Issuu

a. co m

Gregor Pavlič, Dušan Kavka, Marina Rugelj, Janez Šparovec

ROVAŠ

ar n

jig

MATEMATIKA ZA 3. LETNIK SREDNJEGA STROKOVNEGA IZOBRAŽEVANJA

00 uvodne 001-005.indd 1

28. 08. 2020 10:19:26

Gregor Pavlič, Dušan Kavka, Marina Rugelj, Janez Šparovec

ROVAŠ 3 MATEMATIKA ZA 3. LETNIK SREDNJEGA STROKOVNEGA IZOBRAŽEVANJA

a. co m

Urednik Gregor Pavlič Recenzenta dr. Matija Cencelj, Veronika Bartolj Jezikovni pregled Renata Vrčkovnik

Ilustracije Aleksander Jankovič

Tehnične risbe Darko Simeršek, Goran Čurčič

ar n

Fotografije Gregor Pavlič, Marina Rugelj, Janez Šparovec, Shutterstock, Wikimedia Commons (natančen seznam je na koncu gradiva)

jig

Vse knjige in dodatna gradiva založbe Modrijan izobraževanje dobite tudi na naslovu www.knjigarna.com.

Brez pisnega dovoljenja založnika so prepovedani reproduciranje, distribuiranje, javna priobčitev, predelava ali druga uporaba tega avtorskega dela ali njegovih delov v kakršnem koli obsegu in postopku, tudi fotokopiranje, tiskanje ali shranitev v elektronski obliki. Tako ravnanje pomeni, razen v primerih od 46. do 57. člena Zakona o avtorski in sorodnih pravicah, kršitev avtorske pravice.

Modrijan izobraževanje, d. o. o., Stegne 9 b, 1000 Ljubljana telefon: 01 513 44 00 telefaks: 01 513 46 99 telefonska naročila: 01 513 44 04 e-pošta: narocila@modrijan-izobrazevanje.si www.modrijan-izobrazevanje.si, www.knjigarna.com

00 uvodne 001-005.indd 2

CIP – Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 51(075.3) ROVAŠ 3 : matematika za 3. letnik srednjega strokovnega izobraževanja / Gregor Pavlič … [et al. ; ilustracije Aleksander Jankovič ; tehnične risbe Darko Simeršek, Goran Čurčič ; fotografije Gregor Pavlič … et al.]. – 1. izd. – Ljubljana : Modrijan izobraževanje, 2020 ISBN 978-961-7070-71-2 1. Pavlič, Gregor, 1954– COBISS.SI-ID 25140483

28. 08. 2020 10:19:28

KAZALO 6

a. co m

EKSPONENTNA IN LOGARITEMSKA FUNKCIJA

Eksponentna funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Eksponentna enačba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Logaritmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Pravila za računanje logaritmov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Logaritemska funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Logaritemska enačba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Prehod k novi osnovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Uporaba logaritma In eksponentne funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

POLINOMI IN RACIONALNE FUNKCIJE

ar n

Polinomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Operacije v množici polinomov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Hornerjev algoritem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Ničle polinoma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Iskanje ničel polinoma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Graf polinoma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Metoda bisekcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Reševanje neenačb višje stopnje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 Racionalne funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Graf racionalne funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Racionalne enačbe in neenačbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

jig

TRIGONOMETRIJA

Kotne funkcije poljubno velikega kota . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 Grafa in lastnosti funkcij sinus in kosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 Grafi funkcij oblike g(x) = A sin x, g(x) = A cos x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Funkciji tangens in kotangens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 Adicijski izreki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 Naklonski kot premice in kot med dvema premicama . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

GEOMETRIJA V PROSTORU

122

Točka, premica in ravnina v prostoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Geometrijska telesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prizma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Piramida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Valj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Stožec . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Krogla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

126 130 132 138 144 148 152

00 uvodne 001-005.indd 3

28. 08. 2020 10:19:28

156

Kvadratne enačbe z dvema neznankama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Krožnica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elipsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hiperbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Presečišča stožnic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Iracionalne enačbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

158 159 164 168 173 176 179

a. co m

STOŽNICE

jig

ar n

REŠITVE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

00 uvodne 001-005.indd 4

28. 08. 2020 10:19:28

O učbeniku

a. co m

Prenova učbenikov za strokovne srednje šole, ki je bila potrebna zaradi novega učnega načrta, gre proti koncu. Pred vami je Rovaš 3, ki se je pred tem imenoval Od logaritmov do vesolja. Struktura in osnovna zgradba prejšnjega učbenika sta nadgrajeni z novimi svežimi nalogami, zahtevnejše naloge so označene kot »orehi«, dodane so tudi naloge z lučko, pri katerih se bo moralo bralcem »posvetiti« za rešitev. Kjer je to smiselno, so dodane naloge, pri katerih je potrebna pomoč posebnih računalniških programov za simbolično računanje in risanje grafov funkcij. Poseben poudarek gre povezovanju matematike z vsakdanjim življenjem. V knjigi so posodobljeni tudi zgodovinski uvodi v nekatera poglavja. Kot doslej si vrstne številke nalog sledijo od začetnega do končnega poglavja, kjer so navedene vse rešitve.

ar n

Učbenik je pregleden, zelo lepo oblikovan in upamo, da bo tretješolcem v korist in veselje.

