คณิตซูเปอร์โมเดล

BANA NA

ดร. บัญชา ธนบุญสมบัติ

ม� พด ดี แตง หนงั สอื ล ม ห า ลงิ พ ยใจ มแี ง ม

มุ อ

กุ สน ะไร

คี่ น ? ก ว

าแล �ข ม น

ติ ศาสตรข องเอสเชอร จ ณ ค ะ ตั รุ สั กล ศลิ ป ขอ ิติ ” งแ ม

ลนิ งค ฟร

สนกุ กบั ผลกึ หมิ ะ สนกุ กบั “กล อ ง 4

ให พ�มพ แค คำเดียว กี่ป จะเสร�จเนี่ย

ดร. บัญชา ธน บุญสมบัติ มากินมันฝรั่งทอด อย างเป นคณิตศาสตร กันเถอะ 0'

A

B'

0

A'

FOCAL ARC

B

ราคา 170 บาท

ISBN 978-616-7767-39-0

WEST

170.-

หมวดว�ทยาศาสตร

EAST

นิ เรว� แคไ หน ? โ ล ก นมี้ คี เสารเ ด น ไดโน เ ค ยเก ดิ

M i n d & C r e a t i v i t y

4

จากผู้เขียน วิธีการหนึ่งที่มักจะช่วยให้เราเข้าใจสิ่งต่าง ๆ ได้คมชัดยิ่งขึ้น ได้แก่ การสร้างแบบจ�ำลองที่บรรจุแก่นสาระส�ำคัญของสิ่งนั้นเอาไว้ ทั้งนี้ หากเราเข้าใจหลักคิดและวิธคี ำ� นวณ ก็จะช่วยให้เราตีความผลลัพธ์ ได้อย่างถูกต้องหรือใกล้เคียงความเป็นจริงที่สุด

หนังสือเล่มนี้น�ำเสนอแบบจ�ำลองซึ่งใช้คณิตศาสตร์ในการ อธิบายหรือคาดการณ์ปรากฏการณ์ต่าง ๆ บางเรื่องแม้ดูเหมือน ว่าไกลตัว แต่รไู้ ว้กส็ นุกดี และหากคุณผูอ้ า่ นได้เห็นมุมมองใหม่ ๆ ที่ท�ำให้ฉุกคิด หรือถึงขนาดน�ำวิธีคิดหรือผลลัพธ์ไปประยุกต์ใช้ ในบริบทอื่น ๆ ผมก็จะยินดีอย่างที่สุดครับ บัญชา ธนบุญสมบัติ ศุกร์ 18 ตุลาคม 2556

AW��������.indd 4

19/3/2014 18:02

สาร บัญ มิติพิศวงของเอสเชอร์ 7 จัตุรัสกลของแฟรงคลิน 17 ลิงจิ้มดีดมั่ว ๆ จะเขียนหนังสือเสร็จเมื่อไร ?

22 แง่มุมสนุก ๆ ใน “ลมหายใจหนึ่งเฮือก” 28 ภูเขาสูงสุดได้แค่ไหน ใครรู้บ้าง ?

33 คิดเรียบง่าย...สไตล์สองอัจฉริยะ 40 รู้ได้อย่างไรว่าไดโนเสาร์เคลื่อนที่เร็วแค่ไหน ?

49 น�้ำไหลวนลงอ่าง...หมุนทางเดียวกับพายุหมุนเขตร้อนจริงหรือ ? 56 ไม่มีวันที่ 3-13 กันยายน ค.ศ. 1752 ในปฏิทินอังกฤษ ! 61 โลกจะมีคนมากแค่ไหน พยากรณ์ได้อย่างไร ?

66 โลกนี้มีคนเคยเกิดขึ้นมาแล้วกี่คน ?

71 ก�ำเนิดมาตราริกเตอร์ 80 รากที่ 3 ของ 2 มาได้อย่างไร...หลากหลายมิติ 86 สนุกกับผลึกหิมะ 92 โอริงามิกับการแบ่งสัดส่วนทางคณิตศาสตร์ 100 ไฮพาร์...พื้นผิวอัศจรรย์ 105 สนุกกับ “กล่อง 4 มิติ” 115 125 ดัชนี

AW��������.indd 5

19/3/2014 18:02

คณิตซูเปอร์ โมเดล ดร. บัญชา ธนบุญสมบัติ

AW��������.indd 6

19/3/2014 18:02

7

ค ณิ ต ซู เ ป อ ร์ โ ม เ ด ล

มิติพิศวง ของเอสเชอร์

Encounter (ค.ศ. 1944)

