Issuu

a. co m

ar n

MATEMATIKA V SREDNJI ŠOLI Zbirka nalog

jig

Dušan Kavka

uvodne.indd 1

27.3.2015 9:28:26

MATEMATIKA V SREDNJI ŠOLI

Avtor Dušan Kavka

a. co m

Zbirka nalog Priprava na maturo – osnovna in višja raven

Recenzenti prve izdaje Darka Hvastija, Gregor Pavlič, Nada Razpet Urednica Simona Knez

Lektorici Renata Vrčkovnik, Aleksandra Kocmut Ilustracije Darko Simeršek, Martin Zemljič Oprema in oblikovanje Andreja Globočnik Prelom Goran Čurčič

jig

ar n

Izdala in založila Modrijan založba, d. o. o. Za založbo Branimir Nešović Natisnjeno v Sloveniji Naklada 1000 izvodov Ljubljana 2018 Prenovljena izdaja, tretji natis

© Modrijan založba, d. o. o. CIP – Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 51(075.3)(079.1) 37.091.27:51:373.5 KAVKA, Dušan KAVMatematika v srednji šoli : zbirka nalog : [priprava na maturo, osnovna in višja raven] / Dušan Kavka ; [ilustracije Darko Simeršek, Martin Zemljič]. – Prenovljena izd., 3. natis. – Ljubljana : Modrijan, 2018 ISBN 978-961-241-891-5 294368000

www.modrijan.si

uvodne.indd 2

10.4.2018 11:52:35

KAZALO 1. OSNOVE LOGIKE

2. MNOŽICE

a. co m

Izjavne povezave 6 9

Operacije nad množicami 9

3. NARAVNA, CELA, RACIONALNA IN REALNA ŠTEVILA

NARAVNA ŠTEVILA 12 Potence z naravnim eksponentom 12 Deljivost naravnih števil 13 CELA ŠTEVILA 15 Urejenost celih števil 16 Računanje z izrazi 16 RACIONALNA ŠTEVILA 17 Potence s celim eksponentom 18 Urejenost racionalnih števil 18 Reševanje neenačb 19 Reševanje enačb 19 Decimalna števila 20 Razmerja, procenti 20 REALNA ŠTEVILA 20 Urejenost v množici realnih števil 21 Absolutna vrednost 22 Intervali 22 Približki in napake 23 Koreni 23 Potence z racionalnim eksponentom 24 4. KOMPLEKSNA ŠTEVILA

Računanje s kompleksnimi števili 31

5. GEOMETRIJA V RAVNINI IN PROSTORU. LIKI IN TELESA

jig

6. VEKTORJI

ar n

OSNOVE GEOMETRIJE V RAVNINI IN PROSTORU 37 LIKI 43 A. TRIKOTNIK 43 Pravokotni trikotnik 45 Enakokraki trikotnik 45 Enakostranični trikotnik 46 B. ŠTIRIKOTNIK, n-KOTNIK 46 Paralelogram 46 Romb 47 Pravokotnik 47 Kvadrat 47 Trapez 47 Enakokraki trapez 48 Deltoid 48 Konveksni n-kotnik 48 Tetivni štirikotnik 49 Tangentni štirikotnik 49 C. KROG IN KROŽNICA 49 Krožni izsek 50 Krožni odsek 50 TELESA 50 Prizma 50 Kvader 51 Kocka 51 Piramida 51 Pokončni krožni valj 52 Pokončni stožec 52 Krogla 52 Prisekana piramida 53 Prisekani stožec 53

Skalarni produkt 64

Pravokotni koordinatni sistem 64

7. PRAVOKOTNI KOORDINATNI SISTEM V RAVNINI Ploščina trikotnika 70

62 70

Transformacije ravnine 70

8. FUNKCIJE. POTENČNA IN KORENSKA FUNKCIJA

Funkcije 73 Potenčna funkcija z naravnim eksponentom 77 Potenčna funkcija z negativnim celim eksponentom 77 Korenska funkcija 78 Transformacije grafov na ravnini 78

9. LINEARNA FUNKCIJA

10. KVADRATNA FUNKCIJA

11. EKSPONENTNA IN LOGARITEMSKA FUNKCIJA

EKSPONENTNA FUNKCIJA 96

12. POLINOMI

LOGARITEMSKA FUNKCIJA 96 101

Graf polinoma 102

uvodne.indd 3

27.3.2015 9:28:26

13. RACIONALNE FUNKCIJE

106

14. KOTNE FUNKCIJE

110

Grafi in lastnosti kotnih funkcij 110 Zveze med kotnimi funkcijami 112 Krožne funkcije 114 Trigonometrične enačbe 114

KROŽNICA 120

120

a. co m

15. STOŽNICE

ELIPSA 121

16. ZAPOREDJA IN VRSTE

HIPERBOLA 121

PARABOLA 122

127

Aritmetično zaporedje 127 Geometrijsko zaporedje 127 Vrste 128 Obrestni račun 129 17. ODVOD

