INSTRUCTOR’S SOLUTIONS MANUAL DISCRETE MATHEMATICS FIFTH EDITION
John A. Dossey Illinois State University
Albert D. Otto Illinois State University
Lawrence E. Spence Illinois State University
Charles Vanden Eynden Illinois State University
Contents
1 An Introduction to Combinatorial Problems and Techniques 1.1 1.2 1.3 1.4
The Time to Complete a Project . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A Matching Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A Knapsack Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Algorithms and Their Efficiency . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Supplementary Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Sets, Relations, and Functions 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6
1 4 4 4 5
6
Set Operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Equivalence Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Partial Ordering Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mathematical Induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Supplementary Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Coding Theory 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6
1
6 7 8 10 11 11 12
14
Congruence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . The Euclidean Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . The RSA Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Error-Detecting and Error-Correcting Codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matrix Codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matrix Codes That Correct All Single-Digit Errors . . . . . . . . . . . . . . . Supplementary Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
14 15 17 17 18 19 20
Table of Contents
4 Graphs
22
4.1 4.2 4.3 4.4 4.5
22 24 27 28 30 34
Graphs and Their Representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Paths and Circuits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Shortest Paths and Distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Coloring a Graph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Directed Graphs and Multigraphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Supplementary Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 Trees
36
5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6
36 38 40 42 46 51 60
Properties of Trees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Spanning Trees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Depth-First Search . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rooted Trees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Binary Trees and Traversals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Optimal Binary Trees and Binary Search Trees . . . . . . . . . . . . . . . . . Supplementary Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6 Matching 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5
63
Systems of Distinct Representatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matchings in Graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A Matching Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Applications of the Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . The Hungarian Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Supplementary Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7 Network Flows 7.1 7.2 7.3 7.4
63 63 66 66 67 67
68
Flows and Cuts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A Flow Augmentation Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . The Max-Flow Min-Cut Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Flows and Matchings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Supplementary Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iv
68 70 73 74 75
Table of Contents
8 Counting Techniques 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7
78
Pascal’s Triangle and the Binomial Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . Three Fundamental Principles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Permutations and Combinations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Arrangements and Selections with Repetitions . . . . . . . . . . . . . . . . . Probability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . The Principle of Inclusion-Exclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Generating Permutations and r-Combinations . . . . . . . . . . . . . . . . . Supplementary Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9 Recurrence Relations and Generating Functions 9.1 9.2 9.3 9.4∗ 9.5 9.6
84
Recurrence Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 The Method of Iteration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Linear Difference Equations with Constant Coefficients . . . . . . . . . . . . 91 Analyzing the Efficiency of Algorithms with Recurrence Relations . . . . . . 94 Counting with Generating Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 The Algebra of Generating Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 Supplementary Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
10 Combinatorial Circuits and Finite State Machines 10.1 10.2 10.3 10.4
78 78 79 79 80 81 82 82
105
Logical Gates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 Creating Combinatorial Circuits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 Karnaugh Maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 Finite State Machines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 Supplementary Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
v
Table of Contents
Appendices
120
A An Introduction to Logic and Proof
120
A.1 Statements and Connectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 A.2 Logical Equivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 A.3 Methods of Proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 Supplementary Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
B Matrices
130
vi