Matema10k - C-niveau

ud vi de Nu de 2 og . re aj vid ou er rf ed ør e te , ud ga ve

Matema10k Matematik for hf C-niveau

af Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen

Matema10k. Matematik for • ••••• C-niveau 2. udgave 2. udgave, 1. oplag, 2013 © Frydenlund og forfatterne ISBN 978-87-7118-111-1 Redaktion: Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Grafisk tilrettelæggelse: Jan Gralle/Jimmy Staal Matematiske illustrationer: Jimmy Staal Grafisk produktion: Balto, Litauen

Kopiering fra denne bog eller dele deraf er kun tilladt i overensstemmelse med overenskomst mellem Undervisningsministeriet og Copy-Dan. Enhver anden form for kopiering er uden forlagets skriftlige samtykke forbudt ifølge gældende dansk lov om ophavsret. Undtaget herfra er korte uddrag i anmeldelser.

Frydenlund Alhambravej 6 DK-1826 Frederiksberg C Tlf. 3393 2212 post@frydenlund.dk www.frydenlund.dk/gymportalen.dk Tilmeld dig forlagets nyhedsmail på www.frydenlund.dk/nyhedsservice

5 5

Indhold Indhold Introduktion . . . . . . . . . . . . . . . .

11

Om denne bog . . . . . . . . . . . .

11

Forudsætninger . . . . . . . . . . .

12

Hvordan kommer du videre? . . .

12

Bogens struktur . . . . . . . . . . .

13

Hvordan kommer man til at kunne matematik? . . . .

15

Del 1: Ligninger og tal

Hvor mange løsninger har en ligning? . . . . . . . . . . .

Hvorfor gælder ligningsreglerne?

Oversigt over indhold i del 1 . . .

Hvad skal jeg kunne? . . . . . . .

Er matematikken nyttig? . . . . .

Algebra . . . . . . . . . . . . . . .

Resultater til øvelserne . . . . . .

19

Mål med kapitlet . . . . . . . . . .

19

Hvad er en ligning? . . . . . . . . .

19

Nullet – en epokegørende opdagelse . . . . . . . . . . . . .

20

Regler ved løsning af ligninger . .

20

Hvad må jeg gøre? . . . . . . . . . .

21

Afrunding af tal . . . . . . . . . . .

23

De skjulte tegn . . . . . . . . . . . .

24

Regningsarter . . . . . . . . . . . .

25

Parenteser . . . . . . . . . . . . . .

26

Regningsarternes hierarki . . . . .

28

Eksempel på anvendelse af ligning

29

Lighedstegnet . . . . . . . . . . . .

30

Talmængder . . . . . . . . . . . . .

31

Matematikken: En bygning uden stillads? . . . . . . . . . . . .

33

Flere eksempler på løsning af ligninger . . . . . . . . . . .

34

. . . . . . .

Del 2: Procent og rente

5

Mål med kapitlet . . . . . . . . . .

Hvorfor regne med procent? . . .

Regning med procent . . . . . . . .

Procentdel ud af . . . . . . . . . . .

Procent af . . . . . . . . . . . . . .

Et redskab: fremskrivningsfaktoren At udregne procentændringer ved hjælp af fremskrivningsfaktor . . . . . . . . . .

Endnu mere om fremskrivningsfaktoren . . . . . . . . . . .

Procentændring fra kort til lang periode – og omvendt . . . . . . . .

Gennemsnitlig procentvis ændring – forskellige procenter . . .

Indekstal . . . . . . . . . . . . . . .

Renters rente . . . . . . . . . . . .

36 37 38 39 40 41 49

51 51 51 52 52 53 53

55 57

59 63 65 68

6 Kapitalfremskrivning . . . . . . . .

Beregninger med kapitalfremskrivning . . . . . . . . . . .

Hvad er logaritmer? . . . . . . . . .

At udregne n i formlen for kapitalfremskrivning . . . .

Mere avancerede økonomiske beregninger – videre arbejde Mere om F = 1 + r . . . . . . . . . .

Oversigt over indhold i del 2 . . . . Øvelser til procent og rente . . . .

Resultater til øvelserne . . . . . . .

Del 3: Geometri Mål med kapitlet . . . . . . . . . .

Geometri – historisk betragtet . . .

Vinkler . . . . . . . . . . . . . . . .

Trekanter . . . . . . . . . . . . . . .

Den vilkårlige trekant . . . . . . . .

Den ligesidede trekant . . . . . . .

Den ligebenede trekant . . . . . .

Ensvinklede trekanter . . . . . . .

Areal af trekanter . . . . . . . . . .

Den retvinklede trekant . . . . . .

Pythagoras’ sætning – om retvinklede trekanter .

Cosinus, sinus og tangens i retvinklede trekanter . . .

Når man skal udregne en sidelængde ved hjælp af cos, sin eller tan . . . . . . . . .

Når man skal udregne en vinkel .

Beregninger i ligebenede trekanter Hvad nu hvis trekanten ikke er retvinklet? . . . . . . . . . .

Hvornår skal man anvende cosinusrelation? . . . . . . .

69 70 73 73 75 76 77 78 81

83 83 83 83 84 84 84 85 85 87 88 89 91

93 95 97 98 99

Hvornår skal man anvende sinusrelation? . . . . . . . .

