Geometría. Las matemáticas de lo visible

CAMBIO DE VARIABLE

GEOMETRร A

Las matemรกticas de lo visible

MAYO 2 0 1 8

2 LA INFINITUD DEL UNIVERSO 3 LA GEOMETRÍA EN EL ARTE 6 SIMETRÍA 9 ORIGAMI 12 TRIÁNGULO 15 EL CÍRCULO UNITARIO 18 TOPOLOGÍA 20 ALGO MÁS DE CIENCIAS 23 ALGO MÁS DE CIENCIAS 26 LÓGICA, PARADOJAS E INFINITOS 29 LA GEOMETRÍA DE PAPEL

LA GEOMETRÍA DE GOMA

ALGORITMOS: ESOS AMOS OCULTOS

LA GEOMETRÍA DEL AGUA

EL LABERINTO DEL GO

CONTENIDO

EDITORIAL

EDITORIAL Este número está dedicado a la Geometría, se tratan algunos conceptos básicos y la fuerte relación que tiene con el mundo que nos rodea, se dice que la geometría es la parte gráfica del álgebra, y no podría ser más cierto, el origen de está materia se encuentra vinculado a nuestra necesidad de distribuir las tierras y ordenar los lugares; en los albores de nuestra civilización mientras conquistábamos tierras, también fuimos descubriendo los números que domaban el espacio.

Existen varios tipos de geometrías: plana, del espacio, analítica, euclidiana, no-euclidiana... en este ejemplar te traemos un poco de ese mundo, un lugar por donde grandes matemáticos se adentraron en las profundidades de las matemáticas. Está es una breve invitación a ese gigantesco mundo que se conoce como Geometría.

Matthieu Joannon

"Las ecuaciones son la parte aburrida de las matemáticas. Yo intento verlo todo en términos de Geometría."

- Stephen Hawking Director Luis A. López Hernández

Colaboradores Fermy Aguilar Michelle Alba Ruth García Méndez Carlos D. Álvarez Edgar Castro Vázquez

Coordinadora Editorial Illyana X. Montoya Editor Angel F. Pérez Hernández

Agradecimientos Especiales *Ilustración-Portada Carlos Daniel Álvarez González *Asesoría Creativa Raúl Christian Ramírez López

Editor Fernando Ramírez González Revisor Externo Juan Carlos Pacheco Paéz

Contacto: revistacambiodevariable@gmail.com 2

LA INFINITUD DEL UNIVERSO Por Fermy Aguilar

Greg Rakozy

La densidad dicta qué forma tendrá el Universo, es decir, la cantidad de masa y energía que existe. El punto es que, al desconocer el tamaño del Universo, su cantidad de materia y energía, es imposible calcular su densidad.

El físico alemán Albert Einstein planteaba tres posibles formas para el universo: cerrado, abierto, o plano. Aunque la forma del Universo continúa siendo una incógnita, la mayoría de científicos coinciden en que es casi plano.

Donde Ω representa la densidad.

Crédito: NASA / WMAP Science Team

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A mayor materia y energía, mayor será la densidad del Universo y tenderá a curvarse en forma de esfera. A esta forma se le denomina universo cerrado, en donde el espacio es finito y toda la materia se agrupa hasta que eventualmente: colapsa.

A este evento se le conoce como Big Crunch, y es justamente lo apuesto a la teoría del Big Bang. Este habla del fin del universo y está basado en la teoría de la relatividad de Einstein.

Si por el contrario tuviera una densidad y energía bajas, su curvatura sería hacia afuera formando una silla de montar. Un universo infinito en donde no podría haber estrellas ni planetas. El universo abierto es aquel en donde la materia se separa a tal magnitud que queda reducida a partículas primarias. La teoría del Big Chill dice que al final del universo habrá un gran Shalaka Gamage

enfriamiento, en donde disminuirá el material para formar nuevas estrellas hasta que la última agote su combustible y se apague por completo.

Finalmente el universo plano es la forma que más ha convencido a los científicos, y habla de una cantidad de materia y energía equilibrada (densidad crítica), en donde la gravedad y la expansión son proporcionales.

El universo estaría en constante expansión pero de manera lenta. Lo que parece una contradicción, ya que muchos años de investigación han comprobado que el universo se expande cada vez más rápido.

Entonces ¿Cómo es la geometría del universo? ¿Vivimos en un espacio que se curva o dentro de un plano? La Cosmología y la geometría del universo tienen para nosotros muchos datos interesantes.

Leon Liu

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En un espacio esférico, la luz que viaja desde las estrellas lejanas hasta nuestros ojos está distorsionada. De la misma forma que si estuviéramos viendo nuestro reflejo en una esfera de metal. Sin embargo, en un espacio plano no habría distorsión, podríamos ver los objetos celestes tal cual.

Existe otra teoría en la que el universo tiene forma de dona, en donde la parte más lejana al centro se expande y el eje se contrae, sin embargo esta idea ha sido refutada por varios científicos ya que para tener esta forma, el universo debería tener un borde; es decir un lugar a YongChuan

partir del cual ya no hay más materia y hasta el día de hoy no se ha probado que el cosmos tenga un límite.

Las grandes herramientas de observación que tenemos en la actualidad pueden cauterizar las distorsiones de la luz que nos llegan desde el espacio, no obstante, es imposible saber si la fuente emisora ha pasado en su largo viaje por agujeros negros u otros campos gravitatorios, así que no podemos saber que tan real es la imagen que estamos viendo. Pero no deja de ser un gran paso para conocer la verdadera geometría del universo.

Conner Baker

Referencias: Weeks R. (1985). The Shape of Space. United States: CRC Press.

Moskowitz C. (2011). Endless Void or Big Crunch: How Will the Universe End?. 2018, de SPACE.com Sitio web: https://www.space.com/13393-universe-endless-void-big-crunch.html 5

La Geometría en el Arte Por Edgar Castro Vázquez

La geometría, esencia de las matemáticas, está presente en el arte en numerosas formas. Muchos de los motivos y composiciones del arte universal están basados en las combinaciones y propiedades de figuras geométricas básicas. Y estas composiciones, que llevan siglos realizándose, han influenciado notablemente en el arte y el diseño que se ve en el entorno: la televisión, los paquetes de comida, las revistas de moda o incluso en las paredes de los baños. La Geometría nunca ha estado restringida sólo a las aulas de clases.

Hoy en día, el arte abstracto depende por completo de las formas geométricas; artistas como Miró, Brancusi, Calder, Mondrian, Picasso, Ramirez-Villamizar o Klee han usado la geometría de una u otra manera. Pero esta “geometría al servicio del arte” no es nada nuevo.

