a. co m
Gregor Pavlič, Dušan Kavka, Marina Rugelj, Janez Šparovec
ROVAŠ
ar n
1
kn
jig
MATEMATIKA ZA 1. LETNIK SREDNJEGA STROKOVNEGA IZOBRAŽEVANJA
00 uvod 001-005.indd 1
20.8.2018 9:34:33
Gregor Pavlič, Dušan Kavka, Marina Rugelj, Janez Šparovec
ROVAŠ 1 MATEMATIKA ZA 1. LETNIK SREDNJEGA STROKOVNEGA IZOBRAŽEVANJA
a. co m
Urednika Gregor Pavlič, Vilma Zupan
Recenzenta dr. Matija Cencelj, Franc Kodila
Jezikovni pregled Renata Vrčkovnik, Aleksandra Kocmut
Ilustracije Darko Simeršek, Vilma Zupan, Mateja Rihtaršič
ar n
Fotografije Arhiv založbe Modrijan, Mojmir Fortuna, Tomaž Lunder
jig
Vse knjige in dodatna gradiva založbe Modrijan izobraževanje dobite tudi na naslovu www.knjigarna.com.
© Modrijan izobraževanje, d. o. o. (2018). Vse pravice pridržane.
kn
Brez pisnega dovoljenja založnika so prepovedani reproduciranje, distribuiranje, javna priobčitev, predelava ali druga uporaba tega avtorskega dela ali njegovih delov v kakršnem koli obsegu in postopku, tudi fotokopiranje, tiskanje ali shranitev v elektronski obliki. Tako ravnanje pomeni, razen v primerih od 46. do 57. člena Zakona o avtorski in sorodnih pravicah, kršitev avtorske pravice.
Modrijan izobraževanje, d. o. o., Stegne 9 b, 1000 Ljubljana telefon: 01 513 44 00 telefaks: 01 513 46 99 telefonska naročila: 01 513 44 04 e-pošta: narocila@modrijan-izobrazevanje.si www.modrijan-izobrazevanje.si, www.knjigarna.com
00 uvod 001-005.indd 2
CIP – Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 51(075.3)(076.1) ROVAŠ 1 : matematika za 1. letnik srednjega strokovnega izobraževanja / Gregor Pavlič ... [et al.] ; [ilustracije Darko Simeršek, Vilma Zupan, Mateja Rihtaršič ; fotografije arhiv založbe Modrijan, Mojmir Fortuna, Tomaž Lunder]. – 1. izd., 1. ponatis. – Ljubljana : Modrijan izobraževanje, 2020 ISBN 978-961-7053-06-7 1. Pavlič, Gregor, 1954– COBISS.SI-ID 22144259
14. 07. 2020 08:04:47
KAZALO 6
a. co m
NARAVNA IN CELA ŠTEVILA
9 15 20 23 26
DELJIVOST NARAVNIH IN CELIH ŠTEVIL
32
Relacija deljivosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kriteriji deljivosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Praštevila in sestavljena števila .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Osnovni izrek o deljenju .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Največji skupni delitelj in najmanjši skupni večkratnik .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 34 . 36 . 39 . 43 . 46
OSNOVE LOGIKE IN TEORIJE MNOŽIC
52
ar n
Naravna števila .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cela števila .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Urejenost naravnih in celih števil .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Potence z naravnimi eksponenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Večkratniki in izrazi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Izjave in izjavne povezave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Množice in računanje z njimi – izbirna vsebina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
RACIONALNA ŠTEVILA 68 . 70 . 77 . 82 . 87 . 92
Realna števila
98
jig
Ulomki .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Računanje z ulomki .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Potence s celimi eksponenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ulomki in decimalni zapis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Algebrski ulomki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
kn
Množica realnih števil .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kvadratni in kubični koren .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Interval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Linearna enačba .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sistem dveh linearnih enačb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sistem treh in več linearnih enačb .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Razmerje, sorazmerje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Procentni račun .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Linearna neenačba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Absolutna vrednost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zaokrožanje, približki in napake . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
00 uvod 001-005.indd 3
.100 .103 .108 . 111 . 117 .120 .123 .127 .134 .137 .140
17.8.2018 14:33:55
LINEARNA FUNKCIJA 144
a. co m
Koordinatni sistem .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .146 Razdalja med dvema točkama v ravnini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 Obseg in ploščina trikotnika – izbirna vsebina. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 Funkcija in njene lastnosti .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 Linearna funkcija .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 Enačbe premice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 Modeliranje z linearno funkcijo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
OSNOVe STATISTIKE 188 Osnovni pojmi statistike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 Urejanje in grupiranje podatkov .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 Grafično prikazovanje podatkov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 srednje vrednosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 Razpršenost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
PROJEKTNE naloge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 . 14
ar n
Projektna naloga 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .214 Projektna naloga 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .216 Projektna naloga 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .218
kn
jig
REŠITVE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 . 19
00 uvod 001-005.indd 4
17.8.2018 14:33:55
O učbeniku
a. co m
Uspešen učbenik Od rovaša do enačb po 15 letih (in enajstih ponatisih) zamenjuje njegova izboljšana verzija. Ta predvideva za dijake več samostojnega raziskovanja, zato je večini razdelkov dodana naloga – matematični oreh, ki ga bo mogoče streti z znanjem teorije in bistro glavo. Iz istega razloga je v knjigi nekaj novih poglavij (Logika, množice in uvod v statistiko). Dodane so tudi nove naloge, ki povezujejo matematiko z vsakdanjim življenjem in kažejo njeno uporabnost. Na koncu knjige so dodani trije primeri projektne naloge, s katero bi dijaki pokazalizmožnost uporabe matematike na strokovnih področjih in sodelovanju v timu. V vseh teh letih je napredovala tudi tehnologija; brezplačna Geogebra in Graph sta iz uporabe izrinila prejšnja plačljiva programa Derive in Cabri. V knjigi je na več mestih pridvidena njuna uporaba. Vse drugo ostaja od prej: zgodovinski uvodi, jasna strukturiranost, povzetek snovi »ne pozabi« in lepo oblikovanje.
Razlaga snovi, pomembni pojmi in pravila so zapisani v barvi.
Naloge z rešitvami na zadnjih straneh knjige
ar n
Naslov poglavja
103
Kvadratni in kubični koren
Kvadratni koren števila a (a ≥ 0) je tisto nenegativno število, katerega kvadrat je a. a = x, če in samo če je x2 = a.
64 = 8, ker je 82 = 64.
1.
4 . ( ) = 121
4 = 2 , ker je 2 121 11 11
2. 3.
2
a = x, če in samo če je x3 = a.
ZGLEDi 3
8 = 2, ker je 23 = 8.
korenski eksponent
3
korenski znak
a
jig
1.
korenjenec
–100 ni realno število, saj ni nobenega realnega števila, katerega kvadrat bi bil negativen.