หากสุ่มถามนักคณิตศาสตร์ว่า ผลงานของศิลปินคนใดที่ซุกซ่อน แง่มมุ ทางคณิตศาสตร์เอาไว้อย่างแยบยล ค�ำตอบทีเ่ ราน่าจะได้รบั ในอันดับต้น ๆ ก็คือ เมาริทส์ คอร์เนลิส เอสเชอร์ (Maurits Cornelis Escher) หรือที่มักเรียกย่อ ๆ ว่า M. C. Escher

ผลงานที่ถือว่าเป็นเอกลักษณ์โดดเด่นของเอสเชอร์ ได้แก่ ภาพในลักษณะกระเบื้องปูพื้น (tessellation) คือเป็นภาพที่ ประกอบด้วยหน่วยย่อยคล้าย ๆ กระเบือ้ ง โดย “กระเบือ้ ง” แต่ละ แผ่นมีลวดลายซึ่งต่อกันสนิทกับแผ่นข้าง ๆ เกิดเป็นภาพรวมที่มี ความหมายชัดเจน ลวดลายที่เอสเชอร์ออกแบบมักเป็นสัตว์ต่าง ๆ

AW��������.indd 7

19/3/2014 18:02

M i n d & C r e a t i v i t y

8

เอสเชอร์ใน ค.ศ. 1967

เช่น ปลา นก แมลง แต่กม็ ลี วดลายอืน่ ๆ เช่น ดอกไม้ คนขีม่ า้ ลายเรขาคณิต เป็นต้น

ประวัติในวัยเด็กระบุว่า เอสเชอร์ชอบจัดระเบียบรูปทรง เรขาคณิตเป็นทุนเดิมอยู่แล้ว ต่อมาเมื่อมีความรู้และทักษะทาง ศิลปะก็ได้สร้างผลงานแนวนี้ไว้สามชิ้นในช่วง ค.ศ. 1920-1926

จุ ด หั ก เหส�ำ คั ญ ในชี วิ ต ของเอสเชอร์ คื อ การที่ เ ขาได้ เดินทางไปเยือนปราสาทอัลฮัมบรา (Alhambra) ในเมืองกรา- นาดา ประเทศสเปน เมือ่ ค.ศ. 1922 ปราสาทแห่งนีเ้ ป็นสุดยอด ผลงานของพวกแขกมัวร์ซงึ่ สร้างขึน้ ในช่วง ค.ศ. 1238-1391 โดย สร้างขึน้ จากแรงบันดาลใจในเรือ่ งสรวงสวรรค์จากมหาคัมภีรอ์ ลั กุร- อาน

ลวดลายเรขาคณิตบนผนังโมเสกในปราสาทอัลฮัมบราท�ำให้ เอสเชอร์ทึ่ง โดยเขาได้สเกตช์ลวดลายบางแบบเอาไว้ ต่อมา เอสเชอร์ได้กล่าวถึงการเดินทางครั้งนั้นว่า “เป็นแหล่งสร้างแรง บันดาลใจมากที่สุดเท่าที่ผมเคยพบ”

AW��������.indd 8

19/3/2014 18:02

9

ค ณิ ต ซู เ ป อ ร์ โ ม เ ด ล

ปราสาทอัลฮัมบราในยามค�่ำคืน

ภาพสเกตช์ลวดลาย บนผนังปราสาทอัลฮัมบราโดยเอสเชอร์

เอสเชอร์ยังโชคดีที่ได้เรียนรู้แนวคิดทางคณิตศาสตร์ที่เรียก ว่า กรุ๊ปสมมาตรบนระนาบแบน (plane symmetry group) จากการได้อ่านบทความวิชาการของ George Pólya บทความ นี้พี่ชายคนหนึ่งของเอสเชอร์ ชื่อ เบเรนด์ (Berend) ส่งมาให้ใน ค.ศ. 1937

เมื่อมีทั้งฝีมือเป็นทุนเดิม มีแรงบันดาลใจช่วยจุดประกาย และมีความรูว้ ชิ าการเป็นแรงเสริม เอสเชอร์กส็ ามารถสร้างผลงาน

