Tanja Končan, Vilma Moderc in Rozalija Strojan
9
Skrivnosti števil in oblik swis721 knjigarna.com CMYK 10/100/90/0 SSIO 9 ZN 1 del 1 POGLAVJE 2014 notranjost.indd 1
7/9/14 1:08 PM
Tanja KonËan, Vilma Moderc in Rozalija Strojan
Skrivnosti števil in oblik 9
Zbirka nalog za 9. razred osnovne šole − 1. del Recenzent in konzulent pri 1. izdaji: dr. Zlatan Magajna Drugi recenzenti pri 1. izdaji: Magda Albreht, Nataša Centa, Ema Maver, Cvetka Tajnšek in Magda Tanko Jezikovni pregled: Katja Paladin Ilustracije: Iztok Sitar
Vse knjige in dodatna gradiva Zaloæbe Rokus Klett dobite tudi na naslovu www.knjigarna.com.
© Zaloæba Rokus Klett, d. o. o. (2005). Vse pravice pridræane. Brez pisnega dovoljenja zaloænika so prepovedani reproduciranje, distribuiranje, javna priobËitev, predelava ali druga uporaba tega avtorskega dela ali njegovih delov v kakršnem koli obsegu ali postopku, tudi fotokopiranje, tiskanje ali shranitev v elektronski obliki. Tako ravnanje pomeni, razen v primerih od 46. do 57. Ëlena Zakona o avtorski in sorodnih pravicah, kršitev avtorske pravice.
CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana
knjigarna.com swis721
51(075.2)(076.2)
Zaloæba Rokus Klett, d. o. o. Stegne 9 b, 1000 Ljubljana telefon: (01) 513 46 00 telefaks: (01) 513 46 99 e-pošta: rokus@rokus-klett.si www.rokus-klett.si
SSIO 9 ZN 1 del 1 POGLAVJE 2014 notranjost.indd 2
KON»AN, Tanja Skrivnosti števil in oblik 9. Zbirka nalog za matematiko v 9. razredu osnovne šole / Tanja KonËan, Vilma Moderc in Rozalija Strojan ; [ilustracije Iztok Sitar]. - 2. izd. - Ljubljana : Rokus Klett, 2014
CMYK 10/100/90/0
ISBN 978-961-271-481-9 1. Moderc, Vilma 2. Strojan, Rozalija 274549760
7/9/14 1:08 PM
PREDGOVOR Uvedba devetletne osnovne šole je s poučevanjem na različnih ravneh zahtevnosti, z novimi vsebinami in aktivnostmi postavila učitelja, učenca in starše pred nove izzive. Tem novostim v celoti sledi pričujoča zbirka, saj ponuja zelo različne vrste nalog, ki so po zahtevnosti razdeljene na tri ravni. S tem smo poskrbeli, da je učenec ves čas uspešen in motiviran za delo, saj se spopada z raznovrstnimi in svojim sposobnostim primernimi nalogami. Zbirka nalog je zelo pregledno zasnovana, saj je razdeljena na jasno ločena poglavja, ki se začenjajo s skupnimi zgledi na sivo obarvanih straneh. Ti omogočajo hitro seznanjanje z najpomembnejšimi pravili in postopki, potrebnimi za uspešno reševanje nalog.
ZGLEDI
A VAJE
A VPRAØANJA
A PARI
A KOLIKO ZNAM?
A REØITVE
B VAJE
B VPRAØANJA
B PARI
B KOLIKO ZNAM?
B REØITVE
C PARI
C KOLIKO ZNAM?
