El proceso de fisión

EL PROCESO DE FISIÓN MECANISMO DE LA FISIÓN NUCLEAR Un núcleo se parece a una gota líquida, en el sentido de que cada una de las partículas constituyentes del mismo interaccionan por igual con sus vecinas más próximas. En primera aproximación la energía interna ( o de enlace) del núcleo es proporcional al número de nucleones, es decir al número másico. El radio nuclear varía en función de A1/3, de modo que el volumen efectivo de un núcleo es también proporcional al número másico La energía interna es directamente proporcional al volumen nuclear. En un núcleo, las partículas, disponen de un número menor de partículas en su entorno inmediato que las que están en su interior.

En la fisión nuclear, un blanco absorbe un neutrón y forma un núcleo compuesto excitado. (A). La energía de excitación de este último es, igual a la energía de enlace del neutrón, más la energía cinética que el neutrón pudiera tener antes de su captura. Como consecuencia de este exceso de energía, puede considerarse que el núcleo compuesto experimenta una serie de oscilaciones, en el curso de las cuales pasa por una fase similar a B de la figura.

Si la energía de oscilación es insuficiente para producir deformaciones más avanzadas que B, las fuerzas atractivas obligarán al núcleo a su forma original. En tal caso el exceso de energía se elimina por la expulsión de un fotón gamma del núcleo compuesto excitado.

En el caso de que el núcleo compuesto posee energía suficiente para permitirle pasar a la fase C, la restauración del estado inicial A, se hace improbable, debido a que la energía superficial (más la energía de repulsión electrostática) supera a la energía de volumen. El sistema pasa rápidamente de C a D, y luego a E, lo que significa la escisión del núcleo en dos núcleos independientes (fragmentos de fisión), que salen lanzados en direcciones opuestas, como consecuencia de la repulsión electrostática existente entre ellos. El exceso de energía que el núcleo compuesto debe poseer para su deformación alcance el estado C, recibe el nombre de energía crítica de fisión. Si el núcleo dispone de esta energía, en forma de energía de excitación, producida por captura neutrónica, la fisión tendrá lugar normalmente. Si no dispone de esta cantidad de energía, no hay posibilidad de fisión.

Podemos analizar la energía crítica de fisión, por una curva de energía potencial representada en la figura.

En el extremo derecho de la curva E, se supone que los dos fragmentos del núcleo, están completamente separados, de modo que la energía potencial del sistema es virtualmente cero. Al ir acercándose los núcleos el uno al otro, hay un incremento de energía potencial, debido a la repulsión electrostática de sus cargas positivas. Cuando los fragmentos alcanzan el punto C, que corresponde más o menos al contacto entre ambos, las fuerzas atractivas se hacen dominantes y la energía potencial comienza a decrecer en dirección a A. Este último punto puede considerarse que corresponde al estado normal o fundamental del núcleo compuesto, formado cuando el blanco

captura un neutrón; quiere decirse que representa la energía del núcleo compuesto, sin la energía de excitación resultante de la captura electrónica. Con el fin de que se produzca la fisión con una velocidad razonablemente rápida, el sistema debe pasar de A a E, lo cual solamente es posible, en general, si el núcleo compuesto adquiere energía suficiente para elevarlo al nivel C, la diferencia de energía entre los estados A y C representa la energía crítica de fisión.

Los cálculos basados en el modelo de gota líquida, la energía crítica de fisión debería disminuir al ir aumentando el valor de Z2/A, siendo Z el número atómico y A el número másico del núcleo considerado. Un argumento cualitativo conducente a esta conclusión es que la repulsión entre nucleones, que favorece la fisión, varía proporcionalmente a Z2, mientras que la atracción es aproximadamente proporcional a A, de suerte que la fisión debería producirse con mayor facilidad al aumentar Z2/A. Cuando el valor de Z2/A es inferior a 35, en números redondos, la energía crítica es tan grande, que serían necesarios neutrones de muy elevada energía para producir la fisión. Con núcleos con valores de Z2/A superiores a 35, la energía crítica baja a 6 MeV o menos, que es del orden de magnitud de la energía de enlace de un neutrón y, por lo tanto, de la energía de excitación que acompaña a la captura de un neutrón de baja energía.