AW��������.indd 9

19/3/2014 18:02

M i n d & C r e a t i v i t y

48

ขุมทรัพย์ทางปัญญา

ขอแนะน�ำแหล่งข้อมูลต่อไปนี้ http://www.lanl.gov/history/atomicbomb/trinity.s html (เอกสาร My Observations During the Explosion at Trinity on July 16, 1945 เขียนโดย Enrico Fermi ต้นฉบับในรูปแบบ pdf - เลือก RELATED READING ด้านขวาในชื่อ Enrico Fermi’s Observations at Trinity) http://www2.vo.lu/homepages/geko/atom/report.htm และ http://www.atomicarchive.com/Docs/Trinity/Fermi.shtml (เอกสาร My Observations During the Explosion at Trinity on July 16, 1945 เขียนโดย Enrico Fermi ต้นฉบับในรูปแบบ html) http://www.math.utah.edu/~zajac/BlastRadius.pdf (บท ความ Estimate of the energy released in the first Atomic Bomb explosion ในรูปแบบ pdf) http://www.deas.harvard.edu/brenner/taylor/physic_today/ taylor.htm (ประวัติและผลงานของ G. I. Taylor) http://www.life.com/search/?type=images&q0=trinity+ 1945 (ภาพจากนิตยสาร Life แสดงการระเบิดทีท่ รินติ ใี น ค.ศ. 1945) หนังสือ The Fermi Solution : Essays on Science เขียนโดย Hans Christian von Baeyer จัดพิมพ์โดยส�ำนักพิมพ์ Random House, New York, 1993 (ISBN 0-679-40031-1) มีบทความเรือ่ ง “The Fermi Solution” ในหน้า 3-12

AW��������.indd 48

19/3/2014 18:02

49

ค ณิ ต ซู เ ป อ ร์ โ ม เ ด ล

รู้ได้อย่างไรว่าไดโนเสาร์ เคลื่อนที่เร็วแค่ ไหน ? ใครที่สนใจไดโนเสาร์จะรู้ดีว่า นอกจากโครงกระดูกแล้ว ฟอสซิล รอยตีนของสัตว์โบราณเหล่านี้ก็น่าสนใจมากมาย เพราะเพียงแค่ รูปร่างของรอยตีนเดีย่ ว ๆ ก็พอจะบอกลักษณะบางอย่างเจ้าของรอย ได้ เช่น ถ้าไปเจอรอยตีนรูปกลมรี แถมมีเล็บโผล่ออกมานิดหน่อย ก็แสดงว่าเป็นพวกซอโรพอด (sauropod) ซึ่งเป็นไดโนเสาร์ เดินสี่ขา ตัวใหญ่ คอยาว กินพืช และเดินแบบเต็มฝ่าตีน แต่ถ้า เจอรอยตีนมีสามนิ้วเรียวแหลม ก็แสดงว่าเป็นพวกเทอโรพอด (theropod) ซึ่งเป็นพวกเดินสองขา กินเนื้อ และเดินเขย่งบนนิ้ว และหากสนใจลึ ก ลงไปอี ก นิ ด ก็ ยั ง อาจบอกได้ อี ก ว่ า นิ้ ว ไหนรั บ น�้ำหนักตัวไว้มากที่สุดได้อีก เป็นต้น

ภายในอาคารจัดแสดงรอยตีน ไดโนเสาร์ที่ลาร์กควอร์รี

AW��������.indd 49

19/3/2014 18:02

M i n d & C r e a t i v i t y

50

รอยตีนไดโนเสาร์จะน่าตืน่ เต้นยิง่ ขึน้ หากเจอเป็นแนวทางเดิน เรียกว่า รอยทางเดินไดโนเสาร์ที่กลายเป็นฟอสซิล (fossil- ized dinosaur track) เพราะอาจช่วยให้เราจินตนาการฉาก เหตุ ก ารณ์ ที่ ท�ำ ให้ เ กิ ด รอยตี น นั้ น ได้ ด ้ ว ย ตั ว อย่ า งเช่ น ถ้ า พบ รอยตีนไดโนเสาร์เป็นฝูง โดยมีตัวใหญ่อยู่ด้านนอก ตัวเล็กอยู่ ด้านใน ก็เป็นไปได้ว่าพ่อแม่หรือญาติ ๆ สูงวัยก�ำลังปกป้องลูก หลานขณะเดินทางไปด้วยกัน หรือถ้าเจอว่ามีไดโนเสาร์ตัวเล็ก จ�ำนวนมากทิ้งรอยตีนกระเจิดกระเจิง โดยมีรอยตีนไดโนเสาร์นัก ล่าวิ่งไล่ ก็คงจะพอมองเห็นภาพนาทีชีวิตได้ไม่ยาก กรณีหลังนี้ เคยพบที่ลาร์กควอร์รี (Lark Quarry) ประเทศออสเตรเลีย ว่า มีไดโนเสาร์ขนาดเล็กราว 150 ตัววิ่งกระเจิดกระเจิงวิ่งหนีเจ้าตัว ใหญ่กินเนื้อซึ่งก�ำลังไล่ล่าอย่างดุเดือด

ประเด็นหนึ่งที่หลายคนอาจสงสัยก็คือ นักวิทยาศาสตร์รู้ได้ อย่างไรว่าไดโนเสาร์ก�ำลังเดินหรือวิ่งอยู่เร็วแค่ไหน ? ในปัจจุบัน นักวิทยาศาสตร์มีวิธีการอย่างน้อยสองวิธีหลักส�ำหรับประมาณ อัตราเร็วในการเคลื่อนที่ของไดโนเสาร์ดังนี้ครับ

