Fy4 Kraft och rörelse blädderex

FYSIK

FY4 KRAFT OCH Rร RELSE

Schildts & Sรถderstrรถms

Heikki Lehto Jukka Maalampi Raimo Havukainen Janna Leskinen Jonas Waxlax

Schildts & Söderströms www.sets.fi

Schildts & Söderströms Första upplagan, 2017 ISBN: 978-951-52-4376-8 Redaktör för den finska upplagan: Johanna Patokoski Redaktör för den svenska upplagan: Hans Nordman Grafisk Design: Sari Jeskanen Den finska upplagans ombrytning: Tarja Heikkilä / Cosmograf Den svenska upplagans ombrytning: Jukka Iivarinen / Vitale Ay Illustrationer: Pertti Heikkilä / Cosmograf , Pekka Könönen / Pickman Oy, Eila Sinivuori, Mirja Nuutinen Bildrättigheter: s.172 © Heikki Lehto, Jukka Maalampi, Raimo Havukainen, Jaana Leskinen © Jonas Waxlax och Schildts & Söderströms

Kopieringsförbud Det här verket är en lärobok. Verket är skyddat av upphovsrättslagen (404/61).

Det är förbjudet att fotokopiera, skanna eller på annat sätt digitalt kopiera det här verket eller delar av det utan tillstånd. Kontrollera om läroanstalten har gällande licenser för fotokopiering och digitala licenser.

Mer information lämnas av Kopiosto rf www.kopiosto.fi.

Det är förbjudet att ändra verket eller delar av det.

Fondernas samarbetsgrupp som består av Svenska kulturfonden, Svenska Folkskolans Vänner, Föreningen Konstsamfundet och Lisi Wahls stiftelse för studieunderstöd har beviljat ekonomiskt stöd för utgivningen av detta läromedel.

Förord Kursboken FY4 Kraft och rörelse följer kursinnehållet enligt den nya läroplanen GLP2016. Boken presenterar innehållet i den tredje fördjupade kursen i fysik i gymnasiet. I boken behandlas växelverkan som orsak till att rörelse förändras, likformig och likformigt accelererad rörelse. Boken behandlar också Newtons lagar, olika typer av krafter, rörelseekvationen, impulslagen, kraftmoment och jämvikt i enkla fall. Boken repeterar kinetisk och potentiell energi samt tar upp de viktigaste konserverings­ lagarna inom mekaniken.

Fysik beskriver naturen och fenomen som sker i den. Det här belyser boken med begrepp, fenomen och storheter som vi också stöter på i vardagslivet. Vi vill betona att fysik är en experimentell vetenskap. I boken finns många exempel på undersökningar och laborationer som man kan utföra med enkel och billig utrustning. Kursboken innehåller också många räkneuppgifter av olika slag, som visar att vi kvantitativt kan förklara och förstå naturen.

I fysikens inspirerande tecken.

Helsingfors augusti 2017 Författarna

3

Innehåll R ÄT L I N J I G R Ö R E L S E Rörelse och dess orsaker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1 Likformig rörelse .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2 Likformig acceleration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 Momentan hastighet och acceleration . . . . . . 24 Sammanfattning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Testa vad du kan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

KRAFT Newton och Principia .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4 Växelverkan och kraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 5 Newtons första och andra lag .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 6 Kraftkomponenter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 7 Friktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 8 Lyftkraft och mediets motstånd . . . . . . . . . . . . . . . . 76 9 Kraftmoment .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 10 Stel kropp i jämvikt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

Sammanfattning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 Testa vad du kan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

4

Mittaaminen ja mallintaminen

ENERGI Energi från vind och vatten . .............................. 102 11 Arbete ....................................................... 104 12 Kinetisk energi .......................................... 112 13 Potentiell energi ........................................ 120 14 Lagen om den mekaniska energins bevarande . . ......... ....................................... 128

Sammanfattning ........................................ 136 Testa vad du kan ........................................ 137

KO L L I S I O N E R Fysikkunskaper förbättrar trafiksäkerheten ........ 138 15 Impuls och rörelsemängd .......................... 140 16 Rörelsemängdens bevarande ..................... 148

Sammanfattning ........................................ 158 Testa vad du kan ........................................ 159

BILAGOR Repetitionsuppgifter . . ....................................... 160 Gamla studentexamensuppgifter ...................... 167 Svar till uppgifterna ... ....................................... 169 Bildrättigheter ........... ....................................... 172 Register .. .................... ....................................... 174

5

»

Rätlinjig rörelse

Rörelse och dess orsaker

Det är viktigt att känna till de lagbundenheter som styr kroppars rörelser.

Inom fysiken förklaras och

v = v 0 + at beskrivs rörelser i naturen med hjälp av matematiska 1 x = v 0 t + at 2 modeller.

2

Vattenstrålens form beskrivs av vattendropparnas växelverkan med andra kroppar.

Curlingstenens rörelse är i det närmaste endimensionell.

