Issuu

D z a j in a.c om

Marjana Sedeljšak Basle, Petra Miller, Katja Pipan, Nina Krapež Podobnik

MATEMATIKA Samostojni delovni zvezek za matematiko

jig arn

v srednjih poklicnih šolah

Marjana Sedeljšak Basle, Petra Miller, Katja Pipan, Nina Krapež Podobnik

a.c om

Matematika in jaz D

Samostojni delovni zvezek za matematiko v srednjih poklicnih šolah Urednika: Gregor Pavlič, Katarina Šenk Recenzent: Gregor Pavlič Jezikovni pregled: Polonca Tratar Božič Ilustracije: Gašper Rus Slikovno gradivo

Str. 5: Dekle (Anna Nahabed/SHT); str. 6: Številke (White Space Illustrations/SHT); str. 7: Zavorna pot (Float vectors/SHT); str. 23: Fant (ViDI Studio/SHT); str. 24: Mavrica (HappyVibeArt/SHT), Parabolična antena (Morphius Film/SHT), Bosporski most (ElenVD/SHT), Brazilski most (Cacio Murilo/SHT); str. 27: Otok (theerathuch/SHT), Skledica (Sergii Gnatiuk/SHT), Balon (LuckyStep/SHT); str. 30: Pat in Mat (© Patmat Film/Pat and Mat); str. 39: Skok v daljino (Farydraw/ SHT), Met na koš (Fitri ID/SHT), Brcanje žoge (Vector´s Hub/SHT); str. 65: Most (Jasmine_K/SHT); str. 67: Koktail (smspsy/SHT); str. 66: Dekle (New Africa/SHT); str. 69: Jadrnica (faiz_kurniawan95/SHT); str. 77: Delfin (Rusanova Svetlana/SHT); str. 80: Krater (AnnJane/SHT); str. 81: Fant (carballo/SHT) Seznam kratic in okrajšav SHT: Shutterstock

Direktor produkcije: Klemen Fedran Izdala in založila: Modrijan izobraževanje, d. o. o. Za založbo: Maruša Dejak

jig arn

Oblikovanje: Beti Jazbec Prelom: Goran Čurčič, Danilo Frlež Tisk: Cicero, d. o. o. 1. izdaja Naklada: 1500 izvodov Ljubljana 2026

Vse knjige in dodatna gradiva založb Rokus Klett in Modrijan izobraževanje dobite tudi na naslovu www.knjigarna.com.

Brez pisnega dovoljenja založnika je prepovedano reproduciranje, distribuiranje, javna priobčitev, predelava in druga uporaba avtorskega dela ali njegovih delov v kakršnemkoli obsegu ali postopku, kot tudi fotokopiranje, tiskanje ali shranitev v elektronski obliki. Tako ravnanje pomeni, razen v primerih od 46. do 57. člena Zakona o avtorski in sorodnih pravicah, kršitev avtorske pravice.

Modrijan izobraževanje, d. o. o., Stegne 9 b, 1000 Ljubljana Telefon: 01 513 44 00 Telefonska naročila: 01 513 44 04 E-pošta: narocila@modrijan-izobrazevanje.si www.modrijan-izobrazevanje.si, www.knjigarna.com

CIP – Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 51(075.3)(076.1) CIPMATEMATIKA in jaz D : Samostojni delovni zvezek za matematiko v srednjih poklicnih šolah / Marjana Sedeljšak Basle … [et al.] ; [ilustracije Gašper Rus ; slikovno gradivo Shutterstock, Patmat Film, Pat and Mat]. – 1. izd. – Ljubljana : Modrijan izobraževanje, 2026 ISBN 978-961-7181-21-0 COBISS.SI-ID 287888643

KVADRATNA ENAČBA

a.c om

Kazalo

1. Definicija kvadratne enačbe 2. Reševanje kvadratne enačbe 3. Število rešitev kvadratne enačbe 4. Uporaba kvadratne enačbe

6 8 13 16

1. Definicija kvadratne funkcije 2. Začetna vrednost in ničli kvadratne funkcije 3. Teme kvadratne funkcije 4. Oblike zapisa kvadratne funkcije 5. Graf kvadratne funkcije 6. Lastnosti kvadratne funkcije 7. Presečišče grafov funkcij