135

Uporaba prvega odvoda 136 18. INTEGRAL

143

NEDOLOČENI INTEGRAL 143

DOLOČENI INTEGRAL 144

19. KOMBINATORIKA IN VERJETNOSTNI RAČUN KOMBINATORIKA 151

151

VERJETNOSTNI RAČUN 152

160

jig

ar n

20. STATISTIKA

Limita zaporedja 128

uvodne.indd 4

27.3.2015 9:28:26

NAPOTKI ZA UPORABO ZBIRKE IN REŠEVANJE NALOG

jig

ar n

a. co m

Zbirka je namenjena ponavljanju in utrjevanju učne snovi in nalog v višjih letnikih gimnazij in štiriletnih srednjih šol, predvsem pa pripravi na maturo. Zajema učno snov, ki je za maturo predpisana z učnim načrtom in s predmetnim izpitnim katalogom za matematiko, ter je podlaga za pisni in ustni del mature. Zato je, podobno kot v predmetnem izpitnem katalogu za matematiko, zbirka razdeljena na 20 poglavij. Učna snov je zapisana tako, da se posamezna poglavja nadgrajujejo. V vsakem poglavju sta, v skladu s katalogom, teoretični del in del z nalogami razvrščena po ravneh zahtevnosti. Učna snov in naloge višje ravni so označene s puščico fi. Dijaki, ki se pripravljajo za maturo na osnovni ravni zahtevnosti, bodo poglavja in naloge, označene z fi, izpustili. V vsakem poglavju je po teoretičnem delu nekaj rešenih tipskih nalog. Pri teh je potek reševanja opremljen s točkovnikom, ki je podoben točkovnikom za maturitetne preizkuse. Zbirki so dodane rešitve nalog, pri težjih nalogah tudi krajši poteki reševanja. Da bi bil uspeh na maturi boljši, bi rad opozoril na nekaj temeljnih pravil reševanja nalog. Ker pri večini maturitetnih nalog način reševanja ni predpisan, lahko rešujemo po kateremkoli matematično pravilnem postopku. Pomembno je, da je pot do rezultata jasno in korektno predstavljena, z vmesnimi računi in sklepi. Zato je ob reševanju nalog koristno dodati tudi komentarje. Če je naloga postavljena kot vprašanje, odgovorimo (rezultat zapišemo) s celim stavkom. Če smo nalogo rešili grafično, pravilnost rešitve potrdimo tudi računsko. Pri rezultatih nalog pazimo predvsem na to, da so zapisani vidno in v skladu z zahtevami iz besedila naloge. Pri reševanju nalog moramo paziti, da navodilo »Rezultat naj bo natančen« ali »Natančno izračunajte …« pomeni, da moramo zapisati le cela števila, okrajšane ulomke, konstante (npr. p, e) in krajše izraze, v katerih lahko nastopajo preproste funkcije. Pri tem morajo biti rezultati nalog primerno poenostavljeni (okrajšani, delno korenjeni ...). Če je v besedilu naloge predpisana natančnost, potem rezultat primerno zaokrožimo in ga zapišemo v decimalni obliki, pri tem pa pazimo na razliko med navodiloma »Na tri mesta natančno …« in »Na tri decimalke natančno …«. Vmesne rezultate vedno računamo natančneje, sicer bo končni rezultat premalo natančen. Če pri navodilu naloge ni zahtevana natančnost reševanja, potem poskusimo računati natančno, če pa ne gre, računamo z decimalnimi števili in končni rezultat zapišemo na najmanj tri mesta, ki pa morajo biti pravilna. Če so podatki izraženi v merskih enotah, moramo tudi končne rezultate nalog zapisati z merskimi enotami v skladu z navodilom naloge. Pri nalogah, ki zahtevajo »izračunajte presečišče …, zapišite oglišča …, zapišite maksimum, minimum, prevoj funkcije …, zapišite gorišči …«, rezultate zapisujemo kot točke. Pri tem upoštevamo, da točke v ravnini vedno pišemo z obema koordinatama T(x, y), točke v prostoru pa s tremi koordinatami T(x, y, z). Kote v geometrijskih nalogah (kot med vektorjema, kot v trikotniku, kot med krivuljama …) praviloma izrazimo v stopinjah in minutah ali v stopinjah in stotinkah stopinje, vrednosti kotnih funkcij pa natančno ali pa na štiri decimalna mesta, glede na navodilo naloge. Pri reševanju trigonometričnih enačb praviloma izrazimo kote v radianih v natančni obliki. Pri reševanju geometrijskih nalog si vedno pomagamo s skico, tudi če to v besedilu naloge ni zahtevano. Skica mora ustrezati glavnim lastnostim geometrijskega objekta, ki ga predstavlja. Na njej morajo biti označene vse pomembnejše točke (oglišča, krajišča vseh narisanih geometrijskih objektov) ter vse količine, ki v nalogi nastopajo kot podatki ali kot delni in končni rezultati. Posebno pomembna pa je skica pri konstrukcijskih nalogah. Te naloge rešujemo s šestilom (za risanje krožnic in krožnih lokov, prenašanje razdalj) in ravnilom (za risanje premic ali daljic skozi dve dani ali prej konstruirani točki). Pri konstrukcijskih nalogah moramo poiskati vse neskladne rešitve, pri tem pa potek reševanja opišemo z besedami. Pri reševanju enačb moramo poiskati vse rešitve v dani številski množici (polinomske in racionalne enačbe praviloma v obsegu kompleksnih števil, druge enačbe pa v obsegu realnih števil). Pri tem smo pazljivejši pri postopkih, ki dane enačbe ne prevedejo v ekvivalentno obliko (kvadriranje, korenjenje, absolutna vrednost, antilogaritmiranje …), saj lahko dobimo napačno rešitev ali pa rešitev izgubimo. Zato naredimo preizkus. Podobno velja za reševanje neenačb, ki pa jih praviloma rešujemo v obsegu realnih števil. Če neenačbo rešujemo z grafom ustrezne funkcije, potem je dovolj natančno narisati graf le v bližini ničel, tako da so lepo razvidna območja pozitivnosti in negativnosti. Druge dele grafa, ki so za reševanje neenačbe manj pomembni, lahko narišemo tudi bolj približno. Za risanje grafov funkcij in krivulj je koordinatni sistem po navadi že dan in pazimo, da krivuljo oz. graf funkcije narišemo v območju, ki je označeno na koordinatnem sistemu. Pri risanju grafov funkcij in krivulj moramo natančno narisati presečišča z obema osema, črtkano vodoravne in poševne asimptote (obvezno za eksponentno in logaritemsko funkcijo, kotni funkciji tangens in kotangens, racionalne funkcije in hiperbolo), maksimume in minimume (obvezno pri funkcijah sinus in kosinus), temena (pri kvadratni funkciji in krivuljah drugega reda) … Navedene značilnosti po navadi predhodno izračunamo. Pri tem ničle in pole pišemo kot števila – samo s koordinato x (pri polinomih in racionalnih funkcijah zapišemo tudi stopnjo ničle oz. pola), maksimume, minimume, prevoje pa kot točke – z obema koordinatama. Če pa znamo krivulje in grafe funkcij narisati natančno s primerno izvedenimi premiki in raztegi, omenjeni računi niso potrebni, razen če naloga to izrecno zahteva. Definicijsko območje in zalogo vrednosti funkcij, območja naraščanja in padanja funkcije praviloma zapišemo z intervali, lahko pa tudi kot množice, določene z relacijami <, >, =, £, ≥, π. Na koncu bi se rad urednici in sodelavcem založbe Modrijan zahvalil za kvalitetno izvedeno delo ter domačim za spodbudo in potrpežljivost. Vsem dijakom, profesorjem in inštruktorjem, ki boste za ponovitev, utrditev ali razširitev znanj srednješolske matematike uporabili to knjigo, želim veliko uspeha. Dušan Kavka