6 Rätlinjig rörelse

Med rörelse avses förändring av läget för en kropp som en funktion av tiden. Begrepp som används då man beskriver rörelse är tid, läge, förflyttning, hastighet, fart och acceleration. Då man studerar rörelsen hos en kropp är ofta också rörelsens riktning viktig att notera.

Storheterna förflyttning, hastighet och acceleration är vektorstorheter; de har både storlek och riktning.

En rörelse kan vara likformig eller olikformig. Om en kropp befinner sig i likformig rätlinjig rörelse är kroppens hastighet alltid lika stor och lika riktad.

Vid olikformig rörelse förändras antingen storleken på kroppens hastighet eller dess rörelseriktning eller så förändras båda. Den del av fysiken som undersöker rörelse och dess förändring kallas mekanik. Mekaniken utgör en av grunderna för fysiken. De upptäckter och undersökningar inom mekaniken som gjordes av Galileo Galilei (1564–1642) och Isaac Newton (1642–1727) utgör basen som många andra delområden inom fysiken i stor utsträckning bygger på.

En kropp kan röra sig i en, två eller tre dimensioner. Rörelsen hos till exempel en cyklist kan oftast behandlas som en endimensionell rörelse. Rörelsen hos datormusen är två­ dimensionell, och en flugas flykt i ett rum är tredimensionell.

En endimensionell rörelse kallas ofta rätlinjig rörelse. I den här kursen behandlar vi främst rätlinjig rörelse.

Fvilofriktion Det är vilofriktionen som fungerar som accelererande kraft för en skoter.

Det behövs växelverkan för att en kropps rörelse ska förändras. Då racketen träffar bollen påverkar racketen bollen och bollen i sin tur racketen.

Luftmotståndet motverkar motorcykelns rörelse.

En förändring av rörelsetillståndet hos en kropp orsakas av växelverkan. Det krävs en kraft för att en kropps rörelse ska förändras. En kropp måste således vara i växelverkan med någon eller några andra kroppar för att dess rörelse ska förändras.

Växelverkan mellan två kroppar tar sig uttryck i att båda kropparna samtidigt påverkar varandra med lika stora men motsatt riktade krafter.

En kropp växelverkar vanligtvis samtidigt med flera olika kroppar. Ett exempel på det här är de krafter som verkar på en motorcykel: tyngden, stödkraften från vägytan, friktionskraften mellan däcken och vägytan, luftmotståndet och hjulens rullningsmotstånd. En förändring i rörelsetillståndet hos motorcykeln beror på totalkraften – med andra ord alla de här ovan nämnda krafterna – som verkar på den.

Om summan av alla krafter som verkar på en kropp är noll är kroppen antingen i vila eller så rör den sig med konstant hastighet.

ISS hålls i omloppsbana runt jorden tack vare gravitations­växelverkan.

7

1 Likformig rörelse ! Centrala begrepp • rätlinjig rörelse • rörelsens riktning • förflyttning, sträcka, läge • hastighet

U Undersök Luftbubbla i glasrör Fyll ett glasrör med vatten och förslut öppningen med en kork. Luta glasröret och bestäm luftbubblans hastighet. Upprepa försöket med en annan lutning på röret och bestäm på nytt luftbubblans hastighet.

Hjärtmuskeln utför en periodiskt upprepande rörelse. Blodets strömning i raka blodådror är ett exempel på en i det närmaste likformig rörelse. På bilden syns blodkärl i hjärnan; artärerna och venerna är färgade med olika färger.

I den första fysikkursen behandlades storheterna fart och hastighet. Då du kör i en kurva kan farten vara konstant trots att hastigheten hela tiden ändras. Vad är skillnaden mellan fart och hastighet?

8 Rätlinjig rörelse

Likformig rätlinjig rörelse

!

Repetera Fysik 1, s. 53–54.

I undersökningen studerade du hur en luftbubbla rör sig i ett glasrör som lutar. Det här betyder att du undersökte luftbubblans läge som en funktion av tiden. Om vi ritar in mätresultaten i ett t,x-koordinatsystem kan vi konstatera att mätpunkterna inom mätnoggrannhetens gränser ligger längs två linjer. De anpassade linjerna A och B i grafen nedan beskriver luftbubblans rörelse i de båda fallen. Den brantare linjen beskriver rörelsen hos den luftbubbla som rörde sig snabbare.

Större riktnings­ Mindre riktnings­ koefficient koefficient x (m) t (s) x (m) t (s) 0,20

3,0

0,20

4,9

0,30

7,0

0,30

10,0

0,40

10,5

0,40

15,1

0,50

14,2

0,50

20,0

0,60

17,5

0,60

25,0

m x

A

B

0,60

0,50 Δx = 0,40 m

0,40

Luftbubbla A: ∆x = x2 – x1 = 0,66 m – 0,26 m = 0,40 m

0,30 Δt = 15,0 s

∆t = t2 – t1 = 20,0 s – 5,0 s = 15,0 s.

0,20

0 0

t 5

10

15

20

25

30 s

Man får luftbubblans hastighet genom att bestämma linjens riktningskoefficient i t,x-koordinatsystemet.