C REØITVE
C VAJE
KRIÆEM PO – ØTEVILIH – OBLIKAH Z REØITVAMI
Tri težavnostne ravni (A, B in C), ki sledijo zgledom, zlahka prepoznamo po različnih barvnih kombinacijah. Učencu priporočamo, da si pri delu izbere svojemu znanju in sposobnostim primerno raven zahtevnosti − še najbolje je, da je ta v skladu s težavnostno skupino, v katero je uvrščen v šoli. Na začetku vsake ravni so računske naloge. Z njimi učenec gradi in utrjuje svoje znanje. Nalogam sledijo vprašanja, s katerimi preveri razumevanje snovi. V nadaljevanju se učenec sreča tudi s pari, pri katerih na igriv način prepozna in utrdi osnovne pojme in predstave. Spopadanje z naštetimi tipi nalog se konča s kratkim preverjanjem Koliko znam, ki je namenjeno povratni informaciji in usmeritvi za nadaljnje delo. Da pa lahko učenec preveri svoje delo, so vsaki ravni na koncu dodane rešitve. Bolj poglobljenemu ponavljanju in utrjevanju so namenjene dodatne naloge, zbrane v razdelku Križem po številih/ oblikah, ki ga najdemo na koncu nekaterih poglavij. Zbirko vaj, ki je pred vami, smo napisale v upanju, da bo v pomoč slehernemu učencu pri učenju matematike in staršem, ko bodo pomagali svojemu otroku. Učitelji jo bomo lahko uporabljali pri poučevanju, saj je v obeh delih zbirke skupaj več kot 2000 nalog.
knjigarna.com swis721
Zahvaljujemo se vsem, ki so kakorkoli pomagali pri nastajanju zbirke. Zlasti se zahvaljujemo svojim družinam, ki so nas podpirale in nam stale ob strani, predvsem Juretu za pomoč pri delu z računalnikom.
CMYK 10/100/90/0 SSIO 9 ZN 1 del 1 POGLAVJE 2014 notranjost.indd 3
7/9/14 1:08 PM
VSEBINA Ponovitev
5 6 9 12
Raven A (vaje 6, rešitve 16) Raven B (vaje 9, rešitve 16) Raven C (vaje 12, rešitve 17)
1. Izrazi Zgledi Raven A (vaje 26, vprašanja 29, pari 30, koliko znam? 31, rešitve 32) Raven B (vaje 34, vprašanja 38, pari 39, koliko znam? 40, rešitve 41) Raven C (vaje 43, pari 46, koliko znam? 48, rešitve 49)
2. Enačbe
19 20 26 34 43
Zgledi Raven A (vaje 65, vprašanja 70, pari 71, koliko znam? 73, rešitve 74) Raven B (vaje 77, vprašanja 84, pari 85, koliko znam? 86, rešitve 87) Raven C (vaje 90, pari 96, koliko znam? 97, rešitve 98) Križem po številih
51 52 65 77 90 101
3. Algebrski ulomki (zgledi 106, vaje 111, rešitve 115)
105
4. Sorazmerje in podobnost
117 118 133 149 165
Zgledi Raven A (vaje 133, vprašanja 139, pari 141, koliko znam? 143, rešitve 144) Raven B (vaje 149, vprašanja 154, pari 156, koliko znam? 159, rešitve 160) Raven C (vaje 165, pari 170, koliko znam? 173, rešitve 174)
5. Linearna funkcija Zgledi Raven A (vaje 193, vprašanja 196, pari 197, koliko znam? 199, rešitve 200) Raven B (vaje 205, vprašanja 209, pari 211, koliko znam? 214, rešitve 215) Raven C (vaje 221, pari 226, koliko znam? 228, rešitve 229) Križem po številih
179 180 193 205 221 236
6. Sistem linearnih enačb (zgledi 246, vaje 248, rešitve 249)
