Zgled 3
Ali gre za linearno funkcijo V(t) = k ∙ t + n? Začetno vrednost že poznamo n = 6,72.
Če vrednosti iz tabele zapišemo kot urejene pare (t, V(t)): (20, 4˙32), …, (40, 1˙92), (50, 0˙72), …, (53, 0˙36), (55, 0˙12) in nekaj teh parov vstavimo v enačbo V(t) = k ∙ t + 6˙72, dobimo za k vedno isto vrednost.
k = V(t) – 6,72 t
k = 4,32 – 6,72
20 = –0,12
k = 1,92 – 6,72
40 = –0,12
Očitno se k ne spreminja in predstavlja zmogljivost črpalke. Negativno vrednost ima zato, ker se količina vode v kleti zmanjšuje. Dogajanje torej lahko zapišemo z linearno funkcijo:
V(t) = –0,12 t + 6,72
Čas črpanja smo na začetku merili v intervalih po 10 minut, proti koncu pa na minuto. Narišimo spreminjanje količine vode z grafom.
Graf je sestavljen iz točk, kar pa ne ustreza dejanskemu poteku črpanja, saj črpalka deluje ves čas. Zato je pravilen graf funkcije V(t) = –0,12 t + 6,72 graf, ki proces prikazuje tudi v vmesnih točkah. Nastane zvezen graf, ki je del premice na časovnem intervalu [0, 56].
Ta predpis funkcije lahko zapišemo tudi v obliki, s katero smo definirali linearno funkcijo: c(n) = 0,20 ∙ n + 5
Diferenčni količnik je enak 0,20, začetna vrednost pa 5. Odvisna spremenljivka n predstavlja število naročenih fotografij in lahko zavzame katero koli naravno število, zato je definicijsko območje te funkcije množica ℕ. Njen graf je sestavljen iz točk – graf je diskretna množica točk. Ker vrednost plačila narašča s številom fotografij, je funkcija naraščajoča. Začetna vrednost funkcije c je 5 oz. vrednost naročenega CD-ja in skupinske fotografije brez dodatnih izdelanih fotografij.
Graf nam lepo prikaže opisane lastnosti.
DELOVNA RAZLIČICA DELOVNA RAZLIČICA
Fotografsko podjetje P & P si je s svojo ponudbo pridobilo naročilo za fotografiranje maturantskega plesa. Dijaki dobijo CD in skupinsko fotografijo za 5 evrov, za vsako nadaljnjo izdelano fotografijo pa plačajo 20 centov. Pokažimo, kako lahko z dosedanjim matematičnim znanjem opišemo ponudbo podjetja. Začnimo s preprosto tabelo odvisnosti.
Število dodatnih fotografij 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 … Cena kompleta [€] 5 5,20 5,40 5,60 5,80 6 6,20 6,40 6,60 6,80 …
Očitno je cena odvisna od števila dodatno naročenih fotografij oz. je funkcija števila fotografij:
c(n) = 5 + n ∙ 0,20
Kaj nam pove diferenčni količnik?
Diferenčni količnik nam pove, za koliko se spremeni vrednost neodvisne spremenljivke y glede na spremembo odvisne spremenljivke x. Pri linearni funkciji je diferenčni količnik ves čas enak, je konstanten.
V prvem zgledu so vsako sekundo v bazen pritekli 3 litri vode. Ko se čas spremeni za 1 sekundo, se količina vode spremeni za 3 litre, po 2 sekundah se količina vode spremeni za 6 litrov. Če se čas spremni za 8 sekund, se količina vode spremeni za 24 litrov.
k = 3 = 3 1 = 6 2 = 24 8 = sprememba y sprememba x
V tretjem zgledu je diferenčni količnik enak 0,2 in pomeni: če naročimo eno fotografijo več, se cena spremeni za 0,2 €, če naročimo 2 fotografiji več, se cena spremeni za 0,4 €, če naročimo 3 fotografije več, se cena spremeni za 0,6 €.
k = 0,2 = 0,2 1 = 0,4 2 = 0,6 3 = sprememba y sprememba x
Ker je pri linearni funkciji diferenčni količnik ves čas enak, si lahko izberemo katerakoli originala x in njuni sliki y. Pogledamo, za koliko se je spremenila vrednost ene in druge spremenljivke in zapišemo kvocient:
k =
