9789612920272

Jože Berk, Jana Draksler, Marjana Robič

9

a. co m

Skrivnosti števil in oblik

Učbenik za matematiko v 9. razredu osnovne šole

3.

kn

jig

ar n

izdaja

01 Izrazi.indd 1

04/09/2020 07:41

Jože Berk, Jana Draksler, Marjana Robič

Skrivnosti števil in oblik 9 Učbenik za matematiko v 9. razredu osnovne šole Uredila: Simona Knez in Vasja Kožuh (1. izdaja) Recenzenta: dr. Marjan Jerman, Eva Iršič Magdalena Tanko Jezikovni pregled: Renata Vrčkovnik Ilustracije: Jaka Vukotič

a. co m

Recenzenti prejšnjih izdaj: Magda Albreht, Nataša Centa, Ema Maver, Nives Mihelič Erbežnik, Gregor Pavlič, Cvetka Tanjšek,

Fotografije: David Guček, Vasja Kožuh, Shutterstock, Wikimedia Commons (natančen seznam je na koncu gradiva) Direktor produkcije: Klemen Fedran Izdala in založila: Založba Rokus Klett, d. o. o.

Za založbo: Maruša Dejak Oblikovanje naslovnice in notranjosti: Beti Jazbec Prelom: Danilo Frlež Tisk: JP Službeni glasnik 3. izdaja: 1. ponatis

Ljubljana 2021

ar n

Naklada: 2.000 izvodov

jig

Učbenik Skrivnosti števil in oblik 9, 3. izdaja, je Strokovni svet Republike Slovenije za splošno izobraževanje na svoji 209. seji dne 22. 10. 2020 s sklepom št. 613-1/2020/51 potrdil kot učbenik za matematiko v 9. razredu osnovne šole.

Vse knjige in dodatna gradiva Založbe Rokus Klett dobite tudi na naslovu www.knjigarna.com

kn

Založba Rokus Klett, d. o. o. (2019). Vse pravice pridržane.

Brez pisnega dovoljenja založnika so prepovedani reproduciranje, distribuiranje, javna priobčitev, predelava ali druga uporaba avtorskega dela ali njegovih delov v kakršnem koli obsegu in postopku, kot tudi fotokopiranje, tiskanje ali shranitev v elektronski obliki. Tako ravnanje pomeni, razen v primerih od 46. do 57. člena Zakona o avtorski in sorodnih pravicah, kršitev avtorske pravice.

CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 51(075.2) BERK, Jože

Založba Rokus Klett, d. o. o.

Stegne 9 b, 1000 Ljubljana telefon: 01 513 46 00 e-naslov: rokus@rokus-klett.si www.rokus-klett.si

01 Izrazi.indd 2

Skrivnosti števil in oblik 9. Učbenik za matematiko v 9. razredu osnovne šole / Jože Berk, Jana Draksler in Marjana Robič ; [ilustracije Jaka Vukotič ; fotografije David Guček ... et al.]. - 3. izd., 1. ponatis. - Ljubljana : Rokus Klett, 2021 ISBN 978-961-292-027-2 1. Draksler, Jana 2. Robič, Marjana COBISS.SI-ID 37618691

18/01/2021 11:48

Kako uporabljati učbenik Matematika ni zgolj miselna telovadba, temveč je močno vpeta v vsakdanje življenje in uporabna pri drugih znanstvenih vedah. Ima globoke korenine v zgodovini in je delo mnogih kultur. Zato so ključni koraki v razvoju nekaterih matematičnih pojmov vključeni tudi v učbenik. Najdeš jih v uvodnih straneh poglavij, v rubriki Zgodo­ vinski razvoj, ki te pelje vse od starega veka do sodobnosti in uporabe matematike v vsakdanjem življenju.

Osnovna razlaga v učbeniku je na barvni podlagi, ki je pri vsakem poglavju drugačna. Povzetki pa so vedno na oranžni podlagi, označeni z ikono žarnice. Pri reševanju nalog so ti lahko v pomoč rešeni zgledi ter rešitve, ki jih najdeš na spletnih straneh www.devetletka.net.

a. co m

Vsako poglavje se konča s kratkim preverjanjem znanja. Zbrane točke so lahko pokazatelj, kje na lestvici si (blestiš / si na poti k vrhu / si na dobri poti / dodatno treniraj / poišči pomoč).

Po vsakem preverjanju odgovori še na vprašanja: • kaj sem reševal dobro, • kaj se moram še naučiti, • kako se bom to naučil.

Na ta način boš lažje načrtoval nadaljnje učenje na poti do bleščečega znanja. V pomoč pri učenju pa je lahko tudi pripravljeni miselni vzorec.

Zgradba poglavja

Ponovitev

3.

Preverimo znanje

Premo sorazmerje Količini sta premo sorazmerni, če se pri trikratnem povečanju neodvisne spremenljivke tudi odvisna spremenljivka trikrat poveča.