Kubični koren števila a je število, katerega kub je a. 3
korenski znak
a
ZGLEDi
3
0,027 = 0,3, ker je 0,33 = 0,027.
3.
3
0 = 0, ker je 03 = 0.
4.
–27 = –3, ker je (–3)3 = –27. Iskanje kubičnega korena je nasprotna operacija kubiranju. Pri kubičnem korenu je korenjenec lahko tudi negativen.
2.
korenjenec
3
Pravila za kvadratne korene
( a )2 = a; a ≥ 0 a2 = a; a ≥ 0
ab = a b ; a, b ≥ 0 a = a ; a ≥ 0, b > 0 b b
Pravila za kubične korene
(3 a )3 = a 3
a3 = a
3
ab = a b
3
a = a ; b π 0 b 3b
3
3
Če pravilo a2 = a razširimo tudi na negativna števila je, a2 = ∙a∙.
Koren vsote ni enak vsoti korenov: a + b π a + b O tem se prepričamo že pri a = b = 1, saj je rezultat na levi strani 2, na desni pa 2.
kn
Povzetek snovi
30
172. Razstavite: a) x3 – 3x2 + 2x b) a3 + 14a2 + 13a c) a5 – 4a4 + 3a3 č) 3u4 + 39u3 + 120u2 d) 2x5 – 10x4 – 72x3 e) a3b – 10a2b2 + 21ab3 f) 3x2y4 – 48y6 g) 4x3y + 28x2y2 – 72xy3 h) –u2v + 18uv2 – 17v3 i) 4a5b2 – 9a3b4 j) –7a3b2 – 343ab2 k) 216y6 – 6x2y4 l) –6x5 – 18x4y + 108x3y2
173. * Razstavite: a) x3 + x2 + 3x +3 f) u4 – 6u3 – u + 6 b) x3 + 2x2 – 2x – 4 g) x3 + 5x2y – 4xy2 – 20y3 c) x3 – 4x2 – 3x + 12 h) x6 + 3x5 + 2x4 + 6x3 č) a3 – 2a2 – 5a + 10 i) xy – 3x + 2y2 – 6y d) a3 + 4a2b + ab + 4b2 j) a2 – 9b2 + a + 3b e) a3 – a2 – a + 1
174. Odpravite oklepaje, skrčite izraze in rezultate razstavite: a) (a + 3)(a – 1) + 2(a – 4)(a + 4) – 2a2 b) (x + 2)2 + 2(x + 3)(x – 3) – x(2x – 1) c) (3x + y)2 – (2x + y)(4x – 5y) – 5xy č) (3m – 2n)2 – 2(4m – n)(4m + n) – m(m – 5n)
175. Pokažite, da je za poljubni različni naravni števili u in v število (u – 6v)2 – (2u + 3v)(7v – 4u) – 2v(2u + 3v) nenegativno.
176. Skrčite izraze in rezultate razstavite: a) (x + 2)2 – 3x(x – 4) + (x + 3)3 – 31(x + 1) b) (x – 4)3 – x2(x – 5)(x + 5) – 2(49x –6x2 – 28) + + (x + 2)(x2 – 2x + 4) c) (x + 2)3 + (x – 1)2 – 2x(3x + 2) – 3(3 + 4x) č) (x – 1)3 – 3x(x – 1) – (x –1) 177. Dan je izraz x3 + (2x – 3)3 – 27(x3 – 1). a) Odpravite oklepaje in izraz zapišite po padajočih potencah spremenljivke. b) Rezultat razstavite. c) Za x = –2 izračunajte vrednost danega izraza.
MATEMATIČNI OREHI
Na internetu poiščite programe za simbolno računanje (npr. GeoGebra, Graph in Maxima), ki so prosto dostopni in enega prenesite na svoj računalnik. S pomočjo tega programa rešite naslednje naloge oziroma preverite dobljene rezultate. 178. Vsota treh zaporednih večkratnikov števila dve je 3648. Katera števila so to? 179. Vsota petih zaporednih lihih naravnih števil je 415. Katera števila so to? 180. Zapišite števili A in B tako, da bo (a2 + A)2 + B = a4 + 10a2 + 20. 181. Zapišite števili A in B tako, da bo x4 – 32x2y2 + 256y4 = (x + Ay)2 (x + By)2. 182. Izraz 9x2 – 36x + 52 zapišite v obliki (Ax – B)2 + C. Kolikšna je najmanjša vrednost danega izraza, če je x celo število? Pri katerem x izraz zavzame to vrednost? 183. Dan je izraz (x – 6)2 – 3(x + 2)(x – 5) + 2(x2 – 9). a) Poenostavite izraz. b) Rezultat razstavite. c) Za kateri x je vrednost danega izraza enaka 0?
3
Zgled, kako rešujemo naloge.
00 uvod 001-005.indd 5
Težje naloge so označene z zvezdico.
Dodatna pojasnila, sheme, zanimivosti
184. Dan je izraz 2(x + y)(x – 12y) – (x – 4y)2 + 8xy. a) Odpravite oklepaje, skrčite izraz in rezultat razstavite. b) Za x = 3 in x = – 1 izračunajte vrednost danega izraza. 185. Dan je izraz (4x + y)3 – 4x(4x + y)(4x – 5y) – y3. a) Odpravite oklepaje, skrčite izraz in rezultat razstavite. b) Za x = –3 in y = 4 izračunajte vrednost danega izraza. 186. * Pokažite, da je za vsako naravno število a a3 + 4a2 – 9a – 36 sodo število.
31
NE POZABI Množica naravnih števil: N = {1, 2, 3 …}
Če je a < b in c < 0, potem ac > bc. Če je a < b in b < c, potem a < c.
Množica celih števil: Z = {… –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3 …}
a £ b če in samo če je a – b £ 0 a ≥ b če in samo če je a – b ≥ 0 Če je a £ b in c Œ R, potem a + c £ b + c. Če je a £ b in c > 0, potem ac £ bc. Če je a £ b in c < 0, potem ac ≥ bc. Če je a £ b in b £ c, potem a £ c.
V N in Z velja pet osnovnih računskih zakonov: Komutativnost vsote in produkta 1. a + b = b + a 2. ab = ba Asociativnost vsote in produkta 3. (a + b) + c = a + (b + c) 4. (a b) c = a (b c)
Potence z naravnimi eksponenti an am = an + m (an)m = an m (ab)n = an bn Računanje z izrazi
Distributivnost 5. a(b + c) = ab + ac Aksiomi in izreki a + 0 = a a + (–a) = 0 a1=a a0=0 a (–1) = –a Množica R je urejena z relacijama < in £ (oz. > in ≥). a < b če in samo če je a – b < 0 a > b če in samo če je a – b > 0 Če je a < b in c Œ R, potem a + c < b + c. Če je a < b in c > 0, potem ac < bc.
