Revista da Estrutura de Aço - REA - Abril de 2020

Revista da Estrutura de Aço | Volume 9 | Número 1

Volume 9 | Número 1 Abril de 2020

Revista da Estrutura de Aço | Volume 9 | Número 1

ARTIGOS Determinação de pontos críticos na trajetória de equilíbrio não linear do elemento finito de treliça posicional Aref Kalilo Lima Kzam 1

Análise teórico-numérica da influência do número de parafusos no comportamento de cantoneiras laminadas comprimidas concêntrica e excentricamente José Onésimo Gomes Junyor, Hermes Carvalho, Armando Cesar Campos Lavall, João Victor Fragoso Dias e Ana Lydia Reis de Castro e Silva 21

Procedimento para a determinação do momento fletor resistente à flambagem lateral com torção de vigas celulares de aço Caroline Corrêa de Faria, Hermes Carvalho, Ricardo Hallal Fakury, Lucas Figueiredo Grilo e Rodrigo Barreto Caldas 41

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Capacidade resistente do conector Crestbond à falha do aço desencadeada por um mecanismo combinado de cisalhamento e flexão Ricardo Laguardia Justen de Almeida, Gustavo de Souza Veríssimo, José Carlos Lopes Ribeiro, José Luiz Rangel Paes, Mateus Couri Petrauski e Rodrigo Barreto Caldas 61

Procedimento para avaliação teórica e experimental de pontes ferroviárias J.F.A. Junqueira, L.A.C.M. Aragão Filho, L.A.S. Lopes e J.F.S. Rodrigues 81

Dimensionamento otimizado de pórticos em estruturas de aço via algoritmos genéticos João Alfredo de Lazzari, Élcio Cassimiro Alves e Adenilcia Fernanda Grobério Calenzani 101

Recebido: 29/04/2019 Aprovado: 12/06/2019 Volume 9. Número 1 (abril/2020). p. 1-20 - ISSN 2238-9377 Revista indexada no Latindex e Diadorim/IBICT

Determinação de pontos críticos na trajetória de equilíbrio não linear do elemento finito de treliça posicional Aref Kalilo Lima Kzam1* Universidade Federal da Integração Latino Americana, Avenida Tancredo Neves, 6731, 85867-970, Cx. Postal 2102, Foz do Iguaçu, PR, Brasil, aref.kzam@unila.edu.br 1

Determination of critical points in the nonlinear equilibrium path of the positional truss finite element Resumo Este artigo apresenta o método dos elementos finitos posicional descrito em um referencial Lagrangiano total dedicado à análise não linear da instabilidade pós-crítica de treliças tridimensionais. A análise de instabilidade para elementos de treliça é computada usando o caminho de equilíbrio em grandes deslocamentos e por uma metodologia original de decomposição da matriz Hessiana em valores e vetores próprios. Perto do ponto crítico decompoem-se a Hessiana, a fim de identificar os modos de falha e o caminho crítico. O método de Newton-Raphson com controle de carga e deslocamento é usado, assim como o método do comprimento do arco na definição de pontos críticos de estruturas multiestáveis e com caminhos bifurcados. O algoritmo de Lanczos é usado para calcular os valores e vetores proprios de matrizes esparsas e simétricas. Os procedimentos são testados e os resultados comprovam a eficiência da formulação.

Palavras-chave: elemento finito posicional, não linearidade geométrica, decomposição da matriz Hessiana, autovalor autovetor, pontos críticos Abstract This paper presents the positional finite element described in a full Lagrangian reference dedicated to the nonlinear analysis of the post-critical instability of three-dimensional trusses.

The instability analysis for truss elements is calculated using the equilibrium path at large displacements and by an original methodology from the Hessian matrix decomposition into eigenvalues and eigenvectors. The Hessian decomposition are computed near to the critical point, in order to identify the failure modes and the critical path. The load and displacement control from Newton-Raphson method is used, as well as the arc-length method to define the critical points of multistable and bifurcated paths. The Lanczos algorithm is used to calculate the eigenvalues of sparse and symmetric matrices. The procedures are tested and the results proved the efficiency of the formulation.

Keywords: positional finite element, non linear geometric, Hessian decomposition, eigenvalue and eigenvector, critical points.

1

Introdução A análise de autovalores e autovetores é um problema comum em várias áreas

das ciências. Na engenharia estrutural, uma série de aplicações desse tipo de análise são cruciais para o atendimento de critérios de projeto, como por exemplo na determinação dos modos de vibração de estruturas sujeitas a carregamentos dinâmicos e na determinação das cargas críticas de instabilidade de estruturas sob carregamento estático. O conhecimento dessas quantidades é de fundamental importância para a análise e dimensionamento estrutural, pois com esses valores o analista definirá os níveis de carregamentos para o qual nenhuma situação limite ocorrerá. Golub e Van der Vorst (2000) apresentam vasta revisão de métodos computacionais aplicados ao cálculo de autovalores e autovetores de matrizes, inclusive, para as matrizes simétricas e esparsas presentes na mecânica estrutural.

Uma das técnicas numéricas comumente usadas na análise de instabilidade é o método dos elementos finitos. A versatilidade do método permite que inúmeras funcionalidades sejam incorporadas em análises acerca da estabilidade estrutural.

Bažant e Cedolin (2010) destacam a simplicidade de formular o problema de instabilidade usando o método dos elementos finitos em análises lineares e nãolineares. Entre as estratégias utilizadas com o método dos elementos finitos, Risk (1972) enfatiza as atuais formulações não-lineares, baseadas em algoritmos capazes de traçar todo o caminho de equilíbrio da estrutura, e Risk (1984) apresenta algumas estratégias de determinação de pontos críticos ao longo da trajetória de equilíbrio da estrutura. Casciaro et al. (1992), Garcea (2001) e Garcea et al. (2012) também destacam o crescente interesse nos estudos científicos baseados em técnicas assintóticas e para a previsão do comportamento pós-crítico como em Koiter (1967).

Neste artigo apresenta-se a formulação dos elementos de treliça posicional não linear geométrico com base em um referencial Lagrangiano total. A originalidade da formulação apresentada consiste na adoção de uma estratégia de decomposição da matriz Hessiana global como em Kzam (2016) e Kzam e Coda (2019), cuja finalidade é determinar os valores críticos (autovalores) e os modos de instabilidade (autovetores), para estruturas com múltiplos pontos críticos ao longo da trajetória de equilíbrio.

2

Neste trabalho, adotar-se-á as medidas de deformações de Hill e seus respectivos conjugados energéticos (Ogden, 1997), e a lei constitutiva de Saint-Venant-Kirchhoff.

2

Formulação posicional Lagrangiana total Quando o método dos elementos finitos é utilizado na solução de problemas da

mecânica dos sólidos sob regime não-linear geométrico, três formulações podem ser consideradas para descrever o movimento. Pode-se empregar a descrição Lagrangiana total, a formulação Lagrangiana atualizada e a descrição co-rotacional (Belytschko e Glaum, 1979).

Todo o desenvolvimento tem como base a determinação da energia potencial total escrita em termos das posições do elemento (elemento finito posicional), como apresentado por Coda e Greco (2004). Adota-se o regime quase estático de aplicação do carregamento, a energia mecânica do sistema é calculada apenas a partir da contribuição da energia potencial total, expressa pela soma das parcelas da energia potencial das deformações armazenadas no sólido e da energia potencial das ações externas, representadas pela equação: Π = Ue + P

(1)

A energia potencial das deformações em termos das quantidades Lagrangianas é calculada sobre o volume inicial, da seguinte maneira: Ue =

∫ u dV e

0

(2)

Ω0

A energia potencial das forças externas é calculada a partir do trabalho realizado pela resultante das forças na configuração atual, dado por:

  P= − Fext ⋅ Y

(3)

Admite-se que o comportamento mecânico do material seja linear elástico, cuja lei material adotada tenha a seguinte forma geral:

σ (ε ) = E ε 3

(4)

Sendo, ε as medidas de deformações de Hill para o caso unidimensional; σ ( ε ) as tensões energeticamente conjugadas as deformações de Hill; E a constante de proporcionalidade ou módulo de rigidez elástica tangente.

De acordo com Holzapfel (2000) as medidas de deformação de Hill unidimensionais são calculadas da seguinte maneira:

1 p  ( λ − 1) , p ≠ 0 εp =  p  ln ( λ ) , p = 0  Sendo, λ =

(5)

L1 o estiramento linear de Cauchy-Green.

L0

Como apresentado anteriormente, o objetivo da formulação em posições consiste em escrever os graus de liberdade do elemento em termos das coordenadas generalizadas dos nós.

Com a finalidade de se aplicar o princípio da estacionariedade da energia potencial, primeiramente determina-se a energia específica de deformação do elemento. No caso de elementos com rigidez axial, a energia específica de deformação é dada pela equação: εp

= ue

εp

E ε dε ( ε ) d ε ∫= ∫ σ= 0

0

1 E ε p2 2

(6)

Sendo, ε p as medidas de deformações de Hill, cujos casos particulares em termos de quantidades iniciais (Lagrangianas) mais comuns são: p = −2 , para a medida de deformação de Almansi; p = −1 para a deformação hiperbólica ou de Reiner; p = 0 para a medida de deformação natural, logarítmica ou deformação de Henky; p = 1 para a medida de deformação linear, de Biot ou de engenharia e p = 2 para a medida de deformação quadrática ou de Green-Lagrange.

A energia específica pode ser escrita a partir da função composta:

ue = ue  ε p  λ ( yk  ) 4

(7)

Sendo, ε p e λ as variáveis relacionadas a deformação e ao estiramento unidimensionais, respectivamente. O símbolo (  ) representa a composição de funções, indicando a dependência entre as variáveis.

A partir da energia específica é possível determinar a equação material da energia potencial das deformações, calculada como:

= Ue

u dV ∫= e

V

0

1 E ε p2 AL0 2

(8)

O equilíbrio do sistema é estabelecido a partir do princípio da estacionariedade da energia potencial total, sendo o vetor de forças internas calculado a partir do gradiente da energia de deformação.

O vetor de forças internas é dado por: int = F k

∂U e 1 ∂ E AL0 ε p2 ) = ( ∂yk  2 ∂yk 

(9)

A solução numérica do equilíbrio tem como base a linearização da diferença entre as forças externas e internas, chamada função desbalanceamento ou resíduo. Esse procedimento requer a avaliação do gradiente do resíduo, calculado a partir da segunda variação da energia potencial total, dada por: = H mnk 

∂ 2U e ∂Fkint  = ∂ymn ∂yk  ∂ymn

(10)

O sistema de equações não linear é resolvido empregando-se as estratégias de solução com base nos algoritmos de previsão e correção dos métodos de NewtonRaphson e comprimento de arco (Crisfield, 1981). Outra metodologia, originalmente apresentada neste trabalho, consiste na decomposição da matriz Hessiana e controle dos autovalores. Esse processo é utilizado para identificar os pontos de bifurcação na trajetória não linear. Nesse caso, emprega-se o algoritmo de Lanczos a partir da biblioteca numérica ARPACK (Lehoucq et al 1997).

5

3

Elemento finito posicional de treliça não linear geométrico Considere-se o elemento retilíneo a seguir:

Figura 1 – Elemento finito de treliça posicional A Figura 1 ilustra as posições nodais do elemento finito no espaço de coordenadas tridimensional nas configurações inicial Ω0 e atual Ω1 . Os cálculos apresentados anteriormente são simplificados considerando-se as deformações de Green-Lagrange para p = 2 . Esses parâmetros são parte dos dados de entrada do código e podem ser modificados pelo analista.

O vetor de forças internas é calculado com a equação (9), fazendo-se ε 2 = E , para as deformações de Green-Lagrange e λ = L1 / L0 para o estiramento de Cauchy-Green, sendo:

(L ) = (x

− x12 ) + ( x21 − x22 ) + ( x31 − x32 )

(L ) = ( y

− y12 ) + ( y21 − y22 ) + ( y31 − y32 )

0 2

11

1 2

11

2

2

2

2

2

2

(11)

(12)

Por simplicidade, emprega-se a variável auxiliar ∆ =( L1 ) , tal que: 2

∂L1 ∂ 1 ∂∆ 1 1 ∂∆ = ∆1 2 ) = ∆ −1 2 = ( 2 ∂yk  ∂yk  ∂yk  2 L1 ∂yk 

(13)

Escrevendo-se o vetor de forças internas em termos dessa variável, tem-se:

Fkint =

1 E AE ∂∆ .

2 L0 ∂yk  6

(14)

Sendo: ∂∆  2 ( −1) ( yk 2 − yk1 ) = ∂yk 

(15)

Com k = 1, 2,3 , as coordenadas nodais do espaço tridimensional e  = 1, 2 , o número de nós do elemento.

A matriz Hessiana é obtida com a equação (10) considerando-se também, ε 2 = E ;

λ=

L1 ∂L1 1 1 ∂∆ ∂∆  ; e = = 2 ( −1) ( yk 2 − yk1 ) .

0 1 L ∂yk  2 L ∂yk  ∂yk  A matriz Hessiana é dada por:

2 E A  1  1  ∂∆ ∂∆ 1 ∂2∆  = + H mnk  E    .

L0  4  L0  ∂ymn ∂yk  2 ∂yk  ∂ymn 

∂∆ n = 2 ( −1) ( ym 2 − ym1 ) ; ∂ymn

Sendo,

∂2∆  n =2 ( −1) ( −1) δ km ; ∂yk  ∂ymn

(16)

m = 1, 2,3 , as

coordenadas nodais do espaço tridimensional; n = 1, 2 , o número de nós do elemento e δ km , o delta de Kronecker.

De posse das equações (14) e (16) é possível constatar que o vetor de forças internas e a matriz Hessiana ficam completamente definidas conhecendo-se os termos em destaque a seguir: a) Vetor de forças internas: E AE E AE E AE ( y11 − y12 ) ; F21int = 0 ( y21 − y22 ) ; F31int = 0 ( y31 − y32 ) 0 L L L int int int int int = − F11 ; F22 = − F21 ; F32 = − F31

F11int = int 12

F

7

(17)

b) Matriz Hessiana:

H mnk 

 H 1111 H  1121 H =  1131  − H1111  − H1121   − H1131

H 1121 H 2121

H 1131 H 2131

− H1111 − H1121

− H1121 − H 2121

H 2131 − H1121

H 3131 − H1131

− H1131 H1111

− H 2131 H1121

− H 2121 − H 2131

− H 2131 − H 3131

H1121 H1131

H 2121 H 2131

− H1131  − H 2131  − H 33   H1131  H 2131   H 3131 

(18)

Os termos da matriz são calculados como: 2  E A  y11 − y12  E A  y11 − y12   y21 − y22  = H1111 ; H1121  + E =   ; 0  0 L  L L0  L0   L0    2  E A  y11 − y12   y31 − y32  E A  y21 − y22  = H1131 ; H 2121  =  + E;  0  0 0 0  0 L  L L  L  L    2  E A  y31 − y32  E A  y21 − y22   y31 − y32  = + E H 2131 = 0  H ;   3131  L0  L0  L  L0   L0  

4

(19)

Exemplos de obtenção da trajetória não linear Nesta seção apresentam-se os exemplos com a finalidade de se verificar as

potencialidades do elemento posicional de barra rígida não linear geométrico. Especial atenção é dada aos problemas de instabilidade global de estruturas reticuladas. Apesar de elementar, estes exemplos são fundamentais para se explorar as principais características do fenômeno de instabilidade estrutural.

4.1

Domo tridimensional hexagonal O exemplo a seguir consiste na estrutura proposta por Hangai e Kawamata (1972),

cuja geometria é a de um domo tridimensional formado por pontos de um hexágono.

Na Figura 2 ilustram-se a geometria e a disposição das 24 barra que compõem o sistema estrutural. As propriedades geométricas das barras e os dados do material utilizados na simulação também constam nessa ilustração.

8

Figura 2 - Domo com 24 elementos de barra simples Na Figura 3 ilustra-se a aplicabilidade do método do comprimento de arco em reproduzir completamente a trajetória de equilíbrio da estrutura.

Trajetória de Deslocamento 25000 20000 15000 10000

P

5000 0

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

-5000 -10000 -15000 -20000

v Comprimento de Arco

Newton-Raphson - Deslocamento

Figura 3 - Trajetória de equilíbrio do ponto de aplicação do carregamento As soluções são coincidentes apenas nos trechos de deslocamento crescente.

Quando ocorre a inversão do sentido do deslocamento, caracterizado pela ocorrência de uma tangente vertical à trajetória de equilíbrio no método de Newton-Raphson mostra-se ineficiente em acompanhar o traçado da curva de equilíbrio.

4.2

Arco treliçado de Crisfield Nesse exemplo, extraído de Crisfield (1997), analisa-se a trajetória de equilíbrio de

um arco treliçado bidimensional modelado com 101 elementos de barras simples. Os dados da estrutura estão ilustradas na Figura 4.

9

Figura 4 - Arco treliçado bidimensional O resultado da análise empregando-se a estratégia do tipo comprimento de arco está ilustrada no gráfico da Figura 5.

Trajetória de Equilíbrio 1 0.8 0.6 0.4

P (106)

0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 0

5

10

15

20

25

30

35

δ Arc-Length

Newton-Raphson - Deslocamento

Newton-Raphson - Força

Figura 5 - Trajetória de equilíbrio do arco treliçado Nota-se ainda, que ao longo da trajetória, diferentes níveis de carregamento conduzem as situações de instabilidade por snap-trhough e snap-back provando-se a capacidade do elemento de teliça proceder avaliações satisfatórias de estruturas multi-estáveis, desde que se opte por um algoritmo de solução adequado.

A estratégia de decomposição da matriz Hessiana se mostra eficiente para a determinação de pontos cujo controle da singularidade da matriz hessiana é essencial, como por exemplo, na determinação do primeiro ponto crítico. Essa característica pode ser visualizada a partir da indicação do ponto 1 na trajetória de equilíbrios.

10

Porém, o ponto 2, indicado na figura, equivale a primeira tangente vertical, obtido apenas a partir da estratégia do comprimento de arco. Para pontos com essa característica o controle de autovalores, a partir da decomposição da Hessiana, precisa de uma estratégia de solução não linear mais robusta.

4.3

Domo de Schwedler O domo de Schwedler consiste em uma estrutura treliçada com um número

mínimo de diagonais solicitadas apenas por esforço normal de tração (Kurrer, 2008).

Neste trabalho a estrutura é modelada com 264 barra de treliça, cujas dimensões e propriedades do material estão ilustradas na Figura 6.

1,01

Figura 6 - Geometria e propriedades dos materiais do domo de Schwedler Na Figura 7 apresenta-se a trajetória de equilíbrio obtida empregando-se os métodos de Newton-Rapshon com controle de força e controle de deslocamento e o método do comprimento de arco.

Ainda na Figura 7, se indica os pontos 1 e 2 cuja tangente horizontal produz uma condição singular na matriz Hessiana, cujo procedimento de decomposição em valores próprios é capaz de captar com satisfatória precisão. Se apenas a estratégia de solução com controle de força é utilizada, notam-se os saltos característicos do fenômeno de snap-trhough.

11

Trajetória de Equilíbrio 0.5 0.4 0.3 0.2

P (106)

0.1 0 -0.1 -0.2 -0.3 -0.4 -0.5 0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

δ Arc-Length

Newton-Raphson - Deslocamento

Newton-Raphson - Força

Figura 7 - Trajetória de equilíbrio para o domo de Schwedler Verifica-se que em todos os exemplos os resultados obtidos são típicos de treliças geometricamente abatidas. No entanto, para treliças não abatidas, a instabilidade por ponto de bifurcação pode preceder a instabilidade por ponto limite.

5

Estratégia de decomposição da matriz Hessiana Decompõem-se a matriz de rigidez tangente nas parcelas linear e geométrica. Na

formulação não linear do método dos elementos finitos posicional, essa equivalência é válida para problemas em pequenas deformações. A equação (16), é retomada convenientemente neste ponto, reescrevendo-a da seguinte forma: 1 1  ∂∆ ∂∆ 1 1 ∂2∆ = + H mnk  SA  0 EA 4 L  ∂ymn ∂yk  2 L0 ∂ymn ∂yk  3

(20)

Sendo, S = E E a tensão de Piola-Kirchhoff de segunda espécie. Para o caso de carregamentos com pequena intensidade, a hipótese de pequenas deformações é satisfeita e o segundo termo da equação (20) se aproxima da parcela geométrica.

Empregando-se a transformação S=

S EE a equação (20) pode ser escrita como: = P P

∂∆ ∂∆ 1 1 ∂2∆ 1 1  + E A PSA   ∂ymn ∂yk  2 L0 ∂ymn ∂yk  4  L0  3

= H mnk 

12

(21)

A condição de instabilidade para um sistema com múltiplos graus de liberdade é determinada por meio da nulidade do determinante da matriz de rigidez tangente obtido a partir do seguinte sistema:

(H

L mnk 

G + λ H mnk 0  ) Λ mk =

(22)

∂∆ ∂∆ 1 1  ∂2∆ 1 1 L G Sendo, H mnk e as parcelas da = E A = H PSA  mnk    ∂ymn ∂yk  4  L0  ∂ymn ∂yk  2 L0 3

matriz Hessiana equivalentes aos termos linear e geométrico em pequenos deslocamentos. A nova variável λ é usada para representar os autovalores incógnitos do problema e Λ mk os autovetores correspondentes. O menor valor de λ que satisfaz a equação (22) é a carga crítica linear de instabilidade (Reis e Camotin, 2001). A solução de (22) é obtida pré-multiplicando o sistema pela matriz de rigidez geométrica, resultando:

(H

mnk 

+ λ I mnk  ) Λ mk = 0

(23)

G L Sendo, H mnk  = ( H mnk  ) H mnk  e I mnk  a matriz identidade de ordem mn × k  . A −1

solução desse sistema é obtida utilizando-se o algoritmo de Lanczos por meio da biblioteca ARPACK. 5.1

Análise de Autovalor do domo Hexagonal Para esta análise aplicam-se os carregamentos P = −0,5λ no nó central e P = −λ

em cada nó inscrito no círculo de raio 25, conforme proposto por Crisfield (1997). Na Figura 8 ilustra-se o arranjo final da estrutura, considerando-se os nós da base fixos.

Figura 8 - Carregamento considerado para a análise dos autovalores do domo 13

Na Tabela 1 comparam-se os resultados de Crisfield (1997), com os autovalores encontrados na presente pesquisa: Tabela 1: Parâmetros de carregamento correspondentes aos pontos críticos Pt. Bifurcação 1 Pt. Bifurcação 2 Pt. Bifurcação 3 (CRISFIELD 1997) 8,68 10,26 15,67 Treliça Posicional 8,26 9,97 15,38

Pt. Limite 18,40 18,35

Verifica-se que os resultados apresentados na Tabela 1 são equivalentes. A pequena diferença se deu, devido a capacidade da metodologia de decomposição da Hessiana, dentro do método de Newton-Raphson, encontrar valores mais próximos do ponto singular. Além disso, o condicionamento da matriz a partir do MEF posicional é melhor que o apresentado em Crisfield (1997).

Na Figura 9 ilustram-se as configurações deformadas equivalentes aos primeiros cinco autovetores.

Figura 9 - Autovetores dos cinco primeiros parâmetros de bifurcação

14

Para uma análise das trajetórias bifurcadas, os autovetores da Figura 10 foram tomados como a configuração inicial da estrutura multiplicados por um fator de escala igual a 0,001. Os resultados dessa análise produziram as trajetórias bifurcadas completas ilustradas nas Figuras 12-16.

Trajetória de Equilíbrio 20

15 Traj. Fundamental Traj. Bifurcada 1 10

Traj. Bifurcada 2

λ

Traj. Bifurcada 3 Traj. Bifurcada 4 Traj. Bifurcada 5

5

Pt. Bifurcação 1 Pt. Bifurcação 2 Pt. Bifurcação 3

0

-5

Pt. Limite

-1

0

1

2

3

4

5

δz

Figura 10 - Trajetórias fundamental e bifurcadas com o elemento de treliça posicional Na Figura 11 ilustra-se a trajetória fundamental completa e o primeiro ponto limite obtido com a análise de autovalor.

Trajetória de Equilíbrio Fundamental 30

20

λ

10

0

-10

-20

-30

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

δz

Figura 11 - Trajetória fundamental do domo com o método do comprimento de arco A partir da Figura 12 ilustram-se as trajetórias bifurcadas completas.

15

Trajetória Bifurcada λ1 = 8,26 30

20

λ

10

0

-10

-20

-1

-30

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

δz Traj. Bifurcada 1

Traj. Fundamental

Figura 12 - Trajetória bifurcada 1.

Nas Figuras 13 e 14, emergem diferentes trajetórias bifurcadas de um mesmo ponto crítico, correspondente ao ponto de bifurcação 2, apresentado na Tabela 1. Nas Figuras 15 e 16, apresentam-se as trajetórias bifurcadas completas relativas ao ponto de bifurcação 3, cujo valor também está indicado na Tabela 1.

