a. co m ar n
Tanja Končan, Vilma Moderc in Rozalija Strojan
kn
jig
Skrivnosti števil in oblik
8
SSIO 8 SDZ_1_zvezek.indd 1
05/09/2018 10:51
Tanja Končan, Vilma Moderc in Rozalija Strojan
Skrivnosti števil in oblik 8 Samostojni delovni zvezek za matematiko v 8. razredu osnovne šole − 1. del Urednik: Pavle Šijanec Recenzija: Tone Rozman, Barbara Rednak Robič Jezikovni pregled: Katja Paladin Ilustrator: Iztok Sitar Tehnične risbe: Jurko Končan
a. co m
Strokovni pregled: Pika Klopčar
Fotografije: str. 6 (©Shutterstock/OlegDoroshin), str 19 (©Shutterstock/Olinchuk), str 26 (©Shutterstock/Pincarel) Direktor produkcije: Klemen Fedran
Izdala in založila: Založba Rokus Klett, d. o. o. Za založbo: Maruša Dejak Oblikovanje: Jasna Karnar
Oblikovanje naslovnice: Grega Inkret
ar n
Prelom: Goran Karim Tisk: Bulvest Print AD 1. izdaja: 5. ponatis
Naklada: 3.000 izvodov
jig
Ljubljana 2021
Vse knjige in dodatna gradiva Založbe Rokus Klett dobite tudi na naslovu www.knjigarna.com.
kn
© Založba Rokus Klett, d. o. o. (2016). Vse pravice pridržane. Brez pisnega dovoljenja založnika so prepovedani reproduciranje, distribuiranje, javna priobčitev, predelava ali druga uporaba avtorskega dela ali njegovih delov v kakršnem koli obsegu in postopku, kot tudi fotokopiranje, tiskanje ali shranitev v elektronski obliki. Tako ravnanje pomeni, razen v primerih od 46. do 57. člena Zakona o avtorski in sorodnih pravicah, kršitev avtorske pravice.
Založba Rokus Klett, d. o. o. Stegne 9 b, 1000 Ljubljana telefon: 01 513 46 00 e-naslov: rokus@rokus-klett.si www.rokus-klett.si
CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 51(075.2)(076.2) KONČAN, Tanja Skrivnosti števil in oblik 8. [Samostojni delovni zvezek za matematiko v 8. razredu osnovne šole] / Tanja Končan, Vilma Moderc in Rozalija Strojan ; [ilustrator Iztok Sitar]. 1. izd., 5. ponatis. - Ljubljana : Rokus Klett, 2021 ISBN 978-961-271-639-4 (komplet) 1. Moderc, Vilma 2. Strojan, Rozalija COBISS.SI-ID 37607683
SSIO 8 SDZ_1_zvezek.indd 2
18/01/2021 10:39
KAZALO 1 ŠTEVILSKE MNOŽICE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1. Množica celih števil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2. Uporaba celih števil pri računanju sprememb količin . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3. Množica racionalnih števil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 4. Primerjanje in urejanje racionalnih števil po velikosti . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 5. Nasprotna vrednost racionalnega števila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 6. Absolutna vrednost racionalnega števila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Ali si že mojster? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
a. co m
2 RAČUNSKE OPERACIJE Z RACIONALNIMI ŠTEVILI . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1. Seštevanje celih števil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2. Odštevanje celih števil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3. Prištevanje in odštevanje vsote ali razlike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 4. Seštevanje in odštevanje racionalnih števil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 5. Številski izraz s seštevanjem in odštevanjem racionalnih števil . . . . . . . . . . . 79 Ali si že mojster? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 6. Množenje celih števil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 7. Množenje racionalnih števil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 8. Deljenje celih števil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .101 9. Deljenje racionalnih števil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 10. Izrazi s celimi števili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .111 11. Izrazi z racionalnimi števili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 Ali si že mojster? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .125
Mojster preveri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
kn
jig
ar n
SSIO 8 SDZ_1_zvezek.indd 3
05/09/2018 10:51
Dragi učenci in učitelji, pred vami je samostojni delovni zvezek, ki je učbenik in delovni zvezek v enem. Vsako poglavje vsebuje tematsko zaokrožena podpoglavja z izbranimi nalogami in najpomembnejšimi ugotovitvami. Pod naslovom Z mojstrom do znanja so v obliki vprašanj napovedani učni cilji. Na začetku vsakega podpoglavja je motivacijska naloga, ki pomaga obnoviti predznanje ali vodi k razmišljanju.
a. co m
Razdelek Mojster reši predstavlja rešene zglede, ki odkrivajo vsebino teme posameznega podpoglavja.