วิ ธี แ รกคื อ ใช้ ค วามรู ้ ท างชี ว กลศาสตร์ แ ละคอมพิ ว เตอร์ จ�ำลองเหตุการณ์ในการคิดค�ำนวณว่าสัตว์ทมี่ โี ครงสร้างของร่างกาย ลักษณะหนึ่ง ๆ น่าจะเคลื่อนที่ได้เร็วที่สุดแค่ไหน นักวิจัยที่ใช้แนว ทางนี ้ เช่น ดร. บิลล์ เซลเลอรส์ (Bill Sellers) และศาสตราจารย์ ฟิลปิ แมนนิง (Philip Manning) แห่งมหาวิทยาลัยแมนเชสเตอร์ คนแรกเป็นนักชีวกลศาสตร์ ส่วนคนหลังเป็นนักบรรพชีวินวิทยา

งานวิจยั ของทีมแมนเชสเตอร์ท�ำนายว่า คนหนัก 71 กิโล- กรัม อาจวิ่งได้เร็ว 17.7 กิโลเมตรต่อชั่วโมง ซึ่งแม้ว่าจะต�่ำกว่า สถิติของนักวิ่งลมกรดระดับโลก คือราว 36 กิโลเมตรต่อชั่วโมง (วิ่ง 100 เมตรในเวลา 10 วินาทีโดยประมาณ) แต่ก็ถือว่าพอ ใช้ได้โดยประมาณส�ำหรับการวิง่ ของคนส่วนใหญ่ทไี่ ม่ได้วงิ่ เร็วทีส่ ดุ ตลอดเวลา

ตัวอย่างไดโนเสาร์ทใี่ ช้การค�ำนวณด้วยวิธนี คี้ อื คอมป์ซอก- นาทัส (comsognathus) ซึง่ เป็นไดโนเสาร์ขนาดเล็ก หนักเพียง

AW��������.indd 50

19/3/2014 18:02

51

ค ณิ ต ซู เ ป อ ร์ โ ม เ ด ล

3 กิโลกรัม พบว่าเจ้าไดโนเสาร์ตัวเล็กชนิดนี้วิ่งได้เร็วถึง 64 กิโลเมตรต่อชัว่ โมง หรือวิง่ ระยะ 100 เมตรในเวลาเพียง 6 วินาที ชนะนักวิ่งลมกรดเหรียญทองโอลิมปิกแบบขาดลอย !

วิ ธี ก ารนี้ ส ามารถระบุ เ พดานบนของอั ต ราเร็ ว สู ง สุ ด โดย ประมาณ ค่าที่ค�ำนวณได้นี้สามารถน�ำไปใช้ในการอ้างอิงและ เปรียบเทียบกับผลการค�ำนวณด้วยวิธีอื่น

วิ ธี ที่ 2 ใช้ ข ้ อ มู ล จากหลั ก ฐานรอยตี น และแนวทางเดิ น เท่ า นั้ น วิ ธี นี้ ริ เ ริ่ ม โดย โรเบิ ร ์ ต แมกนี ล อะเล็ ก ซานเดอร์ (Robert McNeil Alexander) นักสัตววิทยาชาวอังกฤษแห่ง มหาวิทยาลัยลีดส์

อะเล็กซานเดอร์ศกึ ษาลักษณะการเดินของคนและสัตว์หลาย ชนิดทีม่ อี ยูใ่ นปัจจุบนั (เช่น ช้าง นก) และตีพมิ พ์บทความเผยแพร่ เมือ่ ค.ศ. 1976 (พ.ศ. 2519) โดยการใช้สมมุตฐิ านว่า ลักษณะ การเคลื่อนที่ของสัตว์ต่าง ๆ ที่ศึกษาสามารถใช้กับไดโนเสาร์ได้ วิธีนี้พบว่าอัตราเร็วของไดโนเสาร์สามารถค�ำนวณได้จากขนาด รอยตีนและข้อมูลแนวทางเดินตามสมการต่อไปนี้

v = 0.25√g SL1.67h-1.17

โดย v คืออัตราเร็วของการเคลือ่ นทีใ่ นหน่วยเมตรต่อวินาที SL (stride length) คือระยะก้าวซึ่งคิดจากตีนใดตีนหนึ่งเป็น

ฟิลปิ แมนนิง กับ บิล เซลเลอรส์ ก�ำลังศึกษาการเคลือ่ นทีข่ องฮาโดรซอร์ (hadrosaur) ซึ่งเคลื่อนที่ได้เร็วถึง 25 ไมล์/ชั่วโมงหรือ 40 กิโลเมตร/ ชั่วโมง