En la tabla se muestran los valores de energía crítica y de la energía de enlace neutrónico, correspondientes a ciertos núclidos importantes. Para los núclidos fisiles uranio 235, uranio 233 y plutonio 239, la energía de enlace neutrónico es superior a la energía crítica de fisión.

La captura de un neutrón de energía cero puede suministrar energía de excitación suficiente para que el núcleo compuesto experimente fisión. Esto explica por qué estos núclidos son fisionables por neutrones de cualquier energía. En el caso del torio 232 y del uranio 238, la situación es distinta; las energías de enlace neutrónico son de alrededor de 1 MeV inferiores a las energías críticas respectivas. Para que el núcleo compuesto disponga de energía de excitación suficiente para que se produzca excitación suficiente para que se produzca fusión, es preciso que el neutrón capturado posea, por lo menos, la energía de 1 MeV. La diferencia entre las energías de enlace neutrónico de uranio 235, uranio 233 y plutonio 239, por una parte, y torio 232 y uranio 238, por otra estriba en el hecho de que los primeros contienen números impares de neutrones, mientras que los últimos poseen números pares de los mismos. La adición de un neutrón a un núcleo con número impar de neutrones, para convertirle en número par, lleva asociada una energía de alrededor de 1 MeV superior a la que corresponde al proceso inverso, el paso de un núcleo con número par a otro con número impar de neutrones, en la misma región de números másicos.

SECCIONES EFICAES DE FISIÓN Las secciones eficaces de fisión de los núclidos uranio 233, uranio 235 y plutonio 239, todos ellos fisionables por neutrones lentos, varían con la energía en forma similar a las secciones eficaces de captura radiactiva. Para neutrones de baja energía, la dependencia energética de las secciones eficaces satisface aproximadamente la ley 1/ν, mientras que los valores se hacen más pequeños a energías altas aproximándose a las secciones normales geométricas

La tabla muestra las secciones eficaces del uranio 235, plutonio 239, uranio 238 y uranio natural, para neutrones de 2200 m/s, todas ellas de gran interés en los reactores nucleares. Alrededor del 84% de los neutrones térmicos absorbidos por el uranio 235 provocan fisión, mientras que solamente el 72% de los absorbidos por el plutonio 239 son efectivos.

VELOCIDAD DE FISIÓN Y POTENCIA DE UN REACTOR La velocidad de una reacción en la que intervienen neutrones monoenergéticos viene expresada por ∑ɸ, siendo ∑ la sección eficaz macroscópica del proceso considerado y ɸ el flujo de neutrones monoenergéticos.

Velocidad de fisión = ∑∫ ɸ fisiones / (cm3)(sec.)

Donde ∑∫ ɸ = Nσ∫

y

ɸ = nν

Siendo N el número de núcleos fisibles por cm3, σ∫ la sección eficaz de fisión y n es el número de neutrones por cm3 y ν la velocidad de los neutrones.

En un reactor de volumen determinado, en que las fisiones son producidas por neutrones en un intervalo energético concreto, la potencia es proporcional al producto de la sección eficaz macroscópica de fisión por el flujo neutrónico.

Con el funcionamiento del reactor ∑∫ que es igual a Nσ∫, debe disminuir ligeramente, ya que se produce una disminución gradual de N, número de núcleos fisiles por cm3. Sin embargo, tanto N como σ∫ pueden considerarse constantes; por consiguiente, el nivel de potencia es proporcional al flujo neutrónico. La potencia de un reactor nuclear se altera, por modificación del flujo neutrónico.

NEUTRONES Y RAYOS GAMMA DE FISIÓN Los neutrones que quedan en libertad en el proceso de fisión se dividen en dos categorías, neutrones instantáneos y neutrones retardados. Los primeros, constituyen más del 99% del total de neutrones de fisión, se liberan en un intervalo de tiempo de 10-12 segundos, o inferior, a partir del instante de la fisión. Al cesar ésta, cesa automáticamente la emisión de neutrones instantáneos, pero los fragmentos de fisión continúan emitiendo neutrones retardados durante un período de varias horas, con una intensidad que decrece rápidamente con el tiempo.

Los valores medio del número de neutrones, ν, puestos en libertad por cada neutrón térmico absorbida en una reacción de fisión; los coeficientes de la última columna corresponden a la variación de ν con la energía del neutrón, que provoca la fisión. Se observará que los valores de ν no son enteros; esto se debe a que el núcleo compuesto excitado, se escinde de muchas maneras diferentes. Aunque en cada fisión individual el número de neutrones emitidos debe ser entero, el promedio de todos ellos no es necesariamente entero.