Sorazmerje in podobnost 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8

1. količina 2. količina 4 kg 12 € 8 kg 24 € 2 kg 6€ Enačba premega sorazmerja: y = k · x. y Koeficient je stalen: k = . x

:4

Obratno sorazmerje Količini sta obratno sorazmerni, če se pri trikratnem povečanju neodvisne spremenljivke odvisna spremenljivka trikrat pomanjša.

1. količina 2. količina 5 dℓ 10 steklenic ·2 10 dℓ 5 steklenic : 10 1 dℓ 50 steklenic Enačba obratnega sorazmerja: x · y = c

NOVI VEK

Z računom preveri, ali sta razmerji 7 : 4 in 8 : 5 enaki.

3T

Stenska ura je v 7 dneh zaostala 21 minut. a) Koliko ta ura zaostane na dan? b) Koliko zaostane v 30 dneh?

4T

5

c)

4T

Šest delavcev opravi naročeno delo v štirih urah.

Koliko delavcev morajo dodatno zaposliti, da bo delo končano v treh urah?

Obseg trikotnika meri 48 cm, stranice pa so v razmerju 3 : 4 : 5. a) Izračunaj dolžine stranic tega trikotnika.

Z računom preveri, ali je trikotnik pravokoten.

5T

7

a) Nariši daljico |AB| = 7 cm. Daljico grafično razdeli na 5 enakih delov. b) Na daljici AB nariši točko T tako, da bo |AT| : |TB| = 4 : 1.

4T

8

Dane so daljice |AB| = 8 cm, |CD| = 12 cm in |EF| = 3 cm. Zapiši razmerja in jih poenostavi. a) |CD| : |EF| b) |AB| : |CD| c) |EF| : |AB|

6T

9

Izračunaj neznane količine. Podatki so podani v metrih.

6T

6

jig

101

kn

Zgled 1

Koliko je prispeval Rok in koliko oče?

Sorazmerje je enakost dveh razmerij a : b = c : d; b ≠ 0, d ≠ 0.

zunanja člena

A

15

11

Stranice trikotnika merijo a = 12 cm, b = 15 cm in c = 18 cm. Najdaljša stranica podobnega trikotnika pa je enaka petini obsega danega trikotnika.

Izračunaj dolžino stranic podobnega trikotnika in njegov obseg.

5T

Si na poti k vrhu (38—44)

T vsi 1 de li n

M

2 olt ra

ap

ku

5T

3 so

en 4 ak i

B

5

|AT| : |TB| = 2 : 3 |AT| = 2t |TB| = 3t

Si na dobri poti (30—37)

Dodatno vadi (25—29)

Poišči pomoč (manj kot 25 točk)

|AM| : |AB| = 4 : 5 |AM| = 4t |AB| = 5t

V sorazmerju je zmnožek zunanjih členov enak zmnožku notranjih členov. a·d=b·c

Obratno sorazmerje

Premo sorazmerje

x·y=k 6 strojev ……. 4 h 3 stroji …….. ? h Čim manj strojev, tem več časa.

y=k·x 8 zvezkov …… 40 € 4 zvezki ……. ? € Čim manj zvezkov, tem manj denarja.

6:3=y:4 3· y=6· 4 3 · y = 24 y=8

8 : 40 = 4 : x 8 · x = 40 · 4 8 · x = 160 x = 20

SORAZMERJE IN PODOBNOST

Zgledi Povzetek

Dve števili sta v razmerju 4 : 5. Njuna vsota je 72. Izračunajmo ti dve števili.

Uporabi žepno računalo

C Zgled 2

Osnovnica in krak enakokrakega trikotnika sta v razmerju 3 : 4, obseg trikotnika je 55 cm. Izračunajmo stranice trikotnika. b =a a Ko smo nalogo prebrali, izpišemo podatke, narišemo skico in uvedemo novo spremenljivko t. c:a=3:4 osnovnica c = 3t A c B krak a = 4t Zapišemo enačbo in jo rešimo.

Izračunamo neznane količine. o = c + 2a Osnovnica c = 3t = 3 · 5 = 15; c = 15 cm 55 = 3t + 2 · 4t Krak a = 4t = 4 · 5 = 20; a = 20 cm 55 = 3t + 8t 55 = 11t t=5 Preizkus: o = c + 2a = 15 + 2 · 20 = 15 + 40 = 55; obseg meri 55 cm.

Rešitev lahko preverimo tudi tako, da zapišemo razmerje c : a = 15 : 20; oba člena delimo s 5 in dobimo razmerje c : a = 3 : 4, kar je pogoj iz naloge.

Odgovor: Osnovnica enakokrakega trikotnika meri 15 cm, krak pa 20 cm.

Zapišemo enačbo in jo rešimo. Če seštejemo Rokov in očetov prispevek, dobimo celoten znesek.

1t + 3t = 96 4t = 96 t = 96 : 4 t = 24

Vstavimo vrednost t = 24 še za izračun prispevkov: Rokov prispevek 1t = 1 · 24 = 24; t = 24 € Očetov prispevek 3t = 3 · 24 = 72; 3t = 72 € Preizkusimo rešitev: seštevek Rokovega in očetovega zneska je res 96 €.