Trekanters areal . . . . . . . . . . .

Fem eksempler med beregninger i vilkårlige trekanter . . . . .

Geometriske beviser . . . . . . . .

Bevis: vinkelsum i trekanter . . . .

Bevis: Pythagoras’ sætning . . . . .

Definition af cosinus og sinus . . .

Bevis: formlerne med cosinus, sinus og tangens i retvinklede trekanter . . . .

Bevis: sinusrelationen . . . . . . .

Oversigt over indhold i del 3 . . . .

Hvad skal jeg kunne? . . . . . . . .

Er universet matematisk? . . . . . Øvelser til geometri . . . . . . . . .

Resultater til øvelserne . . . . . . .

Del 4: Funktioner Hvad er en variabel? . . . . . . . . . .

Mål med kapitlet . . . . . . . . .

Forskellige variable . . . . . . . .

Funktioner: sammenhænge mellem variable . . . . . . . . . .

Mål med kapitlet . . . . . . . . .

Hvad er en matematisk beskrivelse af en sammenhæng mellem variable? . . . . .

På vej mod modeller for sammenhænge . . . . . .

Ligefrem proportionalitet . . . .

Omvendt proportionalitet . . . .

At afgøre om sammenhænge er ligefrem eller omvendt proportionale . . . . . . .

99 100

101 105 106 107 110

112 113 117 120 120 121 125

127 . 129 . 129 . 129 . 133 . 133

. 133 . 135 . 137 . 138

. 139

7

Indhold

Fra regneforskrift til graf . . . . . .

Tegning af graf . . . . . . . . . . . .

Hvad skal jeg kunne? . . . . . . . . Øvelser til funktioner . . . . . . . .

Resultater til øvelserne . . . . . . .

Lineære funktioner . . . . . . . . . . . .

Mål med kapitlet . . . . . . . . . .

Kendetegn ved lineære funktioner Eksempler på grafer for lineære funktioner . . . . . . . . . .

Mere om hældningskoefficienten Lineære modeller . . . . . . . . . .

Prognose . . . . . . . . . . . . . . .

Fortolkning af konstanterne a og b Hvad er regression i matematik? .

Eksempel på lineær model . . . .

Voksende og aftagende lineære funktioner . . . . . . . . . . Ændringer over flere x-enheder . .

Skæring mellem graferne for to lineære funktioner . . . . .

Bevis: formlen for hældningskoefficienten . . . . . . . . .

Bevis: regneforskrift for lineære funktioner . . . . . . . . . .

Bevis: formlen for udregning af a .

Oversigt over indholdet i kapitlet .

Hvad skal jeg kunne? . . . . . . . .

Matematikkens Mount Everest’er . Øvelser til lineære funktioner . . .

Resultater til øvelserne . . . . . . .

Eksponentielle funktioner . . . . . . . .

Mål med kapitlet . . . . . . . . . .

Kendetegn ved eksponentielle funktioner . . . . . . . . . .

Mere om fremskrivningsfaktoren (a) . . . . . . . . . . . . . . .

Achilleus og skildpadden . . . . .

140 141 143 145 147 151 151 151 152 155 156 158 158 159 159 160 161 161 163 164 165 167 167 168 168 170 173 173 173 175 176

Mere om hvordan den eksponentielle funktion fungerer . . . . . .

Anden måde at skrive forskriften .

Hvad er en logaritmisk akse? . . .

Idéen til logaritmerne . . . . . . .

Grafer for eksponentielle funktioner . . . . . . . . . . . . . .

Eksponentielle modeller . . . . . .

Er der flere slags uendeligheder? .

Udregninger af procentændringer Det uendelige . . . . . . . . . . . .

Fordoblingskonstant . . . . . . . .

Halveringskonstant . . . . . . . . .

Beregning af fremskrivningsfaktor ud fra fordoblingseller halveringskonstant . .

Eksponentielle ligninger . . . . . .

Yderligere beviser til eksponentielle funktioner .

Bevis: formlen for udregning af a .

Bevis: formlen for fordoblingskonstanten . . . . . . . . . .

Bevis: formlen for halveringskonstanten . . . . . . . . . .

Oversigt over indholdet i kapitlet .

Hvad skal jeg kunne? . . . . . . . .

Potensregning 1 . . . . . . . . . . .

Potensregning 2 . . . . . . . . . . . Øvelser til eksponentielle funktioner . . . . . . . . . . . . .

Resultater til øvelserne . . . . . . .

Potensfunktioner . . . . . . . . . . . . .

Mål med kapitlet . . . . . . . . . .

Kendetegn ved potensfunktioner .

Mere om potensvækst . . . . . . .

Model for potenssammenhængen Eksempel på potensmodel . . . .

179 180 181 182 183 184 186 188 189 189 192

193 194 195 195 196 199 200 201 201 203 204 208 211 211 211 213 213 215

8 Procent-procent – udregning af procentændringer . . . . .

Hvordan fungerer en potensfunktion? . . . . . . . . . . . . . .

Voksende og aftagende potensfunktioner . . . . . . . . . .