I vartdera fallet rör sig luftbubblan en lika lång sträcka under samma tidsintervall. En sådan här rätlinjig rörelse kallas för likformig rörelse.

En kropp som rör sig likformigt har konstant hastighet. Likformig rörelse är den enklaste modellen som används för att beskriva en rörelse.

En helt likformig rörelse är ovanlig i naturen.

Hastigheten hos den snabbare luftbubblan A är 0,40 m v = ∆x = ≈ 0,027 m/s. ∆t 15,0 s

x x2

Likformig rätlinjig rörelse • En rätlinjig rörelse är likformig om kroppen rör sig en lika lång sträcka under lika långa tidsintervaller.

• Hastigheten är konstant vid likformig rörelse.

Δx x1 0

Δt t

0

t1

∆x = x2 – x1 ∆t = t2 – t1

t2

x − x1 • Kroppens hastighet beräknas v = ∆x = 2 , ∆t t 2 − t1 där x1 är kroppens läge vid tidpunkten t1 och x2 läget vid tidpunkten t2.

1 Likformig rörelse 9

Grafer som beskriver likformig rörelse Eftersom en kropp i likformig rörelse har konstant hastighet utgörs kroppens lägesgraf av en stigande eller fallande rät linje. Då man beskriver en rörelse måste man alltid också beakta rörelsens riktning.

Hastigheten v är en vektorstorhet. En vektorstorhet har både en storlek och en riktning.

Riktningen för en rätlinjig rörelse anges med förtecken. Man väljer en av den rätlinjiga rörelsens riktningar som positiv riktning. En kropp som rör sig i den här riktningen har en positiv hastighet. Om kroppen rör sig i motsatt riktning är dess hastighet negativ. x

x

x

x

x

t Lägesgrafen för en kropp som har positiv hastighet.

t

v

x

v

t t t Lägesgrafen för en kropp som har negativ hastighet.

v

t

t

t

t

Hastighetsgrafen för en kropp i likformig rörelse är alltid parallell med t-axeln.

Hastighetsgrafen för en kropp i likformig rörelse är alltid parallell med t-axeln. Kroppens förflyttning Δx kan beräknas genom att bestämma arean under grafen i ett t,v-koordinatsystem (grafisk integrering). Det färgade området i koordinatsystemen nedan är lika stora som den förflyttning Δx som skett under tiden Δt. v

v

v

v s = v⋅ t

∆x = v ⋅ ∆t 0 0

t ∆t

Förflyttningen för en kropp i likformig rörelse är Δx = vΔt.

0 0

t t

Om utgångstiden är noll har en kropp i likformig rörelse rört sig sträckan s = vt efter tiden t.

Om vi antar att en kropp som är i rätlinjig likformig rörelse rör sig i den positiva x-axelns riktning, kommer den sträcka s som kroppen rör sig att vara lika stor som kroppens förflyttning Δx (Δx = s). Kroppen har alltså rört sig sträckan s = vt efter tiden t.

10 Rätlinjig rörelse

Läge och sträcka x0

x

t0

t

Ofta väljs t0 = 0 s som utgångstid då man betraktar rörelsen för en kropp.

∆x x − x 0 Uttrycket v = ,=som ger oss hastigheten för en kropp som rör sig ∆t t − t0 ∆x = x − x 0 likformigt, kan skrivas v = , där x är kroppens läge vid tid∆t t − t0 punkten t och x0 är läget vid tiden t0. x − x0 , ur vilket vi kan beskriva t kroppens läge x vid tidpunkten t som x = x0 + vt.

Om t0 = 0 s blir uttrycket ovan v =

Läge och tillryggalagd sträcka vid likformig rätlinjig rörelse • Vid tidpunkten t befinner sig en kropp i läget x = x0 + vt, där x0 är läget vid t0 = 0 s och v är kroppens konstanta hastighet.

• Sträckan som kroppen rört sig efter tiden t är s = vt, där v är kroppens konstanta hastighet.

Med en rörelsebana för en kropp avses kroppens läge som en funktion av tiden. Lägesgrafen i ett t,x-koordinatsystem avbildar rörelsebanan för en kropp som befinner sig i endimensionell rörelse. Då man anger rörelsebanan för en kropp måste man välja vilken rörelseriktning som är positiv och en nollpunkt för både tiden och läget.

x

x = x0 + vt x0 0

t

0 Rörelsebanan för en kropp.

Rörelsebanan för en kropp som rör sig likformigt utgörs av en rät linje som kan uttryckas med ekvationen x = x0 + vt. I grafen till vänster är kroppens hastighet v positiv.

<F4.1.18., alas vasemmalle>

Man måste känna till kroppens läge vid olika tid­ punkter för att kunna rita kroppens rörelsebana.

Rörelsebanan anger kroppens läge som en funktion av tiden.

Kan man utgående från bilden bestämma rörelsebanan för en bisonoxe?

1 Likformig rörelse 11

E Exempel 1 Bilden visar lägesgraferna för två motorcyklister, A och B, som rör sig i motsatt riktning. Vid t0 = 0 s är avståndet mellan motorcyklarna 140 m. x

m 140

A

B

120 100 80

Bilden visar en fartmätare – inte en hastighetsmätare. Fundera på varför.

