a. co m ar n jig
kn Untitled-1 1
20.3.2015 12:39:51
aparat_spredaj.fm Page 2 Thursday, May 12, 2016 3:55 PM
OD PIRAMID DO KAOSA
a. co m
Matematika za 2. letnik tehni{kih in drugih strokovnih {ol Avtorji Gregor Pavli~, Marina Rugelj, Janez [parovec, Du{an Kavka Recenzenti dr. Matija Cencelj, Meta Horvat, Stanislav [enveter Urednica Simona Knez
Lektorica Renata Vr~kovnik
Ilustracije Darko Simer{ek, Vojko Plevel, Bo{tjan Majcen, Aleksander Jankovi~
Fotografije arhiv zalo‘be Modrijan, Gregor Pavli~, Marina Rugelj, Jurij Senega~nik, Janez [parovec
ar n
Oprema in oblikovanje Gorazd Rogelj, Iztok Kramar Prelom Rasto Furlan
kn
jig
Izdala in zalo‘ila Modrijan zalo‘ba, d. o. o. Za zalo‘bo Branimir Ne{ovi} Natisnjeno v Sloveniji Naklada 1000 izvodov Ljubljana 2016 Dvanajsta izdaja
© Modrijan zalo‘ba, d. o. o.
CIP – Katalo‘ni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knji‘nica, Ljubljana 51(075.3)
CIPOD piramid do kaosa : matematika za 2. letnik tehni{kih in drugih strokovnih {ol / Gregor Pavli~ … [et al.] ; [ilustracije Darko Simer{ek … [et al.] ; fotografije arhiv zalo‘be Modrijan … et al.]. – 12. izd. – Ljubljana : Modrijan, 2016 ISBN 978-961-6357-29-6 1. Pavli~, Gregor, 1954– 284677888
www.modrijan.si
aparat_spredaj.fm Page 3 Friday, March 20, 2015 11:42 AM
Geometrija v ravnini Osnovni pojmi
a. co m
VSEBINA
10
Skladnost in merjenje Vzporednost in pravokotnost Trikotnik [tirikotnik in pravilni n-kotnik Podobnost
22
38
43 52
Kotne funkcije
62
ar n
Metri~na geometrija v ravnini Razre{evanje trikotnika Krog
16
30
Kro‘nica, krog, lok
Plo{~ina in obseg
6
Potence in koreni
80 82 99 106
122 124
Kvadratni koren
127
Koreni poljubnih stopenj
130
Iracionalna ena~ba
135
Potence z racionalnimi eksponenti
138
kn
jig
Potence s celimi eksponenti
Funkcija
146
Funkcija in njene lastnosti
148
Poten~na funkcija
171
Kvadratna funkcija
179
aparat_spredaj.fm Page 4 Friday, March 20, 2015 11:42 AM
Vektorji
210
Kompleksna {tevila
jig
ar n
Mno‘ica kompleksnih {tevil Se{tevanje, od{tevanje in mno‘enje Konjugirano kompleksno {tevilo Deljenje kompleksnih {tevil Absolutna vrednost kompleksnega {tevila Kvadratna ena~ba in kompleksna {tevila
kn
212 215 216 219 222 225 227 232 238
a. co m
Definicija vektorja Vzporedni premik Se{tevanje in od{tevanje vektorjev Mno‘enje vektorja s {tevilom Kolinearnost in komplanarnost vektorjev Pravokotni koordinatni sistem v prostoru Vektorji v pravokotnem koordinatnem sistemu Skalarni produkt Skalarni produkt v pravokotnem koordinatnem sistemu
246
248 253 257 260 262 264
aparat_spredaj.fm Page 5 Friday, March 20, 2015 11:42 AM
UVOD
m
Slavni u~enjak Galileo Galilei je neko~ izjavil: »Veliko knjigo narave lahko prebere le tisti, ki pozna jezik, v katerem je napisana. In ta jezik je matematika.«
Knjigo, ki jo imate v rokah, smo pisali z namenom, da bi vam bil ta jezik ~im bolj razumljiv in da vam matematika ne bi bila le nujno zlo, ampak tudi v veselje.
.c o
Zgradba te druge knjige v nizu {tirih je enaka kot pri prvi Od rova{a do ena~b. Vsako od {estih poglavij se za~ne z zgodovinskim uvodom, ki je namenjen predvsem motivaciji in ve~ji matemati~ni razgledanosti. Sledi z u~nim na~rtom predpisana snov, prepletena z zgledi, in naloge za utrjevanje. Poglavje zaklju~ijo primeri uporabe ra~unalni{kih programov Derive ali Cabri-Géomètre in kratek povzetek vsebine.
Zgodovinski uvod
Osnovna razlaga
146
48
"
Legenda
49
Trapezoidi
Funkcija in njene lastnosti Poten~na funkcija Kvadratna funkcija
DELTOID ima dva para enako dolgih stranic. Diagonali sta pravokotni, ena diagonala razpolavlja drugo. Kota pri A in C sta skladna.