245
knjigarna.com swis721 CMYK 10/100/90/0
SSIO 9 ZN 1 del 1 POGLAVJE 2014 notranjost.indd 4
7/9/14 1:08 PM
PONOVITEV
knjigarna.com swis721 CMYK 10/100/90/0 SSIO 9 ZN 1 del 1 POGLAVJE 2014 notranjost.indd 5
7/9/14 1:08 PM
6
A-VAJE PONOVITEV 1. Izračunaj vsoto. a) (−3) + (−9) b) (−4) + (+7) č) −8 + 6 d) −6 + 11
c) (−8) + (+5) e) −11 + (−9)
2. Izračunaj razliko. b) 16 − 23 a) 15 − 9 č) −12 − 0 d) 12 − 14
c) −7 − 5 e) −12 − 13
3. Katero celo število lahko nadomesti črko v zapisanih enakostih? b) b + (−2) = −2 a) (−3) + a = −6 c) c + 3 = 1 č) č + 4 = −1 d) (−3) + d = 4 e) e + (−5) = 3 4. Zapiši razliko v obliki vsote in izračunaj. b) −2 − (−3) c) 6 − (−5) a) 4 − 7 č) −3 − (+5) d) −2 − 6 e) 8 − 5 5. Na označeno mesto vstavi tako celo število, da bo zapisana enakost pravilna. a) (−5) + = −2 b) + 6 = −3 c) 7 +
= −4
d) −8 +
= 5
č)
+ (−7) = 1
e) 6 +
=9
6. Kolikšna je sprememba temperature med zapisanima vrednostma? a) T1 = 8 °C; T2 = 10 °C b) T1 = −2 °C; T2 = −4 °C c) T1 = 12 °C; T2 = 7 °C č) T1 = 5 °C; T2 = −2 °C 7. Izračunaj produkt. b) (+2) · (−8) a) (−3) · (+5) č) (+12) · (−3) d) (+5) · 0
c) (−8) · (−7) e) (−9) · (−1)
b
2 −1 −3
c
10. Na označeno mesto vstavi tako vrednost, da bo zapisana izjava pravilna. a) · (+3) = −12 b) −3 · = +12 c) −3 · d)
= −24
č)
· 7 = −7
a∙b
(a ∙ b) ∙ c
3
4 −2
−2 −3 −4
SSIO 9 ZN 1 del 1 POGLAVJE 2014 notranjost.indd 6
b∙c
a ∙ (b ∙ c)
· (−1) = 5
e) −8 ·
11. Izračunaj vrednost količnika. a) 24 : (−6) b) (−24) : (−4) č) 0 : (−5) d) (+14) : (+2) 12. Katere izmed zapisanih a) −2 · (−5) > −5 c) −7 · (+2) > 0 d) 3 · (−2) = −6
=8 c) (−28) : (−1) e) (−15) : (−3)
izjav so pravilne? b) −4 · (−3) = +12 č) (−2) · (−5) < 0 e) −2 · (−4) = 2 · 4
13. Izračunaj vrednost izraza. a) (5 − 8) − (3 + 8) + (2 − 3) b) (−5 + 6 − 1) + (−10 − 6 + 4) c) (3 − 4 + 5) − (3 − 7 + 6) č) (2 + 2) · (−2 + 4) d) (13 − 5) : (−5 + 13) 14. Reši enačbo. a) 2 + a = 6 č) č + 8 = 5
b) 11 + b = 14 d) 14 + d = 6
c) 3 + c = −2 e) e + 15 = 4
15. Izračunaj. a) − 1 + 3 2 2 č) − 3 + 3 5 10
b) − 7 + 4 9 9 d) − 3 + 1 7 2
c) − 2 + − 7 9 9 e) − 1 + − 2 4 3
knjigarna.com swis721
8. Izpolni razpredelnico in zapiši svoja opažanja. a
9. Izračunaj vrednost izraza −3 · a + 2 za a) a = 5 b) a = −2 c) a = 0
16. Izračunaj. a) −1 3 + 7 8 12 1 c) 3 + −2 5 4 8
CMYK 10/100/90/0
( )
( ) ( )
b) − 1 + 1 5 4 6 1 č) −3 + −1 5 6 12
(
) 7/9/14 1:08 PM
A-VAJE PONOVITEV 17. Izračunaj. a) 3 + (−1,5) 4
( )
b) 1,6 + −1 1 2
( )
c) −0,5 + −1 2 3 18. Izračunaj. a) − 2 − −1 2 5 5 2 3 c) − + 3 4
č) −1,4 + 0,2
( ) ( )
( ) ( )
b) −3,3 =
+ 5,7
c) −5,5 +
= 1,7 + 1,6
č) −1,8 + 1,42 − 0,12 = 21. Zmnoži. a) − 2 · 0,3 3 2 c) − · (−0,75) 7
b) 1 1 − (−2,5) 2 č) −0,4 − −1 1 6
26. Dani so izrazi a − 5, −a + 2, 3a − 1 in 2a2 + 1. Kateri izraz ima največjo in kateri najmanjšo vrednost, če za spremenljivko a vstaviš 2?
