9789612920517

MATEMATIKA Razlage in vaje za več znanja v 9. razredu

a. co m

Tanja Končan, Vilma Moderc in Rozalija Strojan

9

kn

jig

ar n

znam za več

ZZV 9 MAT 2020 notranjost.indd 1

25/08/2020 06:31

ZBIRKA iZNAM ZA VEČ

MATEMATIKA 9

a. co m

Razlage in vaje za več znanja v 9. razredu

ar n

Avtorice: Tanja Končan, Vilma Moderc, Rozalija Strojan Urednica: Petra Bizjak Rogina Urednik (izvirna izdaja 2007): Vasja Kožuh Strokovni pregled: Magda Albreht, Ema Maver Lektoriranje besedila: Katja Paladin Ilustracije: Marta Bartolj

jig

Vse knjige in dodatna gradiva Založbe Rokus Klett dobite tudi na naslovu www.knjigarna.com.

kn

Brez pisnega dovoljenja založnika so prepovedani reproduciranje, distribuiranje, javna priobčitev, predelava ali druga uporaba avtorskega dela ali njegovih delov v kakršnem koli obsegu in postopku, kot tudi fotokopiranje, tiskanje ali shranitev v elektronski obliki. Tako ravnanje pomeni, razen v primerih od 46. do 57. člena Zakona o avtorski in sorodnih pravicah, kršitev avtorske pravice.

CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 51(075.2)(076.2)

Založba Rokus Klett, d. o. o. Stegne 9 b 1000 Ljubljana Telefon: (01) 513 46 00 E-pošta: rokus@rokus-klett.si www.rokus-klett.si

ZZV 9 MAT 2021 notranjost.indd 2

KONČAN, Tanja iZnam za več. Matematika 9 : razlage in vaje za več znanja v 9. razredu / Tanja Končan, Vilma Moderc in Rozalija Strojan ; [ilustracije Marta Bartolj]. - 1. izd., 1. ponatis. - Ljubljana : Rokus Klett, 2021. - (Zbirka iZnam za več) ISBN 978-961-292-051-7 1. Moderc, Vilma 2. Strojan, Rozalija COBISS.SI-ID 35994115

19/01/2021 14:27

Dragi učenec in draga učenka!

a. co m

Pred tabo so razlage in vaje za matematiko. V veliko pomoč ti bodo pri napredovanju v znanju, saj te bodo vodile k znanju za več. Zasnovane so pregledno. Razdeljene so na jasno ločena poglavja, ki se začnejo z rešenimi ZGLEDI. Ti omogočajo hitro seznanjanje z najpomembnejšimi pravili in postopki, potrebnimi za uspešno reševanje nalog. Sledijo VAJE, s katerimi boš gradil in utrjeval svoje znanje. Z VPRAŠANJI boš preverjal razumevanje snovi. Srečal se boš s povezavami PAROV, v katerih boš prepoznaval in utrjeval osnovne pojme in predstave. Spopadanju s tipičnimi nalogami določenega poglavja sledi PREIZKUS, ki je namenjen povratni informaciji o tvojem znanju. Za preverjanje pravilnosti reševanja so dodane REŠITVE. Z željo, da bi čim bolje napredoval, te pozdravljamo in ti želimo veliko uspeha.

ar n

Avtorice

jig

Tu so napisane pomembne zakonitosti, pravila in ugotovitve.

kn

Tu so napisani nasveti za lažje delo, dogovori, namigi in opozorila.

Nasvet preizkusa

Če si dosegel 15 točk, še premalo znaš. Ponovi snov in preglej rešene zglede. Če si dosegel od 16 do 30 točk, dobro znaš. Še vadi, da boš napredoval. Če si dosegel od 31 do 45 točk, že veliko znaš. 3