Yderligere beviser vedrørende potensfunktioner . . . . . .

Bevis: formlen for udregning af a .

Bevis: potens-potens-udregning .

Bevis: grafer for potensfunktioner i dobbeltlogaritmisk koordinatsystem . . . . . .

Oversigt over indholdet i kapitlet . Øvelser til potensfunktioner . . . .

Resultater til øvelserne . . . . . . .

Logaritmefunktionen . . . . . . . .

Del 5: Statistik og stikprøver Mål med kapitlet . . . . . . . . .

Hvad er statistik? . . . . . . . . .

Statistiske redskaber . . . . . . .

Konkret eksempel på statistik: befolkningstallet på Læsø At arbejde med statistik . . . . .

Når man ikke grupperer data i intervaller . . . . . . . . .

Boksplot . . . . . . . . . . . . . .

Hvordan bestemmer man kvartilsæt for ikke-grupperet data? . . . . . . . . . . . .

At finde kvartilsæt i grupperet datamateriale . . . . . . .

Stikprøver . . . . . . . . . . . . .

Oversigt over indhold . . . . . . .

Hvad skal jeg kunne? . . . . . . .

215 217 218 219 219 220

221 224 225 228 229

233 . 233 . 233 . 233 . 234 . 244 . 245 . 246

Øvelser til statistik og stikprøver . 255 Resultater til øvelserne . . . . . . . 258

Del 6: Ubekendte og beviser

261

Ubekendte . . . . . . . . . . . . . . . .

Matematikkens bogstaver . . . .

Historien om den ubekendte . .

Historien om begrebet variabel .

Sammenfattende om ubekendte, variable, parametre m.m.

Oversigt over indhold . . . . . . .

Hvad skal jeg kunne? . . . . . . .

Beviser . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Kapitlet omhandler: . . . . . . .

Logisk tænkning og beviser . . .

Det første bevis . . . . . . . . . .

Hvorfor beviser? . . . . . . . . . .

Matematikkens begrænsning – om logikkens magt og afmagt . . . . . . . . . . .

Fermats sætning: næsten 400 år om et bevis! . . . . . . . .

Et direkte bevis . . . . . . . . . .

Computerbeviser:firefarveproblemet . . . . . . . . .

Induktionsbeviser . . . . . . . . .

Indirekte beviser . . . . . . . . .

Hvad skal jeg kunne? . . . . . . .

. . . .

263 263 265 266

. . . . . . . .

268 269 270 271 271 271 272 273

. 275 . 275 . 276 . . . .

Opgaver . 248 . . . .

251 252 254 254

Opgaver i ligninger og tal .

Vanskeligere opgaver . . . .

Opgaver i procent og rente Vanskeligere opgaver . . . .

Opgaver i geometri . . . . .

Vanskeligere opgaver . . . .

Opgaver i funktioner . . . .

277 277 280 282

283 . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

284 288 290 295 297 301 303

9

Indhold

Vanskeligere opgaver . . . . .

Opgaver i lineære funktioner Vanskeligere opgaver . . . . .

Opgaver i eksponentielle funktioner . . . . . . .

Vanskeligere opgaver . . . . .

Opgaver i potensfunktioner .

Vanskeligere opgaver . . . . .

Opgaver i statistik . . . . . . .

Vanskeligere opgaver . . . . .

Resultater til opgaver i ligninger og tal . . . .

Resultater til opgaver i procent og rente . . .

. . . 306 . . . 307 . . . 309

Resultater til opgaver i geometri . . . . . . . . . . . 334

. . . . . .

311 313 315 315 317 324

Resultater til opgaver i lineære funktioner . . . . . 340

. . . 326

Resultater til opgaver i statistik . . . . . . . . . . . . 344

. . . 329

Stikordsregister . . . . . . . . . . . . . . 348

. . . . . .

. . . . . .

Resultater til opgaver i funktioner . . . . . . . . . . 336

Resultater til opgaver i eksponentielle funktioner . 341 Resultater til opgaver i potensfunktioner . . . . . . 343

10

11

Introduktion Målene bogen er Målenemed med bogen

er:

At føre dig gennem stof fra C-niveau matematik At vise at matematikken kan anvendes

At give eksempler på matematikkens fascinerende historie At pirre din nysgerrighed

At vise at man kan gennemarbejde matematisk stof med flere forskellige ambitioner

At illustrere at matematikken er spændende

Om denne bog Denne bog er anden og opdaterede udgave af Matema10k for hf C-niveau. Vi har haft den fornøjelse at første udgave er blevet særdeles udbredt, og bogen har fået ros for at den kan læses og forstås af eleverne.

Stoffet i matematik C-niveau er blevet justeret, vi er blevet opfordret til at placere hele statistikstoffet i bogen, og vi har ønsket at få flere træningsopgaver i bogen. Derfor har vi haft behov en gennemgående opdatering af bogen.

I bogen gennemgår vi det man kalder kernepensum for Cniveau på hf i matematik. Det betyder at bogen ikke rummer alt hvad du vil støde på i undervisningen i matematik. Den tilhørende hjemmeside www.matema10k.dk indeholder en del af det supplerende stof – eller giver idéer til hvad det supplerende stof kan være. Desuden findes bogen som e-bog på www.gymportalen.dk.