Razlaga snovi, pomembni pojmi in pravila so zapisani v barvi. Naslov poglavja 152

Naloge z rešitvami na zadnjih straneh knjige

Krogla

jig Krogla je tudi rotacijsko telo. Nastane z vrtenjem kroga okoli enega od premerov za kot 180q ali z vrtenjem polkroga okoli premera za kot 360q.

»Zgradba« Atomium stoji v Bruslju.

Glavni krogelni krog gre skozi središče krogle in razdeli kroglo v dve polkrogli. Krogelna plast je del krogle med vzporednima ravninama krogelnih krogov. Mali krogelni krog je osnovna ploskev krogelnega odseka.

Površina krogle:

P = 4QR2

Prostornina krogle:

4QR V = -----------3

Sfera je ploskev, ki je ne moremo togo razviti v ravnino. To velja tudi za vse njene dele.

Najbližja pot med dvema točkama na krogli leži na glavnem krogelnem krogu, ki gre skozi ti dve točki.

1. Izračunajmo polmer in prostornino krogle, če je dana njena površina P 232 cm2. P 4SR2 4S

0 ᝽1 100x 0᝽001

1- ax ( a) 5 0 ---a4 d) 0᝽25x 1 82x 1 1--- 1 2 x

e) 2x 3 8x 1 162x 1 16 42x f) 2x 16x – 1 0᝽52x 4x 1 1

2x 1

g) ( 2) ( 16) 0᝽125 x

h) 0᝽1 9

3 2x

1 --- 0᝽25x 5 4

x 2

27 81

P----4S

4᝽3 cm

45. Za funkcijo f(x) = –4x + 2 zapišite začetno vrednost, izračunajte ničlo funkcije, zapišite enačbo vodoravne asimptote ter narišite njen graf. Rešite neenačbo –4x + 2 t –2. x+2

41. Na dva različna načina pokažite, da je x 11 x–1 --1- . rešitev enačbe a3 – x 3 a2

42. Rešite enačbe. a) 3x 2 3x 90 b) 2x – 1 + 2x + 1 = 10 c) 22x 1 3 22x 22x 2 1 0 č) 53x 1 125x 251᝽5x 1 495 x 1 80 d) 4 x ( 1--- ) 4

x x 2 9 1᝽5 x 1 e) 2 --3- 2--2 3 x 1 – --1- ) 2 3 0᝽25 x 21 0 f) 4x 1 2 ( ----16

() ( )

ZGLEDI

P- ; R R2 -----

b) 2 1᝽53x 9---

č)

44. Narišite graf funkcije f(x) = 2–x – 4. a) Izračunajte začetno vrednost in ničlo funkcije f. b) Zapišite enačbo vodoravne asimptote grafa funkcije f in narišite njen graf. c) Zapišite zalogo vrednosti funkcije f. č) Rešite neenačbo 2–x + 1 < 4.

40. Rešite enačbe. a) 0᝽25x 16 42x

Krogla je geometrijsko telo, omejeno s krogelno lupino ali sfero. Sfera je množica točk v prostoru, ki so enako oddaljene od središča.

Povzetek snovi

43. Dana je funkcija f(x) = 2 – 2. a) Izračunajte presečišči grafa funkcije f s koordinatnima osema. b) Zapišite enačbo vodoravne asimptote grafa funkcije f in narišite njen graf. c) Zapišite definicijsko območje in zalogo vrednosti funkcije f. č) Na katerem intervalu je funkcija f pozitivna?

