Kubik 8 blädderex

K U B I K 8

Schildts & Sรถderstrรถms

Schildts & Söderströms www.sets.fi Finska förlagans titel: Kuutio 8 Redaktör för den finska upplagan: Reena Linna Redaktör för den svenska upplagan: Hans Nordman Typografi: Minna Mäkipää, Sari Jeskanen Omslag: Jukka Iivarinen / Vitale Förlagans layout: Printable / Pirkko Pihlaja Svenska upplagans ombrytning: Jukka Iivarinen / Vitale Illustrationer: Marvegraf Oy / Marja Venäläinen, Tuuli Hypén, Pirkko Pihlaja

© Sanna Hassinen, Olli Latva, Jari-Pekka Makkonen, Maria Pirttimaa, Aulis Tolvanen och Sanoma Pro Oy © Markus Öhrnberg och Schildts & Söderströms

Kopieringsförbud Det här verket är en lärobok. Verket är skyddat av upphovsrättslagen (404/61).

Det är förbjudet att fotokopiera, skanna eller på annat sätt digitalt kopiera det här verket eller delar av det utan tillstånd. Kontrollera om läroanstalten har gällande licenser för fotokopiering och digitala licenser.

Mer information lämnas av Kopiosto rf www.kopiosto.fi Det är förbjudet att ändra verket eller delar av det.

Fondernas samarbetsgrupp som består av Svensk kulturfonden, Svenska Folkskolans Vänner, Föreningen Konstsamfundet och Lisi Wahls stiftelse för studieunderstöd har beviljat ekonomiskt stöd för utgivningen av detta läromedel.

Första upplagan, 2017 ISBN: 9789515241887

INNEHÅLL

5. EKVATIONER OCH OLIKHETER 1. Repetition av ekvationer 8 2. Att lösa en ekvation 10 3. Eliminering av nämnare 14 4. Bokstäver i ekvationen 18 5. Speciella ekvationer 22 6. Andragradsekvationer 26 7. Repetition 30 8. Programmering: While-slinga och listor 32 9. Problemlösning 40 10. Problemlösning med hjälp av ekvationer 42 11. Olikhet 48 12. Förhållande 52 13. Analogi 56 14. Direkt och omvänd proportionalitet 60 15. Repetition 64 Tilläggsuppgifter Hemuppgifter Facit

180 222 254

FLEXUPPGIFTER 1.

2.

3.

4.

I vilket förhållande?

Vi löser problem Vi idrottar Problem med objekt och figurer

173 174 176 178

3

6. FIGURERS GEOMETRI

7. PROCENTRÄKNING

1. Area 68 2. Räkna med närmevärde 72 3. Parallellogram 76 4. Triangel 78 5. Pythagoras sats 82 6. Parallelltrapets 86 7. Månghörning 88 8. Repetition 90 9. Cirkelns omkrets 92 10. Cirkelbågens längd 94 11. Cirkelns area 96 12. Sektorns area 100 13. Likformighet 102 14. På kartan 106 15. Volym 110 16. Kub 112 17. Rätblock 114 18. Repetition 116 Tilläggsuppgifter Hemuppgifter Facit

4

193 231 260

1. Procent 120 2. Procent och andel 122 3. Hur många procent?

126 4. Förändringsprocent 130 5. Procentuell jämförelse 134 6. Procentenhet 138 7. Människan och naturresurserna 140 8. Repetition 142 9. Utgångsvärde 144 10. Ränta 148 11. Promille 152 12. TEMA: Alkohol och trafik 156 13. Lösningar och blandningar 158 14. TEMA: Beskattning 162 15. TEMA: Personlig ekonomi 166 16. TEMA: Vad vill jag bli när jag är vuxen 168 17. Repetition 170 Tilläggsuppgifter Hemuppgifter Facit

208 243 264

Till användaren KUBIK är en serie läroböcker i matematik för årskurserna 7-9 i grundskolan.

Kubik 8 består av tre kapitel. Varje kapitel innehåller 25-30 färdiga lektionsuppslag. Ett kapitel motsvarar en årsveckotimme eller en kurs i den kursbaserade undervisningen. Rekommenderad tidsplanering är 1 lektion/uppslag.

I kapitel 5 finns en ungefär fem lektioner lång programmeringsdel i enlighet med den nya läroplanen. Varje årskurs har en egen programmeringsdel.

I slutet av boken finns flexuppgifter som kan användas beroende på hur mycket tid som finns till förfogande. I uppgifterna finns en sidreferens som berättar när uppgifterna kan utföras.

Grupparbeten är markerade med en grupparbetsfigur.

BOKENS UPPBYGGNAD

1.

L5 Lisätehtäviä

Yhtälön kertausta

1.

Mitkä seuraavista ovat yhtälöitä? x + 4 = 2x - 1 A

Esimerkki 1

2+3=5 5x - 7 = 9 ovat yhtälöitä

C

2x + 8 9+1>8 eivät ole yhtälöitä

E

Yhtälön 2x - 5 = 9 ratkaisu on x = 7, sillä 2 ⋅ 7 - 5 = 9 on tosi.

2x - 7 = 9 vasen puoli

oikea puoli

Mikä on yhtälön 2x - 4 = 6 a) oikea puoli b) vasen puoli c) ratkaisu?

4.

Etsi ne yhtälöt, joiden ratkaisuna on x = 3.

4x + x = 15 A

Sievennettäessä yhtälön oikealle ja vasemmalle puolelle voidaan lisätä tai sieltä vähentää sama termi. Oikea ja vasen puoli voidaan myös kertoa tai jakaa samalla luvulla, ei kuitenkaan nollalla. a)

c)

4x = 3x + 5 | - 3x 4x - 3x = 3x - 3x + 5 x=5

b) 4x + 2 = x + 8 4x – x = 8 - 2 3x = 6 |:3 x=2

x +7= 8 5 x = 8−7 5 x = 1 ⋅5 5 x=5

8

Teorin är klar och konsekvent. Förklarande exempel ger eleven fördjupade kunskaper i ämnet och förutsättningar för individuell inlärning.

8.

3x −2 4

3.

C

Esimerkki 3

F

Kirjoita yhtälönä. a) Lukujen x ja 15 erotus on 17. b) Lukujen 4 ja x tulo on 24. c) Lukujen x ja 3 tulo on samojen lukujen erotus.

Yhtälön ratkaisua haettaessa yhtälöä sievennetään yksinkertaisempaan muotoon, kunnes ratkaisu löydetään.

Lisääminen ja vähentäminen suoritetaan käytännössä siirtämällä termi yhtäsuu­ ruusmerkin toiselle puolelle.

Siirrettäessä termin etu­ merkki vaihtuu.

3x = −2 4

2.

Yhtälön ratkaisu eli juuri on muuttujan arvo, jolla yhtälössä esitetty väite on tosi.

Esimerkki 2

x +x-2=0 D

x - 2 = 7 - 2x

10.

11.

x+5=7 E

5.

Ratkaise yhtälö. a) x + 7 = 21 c) 4x + 5 = 2x + 17

6.

x

3.

2x

9.

3x = 9

D

2.

2x

B

2x 1 =1 3 3

1.

Kirjoita yhtälö ja laske sen avulla suora­ kulmion pituus ja leveys, kun suora­ kulmion piiri on 18 cm.

x

Kirjoita yhtälönä ja ratkaise se. a) Lukujen 2x ja 5 tulo on yhtä suuri kuin samojen lukujen summa. b) Lukujen x ja 4 tulo on 5 suurempi kuin niiden summa. c) Lukujen x ja 2 osamäärä on 2x.

Kirjoita yhtälönä ja ratkaise se. a) Lukujen x ja 3 erotus on 7. b) Lukujen x ja 5 tulo on yhtä suuri kuin samojen lukujen erotus. c) Lukujen x ja 3 osamäärä on 12.

12.

Ratkaise yhtälöt. a) 12x + 3x = 15 b) 27x = 9 3x c) =6 4

Yhtälön ratkaiseminen, s. 10–11

Yhtälön kertausta, s. 8–9

8.

