a. co m
ar n
LINEA NOVA
Matematika za gimnazije
kn
jig
Gregor Pavlič Dušan Kavka Marina Rugelj Janez Šparovec
uvodne.indd 1
15. 07. 2019 09:22:43
LINEA NOVA Matematika za gimnazije
a. co m
Avtorji Gregor Pavlič, Dušan Kavka, Marina Rugelj, Janez Šparovec Recenzenta dr. Marjan Jerman, Hanka Lebič Urednica Simona Knez
Lektorici Renata Vrčkovnik, Aleksandra Kocmut Ilustracije Darko Simeršek
Fotografije Arhiv založbe Modrijan, Mojmir Fortuna, Gregor Pavlič, Marina Rugelj, Janez Šparovec, Janez Zrnec Karte Inštitut za geodezijo in fotogrametrijo FGG, mag. Mateja Rihtaršič Oprema in oblikovanje Andreja Globočnik
ar n
Prelom Goran Čurčič, Rasto Furlan
Izdala in založila Modrijan izobraževanje, d. o. o. Za založbo Matic Jurkošek Tisk Zrinski, d. o. o. Naklada 1500 izvodov Ljubljana 2020 Druga izdaja, 1. ponatis
jig
Strokovni svet RS za splošno izobraževanje je na seji dne 21. 6. 2012 s sklepom št. 6130-1/2012/109 potrdil učbenik LINEA NOVA, matematika za 1. letnik gimnazij, ki so ga napisali Gregor Pavlič, Dušan Kavka, Marina Rugelj in Janez Šparovec.
Vse knjige in dodatna gradiva založbe Modrijan izobraževanje dobite tudi na naslovu www.knjigarna.com.
© Modrijan izobraževanje, d. o. o. Vse pravice pridržane.
kn
Brez pisnega dovoljenja založnika so prepovedani reproduciranje, distribuiranje, javna priobčitev, predelava ali druga uporaba tega avtorskega dela ali njegovih delov v kakršnem koli obsegu in postopku, tudi fotokopiranje, tiskanje ali shranitev v elektronski obliki. Tako ravnanje pomeni, razen v primerih od 46. do 57. člena Zakona o avtorski in sorodnih pravicah, kršitev avtorske pravice.
Modrijan izobraževanje, d. o. o., Stegne 9 b, 1000 Ljubljana telefon: 01 513 44 00 telefonska naročila: 01 513 44 04 e-pošta: narocila@modrijan-izobrazevanje.si www.modrijan-izobrazevanje.si, www.knjigarna.com
uvodne.indd 2
CIP – Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 51(0.75)3 CIPLINEA nova : matematika za gimnazije / Gregor Pavlič … [et al.] ; [ilustracije Darko Simeršek ; fotografije arhiv založbe Modrijan … [et al.] ; karte Inštitut za geodezijo in fotogrametrijo FGG, Mateja Rihtaršič]. – 2. izd., 1. ponatis. – Ljubljana : Modrijan izobraževanje, 2020 ISBN 978-961-7070-35-4 1. Pavlič, Gregor, 1954– COBISS.SI-ID 28031235
14. 09. 2020 10:27:47
NARAVNA IN CELA ŠTEVILA
a. co m
KAZALO 6
Naravna števila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Cela števila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Potence z naravnimi eksponenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Večkratniki in izrazi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
DELJIVOST NARAVNIH IN CELIH ŠTEVIL
34
ar n
Relacija deljivosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Kriteriji deljivosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Praštevila in sestavljena števila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Osnovni izrek o deljenju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Največji skupni delitelj in najmanjši skupni večkratnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
OSNOVE LOGIKE IN TEORIJE MNOŽIC
60
Izjave in izjavne povezave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Množice in računanje z njimi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
RACIONALNA ŠTEVILA
78
jig
Ulomki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 Računske operacije z ulomki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 Potence s celimi eksponenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 Ulomki in decimalni zapis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 Algebrski ulomki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
kn
REALNA ŠTEVILA
102