uvodne.indd 5

27.3.2015 9:28:26

matematika v srednji soli 01.fm Page 6 Friday, March 27, 2015 9:30 AM

MATEMATIKA V SREDNJI ŠOLI

1. OSNOVE LOGIKE Poved v matematiki imenujemo izjava, če zanjo velja natanko ena od možnosti: ali je pravilna (pripišemo ji logično vrednost 1 oz. p) ali pa nepravilna (0 oz. n). Izjave označujemo z velikimi tiskanimi črkami: A, B, C itd.

a. co m

Z uporabo izjavnih povezav (spoznali bomo negacijo, konjunkcijo, disjunkcijo, implikacijo in ekvivalenco) iz izjav lahko gradimo sestavljene izjave. V matematični teoriji poimenujemo vrste izjav na naslednji način: • aksiomi so osnovne izjave, ki so izhodišče posamezne teorije, • definicije so izjave, s katerimi vpeljemo nove pojme, • izreki ali trditve so izjave, ki jih dokažemo z uporabo aksiomov in že prej dokazanih izrekov.

Izjavo, ki je pravilna pri vseh različnih naborih osnovnih izjav, iz katerih je sestavljena, imenujemo tavtologija.

Izjavne povezave 1. Negacija

ÿA

Če je izjava A pravilna, potem je izjava A nepravilna. Če pa je izjava A nepravilna, potem je izjava ÿA pravilna. To lahko prikažemo s pravilnostno tabelo:

AŸB

A⁄B

AﬁB

2. Konjunkcija

ar n

Vsaki izjavi A lahko priredimo nasprotno izjavo ali negacijo izjave A. Označimo jo z ÿA ter preberemo: ni res, da velja A.

Izjavama A in B lahko priredimo novo izjavo A in B. Označimo jo z A Ÿ B ter preberemo: veljata izjava A in izjava B.

jig

Za konjunkcijo velja pravilnostna tabela:

3. Disjunkcija

Izjavama A in B priredimo novo izjavo A ali B, jo označimo z A ⁄ B ter preberemo: velja izjava A ali izjava B (lahko veljata obe izjavi hkrati).

Za disjunkcijo velja:

4. Implikacija

Izjavama A in B priredimo izjavo iz A sledi B, jo označimo z A ﬁ B ter beremo kot: če velja A, potem velja B. Za implikacijo velja:

matematika v srednji soli 01.fm Page 7 Friday, March 27, 2015 9:30 AM

1. OSNOVE LOGIKE

5. Ekvivalenca A

A¤B

Za ekvivalenco velja:

a. co m

Izjavama A in B priredimo izjavo iz A sledi B in iz B sledi A ter jo označimo z A ¤ B. Izjavo lahko beremo tudi kot: A velja natanko tedaj, ko velja B. Rečemo tudi: izjavi A in B sta ekvivalentni (enakovredni) natanko takrat, ko iz A sledi B in iz B sledi A.

Pri ugotavljanju logične vrednosti (izvedbi) sestavljene izjave poleg oklepajev upoštevamo tudi prioriteto izjavnih povezav. Najvišjo prioriteto ima negacija (jo izvedemo najprej), sledijo konjunkcija, disjunkcija, implikacija in ekvivalenca (jo izvedemo zadnjo). Pri izvedbi več zaporednih enakih izjavnih povezav velja pravilo združevanja od leve proti desni.