La emisión de neutrones instantáneos tiene lugar de la siguiente forma. El núcleo compuesto excitado, que se formó por captura de neutrón, se rompe primeramente en dos fragmentos nucleares, cada uno de los cuales contiene un número excesivo de neutrones, a efectos de estabilidad, así como también el exceso de energía de 6 a 8 MeV (excitación) que se requiere para la expulsión de un neutrón. El fragmento nuclear, inestable y excitado, emite normalmente uno o más neutrones (los neutrones instantáneos), en un intervalo de tiempo muy corto a partir de su formación. Parte de los rayos gamma instantáneos que acompañan a la fisión son emitidos al mismo tiempo.

El espectro energético de los neutrones de fisión instantáneos, han sido estudiados desde 0,075 MeV, hasta 17 MeV, mediante la ecuación n(E) = 0,484 sen √2Ee-E Siendo n(E) el número de neutrones de energía E, por unidad de intervalo de energía, por cada neutrón emitido.

En la figura, se han representado los valores de n(E), calculados mediante la ecuación, en función de E. Si bien la mayoría de los neutrones instantáneos poseen energías comprendidas entre 1 y 2 MeV, hay algunos, cuyas energías exceden de 10 MeV. Al igual que la emisión neutrónica, la radiación gamma que acompaña al proceso de fisión, se clasifica también en instantánea y retardada. Los rayos gamma instantáneos se definen, como los producidos en un intervalo de 0,1 microsegundos después de la fisión. Está constituidos, de una parte, por radiación emitida al mismo tiempo que los neutrones instantáneos, y, por los rayos gamma procedentes de los productos de fisión de período muy corto. Los rayos gamma retardados son los emitidos, a lo largo de un extenso período de tiempo, por los productos de fisión que todavía permanecen al cabo de 0,1 microsegundo de producirse la fisión.

La distribución energética de los rayos gamma instantáneos que acompañan a la fisión está representada en la figura.

La forma del espectro es aproximadamente exponencial, pero sólo en el intervalo de 0,2 4 MeV, pudiendo representarse dentro de estos límites por la ecuación n(E) = 10 e-1.15E En la que n(E) es el número de fotones gamma de energía E, por unidad de intervalo de energía. La energía total de la radiación gamma instantánea es del orden de 7 MeV, mientras que la energía media por fotón vale 1 MeV.

NEUTRONES RETARDADOS Los neutrones se distribuyen en seis grupos, cada uno de los cuales se caracteriza por decaer exponencialmente con una velocidad bien definida. Se pude asociar, a cada grupo un período determinado. En la tabla, se consignan los números medios de neutrones retardados, por fisión, existentes en cada grupo, así como la fracción total de neutrones de fisión que salen retardados, correspondientes a la fisión térmica del uranio 233, uranio 235 y el plutonio.

Gran parte de los productos de fisión, ricos en neutrones, experimentan desintegración beta, cuando se produce un estado excitado, con suficiente energía para que sea posible la emisión de un neutrón, surgen los neutrones retardados, viniendo determinado el período característico de cada grupo por el período del precursor. Los grupos con períodos de 56 y 23 segundos, han sido asociados, a los precursores bromo 87 y yodo 137, cuyos emisores son kriptón 87 y xenón 137. En los dos casos, el número de neutrones contenidos en el núcleo de la especie emisora, excede de un número mágico en una unidad. Esto significa que el último neutrón posee una energía de enlace pequeña, y por ello es emitido con facilidad.

El mecanismo para justificar el grupo de neutrones retardados de período de 56 segundos, aparece ilustrado en la figura.

Al irse desintegrando el producto de fisión bromo 87, produce kriptón 87 en estado excitado, con suficiente energía (aproximadamente 6 MeV), para permitir la expulsión del neutrón débilmente ligado. La velocidad que se observa en la emisión de neutrones retardados viene determinada por la velocidad de formación del emisor neutrónico, kriptón 87 y esta depende de la velocidad de desintegración del precursor, bromo 87.