Desde hace tiempo la geometría ha estado siempre presente en ese constante deseo del hombre por crear.

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La Geometría y el arte han estado vinculados desde que el hombre comenzó a explorar sus posibilidades de expresión, es una relación profunda, donde se mezcla el sentido de la estética, la búsqueda de la perfección, la exploración del espacio y el reconocimiento de formas. A través de la historia, la geometría aparece repetidamente: en Grecia resalta el estudio arquitectónico basado fuertemente en el número áureo y en la trigonometría; en el renacimiento Da Vinci creo proporciones basándose en la geometría para dibujar un cuerpo humano simétrico.

El número de Oro en el arte Phi no es sólo una representación aritmética, sino una relación definida entre dos segmentos de una recta. Esto es: una construcción geométrica.

Esta proporción se encuentra tanto en la naturaleza, como en la estructura de obras artísticas plásticas o arquitectónicas.

7 Eric Terrada

EL NÚMERO DE ORO (1.61803398874988…)

El número áureo (también llamado número de oro, razón extrema y media, razón áurea, razón dorada, media áurea, proporción áurea y divina proporción) es un número irracional, representado por la letra griega φ (phi) y pronunciada en español como fi.

Se trata de un número algebraico irracional* que posee muchas propiedades interesantes y que fue descubierto en la antigüedad, no como una expresión aritmética, sino como relación o proporción entre dos segmentos de una recta, es decir, una construcción geométrica.

Esta proporción se encuentra tanto en algunas figuras geométricas como en la naturaleza: en las nervaduras de las hojas de algunos árboles, en el grosor de las ramas, en el caparazón de un caracol, en los flósculos de los girasoles, etc. Una de sus propiedades aritméticas más curiosas es que su cuadrado (φ^2 = 2.61803398874988…) y su inverso (1/φ = 0.61803398874988…) tienen las mismas cifras decimales.

*En palabras simples: es un número irracional que se obtiene de una ecuación algebraica.

Referencias: Dan Pedoe. (1976). La Geometría En El Arte. España: Gustavo Gili, S.A. Simon Singh. (2013). LOS SIMPSON Y LAS MATEMÁTICAS. España: ARIEL. Academia Play. (29 de junio de 2016). El Número de oro. 2017, de cademia Play Sitio web: https://academiaplay.es/el-numero-de-oro/ Google. (2017). La Geometría En El Arte. 2017, de Google Sitio web: https://www.google.com.mx/search?q=la+geometria+y+el+arte

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Aaron Burden

SIMETRÍA

Por Angel F. Pérez Hernández

La geometría es algo que nos acompaña toda la vida, más bien dicho es parte de nuestra vida, todo lo que vemos tiene una interpretación geométrica, sí, todo.

Las cosas que llegan a considerarse más bellas son aquellas que tienen simetría.

Con referencia a esto ¿te has preguntado qué es la Simetría?, ¿te suena a algo? de seguro pensaste en un figura geométrica, pues la simetría es una rasgo característico de estas.

Es cierto que algunos tenemos una idea de simetría, pero cuesta explicarla; ahora vamos acercarnos un poco a la simetría de forma matemática, y a darle con las matemáticas de nuevo, pues es que realmente están en todo lugar y momento.

Muchos piensan que nuestros cuerpos son simétricos, ¿esto es cierto realmente?, mira: dejare que tú mismo lo descubras, si fuéramos simétricos significaría que si pusiéramos una línea vertical a la mitad de nuestro cuerpo, lo que hay de un lado correspondería exactamente con lo que se ve del otro, como reflejo en un espejo.

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Imaginemos un cuadrado, si lo dividimos a la mitad un lado es exactamente igual a la otra mitad. Regresemos a nuestro primer ejemplo: ¿aún piensas que somos simétricos? una buena forma de saberlo es usando una foto tuya, te aseguro que te sorprenderás. Ser totalmente simétrico es una cualidad muy rara, pero más o menos sí, poseemos una simetría relativa con respecto a esa línea que llamamos eje vertical.

Existen otras cosas que son simétricas, pero con respecto al eje horizontal, como cuando algo se refleja en un lago o un río, el horizonte del agua es tu eje horizontal y el reflejo hace la simetría, además hay cosas que tienen simetría con respecto al eje que pasa por su centro.

A veces encontramos símbolos o cosas que juegan con la simetría, como nuestro cuerpo, o bien el yin-yang que tienen un aspecto medio simétrico pero que estrictamente no lo son.

El estudio de la simetría es fundamental en la ciencia, en particular en la física y en las matemáticas, también en biología, cristalografía (ciencia que se dedica al estudio y resolución de estructuras cristalinas, como lo son la mayoría de los minerales) y otras muchas disciplinas. Por supuesto encontramos simetría en el arte, principalmente en esas pinturas que están cubiertas por teselas que parecen no tener fin. ¿Tienes idea de cuantos tipos de simetría existen?

Bueno hay 17 tipos de simetría para dibujos en el plano y no puede haber más, pero ¿cómo?, ¿quién ha sido el responsable de validar que no pueden haber más? pues no ha sido tan sencillo, estos se ha concluido con grandes esfuerzos y el profundo estudio por parte de muchos matemáticos. Yevgraf Y. Fedorov, demostró en el siglo XIX que no puede haber más, ya sabes que a los matemáticos nos gusta demostrar cosas y eso hace que se conviertan verdades absolutas.

Ahora me gustaría compartirte un poco de lo que se conoce como simetría del plano, para que puedas hacerte un poco idea de que se estudia cuando hablamos de simetría. Al hablar de simetría, es bastante útil expresar que algo tiene simetría

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cuando se puede mover de alguna forma y que este se vea igual. Para realizar esto no vale romperlo, estirarlo, pegarlo ni nada de eso, lo único que podemos hacer es repetirlo, girarlo y reflejarlo.

De hecho, esas cosas son tres operaciones básicas para saber si un cuerpo tiene simetría. Desplazarlo (lo denominamos “traslación”),

Koushik Chowdavarapu La simetría de traslación, sólo existe para patrones infinitos.

Kyaw Tun Simetría rotacional, al girar un objeto con respecto a un centro su forma permanece inalterable, como cualquier esfera.

Ivana Cajina Simetría por una línea, como cuando ves reflejado un paisaje en un lago.

girarlo en torno a un centro dando media vuelta o cualquier parte de una vuelta, lo llamamos “giro” y reflejarlo con respecto a una recta cualquiera “reflexión”. Bien pues a cualquier figura que podamos aplicarle estas propiedades o combinaciones de ellas, diremos que tienen simetría de traslación, de giro, de reflexión o varias combinadas, recuerda que al hacer esto la figura tiene que quedar igual verdad, esa es la condición más importante que se debe cumplir.