ZGLED

Izračunajte logično vrednost sestavljene izjave (A ﬁ B) ⁄ A pri vseh vrednostih enostavnih izjav A in B. Ali je dana izjava tavtologija? Odgovor utemeljite. B

AﬁB

(A ﬁ B) ⁄ A

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(1)

ar n

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(1)

Izjava je tavtologija, saj je pravilna pri vseh različnih naborih vrednosti osnovnih izjav A in B. . . . (2)

jig

NALOGE

4. Zapišite konjunkcijo in disjunkcijo danih izjav ter za vse izjave ugotovite logično vrednost. C: Število 234 je sodo število. D: Število 234 je deljivo z 9.

2. Ugotovite pravilnost izjave: Vsako število iz množice {3, 4, 6, 8, 9, 12, 15, 16, 18} je deljivo s 3 ali pa deljivo s 4.

5. Zapišite implikacijo danih izjav ter ugotovite logično vrednost. A: Naravno število n je deljivo z 10. B: Naravno število n je deljivo s 5.

1. K danima izjavama zapišite nasprotni izjavi ter za vse izjave ugotovite logično vrednost. A: Število 6 ima natanko štiri delitelje. B: Število 7 je sestavljeno število.

3. Zapišite konjunkcijo in disjunkcijo danih izjav ter za vse izjave ugotovite logično vrednost. A: Produkt dveh zaporednih celih števil je sodo število. B: Vsota dveh zaporednih celih števil je sodo število.

6. Zapišite implikacijo danih izjav ter ugotovite logično vrednost. C: Naravno število n je praštevilo. D: Naravno število n ni sodo število.

matematika v srednji soli 01.fm Page 8 Friday, March 27, 2015 9:30 AM

MATEMATIKA V SREDNJI ŠOLI

7. Zapišite ekvivalenco danih izjav ter ugotovite, ali sta dani izjavi enakovredni. A: Število n je deljivo s 15. B: Število n je deljivo s 3 in deljivo s 5.

a. co m

8. Zapišite ekvivalenco danih izjav ter ugotovite, ali sta dani izjavi enakovredni. C: Število n je večkratnik števila 24. D: Število n je deljivo s 4 in deljivo s 6. 9. Zapišite ekvivalenco danih izjav ter ugotovite, ali sta dani izjavi enakovredni. A: Število n je liho število. 2 B: Število n je liho število.

10. Izračunajte logično vrednost sestavljene izjave (A ﬁ B) ¤ (ÿB ⁄ A) pri vseh vrednostih enostavnih izjav A in B. Ali je dana izjava tavtologija? Odgovor utemeljite.

ar n

11. Z oklepaji nakažite vrstni red operacij v sestavljeni izjavi A ⁄ B ⁄ ÿB in s pravilnostno tabelo ugotovite logično vrednost. Ali je dana sestavljena izjava tavtologija? Odgovor utemeljite.

12. Z oklepaji nakažite vrstni red operacij in s pravilnostno tabelo ugotovite logično vrednost izjave. a) A fi ÿB Ÿ A b) A fi B ¤ ÿB fi ÿA

jig

13. Sestavljeno izjavo zapišite s simboli. Število n je deljivo z 2 natanko takrat, ko število n + 1 ni deljivo z 2. 14. Sestavljeno izjavo zapišite s simboli. Štirikotnik je kvadrat natanko takrat, ko ima skladne stranice in skladne notranje kote.

15. Dane so osnovne izjave o štirikotnikih. A: Štirikotnik je paralelogram. B: Diagonali se razpolavljata. C: Diagonali se sekata pod pravim kotom. D: Paralelogram je romb. Z uporabo danih izjav in z implikacijo ter ekvivalenco zgradite sestavljene izjave tako, da vedno uporabite le eno izjavno povezavo in dve različni osnovni izjavi. Zapišite jih s simboli. Zapišite le tiste smiselne sestavljene izjave, ki so pravilne.

matematika v srednji soli 01.fm Page 9 Friday, March 27, 2015 10:19 AM

2. MNOŽICE

a. co m

Množico lahko podamo tako, da: • njene elemente naštejemo, npr. A = {2, 4, 6, 8}, • njene elemente s kako skupno lastnostjo enolično določimo, npr. A = {2n; (n Œ⺞) Ÿ (n £ 4)}, • množico grafično predstavimo (rečemo, da narišemo Vennov diagram).

Množico vseh elementov, ki nas v danem primeru podrobneje zanimajo, imenujemo univerzalna množica U. Prazna množica Δ je množica, ki nima nobenega elementa.

Operacije nad množicami

Množica A je podmnožica množice B, če je vsak element množice A tudi element množice B. Oznaka: AÃB

ar n

Množici A in B sta enaki natanko takrat, ko je množica A podmnožica množice B in množica B podmnožica množice A: A = B ¤ (A Ã B) Ÿ (B Ã A) Presek množic A in B je množica vseh tistih elementov, ki so v množici A in v množici B: A « B = {e; (e Œ A) Ÿ (e Œ B)}

jig

Množici A in B sta disjunktni (tuji), če je njun presek prazna množica: A«B=Δ Unija množic A in B je množica vseh tistih elementov, ki so v množici A ali v množici B: A » B = {e; (e Œ A) ⁄ (e Œ B)}

A«B

A«B=Δ

A»B

Razlika množic A - B je množica vseh tistih elementov, ki so v množici A in niso v množici B: A - B = A \B = {e; (e Œ A) Ÿ (e œ B)} Naj bo množica A podmnožica univerzalne množice U. Komplement množice A glede na univerzalno C množico U je množica elementov, ki so v množici U in niso v množici A: C A = A = {e; (e Œ U) Ÿ (e œ A)}