46. Dana je funkcija f(x) = 2 – 1. a) Zapišite presečišči grafa funkcije f s koordinatnima osema. b) Narišite graf funkcije f. c) Rešite neenačbo 2x + 2 – 1 < 0. 47. Dana je funkcija f(x) = 4x – 2. a) Narišite njen graf. b) Izračunajte koordinati presečišča A grafa funkcije f s premico x = 1. c) Izračunajte koordinati presečišča B grafa funkcije f s premico y = 1. č) V isti koordinatni sistem narišite obe premici in preverite pravilnost izračunanih presečišč. 48. Rešite neenačbe (pomagajte si z grafi). a) 3x 2 1 ! 0

c) 5x 1 d 1---

b) 4x 3 4

č) e x 2 d 1

3 ----------- ; R V 4SR

3V- , R 5 cm ----4S

P 4SR2 314᝽3 cm2

Dodatna pojasnila, sheme, zanimivosti

00 uvodne 001-005.indd 5

Zgledi, kako rešujemo naloge.

p(x) = an xn + an – 1 xn – 1 + … + a2 x2 + a1 x + a0, an ≠ 0 Realna števila a0, a1, a2, a3, …, an so koeficienti polinoma, an je vodilni koeficient, a0 je prosti člen. Naravno število n je stopnja polinoma. Dva polinoma sta enaka, če imata enaki stopnji in enake koeficiente pri potencah iste stopnje. Vsota, razlika, produkt in kvocient dveh polinomov je polinom. p(x) st. n p(x) q(x) kp(x) p(x) q(x) p(x)q(x) p(x) : q(x) q(x) st. m

n!m n m

n dn

n n

n dn

n m 2n

n m 0

Osnovni izrek ob deljenju polinomov Za polinom p stopnje n in polinom q stopnje m (n t m) obstajata natanko določena polinom k stopnje n m in polinom r stopnje, manjše od m, da velja: p(x) = k(x)q(x) + r(x)

50. V istem koordinatnem sistemu narišite krivulji y 2x 2 1 in y 4 x ter zapišite koordinati presečišča.

Ostanek pri deljenju polinoma p z linearnim polinomom (x c) je enak 0 natanko takrat, ko je p(c) 0. To pomeni, da je c ničla polinoma p natanko takrat, ko je polinom p deljiv z linearnim polinomom (x c).

51. V istem koordinatnem sistemu narišite krivulji y 3x 1 in y x 1 ter zapišite koordinati presečišča.

Vsak nekonstantni polinom ima vsaj eno ničlo, polinom n-te stopnje ima natanko n ničel.

MATEMATIČNI OREHI 49. Dana je funkcija f(x) = 3x – 2. a) Zapišite presečišče grafa funkcije f z ordinatno osjo in enačbo vodoravne asimptote. b) Narišite graf funkcije f in graf funkcije g(x) = |f(x)|. c) Z grafa razberite, za kateri realni števili x je g(x) = 1, in ugotovitev računsko preverite.

Polinom je realna funkcija realne spremenljivke:

Polinom delimo z linearnim polinomom z uporabo Hornerjevega algoritma.

2. Kolikšna je površina krogle s prostornino 524 cm3?

Polinomi

Če je polinom p deljiv s polinomom q, je ostanek r(x) 0 in velja: p(x) k(x)q(x).

3 ----------- 332᝽3 cm3 V 4SR

Prvi, ki je pri risanju zemljevidov uporabil matematična sredstva, točneje geometrijsko projekcijo, je bil flamski matematik Gerhard Kremer (1512–1594), ki si je nadel latinski vzdevek Mercator. Mercator je globus projiciral na valj, ovit okoli ekvatorja.

NE POZABI Racionalne ničle polinoma p iščemo med ulomki oblike --c- , pri čemer mora imenovalec d deliti vod dilni koeficient polinoma an, števec c pa mora deliti prosti člen polinoma a0. Iracionalne ničle iščemo z metodo bisekcije. Graf polinoma je nepretrgana krivulja. V ničlah lihe stopnje graf polinoma seka abscisno os, polinom v lihi ničli spremeni predznak. V ničlah sode stopnje se graf polinoma dotakne abscisne osi, polinom v ničlah sode stopnje ne spremeni predznaka. Graf polinoma se daleč proč od izhodišča obnaša tako kot vodilni člen, torej kot funkcija an xn. Racionalne funkcije Okrajšani kvocient teh dveh polinomov p in q, kjer q ni ničelni polinom, je racionalna funkcija: ---------f(x) = p(x) q(x)

Racionalna funkcija ni definirana v ničlah imenovalca. Ničle števca so ničle racionalne funkcije, ničle imenovalca pa njeni poli. V polih ima pokončno asimptoto. Če je pol lihe stopnje, funkcija pri prehodu čez pol spremeni predznak. Če je pol sode stopnje, funkcija pri prehodu čez pol ne spremeni predznaka. V ničlah pa se obnaša kot polinom v števcu. Obnašanje racionalne funkcije pri velikih vrednostih x je odvisno od stopnje polinoma v števcu in stopnje polinoma v imenovalcu.

Naloge, ki razvijajo gibkost pri razmišljanju.