Pero ¿para qué clasificar la simetría?, bueno para ayudarnos a abstraer, generalizar y ordenar los objetos con los que los matemáticos trabajamos todos los días.

Ahora ya sabes querido lector, la simetría no es cualquier cosa, anda, experimenta y presume a tus conocidos que objetos pueden ser simétricos y por qué lo son.

Referencias: Sáenz. E (2016). Inteligencia matemática (2da.Ed). Barcelona. Muntaner Cuesta, J. (25 de Septiembre de 2011). La simetria en Matemáticas y en Física. Obtenido de En el limbo: Matemáticas, física y filosofía: http://matfisfil.blogspot.mx/2011/09/la-simetria-enmatematicas-y-en-fisica.html Lehman, C. (1959). Geometría Analítica. México: Unión tipográfica editorial hispano-americana.

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ORIGAMI Así como en cualquier otra rama de las matemáticas, el origami también desarrollo su propio conjunto de axiomas, algo así como los axiomas de Euclides para la Geometría Plana. Los matemáticos Humiaki Huzita y Koshiro Hatori implementaron estos principios (axiomas), para la papiroflexia:

Chinh Le Duc

La simetría y el papel Por Michelle Alba La papiroflexia es una palabra de origen latino que deriva de papiro (papel) y flectere (doblar); según el diccionario de la RAE significa doblar el papel. El término original de la disciplina es “origami”, palabra japonesa con la misma composición lingüística: ori (doblar), kami (papel). Este arte fue inventado por los japoneses hace más de mil años. Le dieron el nombre de origami y le dotaron de principios estéticos ligados a su cultura. Así que podemos considerarle un arte, una ciencia y un entretenimiento, además tiene una gran importancia en el aprendizaje de las matemáticas.

El origami, consiste básicamente en elaborar una figura tridimensional a partir de una hoja de papel, sin utilizar tijeras ni pegamento para obtener dichas figuras; podríamos considerarlas esculturas de papel.

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1. Si tienes dos puntos (en una hoja de papel), existe un sólo doblez que pasa por ambos.

2. Dados dos puntos: a y b, existe un único doblez que une al punto a con el punto b.

3. Dadas dos líneas, existe un sólo doblez que une a ambas líneas.

4. Si tienes una línea y un punto (separados en el papel), existe un solo doblez perpendicular a la línea, que también pasa sobre el punto.

5. Dados dos puntos diferentes y una línea, existe un doblez que une a una de los con la línea y también pasa por el otro punto.

6. Dados dos puntos a y b; y dos líneas l1 y l2 existe un doblez que coloca al punto a en la línea l1 y al b en l2.

7. Dado un punto y dos líneas l1 y l2, existe un doblez existe un doblez que uno al punto con l1 y es perpendicular a l2.

Así que ahí tienes las reglas precisas que siguen los dobleces en el papel siempre.

Todas las veces que has hecho una pequeña escultura de papel, seguías estas sencillas reglas.

Pero, ¿qué tiene que ver el origami con la geometría?

Pues bien, la belleza de la papiroflexia para un matemático está en su simple geometría. En cada figura, podemos encontrar patrones geométricos, combinaciones de ángulos y rectas que permiten a la hoja tomar formas distintas.

En la geometría el origami no sólo consiste en hacer figuras tridimensionales con papel, sino más bien, en analizar dichas figuras, analizar sus dobleces e identificar conceptos matemáticos usando la creatividad, para

"Las estructuras son las armas de los matemáticos" - N. Bourbaki

posteriormente comprenderlas. Existen unas formas geométricas fundamentales que dan lugar a gran variedad de modelos, denominadas bases. Los modelos tradicionales son: la cometa, el pez, el pájaro y la rana. ¿La papiroflexia nos beneficia en algo? ¡Por supuesto que sí! Al practicarla no sólo nos ayuda a relajarnos o distraernos, sino que nos ayuda a comprender el lenguaje geométrico y su representación matemática.

Podemos reconocer formas y realizar medidas en el plano y en el espacio y así comenzamos a visualizar y a crear los diferentes cuerpos geométricos.

También fomenta la agilidad mental, ayuda a resolver problemas lógico-matemáticos, desarrolla la habilidad manual, la coordinación de movimientos, y lo más importante: a extender nuestra creatividad. ¿No te gustaría aprender geometría por medio del origami?

Tal vez en ocasiones nos parezca un poco pesado aprender temas matemáticos, con la típica clase en donde nos explican todo por medio de una pizarra, pero ¿qué pasaría si nuestros maestros comenzaran usar el origami como medio de enseñanza?, sería divertido ¿no? Llevaríamos nuestra creatividad al máximo nivel, además de eso, estaríamos comprendiendo los conceptos de la geometría de una forma fácil, interesante, entretenida y feliz.

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El origami no sólo es un arte, sino que al doblar papel con la intención de formar una figura seguimos ciertas secuencias lógicas: observación, coordinación, pensamiento intuitivo, y la representación mental. Además, ponemos a prueba nuestra creatividad al crear figuras nuevas.

Ahora, queda en ti comenzar a hacer papiroflexia, puedes comenzar con las figuras más sencillas, y conforme pase el tiempo podrás aumentar la dificultad. Pero no te limites, recuerda que puedes usarla para el aprendizaje de la geometría y para llevar tu creatividad hacia el infinito

Ahora, te dejamos un diagrama para que puedas hacer tu propia gruya de papel:

Referencias: Blanco, C., & Otero, T. (2005). Geometría con papel (papiroflexia matemática). Santiago Compostela.

Desconocido. (2015) ¿Enseñar geometría con origami? 2018, de Ediciones SM Sitio web: http://edicionessm.com.mx/?q=blog-Ensenar-geometria-con-origami Liz Newton. (2009). The Power of Origami. 2018, de Plus Magazine Sitio web: https://plus.maths.org/content/power-origami

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EL TRÍANGULO

Por Angel F. Pérez Hernández

Muchas veces hemos admirado esculturas en

Hablar de pirámides también implica hablar

nuestro entorno, como esos grandes edificios de

de una de las figuras más misteriosas de la

los cuales están repletos la mayoría de ciudades,

geometría, ya te estarás dando una idea verdad,

¿te has dado cuenta que todos tienen un

pues bien comentemos un poco sobre el

parecido a las figuras geométricas?, pues si, la

triángulo, como todos sabemos, un triángulo es

mayoría son prismas rectangulares pero también

parecido a una pirámide, la diferencia es que un

encontramos algunos exóticos como cilíndricos,

triángulo lo podemos dibujar en un plano de 2

esféricos, piramidales (solo por mencionar

dimensiones y una pirámide en 3 dimensiones;

algunos).

hablar de dimensiones es algo excitante, demos un breve repaso.