Uporabi računalnik Naredi

Odgovor: Za mamino darilo je Rok prispeval 24 €, oče pa 72 €.

Utrdim novo znanje

01 Izrazi.indd 3

B

Sorazmerje

a:b=c:d

y 3

Ko smo nalogo prebrali, izpišemo podatke in uvedemo novo spremenljivko t. a:b=4:5 število a = 4t število b = 5t Izračunamo vse neznane količine.

Zapišemo enačbo in jo rešimo. Število a = 4t = 4 · 8 = 32 4t + 5t = 72 Število b = 5t = 5 · 8 = 40 9t = 72 t=8 Preverimo rešitev. Če obe števili seštejemo, je vsota 72, zato je rešitev pravilna.

Zapišemo odgovor. Prvo iskano število je 32, drugo pa 40.

Razmerje 1 : 3 pomeni, da celoten znesek razdelimo na štiri enake dele, ker 1 del prispeva Rok, 3 dele pa oče. Ker ne poznamo velikosti dela, ga označimo z novo spremenljivko t.

1.

Zapiši pet urejenih parov števil (a, b), za katere velja: 3 a) a : b = 2 : 9 b) a : b = 0,5 c) a : b = 1 : 4

2.

Mama je imela 32 bombonov. Špela in Rok sta si jih razdelila v razmerju 3 : 5.

Koliko bombonov je dobila Špela in koliko Rok, če je Rok dobil več bombonov?

3.

Urša je imela 20 metrov dolg trak. Razrezala ga je v razmerju 1 : 3.

Koliko meri daljši kos?

(A) 50 dm (B) 5 m (C) 1,5 m (Č) 150 cm (D) 150 dm

4.

Dve števili sta v razmerju 1 : 4, njuna vsota je 10. Izračunaj ti dve števili.

SORAZMERJE IN PODOBNOST

Povzetki

A

drugi člen

Poenostavljeno razmerje je okrajšano razmerje.

Rešimo skupaj

Rok in oče kupujeta darilo za mamin rojstni dan. Oče je predlagal, da Rok prispeva manjši del celotnega zneska. Kupila sta darilo za 96 € in si znesek razdelila v razmerju 1 : 3.

Razlaga

prvi člen

B1

Grafična vodila

Uvodna zgodba

SORAZMERJE IN PODOBNOST

A1

V

Uporaba

Zgradba podpoglavja

110

Če par premic, ki se sekata v eni točki, sekamo s parom vzporednih premic, je razmerje odsekov na eni premici enako razmerju istoležnih odsekov na drugi premici.

notranja člena

Trikotniku s podatki c = 5 cm, a = 70°, b = 50° nariši podoben trikotnik z a' = 4 cm.

136

Talesov izrek

Razmerje je količnik dveh števil a : b; b ≠ 0 (preberemo a proti b).

Delitev daljic na enake dele

12

10

Blestiš (45—50)

Zapomnim si

SORAZMERJE IN PODOBNOST

a:b

Možnih je 50 točk.

Besedilne naloge iz razmerja in sorazmerja rešujemo v več korakih.

1. Pozorno preberemo nalogo.

2. Izpišemo podatke tako, da uvedemo novo spremenljivko.

3. Zapišemo enačbo in jo rešimo.

4. Izračunamo vse neznane količine.

5. Preverimo rešitev.

6. Zapišemo odgovor.

Podobna trikotnika imata vse tri kote skladne, dolžine istoležnih stranic so v enakem razmerju. a' : a = b' : b = c' : c = k a' = k · a b' = k · b a' b' a c' = k · c b o' = k · o c c' p' = k2 · p

Razmerje

6

skupaj so 4 enaki deli

Podobna trikotnika

Večkotnika sta podobna, če imata enake kote in enako razmerje dolžin istoležnih stranic.

Razmerje dolžin istoležnih stranic imenujemo podobnostni koeficient. Istoležne stranice so med seboj vzporedne.

* b)

x

3.3 Besedilne naloge iz razmerja in sorazmerja

Podobnost

6T

7 7 2 : =a: 6 15 5

V kurilnici imamo polno 2500-litrsko cisterno kurilnega olja. a) Za koliko dni bo zadoščala zaloga olja v cisterni, če porabimo na dan 20 litrov olja? b) Koliko olja porabimo od 1. oktobra do vključno 31. marca, če je poraba 15 litrov kurilnega olja na dan in leto ni prestopno?

Podobnost in sorazmerja v vsakdanjem življenju:

Zgodovinski razvoj



Izračunaj neznani člen sorazmerja.

6 a) x : 20 = 3 : 10 b) y : 3 = 5

3 4

100

Rokov prispevek je 1t.

Očetov prispevek je 3t.

2T

2

:2

SODOBNOST

Stalno razmerje med določenimi deli človeškega telesa je na svojih stvaritvah uporabljal tudi nemški slikar in grafik Albrecht Dürer (1471−1528).

Npr.: velikost glave proti višini telesa 1 : 8; dolžina dlani proti dolžini roke 1 : 4.

Znali bomo Æ reševati besedilne naloge iz razmerja in sorazmerja.

