Issuu

MATEMATIKA Tanja Končan, Vilma Moderc, Rozalija Strojan

a. co m

Razlage in vaje za več znanja v 6. razredu

jig

ar n

znam za več

iZZV 6 MAT 2019 notranjost.indd 1

18/11/2019 14:24

ZBIRKA iZNAM ZA VEČ

MATEMATIKA 6

a. co m

Razlage in vaje za več znanja v 6. razredu

ar n

Avtorice: Tanja Končan, Vilma Moderc, Rozalija Strojan Urednik (1. izdaja): Vasja Kožuh Strokovni pregled: Magda Albreht, Ema Maver Lektoriranje besedila: Katja Paladin Ilustracije: Marta Bartolj

jig

Vse knjige Založbe Rokus Klett in dodatna gradiva dobite tudi na naslovu www.knjigarna.com.

Brez pisnega dovoljenja založnika so prepovedani reproduciranje, distribuiranje, javna priobčitev, predelava ali druga uporaba avtorskega dela ali njegovih delov v kakršnem koli obsegu in postopku, kot tudi fotokopiranje, tiskanje ali shranitev v elektronski obliki. Tako ravnanje pomeni, razen v primerih od 46. do 57. člena Zakona o avtorski in sorodnih pravicah, kršitev avtorske pravice.

Založba Rokus Klett, d. o. o. Stegne 9 b 1000 Ljubljana Telefon: (01) 513 46 00 E-pošta: rokus@rokus-klett.si www.rokus-klett.si

iZZV 6 MAT 2019 notranjost.indd 2

CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 51(075.2)(076.2) KONČAN, Tanja iZnam za več. Matematika 6 : razlage in vaje za več znanja v 6. razredu / Tanja Končan, Vilma Moderc, Rozalija Strojan ; [ilustracije Marta Bartolj]. - 1. izd. - Ljubljana : Rokus Klett, 2019. - (Zbirka iZnam za več) ISBN 978-961-271-954-8 1. Moderc, Vilma 2. Strojan, Rozalija COBISS.SI-ID 302689792

18/11/2019 14:24

Dragi učenec, draga učenka!

a. co m

Pred tabo so razlage in vaje za matematiko. V veliko pomoč ti bodo pri napredovanju v znanju, saj te bodo vodile k znanju za več. Zasnovane so pregledno. Razdeljene so na jasno ločena poglavja, ki se začnejo z rešenimi ZGLEDI. Ti omogočajo hitro seznanjanje z najpomembnejšimi pravili in postopki, potrebnimi za uspešno reševanje nalog. Sledijo VAJE, s katerimi gradiš in utrjuješ svoje znanje. Z VPRAŠANJI preveriš razumevanje snovi. Spopadi se s povezavami PAROV, s katerimi utrjuješ osnovne pojme in predstave. Tipičnim nalogam določenega poglavja sledi PREIZKUS, ki je namenjen povratni informaciji o tvojem znanju. Za preverjanje pravilnosti reševanja so dodane REŠITVE. Z željo, da čim hitreje napreduješ, te pozdravljamo in ti želimo veliko uspeha.

ar n

Avtorice

Podnaslov poglavja

jig

Tu so napisane pomembne zakonitosti, pravila in ugotovitve.

Tu so napisani nasveti za lažje delo, dogovori, namigi in opozorila.

Nasvet preizkusa

Če si dosegel 15 točk, še premalo znaš. Ponovi snov in preglej rešene zglede. Če si dosegel od 16 do 30 točk, dobro znaš. Še vadi, da boš napredoval. Če si dosegel od 31 do 45 točk, že veliko znaš. 3

iZZV 6 MAT 2019 notranjost.indd 3

18/11/2019 14:24

m zna eč za v

KAZALO I. NARAVNA ŠTEVILA ........................................................................................................................................................6