24 27 30 33 39 47 51

jig arn

KVADRATNA FUNKCIJA

KVADRATNA NEENAČBA

1. Definicija kvadratne neenačbe 2. Reševanje kvadratne neenačbe 3. Množica rešitev kvadratne neenačbe

POTENCE IN KORENI

1. Potence s celimi eksponenti 2. Koreni poljubnih stopenj 3. Potence z racionalnimi eksponenti

69 71 73

81 82 91 103

Pred začetkom …

a.c om

Zgleda

Kvadratna funkcija 1. Definicija kvadratne funkcije

2. Začetna vrednost in ničli kvadratne funkcije 3. Teme kvadratne funkcije

4. Oblike zapisa kvadratne funkcije

Naslov poglavja

5. Graf kvadratne funkcije

6. Lastnosti kvadratne funkcije 7. Presečišče grafov funkcij

Seznam podpoglavij

Zgleda Zgledi na začetku učne enote so namenjeni uvodu v novo snov; ob koncu razlagalnega dela pa kot pojasnilo, kako teorijo pretvoriti v prakso.

ločiti kvadratno funkcijo od ostalih funkcij je izra an i vred čunati zn cij nos z ati funk enju lj b kva t, ničli ačetno lj i dratn ora ratn živ in te p u ad m e fu v anje nkci me k d o je sak v za v ZNALI BOMO fu pisa nk ti cijo kva izraču nati ob v vs drat dveh pa presečišča lik eh no ah tr parabo rabol ter eh le in pr emice graf risati nkcije določiti lastn na fu osti tne kvadratne funk kvadra cije

Učni cilji

Zgleda

Pomembnejše definicije, zakonitosti, izreki … so zapisani na rumeni podlagi.

1. Potence s celimi eksponenti 1.1

Potence z naravnimi eksponenti

Spomnimo se, množenje več enakih faktorjev lahko krajše zapišemo s potenco. 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 = 54

jig arn

5 je osnova potence, 4 pa eksponent (stopnja) potence.

Potenca an s celo osnovo a in naravnim eksponentom n je krajši zapis množenja n enakih faktorjev a. Eksponent n pove, kolikokrat moramo med seboj pomnožiti osnovo a.

}

an = a · a ... · a; a ∈ ℤ, n ∈ ℕ n faktorjev

Pravila za računanje s potencami

Množenje potenc z enakimi osnovami

an · am = an + m; a ∈ ℤ in n, m ∈ ℕ

Potenciranje potence

(an)m = an · m; a ∈ ℤ in n, m ∈ ℕ

Množenje potenc z enakimi eksponenti an · bn = (a · b)n; a, b ∈ ℤ in n ∈ ℕ

Potenciranje negativne osnove • s sodim eksponentom • z lihim eksponentom

Zgleda

(–a)2n = a2n, a, n ∈ ℕ (–a)2n – 1 = –a2n – 1, a, n ∈ ℕ

V rubriki Več vadim, bolje znam so številne raznolike naloge, s katerimi lahko utrdite snov celotnega podpoglavja.

Zgled

Vsakemu manjšemu učnemu sklopu sledi nekaj nalog, s katerimi lahko preverite, kako dobro ste razumeli teorijo.

Izračunajmo z uporabo pravil.

a) 32 ∙ 34 ∙ 33 ∙ 3 = 32 + 4 + 3 + 1 = 310

b) (24)2 ∙ 26 = 24 ∙ 2 ∙ 26 = 28 ∙ 26 = 28 + 6 = 214 c) 34 ∙ 24 = (3 ∙ 2)4 = 64 č) (–3)12 = 312

d) (–3)15 = –315

Naloge

1. Produkt zapišite kot potenco. a) 7 ∙ 7 ∙ 7 ∙ 7 ∙ 7 =

b) b ∙ b ∙ b ∙ b ∙ b =

c) (–11) ∙ (–11) ∙ (–11) ∙ (–11) ∙ (–11) ∙ (–11) = č) 5 ∙ a ∙ 5 ∙ a ∙ a ∙ 5 ∙ 5 ∙ a ∙ a =

Ob nekaterih zgledih in nalogah stojijo QR-kode, ki vas vodijo do podrobnejše videorazlage.

Zgled

Več vadim, bolje znam

Izračunajmo teme kvadratne funkcije f(x) = x2 – 4x + 7 in poglejmo, kako iz zapisa funkcije vidimo ali v temenu funkcija doseže najmanjšo ali največjo vrednost. Izpišemo koeficiente.

1. Zapišite, za katere vrednosti spremenljivke x je delfin v zraku in za katere pod vodno gladino, ki jo predstavlja abscisna os.

a = 1, b = –4, c = 7

Ker je vodilni koeficient a pozitivno število, bo funkcija v temenu dosegla najmanjšo vrednost. Izračunamo diskriminanto.

D = b2 – 4ac D = (–4)2 – 4 ∙ 1 ∙ 7 D = 16 – 28 D = –12

2 1

p = 2a

–b

q = 4a

–(–4) p= 2∙1

–(–12) q= 4∙1

p=2

q=3

–4 –3

Izračunamo koordinati temena.

–D

Funkcija doseže v temenu T(2, 3) najmanjšo vrednost 3 pri x = 2.

Naloge

kn 4

Zahtevnejše naloge so označene z *.