1.

a) 3a - 5 = 2a + 3 s b) + 1 = 7 3 c) 17k - 5 = 12k +10

Ratkaise yhtälöt ja etsi ratkaisua vas­ taava kirjain. Kirjaimista muodostuu suosittu harrastus. x + 7 = 16 2x - 5 = x +2 2(x - 3) = -6 3x - x = x + 9 x(2x + 1) = 2x2 - 6 x =3

3

S

Mikä täytyy luvun a olla jotta yhtälön ax + 2 = 4 ratkaisu on a) x = 1 b) x = - 1 c) x = 4?

Ratkaise yhtälö. a) 1,2x - 4 + 0,3x = 4 + 0,7x + 0,8 x b) − x = 3 − x 5 2x − 5 = −3 3

U

R

E

T

9 -6 -2 7

A

T

2

8

0 -5 4

K

I

4.

Onko yhtälön x2 + 3 = 7 ratkaisu a) x = 4 b) x = 2 c) x = -2?

9.

5.

Mikä täytyy luvun a olla, jotta yhtälön ax = 12 ratkaisu on a) x = 2 b) x = 36 c) x = -6?

Mikä täytyy olla muuttujan x arvo, jotta lausekkeet 3x + 4 ja x - 2 saavat saman arvon?

10.

Muodosta yhtälö ja ratkaise se, kun polynomi 2x - 4 on kaksi kertaa niin suuri kuin polynomi 3x + 2.

6.

Mikä täytyy luvun a olla, jotta yhtälön ax - 2 =14 ratkaisu on a) x = 4 b) x = -8 c) x = 0?

7.

Tutki, millä muuttujan x arvoilla poly­ nomi P(x) = -3x + 12 saa negatiivisia arvoja.

11.

1 Ratkaise x, kun t = 2 .

2

4x - 16

A

B

27x = 9

2x = 13 9

C

D

x2 = 16

3x - 7 = 0

E

F

x >2 5

Kirjoita yhtälönä. a) Lukujen 8 ja x summa on 17. b) Lukujen x ja 3 osamäärä on yhtä suuri kuin lukujen 2 ja 4 summa. c) Lukujen 5 ja x tulo on yhtä suuri kuin samojen lukujen erotus.

3.

Onko x = 4 yhtälön ratkaisu? a) x - 3 = 7 b) 16 + x = 2x x 1 c) + = 1 d) 2x + 19 = 11 5 5

4.

Ratkaise yhtälö. a) x - 21 = 14

5x

= − 15 2 3(x - 1) = -(x - 5)

x–2

x+3

c) 5 + 3x = 4x 5.

x(x - t) + t(x - t) - x(x - t) = 0

6.

x–1

Muodosta yhtälö ja ratkaise se. a) Lukujen x ja 13 summa on 23. b) Lukujen 3 ja x tulo on yhtä suuri kuin lukujen x ja 18 summa. c) Lukujen 4x ja 3 osamäärä on 16.

8.

Ratkaise yhtälö. a) 3(2x + 2) = 4(x + 3) b) 3 - 6(x + 1) = 2(2x - 1) x c) + 5 = 15 2

9.

Ratkaise yhtälö. a) x(2x + 1) = 2x2 - x + 8 b) -x(3 + 2) = 7(x + 2) +10 1 6x 1 c) 1 + =4 2 5 2

Ratkaise yhtälö. a) 4x + 13 = 7x +19 b) 6x - 14 = 3x - 4 3x c) + 4 = −5 2

Ratkaise yhtälö a) 8x - 3 = 13 x c) − 7 = 3 5

Yhtälön ratkaiseminen, s. 12–13

10.

Polynomi P(x) = x + 1 ja Q(x) = 2x - 4.

Ratkaise yhtälöt. a) P(x) = Q(x) b) P(x) + Q(x) = 0 c) P(x) = 2Q(x)

11.

Matka kaupungista A kaupunkiin D on 102 km. Laske matka kaupungista A kaupunkiin B.

12.

Tasakylkisen kolmion piiri on 13 cm.

Laske kannan pituus.

b) 3x = 19 - 1 x d) = 9 4

A

C x+2

Yhtälön ratkaiseminen, s. 10–11

Kirjoita yhtälö ja laske sen avulla suora­ kulmion pituus ja leveys, kun suora­ kulmion piiri on 22 cm.

7.

Mitkä seuraavista ovat yhtälöitä?

2.

3x + 12 = 6

Kirjoita yhtälö ja laske sen avulla sivun x pituus kun kolmion piiri on 25 cm. x

c) b) 6x = 5x + 18 x d) = 7 4

K5K5 Kotitehtäviä

Yhtälön kertausta, s. 8–9

Ratkaise yhtälö. a) 3x - 2 = x + 10 b) 5x = 7x - 8 c) 14 + 6x - 32 = 0

2

-2x < 6

Yhtälö on kahden lausekkeen merkitty yhtäsuuruus.

7.

5x - 7 B

2x

B

3x – 62 D

b) 6(x + 2) = 12 x

x x+4

x+2

Lisätehtävät s. 180 Kotitehtävät s. 222

9

180

222

Under lektions­ Tilläggsuppgifter Hemuppgifterna tid börjar finns för de snabb- kan ges som de är, eleverna oftast are eleverna. eller efter lärarens med de gemen­ övervägande. samma övnings­ uppgifterna och differentieras sedan utgående från sina val av uppgifter.

5

NIVÅGRUPPERING AV KUBIKS ÖVNINGSUPPGIFTER Uppgifternas svårighetsgrad

1.

I vilken ordning uppgifterna utförs

1. Gemensam uppgift

2.

4. Grunduppgift

3.

4.

10. Fördjupad uppgift

10.

5.

19. Utmaning

11.

6.

12.

19.

10.

De gemensamma uppgifterna är grunduppgifter som ger eleven grund­ färdigheter i ämnet.

De utmanande uppgifterna är oftast mycket svåra. De är menade som frivilliga tilläggsuppgifter för elever med intresse för matematik.

I varje kapitel finns både i mitten och i slutet en repetitionsdel som eleven självständigt kan använda för att repetera till prov under lektionstid eller hemma.

Till eleven

6

Matematik går inte enbart ut på att lära sig att räkna. Det handlar också om att känna igen figurer, hantera information, tänka logiskt och lösa problem.

I matematikstudier behöver du både ha förmågan att arbeta självständigt och som en del av en grupp.

Ekvation 5. och olikhet

Kilskrift på gamla lertavlor visar att redan babylonierna för 4 000 år sedan kunde lösa ekvationer.

7

1.

Repetition av ekvationer En ekvation består av två uttryck med ett likhetstecken emellan.

Exempel 1

2 + 3 = 5 5x - 7 = 9 är ekvationer

2x + 8 9+1>8 är inte ekvationer

Ekvationens lösning, eller rot, är det värde på variabeln som gör ekvationen sann.

Exempel 2

Ekvationen 2x - 5 = 9 har lösningen x = 7, eftersom 2 ⋅ 7 - 5 = 9 stämmer.

När man löser en ekvation förenklar man ekvationen tills man hittat lösningen.

I praktiken kan man utföra additioner och subtraktioner genom att flytta en term till den andra sidan om likhets­ tecknet. Samtidigt byter termen förtecken.

Exempel 3

höger led

När en ekvation förenklas kan samma term adderas till eller subtraheras från både höger och vänster led. Leden kan också multipliceras eller divideras med samma tal, dock inte med en nolla. a) 4x = 3x + 5 | - 3x b) 4x + 2 = x + 8 4x - 3x = 3x - 3x + 5 4x – x = 8 - 2 x = 5 3x = 6 |:3

x=2 x c) + 7 = 8 5 x

= 8−7 5 x

= 1 ⋅5 5

8

2x - 7 = 9 vänster led

x=5

1.

Vilka av följande är ekvationer? x + 4 = 2x - 1

A

5x - 7 B

x2 + x - 2 = 0

-2x < 6 C

2.

E

D

3x = −2 4

F

3.