( )
27. Danim enočlenikom določi koeficiente. a) a3 b) −ab c) − 2a č) 2a · (−5) 5 28. Poenostavi izraz. a) x + x + x + x + x b) ax + ax + ax c) −a − a č) 3a − 5a + a d) −1,5b + 2b + 0,3b e) 3 b − 5 b 4 6
−1
( ) ( )
b) 0,8 · −1 1 2 1 č) 0 · −1 4
22. Deli. a) − 1 : − 2 2 3
( )
29. Odpravi oklepaje in poenostavi izraz. a) a + (2a − 3) b) 2x − (3x + 5) c) 2a + 3b − (−a + b) č) 4x − 5y + (−3x + 4y) 30. Zmnoži. a) 2a · 5b
b) 2 : (−0,4) 3 č) 0,25 : − 1 2
( )
c) −0,2 : (−0,05)
b) −3x · 4x2 c) −5a · (−2a) 1 1 xy · x2 č) 8a · (−1) d) −2ab · e) 2 2 31. Odpravi oklepaje. a) 2(3a − 2b) b) −3a(4a + 3b) 2 c) a (a + b − 1) č) −2x(x2 + 1) d) (3 − a + b) · (−2) e) 1 (4x + 2) 2
knjigarna.com swis721
23. Izračunaj vrednost izraza. a) 1 − 1 : −2 + 1 b) − 3 + 2 : −2 + 3 2 3 4 4 3 1 2 c) − − (−0,75) · č) − : 2,5 + 3,6 4 2 3 5 2 d) −3 + 0,5 · − e) − − 2 · (−6) 6 3 3
( (
25. Izračunaj vrednost številskega izraza. a) −3 · 64 + (−2)3 − 14 b) −3 · ( 64 + (−2)3) − 14 c) −3 · 64 + ((−2)3 − 1)4 č) −3 · ( 64 + (−2))3 − 14 d) −3 · 64 + ((−2)3 − 5)3
b) − 3 − + 1 4 4 1 1 č) 2 − − 2 3
19. Izračunaj. a) − 3 − (−0,5) 4 1 c) 0,8 − 1 3 20. Dopolni. a) −3,95 + = −3,5
7
24. Izračunaj vrednost izraza. a) −4 · 3 + 18 : (−3) b) −4 · (3 + 18) : (−3) c) (−4 · 3 + 18) : (−3) č) −4 · (3 + 18 : (−3)) d) (−4 · 3 + 1) : (−3) e) −4 · ((3 + 18) : (−3))
)(
)
) ( )
SSIO 9 ZN 1 del 1 POGLAVJE 2014 notranjost.indd 7
(
)(
)
CMYK 10/100/90/0 7/9/14 1:08 PM
8
A-VAJE PONOVITEV 32. S katerim faktorjem pomnožiš a) a + 2b, da dobiš 3a + 6b? b) −x + 3y, da dobiš x2 − 3xy? c) c2d + cd2, da dobiš c3d + c2d2? 33. Poenostavi zapis. a) 3a(a + b) + 2a(a − b) b) 4(−2a + 1) − 3(5a + 4) c) x(x + 3y) − x(x − 4y) č) b(4b − 3) + 2b(1 − 3b) d) (2a + 3b)(−2) − (−5a + 7b) 34. Zmnoži. a) (a − 1)(a + 2) c) (x − 4)(y + 3) d) (a + 1)(b + 2)
b) (2a − 3)(a + 1) č) (2x − 4)(x − 3) e) (1 − y)(4 + y)