a. co m

Velika števila in zaokroževanje ..................................................................................................................................6 Primerjanje in urejanje naravnih števil ...................................................................................................................8 Množica večkratnikov naravnih števil .................................................................................................................. 10 Množica deliteljev naravnih števil ..........................................................................................................................11 Pravila za deljivost ....................................................................................................................................................... 12 Rimske številke ............................................................................................................................................................. 14 Preizkus ........................................................................................................................................................................... 16 II. RAČUNSKE OPERACIJE ............................................................................................................................................ 18 Seštevanje in odštevanje .......................................................................................................................................... 18 Seštevanje in odštevanje – izrazi ........................................................................................................................... 20 Množenje, potenciranje in deljenje ...................................................................................................................... 22 Izrazi ................................................................................................................................................................................. 24 Besedilne naloge ......................................................................................................................................................... 26 Preizkus ........................................................................................................................................................................... 28 III. ULOMKI.......................................................................................................................................................................... 30

ar n

Deli celote in ponazoritev ulomkov ...................................................................................................................... 30 Računanje dela celote in razmerja ........................................................................................................................ 32 Naravna števila in ulomki ter različni zapisi ulomkov .................................................................................... 34 Ulomki na številskem poltraku ............................................................................................................................... 36 Preizkus ........................................................................................................................................................................... 38 IV. DECIMALNA ŠTEVILA .............................................................................................................................................. 40

jig

Desetiški ali decimalni ulomki ter decimalna števila ...................................................................................... 40 Urejanje decimalnih števil po velikosti in zaokroževanje ............................................................................. 42

V. RAČUNANJE Z DECIMALNIMI ŠTEVILI .............................................................................................................. 44

Seštevanje in odštevanje decimalnih števil ....................................................................................................... 44 Preizkus ........................................................................................................................................................................... 46 Množenje decimalnih števil ..................................................................................................................................... 48 Deljenje decimalnih števil ........................................................................................................................................ 50 Številski izrazi z decimalnimi števili ...................................................................................................................... 52 Preizkus ........................................................................................................................................................................... 54

VI. ENAČBE IN NEENAČBE ............................................................................................................................................ 56 Enačbe ............................................................................................................................................................................. 56 Neenačbe ....................................................................................................................................................................... 58 Besedilne naloge – enačbe ...................................................................................................................................... 60 Besedilne naloge – neenačbe ..................................................................................................................................61 Preizkus ........................................................................................................................................................................... 62

iZZV 6 MAT 2019 notranjost.indd 4

18/11/2019 14:24

VII. OSNOVNI GEOMETRIJSKI POJMI ..................................................................................................................... 64

a. co m

Točka, premica in ravnina ......................................................................................................................................... 64 Poltrak in daljica ........................................................................................................................................................... 66 Dve premici v ravnini ................................................................................................................................................. 68 Razdalje ........................................................................................................................................................................... 70 Preizkus ........................................................................................................................................................................... 72 VIII. OBSEG, PLOŠČINA, POVRŠINA IN PROSTORNINA .................................................................................. 74 Dolžinske enote in merjenje obsega .................................................................................................................... 74 Obseg pravokotnika in kvadrata ............................................................................................................................ 76 Ploščinske enote in merjenje ploščin ................................................................................................................... 78 Ploščina pravokotnika in kvadrata ........................................................................................................................ 80 Površina kocke in kvadra .......................................................................................................................................... 82 Prostorninske enote in merjenje prostornin ..................................................................................................... 84 Prostornina kocke in kvadra .................................................................................................................................... 86 Preizkus ........................................................................................................................................................................... 88 IX. KOTI ................................................................................................................................................................................. 90

ar n

Pojem kota ter merjenje in načrtovanje kotov ................................................................................................. 90 Skladna kota .................................................................................................................................................................. 92 Pretvarjanje enot in računanje s koti .................................................................................................................... 93 Vrste kotov glede na velikost .................................................................................................................................. 95 Preizkus ............................................................................................................................................................................97 X. KROŽNICA IN KROG .................................................................................................................................................. 99

jig

Dve krožnici ................................................................................................................................................................... 99 Krožnica in premica .................................................................................................................................................. 101

XI. SIMETRIJA IN VZORCI ...........................................................................................................................................103 Vzorci s pomočjo premika, vrteža in zrcaljenja ...............................................................................................103