Množica realnih števil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 Kvadratni in kubični koren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 Interval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 Reševanje linearnih enačb in sistemov enačb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 Sklepni račun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 Procentni račun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 Reševanje linearnih neenačb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 Absolutna vrednost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 Zaokrožanje, približki in napake . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
uvodne.indd 3
26.9.2011 11:12:27
OSNOVE STATISTIKE
154
a. co m
Osnovni pojmi statistike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 Urejanje in grupiranje podatkov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 Grafično prikazovanje podatkov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 Srednje vrednosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 Razpršenost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
LINEARNA FUNKCIJA
178
Koordinatni sistem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 Razdalja med dvema točkama v ravnini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 Obseg in ploščina trikotnika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 Funkcija in njene lastnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 Linearna funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 Enačbe premice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
234
kn
jig
ar n
REŠITVE
uvodne.indd 4
26.9.2011 11:12:27
a. co m
UVOD Od prvega natisa učbenika Linea je minilo že več kot deset let, in po tolikem času so nekateri posegi v knjigo že potrebni. V tem času je bil sprejet tudi nov učni načrt, ki je odločitev o prenovi pospešil in hkrati prispeval k modernizaciji in izboljšanju učbenika. Učbenik se sedaj imenuje Linea nova. Učbenik mora, kot trdijo domala vse pedagoške avtoritete na matematičnem področju, upoštevati tri vidike poučevanja: • Matematika ima globoke korenine v zgodovini in je delo mnogih kultur. To moramo spoštovati in pri posredovanju znanja mladim rodovom vsaj v grobih obrisih predstaviti njen razvoj.
• Velik del abstraktne matematike je zasnovan na enostavnih primerih, ki jih lahko v šoli pokažemo z uporabo modelov in učno tehnologijo.
ar n
• Matematika je postala univerzalni jezik tehnološkega sveta. Učbenik naj na slikovitih zgledih pokaže, da je matematika vsestransko uporabna.
jig
Vse te vidike je res vsebovala že prva Linea, prenovljena knjiga pa vpeljuje tudi modernejši problemsko-modelski pristop. Na matematiko ne gleda le kot na akademsko veščino ali miselno telovadbo, ampak pokaže, da je nepogrešljiva tudi za druge znanosti – uporabna in vpeta v vsakdanje življenje. Kjer se le da, so zato nakazane medpredmetne povezave. V zadnjih desetih letih je napredovala tudi učna tehnologija, zato v prenovljeni knjigi ni več posebnih strani, namenjenih njeni uporabi, ampak je IKT vpeta med ostale naloge.
kn
Razen označevanja nalog in tematike, ki jo učni načrt opredeljuje kot zahtevnejšo ali izbirno, je notranja struktura učbenika ostala nespremenjena.
Legend Legenda:
zgledi
naloge
posebna in izbirna znanja 1. 1. težje naloge in zgledi
uvodne.indd 5
26.9.2011 11:12:27
01_naravna in cela števila.fm Page 6 Wednesday, August 17, 2011 7:34 PM
6
LINEA NOVA
NARAVNA IN CELA ŠTEVILA
Poznavanje naravnih števil sega daleč v zgodovino. Velike prelomnice v razvoju človeštva so začetek kmetovanja (8000 let pr. Kr.), žganje gline (6500 let pr. Kr.) in uporaba kolesa (2700 let pr. Kr.). Štetje se je pojavilo že mnogo prej. Najstarejši dokaz za to je pavijanova stegnenica z 29 zarezami, ki so jo našli v gorovju Lebembo v Afriki in je stara približno 53 000 let. Trideset tisoč let pa je stara volčja kost s 55 zarezami v skupinah po pet, najdena na Češkem.
ar n
Volčja kost, ki jo je na Češkem leta 1937 našel arheolog Karl Absolom.