A \B

matematika v srednji soli 01.fm Page 10 Friday, March 27, 2015 9:30 AM

MATEMATIKA V SREDNJI ŠOLI

m ◊ n elementov.

a. co m

fi Za unijo in presek veljajo komutativnostni, asociativnostni ter distributivnostni zakon. A»B=B»A (A » B) » C = A » (B » C) (A » B) « C = (A « C) » (B « C) A«B=B«A (A « B) « C = A « (B « C) (A « B) » C = (A » C) « (B » C) fi Za računanje komplementa unije in preseka veljata DeMorganova zakona: C C C (A » B) = A « B C C C (A « B ) = A » B Kartezični produkt nepraznih množic A in B je množica vseh urejenih parov (a, b), kjer je prvi element para iz množice A in drugi element para iz množice B: A ¥ B = {(a, b); (a Œ A) Ÿ (b Œ B)}. Če ima množica A m elementov in množica B n elementov, potem ima kartezični produkt A ¥ B fi Potenčna množica A množice A je množica vseh podmnožic množice A: A = {X; X Ã A}. n

Množica z n elementi ima 2 podmnožic.

Za množici A in B, med katerima obstaja kaka bijektivna preslikava, pravimo, da sta enako močni: m(A) = m(B). (Definicija bijektivne funkcije je v šestem poglavju.) Moč množice A s končno mnogo elementi je enaka številu elementov n množice A: m(A) = n. Množica A je števno neskončna, če je enako močna kot množica naravnih števil ⺞. Množica A ima moč kontinuuma, če je enako močna kot množica realnih števil ⺢.

ar n

Moč unije dveh netujih končnih množic A in B dobimo tako, da seštejemo moči obeh množic in odštejemo moč preseka, saj smo elemente preseka pri seštevanju šteli dvakrat: m(A » B) = m(A) + m(B) - m(A « B) Moč unije treh končnih množic: m(A » B » C ) = m(A) + m(B) + m(C ) - m(A « B) - m(A « C ) - m(B « C ) + m(A « B « C )

ZGLED

jig

Dani sta množici A = {b, c, d, e, f, g, h, j}, B = {a, b, c, g, i, j}. a) Zapišite A « B, A » B, B \ A, A \B. b) Zapišite (B - A) ¥ (A - B).

Rešitev: a) A « B = {b, c, g, j} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1) A » B = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1) B - A = {a, i} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1) A - B = {d, e, f, h} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1) b) (B - A) ¥ (A - B) = {(a, d), (a, e), (a, f), (a, h), (i, d), (i, e), (i, f), (i, h)} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2)

matematika v srednji soli 01.fm Page 11 Friday, March 27, 2015 9:30 AM

2. MNOŽICE

NALOGE 8. Naj bosta A = {(x, y); x, y Œ⺢, 2x + y = 3} 2 2 in B = {(x, y); x, y Œ⺢, x + y = 9} podmnožici ravnine. a) Ugotovite moč množic A in B ter poiščite vsaj tri elemente vsake množice. b) Ugotovite, ali dane točke P(3, -3), Q(1, 2), R{ 1--2- , -5), S(-3, 0) pripadajo kateri od množic. c) V množici A poiščite tiste točke, ki ležijo na abscisni osi. č) V množici B poiščite tiste točke, ki ležijo na ordinatni osi. d) Napišite presek množic A in B.

a. co m

1. Zapišite množice A « B, A » B, A \B, če je A = {2, 3, 5, 6, 7, 9}, B = {1, 2, 3, 4, 7, 8, 10}. Določite najmanjšo množico D tako, da bo B Ã A » D.

2. Dani sta množici A = {-1, 0, 1, 2} in B = {0, 2, 4}. a) Ali velja relacija B Ã A? Poiščite najmanjšo tako množico D, da bosta množici A in B njeni podmnožici. ﬁb) Zapišite B. c) Zapišite kartezične produkte A ¥ B, B ¥ A, B ¥ B. č) Kartezični produkt A ¥ B grafično predstavite s točkami mreže ali s šahovnico.

9. Koliko je vseh naravnih števil med 100 in 1000, ki so: a) deljiva s 6 b) deljiva z 8 c) deljiva vsaj z enim od števil 6 in 8

