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Esame di Stato 2018 – Prova di Matematica Problema 2 1) La retta
ha equazione
9. La retta
ha equazione
Mettendo a sistema queste due equazioni si ricava effettivamente
3
11.
.
2) L’ordinata del punto è data da 2 3
La disequazione
è soddisfatta per:
2 3
9
9
10 3 2
Il più grande intero che la soddisfa è dunque 1. Per disegnare (naturalmente definita su tutto l’asse reale) è sufficiente calcolare 3 √
1 e
6 . Dallo studio del segno di si deduce che
√
e
sono rispettivamente punti di minimo (con ordinata positiva) e di massimo
locali. Dallo studio del segno di si deduce che la funzione presenta un punto di flesso in 0 ed è convessa per 0 e concava per 0. Notiamo infine che la funzione per → ∞ tende a ∞ e che per → ∞ tende a ∞. Il grafico di è il seguente:
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3) La probabilità richiesta è data dal rapporto tra l’area delle regioni del piano che soddisfano la condizione e l’area del triangolo T.
Cominciamo da quest’ultima:
1 29 11 841 ∙ ∙ 9 2 3 2 12 L’area che figura al numeratore della probabilità da calcolare è quella evidenziata in giallo nella figura ovvero quella ottenuta dalla differenza tra l’area del triangolo T e la somma di due aree: quella del triangolo di vertici 0,0 , 0,9 e 9,0 e quella sottesa dalla cubica e delimitata dall’asse delle e dalle rette 0 e (dove con abbiamo indicato l’ascissa dello zero della cubica). L’area del triangolo di vertici 0,0 , 0,9 e 9,0 è data da: 1 81 ∙9∙9 2 2 L’altra area è data dal seguente integrale: 9
4
2
9
Si verifica che un valore approssimato (con due cifre decimali) di , è dato da 2,24. Eseguendo i calcoli (approssimati) si trova 16,38. Quindi la probabilità risulta: 841 81 16,38 12 2 0,19 841 12 4) Il coefficiente angolare della retta tangente a in , 9 è 3 1. Di conseguenza l’equazione della retta normale a in è: 1 9 3 1 Imponendo il suo passaggio per l’origine si ottiene:
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3
4
27
2
9
0
Per determinarne il numero di soluzioni confrontiamo la parabola di equazione 27 2 9 e la funzione 3 4 .
Dai grafici delle due funzioni e dal loro confronto si deduce che le intersezioni sono effettivamente tre (per il confronto è essenziale ricordare che è un infinito di ordine superiore a per → ∞ e verificare che, in corrispondenza dell’intersezione positiva con l’asse delle x di la funzione assume valore positivo). In generale la retta normale alla funzione punto ha per equazione:
, polinomio di grado n‐esimo, in un 1
′ Pensando al passaggio per l’origine, dopo aver posto ∙ 0 È un’equazione polinomiale di grado 2 1 radici ciascuna.
1
2
, si ottiene l’equazione: 1 e ammette quindi al più