TANGENTNI [TIRIKOTNIK njegove stranice so tangente kroga. Vsota dol`in nasprotnih stranic je enaka vsoti dol`in drugih dveh nasprotnih stranic. a+c=b+d Dokaz: a+c=q+m+n+t b+d=m+n+t+q
ar
Analiti~ni izraz pomeni formulo, s frazo na kakr{enkoli na~in pa je mislil na {tevilske operacije se{tevanja, od{tevanja, mno`enja, deljenja, potenciranja in korenjenja.
na
Zadnji dve poglavji ne spadata v redni program in ju bodo lahko dijaki predelali pri izbirnih vsebinah, namenjenih poglabljanju znanja matematike.
FUNKCIJA
a, b: stranici e, f: diagonali =, >, C, @ : notranji koti
[vicarski matematik Leonhard Euler je leta 1748 v svoji knjigi Introductio prvi~ definiral funkcijo kvantitativne spremenljivke kot analiti~ni izraz, ki je na kakr{enkoli na~in sestavljen iz spremenljivke in {tevilskih konstant.
TETIVNI [TIRIKOTNIK njegove stranice so tetive kroga. Nasprotna kota sta suplementarna.
Nari{imo deltoid ABCD; e = 4 cm, f = 7 cm, a = 5 cm.
Primer funkcije, kakor si jo je zamislil Euler, je na primer izraz 3x3 + 7x + , kjer je x spremenljiva koli~ina. Ko izberemo vrednost spremenljivke x, lahko izra~unamo vrednost funkcije, ki jo je `e Euler ozna~il z f(x).
SKICA:
SLIKA:
Danes je pojem funkcije veliko {ir{i. Vseh funkcij se ne da zapisati z analiti~nim izrazom. O funkciji govorimo, ~e je znan predpis, ki vsaki mo`ni vrednosti x enoli~no priredi vrednost f(x).
Spomnite se!
Pravilni n-kotnik ima vse stranice enake. Vsota njegovih notranjih kotov je (n 2) × 180°, velikost notranjega kota pa je n-ti del te vsote.
jig
POTEK KONSTRUKCIJE: 1. Nari{emo diagonalo e = AC. 2. Nari{emo simetralo diagonale. 3. Iz A odmerimo a in dobimo ogli{~e D na simetrali. 4. Iz D odmerimo dol`ino f in dobimo ogli{~e B.
NE POZABITE
,-418-
Notranji kot n-kotnika meri . ^e od vsote notranjih kotov n trikotnikov (n × 180°) od{tejemo polni kot ali 360°, dobimo n × 180 360° = = n × 180° 2 × 180° = = (n 2) × 180°. Rezultat le {e delimo z n.
povzetek Re{itve nalog "#
naloge in napotki za uporabo ra~unalni{kega programa
280 RE[ITVE
kn
NE POZABITE
Se tevanje, od tevanje, mno enje in deljenje kompleksnih tevil
Author/Expression ali
................................
odpremo okno za vpisovanje tevil in izrazov
3+2i (5 7i)
imaginarno enoto i izberemo v dani tabeli
OK .....................................................................
potrdimo
Simplify/Basic/OK ali
...............................
dobimo rezultat
Author Expression ali 1+4i +( 1 3i) 1 3 i
................................
odpremo okno za vpisovanje tevil in izrazov imaginarno enoto i izberemo v dani tabeli
OK .....................................................................
potrdimo
Simplify/Basic/OK ali
...............................
dobimo rezultat
Author/Expression ali
................................
za vnos absolutne vrednosti uporabimo hkrati
Konjugirano tevilo, absolutna vrednost kompleksnega tevila
5 12i +CONJ( 5 2i)+RE(4 i)
tipki <AltGr> in <w> ali zapi emo ABS(z), za vnos konjugiranega tevila zapi emo
CONJ(z), za realno komponento RE(z) in imaginarno komponento IM(z)
OK .....................................................................
potrdimo
Simplify/Basic/OK ali
dobimo rezultat
................................
Razstavljanje izrazov
Author/Expression ali
..............................
odpremo okno za vpisovanje tevil in izrazov
x4 + 8x2 9
OK .....................................................................
potrdimo
Simplify/Factor ..................................................
odpremo okno za ra~unanje z izrazi in izbe-
FACTOR ...........................................................
potrdimo, da dobimo rezultat
remo izbiro Complex
Dva nekolinearna vektorja dolo~ata bazo ravnine. Poljuben vektor v ravnini lahko na en sam na~in izrazimo z baznima vektorjema in v obliki: = m + n m, n 4
104. Konstruiramo trikotnik ABC, nato odmerimo
105. Konstruiramo trikotnik ABC
5Ù5 cm ter skozi to~ko B' konstruiramo
in mu poi{~emo te`i{~e T. Daljici
vzporednico k stranici BC.