Naravna števila Cela števila Potence z naravnimi eksponenti Večkratniki in izrazi
a. co m
– – – –
jig
Zapisovanje števil z vrezovanjem črtic na palico – rovaš – se je ponekod ohranilo do današnjih dni. V nekaterih krčmah natakarji še vedno za vsak izdan vrček piva s kredo narišejo črtico na tablo ob točilni mizi – ob slovesu pa gostom zaračunajo zapitek.
kn
Rovaš z otočja Fidži
Arheologi so se dolgo spraševali, kaj pomenijo številni majhni okrogli, valjasti in stožčasti predmeti iz žgane gline, najdeni v Mali Aziji. Domnevali so, da so sestavni del kake igre ali morda simboli plodnosti, dokler ni bil leta 1970 raziskan njihov pravi namen. Kmetje so jih uporabljali kot mersko in tipsko oznako zalog uskladiščenega blaga. Za različno blago so uporabljali različne oblike. Sistem je bil tako standardiziran in je pomagal pri zgodovinskem razvoju številskih sistemov.
01_naravna in cela števila.fm Page 7 Wednesday, August 17, 2011 7:34 PM
Naravna in cela števila
Egipčanska številska pisava
1
2
10
10
10
3
10
10
3
11
10
5
6
10
4
5
6
7
8
ar n
2
I.............. 1 II . . . . . . . . . . . . . 2 III. . . . . . . . . . . . . 3 IV. . . . . . . . . . . . . 4 V ............. 5 VI. . . . . . . . . . . . . 6 VII . . . . . . . . . . . . 7 VIII . . . . . . . . . . . 8 IX. . . . . . . . . . . . . 9 X . . . . . . . . . . . . 10 L . . . . . . . . . . . . 50 C . . . . . . . . . . . 100 D . . . . . . . . . . . 500 M . . . . . . . . . . 1000
Kitajska številska pisava
Babilonska številska pisava 1
4
Rimska številska pisava
a. co m
Za pisanje števil so ljudje v zgodovini uporabljali različne znake. Babilonci so uporabljali klinopis in so za zapis poljubnega naravnega števila potrebovali le dve vrsti znakov, stari Grki in Židje so uporabljali kar svojo abecedo, stari Egipčani so za potence števila 10 risali figurice, Kitajci so števila pisali s pismenkami, Maji s črticami in pikami, Inki so jih vozlali na vrvice, Rimljani so jih zlagali iz črtic. Današnji način zapisovanja števil izvira iz Indije in so ga okoli leta 1000 v Evropo prinesli arabski trgovci, zato ga še danes zmotno imenujemo arabski.
7
12
20
30
40
50
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 100 1000 1000 000
9
59
jig
Arabska številska pisava 0
1
2
3
kn
Majevska številska pisava
4
5
6
7
8
9
Inkovska številska pisava
Azteška številska pisava
4T 4S
1
2
3
4
5
5D 6E
20
400
8000
10
01_naravna in cela števila.fm Page 8 Wednesday, August 17, 2011 7:34 PM
8
LINEA NOVA
a. co m
Števila so ponazarjali tudi s prsti na rokah. Ena od ponazoritev števil z roko je bila objavljena v tiskani knjigi Luca Paciolija Summa Arithmeticae leta 1494. Na podlagi take ponazoritve si je neznani srednjeveški pesnik v enem od svojih stihov takole zaželel dolgega življenja: »Daj Bog, da si nekoč lahko pokažem leta z desno roko.« (To pomeni, da bo živel vsaj 100 let.)
ar n
Spomin na ponazarjanje števil s prsti se je ohranil v angleškem jeziku, kjer digit pomeni cifra (lat. digitus prst), z računalniškim izrazjem pa je beseda digitalen prišla tudi k nam.