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 a2 – b2 = (a + b)(a – b) a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) ab + ac = a(b + c) Viètovo pravilo x2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b) an – bn = = (a – b)(an – 1 + an – 2b + an – 3b2 + … + abn – 2 + bn – 1) a2n + 1 + b2n + 1 = = (a + b)(a2n – a2n – 1b + a2n – 2 b2 – … + b2n)
187. * Spremenljivke a, b, c in d lahko zavzamejo le vred nosti 1, 2, 3 in 4 (ne nujno po vrsti). Kolikš na je lahko največja vrednost izraza ab + bc + cd + da? 188. * Če je a + 2b = 3, b + 2c = 5 in c + 2a = 7, koliko je a + b + c? 189. * Veste, da je 1 + 1 = 2 in da znate razstaviti vsoto kubov. Ali znate pokazati, da je izraz x3 + 2 + x večkratnik izraza x + 1?
Naloge, ki razvijajo gibkost pri razmišljanju.
20.8.2018 10:35:28
6
Volčja kost, ki jo je na Češkem leta 1937 našel arheolog Karl Absolom.
NARAVNA IN CELA ŠTEVILA
a. co m
■ Naravna števila ■ Cela števila ■ Urejenost naravnih in celih števil ■ Potence z naravnimi eksponenti ■ Večkratniki in izrazi
Poznavanje naravnih števil sega daleč v zgodovino. Velike prelomnice v razvoju človeštva so začetek kmetovanja (8000 let pr. Kr.), žganje gline (6500 let pr. Kr.) in uporaba kolesa (2700 let pr. Kr.). Štetje se je pojavilo že mnogo prej. Naj starejši dokaz za to je pavijanova stegnenica z 29 zarezami, ki so jo našli v gorovju Lebembo v Afriki in je stara približno 53 000 let. Trideset tisoč let pa je stara volčja kost s 55 zarezami v skupinah po pet, najdena na Češkem. Zapisovanje števil z vrezovanjem črtic na palico – rovaš – se je ponekod ohra nilo do današnjih dni. V nekaterih krčmah natakarji še vedno za vsak izdan vr ček piva s kredo narišejo črtico na tablo ob točilni mizi – ob slovesu pa gostom zaračunajo zapitek.
ar n
Za pisanje števil so ljudje v zgodovini uporabljali različne znake. Babilonci so uporabljali klinopis in so za zapis poljubnega naravnega števila potrebovali le dve vrsti znakov, stari Grki in Judje so uporabljali kar svojo abecedo, stari Egip čani so za potence števila 10 risali figurice, Kitajci so števila pisali s pismenka mi, Maji s črticami in pikami, Inki so jih vozlali na vrvice, Rimljani so jih zlagali iz črtic. Današnji način zapisovanja števil izvira iz Indije in so ga okoli leta 1000 v Evropo prinesli arabski trgovci, zato ga še danes zmotno imenujemo arabski.
Rimska številska pisava 1 2 3 4 5 6 7
VIII IX X L C D M
8 9 10 50 100 500 1000
kn
jig
I II III IV V VI VII
Egipčanska številska pisava
1 10 102 103 104 105
Arabska številska pisava
106
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Babilonska številska pisava
Kitajska številska pisava 1 2 3 4 5 6 7
01 naravna in cela stevila 006-031.indd 6
8 9 10 100 1000 1 000 000
1
2
10
3
11
4
12
5
20
6
30
40
7
50
8
9
59
17.8.2018 10:15:18
7
Majevska številska pisava
Azteška številska pisava
Inkovska številska pisava
4 T 1 2 3 4 5 10
20
400
8000
a. co m
4 S 5 D 6 E
Prvo naravno računalo človeka je bila njegova roka. Z roko si je pomagal števila ponazoriti in z njim računati (kot še da nes počno mali otroci).
ar n
Števila so ponazarjali tudi s prsti na rokah. Ena od ponazo ritev števil z roko je bila objavljena v tiskani knjigi Luca Pacio lija Summa Arithmeticae leta 1494. Na podlagi take pona zoritve si je neznani srednjeveški pesnik v enem od svojih stihov takole zaželel dolgega življenja: »Daj Bog, da si nekoč lahko pokažem leta z desno roko.« (To pomeni, da bo živel vsaj 100 let.) Spomin na ponazarjanje števil s prsti se je ohranil v angleš kem jeziku, kjer digit pomeni cifra (lat. digitus prst), z raču nalniškim izrazjem pa je beseda digitalen prišla tudi k nam.
Ponazoritev števil z roko iz knjige Summa Arithmeticae
kn
jig
Prvo pravo računalo v zgodovini je bil abak. To je bila gladka, s prahom posuta plošča, na katero so v mnogih starih kultu rah s trščico pisali števila in risali geometrijske konstrukcije. Ime najbrž izvira iz hebrejske besede abak, ki pomeni prah. Najstarejši ohranjeni primerki abakov so stari 2300 let. Na plošči so bile narisane vodoravne črte, ki so pomenile me sta v desetiškem sestavu. Na črtice so polagali kamenčke iz peščenca ali kalkule (lat. calculus), zato se je računanja oprijelo ime kalkulacija.
Rimski abak
01 naravna in cela stevila 006-031.indd 7
V posojilnici, lesorez iz 16. stoletja
17.8.2018 10:15:19
8 Enega prvih mehanskih računskih strojev je leta 1642 sestavil Blaise Pascal, ko je imel komaj 19 let. Z njim je želel pomagati svojemu očetu, davčnemu uradni ku, ki je imel veliko dela s preračunavanjem davčnih obveznosti prebivalcev. Stroj je bil sposoben seštevati in odštevati 6-mestna števila. Leta 1673 je Gott fried Wilhelm Leibniz skonstruiral računski stroj, ki je znal tudi množiti in deliti.
Prvi pravi elektronski računalnik so zasnovali ameriška inženirja John Presper Eckert in John William Mauchly ter slavni matematik in logik madžarskega rodu John von Neuman leta 1946. ENIAC (Electronic Numerical Integrator And Computer) je bil težak kar 30 ton in je bil postavljen na približno 200 kvadratnih metrih, sestavljalo pa ga je kakih 18 000 elektronk. Po izdelavi prvega integri ranega vezja (silicijev čip) pri podjetju Texas leta 1958 se je začelo računal ništvo tako hitro razvijati, da ENIAC danes, dobrega pol stoletja pozneje, po hitrosti in moči prekašajo že ceneni osebni računalniki. Zgodovina celih števil je mnogo mlajša od zgodovine naravnih števil. Matema tiki si niso mogli predstavljati negativne dolžine, ploščine ali prostornine. Nem ški matematik Michael Stiefel je negativna števila imenoval numeri absurdi (nesmiselna števila), Gerolamo Cardano pa numeri ficti (namišljena števila). Še René Descartes v 17. stoletju ni priznaval negativnih rešitev enačb in jih je imenoval racines fausses ali neprave rešitve.
ar n
Aritmometer, mehanični računski stroj za seštevanje, odštevanje, množenje in deljenje, je leta 1875 izumil švedski inženir Willgot T. Odhner. Mehanizem je bil tako uspešen, da je mnogo to varn odkupilo licenco in so ga skoraj 100 let izdelovali in uporabljali po vsej Evropi.
a. co m
Blaise Pascal je svoj računski stroj ime noval Pascalina.
