Fracciones algebraicas ¿Qué es una fracción algebraica? Una fracción algebraica es una expresión en la que el numerador y el denominador son polinomios, es decir, sumas o restas de términos con variables elevadas a potencias enteras. También se conoce como expresión racional porque representa el cociente entre dos polinomios.
Ejemplos 1 : el numerador es una constante, y el denominador es lineal. x x+5 : ambos son polinomios. El denominador es un trinomio cuadrado perfecto. • 2 x − 4x + 4
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x(x + 1)(2x − 3) : expresión con varios factores multiplicados. x−6
¿Cómo se simplifican? • Primero, se factoriza completamente el numerador y el denominador. • Luego, se cancelan los factores comunes entre ambos, como si fuera una fracción numérica. • ¡Ojo! No se cancelan términos, sólo factores. Ejemplo:
(x − 3)(x + 3) x−3 x2 − 9 = = 2 2 x + 6x + 9 (x + 3) x+3
No se puede simplificar más, pues no hay factores comunes.
Suma y resta de fracciones con igual denominador • Se suman o restan los numeradores y se deja el denominador igual. • Es el caso más directo y se parece a sumar fracciones numéricas. Ejemplo numérico:
Ejemplo algebraico:
4 1 4−1 3 − = = 5 5 5 5 7a + 3 2a − 1 (7a + 3) + (2a − 1) 9a + 2 + = = a+2 a+2 a+2 a+2
El uso de paréntesis es fundamental, sobre todo si uno de los términos va restado.
Suma y resta con diferentes denominadores • Se multiplican los numeradores y denominadores por un término que permita igualar los denominadores. • A veces es el producto completo, otras veces es un producto simplificado si comparten factores. Ejemplo numérico:
Ejemplo algebraico:
3 1 9 2 11 + = + = 4 6 12 12 12 3 2 3(x + 1) − 2(x − 2) − = x−2 x+1 (x − 2)(x + 1)