Ponazoritev števil z roko iz knjige Summa Arithmeticae
kn
jig
Prvo pravo računalo v zgodovini je bil abak. To je bila gladka, s prahom posuta plošča, na katero so v mnogih starih kulturah s trščico pisali števila in risali geometrijske konstrukcije. Ime najbrž izvira iz hebrejske besede abak, ki pomeni prah. Najstarejši ohranjeni primerki abakov so stari 2300 let. Na plošči so bile narisane vodoravne črte, ki so pomenile mesta v desetiškem sestavu. Na črtice so polagali kamenčke iz peščenca ali kalkule (lat. calculus), zato se je računanja oprijelo ime kalkulacija.
V posojilnici, lesorez iz 16. stoletja
Tabela za množenje, 16. stoletje
01_naravna in cela števila.fm Page 9 Wednesday, August 17, 2011 7:34 PM
Naravna in cela števila
9
Prvi mehanski računski stroj je leta 1642 sestavil Blaise Pascal, ko je imel komaj 19 let. Z njim je želel pomagati svojemu očetu, davčnemu uradniku, ki je imel veliko dela s preračunavanjem davčnih obveznosti prebivalcev. Stroj je bil sposoben seštevati in odštevati 6-mestna števila. Leta 1673 je Gottfried Wilhelm Leibniz skonstruiral računski stroj, ki je znal tudi množiti in deliti.
a. co m
V začetku 19. stoletja je Charles Babbage izumil računski stroj, ki je že spominjal na moderni računalnik. Imenoval ga je diferenčni stroj. Zaradi pomanjkanja denarja stroja ni dokončal, po njegovih načrtih so ga izdelali šele pred kratkim. Diferenčni stroj je sposoben izvesti cel niz različnih računskih operacij po vnaprej predvidenem programu, ki je s sistemom luknjic »zapisan« na papirnatem traku.
Blaise Pascal je svoj računski stroj imenoval Pascalina.
ar n
Prvi pravi elektronski računalnik so zasnovali ameriška inženirja John Presper Eckert in John William Mauchly ter slavni matematik in logik madžarskega rodu John von Neuman leta 1946. ENIAC (Electronic Numerical Integrator And Computer) je bil težak kar 30 ton in je bil postavljen na približno 200 kvadratnih metrih, sestavljalo pa ga je kakih 18 000 elektronk. Po izdelavi prvega integriranega vezja (silicijev čip) pri podjetju Texas leta 1958 se je začelo računalništvo tako hitro razvijati, da ENIAC danes, dobrega pol stoletja pozneje, po hitrosti in moči prekašajo že ceneni osebni računalniki.
Aritmometer, mehanični računski stroj za seštevanje, odštevanje, množenje in deljenje, je leta 1875 izumil švedski inženir Willgot T. Odhner. Mehanizem je bil tako uspešen, da je mnogo tovarn odkupilo licenco in so ga skoraj 100 let izdelovali in uporabljali po vsej Evropi.
jig
Zgodovina celih števil je mnogo mlajša od zgodovine naravnih števil. Matematiki si niso mogli predstavljati negativne dolžine, ploščine ali prostornine. Nemški matematik Michael Stiefel je negativna števila imenoval numeri absurdi (nesmiselna števila), Gerolamo Cardano pa numeri ficti (namišljena števila). Še René Descartes v 17. stoletju ni priznaval negativnih rešitev enačb in jih je označeval z racines fausses ali neprave rešitve.
kn
Zanimiv je tudi razvoj znaka za število nič. Maji so znak za nič poznali že pred skoraj 2000 leti, Babilonci pa so zanj uporabljali kar prazen prostor. Tako so lahko zapisali le števila, ki so imela nič v sredini, ne pa na koncu. Znak, kot ga uporabljamo danes, se je v Evropi pojavil šele skupaj z indijskim načinom pisanja števil. Zelo verjetno je na obliko znaka »ničla« vplivala prva črka starogrške besede ouden, ki pomeni nič. Najznamenitejši arabski matematik Al Hvarizmi (780–850) v nekem svojem delu natančno opisuje uporabo znaka za število nič: »Če je ostanek pri odštevanju enak nič, nariši majhen krogec, da tisto mesto ni prazno in da ne bi kdo zmotno zmanjšal števila mest rezultata.«
Del diferenčnega stroja Charlesa Babbagea, ki so ga sestavili šele leta 1991.