AW��������.indd 51

19/3/2014 18:02

M i n d & C r e a t i v i t y

52

โรเบิร์ต แมกนีล อะเล็กซานเดอร์ แผนภาพแสดงการวัดค่า SL และ FL

หลัก (โปรดดูภาพประกอบ) มีหน่วยเป็นเมตร h คือความยาวของ ขาหรือความสูงจากตีนถึงจุดหมุนทีส่ ะโพก มีหน่วยเป็นเมตร และ g คือความเร่งเนือ่ งจากแรงโน้มถ่วงของโลก (ประมาณ 9.8 เมตร ต่อวินาทียกก�ำลังสอง)

ในเบื้องต้นอะเล็กซานเดอร์เสนอว่า ความยาวของขามีค่า เป็นสี่เท่าของความยาวของตีน (footlength, FL) โดยประมาณ นั่นคือ

h = 4 FL

นอกจากจะบอกได้ว่าไดโนเสาร์ก�ำลังเคลื่อนที่เร็วแค่ไหน แล้ว ข้อมูลทีม่ อี ยูย่ งั สามารถบอกได้อกี ว่าไดโนเสาร์กำ� ลังเดินช้า ๆ (walking) กึง่ เดิน-กึง่ วิง่ (trotting) หรือวิง่ (running) โดยการ ค�ำนวณค่าอัตราส่วน SL/h ดังตารางสรุปต่อไปนี้

AW��������.indd 52

19/3/2014 18:02

วิ่ง มากกว่าหรือ เท่ากับ 2.9

53

ค ณิ ต ซู เ ป อ ร์ โ ม เ ด ล

ลีลาการเคลือ่ นไหว เดิน กึ่งเดิน-กึ่งวิ่ง (gait) ค่า SL/h น้อยกว่า อยูร่ ะหว่าง หรือเท่ากับ 2.0 2.0 กับ 2.9

รอยตีนไดโนเสาร์ที่ลาร์กควอร์รี

ตัวอย่างการค�ำนวณ & ข้อสังเกต เพือ่ ให้เห็นเป็นรูปธรรมชัดเจน ลองมาดูขอ้ มูลจริงกันสักหน่อย ทีร่ ฐั ควีนส์- แลนด์ ประเทศออสเตรเลีย เคยมีการค้นพบรอยตีนไดโนเสาร์เทอโรพอด (พวกเดินสองขา) ขนาดใหญ่ทมี่ ชี วี ติ อยูใ่ นยุคครีเทเชียสตอนปลาย รอยตีน แต่ละรอยยาว 64 เซนติเมตร และระยะก้าวประมาณ 3.31 เมตร จากข้อมูลนี ้ เรารูค้ า่ FL = 64 เซนติเมตร = 0.64 เมตร ซึง่ ท�ำให้ ประมาณความยาวของขาได้จาก h = 4 FL = 4 (0.64 เมตร) = 2.56 เมตร น�ำค่าระยะก้าว SL = 3.31 เมตร และความยาวขา = 2.56 เมตร แทนลงในสูตรของอะเล็กซานเดอร์ จะพบว่า เจ้าเทอโรพอดตัวนี้เคลื่อนที่ เร็ว v = 1.92 เมตร/วินาที หรือราว 7 กิโลเมตร/ชัว่ โมง (ค่านีเ้ ร็วกว่า คนปกติซึ่งเดินเร็วในช่วง 3.6-5.4 กิโลเมตร/ชั่วโมง) หากลองค�ำนวณค่า SL/h = 3.31/2.54 = 1.3 ซึง่ น้อยกว่า 2.0 ท�ำ ให้ตีความได้ว่า ไดโนเสาร์ตัวนี้ก�ำลังเดินอยู่นั่นเอง

AW��������.indd 53

19/3/2014 18:02

M i n d & C r e a t i v i t y

54

ข้อมูลต่อไปนีแ้ สดงตัวอย่างอัตราเร็วของไดโนเสาร์ชนิดต่าง ๆ ที่ค�ำนวณได้จากสูตรของอะเล็กซานเดอร์

ไดโนเสาร์

อัตราเร็ว สเตโกซอรัส (Stegosaurus) 6-8 กิโลเมตร/ชั่วโมง

ซอโรพอด 12-17 กิโลเมตร/ชั่วโมง (เร็วสุดอาจถึง 20-30 กิโลเมตร/ชั่วโมง)

เทอโรพอดขนาดใหญ่ เช่น ทีเร็กซ์ (T-rex) 20 กิโลเมตร/ชั่วโมง

ไทรเซราท็อป (Triceratop) 25 กิโลเมตร/ชั่วโมง ออร์นิโทมิมัส (Ornithomimus) 60 กิโลเมตร/ชั่วโมง