Trajetória Bifurcada λ2 = 9,97 30

20

λ

10

0

-10

-20

-1

-30

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

δz Traj. Bifurcada 2

Traj. Fundamental

Figura 13 - Trajetória bifurcada 2

16

14

15

16

17

18

Trajetória Bifurcada λ3 = 9,97 30

20

λ

10

0

-10

-20

-1

-30

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

14

15

16

17

18

14

15

16

17

18

δz Traj. Bifurcada 3

Traj. Fundamental

Figura 14 - Trajetória bifurcada 3 Trajetória Bifurcada λ4 = 15,38 30

20

λ

10

0

-10

-20

-1

-30

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

δz Traj. Bifurcada 4

Traj. Fundamental

Figura 15 -Trajetória bifurcada 4 Trajetória Bifurcada λ5 = 15,38 30

20

λ

10

0

-10

-20

-1

-30

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

δz Traj. Bifurcada 5

Traj. Fundamental

Figura 16 - Trajetória bifurcada 5 17

Apesar de complexas, as trajetórias bifurcadas não se desviam completamente da trajetória fundamental. Esse comportamento é explicado pelo fato da estrutura buscar a configuração de equilíbrio fundamental durante a perda de estabilidade. O ponto de bifurcação em estruturas constituídas por barras de treliça pode ser entendido como aquele no qual a estrutura apresenta imperfeições iniciais.

Verificando-se com mais detalhe as trajetórias bifurcadas é possível constatar a ocorrência de múltiplos pontos de bifurcação ao longo da trajetória fundamental.

6

Conclusão Neste artigo foi apresentada a formulação do elemento finito posicional de treliça

não linear geométrica. A simplicidade do método se contrapõem aos esquemas de rotações como as usadas, por exemplo, no elemento corrotacional. Esse elemento foi utilizado no estudo da instabilidade de treliças espaciais via o método de NewtonRaphson e o do comprimento de arco. Verificou-se que para se traçar o caminho completo do equilíbrio é necessário se recorrer a procedimentos mais robustos de solução como o método do comprimento de arco. Uma série de exemplos com trajetórias complexas foram solucionados satisfatoriamente a partir da determinação precisa dos autovalores e autovetores próximos ao ponto singular, por meio da metodologia de decomposição da matriz Hessiana, evidenciando-se a qualidade da técnica não linear pós-crítica.

7

Agradecimentos Ao Instituto Latino Americano de Infraestrutura e Território da Universidade

Federal da Integração Latino Americana Universidade Federal da integração latino americana

8

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20

Recebido: 07/03/2019 Aprovado: 25/06/2019 Volume 9. Número 1 (abril/2020). p. 21-40 - ISSN 2238-9377 Revista indexada no Latindex e Diadorim/IBICT

Análise teórico-numérica da influência do número de parafusos no comportamento de cantoneiras laminadas comprimidas concêntrica e excentricamente José Onésimo Gomes Junyor1*, Hermes Carvalho1, Armando Cesar Campos Lavall1, João Victor Fragoso Dias1, Ana Lydia Reis de Castro e Silva1 1

Programa de Pós-Graduação em Engenharia de Estruturas – PROPEEs – DEES/EE/UFMG, contato@josegomes.eng.br, hermes@dees.ufmg.br, lavall@dees.ufmg.br, joaovfdias@gmail.com, lydia@dees.ufmg.br

Resumo As cantoneiras laminadas de aço axialmente comprimidas estão presentes em sistemas estruturais diversos, sendo muito comuns em estruturas de torres de transmissão. Na maioria das vezes onde se utiliza este tipo de perfil, a solicitação do mesmo ocorre através de uma aba, sendo a ligação parafusada bastante utilizada. A obtenção da solução elástica exata para cantoneiras comprimidas excentricamente é complexa. Vlasov (1962) propôs, para barras comprimidas excentricamente, um sistema de três equações diferenciais, as quais regem o problema da flexotorção considerando a posição deslocada da seção transversal. O presente trabalho teve o objetivo de estudar o comportamento de cantoneiras de abas iguais comprimidas concêntrica e excentricamente. As equações diferencias propostas por Vlasov (1962) foram aplicadas às cantoneiras comprimidas conectadas por um, dois e três parafusos.

Finalmente, uma avaliação do número de parafusos utilizando análises numéricas foi realizada, sendo os resultados comparados posteriormente com as formulações analíticas. Observou-se boa concordância entre os resultados numéricos e analíticos.

Palavras-chave: Compressão concêntrica; Compressão excêntrica; Cantoneiras comprimidas através de uma aba; Flambagem; Capacidade resistente à compressão.

Abstract Hot-rolled steel single angle sections in compression are used in several systems. In most practical cases, these members are attached to others only by one leg, usually by bolts It is difficult to obtain the exact elastic solution for angles in eccentric compression. Vlasov (1962) proposed a system of three differential equations for eccentrically compressed bars, which govern the torsional-flexural problem, considering the displaced position of the cross-section.

The present work had the objective of studying the behavior of equal-leg angles in concentric and eccentric compression. The differential equations proposed by Vlasov (1962) were applied to angles in compression connected by one, two and three bolts. Finally, numerical models were used to assess the influence of the number of bolts and the results were compared with analytical formulations. Great agreement between the numerical and analytical results was observed.

Keywords: Concentric compression; Eccentric compression; Angles compressed in one leg; Buckling; Compressive strength. * Autor correspondente

1

Introdução

A cantoneira de abas iguais é um perfil metálico de seção em L, composta por duas abas de comprimentos iguais formando 90º entre si. O processo de fabricação das cantoneiras laminadas a quente consiste na laminação de metais/ligas acima da temperatura de recristalização do material. Nesse processo, uma placa ou chapa é reaquecida em fornos, passando em seguida através de grandes cilindros, que a comprimem e a impõe a forma pretendida. Durante o resfriamento do perfil, surge uma distribuição de tensões iniciais autoequilibradas, denominadas de tensões residuais.

As cantoneiras laminadas a quente estão entre os perfis mais utilizados na construção metálica, devido à menor complexidade de fabricação, à elevada eficiência estrutural (relação capacidade resistente/peso) e, principalmente, à versatilidade de conectá-las a outros elementos estruturais. Estes perfis são muito utilizados em estruturas de contraventamentos, sistemas treliçados, e como elementos de ligações entre perfis diversos, sendo muito empregados em sistemas construtivos de edifícios, galpões e, principalmente, em torres de transmissão. Na maioria dos casos práticos, as cantoneiras estão sujeitas principalmente às forças axiais, sendo conectadas aos outros elementos da estrutura através de uma aba apenas, sendo a ligação parafusada a mais frequente (Figura 1.1).

Figura 1.1 - Cantoneiras de abas iguais conectadas através de uma aba via ligação parafusada (a) – Leal, 2011; b) – Bashar, 2012).

Apesar da aparente simplicidade e facilidade de utilização, a análise e dimensionamento de cantoneiras conectadas por uma aba não são simples, devido à excentricidade de aplicação da força normal e à não coincidência dos eixos principais 22

de inércia da cantoneira com os paralelos aos planos de conexão (planos paralelos às abas). Estudos mostram que a capacidade resistente de cantoneiras submetidas à tração excêntrica não é muito menor do que nas situações de tração concêntrica (Woolcock e Kitipornchai, 1986). Na compressão, o efeito da excentricidade na força última é mais pronunciado, como mostraram Elgaaly et al. (1991) e Bathon et al.

(1993), entre outros autores. Temple e Sakla (1996) citam ainda outro motivo para a complexidade de se analisar e dimensionar cantoneiras comprimidas: a dificuldade de contabilizar a influência da rigidez da fixação da barra na sua capacidade resistente, já que as restrições das extremidades não são conhecidas na maioria dos casos.

De modo geral, as cantoneiras comprimidas apresentam dois modos de falha: instabilidades por flexão e flexotorção. A cantoneira laminada normalmente possui abas compactas (b/t < 20), onde b e t correspondem, respectivamente, à largura e espessura da aba, não estando portanto sujeitas às instabilidades locais. Nas cantoneiras conectadas através de uma aba por meio de um parafuso apenas, a ligação é considerada rotulada. Quando se utilizam dois parafusos ou mais, a ligação é usualmente denominada semi-engastada (situação intermediária entre rótula e engaste).

Para a faixa de comprimento utilizada em torres de transmissão (barras esbeltas) as cantoneiras estão mais propícias a falharem por instabilidade por flexão. Em outros tipos de construção metálica, onde se empregam geralmente cantoneiras de comprimento curto a intermediário, o modo de instabilidade preponderante é a flexotorção (Kettler et al., 2017).

A obtenção analítica da resposta elástica de cantoneiras comprimidas excentricamente é muito complexa. Vlasov (1962) propôs uma formulação analítica para a flexotorção, baseada no equilíbrio da barra na configuração deformada, porém de difícil solução.

Assim, propõe-se neste trabalho um estudo sobre a compressão concêntrica e excêntrica de cantoneiras laminadas conectadas por um, dois e três parafusos através da formulação de Vlasov (1962) e de modelos numéricos.

23

2

Formulação analítica para determinação da força crítica de instabilidade elástica

Barras submetidas à compressão com seção transversal monossimétrica e assimétrica estão sujeitas à instabilidade por flexotorção. Portanto, as cantoneiras laminadas de abas iguais – objeto de estudo deste trabalho – estão inseridas nesse contexto. O problema da flexotorção no regime elástico, de barras com seção transversal aberta de paredes finas, embora estudado anteriormente por Timoshenko e Gere (1961), foi sistematizado por Vlasov (1962). Na presente seção, apresenta-se a formulação de Vlasov (1962) para obtenção da força crítica de instabilidade elástica para uma seção transversal genérica aberta de paredes finas, com sua posterior aplicação no caso de cantoneiras comprimidas.

Seja então uma barra de seção transversal genérica aberta de paredes finas sujeita à força axial (N) e a momentos fletores (My e Mz) aplicados nas extremidades conforme Figura 2.1, onde CG representa o centro geométrico e D, o centro de torção da seção,

e

os eixos principais de inércia da seção transversal e

o eixo longitudinal,

que passam pelo centro geométrico das seções.

Figura 2.1 – Seção transversal genérica aberta de paredes finas submetida à força axial e momentos fletores em torno dos eixos principais de inércia.

De acordo com Vlasov (1962), quando essa barra for submetida a uma pequena perturbação, capaz de causar a sua instabilidade, ela passará a ocupar uma nova posição de equilíbrio.

24

No desenvolvimento desta formulação adotam-se, inicialmente, as seguintes hipóteses: • A espessura do perfil é bem inferior às outras dimensões da seção transversal e essas, por sua vez, são bem menores que o comprimento da barra; • As seção transversal é indeformável em seu plano, e suas dimensões não variam com ; A segunda hipótese permite que se trate o problema como um movimento de corpo rígido no plano

, e assim, a nova posição de equilíbrio da barra pode ser

caracterizada por três funções em : ângulo de rotação ( ) e deslocamentos (

e

)

do centro de torção nas direções dos eixos principais ( e , respectivamente) da seção, conforme mostrado na Figura 2.1. A partir dessas funções obtêm-se equações diferenciais, as quais, na maioria das vezes, são de difícil solução exata até mesmo para os casos mais simples de vinculação e carregamento. Na Subseção 2.1 serão deduzidas as equações diferenciais para a seção transversal indicada na Figura 2.1, utilizando o Método do Equilíbrio na sua configuração deformada, com pequenos deslocamentos, rotações e deformações.

2.1

Estabilidade de uma barra com seção transversal genérica aberta de paredes finas

Conforme a Figura 2.1, o deslocamento da seção transversal no seu plano pode ser considerado como a superposição de deslocamentos relativos à translação e à rotação.

Assim, considerando pequenos deslocamentos, rotações e deformações, obtêm-se as Equações (2.1) e (2.2), as quais expressam os deslocamentos da seção transversal nas direções e , respectivamente.

(2.1) (2.2) onde: o ângulo de rotação; as coordenadas do centro de torção ( ); os deslocamentos do centro de torção em e .

Logo,

e

são funções de

,

e

(ângulo de torção da seção

transversal – ver Figura 2.1), e as condições que devem satisfazer essas funções são 25

expressas por três equações diferenciais dependentes. Para deduzir essas equações, parte-se das equações básicas da flexão (da Resistência dos Materiais) – Equações (2.3) e (2.4) - e da flexotorção (proposta por Vlasov, 1962) – Equação (2.5). Essas equações são válidas quando há eixos de simetria, ou seja, quando o produto de inércia é nulo.

(2.3) (2.4) (2.5) sendo: os momentos de inércia relativos aos eixos principais de inércia e ; os momentos fletores relativos aos eixos principais de inércia e ; o momento de torção; o momento de inércia à torção uniforme; os módulos de elasticidade longitudinal e transversal do aço; a constante de empenamento da seção, obtida através da Equação (2.6).

(2.6) Na Equação (2.6), ω é a área setorial principal e

a área da seção transversal.

Derivando as Equações (2.3), (2.4) e (2.5) obtém-se: (2.7) (2.8) (2.9) sendo: a força por unidade de comprimento na direção y; a força por unidade de comprimento na direção z; o momento torsor por unidade de comprimento.

Estão sendo consideradas apenas forças axiais aplicadas nas extremidades, logo a tensão normal ( ) é constante ao longo do eixo nula. O cálculo de

,

,e

e a tensão de cisalhamento (τ) é

são realizados no equilíbrio da posição deformada

(considerando pequenos deslocamentos, rotações e deformações). Dessa forma são obtidas as Equações (2.10), (2.11) e (2.12).

(2.10) 26

(2.11) (2.12) De acordo com Vlasov (1962), as tensões longitudinais atuantes na barra recebem a contribuição do bimomento ( ), conforme a Equação (2.13): (2.13) Segundo Mori (2003), para seções transversais com um eixo de simetria, o bimomento não altera o valor da força crítica de instabilidade, sendo assim, como essas formulações são aplicadas em cantoneiras neste trabalho, despreza-se a contribuição do bimomento nas tensões. Combinando a Equação (2.13) nas Equações (2.10), (2.11) e (2.12), e desenvolvendo essas últimas nas Equações (2.7), (2.8) e (2.9), obtém-se então as equações diferenciais de estabilidade para uma barra de seção transversal genérica aberta de paredes finas: (2.14) (2.15) (2.16) sendo

o raio de giração polar em relação ao centro de torção, dado por: (2.17)

e

e

são as coordenadas do centro do círculo de estabilidade (coordenadas do

ponto de Kindem), calculados através das Equações (2.18) e (2.19), respectivamente. O círculo de estabilidade (ou região de estabilidade) é a região da seção transversal onde é possível aplicar uma força de tração sem provocar a instabilidade da barra e

e

são as coordenadas do centro desse círculo em relação ao centro geométrico da seção.

(2.18) (2.19) O vínculo de garfo é uma condição de contorno muito comum nos casos práticos de ligações metálicas, onde as extremidades da barra possuem rotação livre em relação aos eixos principais de inércia, empenamento livre e torção da seção transversal 27

impedida. Ao impor condições de contorno de vínculo de garfo (ver Tabela 2.1) nas extremidades de uma barra comprimida, as soluções das equações diferenciais, quando o carregamento atinge seu valor crítico, são: (2.20) (2.21) (2.22) sendo , , e

são constantes numéricas e

o comprimento da barra.

Tabela 2.1 – Condições de contorno de vínculo de garfo.

Flexão e Rotações

Momentos Fletores e Bimomento

Combinando as Equações (2.20), (2.21) e (2.22) no sistema de equações diferenciais (Equações (2.14), (2.15) e (2.16)), e generalizando para diversos casos de condições de contorno, chegamos a seguinte equação matricial:

(2.23)

sendo: os comprimentos efetivos de flambagem em relação aos eixos e ; o comprimento efetivo de flambagem por torção devido ao empenamento.

As forças axiais de flambagem elástica por flexão em relação aos eixos e , e a força de flambagem elástica relativa à torção da barra, como:

28

e

,

, podem ser definidas

(2.24) (2.25) (2.26)

Na busca por uma solução não trivial para a Equação (2.23), considerando N uma força de compressão, obtém-se:

(2.27)

Essa equação pode ser então reescrita na seguinte forma:

(2.28) A Equação (2.28) é uma equação geral, a partir da qual é possível determinar os valores críticos das forças axiais e momentos fletores aplicados às extremidades de um barra.

2.2

Estabilidade de Cantoneiras Comprimidas

As cantoneiras laminadas de abas iguais são amplamente utilizadas na construção metálica devido às suas facilidades de conexão. Essa, por sua vez, é a principal responsável pela compressão excêntrica a qual essas barras estão submetidas. Neste trabalho, a excentricidade a ser avaliada está relacionada ao uso de cantoneiras conectadas por parafusos em uma das abas, conforme Figura 2.2. Nessa figura, os eixos

e

são os eixos de menor e maior inércia da seção, respectivamente,

largura da aba e

éa

a espessura. A orientação dos eixos mostradas na Figura 2.2 é

utilizada como referência em todo o trabalho.

29

Figura 2.2 – Cantoneira de abas iguais parafusada por uma aba.

De acordo com a Teoria de Vlasov (1962), se uma barra com seção transversal monossimétrica for submetida à uma força de compressão excêntrica – caso da Figura 2.2 – os autovetores são relativos a movimentos característicos de flexotorção.

A obtenção da solução elástica exata para cantoneiras comprimidas excentricamente pode ser realizada substituindo os momentos fletores da Equação (2.28) por: (2.29) (2.30) sendo

e

as coordenadas de aplicação de

, calculadas em função do gabarito da

furação ( ): (2.31) (2.32) A cantoneira pertence a um grupo de perfis em que suas ramificações são coincidentes em um ponto, bem como a seção cruciforme e a seção T, o que lhe confere certas peculiaridades. O centro de torção ( ) da cantoneira está localizado no encontro das abas, o que a concede baixa rigidez à torção e coeficiente de empenamento,

, nulo

(ver Equação (2.6)). Tal fato aumenta a susceptibilidade do perfil a ser mais susceptível a sofrer instabilidade por flexotorção. Assim, a primeira expressão da Equação (2.26) desaparece, e a força axial de flambagem por torção puramente da cantoneira pode ser dada por: (2.33) 30

Além disso, devido à simetria em torno do eixo de maior inércia ( ), A constante

e

são nulos.

pode ser obtida através da expressão: (2.34)

Diante dessas definições, a Equação (2.28) pode ser reescrita para cantoneiras comprimidas excentricamente, conforme a Equação (2.35): (2.35) sendo

e

calculados através das Equações (2.24) e (2.25), respectivamente. A

Equação (2.35) fornece 3 soluções possíveis. A força crítica de instabilidade à compressão,

3

, é a menor das raízes positivas.

Análise Numérica

As análises numéricas deste trabalho foram realizadas com base no Método dos Elementos Finitos, através da plataforma computacional ANSYS v.15.0. As análises iniciais foram desenvolvidas para os modelos sob compressão concêntrica, a partir dos quais foram calibrados, através de formulações analíticas, todos os parâmetros da modelagem para posterior análise dos mesmos perfis sob compressão excêntrica.

Para compor os perfis, foi utilizado o elemento SHELL181, elemento disponível na biblioteca do ANSYS e adequado para análises não lineares de cascas de parede fina sujeitas a grandes gradientes de deformação e rotação. No modelo, a cantoneira foi modelada a partir do plano médio das abas sem a presença dos parafusos nas extremidades. A presença deste último foi simulada através de furos (Figura 3.1a). Os furos foram modelados com elementos MPC184. Este elemento pode ser utilizado como um componente rígido na transmissão de forças usado para transmitir forças e momentos, sendo útil para simular situações de condições cinemáticas simples como a imposição de deslocamentos iguais entre duas partes ou até mais complicadas como o contato entre dois corpos flexíveis. Utilizou-se uma malha quadricular em quase todo o perfil, exceto na ligação, onde os elementos foram distorcidos, produzindo uma malha circunferencial ao redor dos furos (Figura 3.1a). Para otimizar o processamento computacional, foi utilizada a propriedade de simetria, onde apenas o metade do 31

comprimento original da cantoneira foi discretizado (Figura 3.1b). Nesta modelagem, a região de interseção entre as abas foi modelada com canto reto (sem curvatura), uma vez que essa curvatura apresenta pouca influência na capacidade resistente dos perfis (Liu e Hui, 2010).

Figura 3.1 – Extremidades das cantoneiras e malha adotada nos modelos numéricos.

Como condições de contorno, foram aplicados vínculos de garfo nas extremidades das barras. Para isso, foram aplicadas restrições nos nós centrais dos furos, as mesmas mostradas na Tabela 3.1 e nas Figuras 3.2a e 3.2b. A solicitação também foi aplicada nesses nós. Para introduzir o efeito de simetria, adotaram-se as restrições nos graus de liberdade de translação em

e rotação em

e

(Ux, ROTy e ROTz) em todos os nós

da seção transversal correspondente à simetria (Figura 3.2c).

Tabela 3.1 – Restrições adotadas nos nós centrais dos furos.

Tipo de solicitação Concêntrica Excêntrica

Graus de liberdade restringidos Uy, Uz Uy, Uz, ROTx

*Ux, Uy e Uz são graus de liberdade de translação, e ROTx, ROTy e ROTz são graus de liberdade de rotação.

32

Figura 3.2 – Condições de contorno e carregamentos aplicados na: a) compressão concêntrica; b) compressão excêntrica; c) seção transversal de simetria.

Para a obtenção da capacidade resistente das barras, primeiramente, foi realizada uma análise de instabilidade elástica (análise linearizada de estabilidade). Em seguida, uma análise não linear geométrica e de material foi realizada, onde, através de métodos iterativos (Controle por comprimento de arco), o carregamento foi acrescentado à estrutura, passando pela força última, até a parada da solução, caracterizada pela não convergência da análise (ver Figura 3.3). Utilizou-se o critério de falha de von Mises.

Figura 3.3 – Curva Força x deslocamento de uma cantoneira comprimida excentricamente.

33

Para o modelo constitutivo dos perfis, adotou-se o diagrama bilinear elastoplástico perfeito, com material de referência o aço carbono ASTM A36, cuja resistência ao escoamento é igual a 25 kN/cm². É bastante difundido na literatura que a imperfeição geométrica inicial leva a variações elevadas da capacidade resistente em barras comprimidas concentricamente.

Enquanto nas cantoneiras comprimidas excentricamente, o efeito das imperfeições geométricas é muito pequeno se comparado ao efeito da excentricidade de aplicação da força normal. Sakla (1997) em seus estudos sobre compressão de cantoneiras soldadas por uma aba observou que os efeitos das imperfeições geométricas iniciais não foram relevantes. Liu e Hui (2010) avaliaram a influência de vários valores de excentricidade em torno dos eixos de maior e de menor inércia na capacidade resistente de cantoneiras. Concluíram que a imperfeição geométrica teve efeito desprezível na compressão excêntrica, enquanto que na compressão concêntrica, o valor da capacidade resistente decresce a medida que a imperfeição aumenta. No caso das tensões residuais, sabe-se da literatura que as mesmas possuem pouca influência na capacidade resistente de cantoneiras comprimidas. Elgaaly et al. (1991) verificaram que o impacto das tensões residuais na capacidade última de cantoneiras comprimidas era desprezível, sendo menor ou igual a 5%. Usami e Galambos (1971) concluíram em seus estudos sobre compressão excêntrica de cantoneiras que os efeitos das tensões residuais eram insignificantes na capacidade resistente e que a presença das tensões residuais reduzia esses valores em no máximo em 4%. Para o estudo numérico deste trabalho não foram consideradas tensões residuais e imperfeições geométricas iniciais.

O estudo numérico foi desenvolvido para a cantoneira L 63,5 x 6,4 mm (ver Tabela 3.2), sendo avaliados comprimentos diversos; permitindo obter esbeltezes (relativas ao eixo de menor inércia) variando entre 25 a 500, com incrementos de 25.

A esbeltez dos modelos deste trabalho é expressa por λr, índice de esbeltez relativo ao eixo de menor inércia, calculado através da Equação (3.1): (3.1)

34

onde Lr é a distância entre as duas extremidades da cantoneira, medida a partir dos parafusos mais próximos às bordas transversais, e r, o raio de giração em relação ao eixo de menor inércia.

Tabela 3.2 – Cantoneira adotada na modelagem numérica.

Perfil L 63,5 x 6,4 mm

4

Ag (cm²) 7,67

Iz (cm4) 11,79

Iy (cm4) 46,21

rz (cm) 1,24

ry (cm) 2,45

Comparação entre os resultados numéricos e a formulação de Vlasov (1962)

Compararam-se os resultados da análise linearizada de estabilidade (ALE) e da análise não linear geométrica e de material (NLGM) com os valores obtidos através da fórmula de Euler e da formulação de Vlasov (1962). Calcularam-se os valores das tensões relativas à flambagem elástica por flexão em torno do eixo de menor inércia (a partir da equação de Euler – Equação (2.24)) para compressão concêntrica e as tensões referentes à instabilidade por flexotorção (a partir das formulações de Vlasov (1962) – Equação (2.36)) para compressão excêntrica. Nesses cálculos, foram consideradas duas condições de contorno nas extremidades da cantoneira: rótula (K = 1,0) e engaste (K = 0,5) na fórmula de Euler, e vínculo de garfo e engaste na formulação de Vlasov (1962).

