Pasatiempos y soluciones

Sección a cargo del V.·.H.·. Aquilino R Leal

El tercer desafío del mes pasado, la solución al final de los de este mes, preguntaba: además de la hora 0h 0min., ¿cuántas veces más se superponen las manecillas del reloj (horas y minutos) en un día completo? Ahora os dejamos otro reto que implica un reloj convencional. Vea.

Las manecillas de horas y minutos de un reloj convencional se superponen varias veces al día (22 veces como vimos anteriormente); ¿Cuál es el intervalo de tiempo entre dos superposiciones consecutivas?

A ver si realmente dominas el reto de las cartas propuesto el mes anterior solo que ahora la suma deberá ser 10, es decir: coloca cada una de las seis cartas de abajo, numeradas del 1 al 6, en cada cuadrado del triángulo mostrado abajo para que la suma de los dígitos a cada lado de ese triángulo sea igual a 10.

1 2 3 4 5 6

Estimado 'bro' lector, a través del correo electrónico de RETALES DE MASONERIA, retalesdemasonería@gmail.com, recibí un mensaje que, confieso, no pude descifrar. ¿Puedes ayudarme descifrando tal mensaje?

El mensaje que recibí fue el siguiente:

"Para ti Aquilino que te gustan los retos y, sobre todo, las matemáticas, ¡intenta descifrar el mensaje de abajo!

7773382555337777

Todas las respuestas/soluciones de los pasatiempos, serán publicadas en la próxima edición. Mientras tanto, si quiere enviarnos su respuesta estaremos contentos de recibirlas y publicar las más originales retalesdemasonería@gmail.com o coordinador@retalesdemasonería.com

El tercer reto de la pasada edición de Pasatiempos, cuya solución se presenta hoy al final de los de esta revista, consiste en averiguar código secreto de cuatro dígitos de un candado. Queriendo descubrir el código secreto por medio de la "fuerza bruta", ¿cuántos intentos, a lo sumo, tendríamos que hacer? O, en otras palabras, a lo sumo, ¿cuántos códigos tenemos que intentar para tener la seguridad de abrirlo?

Solución

¡Vea, el código que permite la apertura de dicho candado consta de 4 dígitos!.

Por otro lado, están disponibles 10 dígitos: 0-1-2-3-4-5-6-7-8 y 9.

La primera casilla, de izquierda a derecha, puede estar ocupada por uno de estos diez dígitos, es decir, hay 10 posibilidades de llenar ese hueco. Una vez que haya elegido este dígito, tenemos 10 opciones para el segundo dígito y, hasta ahora, 10x10 = 100 opciones diferentes. Para la selección del tercer dígito también tenemos 10 opciones (nótese que nada impide que los dígitos se repitan) y hasta ahora son 10x10x10, o 1.000, selecciones diferentes, finalmente a la última posición, la cuarta, nos damos cuenta de cada una de estas mil opciones anteriores tenemos diez opciones más para cada una para que el total de códigos posibles sea de 10.000, que es la respuesta buscada.

También podemos pensar de la siguiente manera: el código "más pequeño" es el código formado por cuatro ceros: 0 0 0 0; ya el código "más grande" posible consta de cuatro nueves, a saber: 9 9 9 9. Desde el número 0000 hasta el número 9999 hay no menos de 10.000 números diferentes, o, lo que es lo mismo, 10.000 números, códigos en este caso, diferentes.

La foto lateral muestra el código 3 6 1 5 que abre ese candado.

Coloque cada una de las seis cartas a continuación, numeradas del 1 al 6, en cada cuadrado del triángulo de adelante para que la suma de los dígitos a cada lado de ese triángulo sea igual a 9.

1 2 3 4 5 6

Solución

Este tipo de desafío parece agotador, y lo es si el razonamiento no viene en nuestra ayuda.

La idea es armar una tabla con todas las posibilidades, algunas de las cuales no cumplirán con la expresión, como la tríada [2-3-6] cuya suma, 11, es diferente de 9 o la tríada [4-4-1] donde hay duplicidad de valores. Así que hagamos esto: “tableemos” todas las posibilidades eligiendo dos dígitos y determinamos el tercer dígito para que la suma sea igual a 9 – las matemáticas nos dicen que hay 15 posibilidades1 .

