9789617053487

a. co m

Gregor Pavlič, Dušan Kavka, Marina Rugelj, Janez Šparovec

ROVAŠ

ar n

2

kn

jig

MATEMATIKA ZA 2. LETNIK SREDNJEGA STROKOVNEGA IZOBRAŽEVANJA

00 uvodne 001-005.indd 1

29/08/2019 11:58

Gregor Pavlič, Dušan Kavka, Marina Rugelj, Janez Šparovec

ROVAŠ 2 MATEMATIKA ZA 2. LETNIK SREDNJEGA STROKOVNEGA IZOBRAŽEVANJA

a. co m

Urednik Gregor Pavlič Recenzenta dr. Matija Cencelj, Veronika Bartolj Jezikovni pregled Renata Vrčkovnik

Ilustracije Aleksander Jankovič

Tehnične risbe Darko Simeršek, Blaž Hribar

Fotografije Gregor Pavlič, Marina Rugelj, Janez Šparovec, Shutterstock, Wikimedia Commons (natančen seznam je na koncu gradiva)

ar n

Seznam sodelujočih evalvatorjev je naveden na notranji strani ovitka.

jig

Vse knjige in dodatna gradiva založbe Modrijan izobraževanje dobite tudi na naslovu www.knjigarna.com.

© Modrijan izobraževanje, d. o. o. (2019). Vse pravice pridržane.

kn

Brez pisnega dovoljenja založnika so prepovedani reproduciranje, distribuiranje, javna priobčitev, predelava ali druga uporaba tega avtorskega dela ali njegovih delov v kakršnem koli obsegu in postopku, tudi fotokopiranje, tiskanje ali shranitev v elektronski obliki.

Tako ravnanje pomeni, razen v primerih od 46. do 57. člena Zakona o avtorski in sorodnih pravicah, kršitev avtorske pravice.

Modrijan izobraževanje, d. o. o., Stegne 9 b, 1000 Ljubljana telefon: 01 513 44 00 telefaks: 01 513 46 99 telefonska naročila: 01 513 44 04 e-pošta: narocila@modrijan-izobrazevanje.si www.modrijan-izobrazevanje.si, www.knjigarna.com

00 uvodne 001-005.indd 2

CIP – Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 51(075.3)(076.1) ROVAŠ 2 : matematika za 2. letnik srednjega strokovnega izobraževanja / Gregor Pavlič … [et al. ; ilustracije Aleksander Jankovič ; tehnične risbe Darko Simeršek, Blaž Hribar ; fotografije Marina Rugelj … et al.]. – 1. izd.˝, 1. ponatis. – Ljubljana : Modrijan izobraževanje, 2020 ISBN 978-961-7053-48-7 1. Pavlič, Gregor, 1954– COBISS.SI-ID 22145027

14. 07. 2020 08:14:06

KAZALO GEOMETRIJA V RAVNINI

6

a. co m

Osnovni pojmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Skladnost in merjenje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Vzporednost in pravokotnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Trikotnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Krožnica, krog, lok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Štirikotnik in pravilni n-kotnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Podobnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Izreki v pravokotnem trikotniku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Kotne funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

METRIČNA GEOMETRIJA V RAVNINI

76

ar n

Ploščina in obseg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Razreševanje trikotnika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 Krog . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

112

Potence z naravnimi in celimi eksponenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Potence z racionalnimi eksponenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Kvadratni in kubični koren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Koreni poljubnih stopenj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Iracionalna enačba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

114 117 119 122 127

jig

POTENCE IN KORENI

130

VEKTORJI – izbirna vsebina

188

Definicija vektorja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vzporedni premik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Seštevanje in odštevanje vektorjev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Množenje vektorja s številom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Kolinearnost in komplanarnost vektorjev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Pravokotni koordinatni sistem v prostoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vektorji v pravokotnem koordinatnem sistemu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Skalarni produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Skalarni produkt v pravokotnem koordinatnem sistemu . . . . . . . . . . . . . .

189 192 193 198 201 205 207 212 217

FUNKCIJA

kn

Funkcija in njene lastnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 Potenčna funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 Kvadratna funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

00 uvodne 001-005.indd 3

29/08/2019 11:58

KOMPLEKSNA ŠTEVILA – izbirna vsebina

224 226 230 233 237 239 242

a. co m

Množica kompleksnih števil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Računanje s kompleksnimi števili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Konjugiranje kompleksnega števila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Deljenje kompleksnih števil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Absolutna vrednost kompleksnega števila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Kvadratna enačba in kompleksna števila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

kn

jig

ar n

REŠITVE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

00 uvodne 001-005.indd 4

21/02/2020 11:19

O učbeniku

a. co m

Drugi od učbenikov za matematiko v srednjih strokovnih šolah založbe Modrijan izobraževanje se je iz dolgega imena Od piramid do kaosa preimenoval v Rovaš 2. Sprememba pa ni le v imenu, ampak tudi v vsebini učbenika. Ta sledi učnemu načrtu, sprejetemu leta 2007. Posameznim poglavjem so dodane naloge, t. i. orehi, ki zahtevajo bolj poglobljen premislek in razumevanje ter bodo v izziv bolj vedoželjnim dijakinjam in dijakom.