El precursor del grupo retardado con período de 27 segundos es el yodo 137; este tiene un período de 22 segundos, y de lugar al xenón 137 excitado, el cual emite un neutrón instantáneamente. También en este caso se retarda la emisión del neutrón, debido a que la velocidad de formación del xenón 137, depende de la velocidad de desintegración del precursor yodo 137. Los otros grupos de neutrones se producen, de manera análoga.

PRODUCTOS DE FISIÓN Un estudio de la fisión del uranio 235 por neutrones lentos, el núcleo compuesto se escinde en más de 40 formas diferentes, dando lugar a unos 80 fragmentos de fisión. El intervalo de números másicos que corresponden a estos productos, va desde 72, un isótopo de zinc 30 a 160, un isótopo de terbio 65.

En la figura, se ha representado gráficamente los números másicos de los productos de fisión térmica del uranio 235 y de fisión rápida del uranio 238, en función de los correspondientes rendimientos de fisión; el rendimiento de fisión se define como la proporción de fisiones nucleares que originan productos de un número másico determinado. La representación se hace en escala logarítmica, puesto que los rendimientos de fisión varían entre 10 -5 y algo más de 6%. Al producirse dos núcleos por cada acto de fisión, el rendimiento total para todos los números másicos es del 200%. La razón por lo que se considerando los números másicos y no los números atómicos es que la mayoría de los fragmentos de fisión son radioactivos, desintegrándose por emisión de una partícula beta negativa. Los números másicos no vienen afectados por la desintegración beta.

La figura nos muestra que las masas de casi todos los productos de fisión se distribuyen en dos amplios grupos: un grupo “ligero” con números másicos comprendidos entre 80 y 110, y un grupo “pesado”, con números másico comprendidos entre 125 y 155. Algunos productos se encuentran, intercalados entre estos dos grupos y fuera de ellos, pero representan un pequeño porcentaje del total de fisiones. El tipo de fisión, que comprende el 6,4% del total, produce fragmentos de números másicos de 95 y 139. La fisión del uranio 235, por neutrones lentos es asimétrica, en la gran mayoría de los casos. Curvas similares, pero con máximos y mínimos ligeramente desplazados respecto al del uranio 235, para le fisión del uranio 233 y del plutonio 239. Al aumentar la energía neutrónica, aumenta la probabilidad de que se produzca fisión simétrica, como se aprecia en la curva superior de la figura.

Paralelamente a la distribución de números másicos entre productos de fisión, también hay una distribución cinética. Donde se ha detectado dos grupos distintos de energías cinéticas, análogos a los dos grupos de números másicos; los valores de estas energías cinética son aproximadamente de 67 MeV para el miembro más abundante del grupo “pesado” y 98 MeV para el correspondiente del grupo “ligero”. El cociente de ambas cifras es de 1,46, y este valor es muy próximo, al cociente de los números másicos de máximo rendimiento 139/95 ~ 1,46.

Durante el proceso de fisión, son expulsados muchos electrones orbitales del átomo que fisiona, resultando, que los fragmentos de fisión quedan fuertemente cargados. Los fragmentos ligeros transportan, por término medio, unas 20 unidades de carga positiva, mientras que en los fragmentos pesados es de 22. Tales partículas, moviéndose con velocidades del orden de 109 cm/s, son capaces de producir considerable ionización a su paso a través de la materia.

Como la masa de los fragmentos son grandes, la ionización específica es alta; su alcance es, relativamente corto. Los alcances en aire de los grupos ligero y pesado de los fragmentos de fisión son del orden de 2,5 1,9 cm,

respectivamente. Estos alcances son similares a las que representan las partículas alfa procedentes de fuentes radioactivas.

El alcance de los fragmentos de fisión, de diversos materiales se muestran en la tabla, donde se dan los alcances reales en ciertos materiales importantes, así como las densidades superficiales correspondientes.

El alcance de los fragmentos de fisión, en cualquier medio, puede tomarse igual al de las partículas alfa de 4 MeV.

RADIOACTIVIDAD Y DESINTEGRACIÓN DE LOS PRODUCTOS DE FISIÓN Como poseen relaciones neutrón/protón que están por encima del intervalo de estabilidad, los fragmentos de fisión son emisores beta negativos. Esto puede verse en la figura, en la que se comparan los fragmentos de fisión con la “curva de estabilidad” de los núclidos.