V razdelku Vaja dela mojstra se prepletajo naloge iz vsakdanjega življenja in so različnih težavnostih stopenj. Namenjene so učinkovitemu utrjevanju ter ponavljanju snovi v razredu in doma. Usvojeno znanje tematskega sklopa lahko vsakdo preveri v razdelku Ali si že mojster? V razdelku Mojster preveri so rešitve, ki omogočajo povratno informacijo o pravilnosti reševanja. Nahaja se na koncu vsakega zvezka.
ar n
Gradivo vsebuje povzetke v obliki definicij, pravil in usmeritev za uspešno delo.
V belih oblačkih so napisane pomembne zakonitosti, pravila in ugotovitve.
jig
V obarvanih oblačkih so napisani dogovori, namigi, opozorila in nasveti za lažje delo. V želji, da bi vsi, učenci in učitelji, z veseljem uporabljali samostojni delovni zvezek ter da bi vsi skupaj spoznavali vpetost matematike v življenje, da bi v matematičnem jeziku reševali probleme, ki jih srečujemo v svojem vsakdanjiku, in pri tem čim bolj napredovali, vas pozdravljamo.
kn
Avtorice
SSIO 8 SDZ_1_zvezek.indd 4
05/09/2018 10:51
a. co m
1
kn
jig
ar n
ŠTEVILSKE MNOŽICE
SSIO 8 SDZ_1_zvezek.indd 5
05/09/2018 10:51
1. Množica celih števil
a. co m
Z mojstrom do znanja: − kaj so cela števila, − kako se imenuje množica števil, ki vsebuje tudi negativna cela števila, − kako v vsakdanjem življenju uporabiš zapis negativnih števil, − kako upodobiš cela števila na številski premici.
Ana in Luka sta izmerila temperaturo zraka pred šolo. Termometer je pokazal 2 °C pod ničlo. Na hodniku pa sta namerila 18 °C nad ničlo. Kako sta zapisala izmerjeni temperaturi? –2 °C
Kadar so temperature nižje od nič, jih zapišemo z negativnimi števili. Negativno celo število zapišemo tako, da pred zapis s številko zapišemo znak minus (–). V našem primeru to preberemo »minus dve stopinji Celzija«.
18 °C nad ničlo
+18 °C
Kadar so temperature višje od nič, jih zapišemo s pozitivnimi števili. Temperaturo preberemo »plus osemnajst stopinj Celzija« oziroma »osemnajst stopinj Celzija«.
ar n
2 °C pod ničlo
Znak plus pred pozitivnim številom zapišemo le, če želimo posebej poudariti, da gre za pozitivno število, sicer znaka plus ne pišemo.
jig
Znaku minus ali plus pred številom rečemo predznak števila. Pravimo tudi, da sta števili različno predznačeni. Luka in Ana sta zapisala temperaturi –2 °C in +18 °C.
kn
Mojster reši
1. Predstavi, kako množico naravnih števil razširiš v množico celih števil.
V množici naravnih števil ne moremo odšteti dveh naravnih števil, če je odštevanec večji od zmanjševanca, npr. 8 – 12. Zato potrebujemo množico, ki bo vsebovala tudi negativna števila.
Negativna števila tudi sicer potrebujemo v vsakdanjem življenju, npr. za opis negativnega stanja na bančnem računu, za opis temperatur v mrzlih dneh pozimi, za označevanje ozemlja, ki leži nižje od morske gladine, globine morij itd.