AB in AC raztegnemo za faktor 5--- . 3
Vektorji , in so komplanarni, kadar jih z vzporednim premikom lahko tako premaknemo, da le`ijo v isti ravnini, ali kadar je kateri od njih ni~elni vektor. ^e so neni~elni vektorji , in komplanarni, potem obstajata taki realni {tevili m in n, da je: = m + n Trije nekomplanarni vektorji dolo~ajo bazo prostora. Poljuben vektor v prostoru lahko na en sam na~in izrazimo z baznimi vektorji , in v obliki: m, n, p 4 = m + n + p Vektor, ki ima za~etno to~ko v koordinatnem izhodi{~u, kon~no pa v to~ki A, imenujemo krajevni vektor to~ke ). ^e ima to~ka A koordinate a1, a2 in a3, je krajevni vektor te to~ke: = a1 + a2 + a3 = (a1, a2, a3)
re{itve nalog 106. b' = 9 cm, c' = 10Ù5 cm, = k = 107. a' = 1Ù5 cm, b' = 2Ù5 cm, c' = 3Ù5 cm 108. a = 4Ù8 cm, b = 1Ù6 cm 109. a' = 6 --2- cm 110. ABE À DCE, DE = 2 cm 111. Najprej nari{emo podoben trikotnik 3
A'B'C', pri katerem je c' = 5 cm, b' = 3 cm, =' = = = 105 . Nato skraj{amo stranico a' do a = 6 cm in nari{emo vzporednico k c'. Tako dobimo ogli{~i A in B. 112.
113.
Vektorji , in so enotski vektorji in le`ijo pravokotno drug na drugega. Krajevni vektor razpolovi{~a R daljice AB je enak: = Skalarni produkt = cos j
Nari{emo pravokotni trikotnik A'B'C' s katetama 5 cm in
= Lastnosti skalarnega produkta: = ( + ) = + m( ) = (m ) = (m )
komutativnost distributivnost homogenost
Skalarni produkt je ni~, ~e je eden od vektorjev ni~elni vektor ali ~e vektorja le`ita pravokotno drug na drugega. Za vektorja = (a1, a2, a3) in = (b1, b2, b3) v pravokotnem koordinatnem sistemu in skalar m je (a1, a2, a3) + (b1, b2, b3) = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3) m(a1, a2, a3) = (m a1, m a2, m a3) = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 = =
snov, ki presega u~ni na~rt naloge
Povzetek
$%
Hidranti v ZDA imajo ventile v obliki pravilnega petkotnika, zato potrebujejo za aktiviranje poseben klju~.
pravilni 11-kotnik
1. Koliko meri notranji kot pravilnega 15-kotnika. Vsota vseh notranjih kotov 15-kotnika meri (15 2) × 180° = 2340°, = 156°. zato iskani notranji kot meri
Na sliki je metla neodvisna spremenljivka x, od nje pa je odvisno guganje zibke, ~ohljanje ku`ka in umivanje hrbta strica Fonze.
Derive Cabri-Géomètre
zanimivosti
Dokaz: 2 + 2 = 360° + = + = 180°
Obstajajo {e {tirikotniki trapezoidi, ki ne spadajo v nobeno od teh opisanih skupin. Zanje ne veljajo posebne zakonitosti, ki smo jih opisovali pri teh {tirikotnikih.
Pravilni n-kotnik
Vrednost funkcije je torej odvisna od vrednosti x. Ko se spreminja vrednost x, se posledi~no spreminja tudi vrednost funkcije f(x).
zgled, primer re{ene naloge
Nari{emo trikotnik A'B'C, pri katerem je a' = b' = 4 cm,
7 cm, nad A'B' nari{emo polkrog in iz razpolovi{~a A'B' na
c' = 6 cm. Nari{emo pravokotnico na a' skozi A' = A in
vsako stran odmerimo po 3 cm; tako dobimo ogli{~i A in B.
na njej odmerimo va = 4 cm. Nari{emo vzporednico k
Nari{emo {e vzporednico skozi A k A'C' in vzporednico
B'C' ter dobimo B in C.
skozi B k B'C'. Kjer se sekata, dobimo to~ko C. 114. a) c = 25, = 73Ù7 , = 16Ù3 , v = 6Ù7, a1 = 23, b1 = 2 b) a = 156, = 67Ù4 , = 22Ù6 , a1 = 144, b1 = 25, v = 60 c) c = 29, a = 28Ù1, v = 6Ù8, = 76 , = 14 , a1 = 27,3 ~) c = 41 , v = 3Ù1, = 38Ù7 , = 41Ù3 , a1 = 2Ù5, b1 = 3Ù9 d) a1 = 1, b = 6 , a = 3 , c = 3, v = 2 , = 35Ù3 , = 54Ù7 e) c = 20, a = 2 10 , b = 6 , v = 6, = 18Ù4 , = 71Ù6 f) a1 = 64, b1 = 225, c = 289, b = 255, v = 120, = 28Ù1 , = 61Ù9 g) c = 10, b1 = 6Ù4, b = 8, = 36Ù9 , = 53Ù1 , v = 4Ù8 115. 3, 4, 5 enot 116. tc = 10 cm 117. a = 125 cm, c = 240 cm 118. a) 10 cm b) 6 cm 119. a) 7Ù4 cm, b) 7Ù9 cm 122.