Dolžina mize je 120 cm, širina pa 80 cm. Zapiši razmerje med dolžino in širino in ga poenostavi.

Miselni vzorec

· 10

Za koliko odstotkov se poveča obseg kvadrata, če stranico povečamo za 15 %?

Leta 1631 je nemški matematik in astronom Christoph Scheiner (1575−1650) izumil napravo za mehanično prenašanje risb in načrtov v povečanem ali pomanjšanem merilu – pantograf.

Italijanski slikar in izumitelj Leonardo da Vinci (1452−1519) je študiral razmerje med deli človeškega telesa in ugotovil, da pri mnogih velja pravilo zlatega reza.

Učni cilji

1

Produkt je stalen.

Odstotni račun Deleži in odstotki sta premo sorazmerni količini.

Količnik je razmerje med deležem in odstotki in je konstanten. delež k= odstotki

Matematika nekoč in danes

SREDNJI VEK

·2

:4

S šestimi cisternami pripeljejo 15 000 litrov bencina. Koliko litrov bencina pripeljejo z 11 cisternami?

Razmerje količin Sorazmerje Besedilne naloge iz razmerja in sorazmerja Premo sorazmerje Obratno sorazmerje Razmerje dolžin daljic Podobnost Podobni trikotniki

Znak za podobnost ~ se je razvil iz ležeče črke S, ki simbolizira latinski izraz za podobnost – simile.

·2

TO ŽE ZNAM

ar n

3.1 3.2 3.3

Preverjanje znanja

*

Težja naloga

111

Naloge

04/09/2020 07:41

Vsebina

Izrazi

6 Množenje veččlenikov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Kvadrat dvočlenika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Produkt vsote in razlike dveh enakih členov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Razstavljanje izrazov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Algebrski ulomki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

a. co m

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Enačbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

ar n

Reševanje linearnih enačb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Linearne enačbe z oklepaji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Linearne enačbe z ulomki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Linearne enačbe s produktom veččlenikov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Rešitve linearne enačbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Izražanje neznank iz obrazcev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Linearne neenačbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Uporaba enačb pri reševanju besedilnih nalog . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Naloge o številih . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Naloge o starosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Naloge iz geometrije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Naloge iz vsakdanjika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Naloge o gibanju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Sistem linearnih enačb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Algebrske enačbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36 43 46 49 53 56 60 63 64 69 73 78 83 87 92

Sorazmerje in podobnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 102 106 110 113 117 120 123 127

kn

jig

Razmerje količin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Sorazmerje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Besedilne naloge iz razmerja in sorazmerja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Premo sorazmerje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Obratno sorazmerje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Razmerje dolžin daljic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Podobnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Podobni trikotniki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

01 Izrazi.indd 4

04/09/2020 07:41

Geometrijska telesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 140 150 153 157 165 169 175 179 182 190 194 199 203 207

a. co m

Odnosi med geometrijskimi elementi v prostoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Geometrijska telesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Prizma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Površina prizme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Prostornina prizme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Površina valja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Prostornina valja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Piramida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Površina piramide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Prostornina piramide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Površina stožca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Prostornina stožca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Krogla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vrtenine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

ar n

Številska premica in koordinatni sistem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Odvisnost dveh količin; funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Linearna funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Graf linearne funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

216 221 226 229

Obdelava podatkov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

kn

jig

Srednje vrednosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 Verjetnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 Vprašalnik in empirična preiskava . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

01 Izrazi.indd 5

04/09/2020 07:41

1.

a. co m

Izrazi

ar n

1.1 Množenje veččlenikov 1.2 Kvadrat dvočlenika 1.3 Produkt vsote in razlike dveh enakih členov 1.4 Razstavljanje izrazov 1.5 Algebrski ulomki

Matematika nekoč in danes

Veja matematike, ki vključuje računanje s spremenljivkami, se imenuje algebra. Ime izvira iz naslova knjige arabskega matematika Mohameda ibn Muse al Hvarizmija »Al džebr v´almukabala«, kar pomeni dopolnjevanje in izenačevanje.

Algebra se je v zahodnem svetu zelo močno razširila v 17. stoletju.

Znani matematik tega obdobja René Descartes je znane količine označeval z začetnimi črkami abecede (npr. a, b, c), neznane količine pa z zadnjimi črkami (x, y, z), kar je v veljavi še danes.

STARI VEK

NOVI VEK

kn

jig

Stari Grki so nauk o številih in računanje z njimi imenovali aritmetika. V Grčiji je prvi znani algebrski zapis pripravil Diofant iz Aleksandrije, ki je uporabljal črke za preglednejši in krajši zapis.

SREDNJI VEK Kitajci so prvi razvili sistem reševanja algebrskih enačb, pri katerem so komponente enačbe razvrstili v kvadratno, šahovnici podobno shemo.

Naravoslovnih znanosti in njihovih teorij si v današnjem času brez uporabe številskih izrazov in spremenljivk sploh ne znamo več predstavljati.

Einsteinov rokopis

6

01 Izrazi.indd 6

04/09/2020 07:41

Poišči podobne enočlenike in zapiši njihove koeficiente.