Hvert kapitel i bogen er skrevet med samme opbygning, nemlig:

Først formuleres målene med kapitlet.

Dernæst gennemgås det matematiske stof.

12 I hvert kapitel er der gennemregnede eksempler, og der er øvelser med resultater.

Sidst i kapitlerne er en oversigt over de gennemgåede emner.

Kapitlerne runder af med oversigten ››Hvad skal jeg kunne?‹‹.

Undervejs i bogen står en række perspektiverende rammer.

Disse rammer søger at sætte det matematiske stof i større perspektiv. De perspektiverende rammer skal opfattes som et tilbud, og det er således ikke nødvendigt at læse dem for at forstå det faglige stof.

Bagest i bogen findes en række opgaver af to forskellige sværhedsgrader med resultater.

Facitlister til opgaverne er placeret sidst i bogen.

Forudsætninger

Den vigtigste forudsætning for at lære af denne bog er at du er villig til aktivt og selvstændigt at arbejde med stoffet. Selvom du skulle have haft dårlige oplevelser med matematikken, er bogen skrevet med den forhåbning at du får eller genopdager glæde ved at lære matematik. Vores udgangspunkt er at matematik er spændende og vedkommende.

Hvis dine matematiske forudsætninger ligger lidt fjernt for dig, skal du ikke fortvivle. Det er aldrig for sent at lære, og vi forsøger i bogen her at forklare stoffet så det kræver færrest mulige forudsætninger. Desuden finder du på den hjemmeside der hører til bogen, muligheder for at afstive og forbedre dine forudsætninger hvis du har behov for det.

Hvordan kommer du videre?

Skulle du være så heldig at stoffet falder dig meget nemt, er der flere udfordringer på den tilhørende hjemmeside. Matematikken er fuld af udfordringer og fascinationskraft.

Umiddelbart efter denne introduktion finder du afsnittet ››Hvordan kommer man til at kunne matematik?‹‹. Her giver vi input til arbejdet med matematikken.

Introduktion

Bogens struktur Bogen er inddelt i følgende seks dele:

Del 1: Ligninger og tal Del 1 rummer gennemgangen af ligninger og behandlingen af tal. Vi ser på hvordan man løser ligninger, hvordan man arbejder med parenteser og på rækkefølgen af regningsarterne. Del 1 er et fundament for resten af bogen. Derfor kan det være en fordel jævnligt at bladre tilbage til denne del.

I slutningen af del 1 findes afsnittet Algebra. Dette afsnit er en introduktion til regning med bogstaver. Ikke alle skal nødvendigvis gennemarbejde dette afsnit. Aftal med din lærer om du skal arbejde med afsnittet.

Del 2: Procent og rente I anden del behandler vi procent og rentesregning. Vi tager udgangspunkt i hvad procent er, og hvordan man regner med procent. Vi arbejder os frem til beregninger af gennemsnitlig procent samt renters rente. På nettet går vi en del videre idet større og mere komplicerede renteberegninger med fordel kan foretages i såkaldte regneark.

Del 3: Geometri I del 3 gennemgår vi geometri. Vi ser mest på retvinklede trekanter og såkaldte vilkårlige trekanter – og de beregninger der knytter sig til dem. Vi omtaler formler med cosinus, sinus og tangens.

Del 4: Funktioner Del 4 er en central del i pensum. Den drejer sig om sammenhænge mellem variable. Selve tankegangen er vigtig når man skal beskrive verden ved hjælp af matematikken. Del 4 består af fem kapitler. Vi indleder med at redegøre for hvad variable er, herefter forklarer vi generelt om ››sammenhænge‹‹ og ››funktioner‹‹. Dernæst fortsætter vi med forskellige vigtige typer af funktioner: lineære funktioner, eksponentielle funktioner og potensfunktioner.

I slutningen af del 4 er afsnittet Logaritmefunktionen. Det er ikke nødvendigt for alle at gennemarbejde dette afsnit. Aftal med din lærer om du skal gennemarbejde afsnittet.

13

14 Del 5: Statistik og stikprøver Del 5 omhandler hvordan man kan bearbejde, håndtere og fortolke datamateriale, og vi fremlægger kort hvordan man grundlæggende behandler råt datamateriale ved hjælp af diverse redskaber bl.a. histogrammer, sumkurve, kvartilsæt og boksplot. Desuden indeholder del 5 en introduktion til stikprøver.

Del 6: Ubekendte og beviser Del 6 skiller sig ud i forhold til de andre dele. I første kapitel i del 6 går vi lidt bagom de øvrige kapitler ved at se mere overordnet på hvad ubekendte er. I matematikken bruger vi dem på forskellig måde afhængigt af emne. Dette kapitel kan inddrages i forbindelse med del 1 eller sammen med del 4.

Det andet kapitel i del 6 behandler hvad matematiske beviser er. Hvad skal vi med beviser? Er der forskellige typer? Kan alting i matematikken bevises? Dette kapitel kan med fordel inddrages når holdet vælger at fokusere på et bevis.

Opgaver, facitliste og stikordsregister I slutningen af bogen finder du opgaverne til bogens dele, en facitliste til opgaverne og et stikordsregister.