120. 14 m
121. a = 40 cm, b = 30 cm, c = 50 cm
123. d = 40 cm
PP_01_LSPGeometrija v ravnini.fm Page 6 Friday, March 20, 2015 10:29 AM
1 Osnovni pojmi Skladnost in merjenje Vzporednost in pravokotnost Trikotnik Kro‘nica, krog, lok [tirikotnik in pravilni n-kotnik Podobnost Kotne funkcije
GEOMETRIJA V RAVNINI
Ve~ina najstarej{ih civilizacij je nastala ob velikih rekah: kitajska civilizacija ob Rumeni reki, indijska ob Putri in Gangesu, mezopotamska ob Evfratu in Tigrisu ter egip~anska ob Nilu. Iz zgodovinskih virov lahko razberemo, da je bila geometrija v tistih ~asih precej cenjena veda. O kitajski in indijski geometriji ne vemo skoraj ni~esar, saj se zapisi na palmovih listih zaradi vla`nega podnebja niso ohranili. Mnogo bolj zgovorni so babilonski zapisi na glinastih plo{~icah in egip~anski papirusi.
ar n
Mezopotamija je bila de‘ela med dvema rekama, Evfratom in Tigrisom. To pove ‘e njeno ime, ki je sestavljeno iz gr{kih besed Mesos – srednji in potamos – reka. Podobno je sestavljeno ime slovenskega kraja Medvode.
a. co m
6
jig
Na zelo veliko popisanih glinastih plo{~icah, ki so jih arheologi izkopali izpod ru{evin starodavnih mest, vidimo, da so Babilonci poznali formule za ra~unanje plo{~ine pravokotnika, trikotnika in trapeza, prostornino kocke, valja in celo prisekane piramide. Poznali so izrek, ki mu danes re~emo Pitagorov. Tudi njihovo znanje aritmetike in algebre je bilo na visoki ravni. Uporabljali so tabele za {estdeseti{ko po{tevanko, tabele korenov, obratnih vrednosti naravnih {tevil, znali so re{evati sisteme linearnih ena~b …
kn
V Egiptu se je ohranilo okoli 80 piramid. Najznamenitej{e so tri v Gizah pri Kairu, najve~ja med njimi je Keopsova. Visoka je kar 147 metrov, njen osnovni rob pa meri 230 metrov, tako da pokriva nekaj ve~ kot 5 hektarov pu{~ave. Zgradili so jo iz pribli`no 2 300 000 kamnitih blokov, ki so jih pripeljali po Nilu iz ve~ kot 1000 kilometrov oddaljenega kamnoloma. Povpre~na te`a posameznega kamnitega bloka je kar 2300 kilogramov.
PP_01_LSPGeometrija v ravnini.fm Page 7 Friday, March 20, 2015 10:29 AM
7
Slika prikazuje eno izmed ve~ kot 50 000 plo{~ic, izkopanih pri Nipurju. Skrivnostne zapise je razvozlal angle{ki diplomat in asiriolog Henry Creswicke Rawlinson (1810–1895).
a. co m
Glinaste tablice s klinopisi so na{li arheologi pri izkopavanjih starodavnih mest Ur, Babilon, Nipur … Nekaj plo{~ic je iz starega sumerskega obdobja (okoli 2100 pr. Kr.), ve~ina pa iz ~asa vladavine kraljev Hamurabija (okoli 1700 pr. Kr.) in Nebukadnezarja (okoli 600 pr. Kr.). Zelo podobno sliko o staroegip~anski matematiki nam ka`eta dva ohranjena papirusa: Moskovski papirus (ker ga hranijo v Moskvi) iz leta 1859 pr. Kr. in pribli`no ~etrt stoletja mlaj{i Rhindtov papirus.
jig
ar n
Stari Egip~ani se z geometrijo niso ukvarjali znanstveno. Bila je izrazito prakti~ne narave. Ne smemo pa podcenjevati njihovega znanja, saj sicer ne bi mogli graditi tako veli~astnih piramid in sveti{~.