2 3x2, 2x + x2, –5x, x , 3, 1·2x, y2, 2x3, 1 x

3 x

2

a ·b=b·a b a b

Seštevanje in odštevanje enočlenikov Seštevamo in odštevamo le podobne člene.

3a + 5a = 8a 2x + 2y + 5x – 4y = 7x – 2y Poenostavi izraz 3,5a + 1,2b – 3c + 2,6c – 0,4b.

Seštevanje in odštevanje veččlenikov Najprej odpravimo oklepaje, nato seštejemo podobne enočlenike. Če je pred oklepajem +, ohranimo predznake znotraj oklepaja.

5x + (2x – 7) = 5x + 2x – 7 = 7x – 7 Če je pred oklepajem –, spremenimo predznake znotraj oklepaja.

3a – (7a – 4) = 3a – 7a + 4 = –4a + 4

ar n

Računska zakona Pri računanju s spremenljivkami veljata (tako kot pri računanju s števili) zakon o zamenjavi in zakon o razčlenjevanju.

a

TO ŽE ZNAM

a. co m

Enočleniki in veččleniki Enočleniki: 3 · x, –2ab, 4a2, – 3 mn …

4 Podobni enočleniki se ujemajo v spremenljivkah in eksponentu: 4a2 in –5a2.

Koeficient urejenega enočlenika je število, ki stoji pred vsemi spremenljivkami.

Veččleniki dvočleniki: a – 5, x2 + x, 3x + 2 tričleniki: 3x2 – 7x + 5, 6a + 2b – 3c štiričleniki: 2a3 + 7a2 – 4a + 6, x – 3y + 5z – 1

Poenostavi izraz 4 – (x – 4) + (2x – 5) – 3x.

a a · (b + c) = a · b + a · c b

c

kn

jig

Številski izrazi so pogosti tudi v računalništvu, tehniki in gradbeništvu.

SODOBNOST

Množenje enočlenikov 3x · 4x2 = 12x3 Zmnožimo koeficiente in zmnožimo spremenljivke.

Pomnoži 3x · 2x2 · (3 xy).

4

Množenje veččlenikov 2a · (3a – 4) = 6a2 – 8a Vsak člen veččlenika pomnožimo z enočlenikom.

Pomnoži – 1 ab(4ab – 3a2 + 2b2) 2

Izpostavljanje skupnega faktorja a · b + a · c = a · (b + c) 6x2 + 9x = 3x · (2x + 3) 8a2 – 4a = 4a · (2a – 1) Izpostavi skupni faktor izrazov 3x2 + 12xy2 in 6a5b2 + 4a3b3 – 10a3b2.

7

01 Izrazi.indd 7

04/09/2020 07:41

Znali bomo Æ množiti dvočlenik z dvočlenikom, Æ množiti veččlenik z veččlenikom.

1.1 Množenje veččlenikov Rok si je najprej zamislil kvadratno dno zaboja, kasneje je eno stranico povečal za 3, drugo pa za 5.

Kolikšna je nova ploščina pravokotnega dna?

a. co m

Če prvotno dolžino stranice kvadrata označimo z x, je dolžina pravokotnika x + 3, širina pa x + 5.

5

x+5

x

x

x

x x+3

Odgovor poiščimo grafično.

3

5

x+5

x

Za simbolno računanje lahko uporabimo različne računalniške programe, npr.: GeoGebra, Microsoft Math, Maxima ...

01 Izrazi.indd 8

x

x x+3

15

x2

3x

x+5

x

3

5x

3

x x+3

3

Ploščina kvadrata je x2.

Ploščini zeleno obarvanih p = x2 + 5x + 3x + 15 pravokotnikov sta 3x in 5x. p = x2 + 8x + 15 Ploščina modrega pravokotnika je 15.



kn

x x+3

8

5

5

jig

x+5

ar n

1. Narišemo pravokotnik z dolžino x + 3 in širino x + 5.

2. Razdelimo ga na manjše pravokotnike in kvadrate, kot kaže slika.

3. Izračunamo ploščine označenih pravokotnikov in kvadratov in jih seštejemo.

Nalogo rešimo še računsko. xx+x5+3x+35= (x + 3)(x + 5) = = x2 + 5x + 3x + 15 = = x2 + 8x + 15

IZRAZI

04/09/2020 07:41

Zapomnim si Veččlenik množimo z veččlenikom tako, da vsak člen prvega veččlenika pomnožimo z vsakim členom drugega veččlenika. (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

Rešimo skupaj Izračunajmo produkt dvočlenikov a + 3 in a – 2.

a. co m

Zgled 1

Obarvajmo člena prvega veččlenika, drugi veččlenik pa si predstavljamo kot samostojno enoto.

Drugi veččlenik množimo s prvim členom in nato še z drugim členom prvega veččlenika.

(a + 3)(a – 2) =

= a · + 33(a – 2)

+ aa ++ 3 · (a – 2) =

= a · (a – 2) + 3 · (a – 2) =

= a · a + a · (–2) + 3 · a + 3 · (– 2) = =

a2

– 2a + 3a



– 6 =

Pri množenju pazimo na predznake.