2. Na sliki je graf kvadratne funkcije f(x). Oglejte si lego parabole v koordinatnem sistemu in med spodnjimi trditvami obkrožite pravilne ter napačne popravite.

32. Na sliki sta grafa kvadratnih funkcij f(x) in g(x). Oglejte si njuno lego in med trditvami obkrožite pravilne.

Večino nalog lahko rešujete neposredno v gradivo. Pred nalogami za reševanje v zvezek pa stoji ikona odprtega zvezka.

(A) Paraboli imata dve skupni točki.

(B) Diskriminanta enačbe f(x) = g(x) je manjša od 0. (C) Enačba f(x) = g(x) nima rešitev.

–4

1 0

(Č) Enačba f(x) = g(x) ima rešitvi –4 in 1.

5 x

(D) Enačba f(x) = g(x) ima rešitvi 0 in –5. (F) Diskriminanta enačbe f(x) = g(x) je enaka 0. (G) Diskriminanta enačbe f(x) = g(x) je večja od 0. 33. Izračunajte presečišči grafov funkcij in rešitev grafično preverite. b) f(x) = x – 4 g(x) = –3x2 + 4x – 6

c) f(x) = (x + 1)2 g(x) = x2 – x

č) f(x) = x2 + 4x – 5 g(x) = –2x2 – 2x + 4

* 34. Izračunajte in zapišite presečišči parabol. a) y = x2 + 2x + 5 in y = –x2 + 10x – 1

–8

a) f(x) = 2x + 4 g(x) = x2 – x

a) Vodilni koeficient a < 0. b) Enačba f(x) = 0 ima natanko eno rešitev. c) Rešitvi enačbe f(x) = 0 sta 1 in 5. č) Med rešitvami neenačbe f(x) ≤ 0 sta ničli funkcije f.

1 b) y = 5x2 + 7x + 9 in y = 4 x2 + x – 8

d) Število 2 je rešitev neenačbe f(x) < 0.

1. Definicija kvadratne enačbe

a.c om

Kvadratna enačba 2. Reševanje kvadratne enačbe

3. Število rešitev kvadratne enačbe

jig arn

4. Uporaba kvadratne enačbe

o ačb n e ja o atn avljan r d a ev st i kv jo raz rešit t i š a re moč čun ih s po i izra brazc al po o

d gle oločit i de na števi dis lo r kri eši mi tev na nto ZNALI BOMO

predstaviti kvadratno odvisnost z enačbo

uporabiti kvadratno enačbo pri reševanju realnih problemov

Zgled

a.c om

1. Definicija kvadratne enačbe

Produkt dveh zaporednih celih števil je enak 12. Poiščimo števili.

Najprej zapišemo dve zaporedni celi števili. 1. število: x 2. število: x + 1 Nato zapišemo enačbo. x(x + 1) = 12 Enačbo preoblikujemo. x2 + x = 12 /–12 x2 + x – 12 = 0 Razstavimo z Viètovim pravilom. (x – 3)(x + 4) = 0

Zmnožek je enak nič, če je vsaj eden od faktorjev enak nič. Linearna faktorja enačimo z nič in dobimo dve rešitvi. in

2. rešitev x+4=0 x2 = –4

jig arn

1. rešitev x–3=0 x1 = 3

1. število: x = 3 2. število: x + 1 = 3 + 1 = 4 Preizkus: 3 · 4 = 12

1. število: x = –4 2. število: x + 1 = –4 + 1 = –3 Preizkus: (–4) · (–3) = 12

Po preoblikovanju začetne enačbe smo dobili enačbo oblike x2 + x – 12 = 0. Tako enačbo imenujemo kvadratna enačba. Prepoznamo jo po tem, da je največja stopnja neznanke 2. Kvadratna enačba je enačba, ki jo lahko preoblikujemo v ax2 + bx + c = 0, kjer so a, b, c ∈ ℝ in a ≠ 0. Pri tem člene in koeficiente kvadratne enačbe imenujemo: a – vodilni koeficient ax2 – vodilni člen bx – linearni člen b – koeficient linearnega člena c – prosti člen

Veliko procesov in življenjskih situacij se da opisati s kvadratno enačbo. Čeprav je še ne znamo rešiti, poglejmo primer take enačbe.

Zgled

a.c om

Dolžina zavorne poti je odvisna od mnogih dejavnikov: reakcijskega časa voznika, vremenskih razmer, pnevmatik, cestišča in koeficienta trenja. Kadar želimo izračunati zavorno pot, upoštevamo, da je približno sorazmerna s kvadratom hitrosti. 1

s = 2gk ∙ v2

s – dolžina zavorne poti g – gravitacijski pospešek k – koeficient trenja v – hitrost vožnje

Zapišimo vodilni koeficient in koeficient linearnega člena ter prosti člen kvadratne enačbe, pri kateri je hitrost neznanka.