ผลงานของอะเล็กซานเดอร์เป็นจุดเริม่ ต้นให้นกั วิจยั ไดโนเสาร์ จ�ำนวนหนึง่ น�ำไปต่อยอด เช่น มีการเสนอสูตรประมาณความยาว ของขาไดโนเสาร์ให้แม่นย�ำขึน้ เช่น ทูลบอร์น (Thulborn) เสนอ

AW��������.indd 54

19/3/2014 18:02

55

ค ณิ ต ซู เ ป อ ร์ โ ม เ ด ล

ไว้ใน ค.ศ. 1990 เช่น เทอโรพอดขนาดเล็ก (ความยาวตีน FL < 25 เซนติเมตร) สูตรค�ำนวณความยาวขาควรจะเป็น h = 4.5 เท่าของ FL แต่หากเป็นเทอโรพอดขนาดใหญ่ (ความยาวตีน FL > 25 เซนติเมตร) สูตรควรจะเป็น h = 4.9 เท่าของ FL เป็นต้น

นอกจากนีท้ ลู บอร์นยังเสนอสูตรค�ำนวณอืน่ ๆ ส�ำหรับไดโน- เสาร์ที่ก�ำลังวิ่งไว้อีกรูปแบบหนึ่ง และเสนอว่า ส�ำหรับไดโนเสาร์ กึ่งเดิน-กึ่งวิ่ง ก็ให้ใช้ค่าเฉลี่ยอัตราเร็วที่ค�ำนวณได้จากสูตรของ อะเล็กซานเดอร์กับสูตรที่เขาเสนอใหม่ (ในขณะนั้น)

คุณผู้อ่านท่านใดสนใจรายละเอียดสามารถศึกษาข้อมูลได้ จากเว็บ Dinosaur Speed Calculator ที่ให้ไว้ในขุมทรัพย์ ทางปัญญา

รอยตี น ไดโนเสาร์ เ ป็ น ตั ว อย่ า งที่ ดี ที่ ช ่ ว ยให้ เ ราเห็ น ภาพ ชัดเจนขึ้นว่า หากเราทราบข้อมูลพื้นฐาน (เช่น ลักษณะรูปร่าง ของไดโนเสาร์) และเข้าใจลักษณะพฤติกรรมบางอย่าง (เช่น การ เคลื่อนไหวร่างกาย) เราก็สามารถจินตนาการถึงภาพเหตุการณ์ ในอดีต และปะติดปะต่อเรือ่ งราวต่าง ๆ ได้อย่างมีหลักการน่าสนุก ไม่น้อยทีเดียว

ขุมทรัพย์ทางปัญญา

ขอแนะน�ำเว็บที่เกี่ยวข้องดังต่อไปนี้ http://www.dinosaurtrackways.com.au/stampede-story (เรื่องราวเกี่ยวกับรอยตีนไดโนเสาร์ที่ Lark Quarry) http://en.wikipedia.org/wiki/Lark_Quarry_Conservation_ Park Animal Simulation Laboratory จัดท�ำโดย ดร. บิลล์ เซลเลอรส์ ที่ http://www.animalsimulation.org/ Dinosaur Speed Calculator จัดท�ำโดย Sorby Geology Group แห่ง University of Sheffield ที ่ http://www.sorbygeology. group.shef.ac.uk/DINOC01/dinocal1.html (มีสตู รและวิธกี ารค�ำนวณ แบบละเอียด)

AW��������.indd 55

19/3/2014 18:02

M i n d & C r e a t i v i t y

114

ขุมทรัพย์ทางปัญญา

ขอแนะน�ำแหล่งข้อมูลต่าง ๆ ต่อไปนี้ - Hyperbolic paraboloid (มีวธิ พี บั โมเดล) : http://erikdemaine. org/hypar/ - Philips pavilion : http://en.wikipedia.org/wiki/Philips_ Pavilion - บทความ Polyhedral Sculptures with Hyperbolic Parabo- loids : http://erikdemaine.org/papers/BRIDGES99/paper.pdf

AW��������.indd 114

19/3/2014 18:03

115

ค ณิ ต ซู เ ป อ ร์ โ ม เ ด ล

สนุกกับ “กล่อง 4 มิติ”

