9789612716400

a. co m ar n

Tanja Končan, Vilma Moderc in Rozalija Strojan

kn

jig

Skrivnosti števil in oblik

SSIO 9 SDZ_1_zvezek.indd 1

9 12/09/2018 12:41

Tanja Končan, Vilma Moderc in Rozalija Strojan

Skrivnosti števil in oblik 9 Samostojni delovni zvezek za matematiko v 9. razredu osnovne šole − 1. del

Urednik: Pavle Šijanec Strokovni pregled: Pika Klopčar Jezikovni pregled: Katja Paladin Ilustrator: Iztok Sitar Tehnične risbe: Jurko Končan

a. co m

Recenzija: Tone Rozman, Barbara Rednak Robič

Fotografije: str. 29 (Shutterstock/Jojje), str. 29 (Jurko Končan) Direktor produkcije: Klemen Fedran Izdala in založila: Založba Rokus Klett, d. o. o.

Za založbo: Maruša Dejak

ar n

Oblikovanje: Jasna Karnar Oblikovanje naslovnice: Grega Inkret Prelom: Goran Karim Tisk: Schwarz print, d. o. o.

1. izdaja: 3. ponatis Naklada: 1500 izvodov Dotis: 4000 izvodov

jig

Ljubljana 2020

Vse knjige in dodatna gradiva Založbe Rokus Klett dobite tudi na naslovu www.knjigarna.com.

kn

© Založba Rokus Klett, d. o. o. (2016). Vse pravice pridržane.

Brez pisnega dovoljenja založnika so prepovedani reproduciranje, distribuiranje, javna priobčitev, predelava ali druga uporaba avtorskega dela ali njegovih delov v kakršnem koli obsegu in postopku, kot tudi fotokopiranje, tiskanje ali shranitev v elek­tronski obliki. Tako ravnanje pomeni, razen v primerih od 46. do 57. člena Zakona o avtorski in sorodnih pravicah, kršitev avtorske pravice.

Založba Rokus Klett, d. o. o.

Stegne 9 b, 1000 Ljubljana telefon: 01 513 46 00 e-naslov: rokus@rokus-klett.si www.rokus-klett.si

SSIO 9 SDZ_1_zvezek.indd 2

CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 51(075.2)(076.2) KONČAN, Tanja Skrivnosti števil in oblik 9. Samostojni delovni zvezek za matematiko v 9. razredu osnovne šole / Tanja Končan, Vilma Moderc in Rozalija Strojan ; [ilustrator Iztok Sitar, tehnične risbe Jurko Končan ; fotografije Shutterstock]. - 1. izd., 2. ponatis. - Ljubljana : Rokus Klett, 2018 ISBN 978-961-271-640-0 1. Dr. vzp. stv. nasl. 2. Moderc, Vilma 3. Strojan, Rozalija 292813824

11/09/2020 12:13

KAZALO 1 IZRAZI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1. Ponovitev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2. Množenje dvočlenika z dvočlenikom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3. Kvadrat dvočlenika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 4. Produkt vsote in razlike dveh enakih členov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 5. Razstavljanje izraza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 6. Ponovimo izraze s spremenljivkami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Ali si že mojster? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

a. co m

2 ALGEBRSKI ULOMKI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

1. Algebrski ulomek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2. Razširjanje in krajšanje algebrskih ulomkov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3. Računanje z algebrskimi ulomki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 Ali si že mojster? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3 ENAČBE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

1. Linearna enačba, osnovna množica in množica rešitev . . . . . . . . . . . . . . . 80 2. Reševanje linearnih enačb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 3. Reševanje linearnih enačb z oklepaji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 4. Reševanje linearnih enačb z ulomki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 5. Reševanje linearnih neenačb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 6. Izražanje neznane količine iz enačbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 7. Razcepne enačbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 8. Enačba s parametri in obravnava enačbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 9. Algebrske enačbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 Ali si že mojster? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

Mojster preveri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

kn

jig

ar n

SSIO 9 SDZ_1_zvezek.indd 3

12/09/2018 12:41

Dragi učenci in učitelji, pred vami je samostojni delovni zvezek, ki je učbenik in delovni zvezek v enem.