Vad i ekvationen 2x - 4 = 6 är a) höger led b) vänster led? c) Lös ekvationen.

4.

Hitta de ekvationer vars lösning är x = 3.

4x + x = 15

C

3x = 9 B

2x 1 =1 3 3

x - 2 = 7 - 2x D

x+5=7

E

5. Lös ekvationen. a) x + 7 = 21 c) 4x + 5 = 2x + 17 6.

8.

3x −2 4

Skriv som en ekvation. a) Differensen mellan talen x och 15 är 17. b) Produkten av talen 4 och x är 24. c) Produkten av talen x och 3 är samma som differensen mellan samma tal.

A

7. Lös ekvationen. a) 3x - 2 = x + 10 b) 5x = 7x - 8 c) 14 + 6x - 32 = 0

b) 6x = 5x + 18 x d) = 7 4

Skriv som ekvation och lös den. a) Differensen mellan talen x och 3 är 7. b) Produkten av talen x och 5 är lika med differensen mellan samma tal. c) Kvoten av talen x och 3 är 12.

Skriv ekvationen och beräkna med hjälp av den rektangelns längd och bredd om omkretsen för rektangeln är 18 cm.

2x

x

9.

x 2x

Skriv som en ekvation och lös den. a) Produkten av talen 2x och 5 är lika stor som summan av samma tal. b) Produkten av talen x och 4 är 5 enheter större än deras summa. c) Kvoten av talen x och 2 är 2x.

10. Bestäm a så att ekvationen ax + 2 = 4 har lösningen a) x=1 b) x = - 1 c) x = 4?

11. Lös ekvationen. a) 1,2x - 4 + 0,3x = 4 + 0,7x + 0,8 x b) − x = 3 − x 5 2x − 5 = −3 c) 3 12. Skriv ekvationen och beräkna med hjälp av den rektangelns längd och bredd då omkretsen för rektangeln är 22 cm.

x–1

x+2 Tilläggsuppgifter s. 180 Hemuppgifter s. 222

9

2.

Att lösa en ekvation Det går alltid att lösa en ekvation genom att utföra följande skeden, alla är dock inte alltid nödvändiga.

LÖSNINGENS SKEDEN:

1. Eliminera parenteserna i ekvationen genom att multiplicera med faktorn framför eller bakom parentesen.

2. Flytta variabeltermerna till ekvationens vänstra led, de övriga termerna till högra ledet.

3. Addera likformiga termer.

4. Dividera ekvationens båda led med variabeltermens koefficient (≠ 0) eller multiplicera båda ledens med variabeltermens nämnare (≠ 0).

Exempel 1

Lös ekvationen 2(3x - 5) = 3(x + 3) + 2.

2(3x - 5) = 3(x + 3) + 2

Multiplicera.

6x - 10 = 3x + 9 + 2

Flytta termer.

6x - 3x = 9 + 2 + 10

Addera likformiga termer.

3x = 21 | : 3

Dividera med variabeltermens koefficient.

x =7

Exempel 2

Lös ekvationen

x + x = 10 − ( 3 − x ) .

2

x + x = 10 − ( 3 − x ) Eliminera parenteserna.

2 x + x = 10 − 3 + x 2 x + x − x = 10 − 3 2 x = 7 | ⋅2 2 x = 14

10

Flytta termer.

Addera likformiga termer.

Multiplicera med variabeltermens koefficient.

Lös ekvationen.

1. a) x + 4 = 6 b) x - 5 = 14 c) 6 + x = 3 2. a) 3x + 7 = 13 b) 8x - 9 = 15 c) x - 5 = 2x + 1 3. a) 2(x - 1) = 6 b) 4(x + 5) = 28 c) 3(2x + 1) = 4x + 7 x − 5 = 2 3 x 2+4= b) 4 x 5+ = 8 c) 3 4.

a)

10. a) -7x + 19 = -2(5x - 11) b) -2(4 - x) = -2x + 4 c) 4(5x - 10) = 0 11. a) 5x - 4(x + 5) - 6 = -(2x - 7) b) 2(x + 2) - 3(x - 3) = 4(3 - x) c) 3(x + 4) = -2(x - 6)

5. a) 3(x + 2) = 9 b) 5x - 4 = 2(2x -1) c) 7x = 4(x + 3)

12. a) 3x - 5(4x + 7) - 14 = 6(2x + 3) - 9 b) 0,2(6x - 5) = 0,7x+1,5 c) 3(1,5x - 1) = 1,5x + 6

6. a) 2(x + 2) - (2x - 4) + x = 7 b) 10 + (4x - 2) - 3(x + 2) = 0

2x =0 5 2x 4+ =8 b) 3 x + 2x = 2 ( x − 1) c) 9

7.

Skapa en ekvation och lös den.

Produkten av talen 2 och x är lika stor som summan av samma tal.

Lös ekvationen.

8. a) 0,4x - 4 = 0 b) 0,5x + 10 = 11 c) x + 3 = 0,5x + 2,5

13. a)

14. Skapa en ekvation och lös den. Den dubbla summan av talen 2x och 5 är lika stor som differensen mellan samma tal.

x +1= 7 4 x b) − 2 = 2 2 x c) − 0, 5 = 2, 5 3 9.

a)

Tilläggsuppgifter s. 180 Hemuppgifter s. 222

11

2. Att lösa en ekvation Exempel 3

Polynom P(x) = 2x + 4 och polynom Q(x) = - 3x + 7.

Bestäm x:s värde så att polynomen antar samma värde.

Vi löser ekvationen P(x) = Q(x).

2x + 4 = -3x + 7

Flytta termer.

2x + 3x = 7 - 4

Addera termer.

5x =3

Dividera med variabeltermens koefficient.

| : 5

x = 0,6 Svar: x = 0,6 Kontroll: P(0,6) = 2 ⋅ 0,6 + 4 = 1,2 + 4 = 5,2 Q(0,6) = -3 ⋅ 0,6 + 7 = -1,8 + 7 = 5,2

Exempel 4

En rektangel och en kvadrat har lika stor omkrets. Beräkna figurernas areor.

2x – 3 x–1

Rektangelns omkrets är 2(x - 1) + 2(2x - 3).

x

Kvadratens omkrets är 4x.

Omkretsarna är lika stora.

2(x - 1) + 2(2x - 3) = 4x 2x - 2 + 4x - 6 = 4x

2x + 4x - 4x = 2 + 6

2x = 8 | :2

x =4 Rektangelns area är (x - 1) ⋅ (2x - 3) = (4 - 1) ⋅ (2 ⋅ 4 - 3) = 3 ⋅ 5 = 15.

Kvadratens area är x ⋅ x = 4 ⋅ 4 = 16.

Svar: Rektangelns area är 15 och kvadratens area 16.

12

15. Polynom P(x) = 2 x – 2, Q(x) = x + 1 och R(x) = x. Lös ekvationen om a) P(x) = R(x) b) P(x) = Q(x) - R(x) c) Q(x) = 3R(x).

18. Lösningen motsvarar en bokstav.

Bokstäverna bildar ett i sammanhanget aktuellt ord.

16. Beräkna rektangelns höjd om figurerna har samma omkrets.

2x - 3 = x + 9

3(x - 1) = 2x - 4

3x - 2(x + 3) = 1 x = 4 3 3x = 6 4

x + 1 = 2(2 - x) x − 0, 5 = 0, 5 2

x

x

x+1

x

x–5

17. Sidan för en regelbunden femhörning är x. Sidan för en liksidig triangel är x + 2. a) Skapa ett polynom P(x) som beskriver längden på femhörningens omkrets. b) Skapa ett polynom R(x) som beskriver längden på den liksidiga triangelns omkrets. c) Beräkna femhörningens omkrets om den är 4 enheter längre än triangelns omkrets.

START

R

N

A

E

M

Ä

N

O

7

12

1

-1

2

8

5

3

19. EKVATIONSLABYRINTEN Emilia är på väg på FM-tävling i bowling.

Ta reda på i vilken stad tävlingen ordnas.