01_naravna in cela števila.fm Page 10 Monday, September 26, 2011 11:23 AM
10
LINEA NOVA
Naravna števila
a. co m
Naravna števila so števila, s katerimi štejemo.
1Œ⺞
⺞ = {1, 2, 3, 4 …}
Če je n Œ ⺞, je tudi n + 1 Œ ⺞.
Bolj natančno so naravna števila definirana z aksiomi: 1. Vsako naravno število ima svojega naslednika.
2. Število 1 je naravno število, ki ni naslednik nobenega naravnega števila. 3. Različni naravni števili imata različna naslednika.
4. Če neka trditev velja z vsakim naravnim številom tudi za njegovega naslednika, velja za vsa naravna števila.
Naravna števila lahko upodobimo kot točke na številski premici. Običajna premica postane številska premica, če na njej izberemo točki O in E, ki sta oddaljeni za enoto. Točka E je slika naravnega števila 1, slike vseh naslednjih naravnih števil pa so točke, ki si sledijo v oddaljenosti ene enote na desno.
ar n
Aksiome je leta 1889 postavil italijanski matematik Giuseppe Peano (1858–1932). S tem je 2000-letni razvoj aritmetike, teorije števil in algebre, ki ga je začel Evklid, preobrazil v strog in trden aksiomski sistem. Prvi aksiom nam pove, da je naravnih števil neskončno mnogo, drugi, da je 1 najmanjše naravno število, tretji pa zagotavlja linearno urejenost. S četrtim aksiomom, ki se imenuje Aksiom o popolni indukciji, se bomo bolj podrobno srečali konec tretjega učbenika Spatium novum.
jig
Z naravnimi števili lahko računamo. Osnovni operaciji v ⺞ sta seštevanje in množenje. S seštevanjem dveh naravnih števil a in b dobimo novo naravno število: vsoto a + b, z množenjem teh dveh števil pa novo naravno število: produkt a ◊ b. Seštevanje in množenje sta dvočleni notranji operaciji. Za množenje in seštevanje v ⺞ veljajo osnovni računski zakoni:
kn
seštevanec sumand
seštevanec sumand
faktor faktor
vsota summa
produkt
1. a + b = b + a Komutativnost seštevanja (zakon o zamenjavi členov) Vsota ni odvisna od vrstnega reda seštevanja. 2. (a + b) + c = a + (b + c) Asociativnost seštevanja (zakon o poljubnem združevanju členov) Vsota več kot dveh sumandov ni odvisna od združevanja po dveh sumandov. 3. a ◊ b = b ◊ a Komutativnost množenja (zakon o zamenjavi faktorjev) Produkt ni odvisen od vrstnega reda faktorjev.
01_naravna in cela števila.fm Page 11 Wednesday, August 17, 2011 7:34 PM
Naravna in cela števila
4. (a ◊ b) ◊ c = a ◊ (b ◊ c) Asociativnost množenja (zakon o poljubnem združevanju faktorjev) Produkt več kot dveh faktorjev ni odvisen od združevanja faktorjev.
Soda in liha števila Števila 2, 4, 6, 8, …, 2n …; n Œ⺞ tvorijo množico sodih števil, 1, 3, 5, 7, 9, 11 …, 2n - 1 … pa množico lihih števil. Unija obeh množic je množica naravnih števil.
a. co m
5. (a + b) ◊ c = a ◊ c + b ◊ c Distributivnost (zakon o razčlenjevanju) Distributivnost povezuje seštevanje in množenje. Če ta zakon beremo z desne proti levi, mu rečemo pravilo izpostavljanja skupnega faktorja. a ◊ c + b ◊ c = (a + b) ◊ c
11
Seštevamo in odštevamo lahko poljubna naravna števila, odštejemo pa lahko le manjše število od večjega. Razlika števil a in b (pri čemer je a večje od b) je naravno število a - b, ki ga moramo prišteti številu b, da dobimo število a.