Vsako poglavje vsebuje tematsko zaokrožena podpoglavja z izbranimi nalogami in najpomembnejšimi ugotovitvami. Pod naslovom Z mojstrom do znanja so v obliki vprašanj napovedani učni cilji. Na začetku vsakega podpoglavja je motivacijska naloga, ki pomaga obnoviti predznanje ali vodi k razmišljanju.

a. co m

Razdelek Mojster reši predstavlja rešene zglede, ki odkrivajo vsebino teme posameznega podpoglavja.

V razdelku Vaja dela mojstra se prepletajo naloge iz vsakdanjega življenja in so različnih težavnostih stopenj. Namenjene so učinkovitemu utrjevanju ter ponavljanju snovi v razredu in doma.

Usvojeno znanje tematskega sklopa lahko vsakdo preveri v razdelku Ali si že mojster?

V razdelku Mojster preveri so rešitve, ki omogočajo povratno informacijo o pravilnosti reševanja. Nahaja se na koncu vsakega zvezka.

ar n

Gradivo vsebuje povzetke v obliki definicij, pravil in usmeritev za uspešno delo.

V belih oblačkih so napisane pomembne zakonitosti, pravila in ugotovitve.

jig

V obarvanih oblačkih so napisani dogovori, namigi, opozorila in nasveti za lažje delo.

V želji, da bi vsi, učenci in učitelji, z veseljem uporabljali samostojni delovni zvezek ter da bi vsi skupaj spoznavali vpetost matematike v življenje, da bi v matematičnem jeziku reševali probleme, ki jih srečujemo v svojem vsakdanjiku, in pri tem čim bolj napredovali, vas pozdravljamo.

kn

Avtorice

SSIO 9 SDZ_1_zvezek.indd 4

12/09/2018 12:41

a. co m

1

kn

jig

ar n

IZRAZI

SSIO 9 SDZ_1_zvezek.indd 5

12/09/2018 12:41

1. Ponovitev

a. co m

Ponovil boš: - osnovne računske operacije z racionalnimi števili, - računanje vrednosti številskih izrazov z racionalnimi števili z oklepaji in brez njih, - prepoznavanje členov in faktorjev v izrazih, - seštevanje in odštevanje veččlenikov, - množenje veččlenika z enočlenikom, - izpostavljanje skupnega faktorja, - poenostavljanje izrazov s spremenljivkami, - računanje vrednosti izrazov za dane vrednosti spremenljivk.

Spremenljivka je spremenljiva količina, ki nima točno določene vrednosti. Označimo jo s črko. Spremenljivka nadomešča poljubno število.

Izrazi s spremenljivko so izrazi, ki poleg števil vsebujejo tudi črkovne oznake.

ar n

Izraz s spremenljivko poimenujemo po rezultatu operacije, ki nastopa v izrazu, če je ena sama, ali po rezultatu operacije, ki jo opravimo nazadnje, če je operacij več.

Poimenovanje

Izraz

Poimenovanje

a+4

vsota

2a+b

vsota

3–a

razlika

9–3a

razlika

ab

produkt

(a + 1)  5

produkt

a:4

količnik

a+3 2

količnik

a5

potenca

(a + 2)3

potenca

16a2

koren

a2 – 36

koren

jig

Izraz

kn

Po številu spremenljivk ločimo: izraz z eno spremenljivko 2  a2 + 5  a – 4 izraz z dvema spremenljivkama 2  a2 + 5  b – 4 2 izraz s tremi spremenljivkami 2  a + 5  b – c Po številu členov ločimo: 3  a2 enočlenik dvočlenik a2 + b tričlenik a2 + b – c 2 2  a + 5  b – c + 6 štiričlenik Veččlenik je izraz z več kot enim členom. a+b+c+…+x+y+z

6 | Ponovitev

SSIO 9 SDZ_1_zvezek.indd 6

12/09/2018 12:41

Enočlenike: – seštevamo oziroma odštevamo tako, da seštejemo oziroma odštejemo podobne enočlenike: 2a – 3b + 4c + 6a – 2c = 8a – 3b + 2c Podobni enočleniki imajo enako spremenljivko (ali enak produkt spremenljivk) in različne koeficiente.

a. co m

– množimo tako, da pomnožimo koeficiente posebej in spremenljivke posebej: 3a  2ab = 6a2b Produkt spremenljivk zapišemo s potenco in uredimo po abecedi.