35. Poenostavi zapis. a) (x + 2)(x + 3) − 6x + 5 b) (2a + 3)(a + 3) − (a − 3) c) (x − 7)(x + 3) + (x + 7)(−3) č) (3a − 4)(a + 1) − 3(a + 1) d) 2a(a − 1) + a(5 − a) + (a − 1)(a + 2) e) (x − 1)(x + 2) − x2 36. Katere izmed zapisanih enakosti so pravilne? a) (a + 1)(a + 2) − a2 + 3 = 3a + 3 b) (a − 3)(a + 4) − (a2 − 12) = a c) (2a + 1) · (−3) + 2(3a − 1) = −5 č) (−m + 5)(2m + 1) − (m2 + m − 1) = −3m2 + 9m + 4 d) (x − 3)(x + 2) − x = x2 − 2x − 5
knjigarna.com swis721 CMYK 10/100/90/0
SSIO 9 ZN 1 del 1 POGLAVJE 2014 notranjost.indd 8
7/9/14 1:08 PM
b-VAJE PONOVITEV 1. Izračunaj vsoto. a) (−8) + (−5) + 12 c) −10 + 6 + (−12) d) 10 + (−6) + (−12)
8. Izpolni razpredelnico in zapiši svoja opažanja. b) −5 + 15 + (−9) č) 7 + (−11) + 5 e) 3 + (−4) + (−5)
2. Izračunaj razliko. a) 13 − 44 b) 28 − 17 č) 47 − 56 d) −44 − 9
c) −25 − 17 e) 23 − 45
3. Zapiši razliko v obliki vsote in izračunaj. b) 44 − 53 c) 44 − 19 a) 54 − 36 č) −15 − 72 d) 45 − (−17) e) −55 − (−28) 4. Določi razdaljo med točkama A in B na številski premici. a) A(−5); B(+3) b) A(+3); B(−10) c) A(−7); B(+7) č) A(−2); B(−9) 5. V katerem primeru je vrednost produkta −24? a) −3 · 2 · (−4) b) (−3) · (−8) · (−1) c) (−22) · (−2) · (−1) č) (−3) · 2 · 4 d) 3 · (−8) · 0 e) (+2) · (+12) · (−1) 6. Temperatura zraka je 15 °C. a) Kolikšna bo temperatura čez dve uri, če vsako uro naraste za 3 °C? b) Kolikšna bo temperatura čez dve uri, če vsako uro pade za 2 °C? c) Kolikšna je bila temperatura pred dvema urama, če vsako uro naraste za 3 °C? č) Kolikšna je bila temperatura pred dvema urama, če vsako uro pade za 2 °C?
a 1
b
c
a + b (a + b) ∙ c a ∙ c b ∙ c ac + bc
3 −2
−2 −3
5
−1 −4 −6 9. Izračunaj vrednost izraza IaI − 3 · a + 1 za a) a = 2 b) a = −2 c) a = 0 10. Izračunaj vrednost količnika. a) (+35) : (−5) b) (−36) : (−4) c) 16 : (5 − 7) č) −20 : (3 − 8) d) (−15 − 3) : (−2) e) (−3 + 15) : (−13 + 7) 11. Izračunaj vrednost izraza. a) (−8 + 6 + 3) + (2 + 5 − 8) b) (3 + 4 − 9) − (−5 + 6 − 2) c) (2 − 6 + 1) − (−10 − 6 + 3) č) 17 − (9 + (5 − 8)) d) 3 + (5 − (9 + (7 − 3))) 12. V izrazu −3 + 4 · 2 − 6 : 2 + 1 postavi oklepaje tako, da bo vrednost izraza: a) 1 b) −1 c) −11 13. Reši enačbo. a) 11 + (a + 3) = 16 c) (c + 2) + 5 = −3
b) 13 − (8 − b) = 15 č) (5 + x) + 20 = 10