Pri množenju količin, označenih s črkami, piko kot oznako operacije ponavadi opustimo. a ◊ b = ab
(a − b) + b = a
zmanjševanec minuend
ZGLEDI
1. 75 ◊ 3 + 12 + 16 ◊ 5 = 225 + 12 + 80 = 225 + 92 = 317
odštevanec subtrahend
razlika diferenca
ar n
2. 2 + 7 ◊ 3(2 + 4(3 + 2 ◊ 2(5 + 7 ◊ 8))) = = 2 + 7 ◊ 3(2 + 4(3 + 4 ◊ 61)) = 2 + 7 ◊ 3(2 + 4◊ 247) = = 2 + 21 ◊ 990 = 20 792 3. (12 + 5) ◊ 7 = 12 ◊ 7 + 5 ◊ 7 = 84 + 35 = 119 ali (12 + 5) ◊ 7 = 17 ◊ 7 = 119 4. 123 - 45 - 67 + 89 = 11 + 89 = 100
jig
5. 98 - 7 - 6 - 5 -4 + 3 + 21 = 91 - 6 - 5 - 4 + 24 = 85 - 5 - 4 + 24 = = 80 - 4 + 24 = 76 + 24 = 100 6. Izračunajmo ploščino lika na dva načina: z razcepitvijo na pravokotnike in z dopolnitvijo do večjega pravokotnika.
kn
a) S = 3 ◊ 3 + 3 ◊ 5 + 1 ◊ 4 + 2 ◊ 1 = 3 ◊ 8 + 6 ◊ 1 = 30
b) S = 9 ◊ 5 - 2 ◊ 3 - 1 ◊ 1 - 2 ◊ 4 = 45 - 15 = 30
PRODUKT KOT PLOŠČINA Produkt dveh naravnih števil si vedno lahko predstavljamo kot ploščino pravokotnika, katerega dolžini stranic sta enaki faktorjema v produktu. S = a◊b
RAČUNSKE VRAGOLIJE V knjigi Madachryjeve matematične rekreacije avtor pravi, da pozna kar 120 enostavnih računov, v katerih po enkrat nastopa vseh devet števk zapored in je rezultat vedno 100.
01_naravna in cela števila.fm Page 12 Wednesday, August 17, 2011 7:34 PM
12
LINEA NOVA
7. V starem Egiptu so poznali metodo množenja, ki je moderna še v dobi računalnikov. 134 134 134 134 134 134
27 1 2 4 8 16 rezultat
134 268 536 1072 2144 3618
a. co m
Denimo, da so množili števili 134 in 27. Najprej so zapisali zaporedne produkte števila 134 s potencami števila 2: 1, 2, 4, 8 …, izbrali faktorje, ki so dali vsoto 27, in nato sešteli izbrane produkte. 134 ◊ 27 = 134 ◊ (1 + 2 + 8 + 16) = = 134 + 268 + 1072 + 2144 = 3618
V digitalni dobi je ta metoda zelo uporabna, saj množenje z 2 v dvojiškem številskem sestavu pomeni premik vejice za eno v desno.