Elementi se niso ohranili v originalu, ampak v mnogo prepisih. Slika prikazuje prvo tiskano izdajo v latinskem jeziku, ki je iz{la v Benetkah leta 1482.
kn
Tiso~letni razvoj prakti~ne geometrije so z znanstvenim pristopom kronali starogr{ki matematiki. Prvi med njimi je Tales iz Mileta, ki je s svojih trgovskih potovanj po Mali Aziji in Egiptu prinesel znanje geometrije v Gr~ijo. Drugi najpomembnej{i ~lovek starogr{ke matematike – Evklid je obse`no geometrijsko znanje {e dopolnil in objavil v 13 zvezkih knjige Elementi (Stoicheia). Geometrijo je postavil na aksiomatske temelje, ki so vzdr`ali celih 2200 let (evklidska geometrija). [ele leta 1899 je Evklidov aksiomski sistem moderniziral nem{ki matematik David Hilbert, in se po njem imenuje Hilbertova geometrija.
V olj~nem gaju blizu Aten je Platon, kar pomeni ple~ati – tako so ga klicali zaradi {irokih ramen, sicer pa mu je bilo ime Aristokles, ustanovil filozofsko {olo, imenovano Akademija. Nad vhodnimi vrati je pisalo »Naj ne vstopa, kdor ne zna geometrije«. Geometrija je bila poleg glasbe, astronomije in aritmetike del kvadrivija, ki je skupaj s trivijem (gramatika, retorika in filozofija) {e v srednjem veku tvoril osnovo klasi~ne izobrazbe ali sedem svobodnih umetnosti oz. znanosti (septem artes liberales).
PP_01_LSPGeometrija v ravnini.fm Page 8 Friday, March 20, 2015 10:29 AM
8
kn
jig
ar n
a. co m
S tem pa ni re~eno, da se v vmesnem ~asu geometrija ni razvijala. Omeniti je treba nekaj klju~nih dogodkov. • V prvi polovici 17. stol. sta francoska matematika René Descartes in Pierre de Fermat postavila temelje analiti~ni geometriji, pri kateri to~ko v koordinatnem sistemu v ravnini zapi{emo z urejenim parom koordinat, krivuljo pa z ena~bo. • V 18. stol. sta Gaspard Monge in Leonhard Euler z uporabo infinitezimalnega ra~una v analiti~ni geometriji ustvarila novo samostojno diferencialno geometrijo. • V za~etku 19. stol. se je z bliskovitim razvojem algebre in analize predvsem po zaslugi Jeana-Victorja Ponceleta razvila projektivna geometrija, ki se ukvarja z lastnostmi, ki pri projiciranju ostanejo nespremenjene. • Razvoj tehnike in gradbeni{tva je konec 18. stol. pripeljal do rojstva opisne ali deskriptivne geometrije. • Okoli leta 1800 sta mad`arski matematik Janos Bolyai in ruski matematik Nikolaj Loba~evski neodvisno drug od drugega odkrila neevklidsko geometrijo: njen aksiomski sestav ne vsebuje Aksioma o vzporednicah. • V sredini 19. stol. sta nem{ka matematika Carl Friedrich Gauss in njegov u~enec Bernhard Riemann definirala posplo{eni pojem prostora (Riemannov prostor, Riemannova neevklidska geometrija), kar je pozneje s pridom uporabil Albert Einstein za svojo relativnostno teorijo.
Tales (ok. 600 pr. Kr.)
Evklid (ok. 300 pr. Kr.)
Leonhard Euler (1707–1783)
PP_01_LSPGeometrija v ravnini.fm Page 9 Friday, March 20, 2015 10:29 AM
9
ar n
a. co m
Za konec pa omenimo {e fraktalno geometrijo, katere za~etnika sta francoska matematika Pierre Fatou in Gaston Julia okoli leta 1920. Razvil jo je njun rojak Benoit Mandelbrot {ele leta 1960 ob pomo~i izjemno zmogljivega superra~unalnika. Teorija, ki se ukvarja z dinami~nimi sistemi, je zaradi me{anja kaosa in reda morda {e najbli`ja ~utenju modernega ~loveka.
Na sliki je prikazan del Mandelbrotove mno‘ice. Njeni najpomembnej{i lastnosti sta ulomljena dimenzija in samopodobnost (~e namre~ kak del mno‘ice pove~amo, da bi videli podrobnosti, dobimo sliko, ki je podobna prej{nji).
kn
jig
Matemati~ne objekte s takimi lastnostmi imenujemo fraktali. Primer pravilnega fraktala je Kochova sne‘inka, predstavljena v {estem poglavju.
Carl Friedrich Gauss (1777–1855)
Bernhard Riemann (1826–1866)
David Hilbert (1862–1943)
PP_01_LSPGeometrija v ravnini.fm Page 10 Friday, March 20, 2015 10:29 AM
10
OSNOVNI POJMI
Pri sprehodu skozi elementarno geometrijo se ne bomo dr`ali stroge aksiomati~ne poti, vseeno pa bomo na{teli nekaj pomembnih aksiomov, izrekov in definicij.
Za~nimo pa tako kot Evklid: s tremi `e navedenimi osnovnimi geometrijskimi pojmi – to~ko, premico in ravnino. Osnovne geometrijske pojme opi{emo tako, da jim predpi{emo lastnosti in odnose, ki naj veljajo med njimi, materialno pa jih lahko predstavimo z bolj ali manj posre~enimi modeli.
ar n
Izraza kolinearen in komplanaren sta latinskega izvora. Linea latinsko pomeni ~rto, planum – ravnino in cum – skupaj.