Gör så här: 1. Lös ekvationen i startrutan.

2. Förflytta dig till den ruta som har ekvationens lösning uppe i det vänstra hörnet.

3. Fortsätt tills du kommer till en stadsruta 14

4 x + 18 = 12

–7

5 + 3x = –2(–x + 1) 2

ÅBO

2x + 5 = –15 –1 5(x – 3) = –x + 15

3x + 2(x – 30) = 4x – 30 –30

–6

NYSLOTT –10

x=7 2

1

–5

HELSINGFORS

6

8

TAMMERFORS

5

3x + 3 = 2x + 2 30 3(x – 1) = 2(x + 1) + 1

x2 + x = x2 + 5

ULEÅBORG

2x − 1 = 3 1 2 2 3x = 2(10 – x)

Tilläggsuppgifter s. 181 Hemuppgifter s. 222

13

3.

Eliminering av nämnare Om det finns flera nämnare i en ekvation lönar det sig att eliminera, alltså ta bort, dem redan i lösningens första skede. Nämnarna kan elimineras genom att man multiplicerar ekvationens båda led med ett tal som är delbart med samtliga nämnare. Man brukar multiplicera med den minsta gemensamma nämnaren (mgn).

Exempel 1

Lös ekvationen

x 1 x − = .

2 4 3

x 1 x − = | ⋅12 Den minsta gemensamma nämnaren för 2 4 3

2, 3 och 4 är 12.

6

4 x 3 1 x − 12 ⋅ = 12 ⋅ 2 4 3

12 ⋅

1

1

6x - 3 = 4x

Lös ekvationen som inte längre har nämnare.

6x - 4x = 3 2x = 3 | :2

Exempel 2

1

Multiplicera ekvationens båda led med talet 12.

(Varje term ska multipliceras.)

3 2

x=

x =1

Lös ekvationen

1 2

5x 3x 7 −3= + .

4 5 10 5x 3x 7 −3= + | ⋅20 4 5 10

20 ⋅

14

5 3x 7 x − 20 ⋅ 3 = 20 ⋅ + 20 ⋅ 4 5 10 25x - 60 = 12x + 14 25x - 12x = 14 + 60 13x = 74 | : 13 74 13 9 x =5 13 x =

pyj(4, 5, 10) = 20

Lös ekvationen. x 1. a) = 8 3

x c) = 3 6

x =9 5 4x d) =8 5

b)

x 1 = 3 3 1 x c) = 4 6

2.

3.

x 2 = 5 5 x x d) = 4 8

a)

a)

Lös ekvationen.

b)

x 1 − = 4 2 2

b)

x x − =1 2 3

3 x + = x 4 2

b)

x 1 2 − = 3 2 3

x = 8 2

b)

1 x x 1 + = + 4 2 4 2

4.

a)

5.

a) x −

6.

ORDLEK Lös ekvationerna och arrangera bokstäverna i storleksordning enligt lösningarna.

N x + 1 = −4 2

a)

x 1 3 − = 2 3 4

8.

a)

x x x x 1 − = + 1 b) 2 + 3x = + 2 4 8 4 2

9.

a)

1 x x 1 x 1 + x = + 1 b) − = + 2 2 2 3 4 6

b)

10. a)

4x 2x − 1=

3 9

11. a)

2x 1 x 7x − + = + 3 5 20 4 10

b)

4x x 3 + x = +1 5 2 10

1 5 2 3x − 1 = + x b) 2 6 3 12. Omkretsen för en likbent triangel är x 2x och sidan är . Skapa en ekvation och 7 beräkna benets längd.

2x __ 7

x =5 7

2x __ 7

O I 2x = x 3

x−x = 1 2 3 3

6 cm

S S

2x 4x − =1 5 15

7.

x= x+2 3 3

x− x =1 3

A

Tilläggsuppgifter s. 181 Hemuppgifter s. 223

15

3. Eliminering av nämnare Exempel 3

Lös ekvationen

2

6⋅

2x − 4 x = .

3 6

2x − 4 x = |⋅6 3 6

Mgn(3, 6) = 6

2x − 4 1 x = 6 ⋅ 3 6

Multiplicera varje term.

1

1

4x - 8 = x

Lös ekvationen som inte har någon nämnare.

4x - x = 8 3x = 8 x=

8 3

x =2

Exempel 4

| :3

2 3

Lös ekvationen

3x x − 4 − =5.

4 2

3x x − 4 − =5 4 2 1

4⋅

3x 2 x − 4 − 4⋅ = 4 ⋅5 4 2 1

Kom ihåg! Varje term i parentesen måste multipliceras med -2.

Mgn(2,4) = 4

Multiplicera varje term.

1

3x - 2(x - 4) = 20

Eliminera parenteserna.

3x - 2x + 8 = 20

Flytta termer.

16

| ⋅4

3x - 2x = 20 - 8 x = 12

Addera likformiga termer.

Lös ekvationen. x−2 =2 13. a) 3

b)

3+ x 1 = 2 2

14. a)

2x + 1 x + 4 3+1 x = b) = 3 2 4 6

15. a)

2x + 2 2 = 3 3

b)

6x − 9 2x + 2 = 3 2

16. Lös ekvationerna och räkna ut hur mycket pengar du förtjänar. Dina pengar ökar eller minskar med summan som finns bredvid lösningen. I förteckningen finns tre överflödiga lösningar.

2x =4 7

x 1 = 10 5

x 3 = 6 6

x 2 + =1 3 3

x x − =2 4 5

+ 10 €

°BCE ECB EЦБ EZB EKP EKT EKB BCE EBC

EURO EYPΩ EBPO

EURO EYPΩ EBPO

+5 €

+ 10 €

14

°BCE ECB EЦБ EZB EKP EKT EKB BCE EBC

2013

10

°BCE ECB EЦБ EZB EKP EKT EKB BCE EBC 2 0 1 4

2

EURO EYPΩ EBPO

–5 €

4 1

°BCE ECB EЦБ EZB EKP EKT EKB BCE EBC

°BCE ECB EЦБ EZB EKP EKT EKB BCE EBC 2 0 1 4

°BCE ECB EЦБ EZB EKP EKT EKB BCE EBC 2 0 1 4

EURO EYPΩ EBPO

28

2013

40

+ 20 €

32

°BCE ECB EЦБ EZB EKP EKT EKB BCE EBC 2 0 1 4

3

EURO EYPΩ EBPO

EURO EYPΩ EBPO

EURO EYPΩ EBPO

3x − 1 x + 1 x − 11 4x + 1 = b) = 2 6 8 2

18. a)

2 ( x + 2) x 3( x + 4 ) 2x = b) = 5+ 5 2 3 3

19. a)

x +1 x − 3 − =2 2 5

5x 6 + x 1 b) − = 3 6 2 20. Lös ekvationerna och arrangera bokstäverna i storleksordning enligt lösningarna.

2013

x =4 8

17. a)

2x x − 1= 3 3

E

1 x 1 − 3x = 4 4

T

5x =x 7

O

2x x +2= 5 3

P

x 5 − 1= 8 2

R

x 5x x 2 + + = 6 6 3 3

T

–5 €

+ 10 €

– 10 €

+ 20 €

Tilläggsuppgifter s. 182 Hemuppgifter s. 223

17

4.

Bokstäver i ekvationen I ekvationer kan det också dyka upp andra bokstäver än variabeln.

Dessa bokstäver är jämförbara med tal.

Om det finns flera bokstäver i en ekvation, så måste man berätta vilken bokstav som är variabeln, alltså med avseende på vilken bokstav som ekvationen löses.

Exempel 1

Lös ekvationen 4x - 2 = 3x - a med avseende på variabeln x.

4x - 2 = 3x - a 4x - 3x = 2 - a x = -a + 2

Exempel 2

Termer som innehåller variabeln (x) flyttas till vänster led och alla andra termer till höger led.

Lös ekvationen 4x - 2 = 3x - a med avseende på variabeln a.

4x - 2 = 3x - a a = 3x - 4x + 2 a = -x + 2

Termer som innehåller variabeln (a) flyttas till vänster led och alla andra termer till höger led.