ภาพที่ 1 : กล่อง 4 มิติ

ในบทความนี ้ ผมขอเชิญชวนคุณผูอ้ า่ นท�ำสิง่ ประดิษฐ์จากกระดาษ ชิ้นหนึ่ง ซึ่งจะมองว่าเป็นของเล่นก็ดี หรือเป็นสื่อการเรียนรู้คณิต- ศาสตร์กไ็ ด้ ชือ่ ของสิง่ นีค้ อื กล่อง 4 มิต ิ (4-dimensional box) ซึ่งบ่งแย้มนิด ๆ ว่าภายในกล่องจะต้องมีอะไรน่าสนใจซ่อนอยู่เป็น แน่ ลองดูภาพใกล้ ๆ นี้สิครับ (ภาพที่ 1)

หากเปิดฝากล่องโดยค่อย ๆ ดึงออกมาก็จะพบ “มิติที่ซอ่ น เร้น” หรือ “มิติที่ 4” ได้แก่ ลูกบาศก์หลากสี คลายตัวออกมา อย่างน่าพิศวง (ภาพที่ 3)

ผมเคยสาธิตกล่อง 4 มิตินี้หลายครั้ง ครั้งที่อยากบันทึก ไว้ ณ ที่นี้ ได้แก่ ค่ายเยาวชนนานาชาติเอเปก (APEC Youth Science Festival) เมือ่ วันที ่ 22 และ 24 สิงหาคม ค.ศ. 2011

AW��������.indd 115

19/3/2014 18:03

M i n d & C r e a t i v i t y

116

และค่ายเยาวชนอาเซียน+3 ในปี ค.ศ. 2013 (ASEAN+3 Youth Camp) โดยทัง้ สองค่ายสามารถเรียกเสียงฮือฮากระหึม่ ห้องทีเดียว

ทั้งนี้ผมได้สอนวิธีพับโมเดลกล่อง 4 มิตินี้ในค่ายเยาวชน อาเซียน+3 ด้วย ซึ่งแม้จะใช้เวลาพอสมควรในการพับและการ ประกอบ แต่ผลที่ได้ก็คุ้มค่าอย่างยิ่ง (ภาพที่ 2)

ขอบันทึกเหตุการณ์เล็ก ๆ ที่เกี่ยวกับกล่อง 4 มิตินี้ไว้สัก เล็กน้อย คือในค่ายอาเซียน+3 นี้ ปรากฏว่า เยาวชนเวียดนาม ชือ่ Hoang Bich Thuy ซึง่ มีชอื่ เล่นว่า มุนมุน (Mun Mun) ได้ วิ่งมาหาผมตอนที่พับกล่อง 4 มิติใกล้จะส�ำเร็จ เมื่อผมแนะน�ำ ไปอีกเล็กน้อย เธอก็สร้างกล่อง 4 มิติได้เป็นคนแรกของค่ายนี้ เพื่อน ๆ ที่อยู่ใกล้ ๆ เลยปรบมือให้ลั่นห้องประชุม เล่นเอาคนอื่น หันมามองด้วยความชื่นชม...แกมอิจฉานิด ๆ อิอิ (ภาพที่ 4)

มุนมุนขอรางวัลเป็นโมเดลซานตาคลอส ซึ่งเธอเรียกว่า Snowman ผมก็เลยพับให้ไปสองตัวสองสี แต่แล้วลูกศิษย์คนนี้ ก็เซอร์ไพรส์ผม โดยบอกให้รอสักครู่เพราะว่ามีอะไรจะมอบให้ หลังจากนัน้ ราว 5 นาที เธอก็มอบโมเดลดาว 3 มิต ิ ทีห่ ดั พับมา จากพี่ ๆ ชมรมนักพับกระดาษไทย (มาช่วยงานนี้แบบจิตอาสา) ตอนมอบดาว 3 มิติให้ผม ก็บอกว่าขอบคุณที่มาสอนในค่ายนี้ (ปลื้มเลย)

ภาพที่ 2 : เยาวชนและพี่เลี้ยงใน ASEAN+3 Youth Camp ก�ำลังพับกล่อง 4 มิติ

AW��������.indd 116

19/3/2014 18:03

117

ค ณิ ต ซู เ ป อ ร์ โ ม เ ด ล

ภาพที่ 3 : การเล่นกล่อง 4 มิติ

ขอกลับไปที่โมเดลกล่อง 4 มิติสุดเท่อีกครั้ง โมเดลนี้ยังมี แง่มมุ ทีค่ าดไม่ถงึ นัน่ คือ เมือ่ ยืดกล่องออกจนสุดแล้ว หากเราดัน ฝาและตัวกล่องเข้าหากันเพียงเบา ๆ ลูกบาศก์ที่อยู่ภายในก็จะ ค่ อ ย ๆ ยุ บ ตั ว ลงอย่ า งน่ า ทึ่ ง จนโมเดลกลั บ เข้ า ที่ เ หมื อ นตอน ตั้งต้น พูดง่าย ๆ ก็คือ แม้กล่อง 4 มิติจะไม่มีชีวิต แต่ก็เสมือน หนึ่งว่ามีความจ�ำนั่นเอง !