Evklid je na za~etek prvega zvezka Elementov postavil 23 »opredelitev« temeljnih geometrijskih pojmov. Med njimi so: • To~ka je tisto, kar nima delov. • ^rta je dol`ina brez {irine. • Ploskev je tisto, kar ima samo dol`ino in {irino. Tem trditvam sledijo aksiomi ali temeljne resnice, ki jih ne dokazujemo, ampak jih privzamemo kot veljavne hipoteze. Za aksiomi so na vrsti izreki, ki jih lahko doka`emo z aksiomi in `e dokazanimi izreki. Geometrijsko zgradbo dopolnjujejo definicije. To so opisi novih pojmov in dolo~enih lastnosti.
a. co m
Geometrijske pojme razdelimo v dve skupini. V prvi so to~ka, premica, ravnina, daljica, kot …, v drugi pa so odnosi oz. relacije, na primer pripadati, sekati, biti vzporeden, skladen, le`ati med …
Aksiom: Dve razli~ni to~ki dolo~ata natanko eno premico.
jig
Definicija: To~ke A1, A2, A3 …, ki le`ijo na isti premici, so kolinearne, ~e ne le`ijo na isti premici, pa so nekolinearne.
kn
Model to~ke je npr. mu{ji kakec na okenskem steklu ali krog polmera 25 m, ki ga iz zraka vidi padalec v skokih na cilj. Premico dobro ponazorimo z laserskim `arkom, ravnino pa z mirno jezersko gladino.
To~ke A, B in C so kolinearne, to~ke A, B in D pa nekolinearne.
Aksiom: Tri nekolinearne to~ke dolo~ajo natanko eno ravnino.
Definicija: To~ke A1, A2, A3, A4 …, ki le`ijo na isti ravnini, so komplanarne, ~e ne le`ijo na isti ravnini, pa so nekomplanarne.
To~ke A, B, C in D so komplanarne, to~ke A, B, C in E pa nekomplanarne.
PP_01_LSPGeometrija v ravnini.fm Page 11 Friday, March 20, 2015 10:29 AM
11
Aksiom: Premica, ki ima z ravnino skupni dve razli~ni to~ki, le`i v tej ravnini.
a. co m
Izrek: Dve razli~ni premici imata lahko najve~ eno skupno to~ko. ^e bi imeli premici dve razli~ni skupni to~ki, bi po prvem aksiomu sovpadali, in ne bi bili razli~ni, kot pravi trditev.
Oznake: To~ke bomo ozna~evali z velikimi ~rkami A, B, C, D, E, O, V …,
Definicije: Premici, ki imata natanko eno skupno to~ko, se sekata. Skupno to~ko imenujemo prese~i{~e premic. Premici, ki le`ita na isti ravnini in nimata nobene skupne to~ke ali ki sovpadata, sta vzporedni. Premici, ki ne le`ita na isti ravnini in nimata nobene skupne to~ke, sta mimobe`ni.
ar n
Izrek: Ravnina je enoli~no dolo~ena • s premico in to~ko, ki ne le`i na tej premici • s premicama, ki se sekata • z dvema vzporednicama, ki ne sovpadata
kn
jig
Definicije: Ravnini, ki nimata nobene skupne to~ke ali pa imata vse to~ke skupne, sta vzporedni. Premica in ravnina sta vzporedni, ~e nimata skupne to~ke ali ~e premica le`i v ravnini. Premica, ki ima z ravnino natanko eno skupno to~ko, ravnino prebada. Skupno to~ko imenujemo prebodi{~e P. Aksiom: ^e so tri razli~ne to~ke kolinearne, ena vedno le`i med drugima dvema. Aksiom: ^e sta A in B razli~ni to~ki premice p, potem na premici p le`ita vsaj {e to~ki C in D, in sicer C le`i med A in B, D pa tako, da je C med A in D.
premice z malimi ~rkami p, q, s, t …,
ravnine pa z velikimi gr{kimi ~rkami Φ, Π, Ω …
PP_01_LSPGeometrija v ravnini.fm Page 12 Friday, March 20, 2015 10:29 AM
12
Iz zadnjega aksioma sledi pomembna ugotovitev:
a. co m
Izrek: Med dvema razli~nima to~kama premice je neskon~no mnogo to~k. Dokaz: Ker je med dvema to~kama vsaj {e ena, so na premici vsaj tri to~ke. Med vsakima dvema to~kama pa je spet vsaj {e ena … Zato procesa tvorjenja vedno novih to~k ne moremo nikoli dokon~ati. Definicije: Mno`ica to~k premice, ki le`ijo med razli~nima to~kama A in B, vklju~no z A in B, je daljica AB. To~ki A in B sta njeni kraji{~i. Poljubna to~ka razdeli premico na dva poltraka. Po dogovoru je pozitivni poltrak mno`ica to~k na desni strani ali nad izbrano to~ko, vklju~no s to to~ko, ki jo imenujemo izhodi{~e in ozna~imo z O. Premica, na kateri le`i daljica oz. poltrak, je nosilka daljice oz. poltraka.
ar n
Vsaka premica p razdeli ravnino na dve polravnini. Premica p je rob polravnine. To~ki A in B le`ita na isti polravnini, ~e daljica AB ne seka roba polravnine. Pri u~enju geometrije se bomo ukvarjali z enostavnimi liki.
