2

a) a3

Exempel 3

(23 )2 = 23⋅2 = 26 = 64

( )2 = x 4 ⋅2 = x 8

b) x 4

tai

(23 )2 = 82 = 64

samma beräkning på två olika sätt

2

Exempel 4

 −4a3b  ( −4)2 ⋅ (a3 )2 ⋅ b2 16a6b2 = =   5c2  52 ⋅ (c2 )2 25c 4

Exempel 5

( )

4

 a2 3  = a2 ⋅ 3 ⋅ 4 = a24  

När exponenten är en potens börjar man med att beräkna exponentens värde, 34 = 81.

Exempel 6

18

4

23 = 2 81 = 2 417 851 639 229 258 349 412 352

1.

Skriv som en potens som har en bas och en exponent.

7 3

23

2 8

a) (a ) b) (2 ) c) 6 2.

Förenkla.

11. Beräkna uttryckets värde.

(22)4 a) (102)2 b)

c) (02)5

d) ((−1)2)9

a) (a3)3 b) (a6)5 c) a6

Förenkla.

12. a) (2a2)4 b) (5a3)2

2

3.

4.

Beräkna uttryckets värde.

2 2

2 2

6 3

a) (3 ) b) (2 ) c) (1 )

7.

2 10 4

a) [(a ) ] b) [(a ) ] 3 2

4 6 3

a) (3a ) b) (a b ) 2

 a4  5 a)   b)  4 a5

9.

Fyll i uppgiften så att den stämmer.

a) (2 2) = 16a 3 4

b) (3a b ) =

2

b) (a4)2 ⋅ (a3)3

16. För vilket värde på variabeln x är ekvationen sann? a) (x5)5 = −1 x b) (xx)x = x x (x > 0)

( )

2

3

 3a2   7a4b2 c  14. a)  − b)   −   4b  4x 5  15. a) [a(a3)2]3

4 4 2

8.

3

3

a) (22)3 b) 22

Förenkla.

5. a) [(a2)3]5 b) [(a3)3]3 6.

( )

3

 a2  3 13. a)   b) b a3

9

ab

10. Rita figuren i ditt häfte. Byt ut variabeln i rutan mot siffervärdet i föregående cirkel. Beräkna det nya värdet och skriv det i nästa cirkel. Vilket tal står i sista cirkeln?

3

x2

x −1 23

x9 : x7

(x2)2 Tilläggsuppgifter s. 74 Hemuppgifter s. 87

19

7.

Noll som exponent Potens definierades i kapitel 1 så att exponenten visar hur många gånger basen skall multipliceras med sig själv. Potensbegreppet kan ändå utvidgas så att exponenten kan vara vilket tal som helst.

Exponenten kan vara ett negativt tal, ett bråk eller ett decimaltal.

Nu skall vi undersöka potenser med noll som exponent.

Exempel 1

Beräkna

32 på två olika sätt.

32

32 9 = = 1 32 9

32 = 32−2 = 30 32

Täljarens och nämnarens potenser beräknas var för sig.

Potenser med samma bas divideras så att nämnarens exponent subtraheras från täljarens exponent.

Båda beräkningarna skall ge samma svar, så 30 = 1.

Exempel 2

an = an−n = a0 an

an =1 an

När ett tal (≠ 0) divideras med sig själv blir svaret ett.

Alltså a0 = 1, då a ≠ 0.

Potensen 00 är inte definierad.

NOLL SOM EXPONENT

När ett tal ( ≠ 0 ) upphöjs till 0 så blir alltid svaret 1. a0 = 1

Exempel 3

a) 120 = 1

b) −70 = −1

Exempel 4

a) 3 ⋅ 80 = 3 ⋅ 1 = 3

b) (3 ⋅ 8)0 = 1

Exempel 5

20 ⋅ 24 = 1 ⋅ 16 = 16

tai

20

(a ≠ 0)

c) 04 = 0

20 ⋅ 24 = 20 + 4 = 24 = 16

samma beräkning på två olika sätt

Beräkna.

1. a) 60

b) 850

c) 3,30

2.

a) (−9)0

b) −90

3.

a)

4.

a) (3 ⋅ 7)0

b) 3 ⋅ 70

c) 30 ⋅ 70

5.

a) 60 + 20

b) 60 − 20

c) 60 : 20

( 34 ) 0

b)

30 4

c) −(−9)0

c)

3 40

6. a) 80 − (−8)0 b) 20 + 21 + 22 + 23 + 24

8.