ZZV 9 MAT 2020 notranjost.indd 3

25/08/2020 06:31

KAZALO I. IZRAZI ��6

a. co m

Enočleniki in množenje z enočlenikom ��6 Množenje in poenostavljanje dvočlenikov ��8 Kvadriranje dvočlenika �� 10 Produkt vsote in razlike dveh enakih členov �� 12 Preizkus �� 14 II. ENAČBE IN BESEDILNE NALOGE �� 16

ar n

Splošno o enačbah �� 16 Reševanje preprostih enačb �� 18 Reševanje enačb z oklepaji �� 20 Reševanje enačb z ulomki �� 22 Preizkus – enačbe �� 24 Uporaba enačb pri reševanju nalog o številih �� 26 Uporaba enačb pri reševanju nalog o starosti �� 28 Uporaba enačb pri reševanju nalog iz geometrije �� 30 Uporaba enačb pri reševanju nalog iz vsakdanjega življenja �� 32 Preizkus – besedilne naloge �� 34 III. ALGEBRSKI ULOMKI �� 36 Algebrski ulomki �� 36 Računanje z algebrskimi ulomki �� 38 Algebrske enačbe �� 39 IV. SORAZMERJE IN PODOBNOST �� 40

kn

jig

Razmerje količin �� 40 Sorazmerje �� 42 Premo sorazmerje �� 44 Obratno sorazmerje �� 46 Razmerje dolžin in besedilne naloge iz razmerij in sorazmerij �� 48 Podobnost �� 50 Podobni trikotniki �� 52 Preizkus �� 54

V. LINEARNA FUNKCIJA �� 56 Linearna funkcija �� 56 Graf linearne funkcije �� 58 Zapis enačbe linearne funkcije �� 60 Presečišče premice s koordinatnima osema in presečišče dveh premic �� 62 Preizkus �� 64

4

ZZV 9 MAT 2020 notranjost.indd 4

25/08/2020 06:31

VI. SISTEM DVEH LINEARNIH ENAČB Z DVEMA NEZNANKAMA �� 66 Sistem dveh linearnih enačb z dvema neznankama �� 66 VII. GEOMETRIJSKA TELESA �� 68

ar n

a. co m

Vrste teles �� 68 Prizme �� 70 Pravilne in enakorobe prizme �� 72 Štiristrana prizma �� 74 Tristrana prizma �� 76 Šeststrana prizma �� 78 Preizkus – prizme �� 80 Valj – osnovni pojmi, površina in prostornina �� 82 Izračunavanje neznanih količin v valju �� 84 Enakostranični valj �� 86 Preizkus – valj �� 88 Piramida – osnovni pojmi, površina in prostornina �� 90 Pravilne in enakorobe piramide �� 92 Uporaba Pitagorovega izreka v piramidah �� 94 Preizkus – piramide �� 98 Stožec – osnovni pojmi ��100 Površina in prostornina stožca ��102 Enakostranični stožec ��104 Stožec kot vrtenina ��105 Krogla ��106 Preizkus – stožec in krogla ��108

jig

VIII. MATEMATIČNI VZORCI IN ZAPOREDJA ��110 Matematični vzorci in zaporedja ��110

kn

IX. REŠITVE ��112

5

ZZV 9 MAT 2020 notranjost.indd 5

25/08/2020 06:31

1. IZRAZI Enočleniki in množenje z enočlenikom Primeri 3a + 5a = 8a 2b – 7b = –5b 4c · 2c = 8c2 (pomnoži koeficienta in spremenljivki) 3d + 3d2 = 3d + 3d2 (ne moreš sešteti d in d2) 10y : 2y = 5

a. co m

+ krat + = + – krat – = + + krat – = – − krat + = – ZGLED 1: Kako bi poenostavil zapis 3a + 5b – 7a + 2ab + 3b?

To je pogosta in preprosta vaja poenostavljanja izraza. Najlažje jo rešiš, če si zapis ogledaš tako, da ne pozabiš nobenega člena. Združuješ podobne si enočlenike. 3a – 7a + 5b + 3b + 2ab –4a + 8b + 2ab torej: 3a + 5b – 7a + 2ab + 3b = –4a + 8b + 2ab ZGLED 2: Kako bi rešil spodnje primere množenja?

ar n

a) 3(x + 4) → 3(x + 4) = 3 · x + 3 · 4 = 3x + 12 b) –3(x + 4) → -3(x + 4) = –3 · x + (–3) · 4 = –3x – 12 c) 3(x – 4) → 3(x – 4) = 3 · x – 3 · 4 = 3x – 12

Če sta člena enako predznačena, je produkt pozitiven, če sta različno predznačena, je produkt negativen.