Veliko je novih nalog, ki kažejo povezavo matematike s tehniko in vsakdanjim življenjem. Kjer je to mogoče (predvsem pri geometriji in funkcijah), so dodane naloge za uporabo IKT (npr. GeoGebra, Graph).

ar n

Učbenik je zasnovan tako, da so posamezne rubrike (razlaga, zgledi, naloge, zanimivosti) jasno označene. Tako tudi struktura učbenika in njegovo oblikovanje pripomoreta k lažjemu učenju. Poglavja se med seboj barvno razlikujejo, vsako se začne z motivacijskim zgodovinskim uvodom in se konča s kratkim povzetkom pomembnih trditev in formul. Naloge so številčene od 1 do 961, kar omogoča lažje iskanje rešitev, ki so na koncu knjige.

Razlaga snovi, pomembni pojmi in pravila so zapisani v barvi.

Naloge z rešitvami na zadnjih straneh knjige

119

jig

Kvadratni in kubični koren

--1-

a = a2 in

korenski eksponent 2 pri kvadratnem korenu izpustimo

--1-

3

a

a = a3 .

korenski znak

746. V trapezu ABCD velja 1--- b = XC . Pokažite, da 2 točka X razpolavlja daljico BD, in izrazite vektorja BX in XA z vektorjema a in b .

D

a

C

b

Ta zapis se povsem sklada z znanima definicijama:

ab = a · a a--- = -----b b

a (a t 0) je tisto število, ki ga moramo kvadrirati, da dobimo število a.

1 ---

2 ---

2 2 2 1 2 ( a )2 = 冢 a 冣2 = a = a = a oz. ( a ) = a = a 3

a (a苸⺢) je tisto realno število x, ki ga moramo kubirati, da dobimo število a.

--1-

--3-

3 3 3 1 3 ( 3 a )3 = 冢 a 冣3 = a = a = a oz. ( 3 a ) = 3 a = a

b

3

ab = 3 a · 3 b

3

3 a --- = ------a- ; b ≠ 0 b b 3

ZGLEDI

1. Izračunajmo 25 + 112 –

2 2 81 – 13 – 5 .

2 2 = 25 + 112 – 81 – 13 – 5 = = 5 + 11 – 9 – 144 = = 16 – 3 – 12 = 1

2. Poenostavimo 4 20 – 45 + a 9ab – 4a b .

3 3

kn

3

Bodimo pazljivi pri računanju korena vsote in razlike.

132 – 52 ≠ 132 – 52 Leva stran je namreč 132 – 52 = 169 – 25 = 144 = 12, desna stran pa 132 – 52 = 13 – 5 = 8.

= 4 4 5 – 9 5 + 3 a ab2b – 2 a2 ab2 b = = 8 5 – 3 5 + 3ab ab – 2ab ab = = 5 5 + ab ab 27

98- – --------18

50- = --8- · ----3 27

98- – ----18

8 50- = ----------3 27

49- – -------------16 25- = --7- – ----20- = --1----9 9 9 3 9 9

ab- .

4. Racionalizirajmo imenovalec -----b

749. V trikotniku ABC sta točki E in F razpolovišči stranic AC in BC. Z vektorji pokažite, da je srednjica EF trikotnika ABC vzporedna stranici AB in meri polovico dolžine stranice AB.

755. Slika prikazuje tok reke, ki teče s hitrostjo 1m/s.

Plavalec plava z enega brega na drugi breg s hitrostjo 2 m/s. Kolikšen je kot I, izračunajte dejansko hitrost plavalca zaradi toka reke, in koliko niže na drugem bregu pristane, če je reka široka 28 m? Rezultat zaokrožite na desetinko natančno. reka

2 msǦ1 I x

1 msǦ1

Vsota notranjih kotov trikotnika:

D + E + J = 180°.

753. Z vektorji pokažite, da se diagonali paralelograma razpolavljata.

754. Naj bo točka S razpolovišče daljice AB. Pokažite, da za poljubno točko T velja TS = 1--- ( TA + TB ).

2

Izreki o skladnosti trikotnikov Trikotnika ABC in A⬘B⬘C⬘ sta skladna, če se ujemata: • v vseh treh stranicah, • v eni stranici in obeh priležnih kotih, • v dveh stranicah in kotu, ki leži nasproti daljši od obeh stranic, • v dveh stranicah in vmesnem kotu.

Nad istim lokom obodni kot meri polovico središčnega kota.

Vsota notranjih kotov n-kotnika je (n – 2) · 180°.

Notranji kot pravilnega n-kotnika meri -----------------------------n – 2 · 180q . n

n n – 3 - . Število diagonal n-kotnika: N = ----------------2

Talesov izrek o sorazmerjih Če množico premic, ki se sekajo v eni točki, sekamo z množico vzporednic, je razmerje odsekov na eni premici šopa enako razmerju enakoležnih odsekov na katerikoli premici istega šopa.

Trikotnika ABC in A1B1C1 sta podobna, če imata enaka razmerja vseh stranic in enake notranje kote. a b c = a1 b1 c1, D = D1, E = E1, J = J1 ' ABC # ' A1B1C1 Izreki o podobnosti trikotnikov Dva trikotnika sta podobna, če se ujemata: • v razmerjih po dveh enakoležnih stranic: a a1 = b b1 = c c1 = k, • v dveh kotih, npr. D = D1, E = E1, • v razmerju dveh stranic in v vmesnem kotu, npr. b c = b1 c1, D = D1.

Vsi obodni koti nad istim lokom so enaki.

