MATEMATIKA
razlage in vaje za boljše ocene v Devetem razredu Tanja Končan, Vilma Moderc in Rozalija Strojan
ZZV MAT 9 2012 notranjost 001_015.indd 1
9
3. 04. 12 13:58
Zbirka Znam za več
MATEMATIKA 9
Razlage in vaje za boljše ocene v devetem razredu
Avtorice: Tanja Končan, Vilma Moderc, Rozalija Strojan Strokovni pregled: Magda Albreht, Ema Maver Lektoriranje besedila: Katja Paladin Ilustracije: Marta Bartolj
Vse knjige in dodatna gradiva Založbe Rokus Klett dobite tudi na naslovu www.knjigarna.com.
© Založba Rokus Klett, d. o. o. (2007). Vse pravice pridržane. Brez pisnega dovoljenja založnika so prepovedani reproduciranje, distribuiranje, javna priobčitev, predelava ali druga uporaba avtorskega dela ali njegovih delov v kakršnem koli obsegu in postopku, kot tudi fotokopiranje, tiskanje ali shranitev v elektronski obliki. Tako ravnanje pomeni, razen v primerih od 46. do 57. člena Zakona o avtorski in sorodnih pravicah, kršitev avtorske pravice.
CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 51(075.2)(076.2)
Založba Rokus Klett, d. o. o. Stegne 9 b 1000 Ljubljana Telefon: (01) 513 46 00 Telefaks: (01) 513 46 99 E-pošta: rokus@rokus-klett.si www.rokus-klett.si
Znam za več. Matematika 9 : razlage in vaje za boljše ocene v devetem razredu / Tanja Končan, Vilma Moderc, Rozalija Strojan ; [ilustracije Marta Bartolj]. - 1. izd., 3. ponatis. - Ljubljana : Rokus Klett, 2012. - (Zbirka Znam za več) ISBN 978-961-209-724-0 1. Moderc, Vilma 2. Strojan, Rozalija 259458048 DN070445
ZZV MAT 9 2012 notranjost 001_015.indd 2
3. 04. 12 13:58
Dragi učenec in draga učenka! Pred tabo so razlage in vaje za matematiko. V veliko pomoč ti bo pri napredovanju v znanju, saj te bo vodil k znanju za več. Zasnovane so pregledno. Razdeljene so na jasno ločena poglavja, ki se začnejo z rešenimi ZGLEDI. Ti omogočajo hitro seznanjanje z najpomembnejšimi pravili in postopki, potrebnimi za uspešno reševanje nalog. Sledijo VAJE, s katerimi boš gradil in utrjeval svoje znanje. Z VPRAŠANJI boš preverjal razumevanje snovi. Srečal se boš s povezavami PAROV, v katerih boš prepoznaval in utrjeval osnovne pojme in predstave. Spopadanju s tipičnimi nalogami določenega poglavja sledi PREIZKUS, ki je namenjen povratni informaciji o tvojem znanju. Za preverjanje pravilnosti reševanja so dodane REŠITVE. Z željo, da bi čim bolje napredoval, te pozdravljamo in ti želimo veliko uspeha. Avtorice
Podnaslov poglavja
Tu so napisane pomembne zakonitosti, pravila in ugotovitve.
Tu so napisani nasveti za lažje delo, dogovori, namigi in opozorila.