Kvadratna enačba z neznanko v ima obliko av2 + bv + c = 0. V našem primeru velja 1 ∙ v2 – s = 0. Torej je: 2gk

· vodilni koeficient enačbe a = 2gk , · koeficient linearnega člena b = 0, · prosti člen c = –s.

jig arn

Naloge

1. Obkrožite kvadratne enačbe. x2 + 5x = 2

y2 – 1,7 = 0

m2 + 7m – 12 = 0 2

2 +m=0 m2

72x3 + x = 0

v(v – 2) = 7

15a2 + 15a

4(x + 4) – x(x + 4) = 2

13 =1 n2

2. Zapišite kvadratno enačbo, ki ustreza besedilu.

a) Produkt dveh zaporednih lihi števil je enak 63.

b) Ploščina pravokotnika je enaka 48 cm2. Izračunajte dolžino stranic, če veste,

da je ena stranica trikratnik druge.

3. Zapišite kvadratno enačbo s koeficienti a = 2, b = 1 in c = 3.

a.c om

2. Reševanje kvadratne enačbe

Kvadratno enačbo rešujemo tako, da jo postopoma preoblikujemo v zapis ax2 + bx + c = 0. Kvadratno enačbo lahko rešimo z razstavljanjem ali s pomočjo obrazcev.

Pri razstavljanju izraz na levi stran enačbe zapišemo kot produkt linearnih faktorjev, ki je enak 0, če je vsaj eden od faktorjev enak 0.

Če izraza na levi strani enačbe ne moremo razstaviti, rešitvi kvadratne enačbe izračunamo s pomočjo obrazcev. Najprej izračunamo diskriminanto: D = b2 – 4ac in nato rešitvi enačbe: x1 =

Zgleda

–b – √D 2a

x2 =

–b + √D . 2a

A. S pomočjo razstavljanja rešimo kvadratno enačbo.

jig arn

a) 5x2 + 7x + 4 = 3x2 + x 5x2 – 3x2 + 7x – x + 4 = 0 2x2 + 6x + 4 = 0 /: 2 x2 + 3x + 2 = 0 (x + 2)(x + 1) = 0 x+2=0 in x + 1 = 0 x1 = –2 x2 = –1

b) 5x2 + 8x + 7 = 7 – 2x2 5x2 + 2x2 + 8x +7 – 7 = 0 7x2 + 8x = 0 x(7x + 8) = 0 x1 = 0 in 7x + 8 = 0 7x = –8 /: 7

Vse člene prenesemo na levo stran enačbe. Enačbo uredimo in obe strani enačbe delimo z 2. Uporabimo Viètovo pravilo.

Vse člene prenesemo na levo stran enačbe. Enačbo uredimo. Izpostavimo skupni faktor.

x2 = – 7

c) x2 = 121 x2 – 121 = 0 (x – 11)(x + 11) = 0 x – 11 = 0 in x + 11 = 0 x1 = 11 x2 = –11

Vse člene prenesemo na levo stran enačbe. Razstavimo po formuli za razliko kvadratov.

2x2 + x = 3 2x2 + x – 3 = 0 a = 2, b = 1, c = –3 D = b2 – 4ac D = 12– 4 ∙ 2 ∙ (–3) D = 25

a.c om

B. S pomočjo obrazcev za izračun rešitev kvadratne enačbe rešimo kvadratno enačbo 2x2 + x = 3. Vse člene prenesemo na levo stran enačbe. Izpišemo koeficiente. Uporabimo obrazec za diskriminanto.

Nato uporabimo obrazca za rešitvi x1 in x2. x1 =

–b – √D 2a

x1 =

–1 – √25 2·2

x1 = – 2

Naloge

x2 =

–b + √D 2a

x2 =

–1 + √25 2·2

x2 = 1

4. Rešite kvadratno enačbo z razstavljanjem.

b) x2 + 5x + 6 = 0

jig arn

a) x2 + 9x = 0

č) x2 = 16

d) –x2 = –2x + 1

e) –36 + x2 = 0

f) x2 – 11x + 30 = 0

g) x2 – 120 = 2x

c) x2 + 2x + 1 = 0

i) 2x2 + 16x + 30 = 0

a.c om

h) x2 + 5x – 11 = 6x + 9

j) 3x2 + 8x – 12 = 2x2 + 8x – 3

k) 2(x + 3)(x – 2) = x2 + x

jig arn

5. Rešite kvadratno enačbo.

b) 9x2 – 6x + 1 = 0

c) 2x2 + 18x + 20 = –4x2 + 90x – 100

č) (x – 1)2 = 3(x – 1) – 2

a) 3x2 + 2x – 1 = 0