Podobne člene združimo.

= a2 + 1a – 6 =

Zgled 2

Rezultat je urejen veččlenik.

ar n

= a2 + a – 6 Izračunajmo (x – 6)(y + 4).

Najprej pokrijemo – 6 in z x množimo oba člena v drugem oklepaju.

Nato pokrijemo x in z – 6 množimo oba člena v drugem oklepaju. (x – 6)(y + 4) =

jig

= x · y + x · 4 + (– 6) · y + (– 6) · 4 = = xy + 4x – 6y – 24 =

=xx+x4+2x+24=

= x2 + 4x + 2x + 8 =

4 x+4

x

2 · (x + 4)

(x + 2)(x + 4) = x  (x + 4) + 2  (x + 4) =

x · (x + 4)

Ponazorimo množenje dvočlenikov (x + 2)(x + 4) s ploščinami dveh pravokotnikov.

kn

Zgled 3

= 4x – 6y + xy – 24

x

2

= x2 + 6x + 8

x+2

IZRAZI

01 Izrazi.indd 9

9

04/09/2020 07:41

Zgled 4

Izračunajmo produkt dvočlenika 3x + 2 in tričlenika 2x + 3y – 1.

(3x + 2) (2x + 3y – 1) =

Vsak člen tričlenika pomnožimo z vsakim členom dvočlenika.

= 3x · (2x + 3y – 1) + 2 · (2x + 3y – 1) = = 3x · 2x + 3x · 3y + 3x · (– 1) + 2 · 2x + 2 · 3y + 2 · (– 1) =

= 6x2 + 9xy

3x

+ 4x + 6y – 2 =

+ x

= 6x2 + 9xy + x + 6y – 2 Zgled 5

Dobimo 6 členov, ker je 2 · 3 = 6.

+ 6y – 2 Če je možno, člene združimo in veččlenik uredimo.

a. co m

= 6x2 + 9xy –

Izračunajmo produkt vsote števil b in 7 ter razlike istih dveh števil.

Zapišimo izraz po besedilu in ga poenostavimo. (b + 7)(b – 7) = = b · (b – 7) + 7 · (b – 7) = = b · b + b · (– 7) + 7 · b + 7 · (– 7) = = b2 – 7b + 7b – 49 =

ar n

= b2 – 49

Utrdim novo znanje

1. Zmnoži dvočlenike. Primere a, b, c in č še ponazori s ploščinami. b) (a + 3)(a + 5) e) (c + 3)(c –5) i) (n – 4)(n + 8) m) (s – 3)(s – 9) r) (2 – a)(a + 4)

c) (b + 4)(b + 7) f) (m + 2)(m – 6) j) (t – 5)(t + 4) n) (v – 2)(v – 8) s) (4 – y)(5 – y)

b) (3a + 2)(2a – 3) e) (2a + 3b)(4a – 6b) i) (x2 – 1)(x – 2)

c) (7t – 2s)(5t + 8s) č) (5d – 4)(3d – 2) f) (4m – 2n)(5m + 3n) g) (3k – 6m)(5k – 2m) j) (3 – y2)(5 + y) k) (a2 – b)(2a2 – 3b)

jig

a) (x + 1)(x + 2) d) (x + 1)(x – 2) h) (x – 1)(x + 2) l) (x – 1)(x – 2) p) (x – y)(a + b)

2. Zmnoži dvočlenike.

kn

a) (2x + 1)(3x + 4) d) (3x + 2y)(2x + 5y) h) (–2z + 1)(3c – 1)

č) (d + 6)(d + 8) g) (k + 2)(k + 5) k) (o – 2)(o + 5) o) (z – 4)(z – 9) š) (–x – 2)(x – 2)

3. Dolžino pravokotnika a smo povečali za 2 enoti, širino b pa za 5 enot.

a) Zapiši dvočlenik, ki ponazarja dolžino tega pravokotnika. b) Zapiši dvočlenik, ki ponazarja širino pravokotnika. c) Zapiši izraz za izračun ploščine tega pravokotnika in ga poenostavi.

4. Pomnoži. Kaj ugotoviš, če primerjaš med seboj dvočlenika? a) (x + 3)(x – 3) c) (2a + 6)(2a – 6)

10

01 Izrazi.indd 10

b) (7 + y)(7 – y) č) (3x – 2y)(3x + 2y)

IZRAZI

04/09/2020 07:41

5. Pomnoži. Kaj ugotoviš, če primerjaš med seboj dvočlenika? a) (a – 5)(a – 5) c) (2a – 6)(2a – 6)

b) (7 + y)(7 + y) č) (3x + 2y)(3x + 2y)