Bokstaven som ska lösas ut ur ekvationen kan också finnas i nämnaren.

Nämnarna elimineras genom att man multiplicerar hela ekvationen med nämnarnas minsta gemensamma nämnare.

Exempel 3

Lös ekvationen

x =5 b

a) Med avseende på variabel x b) Med avseende på variabeln b. a)

x x = 5 | ⋅b b) = 5 | ⋅b b b x x b ⋅ = b ⋅ 5 b⋅ = b⋅5 b b

x = 5b

18

x = 5b x =b 5 x b= 5

|:5

Lös ut x.

1. a) x + a = b

b) 2x = a

2.

a) x - a = a - b

b) 2x = a + b

3.

a) 3a = 4 - 7x

b) x + 2p = 3p

Lös ekvationen a + x = 2 med avseende på bokstaven a) x b) a.

4.

8. Lös ut x. a) -b + x = a - b b) bx - a = 4a 9.

Lös ut x.

3x a) =v t

Lös ekvationen ax = 4 med avseende på bokstaven a) x b) a.

5.

kpt med avseende 10. Lös ekvationen r = 100 på bokstaven a) k b) p c) t.

2x Lös ekvationen = 3 med avseende på bokstaven a a) x b) a.

6.

7.

11. Lös ekvationen 2a - 3p - 3 = a - 4p + 7 med avseende på bokstaven a) a b) p.

Lös ekvationerna i huvudet. Gå i pilens riktning. För rätt svar får du 1–4 p. Skriv ner dina svar i häftet och räkna ihop antal poäng du fick. +1 p

x+2=3

b) 2kx = m - n

x – 5 = –10 +1 p

+2 p

–x : 3 = 8

4(x – 2) = 0

–x + 3 = –6

+2 p

–10 + 2x = 10

+2 p

+3 p ax + bx = 5a + bx – 4a

+4 p

Tilläggsuppgifter s. 182 Hemuppgifter s. 223

19

1.

4. Bokstäver i ekvationen Bokstäver i ekvationen är typiska för ekvationer inom fysiken.

Storheter betecknas då med olika bokstäver.

Exempel 4

s , t i vilken v är hastigheten, s är sträckan och t är tiden. Lös ekvationen med avseende på a) sträckan b) tiden.

Vid likformig hastighet beräknas hastigheten med ekvationen v =

a) v =

s t

| ⋅t

tv = s

Exempel 5

s t

| ⋅t

tv = s

| :v

b) v =

s = vt

t=

s v

m , i vilken ρ (rho) V är ämnets densitet, m är objektets massa och V är objektets volym.

Densiteten för guld ärn 19,3 g/cm3. a) Beräkna massan för en guldklimp vars volym är 3,00 cm3. b) Beräkna volymen av en guldtacka vars massa är 50,0 g.

Densiteten för ett ämne beräknas med ekvationen ρ =

a) ρ =

m V

| ⋅V

ρV = m

m = ρV

m = 19,3 g/cm3 ⋅ 3,00 cm3 = 57,9 g

Svar: Guldklimpens massa är 57,9 g. b) ρ =

ρV = m

V=

m V

| ⋅V | :ρ

m ρ

50,0g 0g 50, 50, 0g VVV=== ≈ 2,59 cm3 19,3g 3g///cm cm333 19, 19, 3g cm

Svar: Guldtackans volym är 2,59 cm3.

20

12. Storleken på ett elektriskt motstånd U beräknas med ekvationen R = .

I Lös ekvationen med avseende på a) spänningen U b) strömmen I. 13. Vid ett åskväder dröjer det 12 sekunder mellan blixten och åskmullret. Beräkna hur långt ifrån blixten slog ner. Ljudets hastighet i luft är 340 m/s.

14. Densiteten för järn är 7,9 kg/dm3.

Järnkulan som används i herrarnas kulstötning väger 7,26 kg. Beräkna kulans volym.

15. Arean av en triangel beräknas med ah ekvationen A = , i vilken A är arean, 2 b är basen och h är höjden. a) Lös ekvationen med avseende på höjden (h). b) Beräkna triangelns höjd om triangelns area är 6 m2 och basen är 4 m.

16. Hur länge tar det att cykla 40 km om medelhastigheten är 16 km/h?

17. Det tar 2 timmar att köra 160 km med bil. Beräkna bilens medelhastighet.

18. Celsiusgrader (°C) kan ändras till Kelvin (K) med ekvationen C = K - 273, i vilken K är temperaturen i Kelvin och C är temperaturen i celsiusgrader. Lös ekvationen med avseende på K och beräkna temperaturen i Kelvin då det är 300 °C. 19. Celsiusgrader (°C) kan ändras till Fahren­ 9 heit (°F) med ekvationen F = C + 32 , 5 i vilken F är temperaturen i grader Fahren­heit och C är temperaturen i grader Celsius. Lös ekvationen med avseende på C och beräkna tempera­ turen i grader Celsius när det är 77 °F. 20. Hur många dm³ är volymen för ett blyföremål om det har massan 3,0 kg och densiteten för bly är 11,3 kg/dm3?

21. Acceleration beräknas med ekvationen Δ ∆v a= , i vilken a är accelerationen, t Δv (delta v) är förändringen i hastighet och t är tiden. a) Lös ekvationen med avseende på tiden (t). b) Beräkna en bils acceleration då den från stillastående uppnår hastigheten 25 m/s på 12 sekunder.

Tilläggsuppgifter s. 183 Hemuppgifter s. 224

21

5.

Exempel 1 x

10 g x

60 g

70 g

Speciella ekvationer Hur tung måste tyngden markerad med variabeln x vara för att vågen ska vara i jämvikt?

Eftersom 10 g + 60 g = 70 g kan vi konstatera att x kan ha vilken massa som helst och vågen är ändå i jämvikt.

Som ekvation: x + 10 g + 60 g = x + 70 g Förflytta termer.

x - x = 70 g - 10 g - 60 g Addera termer.

0 = 0 Påståendet stämmer alltid.

Svar: Variabeln x kan ha vilken massa som helst, det vill säga ekvationen är sann oberoende av x:s värde.

Exempel 2

20 g x

x

60 g

70 g

Hur tung måste tyngden markerad med variabeln x vara för att vågen ska vara i jämvikt?

På grund av att 20 g + 60 g ≠ 70 g kan vi konstatera att vågen, oberoende av vilken massa x har, aldrig kan vara i jämvikt.

Som ekvation: x + 20 g + 60 g = x + 70 g Förflytta termer.

x - x = 70 g - 20 g - 60 g Addera termer.

0 = -10 g Påståendet stämmer aldrig.

Svar: Ingen vikt passar på x:s plats, så ekvationen saknar lösning.

EN SPECIELL EKVATION

är en ekvation som alltid saknar lösning eller har alla tal som lösning.

• När ekvationen löses försvinner variabeln.

• Identiskt sann: alla tal är lösningar till ekvationen.

• Identiskt falsk: ekvationen saknar lösning.

22

VÅGPROBLEM

1.

Bestäm vilket tal som kan stå istället för x.

6.

Bilda en ekvation och lös den för att få reda på med vilket värde för x som vågen är i jämvikt. x

5 x

x

8

2.

x

60 g

Bestäm vilket tal som kan stå istället för x.

5

8

x

x

7.

Bilda en ekvation och lös den för att få reda på med vilket värde för x som vågen är i jämvikt.

2x

x

60 g

3.

80 g

x

20 g

Bestäm vilket tal som kan stå istället för x.

8 x

x

80 g

8.

8 5

x

5

En heliumballong balanserar en 30 grams vikt. Bilda en ekvation och lös den för att få reda på med vilket värde för x som vågen är i jämvikt.

4.

Bestäm vilket tal som kan stå istället för x.

4 9

6

x

x

x

65 g

9.

x

15 g 30 g

45 g

En heliumballong balanserar en 30 grams vikt. Bilda en ekvation och lös den för att få reda på med vilket värde för x som vågen är i jämvikt.