V začetku 19. stoletja je Charles Babbage izumil računski stroj, ki je že spominjal na moderni računalnik. Imenoval ga je diferenčni stroj. Zaradi pomanjkanja de narja stroja ni dokončal, po njegovih načrtih so ga izdelali šele pred kratkim. Di ferenčni stroj je sposoben izvesti cel niz različnih računskih operacij po vnaprej predvidenem programu, ki je s sistemom luknjic »zapisan« na papirnatem traku.
jig
Zanimiv je tudi razvoj znaka za število nič. Maji so znak za nič poznali že pred skoraj 2000 leti, Babilonci pa so zanj uporabljali kar prazen prostor. Tako so lahko zapisali le števila, ki so imela nič v sredini, ne pa na koncu. Znak, kot ga uporabljamo danes, se je v Evropi pojavil šele skupaj z indijskim načinom pi sanja števil. Zelo verjetno je na obliko znaka »ničla« vplivala prva črka starogr ške besede ouden, ki pomeni nič. Najznamenitejši arabski matematik Al Hva rizmi (780–850) v nekem svojem delu natančno opisuje uporabo znaka za število nič: »Če je ostanek pri odštevanju enak nič, nariši majhen krogec, da tisto mesto ni prazno in da ne bi kdo zmotno zmanjšal števila mest rezultata.«
kn
Del diferenčnega stroja Charlesa Ba bbagea, ki so ga sestavili šele leta 1991.
Tabela za množenje, 12. stoletje
01 naravna in cela stevila 006-031.indd 8
Tabela za množenje, 16. stoletje
17.8.2018 10:15:20
9
Naravna števila
N = {1, 2, 3, 4 … }
a. co m
Že kot otroci smo se naučili, da začnemo šteti predmete ali kaj drugega z 1, nadaljujemo z 2, 3, 4 in tako naprej. To se nam je zdelo čisto naravno. Tudi zato števila, s katerimi štejemo, imenujemo naravna števila. Označimo jih s simbolom N.
Vsako naravno število ima neposrednega naslednika, ki je za ena večji od njega. Če si zamislimo še tako veliko naravno število, je njegov neposredni naslednik za ena večji. Naravnih števil je neskončno mnogo.
n ↦ n + 1
Vsako naravno število lahko upodobimo kot točko na številski premici, na ka teri najprej izberemo dve točki: izhodišče O in točko E, ki je za 1 (enota) od daljena od O proti desni. Točka E je slika naravnega števila 1. Naslednja točka, oddaljena za 1 proti desni, je slika števila 2 itd. O
E 1
O
2
3
4
5
6
7
8
E
enota
ar n
Če izberemo poljubni dve števili a in b v množici N, jima lahko priredimo vsoto a + b in produkt a b, ki sta tudi naravni števili. Seštevanje in množenje v mno žici N sta zato dvočleni in notranji operaciji.
SEŠTEVANJE
Pri seštevanju naravnih števil ni pomemben vrstni red, zato je seštevanje komutativna operacija: a + b = b + a
jig
Ker ne moremo naenkrat sešteti treh ali več naravnih števil (spomnimo se, da je seštevanje dvočlena operacija), moramo izbrati po dve in dve. Izkaže se, da ni pomembno, kje naredimo oklepaje, ker je seštevanje asociativna operacija:
seštevanec
seštevanec
O
E
+
vsota
+ 5
1 2 3 4 5 6 7 8
(a + b) + c = a + (b + c)
kn
MNOŽENJE
Tudi pri množenju ni pomemben vrstni red faktorjev (množencev), saj je mno ženje komutativna operacija:
množenec množenec
•
zmnožek
a b = b a
Pri množenju več kot dveh faktorjev lahko poljubno postavimo oklepaje, ker je množenje asociativna operacija: (a b) c = a (b c)
01 naravna in cela stevila 006-031.indd 9
b a Ista ploščina
b a
17.8.2018 10:15:20
10
c
c
a b Ista ploščina
(a + b) ac + bc = (a + b)c
Seštevanje in množenje povezuje zakon distributivnosti ali razčlenitveni zakon: (a + b) c = a c + b c V nasprotni smeri ga beremo kot pravilo izpostavljanja skupnega faktorja:
ZGLEDi
a. co m
a c + b c = (a + b) c
1. 23 + 37 = 37 + 23 = 60
2. 42 + 16 + 35 = (42 + 16) + 35 = 58 + 35 = 93 42 + 16 + 35 = 42 + (16 + 35) = 42 + 51 = 93 3. 15 31 = 465 = 31 15
4. (27 + 12) 15 = 39 15 = 585 27 15 + 12 15 = 405 + 180 = 585
5. 28 63 + 28 17 = 28 (63 + 17 ) = 28 80 = 2240
ar n
Za računanje v množici naravnih števil velja pet osnovnih računskih zakonov: zakon o zamenjavi seštevancev (komutativnost seštevanja)
a b = b a
zakon o zamenjavi faktorjev (komutativnost množenja)
(a + b) + c = a + (b + c)
zakon o poljubnem združevanju seštevancev (asociativnost seštevanja)
kn
jig
a + b = b + a
zmanjševanec odštevanec
O
E
–
zakon o poljubnem združevanju faktorjev (asociativnost množenja)
(a + b) c = a c + b c
razčlenitveni zakon (distributivnost seštevanja in množenja)
ODŠTEVANJE
razlika
– 3
1 2 3 4 5
01 naravna in cela stevila 006-031.indd 10
(a b) c = a (b c)
Z odštevanjem v množici N so lahko težave. Če hočemo grafično odšteti šte vilo 5 od števila 3, pomeni, da se pomaknemo od števila 3 po številski premici za 5 v levo. To pa očitno ne gre, zato odštevanje ni operacija, ki bi bila v mno žici naravnih števil vedno izvedljiva. Razlika a – b dveh naravnih števil a in b je zato tisto število, ki ga moramo prišteti številu b, da dobimo število a, če je to sploh mogoče: (a – b) + b = a
17.8.2018 10:15:20
11
ZGLEDi 1. 123 – 45 – 67 + 89 = 11 + 89 = 100 2. 98 – 7 – 6 – 5 – 4 + 3 + 21 = 91 – 15 + 24 = 91 + 9 = 100
a. co m
3. 3 – 11 – 4 + 18 + 25 – 7 = (3 + 18 + 25) – (11 + 4 + 7) = 46 – 22 = 24 (Upoštevamo komutativnost in asociativnost seštevanja ter distributiv nost.)