Los productos de desintegración inmediatos son radioactivos, y si bien algunas cadenas de desintegración son más largas que otras, cada fragmento va seguido de tres etapas de desintegración, antes de que llegue a formarse una especie estable. Como en la fisión se producen unos 80 radioisótopos diferentes y cada uno de ellos es, el precursor de otros dos, resulta que en los productos de fisión existen más de 200 especies radioactivas, al cabo de un corto intervalo de tiempo.

Además de partículas beta, gran parte de los productos de fisión radioactivos emiten rayos gamma. Estos constituyen lo que se denomina radiación gamma retardada de fisión. La mayoría son de energía moderada, inferior a 2 MeV, aunque unos cuantos productos de fisión emiten fotones de energías altas. La energía total de la radiación gamma retardada equivale a 7 MeV por fisión.

Hay dos aspectos importantes de la radioactividad de los productos de fisión. El primero se refiere a la liberación de energía (en forma de calor) por parte de la mezcla de productos de fisión, debida a las partículas beta y a la radiación gamma. Aún después de haberse parado el reactor, continúan desarrollándose en el combustible grandes cantidades de calor, a causa de la presencia de los productos de fisión. Deben tomarse las medidas apropiadas para asegurarse que este calor se elimina. El segundo aspecto de la radioactividad de los productos de fisión, está relacionado con el manejo de combustibles gastados, una vez han sido retirados del reactor. Por parte de las radiaciones beta y gamma pueden provocar la descomposición química de las soluciones que se utilizan en el procesado de combustibles. Debe mantenerse apartado durante cierto período de “enfriamiento”, para permitir que la actividad de los productos de fisión decaiga lo suficiente para su tratamiento posterior.

Los períodos de los productos de fisión radioactivos varían considerablemente, desde fracciones pequeñísimas de segundo, hasta millones de años. Se ha encontrado que es posible representar la velocidad de emisión de partículas beta y de fotones gamma mediante una expresión empírica sencilla, cuya exactitud está limitada por un factor no superior a dos. Para intervalos de tiempo comprendidos entre 10 segundos y varias semanas después de producirse la fisión, estas velocidades de emisión de partículas (por fisión) se expresan: Velocidad de emisión de radiación beta ~ 3,8 x 10-6 t -1,2 partículas/(s) (fisión) Velocidad de emisión de radiación gamma ~ 1,9 x 10-6 t -1,2 fotones/(s) (fisión) Siendo t el tiempo transcurrido, expresado en días. La energía media de las partículas beta de los productos de fisión, es de unos 0,4 MeV, y la de los fotones gamma es del orden de 0,7.

Velocidad de emisión de radiación beta y gamma ~ 2,8 x 10-6 t -1,2 MeV /(s) (fisión) La velocidad de emisión de energía beta y gamma de denomina potencia calorífica de desintegración, ya que la energía de desintegración se manifiesta en forma de calor. Si se expresa en vatios, el factor de conversión 1MeV = 1,6 x 1013 Ws y se representa por P Se deduce P/P0 = 6,1 x 103 [(t – T0)0,2 – t-0,2] Siendo t - T0) es el tiempo transcurrido en días del período de “enfriamiento”. Para períodos de irradiación largos y tiempos de enfriamiento cortos, la ecuación se simplifica, ya que el segundo término puede despreciarse frente al primero, la potencia calorífica de desintegración depende sólo del tiempo t – T0 y no del intervalo de funcionamiento del reactor.

P/P0 = 6,1 x 103 Los resultados de la ecuación están representados gráficamente en la figura.

La relación (P/P0) entre la potencia calorífica de desintegración y la potencia de operación del reactor viene expresada en función del tiempo, contado desde el instante en que el reactor se para, con el período de funcionamiento como parámetro. Las curvas representan la potencia calorífica de desintegración como fracción de la potencia del reactor durante su funcionamiento, se deduce que, para obtener la producción real de energía por unidad de tiempo, basta con multiplicar por P0 la potencia de operación del reactor. Se aprecia en la figura que la potencia de desintegración disminuye muy rápidamente en el intervalo de tiempo que sigue inmediatamente a la parada del reactor, siempre que éste exceda de una o dos semanas.

La ecuación P/P0 = 6,1 x 103 [(t – T0)0,2 – t-0,2], los tiempos se expresan en días, para utilizarse en intervalos del orden de 10 segundos, es necesario una representación más precisa.