Višinski izrek

v2 = a1b1 oziroma v = a1b1

Evklidov izrek

a2 = a1 c;

Talesov izrek o kotu v polkrogu

756. Naj bo točka T težišče trikotnika ABC. a) Pokažite, da je AT = --1- ( AB + AC ).

3

S Pitagorovim izrekom predstavljeni kvadratni koreni zaporednih naravnih števil.

Za dolžine stranic trikotnika ABC velja: a + b > c, a + c > b, b+c>a ali |a – b| < c, |a – c| < b, |b – c| < a

Težišče deli težiščnico v razmerju 2 1.

748. V trikotniku ABC točka D deli stranico AC tako, da je |AD| |DC| = 2 1, točka E pa je razpolovišče daljice DB. Z vektorjema a = AB in b = AC izrazite vektorje DE , AE in CE .

752. V tetraedru ABCD je točka E razpolovišče daljice BC, točka F pa razpolovišče daljice CD. Vektor EF zapišite z vektorji a = AB , b = AC in c = AD .

Količnik kvadratnih korenov zapišemo s kvadratnim korenom količnika, produkt kvadratnih korenov pa s kvadratnim korenom produkta.

Suplementarna kota: D + E = 180°

Zunanji kot v trikotniku je enak vsoti notranjih nepriležnih kotov.

MATEMATIČNI OREHI

751. Z vektorji pokažite, da je srednjica trapeza vzporedna osnovnicama.

98- – --8- · ----50- .

3. Izračunajmo --------3

a) Zapišite velikost rezultante vseh sil in kot, glede na smer največje sile, pod katerim se telo giblje. b) Kolikšen je pospešek telesa? Uporabite drugi Newtonov zakon F = m a .

B

750. Dan je paralelogram ABCD. Točki E in F sta razpolovišči stranic BC in AD. Pokažite, da je EA – DF = CF – EB .

Vsak člen delno korenimo. = 4 20 – 45 + a 9ab3 – 4a3 b3 =

18

2a

NE POZABI

Komplementarna kota: D + E = 90°

korenjenec

A

Povzetek snovi 74

747. Sile F1, F2 , F3 in F4 na sliki ležijo v isti ravnini in imajo prijemališče v težišču telesa z maso 10 kg.

Zanje velja: F1 = 41 N, F2 = 25 N, F3 =13 N, F4 = 8 N.

breg

Kvadratni in kubični koren, ki ju poznamo že iz osnovne šole in smo ga ponovili tudi lansko leto (Rovaš 1, str. 103), lahko zapišemo tudi kot potenci z racionalnim eksponentom:

204

breg

Naslov poglavja

b) Pokažite, da velja TA + TB + TC = 0.

757. Naj bo točka T težišče trikotnika ABC. Pokažite, da za poljubno točko O velja OT = 1--- ( OA + OB + OC ).

Če je osnovnica trikotnika premer kroga in tretje oglišče leži na krožnici, je trikotnik pravokoten.

b2 = b1 c

Pitagorov izrek c2 = a2 + b2

Vsota notranjih kotov štirikotnika je 360°.

Dolžina srednjice trapeza je aritmetična sredina obeh osnovnic.

3

V zgledu ulomek razširimo s b . ab- = ---------------ab b- = ab -----------------b- = a b b b b b

Zgledi, kako rešujemo naloge.

00 uvodne 001-005.indd 5

Dodatna pojasnila, sheme, zanimivosti

Naloge, ki razvijajo gibkost pri razmišljanju.

17. 07. 2020 12:05:15

01_LSPGeometrija v ravnini.fm Page 6 Thursday, August 29, 2019 10:12 AM

6

I I I I I I I I

Osnovni pojmi Skladnost in merjenje Vzporednost in pravokotnost Trikotnik Krožnica, krog, lok Štirikotnik in pravilni n-kotnik Podobnost Izreki v pravokotnem trikotniku Kotne funkcije

GEOMETRIJA V RAVNINI

a. co m

I

Večina najstarejših civilizacij je nastala ob velikih rekah: kitajska civilizacija ob Rumeni reki, indijska ob Putri in Gangesu, mezopotamska ob Evfratu in Tigrisu ter egipčanska ob Nilu.

Mezopotamija je bila dežela med dvema rekama, Evfratom in Tigrisom. To pove že njeno ime, ki je sestavljeno iz grških besed mesos – srednji in potamos – reka.

Podobno je sestavljeno ime slovenskega kraja Medvode.

Iz zgodovinskih virov lahko razberemo, da je bila geometrija v tistih časih precej cenjena veda. O kitajski in indijski geometriji ne vemo skoraj ničesar, saj se zapisi na palmovih listih zaradi vlažnega podnebja niso ohranili.

Mnogo bolj zgovorni so babilonski zapisi na glinastih ploščicah in egipčanski papirusi.

ar n

Na zelo veliko popisanih glinastih ploščicah, ki so jih arheologi izkopali izpod ruševin starodavnih mest, vidimo, da so Babilonci poznali formule za računanje ploščine pravokotnika, trikotnika in trapeza, prostornino kocke, valja in celo prisekane piramide. Poznali so izrek, ki mu danes rečemo Pitagorov.