Bilda en ekvation och lös den för att få reda på med vilket värde för x som vågen är i jämvikt. x

2x

5.

x

x 2x

2x 40 g

x

30 g

Tilläggsuppgifter s. 183 Hemuppgifter s. 224

23

5. Speciella ekvationer Exempel 3

Lös ekvationen 5x - 10 = 2x - 3 + 3x - 7.

5x - 10 = 2x - 3 + 3x - 7 5x - 2x - 3x = 10 - 3 - 7 0 = 0

Flytta termer.

Addera likformiga termer. identiskt sann.

Svar: Alla tal är lösningen på ekvationen.

Exempel 4

Lös ekvationen 6(x - 1) = 2x + 2(2x + 3).

6(x - 1) = 2x + 2(2x + 3) 6x - 6 = 2x + 4x + 6 6x - 2x - 4x = 6 + 6 0 = 12

Eliminera parenteserna.

Flytta termer.

Addera likformiga termer. identiskt falsk.

Svar: Ekvationen har ingen lösning.

OBS! När man löser en ekvation så får man alltid ett svar. Ibland är svaret att det inte finns någon lösning.

Svara aldrig att ekvationen inte har ett svar.

Exempel 5

Med vilket värde på variabeln a är ekvationen x - a = a(x + 1) identiskt falsk?

Ekvationen löses med avseende på variabeln x. x - a = a(x + 1) Eliminera parenteserna. x - a = ax + a Flytta termer. x - ax = a + a För att ekvationen skall bli identiskt falsk måste variabeln x försvinna.

Då måste a vara lika med 1.

Placera a = 1 i ekvationen x - ax = a + a x - 1 ⋅ x = 1 + 1 x - x = 2 0 = 2 Svar: a = 1

24

identiskt falsk

Lös ekvationen.

10. a) 5x + 10 = 5x - 10 b) 4x + 3 = x + 3x c) 2x + 1 = x + 1

Lös ekvationen.

19. a) (3x - 2) - 3 = 2(x - 1) - 4 + (x + 6) b) 8 + 3(x + 2) = 3x + 14 - x c) 2y(8 - 9) + y = 5(-y - 1) + 2y

11. a) 4x + x + 7 = 5x - 5 b) x - 5 = -5 c) 2x + 3 = x + x +3

20. a) 0,5(2x - 4) = x + 2,5

12. a) 6(x - 3) = 2(3x + 3) b) 4x + 6 = 3(x + 2) + x c) 3(4 + 8x) = 24x + 12

x 3 x + =− c) 6 4 3

13. Med vilket värde på variabeln a saknar ekvationen ax = 2x + 5 lösning?

14. Lös ekvationen x - a = x + a med avseende på variabeln x om a) a ≠ 0 b) a = 0.

Lös ekvationen.

15. a) 10x - 10 = 6x - 10 b) 3x + 3 - 2x = x + 3 c) 3x - 6x + 1 = -3x

2x x b) + 2 = x + 1− 3 3

21. Bilda en ekvation och lös den. a) Summan av talen x och 6 är lika stor som differensen mellan samma tal. b) Produkten av talen x och 3 är lika stor som kvoten av samma tal.

22. Med vilket värde på konstanten a har ekvationen 2 + 4x = ax + 3 a) ingen lösning b) alla tal som lösning c) exakt en lösning?

16. a) 2(x - 4) = 2x - 8 b) 3(x - 5) = 3(x - 1) c) x + 3(x - 2) = -2 17. Bilda en ekvation och lös den.

Produkten av talen x och 4 är fyra gånger differensen mellan samma tal.

18. Med vilket värde på variabeln a är ekvationen 3x + 5 = ax – 4 speciell?

Tilläggsuppgifter s. 184 Hemuppgifter s. 224

25

6.

Exempel 1

Andragradsekvationer Vilket tal blir multiplicerat med sig själv 36?

Lös ekvationen x2 =36.

6 ⋅ 6 = 36 -6 ⋅ (-6) = 36

x = 6 är en lösning till ekvationen. x = -6 är en lösning till ekvationen.

Ekvationen x2 =36 har alltså två lösningar x = 6 och x = – 6.

Det kan förkortas x = ±6.

Svar: x = ±6 ANDRAGRADSEKVATIONER

En ekvation vars variabels högsta exponent är 2 kallas för en andragradsekvation.

Andragradsekvationer har oftast två lösningar.

Andragradsekvationer kan vara fullständiga och ofullständiga. I en fullständig andragradsekvation finns det, utöver x2‐termen, också en term som innehåller x och en konstant. Till exempel 3x2 + 2x – 4 = 0.

I en ofullständig andragradsekvation saknas antingen termen som innehåller x eller konstanten. Till exempel 3x2 + 2x = 0 eller 3x2 - 4 = 0.

I det här kapitlet tar vi endast upp sådana ofullständiga andragradsekvationer som saknar x‐termen.

Exempel 2

Lös ekvationen x2 = 5.

Vilket tal blir multiplicerat med sig själv 5?

( 5 )2 = 5 x = 5 är ekvationens lösning. ( − 5 )2 = 5 x = − 5 är ekvationens lösning.

Svar: x = ± 5

Exakt svar

OBS! Om kvadratroten inte kan räknas ut exakt, förblir kvadrat­ roten svaret. Kvadratroten är det exakta värdet.

26

Lös ekvationen.

6. a) x2 = 100 c) x2 = 16

b) x2 = 169 d) x2 = 400

7. a) x2 = 18 c) x2 = 35

b) x2 = 101 d) x2 = 44

8. a) x2 = 0,09 c) x2 = 0,64

b) x2 = 0,49 d) x2 = 1,44

a) x2 =

4

9

b) x2 =

9 25

c) x2 =

9

81

d) x2 =

16 49

9.

10. Talet x multiplicerat med sig själv är lika mycket som produkten av talen 4 och 9.

Bilda en ekvation och lös ut x.

Lös ekvationen.

2

2

b) x = 25 d) x2 = 9

11. a) x2 = 300 c) x2 = 225

b) x2 = 900 d) x2 = 136

2

2

12. a) x2 = 0,27 c) x2 = 88

b) x2 = 1,9 d) x2 = 40

13. a) x2 = 4,84 c) x2 = 0,0081

b) x2 = 0,0001 d) x2 = 1,0201

1. a) x = 4 c) x2 = 81 2. a) x = 2 c) x2 = 11

b) x = 6 d) x2 = 3

3. a) x2 = 0,36 c) x2 = 0,04

b) x2 = 0,81 d) x2 = 0,121

4.

1 a) x2 = 4

c) x2 = 5.

1 b) x2 = 9

1

25

d) x2 =

1 36

Skapa en ekvation och beräkna längden på kvadratens sida.

x

14. a) x2 =

121

144

9 c) x2 =1 16

b) x2 = 2

1 4

d) x2 = 20

1 4

15. Talet x multiplicerat med sig själv är lika 1 mycket som produkten av talen och 2 1 4 . Bilda en ekvation och lös ut x.

2

49 m2

x Tilläggsuppgifter s. 184 Hemuppgifter s. 225

27

1.

6. Andragradsekvationer Exempel 3

Lös ekvationen x2 = -4.

Om ett positivt tal multipliceras med sig själv, blir svaret ett positivt tal.

Till exempel 2 ⋅ 2 = 4.

Om ett negativt tal multipliceras med sig själv, blir svaret ett positivt tal.

Till exempel −2 ⋅ (−2) = 4.

Det finns inget reellt tal vars andra potens skulle vara negativ.

Svar: Ekvationen har ingen lösning.

En andragradsekvation har högst två lösningar. x2 = c x=± c

c≥0

Exempel 4

Ekvation

x2 = 25

x2 = 7

x2 = 0

x2 = -9

Lösningar

x = ±5

x=± 7

x=0

ingen lösning

Antal lösningar

2

2

1

0

Lös ekvationen 4x2 - 100 = 0.

4x2 - 100 = 0

Flytta termer.