60 40 20 0

0

2

4

6

8

10

12

14

16

t s

a) Vid vilken tidpunkt är motorcyklisterna vid samma läge? b) Bestäm hastigheten för motorcyklist B? c) Framställ motorcyklist A:s rörelse i ett t,v-koordinatsystem och beräkna utgående från grafen den sträcka A rört sig på 12,0 s. Bestäm också sträckan med hjälp av lägesgrafen. Jämför dina resultat. d) Beräkna läget för B vid tidpunkten 3,5 s. e) Beräkna den sträcka B rört sig på 4,0 s.

Motorcykel B: ∆x = x2 – x1 = 0,0 m – 140,0 m = –140,0 m ∆t = t2 – t1 = 9,0 s – 0,0 s = 9,0 s.

Lösning a) Motorcyklisterna är vid samma läge vid lägesgrafernas skärningspunkt. Vi avläser tidpunkten ur grafen till t = 5,1 s. b) Vi väljer A:s rörelseriktning som positiv. Hastigheten för motorcyklist B ∆x = −140, 0 m = −15,5556 m/s ≈ −16 m/s . är vB = ∆t 9, 0 s x

m 140

A

B

120 100 80

Δx

60 40 20 0

12 Rätlinjig rörelse

Δt 0

2

4

6

8

10

12

14

16

t s

c) Hastigheten för motorcyklist A är i tidsintervallet 0,0…8,0 s ∆x 95 m − 0, 0 m

= 11, 875 m/s v= 1 = ∆t1 8, 0 s − 0, 0 s x

m 140

A

B

120

Δx2

100 Δt2

80 60

Δx1

40 20 0

Δt1 0

2

4

6

8

10

12

14

16

t s

och i tidsintervallet 8,0…12,0 s ∆x 2 128 m − 95 m 33 m v= = = = 8,25 m/s. ∆t 2 12, 0 s − 8, 0 s 4, 0 s

m x 140 B 120

Grafen som beskriver motorcyklist A:s hastighet som en funktion av tiden är: A

100 80 60

m v s 12 8 4

40 20 t 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 s Sträckan är 130 m

0

2

4

6

8

10

12

t s

Sträckan som A rört sig på 12,0 s kan beräknas genom att bestämma arean under grafen i t,v-koordinatsystemet: s = 11,875 m/s · 8,0 s + 8,25 m/s · 4,0 s = 128 m ≈ 130 m.

Om man bestämmer sträckan med hjälp av lägesgrafen får man samma resultat.

!

Läget fås också genom avläsning från t,x-grafen.

d) Läget för B vid tidpunkten 3,5 s är x = x0 + vt = 140 m + (−15,5556 m/s) ⋅ 3,5 s ≈ 86 m. e) På 4,0 s har B rört sig sträckan s = vt = | −15,5556 m/s | ⋅ 4,0 s ≈ 62 m.

Svar a) 5,1 s b) Storleken på hastigheten är 16 m/s, riktningen är motsatt A:s rörelseriktning. c) 130 m d) 86 m e) 62 m 1 Likformig rörelse 13

UPPGIFTER 1-3. En radiostyrd bil rör sig rätlinjigt på golvet.

Då bilens rörelse undersöktes med en ultraljudsgivare erhölls följande förenklade graf.

1-1. Bilden visar lägesgrafen för en kropp som rör sig rätlinjigt. Kroppens rörelseriktning i början väljs som positiv. När a) är kroppens hastighet störst b) rör sig kroppen långsammast c) står kroppen stilla d) är kroppens hastighet negativ?

m x 6 4

m x 50

2 0

40

–2

30

10 –10

2

4

6

t 8 10 12 14 16 s

–4

20 0

0

t 0

10

20

30

40

s

50

–20 –30

1-2. Grafen nedan beskriver läget som en funktion av tiden för en kropp som rör sig rätlinjigt.

Bestäm med hjälp av grafen kroppens a) förflyttning i tidsintervallet 0,0…1,0 s b) hastighet i tidsintervallet 0,0…1,0 s c) förflyttning i tidsintervallet 1,0…2,0 s d) hastighet i tidsintervallet 1,0…2,0 s e) förflyttning i tidsintervallet 0,0…3,0 s. m x 5 4 3

–6

a) Beskriv bilens rörelse. b) Hur lång sträcka har bilens rört sig i tids­ intervallet 0,0 … 10,0 s? c) Bestäm bilens hastighet i rörelsens olika skeden. d) Framställ bilens rörelse i ett t,v-koordinatsystem.

1-4. En mätapparat som mäter ljusets hastighet sänder en ljuspuls och mottar den reflekterad från en spegel. Apparaten registrerar också tidsskillnaden mellan tidpunkten då pulsen sänds och tidpunkten då den återvänder. I ett experiment ändrades spegelns avstånd (s) från mätapparaten stegvis med en meters mellanrum och tidsskillnaderna (t) mättes, och då fick man det resultat som visas i uppställningen nedan. Bestäm med hjälp av en lämplig grafisk framställning ljusets hastighet utifrån dessa mätresultat.