A solução para essa última condição de contorno foi obtida assumindo K = 0,5 nas Equações (2.24) e (2.25), e introduzindo os novos valores de

e

na Equação

(2.36). A título de referência, a tensão relativa à flambagem por torção pura para o perfil em questão é igual a 87,12 kN/cm².

4.1

Compressão Concêntrica

O comportamento dos modelos numéricos apresentaram excelente concordância com as formulações analíticas para a cantoneira analisada, como pode ser observado na Figura 4.1.

Na compressão concêntrica (Figura 4.1), as cantoneiras com apenas um parafuso comportam-se como barras rotuladas. Observou-se a coincidência entre a formulação de Euler e os resultados da análise linearizada de estabilidade para barras com um e dois parafusos, indicando que a flambagem por flexão em torno do eixo de menor inércia é a única instabilidade que ocorre em perfis de abas compactas sob essa 35

solicitação. Quanto à utilização de um ou dois parafusos, foi possível observar que o aumento do número de parafusos torna a ligação mais rígida, dando-lhe um efeito de engastamento, possibilitando um esforço resistente cerca de quatro vezes maior do que nas barras com apenas um parafuso. Não foi observada diferença na capacidade resistente com o aumento de dois para três parafusos. Para barras curtas, ou seja, esbeltezes (λr) inferiores a 85, para barras com um parafuso, e a 185, para situações com dois ou três parafusos, ocorreu a plastificação em praticamente todo o perfil, enquanto nas barras mais esbeltas, a flambagem elástica por flexão em torno do eixo de menor inércia foi o estado limite preponderante (ver curvas NLGM da Figura 4.1).

Figura 4.1 – Resultados da análise linearizada de estabilidade e da análise não linear geométrica e de material para compressão concêntrica do perfil L 63,5 x 6,4 mm.

4.2

Compressão Excêntrica

Na compressão excêntrica (Figura 4.2), foi observada boa concordância entre os resultados das análises linearizadas de estabilidade e os resultados obtidos através da formulação de Vlasov (1962). A Figura 4.3 apresenta as tensões de von Mises relativas à falha do perfil, típicas de cantoneiras compactas (Figura 4.3a) e esbeltas (Figura 4.3b). Para barras com um parafuso e valores de esbeltezes (λr ) abaixo de 145 e para barras com três parafusos com esbeltezes inferiores a 295, a capacidade resistente é caracterizada por plastificação da seção transversal. Na Figura 4.3a observa-se que esses perfis apresentaram plastificação em apenas parte da seção transversal, consequência direta da compressão excêntrica. Para esbeltezes maiores que as destacadas anteriormente, a flambagem elástica por flexão em torno do eixo de 36

menor inércia governa o modo de falha (ver Figura 4.3b). O comportamento esperado nas cantoneiras comprimidas excentricamente é a flexo-torção da seção transversal.

No entanto, observou-se nos modelos numéricos a configuração deformada esquematizada na Figura 4.4a, onde houve predominantemente a flexão em torno do eixo de menor inércia com um pequeno giro da seção transversal. A Figura 4.4b exemplifica isso, onde se observa que as abas da seção transversal localizada a meia altura da cantoneira não são paralelas as abas da seção transversal da extremidade (seção transversal indeformada devido às condições de contorno impostas no modelo numérico), evidenciando, dessa forma, uma rotação da primeira. Observou-se que os deslocamentos devido à torção da seção transversal diminuíam à medida que se aumentava a esbeltez das barras. Esse efeito reduzido da torção no comportamento de cantoneiras comprimidas também foi observado por Liang et al. (2019) em seus estudos experimentais.

Nas barras com dois parafusos, a plastificação da seção transversal foi preponderante para todas as esbeltezes.

Quanto à influência do número de parafusos, foi observado um ganho no esforço resistente de 90% e 145% nos modelos com dois e três parafusos, respectivamente, quando comparados com o modelo com um parafuso. A diferença da capacidade resistente entre elementos com dois e três parafusos é bem mais significativa do que na compressão concêntrica. É válido notar que, para esbeltezes elevadas, as curvas “NLGM – dois parafusos” e “NLGM – três parafusos” apresentam comportamento assintótico com a curva “Vlasov (Engaste)”, sugerindo um engastamento das extremidades. A tendência de cantoneiras de esbeltezes elevadas comprimidas excentricamente de se comportarem como barras birrotuladas, quando conectadas por um parafuso, e como barras biengastadas, quando conectadas por dois ou mais parafusos, observada na Figura 4.2, também foi verificada por Kettler et al. (2019) em suas análises experimentais em cantoneiras comprimidas.

37

Figura 4.2 – Resultados da análise linearizada de estabilidade e da análise não linear geométrica e de material para compressão excêntrica do perfil L 63,5 x 6,4 mm.

Figura 4.3 – Distribuição de Tensões de von Mises relativa à falha para a compressão excêntrica – L 63,5 x 63,5 mm com um parafusos: a)

= 65 e b)

= 245.

Figura 4.4 – Desenho esquemático da configuração indeformada e deformada; b) Distribuição de Tensões de von Mises relativa à falha para a compressão excêntrica – L 63,5 x 63,5 mm –

38

= 245.

5

Conclusões

a) Compressão concêntrica: • as cantoneiras com apenas um parafuso comportam-se como barras birrotuladas. As cantoneiras com dois e três parafusos comportam-se como barras biengastadas, possibilitando uma capacidade resistente cerca de quatro vezes maior do que as barras com apenas um parafuso; • observou-se a coincidência entre a formulação de Euler e os resultados da análise linearizada de estabilidade para barras com um, dois e três parafusos, indicando que a flambagem em torno do eixo de menor inércia é a único modo de instabilidade que ocorre em perfis de abas compactas sob essa solicitação; • não foi observada diferença na capacidade resistente com o aumento de dois para três parafusos; b) Compressão excêntrica: • há excelente concordância entre os resultados analíticos obtidos através da formulação de Vlasov (1962) e os resultados numéricos das análises linearizadas de estabilidade. Para esbeltezes elevadas, as cantoneiras comprimidas excentricamente através de um parafuso comportam-se como barras rotuladas, e aquelas solicitadas com dois e três parafusos, como barras biengastadas; • a resistência máxima alcançada nos modelos com um parafuso corresponde à aproximadamente 50% da resistência ao escoamento, indicando que nesses perfis ocorre, predominantemente, a plastificação apenas da aba conectada. A resistência máxima alcançada nos modelos com dois e três parafusos corresponde à aproximadamente 75 e 95%, respectivamente, da resistência ao escoamento; • no trecho elastoplástico das curvas, a diferença na capacidade resistente em função do número de parafusos ocorre porque cada parafuso adicional permite que uma maior porção da aba não conectada seja solicitada, fornecendo, dessa forma, um ganho na capacidade resistente.

39

6

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40

Recebido: 19/04/2019 Aprovado: 10/07/2019 Volume 9. Número 1 (abril/2020). p. 41‐60 ‐ ISSN 2238‐9377

Revista indexada no Latindex e Diadorim/IBICT

Procedimento para a determinação do momento fletor resistente à flambagem lateral com torção de vigas celulares de aço Caroline Corrêa de Faria1*, Hermes Carvalho1, Ricardo Hallal Fakury1, Lucas Figueiredo Grilo1 e Rodrigo Barreto Caldas1

1

Departamento de Engenharia de Estruturas, Universidade Federal de Minas Gerais, Belo Horizonte, MG, Brasil ‐ carolinecf@ufmg.br, hermes@dees.ufmg.br, fakury@dees.ufmg.br, lucasfgrilo@gmail.com, caldas@dees.ufmg.br

Design procedure for determination of the bending moment resistance to lateral‐torsional buckling of steel cellular beams

Resumo Este trabalho tem por objetivo principal propor um novo procedimento para o cálculo do momento fletor resistente de vigas celulares de aço com relação ao estado‐limite último de flambagem lateral com torção. Para isso, um modelo em elementos finitos foi desenvolvido e validado por comparação com resultados experimentais presentes na literatura e, posteriormente, utilizado em um estudo paramétrico de vigas celulares originárias de vinte perfis laminados fabricados no Brasil. Com base nesse estudo, foi desenvolvido um novo procedimento que representa de maneira mais acurada os resultados numéricos quando comparado a outros procedimentos existentes na literatura. Por fim, um roteiro de cálculo é apresentado, incluindo o equacionamento para a determinação das propriedades geométricas da seção transversal de interesse à determinação do momento fletor resistente.

Palavras‐chave: Vigas Celulares de Aço, Flambagem Lateral com Torção, Modelagem Numérica.

Abstract

The main objective of this paper is to propose a new design procedure to obtain the bending moment resistance of steel cellular beams for ultimate limit state for lateral‐torsional buckling.

To this end, a finite element model was developed and validated by comparison with experimental results from the literature. A parametric study of cellular beams deriving from twenty hot rolled profiles manufactured in Brazil was performed. The new procedure was proposed based on the parametric study and presented better results than those obtained through procedures proposed by other authors. Finally, a complete design approach was proposed, including equations for the determination of the cross section geometric properties of interest to appoint the moment resistance.

Keywords: Steel Cellular beams, Lateral‐Torsional Buckling, Numerical Modelling.

* Autor correspondente

1

IntroduçãoÂ

As vigas celulares usualmente sĂŁo fabricadas a partir de um perfil I laminado, no qual sĂŁo feitos dois cortes longitudinais na alma, ambos constituĂ­dos pela sequĂŞncia de semicircunferĂŞncia e pequeno segmento reto. As metades obtidas apĂłs os cortes sĂŁo transladadas e os segmentos retos soldados entre si, resultando em uma viga expandida com grandes alvĂŠolos circulares sequenciais na alma, e maior altura em relação aos perfis originais, como ilustrado na Figura 1, onde đ?&#x2018;?  Ê a largura das mesas, đ?&#x2018;?  a largura do montante de alma, đ?&#x2018;&#x2018; a altura do perfil laminado original, đ?&#x2018;&#x2018;  a altura da viga celular, â&#x201E;&#x17D; a altura da alma da viga celular, đ?&#x2018;Ą  a espessura das mesas, đ?&#x2018;Ą  a espessura da alma, e đ??ˇ  o diâmetro do alvĂŠolo. d

Corte AA tf

Corte BB tf

tw D0

h A dg

B

D0 bw

tw bf

A

bf

B

Â

Figura 1 â&#x20AC;&#x201C; Fabricação de viga celular a partir de perfil I laminado  Assim como em vigas de alma cheia, as vigas celulares estĂŁo sujeitas ao estadoâ&#x20AC;?limite último de flambagem lateral com torção (FLT), que Ê um fenĂ´meno caracterizado pela translação lateral da mesa comprimida acompanhada pela rotação da seção transversal (Figura 2). Embora alguns trabalhos disponĂ­veis na literatura tratem da determinação do momento fletor resistente de vigas celulares (đ?&#x2018;&#x20AC; ) para o estadoâ&#x20AC;?limite de FLT, hĂĄÂ divergĂŞncias entre os procedimentos existentes, inclusive no que se refere ao cĂĄlculo das propriedades geomĂŠtricas a serem utilizadas.Â

42Â

 Figura 2 â&#x20AC;&#x201C; FLT em viga celular  Diante do exposto, este trabalho apresenta um estudo sobre o comportamento de vigas celulares de aço sujeitas à  FLT, cujo objetivo principal Ê propor um novo procedimento para o cĂĄlculo do momento fletor resistente de vigas celulares, a partir de modelos numĂŠricos validados com resultados experimentais disponĂ­veis na literatura. Â

2 2.1

Conceitos Relevantes e Estudos Pregressos Momento crĂ­tico elĂĄsticoÂ

Nas vigas com perfil I duplamente simĂŠtrico fletido em relação ao eixo de maior momento de inĂŠrcia, o momento fletor de flambagem elĂĄstica referente à  FLT, tambĂŠm denominado momento crĂ­tico elĂĄstico (đ?&#x2018;&#x20AC; ), pode ser calculado conforme a seguinte equação: Â

đ?&#x2018;&#x20AC;

đ??ś

đ?&#x153;&#x2039; đ??¸đ??ź đ??ż

đ??ś đ??ź

1

0,039

đ??˝đ??ż đ??ś

Â

(1)Â

onde đ??ś  Ê o fator de modificação para diagrama de momento fletor nĂŁo uniforme, đ??ś  a constante de empenamento da seção transversal, đ??¸Â o mĂłdulo de elasticidade do aço, đ??ź  o momento de inĂŠrcia da seção transversal em relação ao eixo que passa pelo plano mĂŠdio da alma, đ??˝Â a constante de torção da seção transversal e đ??ż  o comprimento destravado da viga. A Equação (1) Ê composta pelo produto de đ??ś  por um rearranjo da equação clĂĄssica de vigas sujeitas à  flexĂŁo pura, proposta por Timoshenko e Gere (1961). O fator đ??ś  Ê utilizado para se considerar a variação do momento fletor ao longo do comprimento 43Â

destravado, đ??ż , da viga. Conforme as normas brasileira ABNT NBR 8800:2008 e norteâ&#x20AC;? americana ANSI/AISC 360:2016, esse fator para vigas constituĂ­das por perfis I duplamente simĂŠtricos com apoios simples e vĂ­nculos de garfo pode ser determinado por: đ??ś

 onde đ?&#x2018;&#x20AC;

ĂĄ

2,5đ?&#x2018;&#x20AC;

ĂĄ

12,5đ?&#x2018;&#x20AC; ĂĄ 3đ?&#x2018;&#x20AC; 4đ?&#x2018;&#x20AC;

3đ?&#x2018;&#x20AC;

Â

(2)Â

 Ê o valor do momento fletor mĂĄximo solicitante de cĂĄlculo, em mĂłdulo, noÂ

comprimento destravado, e đ?&#x2018;&#x20AC; , đ?&#x2018;&#x20AC;  e đ?&#x2018;&#x20AC;  sĂŁo os valores, em mĂłdulo, do momento fletor solicitante de cĂĄlculo a um quarto, na metade e a trĂŞs quartos do comprimento destravado da viga, respectivamente. Essa equação normativa tem como origem estudos efetuados por Kirby e Nethercot (1979). Conforme Abreu et al. (2010), as Equaçþes (1) e (2) tambĂŠm podem ser aplicadas ao cĂĄlculo do momento crĂ­tico elĂĄstico de vigas celulares, desde que as propriedades geomĂŠtricas da seção transversal sejam obtidas no centro dos alvĂŠolos (seção mostrada no corte Bâ&#x20AC;?B da Figura 1). 2.2

Momento fletor resistenteÂ

2.2.1 Abreu et al. (2010) Abreu et al. (2010) investigaram o comportamento de vigas celulares sujeitas à  FLT por meio de modelos numĂŠricos validados com resultados experimentais. Nesses modelos, os autores consideraram tensĂľes residuais apenas nas mesas, conforme a distribuição indicada na Figura 3, na qual đ?&#x2018;&#x201C;  Ê a resistĂŞncia ao escoamento do aço. A partir dos resultados numĂŠricos, Abreu et al. (2010) apresentaram um procedimento para o cĂĄlculo do momento fletor resistente, simbolizado por đ?&#x2018;&#x20AC; , para vigas celulares utilizando a mesma formulação preconizada pela ABNT NBR 8800:2008, para vigas de alma cheia, com as seguintes modificaçþes: (i) propriedades geomĂŠtricas da seção transversal calculadas no centro dos alvĂŠolos; (ii) substituição do parâmetro de esbeltez da viga (đ?&#x153;&#x2020;) pelo comprimento destravado đ??ż ; (iii) substituição dos parâmetros de esbeltez correspondentes à  plastificação e ao inĂ­cio do escoamento (đ?&#x153;&#x2020;  e đ?&#x153;&#x2020; ) por comprimentos equivalentes corrigidos (đ??ż  e đ??ż

44Â

,

); e (iv) substituição do momentoÂ

fletor de plastificação da seção transversal (đ?&#x2018;&#x20AC; ) por 0,9 đ?&#x2018;?

,

đ?&#x2018;&#x201C; , onde đ?&#x2018;?

,

 Ê o mĂłduloÂ

de resistĂŞncia plĂĄstico da seção transversal tomada no centro dos alvĂŠolos.Â

0,3 f y +

0,3 f y

-

-

-

+

Â

Figura 3 â&#x20AC;&#x201C; Modelo simplificado de tensĂľes residuais para as mesas  2.2.2 Nseir et al. (2012) e Sonck e Belis (2015) Por meio de modelos numĂŠricos validados com resultados experimentais, Nseir et al. (2012) e Sonck e Belis (2015) analisaram o comportamento de vigas celulares sujeitas à  FLT. Conforme esses autores, o cĂĄlculo do momento fletor resistente pode ser feito com a formulação preconizada pela norma EN 1993â&#x20AC;?1â&#x20AC;?1:2005, considerando alguns ajustes. Segundo a EN 1993â&#x20AC;?1â&#x20AC;?1:2005, o momento fletor resistente Ê dado por: đ?&#x2018;&#x20AC;

Â

đ?&#x153;&#x2019;

đ?&#x2018;&#x2039; đ?&#x2018;&#x201C;

(3)Â

onde đ?&#x2018;&#x2039;  Ê o mĂłdulo resistente de interesse da seção transversal e đ?&#x153;&#x2019;  um fator de redução para a flambagem lateral com torção, dado por:Â

Â

1

đ?&#x153;&#x2019; ÎŚ

ÎŚ

1,0Â đ?&#x153;&#x2020;Ě&#x2026;

(4)Â

onde đ?&#x153;&#x2020;Ě&#x2026;  Ê a esbeltez adimensional da viga à  FLT e Ό  um parâmetro auxiliar. Essas duas grandezas sĂŁo dadas por: Â

đ?&#x2018;&#x2039; đ?&#x2018;&#x201C; Â đ?&#x2018;&#x20AC;

đ?&#x153;&#x2020;Ě&#x2026;

45Â

(5)Â

ÎŚ

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0,5 1

đ?&#x153;&#x2020;Ě&#x2026;

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đ?&#x153;&#x2020;Ě&#x2026;

0,2

(6)Â

Â

onde đ?&#x203A;ź  Ê um fator de imperfeição, que engloba os efeitos das tensĂľes residuais e das imperfeiçþes geomĂŠtricas no cĂĄlculo de đ?&#x2018;&#x20AC; , e estĂĄÂ associado à  curva de resistĂŞncia utilizada. Na norma EN 1993â&#x20AC;?1â&#x20AC;?1:2005 podem ser encontradas quatro curvas de resistĂŞncia, cada uma delas associada a um valor para esse fator para o estadoâ&#x20AC;?limite de FLT, dependendo da seção transversal do perfil e da razĂŁo entre a altura e a largura das mesas do perfil (đ?&#x2018;&#x2018;/đ?&#x2018;? ), como mostrado na Tabela 1. No caso das vigas celulares, Nseir et al. (2012) e Sonck e Belis (2015) recomendaram que fosse adotada a curva đ?&#x2018;?, ou seja, que đ?&#x203A;ź  fosse tomado como igual a 0,49.  Tabela 1 â&#x20AC;&#x201C; Fator de imperfeição đ?&#x203A;ź  conforme a norma EN 1993â&#x20AC;?1â&#x20AC;?1:2005 Tipo de seção transversal I LaminadoÂ

IÂ SoldadoÂ

đ?&#x2018;&#x2018; â &#x201E;đ?&#x2018;?  â&#x2030;¤Â 2,0Â

Curva de resistĂŞncia đ?&#x2018;&#x17D;Â

đ?&#x203A;ź Â 0,21Â

>Â 2,0Â

đ?&#x2018;?Â

0,34Â

â&#x2030;¤Â 2,0Â

đ?&#x2018;?Â

0,49Â

>Â 2,0Â

đ?&#x2018;&#x2018;Â

0,76Â

â&#x20AC;?Â

đ?&#x2018;&#x2018;Â

0,76Â

OutraÂ

 Os autores tambĂŠm sugeriram que as propriedades geomĂŠtricas da seção transversal fossem determinadas no centro dos alvĂŠolos. Entretanto, Sonck e Belis (2015) recomendaram a adoção de đ?&#x2018;&#x2039;  igual a đ?&#x2018;?

,

, e que đ?&#x2018;&#x20AC; Â

fosse obtido com a constante de torção ponderada (đ??˝ ), dada por: đ??˝

Â

0,9

đ?&#x2018;&#x203A;đ??ˇ đ??˝ đ??ż

1

0,9

đ?&#x2018;&#x203A;đ??ˇ đ??ż

đ??˝Â

(7)Â

onde đ?&#x2018;&#x203A; Ê a quantidade de alvĂŠolos, đ??żÂ ĂŠÂ o comprimento da viga, e đ??˝  e đ??˝  sĂŁo, respectivamente, os valores das constantes de torção calculadas no centro dos alvĂŠolos e na seção transversal sem alvĂŠolos, conforme detalhes apresentados mais adiante no Subitem 3.4. 2.3

Resultados experimentais disponĂ­veis na literaturaÂ

Nseir et al. (2012) e Boissonnade et al. (2014) realizaram dois ensaios de flexĂŁo de quatro pontos em vigas celulares com processo de fabricação convencional, conforme 46Â

descrito no Item 1. Nesses dois protĂłtipos, denominados HEA 340 e IPE 330, os autores adicionaram restriçþes laterais e enrijecedores nas seçþes dos apoios e de aplicação das forças. AlĂŠm disso, como ilustrado na Figura 4a, os alvĂŠolos nas regiĂľes entre os apoios e os pontos de aplicação das forças foram preenchidos. Sonck (2014) e Sonck e Belis (2015) realizaram trĂŞs ensaios de flexĂŁo de quatro pontos em vigas celulares construĂ­das de forma atĂ­pica, por meio da fabricação de vigas casteladas e posterior corte dos alvĂŠolos hexagonais para que passassem a ter forma circular. Os protĂłtipos CS2L3, CS2L4 e CS2L6, avaliados por esses autores, continham restriçþes laterais apenas nas seçþes dos apoios. TambĂŠm vale ressaltar que os autores nĂŁo conseguiram determinar o momento fletor resistente do protĂłtipo CS2L6, devido a dificuldades ocorridas durante a realização desse ensaio. Os detalhes das propriedades dos materiais, das dimensĂľes e das configuraçþes das vigas ensaiadas por esses autores estĂŁo apresentados nas Tabelas 2 e 3, e na Figura 4, respectivamente, onde đ??żÂ ĂŠÂ a distância entre os apoios e đ??ż  Ê a distância entre as forças aplicadas.  Tabela 2 â&#x20AC;&#x201C; Propriedades dos materiais, em MPa đ??¸

ProtĂłtipoÂ

Â

đ?&#x2018;&#x201C;

,

đ??¸

Â

đ?&#x2018;&#x201C;,

HEA 340 (Nseir et al., 2012)Â

212.100Â

480Â

212.100Â

480Â

IPE 330 (Nseir et al., 2012)Â

173.400Â

373Â

173.400Â

373Â

CS2L3 (Sonck, 2014)Â

187.100Â

329Â

199.300Â

342Â

CS2L4 (Sonck, 2014)Â

197.700Â

339Â

202.000Â

350Â

CS2L6 (Sonck, 2014)Â

187.100Â

329Â

199.300Â

342Â

Â

 Tabela 3 â&#x20AC;&#x201C; DimensĂľes dos protĂłtipos, em mm, e nĂşmero de alvĂŠolos ProtĂłtipoÂ

đ?&#x2018;&#x2018; Â

đ?&#x2018;?