2

| :4

2

|

4x = 100 x = 25

Dividera med variabeltermens koefficient.

Ta kvadratroten.

x = ± 25 x = ±5

Exempel 5

Lös ekvationen 4x - 2x2 = 4(x + 1).

4x - 2x2 = 4(x +1) 2

4x - 2x = 4x + 4 2

4x - 2x - 4x = 4

2

-2x = 4 2

x = -2

Eliminera parenteserna.

Flytta termer.

Addera likformiga termer.

| :(-2)

Dividera med variabeltermens koefficient.

Det finns inget tal med en negativ andra potens.

Svar: Ekvationen har ingen lösning.

28

Lös ekvationen.

16. a) x2 = 36 c) x2 = 26

b) x2 = -100 d) x2 = -30

17. a) 2x2 = 8 c) x2 + 9 = 0

b) 4x2 = 16 d) x2 - 36 = 0

18. a) 2x2 - 50 = 0

b) 3x2 = 0 2x 2 d) =6 3

c) 4x2 + 4 = 0

19. a) Vilket är det största heltal vars kvadrat är mindre än 150? b) Vilket är det minsta heltal vars kvadrat är mindre än 150?

23. a) x2 - 7 = 0 c) 4x2 - 400 = 0

1 2 x -9=0 9 d) 9x2 - 81 = 0 b)

24. Ta reda på vilket som är det största möjliga värdet för uttrycket 8 – x2.

Lös ekvationen.

25. a) x2 + 3 = -6 b) x2 - 4 = 2 c) x2 - 2,5 = -2,5 d) x2 + 4 = 5 26. a) x2 + 0,25 = 2,5 b) 5(1 - x2) + 3 = 42 1 1 c) x 2 = 4 2 2 27. a) 2(x2 - 1) = 30 b) x2 + 8 = 3x2 c) -x2 - 12 = x2 - 20

Lös ekvationen.

20. a) x2 + 0,16 = 0 c) x2 - 1= -17

b) x2 + 1= 2 d) x2 - 22 = -18

21. a) 0,5x2 = 8 c) 0,5x2 = 12,5

b) 2x2 = 8 d) 8x2 - 100 = 4x2

28. Ta reda på vilket som är det minsta möjliga värdet för uttrycket 5x2 – 3.

Vilket är x:s värde om uttrycket antar det minsta värdet?

22. a) x2 - 25 = 0

b) 5x2 = -100 1 d) x 2 = 2 2

29. Med vilka värden för konstanten k har ekvationen en lösning? a) x2 = k b) x2 = k2

c) 3x2 = 75

30. Ekvationens kx2 – 18 = 0 ena lösning är x = 3. Vad är a) värdet för konstanten k b) ekvationens andra lösning?

Tilläggsuppgifter s. 185 Hemuppgifter s. 225

29

7.

Repetition

Ta reda på om x = 3 är ekvationens lösning. x 1 a) 2x - 4 = 3 b) + 1 = 2 2 2

10. Lös ut a) a ur ekvationen A = ah F b) F ur ekvationen p = .

A

2.

11. Lös ekvationen ax + 3 = 5 med avseende på variabeln a.

1.

Bilda en ekvation och lös den. a) Summan av talen x och 4 är 9. b) Produkten av talen x och 5 är lika stor som summan av talen x och 8.

3. Lös ekvationen. a) 3(x - 5) = 2x + 3 4.

b)

x +6=4 2

Beräkna ut värdet för x om omkretsen för rektangeln är 12 cm.

x

13. Lös ekvationen. a) 2x - 3 = 2x + 1 b) 2(x - 1) = 2x - 2 14. Med vilket värde för a är ekvationen ax + 3 = 3x – 1 speciell?

x+2

s är v hastighet, t s är sträcka och t är tid. a) Lös ut tiden (t) ur ekvationen. b) Beräkna Annas löphastighet om hon springer 100 m på 16 s.

12. I ekvationen v =

Lös ekvationen.

15. a) x2 = 16

5.

P(x) = 2x + 3 och R(x) = x - 5.

Lös ekvationen P(x) = R(x).

Lös ekvationen.

6.

a)

x 1 = 3 2

b)

2x =4 5

17. a) 5x2 = 80

b) x2 - 9 = 16

7.

a)

x x + = 8 3 3

b)

x x 1 − = 2 3 6

18. a) 3x2 - 5 = x2 + 3

b)

8.

a)

x+2 3 = 4 4

b)

3x 3 x − = 5 5 2

19. Vilket av talen 2, 1, 0, –1 och –2 är lösningen till ekvationen x(2x - 3) = -3x +8?

9.

Skapa en ekvation och lös den om kvoten av talen x och 2 är lika stor som differensen mellan samma tal.

30

16. a) x2 =

4

49

b) x2 = 20 b) x2 = -37

x2 +5=9 2

20. Bilda en ekvation och lös den. a) Produkten för talen x och 5 är 13 större än differensen mellan talen x och 5. b) Kvoten för talen x och 3 är lika stor som summan av talen.

21. Lös ekvationen. a) 3(x - 5) = 2x + 3

b)

x +6=4 2

22. Bilda en ekvation och lös ut x om triangelns omkrets är 29 cm.

x

23. P(x) = x2 + x - 2 och R(x) = x2 + 3.

Lös ekvationen P(x) = R(x).

24. Bilda en ekvation och beräkna storleken för vinkeln.

2α

x+2 1 = med a 3 avseende på variabeln a. (a ≠ 0)

29. Lös ekvationen

a+b ⋅h 2 a) med avseende på variabeln h b) med avseende på variabeln a.

30. Lös ekvationen A =

31. Densiteten för ett ämne beräknas med m ekvationen ρ = i vilken ρ är densitet, V m är massa och V är volym.

x+4

x–2

28. Skapa en ekvation och lös den. Hälften av summan av talen x och 4 är lika med differensen mellan samma tal.

α 3α

Lös ekvationen.

2x 2 1 x x x 25. a) + = b) + = 6 3 2 2 3 4 1 1 26. a) 1 x + x = 3 − 2 2 b)

x 2x x + = − 12 6 3 2

27. a)

3 + x 2x + 1 = 5 2

b)

3 ( 4 − x ) 2x + 6 = 5 2

a) Lös ut V ur ekvationen. b) Beräkna volymen för ett föremål som väger 500 g och ämnets densitet är 2,5 g/cm3.

32. Med vilka värden för konstanterna a och b är ekvationen ax + 5 = 6x – b identiskt sann?

Lös ekvationen.

33. a) 3(x - 4) = 5(x + 1) - 2x b) x(x + 2) = x2 + 2x 34. a) x2 = 0,36

b) x2 = -1,44

7 35. a) x2 = 2 9

b) x2 =

1 3

36. a) 2(x2 - 7) = x2 + 22 b)

x2 3 = 3 4

31

8.

Programmering: While-slinga och listor While-slinga

Det enklaste upprepningskommandot i Python är kommandot while (), som upprepar kommandot så länge som det givna villkoret är sant (True).

Man måste vara noggrann när man använder upprepningskommandon, eftersom de ibland kan skapa en oändlig loop. Det sker om det givna villkoret aldrig är falskt (False).

Observera att text i programmet som börjar med ett #-tecknet inte påverkar själva koden. Oftast används #-tecknet för att göra anteckningar.

Exempel 1

räknare = 1 while(räknare < 5): print(räknare) räknare = räknare + 1 print(”Slut!”) #räknarens värde är i början 1 #upprepningen fortsätter så länge som räknaren < 5 #värdet skrivs ut och markörens värde höjs med #ett 1 2 3 4 Slut!

Uppgift 1 Gör ett program som skriver ut siffrorna från noll till tjugo med en while-slinga.

Uppgift 2 Ta reda på vad följande program gör. Skriv programmet och kontrollera.