4. Izračunajmo ploščino lika na dva načina: z razcepitvijo na pravokot nike in z dopolnitvijo do večjega pravokotnika.
3
11
2
3
2
1
V matematični literaturi pogosto za sledimo tujke: sumand … seštevanec suma … vsota faktor … množenec produkt … zmnožek minuend … zmanjševanec subtrahend … odštevanec diferenca … razlika
9
a) S = 3 3 + 3 5 + 1 4 + 2 1 = 3 8 + 6 1 = 30 b) S = 9 5 – 2 3 – 1 1 – 2 4 = 45 – 15 = 30 3
1
3
ar n
2
5
2
1
5
4
4
1
3
3
1
2
9
jig
V množici N definiramo operaciji a b = a b + 2 in a b = a + b 2. Npr. 4 7 = 4 7 + 2 = 30 in 4 7 = 4 + 7 2 = 18.
kn
Izračunajte 12 3, 5 7, 3 8, 2 9, 6 3, 8 8, (10 2) 4, (5 7) 8, in ugotovite, ali za operaciji velja 5 osnovnih računskih zakonov.
01 naravna in cela stevila 006-031.indd 11
17.8.2018 10:15:21
12
NALOGE 1. Dopolnite tabelo z naravnimi števili tako, da bo vsota števil v vseh vrsticah in v vseh stolpcih ter po obeh diagonalah enaka. 6 7
a. co m
5
9. Na pamet izračunajte (pomagajte si z zamenjavo vrstnega reda faktorjev): a) 5 19 2 č) 20 89 5 d) 8 7 125 b) 5 21 4 c) 4 23 25 e) 25 8 4 125
4
2. Na petih listih so napisane števke 1, 0, 7, 3 in 2. Napišite največje in najmanjše možno 5-mestno a) število, b) liho število, c) sodo število.
11. Za pošiljanje paketa po pošti vrvico okoli paketa z merami 30 cm, 20 cm in 6 cm zavežemo tako, kot kaže slika. Izračunajte dolžino vrvice, če za vozel potrebujemo 20 cm.
12. Izračunajte površino tlorisa hiše s slike.
ar n
3. Babica Tonka je vnukinji Tini dala denar za 7-dnevno maturantsko ekskurzijo. Tina je prvi dan porabila 46 €, nato pa vsak dan 6 € manj. Izračunajte, koliko denarja je porabila tretji dan in koliko v vseh dneh skupaj. 4. Pisno izračunajte vsote števil: a) 12 924, 3867 č) 37, 124 b) 43 281, 7679 d) 526, 7315 in produkt števil e) 3479, 341 c) 23, 16
10. Izračunajte na pamet (če ne gre, si pomagajte s svinčnikom in papirjem): f) 8 + 2 3 5 a) 3 + 4 5 g) (8 + 2) 3 5 b) (3 + 4) 5 h) 14 + 6 2 3 + 7 c) 7 6 + 8 č) 7 (6 + 8) i) (14 + 6) 2 (3 + 7) d) 7 + 6 + 3 4 j) 4 + 6 9 + 11 4 k) (4 + 6) (9 + 11) 4 e) 17 + 3 7 + 10
jig
5. Vsoti in produkta pisno izračunajte tako, da na dva različna načina postavite oklepaje: a) 37 + 84 + 96 c) 25 8 11 b) 71 + 263 + 137 č) 35 73 27 6. Na pamet izračunajte vsote števil (pomagajte si z zamenjavo vrstnega reda seštevancev): a) 421 + 579 + 567 + 433 b) 102 + 127 + 373 + 1998
kn
7. Na pamet izračunajte: a) 124 10 b) 624 100
c) 1000 7823
8. Vinogradnik Marko ima v vinogradu trte z jedilnim rdečim grozdjem posajene v 30 vrstah. Izračunajte količino grozdja, ki ga v tem vinogradu pridela Marko, če je v vsaki vrsti 90 trt in vsaka trta da povprečno 2 kilograma grozdja.
01 naravna in cela stevila 006-031.indd 12
8
7
4 2
4
13. Pisno izračunajte: a) 312 – 167 b) 3273 – 2719
7
c) 142 – 79 + 31 č) 81 + 257 – 188
14. Pisno izračunajte (pazite na vrstni red operacij): a) 7 18 – 8 b) 5 42 – 12 4 c) 83 – 13 6 + 14 č) 62 6 + 99 – 19 7 + 23 4 d) 2 (7 + 3 (4 9 + 12 3)) e) ((5 + 9 3) 4 + 7 (2 + 6)) 3 + 2 f) 13 + 2 (6 (11 + 3 2) + 9 7) g) (4 3 + 2) (17 4 + 2 (7 + 9)) 15. Preverite, ali so navedene enakosti pravilne. Če niso, postavite oklepaje tako, da bodo: a) 13 6 + 17 3 = 129 č) 37 – 7 4 + 5 = 14 b) 7 + 3 4 + 6 = 25 d) 14 + 6 7 + 8 9 3 = 356 c) 7 + 3 4 + 6 = 100 e) 3 91 – 11 6 = 75
20.8.2018 10:13:05
13 16. Izračunajte: a) 7 + 14 4 + 16 5 b) 7 (3 + 5 (12 + 7)) c) (12 4 + 3 (7 + 9 2)) (13 3 + 2) č) 6 3 + 2 (6 (9 + 3 (3 + 8 5))) d) (12 + (3 + 7 (5 + 4 (3 + 9) 2))) 2 + 16 4
a. co m
17. Štirikratniku števila 62 prištejemo šestkratnik vsote števil 93, 82 in 46. Katero število dobimo?
25. Poenostavite izraze: a) 2a + 3 (4a) b) 3 + 4x + 5x + 7 + x + 1 c) 8 + 4 (3x) + 3 7 + x + 5x č) 7a + 3 (5b) + 6 (2a) + b d) b + 3 (7a + 3b) + 4a + b e) 3(x + 2y) + 6 + 3(3x + 4y) + 3 5
18. Katero število dobimo, če k trikratniku vsote števila 78 in petkratnika števila 43 prištejemo 121?
27. Izpostavite skupni faktor: a) 10a + 30 b) 6x + 9 c) 12u + 6 č) 8x + 12y d) 14u + 21v + 28
jig
20. Dopolnite izjave o številih. a) Vsota dveh naravnih števil je 8. Če je eno enako x, je drugo … b) Če je manjše od dveh zaporednih naravnih števil c – 2, je večje od njiju … c) Dve zaporedni lihi naravni števili sta 2b + 1 in … č) V razredu je 30 dijakov. Če je deklet d, je fantov … d) Vsota dveh števil je 3 + 2x. Če je večje število x + 4, potem je manjše število …
kn
21. Vsota dveh zaporednih naravnih števil je 127. Kateri števili sta to? 22. Če število n podvojimo in mu potem prištejemo 7, dobimo 19. Izračunajte število n. 23. Ko število n odštejemo od 11, je rezultat za 3 večji kot število n. Poiščite neznano število n. 24. Neznano število zmanjšamo za 3 in razliko podvojimo. Kot rezultat dobimo prvotno neznano število. Izračunajte ga.