6. Poenostavi izraze. Rezultate preveri z ustreznim računalniškim programom. a) (x – 2)(x + 1) – 5 c) 2y – (y + 3)(y – 7) d) 3(x – 1) + (2x – 3)(x + 1) f) 5m – (4 – 5m) – (m + 2)(5m – 4)

b) 3a + (a – 6)(a – 4) č) 6z2 – (2z + 1)(z – 3) e) (b – 1)(b – 2) – (b – 1) · b g) (x – 5)(x + 7) – (x + 4)(x – 3)

a. co m

7. Najprej poenostavi izraze in nato izračunaj njihovo vrednost za dano vrednost spremenljivke. a) (x + 2)(x – 3) – x2 za x = – 3 b) 3a2 – (2a – 1)(a + 3) za a = 2 c) y(y – 2) – (y + 2)(3 – 2y) za y = 12 č) 2m(m + 1) + (m – 4)(2m + 3) za m = – 1 d) a(a – b) – (a + b)(2a + 2b) za a = 2; b = – 2 e) (2x + 3y)(y – 2x) – 3y(y + x) za x = 13 ; y = 14

*8. Pomnoži veččlenike.

a) (2a + 3b – 5)(a + 3) b) (x2 – x + 2)(2x2 – 3x) c) (x – y – z)(2x – 3z) č) (3m – n + 2u)(2m + 3n – u) d) (1,2a + 0,3b)(0,5a – 0,3b) e) (13 x – 12 y)(3x – 2y) f) (14 a – 2)(3b + 13) g) (– 34 m + 32 n)(– 43 m – 23 n)

ar n

*9. Zapiši izraz po besedilu in ga poenostavi.

a) K razliki števil 3x in 5 prištej produkt vsote števil 2x in 3 ter razlike števil 3x in 5. b) Od kvadrata števila 2a odštej produkt števila – 6a z vsoto števil a in 4. c) Od trikratnika števila – y odštej 5 in dobljeni izraz pomnoži z dvočlenikom y2 – 3.

*10. Eno stranico kvadrata skrajšamo za 5 enot, drugo pa podaljšamo za 4 enote. Zapiši izraz za

jig

ploščino nastalega pravokotnika.

*11. Dano je zaporedje 12, 20, 30, 42, 56, 72 …

a) Ugotovi pravilo tega zaporedja in zaporedje nadaljuj z naslednjimi štirimi členi. b) Kateri izraz ne ustreza splošnemu členu tega zaporedja?

(A) (n + 2)(n + 3) (B) n2 + 5n + 6 (C) 2n2 + 10

kn

**12. Poenostavi izraze.

a) –2 + 2(x – (x – 2)(2x + 2)) b) 3((1 – a)(a – 1) + 2(a + 3)) c) 2(3(b – 2)(b + 2) –1) – (b – 4)(b – 4) č) (3xz – 2yz2)(5xyz2 + 4xyz) – (5y2z2 + 8y3z2)(xz2 – 6xz3)

**13. V enakokrakem trikotniku meri osnovnica 3m – 6n, višina na osnovnico pa 4m – 5n. a) Zapiši izraz za ploščino tega enakokrakega trikotnika in ga poenostavi. b) Izračunaj ploščino tega enakokrakega trikotnika za m = 5 in n = 2.

IZRAZI

01 Izrazi.indd 11

11

04/09/2020 07:41

Znali bomo Æ kvadrirati dvočlenik.

1.2 Kvadrat dvočlenika Rok je predvideval, da iz kvadratnega testa, ki ga je razvaljala Špela, ne bo dobil dobil dovolj piškotov, zato je testo razvaljal še enkrat in ga povečal za 3 enote v obeh smereh.

Za koliko se je povečala ploščina testa?

a. co m

3

x

x

x

x

Špelino testo

Rokovo testo

Če stranico Špelinega kvadrata označimo z x, je stranica Rokovega kvadrata x + 3.

Odgovor poiščimo grafično.

1. Narišemo kvadrat s stranico x + 3.

2. Razdelimo ga na manjše pravokotnike in kvadrate, kot kaže slika.

3. Zapišemo izraz za ploščine označenih pravokotnikov in kvadratov.

ar n

Za enočlenike, dvočlenike in veččlenike uporabljamo tudi tujke: monom, binom in polinom.

3

3

3

3x

32 = 9

x

x

x

x2

3x

x

3

jig

3

x

3

x

3

kn

S slike razberemo, da je ploščina Rokovega kvadrata x2 + 6x + 9.

Velja torej (x + 3)2 = x2 + 6x + 9.

Ploščina Rokovega kvadrata je za 6x + 9 večja od ploščine Špelinega kvadrata.

Nalogo rešimo še računsko. Kvadrat dvočlenika zapišemo tudi kot produkt dvočlenika s samim seboj in ga poenostavimo po pravilu za množenje veččlenikov. (x + 3)2 = (x + 3)(x + 3) = x2 + 3x + 3x + 9 = x2 + 6x + 9

Zapomnim si Kvadrat dvočlenika smo izračunali tako, da smo dvočlenik množili s samim seboj in dobili formulo: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Kvadrat dvočlenika je vsota treh členov: kvadrata prvega člena, dvakratnika produkta prvega in drugega člena ter kvadrata drugega člena.

12

01 Izrazi.indd 12

IZRAZI

04/09/2020 07:41

Rešimo skupaj Zgled 1

Izračunajmo kvadrat dvočlenika a + 5.