En appetitvækker Vi kan ikke alle have fabelagtige naturlige evner som matematikere. Vi må være beskedne. Det fortælles eksempelvis at det indiske naturtalent i matematik Ramanujan lå meget syg på hospitalet og fik besøg af sin gode ven, matematikeren Hardy. Hardy kom med taxi. Han sagde som det første uden at hilse: ››Jeg tror nummeret på min taxi var 1729. Det forekom mig at være et kedeligt tal‹‹. Hertil svarede Ramanujan: ››Nej, Hardy! Nej, Hardy! Det er et meget interessant tal. Det er det mindste tal der kan udtrykkes som summen af to kubiktal på

to forskellige måder‹‹.

Hvis man får at vide at f.eks. 8 er et kubiktal da det kan skrives som 2 · 2 · 2 (altså et tal ganget med sig selv 3 gange), kan de fleste med lidt hjælp forstå hvad Ramanujan påstår og tjekke på lommeregneren: 13 + 123 = 1 + 1728 = 1729 og at 93 + 103 = 729 + 1000 = 1729

93 + 103 = 729 + 1000 = 1729

fortsættes ...

15

Introduktion

Det var altså det der lå i at skrive 1729 som ››summen af to kubiktal på to forskellige måder‹‹.

Dette kan man måske nok forstå, men at kunne fyre replikken af fra hoften – som Ramanujan – er uopnåeligt! Så fabelagtig en matematisk intuition kan vi ikke alle have.

Hvad vil vi da med niveau-C i matematik?

Først og fremmest vil vi gerne give dig bare en lille følelse af glæde og morskab ved matematik. En hel del mennesker har dårlige oplevelser med matematikken. Men matematik er et nyttigt redskab i mange sammenhænge, kendskab til matematik er en vigtig kompetence at have, og så er matematikken vidunderlig dyb og næsten æstetisk eller smuk når det rigtig går højt.

Heldigvis skal vi ikke i billedkunsten selv male de smukke malerier for at kunne betrag-

te dem, og heldigvis skal vi da heller ikke selv skabe matematikken fra grunden for at kunne bruge den, men vi kan kigge over skulderen.

Så kort sagt håber vi at kunne begejstre lidt og vække til eftertanke mens du bliver ført gennem det matematiske stof.

Vi har forsøgt at skrive bogen i et forståeligt sprog, men modtager gerne kommentarer og gode råd på matema10k@frydenlund.dk. Ligesom den store naturvidenskabsmand Galilei i 1600tallet skrev på italiensk for at nå ud til mange, kan vi som Galilei sige: ›› ... også mennesker, hvis arbejdsområde ligger fjernt fra den traditionelle lærdom, skal kunne se, at på samme måde som naturen har givet dem øjne til at betragte sine frembringelser, har den også givet dem evner til at fatte og forstå‹‹.

God fornøjelse med læsningen.

Hvordan kommer man til at kunne matematik?

Abstrakt og konkret Hvad vil det sige at man kan noget matematik? Dette er et meget vanskeligt spørgsmål at svare på, og der er ikke noget entydigt svar. Man kan sige at der er forskellige lag i en forståelse.

Hvordan vi kommer til at forstå matematik, kommer an på hvordan vores hoved er indrettet. Nogle kommer bedst til at forstå matematik ved at arbejde abstrakt med stoffet, men de fleste kommer til at forstå matematik ved først at regne med konkrete eksempler – i hvert fald her på dette niveau.

Nogle er gode til at regne, men tænker ikke så meget over hvorfor man gør som man gør. For nogle er det afgørende at man kan se hvad matematikken skal anvendes til. Andre ønsker hele tiden at forstå sammenhængene – at betragte matematikken abstrakt.

For mange hjælper det på forståelsen hvis man kan se noget visualiseret, dvs. at der skabes et grafisk billede af stoffet.

I denne matematikbog har vi haft som mål først at fremlægge

16 stof så konkret som muligt, derefter kan man så vælge hvor generelt og abstrakt man ønsker at gøre det. Vi tror på at vi møder de fleste elevers behov på denne måde.

Dette er imidlertid et brud på en lang matematisk tradition hvor undervisningsbøger har haft udgangspunkt i beviser. Vi håber at du som læser fornøjes af – eller blot accepterer – at vi i bogen her tager udgangspunkt i konkrete eksempler og indimellem formulerer os uformelt. Desuden håber vi at dette konkrete udgangspunkt baner vejen for at flere af jer læsere kommer videre i matematikken og udfordres så langt I ønsker det.

Lære- og læseteknik At lære matematik kræver at man som elev overvejer hvordan man bedst lærer. Desuden skal man sørge for at vælge at arbejde med matematikken så man når længst i forståelsen. Dette kræver meget af den enkelte kursist eller elev. Spørg evt. din lærer for at få vejledning i hvordan du får afklaret hvordan du bedst lærer matematik. Det er også meget vigtigt at tale med andre kursister eller elever om det.

En væsentlig del af hvordan man lærer matematik, er hvordan man læser en matematisk tekst. Det drejer sig om at være opmærksom på hvordan man læser på lektier f.eks. i denne bog.