XII. OBDELAVA IN PRIKAZ PODATKOV ................................................................................................................106 Stolpčni in krožni diagram .....................................................................................................................................106

REŠITVE .............................................................................................................................................................................109

iZZV 6 MAT 2019 notranjost.indd 5

18/11/2019 14:24

m zna eč za v

I. NARAVNA ŠTEVILA Velika števila in zaokroževanje ZGLED 1: Zapiši 7Dm 5M 4St 2Dt 8S 3D 1E z desetiško številko. Pomagaš si lahko s preglednico desetiških enot. M

zapis z desetiško številko

75 420 831

ZGLED 2: Š tevilo 2 615 904 273 zapiši: a) z večkratniki desetiških enot b) z večkratniki potenc z osnovo 10 c) z desetiškimi enotami

a. co m

Večje desetiške enote: Dm – deset milijonice Sm – sto milijonice Md – milijardice Dmd – deset milijardice Smd – sto milijardice Bi – bilijonice Tr – trilijonice

a) 2 615 904 273 = 2 · 1 000 000 000 + 6 · 100 000 000 + 1 · 10 000 000 + + 5 · 1 000 000 + 9 · 100 000 + 4 · 1000 + 2 · 100 + 7 · 10 + 3

E – 1 T – 103 D – 10 Dt – 104 S – 102 St – 105

M – 106 Dm – 107 Sm – 108 Md – 109

b) 2 615 904 273 = 2 · 109 + 6 · 108 + 1 · 107 + 5 · 106 + 9 · 105 + 4 · 103 + 2 · 102 + 7 · 10 + 3

ar n

c) 2 615 904 273 = 2Md 6Sm 1Dm 5M 9St 4T 2S 7D 3E

ZGLED 3: Število 9835 zaokroži na: a) desetice b) stotice c) tisočice

Kadar je za števko, ki jo zaokrožuješ, števka 0, 1, 2, 3 ali 4, zaokrožuješ tako, da predhodna števka ostane nespremenjena (zaokrožiš navzdol). Kadar je za števko, ki jo zaokrožuješ, števka 5, 6, 7, 8 ali 9, predhodno števko povečaš za ena (zaokrožiš navzgor).

Oznaka za približno je =˙ .

jig

a) Število 9835, zaokroženo na desetice, je 9840, kar zapišeš 9835 =˙ 9840. b) Število 9835, zaokroženo na stotice, je 9800, kar zapišeš 9835 =˙ 9800. c) Število 9835, zaokroženo na tisočice, je 10 000, kar zapišeš 9835 =˙ 10 000.

VAJA 1: Dana števila razčleni na večkratnike desetiških enot.

a) 1903 =

b) 76 800 =

c) 405 020 =

č) 5 775 001 =

d) 35 261 489 = e) 8 700 600 500 = 6

iZZV 6 MAT 2019 notranjost.indd 6

18/11/2019 14:24

VAJA 2: Desetiške enote poveži z desetiško številko. 3Dm 9D 1E

3St 9Dt 1T 30 000 091

39 100 000

3 910 000

3Dm 1M 9St 31 900 000

a. co m

391 000

3Dm 9M 1St

VAJA 3: Zapiši z desetiško številko. a) 3T 5S 2D 1E =

b) 6S 8D =

c) 5Dt 3T 4S 7E =

č) 8St 8S 8D =

d) 2M =

e) 9M 8St 7Dt 6T 5S 4D 3E =

VAJA 4: Število: a) 3 201 000 zapiši z besedami

ar n

b) 15 002 820 zapiši z zapisom desetiških enot

c) 39 620 513 zapiši z večkratniki desetiških enot

č) 46 730 125 zapiši z večkratniki potenc z osnovo 10

jig

VAJA 5: Zaokroži števila na desetice, stotice in tisočice. desetice

stotice

tisočice

stotisočice

milijonice

a) 25 455

b) 44 576

c) 981 634

VAJA 6: Število 7 319 815 315 zaokroži na: tisočice

desettisočice

VAJA 7: Trgovec je zaokrožil ceno izdelka na stotice in tako dobil 7300 €. Kolikšna je lahko bila prvotna cena? Odg.: ______________________________________________________________________________ 7