Definicija: Enostavni lik je mno`ica to~k v ravnini, katero omejuje sklenjena krivulja, ki sama sebe ne seka. Definicija: Mno`ica to~k v ravnini je konveksna, ~e za poljubni to~ki A in B iz te mno`ice velja, da je daljica AB njena podmno`ica.
kn
jig
M je konveksna, ~e velja: ∀ A, B ∈ Π ⇒ AB ⊂ Π
(a)
(d)
(b)
(e)
(c)
(f)
(g)
Mno`ice (b), (f) in (g) so konveksne, mno`ice (a), (c), (d) in (e) pa nekonveksne.
PP_01_LSPGeometrija v ravnini.fm Page 13 Friday, March 20, 2015 10:29 AM
13
Ozna~evanje kotov: • (h, k); s poltrakoma h in k, ki dolo~ata kot • AVB; s to~ko A na enem poltraku, vrhom V in to~ko B na drugem poltraku • a, b, g, d …; z gr{kimi ~rkami
a. co m
Definicija: Dva poltraka s skupnim izhodi{~em dolo~ata dva kota. ^e poltraka ne le`ita na isti premici, je eden od kotov konveksen, drugi pa nekonveksen.
Ko se divje gosi selijo s severa na jug, letijo visoko v obliki ~rke V ali v ostrem kotu. Ko ptica zamahne s krili, ustvari vzgonski veter za tisto, ki ji sledi. S takim na~inom letenja celotna jata gosi leti 70 % hitreje, kakor ~e bi letele samostojno.
ar n
Definicije: ^e poltraka le`ita na isti premici, vendar na razli~nih straneh izhodi{~a, dolo~ata dva enaka konveksna – iztegnjena kota. ^e se poltraka na isti premici pokrivata, dolo~ata polni kot (en krak je vmes obkro`il vrh kota) ali ni~elni kot.
kn
jig
Definiciji: Kota, ki imata en skupen krak, presek njunih notranjosti pa je prazen, sta sosedna kota. Sosedna kota, katerih kraka, ki nista skupna, le`ita na isti premici, sta sokota.
Definicija: Tri nekolinearne to~ke A, B in C dolo~ajo trikotnik ABC. To~ke A, B, C so ogli{~a trikotnika, daljice AB, AC in BC so njegove stranice. Koti BAC, ACB in CBA so notranji koti trikotnika ABC. Sokoti notranjih kotov so zunanji koti trikotnika.
BAC = a CBA = b ACB = g
PP_01_LSPGeometrija v ravnini.fm Page 14 Friday, March 20, 2015 10:29 AM
14
Definicija: To~ke A1, A2 …, An v ravnini, od katerih nobene zaporedne tri ne le`ijo na isti premici, dolo~ajo n-kotnik. To~ke A1, A2 …, An so ogli{~a n-kotnika; daljice, ki povezujejo sosedni ogli{~i, so stranice n-kotnika; daljice, ki povezujejo po dve nesosedni ogli{~i, pa diagonale n-kotnika. ^e za vsako nosilko stranice n-kotnika velja, da preostala ogli{~a le`ijo na isti polravnini te nosilke, je n-kotnik konveksen.
kn
jig
ar n
( n – 3 )Poljuben n-kotnik ima n ----------------2 diagonal (iz vsakega od n ogli{~ gre n – 3 diagonal, vsaka pa je {teta dvakrat).
a. co m
Trikotnik ABC je pozitivno orientiran, ~e si njegova ogli{~a sledijo v nasprotni smeri vrtenja urinega kazalca, ~e si sledijo v smeri vrtenja urinega kazalca, je negativno orientiran.
1. Izra~unajmo {tevilo diagonal 10-kotnika. ( 10 – 3 )- = 5 ◊ 7 = 35 N = 10 ----------------------2 10-kotnik ima 35 diagonal. 2. Ali lahko iz {tevila diagonal ve~kotnika ugotovimo, za kateri n-kotnik gre? Naj ima n-kotnik 14 diagonal. n( n–3 ) 14 = ---------------2 14 ◊ 2 = n2 – 3n n2 – 3n – 28 = 0 (n – 7)(n + 4) = 0 Iz razcepa razberemo, da je to lahko le 7-kotnik.