2

s (m)

10,00

11,00

12,00

13,00

14,00

1

t (ns)

70

79

84

92

100

s (m)

15,00

16,00

t (ns)

105

113

0

t 0

1

–1 –2 –3

14 Rätlinjig rörelse

2

3

4

s

1-5. Emma cyklar 30 minuter med den konstanta farten 3,5 m/s. Sedan vilar hon 10 minuter för att sedan cykla tillbaka till utgångsläget med den konstanta farten 3,5 m/s.

Framställ rörelsen grafiskt i ett a) t,x-koordinatsystem b) t,v-koordinatsystem.

1-11. Grafen visar hastigheten för en kropp som en funktion av tiden. Rita rörelsebanan för kroppen då dess läge vid tidpunkten 0 s är 5,0 m. m v s 10

1-6. En isbit rör sig rätlinjigt med den konstanta hastigheten 1,9 m/s. Vid tidpunkten t0 = 0 s befinner sig isbiten vid läget x0 = 2,3 m. Var befinner sig isbiten vid tidpunkten 4,5 s?

8

1-7. En leksaksbil rör sig med konstant hastighet.

Vid tidpunkten t0 = 0 s befinner sig bilen vid läget x0 = 0,35 m. Vid tidpunkten 6,1 s är dess läge 8,3 m. Leksaksbilens hastighet är a) 1,4 m/s b) 1,3 m/s c) –1,4 m/s

2

1-8. En boboll kan ha en hastighet på 150 km/h.

Hur långt från bollen måste en utespelare åtminstone vara för att hen ska hinna reagera på en annalkande boll? Reaktionstiden för en människa är ungefär 0,20 s. Luftmotståndet beaktas inte.

6 4

0

0

1

2

3

4

5

6

7

s

1-12. Grafen visar kroppens läge som en funktion av tiden. m x 6 5 4

1-9. Ett bowlingklot rör sig med konstant hastighet längs den 16,5 m långa banan mot käglorna. Bowlaren hör käglorna falla 2,4 s efter slaget. Bestäm bowlingklotets hastighet.

Ljudets hastighet i luft är ungefär 340 m/s.

1-10. Richard befinner sig 1,0 km framför Olivia.

Olivia börjar gå mot Richard med hastigheten 5,0 km/h. Samtidigt cyklar Richard iväg mot Olivia med farten 15 km/h. a) Rita Olivias och Richards rörelsebanor i samma t,x-koordinatsystem. b) Bestäm utgående från graferna var och när de träffas.

t

3 2 1

0 0

t 1

2

s

a) Ange uttrycket som beskriver kroppens läge som en funktion av tiden. b) Rita kroppens hastighetsgraf och bestäm med hjälp av grafen kroppens förflyttning i tidsintervallet 0…2,5 s.

1 Likformig rörelse 15

2 Likformig acceleration ! Centrala begrepp • acceleration • likformigt accelererad rörelse • läge • medelhastighet vid likformig acceleration

U Undersök Acceleration Placera en vagn på en lutande bana. Undersök vagnens rörelse med hjälp av en ultraljudsgivare. Släpp vagnen från banans övre ända. Ändra på banans lutning och utför försöket på nytt. Undersök lägesgrafen för vagnen. Vilka slutsatser kan du dra?

Vilken slags rörelse kan de här bilderna beskriva? Fundera på olika alternativ.

Motivera ditt svar. Vad betyder det om accelerationen är –1,5 m/s2?

16 16

Rätlinjig rörelse Mittaaminen ja mallintaminen

Likformig acceleration

Med acceleration menas att en kropps hastighet ökar, minskar eller ändrar riktning.

En hiss befinner sig i både lik­ formig rätlinjig och olikformig rätlinjig rörelse då den åker mellan våningarna.

!

Repetera Fysik 1, s. 63–66.

Vid en olikformig rätlinjig rörelse kan en kropps hastighet antingen öka (accelerationen a > 0) eller minska (a < 0). Kroppens rörelse­riktning kan också förändras till den motsatta. Storheten acceleration anger hur snabbt hastigheten förändras. Accelerationen a är en vektorstorhet och har därför både storlek och riktning. I det här kapitlet studerar vi endast rätlinjig rörelse.

Då man studerar de lägesgrafer som erhölls i undersökningen kan man konstatera att vagnens förflyttning under lika långa tidsintervaller hela tiden ökar. Det här betyder att vagnens hastighet ökar, det vill säga att vagnen är i accelererad rörelse. Ju större banans lutning är, desto snabbare växer hastigheten. v

x

Den konstanta accelerationen ∆v , där beräknas a = ∆t ∆v är hastighetsförändring och ∆t tidsförändring.

Accelerationens enhet är m/s2. t

Lägesgrafen för vagnen.

t 0 v~t Hastighetsgrafen för vagnen.