jig

ar n

3. Dane so množice realnih števil – 1- = 5--- }, B = {x; x3 - 2x2 - x + 2 = 0}, A = {x; --4x- + x--------3 6 C = {x; 2x2 + 2 = 5x}. Zapišite njihove elemente in elemente množice B \C. 10. Naj bo P množica vseh štirimestnih naravnih števil. Izračunajte, koliko elementov imata množici 4. Naj bo univerzalna množica U = {n Œ⺞; n £ 36} A = {n Œ P; 12|n}, B = {n Œ P; 8|n in 15|n}. ter množici A in B njeni podmnožici: A = {n Œ⺞; n|36}, B = {n Œ⺞; (n < 36) Ÿ (3|n). 11. V četrtem letniku je 172 dijakov. Med njimi jih je a) Napišite elemente množic A in B. 47 izbralo zgodovino kot izbirni predmet mature, b) Napišite množice A « B, A » B, A \B. 73 geografijo, 69 pa nobenega od teh dveh predc) Napišite množico C (A » B). metov. Izračunajte, koliko dijakov je izbralo oba predmeta. 5. Naj bo A = {3n; n Œ⺞} in B = {5n; n Œ⺞}. Določite A « B in A \B. 12. Med 32 učenci v razredu jih ima doma 8 samo psa, 6 samo mačko, 5 samo hrčka, 3 imajo mačko 6. Naj bo množica celih števil univerzalna množica. in hrčka, 2 hrčka in psa, 5 mačko in psa, eden pa Zapišite množice A, B in D na vsaj sva načina: vse tri živali. A = {večkratniki števila 7}, a) Koliko učencev v razredu nima doma nobene B = {cela števila, ki dajo pri deljenju s 5 živali? ostanek 3}, b) Koliko učencev ima doma mačko ali psa, D = {cela števila, ki so med -25 in 25}. nimajo pa hrčka? Zapišite še množici A « B in B « D. c) Koliko učencev ima doma vsaj dve živali? 7. Naj bodo elementi množice A praštevila, ki nastopajo v razcepu števila 2730, elementi množice B pa praštevila, ki nastopajo v razcepu števila 462. Zapišite elemente obeh množic. Določite množici A « B, A » B. Ali je A \B = {5, 7, 11, 13}?

13. Koliko je vseh naravnih števil, ki so večja od 1000 in manjša ali enaka 10 000 ter so: a) deljiva s 3 b) deljiva s 4 c) deljiva s 5 č) deljiva z vsaj enim od števil 3 ali 4 d) deljiva z vsaj enim od števil 3, 4 ali 5

matematika v srednji soli 01.fm Page 12 Friday, March 27, 2015 9:30 AM

MATEMATIKA V SREDNJI ŠOLI

NARAVNA ŠTEVILA

a. c 冦 om

3. NARAVNA, CELA, RACIONALNA IN REALNA ŠTEVILA Naravna števila so števila, s katerimi štejemo. Označimo jo z ⺞ = {1, 2, 3, 4 …}.

Število 1 je naravno število. Vsako naravno število n ima svojega naslednika n + 1. Največjega naravnega števila ni. Naravna števila si predstavimo na (vodoravni) premici. Na njej si izberemo dve različni točki. Eno označimo z 0 (nič), drugo z 1. Ponavadi vzamemo, da je 1 desno od 0. Nato daljico (enoto) od 0 do 1 nanašamo od 1 desno in postopoma dobivamo točke, ki predstavljajo števila 2, 3, 4 … Taki premici pravimo številska premica. Točka 0 je izhodišče številske premice.

Vsa naravna števila ležijo na poltraku z izhodiščem v točki 0. Ta poltrak imenujemo pozitivni poltrak številske premice.

ar n

Osnovni računski operaciji v množici naravnih števil sta seštevanje in množenje. 1. Seštevanje: Poljubnima naravnima številoma a in b priredimo vsoto a + b. 2. Množenje: Poljubnima naravnima številoma a in b priredimo produkt a ◊ b = a + a + … + a. b členov

jig

Lastnosti osnovnih računskih operacij Za poljubna naravna števila a, b in c velja: 1. a + b = b + a (komutativnost seštevanja) 2. (a + b) + c = a + (b + c) (asociativnost seštevanja) 3. a ◊ b = b ◊ a (komutativnost množenja) 4. (a ◊ b) ◊ c = a ◊ (b ◊ c) (asociativnost množenja) 5. 1 ◊ a = a (1 je enota za množenje) 6. a ◊ (b + c) = a ◊ b + a ◊ c (distributivnost)

Potence z naravnim eksponentom n

冦

Naj bo a poljubno število in n naravno število. Izraz a imenujemo potenca števila a. Število a je osnova, število n pa eksponent potence. n a =a◊a◊…◊a n členov

Naj bosta a in b poljubni števili, m in n pa naravni števili; potem za računanje s potencami z naravnim eksponentom veljajo naslednja pravila: m n m+n 1. a ◊ a = a m m m 2. (a ◊ b) = a ◊ b m n m◊n 3. (a ) = a

matematika v srednji soli 01.fm Page 13 Friday, March 27, 2015 9:30 AM

3. NARAVNA, 12. FUNKCIJE CELA, RACIONALNA 13 IN REALNA ŠTEVILA

Vsako naravno število a lahko na en sam način zapišemo v poljubnem številskem sestavu z osnovo b, kjer je b naravno število, ki je večje ali enako 2: n n-1 + … + a1b + a0 = anan - 1…a1a0(b) a = anb + an - 1b Tu so ai števila (števke), ki lahko zavzamejo vrednosti 0, 1, 2, …, b - 1 in je an π 0.

a. co m

Največ uporabljamo številski sestav z osnovo 10 (desetiški sestav): n n-1 a = an10 + an - 110 + … + a110 + a0 Zapis števila a skrajšamo v obliko a = anan - 1…a1a0. Tu so ai števke, ki jih izbiramo med 0, 1, 2, …, 9, in je an π 0. Ta zapis števila a imenujemo desetiški (decimalni) zapis. Za število a pravimo, da ima natančno n + 1 decimalnih mest. 3

Zgled za desetiški sestav: 1997 = 1 ◊ 10 + 9 ◊ 10 + 9 ◊ 10 + 7 5

in za dvojiški sestav: 41 = 1 ◊ 2 + 0 ◊ 2 + 1 ◊ 2 + 0 ◊ 2 + 0 ◊ 2 + 1 = 101001(2).