Nasvet preizkusa Če si dosegel 15 točk, še premalo znaš. Ponovi snov in preglej rešene zglede. Če si dosegel od 16 do 30 točk, dobro znaš. Še vadi, da boš napredoval. Če si dosegel od 31 do 45 točk, že veliko znaš. 3
ZZV MAT 9 2012 notranjost 001_015.indd 3
3. 04. 12 13:58
KAZALO I. IZRAZI ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������6 Enočleniki in množenje z enočlenikom ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������6 Množenje in poenostavljanje dvočlenikov �����������������������������������������������������������������������������������������������������������8 Kvadriranje dvočlenika ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 10 Produkt vsote in razlike dveh členov �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 12 Preizkus ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 14 II. ENAČBE IN BESEDILNE NALOGE ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ 16 Splošno o enačbah ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ 16 Reševanje preprostih enačb ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ 18 Reševanje enačb z oklepaji �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 20 Reševanje enačb z ulomki ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 22 Preizkus – enačbe �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 24 Uporaba enačb pri reševanju nalog o številih �������������������������������������������������������������������������������������������������� 26 Uporaba enačb pri reševanju nalog o starosti �������������������������������������������������������������������������������������������������� 28 Uporaba enačb pri reševanju nalog iz geometrije ������������������������������������������������������������������������������������������ 30 Uporaba enačb pri reševanju nalog iz vsakdanjega življenja ���������������������������������������������������������������������� 32 Preizkus – besedilne naloge ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ 34 III. SORAZMERJE IN PODOBNOST �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 36 Razmerje količin ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 36 Sorazmerje ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 38 Premo sorazmerje ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 40 Obratno sorazmerje ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 42 Razmerje dolžin in besedilne naloge iz razmerij in sorazmerij ������������������������������������������������������������������� 44 Podobnost ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 46 Podobni trikotniki ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 48 Preizkus ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 50 IV. LINEARNA FUNKCIJA ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 52 Linearna funkcija ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 52 Graf linearne funkcije ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 54 Zapis enačbe linearne funkcije ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 56 Presečišče premice s koordinatnima osema in presečišče dveh premic ������������������������������������������������� 58 Preizkus ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 60 V. GEOMETRIJSKA TELESA ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 62 Vrste teles ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 62 Prizme ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ 64 Pravilne in enakorobe prizme �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 66 Štiristrana prizma �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 68 Tristrana prizma ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 70 Šeststrana prizma ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 72 4
ZZV MAT 9 2012 notranjost 001_015.indd 4
3. 04. 12 13:58
Preizkus – prizme �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 74 Valj – osnovni pojmi ter površina in prostornina ��������������������������������������������������������������������������������������������� 76 Izračunavanje neznanih količin v valju ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 78 Enakostranični valj ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 80 Preizkus – valj ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 82 Piramida – osnovni pojmi, površina in prostornina ���������������������������������������������������������������������������������������� 84 Pravilne in enakorobe piramide ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 86 Uporaba Pitagorovega izreka v piramidah �������������������������������������������������������������������������������������������������������� 88 Preizkus – piramide ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 92 Stožec – osnovni pojmi ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 94 Površina in prostornina stožca �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 96 Enakostranični stožec ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 98 Stožec kot vrtenina ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 99 Krogla �����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������100 Preizkus – stožec in krogla �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������102 VI. REŠITVE ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������104
5
ZZV MAT 9 2012 notranjost 001_015.indd 5
3. 04. 12 13:58
1. IZRAZI Enočleniki in množenje z enočlenikom Primeri 3a + 5a = 8a 2b – 7b = –5b 4c · 2c = 8c2 (pomnoži koeficienta in spremenljivki) 3d + 3d2 = 3d + 3d2 (ne moreš sešteti d in d2) 10y : 2y = 5
+ krat + = + – krat – = + + krat – = – − krat + = – ZGLED 1: Kako bi poenostavil zapis 3a + 5b – 7a + 2ab + 3b?
To je pogosta in preprosta vaja poenostavljanja izraza. Najlažje jo rešiš, če si zapis ogledaš tako, da ne pozabiš nobenega člena. Združuješ podobne si enočlenike. 3a – 7a + 5b + 3b + 2ab –4a + 8b + 2ab torej: 3a + 5b – 7a + 2ab + 3b = –4a + 8b + 2ab ZGLED 2: Kako bi rešil spodnje primere množenja? a) 3(x + 4) → 3(x + 4) = 3 · x + 3 · 4 = 3x + 12 b) -3(x + 4) → -3(x + 4) = -3 · x + (-3) · 4 = -3x - 12 c) 3(x - 4) → 3(x - 4) = 3 · x - 3 · 4 = 3x - 12
Rešuješ lahko samo na tak način.
Če sta člena enako predznačena, je produkt pozitiven, če sta različno predznačena, je produkt negativen.