iZZV 6 MAT 2019 notranjost.indd 7

18/11/2019 14:24

m zna eč za v

I. NARAVNA ŠTEVILA Primerjanje in urejanje naravnih števil ZGLED 1: Števila 15 in 21 ter 837 in 783 primerjaj po velikosti, tako da vstaviš znak < ali >. manjše < večje >

enako = ni enako ≠

a. co m

Število 15 je manjše od števila 21, ker je slika njegovega števila na številskem poltraku bliže številu 0, zato zapišeš 15 < 21. Število 837 je večje od števila 783, ker je slika njegovega števila na številskem poltraku bolj oddaljena od števila 0, zato zapišeš 837 > 783. ZGLED 2: Slike katerih števil so s puščico predstavljene na številskem poltraku? Uredi jih po velikosti od najmanjšega do največjega.

700 710 720 730 Na številskem poltraku vidiš označene slike števil 700, 710, 720 in 730. Del med 700 in 710 je razdeljen na deset enakih delčkov, vsak delček predstavlja enoto. Prva puščica prikazuje sliko števila 697, druga puščica sliko števila 704 in tretja sliko števila 722. 697

704

722

ar n

700 710 720 730 Med števili 697, 704 in 722 je najmanjše število 697, ker je slika njegovega števila na številskem poltraku najbliže številu 0, zato zapišeš: 697 < 704 < 722.

VAJA 1: Izpolni preglednico. predhodnik

število 499

naslednik

jig

2919

701 001

10 000 5 248 372

11 111 111

2 549 421 700 000

98 989 898

42 000 000

VAJA 2: Zapiši števila, ki manjkajo v zaporedju.

a) 220, 320, 420, ___, ___, 720 c) 730, 710, ___, 670, ___, 630

b) 26, 37, 48, ___,70, ___ č) 13, 28, 44, 61, ___, 98,___

VAJA 3: Zapiši naslednji dve števili danih zaporedij.

a) 2, 4, 8, 16, 32, ___, ___

b) 1, 1, 2, 3, 5, 8, ___, ___

VAJA 4: Števila v zaporedju 8, 11, 14 …, naraščajo za 3. Števila v drugem zaporedju 4, 9, 14 … naraščajo za 5. Število 14 nastopa v obeh zaporedjih. Katero bo naslednje število, ki bo v obeh zaporedjih enako? Odg.: ______________________ 8

iZZV 6 MAT 2019 notranjost.indd 8

18/11/2019 14:24

a) b)

0 0 0

1 1 1

0 0 0

10 10 10

c) 204 204 204

208 208 208

212 212 212

a. co m

VAJA 5: O d leve proti desni zapiši števila, katerih slike so označene s puščico.

VAJA 6: Zapiši črko p, če je izjava pravilna, in črko n, če je izjava nepravilna. a) 18 < 81 č) 4646 > 4464

b) 1489 > 1498 d) 3 564 925 > 3 564 827

c) 2180 < 978 e) 22 100 201 < 22 100 102

VAJA 7: Vstavi znak <, > ali =, tako da bo izjava pravilna. a) 24 23 č) 1572 1527

b) 199 d) 6599

201 6699

c) 89 98 e) 7205 7205

VAJA 8: Uredi števila po velikosti od najmanjšega do največjega in uporabi znak < .

b) 3506, 3006, 3650, 3605, 3560

ar n

a) 404, 444, 440

c) 999, 10 001, 4502, 4205, 1001, 989

č) 5 328 741, 5 327 814, 5 714 823, 5 782 143

VAJA 9: Preglednica prikazuje nekaj držav, njihovo površino in število prebivalcev. Zapiši države po vrsti:

jig

a) po velikosti površine od največje do najmanjše

b) od tiste z največjim do tiste z najmanjšim številom prebivalstva

država Danska Finska Francija Grčija Italija Latvija Madžarska Malta Nemčija Slovenija

površina (km2) 43 094 338 145 547 030 131 940 301 230 64 589 93 030 316 357 021 20 256