č) –3(x – 4) → -3(x - 4) = –3 · x – (–3) · 4 = –3x + 12

VAJA 1: Poenostavi naslednje izraze.

jig

a) 7a + 3b – 4a + 2b =

b) 5c + 6 d + 2c – 8d =

c) 4m + 2m2 – 5m2 – m =

m=1·m

kn

VAJA 2: Poenostavi naslednje izraze.

a) –3a(4a + 3) + 2a2 = b) 4(2e + f – 3g2) =

c) 3y2 + 2y2 + 4y – xy =

č) 4(–2a + 1) – 3(5a + 4) = VAJA 3: Obkroži črko pred pravilnimi zapisi. a) 2a · 3ab = 6ab

b) 2a · 3ab = 6a2b

c) 2a . (–3a) = –6a2

6

ZZV 9 MAT 2020 notranjost.indd 6

25/08/2020 06:31

č) 2a · (2a + b) = 4a + b d) 2a · (2a + b) = 4a2 + b VAJA 4: Poveži nakazano množenje z rešitvijo. (x – y) . (–2x)

2x2 + 2xy

2x + 2xy

(x + y) . (–2x) –2x2 – 2xy

x2 + xy

(x + y) . 2x –2x2 + 2xy

a. co m

(x + y) . x

e) 2a · (2a + b) = 4a2 + 2ab

VAJA 5: Poenostavi zapis (2a – 3b + c) – (–a + b + 4c) in izračunaj vrednost izraza za a = –1, b = 2 in c = 1.

VAJA 6: Zapiši izraz za obseg narisanega lika in ga poenostavi, kolikor je mogoče. a) b)

x

2x + 5

ar n

2x + 2

x+5

x

2x

3x

x

2x + 2

jig

VAJA 7: Iz osmih ploščic z dolžino (2a + 2) cm in širino (a + 1) cm oblikujemo pravokotnik. Izračunaj obseg pravokotnika, če ploščice položimo kot kaže slika. a)

kn

b) c)

Ë)

7

ZZV 9 MAT 2020 notranjost.indd 7

25/08/2020 06:31

I. IZRAZI Množenje in poenostavljanje dvočlenikov Spomni se kratice PZZZ, ki pomeni »Prvi Zunanji Znotraj Zadnji«. Pomaga ti na preprost način pomnožiti vsak par, ne da bi katerega pozabil ali ga pomnožil dvakrat.

Prvi a krat a a2

Zunanji a krat 4 4a

Zadnji 2 krat 4 8

Znotraj 2 krat a 2a

a. co m

ZGLED 1: Kako pomnožiš dvočlenik (a + 2) z dvočlenikom (a + 4)?

(a + 2)(a + 4)

(a + 2)(a + 4) = a2 + 4a + 2a + 8 = a2 + 6a + 8

ZGLED 2: Kako pomnožiš dvočlenik (p + 5) z dvočlenikom (p – 2)? Prvi p krat p p2

Zunanji p krat -2 -2p

Znotraj 5 krat p 5p

Zadnji 5 krat -2 -10

(p + 5)(p - 2) = p2 - 2p + 5p - 10 = p2 + 3p - 10

(p + 5)(p - 2)

ZGLED 3: Kako pomnožiš dvočlenik (t – 6) z dvočlenikom (t – 1)? Zunanji t krat -1 -t

Znotraj -6 krat t -6t

Zadnji -6 krat -1 6

ar n

Prvi t krat t t2

(t - 6)(t - 1)

(t - 6)(t - 1) = t2 - t - 6t + 6 = t2 - 7t + 6 ZGLED 4: Kako bi zmnožil (y – 3)(y – 2) s pomočjo preglednice?

krat

–2

y

–2y

–3y

6

2

jig

y

–3

Pozorno si oglej vsak zapisani enočlenik. Zapomni ali zapiši si koeficient, ki je zapisan tik pred spremenljivko. Če pred koeficientom ni znaka, ga upoštevaj kot pozitivnega.

Produkt dveh enako predznačenih števil je pozitiven.