At læse matematik er ikke som at læse en roman. En matematisk tekst er langt mere fortættet og kan i højere grad sammenlignes med at læse et vanskeligt digt.

Før du læser i bogen, skal du imidlertid altid gøre dig klart hvorfor du skal læse i bogen. Hvis du er i tvivl, så spørg din lærer.

Vi kan give følgende tips:

Når du skal læse på matematik, bør du før du begynder med at læse, være opmærksom på at det vil kræve tid. Afsæt den fornødne tid!

Skriv ned på et papir ved siden af bogen hvad du synes der er det væsentlige indhold i hvad du læser.

Introduktion

Accepter at du ofte skal læse et afsnit flere gange for at få en forståelse. Gentagelse er en vigtig faktor i læring.

Stil dig selv følgende spørgsmål når du er færdig med at læse lektien:

Hvad er det væsentligste i lektien?

Hvad skal du være i stand til at kunne gøre efter at have læst Hvad forstår du ikke? teksten?

Hvad skal der til?

Husk at tålmodighed er en væsentlig faktor når du lærer matematik. Ingen kan forvente at alle forstår noget matematisk stof blot man ser det én gang. Ofte opnår man forståelse når man har arbejdet med stoffet i et stykke tid – og gerne arbejdet med det på forskellige måder.

Vi kan nævne følgende væsentlige elementer i at lære matematik:

tålmodighed gentagelser

at få stof forklaret på forskellige måder selvstændigt arbejde med stoffet

bevidsthed om hvordan man læser en matematisk tekst (f.eks. bogen her)

forståelse for at matematik kommer ikke af sig selv – der skal ofte hårdt arbejde til.

For nogle er matematik frustrerende at lære. Det kan være vanskeligt at acceptere at man i et stykke tid ikke forstår noget, men så lige pludselig – ofte uvist hvorfor – er det indlysende. Derefter forstår man ikke længere hvorfor man ikke forstod det før!

17

18 Samarbejde En del af at lære matematik er at samarbejde med andre. Der er meget givende at skulle forklare til andre hvad man ikke forstår.

Det gode er imidlertid at man også bliver bedre til matematik af at forklare hvad man har forstået. Dermed er der et glimrende grundlag for et godt og udbytterigt samarbejde i matematik!

1. Ligninger Del 1: Ligninger og talMål med kapitlet og tal Mål med kapitlet

19

Målene med dette kapitel er at illustrere hvordan man løser ligninger Målene med dette kapitel er at give vejledning og gode råd til hvordan man

løser ligninger at illustrere hvordan man løser ligninger at forklare hvordan tal kan opdeles i forskellige at give vejledning og gode råd til hvordan man løser typerligninger af tal. 





at forklare hvordan tal kan opdeles i forskellige typer af tal.

Ligninger er et grundlæggende redskab i matematik, og det er i store dele af matematik nødvendigt

Ligninger er et grundlæggende redskab i matematik, og det er i at kunne løse ligninger. At kunne løse ligninger store dele af matematik nødvendigt at kunne løse ligninger. At kræver træning, og derfor findes der en hel del opkunne løse ligninger kræver træning, og derfor findes der en hel gaver og øvelser i bogen og på hjemmesiden. del opgaver og øvelser i bogen og på hjemmesiden.

Hvad er en ligning?

En ligning er f.eks. 4 · x − 8 = 5 − x.

I ligninger går det ud på at bestemme en ubekendt der som regel benævnes x. Vi gennemgår i dette kapitel metoder til at bestemme x. Vi finder groft sagt x ved at ››isolere‹‹ det på den ene side af lighedstegnet, dvs. vi omformer skridt for skridt ligningen så x til sidst står isoleret (alene) tilbage på den ene side af lighedstegnet.

Lad os se på ligningen: x − 1 = 12 Dette er en påstand der kan være sand eller falsk afhængigt af hvilken værdi x har (et andet ord for ››påstand‹‹ er i matematikken ››udsagn‹‹). Hvis vi indsætter 15 i stedet for x, står der: 14 = 12 hvilket er falsk (også kaldet usandt). Hvis vi indsætter 13 på x’s plads, står der: 12 = 12 hvilket er sandt.

En ligning har følgende kendetegn: Der optræder et lighedstegn

Der står et udtryk både på venstre og højre side af lighedstegnet

20 Der indgår en ubekendt (et tal) – ofte benævnt x

Følgende tre eksempler er eksempler på ligninger: x + 1 = 20

0, 25 · x = 3

6 · x = 30 − 4 · x

At løse en ligning vil sige at bestemme den eller de x’er der gør ligningen til en sand påstand. I ligningen på forrige side kan man nok gætte sig til løsningen. Vi kan gøre prøve og indsætte 13 på x’s plads i ligningen: 13−1 = 12. Dette er sandt, og det bekræfter vores gæt på at 13 er en løsning.

Vi vil videre i kapitlet fremlægge de regneregler og teknikker der gør at vi kan løse ligninger lidt nemmere end ved blot at gætte på en løsning.

Nullet – en epokegørende opdagelse Meget matematik handler om abstraktion, men tallet 0 kræver en særlig abstraktion. Derfor er det heller ikke overraskende at tallet 0 først sent er kommet ind i vores talsystem. Hvorfor have et tal for noget der ikke er? Kan man ikke bare lade være med at skrive noget?