število prebivalcev 5 432 335 5 223 442 60 656 178 10 668 354 58 103 033 2 290 237 10 006 835 398 534 82 431 390 1 997 590

a) ________________________________________________________________________________ b) ________________________________________________________________________________ 9

iZZV 6 MAT 2019 notranjost.indd 9

18/11/2019 14:24

m zna eč za v

I. NARAVNA ŠTEVILA Množica večkratnikov naravnih števil ZGLED: Zapiši množico večkratnikov števila 4. 0

a. co m

Množico večkratnikov števila 4 dobiš, če število 4 pomnožiš z zaporednimi naravnimi števili: 1 ∙ 4 = 4, 2 ∙ 4 = 8, 3 ∙ 4 = 12 … Množico večkratnikov števila 4 zapišeš takole: V4 = {4, 8, 12, 16, 20 … n ∙ 4}, n  N

Če naravno število a množimo z zaporednimi naravnimi števili, dobimo množico večkratnikov števila a. Va = {1 ∙ a, 2 ∙ a, 3 ∙ a …}

Najmanjši večkratnik danega števila je kar dano število, največjega pa ne moremo določiti, ker ne obstaja.

VAJA 1: Preveri pravilnost izjav. Pravilne označi s p, nepravilne z n. p/n

ar n

izjava Število 28 je večkratnik števila 4. Število 35 ni večkratnik števila 8. Število 120 je večkratnik števila 20. Število 16 ni večkratnik števila 16. Število 12 je večkratnik števila 24.

VAJA 2: Med števili 12, 20, 36, 54, 69, 84, 106 in 180 obkroži večkratnike števila 6. VAJA 3: Zapiši množico vseh večkratnikov števila 7, ki so med 30 in 76.

jig

VAJA 4: Zapiši prvih dvanajst elementov množice V4 in prve štiri elemente množice V12. Kaj ugotoviš?

Odg.: ______________________________________________________________________________

VAJA 5: Izpolni prazna mesta v množici večkratnikov.

V_ = {___, ___, ___, ___, ___, 48, ___, ___} VAJA 6: Nadaljuj zaporedje z najmanj štirimi števili.

a) 9, 18, 27, ______,______,______,______, b) 13, 26, 39, ______,______,______,______, c) 20, 40, 60, ______,______,______,______,

č) 25, 50, 75, ______,______,______,______. 10

iZZV 6 MAT 2019 notranjost.indd 10

18/11/2019 14:24

Množica deliteljev naravnih števil ZGLED: Na koliko načinov lahko 15 cekinov razporediš v mošnjičke, da bo v vsakem enako število cekinov in da bodo vsakokrat razporejeni vsi cekini?

število mošnjičkov

a. co m

1 3 5 15

število cekinov v vsakem mošnjičku 15 5 3 1

V vseh primerih vseh 15 cekinov porazdelimo v enega, tri, pet ali 15 mošnjičkov.

Pravimo, da so števila 1, 3, 5 in 15 delitelji števila 15, ker se deljenje števila 15 s števili 1, 3, 5 in 15 izide. Lahko rečemo tudi, da je 15 večkratnik števil 1, 3, 5 in 15 ali da je število 15 deljivo s števili 1, 3, 5 in 15.

ar n

Množico deliteljev števila 15 zapišemo takole: D15 = {1, 3, 5, 15}. Najmanjši delitelj vsakega naravnega števila n je število 1, največji delitelj je število samo.

Število 1 je delitelj vsakega naravnega števila. Število n je delitelj samega sebe.

VAJA 1: Preveri pravilnost izjav. Pravilne označi s p, nepravilne z n. izjava

p/n

jig

42 je deljivo s 7. 36 je delitelj števila 6. 13 je večkratnik števila 26. 8 je delitelj števila 32. 55 je večkratnik števila 55.