đ?&#x2018;Ą

đ?&#x2018;Ą Â

đ??ˇ Â

HEA 340 (Nseir et al., 2012) 470 297,4 16,0 10,4 345,0 IPE 330 (Nseir et al., 2012)Â

đ?&#x2018;&#x203A;*Â

đ?&#x2018;? Â

đ??żÂ

đ??ż

10Â (+4)Â 170,0Â 7500Â 5300

460Â 161,6 10,8

7,8Â 345,0 17Â (+10)

50,0Â 11000Â 7110

CS2L3 (Sonck, 2014)Â

220Â 83,1Â

7,3Â

5,5Â 142,8

15Â

67,2Â

3150Â

CS2L4 (Sonck, 2014)Â

220Â 83,1Â

7,3Â

5,5Â 142,8

19Â

67,2Â

3990Â 1890

CS2L6 (Sonck, 2014)Â

220Â 83,1Â

7,3Â

5,5Â 142,8

29Â

67,2Â

6090Â 1890

*

 Entre parĂŞnteses estĂĄÂ o nĂşmero de alvĂŠolos preenchidos (ver Figura 4) 47Â

210Â

Lf

Â

(a) Representação do protĂłtipo HEA 340Â

Lf

Â

(b) Representação do protĂłtipo CS2L6 Figura 4 â&#x20AC;&#x201C; Configuraçþes dos ensaios de Nseir et al. (2012) e Sonck e Belis (2015) Â

3

MetodologiaÂ

Neste trabalho, modelos numÊricos foram desenvolvidos para investigar o fenômeno da flambagem lateral com torção em vigas celulares, sendo empregado o programa de elementos finitos ABAQUS (Simulia, 2014). Esses modelos foram validados por comparação com os resultados dos ensaios dos protótipos listados nas Tabelas 2 e 3. A partir do modelo validado, foi desenvolvido um estudo paramÊtrico de vigas celulares originårias de vinte perfis laminados disponíveis no mercado brasileiro, presentes no catålogo da Gerdau (2018). Os resultados do estudo paramÊtrico foram comparados aos procedimentos de cålculo propostos por Abreu et al. (2010) e Sonck e Belis (2015), variando as curvas de resistência adotadas. Por fim, foi proposto um novo procedimento para a determinação do momento fletor resistente, o qual representa de maneira mais acurada o espectro amostral estudado. 3.1

Modelo de elementos finitosÂ

As vigas celulares foram representadas numericamente em seu plano mĂŠdio, com elementos de casca do tipo S4 (Simulia, 2014). ApĂłs testes de sensibilidade de malha, o tamanho mĂŠdio dos elementos foi definido como o menor valor entre đ?&#x2018;? â &#x201E;12, đ?&#x2018;? /4 e đ?&#x2018;&#x2018;

đ?&#x2018;Ą â &#x201E;24, mas considerandoâ&#x20AC;?se um valor mĂ­nimo de 10 mm.Â

48Â

O momento crĂ­tico elĂĄstico numĂŠrico (đ?&#x2018;&#x20AC;

) referente à  FLT foi obtido por meio deÂ

,

uma anĂĄlise linear de estabilidade, onde foram considerados o mĂłdulo de elasticidade do aço e o coeficiente de Poisson igual a 0,3. JĂĄÂ o momento fletor resistente numĂŠrico (đ?&#x2018;&#x20AC;

,

) foi determinado com uma anĂĄliseÂ

nĂŁo linear pelo mĂŠtodo de Riks Modificado. Durante a realização das anĂĄlises nĂŁo lineares foram considerados: o modelo constitutivo bilinear para o aço (elastoplĂĄstico perfeito), o modelo de tensĂľes residuais aplicado nas mesas, conforme representado na Figura 3, e uma imperfeição geomĂŠtrica com magnitude igual a đ??ż/1000 e formato correspondente à  flexĂŁo lateral sob força distribuĂ­da em torno do eixo de menor inĂŠrcia. 3.2

Aferição do modelo numĂŠricoÂ

3.2.1 AnĂĄlise linear de estabilidade A anĂĄlise linear de estabilidade implementada no modelo numĂŠrico foi verificada com os resultados numĂŠricos dos modelos HEA 340, IPE 330, CS2L3, CS2L4 e CS2L6, elaborados por Sonck (2014). Para possibilitar a comparação, considerouâ&#x20AC;?se o mesmo valor do mĂłdulo de elasticidade do aço adotado por Sonck (2014), igual a 205 GPa, e o coeficiente de Poisson igual a 0,3.  As condiçþes de contorno adotadas para representar os protĂłtipos de Nseir et al. (2012) e de Sonck e Belis (2015) sĂŁo ilustradas nas Figuras 5 e 6. Conforme pode ser observado na Tabela 4, o modelo numĂŠrico adotado neste trabalho conduziu a valores de momento crĂ­tico elĂĄstico (đ?&#x2018;&#x20AC; numĂŠricos (đ?&#x2018;&#x20AC;

,

,

) muito prĂłximos aos valoresÂ

) determinados por Sonck (2014).Â

  Figura 5 â&#x20AC;&#x201C; Condiçþes de contorno adotadas para representar os protĂłtipos de Nseir et al. (2012) 49Â

 Figura 6 â&#x20AC;&#x201C; Condiçþes de contorno adotadas para representar os protĂłtipos de Sonck e Belis (2015)  Tabela 4 â&#x20AC;&#x201C; Momentos crĂ­ticos elĂĄsticos obtidos com o modelo proposto neste trabalho e com o modelo numĂŠrico de Sonck (2014) ModeloÂ

đ?&#x2018;&#x20AC;

Â

,

đ?&#x2018;&#x20AC;

,

Â

đ?&#x2018;&#x20AC;

,

/đ?&#x2018;&#x20AC;

,

(kN.m)Â

(kN.m)Â

(%)Â

HEA 340 (Nseir et al., 2012)Â

3518,4Â

3476,9Â

â&#x20AC;?1,2%Â

IPE 330 (Nseir et al., 2012)Â

227,4Â

222,6Â

â&#x20AC;?2,1%Â

CS2L3 (Sonck, 2014)Â

20,4Â

20,5Â

0,3%Â

CS2L4 (Sonck, 2014)Â

13,6Â

13,7Â

0,5%Â

CS2L6 (Sonck, 2014)Â

8,9Â

8,9Â

0,1%Â

 â&#x20AC;&#x201C; 1Â

 3.2.2 AnĂĄlise nĂŁo linear A anĂĄlise nĂŁo linear implementada no modelo numĂŠrico, descrita no Subitem 3.1, foi verificada com os resultados dos ensaios listados no Subitem 2.3, com exceção do modelo CS2L6, cujo momento resistente nĂŁo foi obtido experimentalmente (Sonck e Belis, 2015). Foram adotados as condiçþes de contorno mostradas nas Figuras 5 e 6, o mĂłdulo de elasticidade e a resistĂŞncia ao escoamento do aço determinados experimentalmente por Nseir et al. (2012) e Sonck (2014). Nas Figuras 7 e 8, as curvas momento resistente versus deslocamento vertical dos ensaios de Nseir et al. (2012) e de Sonck e Belis (2015) sĂŁo comparadas à s curvas obtidas com o modelo numĂŠrico desenvolvido.Â

50Â

200

Momento fletor (kN.m)

Momento fletor (kN.m)

1250 1000 750 500 250

exp num

160 120 80 40

exp num

0

0 0

20

40

60

80

0

100

20

Deslocamento (mm)

40

60

80

100

Deslocamento (mm)

(a) Modelo HEA 340

(b) Modelo IPE 330

Figura 7 – Comparação entre os resultados do modelo proposto e dos ensaios das vigas celulares com processo de fabricação convencional (Nseir et al., 2012)

15

Momento fletor (kN.m)

Momento fletor (kN.m)

20 16 12 8 4

exp num

12 9 6 3

exp num

0

0 0

3

6

9

12

15

0

18

Deslocamento (mm)

3

6

9

12

15

18

Deslocamento (mm)

(a) Modelo CS2L3

(b) Modelo CS2L4

Figura 8 – Comparação entre os resultados do modelo proposto e dos ensaios das vigas celulares com processo de fabricação atípico (Sonck e Belis, 2015)

Conforme pode ser observado na Figura 7, o comportamento do modelo numérico apresentou boa concordância com os resultados experimentais das vigas fabricadas pelo método convencional. Por outro lado, nos casos dos modelos CS2L3 e CS2L4, as diferenças maiores podem estar relacionadas ao processo de fabricação não convencional dessas vigas. O aumento das etapas de fabricação do perfil envolvendo corte com calor pode ter ampliado as imperfeições geométricas e acentuado os valores das tensões residuais, diminuindo a capacidade resistente desses modelos.

51

As diferenças entre os valores dos momentos resistentes numĂŠricos e experimentais dos modelos HEA 340, IPE 330, CS2L3 e CS2L4 foram iguais a â&#x20AC;?4,8%, â&#x20AC;?4,5%, 10,6% e 4,7%, respectivamente, resultado que, aliado à  pequena diferença no comportamento global, foi considerado confiĂĄvel para o estudo proposto neste trabalho. 3.3

Estudo paramĂŠtricoÂ

A partir do modelo numĂŠrico validado, foi feito um estudo sobre o comportamento de vigas celulares sujeitas a momento fletor uniforme (đ??ś  = 1), com apoios simples e vĂ­nculos de garfo nas extremidades, como representado na Figura 9. Nos modelos numĂŠricos, foram considerados o valor da resistĂŞncia ao escoamento do aço ASTM A572 grau 50, igual a 345 MPa, o mĂłdulo de elasticidade igual a 200 GPa, o modelo constitutivo bilinear para o aço e as demais consideraçþes descritas no Subitem 3.1. Â

  Figura 9 â&#x20AC;&#x201C; Condiçþes de contorno adotadas no estudo paramĂŠtrico  TrĂŞs parâmetros foram avaliados neste trabalho: a seção transversal do perfil laminado original, as razĂľes đ??ˇ /đ?&#x2018;&#x2018;  e đ?&#x2018;? /đ??ˇ  e, por fim, o comprimento das vigas (igual ao comprimento destravado), totalizando 586 modelos. As vigas analisadas foram originĂĄrias de vinte perfis laminados brasileiros presentes na Tabela de Bitolas de Perfis Estruturais da Gerdau (2018), como mostrado na Figura 10, e possuem razĂŁo de expansĂŁo (đ?&#x2018;&#x2018; /đ?&#x2018;&#x2018;) igual a 1,5.  52Â

 Perfis laminados originais W 200 x 15,0Â

W 310 x 32,7Â

W 410 x 60,0Â

W 530 x 85,0Â

W 200 x 26,6Â

W 360 x 44,6Â

W 460 x 68,0Â

W 610 x 82,0Â

W 250 x 17,9Â

W 360 x 51,0Â

W 460 x 89,0Â

W 610 x 101,0Â

W 250 x 32,7Â

W 360 x 79,0Â

W 530 x 66,0Â

W 610 x 174,0Â

W 310 x 21,0Â

W 410 x 53,0Â

W 530 x 74,0Â

W 610 x 217,0Â

Figura 10 â&#x20AC;&#x201C; Bitolas da Gerdau (2018) consideradas no estudo paramĂŠtrico  Nos modelos foram investigados dois pares de razĂľes đ??ˇ /đ?&#x2018;&#x2018;  e đ?&#x2018;? /đ??ˇ , sendo um par igual a 0,7 e 0,5, respectivamente, e o outro igual a 0,8 e 0,25, respectivamente. Por fim, variouâ&#x20AC;?se o comprimento das vigas de modo a considerar o intervalo de esbeltez đ??ż /đ?&#x2018;&#x; ,  entre 30 e 300, sendo đ?&#x2018;&#x; ,  o raio de giração da seção em relação ao eixo principal de inĂŠrcia perpendicular ao eixo de flexĂŁo. Neste trabalho, considerouâ&#x20AC;?se um nĂşmero inteiro de alvĂŠolos, e que a largura do montante de alma nas extremidades Ê igual a đ?&#x2018;? /2, e, portanto, o comprimento Ê igual ao nĂşmero de alvĂŠolos multiplicado pela soma de đ??ˇ  e đ?&#x2018;? . 3.4

CĂĄlculo das propriedades geomĂŠtricas da seção transversal das vigas celularesÂ

Para realizar a comparação entre os valores numĂŠricos e analĂ­ticos do momento crĂ­tico elĂĄstico e do momento fletor resistente de vigas celulares, as propriedades da seção transversal foram calculadas conforme as equaçþes a seguir, nas quais đ??ź ,  e đ??ź

,

 sĂŁo,Â

respectivamente, os momentos de inĂŠrcia em relação aos eixos centrais de inĂŠrcia perpendicular e paralelo à  alma, đ??˝  e đ??˝  sĂŁo, respectivamente, as constantes de torção na regiĂŁo sem alvĂŠolos e no centro do alvĂŠolo, đ?&#x2018;&#x; ,  Ê o raio de giração em relação ao eixo paralelo à  alma, đ?&#x2018;&#x160; ,  e đ?&#x2018;?

,

 sĂŁo os mĂłdulos de resistĂŞncia elĂĄstico e plĂĄstico em relaçãoÂ

ao eixo perpendicular à  alma, e đ??ś  Ê a constante de empenamento, obtida a partir da integral de empenamento (Mori, 2003), tambĂŠm adotada por Elâ&#x20AC;?Sawy et al. (2014): Â

đ??ź

,

đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ą 6

đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ą

đ?&#x2018;&#x2018;

đ?&#x2018;Ą 2

53Â

đ?&#x2018;&#x2018;

2đ?&#x2018;Ą 12

đ??ˇ đ?&#x2018;Ą

Â

(8)Â

Â

đ??ź

đ?&#x2018;Ą đ?&#x2018;?

6

,

Â

2đ?&#x2018;Ą đ??ˇ đ?&#x2018;Ą Â 12

đ?&#x2018;&#x2018;

Â

đ??ź 2đ?&#x2018;? đ?&#x2018;Ą

Â

Â

đ?&#x2018;?

,

đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ą đ?&#x2018;&#x2018;

Â

2đ?&#x2018;Ą 2

,

đ??ˇ đ?&#x2018;Ą

(12)Â

Â

đ??ź, Â đ?&#x2018;&#x2018;

(13)Â

đ?&#x2018;&#x2018;

đ?&#x2018;Ą

2đ?&#x2018;Ą

đ??ˇ đ?&#x2018;Ą 4

đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x2018;

đ??ś

(11)Â

,

đ?&#x2018;&#x2018;

đ?&#x2018;&#x160;

(10)Â

đ??ˇ đ?&#x2018;Ą Â 3

đ??˝

 ,

đ?&#x2018;Ą Â

3

đ??˝

đ?&#x2018;&#x;

đ?&#x2018;Ą

đ?&#x2018;&#x2018;

2 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ą 3

đ??˝

(9)Â

đ?&#x2018;Ą

đ?&#x2018;Ą

24

Â

Â

(14)Â

(15)Â

Â

4 4.1

Resultados Momento crĂ­tico elĂĄsticoÂ

Embora diversos autores concordem com a utilização da Equação (1) para a determinação de đ?&#x2018;&#x20AC; , nĂŁo hĂĄÂ consenso sobre o valor da constante de torção a ser utilizado. Abreu et al. (2010) indicam a utilização da constante de torção đ??˝ , dada pela Equação (11), enquanto Sonck e Belis (2015) recomendam o uso da constante de torção đ??˝ , fornecida pela Equação (7). Para avaliar o impacto desse parâmetro nos resultados analĂ­ticos, foram calculados os valores do momento crĂ­tico elĂĄstico đ?&#x2018;&#x20AC;

,

 e đ?&#x2018;&#x20AC;

,

, obtidos com as constantes deÂ

torção đ??˝  e đ??˝ , respectivamente. Na Figura 11, sĂŁo apresentadas as diferenças entre os valores analĂ­ticos e numĂŠricos do momento crĂ­tico elĂĄstico em função da esbeltez adimensional numĂŠrica de vigas celulares à  FLT, đ?&#x153;&#x2020;Ě&#x2026; đ?&#x2018;&#x2039; igual a đ?&#x2018;?

,

,

, determinada com o uso da Equação (5), considerandoâ&#x20AC;?seÂ

 e đ?&#x2018;&#x20AC;  igual a đ?&#x2018;&#x20AC;

,

.Â

54Â

10%

â&#x20AC;? 1Â (%)

8% 6% 4% 2% 0% â&#x20AC;?2% â&#x20AC;?4%

Erros Erros Mcr,Jm

â&#x20AC;?6%

Erros Erro Mcr,J0

â&#x20AC;?8% 0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

 Figura 11 â&#x20AC;&#x201C; Diferenças entre os valores analĂ­ticos e numĂŠricos de đ?&#x2018;&#x20AC;   Ao avaliar a Figura 11, verificaâ&#x20AC;?se que as diferenças sĂŁo maiores para as vigas menos esbeltas. Tal fato ocorre devido à  elevada distorção da alma dessas vigas, o que implica na redução do valor de đ?&#x2018;&#x20AC;

,

. A distorção da alma, tambĂŠm observada em perfis deÂ

alma cheia (Silva et al., 2017), tornaâ&#x20AC;?se menos pronunciada à  medida que o comprimento da viga aumenta, conforme pode ser observado na Figura 12.Â

Â

Â

Â

(a) Modelo com 3 alvĂŠolos (b) Modelo com 4 alvĂŠolos (c) Modelo com 5 alvĂŠolos Figura 12 â&#x20AC;&#x201C; Configuração deformada no centro do alvĂŠolo mais prĂłximo à  seção central obtida por modelos originĂĄrios do perfil W 410 x 60,0, com đ??ˇ /đ?&#x2018;&#x2018;  igual a 0,7 e đ?&#x2018;? /đ??ˇ  igual a 0,5  A curva de erros associada a đ?&#x2018;&#x20AC;

,

 seguiu uma tendĂŞncia descendente com o aumentoÂ

do valor da esbeltez, o que gerou a subestimação do momento crĂ­tico elĂĄstico para as vigas mais longas. 55Â

Por outro lado, o uso da constante de torção ponderada đ??˝  gerou um resultado mais estĂĄvel ao longo do intervalo de esbeltez avaliado. As diferenças observadas entre đ?&#x2018;&#x20AC;

 e đ?&#x2018;&#x20AC;

,

,

 estĂŁo de acordo com o estudo realizado por Sonck e Belis (2015), noÂ

qual Ê mostrado que esses erros tendem a zero para elevados comprimentos destravados (đ??ż  superior a 25 m). 4.2

Momento fletor resistenteÂ

Os resultados do momento resistente do estudo paramĂŠtrico, đ?&#x2018;&#x20AC;

,

, foramÂ

comparados aos valores analĂ­ticos determinados com o procedimento de Abreu et al. (2010), đ?&#x2018;&#x20AC;

, e com os obtidos a partir dos procedimentos de Sonck e Belis (2015),Â

,

mas adotandoâ&#x20AC;?se as curvas de resistĂŞncia đ?&#x2018;&#x17D;, đ?&#x2018;? e đ?&#x2018;? (Tabela 1), representados por đ?&#x2018;&#x20AC; đ?&#x2018;&#x20AC;

,

 e đ?&#x2018;&#x20AC;

,

,

,Â

, respectivamente. As diferenças entre os valores analĂ­ticos e numĂŠricosÂ

são mostradas na Figura 13. 25%

â&#x20AC;? 1Â (%)

20% 15% 10%

Abreu

5%

Curva Curva a

/

0%

Curva Curva b

â&#x20AC;?5%

Curva Curva c

â&#x20AC;?10% â&#x20AC;?15% â&#x20AC;?20% â&#x20AC;?25% 0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

 Figura 13 â&#x20AC;&#x201C; Diferenças entre os valores numĂŠricos e analĂ­ticos de đ?&#x2018;&#x20AC;   Ao analisar a Figura 13, notaâ&#x20AC;?se que o uso do procedimento de Sonck e Belis (2015), com a adoção da curva de resistĂŞncia đ?&#x2018;&#x17D;, foi o que mais se aproximou do momento fletor resistente numĂŠrico, apresentando diferenças entre â&#x20AC;?9% e 9%. 4.3

Procedimento propostoÂ

Como os procedimentos de cĂĄlculo de đ?&#x2018;&#x20AC;  com base na norma EN 1993â&#x20AC;?1â&#x20AC;?1:2005 se aproximaram mais dos resultados numĂŠricos, foi investigada a adoção de uma curva de resistĂŞncia que levasse a melhores resultados. Para isso, foi feito um ajuste na curva de 56Â

resistĂŞncia numĂŠrica, constituĂ­da pelos pontos đ?&#x153;&#x2020;Ě&#x2026; a FLT numĂŠricos (đ?&#x153;&#x2019;

O fator de redução para a FLT proposto, đ?&#x153;&#x2019;

đ?&#x153;&#x2019;

 e pelos fatores de redução paraÂ

), obtidos atravĂŠs da divisĂŁo de đ?&#x2018;&#x20AC;

,

plastificação da seção transversal, dado por đ?&#x2018;?

Â

,

,

 pelo momento deÂ

,

đ?&#x2018;&#x201C; . , Ê dado por:Â

,

1 1

1 ,

ÎŚ

ÎŚ

,

đ?&#x153;&#x2020;Ě&#x2026;

,

đ?&#x153;&#x2020;Ě&#x2026;

Â

(16)Â

onde a esbeltez da viga à  FLT, đ?&#x153;&#x2020;Ě&#x2026; , Ê dada por: đ?&#x2018;&#x20AC;  đ?&#x2018;&#x20AC;

đ?&#x153;&#x2020;Ě&#x2026;

 e o parâmetro auxiliar Ό

(17)Â

, determinado pelo mĂŠtodo dos mĂ­nimos quadrados,Â

,

sendo dado por: Ό

Â

0,5 1

,

0,25 đ?&#x153;&#x2020;Ě&#x2026;

0,2

,

đ?&#x153;&#x2020;Ě&#x2026;

(18)Â

Â

Com os ajustes propostos, a mĂŠdia e o desvio padrĂŁo das diferenças percentuais entre os fatores de redução numĂŠricos e os valores obtidos com procedimento proposto foram iguais a â&#x20AC;?0,053% e 1,552%, respectivamente, com um coeficiente de determinação (đ?&#x2018;&#x2026; ) igual a 0,999. Ao analisar a Figura 14, observaâ&#x20AC;?se ainda que as diferenças absolutas foram inferiores a 4% em todos os casos analisados, resultadoÂ

â&#x20AC;? 1Â (%)

considerado adequado para o procedimento proposto. 4% 2%

/

0% â&#x20AC;?2% â&#x20AC;?4% 0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

 Figura 14 â&#x20AC;&#x201C; Diferenças entre os fatores de redução numĂŠricos e analĂ­ticos  A curva de resistĂŞncia numĂŠrica Ê comparada nas Figuras 15 e 16, respectivamente, à s curvas de resistĂŞncia đ?&#x2018;&#x17D; (EN 1993â&#x20AC;?1â&#x20AC;?1:2005) e đ?&#x153;&#x2019; 57Â

,

, que foi calculada considerandoâ&#x20AC;?

se o parâmetro Ό

 na Equação (16). Conforme pode ser observado, a utilização daÂ

,

curva đ?&#x2018;&#x17D; superestima os resultados no trecho inicial da curva, e subestima no trecho final, enquanto a curva proposta neste trabalho mantĂŠm uma concordância relativamente homogĂŞnea ao longo de toda a faixa de esbeltez analisada. 1,0 Ď&#x2021;a

0,8

Ď&#x2021;LT,num

0,6 0,4 0,2 0,0 0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

 Figura 15 â&#x20AC;&#x201C; Curva đ?&#x153;&#x2020;Ě&#x2026;

 versus đ?&#x153;&#x2019;

,

,

 e curva de resistĂŞncia đ?&#x2018;&#x17D; da EN 1993â&#x20AC;?1â&#x20AC;?1:2005Â

 1,0 Ď&#x2021;LT,0

0,8

Ď&#x2021;LT,num

0,6 0,4 0,2 0,0 0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

 Figura 16 â&#x20AC;&#x201C; Curva đ?&#x153;&#x2020;Ě&#x2026;

,

 versus đ?&#x153;&#x2019;

,

 e curva de resistĂŞncia propostaÂ

 Em sĂ­ntese, o procedimento de cĂĄlculo proposto neste trabalho para a determinação de đ?&#x2018;&#x20AC;  Ê constituĂ­do pelas seguintes etapas: (i) obtenção das propriedades geomĂŠtricas đ??˝ , đ??ź

,

, đ?&#x2018;?

,

 e đ??ś  conforme as Equaçþes (7), (9), (14) e (15), respectivamente; (ii) cĂĄlculoÂ

de đ?&#x2018;&#x20AC;  por meio da Equação (1); (iii) determinação de đ?&#x153;&#x2020;Ě&#x2026;  por meio da Equação (17); (v) 58Â

adoção do parâmetro Ό

,

 conforme a Equação (18); (iv) determinação de đ?&#x153;&#x2019;

por meio da Equação (16) com os parâmetros đ?&#x153;&#x2020;Ě&#x2026;  e Ό

,

,

Â

; e (v) cĂĄlculo do momentoÂ

fletor resistente à  FLT conforme a Equação (3), adotandoâ&#x20AC;?se đ?&#x2018;&#x2039;  igual a đ?&#x2018;?