Förenkla då a ≠ 0. a) a0 ⋅ a0 b) a4 ⋅ a ⋅ a0 ⋅ a

9.

a) −a0

10. a) a5 : a5

START 2

b) 4 ⋅ a0

c) 6 : a0

b) a5 : a0

c) a0 : a0

x3

x·x x2

x5

(–0,5 · 2)1

27 : 25 : 22

2

x6

–16

3

(x2)4

x2 · x3

1

2 · (–10)2

(xy) xy

c) (30a2)2

a2 : a a3 b) a ⋅ a0 a : a0

13. a) a8 : a2 : a0

b)

a6 ⋅ a2 ⋅ a0 a5 ⋅ a0

14. För vilket värde på variabeln x är ekvationen sann? a) 12x = 1

b) 4x + 3 = 1 c) x5 = 1

a) (5x)2 = 1

b) x2x = 1

c) x2 − x = 1

d)

0

(–2a2)3

x4 =1 3x + 1

16. POTENSLABYRINTEN

Utför beräkningen i rutan och förflytta dig till den intilliggande rutan som har samma svar i vänstra övre hörn.

Kommer du till mål A eller B?

8x3

(2x)

MÅL A 0,2

12. a)

b) (3a2)0

15. För vilket värde på variabeln x är ekvationerna sanna?

4340 + 0434 + 1434 + 4341

7.

11. a) (3a0)2

–16

4

(–2) 16

x

xy

 x  2

x2 4

2

1

–24

2

–2

1,2 · 10 1

–2

MÅL B

(–2x)2 a · a2 a3 x2 · x3 x · x3 (0,1x)3 2x 2 4 Tilläggsuppgifter s. 74 Hemuppgifter s. 87

21

8.

Exempel 1

Negativ exponent Beräkna

43 på två olika sätt.

45

Potenserna skrivs ut som multiplikationer och bråket förkortas.

1

1

1

1

1

()

43 4⋅ 4⋅ 4 1 1 1 = = = 2= 5 ⋅ 4 4 4 4 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ ⋅ 4 4 4 4 1

2

Potenser med samma bas divideras så att nämnarens exponent subtraheras från täljarens exponent.

43 = 43−5 = 4 −2 45

Den ursprungliga uppgiften har ju räknats på två olika sätt, alltså måste svaren vara samma.

4 −2 =

Basen 4 1 inverteras till .

4

( 41 ) = 161 2

Exponenten -2 ändras till positivt ( 2 ).

Den negativa exponenten ändras till det motsatta positiva talet och samtidigt ändras basen till sitt inverterade tal. a−n =

Exempel 2

8 −2 =

Exempel 3

a)

( 1a )

n

=

( 81 ) = 641 2

1

an

(a ≠ 0) n är ett positivt heltal.

eller 8 −2 =

1 1 = 2 64 8

( 23 ) = ( 23 ) = 278 = 3 38 −3

b) 0, 3−2 =

3

( ) ( ) = 1009 = 1191 3 10

−2

=

10 3

2

Ändra först decimaltalet till ett bråk.

c) a3 : a7 = a−4 = 22

1 a4

Uttrycket förenklas så att exponenten blir positiv.

Beräkna.

1. a) 2−1

b) 3−1

2.

a) 3−2

b) 2−3

3.

a) 9−2

b) 3−4

4.

a)

()

5.

a)

( 21 )

6.

a) 2

7.

a) 0,6−1

1 3

−2

−6

( ) 1 3

()

1 −1 b) 7

( )

1 −1 b) 20

−1

b) 0,1−3

8. Förenkla. a) a4 ⋅ a−1 9.

( )

1 −2 b) 1 4

Beräkna.

b) a3 ⋅ a−5

Vilken av följande beteckningar är samma som

1 a) 71 7 -71

1 b) 2a a2 a-2

-7

7

1

1

7-1

-17

13. a)

( 21 )

14. a)

() 3 4

−3

−3

()

1 −2 b) 4

( )

1 −4 1 b) 2

15. a) 0,7−2

b) 0,9−2

Förenkla. a

2

-2a

-a2

2a

a6 a7

16. a) a−5 ⋅ a7

b)

17. a) a3 ⋅ a−1 ⋅ a−1

b) a8 ⋅ a−6 ⋅ a

Beräkna.

10. a) 5−1

b) 6−2

18. För vilket värde på variabeln x är ekvationen sann?

11. a) 2−6

b) 1−10

1 x a) = 1000 10

−2

12. a) 2

b) 15

−1

( ) b) ( 3x ) = 499 −2

Tilläggsuppgifter s. 74 Hemuppgifter s. 88

23