28. 08. 2020 10:19:28

0_poglavje_eksponentna.fm Page 6 Friday, August 28, 2020 11:06 AM

6 Eksponentna funkcija

Eksponentna enačba

Logaritmi

Pravila za računanje logaritmov

Logaritemska funkcija

Logaritemska enačba

Prehod k novi osnovi

Uporaba logaritma in eksponentne funkcije

EKSPONENTNA IN LOGARITEMSKA FUNKCIJA

a. co m

Ameba naredi pri razmnoževanju neobičajen matematični trik. Ko zraste do določene velikosti, se edina celica, iz katere je zgrajena, razdeli na dve celici in nastaneta dve amebi. Po približno enem dnevu sta ti dve amebi dovolj veliki za naslednjo delitev.

Koliko ameb nastane iz ene amebe v tednu dni? Odgovor preberemo iz tabele: število dni število ameb

0 1

1 2

2 4

3 8

4 16

5 32

6 64

7 128

ar n

Prva vrstica predstavlja zaporedje nenegativnih celih števil, druga pa zaporedne potence števila 2 (z eksponenti iz zgornje tabele).

John Napier (1550–1617)

Škotski matematik John Napier je v začetku 17. stol. raziskoval podobno tabelo in ugotovil pomembno lastnost: če je zmnožil dve števili iz druge vrstice, je dobil za rezultat število iz iste vrstice (npr. 4  32  128), pri tem pa je bilo treba prirejeni števili iz prve vrstice samo sešteti (2  5  7). Množenju števil v drugi vrstici je ustrezalo seštevanje prirejenih števil v prvi vrstici (pravilo množenja potenc z isto osnovo).

jig

Napier je števila v prvi vrstici imenoval logaritmi prirejenih števil v drugi vrstici. Ime je sestavil iz grških besed logos in arithmos, kar bi v prevodu pomenilo razmersko število. Svoje odkritje je leta 1614 objavil v knjigi z naslovom Mirifici Logarithmorum Canonis descriptio (Opis čudovitih zakonitosti logaritmiranja).

Prva stran knjige

Znanstveniki in matematiki so hitro spoznali uporabnost logaritmov. Olajšali so jim računanje z velikimi števili, kar je bilo posebej pomembno pri dolgih preračunavanjih v astronomiji. Angleški matematik Henry Briggs je zaradi večje praktičnosti namesto osnove 2 predlagal osnovo 10 (po njem desetiške logaritme imenujemo tudi Briggsovi logaritmi). Sestavil je tudi prve tabele desetiških logaritmov (logaritmovnik) z natančnostjo 10 decimalnih mest. Med sestavljavci logaritmovnikov se je izkazal tudi Jurij Vega. Po vsej Evropi je zaslovel s knjigo Thesaurus logarithmorum completus, ali po naše Zakladnica popolnih logaritmov, ki je prvič izšla leta 1794. V njej so izračunani desetiški logaritmi števil od 1 do 101 000 in logaritmi trigonometričnih funkcij

0_poglavje_eksponentna.fm Page 7 Friday, August 28, 2020 11:06 AM

7 na deset decimalk. Natančnost tabel je bila tolikšna, da je obljubil zlat cekin za vsako odkrito napako. Zaradi odlične kakovosti je knjiga doživela več kot 200 izdaj v skoraj vseh evropskih jezikih (zadnja znana izdaja je iz leta 1962).

a. co m

Orgle so kraljica glasbil. Sestavljene so iz piščali. Če pogledamo v notranjost orgel, opazimo podobnost krivulj, po katerih se dvigajo piščali posameznih registrov.

Jurij Vega (1754–1802)

Vegov logaritmovnik

jig

ar n

To nas ne sme presenetiti, saj so piščali posameznih registrov postavljene po vrsti kakor strune pri klavirju. Vijaki, ki držijo strune, oblikujejo podobno krivuljo – graf eksponentne funkcije.

Že pitagorejci so preučevali tone, ki jih oddajajo enako ali različno napete strune. Ugotovili so, da enako dolge in enako napete strune dajo enak ton, če pa struno krajšamo, se ton viša. Vsaki višini tona ustreza določeno število nihajev na sekundo ali frekvenca. Frekvenca tona temperirane ali enakomerne poltonske lestvice je od frekvence poprejšnjega tona višja za faktor 12 2 .

Pitagora pri strunskem glasbilu

0_poglavje_eksponentna.fm Page 8 Friday, August 28, 2020 11:06 AM

Eksponentna funkcija Bakterije se v ugodnih razmerah zelo hitro razmnožujejo. Na začetku poskusa smo ocenili količino 14᝽2  106 bakterij. Poskrbeli smo za ugodne razmere, štetje ponavljali vsako uro in podatke zapisali v preglednico. 0᝽0 1᝽0 2᝽0 3᝽0 4᝽0 5᝽0 6᝽0 7᝽0 8᝽0 14᝽2 16᝽6 19᝽4 22᝽7 26᝽6 31᝽1 36᝽4 42᝽6 49᝽8

a. co m

t h b

Pri tem je število bakterij enako b(t)  106.