,

.Â

Â

5

 ConclusĂŁoÂ

Neste trabalho, um estudo numĂŠrico sobre a determinação do momento fletor resistente quanto ao estadoâ&#x20AC;?limite último de flambagem lateral com torção (FLT) de vigas celulares foi realizado. Para isso, um modelo de elementos finitos foi desenvolvido e validado com resultados experimentais e numĂŠricos disponĂ­veis na literatura. O modelo validado foi utilizado em um estudo paramĂŠtrico de vigas celulares originĂĄrias de vinte perfis laminados brasileiros. A partir dos resultados desse estudo, observouâ&#x20AC;?se que os resultados analĂ­ticos e numĂŠricos do momento crĂ­tico elĂĄstico se aproximam com o uso da constante de torção ponderada, proposta por Sonck e Belis (2015). TambĂŠm foi possĂ­vel verificar que o comportamento das vigas celulares Ê melhor representado pelas formulaçþes baseadas na norma EN 1993â&#x20AC;?1â&#x20AC;?1:2005. Entre os procedimentos de cĂĄlculo analisados, o de Sonck e Belis (2015) com a adoção da curva de resistĂŞncia đ?&#x2018;&#x17D; levou a resultados analĂ­ticos mais prĂłximos dos numĂŠricos. Finalmente, foi recomendada uma curva de resistĂŞncia ajustada para o cĂĄlculo do momento fletor resistente à  FLT, que melhor se adequa aos resultados numĂŠricos obtidos. O uso do parâmetro Ό

,

 no cĂĄlculo de đ?&#x153;&#x2019;

,

 fez com que as diferençasÂ

entre os valores numĂŠricos e analĂ­ticos dos fatores de redução para a flambagem lateral com torção fossem menores do que 4% em todos os casos, fundamentando assim o procedimento proposto. Â

6

AgradecimentosÂ

Os autores agradecem à s agĂŞncias brasileiras CAPES, CNPq e FAPEMIG pelo investimento e apoio recebidos ao longo do desenvolvimento desta pesquisa. Â

59Â

7

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60

Recebido: 08/02/2019 Aprovado: 22/07/2019 Volume 9. Número 1 (abril/2020). p. 61-80 - ISSN 2238-9377 Revista indexada no Latindex e Diadorim/IBICT

Capacidade resistente do conector Crestbond à falha do aço desencadeada por um mecanismo combinado de cisalhamento e flexão

Ricardo Laguardia Justen de Almeida1*, Gustavo de Souza Veríssimo1, José Carlos Lopes Ribeiro1, José Luiz Rangel Paes1, Mateus Couri Petrauski1, Rodrigo Barreto Caldas2 1

Departamento de Engenharia Civil, Universidade Federal de Viçosa, Av. P.H. Rolfs, s/n, 36570-000, Viçosa/MG, Brasil, ricardoljalmeida@gmail.com, gsv1965@gmail.com, jcarlos.ribeiro@ufv.br, jl.rangelpaes@gmail.com, mateus.petrauski@gmail.com Universidade Federal de Minas Gerais, Programa de Pós-Graduação em Engenharia de Estruturas, Av. Antônio Carlos, 6627 - Escola de Engenharia, Bloco I – 4º andar – Sala 4215– Pampulha – Belo Horizonte – MG – Brasil, rbcaldas@gmail.com 2

Load bearing capacity of Crestbond shear connector to steel failure due combined shear and bending mechanism

Resumo Um dos modos de falha da conexão proporcionada por conectores em chapa de aço contínua com recortes regulares, conhecidos como composite dowels, é a falha do aço desencadeada por um mecanismo combinado de flexão e cisalhamento sobre os dentes do conector. Neste trabalho é apresentado um estudo sobre esse modo de falha em conectores tipo Crestbond, dividido em duas partes. Num primeiro momento, o comportamento estrutural do conector foi analisado por meio de um estudo numérico. Posteriormente, o critério de escoamento de von Mises foi utilizado para a determinação da seção crítica do conector. Os resultados obtidos indicaram que a formulação existente para estimar a resistência característica à falha do aço dos conectores tipo puzzle e clothoidal, segundo o DATec alemão Z-26.4-56 (2013), também pode ser aplicada em conectores Crestbond para fins de dimensionamento.

Palavras-chave: Crestbond, composite dowels, conector de cisalhamento contínuo, falha do aço, modelagem numérica.

Abstract One of the failure modes of the connection provided by continuous shear connectors, also known as composite dowels, is the steel failure caused by a combined shear-bending mechanism on the steel dowel. This work presents a study on the steel failure in Crestbondshaped connectors, divided in two parts. Firstly, the structural behavior of the connector was analyzed through a numerical study. Subsequently, the von Mises yield criterion was used to determine the connector’s critical section. The obtained results showed that the existing formulation that estimate the characteristic resistance against steel failure of puzzle and clothoidal shear connectors, according to the German technical approval Z-26.4-56 (2013), can also be applied to Crestbond-shaped connectors for design purpose.

Keywords: continuous shear connector, composite dowels, Crestbond, steel failure, numerical modelling.

* Autor correspondente

1

Introdução

O comportamento dos conectores de cisalhamento em chapa de aço contínua com recortes regulares em estruturas mistas de aço e concreto, também chamados de composite dowels, é complexo, em função da geometria dos conectores e da interação entre dois materiais com capacidades de deformação totalmente diferentes. De modo geral, o colapso da conexão pode ser desencadeado a partir de uma falha do próprio conector (definida aqui como a falha do componente de aço da conexão) ou por um determinado tipo de ruptura do concreto (KOPP et al., 2018). O mecanismo de falha do aço é observado principalmente quando o conector é constituído de chapas mais finas, com espessuras entre 10 e 15 mm, incorporado em concreto de alta resistência. Uma vasta pesquisa sobre esse modo de falha foi realizada na Universidade de Ciência e Tecnologia da Breslávia (LORENC et al., 2014a,b; LORENC, 2016a,b), na Polônia, no âmbito do projeto PreCo-Beam (SEIDL et al., 2013), em conectores com as geometrias puzzle (PZ) e clothoidal modificado (MCL). Como resultado, foi desenvolvida uma equação para estimar a resistência da conexão relacionada à falha do componente de aço para os conectores PZ e MCL, que hoje incorpora o Documento de Aprovação Técnica (DATec) alemão (Z-26.4-56, 2013).

Tendo por referência as investigações sobre o comportamento dos conectores PZ e MCL, este trabalho teve como objetivo estudar o mecanismo de falha do aço em conexões com o conector Crestbond (CR), desenvolvido por Veríssimo (2007), cuja geometria é similar ao conector puzzle (Figura 1). Para isto, este estudo foi dividido em duas partes: a primeira, em que a falha do aço do conector é investigada por meio de análises numéricas via elementos finitos e a segunda, na qual é utilizado o critério de von Mises para determinar a seção crítica do conector. As simulações numéricas foram realizadas com o software ABAQUS-v.6.12-1 (SIMULIA, 2012), e algumas considerações preliminares foram estabelecidas para que o presente estudo fosse possível.

Investigações sobre o comportamento estrutural do conector Crestbond relacionadas a outros modos de falha da conexão podem ser encontrados na literatura (AGUIAR et al., 2015; ALVES et al., 2018; CARDOSO et al., 2018a,b).

62

Figura 1 - Conectores de cisalhamento em chapa de aço contínua com recortes regulares: (a) puzzle (BIEGUS e LORENC, 2014); (b) clothoidal (BIEGUS e LORENC, 2014) e (c) Crestbond (VERÍSSIMO, 2007).

2

Descrição do comportamento do componente de aço de conectores em chapa com recortes regulares

O mecanismo resistente de conectores em chapa de aço com recortes regulares relacionado à falha do aço pode ser descrito de duas formas: admitindo o aço em regime elástico e em regime plástico (LORENC, 2016a,b). O estudo em regime elástico é realizado para se verificar o desempenho do conector em condições de serviço (Estado Limite de Serviço – ELS) e de fadiga (Estado Limite de Fadiga – ELF). Neste caso, além das forças de cisalhamento longitudinal transferidas do concreto para o conector (denominadas como efeito local), é necessário considerar também as tensões provenientes da seção mista como um todo, denominadas como efeito global. Essas tensões resultam da excentricidade do conector em relação à linha neutra da seção mista, que provoca o surgimento de tensões normais à seção crítica do conector (região crítica na Figura 2), em função da flexão dos dentes concomitante com o cisalhamento decorrente do deslizamento relativo entre os elementos de aço e de concreto. Assim, tem-se uma complexa superposição de tensões na região crítica do conector (LORENC, 2016b). Desse modo, no dimensionamento de conectores contínuos no ELS e no ELF deve-se introduzir os fatores fL e fG que consideram os efeitos local e global, respectivamente. Os valores de fL e fG dependem do formato do conector e podem ser encontrados na literatura para as geometrias PZ e MCL (SEIDL et al., 2013; LORENC, 2016b). No Estado Limite Último (ELU), admite-se a plastificação total da seção crítica, uma vez que o conector apresenta uma resposta inelástica devido à relação tensão-deformação não-linear do aço estrutural.

63

Figura 2 - Tensões normais nos perfis de aço e detalhe com as tensões na região crítica do conector (adaptado de Lorenc, 2016b).

As tensões normais que atuam na seção transversal do perfil de aço não solicitam o conector de modo a provocar a sua ruptura (ou seja, em ELU). Por esse motivo, não é necessário considerar a superposição dos efeitos local e global para a verificação no ELU, mas apenas as forças locais transferidas do concreto para o conector (ou seja, o efeito global pode ser desprezado e considera-se apenas o efeito local).

A transferência das forças de cisalhamento longitudinais (efeito local) cria um estado de tensão combinado de cisalhamento e flexão sobre o dente do conector, conforme ilustrado na Figura 3.

Figura 3 - Falha do conector desencadeada por um mecanismo combinado de cisalhamento e flexão ((a) KOZÜCH (2012) e (b) SEIDL et al. (2013)).

Os estudos sobre o modo de falha por plastificação total da seção crítica do dente de aço do conector levaram à seguinte conclusão: considerando um estado plano de tensão nos dentes do conector, a resistência à falha do aço por unidade de comprimento da conexão não depende do tamanho dos dentes do conector, e a ductilidade da conexão, para uma mesma geometria, é linearmente proporcional ao tamanho dos dentes (LORENC, 2016a). Assim, a capacidade resistente do conector pode ser estimada por meio da Eq. (1):

Ppl = β pl tw f y

(1)

em que β é um fator de forma; fy é a resistência ao escoamento do aço do conector [N/mm²]; tw é a espessura da chapa do conector [mm] e Ppl é a capacidade resistente do conector [N/mm]. Por se tratar de um conector contínuo, a resistência é dada em força por unidade de comprimento.

64

Diferente da formulação dos conectores tipo pino com cabeça que considera a capacidade última do aço fu, a resistência de conectores contínuos é estimada por meio da resistência ao escoamento fy. Isso decorre das diferentes geometrias e respostas estruturais dos conectores quando submetidos a uma determinada configuração de esforços. Além disso, o mecanismo de falha do aço associado aos conectores em chapa contínua difere do mecanismo do conector tipo pino com cabeça: nos primeiros, é adotada a abordagem utilizada em seções de aço, enquanto para o segundo é considerada a ruptura dos pinos (bolts) (LORENC et al., 2014b; LORENC, 2016a).

O parâmetro βpl na Eq. (1), chamado fator de forma, é levemente dependente do formato do conector e, após várias investigações experimentais e numéricas, foi considerado igual a 0,25 para as geometrias PZ e MCL no DATec alemão Z-26.4-56 (2013) (SEIDL et al., 2013; LORENC et al., 2014a,b; LORENC, 2016a,b; KOPP et al., 2018). A determinação desse parâmetro (objeto de estudo no presente trabalho) deve levar em consideração o mecanismo combinado de cisalhamento e flexão que atua sobre o dente do conector. Uma interpretação do fator βpl é apresentada na Tabela 1.

Tabela 1 - Interpretação do fator βpl (adaptado de Lorenc, 2016a)

A Eq. (1), portanto, pode ser reescrita na forma da Eq. (2), que determina a resistência característica à falha de aço dos conectores puzzle e clothoidal: 65

Ppl= β pl tw f y ⇒ Ppl= 0, 25 tw f y ,k ,k

(2)

O colapso da conexão devido à falha do aço está associado à formação de uma fissura na base do dente, e a consequente progressão dessa fissura (que ocorre na fase póspico da curva força-deslizamento) leva à total ruína da conexão, em que os dentes são, de fato, separados do ‘corpo do conector’. Segundo Lorenc (2016b), a formação da fissura é típica desse modo de colapso, sendo presenciada em qualquer geometria do conector (Figura 4).

Figura 4 - Falha do aço no conector Crestbond (VERÍSSIMO, 2007).

3 3.1

Modelagem numérica Considerações preliminares

Para validação do modelo numérico para simulação do mecanismo de falha do aço com o conector Crestbond, foram utilizados resultados experimentais de LORENC et al.

(2014a,b) e LORENC (2016a,b), relacionados à falha do aço em conectores puzzle. Este procedimento foi adotado pelo fato de os resultados experimentais disponíveis de ensaios com Crestbond estarem associados à ruptura do concreto (VERÍSSIMO, 2007; CARDOSO et al., 2018a,b), e por considerar a semelhança formal entre os conectores Crestbond e o puzzle.

3.2

Aspectos gerais e condições de contorno

Em seus estudos numéricos sobre o mecanismo de falha do aço em conexões com conector puzzle, Lorenc et al. (2014b) desenvolveram um modelo numérico para estudar tal modo de colapso independente da geometria do conector. Assim, a mesma abordagem foi utilizada para estudar o comportamento de conectores Crestbond 66

frente à falha do aço. As dimensões do conector são apresentadas na Figura 5 e correspondem ao CR56b, utilizado nos ensaios experimentais de Veríssimo (2007).

A geometria do modelo e as condições de contorno são apresentadas na Figura 6.

Figura 5 - Dimensões adotadas para o conector (medidas em mm).

As análises foram realizadas aplicando-se um deslocamento controlado na laje de concreto, no ponto de referência RP-1 (Figura 6). A parte inferior do perfil de aço (superfície S2) foi restringida ao deslocamento na direção vertical (Uy = 0) e a superfície S1 foi restringida nas três direções (Ux = Uy = Uz = 0). Além disso, as superfícies frontais da laje de concreto (plano XY) foram restringidas de modo a impedir qualquer tipo de rotação da laje sobre o perfil de aço (URx = URy = 0), garantindo que a seção permaneça plana após a aplicação do deslocamento. Por fim, as interações de contato foram aplicadas apenas no dente central do conector, conforme destacado na Figura 6. Na direção normal, foi adotada a interação “Hard Contact”, enquanto na direção tangencial (ao longo do deslizamento) foi considerado um coeficiente atrito µ = 0,3.

Figura 6 - Geometria e condições de contorno do modelo numérico.

Todos os componentes do modelo numérico foram discretizados com o elemento “hex-dominated” disponível no ABAQUS, em que o software adota, primariamente, 67

elementos de oito nós (C3D8), mas permite utilizar elementos de seis nós tipo wedge (C3D6) nas regiões de transição (regiões com possíveis irregularidades na malha).

O tamanho dos elementos variou entre 1 mm (nas áreas mais relevantes onde ocorre a transferência dos esforços do concreto para o conector) e 30 mm (nas regiões menos relevantes), conforme ilustrado na Figura 7. Além disso, foi adotada integração reduzida para os elementos de oito nós (C3D8R).

Figura 7 - Malha adotada no modelo numérico com detalhe da discretização no entorno do conector.

3.3

Relações constitutivas dos materiais e método de análise

Por falta de resultados de ensaios de caracterização dos materiais, foram adotadas as mesmas relações constitutivas admitidas por Lorenc et al. (2014b) para o material do conector e do perfil de aço. A partir da curva tensão-deformação obtida por meio de ensaios de caracterização do aço do conector, os autores determinaram a curva true stress-true strain (relação ‘b’ da Figura 8) segundo as expressões recomendadas na EN 1993-1-5:2006.

68

Figura 8 - Relações constitutivas para o aço utilizadas nas análises (adaptado de Lorenc et al., 2014b).

Além disso, visto que o mecanismo de colapso do aço requer uma análise numa faixa com grandes deformações, foi necessária a extrapolação da curva obtida experimentalmente até à deformação de falha εf do conector, adotada igual a 0,80 (LORENC et al., 2014b). Duas outras relações constitutivas foram consideradas nas análises (Figura 8): a relação ‘c’, que apresenta um decaimento após atingir a resistência última do aço para simular a propagação da fissura; e a relação ‘d’, representada por uma curva elastoplástica perfeita (isto é, sem encruamento) adotada no dimensionamento de estruturas de aço.

O concreto, por sua vez, foi caracterizado por um comportamento elástico-linear. Essa abordagem foi adotada por outros autores para o estudo do mecanismo relacionado à falha do aço em conectores puzzle e clothoidal, tendo fornecido resultados coerentes com os experimentos desenhados para estudar este modo de falha (KOZÜCH, 2012; LORENC et al., 2014b; LORENC, 2016a).

As simulações numéricas foram realizadas utilizando-se análise estática implícita, adotando o método Newton-Raphson (static, general) disponível no ABAQUS, uma vez que as únicas não-linearidades presentes no modelo são as interações de contato e o comportamento não-linear do aço. A adoção de comportamento elástico-linear para o concreto dispensou a adoção de métodos mais sofisticados, como, por exemplo, a análise dinâmica explícita, frequentemente utilizada em modelos com grandes 69

interações e não-linearidades presentes nos estudos sobre conectores em chapa de aço com recortes regulares (CLASSEN e HERBRAND, 2015; KOPP et al., 2018).

3.4

Resultados e discussão

Os resultados numéricos obtidos com as relações constitutivas ‘b’ e ‘c’ são apresentados na Figura 9. As curvas obtidas com as relações constitutivas ‘b’ e ‘c’ são praticamente coincidentes no trecho ascendente. No entanto, quando uma mudança ocorre nos parâmetros da relação tensão-deformação na região com grandes deformações, isto é, após a tensão ultrapassar a capacidade última do aço (fu), diferentes resultados são obtidos, conforme ilustrado na área hachurada da Figura 9 (LORENC et al., 2014b). Esse comportamento pode ser igualmente observado nas simulações numéricas realizadas por Lorenc et al. (2014b) com o conector puzzle.

Figura 9 - Resultados numéricos obtidos com o conector Crestbond utilizando as relações constitutivas ‘b’ e ‘c’.

Segundo Lorenc et al. (2014b), pode-se ajustar os parâmetros da relação constitutiva do aço para obter uma melhor convergência entre os resultados numéricos e os experimentais. No entanto, esse procedimento é questionável (LORENC et al., 2014b), já que o surgimento de tensões combinadas na região crítica do conector e a invalidade da hipótese do estado plano de tensão na região de grandes deformações, 70

considerado

inicialmente

sobre

o

dente

do

conector,

dificultam

simular

numericamente o que de fato ocorre na região de colapso. Além disso, em função das fortes mudanças não-lineares no esforço exercido pelo concreto pulverizado, é difícil modelar o comportamento dessa região, razão pela qual adotou-se um modelo elástico-linear para representar o comportamento do concreto. O problema ainda é afetado pela rugosidade da superfície do corte na chapa do conector e por alterações estruturais do aço resultantes do processo de fabricação. Ainda de acordo com os autores, esses aspectos mostram que discussões sobre as relações constitutivas apropriadas do aço são desnecessárias nessa etapa da análise. A formação da fissura no dente do conector é mais complicada que a estricção presenciada em ensaios de tração em corpos de prova de aço, até hoje sujeito a diversas discussões sobre as relações constitutivas que devem ser adotadas para sua modelagem mesmo após vários estudos na literatura (KAMAYA e KAWAKUBO, 2011 1 apud LORENC et al., 2014b).

Na Figura 10, são apresentados os resultados numéricos no incremento de força máxima, para as distribuições de tensões e deformações, correspondentes à relação constitutiva ‘c’. Analisando as deformações plásticas equivalentes (Figura 10c), destaca-se o início da formação da fissura (indicado pela seta preta) próxima à seção crítica do conector.

KAMAYA, M.; KAWAKUBO, M. A procedure for determining the true stress-strain curve over a large range of strains using digital image correlation and finite element analysis. Mech Mater, 2011.

1

71

Figura 10 - Distribuição de tensões e deformações no conector Crestbond no incremento correspondente à força máxima do modelo (relação constitutiva ‘c’): (a) tensões de von Mises; (b) tensões principais S23 e (c) deformações plásticas equivalentes (PEEQ).

Na Figura 11, essa mesma análise é apresentada no último incremento da análise, onde é possível observar a simulação da propagação da fissura e as grandes deformações sofridas até a ruína completa do conector.

72

Figura 11 - Distribuição de tensões e deformações no conector Crestbond no último incremento da análise (relação constitutiva ‘c’): (a) tensões de von Mises; (b) tensões principais S23 e (c) deformações plásticas equivalentes (PEEQ).

A relação constitutiva ‘d’ foi criada por meio de uma relação tensão-deformação simplificada, frequentemente utilizada no dimensionamento de estruturas de aço segundo a EN 1993-1-5:2006, em que o aço é caracterizado por um comportamento elastoplástico perfeito. A ausência do encruamento do aço impede que a resistência do conector obtida numericamente seja igual àquela atingida nos experimentos (Figura 12). Mesmo assim, a relação constitutiva ‘d’ é justificada para fins de dimensionamento e pode ser considerada como uma base real para determinar a capacidade resistente característica do conector, assim como foi feito para os conectores MCL e PZ (LORENC et al., 2014b). O ponto destacado na Figura 12 (comum às duas curvas) corresponde à capacidade característica do conector, e foi definido por Lorenc et al. (2014b) como o incremento da análise numérica em que a tensão de von Mises atinge, pela primeira vez, em qualquer região da seção do dente, a tensão última do aço (fu = 627 MPa). A distribuição de tensões no Crestbond, ilustrada na Figura 12, refere-se ao incremento 21 do modelo numérico com a relação constitutiva ‘c’, em que cerca de 70% da carga máxima é aplicada.

73

Figura 12 - Influência do encruamento do aço no comportamento do conector (incremento 21 da análise).

Na Figura 13 é apresentada a distribuição de tensões no Crestbond correspondente ao incremento considerado no dimensionamento dos conectores (incremento 21 – 70% da carga máxima aplicada), em que o comportamento do aço é representado pela relação constitutiva ‘d’. Ainda na Figura 13, observa-se o escoamento ao longo de toda a seção crítica do conector, similar ao comportamento do conector puzzle estudado por Lorenc et al. (2014b).

Figura 13 - Distribuição de tensões no conector Crestbond (relação constitutiva ‘d’).

O parâmetro βpl da Eq. (2) foi determinado por Lorenc (2016a) para o conector puzzle como sendo o valor com o qual a resistência característica do conector é calculada no 74

último ponto convergente das curvas ‘força-deslizamento’ obtidas com as relações constitutivas ‘c’ e ‘d’ (curvas apresentadas na Figura 12). Em outras palavras, as curvas da Figura 12 são coincidentes até o término do regime elástico da conexão, sobre a qual a resistência característica do conector é determinada com o fator βpl (incremento 21 das análises com o Crestbond).

Visto o comportamento semelhante entre as geometrias PZ e CR (justificado nos parágrafos anteriores), a mesma abordagem utilizada por Lorenc (2016a) é adotada neste trabalho para estimar numericamente o parâmetro βpl do conector Crestbond (Figura 14).

Figura 14 - Determinação do parâmetro βpl do conector Crestbond.

Após atingir a resistência característica do conector, as curvas divergem, na medida em que o deslizamento aumenta, se interceptando num valor de deslizamento próximo a 6 mm.

O valor encontrado de βpl para o Crestbond (βpl = 0,28) corrobora a afirmação de Lorenc (2016a) de que tal parâmetro é levemente dependente da geometria do conector. Embora exista certa similaridade entre as geometrias dos conectores puzzle e Crestbond, vale destacar que o segundo é um conector mais esbelto, isto é, os 75

dentes do conector são mais altos para um mesmo passo (relação hD/ex). Além disso, o Crestbond apresenta um trecho reto entre os raios de curvatura, que são mais suaves em relação aos raios do puzzle.

4

Capacidade resistente do dente de aço do conector Crestbond

A seção crítica do conector, região onde ocorre a maior concentração de tensões e eventual ruptura da conexão, de acordo com o critério de von Mises, é determinada considerando que o esforço P que atua sobre o dente do conector, proveniente de um carregamento externo, é constante ao longo da altura heff (Figura 15). Esse esforço, por sua vez, pode ser dividido em duas forças resultantes: a força P1 (abaixo da seção crítica), que não provoca tensão na seção crítica, e a força P2 (acima da seção crítica), cuja localização depende da posição da seção crítica (KOPP et al., 2018).

Figura 15 – Modelo utilizado para determinação da seção crítica por meio do critério de von Mises (adaptado de FELDMANN et al., 2016).

A resistência à falha do aço do conector pode ser obtida aplicando-se o critério de escoamento de von Mises na seção crítica, considerando a seção totalmente plastificada. Desse modo, a resistência característica do conector a esse modo de falha (Ppl,k) é determinada segundo a Eq. (3), cujos parâmetros estão identificados na Figura 15:

 hcrit Ppl ,= 1 + k  heff − hcrit

 bcrit   2 2   16hs ,crit + 3bcrit

 b t f  crit w y 

(3)

Em sua pesquisa numérico-experimental, Heinemeyer (2011) verificou que, diferente do conector MCL, a altura heff sobre a qual pode-se considerar constante a distribuição do esforço P sobre o dente do conector puzzle é cerca de 0,75hD (Figura 16).

76

Figura 16 - Distribuição do esforço P ao longo do dente do conector puzzle (adaptado de Heinemeyer, 2011).