6 | Množica celih števil
SSIO 8 SDZ_1_zvezek.indd 6
05/09/2018 10:51
Če na številski premici slike naravnih števil prezrcalimo čez točko nič, dobimo slike negativnih celih števil. S tem smo množico naravnih števil razširili v množico celih števil . Množica pozitivnih celih števil je enaka množici naravnih števil. + =
Številska premica
a. co m
2. Ponazori, kako množico celih števil predstaviš na številski premici in kako z Vennovim diagramom.
–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 negativna cela števila
1
2
število nič
3
4
5
6
7
8
9
pozitivna cela števila
Številska premica je premica, na kateri so upodobljena števila. S puščico označimo smer naraščanja števil. Točka, v kateri je upodobljeno število nič, je izhodišče številske premice. Enota je določena z razdaljo od izhodišča 0 do slike števila 1. Množica celih števil
Vennov diagram
ar n
0
Množica negativnih celih števil
jig
kn
–5
Množica pozitivnih celih števil
–
–1
–6
–2
–4
+1 +2
–3
+4 +3
+6 0
+ = +5
{0}
Množica, ki vsebuje število nič
Vennov diagram množice grafično prikazuje elemente množice.
Množico celih števil sestavljajo: množica negativnih celih števil –, množica pozitivnih celih števil +, množica, ki vsebuje število nič {0}.
= {… –2, –1, 0, 1, 2 …} – = {–1, –2, –3 …} + = {1, 2, 3 …} Množica celih števil | 7
SSIO 8 SDZ_1_zvezek.indd 7
03/01/2019 07:37
Množico celih števil zapišemo kot unijo vseh treh množic. = – {0} +
Število nič ni niti pozitivno niti negativno število.
a. co m
Unija množic je množica, ki vsebuje tista števila, ki so vsaj v eni od množic. Simbol za unijo je . 3. Na številski premici prikaži točke, ki so slike celih števil: –2, –4, 0, +1, +3 in +4.
Množico naravnih števil lahko prikažemo že na številskem poltraku. Za upodobitev množice celih števil pa potrebujemo številsko premico.
Na številski premici najprej ponazorimo sliko števila 0 in izberemo enoto. Levo od točke nič ležijo negativna cela števila, ki sestavljajo množico –. Desno od točke nič ležijo pozitivna cela števila, ki tvorijo množico +.
–2
0
+1
+3
+4
ar n
–4
Vaja dela mojstra
jig
1. Odčitaj in zapiši temperaturo na termometru. a) °C 50 40 30 20 10 0 –10 –20 –30
b) °C
50 40 30 20 10 0 –10 –20 –30
kn
T=
c)
T=
°C 50 40 30 20 10 0 –10 –20 –30
T=
8 | Množica celih števil
SSIO 8 SDZ_1_zvezek.indd 8
05/09/2018 10:51
2. S predznakom plus oziroma minus zapiši naslednje količine: metri 30
a) 27 °C nad lediščem vode
25
b) 250 € prihrankov
20 15
c) 100 € dolga
10 5
č) 2 m pod vodno gladino
e) 15 °C pod lediščem vode
a. co m
d) 667 m nad gladino morja
0 –5
–10 –15 –20
3. V preglednici so podane globine nekaterih jam v Sloveniji.
Ime jame
Globina jame od površja
Postojnska jama
115 m
Škocjanske jame
223 m
Zapis globine s predznakom
0m
–28 m
Križna jama
32 m
Planinska jama
65 m
Snežna jama
75 m
b) K atera od naštetih jam je najgloblja?
jig
a) Globine jam zapiši z ustreznim predznakom.
ar n
Odg.:
c) Za koliko se razlikujeta globini jam z največjo in z najmanjšo globino?
kn
Odg.:
4. Mrtvo morje je posebno po nivoju svoje gladine, ki sega 397 m pod morsko gladino. Z ustreznim predznakom in številom zapiši nadmorsko višino njegove gladine.
Množica celih števil | 9
SSIO 8 SDZ_1_zvezek.indd 9
05/09/2018 10:51
5. V preglednici so zapisane letnice rojstev znanih matematikov in fizikov. Zapiši letnice rojstva s predznakom + ali –, če začetek našega štetja označimo z 0. Letnica rojstva
Arhimed
287 pr. n. št.
Euler
1707
Pitagora
582 pr. n. št.
Galilej
1564
Newton
1642
Zapis letnice s predznakom
a. co m
Ime
6. Na grafu so prikazane vrednosti temperatur v enem dnevu.
a) Odčitaj podatke z grafa in jih zapiši v preglednico.