(y – 3)(y – 2) = y2 – 2y – 3y + 6 = y2 – 5y + 6 Vsak člen prvega dvočlenika pomnožimo z vsakim členom drugega dvočlenika.

kn

VAJA 1: Pomnoži. a) (a + 1)(a + 2) = b) (d – 3)(d + 1) =

c) (x – 4)(x – 3) =

VAJA 2: Poenostavi naslednje izraze. a) (x + 2)(x + 3) – 6x + 5 =

c) (y – 7)(y – 3) + (y + 7)(–3) =

b) (2a + 3)(a + 3) – (a – 3) =

č) (z – 4)(z + 1) – (z – 1)(z + 2) =

8

ZZV 9 MAT 2020 notranjost.indd 8

25/08/2020 06:31

VAJA 3: Obkroži črko pred pravilnimi izjavami. b) (x + 2y)(x + 2y) = x2 + 4xy + 4y2 č) (a + 4)(a – 2) = a2 + 8a + 8 e) (p + 3)(p – 4) = p2 – 7p – 12

a. co m

a) (c + d)(c + a) = c2 + cd + ad c) (2x – y)(2x + y) = 4x2 – y2 d) (–a + b)(a + 2b) = –a2 – ab + 2b2

VAJA 4: Za katero vrednost spremenljivke x je vrednost izraza enaka nič? a) –2 + (–2 + x) b) –2 – (2 + x)

Odg.:____________________________________ Odg.:_____________________________________

ar n

VAJA 5: Poenostavi zapis (x + 1)(x + 1) + (x – 1)(x + 1) in izračunaj njegovo vrednost, če je x = –1.

jig

VAJA 6: Dan je (2a + 3) cm dolg in (2a – 3) cm širok pravokotnik. a) Zapiši izraz za njegov obseg in ga poenostavi.

kn

b) Zapiši izraz za njegovo ploščino in ga poenostavi.

c) Izračunaj obseg in ploščino tega pravokotnika, če je a = 2.

9

ZZV 9 MAT 2020 notranjost.indd 9

25/08/2020 06:31

I. IZRAZI Kvadriranje dvočlenika 32 pomeni 3 krat 3 (2y)2 pomeni 2y krat 2y

x2 pomeni x krat x (a + 3)2 pomeni (a + 3) krat (a + 3)

ZGLED 1:

a

a+3 ZGLED 2: Kako bi določil (a + 3)2 ?

+ 9

a. co m

a2 + 6a

a·a=a

3·3=9

3 · a = 3a

3

a · 3 = 3a

a

(a)2 + 2 · (a · 3) + (3)2

a+3

(a + 3)2

2

Pomagaš si lahko z geometrijsko ponazoritvijo.

3

ar n

Nalogo lahko rešiš tako, da potenciranje prevedeš v množenje dvočlenika z dvočlenikom. Navzkrižno pomnožiš vse enočlenike. Delne produkte, ki pri tem nastanejo, urediš in sešteješ. (a + 3)2 = (a + 3)(a + 3) = =a·a+ a·3+3·a+3·3= = a2 + 3a + 3a + 9 = = a2 + 6a + 9 ZGLED 3: Kako bi kvadriral dvočlenik a + 3?

jig

Kvadriraš lahko tudi po pravilu (a + b)2 = a2 + 2ab + b2, ki pravi, da dvočlenik kvadriraš tako, da kvadriraš prvi člen dvočlenika, temu prišteješ dvakratnik produkta prvega in drugega člena ter prišteješ kvadrat drugega člena.

Bodi pozoren na člene, koeficiente pred spremenljivkami in predznake.

kvadrat prvega člena dvakratni produkt obeh členov kvadrat drugega člena

(a + 3)2 = (a)2 + 2 · (a · 3) + (3)2 = a2 + 6a + 9

kn

prvi člen drugi člen ZGLED 4: Kako bi določil (y – 3)2 s pomočjo preglednice? krat

y

–3

y

y2

–3y

–3

–3y

9

VAJA 1: Kvadriraj. a) (x + 1)2 = b) (a – 3)2 = c) (3b – 2)2 =

(y – 3)(y – 3) = y2 – 3y – 3y + 9 = y2 – 6y + 9

č) (1,3a + 1,6)2 = d) ( 1 x + 1 y)2 = 3 2 e) ( 3 a – 2 b)2 = 4 3

10

ZZV 9 MAT 2020 notranjost.indd 10

25/08/2020 06:31

Turn static files into dynamic content formats.

Create a flipbook