– delimo s številom tako, da koeficient enočlenika delimo s številom, spremenljivko pa prepišemo: 15a3 : 3 = 5a3 – poenostavimo tako, da izvedemo računske operacije in odpravimo oklepaje: x – (–x + 3y) = x + x – 3y = 2x – 3y Izraz

Geometrijska ponazoritev a

3a

a

a

y

xy

Geometrijska ponazoritev

z2

z

z

c

c3

ar n

x

Izraz

c

c

jig

Mojster reši

1. Izračunaj vrednost izraza.

2 2 3 9 1 3 64 a) 2 – 1 – (–2)  1,25 – –  1 b) – –  3 3 4 15 2 25

kn

Reševanje: a)

2 2 3 2 – 1 – (–2)  1,25 – –  1 = 3 3 4

5 1 2 7 = 2 – – (–2)  1 – –  = 3 4 3 4

5 2  5  1 271 – – = = 2 – – – 3 142 342

Decimalno število zapišemo z ustreznim ulomkom, saj je v tem primeru to mogoče.

V notranjem oklepaju najprej zmnožimo ulomke. Pri tem pazimo na ustrezen predznak in pred množenjem ulomke krajšamo.

V notranjem oklepaju izračunamo produkt ulomkov in zapišemo ustrezen predznak, saj je pred oklepajem znak minus.

Ponovitev | 7

SSIO 9 SDZ_1_zvezek.indd 7

12/09/2018 12:41

7 5 5 = 2 – + + = 6 3 2

Zapišemo vsoto ulomkov v oklepaju, ter jih razširimo na skupni imenovalec.

7 10 15 = 2 – + + = 6 6 6 25 7 + = 6 6

7 25 = 2 – = 6 6 7 1 = 2 – 4 = 6 6 1 1 = 3 – 4 = 6 6 = –1 9 1 3 64 = – –  15 2 25

b)

9 1 8 – –  = 15 8 5

=

9 181 = – – 15 851

=

9 1 + = 15 5

=

12 = 15

Potenciranje in korenjenje imata prednost pred vsemi ostalimi računskimi operacijami, zato najprej potenciramo in nato korenimo.

V nadaljevanju računamo po zakonitostih, ki jih že poznamo.

jig

4 5

Izračunamo razliko ulomkov in dobimo vrednost številskega izraza.

ar n

=

Seštejemo enako predznačeni števili.

a. co m

=2–

Izračunamo vrednost v oklepaju in odpravimo oklepaj ter pri tem pazimo na ustrezen predznak.

=

2. Poenostavi izraz.

kn

a) 3x2 – 2x + (–4x2 – (–2x + 5))

b) 8c + (b + 2)  (–2) – 3  (2c – b)

Reševanje: a)

3x2 – 2x + (–4x2 – (–2x + 5)) =

Odpravimo notranji oklepaj. Ker je pred oklepajem znak minus, se predznaki znotraj oklepaja spremenijo.

= 3x2 – 2x + (–4x2 + 2x – 5) =

Odpravimo oklepaj. Ker je pred oklepajem znak plus, se predznaki znotraj oklepaja ohranijo.

= 3x2 – 2x – 4x2 + 2x – 5 =

Združimo podobne enočlenike.

= –x2 – 5 8 | Ponovitev

SSIO 9 SDZ_1_zvezek.indd 8

12/09/2018 12:41

b)

8c + (b + 2)  (–2) – 3  (2c – b) =

Vsak člen dvočlenika pomnožimo s številom.

= 8c + (–2b – 4) – (6c – 3b) =

Odpravimo oklepaje.