Deljivost naravnih števil

Števila b, 2b, 3b, 4b, … so večkratniki naravnega števila b. Vsak večkratnik naravnega števila b lahko zapišemo v obliki k ◊ b, kjer je k naravno število. Množica sodih naravnih števil je množica večkratnikov števila 2: {2n; n Œ⺞} Množica lihih naravnih števil: {2n - 1; n Œ⺞}

ar n

Naravno število b deli naravno število a (v znakih b|a) natanko takrat, ko je število a večkratnik števila b. Torej velja: b|a natanko takrat, ko obstaja tako naravno število k, da je a = k ◊ b. To lahko zapišemo tudi v bolj znani obliki a : b = k.

jig

Lastnosti deljivosti naravnih števil Za poljubna naravna števila a, b, c, d in n velja: 1. (a|b) Ÿ (b|c) fi a|c 2. a|c fi (na)|(nc) 3. (a|c) Ÿ (a|d) fi a|(c ± d)

Osnovni izrek o deljenju Za poljubni naravni števili a in b (a > b) obstajata natanko določeni števili k Œ⺞ in r Œ⺞ » {0}, tako da je a = k ◊ b + r; 0 £ r < b. Število k imenujemo količnik, število r pa ostanek pri deljenju števila a (deljenec) s številom b (delitelj).

Kriteriji za deljivost 1. Število je deljivo z 10 natanko takrat, ko so enice 0. 2. Število je deljivo z 2 (5) natanko takrat, ko so enice deljive z 2 (5). 3. Število je deljivo s 3 (9) natanko takrat, ko je vsota števk tega števila deljiva s 3 (9). 4. Število je deljivo s 6 natanko takrat, ko je deljivo z 2 in 3. 5. Število je deljivo s 4 (25) natanko takrat, ko je s 4 (25) deljivo število, ki ga tvorita v istem vrstnem redu zadnji dve mesti prvotnega števila. 6. Število je deljivo z 8 natanko takrat, ko je z 8 deljivo trimestno število, ki ga tvorijo v istem vrstnem redu zadnje tri števke prvotnega števila. Naravna števila, ki so večja od 1 in so deljiva le s številom 1 in s samim seboj, imenujemo praštevila.

matematika v srednji soli 01.fm Page 14 Friday, March 27, 2015 9:30 AM

MATEMATIKA V SREDNJI ŠOLI

Naravna števila, ki imajo več kot dva delitelja, imenujemo sestavljena števila. Število 1 ni ne praštevilo ne sestavljeno število. Vsako sestavljeno število a se da na en sam način zapisati kot produkt praštevil (prafaktorjev), če vrstnega reda členov v produktu ne upoštevamo: k

a = p11 p22 … pnn

(p1, p2, …, pn so praštevila, k1, k2, …, kn so naravna števila)

Največji skupni delitelj D(a, b) števil a in b je največje število, ki deli števili a in b.

a. co m

Če je največji skupni delitelj dveh števil 1, rečemo, da sta števili tuji.

Najmanjši skupni večkratnik v(a, b) števil a in b je najmanjše število, ki je deljivo s številoma a in b. k

Naj bosta a = p11 p22 … pnn in b = q11 q22 … qmm (p1, p2, …, pn, q1, q2, …, qm so praštevila, k1, k2, …, kn, s1, s2, …, sm so naravna števila) praštevilska razcepa števil a in b. Potem lahko največji skupni delitelj števil a in b izračunamo kot produkt skupnih prafaktorjev iz razcepa števil a in b. Za eksponent posameznega prafaktorja vzamemo iz danega razcepa manjšega od eksponentov tega praštevila. Najmanjši skupni večkratnik števil a in b dobimo kot produkt vseh prafaktorjev iz razcepa števil a in b. Za eksponent pri posameznem praštevilu vzamemo iz danega razcepa večjega od eksponentov tega praštevila. Zveza med največjim skupnim deliteljem in najmanjšim skupnim večkratnikom števil a in b: D(a, b) ◊ v(a, b) = a ◊ b

ﬁ Evklidov algoritem je postopek za računanje največjega skupnega delitelja dveh števil a in b, ne da bi šte-

ar n

vili razstavljali na prafaktorje. Evklidov algoritem temelji na osnovnem izreku o deljenju in ugotovitvi, da je D(a, b) = D(b, r), če je a = kb + r (a > b).

Najprej delimo število a s številom b. Če se deljenje izide, potem je b največji skupni delitelj števil a in b. Če pa se deljenje ne izide, potem delimo število b z ostankom r. Če se deljenje sedaj izide, potem je r največji skupni delitelj števil a in b, sicer pa število r delimo z novim ostankom in postopek nadaljujemo, dokler se deljenje ne izide. Največji skupni delitelj števil a in b je zadnji od 0 različni ostanek, ki ga dobimo pri tem zaporedju deljenj.

jig

a = kb + r, 0 £ r < b, D(a, b) = D(b, r) b = k1r + r1, 0 £ r1 < r, D(b, r) = D(r, r1) ………………………… rn - 2 = knrn - 1 + rn, 0 £ rn < rn - 1, D(rn - 2, rn - 1) = D(rn - 1, rn) rn - 1 = kn + 1rn + 0, D(a, b) = rn

Primer Evklidovega algoritma: D(126, 91) = ? 126 = 1 ◊ 91 + 35 91 = 2 ◊ 35 + 21 35 = 1 ◊ 21 + 14 21 = 1 ◊ 14 + 7 14 = 2 ◊ 7 + 0 D(126, 91) = 7