Hur får du upprepningen att sluta? indata = ”” while (indata != ”förbi”): indata = str(input(”Skriv ett ord: ”)) print(”Slut”) 32

8..

a=1 b = 10 while a < b: print(”Fungerar”) b = b + 1

Exempel 2

Programmering

Uppgift 3 Är någotdera eller båda av följande program oändliga? Hur skulle du korrigera situationen för att båda koderna ska ha samma resultat? a=1 b = 10 while a ! = b: print (”Fungerar”) b = b - 1

heltal = 1 #heltal anges värdet 1 summa = 0 #summan anges värdet 0 print(”Ange heltal så beräknar jag summan.”) print(”Sluta genom att ange 0.”) while(heltal != 0): #upprepas medan heltalet är olika 0 heltal = int(input(”ange ett heltal: ”)) summa = summa + heltal #till summan adderas det givna heltalet print(”Summa: ”, summa) print(”Slut!”)

Ange heltal så beräknar jag summan.

Sluta genom att ange 0.

Ange ett heltal: 2 Summa: 2 Ange ett heltal: 5 Summa: 7 Ange ett heltal: 7 Summa: 14 Ange ett heltal: 0 Summa: 14 Slut!

Uppgift 4 Skriv ett program som ber användaren mata in heltal mellan 1 och 9 tills användaren ger talet 0. Programmet granskar siffrorna och anger slutligen hur många gånger siffran 5 har givits.

Tips: Använd if-kommandot för att granska om det inmatade talet är 5.

33

8. Programmering: While-slinga och listor Uppgift 5 Skriv ett program som ber användaren mata in heltal och som meddelar om talet är jämnt delbart med tre. Programmet slutar när användaren matar in talet 0. Delbarhet kan granskas med hjälp av divisionsresten.

Det görs med %-operatorn. T.ex. 23%7 = 2 och 24%8 = 0.

For-slinga For-slingan kan användas t.ex. om man vill upprepa något ett visst antal gånger. For-slingan kan användas t.ex. genom range()-funktionen, då ett kommando upprepas ett önskat antal gånger.

Exempel 3

Observera att range(0,5) upprepar tills ett tal som är ett mindre än slutsiffran anges.

for k in range(0,5): print(k) 0 1 2 3 4

Uppgift 6 Skriv ett program som skriver ut heltalen mellan 5 och 36.

Uppgift 7 Gör ett program som ber användaren ange ett positivt heltal och som skriver ut summan av alla på varandra följande positiva heltal upp till det angivna talet.

Exempel 4

for k in range(5,10): print(k) 5 6 7 8 9

for k in range(3,27,5): print(k) 3 8 13 18 23

Range()-funktionen kan användas med många olika indata.

Exempelvis i range(början, slut, steg)-funktionen anges ett startvärde, ett värde som är ett heltal större än slutvärdet samt steglängd.

34

8..

Uppgift 9 Skriv ett program som skriver ut alla heltal mellan 99 och 199 och som är jämnt delbara med fem.

For-slingan kan användas i kombination med andra kommandon.

Ett exempel är listor. Elementen i en lista ska vara inne i hakparenteser.

Själva listan kan bestå av t.ex. siffror eller bokstäver.

Exempel 5

for k in [”blå”, ”röd”, ”gul”, ”grön”]: print(k) blå röd gul grön

Uppgift 10 Skriv ut listelementen genom att skriva ut hela listan. Listan = [10, ”A”, 5, ”B”] Uppgift 11 Skriv ett program som ber användaren ange en färg. Undersök med hjälp av for-slingan och if-kommandot om användarens indata finns i listan [”blå”, ”röd”, ”gul”, ”grön”]

Exempel 6

lista=["A", "B", "C", "D", "E", "F"] print(lista[3]) #skriver ut fjärde elementet i listan, alltså bokstaven D. #Märk att numreringen av elementen startar vid 0 #alltså första elementet (A) har numret 0.

35

Programmering

Uppgift 8 Skriv ett program som skriver ut heltal, börjande från 7, och som går högst till 100. Steglängden ska vara 5.

8. Programmering: While-slinga och listor Exempel 7

land = [”spader ”, ”ruter”, ”hjärter”, ”klöver”] värde = [“A”, ”2”, ”3”, ”4”, ”5”, ”6”, ”7”, ”8”, “9”, ”T”, ”J”, ”Q”, ”K”] for i in land: for j in värde: print(i,j) spader A spader 2 spader 3 … spader K ruter A ruter 2 … … klöver K

Uppgift 12 Skriv ett program med slingstruktur som skriver ut följande element i ordning. Använd ett slinga-kommando och en lista. a) A1, A2, A3, B1, B2, B3, C1, C2, C3 b) A1,B1, C1, A2, B2, C2, A3, B3, C3

Uppgifter med while-slingor

13.

Gör ett program som skriver ut ditt namn tio gånger med hjälp av en while-slinga.

14.

Gör ett program som ber användaren ange ett värde på räknaren.

Räknarens värde minskas med ett varje omgång och värdet skrivs ut tills räknaren nått värdet noll.

15.

Gör ett program som ber användaren ange ett tal k. Programmet ska multiplicera k med alla positiva heltal mindre än k och skriva ut svaret.

36

8..

a=1 b=1 c=0 räknare = 2 antalgånger = int(input("Ange ett heltal: ")) #antalgånger ska skrivas ihop så att #programmet kan läsa raden. print(a) print(b) while räknare < antalgånger: c = a + b print(c) a = b b = c räknare = räknare + 1

Uppgifter med listor

17.

Skriv ut alla listelement genom att skriva ut hela listan i lista = [10, ”A”, 5, ”B”] 18.

Gör en lista med färgerna röd, gul, blå och violett. Kalla listan farger.

Programmet skall fråga användaren vilket element i listan som ska skrivas ut och sedan skriva ut det.

19.

Listor kan adderas med addition. lista1 = [1, 2, 3] lista2 = [4, 5, 6] lista3 = lista1 + lista2 print(lista3) [1, 2, 3, 4, 5, 6 ]

37

Programmering

16.

Undersök nedanstående kod och resonera dig fram till vad programmet skriver ut om användaren matar in talet 10 i programmet. Skriv programmet och testa. Hur skulle du med ord förklara regeln för vilka tal som skrivs ut?

8. Programmering: While-slinga och listor 20.

Undersök följande program. Skriv utgående från det ett program som har en lista, som först inte innehåller något element. Lägg till fem namn i listan på basis av användarens indata. Skriv ut det tredje namnet i listan. lista = [”första”, ”andra”, ”tredje”, ”fjärde”, ”femte”] print(lista[3]) #skriver ut det fjärde elementet i listan lista.append(”sjätte”) #lägger till elementet "sjätte" till sist i listan print(lista) lista.pop(3) #avlägsnar det fjärde elementet i listan print(lista) lista.remove(”femte”) #avlägsnar elementet ”femte” print(lista)

Uppgifter med for-slingan

21.

Skriv ett program som har en lista med följande namn: Emmi, Mona, Valter, Oskar och Lennart. Skriv ut namnen på listan med hjälp av en for-slinga.

22.

Beräkna summan av talen 5, 10, 15, 20, .... Det finns totalt 120 tal i serien.

23.

Skriv ut alla tvåsiffriga tal som är jämnt delbara med 4.

Använd range-funktionen.

24.

Beräkna summan av alla tresiffriga tal som är jämnt delbara med tre genom att använda for- och range-kommandon.

38

8..

Programmering

25.

Skriv ut sjuans multiplikationstabell i enlighet med exemplet.

Tabellen kan bli så stor som användaren vill.

1x7=7 2 x 7 = 14

26.

Skriv ett program som skriver ut alla olika ”ord” som bokstäverna A, B, C, D och E kan bilda, exempelvis ACBDE eller CDAEB osv.

27.

Använd en for-slinga och skriv ut ”tabellen” .

A1 B1 …

A2 B2 … …

A7 B7 A8 B8 …

H1 H2 …

H7 H8

28.

Skriv ett program som skriver ut multiplikationerna och resultaten för talen 1-5.

1x1=1 2x1=2 3x1=3 4x1=4 5x1=5 ...

1x2=2 2x2=4 3x2=6 ...

3 x 5 = 15 4 x 5 = 20 5 x 5 = 25

39