Za razlago tega pojava izračunajmo razliko in količnik dveh zaporednih števil bakterij. t h 1᝽0 2᝽0 3᝽0 4᝽0 5᝽0 6᝽0 7᝽0 8᝽0 razlika 2᝽4 2᝽8 3᝽3 3᝽9 4᝽5 5᝽3 6᝽2 7᝽2 količnik 1᝽17 1᝽17 1᝽17 1᝽17 1᝽17 1᝽17 1᝽17 1᝽17

Pri dveh zaporednih štetjih bakterij se povečuje razlika, količnik pa je stalen. Kolonija bakterij se vsako uro ne poveča za isto število, ampak se poveča za isti faktor, ki je 1᝽17.

ar n

Povečanje kolonije bakterij opišemo z enačbami: b(0)  b0  14᝽2  106 b(1)  b(0)  1᝽17  b0  1᝽17 b(2)  b(1)  1᝽17  b0  1᝽172 b(3)  b(2)  1᝽17  b0  1᝽173

...

jig

Število bakterij b(t  1) se v naslednji uri poveča na b(t)  1᝽17, v času t od začetka poskusa pa je število bakterij: b(t)  b0  1᝽17 t

Število bakterij raste eksponentno.

Če bi bila pri f(x)  ax osnova enaka a  1, bi bil predpis f(x) = 1x  1, kar je konstantna funkcija.

Njen graf je vzporednica abscisni osi.

Funkcijo, ki jo zapišemo v obliki f(x)  ax, imenujemo eksponentna funkcija. Pri tem je a  0 in a  1.

0_poglavje_eksponentna.fm Page 9 Friday, August 28, 2020 11:06 AM

Potenca Eksponentna funkcija (spreminja se eksponent) f(x)  ax, a  0, a  1 Primeri: x  2x x  4x x  ( 1--- )x

V drugem letniku smo spoznali funkcije, pri katerih prav tako kot pri eksponentnih funkcijah nastopa potenca, vendar je neodvisna spremenljivka x v osnovi. Imenovali smo jih potenčne funkcije in zapisali v obliki f(x)  xn, kjer je n  ⺪.

a. co m

Potenčna funkcija (spreminja se osnova) f(x)  xn, n  ⺪ Primeri: x  x2 x  x4 x  x3

Množico eksponentnih funkcij razdelimo glede na velikost osnove a na dve družini: • f(x)  ax, a  1 • f(x)  ax, 0  a  1

DRUŽINA FUNKCIJ f(x) = ax, a > 1

ar n

Najprej si oglejmo značilnosti grafa enega predstavnika prve družine. Začnimo s primerom a  2; za druge vrednosti osnove a, ki so večje od 1, je potek risanja grafa enak. Tabelirajmo funkcijo za x z intervala od 3 do 3 s korakom 1. x

y  2x

3

1 --8 1 --4 1 --2

2 1

jig

0 1

Če potegnemo gladko neprekinjeno krivuljo skozi teh 7 točk v koordinatni ravnini, dobimo graf funkcije f(x)  2x. Ko x narašča prek vseh meja, funkcijske vrednosti še hitreje naraščajo in zavzamejo poljubno velike vrednosti, ko pa x pada prek vseh meja, pozitivne funkcijske vrednosti padajo in se bližajo vrednosti 0.

Ko vrednost neodvisne spremenljivke x povečamo za 1, se vrednost odvisne spremenljivke podvoji: f(x)  2x f(x + 1)  2x+ 1  2 · 2x  2 · f(x)

0_poglavje_eksponentna.fm Page 10 Friday, August 28, 2020 11:06 AM

ar n

a. co m

Lastnosti eksponentnih funkcij f(x) = ax za a > 1: • definirane so za vsa realna števila (Df  ⺢) • zaloga vrednosti je množica pozitivnih realnih števil (Zf  ⺢) • grafi sekajo ordinatno os v točki M(0, 1) • so naraščajoče • funkcije so navzdol omejene z 0, navzgor pa niso omejene • ko gre neodvisna spremenljivka x proti minus neskončnosti, so pozitivne funkcijske vrednosti vse manjše, grafi se asimptotsko približujejo abscisni osi • so injektivne

Število e je prvi uvedel švicarski matematik in astronom Leonhard Euler (1707–1783). Število e je poleg števila  najbolj znano iracionalno število. Lahko ga dobimo kot vsoto neskončne vrste:

V naravoslovju in tehniki pogosto naletimo na posebno eksponentno funkcijo f(x)  ex. Število e je iracionalno število, kar pomeni, da ga ne moremo zapisati z ulomkom, v katerem bi bila števec in imenovalec celi števili. To je n tisto število, h kateremu se stekajo vrednosti (1  --1- ) , ko n raste čez vse meje. n Število e, zapisano v decimalnem zapisu na 10 mest, je e ⬟ 2᝽718 281 828.