Nos experimentos realizados com o conector Crestbond, cunhas de concreto comprimido também foram observadas junto ao dente do conector (Figura 17a), de modo similar ao conector puzzle. Além disso, as tensões de contato (variável CPRESS) obtidas no modelo numérico confirmam essa distribuição de tensões (Figura 17b).

Figura 17 – (a) Cunha de concreto comprimido nos experimentos com Crestbond (VERÍSSIMO, 2007) e (b) distribuição de tensões ao longo do dente do conector obtida no modelo numérico com a relação constitutiva 'c'.

Para a elaboração do DATec alemão Z-26.4-56 (2013), contudo, a altura heff nos conectores puzzle foi determinada subtraindo-se o raio de concordância superior da altura total do dente (hD), resultando em valores ligeiramente diferentes daqueles obtidos quando se considera 0,75hD. Por se tratar de uma publicação mais atualizada, o parâmetro heff nos conectores Crestbond foi determinado conforme a metodologia de Z-26.4-56 (2013).

Para determinação da seção crítica do Crestbond, realizou-se o seguinte procedimento: aplicou-se uma carga unitária ao longo da altura heff, e a região do ‘pescoço’ do conector, onde se localiza a seção crítica, foi dividida em 500 seções (Figura 18). Aplicando-se o critério de escoamento de von Mises em cada seção, 77

buscou-se a crítica, aquela que apresentava a maior tensão resultante. A partir da determinação da seção crítica, os parâmetros hcrit, hs,crit, heff e bcrit foram identificados e descritos em função de ex, conforme ilustrado na Figura 19.

Figura 18 - Determinação da seção crítica em conectores Crestbond.

Figura 19 - Identificação dos parâmetros relativos à falha do aço pelo critério de von Mises.

Substituindo os parâmetros encontrados pelo critério de von Mises (Figura 19) na Eq. (3), tem-se, portanto:

   0,044 ex 0,456 ex Ppl ,= 1 +  k 2 2  0,361ex − 0,044 ex   16 ( 0,159 ex ) + 3 ( 0,456 ex ) 78

  0,456 ex tw f y  

Ppl ,k = 0,233 ex tw f y

(4)

O valor do parâmetro βpl = 0,233 encontrado para o conector Crestbond pelo critério de escoamento de von Mises, apesar de inferior ao valor encontrado por meio das simulações numéricas (βpl = 0,283), também é significativamente próximo ao valor padronizado pelo DATec alemão (βpl = 0,25). Além disso, o valor de βpl encontrado para os conectores PZ e MCL (também pelo critério de von Mises) foram iguais a 0,269 e 0,243 respectivamente (KOPP et al., 2018), indicando que o valor encontrado para o Crestbond parece coerente e pode-se, portanto, adotar βpl = 0,25 para fins de padronização.

5

Conclusões

Neste trabalho, estudos numéricos foram realizados com o intuito de investigar o comportamento do conector Crestbond em relação à falha do aço. Os resultados obtidos sugerem um comportamento similar ao do conector puzzle frente a esse modo de ruptura, o qual é desencadeado por uma combinação de esforços de cisalhamento e de flexão sobre o dente do conector (LORENC et al., 2014b; FELDMANN et al., 2016).

A formulação apresentada pelo DATec alemão Z-26.4-56 (2013) para estimar a resistência característica à falha do aço (válida para conectores tipo PZ e MCL) mostrou-se válida também para conectores tipo Crestbond, haja vista os valores encontrados para o parâmetro βpl por meio de simulações numéricas e pelo critério de von Mises. Apesar dos resultados encontrados neste trabalho serem coerentes com os da literatura (no que tange à resistência característica do conector), sugere-se a realização de ensaios experimentais que comprovem a validade da Eq. (2) para estimar a resistência do conector Crestbond à falha do aço.

6

Agradecimentos

O presente trabalho foi realizado com apoio da Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior – Brasil (CAPES) – Código de Financiamento 001. Os autores agradecem também ao CNPq, à FAPEMIG, à Universidade Federal de Viçosa e à

79

Universidade Federal de Minas Gerais pelo apoio para a realização e divulgação deste trabalho.

7

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Recebido: 28/02/2019 Aprovado: 28/07/2019 Volume 9. Número 1 (abril/2020). p. 81-100 - ISSN 2238-9377 Revista indexada no Latindex e Diadorim/IBICT

Procedimento para avaliação teórica e experimental de pontes ferroviárias

J.F.A. Junqueira1*, L.A.C.M. Aragão Filho², L.A.S. Lopes3 e J.F.S. Rodrigues4 Instituto Militar de Engenharia, joaofaj@gmail.com Instituto Militar de Engenharia, moniz@ime.eb.br 3 Instituto Militar de Engenharia, laslopes@ime.eb.br 4 Procert Engenharia, fernando.procert@gmail.com 1

2

Procedure for theoretical and experimental assessment of railway bridges Resumo O artigo apresenta o procedimento teórico-experimental que vem sendo utilizado para avaliação das pontes pertencentes à uma malha ferroviária brasileira. Esse procedimento, foi empregado em quinze obras de artes especiais e tem fornecido subsídios importantes para a priorização das intervenções nessas estruturas. A investigação teórico-experimental inclui o levantamento geométrico, inspeção, caracterização dos materiais, instrumentação, monitoramento e ensaios dinâmicos com veículos de prova. Nesse trabalho, são apresentados, também os principais resultados aos aspectos dinâmicos das estruturas, frequência natural e amplificação dinâmica, e estimativa da vida residual à fadiga. O procedimento proposto vem sendo utilizado e aprimorado, aumentando, assim, a confiabilidade da infraestrutura do sistema de transporte ferroviário.

Palavras-chave: identificação estrutural; avaliação estrutural; fadiga; pontes; ferrovia.

Abstract The paper presents the theoretical-experimental procedure that has been used to evaluate bridges, belonging to the network of a Brazilian railway. This procedure has been used in fifteen special artworks and has provided important subsidies for the prioritization of interventions in these structures. The theoretical-experimental investigation includes the geometric survey, inspection, extraction of testimonies for characterization of the materials, instrumentation, monitoring and dynamic tests with test vehicles. In the development of the paper are presented, but in detail, the main results to the dynamic aspects of the structures, natural frequency and dynamic amplification, and estimated residual fatigue life. The proposed procedure has been used and improved, thus increasing the reliability of the infrastructure of the rail transport system.

Keywords: structural identification; structural assessment; fatigue; bridges; railway. * Autor correspondente

1

Introdução

Com o estímulo ao aumento da eficiência e ampliação do transporte de cargas, alguns desafios vêm sendo impostos ao sistema ferroviário. São os principais: aumento de carga por eixo, aumento da densidade operacional, aumento das velocidades médias autorizadas, e aumento do tamanho dos comboios ferroviários. Analisando as pontes como componentes críticos do sistema ferroviário, essas estruturas podem impactar de várias formas na eficiência deste modo de transporte, tais como a limitação de cargas por eixo, restrições de velocidade e a necessidade de intervalos operacionais para a realização de intervenções (JUNQUEIRA et al., 2017).

Diante disso, concessionárias e empresas de logística ferroviária vêm investindo em processos que permitam a priorização das intervenções de manutenção em pontes ferroviárias, de forma a obter eficiência em custos, reduzir impactos operacionais e garantir o equilíbrio entre produção e manutenção, mantendo-se níveis satisfatórios de segurança estrutural e, consequentemente, operacional. Faz-se necessário, então, o desenvolvimento de um processo de aprimoramento da representação teórica de sistemas físicos por meio da análise de suas ações e respectivas respostas, ou seja, por meio de modelos híbridos (teóricos e experimentais) é possível obter maior conhecimento destas estruturas, não somente de forma geométrica e estática, mas também a partir da medição de suas propriedades e características dinâmicas.

No Brasil, a ABNT NBR 15307:2006 estabelece o procedimento para a execução de provas de carga dinâmicas em grandes estruturas por meio da medição das vibrações ambientes. Porém, essa norma apresenta limitações para a utilização em pontes, visto que sugere uma estimativa de dano em função do índice de vibração, chamado de vibrar, que em alguns casos, pode não estar relacionado com a presença de danos (CASAS e RODRIGUES, 2015). Já a ABNT NBR 9452:2016 estabelece os requisitos para inspeções visuais e cadastrais em pontes, viadutos e passarelas, e para a apresentação dos resultados de tais inspeções. De forma geral, verifica-se uma quantidade limitada de referências bibliográficas que trazem uma abordagem específica para pontes ferroviárias, e em especial, de alta carga por eixo.

82

Com a desestatização e concessão da malha férrea para empresas privadas, muito se perdeu sobre documentos técnicos e históricos das estruturas, tornando ainda mais complexa a inferência do desempenho estrutural dessas obras de arte especiais. Desta forma, um procedimento de avaliação estrutural deve ser desenvolvido, não somente com a finalidade de avaliação das condições estruturais atuais das pontes ferroviárias, mas também permitindo a priorização e a quantificação das intervenções, e o estabelecimento de estratégias de manutenção, aumentando a confiabilidade e, consequentemente, a segurança operacional.

O presente trabalho tem como objetivo propor um procedimento de avaliação de pontes ferroviárias, considerando-se, principalmente, aspectos relacionados à inspeção, instrumentação, monitoramento, amplificação dinâmica e a conceitos de fadiga estrutural. Para isto, será utilizada uma coletânea de informações já existentes de

inspeções,

ensaios,

caracterização

de

materiais,

instrumentações

e

monitoramentos de dezenove sistemas estruturais de quinze pontes, com diferentes idades, concepções estruturais e condições operacionais.

2

Aspectos da dinâmica das estruturas

Sabe-se que qualquer estrutura possui modos de vibração, cada um deles associado a uma frequência natural. De forma simplificada, esses modos de vibração podem ser entendidos como as possíveis maneiras que a estrutura pode oscilar em torno de uma posição referencial. Matematicamente, trata-se de um problema de autovetores (modos de vibrar) associados a autovalores (frequências naturais). (CLOUGH e PENZIEN, 1993) Considerando uma ponte como sistema, para passar de uma situação deformada para outra, em um determinado intervalo de tempo, essa ponte é sujeita a um determinado campo de forças elásticas, forças de inércia e amortecimento, provocando a sua vibração. Por exemplo, à medida que um veículo progride sobre uma ponte, sua estrutura deforma-se modificando o perfil inicialmente horizontal. Essa alteração traduz-se em deslocamento da roda do veículo e consequente deslocamento da suspensão, que, por sua vez, resultam em forças elásticas e de amortecimento que 83

atuam diretamente sobre a massa do veículo, provocando a sua vibração e consequente alteração da força de interação entre a ponte e o veículo. (CALÇADA, 2001) Para o caso das pontes ferroviárias, muitos fatores podem afetar a distribuição das energias entre ponte e veículo, tais como as massas dos veículos, as irregularidades geométricas da linha férrea, a presença de defeitos no trilho e veículos, as ações do vento, a frenagem, a demarragem e a presença de outros veículos. Essas vibrações induzidas pela passagem de veículos sobre estruturas de pontes provocam esforços ou deslocamentos na estrutura que, de forma geral, são maiores que aqueles aplicados pelo carregamento estático. Este fenômeno é designado por amplificação dinâmica.

(CALÇADA, 2001) Atualmente, o caráter dinâmico da resposta das pontes ao tráfego ferroviário pode ser determinado por meio do método proposto por PAULTRE et al. (1992). A Figura 1 representa a resposta estática de uma ponte ou viaduto quando da passagem de um veículo em uma velocidade muito baixa (denominada quase estática) e a resposta dinâmica, obtida da passagem a uma velocidade significativa de um veículo isolado sobre seu vão.

Figura 1 - Resposta estática e dinâmica de uma ponte à passagem de um veículo (Adaptado de CALÇADA, 2001) Assim, o fator de amplificação dinâmica (DAF – Dynamic Amplification Factor) pode ser obtido por meio da Equação 1.

(1) 84

Na avaliação da capacidade de carga de pontes e viadutos existentes, há três alternativas possíveis para a obtenção do DAF: utilizar coeficientes dinâmicos obtidos de normas e códigos; realizar análises dinâmicas completas por via numérica; ou considerar valores de amplificações dinâmicas decorrentes de carregamentos efetivos de tráfego normais ou controlados por meio das medidas dos efeitos estruturais, como por exemplo, deslocamentos e deformações específicas (PAULTRE et al., 1992).

Os valores recomendados por normas e códigos são adotados tomando-se como base certas condições de execução e de operação das pontes, e que nem sempre correspondem à realidade. Nas estruturas de pontes ferroviárias, normalmente as solicitações dinâmicas são consideradas por coeficientes de majoração da carga estática. As normas brasileiras e referências internacionais que tratam do cálculo estrutural de pontes, consideram as cargas dinâmicas por meio de coeficientes de impacto.

O principal desafio consiste na obtenção da resposta estática. Segundo PIMENTEL (2008), a resposta estática pode ser obtida a partir dos seguintes procedimentos: (i) circulando o veículo a velocidades suficientemente baixas, de forma que se possam desprezar seus efeitos dinâmicos; (ii) aplicando filtros digitais com o objetivo de eliminar as componentes dinâmicas do sinal; e (iii) numericamente, simulando a passagem do veículo.

O método i) fornece os melhores resultados, uma vez que está associado à obtenção de respostas diretamente medidas na estrutura, porém acarreta impactos operacionais à circulação de trem e maiores custos de execução. O procedimento ii) fornece bons resultados, no entanto, quando ocorrem fenômenos de ressonância, torna-se difícil separar a parte estática de parte dinâmica devido a necessidade de adotar filtros eficazes. Já o iii) está relacionado às dificuldades de se obter o comportamento real da estrutura no modelo numérico, bem como o desconhecimento das cargas atuantes e ao fato de não reproduzir todos os fatores contribuintes, como exemplo os defeitos da via e dos vagões. (PIMENTEL, 2008) Na prática, as variáveis de interesse que são medidas durante a monitoração das pontes ferroviárias são as acelerações e as deformações específicas, utilizando-se, respectivamente, sensores do tipo acelerômetros e extensômetros. Devido ao 85

princípio de funcionalidade de cada transdutor, esses respondem de maneira diferenciada em função da frequência que são solicitados. Logo, a determinação do DAF por meio do deslocamento (decorrente da integração do sinal de aceleração) ou da deformação específica, pode influenciar os resultados.

3

Fenômeno da fadiga

Uma estrutura sujeita a solicitações de esforços com intensidades variáveis ao longo do tempo pode, após um certo número de ciclos de carregamento, entrar em processo de ruptura sem que tenha atingido o seu limite de resistência estática, ocasionando uma perda de resistência local, desenvolvendo o dano lentamente nas fases iniciais e acelerando nas fases finais. Este fenômeno é conhecido como fadiga. O fato da ruptura por fadiga surgir de cargas de utilização, podendo ser uma ruptura brusca e sem aviso prévio, torna esse fenômeno ainda mais grave (MARQUES, 2006).

O estudo da fadiga em estruturas, especialmente em pontes, vem aumentando nos últimos anos. Pontes ferroviárias, em especial, estão entre as estruturas com maiores índices de danos decorrentes da fadiga. De acordo com OEHME (1989), separando as causas dos danos em cada tipo de estrutura, temos os seguintes resultados para as pontes: 38,3% por fadiga; 32,0% por questões ambientais; 14,8% por forças estáticas; 8,6% por instabilidade, local ou global; e 6,3% devido a outras causas, tais como fraturas frágeis, movimentos de corpo rígido, deformações elásticas, carregamentos térmicos etc. (KUHN et al., 2008). Portanto, a fadiga é a maior causadora dos colapsos de pontes ferroviárias, o que justifica, por si só, a ênfase que é dada a esse fenômeno no presente trabalho.

Para determinar a vida residual à fadiga de pontes ferroviárias, são utilizadas as séries temporais das tensões estáticas e as resultantes das passagens dos comboios para cada velocidade sobre a estrutura da ponte em questão. Em seguida, esses valores são comparados com a resistência à fadiga dada pelas curvas S-N (Stress range – S; Number of cycles – N), que especificam a resistência à fadiga de um material submetido a ciclos de tensão de amplitude constantes. Se a amplitude dos ciclos é

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variável, o desempenho é estudado por meio da hipótese de Palmgreen-Miner e o dano de Miner.

A teoria de Palmgren-Miner considera o fenômeno da fadiga como um processo de acumulação de danos até certo limite de danos toleráveis. Considerando esse acúmulo como linear, cada ciclo contribui para uma mesma quantidade de dano em um dado nível de tensão (AFONSO, 2007). Para a estimativa da vida residual das estruturas foram assim utilizadas as expressões do dano de Miner, que podem ser simplificadas da seguinte forma (KUHN et al., 2008): (2) onde, DM é o dano de Miner, ni é o número de ciclos ocorrendo para uma faixa de tensão de magnitude Δσi, e Ni o número de ciclos correspondente a resistência à fadiga de uma faixa de tensão de magnitude Δσi.

Para investigações do dano à fadiga, a Equação 2 pode ser aplicada a múltiplas faixas de tensão de um espectro ou histograma de tensões, como ilustrado na Figura 2. Dessa forma, a resistência à fadiga Ni é definida por meio do método de classificação baseada nas curvas S-N. Quando o dano de Miner DM é igual a um, indica a ocorrência de falha.

Figura 2 - Gráfico S-N para o cálculo da acumulação de danos (KUHN et al., 2008) Na prática, as amplitudes dos ciclos decorrentes das passagens dos veículos ferroviários são variáveis, e por isso utiliza-se o algoritmo da contagem de Rainflow para o estudo de fadiga nas estruturas ferroviárias. Alguns exemplos de curvas utilizadas para avaliação da fadiga são apresentadas pela American Association of Railroads (AAR), para estruturas em aço, e pelo CEB-188, para estruturas em concreto.

87

Estas curvas variam em função do detalhe estrutural, quando se consideram as tensões nominais, e das configurações de soldadura, quando se consideram tensões geométricas (MARQUES et al., 2010).

No caso das pontes ferroviárias, o aumento das cargas por eixo de tráfego, da quantidade de veículos em circulação – e consequente aumento de ciclos de carregamento – e das velocidades operacionais registradas nos últimos anos justificam a crescente preocupação com essas estruturas em relação ao estado limite de fadiga.

4

Proposta de procedimento para avaliação de pontes e viadutos

Para avaliar as pontes ferroviárias, foram selecionadas, primeiramente, obras que já apresentavam motivações qualitativas sobre a sua inadequabilidade estrutural, e também obras cujo partido estrutural apresenta maior representatividade na ferrovia.

Foram avaliadas obras de arte especiais de diferentes tipologias e materiais, sendo 19 sistemas estruturais de um total de 15 pontes e viadutos ferroviários, caracterizados conforme Figura 3.

Figura 3 - Número de vãos avaliados por tipologia estrutural Inicialmente, foram identificados todos os documentos disponíveis referentes às estruturas analisadas, tais como projetos de construção, de manutenção, memórias de cálculo e fotos. Também foram entrevistados os profissionais que tinham algum conhecimento acerca de intervenções realizadas nas estruturas além de dados de trem-tipo operacional e histórico de carregamento.

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Seguiu-se com a verificação da conformidade geométrica da estrutura da ponte em relação ao projeto e, quando este não estava disponível, era realizado todo o levantamento geométrico das pontes e viadutos. Essa atividade teve o objetivo de elaborar o as built da estrutura. Em paralelo, foram extraídos testemunhos para a identificação dos materiais e as suas características mecânicas.

Na etapa de inspeção das estruturas, foram realizados ensaios não destrutivos e a vistoria em todo o sistema, com o objetivo de identificação de danos e manifestações patológicas. Foram registradas e mapeadas todas as alterações nos elementos estruturais, possibilitando o acompanhamento de sua evolução, e apontando as prováveis causas e recomendações para o seu tratamento.

O modelo numérico preliminar da ponte foi elaborado por meio das informações do levantamento geométrico e caracterização dos materiais. A partir desse modelo, foram determinados, para as solicitações típicas, os pontos da estrutura submetidos às máximas tensões normais e também aqueles submetidos às máximas variações de tensões, definindo-se os pontos de instalação dos extensômetros segundo as respectivas direções principais. Também a partir do modelo numérico preliminar, determinou-se os pontos de maiores deslocamentos para a instalação dos acelerômetros. Com base nessas análises prévias era elaborado o plano de instrumentação, que incluía ainda, eventualmente, sensores de temperatura, transdutores de deslocamento e inclinômetros. De forma geral, foram utilizados sensores e transdutores elétricos.

O monitoramento da estrutura se deu em duas etapas. A primeira, e mais longa, consistiu no monitoramento do tráfego normal da ferrovia durante um período mínimo de 24 horas, a fim de se obter as medições ante a variação térmica do dia.

Todos os veículos que trafegaram durante essa primeira etapa tinham sua numeração anotada para posterior aquisição das informações de pesagem dessas composições. Na segunda etapa, realizada sempre que operacionalmente possível, foi montada uma composição de teste com todas as suas principais características conhecidas.

Monitorou-se a passagem desse trem de teste em várias velocidades e sentidos sobre a ponte. Também foram instalados extensômetros nos trilhos em regiões próximas às

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pontes, com o objetivo de medir o efeito dinâmico do carregamento das composições de forma independente das amplificações dinâmicas da estrutura.

Posteriormente, os modelos numéricos foram ajustados variando-se a rigidez e vínculos dos elementos dentro dos respectivos intervalos de incerteza, buscando-se, assim, a compatibilidade com as medidas das respostas estruturais para os carregamentos de serviço do sistema ferroviário. O modelo também foi calibrado com os danos de maior relevância identificados por meio da inspeção e ensaios realizados.

Concluído o ajuste do modelo numérico, foi verificada a adequação estrutural das pontes para o carregamento atualmente empregado e inferido seu comportamento para um trem-tipo futuro definido pela operadora da ferrovia. Após a análise elástica, foi realizado o estudo da fadiga dos materiais, estimando-se a vida residual da estrutura. Por fim, foram identificados os elementos a serem reforçados para a reabilitação do sistema, e estabelecida a priorização das intervenções nas estruturas.

Dessa forma, a avaliação da segurança estrutural foi realizada por meio das respostas estruturais medidas na condição de serviço das pontes, ou seja, caracterizando quantitativamente o desempenho estrutural efetivo dessas obras de arte especiais.

Na Figura 4 são apresentadas, de forma concatenada, as principais atividades do procedimento utilizado.

Figura 4 - Procedimento para avaliação estrutural

90

A etapa de avaliação da capacidade estrutural prescindiu, então, de prévio ajuste do modelo numérico, utilizando-se as informações coletadas na inspeção e no monitoramento da estrutura (model updating). Ela foi realizada para, no mínimo, três situações de carregamento: o tráfego atual, considerando as características dos veículos ferroviários que operam no trecho analisado, e seus carregamentos, obtidos da amostragem monitorada durante os ensaios dinâmicos; o trem-tipo atual, considerando as distâncias entre eixos dos veículos ferroviários típicos do trecho analisado e a sua tolerância máxima de carga por eixo para os carregamentos; e o trem-tipo futuro, definido pela concessionária da ferrovia.

A avaliação experimental iniciou-se com a estimativa das propriedades modais da estrutura por meio de métodos de domínio do tempo e domínio da frequência.

Também foram analisadas as tensões atuantes nas seções monitoradas, comparando com os valores obtidos pelo modelo numérico, por meio da simulação da passagem de um veículo com as mesmas características dos veículos monitorados. Nesse momento, foi verificada a necessidade de reanálise e calibração do modelo numérico, com o objetivo de aproximação dos resultados teóricos aos medidos experimentalmente na condição de serviços das obras de arte especais.

Para determinar a vida residual à fadiga da estrutura foram utilizados os históricos de tensões. As tensões estáticas foram inferidas por meio das deformações medidas no intervalo das passagens dos veículos ferroviários, também considerando as deformações decorrentes dos efeitos térmicos. Já as tensões decorrentes da passagem dos veículos ferroviários foram inferidas a partir das deformações específicas medidas durante a passagem dos comboios para cada velocidade trafegada sobre a estrutura estudada, obtendo-se assim a variação decorrente do peso do trem e as variações de tensões decorrentes das sucessivas passagens dos vagões.

Para a estimativa da vida residual foram resgatados os históricos das características das composições, cargas por eixo e volume de tráfego ao longo da vida da estrutura.

Esses dados são essenciais para a estimativa dos ciclos de carregamento da estrutura anteriores à avaliação de fadiga. A partir desse resultado, considerando os carregamentos e características operacionais atuais e futuros, foi possível estimar, com boa confiabilidade, a vida residual das pontes analisadas.

91

Após a avaliação da capacidade estrutura e da vida residual à fadiga eram identificados os elementos a serem reforçados, bem como a avaliação da viabilidade de sua execução. É importante ressaltar que no caso particular de estruturas ferroviárias, a avaliação da viabilidade de se reforçar um elemento vai muito além da questão estrutural. Deve-se realizar, também, a avaliação do impacto operacional, que pode ter como resultado elevadas horas de intervalos operacionais, aumento do tempo de circulação, maior disponibilização de equipagens, perda de eficiência energética, dentre outros (Junqueira et al., 2017).