Eftersom hastighetsgrafen är en rät linje förändras vagnens hastighet lika mycket under lika långa tidsintervaller. En sådan här rörelse kallas likformigt accelererad. Vid likformig acceleration är accelerationens storlek och riktning hela tiden konstanta.

v

Δv Δt

a=

0

∆v ∆t

t

Likformig acceleration • Om hastigheten för en kropp ökar eller minskar lika mycket hela tiden är kroppens rörelse likformigt accelererad.

• Den konstanta accelerationen är a = ∆v . ∆t

2 Likformig acceleration 17

Hastigheten vid likformig acceleration Med hjälp av likformig acceleration kan man försöka beskriva den olikformiga rörelse som förekommer i naturen. Modellen är dock mycket enkel eftersom de flesta rörelser i naturen inte förändras likformigt, utan accelerationen förändras under rörelsens gång.

En metallkula som rullar längs en ränna rör sig i det närmaste lik­ formigt accelererat. v v vk v0 t t0

t

Vid likformig acceleration är kroppens medelhastighet v +v vm = 0 .

2

Om man undersöker en rörelse inom ett tillräckligt litet tidsintervall, förändras ändå rörelsen i det närmaste likformigt och då kan man använda sig av den enkla modellen som beskriver likformig acceleration.

Om till exempel luftmotståndet är litet är fallrörelsen nästan likformigt accelererad.

Om en kropp som startar från vila har konstant acceleration, bestäms dess hastighet efter tiden t med uttrycket v = at, där a är kroppens konstanta acceleration. Om kroppens hastighet vid tiden t0 = 0 s är v0, är hastigheten efter t sekunder v = v0 + at. Om accelerationen är positiv kommer kroppens hastighet att öka, och om accelerationen är negativ kommer hastigheten att minska.

Vid likformig acceleration kan man beräkna kroppens medelhastighet vm som ett medeltal av utgångshastigheten v0 och sluthastigheten v: v +v vm = 0 . Observera att det här uttrycket endast gäller om accelera2 tionen är konstant. v a

v a

v v0

v = v0 + at v0 0 0

v = v0 + at t

a) Om hastigheten och accelerationen har samma riktning vid rätlinjig rörelse ökar storleken på kroppens hastighet.

Vid likformig acceleration är en kropps medelhastighet medelvärdet av dess utgångshastighet och sluthastighet.

18 Rätlinjig rörelse

v

0 0

t

b) Om hastigheten och accelerationen är motsatt riktade minskar kroppens hastighet.

Hastigheten vid likformig acceleration • Hastigheten vid tidpunkten t för en kropp som accelererar likformigt är v = v0 + at, där v0 är hastigheten vid t0 = 0 s och a är kroppens konstanta acceleration.

• Vid likformig acceleration är kroppens medelhastighet v +v vm = 0 , 2 där v0 är utgångshastigheten och v sluthastigheten.

Läget vid likformig acceleration Vid likformig acceleration beror förändringen i läge Δx både på hastigheten vid rörelsens början och på accelerationen.

v t +a v 0 v= 1 2 at 2

v0 0

at

v0

v0 t 0

t

t

Förändringen i läget är 1 ∆x = v 0 t + at 2 2

På bilden till vänster ser vi hastighetsgrafen för en kropp. Om vi väljer utgångstiden till noll, t0 = 0 s, kommer tiden t att uttrycka hur länge rörelsen pågår. Kroppens utgångshastighet är v0. Arean mellan linjen v = v0 + at och tidsaxeln anger förändringen i kroppens läge: 1 2 1 ∆x∆=x v=0tv+0t 1+ at 2ateli eli x −xx−0 x=0 v=0tv+0t 1+ at 2at 2. eller 2 2 2 2 Kroppens läge som en funktion av tiden ges av uttrycket 1 x = x 0 + v 0t + at 2.

2

Man väljer ofta lägesaxeln så att kroppen befinner sig i läget x0 = 0 m vid utgångstiden t0 = 0 s. Då är läget vid tiden t 1 x = v 0 t + at 2 .

2

Läget vid likformig acceleration Läget vid tidpunkten t för en kropp som befinner sig i likformig

1 at 2 , 2 där x0 och v0 är läget och hastigheten vid tidpunkten t0 = 0 s och a är kroppens konstanta acceleration.

acceleration ges av x = x 0 + v 0 t +

a)

a

x x = x0 + v0t + 1 at 2 2

b)

x x = x0 + v0t + 1 at 2 2

a = konstant 0 0

t

Om accelerationen är likformig har kroppen konstant acceleration.

Grafen utgörs då av en linje som är parallell med tidsaxeln.

x0 0 0

t

x0 0 0

t

Lägesgrafen för en kropp som befinner sig i likformig acceleration utgörs av en parabel. I a-fallet är accelerationen a > 0 och i b-fallet är a < 0.

Uttrycket som ger kroppens läge beskriver inte nödvändigtvis den tillryggalagda sträckan. Om man simmar fram och tillbaka i en 25 m simbassäng har man simmat sträckan 50 m trots att förflyttningen, eller förändringen i läge, är 0 m.

