knjigarna.com swis721 CMYK 10/100/90/0
Cist simpl mat.indd 1
9.8.2012 9:47:23
Zbirka Avantura matura Veronika Bartolj, Tone Rozman in Pavle Šijanec
Matematika na maturi – osnovna raven Zbirka nalog za pripravo na pisni del mature Urednik: Pavle Šijanec Strokovni pregled: Boštjan Bojadžiev, Hanka Lebič Jezikovni pregled: Simona Sellami
Vse knjige in dodatna gradiva Založbe Rokus Klett dobite tudi na naslovu www.knjigarna.com
© Založba Rokus Klett, d. o. o. (2012). Vse pravice pridržane. Brez pisnega dovoljenja založnika so prepovedani reproduciranje, distribuiranje, javna priobčitev, predelava in druga uporaba avtorskega dela ali njegovih delov v kakršnem koli obsegu ali postopku, kot tudi fotokopiranje, tiskanje ali shranitev v elektronski obliki. Tako ravnanje pomeni, razen v primerih od 46. do 57. člena Zakona o avtorski in sorodnih pravicah, kršitev avtorske pravice.
knjigarna.com swis721
Založba se je trudila poiskati vse lastnike avtorskih pravic. Kolikor v kakšnem primeru lastnik ni naveden oziroma je naveden napačni lastnik, bomo to z veseljem uredili in popravili.
CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana
CMYK 10/100/90/0 51(075.3)(079.1) 37.091.27:51:373.5
Založba Rokus Klett, d. o. o. Stegne 9 b, 1000 Ljubljana Telefon: (01) 513 46 00 Telefaks: (01) 531 46 99 E-pošta: rokus@rokus-klett.si www.rokus-klett.si
Cist simpl mat.indd 2
BARTOLJ, Veronika Matematika na maturi : zbirka nalog za pripravo na pisni del mature : osnovna raven / [avtorji] Veronika Bartolj, Tone Rozman in Pavle Šijanec. - 1. izd. - Ljubljana : Rokus Klett, 2012. - (Zbirka Avantura matura) ISBN 978-961-271-242-6 1. Rozman, Tone, 1960- 2. Šijanec, Pavle 262785280
9.8.2012 9:47:23
Vsebina
Množice Naravna in cela števila Racionalna števila Realna števila Kompleksna števila Osnove geometrije Metrična geometrija v ravnini Metrična geometrija v prostoru Vektorji Pravokotni koordinatni sistem v ravnini Funkcije Linearna funkcija Potenčna in korenska funkcija Kvadratna funkcija Polinomi Racionalne funkcije Stožnice Eksponentna funkcija Logaritemska funkcija Kotne funkcije Zaporedja Kombinatorika Verjetnostni račun Statistika Odvod Nedoločeni integral Določeni integral Predmaturitetni testi Rešitve
4 7 10 13 16 19 22 26 30 34 37 41 45 49 52 55 58 63 65 68 73 77 80 83 86 89 91 94 101
knjigarna.com swis721 CMYK 10/100/90/0
3
Cist simpl mat.indd 3
9.8.2012 9:47:24
Množice
FORMULE: Kartezični produkt množic ! in @:
Razlika množic ! in @:
! × @ = {(a, b); (a [ !) ` (b [ @)}
8 !
Potenčna množica množice !:
@
3! = {X; X # !} !–@=!\@ Moč končne množice ! je enaka številu elementov n množice !: Komplement množice !:
m(!) = n
8
Moč unije množic ! in @:
!
m(! ø @) = m(!) + m(@) – m(! ù @) Presek množic ! in @:
!C = 8 – ! 8
!
@
!ù@
Unija množic ! in @: 8 !
@
knjigarna.com swis721
!ø@
CMYK 10/100/90/0
4
Cist simpl mat.indd 4
9.8.2012 9:47:24
Množice
Naloge:
1. Zapišite elemente množic
7. Veronika je navdušena zbiralka prtičkov
a) ! = {n [ Z; – 4 ≤ n < 1} b) @ = {n [ N; (3|n) ` (n ≤ 15)} c) # = {n2; (n [ N) ` (n ≤ 5)}
in ima v svoji zbirki 47 raznobarvnih in 12 enobarvnih prtičkov dveh velikosti. Koliko ima majhnih raznobarvnih prtičkov, če ima skupaj 51 velikih, od tega 8 enobarvnih?
č) $ = {4n – 1; (n [ N) ` (n < 5)}
8. Na osnovni šoli 60 otrok obiskuje prvi
d) ^ = {n [ N; 2n – 3 > 5}
2. Dane so množice števil ! = {1, 4, 6, 7, 8, 9}, @ = {2, 3, 5}, # = {1, 3}. Zapišite množice ! ù @, ! ø @, @ – # tako, da naštejete vse njihove elemente.
3. Za množici ! = {x, y, z} in @ = {x, y} zapišite ! × @ in ga grafično predstavite z mrežo.
4. Dana je množica ! = {2, 4, 6}. Naštejte elemente potenčne množice množice ! in zapišite, kolikšna je moč množice ! in kolikšna je moč njene potenčne množice.
razred. Med njimi jih 40 hodi k pevskemu zboru, 25 k plesnim uricam, 5 otrok pa se teh dejavnosti ne udeležuje. Izračunajte, koliko otrok hodi k zboru in plesnim uricam.