Esencialmente estos últimos se han convertido en una de las figuras más inspiradoras

Hablemos de dos dimensiones, imaginemos

para la arquitectura moderna, este polígono ha

que tenemos un plano el cual tiene dos ejes, si, es

servido de punto de partida para algunos de los

el plano que ocupamos desde la primaria, el

edificios más célebres del mundo, desde museos

famoso eje “x” y “y”, sobre este plano podemos

hasta hoteles, pasando por estadios deportivos o

poner puntos y al unir nuestros puntos podemos

sedes de empresas, como el Museo del Louvre, en

formar figuras geométricas, de hecho, en 2

París (Francia). Pero también han existido desde

dimensiones no solo podemos formar triángulos,

tiempos antiguos, hasta la fecha siguen

también se pueden formar cuadrados,

impresionándonos por su belleza geométrica,

rectángulos, trapecios, rombos, círculos etc.

como las pirámides de Egipto y que decir de las pirámides de civilizaciones antiguas que en su mayoría se ubicaron en Mesoamérica.

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"¿Puedes imaginar a los jóvenes de

¿Qué pasa con las figuras de 3 dimensiones?

Pues bien, es algo similar, solo que no tendremos

hoy en día estudiando trigonometría

solo dos ejes, si no 3, un eje “x”, “y” y “z”, te das

sólo por diversión? Bueno, yo lo

cuenta que podemos manipular un eje más, eso es genial, porque esto genera que existan figuras

hacía"

más complejas para crear, como: pirámides,

- Astrónomo Clyde Tombaugh

cilindros, conos, esferas, etc.

Bueno, dejando atrás las dimensiones, hablamos del triángulo ¿verdad?, si, una figura tan

el menor número de lados, en términos

enigmática, espectacular y sencilla, que en

sencillos, diremos que un polígono es una

nuestras queridas matemáticas es indispensable y

figura geométrica formada por líneas rectas,

que gracias a ella se han descubierto cosas que

como por ejemplo los cuadrados, rectángulos,

facilitan nuestro entendimiento de las mismas.

rombos, hexágonos entre otros; los que te acabo de mencionar de hecho son llamados

Me imagino que en la escuela la mayoría sufrió

polígonos regulares, y existen muchos más con

demasiado con esta misteriosa figura o tal vez

características diferentes.

esté equivocado y te enamoraste de sus

En matemáticas realizamos este tipo de

propiedades, como no recordar aquellas clases de

clasificaciones para poder generalizar de mejor

trigonometría donde aprendimos las relaciones

manera el uso de las mismas.

entre los lados y ángulos de un triángulo, cuando tu querido profesor no se cansaba de repetirte el

Te decía que era la figura con menor número

Teorema de Pitágoras; la suma de los cuadrados

de lados ¿verdad?, En un triángulo podemos

de los catetos es igual al cuadrado de la

construir todas las demás figuras. Por ejemplo,

hipotenusa, es decir: c^2 = a^2+b^2, donde c era

imaginemos un rectángulo, si trazamos una

nuestra hipotenusa y a, b nuestros catetos, te das

diagonal (que pase por las esquinas), se crean

cuenta que desde ese momento ya empezabas a

dos triángulos, me imagino que muchos en este

manipular fórmulas y hacer magia con las

momento dirán “¡pues claro!, es algo obvio”.

matemáticas.

Aumentemos un poco el nivel, ahora,

Pero, ¿qué hace tan especial al triángulo, para

imaginemos un pentágono, aquella figura de 5

que tenga su propia rama en las matemáticas?,

lados, ¿qué pasa si en cada uno de sus vértices

pues es una figura a la cual se le saca

trazamos una línea a la mitad de nuestro

mucho provecho, mira; es el polígono con

pentágono?, pues creamos 5 triángulos, pero no solo podemos crear 2 triángulos en un rectángulo o 5 triángulos en un pentágono, regresemos a nuestro ejemplo del rectángulo, que pasaría si en vez de una sola diagonal, trazo 2 y estas se cruzan, pues ahora tendríamos 4 triángulos, juguemos un poco más con la mente, ahora que pasaría si a nuestro querido rectángulo lo partimos en 4 partes iguales y a cada parte le trazamos dos diagonales, para que no te partas la cabeza imaginando como quedaría puedes observar la siguiente imagen;

Joel Filipe

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Viene lo interesante: ¿cuántos triángulos

tiene que ver bastante, observemos la siguiente

creamos? por esta ocasión te daré la respuesta,

imagen:

son un total de 44 triángulos, pero te invito a que tú mismo lo descubras. Ves como son de divertidas las matemáticas: además de que te ayudan a desarrollar la lógica. Me gustaría agregar algo muy importante y ahora que estas un poco más convencido de que todas los demás polígonos se pueden crear con triángulos, hablemos de áreas, recordemos que el área del

Podemos darnos cuenta que el triángulo que

triángulo es:

formamos antes, es el mismo del que obtuvimos su área, y reutilizando el ejemplo anterior, diremos que la base mide 5 cm y la altura sería igual a 6 cm; podemos observar que

donde la b representa la medida de la base y la h

el pentágono contiene 5 triángulos y como ya

la medida de la altura

tenemos el área de uno, entonces sólo multiplicamos esa área por 5, lo que nos dará:

y esta es el área del pentágono. Así es como los matemáticos nos dedicamos a deducir cosas, vamos locos por obtener patrones con el fin de Supongamos que la altura del triángulo es de 5

encontrar nuevas aplicaciones a los métodos ya

cm y la base de 6 cm, entonces su área se calcula

conocidos.

así: Para finalizar, me gustaría comentarte que una característica importante del triángulo es su rigidez, eso nos permite utilizarlo en

Ahora regresemos por un momento al

estructuras sólidas, dando así un mayor soporte.

pentágono. Me imagino que algunos se

Ahora entiendes el por qué aún existen las

cuestionaran ¿qué tiene que ver el área el

pirámides de Egipto o de Mesoamérica, y que

pentágono con el área del triángulo?, bueno

decir del famoso triángulo de la vida (método que se utiliza cuando ya no da tiempo para salir de un edificio que se está derrumbando). ¿Lo ves querido lector? ahora puedes contarle a tus amigos, familiares o a quien gustes un poco de lo importante que es esta figura, también te invito a experimentar con la misma, te aseguro que cada día te sorprenderás más de todas las aplicaciones que tiene.

