Ley de Gauss

LEY DE GAUSS

La Ley de Coulomb, nos permite calcular el campo eléctrico de una distribución arbitraria de carga, pero hay momentos en que realizar los cálculos resulta ser un poco complicado puesto que las integrales resultantes tienen su grado de dificultad, dado que son de carácter vectorial, además en algunas ocasiones no es posible solucionarlas por métodos analíticos. El matemático y astrónomo alemán Karl Friedrich Gauss (1777-1855) desarrollo una ecuación donde relaciona el campo eléctrico con la carga que lo produce, la cual se conoce con el nombre de ley de Gauss (Bauer & Westfall, 2011). Esta ley es básicamente una generalización de la ley de Coulomb, con la ventaja de poseer una gran belleza, simplicidad y elegancia. Esta ley es una de las cuatro famosas ecuaciones de Maxwell, donde se resume todo el electromagnetismo clásico.

Para poder establecer la de Gauss primero se debe definir el concepto de flujo eléctrico. El concepto de flujo lo tomaron prestado los físicos de los ingenieros, quienes ya utilizaban este concepto en el estudio de los fluidos en movimiento. En matemáticas se define el flujo Φ de un campo vectorial V a través de una superficie S arbitraria como (Purcell, Varberg, & Rigdon, 2007)

Φ = ∫�� ⃗⃗ ∙�� ̂����

De donde �� ̂ es un vector unitario normal en todo punto a la superficie de integración y dA es un elemento local de área. Por comodidad la inmensa mayoría de textos escriben esta ecuación como

Φ = ∫�� ⃗⃗ ∙��

En el caso de que el campo vectorial sea el campo eléctrico se tiene.

En la figura 38 se ilustra el vector campo y el elemento de área, así como la superficie a través de la cual se quiere calcular el flujo

Figura 38. Flujo de campo eléctrico a través de una superficie arbitraria S.

Hasta ahora se ha definido desde el punto de vista matemático el flujo, ¿pero en realidad desde el punto de vista físico que es lo que significa? Básicamente se puede decir que el flujo lo que mide es el número de líneas que atraviesan una superficie determinada.

En el caso en que la superficie a través de la cual se desea calcular el flujo sea un plano y este en una región donde el campo sea uniforme (el que sea uniforme significa que el campo tiene el mismo valor y dirección en todo punto). El flujo esta dado por

De donde θ es el ángulo entre la superficie y el campo eléctrico (definición del producto punto). La figura ilustra la situación

Figura 39. a) Un campo eléctrico uniforme �� ⃗⃗⃗ pasa a través de un área A. b) ��⊥ =���������� es la componente de �� ⃗⃗⃗ perpendicular al plano del área A. c) ��⊥ =���������� es la proyección (indicada con líneas punteadas) del área A perpendicular al campo �� ⃗⃗⃗ Ahora bien, dado que el flujo lo que mide es el número de líneas de campo que atraviesan una superficie, para el caso del campo eléctrico quienes generan o las fuentes de las líneas son las cargas, por lo tanto, el número de líneas en determinada región del espacio es directamente proporcional a la carga que genera el campo, y la densidad de líneas nos indica que tan intenso es el campo eléctrico en dicha región. Si la superficie sobre la cual se desea calcular el flujo es una superficie cerrada se tiene que la expresión para el flujo es

Con lo anterior ya estamos listos para introducir la expresión para la ley de Gauss del campo eléctrico, esta establece que el flujo de campo eléctrico a través de cualquier superficie cerrada S, es igual a la carga encerrada por la superficie dividida por la permitividad eléctrica (Raimond A. Serway - John W. Jewett, 2009). Esto expresado en una ecuación es:

Esta ecuación nos plantea que el flujo solo depende de la carga encerrada por la superficie, aquellas cargas que están por fuera de la superficie no contribuyen al flujo.

La anterior ecuación también se conoce como forma integral de la ley de Gauss. También se tiene la forma diferencial de la ley de Gauss (KREYSZIG, 2011)

o

Ambas ecuaciones de leen como: la divergencia de E es igual a la densidad volumétrica de carga dividida por permitividad eléctrica, y tal como se menciono es la forma diferencial de la ley de Gauss. Esta ecuación lo que verdaderamente indica es que las líneas de campo tienen un principio (origen) y un final y este es en las cargas, lo que no sucede con la ley de Gauss para el campo magnético, pues las líneas de campo magnético forman lazos cerrados.

La ley de Gauss es una herramienta muy poderosa al momento de calcular campos eléctricos en aquellas situaciones donde la distribución de carga es altamente simétrica (esferas y cilindros, básicamente).

El objetivo de este documento es ilustrar algunas situaciones donde se calcula el flujo eléctrico y la aplicación de la ley de Gauss para el cálculo de campos eléctricos para distribuciones de carga simétricas.