1 N ARAVNA ŠTEVILA IN ŠTEVILO 0
Praštevila in sestavljena števila
Eden izmed postopkov iskanja praštevil je uporaba Eratostenovega rešeta. Če želiš izvedeti kaj več o Eratostenu in postopku, poimenovanem po njem, sledi povezavi.
Naučili se bomo: • katera števila imenujemo sestavljena števila • kaj so praštevila • sestavljeno število zapisati kot zmnožek praštevil
Naravno število, ki ima natanko dva delitelja, število 1 in samega sebe, imenujemo praštevilo. Naravno število, ki ima več kot dva delitelja, imenujemo sestavljeno število. D2 = {1, 2}
D12 = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
Število 1 ni niti praštevilo niti sestavljeno število, ker ima samo enega delitelja.
2.
Praštevila
3
2
2
2
24 = 3 · 2 · 2 · 2 = 3 · 23
Ob izbranem številu narišemo črto. Poiščemo najmanjše praštevilo, ki deli to število, in ga zapišemo na desno stran črte. Pod levo število zapišemo količnik zgornjih dveh števil. Postopek ponavljamo, vse dokler ne dobimo na levi strani črte število 1.
24 = 12 · 2 = 6 · 2 · 2 = 3 · 2 · 2 · 2 = 3 · 23
6
24 2 12 2 6 2 3 3 1 24 = 2 · 2 · 2 · 3 = 23 · 3
Število zapišemo kot zmnožek dveh števil. Preverimo, ali sta množenca praštevili. Če nista, postopek ponavljamo, dokler ne dobimo zmnožke samih praštevil.
f ) 900 g) 243 h) 165
4.
Preveri, ali je zapis pravilen. Če ni, ga popravi in zapiši v zvezek.
Učitelj oziroma učiteljica naključno izgovarja števila do 100. Učenci imajo zaprte oči in dvignejo roko le takrat, ko slišijo praštevilo. Če kdo dvigne roko ob številu, ki ni praštevilo, ali ne dvigne roke ob praštevilu, se šteje kot napaka. Praštevila, manjša od 100, so: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 in 97.
a) 12 = 2 · 2 · 3 b) 28 = 2 · 2 · 2 · 3 c) 56 = 2 · 2 · 2 · 2 · 7 č) 75 = 3 · 52
A. Zapišimo število 24 kot zmnožek praštevil. Izberemo lahko različne postopke reševanja.
4
č) 18 d) 33 e) 315
Dana je množica števila !. Zapiši njeno podmnožico @, v kateri bodo samo praštevila. ! = {13, 14, 18, 23, 28, 37, 39, 59, 65, 73, 84, 95, 99}
Rešen primer
Začnemo z naravnim številom, ki ga želimo zapisati kot zmnožek praštevil. Poiščemo dve števili, ki ju lahko pomnožimo, da dobimo začetno število. Zapišemo ju kot »veji« drevesa. Nato postopek ponovimo za ti dve števili. Ponavljamo, dokler ne dobimo samih praštevil.
Število zapiši kot zmnožek praštevil. Uporabi pravila za deljivost naravnih števil.
3.
Število 1
6
Parom števil s to lastnostjo pravimo prijateljska števila. Pokaži, da sta števili 220 in 284 res prijateljski števili.
Sestavljena števila
a) 30 b) 54 c) 125
ℕ
24
Če sešteješ delitelje števila 220 (brez 220), dobiš 284. Če sešteješ delitelje števila 284 (brez 284), dobiš 220.
Nariši preglednico in vanjo razvrsti števila: 2, 3, 9, 13, 14, 17, 21, 24, 34, 78 in 79. Praštevila
Množica naravnih števil je sestavljena iz praštevil, sestavljenih števil in števila 1.
Sestavljena števila
• •
D1 = {1}
Število 12 je sestavljeno število, ima šest deliteljev. Preverimo, ali ima vsak delitelj svoj par.
Število 2 je edino sodo praštevilo.
1.
1
Prijateljska števila Legenda pravi, da je nekoč filozof vprašal Pitagoro, kaj je po njegovem mnenju prijatelj. Odgovoril mu je: »Prijatelj je drugi jaz, kakor 220 in 284.«
5.
Zapiši tri sestavljena števila, ki imajo natanko 3 delitelje.
6.
Zapiši tri sestavljena števila, ki imajo natanko 4 delitelje.
7.
Katera tri praštevila moramo sešteti, da bo njihova vsota tudi praštevilo? Zapiši dve rešitvi.
8.
Zapiši zaporedje desetih števil. Prvi člen zaporedja je število 32, vsak naslednji člen zaporedja je za 5 večji od predhodnega. V zaporedju obkroži sestavljena števila.
9.
Število zapiši kot zmnožek dveh praštevil. a) 35
b) 46
c) 34
č) 77
d) 95
e) 121
f ) 91
10.
Števila 10, 100, 1000, 10 000 … zapiši kot zmnožek samih praštevil. Kaj opaziš?
11.
Tri različna praštevila imajo zanimivo lastnost, da je njihov produkt natanko petkratnik njihove vsote. Zapiši trojico praštevil, ki ima to lastnost.
7