Referencias: Martínez, F. (Diciembre de 2014). Conceptos básicos: Teorema de Pitágoras. Obtenido de Objetos UNAM: http://www.objetos.unam.mx/matematicas/leccione sMatematicas/02/2_160/index.html Polígonos. (2011). Obtenido de http://cepre.uni.edu.pe/pdf/poligonos.pdf Redacción. (20 de Septiembre de 2017). ¿Qué es el triángulo de la vida? Obtenido de El Economista: https://www.eleconomista.com.mx/politica/Que-esel-triangulo-de-la-vida-20170920-0009.html

Daniel Drewniak

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EL CÍRCULO UNITARIO Por Fernando Ramírez González

Aditya Chinchure

El círculo unitario, es un círculo de radio 1,

llamamos hipotenusa. Estos nombres son muy

por tener el radio más simple se convierte en

relevantes en la historia de la geometría y son

una herramienta fundamental en geometría y

el origen de las funciones trigonométricas:

trigonometría, con en él podemos analizar varias propiedades importantes, como las funciones trigonométricas, Esta herramienta nos permite calcular las funciones trigonométricas, de tal forma que al dibujar un triángulo rectángulo dentro de círculo, obtenemos lo siguiente: Ahora, estas relaciones se pueden usar para determinar valores exactos. Como puedes ver en el círculo anterior, además de las líneas que forman el triángulo, también contiene un ángulo θ (que en español le decimos teta), y es nada más y nada menos que una letra griega, los ángulos tienen mucho que ver con las funciones trigonométricas y por ende con los valores de a y b juntos, este tipo de relaciones las puedes presentar como: P(a,b), donde P es Las líneas azules forman una relación, "a" y "b" se llaman catetos, "a" es el cateto opuesto a "h" y b es el cateto adyacente, y a "h" le

un punto sobre el círculo unitario.

Aquí viene la magia, aunque es un truco un poco complicado. Supón una distancia, que

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llamaremos "r" que traza un recorrido desde el origen hasta el punto P, entonces puedes definir esa distancia con una regla muy sencilla:

yo sé que suena un poco complicado, pero estamos hablando de muchísimas relaciones contenidas dentro del mismo espacio, déjame mostrarte una imagen, eso puede hacerlo un poco más sencillo

Shyam Sundar

Un dato interesante: Tal vez te has preguntado cómo es de esta forma puedes ir hilando cada elemento del círculo unitario: los puntos que forman la

que el circulo unitario tiene relación con la identidad

circunferencia, las líneas que son radios y los ángulos que van trazando al moverse por el círculo.

y es porque varias propiedades de las funciones seno y coseno se desprenden del hecho que P(θ)= (cos θ, senθ) se localizan dentro del mismo círculo unitario. Por ejemplo, las coordenadas de P(θ) deben satisfacer la ecuación del círculo:

Entonces al sustituir x=cos θ y Referencias:

y=sen θ de la ecuación anterior,

Michael Sullivan. (1997). Precálculo. México: PrenticeHall Hispanoamericana.

obtendremos el resultado conocido: Esta relación es una de las más

Dennis G. Jaqueline M. Dewar. (2012). Álgebra, trigonometría y geometría analítica. México: MCGRAW

importantes identidades

HILL HIGHER EDUCATION.

trigonométricas, se conoce como

Erich Steiner. (2005). Matemáticas para las ciencias

identidad pitagórica.

aplicadas. Barcelona: Reverté.

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Topología La Geometría de goma Por Luis A. López Hernández e Illyana X. Montoya

Steve Hodgson

La topología es el estudio de las propiedades de los objetos geométricos que se mantienen invariantes, aun después de ser sometidos continuamente a transformaciones. Para la topología la geometría no se trata de cantidades, si no de las cualidades de un objeto, para un topólogo el mundo se ve un poco diferente, aun que vea las mismas cosas que todos los demás, no se fija en distancias o ángulos, “no diferencia entre círculos o elipses, bolas o cubos”. De alguna forma es como si las cosas estuvieran hechas de una goma flexible y maleable (pero, sin alterar los atributos de la goma: sin añadir, ni quitar nada). Imagina una esfera que puede transformarse en un cubo y toma las estructuras fundamentales que permanecen continuas bajo la transformación. Podrías decir que la esfera y el cubo son equivalentes entre sí, porque se puede convertir uno en el otro.

Euler decía que además de esa geometría en la que se trabaja sobre cantidades, existía otra, una donde las cantidades no fueran protagonistas, desarrollando así la geometría o análisis situs. Y a principios del siglo XX, Henri Poncairé, fue un poco más lejos, él decía que los atributos cuantitativos no eran importantes, que se debían respetar las propiedades cualitativas de un objeto geométrico, retomando la geometría situs de Euler. De hecho, se dice que el origen de la topología fue en 1735, cuando Euler resolvió problema de los puentes de Königsberg.

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EL PROBLEMA DE LOS PUENTES DE KÖNIGSBERG

Diagrama de el problema de los puentes de Königsberg, los puntes están resltados en verde

La primera referencia del término topología aparece en una carta de un alumno de Gauss (Johann Benedict Listing), donde decía que topología era un término más apropiado para lo que en ese momento se conocía como Analysis situs, debido a que hace referencia al estudio de la geometría de la posición: topos, que en griego significa lugar. Sin embargo, la palabra Topología tomaría mucho tiempo antes de volverse famosa y es hasta el siglo XX cuando ya se utiliza de manera ordinaria.

La equivalencia entre dos objetos es mucho más vasta: es necesario que ambos objetos tengan el mismo número de intersecciones, huecos, pedazos. Por ejemplo, está permitido que un triángulo se convierta en un círculo, pero no es posible que el triángulo se convierta en un segmento, la razón es muy sencilla: en el primer caso se puede tomar el objeto y transformarlo sin transformar también sus propiedades, sin embargo en el segundo habría que romper el triángulo para conseguir la conversión. La equivalencia no permite que se le resten o sumen objetos a nada, ¡por qué entonces dejaría de ser una equivalencia!

Resumiendo el problema: imagina una ciudad dividida en cuatro regiones por gran río, las regiones están conectadas mediante siete puentes, ahora, el problema es encontrar un recorrido para atravesar toda la ciudad, pasando una sola vez por cada puente y regresando al mismo punto inicial.

Bien, la ciudad se llamaba Königsberg, actualmente Kaliningrado en Rusia, y la solución al problema es negativa, es decir no existe una ruta que cumpla con los requisitos pedidos. Esto fe demostrado por Euler y su demostración puede generalizarse para cualquier área en la que un número de accesos se encuentre limitado por un número de conexiones; Euler utilizó una abstracción del mapa de la ciudad, facilitando la primera conceptualización de grafo y con ello toda otra rama de las matemáticas: la teoría de grafos.