ภาพที่ 4 : มุนมุน (เยาวชนเวียดนาม) พับกล่อง 4 มิติ ได้เป็นคนแรกใน ASEAN+3 Youth Camp

AW��������.indd 117

19/3/2014 18:03

M i n d & C r e a t i v i t y

118

เมือ่ รูอ้ ย่างนีแ้ ล้ว หลายคนคงอยากจะลองท�ำกล่อง 4 มิตนิ ี้ บ้าง ไม่ยากเลย เพียงอาศัยความอึดเล็กน้อยเท่านั้น เนื่องจาก องค์ประกอบย่อยมีรูปแบบการพับเพียงแค่สองแบบหลัก นั่นคือ

หนึ่ง ตัวกล่องและฝา ซึ่งมีขั้นตอนการพับเหมือนกัน เพียง แต่พับฝาให้มีขนาดใหญ่กว่าตัวกล่องเล็กน้อย

สอง ลูกบาศก์พบั ยุบได้ ซึง่ มีสองแบบย่อยหมุนพับในทิศทาง ต่างกัน แต่ขั้นตอนการท�ำเกือบทั้งหมดเหมือนกัน

ตัวกล่องและฝา

เริ่มจากกระดาษสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด15x15 เซนติเมตร มี ขั้นตอนการพับแปดขั้นดังแสดงในภาพที่ 5 จุดแตกต่างระหว่าง ตัวกล่อง (body) และฝากล่อง (lid) มีเพียงจุดเดียวในขั้นตอน ที่ 3

ตัวกล่อง ให้พบั ขอบกระดาษสองด้านมาชนกันทีจ่ ดุ กึง่ กลาง ของโมเดล (เลข 3 ตัวโปร่งด้านขวา)

ส่วนฝากล่อง ให้พับขอบกระดาษสองด้านมาใกล้กับจุด กึง่ กลาง โดยเว้นระยะห่างประมาณ 4 มิลลิเมตร (เลข 3 ตัวทึบ ด้านซ้าย)

ลูกบาศก์พับยุบได้

ก่อนดูวิธีท�ำลูกบาศก์ซึ่งสามารถพับยุบได้ ควรรู้จักวิธีการ ท�ำลูกบาศก์แบบธรรมดาเสียก่อน ลูกบาศก์แต่ละลูกใช้กระดาษ สี่ เ หลี่ ย มจั ตุ รั ส ขนาดเท่ า กั น สองชิ้ น ในที่ นี้ ใ ช้ ข นาด 15x15 เซนติเมตร (เท่ากับขนาดกระดาษที่ใช้พับตัวกล่องและฝา)

กระดาษทั้งสองชิ้นพับเหมือนกันทุกอย่าง (ภาพที่ 6) โดย น�ำรูปแบบในขั้นตอนที่ 7 และ 8 มาประกอบกัน ชิ้นส่วนแต่ ละชิ้นจะมีส่วนที่เป็นลิ้นรูปสามเหลี่ยมซึ่งสามารถสอดเข้าไปใน ช่องว่างของอีกชิ้นหนึ่ง ทั้งนี้ต้องใช้เทปหรือกาวเพื่อยึดลิ้นให้ติด กับช่องดังกล่าว (ภาพที่ 7 และ 8)

AW��������.indd 118

19/3/2014 18:03

119

ค ณิ ต ซู เ ป อ ร์ โ ม เ ด ล

ภาพที่ 5 : การพับตัวกล่องและฝา

AW��������.indd 119

19/3/2014 18:03

BANA NA

ดร. บัญชา ธนบุญสมบัติ

ม� พด ดี แตง หนงั สอื ล ม ห า ลงิ พ ยใจ มแี ง ม

มุ อ

กุ สน ะไร

คี่ น ? ก ว

าแล �ข ม น

ติ ศาสตรข องเอสเชอร จ ณ ค ะ ตั รุ สั กล ศลิ ป ขอ ิติ ” งแ ม

ลนิ งค ฟร

สนกุ กบั ผลกึ หมิ ะ สนกุ กบั “กล อ ง 4

ให พ�มพ แค คำเดียว กี่ป จะเสร�จเนี่ย

ดร. บัญชา ธน บุญสมบัติ มากินมันฝรั่งทอด อย างเป นคณิตศาสตร กันเถอะ 0'

A

B'

0

A'

FOCAL ARC

B

ราคา 170 บาท

ISBN 978-616-7767-39-0

WEST

170.-

หมวดว�ทยาศาสตร

EAST

นิ เรว� แคไ หน ? โ ล ก นมี้ คี เสารเ ด น ไดโน เ ค ยเก ดิ