9. V razredu je 32 dijakov. 14 od njih jih zbira razglednice, 16 znamke in 13 magnetke. 5 jih zbira razglednice in znamke, 3 znamke in magnetke ter 6 razglednice in magnetke. 2 dijaka zbirata vse troje. Koliko dijakov ne zbira ničesar, koliko dijakov zbira samo razglednice in koliko samo znamke ali magnetke?
5. Naj bo 8 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} univerzalna množica. Zapišite z naštevanjem elementov množice ! = {n [ 8; n ≤ 6}, @ = {n [ 8; 2|n}, # = {n [ 8; 1 < n ≤ 7} in določite množice ! ø @, @ ù #, # – @, !c.
} swis721 knjigarna.com
6. Dane so množice realnih števil
{
! = x; x + 1 – x = 0 , 2 5 @ = {x; 3x2 + x – 2 = 0},
# = {x; x3 – x2 – 4x + 4 = 0}.
CMYK 10/100/90/0
Zapišite množice !, @, #, ! ù (@ ø #), (@ ø #) – ! tako, da navedete vse njihove elemente.
5
Cist simpl mat.indd 5
9.8.2012 9:47:24
Mno탑ice
Moja bele탑ka:
knjigarna.com swis721 CMYK 10/100/90/0
6
Cist simpl mat.indd 6
9.8.2012 9:47:25
Naravna in cela števila
FORMULE:
Potenca z naravnim eksponentom:
a2 – b2 = (a – b)(a + b)
{
an = a · a · ... · a, n [ N n faktorjev
Razlika kvadratov:
Vsota kubov: Pravila za računanje s potencami z naravnimi eksponenti:
a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)
an · am = an + m
(an)m = a n · m (a · b)n = an · bn
Razlika kubov: a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)
Kvadrat vsote: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Kvadrat razlike: (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 Kub vsote: (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 Kub razlike: (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
knjigarna.com swis721 CMYK 10/100/90/0
7
Cist simpl mat.indd 7
9.8.2012 9:47:25
Naravna in cela števila
Naloge:
1. Poenostavite:
((– 2)3 + (– 5)2) · (– 1)3 – ((– 3)2(– 2) – (– 4)2)
7. a) Za kateri a bo osemmestno število 123a5654 deljivo s 3? b) V devetmestnem številu 23b125732 določite b tako, da bo število deljivo z 18.
2. Poenostavite:
(– 3a3b4)2 · (– 5a 4b) · (– ab 2)5
c) Določite c tako, da bo število 316c2 deljivo s 4.
3. Razstavite v Z: a) 3x2y3 + 21x5y4
8. S katerimi od števil 2, 3, 4, 5, 6, 9
b) b2 – 121
je deljivo število 11223352020?
2
c) y + 11y + 30 č) 2d 2 – 20d + 50 3
9. Če delite naravno število a z 2, dobite količnik a – 8 in ostanek 1. Določite število a.
2
d) a + 2a – 16a – 32 e) s3 + 64 f ) 2x4 – 54x
10. Pokažite, da sta naslednji trditvi pravilni:
g) c4 – c2 – 72
a) (x – 2)|(3x4 – 12x2)
4. Skrčite izraz in rezultat razstavite v Z: a) x2 (x2 – 8) – 2 (x – 3) (x + 3) – 9 b) (a + 3)3 – (a + 4)2 – 8a2 – 3a – 11
b) 15|(2104 – 2100)
11. Poiščite največji skupni delitelj in najmanjši skupni večkratnik števil 4200 in 43120.
5. Potencirajte: a) (13y5 + 2)2
12. Poiščite največji skupni delitelj in
4 2
najmanjši skupni večkratnik izrazov:
3
a) a2b3c7d, ab4c7
b) (5a3 – 2b
c) (x4 + 2x5)
)
b) x2 – 4, x2 – 4x + 4, x3 – 8
č) (4 – b3)3 d) (c3 – d 4)
4
knjigarna.com swis721
6. Petkratniku nasprotne vrednosti števila 45
prištejte dvakratnik razlike števil 230 in 145. Katero število dobite?
CMYK 10/100/90/0
8
Cist simpl mat.indd 8
9.8.2012 9:47:25
Naravna in cela števila
Moja beležka:
knjigarna.com swis721 CMYK 10/100/90/0
9
Cist simpl mat.indd 9
9.8.2012 9:47:25
Racionalna števila
FORMULE:
Množica racionalnih števil: Q = a ; (a [ Z) ` (b [ N) b
{
}
Potenca s celim eksponentom: pn = p · p · ... · p, n [ N p0 = 1, p ≠ 0 p– n = 1n , p ≠ 0, n [ N p
Pravila za računanje s potencami s celimi eksponenti: (p, q [ Q – {0} in m, n [ Z) 1. p– 1 = 1 p m n 2. p · p = pm + n 3.
( pm)n = pm · n
4. ( p · q)n = pn · qn 5. pm : pn = pm – n p n pn 6. q = qn
()
knjigarna.com swis721 CMYK 10/100/90/0
10
Cist simpl mat.indd 10
9.8.2012 9:47:25