1 -  -------------1 - e  1  --1-  -------1

12

123

1 - …  --------------------

jig

1234

Poišči na žepnem računalu oznako ex in izpiši vrednost števila e.

0_poglavje_eksponentna.fm Page 11 Friday, August 28, 2020 11:06 AM

ZGLEDI 1. Zapišimo eksponentno funkcijo, ki poteka skozi točko A(2, 9). Iz y  ax dobimo osnovo iskane eksponentne funkcije: 9  a2.

2. Narišimo graf funkcije f(x)  1---  4x  1. 3

a. co m

Rešitev je samo a  3, kajti po definiciji eksponentne funkcije je osnova pozitivna in moramo a  3 izločiti. Iskana eksponentna funkcija je f(x)  3x.

ar n

Graf funkcije f načrtamo po korakih. Najprej narišemo y  4x, nato graf skrčimo v smeri ordinatne osi za faktor 1---, da dobimo graf y  1---  4x. 3 3 Dobljeni graf pomaknemo še za 1 navzdol.

3. Narišimo graf funkcije g(x)  3x  1.

jig

V prvem koraku narišemo osnovno eksponentno funkcijo y  3x, ki jo nato premaknemo za 1 v desno, da dobimo graf y  3x  1. Nazadnje dobljeni graf še prezrcalimo čez abscisno os.

0_poglavje_eksponentna.fm Page 12 Friday, August 28, 2020 11:06 AM

DRUŽINA FUNKCIJ f(x) = ax, 0 < a < 1 x

f(x + 1)  ( --12- )

x+1

 --12-  ( --12- )x  --12-  f(x)

a. co m

Ko vrednost neodvisne spremenx ljivke x funkcije f(x)  ( --12- ) povečamo za 1, se vrednost funkcije razpolovi:

Izberimo za osnovo a vrednost 1--- . Graf funkcije f(x)  ( 1---) je v tesni zvezi z 2 x x 2 x grafom y  2x. Ker je ( 1--- )  (21)  2 x, zavzema funkcija x  ( 1--- ) za pozitivne 2 2 vrednosti x iste funkcijske vrednosti kot funkcija x  2x za negativne vredx nosti x in obratno. Graf funkcije f(x)  ( 1--- ) dobimo z zrcaljenjem grafa y  2x 2 x čez ordinatno os. Krivulji y  ( 1--- ) in y  2x sta zrcalni glede na ordinatno os. 2

Grafa funkcije x  ax in x  ax sta zrcalna glede na ordinatno os.

jig

ar n

Lastnosti eksponentnih funkcij f(x) = ax za 0 < a < 1: • definirane so za vsa realna števila (Df  ⺢) • zaloga vrednosti je množica pozitivnih realnih števil (Zf  ⺢) • grafi sekajo ordinatno os v točki M(0, 1) • so padajoče • funkcije so navzdol omejene z 0, navzgor pa niso omejene • ko gre neodvisna spremenljivka x proti neskončnosti, so pozitivne funkcijske vrednosti vse manjše, grafi pa se asimptotsko približujejo abscisni osi • so injektivne

Skakalnica v Holmenkollnu na Norveškem

0_poglavje_eksponentna.fm Page 13 Friday, August 28, 2020 11:06 AM

ZGLED V isti koordinatni sistem narišimo grafe funkcij x x x x f(x)  ( 3--- ) , g(x)  ( 2--- ) in h(x)  ( 3---)  ( 2--- ) . 2

f(x)  ( 3--- )

3

0᝽30

3᝽38

2

0᝽44

2᝽25

1

0᝽67

1᝽50

1᝽00

1᝽50

0᝽67

2᝽25

0᝽44

3᝽38

0᝽30

g(x)  ( 2--- )

h(x)  ( 3--- )  ( 2--- ) 2

3᝽67 2᝽69 2᝽17

2᝽00

2᝽17

2᝽69

3᝽67

ar n

a. co m

Z žepnim računalom izračunajmo nekaj vrednosti funkcij f, g in h ter narišimo pripadajoče grafe funkcij.

Vidimo, da sta grafa funkcij f in g zrcalna glede na ordinatno os, saj je x x x ( 3--- )  (( 2--- )1)  ( 2--- ) . Funkcija h je vsota funkcij f in g. 2

jig

Točko na grafu funkcije h dobimo tako, da ordinati točke na grafu funkcije f prištejemo vrednost ordinate točke na grafu funkcije g z isto absciso. Funkcija h je navzdol omejena z 2, navzgor neomejena in soda (simetrična glede na ordinatno os). Ko se neodvisna spremenljivka x povečuje prek vseh meja, se funkcija h približuje funkciji f, ko pa neodvisna spremenljivka x pada prek vseh meja, se funkcija h približuje funkciji g.