14. S poskušanjem določi vrednost spremenljivke. a) 2a = −4 b) −15 = 1 3 3b c) 21 = −7 č) −25 = 1 3y −10x
knjigarna.com swis721
7. Zapiši račun in izračunaj vrednost izraza −6x + 1 za: b) x = −7 c) x = I+3I a) x = 3 č) x = I−5I d) x = 0 e) x = −0,8
15. Izračunaj. a) 1 3 + − 3 10 10 č) − 5 + 7 8 10
CMYK 10/100/90/0
SSIO 9 ZN 1 del 1 POGLAVJE 2014 notranjost.indd 9
9
( )
b) − 1 + 9 6 10 d) 1 + − 1 6 9
( )
( ) ( )
c) 5 + − 3 6 4 e) − 2 + − 5 3 6
7/9/14 1:08 PM
10
b-VAJE PONOVITEV 16. Izračunaj. a) −2 5 + 1 1 6 8 c) −243 + 113 75 25
b) − 7 + 2 5 15 6 č) −1 5 + −1 1 8 3
( )
17. Izračunaj. a) 3 + (−2,5) 5 c) −2,4 + 3 1 3
( )
b) 1,75 + −2 3 7 č) −2,3 + 3,1
18. Izračunaj. a) −1 3 − −1 2 4 3 c) −1 9 − + 3 10 5
( ) ( )
( )
b) −1,2 − (−2,89) − 1 3 4 č) 0,25 − 3 − − 1 5 3
( )
20. Na označeno mesto vstavi tako število, da bo zapisana enakost pravilna. = −1,3 a) −0,7 + 3,1 + −9,3 = 10 − 19,8
21. Zmnoži. a) −1 2 · (−2,4) 3 5 c) −1 · 1,25 7
)
( )
a) −4 · 2 1 − 0,362 + 0,642 4 b) −4 · 2 1 − ( 0,36 + 0,64)2 4
( č) −4 · (
)
2 1 − 0,36 + 0,642 4 2 1 − 0,36 + 0,64 4
)
2
d) −4 · 2 1 + ( 0,36 · 0,64)2 4
(
)
e) 4 · 2 1 · 0,36 − 0,64 4 2
25. Kateri od izrazov −a + 1, a − 3, 2a + 3, a3 − 1 in −3a2 + 2 ima največjo in kateri najmanjšo vrednost, če za spremenljivko a vstaviš − 1 ? 2
+ 10,2 = −1,3
č) 8,9 − 9,8 +
) (
( )
c) −4 ·
( ) ( )
c) −13,6 + 9,7 =
(
24. Izračunaj vrednost številskega izraza.
b) 1 3 − −1 2 4 3 č) 1 2 − 2 5 9 6
19. Izračunaj. a) 0,5 − − 3 − 2 4 3 c) 1 − 1 − − 7 4 9 36
b)
23. Izračunaj vrednost izraza. a) −1 + 3 : (−1 + 0,25) 4 b) − 3 + 2 : 1 − 1 5 4 c) 2,5 − −1 1 : (−1,25) 4 č) − 3 : (−0,8) − 0,5 · 2 : − 1 5 3 6
b) +4 2 · (−3,5) 3 č) 0,4 · −1 1 · −1 1 2 3
26. Izračunaj vrednost izraza 2a3 + 3a2 + 5 za vrednost spremenljivke a = −2.
knjigarna.com swis721
22. Deli. a) − 5 : − 4 12 11 3 1 c) : −1 16 4
( ) ( )
SSIO 9 ZN 1 del 1 POGLAVJE 2014 notranjost.indd 10
( )( ) ( )
b) −0,25 : + 1 8
č) −4,5 : (−2,5)
27. Dani so izrazi x − 1 + y, 2x − 1, 2 , 2x, x − 1 x−1 in −1. a) Izpiši enočlenike. b) Enočlenikom izpiši koeficiente. c) Izpiši dvočlenike.
CMYK 10/100/90/0 7/9/14 1:08 PM