č) -3(x - 4) → -3(x - 4) = -3 · x - (-3) · 4 = -3x + 12
VAJA 1: Poenostavi naslednje izraze. a) 7a + 3b – 4a + 2b = b) 5c + 6 d + 2c – 8d = c) 4m + 2m2 – 5m2 – m =
Spomni se: m = 1 · m
VAJA 2: Poenostavi naslednje izraze. a) – 3a(4a + 3) + 2a2 = b) 4(2e + f – 3g2) = c) 3y2 + 2y2 + 4y – xy =
č) 4(–2a + 1) – 3(5a + 4) = VAJA 3: Obkroži črko pred pravilnimi zapisi. a) 2a · 3ab = 6ab
b) 2a · 3ab = 6a2b
c) 2a . (– 3a) = – 6a2
č) 2a · (2a + b) = 4a + b
d) 2a · (2a + b) = 4a2 + b
e) 2a · (2a + b) = 4a2 + 2ab
6
ZZV MAT 9 2012 notranjost 001_015.indd 6
3. 04. 12 13:58
VAJA 4: Poveži nakazano množenje z rešitvijo. (x + y) . x 2x2 + 2xy
(x – y) . (– 2x) 2x + 2xy
(x + y) . (– 2x) – 2x2 – 2xy
x2 + xy
(x + y) . 2x – 2x2 + 2xy
VAJA 5: Poenostavi zapis (2a – 3b +c) – (–a + b + 4c) in izračunaj vrednost izraza za a = –1, b = 2 in c = 1.
VAJA 6: Zapiši izraz za obseg narisanega lika in ga poenostavi, kolikor je mogoče. a) b) x+5
x
x
2x + 2
x
2x + 5
2x
3x
x
2x + 2
VAJA 7: Iz osmih ploščic z dolžino (2a + 2) cm in širino (a + 1) cm oblikujemo pravokotnik. Izračunaj obseg pravokotnika, če ploščice položimo kot kaže slika. a)
b) c)
Ë)
7
ZZV MAT 9 2012 notranjost 001_015.indd 7
3. 04. 12 13:58
I. IZRAZI Množenje in poenostavljanje dvočlenikov Spomni se kratice PZZZ, ki pomeni »Prvi Zunanji Znotraj Zadnji«. Pomaga ti na preprost način pomnožiti vsak par, ne da bi katerega pozabil ali ga pomnožil dvakrat. ZGLED 1: Kako pomnožiš dvočlenik (a + 2) z dvočlenikom (a + 4)?
Prvi a krat a a2
Zunanji a krat 4 4a
Zadnji 2 krat 4 8
Znotraj 2 krat a 2a
Rešuješ lahko na tak način.
(a + 2) (a + 4)
(a + 2) (a + 4) = a2 + 4a + 2a + 8 = a2 + 6a + 8
ZGLED 2: Kako pomnožiš dvočlenik (p + 5) z dvočlenikom (p – 2)? Prvi p krat p p2
Zunanji p krat - 2 -2p
Znotraj 5 krat p 5p
Zadnji 5 krat - 2 - 10
(p + 5) (p - 2)
(p + 5) (p - 2) = p2 - 2p + 5p - 10 = p2 + 3p - 10
ZGLED 3: Kako pomnožiš dvočlenik (t – 6) z dvočlenikom (t – 1)? Prvi t krat t t2
Zunanji t krat - 1 -t
Znotraj - 6 krat t - 6t
Zadnji - 6 krat - 1 6
(t - 6) (t - 1)
(t - 6) (t - 1) = t2 - t - 6t + 6 = t2 - 7t + 6 ZGLED 4: Kako bi zmnožil (y – 3)(y – 2) s pomočjo preglednice?
krat
y
–2
y
y2
–2y
–3
–3y
6
Pozorno si oglej vsak zapisani enočlenik. Zapomni ali zapiši si koeficient, ki je zapisan tik pred spremenljivko. Če pred koeficientom ni znaka, ga upoštevaj kot pozitivnega.
Produkt dveh enako predznačenih števil je pozitiven.