NALOGE
ar n
8. Leta 1472 je v Trevisu blizu meje z Italijo izšla prva tiskana knjiga o matematiki. V njej je bil objavljen tudi način množenja, znan pod imenom gelosia. Iz rešenega primera ugotovite način množenja in sami naredite še kakšen primer.
kn
jig
1. Izračunajte na pamet (če ne gre, si pomagajte s svinčnikom in papirjem). a) 3 + 4 ◊ 5 e) (8 + 2) ◊ 3 ◊ 5 b) (3 + 4) ◊ 5 f) 14 + 6 ◊ 2 ◊ 3 + 7 c) 7 ◊ 6 + 8 g) (14 + 6) ◊ 2 ◊ (3 + 7) č) 7 ◊ (6 + 8) h) 4 + 6 ◊ 9 + 11 ◊ 4 d) 8 + 2 ◊ 3 ◊ 5 i) (4 + 6) ◊ (9 + 11) ◊ 4
2. Izračunajte na pamet (pomagajte si z zamenjavo vrstnega reda faktorjev). a) 5 ◊ 19 ◊ 2 b) 5 ◊ 21 ◊ 4 c) 4 ◊ 23 ◊ 25 č) 20 ◊ 89 ◊ 5 d) 8 ◊ 7 ◊ 125 e) 25 ◊ 8 ◊ 4 ◊ 125
257 ◊ 694 = 178368
3. Pisno izračunajte. a) 5 ◊ 42 - 12 ◊ 4 b) 83 - 13 ◊ 6 + 14 c) 62 ◊ 6 + 99 - 19 ◊ 7 + 23 ◊ 4 č) 2 ◊ (7 + 3 ◊ (4 ◊ 9 + 12 ◊ 3)) d) ((5 + 9 ◊ 3) ◊ 4 + 7 ◊ (2 + 6)) ◊ 3 + 2 e) 13 + 2 ◊ (6 ◊ (11 + 3 ◊ 2) + 9 ◊ 7) f) (4 ◊ 3 + 2) ◊ (17 ◊ 4 + 2 ◊ (7 + 9))
4. Preverite, ali so navedeni računi pravilni. Če račun ni pravilen, postavite oklepaje tako, da bo postal pravilen. a) 13 ◊ 6 + 17 ◊ 3 = 129 b) 7 + 3 ◊ 4 + 6 = 25 c) 7 + 3 ◊ 4 + 6 = 100 č) 37 - 7 ◊ 4 + 5 = 14 d) 14 + 6 ◊ 7 + 8 ◊ 9 ◊ 3 = 356 e) 3 ◊ 91 - 11 ◊ 6 = 75
01_naravna in cela števila.fm Page 13 Wednesday, August 17, 2011 7:34 PM
Naravna in cela števila
6. Zapišite manjkajoča števila magičnega kvadrata. Vsota števil v vrsticah, stolpcih in diagonalah mora biti enaka. 42 38
40 43
11. Janez je v trgovini kupil 5 jogurtov po 80 centov, 10 malih žemelj po 35 centov in 5 malih sokov po 1 evro in 15 centov. Koliko je znašal račun? 12. V tovarni, kjer izdelujejo električna stikala, en delavec v eni uri sestavi povprečno 17 stikal. Koliko stikal sestavi v 8 urah 14 delavcev?
a. co m
5. Izračunajte. a) 7 + 14 ◊ 4 + 16 ◊ 5 b) 7 ◊ (3 + 5 ◊ (12 + 7)) c) (12 ◊ 4 + 3 ◊ (7 + 9 ◊ 2)) ◊ (13 ◊ 3 + 2) č) 6 ◊ 3 + 2 ◊ (6 ◊ (9 + 3 ◊ (3 + 8 ◊ 5))) d) (12 + (3 + 7 ◊ (5 + 4 ◊ (3 + 9) ◊ 2))) ◊ 2 + 16 ◊ 4
13
36
7. V akciji »Zbirajmo star papir« je sodelovalo 5 oddelkov neke osnovne šole. Spodnja tabela prikazuje, koliko papirja je posamezni oddelek zbral na posamezen dan.