Virus gripe se na populaciji dijakov neke šole širi s funkcijo N(t)  2t, kjer N pomeni število okuženih dijakov, t pa čas v dnevih. a) Narišite graf funkcije N v odvisnosti od t. b) Izračunajte, koliko ljudi je imelo gripo pri t  0. c) Izračunajte, koliko ljudi bo okuženih po 1, 4, 7 dneh.

Gibka, težka in neraztegljiva nit, ki je obešena v dveh točkah, zavzame obliko verižnice, ki jo zapišemo s funkcijskim predpisom: x -a-

–--ax-

e +e f(x)  a  ----------------2

0_poglavje_eksponentna.fm Page 14 Friday, August 28, 2020 11:06 AM

NALOGE 1. Zapišite z ulomki in pisno izračunajte 20  0᝽2  (0᝽75) + 0᝽25 : 0᝽125.

a. co m

2. Najprej ponovite pravila za računanje s potencami in nato pisno izračunajte. a) (32)3  34 : 35 –2 b) 2–3  ( 1--- ) 4 c) 90 + (2  3–3 – 9–1)–2

3. Izračunajte na dva različna načina (s koreni in s potencami z racionalnimi eksponenti). a) 3 9  27 : 6 3 b) a  3 a : 3 a --4-

c) 83 + 0,25

–--12

4. Natančno izračunajte. 2 ------------č) ( 1--- )1 – 5 a) ( 3 2 ) 2 2

4  36 3 –

d) 8 2

6

3--------27

4

2 + 2 3----------------1– 3

3– 2

jig

5. Izračunajte. a) (22a5b3)  (23a3b6) b) 2–4x–2y–3  25x–2y4 c) (a–3b8)  (a–1b–2) č) (8x4y3) : (2x3y5) d) (8a7b5) : (16a5b8) e) (63a–2) : (9a–5) f) (3–3ab–3) : (32a–2b) g) (x–1y)–3  (x2y–3)4 h) 2x –2 – 2x + 3  2x + 1 i) 4x – 1 – 4x + 2 + 3  4x+1

6. K funkcijam f, g in h iz spodnje tabele zapišite pravilno poimenovanje, graf in zalogo vrednosti.

1 0

1 --2

Predpis

f(x) = 2x g(x) = x2 h(x) = 2x

Poimenovanje

Linearna funkcija Eksponentna funkcija Kvadratna funkcija

Zaloga vrednosti

[0, ∞) (0, ∞) ⺢

ar n

b) 4 c) 6

1 + 2 -------------2

7. Z žepnim računalom izračunajte in rezultate zaokrožite na 4 mesta. a) 5 2 2 b) ( 2 3 ) c) ( 3

)

2–1

8. Funkciji f: ⺢  ⺢; f(x) = 3x in g: ⺢  ⺢; g(x) = x3 tabelirajte na intervalu [–2, 2] in v isti koordinatni sistem narišite njuna grafa. 9. Zapišite predpis za eksponentno funkcijo f(x) = ax, za katero je f(3) = 64, in narišite njen graf. Koliko je f( 1--- )? Pri katerem x ima funkcija 2 vrednost 8?

0_poglavje_eksponentna.fm Page 15 Friday, August 28, 2020 11:06 AM

11. Na sliki je graf funkcije f(x) = ax. y

14. Zapišite eksponentno funkcijo f(x)  ax, katere graf gre skozi točko (1, 3--- ). Za funkcijo f zapišite 4 presečišče z ordinatno osjo, enačbo vodoravne asimptote in narišite njen graf. x

15. Funkciji f: x  ( 5--- ) in g: x  ( 5--- ) tabelirajte 2 2 na intervalu 2, 2 in njuna grafa narišite v isti koordinatni sistem.

a. co m

10. Zapišite predpis za eksponentno funkcijo f(x) = ax, katere graf gre skozi točko (2, 1--- ), 4 in narišite njen graf. Katere od točk A(–1, 2), B(1, 1--- ), C(–2, 4) in D(1, 0) ležijo na grafu 2 funkcije f?

x

16. Funkciji f: x  ( 1--- ) in g: x  ( 1--- ) tabelirajte 3 3 na intervalu 3, 3 in njuna grafa narišite v isti koordinatni sistem.

1 0

a) S slike razberite a in zapišite predpis za funkcijo f. b) Zapišite definicijsko območje in zalogo vrednosti funkcije f. c) Ali je funkcija f naraščajoča ali padajoča? č) Izračunajte, koliko je f(2) in koliko f(–2).