= 8c – 2b – 4 – 6c + 3b =

Skrčimo podobne enočlenike.

= b + 2c – 4 3. Poenostavi izraz 3 + 2x – (–5x + 4) in izračunaj njegovo vrednost za x = –2.

3 + 2x – (–5x + 4) =

Odpravimo oklepaje.

Združimo podobne enočlenike.

a. co m

= 3 + 2x + 5x – 4 = = 7x – 1

Vrednost izraza lahko izračunamo na dva načina:

1. način: vrednost spremenljivke vstavimo pred poenostavljanjem: 3 + 2  (–2) – (–5  (–2) + 4) = = 3 + (–4) – (10 + 4) = = 3 – 4 – 14 = = –15

2. način: vrednost spremenljivke vstavimo po poenostavljanju:

ar n

7  (–2) – 1 = = –14 – 1 = = –15

jig

V večini primerov je preprosteje, če vstavimo vrednost spremenljivke v poenostavljeni izraz.

Vaja dela mojstra

kn

1. Izračunaj.

a) (–3) + (–9) =

č) –8 + 6 =

b) (–4) + (+7) =

d) –6 + 11 =

c) (–8) + (+5) = e) –11 + (–9) =

2. Na označeno mesto vstavi tako celo število, da bo zapisana enakost pravilna. a) (–5) + č)

= –2 + (–7) = 1

b) d) –8 +

+ 6 = –3

c) 7 +

= –4

= 5

e) 6 +

=9

Ponovitev | 9

SSIO 9 SDZ_1_zvezek.indd 9

12/09/2018 12:41

3. Izračunaj.

1 9 b) – + = 6 10

c)

5 3 + – = 6 4

5 7 č) – + = 8 10

d)

1 1 + – = 6 9

3 + (–2,5) = 5

3 b) 1,75 + –2 = 7

jig

a)

2 5 e) – + – = 3 6

ar n

4. Izračunaj.

a. co m

3 3 a) 1 + – = 10 10

1 c) –2,4 + 3 = 3

kn

č) –2,3 + 3,1 =

5. Zapiši razliko kot vsoto in jo izračunaj. a) 54 – 36 =

b) 44 – 53 =

c) 44 – 19 =

č) –15 – 72 =

10 | Ponovitev

SSIO 9 SDZ_1_zvezek.indd 10

12/09/2018 12:41

d) 45 – (–17) =

e) –55 – (–28) =

6. Izračunaj razliko. a) 15 – 9 = č) –12 – 0 =

b) 16 – 23 =

c) –7 – 5 =

d) 12 – 14 =

e) –12 – 13 =

7. Izračunaj.

9 3 – + = 10 5

jig

8. Izračunaj.

kn

3 2 a) 0,5 – – – = 4 3

c)

2 5 č) 1 – 2 = 9 6

ar n

c) – 1

3 2 b) 1 – – 1 = 4 3

a. co m

3 2 a) – 1 – – 1 = 4 3

1 1 7 – – – = 4 9 36

3 b) –1,2 – (–2,89) – 1 = 4

č) 0,25 –

3 1 – – = 5 3

Ponovitev | 11

SSIO 9 SDZ_1_zvezek.indd 11

12/09/2018 12:41

9. Izračunaj vrednost izraza. b) (3 + 4 – 9) – (–5 + 6 – 2) =

a. co m

a) (–8 + 6 + 3) + (2 + 5 – 8) =

c) (2 – (6 + 1)) – (–10 – 6 + 3) =

ar n

d) 3 + (5 – (9 + (7 – 3))) =

č) 17 – (9 + (5 – 8)) =

10. Dana so števila –8, 5 in –11.

kn

jig

a) Zapiši vse možne razlike dveh različnih števil. b) Kolikšna je največja in kolikšna najmanjša vrednost dobljenih razlik?

Odg.: b)

11. Zapiši izraz a – b za dane vrednosti spremenljivk in izračunaj njegovo vrednost. a) a = –4, b = –5

b) a = 3, b = 7

12 | Ponovitev

SSIO 9 SDZ_1_zvezek.indd 12

12/09/2018 12:41