Hertil kan vi svare at vi i vores talsystem har behov for nullet. Vi skelner f.eks. 8 fra 80 og 800 ved hjælp af nullerne.

I Europa fik vi først nullet i renæssancen; først i år 1600 var tallet en realitet i den europæiske

kultur. Andre steder var nullet i brug meget før.

Den dag i dag volder nullet problemer. Man skal således huske at hvis man til en ligning får løsningen x = 0, ja, så er der en løsning, nemlig tallet nul. Det er fejlagtigt at sige at der ikke er nogen løsning!

På flere måder har nullet en særstilling. Man må ikke bare gange med nul på begge sider af en ligning. Når man ganger nul med et vilkårligt tal, får man altid nul. Endelig er det jo ikke tilladt at dividere med nul.

Regler ved løsning af ligninger En række tal fra det indiske Bakhshal-­ manuskript fra måske 300-tallet. Foto: Wikepedia

For løsning af ligninger findes en række ››spilleregler‹‹. ››Spillereglerne‹‹ gør at vi kan ændre på ligningerne uden at ændre på hvilke x’er der er løsninger til ligningen. Vi omformer ligningen så vi kan nå frem til at bestemme hvilket x der er løsning.

Vi vil anbefale at du fokuserer på at lære regnereglerne (››spillereglerne‹‹): Hvad må jeg gøre? Gem den relevante overvejelse: Hvorfor gælder reglerne? til sidst i kapitlet.

21

1. Ligninger og tal

Hvad må jeg gøre?

Regler af af ligninger Reglerfor forløsning løsning ligninger Regel 1

Regel 3

Man må lægge samme tal til på begge sider af lighedstegnet.

Man må gange med samme tal på begge sider af lighedstegnet (dog må man ikke gange med 0).

Regel 2

Regel 4

Man må trække samme tal fra på begge sider af lighedstegnet.

Man må dividere med samme tal på begge sider af lighedstegnet (dog må man ikke dividere med 0).

Mange har behov for en mere direkte formulering af reglerne.

Derfor formulerer vi her regnereglerne på en anden måde:

Regler af af ligninger – en–genvej Reglerfor forløsning løsning ligninger en genvej Løst sagt

Regel 3

Man må flytte et tal over på den anden side af lighedstegnet hvis man ændrer til modsatte regningsart (dvs. ændrer plus til minus, minus til plus, gange til division, division til gange).

I ligningen x−1 4 = 3 kan man flytte 4 over på den anden side af lighedstegnet hvis man ændrer regningsarten fra division til gange. Ligningen omformes derfor til: x − 1 = 3 · 4

Regel 1

Regel 4

I ligningen x − 1 = 12 kan man således flytte 1 over på den anden side af lighedstegnet hvis man ændrer regningsarten fra minus til plus.

Ligningen omformes altså til: x = 12 + 1

I ligningen 6 · x = 30 kan man flytte 6 over på den anden side af lighedstegnet hvis man ændrer regningsarten fra gange til division. Ligningen omformes altså til:

Regel 2 I ligningen x + 2 = 20 kan man flytte 2 over på den anden side af lighedstegnet hvis man ændrer regningsarten fra plus til minus. Ligningen omformes altså til: x = 20 − 2

x=

30 6

En lille advarsel Det er afgørende at man er opmærksom på hvilken regningsart der er i spil, inden man ››flytter‹‹.

I regel 3 bliver ››divideret med 4‹‹ på venstresiden til ››ganget med 4‹‹ på højresiden. Bemærk at 4 ikke ændrer fortegn.

22 Eksempel 1: Brug af regel 1 I ligningen x − 1 = 12 lægger vi 1 til på begge sider af lighedstegnet: x − 1 + 1 = 12 + 1.

Ligningen x − 1 = 12 har da ifølge regel 1 samme løsning som x − 1 + 1 = 12 + 1.

Så kan vi se at ligningen x − 1 + 1 = 12 + 1 har samme løsning som ligningen x = 13. Dermed har vi løsningen.

Fidusen er her at ved at lægge én til på begge sider, så kommer x til at stå alene på den ene side af lighedstegnet, og vi har nået målet at finde x, dvs. løsningen.

Eksempel 2: Brug af regel 2 I ligningen x + 1 = 20 trækker vi 1 fra på begge sider af lighedstegnet: x + 1 − 1 = 20 − 1.

Ligningen x + 1 = 20 har da ifølge regel 2 samme løsning som x + 1 − 1 = 20 − 1.

Så kan vi se at ligningen x + 1 − 1 = 20 − 1 har samme løsning som ligningen x = 19. Altså er løsningen x = 19.

Fidusen ved at trække én fra på begge sider er at x kommer til at stå alene på den ene side af lighedstegnet.

Eksempel 3: Brug af regel 3 I ligningen 0, 25 · x = 3 er det smart at gange med 4 på begge sider af lighedstegnet fordi 4 · 0, 25 = 1:

4 · 0,25 · x = 4 · 3

4 · 0, 25 · x = 4 · 3 Ligningen 0, 25 · x = 3 har da ifølge regel 3 samme løsning som 4 · 0, 25 · x = 4 · 3.