A priorização da intervenção em estruturas ferroviárias tem sido feita considerando os seguintes fatores principais: os danos ou patologias existentes; a consequência de uma eventual falha da estrutura para a cadeia produtiva; a existência de elementos com falta de capacidade estrutural; e a avaliação da vida residual à fadiga. Todos estes fatores alimentam uma matriz de priorização, onde é proposto um sequenciamento de pontes que deverão sofrer manutenção ou substituição (Montoya et al., 2017).

5

Resultados

Inicialmente, com a execução do cadastramento geométrico, foi possível medir e cadastrar as dimensões reais da estrutura. A caracterização dos materiais permitiu conhecer as propriedades mecânicas efetivas dos elementos da estrutura em seu estado atual.

Com o desenvolvimento do modelo numérico inicial, foram calculados e determinados os modos de vibração, além dos pontos de maiores deslocamentos, de maiores tensões normais e de maiores variações de tensões, permitindo a elaboração de um plano de instrumentação mais assertivo, econômico e eficiente.

A inspeção, por meio visual ou de ensaios de qualidade, permitiu a identificação de danos e manifestações patológicas nas pontes e viadutos estudados. Tais anomalias, quando apresentaram maior relevância, impactando negativamente na segurança estrutural, eram detalhadas e investigadas na modelagem numérica. Quando apresentavam menor relevância, eram cadastradas e mapeadas, permitindo a sua quantificação e acompanhamento da sua evolução ao longo do tempo.

92

Após a etapa de inspeção, a estrutura foi instrumentada tomando-se como referência o plano proposto. Quando necessária a investigação de algum dano conhecido, o plano de instrumentação era revisado com o objetivo de avaliar as suas causas e consequências. A monitoração das estruturas contemplou não somente o tráfego normal da ferrovia, mas também, em alguns casos, o tráfego de uma composição de teste, com características conhecidas, variando-se a velocidade, e, até mesmo, as condições ideais de carregamento, de elementos dos vagões (rodas e molas), e da via permanente.

Nas situações em que foi possível utilizar o trem de teste com velocidade controlada nas obras instrumentadas, foram obtidos os fatores de amplificação dinâmica (DAF) para cada velocidade. Na Figura 5 são apresentados os valores máximos do fator de amplificação dinâmica (DAF), medidos em campo, em função do vão teórico das pontes. Também foram plotadas, no gráfico, as curvas dos coeficientes de impacto previstos na norma ABNT NBR 7187:2003 e no manual da AREMA:2013.

Figura 5 - Comparação entre os valores de DAF e coeficientes de impacto normativos Verifica-se uma grande dispersão dos resultados do DAF inferidos da monitoração experimental realizada nas pontes e viadutos ferroviários. Essa dispersão pode ser atribuída a inúmeros fatores relacionados ao sistema ferroviário, tais como: diferença de rigidez entre as pontes monitoradas; movimento dinâmico, perda de capacidade das molas e defeitos nas rodas dos veículos ferroviários; imperfeições geométricas; condições de fixações e materiais existentes na via permanente.

93

É importante

ressaltar que, ao estudar a interação veículo e ponte, outros parâmetros também podem afetar os resultados, tais como a rigidez da estrutura e as propriedades inerciais do veículo e da ponte (YANG et al., 1995).

Analisando os coeficientes de impacto normativos, nota-se que a curva referente à AREMA:2013 apresentou valores de referência bem superiores aos previstos pela ABNT NBR 7187:2003 para todos os vãos do intervalo representado. Essa diferença chega a ser de, aproximadamente, 8,3% para vãos de 5 metros e de cerca de 20,4% para vãos próximos a 55 metros.

Durante a análise dos resultados dos ensaios de monitoração, foram obtidas as frequências e os modos naturais de vibração de maior energia das estruturas, em geral os três primeiros modos de vibração. De forma geral, comparando-se os valores das frequências naturais de vibração calculadas numericamente e as inferidas experimentalmente nos ensaios dinâmicos, verificou-se uma convergência entre os valores, indicando uma boa representatividade do modelo numérico para o comportamento dinâmico da estrutura.

Os valores de frequência natural experimental em função do vão teórico das pontes foram plotados em um gráfico e determinada a curva de tendência de potência, descrita na Equação 3, onde é definido o valor da frequência natural experimental f (Hz) em função do vão teórico L (metros). Considerou-se somente a frequência natural experimental para o primeiro modo de flexão de cada superestrutura dos sistemas estruturais

das

pontes

estudadas.

A

identificação

modal

foi

considerada

determinística, ou seja, não foram inferidas incertezas na obtenção dos parâmetros modais.

8,34m ≤ L ≤ 74,35m

(3)

A linha de tendência foi calculada com uma correlação 70,9%, o que pode ser considerada satisfatória para estimativas dos valores de frequência natural em função do vão teórico para pontes ferroviárias.

Com a finalidade de avaliação dos resultados obtidos utilizando o procedimento proposto, no gráfico da Figura 6 a curva de tendência obtida pela frequência natural experimental em função do vão teórico das pontes ferroviárias (Equação 3) foi 94

comparada com a curva (Equação 4) recomendada pelo CEB209 (1991), e também com as equações propostas por RODRIGUES et al. (2011), conforme Equação 5, desenvolvida a partir de resultados observados em pontes rodoviárias brasileiras, e por BACHMANN et al. (1995), conforme Equação 6, determinada a partir de dados de 224 pontes rodoviárias. Também foram plotadas as curvas de dispersão superior e inferior para as pontes ferroviárias, considerando o valor da correlação obtida na linha de tendência da Equação 3.

(4) 20,0 ≤ L ≤ 50,0

(5) (6)

Figura 6 - Comparação da curva de frequência natural experimental em função do vão calculada para as pontes ferroviárias De forma geral, a curva da equação proposta para as pontes ferroviárias é satisfatoriamente aderente às demais curvas de referência da literatura técnica. Notase, em especial, que a curva proposta nesse trabalho é mais aderente à proposta por BACHMANN et al. (1995) para pontes rodoviárias.

95

Para vãos superiores a aproximadamente 25 metros, a curva proposta neste estudo, baseada nos dados das pontes ferroviárias, se mostrou praticamente coincidente com a curva proposta por BACHMANN et al. (1995) e intermediária aos demais valores de referência.

Já para vãos inferiores a 25 metros, a curva proposta para as pontes ferroviárias é superior a todas as demais curvas. Quando avaliado os limites inferiores e superiores de dispersão, a superioridade da curva proposta acontece em torno dos vãos inferiores a 18 metros. Isso pode ser explicado pela elevada carga por eixo das pontes estudadas, pelas maiores amplificações dinâmicas em pontes mais curtas e pelo fato das pontes ferroviárias serem dimensionadas, principalmente, para atender ao estado limite último de fadiga, que é mais crítico em estruturas de menores vãos, o que acarreta estruturas mais robustas e, portanto, com maior rigidez e maiores frequências, quando comparadas com as rodoviárias.

Quando houve desvio significativo entre valores experimentais e numéricos, os modelos numéricos iniciais foram calibrados, com o objetivo de convergir os valores numéricos com os valores experimentais, e dessa forma, representarem as características das estruturas reais, em condição de serviço. Como valores de referência para essa calibração, foram empregadas as frequências naturais e deformações específicas experimentais. Para essa calibração, em alguns modelos, foi necessário incorporar parcialmente a massa do trem à massa da estrutura, a fim de se aproximar as frequências naturais numéricas das experimentais.

Concluída a calibração, a avaliação da capacidade estrutural foi realizada. Por meio do levantamento geométrico, inspeção, realização de ensaios, instrumentação e monitoração, foi possível superar, em parte, a falta de conhecimento sobre as características da estrutura e dos carregamentos, e assim, reduzir fatores de ponderação. MELCHERS (2002), em seu livro Structural Reliability Analysis and Prediction, questiona a verificação de estruturas pelos códigos as quais ela foi projetada, ou normas mais recentes, visto que nas estruturas existentes algumas incertezas previstas nessas referências já terão sido realizadas, podendo ser determinadas, e então deixando de serem incertezas.

96

Também foi estimada a vida residual à fadiga das pontes e viadutos ferroviários, conforme apresentado na Figura 7.

Figura 7 - Estimativa da idade e vida residual à fadiga para os trens-tipos atual e futuro para as pontes e viadutos ferroviários As estimativas de vida residual superiores a 100 anos foram limitadas a este valor, visto que, usualmente, e em acordo com o FIB-55 (FIB, 2010) e a ISO 2394:2012, estruturas de pontes e viadutos devem ser projetadas para uma vida útil de 100 anos.

Assim, sugere-se que, atingida a idade limite, essas estruturas sejam reavaliadas.

Analisando-se a Figura 9 verifica-se uma idade média das pontes e viadutos ferroviários de, aproximadamente, 49,6 anos. Quanto à vida residual à fadiga, os diferentes arranjos estruturais avaliados nesse trabalho apresentaram uma vida média de 67,5 anos, para a operação dos trens-tipos atuais, e 58,9 anos, considerando a operação do trem-tipo futuro, definido pela operadora ferroviária.

6

Conclusões

O procedimento usual para projetar e avaliar pontes e viadutos considera, implicitamente, incertezas associadas aos modelos teóricos de dimensionamento, aos 97

materiais e processos de construção, à danificação ao longo do tempo e às ações que essa estrutura estará submetida. Os valores recomendados por normas e códigos são adotados tomando-se como base certas condições de execução e de operação das pontes, e que nem sempre correspondem à realidade. No caso da avaliação de estruturas existentes, é possível reduzir essas incertezas por meio do conhecimento das propriedades e característica dinâmicas das pontes, com a finalidade de melhor representar as estruturas em seu estado atual.

Nesse sentido, o procedimento proposto vem sendo empregado por meio da análise teórico-experimental em uma operadora de um trecho de malha ferroviária brasileira, como forma de reduzir as incertezas durante o processo de avaliação da segurança estrutural de pontes ferroviárias existentes.

As frequências naturais experimentais e as amplificações dinâmicas foram consideradas como parâmetros de interesse para o conhecimento das respostas dinâmicas das estruturas, permitindo, posteriormente, a efetiva avaliação da integridade e do desempenho estrutural. Juntamente com a ponderação de outros fatores estratégicos e operacionais do sistema ferroviário, o conhecimento das amplificações dinâmicas auxilia na avaliação da necessidade e no dimensionamento da imposição de restrições de velocidades dos comboios ferroviários, possibilitando uma maior eficiência no equilíbrio entre produção e manutenção e alcançando, por consequência, melhores níveis de segurança estrutural e operacional. Da mesma forma, o desenvolvimento de uma curva para a estimativa frequência natural e o conhecimento dessa característica dinâmica auxilia na avaliação da integridade dessas estruturas, permitindo, por exemplo, a determinação de níveis de alarme para a restrição ou interrupção de serviço.

A estimativa da vida residual à fadiga é essencial em estruturas solicitadas por carregamentos cíclicos, tais como as pontes ferroviárias. Essa estimativa se apresenta como um dos mais importantes parâmetros de priorização da intervenção em estruturas, ante a gravidade desse fenômeno para as pontes ferroviários. É possível concluir, também, que o procedimento se mostrou consistente para a avaliação de estruturas existentes, conferindo rastreabilidade às decisões técnicas tomadas e permitindo o conhecimento do desempenho dessas pontes e viadutos 98

ferroviários ao longo da sua vida, avaliando as suas características e propriedades dos materiais de acordo com o seu estado atual. Uma estrutura não deve ser somente segura e útil às suas condições iniciais de implantação, mas também deve ter resistência suficiente contra a deterioração, ou seja, não só a resistência intrínseca do início da vida útil deve atender aos critérios de projeto, mas também deve ser desenvolvida uma estratégia de manutenção (FIB, 2010).

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99

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100

Recebido: 23/03/2018 Aprovado: 09/08/2019 Volume 9. Número 1 (abril/2020). p. 101‐121 ‐ ISSN 2238‐9377 Revista indexada no Latindex e Diadorim/IBICT

Dimensionamento otimizado de pórticos em estruturas de aço via algoritmos genéticos

João Alfredo de Lazzari1*, Élcio Cassimiro Alves2, Adenilcia Fernanda Grobério Calenzani3

123

Departamento de Engenharia Civil, Universidade Federal do Espírito Santo, Av. Fernando Ferrari, 514, Goiabeiras, CEP 29075‐910, Vitória – ES, 1 joaoadelazzari@outlook.com.br 2 elcio.calves1@gmail.com 3 afcalenzani@gmail.com

Optimum structural design of spatial steel frames by genetic algorithm Resumo O presente trabalho tem o objetivo de apresentar a formulação e aplicação do dimensionamento ótimo para pórticos espaciais em estruturas de aço com perfis I e H laminados e soldados. O software desenvolvido na plataforma do GUIDE do MATLAB utiliza uma metodologia determinística para soluções com variável contínua e outra probabilística para soluções com variável discreta. Toda a rotina de dimensionamento será baseada na norma Brasileira ABNT NBR 8800:2008 e as técnicas de otimização utilizadas são a Programação Quadrática Sequencial e o Algoritmo Genético para efeito de comparação da eficiênciado método. Para a validação do software desenvolvido será proposto à comparação com resutlados na literatura e soluções sugeridas pelo programa CYPE 3D. Os resultados são apresentados em formas de tabelas, gráficos e figuras do software desenvolvido e concluído com comentários sobre os resultados.

Palavras‐chave: Dimensionamento Ótimo, Estruturas de Aço, Pórtico Tridimensional, Softwares, Análise Estrutural.

Abstract The present paper has the objective to present the formulation and application of an optimal design for tridimensional steel frames with I and H sections of hot‐rolled and welded steel. The software was developed on the GUIDE platform from MATLAB, and uses deterministic optimization methodology for solution with continuous variable, and a probabilistic optimization methodology for solution with discrete variable. All the routine for the design was based on the Brazilian standard, ABNT NBR 8800:2008, and the optimization technics used are the Sequential Quadratic Programming and Genetic Algorithm. For the validation of the developed software, comparisons are done with examples found on the literature and solutions suggested by the CYPE 3D commercial software. The results will be present on tables, graphs and print screens of the developed software. To conclude, it will be provided commentaries about the results.

Keywords: Optimal Design, Steel Structures, Tridimensional Steel Frames, Software, Structural Analysis.

* Autor correspondente

1

Introdução

Como o avanço nos softwares de cálculo estrutural, cada vez mais se faz necessário obter projetos confiáveis e com o menor custo possível. Para isso, técnicas de otimização podem ser aplicadas como podem ser destacados nos trabalhos de Novelli et al. (2015), Lubke et al. (2017), Unde (2016), Akbari et al. (2016), De Lazzari et al.

(2017) entre outros. Porém trabalhos envolvendo técnicas de otimização para estruturas espaciais começam a ser exploradas para diferentes sistemas estruturais e diferentes técnicas de otimização.

Erdal, Dorgan e Saka (2010) fizeram dois estudos de projeto ótimo de vigas celulares utilizando metodologia evolutiva; o primeiro baseado em pesquisa harmônica, já o segundo em otimizadores de enxame. Os pesquisadores fazem uma análise comparativa dos dois métodos verificando qual se adapta melhor ao problema.

Em Cabas (2015) foi proposto o dimensionamento ótimo de pórticos espaciais, utilizando uma técnica baseada na Biogeography Optimization.

Alves, Lubke e Azevedo (2017) apresentaram trabalho de otimização de vigas celulares.

Foram usadas três técnicas de otimização computacional, todas tendo como objetivo minimizar o peso da viga, a saber: Método dos pontos interiores, Programação quadrática sequencial e Algoritmos genéticos.

O presente trabalho tem o objetivo de apresentar a formulação do problema de otimização e aplicação para estruturas de pórticos em aço. Para a formulação do problema foi implementado o prescrito pela ABNT NBR 8800:2008 no que diz respeito aos esforços resistentes e deformações limites. O programa foi desenvolvido utilizado a ferramenta do GUIDE (Graphical User Interface Development Environment) do MATLAB 2016.a e a solução do problema foi obtida via método dos Algoritmos Genéticos.

2

Análise e Dimensionamento de Elementos em Aço

Na etapa de análise estrutural, foi utilizado o Structure3D (figura 2), que é um programa implementado em MATLAB. O programa foi desenvolvido na Universidade 102

Federal do Espírito Santo primeiramente pelos ex‐alunos Hélio Gomes Filho e Mindszenty Júnior Pedroza Garozi e obteve pequenas atualizações por alunos de projetos de graduação e iniciação científica, sendo o Prof. Dr. Élcio Cassimiro Alves como o professor orientador desse projeto. O Structure3D fornece os diagramas e deformadas de estruturas tridimensionais com carregamentos uniformemente distribuídos e forças nodais. A análise estrutural é linear (1ª ordem), utilizando o método dos deslocamentos.

No que se refere ao o dimensionamento dos elementos estruturais em aço, foi abordada a verificação à flexão assimétrica com cargas axiais de uma estrutura formada por pórticos espaciais segundo os critérios da ABNT NBR 8800:2008.

A força axial resistente de cálculo é determinada pela menor capacidade resistente entre os dois estados‐limites aplicáveis: escoamento da seção bruta e ruptura da seção líquida.

No dimensionamento de elementos comprimidos, um dos modos de colapso é a instabilidade global da barra, dotada de curvatura inicial. O outro modo de colapso é a flambagem local da mesa e da alma do perfil.

Para flexão, os estados limites últimos a serem verificados em vigas em relação ao eixo de maior momento de inércia são: instabilidade local, instabilidade global e plastificação total da seção transversal. Já para as vigas solicitadas à flexão em relação ao eixo de menor momento de inércia só é verificado o estado limite de instabilidade local da mesa.

A força cortante resistente é restringida pela instabilidade da alma, ocasionada pelas tensões cisalhantes e pelo escoamento da alma. Dessa forma o elemento resistente à força cortante será a alma. Entretanto, quando o perfil é fletido no eixo de menor momento de inercia, o elemento resistente à força cortante será as mesas.

Para esse trabalho, foi considerado o dimensionamento de barras de aço sob combinação de esforços solicitantes. Essas combinações são aquelas que estão sujeitas simultaneamente à força axial (tanto de tração quanto de compressão) e flexão a um ou aos dois eixos centrais de inércia. Esse tipo de situação de projeto é bastante comum em pilares de pórticos rígidos planos e espaciais.

103

Para essa atuação simultânea dos esforços, deveâ&#x20AC;?se atender a limitação fornecida pelas seguintes expressĂľes de interação: ď&#x201A;ˇ

ď&#x201A;ˇ

0,2

Caso ,

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,

,

1,0

(1)

1,0

(2)

0,2

Caso ,

,

,

,

Onde đ?&#x2018;  e đ?&#x2018;  sĂŁo as forças axiais solicitantes e resistentes de tração ou compressĂŁo, sendo que foram utilizadas aquelas aplicĂĄveis. Os momentos resistentes (đ?&#x2018;&#x20AC; đ?&#x2018;&#x20AC;

,

) e solicitantes (đ?&#x2018;&#x20AC;

,

 e  đ?&#x2018;&#x20AC;

,

,

 e Â

) sĂŁo referentes aos eixos z e y, sendo o eixo x oÂ

eixo longitudinal da barra.Â

3

Formulação do ProblemaÂ

O presente trabalho utiliza duas tĂŠcnicas de otimização. O problema com variĂĄvel contĂ­nua utiliza um modelo matemĂĄtico determinĂ­stico, a Programação QuadrĂĄtica Sequencial (PQS). JĂĄÂ o problema com variĂĄvel discreta, utiliza um modelo probabilĂ­stico com o auxĂ­lio do Algoritmo GenĂŠtico (AG). A Programação QuadrĂĄtica Sequencial utiliza como base o mĂŠtodo de Newton, e parte de um ponto inicial, presente na regiĂŁo de pesquisa. A partir de uma solução inicial, o mĂŠtodo parte para a solução ótima de subproblemas quadrĂĄticos, para cada iteração. A cada passo, o problema Ê aproximado da solução ótima global, chegando assim na solução ótima do problema. JĂĄÂ o Algoritmo GenĂŠtico resolve problemas com ou sem restriçþes, e se baseia no processo de seleção natural que imita a evolução biolĂłgica. Basicamente o algoritmo modifica a população repetidamente, selecionando indivĂ­duos de forma aleatĂłria para serem os pais de futuros filhos para a prĂłxima geração da população. ApĂłs sucessivas geraçþes, a população converge para um único indivĂ­duo, que Ê a solução ótima.Â

104Â

3.1

Problema com VariĂĄvel ContĂ­nuaÂ

A formulação computacional para o problema com variĂĄvel contĂ­nua foi feita com base na Programação QuadrĂĄtica Sequencial. O mĂŠtodo do PQS pode ser obtido atravĂŠs função fmincon do Optimization Toolboxâ&#x201E;˘Â do MATLAB 2016a. Dessa forma, para esse trabalho foi proposto um modelo de otimização voltado ao utilizado no MATLAB. Abaixo, a formulação do problema fica descrita como: função objetivo (3); ponto inicial (4); limite inferior e superior (5); função de restriçþes de inequaçþes nĂŁo lineares (6); função de restriçþes de igualdades nĂŁo lineares (7). đ??š đ?&#x2018;ż đ?&#x2018;ż

đ?&#x153;&#x152; đ?&#x2018;&#x2039;

đ?&#x2018;&#x2039;

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â&#x17D;§ â&#x17D;Ş â&#x17D;Ş â&#x17D;Ş â&#x17D;Ş â&#x17D;Ş â&#x17D;Ş â&#x17D;Ş â&#x17D;Ş â&#x17D;Ş â&#x17D;Ş đ?&#x2019;&#x2C6; đ?&#x2018;ż

đ?&#x2019;&#x2030; đ?&#x2018;ż

â&#x17D;¨ â&#x17D;Ş â&#x17D;Ş â&#x17D;Şđ?&#x2018;&#x201D; â&#x17D;Ş â&#x17D;Ş â&#x17D;Ş â&#x17D;Ş â&#x17D;Ş â&#x17D;Ş â&#x17D;Ş â&#x17D;Š â&#x201E;&#x17D;

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đ?&#x2018;ż

đ?&#x2018;&#x201D;

đ?&#x2018;ż đ?&#x2018;ż

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,

(3) (4)Â

,

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0

0

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,

đ?&#x2018;&#x2039;

,

(5)

(6)

(7)

onde:Â Â đ?&#x153;&#x152;

đ?&#x2018;&#x2039;

â&#x17D;Ť â&#x17D;Ş â&#x17D;Ş â&#x17D;Ş â&#x17D;Ş â&#x17D;Ş â&#x17D;Ş â&#x17D;Ş â&#x17D;Ş â&#x17D;Ş â&#x17D;Ş

đ?&#x2018;&#x201D; đ?&#x2018;ż â&#x17D;§ â&#x17D;Ş â&#x17D;Ş â&#x17D;Şđ?&#x2018;&#x201D; đ?&#x2018;ż â&#x17D;Ş â&#x17D;Ź â&#x17D;Ş â&#x17D;Ş â&#x17D;Ş đ?&#x2018;ż â&#x17D;Şđ?&#x2018;&#x201D; â&#x17D;Ş â&#x17D;Ş â&#x17D;¨ â&#x17D;Ş â&#x17D;Şđ?&#x2018;&#x201D; đ?&#x2018;ż â&#x17D;Ş â&#x17D;Ş â&#x17D;Ş â&#x17D;Ş â&#x17D;Ş â&#x17D;Şđ?&#x2018;&#x201D; đ?&#x2018;ż â&#x17D;Ş â&#x17D;Ş â&#x17D;Ş â&#x17D;Ş â&#x17D;Ş â&#x17D;Ş â&#x17D;Šđ?&#x2018;&#x201D; đ?&#x2018;ż â&#x17D;­

đ?&#x2018;ż

đ?&#x2018;ż

đ?&#x2018;&#x2039;

,

đ?&#x2018;&#x2039;

,

đ??ż

: Ê o peso especĂ­fico do aço (7850 đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201C;/đ?&#x2018;&#x161; );Â

105Â

A função objetivo (3) Ê o peso total da estrutura, composta pelo somatĂłrio da årea vezes o comprimento da viga e por fim multiplicado pelo peso especĂ­fico do aço. Quanto menor for o peso de aço total determinado, menor serĂĄÂ o consumo, e consequentemente menor serĂĄÂ o custo. O ponto inicial (4) foi obtido como um ponto mĂŠdio dos limites inferiores e superiores (5), jĂĄÂ que Ê um ponto que fica mais prĂłximo dos limites de forma equivalente. Esses limites foram obtidos como os valores mĂ­nimos e mĂĄximos de cada elemento geomĂŠtrico descrito na Figura 2, de acordo com o catĂĄlogo da GERDAU, para perfis laminados, e a ABNT NBR 5884:2005, para perfis soldados. As funçþes de restriçþes nĂŁo lineares, equação (6) e equação (7), foram determinadas de acordo com as limitaçþes do problema. Elas podem ser divididas em quatro seçþes: restriçþes aos estadosâ&#x20AC;?limites (đ?&#x2018;&#x201D; restrição a enrijecedores (đ?&#x2018;&#x201D; e igualdades (â&#x201E;&#x17D;