Tudi njihovo znanje aritmetike in algebre je bilo na visoki ravni. Uporabljali so tabele za šestdesetiško poštevanko, tabele korenov, obratnih vrednosti naravnih števil, znali so reševati sisteme linearnih enačb …

jig

Glinaste tablice s klinopisi so našli arheologi pri izkopavanjih starodavnih mest Ur, Babilon, Nipur …

Nekaj ploščic je iz starega sumerskega obdobja (okoli 2100 pr. Kr.), večina pa iz časa vladavine kraljev Hamurabija (okoli 1700 pr. Kr.) in Nebukadnezarja (okoli 600 pr. Kr.).

kn

Na posebnem oddelku knjižnice ameriške univerze Yale med 45 000 glinastimi tablicami hranijo tudi tablico z oznako YBC 7289, staro več kot 3000 let. Iz klinopisa na njej lahko preberemo odličen približek za iracionalno število 2 .

Sliki prikazujeta dve izmed več kot 50 000 ploščic, izkopanih pri Nipurju.

Skrivnostne zapise je razvozlal angleški diplomat in asiriolog Henry Creswicke Rawlinson (1810–1895).

01_LSPGeometrija v ravnini.fm Page 7 Thursday, August 29, 2019 10:12 AM

7

a. co m

V Egiptu se je ohranilo okoli 80 piramid. Najznamenitejše so tri v Gizah pri Kairu, največja med njimi je Keopsova.

Visoka je kar 147 metrov, njen osnovni rob pa meri 230 metrov, tako da pokriva nekaj več kot 5 hektarov puščave.

Zgradili so jo iz približno 2300000 kamnitih blokov, ki so jih pripeljali po Nilu iz več kot 1000 kilometrov oddaljenega kamnoloma. Povprečna teža posameznega kamnitega bloka je kar 2300 kilogramov.

Zelo podobno sliko o staroegipčanski matematiki nam kažeta dva ohranjena papirusa: Moskovski papirus (ker ga hranijo v Moskvi) iz leta 1859 pr. Kr. in približno četrt stoletja mlajši Rhindtov papirus.

jig

ar n

Stari Egipčani se z geometrijo niso ukvarjali znanstveno. Bila je izrazito praktične narave. Ne smemo pa podcenjevati njihovega znanja, saj sicer ne bi mogli graditi tako veličastnih piramid in svetišč.

Elementi se niso ohranili v originalu, ampak v mnogo prepisih. Slika prikazuje prvo tiskano izdajo v latinskem jeziku, ki je izšla v Benetkah leta 1482.

Tisočletni razvoj praktične geometrije so z znanstvenim pristopom kronali starogrški matematiki. Prvi med njimi je Tales iz Mileta, ki je s svojih trgovskih potovanj po Mali Aziji in Egiptu prinesel znanje geometrije v Grčijo.

Drugi najpomembnejši človek starogrške matematike – Evklid je obsežno geometrijsko znanje še dopolnil in objavil v 13 zvezkih knjige Elementi (Stoicheia). Geometrijo je postavil na aksiomatske temelje, ki so vzdržali celih 2200 let (evklidska geometrija). Šele leta 1899 je Evklidov aksiomski sistem moderniziral nemški matematik David Hilbert, po njem se tudi imenuje Hilbertova geometrija.

kn

V oljčnem gaju blizu Aten je Platon (kar pomeni plečat – tako so ga klicali zaradi širokih ramen, sicer pa mu je bilo ime Aristokles) ustanovil filozofsko šolo, imenovano Akademija. Nad vhodnimi vrati je pisalo »Naj ne vstopa, kdor ne zna geometrije«.

Geometrija je bila poleg glasbe, astronomije in aritmetike del kvadrivija, ki je skupaj s trivijem (gramatika, retorika in filozofija) še v srednjem veku tvoril osnovo klasične izobrazbe ali sedem svobodnih umetnosti oz. znanosti (septem artes liberales).

David Hilbert (1862–1943)

01_LSPGeometrija v ravnini.fm Page 8 Thursday, August 29, 2019 10:12 AM

8

Osnovni pojmi

Izraza kolinearen in komplanaren sta latinskega izvora.

Linea latinsko pomeni črto, planum – ravnino in cum – skupaj.

Evklid je na začetek prvega zvezka Elementov postavil 23 »opredelitev« temeljnih geometrijskih pojmov. Med njimi so: • Točka je tisto, kar nima delov.

• Črta je dolžina brez širine.

• Ploskev je tisto, kar ima samo dolžino in širino.

a. co m

Geometrijske pojme razdelimo v dve skupini. V prvi so točka, premica, ravnina, daljica, kot …, v drugi pa so odnosi oz. relacije, na primer pripadati, sekati, biti vzporeden, skladen, ležati med …

Pri sprehodu skozi elementarno geometrijo se ne bomo držali stroge aksiomatične poti, vseeno pa bomo našteli nekaj pomembnih aksiomov, izrekov in definicij.

Tem trditvam sledijo aksiomi ali temeljne resnice, ki jih ne dokazujemo, ampak jih privzamemo kot veljavne hipoteze.

Za aksiomi so na vrsti izreki, ki jih lahko dokažemo z aksiomi in že dokazanimi izreki.

Geometrijsko zgradbo dopolnjujejo definicije. To so opisi novih pojmov in določenih lastnosti.

Začnimo pa tako kot Evklid: s tremi že navedenimi osnovnimi geometrijskimi pojmi – točko, premico in ravnino. Osnovne geometrijske pojme opišemo tako, da jim predpišemo lastnosti in odnose, ki naj veljajo med njimi, materialno pa jih lahko predstavimo z bolj ali manj posrečenimi modeli.