4.00
8.00
jig
6 5 4 3 2 1 0 –1 –2 –3 –4 –5 –6 0.00
Čas Temperatura merjenja (°C) 0.00 4.00 8.00 12.00 16.00 20.00 24.00
ar n
Temperatura (ºC)
12.00
16.00
20.00
24.00 Čas (ure)
b) Z apiši najvišjo in najnižjo temperaturo, prikazano na grafu. Najvišja temperatura:
kn
Najnižja temperatura:
c) Kolikšna je razlika med najvišjo in najnižjo temperaturo, prikazano v tem grafu? Odg.:
7. Zapiši števila, ki so predstavljena s puščicami na številski premici. A( ) B( A
B
0
1
C
Č
C(
) Č(
) )
10 | Množica celih števil
SSIO 8 SDZ_1_zvezek.indd 10
05/09/2018 10:51
8. Ponazori števila 2, –6, –5, 8 in –3 na številski premici.
0
1
9. Na številski premici označi točke, ki ponazarjajo slike števil: a) –2, –1, 1
b) –4, –2, 2, 4
c) –6, 6
č) 5, –5, 3, –3
0
10. Zapiši, kjer je mogoče:
1
a. co m
0
1
0
1
0
1
a) najmanjše pozitivno celo število:
b) najmanjše celo število:
c) cela števila med –2 in +2:
č) največje negativno celo število:
d) pozitivna cela števila, večja od –4 in manjša od 4:
ar n
11. Zapiši vsa cela števila med: a) 1 in 4
b) –1 in 1
jig
č) –270 in –269
kn
c) 0 in 5
d) –4 in +6
e) –7 in 0
12. Zapiši vsa naravna števila, ki na številski premici ležijo med:
a) –8 in +8
b) –1 in 4
c) –6 in +2
Množica celih števil | 11
SSIO 8 SDZ_1_zvezek.indd 11
05/09/2018 10:51
13. Obkroži število, ki je na številski premici bliže sliki števila nič.
a) –2 ali 3
b) 2 ali –3
c) –2 ali –3
č) 2 ali 3
14. Obkroži črke pred pravilnimi izjavami.
a) 5 +
b) –6
c) 0
č) –6 –
d) 5 – 3 –
e) –6
a. co m
Znak pomeni »je element množice« ali »pripada množici«. Znak pomeni »ni element množice« ali »ne pripada množici«.
15. Zapiši p, če je izjava pravilna, in n, če je izjava nepravilna. a) Vsa cela števila so hkrati tudi naravna števila.
b) Vsako naravno število je tudi celo število.
c) Množica negativnih celih števil je podmnožica množice celih števil.
č) Množica pozitivnih celih števil je podmnožica množice naravnih števil.
ar n
Znak za podmnožico je . Vsak element iz podmnožice je tudi element dane množice.
jig
16. Zapiši:
a) množico s tremi elementi, ki je podmnožica množice :
b) množico s tremi elementi, ki je podmnožica množice –:
kn
17. Zapiši trditve z matematičnimi simboli.
a) Množica negativnih celih števil je podmnožica celih števil.
b) Množica naravnih števil je podmnožica celih števil.
c) Število –3 pripada množici negativnih celih števil.
č) Število 0 ni element množice pozitivnih celih števil.
12 | Množica celih števil
SSIO 8 SDZ_1_zvezek.indd 12
05/09/2018 10:51
Znaka in določata odnos med elementom in množico. Znaki , in določajo odnose med množicami.
a. co m
Množica celih števil nastane z razširitvijo množice naravnih števil , zato je .
Unija množic in je množica elementov, ki pripadajo množici ali množici .
Presek množic in je množica elementov, ki hkrati pripadajo obema množicama.
ar n
je podmnožica , če je vsak element množice tudi element množice .
18. Z znakom »je podmnožica« zapiši vse odnose med množicami , +, – in .
19. Na označeno mesto vstavi znak , ali tako, da bo izjava pravilna. a) –5
jig
č) –
b) –
6 2
d) {–3, 0, 2}
– c) +
1 e) 3 2
20. Obkroži črki pred enačbama, katerih rešitev je pozitivno celo število. a) x – 8 = 5
kn
č) 4 – x = 3
b) 3 + x = 0
c) 3 – x = 4
d) 5 + x = 2
e) x = 0
21. Katera odštevanja so izvedljiva v množici naravnih števil?
a) 5 – 4
b) 16 – 16
c) 39 – 27
č) 0 – 7
d) 19 – 20
e) 25 – 16
Odg.:
Množica celih števil | 13
SSIO 8 SDZ_1_zvezek.indd 13
05/09/2018 10:51