2 Likformig acceleration 19

E Exempel 1 Cecilia kör bil med hastigheten 55 km/h. Hon trycker på gaspedalen och bilens hastighet ökar jämnt med accelerationen 1,9 m/s2 under 2,5 s. a) Beräkna bilens hastighet efter accelerationen. b) Hur långt rör sig bilen under accelerationen? c) Cecilia kör bil med hastigheten 55 km/h. Då hon närmar sig ett övergångsställe bromsar hon och bilen stannar efter 4,0 s. Bilens acceleration under inbromsningen var -3,8 m/s2. Hur lång var bromssträckan?

Lösning v0 = 55 km/h, a = 1,9 m/s2, ∆t = 2,5 s, ainbromsning = –3,8 m/s2 a) Accelerationen börjar vid tidpunkten t = 0 s och accelerationen slutar vid t = 2,5 s. Eftersom bilen befinner sig i likformig acceleration fås sluthastigheten

v = v 0 + at = 55 m + 1,9 m2 · 2,5 s 3, 6 s s = 20, 0278 m/s ≈ 72 km/h.

b) Bilens utgångsläge x = 0 m väljs där bilen befinner sig då accelerationen påbörjas. Efter accelerationen är bilens läge

x = v 0 t + 1 at 2 2 = 55 m · 2,5 s + 1 · 1,9 m2 · (2,5 s)2 ≈ 44 m.

3, 6 s 2 s

Eftersom det är fråga om en rätlinjig rörelse är sträckan bilen rört sig under accelerationen också 44 m.

Man kan också bestämma sträckan som bilen rört sig under accelerationen med hjälp av medelhastigheten. Då accelerationen är konstant gäller

Bromssträckan beror både på bilens hastighet före inbromsningen och på bilens retardation under inbromsningen. Håll hastighets­ begränsningarna och anpassa vid behov hastigheten nedåt enligt trafik- och vägförhållanden.

55 m/s + 20, 0278 m/s v0 + v 3, 6 ⋅ 2,5 s ≈ 44 m . t= x = vm t = 2 2

c) Bilens läge efter inbromsningen är x = v 0 t + 1 ainbromsning t 2 = 55 m · 4,0 s + 1 · (–3,8 m2 ) · (4, 0 s)2 ≈ 31m.

2 3, 6 s 2 s

Eftersom det är fråga om en rätlinjig rörelse är bromssträckan 31 m.

Svar a) 72 km/h b) 44 m c) 31 m 20 Rätlinjig rörelse

E Exempel 2 t = 0,71 s y = 2,5 m v = 0,0 m/s t = 0,60 s y = 2,4 m v = 1,1 m/s

t = 1,0 s y = 2,1 m v = –2,8 m/s

t = 0,40 s y = 2,0 m v = 3,1 m/s

Anton övar uppkast med en boboll. Då han släpper taget om bollen är bollen på 1,2 m höjd. Utgångshastigheten för bollen mättes till 7,0 m/s.

Efter hur lång tid befinner sig bollen 2,0 m ovanför utgångsläget?

Lösning v0 = 7,0 m/s, g = 9,81 m/s2 Bollens rörelse i lodrät riktning kan beskrivas som en likformig acceleration. Vi inför beteckningen y för läget (höjden) vid en viss tidpunkt. Bollens läge som en funktion av tiden är y = y 0 + v 0 t + 1 at 2 .

2 Bollen släpps vid utgångstiden t0 = 0 s och då är bollens läge y = 0,0 m.

Vi löser nu den tid som ger bollen läget y = 2,0 m.

t = 0,20 s y = 1,2 m v = 5,0 m/s

t = 1,2 s y = 1,3 m v = –4,8 m/s

1 Vi skriver ekvationen y = y 0 + v 0 t + at 2 i formen 2 1 at 2 + v t + y = y och får 0 0 2 1 at 2 + v t − y = 0 .

0 2

Den här andragradsekvationen kan vi lösa med hjälp av rotformeln. Vi får t = 0,0 s y = 0,0 m v0 = 7,0 m/s +

t = 1,4 s y = 0,19 m v = –6,7 m/s

y

−v0 ± v02 − 4 ⋅ 1 a ⋅ ( − y ) 2 t= .

1 2⋅ a 2

ax2 + bx + c = 0 x=

− b ± b 2 − 4 ac 2a

Vi väljer uppåt som positiv riktning. Accelerationen är då negativ, a = −g = −9,81 m/s2.

–

t=

−7, 0 m/s ± (7, 0 m/s)2 − 2 ⋅ ( −9, 81m/s 2 ) ⋅ ( −2, 0 m) −9, 81m/s 2

.

Ekvationen har två lösningar, t1 ≈ 0,40 s och t2 ≈ 1,0 s. t = 1,58 s y = –1,2 m v = –8,5 m/s

På bilden ser du uträknade värden för bollens läge och hastighet vid olika tidpunkter.

Den första tiden anger det ögonblick då bollen är 2,0 m ovanför utgångsläget på väg uppåt och den andra anger ögonblicket då bollen befinner sig på samma höjd men på väg nedåt.