Aksiom: Dve različni točki določata natanko eno premico.

ar n

Definicija: Točke A1, A2, A3 …, ki ležijo na isti premici, so kolinearne, če pa ne ležijo na isti premici, so nekolinearne.

Model točke je npr. mušji kakec na okenskem steklu ali krog polmera 25 m, ki ga iz zraka vidi padalec v skokih na cilj. Premico dobro ponazorimo s sledjo reaktivnega letala na jasnem nebu, ravnino pa z mirno jezersko gladino.

Točke A, B in C so kolinearne, točke A, B in D pa nekolinearne.

jig

Aksiom: Na vsaki premici sta vsaj dve različni točki.

Aksiom: Obstajajo vsaj tri točke, ki ne ležijo na isti premici.

Aksiom: Tri nekolinearne točke določajo natanko eno ravnino.

kn

Definicija: Točke A1, A2, A3, A4 …, ki ležijo na isti ravnini, so komplanarne, če pa ne ležijo na isti ravnini, so nekomplanarne.

Oznake: Točke bomo označevali z velikimi črkami A, B, C, D, E, O, V …, premice z malimi črkami p, q, s, t …, ravnine pa z velikimi grškimi črkami , ,  …

Točke A, B, C in D so komplanarne, točke A, B, C in E pa nekomplanarne.

Aksiom: Premica, ki ima z ravnino skupni dve različni točki, leži v tej ravnini.

01_LSPGeometrija v ravnini.fm Page 9 Thursday, August 29, 2019 10:12 AM

9 Izrek: Dve različni premici imata lahko največ eno skupno točko. Če bi imeli premici dve različni skupni točki, bi po prvem aksiomu sovpadali, in ne bi bili različni, kot pravi trditev.

a. co m

Definicije: Premici, ki imata natanko eno skupno točko, se sekata. Skupno točko imenujemo presečišče premic.

Premici, ki ležita na isti ravnini in nimata nobene skupne točke ali ki sovpadata, sta vzporedni. Premici, ki ne ležita na isti ravnini in nimata nobene skupne točke, sta mimobežni.

Izrek: Ravnina je enolično določena • s premico in točko, ki ne leži na tej premici • s premicama, ki se sekata • z dvema vzporednicama, ki ne sovpadata

ar n

Definicije: Ravnini, ki nimata nobene skupne točke ali pa imata vse točke skupne, sta vzporedni.

Premica in ravnina sta vzporedni, če nimata skupne točke ali če premica leži v ravnini.

Premica, ki ima z ravnino natanko eno skupno točko, ravnino prebada.

Skupno točko imenujemo prebodišče P.

Aksiom: Če so tri različne točke kolinearne, natanko ena vedno leži med drugima dvema.

jig

Aksiom: Če sta A in B različni točki premice p, potem na premici p ležita vsaj še točki C in D, in sicer C leži med A in B, D pa tako, da je C med A in D.

Iz zadnjega aksioma sledi pomembna ugotovitev: Izrek: Med dvema različnima točkama premice je neskončno mnogo točk.

kn

Dokaz: Ker je med dvema točkama vsaj še ena, so na premici vsaj tri točke.

Med vsakima dvema točkama pa je spet vsaj še ena … Zato procesa tvorjenja vedno novih točk ne moremo nikoli dokončati.

Definicije: Množica točk premice, ki ležijo med različnima točkama A in B, vključno z A in B, je daljica AB. Točki A in B sta njeni krajišči.

Poljubna točka razdeli premico na dva poltraka. Po dogovoru je pozitivni poltrak množica točk na desni strani ali nad izbrano točko, vključno s to točko, ki jo imenujemo izhodišče in označimo z O. Premica, na kateri leži daljica oz. poltrak, je nosilka daljice oz. poltraka.

01_LSPGeometrija v ravnini.fm Page 10 Thursday, August 29, 2019 10:12 AM

10 Vsaka premica p razdeli ravnino na dve polravnini. Premica p je rob polravnine. Točki A in B ležita na isti polravnini, če daljica AB ne seka roba polravnine.

Pri učenju geometrije se bomo ukvarjali z enostavnimi liki.

M je konveksna, če velja:  A, B 苸   AB  

a. co m

Definicija: Enostavni lik je množica točk v ravnini, katero omejuje sklenjena krivulja, ki sama sebe ne seka.

Definicija: Množica točk v ravnini je konveksna, če za poljubni točki A in B iz te množice velja, da je daljica AB njena podmnožica.

ZGLED (a)

(e)

(c)

(f )

(č)

(g)

ar n

(d)

(b)

Označevanje kotov • ⱔ(h, k); s poltrakoma h in k, ki določata kot • ⱔAVB; s točko A na enem poltraku, vrhom V in točko B na drugem poltraku • , , , …; z grškimi črkami

Množice (b), (č), (f ) in (g) so konveksne, množice (a), (c), (d) in (e) pa nekonveksne.

Definicija: Dva poltraka h in k s skupnim izhodiščem V določata dva kota. Če poltraka ne ležita na isti premici, je eden od kotov konveksen, drugi pa nekonveksen. Poltraka h in k sta kraka, točka V pa vrh kota ⱔ(h, k).

kn

jig

Ko se divje gosi selijo s severa na jug, letijo visoko v obliki črke V ali v ostrem kotu. Ko ptica zamahne s krili, ustvari vzgonski veter za tisto, ki ji sledi. S takim načinom letenja celotna jata gosi leti 70 % hitreje, kakor če bi letele samostojno.