Comenzamos seleccionando el dígito 1 que puede unirse a uno de los 5 dígitos restantes; el dígito 2 solo se puede asociar con los 4 dígitos restantes (tenga en cuenta que el 1 debe eliminarse porque el par [1-2] trae el mismo resultado que el par [2-1]); ya el dígito 3 puede coincidir con los dígitos 4, 5o 6; para 4solo tenemos dos posibilidades y finalmente para el dígito 5 solo queda una posibilidad que es el 6 – siga por la tabla de adelante donde se resaltan estas posibilidades: gris claro.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 4 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 4 5 6 5 6 6

El siguiente paso es completar la cuarta fila de la tabla para que la suma de los tres dígitos involucrados sea exactamente igual a 9, recordando que solo podemos usar los valores 1, 2, 3, 4, 5 y 6; por otro lado la suma de los tres dígitos debe ser de 9 lo que hace imposible hacer las últimas cuatro posiciones, en rojo, de la tabla – a partir de este punto solo tenemos que preocuparnos por las once posibilidades indicadas en color verde.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

1 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 4 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 4 5 6 5 6 6 6 5 4 3 2 4 3 2 1 2 1

A partir de las posibilidades válidas presentadas, observamos que algunas columnas tienen duplicidad; es el caso de los valores de las siguientes columnas:

Primera [1-2-6] con la quinta [1-6-2] y la novena [2-6-1] ➔ quinta y novena columnas eliminadas

1 Simplemente elija dos dígitos de seis, un simple ejercicio de matemáticas (análisis combinatorio):

C6 2 = 6! 4!2! 5x6 2 =15

Segunda [1-5-3] con la cuarta [1-5-3] y décima primera [3-5-1] ➔ cuarta y décima primera columnas eliminadas

Sexta [2-3-4] con la séptima [2-4-3] y décima [3-4-2]➔ séptima y décima eliminadas.

Además, algunas situaciones no son posibles, como la columna 3 con la tríada [1-4-4] y la columna 8 ([2-5-2]), ambas no válidas para repetir valores.

Siga en la siguiente tabla donde R representa la repetición y la imposibilidad I .

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

1 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 4 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 4 5 6 5 6 6 6 5 4 3 2 4 3 2 1 2 1 I R R

R I R R R

De todas ellas, hay tres posibilidades: [1-2-6], [1-3-5] y [2-3-4] de las cuales nos damos cuenta de que los dígitos 1, 2 y 3 aparecen dos veces, por lo que deben ocupar los vértices del triángulo y... Ahora es fácil. ¡Muy fácil según la siguiente ilustración, que es la solución tan deseada!

El reloj es un dispositivo de medición de variación de tiempo relativamente complejo, comenzando con el empleo de un sistema de medición con unidades varias (sistema sexagesimal).

El reloj que estás viendo marca 0h 0m. Esta es la primera vez del día en la que las manecillas de minutos y horas se superponen exactamente.

Más allá de ese horario. 0h 0m, ¿cuántas veces más se superponen las manecillas del reloj (horas y minutos) en un día completo?

Solución

A medianoche las manecillas se superponen, a partir de ese momento la primera superposición se producirá entre la 1 a.m. y las 2 a.m., la segunda superposición entre las 2 a.m. y las 3 a.m. y así sucesivamente como se muestra claramente en la tabla a continuación.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1/2 2/3 3/4 4/5 5/6 6/7 7/8 /8/9 9/10 10/11 12h

Vemos que hay 11 sobreposiciones en la primera parte del día (desde las 0h 0m hasta las 12h 0m); muchas otras superposiciones ocurrirán en la segunda parte del día (desde el mediodía hasta incluso la medianoche), por lo que durante un día completo hay 22 (2x11) superposiciones entre la manecilla de las horas y la manecilla de los minutos, por lo que la respuesta buscada es 21: Por lo que nos dice el enunciado del problema tenemos que excluir la superposición que se produce en el tiempo 0h 0m (nos pregunta ¿Cuántas más? Y no ¿Cuántas veces sucede?.

Respuesta: En un día completo hay 21 superposiciones entre las manecillas de las horas y la manecilla de los minutos.