01 naravna in cela stevila 006-031.indd 13
e) 3ab + 6ac f) 15ab + 12bc + 3b g)* uv + uw + zv + zw h)* ac + 3ad + bc + 3bd
28. Za dane vrednosti spremenljivk izračunajte vrednosti izrazov: a) 5x + 3y + 10; za x = 4, y = 6 b) 4 (a + 2b) + 4a; za a = 2, b = 8 c) 3 (2x + y) + 4 (y + 2x) + y + 10; za x = 3, y = 5 č) (a + 3b) (a + 4b); za a = 4, b = 5
ar n
19. Z algebrskim izrazom zapišite izjave. a) Produkt števil x in 6. b) Vsota števil 2x in 8. c) Za 5 več kot a. č) Trikratnik števila z. d) Vsota petkratnika števila u in trikratnika števila v. e) Štirikratnik za 2 povečanega števila a. f) Dvakratnik števila a je enak vsoti števil a in b. g) Trikratnik vsote števil x in y je enak vsoti števil y in 19. h) Produkt za 3 povečanega števila x in vsote števil x in 5.
26. Po distributivnostnem zakonu odpravite oklepaje: a) 5(a + 3) d) (a + 1)(b + 2) b) 6(a + 2b) e) (3a + 4)(5b + 2) c) 8(3x + 2y + 5) f) (a + b)(c + 2d) č) 2x(3y + 6) g) (3x + 2y)(5z + 4w)
29. V akciji ZBIRAJMO STAR PAPIR je sodelovalo 5 oddelkov neke osnovne šole. Spodnja tabela prikazuje, koliko papirja je posamezen oddelek zbral na posamezen dan. Oddelki A [kg]
B [kg]
C [kg]
Č [kg]
D [kg]
1. dan
205 310 275 298 301
2. dan
324 298 278 265 291
3. dan
302 297 316 305 294
Skupaj [kg]
Skupaj a) Izračunajte, koliko kilogramov starega papirja je zbral posamezen oddelek skupaj. b) Izračunajte, koliko kilogramov starega papirja so na posamezen dan zbrali vsi oddelki skupaj. c) Izračunajte, koliko starega papirja so zbrali vsi oddelki skupaj. č) Na internetu poiščite odkupno ceno za kilogram starega papirja in izračunajte, koliko evrov bi pri prodaji papirja iztržil posamezen oddelek.
17.8.2018 10:15:21
14 32. V trgovini so naročili 15 velikih zabojev steklenic mineralne vode po dva litra in 7 malih zabojev steklenic mineralne vode po en liter. Koliko litrov mineralne vode so naročili, če je v večjem zaboju 8 steklenic mineralne vode, v malem pa 12?
31. Pri graditvi ceste je prvih pet dni delalo 6 delavcev po 9 ur na dan, nato pa so prišli še trije delavci in so vsi skupaj zgradili preostanek ceste v 2 dneh, saj so delali po 12 ur na dan. Koliko delovnih ur je bilo porabljenih za gradnjo ceste? Koliko evrov bo delodajalca stalo plačilo delavcev za opravljeno delo, če imajo vsi delavci enako urno postavko, in sicer 6 €?
33. Trije bratje – Anže, Jure in Žan – so se februarja odločili, da bodo skupaj varčevali za nakup jadralne deske. Anže bo na mesec prispeval 37 €, Jure 14 € več kot Žan, ta pa 19 € manj kot Anže. Koliko denarja na mesec prihranijo bratje in koliko denarja bodo imeli prihranjenega do konca junija?
MATEMATIČNI OREHI
a. co m
30. Ultramaratonec v eni uri preteče 12 kilometrov. Koliko kilometrov preteče v šestih urah, če teče ves čas z enako hitrostjo? V kolikšnem času bi isto pot prevozil kolesar, ki vozi s povprečno hitrostjo 18 kilometrov na uro?
37. Andrejev prijatelj Jože bere knjigo Lojzeta Kova čiča Otroške stvari. Prvi dan je prebral 87 strani, drugi dan 20 strani več kot prvi dan, tretji dan pa 15 strani več kot drugi dan. Koliko strani knjige je Jože že prebral? Koliko strani je Jožetu še preostalo? Podatke poiščite na internetnem naslovu www.modrijanovaknjigarna.si ali na www.cobiss.si.
35. Janez je v trgovini kupil 5 jogurtov po 80 centov, 10 malih žemelj po 35 centov in 5 pollitrskih sokov po 1 € 15 centov. Koliko je znašal račun? Poiščite zadnji reklamni katalog najbližje trgovi ne, primerjajte cene s cenami navedenih izdelkov in primerjajte skupni račun.
38. Izračunajte vsoto prvih 100 naravnih števil.
jig
ar n
34. Popotnik Polde se je odločil, da bo s kolesom obiskal vse večje kraje v Sloveniji. Ko je obiskal Škofjo Loko, so mu nekateri svetovali, naj gre v Tolmin skozi Železnike in Podbrdo, drugi pa, naj gre skozi Cerkno. Polde se je odločil, da bo šel po krajši poti. Po kateri od omenjenih poti bo kolesaril? Podatke poiščite na avtokarti Slovenije ali na internetu.
kn
36. Dijaki Filip, Maša in Zala redno zajtrkujejo. Tako je danes Filip pojedel dve pečeni jajci z dvema rezinama belega kruha (150 g) in popil 200 ml mleka z 1,6 % maščob. Za peko jajc je uporabil manjšo čajno žličko olja (3 g). Maša je v 250 ml navadnega tekočega jogurta (1,5 % maščob) stresla 100 g sadnega sport mueslija in nato popila 200 ml pomarančnega soka s 100-odstotni sadnim deležem. Zala pa si je pripravila dve rezini koruznega kruha (150 g), enega je namazala z marelično marmelado (40 g), drugega pa z medom (40 g). Zraven je popila skodelico nesladkanega čaja. Na internetu poiščite energijske vrednosti omenjenih živil in za posameznega dijaka ocenite, koliko kilokalorij (kcal) je zaužil. Podatke primerjaj te z vašim današnjim zajtrkom.
01 naravna in cela stevila 006-031.indd 14
39. Izračunajte: a) 1 + 2 + 3 + … + 52 + 53 + 54 b) 2 + 4 + 6 + … + 100 c) 11 + 13 + 15 + … + 111 40. Kolikšna je razlika med vsoto prvih stotih sodih naravnih števil in vsoto prvih stotih lihih naravnih števil? 41. Sešteli smo n števil. Za koliko se spremeni vsota teh števil, če: a) vsak seštevanec v tej vsoti povečamo za k, b) vsak seštevanec v tej vsoti pomnožimo s k? 42. Oglišča kocke oštevilčimo s številkami od 1 do 8 tako, da bo vsota štirih števil v ogliščih vsake od šestih ploskev enaka. Izračunajte, kolikšna je ta vsota. Iz kartona izrežite mrežo kocke, jo zlepite v kocko in nanjo zapišite vsaj eno od možnosti.