Definicije: Če poltraka ležita na isti premici, vendar na različnih straneh izhodišča, določata dva enaka konveksna – iztegnjena kota. Če se poltraka na isti premici pokrivata, določata polni kot (en krak je vmes obkrožil vrh kota) in ničelni kot.

01_LSPGeometrija v ravnini.fm Page 11 Thursday, August 29, 2019 10:12 AM

11

a. co m

Definiciji: Kota, ki imata en skupen krak, presek njunih notranjosti pa je prazen, sta sosedna kota. Sosedna kota, katerih kraka, ki nista skupna, ležita na isti premici, sta sokota.

ar n

Definicija: Tri nekolinearne točke A, B in C določajo trikotnik ABC. Točke A, B, C so oglišča trikotnika, daljice AB, AC in BC so njegove stranice. Koti ⱔBAC, ⱔACB in ⱔCBA so notranji koti trikotnika ABC. Sokoti notranjih kotov so zunanji koti trikotnika.

Trikotnik ABC je pozitivno orientiran, če si njegova oglišča sledijo v nasprotni smeri vrtenja urinega kazalca, če si sledijo v smeri vrtenja urinega kazalca, je negativno orientiran.

kn

jig

Definicija: Točke A1, A2 …, An v ravnini, od katerih nobene zaporedne tri ne ležijo na isti premici, določajo n-kotnik. Točke A1, A2 …, An so oglišča n-kotnika; daljice, ki povezujejo sosedni oglišči, so stranice n-kotnika; daljice, ki povezujejo po dve nesosedni oglišči, pa diagonale n-kotnika. Če za vsako nosilko stranice n-kotnika velja, da preostala oglišča ležijo na isti polravnini te nosilke, je n-kotnik konveksen.

ⱔBAC =  ⱔCBA =  ⱔACB = 

 n – 3 Poljuben n-kotnik ima n----------------2 diagonal (iz vsakega od n oglišč gre n – 3 diagonal, vsaka pa je šteta dvakrat).

01_LSPGeometrija v ravnini.fm Page 12 Thursday, August 29, 2019 10:12 AM

12

ZGLEDI 1. Izračunajmo število diagonal 10-kotnika.  10 – 3 - = 5 · 7 = 35 ----------------------N = 10 2 10-kotnik ima 35 diagonal.

a. co m

2. Ali lahko iz števila diagonal večkotnika ugotovimo, za kateri n-kotnik gre?

Naj ima n-kotnik 14 diagonal.  n –3 14 = n---------------2

14 · 2 = n2 – 3n n2 – 3n – 28 = 0 (n – 7)(n + 4) = 0

Iz razcepa razberemo, da je to lahko le 7-kotnik, ker druga rešitev n = –4 ni naravno število.

3. Ali obstaja tak n-kotnik, ki ima enako število diagonal kot stranic?

ar n

 n –3 ---------------n= n 2 2 n – 5n = 0 n(n – 5) = 0

Večkotnik s to lastnostjo je 5-kotnik.

NALOGE

jig

1. V ravnini narišite tri različne točke A, B in C, nato narišite vse različne premice, ki potekajo skozi vsaj dve dani točki. Koliko različnih premic ste narisali? Glede na število narisanih premic poiščite vse različne možnosti.

2. Narišite vse možne premice skozi po dve točki od A, B, C, D, E, F in G in jih preštejte.

B

D

kn

A

G

C

4. Narišite vse možne premice skozi po dve točki od A, B, C, D, E, F in G (A, B in C ležijo na isti premici; C, F in G ležijo na isti premici) ter jih preštejte.

A

B

D C F

E F

3. V ravnini narišite tri različne premice p, q in r.

Koliko presečišč lahko določajo? Narišite vse različne primere.

G

E

01_LSPGeometrija v ravnini.fm Page 13 Thursday, August 29, 2019 10:12 AM

13

6. Ugotovite, katere množice so konveksne. a)

b)

c)

7. V ravnini so dane tri različne točke A, B in C. Narišite najmanjšo konveksno množico, ki vsebuje dane točke. Koliko različnih možnosti imate? Narišite jih.

8. Izračunajte število diagonal 8-kotnika, 13-kotnika in 20-kotnika.

a. co m

5. Narišite tri različne kolinearne točke A, B in C (točka B je med točkama A in C). a) Narišite in zapišite vse različne daljice, ki jih določajo dane točke. Kaj lahko poveste o presekih teh daljic? b) Narišite poltrake k, h, l in m, ki imajo eno od danih točk za izhodišče ter potekajo vsaj skozi eno od drugih dveh točk.

9. Arhimed je s pomočjo pravilnemu 96-kotniku včrtanega in očrtanega kroga izračunal odličen približek števila ;  = 3,14185110664…

Izračunajte, koliko diagonal ima 96-kotnik.