"El vacío está en todas partes y se puede calcular, lo que nos da una gran oportunidad. Sé como controlar el universo. Entonces, dime: ¿Por qué debería correr tras un millón de dolares?"

-G. Perelman

Tubular, Clayton Shonkwiler

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Usualmente se piensa que la topología trata sobre los conceptos geométricos, pero es exactamente al revés, la geometría es el estudio de un cierto tipo de objetos topológicos, porque es una rama más general que la geometría que pretende clasificar los espacios y describir sus propiedades como un todo. Esta rama es relativamente joven y aún quedan muchas cosas por resolver, actualmente podemos encontrar problemas y aplicaciones de la topología en la Teoría de Grafos, esta área de las matemáticas nos ayuda a encontrar las trayectorias más óptimas, entre otras cosas, para hacer más eficiente el transporte de mercancías; o en la Teoría de Nudos, que trata de comprender los nudos de las moléculas de ADN; en la Teoría de Superficies, que estudia la clasificación de las superficies compactas, equiparando una dona con una taza de café, ¿por qué? porque, en topología, mediante transformaciones se puede pasar de una forma a otra sin romper los espacios involucrados.

Y aún hay más, en épocas recientes el matemático ruso Perelman demostró la entonces llamada conjetura de Poincaré (ahora Teorema) siendo uno de los problemas del milenio, el único del que finalmente se ha hallado la solución, en términos generales y para no entrar en detalles poco claros, el teorema trata sobre espacios topológicos; y en el 2016 el premio Nobel de física fue para un equipo de científicos, David Thouless, Duncan Haldane y Michael Kosterlitz, quienes a través de la topología lograron grandes descubrimientos sobre los estados inusuales de la materia, dando paso a una revolución en la forma en la que entendemos el universo.

Britta Gustafsoner

Referencias Benitez, R. (2017). Topología General. Ciudad de México: Trillas.

Soto, J. [UCAM Universidad Católica de Murcia] (2013, noviembre 26). ¿Qué es la Topología?

UCAM Knowledge Pills [Archivo de Video] Recuperado de https://www.youtube.com/watch? v=FdSehUWcl9Q

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Algo más de ciencias

Algoritmos Esos amos ocultos Por Carlos D. Álvarez

Un automóvil autónomo puede analizar las condiciones del ambiente, el estado de la carretera, la proximidad de los otros vehículos y predecir las posibilidades de un accidente de acuerdo con esos datos, de forma más eficiente que un conductor. Sin embargo, estudios recientes demuestran que las personas aún no confían del todo en los algoritmos que controlan las respuestas de los automóviles y prefieren confiar en su propio juicio al momento de ponerse detrás del volante.

No es un fenómeno nuevo. Los primeros astronautas eran menos pilotos que muñecos de prueba en las primeras misiones espaciales pues los módulos eran controlados desde tierra. Fue hasta que los astronautas, hartos de someter sus habilidades a la voluntad de las maquinas, solicitaron al menos un grado mínimo de control, que ciertos aspectos de las misiones fueran cedidos a su juicio.

Ambos ejemplos, finalmente parecidos, nos ayudan a entender la relación que tenemos con nuestras maquinas y en forma más específica, con un concepto matemático que cada día tiene más importancia en las actividades humanas de todo tipo: los Algoritmos.

Un algoritmo puede entenderse de forma sencilla como un sistema de instrucciones que facilita la tarea 23 Jared Tarbell

"Un algoritmo es como una receta" -M. Waseem

de quien debe llevarlas a cabo, minimizando las dudas y partiendo de un dato de entrada que da pie a una serie de pasos que finalizan con una salida. Se utilizan comúnmente en matemáticas, lógica y computación, en esta última destaca la sub-rama llamada Algorítmica.

Un manual de usuario, las reglas de una organización internacional, los pasos para llevar a cabo una multiplicación, son ejemplos básicos de algoritmos. Sin embargo, con el avance de la computación y el desarrollo del internet, los algoritmos comenzaron a tomar un papel central en el modo en que circula la información. Desde las transacciones de bolsa y los modelos predictivos de movimientos de capital y mercado hasta la dispersión de contenido viral, los algoritmos controlan la manera en que la información circula por nuestras pantallas y determinan el contenido que vemos a través de ellas.

Quizás el ejemplo más claro es el que ocurre cada segundo en las redes sociales de mayor uso alrededor del mundo. Twitter, Instragram y principalmente Facebook, están construidos alrededor del uso de algoritmos de una complejidad vertiginosa y que se guardan como secreto industrial. Tras bambalinas, estos algoritmos determinan la información que sus usuarios consumen, basándose en las conexiones que estos mismos usuarios realizan entre sí. En este caso, la entrada inicial del algoritmo es proporcionada por el usuario, al alimentar su perfil con información sobre sí mismo, sus gustos, sus aficiones, y sus conexiones con otras personas.

La principal meta de las redes sociales es lograr la visualización de contenido. Por ello, recompensa la interacción, entre más tiempo pasa el usuario en una red social, más aprenden los algoritmos sobre sus hábitos de uso y mejoran las ofertas de anuncios específicos, las sugerencias de contenido y los posibles vínculos con otras personas que comparten características comunes. Todo ello por medio de algoritmos que analizan a gran velocidad los datos que el mismo usuario provee y responden creando una salida, que en este caso es la oferta de contenido que más posibilidades tiene de agradar al usuario y aumentar su grado de interacción.

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Un resultado aún vastamente inexplorado del uso de algoritmos en redes sociales es la creación de "Burbujas de contenido", que mantienen al usuario en una especie de zona de confort ideológica, que le impide interactuar con ideas distintas a las suyas. El ejemplo más reciente y quizás el primero en llamar la atención sobre este problema, se dio durante la elecciones presidenciales de Estados Unidos en 2016.

Además del uso de bots para influenciar el contenido presentado en redes sociales (y que también funcionan por medio de algoritmos), sociólogos y psicólogos comenzaron a estudiar la forma en que la información presentada al usuario a través de las redes sociales influía en su percepción de la realidad. Básicamente, al alimentar a los algoritmos con su información personal, estos sugerían paginas, organizaciones y personas que compartían sus puntos de vista, al mismo tiempo le impedían la exposición a ideas contrarias a las suyas. Como resultado, ambos lados de la arena electoral se aislaron dentro de sus propias burbujas a medida y dejaron de tener un intercambio de ideas productivo. Esta falta de interacción dio como resultado una división política que aumenta el panorama de incertidumbre general en Estados Unidos.