Svar Bollen befinner sig 2,0 m ovanför utgångsläget 0,40 s och 1,0 s efter uppkastet.

2 Likformig acceleration 21

UPPGIFTER 2-1. Bilden nedan beskriver förenklat rörelsen hos en mopedbil under 14 sekunder. m s

v

10 5 0

t 0

2

4

6

8

10

12

14

s

a) Tolka grafen. b) Beräkna mopedbilens acceleration i tidsintervallen 0,0…6,0 s, 6,0…10 s och 10…14 s. c) Hur lång sträcka har mopedbilen rört sig under de här 14 sekunderna?

2-2. Under en omkörning ökar en motorcykel sin hastighet jämnt från 75 km/h till 101 km/h på 3,0 s. a) Presentera motorcykelns rörelse i ett t,v-koordinatsystem. b) Bestäm motorcykelns medelhastighet. c) Hur långt rör sig motorcykeln under den här tiden?

2-3. Vilka av följande grafer kan beskriva rörelsen hos samma kropp? x

a) x b)

t

0 0

2-4. En snöskoter startar från vila och rör sig med den konstanta accelerationen 4,0 m/s2 under 10,0 s. a) Vad är snöskoterns sluthastighet? b) Vad är snöskoterns medelhastighet? c) Hur långt rör sig snöskotern under ovannämnda tid?

c)

0 0

t

2-5. En motorcyklist, som kör med hastigheten 54 km/h, börjar köra om en framförvarande bil. Omkörningen tar 3,0 s och under den här tiden ökar motorcyklistens hastighet till 90 km/h. Anta att rörelsen är likformigt accelererad vid omkörningen. a) Beräkna motorcyklistens acceleration. b) Hur lång sträcka rör sig motorcykeln under omkörningen?

2-6. Melinda åker skoter med hastigheten 45 km/h och närmar sig en korsning där trafikljuset slår om till rött. Melinda bromsar jämnt och stannar på 4,0 s. a) Bestäm skoterns acceleration under inbromsningen. b) Hur långt rör sig skotern under inbromsningen? c) Hur långt rör sig skotern innan den stannar, då Melindas reaktionstid är 0,50 s?

2-7. Med hjälp av givare undersöktes inbromsningen för tre bilar. Undersökningen gav följande inbromsningskurvor.

v d)

a

m v s A

0 0

t

0 0

t

15

B C

5

22 Rätlinjig rörelse

0

t 0 0,3

0,9

1,5

2,1

s

a) Beskriv hur inbromsningen skett i fallen A, B och C. b) Vilken bil har den längsta och vilken den kortaste bromssträckan? c) Hur lång är den kortaste bromssträckan?

2-8. a) Härled utifrån uttrycket ∆x = vmt det uttryck som ger en kropps läge som en 1 funktion av tiden, x = x 0 + v 0t + at 2 .

2 Kroppens läge vid tidpunkten t0 = 0 s är x0. b) Vid tidpunkten t0 = 0 s befinner sig en kropp i x0 = 0 m. Om kroppen startar från vila och har konstant acceleration ges 1 kroppens läge av x = at 2 och dess 2 sluthastighet av v = at. Härled utifrån de här uttrycken det uttryck som anger kroppens sluthastighet v = 2ax .

2-11. En kula rullar nedför en lutande ränna och dess rörelse är i det närmaste likformigt accelererad. Rännan är 1,70 m lång. Kulans medelhastighet bestämdes till 1,9 m/s.

Bestäm kulans a) sluthastighet b) acceleration.

2-12. En speedskiåkare åker nedför en brant med accelerationen 5,4 m/s2 och utgångs­ hastigheten 22 m/s. Anta att accelerationen är konstant. Speedskiåkaren åker då 25 m på

a) 9,2 s b) 1,0 s c) 2,4 s d) 0,71 s.

c) Bestäm sluthastigheten för en kropp som rört sig 15 m om den startar från vila med accelerationen 8,5 m/s2.

2-9. En hotellhiss går från första våningen till tjugonde våningen på följande sätt: den första 5,0 m långa sträckan med konstant acceleration på 2,5 s, de följande 44,0 m med likformig hastighet och sedan slutsträckan med konstant retardation. Våningshöjden är 2,8 m.

Beräkna a) hissens hastighet under den likformiga rörelsen b) den tid som åtgår till hela sträckan.

2-10. Då en ny typ av tåg testkörs får tågets acceleration och retardation inte överskrida 1,1 m/s2. Tågets hastighet får inte överskrida 155 km/h. Beräkna den kortaste tid under vilken tåget kan åka den 145 km långa sträckan mellan avgångs- och ändstationen.

2-13. Vidstående graf visar hastigheten i tidsintervallet 0…9 s för en spårvagn, som bromsar in vid en hållplats. a) Rita grafen över spårvagnens acceleration. b) Hur lång är den sträcka spårvagnen tillryggalägger under inbromsningen?

[V2005/1] m v s 7 6 5 4 3 2 1 0

0

2

4

6

8

10

t s

2 Likformig acceleration 23