(y – 3) (y – 2) = y2 – 2y – 3y + 6 = y2 – 5y + 6
VAJA 1: Pomnoži. a) (a + 1)(a + 2) = b) (d – 3)(d + 1) = c) (x – 4)(x – 3) = VAJA 2: Poenostavi naslednje izraze. a) (x + 2)(x + 3) – 6x + 5 =
c) (y – 7)(y – 3) + (y + 7)(–3) =
b) (2a + 3)(a + 3) – (a – 3) =
č) (z – 4)(z + 1) – (z – 1)(z + 2)=
8
ZZV MAT 9 2012 notranjost 001_015.indd 8
3. 04. 12 13:58
VAJA 3: Obkroži črko pred pravilno izjavo. a) (c + d)(c + a) = c2 + cd + ad c) (2x – y)(2x + y) = 4x2 – y2 d) (–a + b)(a + 2b) = – a2 – ab + 2b2
b) (x + 2y)(x + 2y) = x2 + 4xy + 4y2 č) (a + 4)(a – 2) = a2 + 8a + 8 e) (p + 3)(p – 4) = p2 – 7p – 12
VAJA 4: Za katero vrednost spremenljivke x je vrednost izraza enaka nič? a) –2 + (–2 + x) b) –2 – (2 + x)
Odg.:____________________________________ Odg.:_____________________________________ VAJA 5: Poenostavi zapis (x + 1)(x + 1) + (x – 1)(x + 1) in izračunaj njegovo vrednost, če je x = – 1.
VAJA 6: Dan je (2a + 3) cm dolg pravokotnik, širok (2a – 3) cm. a) Zapiši izraz za njegov obseg in ga poenostavi.
b) Zapiši izraz za njegovo ploščino in ga poenostavi.
c) Izračunaj obseg in ploščino tega pravokotnika, če je a = 2 dm.
9
ZZV MAT 9 2012 notranjost 001_015.indd 9
3. 04. 12 13:58
I. IZRAZI Kvadriranje dvočlenika 32 pomeni 3 krat 3 (2y)2 pomeni 2y krat 2y
x2 pomeni x krat x (a + 3)2 pomeni (a + 3) krat (a + 3)
ZGLED 1: a2 + 6a 3
+ 9
a · 3 = 3a
a
(a)2 + 2 · (a · 3) + (3)2
a·a=a
3·3=9
a
a+3
3 · a = 3a
a+3
(a + 3)2
2
Pomagaš si lahko z geometrijsko ponazoritvijo.
3
ZGLED 2: Kako bi določil (a + 3)2 ? Nalogo lahko rešiš tako, da potenciranje prevedeš v množenje dvočlenika z dvočlenikom. Navzkrižno pomnožiš vse enočlenike. Delne produkte, ki pri tem nastanejo, urediš in sešteješ. (a + 3)2 = (a + 3)(a + 3) = =a·a+ a·3+3·a+3·3= = a2 + 3a + 3a + 9 = = a2 + 6a + 9 ZGLED 3: Kako bi kvadriral dvočlenik a + 3? Kvadriraš lahko tudi po pravilu (a + b)2 = a2 + 2ab + b2, ki pravi, da dvočlenik kvadriraš tako, da kvadriraš prvi člen dvočlenika, temu prišteješ dvakratnik produkta prvega in drugega člena ter prišteješ kvadrat drugega člena.
Bodi pozoren na člene, koeficiente pred spremenljivkami in predznake.
kvadrat prvega člena dvakratni produkt obeh členov kvadrat drugega člena
(a + 3)2 = (a)2 + 2 · (a · 3) + (3)2 = a2 + 6a + 9 prvi člen drugi člen ZGLED 4: Kako bi določil (y – 3)2 s pomočjo razpredelnice? krat
y
–3
y
y
–3y
–3
–3y
9
VAJA 1: Kvadriraj. a) (x + 1)2 = b) (a – 3)2 = c) (3b – 2)2 =
2
(y – 3)(y – 3) = y2 – 3y – 3y + 9 = y2 – 6y + 9
č) (1,3a + 1,6)2 = d) ( 1 x + 1 y)2 = 3 2 e) ( 3 a + 2 b)2 = 4 3
10
ZZV MAT 9 2012 notranjost 001_015.indd 10
3. 04. 12 13:58