17.8.2018 10:15:21
15
Cela števila Moč množice celih števil Tudi množica Z je števno nes končna, po moči je enaka svoji podmnožici N. Ta navidezni ne smisel se pojavi zato, ker za nes končne množice ne veljajo zakoni tosti, ki smo jih vajeni v končnih.
a. co m
To, da lahko odštejemo le manjše od večjega števila, je povsem logično: otrok lahko poje le toliko bonbonov, kolikor jih ima, porabimo lahko le zasluže ni denar, še star slovenski pregovor je v tem duhu: »V postelji se lahko stegneš le toliko, kolikor dolgo imaš odejo.« V resnici pa je življenje bolj pestro, saj obstajajo posojila in si lahko omislimo dolg, pozimi temperatura pogosto pade pod ničlo, gladina Mrtvega morja leži nižje kot gladina Sredozemskega morja nekaj kilometrov stran.
Da bi rešili te in druge podobne zadrege, množico naravnih števil razširimo do množice celih števil. Razširimo jo tako, da vse točke, ki predstavljajo naravna števila, prezrcalimo prek izhodišča. Točka, ki jo dobimo z zrcaljenjem točke, ki predstavlja število n, je slika števila –n. Število –n je nasprotna vrednost števila n. Naravnim številom zdaj rečemo pozitivna cela števila, prezrcaljenim slikam naravnih števil ustrezajo slike negativnih celih števil, izhodišče pa je slika celega števila 0. Množici števil, ki ustreza tako dobljeni množici točk na številski premici, rečemo množica celih števil in jo označimo s črko Z. Množica Z je torej unija negativnih celih števil, števila 0 in pozitivnih celih števil: Z = Z– » {0} » Z+ –5
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
5
6
ar n
–6
Vsakemu celemu številu lahko priredimo nasprotno vrednost. Nasprotna vred nost pozitivnega števila je negativno število, nasprotna vrednost negativnega števila pa pozitivno število, število 0 je nasprotno samo sebi. –a (–a)
a –(–a) = a
jig
–(–a) = a –0 = 0
0
Cela števila lahko seštevamo, odštevamo in množimo.
SEŠTEVANJE
kn
Denimo, da sta a in b pozitivni celi števili: a) vsota dveh pozitivnih celih števil je pozitivno celo število: a + b > 0; b) vsota dveh negativnih celih števil je negativno celo število: (–a) + (–b) = –(a + b);
c) vsota pozitivnega števila a in negativnega števila – b je: pozitivno število, če je a > b negativno število, če je a < b.
Vsota poljubnega celega števila a in števila 0 je: a + 0 = a (0 je nevtralni ele ment seštevanja). Vsota dveh nasprotnih celih števil je nič: a + (–a) = 0.
01 naravna in cela stevila 006-031.indd 15
17.8.2018 10:15:21
16
ZGLED 5 + 6 = 11, –5 + (–6) = –11, 5 + (–6) = –1, 6 + (–5) = 1
a. co m
ODŠTEVANJE Če sta a in b pozitivni števili in je a < b, je a – b negativno število; če je a > b, je a – b pozitivno število.
ZGLED
4 < 7, 4 – 7 = –3, 7 > 4, 7 – 4 = 3
Če sta a in b negativni števili in je a < b, je a – b negativno število, če pa je a > b, je razlika a – b pozitivna.
ZGLED
–5 < –3, –5 –(–3) = –2 < 0; –3 > –5, –3 – (–5) = 2 > 0
ar n
Naj bosta tokrat števili a in b različnega znaka. Če je a > 0 in b < 0, je a – b > 0. Če je a < 0 in b > 0, je a – b < 0.
ZGLED
4 > (–1), 4 – (–1) = 5 > 0; (–1) < 4, (–1) – 4 = –5 < 0
Vse tri možnosti lahko združimo v eno samo pravilo:
jig
Odštevanje v Z je prištevanje nasprotne vrednosti a – b = a + (–b).
MNOŽENJE
kn
Produkt dveh celih števil je celo število. Produkt pozitivnih števil je pozitivno število. Produkt sodo mnogo negativnih šte vil je pozitivno število. Produkt liho mnogo negativnih števil je negativno število.
(–a) b = a (–b) = –a b (–a) (–b) = a b Množenje z nič da produkt nič: a 0 = 0. Množenje s številom 1 ne spremeni celega števila: a 1 = a. Pri množenju z (–1) dobimo nasprotno število: a (–1) = –a. Za množenje in seštevanje v množici celih števil velja pet osnovnih računskih zakonov.
01 naravna in cela stevila 006-031.indd 16
17.8.2018 10:15:21
17
ZGLEDi
a. co m
1. 2 – 6 – 8 + 4 – 3 – 5 + 10 = –4 – 4 – 8 + 10 = –16 + 10 = –6 2. 8 – (8 – (8 – 5) + 1) – 3 = 8 – (8 – 3 + 1) – 3 = 8 – 6 – 3 = –1 3. 9 – ((–2) 5 –(–3)(–4))(2 –5) = 9 –(–10 – 12)(–3) = –57 4. (1 + 2 – 3 – 4)(5 – 6 – 7 – 8 – 9) = –4(–25) = 100 5. 6 3 – 12 – 4 5 – 3 + 7 9 = 18 – 12 – 20 – 3 + 63 = 6 – 20 + 60 = = 6 – 40 = –34 6. 28 – (26 – (3 – (4 – 7))) = 28 – (26 – (3 + 3)) = 28 – (26 – 6) = 28 – 20 = 8
Kako lahko šef kuhinje z 11-minutno in 7-minutno peščeno uro da kuhati zelenjavno juho za 15 minut?