10. Izračunajte, kateri n-kotnik ima 44 diagonal.

č)

d)

e)

g)

f)

k)

i)

j)

ar n

h)

l)

m)

MATEMATIČNI OREHI

jig

11. Kateri n-kotnik ima trikrat toliko diagonal kot stranic?

12. Od katerega n naprej imajo n-kotniki večje število diagonal kot stranic?

kn

13. Izračunajte, kateri n-kotnik ima 18 diagonal več kot stranic.

14. Za vsako od spodnjih izjav ugotovite, ali je pravilna (p) ali nepravilna (n): a) Dve točki določata daljico. b) Skozi tri različne točke grejo tri različne premice. c) Štiri različne točke so vedno nekomplanarne. č) Če se dve premici sekata, določata ravnino. d) Tri različne točke so vedno komplanarne. e) Dve vzporednici vedno določata ravnino. f) Med dvema različnima točkama na premici je vsaj 10 točk.

01_LSPGeometrija v ravnini.fm Page 14 Thursday, August 29, 2019 10:12 AM

14

Skladnost in merjenje V tem podpoglavju bomo nadaljevali spoznavanje aksiomov in v geometrijo vpeljali števila. Začeli bomo z definicijo skladnosti.

a. co m

Definicija: Dva lika L in L1 sta skladna, če lahko lik L prenesemo na lik L1 tako, da se popolnoma prekrijeta. Znak za skladnost je .

Aksiom: Daljico AB lahko premaknemo na poljuben poltrak z izhodiščem A tako, da je na njem natančno določena točka B , ki je drugo krajišče daljice A B , in sta daljici AB in A B skladni.

Aksiom: Daljici AB in CD je mogoče sešteti: daljicama AB in CD skladni daljici A B in C D premaknemo na poljubno premico v sosedno lego: to pomeni, da krajišče B sovpada s krajiščem C in daljici A B in C D nimata drugih skupnih točk. Vsota je daljica A D , ki je skladna daljici AD.

ar n

Odštevanje daljic

Od daljice AB odštejemo daljico CB in dobimo AC.

Aksiom: Kot ⱔ(h, k) lahko premaknemo tako, da krak h z izhodiščem V sovpade s poljubnim krakom h z izhodiščem V . Potem obstaja tak krak k , da sta kota ⱔ(h, k) in ⱔ(h , k ) skladna.

kn

jig

Seštevanje in odštevanje kotov definiramo podobno kot seštevanje in odštevanje daljic.

Definicija: Kot, ki je skladen s svojim sokotom, je pravi kot.

Orientacija kota je pozitivna, če si kraka sledita v nasprotni smeri vrtenja urinega kazalca, če pa si sledita v smeri vrtenja urinega kazalca, je orientacija negativna.

01_LSPGeometrija v ravnini.fm Page 15 Thursday, August 29, 2019 10:12 AM

15 Po prvem delu, v katerem smo govorili o skladnosti, bomo v geometrijo vpeljali realna števila.

a. co m

Dve daljici AB in CD, ki nista skladni, lahko premaknemo na poljubni premici v tako lego, da levi krajišči sovpadata in da eno od obeh desnih krajišč, npr. D, leži med A in B. V tem primeru je daljica AB daljša od daljice CD oz. je daljica CD krajša od daljice AB. Za taki dve daljici Arhimedov aksiom pravi, da obstaja tako naravno število n, pri katerem je vsota n krajših daljic CD daljša od daljice AB, vsota n – 1 krajših daljic CD pa je krajša ali kvečjemu skladna daljici AB.

Ostri kot

ar n

Na daljico AB lahko položimo vsoto (n – 1) daljic CD. Pri tem desno krajišče lahko sovpade s krajiščem B in je postopek merjenja končan. Če del daljice AB ostane nepokrit, daljico CD razdelimo na deset delov in z desetino pokrivamo ostanek. Spet se lahko zgodi, da je ostanek s temi desetinami daljice CD popolnoma pokrit, če ni, razdelimo desetino daljice CD na 10 delov in s stotino daljice CD pokrivamo novi ostanek. Ta postopek se lahko konča v končno mnogo korakih ali pa ne.

Daljico CD, s katero smo izmerili daljico AB, imenujemo enotska daljica. Če je dolžina enotske daljice enaka 1, z opisanim merjenjem daljici AB priredimo natančno določeno število – dolžino daljice AB ali tudi razdaljo točk A in B: |AB| = d(A, B) Če se je postopek merjenja končal v končno mnogo korakih, je dolžina daljice racionalno število.

jig

Izreka: Skladni daljici imata enako dolžino.

Dolžina vsote daljic je enaka vsoti dolžin posameznih daljic.

Topi kot

Osnovni izrek o deljenju celih števil: a=k·b+r n · |CD| > |AB| (n – 1) · |CD|  |AB|

Izrazi deci-, centi-, mili- zapored pomenijo desetina, stotina, tisočina in so latinskega izvora. Izraz kilopomeni tisoč in je grškega izvora.

180° = 179° 60 = 179° 59 60

kn

Osnovna enota za dolžino je meter, iz nje izpeljane enote pa so decimeter, centimeter, milimeter, kilometer itd.

1 m = 10 dm = 100 cm = 1000 mm 1 km = 1000 m

Enota za merjenje kotov je kotna stopinja – to je 360. del polnega kota. Iz nje izpeljani enoti sta (kotna) minuta in (kotna) sekunda.

 +  = 90° Kota  in  sta komplementarna.

1° = 60 = 3600

Definicija: Kota  in , katerih vsota meri 180°, sta suplementarna. Kota  in , katerih vsota meri 90°, sta komplementarna. Sokota sta vedno suplementarna kota.