El estudio de las redes sociales y sus consecuencias más allá del mundo virtual es aun una ciencia muy nueva. La forma en que estas moldean nuestras interacciones y nuestro consumo de información depende de un sistema automático que muchas veces deja de lado el factor humano. Mas allá de los beneficios que estas pueden tener para el libre flujo de ideas, tal vez sea hora de imitar a los astronautas que exigieron un grado mayor de control y dejemos de ser simplemente muñecos de prueba para algoritmos que a pesar de estar diseñados para facilitar la interacción entre personas, en la mayoría de los casos, poco tienen que ver con lo humano.

Referencias: Collins, J. (6 de Febero de 2018). What to do when algorithms rule. Obtenido de Behavioral Scientist : http://behavioralscientist.org/what-todo-when-algorithms-rule/ Dietvorst, B. (6 de Diciembre de 2016). People Reject (Superior) Algorithms Because They Compare Them to Counter-Normative Reference Points. Obtenido de SSRN: https://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm? abstract_id=2881503 Tanja Cappell

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Algo más de ciencias

LA GEOMETRÍA DEL AGUA Por Ruth García Méndez

GEOMETRÍA MOLECULAR La misma composición del agua es geometría. Las moléculas que componen el agua se clasifican como una estructura simple y angular, compuesta por 2 átomos de Hidrógeno y uno de Oxígeno, unidos por dos enlaces: H2O.

¿Qué es lo que no se hunde en el agua? Hoy los insectos flotan en el agua, los moscos, las libélulas y otras tantas cosas… también los barcos surcan los océanos como moscos en una cubeta olvidada. A las personas del viajero transbordador, quizá les maraville como corta el agua del océano a su paso y como los kayaks surcan los ríos salvajes.

La geometría del agua hace posible la vida, los enlaces tridimensionales entre hidrógenos y oxígenos, molécula tras molécula se enlazan, pero la geometría está presente si se trata de explicar la cohesión de las moléculas de agua, y por supuesto la física y las matemáticas aplicadas para revestir la explicación de lo cotidiano, de lo que siempre hacemos en el agua, de lo que vemos todos los días y tras de sí danzan las ciencias exactas en la construcción de explicaciones de los seres vivos.

Los mosquitos han encontrado en la superficie del agua un buen lugar para anidar a sus huevos y continuar con la reproducción de la especie y sucede gracias a la adaptación de sus patas, ya que esta adaptación se beneficia de la tensión super-ficial del agua.

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La intersección de las partículas en la superficie del agua, se vuelve un área elástica, si se deforma la cara del agua, aparece una fuerza tangencial* a la superficie que tratará de llevarla a su anterior forma de reposo, esta fuerza, medida por unidad de longitud, es la fuerza de tensión superficial.

El componente vertical, se entiende como: Fy = 2π rγ cos θ (× número de patas) donde F es la fuerza y r es el radio de la depresión circular que forma la pata sobre la superficie.

“Termodinámicamente la tensión superficial es un fenómeno de superficie y es la tendencia de un líquido a disminuir su superficie hasta que su energía de superficie potencial sea mínima, condición necesaria para que el equilibrio sea estable. Como la esfera presenta un área mínima para un volumen dado, entonces por la acción de la tensión superficial, la tendencia de una porción de un líquido lleva a formar una esfera o a que se produzca una superficie curva o menisco cuando un líquido entra en contacto con un recipiente. Como resultado de la existencia de la tensión superficial, es necesario entregar energía a un sistema para aumentar su superficie. La tensión superficial se puede interpretar, entonces, como la energía que se debe dar a un sistema líquido para aumentar su superficie en una unidad, venciendo la atracción entre sus moléculas (Castellan, 1987; Atkins, 2006).” citado en (Domínguez; Toro, 2014) Las moléculas de agua se unen entre sí atraídas unas por otras en todas direcciones pero en la superficie esta unión no va en dirección al fondo sino que se mantiene y forma una película impenetrable. La fuerte unión de las moléculas sucede mayormente por los enlaces químicos de oxígeno e hidrógeno, solo el mercurio supera esta unión de las moléculas del agua, fenómeno que se conoce con el nombre de fuerzas de Van der Waals: “Son fuerzas de estabilización molecular; forman un enlace químico no covalente* en el que participan dos tipos de fuerzas o interacciones, las fuerzas de dispersión (que son fuerzas de atracción) y las fuerzas de repulsión entre las capas electrónicas de 2 átomos contiguos.”(ECURED, 2018) La proximidad de las moléculas resulta en una fuerza de atracción mayor pero también muy sensible a la temperatura, este tipo de interacción se conoce con el nombre de dipolodipolo inducido y en ella entra en juego una energía atractiva que puede representarse mediante una gráfica logarítmica, es decir que una vez que se unen las moléculas su atracción es infinita.

Linus Paulin propuso una estructura tetraédrica de la molécula del agua. En su teoría de hibridación de orbitales, el oxígeno presenta dos orbitales desapareados que al combinarse con dos átomos de hidrógeno para formar una molécula de agua, forman un ángulo de 104o 5'. Lo cual fue demostrado por Pauling a través de las combinaciones de onda individuales para los orbitales atómicos para obtener nuevas funciones de onda para los 27

"Los encantos de esta ciencia sublime, las matemáticas, sólo se revelan a aquellos que tienen el valor de profundizar en ellas"

orbitales híbridos. “El orbital s y los tres orbitales p, de la capa de valencia del átomo de oxígeno, se hibridan para dar lugar a cuatro nuevos orbitales híbridos, que llamamos orbitales sp3, y que se disponen tetraé- dricamente”( Encuentros en la biología, 2013) El fin de las esferas La tensión superficial, lograda por la disposición de los enlaces de las moléculas de agua que forman puentes de hidrógeno, es la responsable de que al lavar algún objeto metálico este no se moje completamente, pues las moléculas de grasa del objeto y la tensión superficial del agua se repelen. A veces esto resulta molesto cuando la prisa se apodera de los tiempos y lo que queremos es que dichas fuerzas no existan y mojar lo más rápido posible la ropa, el auto, los trastos, y usamos detergente para disminuir la tensión superficial del agua y formar una capa superficial cuyas moléculas apenas atraigan a las moléculas esféricas del agua, el resultado será nuestro logro: mojar de inmediato el objeto que necesitamos lavar.

Esta sustancia rompedora de moléculas del agua se llama surfactante o tenso-activo y aunque si bien nos ha resuelto un problema cotidiano también nos creará uno mayor que quizá recordemos si por fortuna o infortunio pasamos al lado de un rio contaminado con espumas crecientes donde la vida se ha esfumado. Otro agente que desestructura a las moléculas de agua es el calor, mientras que la temperatura se mantenga en 3.98° centígrados permite que el agua logre su máxima adherencia, pero superando este límite promueve velozmente la liberación de las moléculas porque la densidad disminuye y rompe los puentes de hidrógeno.