NALOGE
50. Pisno izračunajte (pomagajte si z zamenjavo vrstnega reda posameznih členov): d) 3754 – 824 – 2341 a) 81 – 93 + 76 b) 6724 + 7251 – 9812 e) –236 – 72 + 405 c) 1239 – 2745 + 3412 f) –1314 + 7200 – 2034 č) 879 – 12345 + 7692 g) –3792 – 918 – 1001
ar n
43. Pri pouku športne vzgoje je 85 dijakov, od tega 49 deklet. Koliko fantov je pri pouku športne vzgoje?
44. V šolski kuhinji so za malico kupili 407 žemelj in sirovih štručk. Dijaki so pojedli 163 sirovih štručk, od 225 kupljenih žemelj pa so pojedli 189 žemelj. Koliko žemelj in koliko sirovih štručk jim je ostalo? 45. Termometer je zvečer kazal 4 °C, ponoči pa je temperatura padla za 9 °C. Koliko je kazal termo meter zjutraj?
jig
46. Planinec Robert se je iz Aljaževega doma v Vratih, ki je na nadmorski višini 1015 metrov, odpravil na Triglav, ki je na nadm. višini 2864 metrov. Kolikšno višinsko razliko bo premagal?
kn
47. Najnižja temperatura na Luni je –280 °F, najvišja dnevna pa 160 °F. Kolikšna je razlika temperatur? 48. Poskusite izračunati na pamet: a) 918 – 574 c) 7309 – 1835 b) 3102 – 769 č) 72569 – 26394 49. Pisno izračunajte: a) 372 – 467 b) 367 – 628 c) 791 – 1023 č) 2784 – 16900
01 naravna in cela stevila 006-031.indd 17
d) –467 + 512 e) –3265 + 8124 f) 981 – 7254 g) –315 – 408
51. Izračunajte na pamet: a) (–6) + (+9) b) (+71) + (–27) c) (+46) + (–63) č) (–7) + (–4) d) (–8) – (–32)
e) (–15) – (–6) f) 729 – (–81) g) (–123) – (–123) h) (+978) + (–391) i) (+729) + (–1254)
52. Pisno izračunajte: a) 72 – 14 – 17 b) 37 – 69 – 82 c) –89 + 71 – 57 č) –86 – 38 + 45 d) 15 – (–8) + (–13) e) –154 – (–45) + (–67) f) 79 – (32 – 46) g) 45 – (71 – (–35)) h) 98 + (73 + (–46) – 66) i) 143 + (–17 – (–76)) j) 1 – (–37 + (–58)) – 82 – 62 k) 35 – (–23) – (41 + (–64)) l) 105 + (–76 + (–54)) – (–25) m) –(102 – (+54) + (–31)) + (76 – 89)
17.8.2018 10:15:21
18 53. Na pamet izračunajte: a) 8 (–7) č) 11 8 – 3 f) 71 + (–4) (–7) b) (–6) (–3) d) 4 (–5) + 10 g) (–17) 6 – 5 c) (–9) (+6) e) 12 + 8 (–4) 54. Pisno izračunajte: a) 126 (–23) b) (–67) (–38) – 646 c) 31 – ((–9) 4 + 7 + (–6)) č) ((–4) (–13) + (–17)) (–5) d) (31 + (–6)) 4 ((–7) 9) e) (–2) (–13) + (7 (–4) – (–21)) f) 6 – 6 (7 + (–3) 21 + 4 + (–5) (–8)) g) 7 + (12 (–4) – 9 (–11) + (–2)) – (–6) (–13)
a. co m 61. Od katerega števila odštejemo dvakratnik števila 17 187 in prištejemo trikratnik števila 3789, da dobimo 20 168?
62. Če štirikratniku števila n odštejemo 40, dobimo nasprotno število števila n. Izračunajte število n.
48.000
58.000
59.000
63. Ko od števila 324 odštejemo n, dobimo petkratnik za šest zmanjšanega števila n. Koliko je n?
20 10 20 11 20 12
09
07
08
20
20
20
06
20
jig
a) V katerem letu je bilo največ prodanih avtomo bilov in v katerem letu najmanj? b) V katerih letih je bila prodaja nad 60 000? c) V katerem letu je prodaja avtomobilov najbolj porasla in v katerem letu najbolj upadla? č) Koliko je bilo vseh prodanih avtomobilov v tem času? d) Izračunajte aritmetično sredino števila prodanih avtomobilov? e) V katerih letih je bila prodaja nižja od aritmetične sredine?
kn
57. Z algebrskim izrazom zapišite izjave. a) Produkt števil a in –5. b) Razlika števil 3a in 6. c) Za 10 manj kot x. č) Trikratnik števila –a. d) Razlika trikratnika števila u in petkratnika števila v. e) Štirikratnik za 7 zmanjšanega števila a. f) Trikratnik števila z je enak vsoti števil u in v. g) Dvakratnik razlike števil b in a je enak razliki števil b in 13. h) Produkt za 5 povečanega števila x in razlike števil x in 9.
01 naravna in cela stevila 006-031.indd 18
64. Poenostavite izraze: a) –3a + 2 (–4a) b) 3a – 2 (4a + 3b) + 6b c) –11 + (–4) (3x) + 3 (–7) + x – (–6) x č) 9a – 3 (–5b) + 7 (–2a) – b
65. Po distributivnostnem zakonu odpravite oklepaje: a) 4(a – 3) d) (a – 3)(b – 2) b) (–9) (3x – 4y + 6) e) (2a – 4)(3b – 3) c) a(2 – b) f) (a + 2b)(c – d) č) 2x(3y – 7) g) (4x – 3y)(5z + 7w)
ar n
55.000
68.000
65.000
58.000
61.000
63.000
04
05
20
57.000
03
20
52.000
02 20
20
70.000 60.000 50.000 40.000 30.000 20.000 10.000 0
59. Katero število dobimo, če od štirikratnika razlike števila 91 in dvakratnika števila 57 odštejemo 234? 60. Od osemkratnika števila –46 odštejte dvakratnik razlike števil 189 in 341. Katero število dobimo?
55. Izračunajte na dva načina: a) 27 (53 + 38) c) 56 31 + 56 69 b) (–83) (46 – 67) č) 41 32 – 82 41 56. Slika prikazuje število prodanih avtomobilov v Sloveniji za desetletje (vir: Delo in ADS).
58. Petkratniku števila 71 prištejemo trikratnik razlike števil 913 in 786. Katero število dobimo?
66. Izpostavite skupni faktor: a) 8x – 12 d) –21ab – 9bc + 3b b) 12u – 6 e)* uv – uw + zv – zw c) 15u + 20v – 55 f)* ac + 4ad – bc – 4bd č) 2ab – 4ac 67. Poenostavite izraze: a) 2a + 4(a – 5b) + b b) 3b – 3 (3a – 7b) – (4a – b) c) 4(x – 2y) – 7 – 3(4x + 3y) – 6 (–5) č) (2a – 3b) 3 – 3b d) 4x – 3 (5x – 2y + 5) – 6y + 4 e) 5 (2 – (–3x – 4)) – (2x – (7 – 3y)) (–3) – (y + 1)
68. Za dane vrednosti spremenljivk izračunajte vrednosti naslednjih izrazov: a) (2a – 3b) (a + b); za a = 6, b = –5 b) (5x – 3y) (2x + y) – 13; za x = –2, y = 7 c) a + 3 (5a – 3b) + 11b; za a = 2, b = –3 č) 2 (x + 3 (x – 2y)) + x; za x = 4, y = –1 d) z + (x + y – 2z) (x + 3 (z – 2y)); za x = 4, y = –3, z = 2 e) (y + 2z) (x – 3y) + 4 (y – z); za x = –2, y = 6, z = 3
17.8.2018 10:15:22