Dermed har ligningen 4 · 0, 25 · x = 4 · 3 samme løsning som ligningen 1 · x = 12. Vi har derfor løsningen x = 12 fordi 1 · x er det samme som x (se side 24 om de skjulte tegn).

Eksempel 4: Brug af regel 4 I ligningen 6 · x = 30 dividerer vi med 6 på begge sider af lighedstegnet: 6 · x 30 = 6 6

23

1. Ligninger og tal

Ligningen 6 · x = 30 har da ifølge regel 4 samme løsning som 6 · x 30 = 6 6 30 Men vi ser at ligningen 6·x 6 = 6 har samme løsning som ligningen x = 5, og altså er x = 5 løsningen.

Ligningsreglerne kan man anvende så mange gange man vil på en ligning. Men hvilke regler skal man præcis bruge i en given opgave for at kunne finde løsningen? Det ser vi på senere i kapitlet. Vi skal nemlig først se på hvordan man håndterer parenteser, rækkefølgen af udregninger m.m.

På s. 34 står flere eksempler på hvordan man løser ligninger.

Afrunding af tal Hvordan gør man?

Hvor mange decimaler skal der være?

Når man skal afrunde tal, er der følgende regel: Skal man afrunde et tal til én decimal, betragter man anden decimal: Er anden decimal 5 eller større, runder man op. Er den 4 eller mindre, runder man ned.

Det er naturligt at spekulere over hvor mange decimaler man skal medtage i sine beregninger og angive i resultaterne, men det er ofte vanskeligt at afgøre. Dog er det en hovedregel at man først skal runde af når man er ved resultatet.

Mellemregninger bør ikke afrundes.

Mellemregninger skal derfor lagres i lommeregneren. Hvis man skriver dem op i en besvarelse, bør man skrive at man regner videre med ikke-afrundet værdi.

Når det drejer sig om kroner og øre, er reglen for antal decimaler indlysende fordi én øre er én hundrededel krone – derfor skal der altid være to decimaler på et beløb angivet i kroner og øre, f.eks. 427, 37 kr.

I andre tilfælde kommer det an på en vurdering – og det er det vanskelige. Generelt kan man dog sige at man ikke kan angive et resultat med større nøjagtighed end man har fået oplysningerne.

Eksempler hvor vi ønsker én decimal: 2, 376 bliver til 2, 4 (fordi den anden decimal er 7 der er større end 5).

2, 349 bliver til 2, 3 (da anden decimal, 4, er mindre end 5; bemærk at man ikke ser på tredje decimal).

30, 3501 bliver til 30, 4 (fordi anden decimal er 5).

2, 9915 bliver til 3, 0 (da anden decimal er større end 5, og fordi første decimal er 9, runder vi den op til 10, dvs. at det afrundede tal bliver 3, 0) Skal man tilsvarende afrunde til tre decimaler, ser man på fjerde decimal – og gør tilsvarende.

fortsættes ...

24 Hvor galt kan det gå?

Det mest præcise er at samle indtastningen af opgavens tal på lommeregneren til én sekvens – derved undgår man at afrunde mellemregninger.

Det gælder i øvrigt at foretager man regneoperationer med forskellige afrundede tal, vil fejlen man derved begår, afhængige af hvilke regneoperationer man bruger: om man ganger, lægger sammen eller andet.

Omtrentlighedens verden?

Er verden i sig selv fastlagt med helt præcise mål af længder og vægt m.m.? Man skulle vel tro at f.eks. et atom har en helt præcis diameter? Dette spørgsmål viser sig at være fantastisk kompliceret at svare på. Den moderne fysik svarer os at når man måler f.eks. en lille partikels hastighed og position, så kan man ikke samtidigt fuldstændig præcis angive begge størrelser!

Når man måler på de allermindste størrelser i naturen, er det simpelthen forbundet med en vis principiel begrænsning i præcisionen. Vi kan aldrig nå ud over denne med bedre instrumenter (spørg evt. en fysiklærer om ››Heisenbergs usikkerhedsrelation››).

Om verden i sig selv er upræcis – uafhængigt af målingen – fører for vidt at overveje her.

Vi skal huske på at det ikke altid har forekommet indlysende at matematikken er et centralt redskab i beskrivelsen af verden. Selv det at begynde at behandle det jordiske som noget man kunne underkaste matematikkens strenge præcision, kræver at man har instrumenter af en vis kvalitet. Her spillede kikkerten og uret i sin tid en vigtig rolle. Men centralt var det at man fik ideen at ikke kun tankens perfekte størrelser kunne være matematikkens genstande, Jorden kunne også.

De skjulte tegn Flere ting i matematik er underforstået. Hvis man ikke har kendskab til disse ting, kan man ikke ››knække koden‹‹, og matematik fremstår uforståeligt. Vi har her en liste over de grundlæggende skjulte tegn:

Mellem et helt tal og en brøk undlader man som regel at skrive

De manglende plus-tegn plus:

1 1 4 betyder 4 + 2 2

Før et tal der er positivt, skriver man aldrig plus: 67 betyder + 67