đ?&#x2018;ż ); restrição a perfis de alma esbelta (đ?&#x2018;&#x201D;

đ?&#x2018;ż ); restriçþes geomĂŠtricas de inequaçþes (đ?&#x2018;&#x201D;

đ?&#x2018;ż ). Dentro da função de restriçþes geomĂŠtricas đ?&#x2018;&#x201D;

đ?&#x2018;ż );Â đ?&#x2018;ż )Â

đ?&#x2018;ż Â temâ&#x20AC;?se:Â

restriçþes ao índice de esbeltez (đ?&#x2018;&#x201D; đ?&#x2018;ż ), restriçþes ao valor de đ?&#x2018;&#x2DC;  (đ?&#x2018;&#x201D;

đ?&#x2018;ż ),Â

đ?&#x2018;ż ), soldados sĂŠrie CS (đ?&#x2018;&#x201D;

đ?&#x2018;ż ),Â

restriçþes ao catalogo de perfis laminados (đ?&#x2018;&#x201D; soldados sĂŠrie CVS (đ?&#x2018;&#x201D;

đ?&#x2018;ż ) e soldados sĂŠrie VS (đ?&#x2018;&#x201D;

đ?&#x2018;ż ). Lembrando que asÂ

funçþes de restrição đ?&#x2019;&#x2C6; đ?&#x2018;ż  devem ser menores que zero e as đ?&#x2019;&#x2030; đ?&#x2018;ż  iguais a zero. As variĂĄveis de projeto podem ser observadas na Figura 1. Â

106Â

 Figura 1 â&#x20AC;? VariĂĄveis geomĂŠtricas em perfil soldado e laminado I e H, e o vetor X (Fonte: autor) 3.2

Problema com VariĂĄvel DiscretaÂ

O problema que visa uma solução discreta foi feito com base no Algoritmo GenĂŠtico (AG). Para transformar o problema de contĂ­nuo para discreto, foi necessĂĄrio criar um vetor de codificação para ser utilizado na metodologia do AG. Esse vetor Ê um binĂĄrio, que quando convertido para um nĂşmero inteiro, serĂĄÂ atribuĂ­do como a posição do perfil na tabela (equação (8)).  Para a formulação computacional do problema utilizando o Optimization Toolboxâ&#x201E;˘Â do MATLAB 2016a, foi necessĂĄrio: função aptidĂŁo (8); limite inferior e superior (9); função de restriçþes de inequaçþes nĂŁo lineares (10); função de restriçþes de igualdade nĂŁo linear (11). đ?&#x2018;ż

â&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;ż

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(8) đ?&#x153;&#x152;

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1 1â&#x20AC;Ś 1 1

107Â

 (9)

â&#x17D;§ â&#x17D;Ş â&#x17D;Ş â&#x17D;Ş â&#x17D;Ş đ?&#x2019;&#x2C6; đ?&#x2018;ż

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đ?&#x2018;ż

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â&#x17D;Ź â&#x17D;Ş đ?&#x2018;&#x201D; đ?&#x2018;ż â&#x17D;Ş â&#x17D;§ â&#x17D;Ş â&#x17D;Ş â&#x17D;¨ đ?&#x2018;&#x201D; đ?&#x2018;ż â&#x17D;­ â&#x17D;Š

0

(10)

0

(11)

Observe que toda a tĂŠcnica de otimização pelo algoritmo genĂŠtico serĂĄÂ feita com base em um vetor com variĂĄveis binĂĄrias. Cada vetor com variĂĄveis binĂĄrias representa um indivĂ­duo que fornece uma solução para o problema. Esse vetor Ê composto por um conjunto de perfis, que estĂŁo representados por valores binĂĄrios. Os limites superiores e inferiores (9) sĂŁo os binĂĄrios que representam o inteiro convertido mĂ­nimo e mĂĄximo para um valor limite de cĂŠlulas. Note que o valor inteiro para o binĂĄrio do limite inferior Ê 0 e para o limite superior Ê variado, dependendo do limite de cĂŠlulas. Por exemplo, se o valor limite for 7, portanto o valor do inteiro que representa o binĂĄrio do limite superior Ê 127.Â

Figura 2 â&#x20AC;? Interface principal do programa Structure3DÂ

108Â

A solução do problema de otimização será obtida via método dos Algoritmos Genéticos através de implementações dentro do software desenvolvido Structure 3D, cuja interface gráfica pode ser vista na Figura 2. O programa foi desenvolvido utilizando a ferramenta do GUIDE do MATLAB 2016.a, e além da análise estrutural, o programa verifica os perfis estruturais e otimiza a melhor seção.

4

Exemplos Comparativos e Resultados

Para validar e mostrar a aplicação do programa alguns exemplos serão apresentados.

Alguns resultados são comparados com resultados obtidos na literatura e comparados aplicando as rotinas de otimização desenvolvidas nesse trabalho.

4.1

Exemplo 01 – Pilar com carga axial e flexão assimétrica

Para o primeiro exemplo, foi validado a verificação e a otimização para uma barra com flexão assimétrica e carga axial também apresentado por Fakury et. al (2016).

2

2

1

1

Figura 3 ‐ Verificação de barra flexo‐comprimida em perfil I soldado (fonte: Fakury et. al, 2016).

109

A figura 3 mostra os esforços solicitantes na estrutura. Para efeito de comparação, foi modelada a estrutura no Structure3D conforme apresentado na Figura 4.

2

1

Figura 4 ‐ Pilar com carga axial de compressão e flexão assimétrica Para modelar o pilar no Structure3D foi necessário dividir o pilar em duas barras, já que no centro possuía uma condição de contorno especial (impedimento da rotação em x e translação no eixo z).

De acordo com a resolução do exercício, que utilizou o método do MAES, prescrito na ABNT NBR 8800:2008 Anexo D, não precisou alterar os esforços de análise de segunda ordem, já que o coeficiente de amplificação calculado nas duas direções do pilar foi menor que um. Assim, os esforços solicitantes analisados no problema serão os esforços de primeira ordem.

Na tabela 1 é mostrado os resultados de forma comparativa entre o programa Structure3D e os resultados presentes em Fakury et. al (2016).

110

Tabela 1 â&#x20AC;? Comparação dos resultados dos esforços resistentes de cĂĄlculo. Esforços Resistentes đ?&#x2018;&#x20AC; , ,  đ?&#x2018;&#x20AC; , ,  đ?&#x2018;&#x20AC; , ,  đ?&#x2018;&#x20AC; , , ** đ?&#x2018;&#x2030; , đ?&#x2018;&#x20AC; , ,  đ?&#x2018;&#x20AC; , , ** đ?&#x2018;&#x2030; , đ?&#x2018; ,

Unidade Structure3D [kN.m] 415,40 [kN.m] 404,83 [kN.m] 415,40 [kN.m] 559,74 [kN] 634,77 [kN.m] 121,92 [kN.m] 124,38 [kN] 1.193,20 [kN] 2.601,10Â

Fakury et. al (2016) * 415,55 404,87 415,55 â&#x20AC;? 634,77 121,90 â&#x20AC;? 1.194,00 2.606,00Â

* Foram obtidos dividindo o esforço caracterĂ­stico pelo coeficiente de ponderação das resistĂŞncias.  **  đ?&#x2018;&#x20AC; ,  Ê o momento fletor resistente de cĂĄlculo que assegura a validade da anĂĄlise elĂĄstica.Â

Ainda, Ê necessårio verificar os esforços solicitantes com os resistentes calculados. Para a combinação de esforços solicitantes, o exercício verificou o efeito combinado da mesma forma que foi proposto nesse trabalho, e obteve o seguinte resultado:  . .

,

,

0,69

0,29

0,98

1,0

đ?&#x2018;&#x201A;đ??ž!

JĂĄÂ os resultados da verificação do programa de dimensionamento do Structure3D, podem ser visualizados na figura 5. Observe que pelos diagramas (figura 3) que a mais solicitada aos esforços, Ê a barra 2. Assim, a combinação de efeitos mais desfavorĂĄvel encontraâ&#x20AC;?se na barra 2. Comparando os resistentes com esses solicitantes, Ê possĂ­vel obter uma relação de 0,9797 (figura 5), valor muito prĂłximo ao encontrado na literatura (Eq. 12). ApĂłs verificar que o dimensionamento da barra pelo Structure3D foi relativamente igual à  solução da literatura, foi proposto uma otimização do pilar, com a metodologia do algoritmo genĂŠtico. A otimização pelo AG foi feita utilizando o mesmo catalogo do perfil (serie CVS) e com um agrupamento de todas as barras. Â

111Â

(12)

Figura 5 ‐ Resultados da verificação pelo Structure3D. A solução da otimização discreta obteve o mesmo perfil proposto na literatura. Assim, o perfil ótimo do catálogo CVS, que a metodologia do AG encontrou para esse problema, foi o CVS 350 x 73.

O fato de a otimização apresentar o mesmo perfil que o proposto na literatura, garante a validade do processo de otimização e verificação. Apesar de não ter encontrado um perfil mais leve, a formulação empregada para esse exemplo mostra que é válida. Assim, pode‐se partir para problemas mais complexos de otimização.

4.2

Exemplo 02 – Pórtico Plano com vão de 30 metros

Nesse exemplo foi verificado e otimizado o dimensionamento de um pórtico plano, com apoios engastados, e carregamento uniformemente distribuído característico de 30 kN/m aplicado na direção contraria a gravitacional. Possui uma altura útil de 9 metros, e altura máxima de 14 metros, com um vão de 30 metros. O pórtico foi modelado no programa comercial CYPE 3D e no programa de análise FTOOL 3.00, para comparação dos esforços solicitantes.

Algumas considerações foram determinadas para o dimensionamento. Foi considerado fator de ponderação das ações igual a 1,5. Ainda, utilizou‐se como coeficientes de flambagem por compressão todos iguais a 1,0 e o fator de modificação para diagrama de momento fletor não uniforme, igual a 1,0. A flecha máxima definiu‐se como L/300 112

para todas as 4 barras, e o peso próprio foi considerado na análise. Para uma melhor abordagem dos dados, todas as barras do pórtico foram unificadas para o mesmo grupo, e foram utilizados os perfis soldados da série VS. A figura 6 ilustra a estrutura modelada no Structure3D, com todas as considerações impostas.

2

3

1

4

Figura 6 – Pórtico Plano com vão de 30 metros modelado no programa de dimensionamento e otimização desenvolvido, Structure3D.

A estrutura foi dimensionada no programa CYPE 3D, utilizando a opção “Quick Section Design”, o qual não é uma técnica de otimização ao dimensionamento. Como resultado, foi encontrado o perfil VS 1500x293 como solução para todas as barras.

Com a finalidade de comparar os resultados, foi proposto uma modelagem da estrutura no programa de análise FTOOL, o qual os resultados estão na tabela 2, referente aos esforços solicitantes.

113

Tabela 2 â&#x20AC;&#x201C; Comparação dos Esforços Solicitantes de Calculo Â

Programa CYPEÂ 3D Ftool Structure3D

Barra 1 2 1 2 1 2

Esforços Solicitantes de Cålculo Momento X Cortante y Axial [kN.m] [kN] [kN] 2138,96 420,70 666,13 2138,96 498,90 609,76 2066,50 422,10 643,40 2066,50 476,90 603,90 2066,79 422,16 643,46 2066,79 476,94 603,98

Variação Momento X Cortante y [] [] 3,49% â&#x20AC;?0,35% 3,49% 4,60% â&#x20AC;?0,01% â&#x20AC;?0,01% â&#x20AC;?0,01% â&#x20AC;?0,01% â&#x20AC;? â&#x20AC;? â&#x20AC;? â&#x20AC;?

Axial [] 3,52% 0,96% â&#x20AC;?0,01% â&#x20AC;?0,01% â&#x20AC;? â&#x20AC;?

* Barras 4 e 3 simÊtricas a 1 e 2, respectivamente.

Â

Note que os esforços solicitantes do programa desenvolvido deram iguais ao programa FTOOL, porĂŠm, houve pequena diferença com relação ao programa comercial. Isso ocorre, pois, o programa comercial inclui os efeitos de 2ÂŞÂ ordem, e o programa Structure3D apresenta somente os esforços de 1ÂŞÂ ordem, assim como o FTOOL.  Com relação aos esforços resistentes, na tabela 3, mostra uma comparação do programa Structure3D com o CYPE 3D. Tabela 3 â&#x20AC;&#x201C; Comparação dos Esforços Resistentes de CĂĄlculoÂ

Programa CYPEÂ 3D Structure3D

Barra 1 2 1 2

Esforços Resistentes de CĂĄlculo Variação Momento X Cortante y Axial (tração) Momento X Cortante y [kN.m] [kN] [kN] [] [] 4925,92 1121,74 11690,80 0,00% 0,00% 2253,07 1121,74 11690,80 0,00% 0,00% 4925,74 1121,74 11690,80 â&#x20AC;? â&#x20AC;?

2252,99 1121,74 11690,80 â&#x20AC;? â&#x20AC;?

Axial [] 0,00% 0,00% â&#x20AC;? â&#x20AC;?

* Barras 4 e 3 simÊtricas a 1 e 2, respectivamente.

Â

Note que os esforços resistentes deram iguais, validando o cĂĄlculo desses esforços. Assim, validando a verificação estrutural, foi proposto uma otimização pelo Algoritmo GenĂŠtico (AG). Para a otimização estrutural foi determinado algumas consideraçþes. Para o Algoritmo GenĂŠtico, foi utilizado uma população inicial de 200 indivĂ­duos, com uma geração da população padrĂŁo do prĂłprio MATLAB. Para o critĂŠrio de parada, definiuâ&#x20AC;?se um mĂĄximo de 40 geraçþes, e 20 geraçþes sem progresso. Para efeito de comparação com os resultados, à  estrutura foi otimizada visando uma otimização contĂ­nua, utilizando a Programação QuadrĂĄtica Sequencial (PQS). Foi considerado como ponto inicial đ?&#x2018;ż

800 320 0 8 19 đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161; para todas asÂ

barras. O critĂŠrio de parada ficou definido com um mĂĄximo de 10.000 iteraçþes, e uma 114Â

tolerância de 10

para a diferença de solução entre um passo e outro. Ainda, definiu

uma tolerância de 10 para o cálculo das restrições.

Tabela 4 – Resultados da Otimização do pórtico.

Programa CYPE 3D Structure3D

AG PQS

Perfil Massa total [t] VS 1500 x 293 14,52 VS 1500 x 293 14,52 PQS ‐ VS x 231 11,49

Na tabela 4, está o resultado da otimização. Observe que o método de otimização pelo AG obteve o mesmo perfil que o escolhido pelo dimensionamento do CYPE 3D. Apesar do CYPE 3D não executar uma técnica de otimização, foi possível obter o perfil ótimo, pelo fato do processo de agrupamento de todas as barras, que tornou o processo mais simples. De fato, o perfil VS 1500X293 é o perfil ótimo, para a estrutura descrita.

Ainda, note que a otimização contínua, PQS, alcançou uma massa total de aço cerca de 20% mais econômica.

4.3

Exemplo 03 – Pórtico Tridimensional com 16 barras

A apresentação do exemplo 3, envolve a verificação e a otimização de um pórtico tridimensional. O pórtico foi modelado no programa comercial CYPE 3D, e foi dimensionado utilizando os perfis soldados. O pórtico é composto por 16 barras, e todas as bases são engastadas. Ainda, possui 2 pavimentos, com 3 m de pé direito, e vão de 10 x 10 metros. Na figura 7.b, é possível visualizar a estrutura modelada no CYPE 3D, e na figura 7.a no Structure3D. O pórtico possui carregamento uniformemente distribuído característico nas vigas, de 40 kN/m, sendo que o fator de ponderação das ações foi considerado como 1,5. Ainda, utilizou‐se como coeficientes de flambagem por compressão todos iguais a 1,0 e o fator de modificação para diagrama de momento fletor não uniforme, igual a 1,0. A flecha máxima definiu‐se como L/300 para todas as barras, e o peso próprio foi considerado na análise. Toda a análise, tanto no programa comercial, quanto no Structure3D foram as de primeira ordem.

115

Primeiramente, todas as vigas foram agrupadas, assim como todos os pilares, de forma a unificar o dimensionamento entre os elementos. Foram escolhidos somente os perfis da sĂŠrie CVS da ABNT NBR 5884 para dimensionamento no programa CYPE 3D. Dessa forma, o CYPE 3D dimensionou usando o â&#x20AC;&#x153;Quick section designâ&#x20AC;? para a estrutura o perfil CVS 650 x 234 para as vigas, e o perfil CVS 500 x 194 para os pilares. Os resultados das verificaçþes, entre os esforços solicitantes e resistentes calculados, para os perfis dimensionados no CYPE 3D, podem ser visualizados por meio da figura 10. No eixo vertical encontraâ&#x20AC;?se a capacidade resistente efetiva, caracterizada pelas equaçþes (1) e (2) e no eixo horizontal sĂŁo ilustrados cada uma das barras.Â

Â

(a) (b) Figura 7 â&#x20AC;&#x201C; Modelo do PĂłrtico tridimensional com vigas CVS 650 x 234 e pilares CVS 500 x 194: (a) Programa Structure3D; (b) Programa Comercial CYPE 3D.Â

Os resultados comparativos ficaram muito prĂłximos, com um desvio mĂŠdio de 1,0%, e todas as verificaçþes atenderam. Note que a linha vermelha pontilhada, indica o mĂĄximo, quando o valor do momento resistente Ê igual ao solicitante. A prĂłxima etapa Ê a otimização da estrutura. Para o PQS utilizou como ponto inicial o ponto đ?&#x2018;ż

550 450 0 11 22 đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161; para todos os grupos. O critĂŠrio de paradaÂ

ficou definido com um måximo de 10.000 iteraçþes, e uma tolerância de 10

 para aÂ

diferença de solução entre um passo e outro. Ainda, definiu uma tolerância de 10  para o cĂĄlculo das restriçþes. JĂĄÂ para o AG, utilizou uma população inicial de 500Â

116Â

Â

indivíduos, e com uma geração da população padrão do próprio MATLAB. Para o critério de parada, definiu um máximo de 100 gerações, e 50 gerações sem progresso.

Os métodos de otimização obtiveram uma solução mais econômica do que a proposta pelo programa comercial CYPE 3D (tabela 5). Ainda, a solução do PQS obteve a solução mais econômica, com uma redução de 46% em comparação com o CYPE 3D. Já a otimização do AG, obteve uma redução de 37% no peso.

Figura 8 ‐ Gráfico de dispersão com as verificações do CYPE 3D e do Structure3D. Os perfis otimizados para o método do AG encontraram uma solução mais econômica para as vigas, porém mais onerosa para os pilares. Para as vigas o AG encontrou o perfil CVS 550 x 123, que é mais leve que o dimensionamento do CYPE 3D. Entretanto, para que a estrutura resistisse, teve que utilizar o perfil mais leve para as vigas, e para os pilares o AG teve que escolher um perfil mais pesado (CVS 550 x 204). Como os pilares são menores em comprimento que as vigas, a mudança de perfis otimizou no peso total da estrutura, oferecendo uma solução mais econômica no geral.

Tabela 5 ‐ Comparação do peso (kg) da estrutura entre os métodos do CYPE 3D e o Structure3D (fonte: Autor).

Elemento

CYPE 3D

Pilar Viga Peso total*

581,69 2.342,69 23.395,04

Structure3D AG PQS 612,38 567,63 1.228,21 1.011,52 14.724,69 12.633,20

* O peso total é formado pelo peso do pilar mais o peso da viga multiplicado por 8

117

Esses resultados melhores para as vigas e priores para os pilares está relacionada à análise global da estrutura, já que os perfis utilizados nos processos de otimização estão muito próximos do limite na verificação. Assim, a escolha da um perfil mais pesado para os pilares, permitiu que um perfil mais leve pudesse ser utilizado nas vigas, que como possuem comprimento maior, a redução em seu peso permite uma economia maior que uma redução no peso dos pilares.

Tabela 6 ‐ Dimensões dos perfis do pórtico tridimensional otimizados (fonte: Autor).

Barra

Método CYPE 3D

Pilares

Structure3D

CVS 500 X 194 CVS 550 x 204 CVS 650 X 234 CVS 500 x 123 -

AG PQS

CYPE 3D Vigas

Structure3D

kg/m

Perfil

AG PQS

193,9 204,1 189,2 234,3 122,8 101,2

X bf 500,0 550,0 513,2 650,0 500,0 456,1

d 350,0 400,0 427,7 450,0 350,0 369,5

R 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0

tw 16,0 16,0 11,1 16,0 9.5 7,3

tf 25,0 22,4 22,1 22,4 16,0 13,2

Já para a metodologia do PQS, os perfis encontrados não são catalogados, dessa forma, utilizando as restrições relativas aos perfis soldados CVS, pode‐se obter aproximações as dimensões obtidas no catálogo. Abaixo está à tabela com os perfis dos pilares e das vigas otimizadas pelos métodos AG e PQS. CYPE 3D

AG

PQS

Capacidade Resistente Efetiva (%)

100%

0% 0

1

2

3

4

5

6

7

8 9 Barra

10

11

12

13

14

15

16

Figura 9 ‐ Comparação do dimensionamento do CYPE 3D com os métodos de otimização AG e PQS.

Em relação aos esforços normalizados, as soluções otimizadas requisitaram uma maior parcela da capacidade resistente disponível. No gráfico da Figura 9 é possível visualizar

118

os esforços normalizados. Note que os resultados pela otimização pelo PQS obtiveram os esforços normalizados bem próximos de 100%.

O método do PQS oferece soluções melhores que o AG e o dimensionamento do CYPE 3D. Isso ocorre já que o PQS otimiza os perfis com variáveis contínuas, dessa forma, o seu método consegue alcançar 100% da capacidade resistente efetiva em grande parte das barras, tornando o método que fornece a melhor solução. Entretanto, para efeitos práticos, os perfis otimizados pelo método do PQS não são catalogados, havendo a necessidade de uma fabricação especifica para determinado perfil. Já o método do algoritmo genético, fornece uma solução discreta, com perfis catalogados, e com uma solução melhor que a proposta pelo dimensionamento do CYPE 3D. Note que em algumas barras, o método do AG chegou muito próximo da solução ótima alcançada pelo PQS, que apesar de ser um método discreto, pode alcançar soluções propostas por métodos com variável contínua.

5

Conclusões

Conforme pode ser observado nos exemplos apresentados, em todos os casos uma solução melhor foi obtida em relação ao problema proposto inicialmente, exceto no segundo exemplo que o perfil ótimo já havia sido definido.

No primeiro exemplo, com o pilar submetido a esforços cominados de flexão assimétrica e carga axial, foi possível validar a formulação para a verificação a esforços combinados. Todos os esforços resistentes ficaram muito próximos, com uma mínima diferença no quinto número significativo. Ainda nesse exemplo, foi utilizado à otimização discreta utilizando o Algoritmo Genético, e mostrou‐se que o perfil CVS 350 x 73 é o perfil ótimo da tabela de perfis da série CVS. Para o segundo exemplo, com o pórtico plano, foi apresentado os resultados comparativos entre o Structure3D e o CYPE 3D. Foi possível observar que o método de otimização pelo AG obteve o mesmo perfil que o escolhido pelo dimensionamento do CYPE 3D. De fato, o perfil alcançado pelos dois programas é o perfil ótimo. Ainda, foi possível observar que a otimização contínua alcançou uma solução mais econômica, porém, menos viável para fabricação.

119

Já no terceiro e último exemplo comparativo, com o pórtico tridimensional, foi proposta uma comparação entre o dimensionamento do CYPE 3D com o programa. Em relação à verificação da estrutura, a capacidade resistente efetiva entre o programa comercial e o desenvolvido nesse trabalho obteve um desvio percentual de 1% em média. Em relação aos esforços solicitantes, houve uma diferença maior entre o programa CYPE 3D em comparação com o Structure3D. Porém, os esforços resistentes ficaram muito próximos entre o CYPE 3D e o Structure3D. Ainda, houve uma pequena diferença nas deformações entre os dois programas, entretanto, para esse exemplo, a deformação não foi fator determinante no dimensionamento e otimização da estrutura. Apesar das diferenças entre os esforços solicitantes, os resultados ficaram muito próximos, não afetando no resultado final. É importante destacar que o programa Structure3D faz análise estrutural somente em 1º ordem, enquanto o CYPE 3D faz análise de 2º ordem. Com relação à otimização, o Structure3D apresentou uma solução mais leve. O AG forneceu uma estrutura mais leve, cerca de 37% mais leve, em comparação com o exemplo dimensionado no CYPE 3D. Já o PQS informou uma redução de 46%.

6

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121