P/P0 = 0,1 [(t – T0 +10)-0,2] -0,87 (t – T0 + 2 x 107)-0,2] – 0,1 [(t +10)-0,2] – 0,87 (t + 2 x 107 )-0,2] En el que todos los tiempos se expresan en segundos. Esta ecuación empírica, tiene en cuenta el calor producido por desintegración beta del uranio 239 y del neptunio 239, resultantes ambos de la captura radiativa de neutrones por parte del uranio 238.

La tabla contiene algunos valores de la potencia calorífica de desintegración, expresada como fracción de la potencia de funcionamiento del reactor.

Después de 10 segundos de haberse parado el reactor, el calor generado por desintegración de los productos de fisión, puede representar hasta el 5% de la potencia del reactor. Los reactores refrigerados por metales líquidos o por gases son particularmente vulnerables a los daños provocados por el calor de desintegración, en caso de que se produzcan averías en el sistema de bombeo del refrigerante. En los reactores refrigerados por agua, la ebullición de este líquido actúa como salvaguarda parcial. Se observa en la tabla que, los intervalos de funcionamiento superiores a una semana, la potencia de desintegración es independiente de la duración de dichos intervalos con tiempo de parada de casi una hora. Sin embargo, un día después de la parada, las diferencias llegan a ser muy sensibles.

En relación a los de los combustibles gastados, una vez que han sido retirados del reactor, se precisa conocer la actividad de los productos de fisión, expresada en curíes. Puede obtenerse una estimación mediante la ecuación.

Actividad beta de los productos de fisión ~ 1,03 x 1016 t-1.2 curie / fisión Siendo t el tiempo transcurrido desde la fisión, en días. Un reactor que ha estado funcionando durante T0 días a la potencia de P0 vatios, se verifica: Actividad beta de los productos de fisión al cabo del tiempo t ~ 1,4P0[(t – T0 +10)0,2 – t-0,2] curíes Si un reactor ha estado funcionando durante cierto tiempo a potencias del orden de megavatios, la actividad beta de los productos de fisión, inmediatamente después de la parada, debe ser del orden de megacuríes.

ACUMULACIÓN DE DETERMINADOS PRODUCTOS DE FISIÓN En un reactor, se forma directamente por fisión un fragmento radioactivo, A, el cual se desintegra para formar el producto B; este último se desintegrará, a su vez, para dar el C, y así sucesivamente, Fisión – A ß- –> B ß- –> C ß- –> …

Aparte de su desintegración radioactiva, las substancias A, B, C, etc., pueden también capturar neutrones mientras el reactor está funcionando. Se pueden establecer ecuaciones diferenciales para la velocidad de transformación de los productos A, B, C, etc. Suponiendo que los neutrones son monoenergéticos o en equilibrio térmico con su entorno.

La ecuación de balance general.

Permite calcular la concentración del fragmento de fisión A, en cualquier instante. Si designamos γ A el rendimiento de A, expresado como fracción del número total de fisiones en las que se produce el núclido A. La velocidad de formación de este núclido por fisión es igual a γA ∑fɸ núcleos / (cm3) (s), siendo ∑fɸ el número de fisiones/ (cm3) (s).

Si A representa en cada obstante el número de núcleos / cm3 de A y γA su constante de desintegración radiactiva, la velocidad de desaparición será γA A núcleos / (cm3) (s). Si los núcleos que se eliminan del sistema por captura neutrónica, con una velocidad σAɸA núcleos / (cm3) (s), y siendo σA la sección eficaz de captura. dA/dT = γA ∑fɸ – σAɸA que expresa la velocidad neta de acumulación de A, en función del tiempo T de operación del reactor.

Para calcular A(T), concentración de núcleos A en un instante cualquiera T, se escribe la ecuación dA/dT +( γA ∑fɸ)A = γA ∑fɸ considerando como constante de desintegración y captura efectiva de A y el flujo electrónico permanece constante.

Si se mantiene constante ∑fɸ se obtiene A(t) = γA ∑fɸ/+( γA ∑fɸ)A (1- e -( γA ∑fɸ)A) + A(0) e -( γA ∑fɸ)T siendo A(t) A(0) las concentraciones de a existentes en el reactor a los tiempos T y cero, respectivamente.