 +  = 180° Kota  in  sta suplementarna.

01_LSPGeometrija v ravnini.fm Page 16 Monday, March 23, 2020 8:09 AM

16

ZGLEDI 1. Kot  = 76°36⬘53⬙ zapišimo v stopinjah na štiri mesta natančno, kot  = 34,78° pa v stopinjah, minutah in sekundah.

53 - 冣° = 76,61° ------ 冣° + 冢 ---------- = 76° + 冢 36 60 3600

a. co m

 = 34,78° = 34°46⬘48⬙, ker je 0,78° · 60 = 46,8⬘ in 0,8⬘ · 60 = 48⬙

2. Kotu  = 37°16⬘43⬙ izračunajmo velikost suplementarnega in komplementarnega kota.

 + ⬘ = 180°, zato je ⬘ = 179°59⬘60⬙ – 37°16⬘43⬙ = 142°43⬘17⬙  +  = 90°, zato je  = 89°59⬘60⬙ – 37°16⬘43⬙ = 52°43⬘17⬙

3. Z žepnim računalom pretvorimo kot 46,34° v stopinje, minute in sekunde in kot 73°34⬘17⬙ v stopinje. Ker so računala različna, prej poglejte navodila. V večini primerov uporabljamo tipki O , ,, ali D M S . a) Zapišemo decimalno število 46.34, pritisnemo tipko in = . Na zaslonu se pokaže rezultat 64°20⬘24⬙.

O , ,,

ali

DMS

ar n

b) Zapišemo stopinje 73 in pritisnemo tipko O , ,, ali D M S , enako naredimo za minute in sekunde. Potem pritisnemo zapored = in O , ,, ali D M S in dobimo rezultat 73.57138889.

4. Točka B je razpolovišče daljice AC. Izračunajte dolžino daljice AC.

Dolžini skladnih daljic sta enaki: 5x – 15 = 9 – x, od koder sledi x = 4.

kn

jig

Iskana dolžina daljice AC je |AC|= 2(9 – x) = 10.

5. Kota  in  sta suplementarna. Izračunajmo njuni velikosti, če je  = 2x + 50°,  = 5x – 10°.

Vsota suplementarnih kotov je 180°.

2x + 50° + 5x – 10° = 180°; 7x = 140°, x = 20°.

Iskana kota sta  =  = 90°.

6. Kota  = x2 in  = x sta komplementarna. Izračunajmo njuni velikosti.

Velja  +  = 90° in dobimo enačbo x2 + x = 90. To enačbo preuredimo v x2 + x – 90 = 0 in vidimo, da je razcepna: (x + 10)(x – 9) = 0. Rešita jo števili x1 = –10 in x2 = 9.

Upoštevamo samo pozitivno rešitev in dobimo kota  = 81° in  = 9°.

01_LSPGeometrija v ravnini.fm Page 17 Thursday, August 29, 2019 10:12 AM

17 Definicija: Dva trikotnika sta skladna, če imata skladne vse stranice in vse kote.

Aksiom: Dva trikotnika sta skladna, če se ujemata v dveh stranicah in v vmesnem kotu.

a. co m

Definicija za dva skladna trikotnika zahteva, da se ujemata v vseh stranicah in vseh kotih, torej v 6 podatkih, aksiom o skladnosti trikotnikov pa zahteva ujemanje v 3 ustreznih podatkih. Če bi ostali samo pri tem, bi z geometrijskim orodjem lahko narisali le redke trikotnike. Pa položaj ni tako hud. Trije izreki o skladnosti trikotnikov omogočajo, da lahko enolično konstruiramo trikotnik tudi v nekaterih primerih, ko imamo drugačne tri podatke.

Izreki o skladnosti trikotnikov: Trikotnika ABC in A B C sta skladna, če se ujemata • v vseh treh stranicah • v eni stranici in obeh priležnih kotih • v dveh stranicah in kotu, ki leži nasproti daljši od obeh stranic

ZGLEDI

ar n

Preden začnemo načrtovati ali risati trikotnike, se dogovorimo za nekatera pravila in oznake. Dolžine daljic bomo označevali tako, da bomo oznako daljice npr. AB postavili med dve navpični črti: |AB|; če pa bomo namesto AB pisali npr. c, bomo s tem mislili na oboje: na stranico in njeno dolžino.

Razdalje bomo prenašali s šestilom in tudi vse kote in pravokotnice bomo risali s šestilom. Za vsak trikotnik bomo najprej narisali čim boljšo skico in na njej označili znane podatke. Po premisleku, kako trikotnik narisati, pa bomo napisali potek konstrukcije in nato narisali trikotnik.

1. Načrtajmo enakostranični trikotnik s stranico a = 2,5 cm.

SLIKA:

jig

SKICA:

kn

POTEK KONSTRUKCIJE: Na poltraku z izhodiščem v A s šestilom odmerimo 2,5 cm in dobimo oglišče B. Iz A in iz B znova odmerimo 2,5 cm in narišemo dva loka, ki se sekata v točki C. S tem je trikotnik ABC že določen.

Iz imen in velikosti angleških mer, ki so jih še nedavno uporabljali, se lepo vidi, da so bile narejene »po meri človeka«.

1 palec (inch) = 25ᠨ4 mm 1 čevelj (foot) = 0ᠨ3048 m 1 seženj (yard) = 0ᠨ9144 m 1 seženj = 3 čevlji = 36 palcev