PP_01_LSPGeometrija v ravnini.fm Page 15 Friday, March 20, 2015 10:29 AM
15
3. Ali obstaja tak n-kotnik, ki ima enako {tevilo diagonal kot stranic?
a. co m
( n –3 ) n = n---------------2 n2 – 5n = 0 n(n – 5) = 0 Ve~kotnik s to lastnostjo je 5-kotnik.
1. V ravnini nari{ite tri razli~ne to~ke A, B in C, nato nari{ite vse razli~ne premice, ki potekajo skozi vsaj dve dani to~ki. Koliko razli~nih premic ste narisali? Glede na {tevilo narisanih premic poi{~ite vse razli~ne mo`nosti.
6. Ugotovite, katere mno`ice so konveksne. (a)
ar n
2. V ravnini nari{ite {tiri razli~ne to~ke A, B, C in D, nato nari{ite vse razli~ne premice, ki potekajo skozi vsaj dve dani to~ki. Koliko razli~nih premic ste narisali? Glede na {tevilo narisanih premic poi{~ite vse razli~ne mo`nosti.
b) Nari{ite poltrake k, h, l in m, ki imajo eno od danih to~k za izhodi{~e ter potekajo vsaj skozi eno od drugih dveh to~k.
jig
3. V ravnini nari{ite tri razli~ne premice p, q in r. Koliko prese~i{~ lahko dolo~ajo? Nari{ite vse razli~ne primere.
kn
4. Nari{ite tri nekolinearne to~ke A, B in C. a) Nari{ite vse razli~ne daljice, ki jih dolo~ajo te to~ke. Kaj lahko poveste o presekih teh daljic? b) Nari{ite poltrake, ki imajo eno od danih to~k za izhodi{~e ter potekajo skozi eno od drugih dveh to~k. Nato k narisanim poltrakom nari{ite {e dopolnilne poltrake. 5. Nari{ite tri razli~ne kolinearne to~ke A, B in C (to~ka B je med to~kama A in C). a) Nari{ite in zapi{ite vse razli~ne daljice, ki jih dolo~ajo dane to~ke. Kaj lahko poveste o presekih teh daljic?
(b)
(~)
(c)
(e) (g) (d)
(f)
7. V ravnini so dane tri razli~ne to~ke A, B in C. Nari{ite najmanj{o konveksno mno`ico, ki vsebuje dane to~ke. Koliko razli~nih mo`nosti imate? Nari{ite jih.
8. Izra~unajte {tevilo diagonal 8-kotnika, 13-kotnika in 20-kotnika. 9. Izra~unajte, kateri n-kotnik ima 44 diagonal. 10. Kateri n-kotnik ima trikrat toliko diagonal kot stranic? 11. Od katerega n naprej imajo n-kotniki ve~je {tevilo diagonal kot stranic?
PP_01_LSPGeometrija v ravnini.fm Page 16 Friday, March 20, 2015 10:29 AM
16
SKLADNOST IN MERJENJE V tem podpoglavju bomo nadaljevali spoznavanje aksiomov in v geometrijo vpeljali {tevila. Za~eli bomo z definicijo skladnosti.
a. co m
Skladnost v mno`ici ravninskih likov je ekvivalen~na relacija, saj je 1. refleksivna: L @ L (vsaka mno`ica je skladna sama s seboj) 2. simetri~na: ~e je L1 @ L2, je tudi L2 @ L1 (~e je prva mno`ica skladna z drugo, je tudi druga skladna s prvo) 3. tranzitivna: ~e je L1 @ L2 in L2 @ L3, je tudi L1 @ L3 (~e je prva mno`ica skladna z drugo, in druga skladna s tretjo, je tudi prva mno`ica skladna s tretjo mno`ico)
Definicija: Dva lika L in L1 sta skladna, ~e lahko lik L prenesemo na lik L1 tako, da se popolnoma prekrijeta. Znak za skladnost je @. Aksiom: Daljico AB lahko premaknemo na poljuben poltrak z izhodi{~em A tako, da je na njem natan~no dolo~ena to~ka B , ki je drugo kraji{~e daljice A B , in sta daljici AB in A B skladni.
Od{tevanje daljic
ar n
Aksiom: Daljici AB in CD je mogo~e se{teti: daljicama AB in CD skladni daljici A B in C D premaknemo na poljubno premico v sosedno lego: to pomeni, da kraji{~e B sovpada s kraji{~em C in daljici A B in C D nimata drugih skupnih to~k. Vsota je daljica A D , ki je skladna daljici AD.
Od daljice AB od{tejemo daljico CB in dobimo AC.
kn
jig
Se{tevanje in od{tevanje kotov definiramo podobno kot se{tevanje in od{tevanje daljic.
Aksiom: Kot (h, k) lahko premaknemo tako, da krak h z izhodi{~em V sovpade s poljubnim krakom h z izhodi{~em V . Potem obstaja tak krak k , da sta kota (h, k) in (h , k ) skladna.