La temperatura promedio de los océanos es de 17° centígrados (Ventanas al Universo, 2011) y el de los cuerpos de agua dulce varía según la temperatura ambiental y la altitud pero se acerca al rango de los océanos en promedio (Climata.data.org, 2018). La temperatura de los océanos responde con menor rapidez al cambio climático y la variación de temperatura afecta hasta los 700 metros de profundidad (National Geographic, 2010) sin embargo hay afectaciones en los ecosistemas marinos y en los ecosistemas mundiales lo cual debe ser sin duda el pretexto para otro artículo.

Referencias: ABC Ciencia http://www.abc.es/ciencia/20150304/abci-como-pueden-mosquitos-caminar201503031705.html Domínguez, Orlando J.; Toro, María A.; Serrano, Emilio M.. Enseñanza del Concepto de Fuerzas Intermoleculares en Ingeniería Química: su Relación con Propiedades Medibles Facultad de Ingeniería, Universidad Nacional de Salta. Consejo de Investigación de la Universidad Nacional de Salta. Aceptado Jul. 14, 2014; Versión final recibida Sep. 10, 2014 https://scielo.conicyt.cl/pdf/formuniv/v7n5/art03.pdf ECURED (2018) https://www.ecured.cu/Fuerzas_de_Van_der_Waals Encuentros en la biología (2013). http://www.encuentros.uma.es/encuentros142/pauling.pdf Fenómenos de superficie: Tensión superficial y capilaridad. http://www.ugr.es/~pittau/FISBIO/t5.pdf Ventanas al Universo (2011) https://www.windows2universe.org/earth/Water/temp.html&lang=sp 28

Lógica, paradojas e infinitos

El Laberinto del Go Por Jair Carmona Casiano

El go Hoy, 9 de septiembre de 1978, tuve en la palma de la mano un pequeño disco de los trescientos sesenta y uno que se requieren para el juego astrológico del go, ese otro ajedrez del Oriente.

Es más antiguo que la más antigua escritura y el tablero es un mapa del universo.

Sus variaciones negras y blancas agotarán el tiempo.

En él pueden perderse los hombres como en el amor y en el día.

Hoy, 9 de septiembre de 1978, yo, que soy ignorante de tantas cosas, sé que ignoro una más, y agradezco a mis númenes esta revelación de un laberinto que nunca será mío.

Jorge Luis Borges En La cifra, 1981 Obra poética 1923/1985

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Sunny Ngo

El go es un juego de Estrategia, donde se disponen de piedras blancas o negras, se colocan en el campo (en las intersecciones de un tablero de 19x19). Mientras se avanza, los dos jugadores buscan ocupar un área, hasta ahora desierta y deben disputar el espacio. Al colocar formaciones adecuadas, se pueden crear posiciones gradualmente aseguradas. Al final, se compara el tamaño de las áreas dominadas y se cuenta el número de piedras tomadas. Entonces, el objetivo no es aniquilar completamente al oponente (como en el ajedrez), sino obtener más puntos con el área y las piedras capturadas.

dimensiones de este, su forma, su complejidad, la pasión que genera y el go como doctrina, en un primer momento se refiere a la forma, pues el aspecto del juego llama inmediatamente, se ve el vació del tablero que se perturba con la primera piedra y da paso a estructuras y formas complejas.

También laberinto se refiere a la complejidad de resolución, el go es un juego combinatorio, eso significa que la dificultad para encontrar una estrategia ganadora se debe a la gran cantidad de movimientos posibles.

Otro aspecto que le añaden complejidad al go, (pero más referente a determinar que jugada es buena o mala respecto al fin del juego y no en el sentido de la teoría de juegos combinatorios) es que para el go necesitas mantener una atención doble, tanto a un nivel micro, como a la imagen total del

Jorge Luis Borges hace dar cuenta de la trascendencia histórica que ha tenido el juego del go, parece impresionante que justo ahora se tenga la posibilidad de adentrarse a este laberinto milenario, y correcta es la designación “laberinto” para referirse al go, pues describe varias

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No es raro encontrar en Japón los llamados insel, estudiantes de go, que dedican su vida, desde edades muy tempranas a estudiar go con el fin de lograr convertirse en profesionales del juego.

trabajo (macro), una posición aparentemente perdida localmente, puede jugar un papel crucial en un momento futuro.

Cada piedra fija a menudo tiene varias funciones al mismo tiempo, desde fortalecer la propia posición asegurando una conexión con una segunda posición, hasta atacar el territorio dominado por el oponente.

Por esta razón dependiendo de la predisposición, los jugadores pueden concentrarse en crear áreas lo más grandes posible, al mismo tiempo que evitan que su oponente lo haga.

Finalmente, los laberintos han sido usados como símbolo de la peregrinación; las personas pueden seguir el camino hacia la salvación o la iluminación. Como se ha visto la estrategia es un aspecto importante, pero no el único del juego, puede estimular la meditación, desafiar la mente y proporcionar a algunos jugadores un espejo de su propia personalidad.

Además, una vez dentro del laberinto se vuelve imposible salir porque esta gran complejidad se refleja en la pasión y dedicación que genera en sus jugadas, ya que ellos pueden trabajar toda su vida para perfeccionar el estilo y su capacidad de juego.

El go tiene aspectos filosóficos del taoísmo como el Yin y Yang, la dicotomía entre dos elementos y el balance entre ellos, es el motor del juego: blanco y negro; vida y muerte; dominio e influencia; ataque y defensa.

Liz West

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Si te interesa aprender a jugar envía un mensaje a la página de facebook: Taller de Go, Fes Acatlán Oskar Alexanderson

Enlace: https://bit.ly/2IRmpOD

Como se decía en un principio no es la aniquilación de tu enemigo, es el balance de la existencia de ambos en el tablero. Un juego manejado con elegancia por ambos jugadores puede ser percibido como una obra de arte.

No es por nada que durante el siglo IV a.C., el go haya sido considerado una de las Cuatro Artes Tradicionales de los eruditos chinos, junto con la caligrafía, la pintura y la interpretación del instrumento musical guqin.

Y a pesar de la gran complejidad en la estrategia del go, las reglas básicas son tan simples que se pueden aprender rápidamente.

Referencias: Albuja, Diego O. (2007). Principios Estratégicos del Go (Segunda edición). Ecuador: Asociación Ecuatoriana de Go. Borges, J. L., Porzio, D., & Mondadori. (1999). La cifra.

Milano: Mondadori.

Allis, V. (1994). Searching for solutions in games and artificial intelligence. [University of Limburg].

Maastricht.

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CAMBIO DE VARIABLE

Foto:Â Paul Goeltz