19. V isti koordinatni sistem narišite graf funkcije f(x) = 2x in premico z enačbo y = 2. Zapišite koordinati njunega presečišča. Za katere x leži graf funkcije f pod dano premico?

20. V isti koordinatni sistem narišite graf funkcije f(x) = 5–x in premico, podano z enačbo x = 2, in izračunajte koordinati njunega presečišča.

jig

13. Zapišite predpis za eksponentno funkcijo f(x)  ax, za katero je: a) f ( 1--- )  2 c) f(2)  9--2 b) f 4---  16 3

( )

18. Narišite graf funkcije f(x) = ( 1--- ) – 1. 2 a) Zapišite enačbo vodoravne asimptote grafa funkcije f in zalogo vrednosti funkcije f. b) Za katera realna števila x je funkcija f negativna?

ar n

12. Na sliki je graf funkcije f(x) = ax.

17. Narišite graf funkcije f(x) = 2x – 2. a) Zapišite enačbo vodoravne asimptote grafa funkcije f in zalogo vrednosti funkcije f. b) Zapišite, za katera realna števila x je funkcija f pozitivna.

4 3 27č) f  ---  -------2 125

( )

21. Narišite graf funkcije f(x) = 3–x + 1. a) Zapišite zalogo vrednosti funkcije f. b) Rešite neenačbo f(x) < 2. 22. V isti koordinatni sistem narišite grafe funkcij. a) f(x) = 3x b) g(x) = 3x  2 c) h(x) = 3x  2 23. V isti koordinatni sistem narišite grafe funkcij. a) u(x) = 4x  3 b) v(x) = 4x  2 c) q(x) = 1---  4x 2

0_poglavje_eksponentna.fm Page 16 Friday, August 28, 2020 11:06 AM

16 24. V isti koordinatni sistem narišite grafe funkcij. a) x  3x b) x  3x  1 c) x  3x  1

26. V isti koordinatni sistem z različnimi barvami x narišite grafe funkcij f(x) = 3x, g(x) = ( 1--- ) , 3 h(x) = –3x in s(x) = –3–x. Kateri dve funkciji sta naraščajoči in kateri dve padajoči?

MATEMATIČNI OREHI

a. co m

25. V isti koordinatni sistem narišite grafe funkcij. a) x  2x  3 b) x  2x  1 c) x  3---  2x

27. Za funkciji f: x  ex in g(x)  ex  1 zapišite presečišči z ordinatno osjo, enačbi vodoravnih asimptot in narišite njuna grafa. Narišite še graf funkcije h(x)  ex  2. 28. V isti koordinatni sistem narišite grafa funkcij f: x  2x  2  1 in g(x)  |f(x)|. Za obe funkciji zapišite definicijsko območje in zalogo vrednosti.

ar n

29. Za funkcijo f: x  2x  2  2 zapišite ničlo, presečišče grafa z ordinatno osjo, enačbo vodoravne asimptote in narišite njen graf. V isti koordinatni sistem narišite še graf funkcije g: x  |2x  2  2|.

32. Banka za vezane vloge za daljše obdobje ponuja 3 % letno obrestno mero in obresti pripiše k vlogi ob koncu vsakega varčevalnega leta. Odločili smo se, da bomo vložili 1000 €. a) Izračunajte, na koliko naraste vloga po enem letu. b) Ugotovite, ali funkcija f(x) = 1000  1᝽03x opisuje stanje naše vloge v odvisnosti od časa x, ki ga merimo v letih. c) Izračunajte, na koliko naraste vloga po dveh letih in na koliko po 5 letih. č) S pomočjo tehnologije narišite graf funkcije f in ocenite, v koliko letih bi se vloga potrojila.

jig

30. Narišite graf funkcije f(x)  3---  4x. Graf vzporedno 2 premaknite v smeri abscisne osi tako, da bo sekal ordinatno os v točki (0, 6). Zapišite predpis za eksponentno funkcijo g, katere graf ste dobili.

31. Narišite grafe funkcij. a) x  3x  1  2 b) x  4x  2  1 c) x  |3x  1  3| x č) x  |3( 2--- )  2| 3

33. Ob nakupu priljubljene prenosne elektronske naprave so nam povedali, da se njena vrednost po vsakem letu uporabe zmanjša za četrtino. Zanjo smo vseeno plačali 500 €. a) Izračunajte, kolikšna je še njena vrednost po enem letu uporabe. b) Zapišite funkcijo, ki opisuje vrednost naprave v odvisnosti časa. c) Izračunajte, na koliko pade vrednost naprave po dveh letih in na koliko po petih letih. č) S pomočjo tehnologije narišite graf funkcije f.