PROBLEMA 2 1 a) Tracciamo il grafico della funzione ′ , supponendo generalmente derivabile due volte. ∞. Dal grafico di deduciamo 0 Sempre dal grafico di relativamente all’arco , deduciamo che è crescente (ha quindi derivata prima non negativa: ′ 0 ovvero la funzione di cui stiamo cercando il grafico è non negativa nell’intervallo in ′ ′ 0 e quindi la nostra funzione questione) e concava; ha quindi derivata seconda non positiva: ′ risulterà decrescente. 1 0, in quanto il punto è massimo relativo per il grafico di . Consideriamo adesso il grafico di relativamente all’arco e ragioniamo come sopra. La funzione è decrescente: ′ 0 e quindi la nostra funzione sarà non positiva. La funzione è anche concava: ′ 0 e quindi la nostra funzione ′ sarà una funzione decrescente. Per gli archi e si ragiona in modo analogo. Per 8, la funzione è data da 2 8 , equazione della retta passante per i punti e , e quindi 2. risulta Un grafico qualitativo di ′, che non riesce a tener conto degli eventuali suoi punti di flesso, è il seguente:
Per quanto riguarda i valori di ′ nei due punti richiesti, dalle informazioni sulle rette tangenti al grafico di nei punti e , abbiamo
3
2,
5
.
1 b) Per tracciare il grafico della funzione integrale, cominciamo con l’osservare che 0 0 e che è sicuramente positiva per 5. 0, segue che è una funzione crescente; da Cominciamo adesso a considerare l’arco . Da 0 1. 0, segue che è una funzione convessa. In particolare risulta 0 0, segue che è una funzione Consideriamo adesso l’arco e ragioniamo in modo analogo. Da crescente; da 0, segue che è una funzione concava. In particolare il valore 5 è dato 5 0. dall’area della regione delimitata dall’arco ovvero da 11; 5 Ragionando in modo del tutto simile per gli archi , e per 8, si ricava il seguente grafico qualitativo.
2 a) | ′ | basta “confermare” le parti positive (ad ordinata positiva) del grafico Per tracciare il grafico di di ′ e “ribaltare” attorno all’asse delle quella negativa.
2 b) Per tracciare il grafico di
|
|′, cominciamo a tracciare quello di |
|.
8, il grafico di | | naturalmente coincide con quello Notiamo che in corrispondenza dell’arco e per di e quindi il grafico di | |′ si ottiene ripetendo esattamente quanto detto nel punto 1 a). Per quanto riguarda l’arco del grafico di | |, si ragiona in modo simile e si ottiene quindi la seguente | |′ non è definita per figura da cui si deduca che la funzione 5 e 8 (punti angolosi per il grafico di | |).
2 c) Cominciamo a considerare il grafico della funzione limitatamente all’arco . Da 1/ e , segue che 0 0 e che tende a ∞ per che tende a 5 da sinistra ( 5 è per ′ / equazione di un asintoto verticale); inoltre, quando era crescente (decrescente), risulta decrescente (crescente). In particolare 1
.
Si ragiona in modo del tutto analogo per l’arco
8.
e per
3) Siccome le funzioni in questione sono tutte continue, l’uguaglianza utile per rispondere a questa domanda , dove
è data dal cosiddetto teorema di Lagrange per il calcolo integrale: ∈
,
. 1 8 | 1 6
|
1 ∙ 10 8
1 | 8 1 ∙ 6
1 ∙ 12 8
|
7
1
2
8
4) La generica equazione della retta tangente in un punto ′ Abbiamo allora, per la retta tangente al grafico di : 0 ovvero
5 4
′ 0
1 ∙ 6
8
′ 8 10
4
19 24
al grafico di una funzione è: 0
8:
ovvero
3 4
3
Per la retta tangente nel punto
3 2
8