VAJA 2: Prečrtaj število, ki ni delitelj. a) D6 = {1, 2, 3, 4, 6} c) D24 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 24}

b) D8 = {1, 2, 3, 4, 8} č) D75 = {1, 2, 3, 5, 15, 25, 75}

VAJA 3: Na označena mesta zapiši manjkajoče delitelje. a) D14 = {1, 2, __, 14} b) D36 = {1, 2, __, 4, 6, __, 12, 18, 36} c) D20 = {1, 2, 4, __, 10, __} č) D24 = {__, 2, __, 4, 6, __,12, __} d) D100 = {__, __, 4, 5, 10, 20, 25, __, 100} e) D120 = {1, 2, __, 4, 5, __, 8, 10, 12, __, 20, 24, 30, 40, 60, __}

VAJA 4: Zapiši množico deliteljev števil 18, 28, 35 in 60. a) D18 = c) D35 =

b) D28 = č) D60 = 11

iZZV 6 MAT 2019 notranjost.indd 11

18/11/2019 14:24

m zna eč za v

I. NARAVNA ŠTEVILA Pravila za deljivost ZGLED 1: Ali so števila 50, 200, 13 000 in 95 deljiva z 10?

Z 10 so deljiva vsa števila, ki imajo na mestu enic števko 0. S 100 so deljiva vsa števila, ki imajo na mestu enic in desetic števko 0. S 1000 so deljiva vsa števila, ki imajo na mestu enic, desetic in stotic števko 0.

50 : 10 = 5, 200 : 10 = 20, 13 000 : 10 = 1300, 95 : 10 = 9 (ost. 5)

a. co m

Števila 50, 200 in 13 000 so deljiva z 10, število 95 pa ni, ker se deljenje ne izide (število 95 ni večkratnik števila 10).

ZGLED 2: Katera od števil 28, 37, 40, 55, 70 in 82 so deljiva z 2 in katera s 5? z 2 so deljiva s 5 so deljiva

28, 40, 70, 82 40, 55, 70

ZGLED 3: Ugotovi, ali je število 23 280 deljivo s 3. Deljivost s 3 lahko ugotoviš z deljenjem. 23280 : 3 = 7760 22 18 00 0 ost.

Z 2 so deljiva soda števila. S 5 so deljiva števila, ki imajo na mestu enic števko 0 ali 5.

Da je število 23 280 deljivo s 3, lahko ugotoviš na hitrejši način. 23 280 i 2 + 3 + 2 + 8 + 0 = 15 Vsota števk je 15. Kadar je vsota števk deljiva s 3, je tudi število deljivo s 3. Ker je 15 deljivo s 3, je tudi 23 280 deljivo s 3.

ar n

ZGLED 4: Katero od števil 3986 in 5625 je deljivo z 9?

Vsota števk števila 3986 je (3 + 9 + 8 + 6) je 26. Ker 26 ni deljivo z 9, število 3986 ni deljivo z 9.

Število je deljivo s 3, če je vsota njegovih števk deljiva s 3.

Število je deljivo z 9, če je vsota njegovih števk deljiva z 9.

Vsota števk števila 5625 je 18. Ker je vsota števk deljiva z 9, je število 5625 deljivo z 9.

jig

VAJA 1: Prečrtaj števila, ki niso deljiva: a) z 10: 50, 80, 13, 720, 705, 300 c) s 1000: 200, 5000, 370, 22 000, 300 000 d) s 5: 15, 43, 879, 3000, 6595, 50 002 f ) z 9: 76, 989, 4500, 39 780, 200 000

b) s 100: 300, 70, 991, 2000, 360 č) z 2: 12, 40, 223, 740, 922, 1000 e) s 3: 45, 369, 780, 3566, 98 000, 321 809 g) hkrati z 2 in s 3: 32, 66, 189, 748, 56 700

VAJA 2: Preveri pravilnost izjav. Pravilne označi s p, nepravilne z n. izjava Število je deljivo z 2, če je sodo število. Število je deljivo s 5, če je na mestu desetic 0 ali 5. Če je število deljivo s 1000, je tudi z 10. Če je število deljivo s 3, je tudi z 9. Če je število deljivo z 10, je tudi z 2 in s 5.

p/n

VAJA 3: Katera od danih števil 28, 333, 288, 1450, 705, 103 in 9 ∙ 102 so deljiva: a) z 2: b) s 3: c) s 5:

č) z 9:

iZZV 6 MAT 2019 notranjost.indd 12

18/11/2019 14:24