ﬁ Popolna indukcija

Izjava I(n) o naravnih številih je pravilna za "n Œ⺞, če velja: a) I(1) je pravilna izjava in b) iz privzetka pravilnosti izjave I(n) sledi pravilnost izjave I(n + 1).

matematika v srednji soli 01.fm Page 15 Friday, March 27, 2015 9:30 AM

3. NARAVNA, 12. FUNKCIJE CELA, RACIONALNA 15 IN REALNA ŠTEVILA

Primer uporabe popolne indukcije: 2

Dokažimo, da za vsako naravno število n velja formula 1 + 3 + 5 + … + (2n - 1) = n . Najprej preverimo pravilnost formule za n = 1 2 1=1

a. co m

zdaj pa iz privzetka pravilnosti formule za n pokažimo, da velja formula tudi za n + 1: 2 2 n Æ n + l: 1 + 3 + … + (2n - 1) + (2n + 1) = n + (2n + 1) = (n + 1) S tem je veljavnost dane formule dokazana.

CELA ŠTEVILA

Množico celih števil dobimo tako, da k množici naravnih števil dodamo število 0 (nič) in negativna cela števila - 1, -2, -3 … Število -n imenujemo nasprotno število k naravnemu številu n. ⺪ = {… -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 …}

ar n

Računske operacije V množici celih števil lahko poleg seštevanja in množenja definiramo tudi odštevanje: za poljubni celi števili a in b je razlika števil a - b tako celo število c, da je b + c = a. a - b = c ¤ a = b + c; a, b, c Œ⺪

jig

Lastnosti osnovnih računskih operacij Za poljubna cela števila a, b in c velja: 1. a + b = b + a (komutativnost seštevanja) 2. (a + b) + c = a + (b + c) (asociativnost seštevanja) 3. a + 0 = a (0 je enota za seštevanje) 4. K vsakemu celemu številu a obstaja natanko eno nasprotno celo število -a, tako da je a + (-a) = 0.

a◊b=b◊a (a ◊ b) ◊ c = a ◊ (b ◊ c) 1◊a=a a ◊ (b + c) = a ◊ b + a ◊ c

5. 6. 7. 8.

(komutativnost množenja) (asociativnost množenja) (1 je enota za množenje) (distributivnost)

Deljivost celih števil Celo število b (b π 0) deli število a (v znakih b|a) natanko takrat, ko obstaja tako celo število k, da je a = k ◊ b. To ponavadi zapišemo v bolj znani obliki a : b = k.

b|a ¤ a = k ◊ b; a, b, k, Œ⺪, b π 0 Število 0 je deljivo z vsakim od 0 različnim celim številom.

matematika v srednji soli 01.fm Page 16 Friday, March 27, 2015 9:30 AM

MATEMATIKA V SREDNJI ŠOLI

a. co m

Lastnosti deljivosti celih števil Za poljubna cela števila a, b, c, d in n (a, n π 0) velja: 1. (a|b) Ÿ (b|c) fi a|c 2. a|c fi (na)|(nc) 3. (a|c) Ÿ (a|d) fi a|(c ± d)

Urejenost celih števil

Naravnim številom pravimo tudi pozitivna cela števila. Da je število a pozitivno, zapišemo takole: a > 0. Negativna cela števila so števila oblike -n, kjer je n naravno število. Da je število a negativno, zapišemo: a < 0. Vsako od 0 različno celo število je bodisi pozitivno bodisi negativno. Število 0 ni ne pozitivno ne negativno. Na številski premici so točke, ki predstavljajo pozitivna cela števila, desno od 0, točke, ki predstavljajo negativna cela števila, pa levo od 0. Število a je nenegativno (a ≥ 0), če je večje ali enako 0.

Število a je večje od števila b (a > b) natanko takrat, ko je a - b pozitivno število:

ar n

a>b¤a-b>0

Na številski premici je točka, ki predstavlja število a, desno od točke, ki predstavlja število b.

Število a je večje ali enako številu b (a ≥ b) natanko takrat, ko je a - b nenegativno število: a≥b¤a-b≥0

Zapisa a > b in b < a sta enakovredna, prav tako tudi zapisa a ≥ b in b £ a.

jig

Lastnosti (relacije) urejenosti celih števil 1. Refleksivnost: a ≥ a 2. Antisimetričnost: (a ≥ b) Ÿ (b ≥ a) ﬁ a = b 3. Tranzitivnost: (a ≥ b) Ÿ (b ≥ c) ﬁ a ≥ c

Računanje z izrazi 2

(a ± b) = a ± 2ab + b (kvadrat vsote in razlike) 3 3 2 2 3 (a ± b) = a ± 3a b + 3ab ± b (kub vsote in razlike) 2 2 (razstavljanje tričlenikov) a + (m + n)ab + mnb = (a + mb)(a + nb) 2 2 a - b = (a - b)(a + b) (razstavljanje razlike kvadratov) 3 3 2 2 a + b = (a + b)(a - ab + b ) (razstavljanje vsote kubov) 3 3 2 2 (razstavljanje razlike kubov) a - b = (a - b)(a + ab + b ) n n n-1 n-2 n-2 n-1 ﬁ a - b = (a - b)(a + a b + … + ab + b ) ﬁ a2n + 1 + b2n + 1 = (a + b)(a2n - a2n - 1b + a2n - 2b2 - … - ab2n - 1 + b2n)