12 SREDNJE VREDNOSTI
Aritmetična sredina, modus in mediana Naučili se bomo: • kaj je aritmetična sredina, kaj modus in kaj mediana, • podatkom določiti vse tri srednje vrednosti, • dobljeni rezultat razložiti oziroma ga interpretirati.
12
B. Na kolesarskem tekmovanju so zabeležili število kilometrov, ki so jih posamezni tekmovalci prevozili v eni uri: 12 km, 19 km, 15 km, 20 km, 15 km, 22 km in 16 km. a) Izračunajmo aritmetično sredino podatkom. Vsota vseh podatkov + 15 + 22 + 16 119 x = 12 + 19 + 15 + 20 = 7 = 17 7 Število vseh tekmovalcev oz. podatkov
Rešeni primeri A. Sedem učencev je v enem tednu prebralo naslednje število knjig: 1, 2, 2, 3, 4, 5, 11. Določimo aritmetično sredino, mediano in modus ter interpretirajmo dobljene rezultate.
Aritmetično sredino izračunamo številskim podatkom tako, da vsoto vseh podatkov delimo s številom podatkov. Aritmetično sredino lahko določimo le številskim podatkom.
x = 1 + 2 + 2 + 37+ 4 + 5 + 11 = 28 7 =4 Aritmetična sredina je 4. Če bi vsi učenci prebrali enako število knjig, bi jih vsak prebral 4. Pravimo, da so učenci povprečno prebrali štiri knjige.
Največkrat se pojavi podatek 15, zato je modus enak 15 km. Največ tekmovalcev je prevozilo 15 km, saj se ta razdalja med vsemi rezultati pojavi največkrat. učenci
Modus lahko določimo tako številskim kot opisnim podatkom.
Poiščemo podatek, ki se pojavi največkrat. Podatek 2 se pojavi dvakrat. Modus v danem primeru je 2, kar pomeni, da sta bili dve prebrani knjigi najpogostejši rezultat in zapišemo: Mo = 2.
Modus je lahko en sam, lahko jih je več, kadar pa je število vseh ponovitev enaka za vse podatke, modusa ni. Mediana ali središčnica je podatek, ki leži natanko na sredini vseh po velikosti urejenih podatkov. Če je podatkov sodo število, je mediana kar aritmetična sredina srednjih dveh podatkov. Mediano lahko določimo le številskim podatkom. Oznaka za mediano je Me.
240
Mediana za liho število podatkov je srednji podatek.
• polovica tekmovalcev prevozila manj kot 16 km (12 km, 15 km, 15 km), • polovica tekmovalcev prevozila več kot 16 km (19 km, 20 km, 22 km). c) Določimo modus.
4
Modus ali gostiščnica je podatek, ki se med naborom danih podatkov največkrat pojavi. Oznaka za modus je Mo.
Dane podatke najprej uredimo po velikosti: 12, 15, 15, 16, 19, 20, 22. Srednji podatek je 16, zato je mediana 16. To nam pove, da je:
Frekvenca je število ponovitev posameznega podatka. V primeru nabora podatkov 12, 15, 15, 16, 19, 20, 22 je frekvenca števila15 enaka 2. Modusov je lahko tudi več, če največjo frekvenco doseže več podatkov.
C. Skupina učencev je pri uri športa merila, koliko časa lahko zadržijo dih pod vodo. Rezultati (v sekundah) so bili: 32, 28, 45, 50, 40, 35, 30, 60. a) Izračunajmo aritmetično sredino zadrževanja diha in razložimo, kaj nam dobljeni podatek pove. x = 32 + 28 + 45 + 50 +8 40 + 35 + 30 + 60 = 320 8 = 40 Aritmetična sredina je 40 s, učenci so v povprečju zadržali dih 40 sekund. Če bi se čas enakomerno porazdelil med vse učence, bi vsak zadržal dih 40 sekund. Dejansko pa so nekateri dih zadržali precej dlje, na primer 60 sekund, drugi pa manj, na primer 28 sekund.
Podatke uredimo po velikosti in poiščem tistega, ki leži natanko na sredini.
Za boljše razumevanje pojma aritmetične sredine, si poglejmo prikaz s stolpci. Čas zadrževanja diha pri učencih 60
1, 2, 2, 3, 4, 5, 11 Mediana je 3, kar pomeni, da je polovica učencev prebrala 3 knjige ali manj, druga polovica pa 3 knjige ali več. Zapišemo: Me = 3.
50 Čas [s]
Označimo jo z x.
b) Določimo mediano.
število knjig
Aritmetična sredina podatkov je vrednost, ki bi jo imel vsak podatek, če bi njihovo vsoto enakomerno porazdelili med vse.
Aritmetična sredina je 17 km, tekmovalci so v povprečju prevozili 17 km. Rezultati se gibljejo med 12 km in 22 km, nobeden od tekmovalcev ne odstopa veliko od izračunane vrednosti, zato aritmetična sredina dobro predstavlja prevoženo razdaljo tekmovalcev.
40 30 20 10 0
U1
U2
U3
U4 U5 Učenci
U6
U7
U8
241