13. V trgovini so naročili 15 velikih zabojev steklenic mineralne vode po dva litra in 7 malih zabojev steklenic mineralne vode po en liter. Koliko litrov mineralne vode so naročili v trgovini, če je v velikem zaboju 8 steklenic mineralne vode, v malem pa 12? 14. Izračunajte površino tlorisa hiše s slike.
ar n
oddelki A B C Č D 1. dan 205 kg 310 kg 275 kg 298 kg 301 kg 2. dan 324 kg 298 kg 278 kg 265 kg 291 kg 3. dan 302 kg 297 kg 316 kg 305 kg 294 kg
jig
a) Izračunajte, koliko kilogramov starega papirja je zbral posamezen oddelek skupaj. b) Izračunajte, koliko kilogramov starega papirja so na posamezen dan zbrali vsi oddelki skupaj. c) Izračunajte, koliko starega papirja so zbrali vsi oddelki skupaj.
kn
8. Po distributivnostnem zakonu odpravite oklepaje. a) 7(3x + 1) č) (a + 1)(b + 2) b) 8(3x + 2y + 5) d) (3a + 4)(5b + 2) c) 2x(3y + 6) e) (3x + 2y)(5z + 4w)
9. Izpostavite skupni faktor. a) 10a + 30 d) b) 12u + 6 e) c) 8x + 12y f) č) 14u + 21v + 28 g)
15ab + 12bc + 3b uv + uw + zv + zw ac + 3ad + bc + 3bd ac + bc + a + b
10. Pešec v eni uri prehodi 4 kilometre. Koliko kilometrov prehodi v petih urah, če hodi z enako hitrostjo?
15. Pri graditvi ceste je prvih pet dni delalo 6 delavcev po 9 ur na dan, nato pa so prišli še trije delavci in so vsi skupaj zgradili preostanek ceste v 2 dneh, saj so delali po 12 ur na dan. Koliko delovnih ur je bilo porabljenih za gradnjo ceste? 16. N je liho trimestno število z različnimi števkami, katerih vsota je 12. Razlika prvih dveh števk je enaka razliki drugih dveh števk. Poiščite število N. 17. Poiščite trimestno liho število, katerega vsota števk je enaka 15, razlika med prvo in drugo števko je enaka razliki med drugo in tretjo števko, prva števka pa je večja od vsote drugih dveh.
01_naravna in cela števila.fm Page 14 Wednesday, August 17, 2011 7:34 PM
14
LINEA NOVA
18. Oglejte si zgled in zapišite še druga števila »po naše«. a) majevska števila
2
b) babilonska števila 3
2
1 ◊ 60 + 45 ◊ 60 + 29 ◊ 60 + 36 = 379 776
c) egipčanska števila
20. Z egipčansko metodo zmnožite: a) 217 ◊ 35 b) 678 ◊ 73 c) 41 ◊ 572
a. co m
2(18)(20 ) + 14(18)(20) + 6(20) + 18 = = 2 ◊ 7200 + 14 ◊ 3600 + 6 ◊ 20 + 18 = = 19 578
19. Z metodo gelosia zmnožite: a) 365 ◊ 298 b) 487 ◊ 206 c) 319 ◊ 715
21. Poiščite čim več parov števil v kvadratu, katerih vsota je mnogokratnik števila 11. Ali lahko najdete vse pare? Koliko jih je? 9 64 25 4
46 90 31 52
79 2 20 55
13 97 22 7
22. Izračunajte vsoto prvih tisoč naravnih števil.
23. Popotnik Polde se je odločil, da bo s kolesom obiskal vse večje kraje v Sloveniji. V Škofji Loki so mu nekateri svetovali, naj gre v Tolmin skozi Železnike in Podbrdo, drugi pa, naj gre skozi Cerkno. Polde se je odločil, da bo šel po krajši poti. Po kateri od omenjenih poti bo kolesaril?
ar n
5 ◊ 10 000 + 6 ◊ 1000 + 7 ◊ 100 + 8 ◊ 10 + 1 = = 56 781
č) azteška števila
kn
jig
2 ◊ 8000 + 7 ◊ 400 + 9 ◊ 20 + 11 = 18 991