Zgled 2

a. co m

1. način: Rešitev dobimo tako, da izračunamo produkt dveh enakih dvočlenikov. Pri množenju pazimo na predznake. (a + 5)2 = (a + 5)(a + 5) = =a·a+a·5+5·a+5·5= = a2 + 5a + 5a + 25 = = a2 + 10a + 25 2. način: Uporabimo pravilo za kvadrat dvočlenika. (a + 5)2 = a2 + 2 · a · 5 + 52 = kvadrat vsote dveh členov = a2 + 10a + 25 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Kvadrirajmo (3x – 7)2.

(1. člen)2 + 2 · (1. člen) · (2. člen) + (2. člen)2 1. način: Kvadrat dvočlenika zapišemo kot produkt dvočlenika s samim seboj in ustrezno množimo.

(3x – 7)2 = (3x – 7) (3x – 7) = = 3x · 3x – 3x · 7 – 7 · 3x + 7 · 7 = = 9x2 – 21x – 21x + 49 = = 9x2 – 42x + 49

Zgled 3

ar n

2. način: Kvadrat dvočlenika izračunamo po pravilu.

(3x – 7)2 = (3x)2 – 2 · 3x · 7 + 72 = kvadrat razlike dveh členov = 9x2 – 42x + 49 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2

Dan je izraz (2x – 4)2 – 3x(x – 8).

(1. člen)2 – 2 · (1. člen) · (2. člen) + (2. člen)2 a) Poenostavimo izraz. b) Izračunajmo vrednost poenostavljenega izraza za x = – 12.

jig

a) Izraz poenostavimo tako, da izračunamo kvadrat dvočlenika in produkt enočlenika z dvočlenikom, nato pa izraz skrčimo.

(2x – 4)2 – 3x(x – 8) = = 4x2 – 16x + 16 – 3x2 + 24x = = x2 + 8x + 16

kn

b) Vrednost skrčenega izraza izračunamo tako, da namesto spremenljivke x vstavimo vrednost – 12. x2 + 8x + 16 = 2

1 1 = – + 8  – + 16 = 2 2 1 8 1 = – ∙ + 16 = 4 1 2 1 = – 4 + 16 = 4 1 = 12 4

 

 

IZRAZI

01 Izrazi.indd 13

13

04/09/2020 07:41

Zgled 4

Zapišimo izraz in ga poenostavimo: a) kvadrat vsote 3 in 5y b) vsoto kvadratov 3 in 5y a) (3 + 5y)2 = 9 + 30y + 25y2 b) 32 + (5y)2 = 9 + 25y2 Pokazali smo, da kvadrat vsote ni enak vsoti kvadratov (a + b)2 ≠ a2 + b2.

Zapišimo izraz in ga poenostavimo. Od vsote števil b in 6 odštejmo kvadrat vsote števil 2b in 6.

a. co m

Zgled 5

Zapišimo izraz po besedilu in ga poenostavimo. (b + 6) – (2b + 6)2 = b + 6 – (4b2 + 24b + 36) = = b + 6 – 4b2 – 24b – 36 = = – 4b2 – 23b – 30 Zgled 6

Najprej kvadriramo in nato odštejemo.

Izraz (5x3 + 7yz4)2 – (5x3 – 7yz4)2 najprej poenostavimo, nato pa izračunajmo njegovo vrednost za x = –1, y = 17 , z = 12.

Najprej kvadriramo oba dvočlenika.

Ker je pred oklepajem –, vsem členom iz oklepaja spremenimo predznake. Člene združimo.

ar n

(5x3 + 7yz4)2 – (5x3 – 7yz4)2 = = (25x6 + 70x3yz4 + 49y2z8) – (25x6 – 70x3yz4 + 49y2z8) = = 25x6 + 70x3yz4 + 49y2z8 – 25x6 + 70x3yz4 – 49y2z8 = = 140x3yz4 Vstavimo vrednosti x = –1, y = 17, z = 12.

4 1 1 = 140  (–1)3   7 2 1 1 = = 140  (–1)   7 16



jig

20 5 1 = – = – = –1 16 4 4

Utrdim novo znanje

1. Kvadriraj. Primere a, b, c in č ponazori še s ploščinami kvadratov.

kn

a) (x + 1)2 f ) (m – 4)2 l) (a – b)2

b) (a + 5)2 g) (k – 9)2 m) (–3 + s)2

c) (b + 7)2 h) (2 + x)2 n) (–v + 2)2

č) (d + 6)2 i) (3 – n)2 o) (–z – 4)2

d) (d + 8)2 j) (o + v)2 p) (–x – y)2

e) (c – 2)2 k) (5 – t)2 r) (–10 – a)2

2. Zapiši pare tako, da k računu iz levega stolpca poiščeš ustrezno rešitev iz desnega stolpca. a) (x – 2)2 b) (x + 2)2 c) (2 – x)2 č) (–x – 2)2

14

01 Izrazi.indd 14

1) x2 + 4x + 4 2) x2 + 4 3) x2 – 2x + 4 4) x2 – 4x + 4

IZRAZI

04/09/2020 07:41